Seria ARKUSZE MATURALNE. MATEMATYKA Oryginalne arkusze maturalne z pełnymi rozwiązaniami i kluczami odpowiedzi

Transkrypt

1 Seria ARKUSZE MATURALNE MATEMATYKA Oryginalne arkusze maturalne z pełnymi rozwiązaniami i kluczami odpowiedzi Niniejsza książka adresowana jest do uczniów szkół ponadgimnazjalnych, którzy zamierzają zdawać egzamin maturalny z matematyki, a także do nauczycieli, którzy przygotowują młodzież do matury z matematyki, zarówno w zakresie podstawowym jak i rozszerzonym. Zamieszczone w niej arkusze wykorzystane były jako próbne egzaminy maturalne w roku szkolnym 004/005 przeprowadzone w różnych ośrodkach egzaminacyjnych tj. Okręgowe Komisje Egzaminacyjne w Jaworznie, Krakowie, Poznaniu, Warszawie i Wrocławiu. Dodatkowo dołączono arkusz z pierwszej ogólnopolskiej matury, która odbyła się w maju 005 roku. Wszystkie zamieszczone zestawy zadań są oryginalne i nie zostały poddane jekiejkolwiek korekcie. W celu podniesienia walorów dydaktycznych książka zawiera (oprócz skróconych modeli odpowiedzi przygotowanych przez poszczególne komisje egzaminacyjne) propozycje poszerzonych odpowiedzi do zadań wraz z objaśnieniami i komentarzami dotyczącymi sposobu ich rozwiązania. Autorzy pełnych rozwiązań: Ryszard Bartłomiejczyk Artur Nowoświat Ilość stron: 4 Format: B5 Okładka: miękka ISBN: Wydanie: pierwsze sierpień 005 Wydawnictwo: Centrum Kształcenia Akademickiego Cena detaliczna: 9,90 PLN MATEMATYKA zestaw wybranych wzorów matematycznych Zestaw wybranych wzorów matematycznych. Są to materiały pomocnicze opracowane i dopuszczone jako pomoce egzaminacyjne przez Centralną Komisję Egzaminacyjną. Opracowanie: Centralna Komisja Egzaminacyjna Ilość stron: Format: A5 Okładka: miękka ISBN: X Wydanie: pierwsze sierpień 005 Wydawnictwo: Centrum Kształcenia Akademickiego Cena detaliczna:,50 PLN

2 Seria ARKUSZE MATURALNE FIZYKA Oryginalne arkusze maturalne z pełnymi rozwiązaniami i kluczami odpowiedzi Niniejsza książka adresowana jest do uczniów szkół ponadgimnazjalnych, którzy zamierzają zdawać egzamin maturalny z fizyki, a także do nauczycieli, którzy przygotowują młodzież do matury z fizyki, zarówno w zakresie podstawowym jak i rozszerzonym. Zamieszczone w niej arkusze wykorzystane były jako próbne egzaminy maturalne w roku szkolnym 004/005 przeprowadzone w różnych ośrodkach egzaminacyjnych tj. Okręgowe Komisje Egzaminacyjne w Jaworznie, Krakowie, Poznaniu, Warszawie i Wrocławiu. Dodatkowo dołączono arkusz z pierwszej ogólnopolskiej matury, która odbyła się w maju 005 roku. Wszystkie zamieszczone zestawy zadań są oryginalne i nie zostały poddane jekiejkolwiek korekcie. W celu podniesienia walorów dydaktycznych książka zawiera (oprócz skróconych modeli odpowiedzi przygotowanych przez poszczególne komisje egzaminacyjne) propozycje poszerzonych odpowiedzi do zadań wraz z objaśnieniami i komentarzami dotyczącymi sposobu ich rozwiązania. Autor pełnych rozwiązań: Andrzej Klimasek Ilość stron: 9 Format: B5 Okładka: miękka ISBN: Wydanie: pierwsze sierpień 005 Wydawnictwo: Centrum Kształcenia Akademickiego Cena detaliczna: 4,90 PLN

3 Seria ARKUSZE MATURALNE BIOLOGIA Oryginalne arkusze maturalne z pełnymi rozwiązaniami i kluczami odpowiedzi Niniejsza książka adresowana jest do uczniów szkół ponadgimnazjalnych, którzy zamierzają zdawać egzamin maturalny z biologii, a także do nauczycieli, którzy przygotowują młodzież do matury z biologii, zarówno w zakresie podstawowym jak i rozszerzonym. Zamieszczone w niej arkusze wykorzystane były jako próbne egzaminy maturalne w roku szkolnym 004/005 przeprowadzone w różnych ośrodkach egzaminacyjnych tj. Okręgowe Komisje Egzaminacyjne w Jaworznie, Krakowie, Poznaniu, Warszawie i Wrocławiu. Dodatkowo dołączono arkusz z pierwszej ogólnopolskiej matury, która odbyła się w maju 005 roku. Wszystkie zamieszczone zestawy zadań są oryginalne i nie zostały poddane jekiejkolwiek korekcie. W celu podniesienia walorów dydaktycznych książka zawiera (oprócz skróconych modeli odpowiedzi przygotowanych przez poszczególne komisje egzaminacyjne) propozycje poszerzonych odpowiedzi do zadań wraz z objaśnieniami i komentarzami dotyczącymi sposobu ich rozwiązania. Autor pełnych rozwiązań: Barbara Januszewska Hasiec Ilość stron: 5 Format: B5 Okładka: miękka ISBN: Wydanie: pierwsze sierpień 005 Wydawnictwo: Centrum Kształcenia Akademickiego Cena detaliczna: 9,90 PLN

4 Seria ARKUSZE MATURALNE CHEMIA Oryginalne arkusze maturalne z pełnymi rozwiązaniami i kluczami odpowiedzi Niniejsza książka adresowana jest do uczniów szkół ponadgimnazjalnych, którzy zamierzają zdawać egzamin maturalny z chemii, a także do nauczycieli, którzy przygotowują młodzież do matury z chemii, zarówno w zakresie podstawowym jak i rozszerzonym. Zamieszczone w niej arkusze wykorzystane były jako próbne egzaminy maturalne w roku szkolnym 004/005 przeprowadzone w różnych ośrodkach egzaminacyjnych tj. Okręgowe Komisje Egzaminacyjne w Jaworznie, Krakowie, Poznaniu, Warszawie i Wrocławiu. Dodatkowo dołączono arkusz z pierwszej ogólnopolskiej matury, która odbyła się w maju 005 roku. Wszystkie zamieszczone zestawy zadań są oryginalne i nie zostały poddane jekiejkolwiek korekcie. W celu podniesienia walorów dydaktycznych książka zawiera (oprócz skróconych modeli odpowiedzi przygotowanych przez poszczególne komisje egzaminacyjne) propozycje poszerzonych odpowiedzi do zadań wraz z objaśnieniami i komentarzami dotyczącymi sposobu ich rozwiązania. Autor pełnych rozwiązań: Barbara Trzewiczek Ilość stron: 5 Format: B5 Okładka: miękka ISBN: Wydanie: pierwsze sierpień 005 Wydawnictwo: Centrum Kształcenia Akademickiego Cena detaliczna: 4,90 PLN

5 MATEMATYKA MATURA 006 Oryginalne arkusze maturalne z pełnymi rozwiązaniami i kluczami odpowiedzi OPRACOWANIE ROZWIĄZAŃ: Ryszard Bartłomiejczyk Artur Nowoświat Wydanie pierwsze Wydawnictwo C.K.A. 005

6 AUTOR ROZWIĄZAŃ: Ryszard BARTŁOMIEJCZYK, Artur NOWOŚWIAT REDAKCJA : Artur Nowoświat Joanna Skalna Katarzyna Nowoświat Wojciech Michalak OPRACOWANIE RYSUNKÓW : Wojciech Michalak, Artur Nowoświat SKŁAD : Artur Nowoświat, Wojciech Michalak PROJEKT OKŁADKI : Wojciech Michalak Centrum Kształcenia Akademickiego C.K.A., Gliwice 005, Wydanie pierwsze Nieautoryzowane rozpowszechnianie całości lub fragmentów niniejszej publikacji w jakiejkolwiek postaci jest zabronione. Wykonywanie kopii metodą kserograficzną, fotograficzną, a także kopiowanie na nośniku filmowym, magnetycznym lub innym powoduje naruszenie praw autorskich niniejszej publikacji. ISBN

7 Szanowny Czytelniku! Książka MATEMATYKA - Matura 006 zawiera oryginalny zestaw maturalny z maja 005, obowiązujący w całej Polsce, oraz zestawy matur próbnych z lat przygotowanych przez: OKE Jaworzno, OKE Kraków, OKE Poznań, OKE Warszawa, OKE Wrocław. Dla ułatwienia nauki wszystkie zadania zamieszczone w książce posiadają pełne rozwiązania, komentarze oraz klucze odpowiedzi zaproponowane przez poszczególne komisje egzaminacyjne. Doskonałym uzupełnieniem niniejszej pozycji są również książki naszego wydawnictwa MATEMATYKA nowa matura Zagadnienia teoretyczne wraz z przykładami, oraz MATEMATYKA nowa matura 00 zadań z pełnymi rozwiązaniami i komentarzami. Więcej szczegółów oraz przykładowe zestawy maturalne znajdziesz na naszej stronie internetowej: lub Gliwice sierpień 005, Zespół C.K.A.

8 SPIS TREŚCI. MATURA OGÓLNOPOLSKA 9 MAJ TREŚCI ZADAŃ Arkusz I Poziom Podstawowy ROZWIĄZANIA ZADAŃ Arkusz I Poziom Podstawowy KLUCZE ODPOWIEDZI Arkusz I Poziom Podstawowy TREŚCI ZADAŃ Arkusz II Poziom Rozszerzony ROZWIĄZANIA ZADAŃ Arkusz II Poziom Rozszerzony KLUCZE ODPOWIEDZI Arkusz II Poziom Rozszerzony OKE JAWORZNO - PRÓBNA MATURA 9.. TREŚCI ZADAŃ Arkusz I Poziom Podstawowy ROZWIĄZANIA ZADAŃ Arkusz I Poziom Podstawowy KLUCZE ODPOWIEDZI Arkusz I Poziom Podstawowy OKE KRAKÓW PRÓBNA MATURA 9.. TREŚCI ZADAŃ Arkusz I Poziom Podstawowy ROZWIĄZANIA ZADAŃ Arkusz I Poziom Podstawowy KLUCZE ODPOWIEDZI Arkusz I Poziom Podstawowy OKE POZNAŃ PRÓBNA MATURA TREŚCI ZADAŃ Arkusz I Poziom Podstawowy ROZWIĄZANIA ZADAŃ Arkusz I Poziom Podstawowy... 50

9 4.. KLUCZE ODPOWIEDZI Arkusz I Poziom Podstawowy TREŚCI ZADAŃ Arkusz II Poziom Rozszerzony ROZWIĄZANIA ZADAŃ Arkusz II Poziom Rozszerzony KLUCZE ODPOWIEDZI Arkusz II Poziom Rozszerzony OKE WARSZAWA PRÓNA MATURA TREŚCI ZADAŃ Arkusz I Poziom Podstawowy ROZWIĄZANIA ZADAŃ Arkusz I Poziom Podstawowy KLUCZE ODPOWIEDZI Arkusz I Poziom Podstawowy TREŚCI ZADAŃ Arkusz II Poziom Rozszerzony ROZWIĄZANIA ZADAŃ Arkusz II Poziom Rozszerzony KLUCZE ODPOWIEDZI Arkusz II Poziom Rozszerzony OKE WROCŁAW PRÓBNA MATURA TREŚCI ZADAŃ Arkusz I Poziom Podstawowy ROZWIĄZANIA ZADAŃ Arkusz I Poziom Podstawowy KLUCZE ODPOWIEDZI Arkusz I Poziom Podstawowy TREŚCI ZADAŃ Arkusz II Poziom Rozszerzony ROZWIĄZANIA ZADAŃ Arkusz II Poziom Rozszerzony KLUCZE ODPOWIEDZI Arkusz II Poziom Rozszerzony...

10 Wpisuje zdający przed rozpoczęciem pracy Miejsce na nalepkę z kodem szkoły PESEL ZDAJĄCEGO EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI 9 MAJ 005 Arkusz I Poziom podstawowy Instrukcja dla zdającego Czas pracy 0 minut. Proszę sprawdzić, czy arkusz egzaminacyjny zawiera odpowiednią liczbę stron. Ewentualny brak należy zgłosić przewodniczącemu zespołu nadzorującego egzamin.. Rozwiązania i odpowiedzi należy zapisać czytelnie w miejscu na to przeznaczonym przy każdym zadaniu.. Proszę pisać tylko w kolorze czarnym; nie pisać ołówkiem. 4. W rozwiązaniach zadań trzeba przedstawić tok rozumowania prowadzący do ostatecznego wyniku. 5. Nie wolno używać korektora. 6. Błędne zapisy trzeba wyraźnie przekreślić. 7. Brudnopis nie będzie oceniany. 8. Obok każdego zadania podana jest maksymalna liczba punktów, którą można uzyskać za jego poprawne rozwiązanie.` 9. Podczas egzaminu można korzystać z udostępnionego zestawu wzorów matematycznych, cyrkla i linijki oraz kalkulatora. Nie można korzystać z kalkulatora graficznego. Życzymy powodzenia!

11 ORYGINALNE ARKUSZE MATURALNE Z PEŁNYMI ROZWIĄZANIAMI ZADANIE. (pkt) W pudełku są trzy kule białe i pięć kul czarnych. Do pudełka można albo dołożyć jedną kulę białą albo usunąć z niego kulę czarną, a następnie wylosować z tego pudełka jedną kulę. W którym z tych przypadków wylosowanie kuli białej jest bardziej prawdopodobne? Wykonaj odpowiednie obliczenia. ZADANIE. (4pkt) Dany jest ciąg ( a n ), gdzie wszystkie wartości tego ciągu większe od. ZADANIE. (4pkt) Dany jest wielomian ( ) 8 a W x x kx n n + = n + = + 4. dla n =,,,. Wyznacz a) Wyznacz współczynnik k tego wielomianu wiedząc, że wielomian ten jest podzielny przez dwumian x +. b) Dla wyznaczonej wartości k rozłóż wielomian na czynniki i podaj wszystkie jego pierwiastki. ZADANIE 4. (5pkt) Na trzech półkach ustawiono 76 płyt kompaktowych. Okazało się, że liczby płyt na półkach górnej, środkowej i dolnej tworzą rosnący ciąg geometryczny. Na środkowej półce stoją 4 płyty. Oblicz, ile płyt stoi na półce górnej, a ile płyt stoi na półce dolnej. ZADANIE 5. (4pkt) Sklep sprowadza z hurtowni kurtki płacąc po 00 zł za sztukę i sprzedaje średnio 40 sztuk miesięcznie po 60 zł. Zaobserwowano, że każda kolejna obniżka ceny sprzedaży kurtki o zł zwiększa sprzedaż miesięczną o sztukę. jaką cenę kurtki powinien ustalić sprzedawca, aby jego miesięczny zysk był największy? ZADANIE 6. (6pkt) Dane są zbiory liczb rzeczywistych: { : } A x x = + <, ( ) { : 8 6 } B= x x x x + x+. Zapisz w postaci przedziałów liczbowych zbiory, AB,, A B, oraz B A. ZADANIE 7. (5pkt) W poniższej tabeli przedstawiono wyniki sondażu przeprowadzonego w grupie uczniów, dotyczącego czasu przeznaczonego dziennie na przygotowanie zadań domowych. czas (w godzinach) 4 Liczba uczniów a) Naszkicuj diagram słupkowy ilustrujący wyniki tego sondażu b) Oblicz średnią liczbę godzin, jaką uczniowie przeznaczają dziennie na przygotowanie zadań domowych.

12 MATURA OGÓLNOPOLSKA MAJ 005 c) Oblicz wariancję i odchylenie standardowe czasu przeznaczonego dziennie na przygotowanie zadań domowych. Wynik podaj z dokładnością do 0,0. ZADANIE 8. (6pkt) C Z kawałka materiału o kształcie i wymiarach D 6,dm O dm 0 dm czworokąta ABCD (patrz rysunek) wycięto okrągłą serwetkę o promieniu dm. Oblicz, ile procent całego materiału stanowi jego niewykorzystaną część. Wynik podaj z dokładnością do 0,0 procenta. A B ZADANIE 9. (6pkt) Rodzeństwo w wieku 8 i 0 lat otrzymało razem w spadku zł. Kwotę tę złożono w banku, który stosuje kapitalizację roczną przy rocznej stopie procentowej 5%. Każde z dzieci otrzyma swoją część spadku z chwilą osiągnięcia wieku lat. Życzeniem spadkodawcy było takie podzielenie kwoty spadku, aby w przyszłości obie wypłacone części spadku zaokrąglone do zł były równe. Jak należy podzielić kwotę zł między rodzeństwo? Zapisz wszystkie wykonywane obliczenia. ZADANIE 0. (7pkt) W ostrosłupie czworokątnym prawidłowym wysokości przeciwległych ścian bocznych poprowadzone z wierzchołka ostrosłupa mają długości h i tworzą kąt o mierze α. Oblicz objętość tego ostrosłupa. ROZWIĄZANIA ZADAŃ ROZWIĄZANIE ZADANIA. Ponieważ wielomian W dzieli się przez dwumian x +, więc: W ( ) = 0, a więc: 8+ 4k 4= 0, stąd 4k = 0, zatem k =. b) Dzielimy wielomian ( ) W x = x + x 4 przez dwumian x +. Mamy: Centrum Kształcenia Akademickiego C.K.A. 9

13 ORYGINALNE ARKUSZE MATURALNE Z PEŁNYMI ROZWIĄZANIAMI ( ) ( ) x + 4 : + = + x x x x x x x x 4 x x 4 x+ 4 = = Zatem: W( x) ( x )( x x ) = + +. Rozkładamy czynnik kwadratowy na czynniki liniowe: = + 8= 9, =. Zatem x + = =, x = =. Otrzymujemy, więc W( x) ( x )( x )( x ) ( x ) ( x ) Odp. k =, oraz W( x) ( x ) ( x ) ROZWIĄZANIE ZADANIA 9. a suma jaką otrzyma ośmiolatek, b suma jaką otrzyma dziesięciolatek. = + + = +. = +, oraz x, =, x =. Rodzeństwo łącznie posiada kwotę a+ b= 8400 zł. Zgodnie z wzorem na procent składany rodzeństwo otrzyma równą wypłatę w wieku lat, jeżeli: a+ = b , otrzymujemy zatem układ równań: 5 a + = b, 00 a+ b= Zatem: a+ a = 8400, stąd a = = 40000, 84 b = = a+ a= 8400, a =, stąd 0

14 MATURA OGÓLNOPOLSKA MAJ 005 Odp. Kwotę należy podzielić w ten sposób, ze młodszy ma otrzymać zł, a starszy 4400 zł. Numer zadania SCHEMAT OCENIANIA ARKUSZA EGZAMINACYJNEGO I Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Obliczenie prawdopodobieństwa wylosowania białej kuli spośród 4 kul. 4 białych i 5 czarnych: p =. 9 Obliczenie Prawdopodobieństwa wylosowania białej kuli spośród kul. białych i 4 czarnych: p =. 7. Porównanie obliczonych wyników i sformułowanie odpowiedzi: p > p.. n + Zapisanie nierówności: >. n +. Przekształcenie nierówności do postaci liniowej lub iloczynowej: n < n n+ > 0. lub ( )( ). Rozwiązanie nierówności w zbiorze liczb naturalnych: n = lub n =..4 4 Sformułowanie odpowiedzi: a =, a = Wykorzystanie podzielności wielomianu przez dwumian x +, np. W x przez dwumian x +. W ( ) = 0 lub podzielenie wielomianu ( ). Wyznaczenie k: k =.. Rozłożenie wielomianu na czynniki: ( ) ( )( ) W x = x x+..4 Podanie pierwiastków wielomianu: x = x =, x =. 4. Wprowadzenie oznaczeń wskazujących, że liczby tworzą ciąg geometryczny, np. x liczba płyt ustawionych na górnej półce, gdzie x < 4 i x N, 4 liczba płyt ustawionych na środkowej półce, liczba płyt ustawiona na dolnej półce. x 4 5 Wykorzystanie sumy trzech wyrazów ciągu geometrycznego i ułożenie równania z niewiadomą x: x + 4+ = 76 (*). x 4. Przekształcenie równania (*) do postaci: x 5x+ 576 = 0 (**). 4.4 Rozwiązanie równania (**): x = 6, x = Zapisanie odpowiedzi zgodnie z warunkami zadania. Na górnej półce jest 6 płyt, zaś na dolnej półce jest ich 6. Wprowadzenie oznaczeń, np.: x liczba kolejnych obniżek ceny jednej 5. kurtki, ( 60 x) - zysk ze sprzedaży jednej kurtki, ( 40 + x) - liczba sprzedanych kurtek 5. Określenie funkcji f opisującej miesięczny zysk: f ( x) = ( 60 x)( 40 + x) f x = x + 0x+ 400 lub ( ) 5. Wyznaczenie wartości argumentu x w, dla której funkcja przyjmuje największą wartość: x w = Wyznaczenie szukanej ceny: 50 zł. Centrum Kształcenia Akademickiego C.K.A.

15 ORYGINALNE ARKUSZE MATURALNE Z PEŁNYMI ROZWIĄZANIAMI 6 6. Rozwiązanie nierówności: x + < i wyznaczenie zbioru A (w tym punkt za metodę oraz punkt za obliczenia): A = ( 5,). Rozwiązanie nierówności: ( ) x 8x x + 6x+ i wyznaczenie 6. zbioru B: B =, (w tym punkt za doprowadzenie nierówności do postaci x 4, oraz punkt za rozwiązanie otrzymanej nierówności kwadratowej. 6. Wyznaczenie zbioru A B: A B =,). 6.4 Wyznaczenie zbioru B A: B A=,. Naszkicowanie diagramu: liczba uczniów Czas (w godzinach) Obliczenie średniej liczby godzin:,75 7. Obliczenie wariancji (w tym punkt za metodę, oraz punkt za obliczenia): 0, Obliczenie odchylenia standardowego: 0,97 8. Wykorzystanie warunku dla czworokąta opisanego na okręgu (w tym punkt za metodę, oraz punkt za obliczenia): AB + DC = 6,dm. 8. Obliczenie pola S ABCD czworokąta: S ABCD = 48,9 dm. 8. Obliczenie koła S k : Sk = 9π 8,7 dm, lub Sk 8,6 dm 8.4 Obliczenie pola S r niewykorzystanej części materiału: S r = 0,6 dm lub S r = 0,64 dm Obliczenie, ile procent S ABCD stanowi S r z dokładnością do 0,0: 8.5 Sr Sr 00% 4,9% lub 00% 4,%. S S 9. ABCD ABCD Wprowadzenie oznaczeń dla obu części spadku i zapisanie zależności między nimi: np.: x kwota wpłacona dla ośmioletniego dziecka, y kwota wpłacona dla dziesięcioletniego dziecka, x+ y = Zastosowanie w obliczeniach procentu składanego 9. x+ y = 8400 Ułożenie układu równań: x+ = y+ 0 0 x+ y = Przekształcenie układu równań do postaci: x+ = y 0 Rozwiązanie układu równań i sformułowanie odpowiedzi (w tym punkt 9.5 za metodę, oraz punkt za poprawne obliczenia): x = zł, y = 4400 zł.

16 MATURA OGÓLNOPOLSKA MAJ h S α h Q O Sporządzenie rysunku wraz z oznaczeniami lub wprowadzenie dokładnie opisanych oznaczeń, np. WK = WL = h, V objętość ostrosłupa ABCDW, P p pole podstawy ostrosłupa ABCDW 0 P 0. Zaznaczenie na rysunku właściwego przekroju i właściwego kąta. Wykorzystanie własności, że trójkąt WKL jest równoramienny i wysokość 0. WO jest wysokością ostrosłupa. 0.4 Obliczenie WO z WOL : WO = hcosα 0.5 Obliczenie AB : AB = hsinα 0.6 Obliczenie pola podstawy ostrosłupa: P = 4h sin α. Obliczenie 4 objętości ostrosłupa: V = h sin αcosα lub V = h sinαsinα. p Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą od przedstawionej w schemacie przyznajemy maksymalną liczbę punktów. Centrum Kształcenia Akademickiego C.K.A.

17 Wpisuje zdający przed rozpoczęciem pracy Miejsce na nalepkę z kodem szkoły PESEL ZDAJĄCEGO EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI 9 MAJ 005 Arkusz II Poziom rozszerzony Instrukcja dla zdającego Czas pracy 50 minut. Proszę sprawdzić, czy arkusz egzaminacyjny zawiera odpowiednią liczbę stron. Ewentualny brak należy zgłosić przewodniczącemu zespołu nadzorującego egzamin.. Rozwiązania i odpowiedzi należy zapisać czytelnie w miejscu na to przeznaczonym przy każdym zadaniu.. Proszę pisać tylko w kolorze czarnym; nie pisać ołówkiem. 4. W rozwiązaniach zadań trzeba przedstawić tok rozumowania prowadzący do ostatecznego wyniku. 5. Nie wolno używać korektora. 6. Błędne zapisy trzeba wyraźnie przekreślić. 7. Brudnopis nie będzie oceniany. 8. Obok każdego zadania podana jest maksymalna liczba punktów, którą można uzyskać za jego poprawne rozwiązanie.` 9. Podczas egzaminu można korzystać z udostępnionego zestawu wzorów matematycznych, cyrkla i linijki oraz kalkulatora. Nie można korzystać z kalkulatora graficznego. Życzymy powodzenia!

18 8 ORYGINALNE ARKUSZE MATURALNE Z PEŁNYMI ROZWIĄZANIAMI ZADANIE. (pkt) Wyznacz dziedzinę funkcji f ( x) log ( x 4x x 4) w postaci sumy przedziałów liczbowych. = + i zapisz ją ZADANIE. (4pkt) Dana jest funkcja: f ( x) = cosx sin x, x R. a) Naszkicuj wykres funkcji f. b) Rozwiąż równanie: f ( x ) =. ZADANIE. (4pkt) Rzucamy n razy dwiema symetrycznymi sześciennymi kostkami do gry. Oblicz, dla jakich n prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej raz tej samej liczby oczek na obu kostkach jest mniejsze od ZADANIE 4. (5pkt) Oblicz: ( n ) ( n ) lim n ZADANIE 5. (4pkt) W dowolnym trójkącie ABC punkty M i N są odpowiednio środkami boków AC i BC (Rys.) A M otrzymujemy: MN = MA+ MC+ AB+ BN + CN. Ponieważ MC = MA oraz CN = BN, więc: MN = MA MA+ AB+ BN BN, MN = 0+ AB + 0, MN = AB. C. x Zapoznaj się uważnie z następującym rozumowaniem Korzystając z własności wektorów i działań na wektorach, zapisujemy równości: MN = MA+ AB+ BN () oraz MN = MC+ CN () Po dodaniu równości () i () stronami Wykorzystując własności iloczynu wektora przez liczbę, ostatnią równość można zinterpretować następująco: N B odcinek łączący środki dwóch boków dowolnego trójkąta jest równoległy do trzeciego boku tego trójkąta, zaś jego długość jest równa połowie długości tego boku.

19 MATURA OGÓLNOPOLSKA MAJ 005 A M D Przeprowadzając analogiczne rozumowanie, ustal związek pomiędzy wektorem MN oraz wektorami AB i DC, wiedząc, że czworokąt ABCD jest dowolnym trapezem, zaś punkty M i N są odpowiednio środkami ramion AD i BC tego trapezu (Rys.) ZADANIE 6. (5pkt) Sześcian o krawędzi długości a przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem π. Sporządź odpowiedni rysunek. Oblicz pole otrzymanego przekroju. ZADANIE 7. (7pkt) Wykaż, bez użycia kalkulatora i tablic, że jest liczbą całkowitą. ZADANIE 8. (8pkt) Pary liczb ( x, y ) spełniające układ równań: = 4x y y 0 x + y + 4 = 0 są współrzędnymi wierzchołków czworokąta wypukłego ABCD. a) Wyznacz współrzędne punktów: A, B, C, D. b) Wykaż, że czworokąt ABCD jest trapezem równoramiennym. c) Wyznacz równanie okręgu opisanego na czworokącie ABCD. ZADANIE 9. (0pkt) Dane jest równanie ( ) C N x + m 5 x+ m + m+ = 0. 4 Zbadaj, dla jakich wartości parametru m stosunek sumy pierwiastków rzeczywistych równania do ich iloczynu przyjmuje wartość najmniejszą. Wyznacz tę wartość. B ROZWIĄZANIA ZADAŃ ROZWIĄZANIE ZADANIA. Mamy: f ( x) = cosx sinx = cosx sinx cos60 ( 0 cosx sin60 0 sin x) = = π π π = cos cosx sin sinx= cos x+. Centrum Kształcenia Akademickiego C.K.A. 9

20 ORYGINALNE ARKUSZE MATURALNE Z PEŁNYMI ROZWIĄZANIAMI Zatem y π 6 π 4 π 5 6 π π π π π 7 6 π 6 π 5 π π π π 6 π π x b) Rozwiązujemy równanie: π cosx + =, otrzymujemy kolejno: π π π π stąd x+ = + kπ x+ = + kπ. Odp. x= kπ x = π + kπ, gdzie k = 0, ±, ±,. ROZWIĄZANIE ZADANIA 7. Zauważmy, że: ( + ) = , stąd ( ) π π π cosx + =, cosx + = cos, + = 5 + 7, oraz ( ) = 6+, stąd ( ) Zatem: ( ) ( ) ( ) ( ) = + = + = = = =. Odp =. 0

21 MATURA OGÓLNOPOLSKA MAJ 005 SCHEMAT OCENIANIA ARKUSZA EGZAMINACYJNEGO II Numer zadania.... Etapy rozwiązania zadania Wyznaczenie zbioru argumentów, dla których liczba logarytmowana jest x 4,, +. dodatnia: ( ) ( ) Wyznaczenie zbioru argumentów, dla których podstawa logarytmu jest dodatnia i różna od : x (, ) (, ) (,) (, + ) Wyznaczenie dziedziny funkcji: x ( 4, ) (, ) (,) (, + ) Liczba punktów Za przedstawienie metody szkicowania wykresu, np. poprzez obliczenie współrzędnych punktów należących do wykresu lub przekształcenie π wzoru funkcji, np. do postaci: f ( x) = cosx+. Naszkicowanie wykresu funkcji: y. 4 π 5 6 π π π 7 6 π 6 π 5 π 6 π 6 π π π π π π π π x Rozwiązanie równania (po punkt za metodę i rozwiązanie): x= kπ x= π + kπ gdzie k Z Obliczenie prawdopodobieństwa otrzymania w jednym rzucie tej samej liczby oczek na obu kostkach: p = 6 Wykorzystanie schematu Bernoulliego i określenie: p, q, N, k: 5 p =, q =, N = n, k 6 6 Obliczenie prawdopodobieństwa otrzymania w n rzutach co najmniej raz tej samej liczby oczek na obu kostkach: 0 n n n 5 5 Pn( k ) = Pn( 0) = 0 = Rozwiązanie nierówności wykładniczej i sformułowanie odpowiedzi: n,,. { } Wyznaczenie: a, r, S n jeśli an = n (w tym punkt za metodę oraz punkt za obliczenia): a =, r =, Wyznaczenie b, r, n punkt za obliczenia): 5 n n Sn = S, jeśli b = n+ (w tym punkt za metodę oraz n b =, r =, S = n + 4n n 4. Obliczenie granicy: 5 5. Zapisanie wektora MN jako sumy odpowiednich wektorów: MN = MA+ AB+ BN () MN = MD+ DC+ CN () Centrum Kształcenia Akademickiego C.K.A.

22 ORYGINALNE ARKUSZE MATURALNE Z PEŁNYMI ROZWIĄZANIAMI Dodanie równości () i () stronami Przekształcenie wyniku do prostej postaci: 5. MN = ( AB+ DC) 5.4 Zinterpretowanie otrzymanego wyniku. D B Sporządzenie rysunku wraz z A R oznaczeniami i zaznaczenie kąta nachylenia 6. A D a R π Q B C a 6. Obliczenie długości wysokości h trapezu: h = ( ) a 6. Obliczenie długości krótszej podstawy b trapezu: b = ( ) 6 a 6.4 Obliczenie pola S trapezu: S = 7. Wprowadzenie oznaczeń, np.: lub x = 5 + 7, y = 5 7, a = x y, a = i ( ) a = Skorzystanie z tożsamości: ( x y) x y xy( x y) = 7. Wykorzystanie tożsamości i oznaczeń do uzyskania równania z niewiadomą a (w tym punkt za metodę oraz punkt za obliczenia): a = 4 a (*) 7.4 Wyznaczenie całkowitego pierwiastka równania (*): a = 7.5 Zapisanie równania (*) w postaci iloczynowej: ( a )( a a ) lub stwierdzenie, że równanie (*) ma jeden pierwiastek = 0, 7.6 Wykazanie, że jest liczbą całkowitą sprawdzenie warunku < 0 i uzasadnienie, że a = jest jedynym rzeczywistym pierwiastkiem równania (*). 8. Doprowadzenie układu do równania jednej zmiennej i rozwiązanie 8. Wyznaczenie współrzędnych wierzchołków czworokąta: A=,, B=,, C =,5, D =,5 8. ( ) ( ) ( ) ( ) Uzasadnienie, że czworokąt ABCD jest trapezem równoramiennym, np. AB CD, oraz AD = BC 8.4 Wyznaczenie równania symetralnej odcinka BC: x+ 4y 6 = Wyznaczenie współrzędnych środka okręgu: O = 0, 8.6 Obliczenie długości promienia okręgu: 85 r = Zapisanie równania okręgu: x + y = 4 Określenie warunków istnienia rzeczywistych pierwiastków równania: dla m 6,

23 MATURA OGÓLNOPOLSKA MAJ Określenie wzoru funkcji m f ( m) = : f ( m) = x + x xx m + 5 m+ 9. Określenie dziedziny funkcji f: m 4 6,, 9.4 Zastosowanie wzoru na pochodną ilorazu. 9.5 Obliczenie pochodnej funkcji f 9.6 Określenie miejsca zerowego pochodnej funkcji f: m = 0 f 4 : ( ) 4 4 f 6 =, f = Zbadanie znaku pochodnej funkcji: f ( m) > 0 dla m 6,, 4 f ( m) < 0 dla m,. 4 Uzasadnienie, że f ( 6) = jest najmniejszą wartością funkcji ( m = leży poza podziałem określoności). 9.7 Obliczenie wartości f ( 6) i Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną metodą od przedstawionej w schemacie przyznajemy maksymalną liczbę punktów. Centrum Kształcenia Akademickiego C.K.A.