WYKŁAD 1 Inwestycje, środowisko inwestycyjne, proces inwestycyjny

Transkrypt

1 WYKŁD 1 Inwestycje, środowisko inwestycyjne, proces inwestycyjny I. Pojęcie i rodzaje inwestycji Istnieje wiele definicji pojęcia inwestycja. Najbardziej ogólna jest następująca definicja: Definicja: inwestycja jest to wyrzeczenie się bieżącej konsumpcji na rzecz przyszłej konsumpcji. Inwestujący wyrzeka się bieżących korzyści na rzecz przyszłych i niepewnych korzyści. Definicja ta wskazuje kilka istotnych cech inwestycji. Po pierwsze, inwestycja oznacza wyrzeczenie inwestora rezygnującego z bieżącej konsumpcji, za które to wyrzeczenie oczekuje on pewnej nagrody (korzyści). Po drugie, inwestycja dokonywana jest w pewnym okresie, co oznacza, że nagrodę inwestor może otrzymać w przyszłości. Po trzecie, przyszłe korzyści będące tą nagrodą są niepewne. Z przedstawionej definicji wynika, że nieodłącznymi cechami każdej inwestycji są: czas i ryzyko. Te dwa pojęcia odgrywają zasadniczą rolę we wszystkich analizach inwestycji. Istnieje wiele rodzajów inwestycji. Z punktu widzenia współczesnych finansów istotny jest podział na dwa podstawowe rodzaje: inwestycje rzeczowe, inwestycje finansowe. Inwestycje rzeczowe to wydatki przedsiębiorstw na zakup maszyn i urządzeń, wyposażenia i zapasów oraz wydatki gospodarstw domowych na mieszkania. Inwestycje w ujęciu rzeczowym mogą być ponadto podzielone na: inwestycje w kapitał trwały, inwestycje w zapasy. Inwestycje w kapitał trwały to wydatki na zakup takich dóbr, których okres użytkowania jest długi. Inwestycje w zapasy stanowią różnicę pomiędzy wielkością zapasów przechowywanych przez przedsiębiorstwa na koniec bieżącego roku a wielkością zapasów na koniec roku poprzedniego. Ogólnie biorąc, dzięki inwestycjom rzeczowym zwiększają się zdolności wytwórcze poszczególnych jednostek gospodarczych, a tym samym całej gospodarki. Inwestycje finansowe to wydatki na zakup różnego rodzaju instrumentów finansowych (akcje, obligacje, lokaty bankowe, inne). Inwestycje finansowe, nazywane także lokatami finansowymi, polegają na lokowaniu posiadanych środków finansowych w innym podmiocie gospodarczym. W zamian za udostępnienie kapitału innym podmiotom inwestor nabywa określone prawa. Podstawowym celem inwestycji finansowych jest osiągnięcie określonego dochodu w postaci odsetek, dywidendy itp. ednocześnie inwestorzy finansowi dostarczają środków pieniężnych na sfinansowanie inwestycji rzeczowych, przyczyniając się w ten sposób do rozwoju całej gospodarki. Inwestycje mogą być analizowane w wielu różnych przekrojach, np. w przekroju: makroekonomicznym, mikroekonomicznym. W ujęciu makroekonomicznym inwestycje traktowane są jako element podziału Produktu Krajowego Brutto, zgodnie z poniższym wzorem: Y = C + I + G + X, gdzie: Y = produkt krajowy brutto, C konsumpcja, I inwestycje, G zakupy rządowe, X - eksport netto. W ujęciu mikroekonomicznym inwestycje to wydatki różnych podmiotów (przedsiębiorstw i gospodarstw domowych) na zakup aktywów trwałych i aktywów finansowych. Przedmiotem naszego dalszego zainteresowania są inwestycje finansowe, dokonywane przez inwestorów indywidualnych i instytucjonalnych. 1

2 II. Środowisko inwestycyjne Środowisko, w którym realizowany jest proces inwestycyjny można podzielić na trzy podstawowe elementy: rynki finansowe, instrumenty finansowe, pośrednicy finansowi (instytucje finansowe). 1) Rynki finansowe Definicja: rynki finansowe to rynki, na których przedmiotem obrotu są instrumenty finansowe. Za pośrednictwem rynków finansowych dokonywana jest wymiana jednego rodzaju aktywów finansowych na inne aktywa. W zdecydowanej większości przypadków wymiana ta dotyczy wymiany pieniądza na aktywa finansowe (papiery wartościowe) przynoszące dochód. Rynki finansowe można dzielić z różnych punktów widzenia; kryteriów podziału jest wiele. Podstawowe rodzaje tych rynków przedstawia wykres. Rynki finansowe Rynek pieniężny Rynek dewizowy Rynek kapitałowy Rynek pierwotny Rynek wtórny Rynek kasowy Rynek terminowy ) Instrumenty finansowe Definicja: instrumentami finansowymi nazywamy zobowiązania (roszczenia) finansowe jednych podmiotów gospodarczych w stosunku do innych. Instrument finansowy jest to kontrakt (umowa) między dwoma stronami, regulujący zależność finansową między tymi stronami. Instrumentami finansowymi są na przykład: pieniądz, depozyty bankowe, papiery wartościowe, polisy ubezpieczeniowe, jednostki uczestnictwa w funduszach inwestycyjnych, opcje itp. Do podstawowych instrumentów finansowych należą papiery wartościowe. W tradycyjnym (klasycznym) ujęciu papiery wartościowe są to dokumenty stwierdzające określone prawa majątkowe, których realizacja możliwa jest za okazaniem lub zwrotem tych dokumentów. W teorii i w praktyce coraz częściej pojęcie papierów wartościowych jest zastępowane pojęciem instrumentów finansowych, które jest pojęciem szerszym, gdyż obejmuje instrumenty nie mieszczące się w klasycznym pojęciu papierów wartościowych. Papierem wartościowym w

3 klasycznym ujęciu jest papier zabezpieczony określonymi aktywami (stanowiący roszczenie do określonych aktywów, np. akcje lub obligacje). Takie instrumenty finansowe jak np. kontrakty futures, swapy czy inne nie są papierami wartościowymi w klasycznym znaczeniu tego pojęcia są one natomiast instrumentami finansowymi. W Polsce aktami prawnymi regulującymi funkcjonowanie rynku kapitałowego są trzy ustawy, a mianowicie: 1. ustawa z dnia 9 lipca 005 r. o nadzorze nad rynkiem kapitałowym (Dz. U. Nr 183, poz. 1537),. ustawa z dnia 9 lipca 005 r. o obrocie instrumentami finansowymi (Dz. U. Nr 183, poz. 1538), 3. ustawa z dnia 9 lipca 005 r. o ofercie publicznej i warunkach wprowadzania instrumentów finansowych do zorganizowanego systemu obrotu oraz o spółkach publicznych (Dz. U. Nr 184, poz. 1539). W aktualnych regulacjach prawnych w Polsce również przyjęto szerszą koncepcję instrumentów finansowych. Przy czym ustawa regulująca obrót instrumentami finansowym definiuje je w ten sposób, że wymienia co jest instrumentem finansowym. Definicja składa się z kilku części. Zgodnie z ustawą instrumentami finansowymi są: papiery wartościowe; niebędące papierami wartościowymi: o tytuły uczestnictwa w instytucjach zbiorowego inwestowania, o instrumenty rynku pieniężnego, o finansowe kontrakty terminowe oraz swapy, o opcje, o o pochodne instrumenty towarowe, inne instrumenty, jeżeli zostały dopuszczone do obrotu na rynku regulowanym na terytorium państwa członkowskiego lub są przedmiotem ubiegania się o takie dopuszczenie. Z kolei papierami wartościowymi są: 1. akcje, prawa poboru, prawa do akcji, warranty subskrypcyjne, kwity depozytowe, obligacje, listy zastawne, certyfikaty inwestycyjne i inne zbywalne papiery wartościowe wyemitowane na podstawie właściwych przepisów prawa polskiego lub obcego,. inne zbywalne prawa majątkowe, które powstają w wyniku emisji, inkorporujące uprawnienie do nabycia lub objęcia papierów wartościowych, lub wykonywane przez dokonanie rozliczenia pieniężnego (prawa pochodne) Instrumenty finansowe można dzielić w różny sposób. Podstawowy podział przedstawia wykres. Instrumenty finansowe Instrumenty rynku walutowego Instrumenty rynku pieniężnego 3

4 Instrumenty rynku kapitałowego Instrumenty pochodne 3) Pośrednicy finansowi Definicja: pośrednicy finansowi (instytucje finansowe) są to podmioty gospodarujące, które charakteryzują się tym, że: głównym przedmiotem ich działalności jest utrzymywanie instrumentów finansowych i dokonywanie transakcji nimi, w efekcie instrumenty finansowe są głównymi składnikami ich majątku, w strukturze źródeł finansowania (pasywów) instytucji finansowych dominują fundusze obce (dług). Pośrednicy finansowi Instytucje depozytowe Instytucje niedepozytowe III. Proces inwestycyjny Proces inwestycyjny jest złożonym procesem, w ramach którego można wyodrębnić następujące etapy: sformułowanie celów polityki inwestycyjnej, analiza papierów wartościowych, budowa portfela inwestycyjnego, rewizja portfela, ocena skuteczności polityki inwestycyjnej. 1) Sformułowanie założeń polityki inwestycyjnej Formułowanie założeń polityki inwestycyjnej polega na: a) określeniu długoterminowych celów finansowych (np. zapewnienie dzieciom środków na wykształcenie, budowa domu, coroczne wczasy), b) określeniu wielkości zasobów, jakie inwestor może zainwestować, c) określeniu pożądanej stopy dochodu (stopy zwrotu), 4

5 d) określeniu poziomu akceptowalnego ryzyka (jeden z najważniejszych etapów budowy portfela inwestycyjnego, który prowadzi do udzielenia odpowiedzi na pytanie, jaki powinien być poziom ryzyka przy danej oczekiwanej stopie dochodu), e) wstępnym określeniu aktywów, w które zainwestowane zostaną środki przeznaczone na inwestycje. ) naliza papierów wartościowych naliza papierów wartościowych ma generalnie rzecz biorąc udzielić odpowiedzi na pytanie, które aktywa należy włączyć do portfela inwestycyjnego. Chodzi przede wszystkim o zidentyfikowanie tych aktywów, które są w danym momencie źle wycenione przez rynek. Poszukiwanie źle wycenionych aktywów może być dokonane za pomocą różnych metod. Wśród tych metod wyróżnia się: 1) analizę techniczną, ) analizę fundamentalną. naliza techniczna, najogólniej rzecz biorąc, polega na badaniu cen akcji dla celów przewidywania przyszłych ruchów cen poszczególnych akcji. by można było przewidywać przyszłe ruchy cen akcji należy w pierwszej kolejności przeprowadzić analizę kształtowania się cen akcji w przeszłości, co powinno prowadzić do wykrycia powtarzalnych wzorców zachowania cen. Znając powtarzalne wzorce zachowań cen akcji w przeszłości możemy przewidzieć przyszłe ruchy tych cen, co umożliwia opracowanie skutecznych strategii inwestycyjnych. naliza fundamentalna opiera się na założeniu, że analizując różnego rodzaju czynniki o charakterze fundamentalnym (makro- i mikroekonomiczne) można określić rzeczywistą, czyli wewnętrzną wartość akcji. Najczęściej przyjmuje się założenie, że rzeczywista wartość akcji wyznaczona jest przez zdyskontowaną wartość przyszłych przepływów pieniężnych. Obliczone w ten sposób rzeczywiste wartości akcji są następnie porównywane z ich aktualnymi cenami rynkowymi. Na podstawie tego porównania następuje kupno (lub sprzedaż) źle wycenionych akcji. Ponieważ analiza fundamentalna opiera się na założeniu, że wcześniej czy później rynek dokona korekty cen nie odpowiadających rzeczywistej wartości akcji, dlatego strategia oparta na tej analizie powinna przynieść oczekiwane rezultaty. 3) Budowa portfela inwestycyjnego Budowa portfela inwestycyjnego, to proces polegający na: 1) ostatecznym wyborze aktywów, w które zostaną zainwestowane środki oraz ) wyborze proporcji, w jakich te środki zostaną podzielone pomiędzy poszczególne aktywa. Konstrukcja portfela może być dokonywana w różny sposób, w zależności od tego czy uznamy zdolność zarządzającego do formułowania prawidłowych makro- i mikroprognoz. Oznacza to, że zarządzający portfelem stosuje tzw. selektywność lub wyczucie rynku. W każdym przypadku portfel powinien być dobrze zdywersyfikowany. Selektywność, to zdolność zarządzającego portfelem do identyfikowania akcji, które przynoszą ponadprzeciętne stopy zwrotu. Inaczej mówiąc, selektywność to zdolność do formułowania poprawnych prognoz mikroekonomicznych. Timing (wyczucie rynku), to zdolność zarządzającego portfelem do formułowania poprawnych prognoz makroekonomicznych. Inaczej mówiąc, jest to zdolność do przewidywania poziomu stóp zwrotu z rynku akcji w relacji do poziomu stóp zwrotu z instrumentów o stałym oprocentowaniu. Dywersyfikacja jest to działalność zmierzająca do minimalizacji ryzyka portfela przy danym oczekiwanym poziomie stopy dochodu. 4) Rewizja portfela Rewizja portfela to okresowe powtarzanie wcześniejszych kroków. Konieczność rewizji portfela pojawia się najczęściej w sytuacji zmian celów polityki inwestycyjnej. 5) Ocena skuteczności polityki inwestycyjnej Ocena skuteczności polityki inwestycyjnej polega na okresowym badaniu wyników portfela w postaci osiągniętej stopy zwrotu oraz ryzyka, na jakie narażony był posiadacz portfela w analizowanym okresie. edną z najważniejszych kwestii oceny portfela jest znalezienie 5

6 odpowiedniego punktu odniesienia do oceny. Wyniki portfela nie mogą być bowiem oceniane w oderwaniu od wyników rynku, muszą uwzględniać warunki panujące na rynku w analizowanym okresie. Ocena ta zasadniczo powinna udzielić odpowiedzi na pytanie, czy zarządzający portfelem osiągnął stopę zwrotu, jakiej należałoby oczekiwać przy danym poziomie ryzyka. Podsumowując, należałoby określić czym jest teoria inwestowania. Bardzo zwięźle ujął to David Luenberger, według którego: Teoria inwestowania jest wiedzą o zastosowaniach rozmaitych narzędzi naukowych w analizie inwestycji. WYKŁD Zależności pomiędzy oczekiwanym dochodem i ryzykiem Współczesna teoria inwestowania opiera się na dwóch podstawowych założeniach: 1) nienasyconości, ) awersji do ryzyka. Założenie nienasyconości oznacza, że podejmując decyzje dotyczące lokat kapitału inwestorzy kierują się dążeniem do maksymalizacji stopy dochodu (wolą wyższą stopę dochodu od niższej). wersja do ryzyka oznacza z kolei, że podejmując decyzje dotyczące lokat inwestorzy starają się minimalizować ryzyko związane z poszczególnymi lokatami. Każda inwestycja w papiery wartościowe charakteryzuje się dwiema podstawowymi cechami: 1) określonym dochodem (zyskiem) oraz ) określonym ryzykiem. Inwestycji dokonuje się w oczekiwaniu dochodu (zysku). Zysk z inwestycji jest tym, co inwestor zarabia. Z kolei ryzyko to - ogólnie biorąc - możliwość poniesienia nie przewidywanej straty lub nie uzyskania spodziewanego zysku. I. Definicja stopy dochodu Stopa dochodu (stopa zwrotu) jest to procentowa zmiana wzrost lub spadek wartości inwestycji w określonym czasie. Sposób określania stopy zwrotu przedstawimy na przykładzie akcji (w przypadku innych papierów wartościowych jest podobnie). Na wzrost wartości inwestycji (w akcje) składa się: 1) suma dywidend wypłaconych w rozpatrywanym okresie, ) zmiana rynkowej wartości akcji w tym okresie. Stopa zwrotu określa dochód przypadający na jednostkę zainwestowanego kapitału. Stopa zwrotu wyrażana jest w kategoriach względnych, tj. w procentach, co możemy zapisać następująco: dywidendy + zmiana wartości rynkowej r = x 100% początkowa wartość rynkowa gdzie: r stopa zwrotu (stopa dochodu) z inwestycji. Stosowane w praktyce stopy zwrotu odnoszą się do konkretnego odcinka czasu. Stąd mamy do czynienia z rocznymi, kwartalnymi, miesięcznymi, tygodniowymi czy dziennymi stopami zwrotu. Ogólnie biorąc możemy wyróżnić dwa rodzaje stóp zwrotu: 1) zrealizowaną stopę zwrotu, którą oblicza się ex post (po przeprowadzeniu transakcji), ) oczekiwaną stopę zwrotu, którą szacuje się ex ante (przed podjęciem decyzji inwestycyjnej). 6

7 Z punktu widzenia podejmowania decyzji inwestycyjnych zrealizowana stopa zwrotu wyznaczana ex post ma mniejsze znaczenie. Inwestor jest zainteresowany przede wszystkim przyszłą, czyli oczekiwaną stopą zwrotu. ej wielkość w momencie podejmowania decyzji o zainwestowaniu gotówki jest oczywiście nieznana, gdyż z przyszłością wiąże się niepewność. ak wynika z samej nazwy oczekiwana stopa zwrotu mówi nam, jakiej wartości stopy zwrotu powinniśmy się spodziewać w ciągu pewnego okresu. Innymi słowy jest to najbardziej prawdopodobna stopa zwrotu. Oczekiwana stopa zwrotu może być oszacowana (obliczona) na dwa sposoby, w zależności od posiadanych informacji (danych). Pierwszy sposób polega na wyznaczeniu oczekiwanej stopy zwrotu na podstawie możliwego rozkładu prawdopodobieństwa stóp zwrotu. Rozkład prawdopodobieństwa to wyszczególnienie wszystkich możliwych zdarzeń i prawdopodobieństwa wystąpienia każdego z nich. ak wiadomo, prawdopodobieństwa po dodaniu muszą równać się jedności lub 100%. eżeli znamy rozkład prawdopodobieństwa możliwych stóp zwrotu, to oczekiwaną stopę zwrotu możemy obliczyć według następującego wzoru: n ( r ) = E i= 1 p i r i gdzie: E(r) oczekiwana stopa zwrotu (dochodu), r i i-ty możliwy poziom stopy zwrotu, p i - prawdopodobieństwo wystąpienia i-tego możliwego poziomu stopy zwrotu. ak wynika z powyższego wzoru oczekiwana stopa zwrotu jest to średnia ważona możliwych do osiągnięcia stóp zwrotu, przy czym wagami są prawdopodobieństwa ich osiągnięcia. Drugi sposób obliczania oczekiwanej stopy zwrotu polega na zastosowaniu średniej z próbki. Najczęściej w praktyce nie wiemy, jaki jest rzeczywisty rozkład prawdopodobieństwa, który przypuszczalnie generuje stopy zwrotu. W tej sytuacji musimy dokonać szacunku na podstawie próbki. Najczęściej oznacza to, że posługujemy się danymi historycznymi, tzn. stopami zwrotu zrealizowanymi w przeszłości. Na przykład, obserwujemy jak kształtowały się tygodniowe stopy zwrotu z poszczególnych akcji i obliczamy średnią. Zakładamy przy tym, że rozkład prawdopodobieństwa jest stały w czasie. Średnią z próbki obliczamy korzystając z następującego wzoru: r = N t = 1 r t N gdzie: r t stopa zwrotu zrealizowana w t-tym okresie, N liczba obserwacji wchodzących w skład próbki (liczba okresów, z których pochodzą dane). Z powyższego wzoru wynika, że oczekiwana stopa zwrotu obliczana jest jako średnia arytmetyczna stóp zwrotu akcji osiągniętych w poprzednich N okresach. Tak obliczoną wartość nazywamy nieobciążonym estymatorem wartości oczekiwanej. Nie jest to jednak miara absolutnie dokładna, gdyż nie jest obliczona na podstawie populacji generalnej. Dokładność obliczeń możemy zwiększyć, jeżeli zwiększymy liczbę obserwacji. W naszym przypadku oznaczałoby to obliczanie średniej na podstawie stóp zwrotu z dłuższego okresu. Trzeba jednak mieć na uwadze, że zakładamy stałość rozkładu prawdopodobieństwa stóp zwrotu w czasie. Im dłuższy okres obliczeń, tym założenie to staje się mniej realistyczne. II. Definicja i pomiar ryzyka Drugą - obok dochodu - podstawową charakterystyką inwestycji w papiery wartościowe jest ryzyko. Inwestowanie w papiery wartościowe związane jest zawsze z określonym ryzykiem. W 7

8 działalności inwestycyjnej ryzyko jest nie do uniknięcia, ponieważ w momencie podejmowania decyzji nie dysponujemy wiarygodną i pełną informacją o przyszłości. Ryzyko definiowane jest jako zmienność oczekiwanej stopy zwrotu. Im większe zmiany stopy zwrotu, tym większe ryzyko. Ryzyko występuje wtedy, gdy możliwa do zrealizowania stopa zwrotu różni się od oczekiwanej stopy zwrotu. Oznacza ono możliwość poniesienia nie przewidywanej straty lub nie uzyskania spodziewanego dochodu. Ryzyko jest w głównej mierze spowodowane tym, że nabywcy różnego rodzaju papierów wartościowych uzyskują prawo do czerpania dochodów w przyszłości. Będzie ono istniało zawsze, ponieważ nie można w pełni przewidzieć stanu gospodarki w przyszłości. W praktyce zmienność oczekiwanej stopy zwrotu mierzona jest za pomocą miar rozproszenia zmiennej wokół jej wartości średniej. Statystycznymi miarami tego rozproszenia są: wariancja i, odchylenie standardowe. Zarówno wariancja, jak i odchylenie standardowe pozwalają na syntetyczną ocenę ryzyka za pomocą jednej liczby. Obydwie miary, podobnie jak oczekiwaną stopę zwrotu, możemy liczyć na dwa sposoby, w zależności od posiadanych informacji. Wariancja stanowi średnią z różnic pomiędzy wartościami zmiennej a jej wartością średnią podniesionymi do kwadratu. Wariancja oznacza odchylenie od średniej. Im większa wariancja stopy zwrotu (odchylenie od średniej), tym większe ryzyko związane z danym papierem wartościowym. I odwrotnie, im mniejszy zakres odchyleń od średniej, tym mniejsze ryzyko. eżeli posiadamy dane dotyczące rozkładu stopy zwrotu, to wariancję można wyznaczyć korzystając ze wzoru: σ n ( ) [ ( )] r = p r E r i= 1 i i gdzie: σ ( r ) - wariancja stopy zwrotu. eżeli średnia obliczona jest z próbki, to również wariancję obliczamy w oparciu o dane z próbki, według następującego wzoru: N ( r r) t t= 1 σ r = N 1 Dzieląc przez N-1 otrzymujemy nieobciążony estymator wariancji w przypadkach, gdy mamy do czynienia ze stosunkowo małymi próbkami. Drugą miarą rozproszenia zmiennej wokół średniej jest odchylenie standardowe (oznaczone symbolem σ). Odchylenie standardowe jest pierwiastkiem kwadratowym z wariancji. by obliczyć odchylenie standardowe należy najpierw obliczyć wariancję wykorzystując jeden z dwóch omówionych wzorów a następnie wyciągnąć pierwiastek kwadratowy. W różnego rodzaju analizach stosuje się zarówno wariancję, jak i odchylenie standardowe. III. Ograniczanie ryzyka model Markowitza Do tego momentu mówiliśmy o oczekiwanych stopach zwrotu i ryzyku pojedynczych akcji. W rzeczywistości inwestorzy z reguły dokonują dywersyfikacji inwestycji, czyli rozłożenia swoich zakupów pomiędzy różne rodzaje papierów wartościowych, tworząc tzw. portfel lokat. Portfel to zestaw posiadanych przez inwestora papierów wartościowych. Nie jest to jednak zestaw przypadkowych lecz odpowiednio dobranych walorów. Dlatego w analizie portfelowej podstawowe znaczenie ma odpowiedni dobór papierów wartościowych do portfela. Celem analizy portfelowej jest taki dobór papierów wartościowych do portfela, aby spełnione były jednocześnie kryteria najwyższej możliwej stopy zwrotu i najniższego możliwego ryzyka. Podstawy teorii portfela stworzył amerykański ekonomista Harry Markowitz (nagroda Nobla w 1990 r.). Ogólnie biorąc Markowitz opracował sposób ilościowej analizy zależności między stopą zwrotu i ryzykiem portfela (artykuł Portfolio Selection opublikowany w 195 r.). Przed Markowitzem, czyli do lat pięćdziesiątych XX wieku, zależności między ryzykiem a stopą 8

9 zwrotu stanowiły w teorii inwestowania obszar prawie całkowicie niezbadany. Zagadnienia te w literaturze poświęconej inwestowaniu albo w ogóle były nieobecne, albo pojawiały się tylko przypadkowo. Teoria Markowitza, choć początkowo niedostrzegana, w radykalny sposób zmieniła zarządzanie inwestycjami. Po pierwsze, Markowitz przeszedł od analizy pojedynczych papierów do analizy ich zestawu, czyli portfela. Po drugie, wskazał na kluczową rolę ryzyka w procesie inwestycyjnym. Po trzecie, ujął dochód i ryzyko portfela w formuły matematyczne. Powstaje pytanie, jak zachowują się oczekiwane stopy zwrotu oraz ryzyko portfela składającego się z wielu papierów wartościowych. Najprostszym portfelem jest portfel dwuskładnikowy, czyli portfel w skład którego wchodzą jedynie dwa różne walory, np. akcje firmy i akcje firmy B. W praktyce najczęściej mamy do czynienia z portfelami wieloskładnikowymi portfel posiada tyle składników, ile rodzajów papierów w nim występuje. Należy podkreślić, że własności portfeli znacznie różnią się od własności tworzących je papierów wartościowych. W celu udzielenia odpowiedzi na postawione pytanie konieczne jest wprowadzenie dodatkowej miary statystycznej, a mianowicie kowariancji. Kowariancja mierzy współzależność dwóch zmiennych. est to miara statystyczna, która pozwala określić w jaki sposób stopy zwrotu z dwóch walorów są powiązane między sobą (współzależne). Kowariancję, w zależności od posiadanych informacji (danych), można wyliczyć za pomocą następujących wzorów: 1) kowariancja w populacji generalnej Cov gdzie: m ( r, r ) p r E( r ) B = i= 1 i [ ][ r E( r )], i p i - prawdopodobieństwo jednoczesnego uzyskania i-tej możliwej pary stóp zwrotu akcji i B ) kowariancja z próbki N B, i [( r r )( r r )], t t= 1 Covr, = rb N 1 Wzory na kowariancję są bardzo podobne do wzorów na wariancję, z tym, że zamiast kwadratu odchyleń jednej zmiennej mamy tu iloczyn odchyleń dwóch różnych zmiennych. Stąd bierze się nazwa kowariancji (wspólnej wariancji). Kowariancja jest wielkością nieograniczoną; może przyjmować wartości z przedziału od minus do plus nieskończoności. Istnieje jednak możliwość jej standaryzacji poprzez podzielenie kowariancji przez odchylenia standardowe stóp zwrotu z obu inwestycji. Otrzymujemy w ten sposób współczynnik korelacji: Cov( r, rb ) ρ, B = σ r σ r ( ) ( ) B Współczynnik korelacji stóp zwrotu akcji określa siłę i kierunek powiązania stóp zwrotu tych akcji. Współczynnik ten przyjmuje wartości z przedziału od -1 do +1. Im wyższa wartość bezwzględna współczynnika korelacji, tym większa zależność między badanymi akcjami. Współczynnik korelacji równy zeru oznacza, że zachowanie się akcji jednej firmy jest statystycznie niezależne od zachowania się akcji drugiej firmy. Z kolei znak współczynnika korelacji wskazuje na kierunek powiązania stóp zwrotu akcji. Dodatni współczynnik korelacji (korelacja dodatnia) oznacza, że wzrostowi (spadkowi) stopy zwrotu jednej akcji towarzyszy wzrost (spadek) stopy zwrotu drugiej akcji. Natomiast ujemny współczynnik korelacji (korelacja ujemna) oznacza, że wzrostowi (spadkowi) stopy zwrotu jednej akcji towarzyszy spadek (wzrost) stopy zwrotu drugiej akcji. B, t B B 9

10 Omówione miary statystyczne pozwalają przejść do następnego etapu analizy przeanalizowania relacji pomiędzy oczekiwaną stopą zwrotu a ryzykiem portfela składającego się z różnych aktywów obarczonych ryzykiem. Oczekiwaną stopę zwrotu portfela składającego się z wielu aktywów można obliczyć według następującego wzoru: E M ( rp ) = x j E( rj ) j= 1 gdzie: E ( r p ) - oczekiwana stopa zwrotu portfela, x - udział j-tej akcji w portfelu. j ak więc widać z powyższego wzoru oczekiwana stopa zwrotu portfela jest średnią ważoną oczekiwanych stóp zwrotu akcji wchodzących w skład tego portfela, przy czym wagami są udziały poszczególnych akcji w portfelu. Udziały te oblicza się jako stosunek wartości poszczególnych akcji będących składnikami portfela do wartości całego portfela. Przykład Inwestor posiada 100 akcji firmy i 100 akcji firmy B. ktualna cena akcji wynosi 5 zł, natomiast akcji B 10 zł. Wartość portfela równa się: akcje : zł = 500 zł akcje B: zł = 1000 zł portfel 1500 zł Udziały poszczególnych akcji w portfelu wynoszą odpowiednio: x =1/3 oraz x B =/3. Suma wag wszystkich walorów wchodzących w skład portfela zawsze równa jest 1 (lub 100%). Z kolei wagi poszczególnych walorów w portfelu mogą być dodatnie lub ujemne. Dodatnia waga występuje wtedy, gdy inwestor kupuje dany walor, czyli zajmuje tzw. długą pozycję na rynku. W przypadku pozycji krótkiej, nazywanej także krótką sprzedażą, waga jest ujemna. Krótka sprzedaż jest to sprzedaż akcji pożyczonych od osoby trzeciej najczęściej od biura maklerskiego. Krótkiej sprzedaży inwestor dokonuje w sytuacji, gdy przewiduje spadek cen walorów i tym samym możliwość ich odkupienia w przyszłości po niższej cenie. Po upływie ustalonego okresu czasu kupuje akcje i oddaje je właścicielowi. Przykład Inwestor posiada własne 1000 zł i dodatkowo dokonuje krótkiej sprzedaży akcji firmy B za 500 zł. Uzyskane pieniądze wraz z własnymi (łącznie 1500 zł) przeznacza na zakup akcji firmy. Wagi (udziały) poszczególnych akcji w portfelu wynoszą: x = 1,5 oraz x B = -0,5. Obliczenie ryzyka portfela jest zdecydowanie trudniejsze niż oczekiwanej stopy zwrotu. Chodzi o to, że na ryzyko portfela obejmującego na przykład akcje dwóch firm poza ryzykiem poszczególnych walorów tworzących portfel - może także oddziaływać wzajemna zależność pomiędzy wahaniami stóp zwrotu tych akcji, czyli kowariancja stóp zwrotu. W odniesieniu do ryzyka portfela jest to bardzo istotny czynnik. Uwzględnienie kowariancji powoduje, że ryzyko pojedynczego papieru wartościowego oraz ryzyko tego samego papieru wartościowego będącego składnikiem portfela to dwie różne wielkości. Dlatego redukcja ryzyka portfela może być osiągnięta tylko wtedy, gdy weźmiemy pod uwagę kowariancję. Do obliczenia ryzyka portfela konieczna jest znajomość tzw. macierzy kowariancji. Macierz ta zawiera wartości kowariancji dla wszystkich par stóp zwrotu papierów wchodzących w skład portfela. Na przykład macierz kowariancji dla dwóch akcji i B wygląda następująco: kcja B B Cov(r,r) Cov(r,rB) Cov(rB,r) Cov(rB,rB) 10

11 Na głównej przekątnej macierzy kowariancji leżą kowariancje stopy zwrotu z akcji z samą sobą. Kowariancja stopy zwrotu danej akcji z nią samą równa jest wariancji stopy zwrotu tej akcji, ponieważ: Cov = m i= 1 m = i= 1 ( r, r ) p r E( r ) p i i [ ][ r E( r )], i [ r E( r )] = ( r ), i σ Do obliczenia wariancji portfela niezbędna jest także znajomość udziałów poszczególnych akcji w portfelu. Macierz pozwalającą obliczyć wariancję portfela składającego się z akcji dwóch spółek można zapisać następująco: kcja x xb x σ ( r ) B xb B Cov(rB,r) Cov(r,rB) W przypadku portfela dwuskładnikowego, jeżeli udział akcji w portfelu wynosi x, to udział akcji B równy jest x B =1 x. W jaki sposób oblicza się wariancję portfela? Mnożąc każdy z elementów macierzy przez iloczyn udziałów akcji, dla których dana kowariancja jest obliczana oraz dodając do siebie uzyskane rezultaty otrzymujemy wzór na wariancję portfela składającego się z dwóch akcji: σ σ ( ) r B, i ( r ) = x σ ( r ) + ( 1 x ) σ ( r ) p ( 1 x ) Cov( r, r ) + x B Ponieważ kowariancję między dwiema zmiennymi możemy także zapisać według następującego wzoru: Cov ( r, r ) = σ ( r ) σ ( r ) B ρ, B zatem wariancja portfela dwuskładnikowego wynosi: σ r = x σ r + 1 x + x ( ) ( ) ( ) σ ( r ) p ( 1 x ) ρ σ( r ) σ( r ), B Wzór ten możemy uogólnić na dowolną liczbę akcji: σ M M M ( rp ) = xσ + = 1 = 1 I = 1 B x x σ I I Ponieważ ze względów praktycznych wygodniej jest posługiwać się odchyleniem standardowym, które jest pierwiastkiem kwadratowym z wariancji, dlatego powyższe wyrażenia, w których występuje wariancja, możemy zastąpić odchyleniem standardowym (pierwiastkiem kwadratowym z wariancji). Wielkość odchylenia standardowego portfela składającego się z dwóch lub więcej aktywów jest uzależniona od poziomu współczynnika korelacji pomiędzy zmianami oczekiwanych stóp zwrotu poszczególnych par akcji. Ponieważ współczynnik ten może przyjmować wartości z przedziału 1,+1, dlatego też rozważymy trzy hipotetyczne sytuacje, gdy współczynnik korelacji kształtuje się odpowiednio na poziomie +1, 0 i 1. nalizujemy przy tym najprostszy portfel, czyli portfel dwuskładnikowy (składający się z akcji firmy i akcji firmy B). 1) Dla współczynnika korelacji równego 1, wyrażenie na odchylenie standardowe portfela składającego się z dwóch akcji uprości się do następującej postaci: σ ( r ) = x σ ( r ) + ( 1 x ) σ ( r ) p B ) Gdy współczynnik korelacji wynosi zero, to wyrażenie na odchylenie standardowe pakietu składającego się z dwóch akcji będzie miało następującą postać: B σ I ρ I B B 11

12 σ 1 [ ] ( r ) = x σ ( r ) + ( x ) σ ( r ) p 1 B 3) Gdy współczynnik korelacji równy jest 1, to wyrażenie na odchylenie standardowe portfela składającego się z dwóch akcji uprości się do następującej postaci: σ r = x σ r 1 x σ r ( ) ( ) ( ) ( ) p B Należy zaznaczyć, że odchylenie standardowe jako pierwiastek kwadratowy z wariancji jest zawsze liczbą dodatnią. Dlatego ściśle biorąc odchylenie standardowe portfela równe jest wartości bezwzględnej wyrażenia po prawej stronie równania (dotyczy to także przypadku 1). Charakterystyka portfela wynika z parametrów poszczególnych papierów wartościowych wchodzących w jego skład oraz ich udziałów (wag) w portfelu. Inwestorzy mogą zmieniać udziały składników w swoich portfelach. Powstaje w związku z tym pytanie, co takie zmiany powodują. Kształtowanie się oczekiwanej stopy zwrotu i ryzyka portfela dwuskładnikowego pod wpływem zmian udziałów (wag) poszczególnych walorów w tym portfelu przedstawimy na przykładzie liczbowym. Przykład kcje dwóch firm i B charakteryzują się następującymi oczekiwanymi stopami zwrotu i odchyleniem standardowym: E ( r ) =0,15; E ( r B ) =0,075; σ ( r ) =0,5; σ ( r B ) =0,15 1) doskonała korelacja dodatnia: ρ=1 E ( r p ) = x E ( r ) + ( 1 ) E( ) ( ) r p x r B σ = x σ ( r ) + ( 1 x ) σ ( rb ) E σ ( r p ) ( r ) x p 0,5 0, ,15 0,5 0,75 0,131 0,18 0,5 0,11 0,187 0,333 0,099 0,166 0,5 0,093 0, ,075 0,15 ) brak korelacji: ρ=0: E ( r p ) = x E ( r ) + ( 1 x ) E( r B ) ( ) r p [ ] 1/ σ = x σ ( r ) + ( x ) σ ( r ) 1 B ( r ) x p E σ ( ) 0,5 0, ,15 0,5 0,75 0,131 0,190 0,5 0,11 0,139 0,333 0,099 0,117 0,5 0,093 0,11 0 0,075 0,15 3) doskonała korelacja ujemna: ρ= -1 ( ) E r p = x E ( r ) + ( 1 x ) E( r B ) σ = x σ ( r ) ( 1 x ) σ ( r ) ( ) r p B x E ( r p ) σ ( r p ) 0,5 0,65 r p 1

13 1 0,15 0,5 0,75 0,131 0,156 0,5 0,11 0,06 0,333 0, ,5 0,093 0, ,075 0,15 Wnioski: 1) Podstawowe znaczenie dla poziomu ryzyka portfela (mierzonego odchyleniem standardowym oczekiwanej stopy zwrotu) ma wartość współczynnika korelacji pomiędzy zmianami oczekiwanych stóp zwrotu akcji wchodzących w skład tego portfela. ) Pomijając możliwość krótkiej sprzedaży, należy stwierdzić że: w przypadku doskonałej korelacji dodatniej (ρ=1) żadna kombinacja udziałów akcji i B nie przyczynia się do ograniczenia poziomu ryzyka portfela (poniżej ryzyka wchodzących w jego skład akcji); jeżeli akcje i B nie są ze sobą skorelowane (ρ=0) to można skonstruować portfel, którego ryzyko jest mniejsze od ryzyka wchodzących w jego skład akcji; w przypadku doskonałej korelacji ujemnej (ρ=-1) istnieje możliwość skonstruowania z akcji i B (czyli papierów wartościowych obciążonych ryzykiem) takiego portfela, dla którego odchylenie standardowe równe jest zero; tzn. za pomocą dywersyfikacji można całkowicie wyeliminować ryzyko portfela. Zjawisko obniżania się ryzyka w wyniku tworzenia portfela inwestycji nazywamy efektem portfelowym ryzyka. W praktyce istnieje możliwość utworzenia nieskończonej ilości portfeli charakteryzujących się określoną oczekiwaną stopą zwrotu i określonym ryzykiem (odchyleniem standardowym). Zbiór wszystkich portfeli, jakie można utworzyć w oparciu o istniejącą populację akcji, nazywany jest zbiorem możliwości inwestycyjnych. Zbiór ten można przedstawić graficznie w układzie współrzędnych [E(r),σ], gdzie tworzy charakterystyczną figurę. Cała powierzchnia figury, wraz z linią ją ograniczającą, wyznacza możliwe do utworzenia portfele. Sama krzywa ograniczająca figurę nazywana jest zbiorem minimalnego ryzyka, lub ze względu na kształt pociskiem Markowitza. Każdy punkt należący do zbioru minimalnego ryzyka reprezentuje portfel utworzony na podstawie wszystkich akcji należących do analizowanej populacji. Z kolei każdy portfel należący do zbioru minimalnego ryzyka charakteryzuje się 13

14 najniższym możliwym do osiągnięcia odchyleniem standardowym (lub wariancją) dla danego poziomu oczekiwanej stopy zwrotu. Punkty zaznaczone na wykresie dużymi literami oznaczają akcje różnych spółek dostępne na rynku kapitałowym, różniące się pod względem poziomu oczekiwanych stóp zwrotu oraz ryzyka (w rzeczywistości oczywiście akcji jest więcej niż na wykresie). eżeli akcje te połączymy w różne portfele, to otrzymamy szereg kombinacji różniących się zarówno pod względem poziomu oczekiwanej stopy zwrotu, jak i odchylenia standardowego (ryzyka). Portfele te zaznaczone są na wykresie małymi literami. Nie wszystkie portfele są jednakowo atrakcyjne dla inwestora. Bardziej efektywne są portfele leżące na krzywej ograniczającej (np. punkty b, c), niż znajdujące się wewnątrz figury (np. punkt e). Krzywą ograniczającą, czyli zbiór minimalnego ryzyka, można podzielić na dwie połowy: górną i dolną. Górna połowa pocisku Markowitza stanowi tak zwany zbiór efektywny lub granicę efektywną (nazywaną także granicą efektywności Markowitza). Portfele leżące na granicy efektywnej nazywamy portfelami efektywnymi. Na wykresie są to portfele znajdujące się na pogrubionej części krzywej (np. punkty a, b, c i d), przy czym portfel reprezentowany przez punkt a jest jednocześnie portfelem minimalnego ryzyka. Wszystkie portfele efektywne charakteryzują się tym, że dla danego poziomu ryzyka (odchylenia standardowego) posiadają najwyższą możliwą do osiągnięcia oczekiwaną stopę zwrotu. Inaczej: portfel efektywny to taki portfel, dla którego nie istnieje portfel o tym samym ryzyku i wyższej stopie zwrotu. Procedura wyznaczania (obliczania) zbioru minimalnego ryzyka i zbioru efektywnego została opracowana przez H. Markowitza stąd nazwa: model lub teoria Markowitza (klasyczna teoria portfela). Markowitz pokazał, w jaki sposób osiągnąć maksimum korzyści przy minimum ryzyka. W praktyce zbiór minimalnego ryzyka i zbiór efektywny wyznaczane są przy pomocy odpowiednich programów komputerowych (niezbyt rozbudowane problemy tego typu można rozwiązać w arkuszach kalkulacyjnych). Określenie zbioru portfeli efektywnych nie oznacza jeszcze wyboru portfela optymalnego dla danego inwestora. Wyboru portfela optymalnego dokonuje się z uwzględnieniem stosunku inwestorów do ryzyka. Poszczególne jednostki charakteryzują się różnymi skłonnościami do ponoszenia ryzyka. Indywidualne postawy wobec ryzyka można określić jako: 1) unikanie ryzyka (awersja), ) neutralność wobec ryzyka, 3) preferowanie ryzyka. W zdecydowanej większości ludzie wykazują niechęć do ponoszenia ryzyka, przy czym sama awersja do ryzyka jest zróżnicowana i uzależniona od cech osobistych. Na ogół ludzie przedkładają niższe ryzyko nad wyższe, czyli będą dążyli do ograniczenia ryzyka. Unikanie ryzyka nie oznacza jednak niechęci do uczestnictwa w grze rynkowej. ednakże podejmując ryzyko inwestorzy oczekują osiągnięcia odpowiednio wyższych dochodów. Innymi słowy inwestorzy żądają premii za ponoszenie ryzyka. Im wyższe jest ryzyko papieru wartościowego, tym wyższy oczekiwany dochód potrzebny do skłonienia inwestorów do jego kupna (lub utrzymywania). Przy wyborze portfela optymalnego wykorzystuje się koncepcję krzywych obojętności. Każdemu możliwemu portfelowi można przypisać jego użyteczność, z punktu widzenia wzajemnej relacji oczekiwanej stopy zwrotu oraz ryzyka. Krzywe obojętności są zbiorami tych wszystkich portfeli, których użyteczność dla danego inwestora jest taka sama (na wykresie linie przerywane). 14

15 Na wykresie mamy dwóch inwestorów (x i y) oraz po trzy krzywe obojętności w odniesieniu do każdego z nich. Kształt krzywych obojętności (stromość) zależy od stosunku inwestora do ryzyka. Bardziej strome krzywe charakteryzują inwestorów o większej niechęci do ponoszenia ryzyka (na wykresie inwestor x). Tacy inwestorzy godzą się na małe zwiększenie ryzyka w zamian za duży wzrost stopy zwrotu. Z kolei bardziej płaskie krzywe charakteryzują inwestorów o mniejszej awersji do ryzyka (na wykresie inwestor y). Decydują się oni na znaczny wzrost ryzyka dla osiągnięcia niewielkiego wzrostu stopy zwrotu. Portfele optymalne reprezentują punkty styczności granicy efektywnej z krzywymi obojętności. Są to jednocześnie portfele efektywne i cechujące się najwyższą użytecznością, ponieważ leżą na najwyżej położonej krzywej obojętności mającej punkt wspólny z granicą efektywną. Na wykresie portfel optymalny dla inwestora x znajduje się w punkcie b, natomiast dla inwestora y w punkcie c. WYKŁD 3 Metody wyboru portfela Wyznaczenie efektywnego portfela za pomocą procedury zaproponowanej przez H. Markowitza jest dokładne, niemniej bardzo pracochłonne. by zestawić według tej procedury portfel składający się z N akcji należy: a) oszacować N stóp zwrotu, b) oszacować N wariancji stóp zwrotu, c) obliczyć współczynniki korelacji pomiędzy każdą parą akcji wchodzących w skład portfela. Takich współczynników jest N(N-1)/. Na przykład dla portfela składającego się z 50 akcji trzeba obliczyć 15 współczynników korelacji, a dla portfela składającego się z 150 akcji Co prawda przy dzisiejszych środkach technicznych jest to możliwe, ale jednak nadal jest uciążliwe. Sposobem, który umożliwia znaczne uproszczenie tego zadania są tzw. modele wskaźnikowe. Podstawową cechą modeli wskaźnikowych są znacznie mniejsze w porównaniu z metodą Markowitza wymagania co do ilości informacji niezbędnych do ich zastosowania. W praktyce wyróżnia się modele jedno- i wielowskaźnikowe. Model jednowskaźnikowy 15

16 Model jednowskaźnikowy, będący uproszczoną wersją metody Markowitza, opracował William Sharpe (artykuł Simplified Model of Portfolio nalysis opublikowany w 1963 r.). Model ten, od nazwiska jego autora, nazywany jest również modelem Sharpe a (w 1990 r. Sharpe wraz z Markowitzem i Mertonem Millerem otrzymał nagrodę Nobla). Konstrukcja modelu jednowskaźnikowego opiera się na dwóch podstawowych założeniach: 1. stopy zwrotu poszczególnych akcji zależą od określonego wskaźnika, charakteryzującego cały rynek akcji; najczęściej do tego celu używa się szerokiego wskaźnika giełdowego, np. S&P 500 czy WIG (S&P Standard and Poor s 500 to jeden z podstawowych indeksów giełdy nowojorskiej uwzględniający ceny akcji 500 spółek). Oznacza to, że jedyną przyczyną zmienności poszczególnych akcji jest zmienność stopy zwrotu wskaźnika (portfela) rynkowego.. zmienność stóp zwrotu z poszczególnych akcji w kolejnych okresach zależy od dwóch rodzajów czynników: a) makroekonomicznych oddziałujących na całą gospodarkę (np. inflacja), b) mikroekonomicznych oddziałujących tylko na poszczególne firmy, a nie wpływających na pozostałe (np. strajk w danej firmie). Model jednowskaźnikowy zakłada, że inne zdarzenia (poza makro- i mikroekonomicznymi) nie istnieją na przykład takie, które powodowałyby zmiany cen akcji spółek należących do danej branży. Podstawowe równanie modelu jednowskaźnikowego określające stopę zwrotu akcji (lub portfela) można zapisać następująco: r + β + ε t = r M, t t gdzie: rt stopa zwrotu z akcji lub portfela w okresie t, wyraz wolny równania regresji, β współczynnik kierunkowy równania regresji, r M, t stopa zwrotu z portfela rynkowego, ε t składnik resztowy (losowy) równania regresji. Ponieważ model jednowskaźnikowy wychodzi z założenia, że jedynym czynnikiem wpływającym na wartości elementów macierzy kowariancji są zmiany wskaźnika rynkowego, to kowariancję między stopami zwrotu dwóch akcji można wyrazić za pomocą następującego wzoru: Cov( r, rk ) = β β Kσ ( rm ) gdzie: β, β K - współczynniki beta rozpatrywanych akcji, określające stopień reakcji tych akcji na zmiany zachodzące na rynku, σ (r M ) wariancja stopy zwrotu z portfela rynkowego. eżeli chodzi o ryzyko to na podstawie modelu jednowskaźnikowego wariancję stopy zwrotu akcji lub portfela możemy wyznaczyć w następujący (uproszczony) sposób: σ ( r ) = β σ ( r M ) + σ ( ε ) Po prawej stronie równania występują dwa składniki: pierwszy składnik nazywany jest ryzykiem systematycznym - jest to część ryzyka danego papieru wartościowego związana z sytuacją na rynku, której nie można wyeliminować poprzez dywersyfikację portfela; drugi składnik to wariancja resztowa, reprezentująca ryzyko niesystematyczne (specyficzne) tę część ryzyka związanego tylko z danym walorem można zupełnie wyeliminować poprzez odpowiednią dywersyfikację portfela. Należy zaznaczyć, że podział ryzyka całkowitego akcji (wariancji) na ryzyko systematyczne i specyficzne nie występował w modelu Markowitza. 16

17 Powyższe równanie na obliczenie wariancji ma zastosowanie zarówno do pojedynczych akcji, jak i do portfeli składających się z wielu akcji. W odniesieniu do portfela przyjmuje ono następującą postać: σ ε ( ) σ = σ ( ) r p β + ( ) p r M p Powstaje pytanie, jak można obliczyć współczynnik beta i wariancję resztową portfela, niezbędne do wyznaczenia całkowitej wariancji portfela. Współczynnik beta portfela jest średnią ważoną współczynników beta akcji wchodzących w skład tego portfela: β = M p x = 1 β ak natomiast można wyznaczyć wariancję resztową portfela. Można by to uczynić za pomocą procedury stosowanej w modelu Markowitza do obliczenia wariancji stopy zwrotu z portfela (wykorzystując tym razem macierz kowariancji składników resztowych). ednakże w takim przypadku natknęlibyśmy się na trudności omawiane wcześniej. Zgodnie z podstawowym założeniem modelu jednowskaźnikowego czynniki mikroekonomiczne wywierają wpływ jedynie na te firmy, których dotyczą, a nie wpływają na pozostałe. Oznacza to, że w modelu tym składniki resztowe nie są ze sobą skorelowane, czyli kowariancje pomiędzy składnikami resztowymi każdej pary akcji są równe zeru. W takim przypadku wszystkie elementy nie leżące na głównej przekątnej macierzy kowariancji równe są zeru. zatem do obliczenia wartości wariancji resztowej portfela konieczne jest jedynie przemnożenie elementów leżących na głównej przekątnej macierzy kowariancji (elementami tymi są wariancje resztowe poszczególnych akcji) przez wagi akcji, których dany element macierzy dotyczy. Ponieważ elementy leżące na głównej przekątnej macierzy kowariancji dotyczą tylko jednej akcji a nie ich pary, to wariancję resztową portfela możemy obliczyć za pomocą następującego wzoru: σ M ( ε p ) = x σ ( ε ) = 1 Wariancja resztowa portfela jest swego rodzaju średnią ważoną wariancji resztowych poszczególnych akcji wchodzących w skład tego portfela, przy czym wagami są kwadraty udziału poszczególnych akcji w portfelu. eżeli, zgodnie z założeniami modelu jednowskaźnikowego, wariancje resztowe poszczególnych akcji nie są ze sobą skorelowane, to wraz ze wzrostem liczby akcji w portfelu wariancja resztowa portfela będzie zmierzać do zera. Przykład Załóżmy, że mamy do czynienia z określoną populacją akcji, z których każda ma wariancję resztową równą 10%. eżeli zbudujemy portfel składający się z dwóch akcji, z których każda będzie miała 50% udział w portfelu, to wariancję resztową tego portfela możemy obliczyć za pomocą przedstawionego powyżej wzoru: σ ( ε ) = ( 0,50 0,10) + ( 0,50 0,10) = 0, 05 p eżeli liczbę akcji zwiększylibyśmy do czterech, z których każda miałaby 5% udział w portfelu, to wariancja resztowa portfela wynosiłaby wówczas: σ ε = 0,5 0,10 + 0,5 0,10 + 0,5 0,10 + ( p ) ( ) ( ) ( ) ( 0,5 0,10 ) = 0, 05 ak więc widać wariancja resztowa portfela maleje wraz ze wzrostem liczby akcji w portfelu. Gdyby skonstruować portfel składający się z 10 akcji, z których każda miałaby 10% udział w portfelu, to wariacja resztowa takiego portfela wynosiłaby 0,01. Dla 100 akcji wariancja resztowa wynosiłaby 0,001. Ostatecznie, po podstawieniu odpowiednich wyrażeń, wzór na wariancję (ryzyko) portfela w modelu jednowskaźnikowym możemy zapisać następująco: 17

18 M M ( rp ) = x β σ ( rm ) + xσ ( ε ) σ Pierwszy element prawej strony równania odzwierciedla = 1 = 1 ryzyko systematyczne portfela, natomiast drugi - ryzyko niesystematyczne (wariancję resztową) portfela. ak więc wynika z powyższych rozważań, stosując model jednowskaźnikowy, osiągnęliśmy zakładany cel, tzn. zmniejszenie liczby obliczeń niezbędnych do wyznaczenia wariancji portfela. Na przykład dla portfela składającego się ze 150 akcji przy zastosowaniu procedury Markowitza zachodziła konieczność obliczenia samych tylko współczynników korelacji. W modelu wskaźnikowym liczba niezbędnych obliczeń jest istotnie zredukowana. Dla wyznaczenia wariancji portfela konieczne jest obliczenie 150 współczynników beta dla poszczególnych akcji, 150 wariancji resztowych oraz jednej wariancji portfela rynkowego. Uproszczenie obliczeń ma jednak swoją cenę, którą jest dokładność. Procedura Markowitza, jeżeli kowariancje pomiędzy poszczególnymi parami akcji zostały dobrze obliczone, jest absolutnie dokładna. Tego nie można powiedzieć o modelu jednowskaźnikowym. Dokładność obliczeń jest uzależniona od tego, w jakim zakresie spełnione jest założenie dotyczące braku korelacji składników resztowych. W praktyce stopy zwrotu poszczególnych akcji kształtują się pod wpływem takich samych czynników, w związku z czym składniki resztowe są ze sobą skorelowane. Model wskaźnikowy opiera się na założeniu, że w przypadku dużej ilości akcji wchodzących w skład portfela korelacja pomiędzy składnikami resztowymi jest minimalna. Przykład Dekompozycja stóp zwrotu w modelu jednowskaźnikowym. Złożenia: 1. Stopy zwrotu z akcji i portfela rynkowego kształtują się jak w tabeli niżej,. Współczynnik beta akcji wynosi 1,5. Okres r r M r = + β rm + ε = = = = = Oczekiwaną (średnią) stopę zwrotu wykorzystując model jednowskaźnikowy - można obliczyć następująco: r = + β r M = 10/5 = r M = 0/5 = 4 r = + 1,5 4 = 8 Na podstawie danych z tabeli średnia stopa zwrotu również wynosi 8 (40/5=8). Z kolei wariancja stopy zwrotu równa jest: σ ( r ) = β σ ( r M ) + σ ( ε ) Przyjmując, że prawdopodobieństwo wystąpienia poszczególnych stóp zwrotu jest jednakowe, obliczamy wariancję dzieląc przez N (a nie N 1), czyli przez 5. σ = ( r M ) [ ( ) ( ) ( 8 4) + ( 6 4) + ( 0 4) ] / 5 = 8 18

19 σ ( ε ) = [ ( 0) + ( 0) + ( 1 0) + ( 0) + ( 1 0) ] / 5 =, 8 σ ( ) = 1,5 8 +,8 0, 8 r = Szacowanie współczynników beta i W przedstawionym wyżej przykładzie liczbowym jeden z parametrów, a mianowicie współczynnik β, wzięty był z zewnątrz. Można natomiast postawić pytanie, jak obliczyć współczynniki beta dla poszczególnych akcji. est to problem bardzo istotny, ponieważ przy stosowaniu modelu jednowskaźnikowego konieczne jest oszacowanie wielkości współczynnika beta dla każdej akcji, będącej potencjalnym składnikiem portfela. Najczęściej stosowaną metodą jest obliczanie współczynników beta na podstawie danych z przeszłości. Przyjmuje się w tym przypadku założenie, że współczynniki beta są stabilne w czasie. Obliczenia współczynników beta w oparciu o dane z przeszłości można dokonać za pomocą metody regresji. Procedura ta polega na naniesieniu na wykres stóp zwrotu z określonej akcji względem stóp zwrotu z portfela rynkowego w kolejnych okresach. Każdy punkt na wykresie reprezentuje stopę zwrotu z danej akcji r i rynkową stopę zwrotu r M w tym samym okresie. Dalszym krokiem jest przeprowadzenie linii prostej tak, aby zminimalizować sumę kwadratów pionowych odchyleń od tej linii. Współczynnik kierunkowy tej prostej (tangens kąta nachylenia w stosunku do osi odciętych) jest najlepszym oszacowaniem współczynnika beta w okresie, dla którego ją wyznaczono, zaś punkt przecięcia z osią rzędnych jest najlepszym oszacowaniem współczynnika. W celu oszacowania współczynnika beta danej spółki w oparciu o dane z przeszłości można posłużyć się następującym wzorem: N 1 [( r, t r )( rm, t rm )] σ, M N t = 1 β = = N σ 1 M ( rm, t rm ) N t = 1 gdzie: σ,m kowariancja pomiędzy stopą zwrotu akcji i rynku (jest to oznaczenie równoważne cov(r,r M )). Z kolei współczynniki można oszacować za pomocą następującego wzoru: = r β r M Wykorzystując dane z poprzedniego przykładu można obliczyć zarówno współczynnik β, jak i współczynnik (pomocnicze obliczenia zostały przedstawione w poniższym zestawieniu). Okres r r x rm rm = wartość 1 (10 8) x (4 4) = 0 (3 8) x ( 4) = 10 3 (15 8) x (8 4) = 8 4 (9 8) x (6 4) = 5 (3 8) x (0 4) = 0 Suma 60 Kowariancja pomiędzy stopą zwrotu akcji i rynkiem wynosi w tym przykładzie 60/5 = 1. Z kolei wariancja rynkowej stopy zwrotu to przeciętna wartość sumy kwadratów odchyleń od średniej, czyli suma ( rm rm ) dzielona przez 5, co w przykładzie oznacza 40/5 = 8. zatem: 19

20 σ, M 1 β = = = 1,5 σ M 8 natomiast: r β r = 8 1,5 4 = = M Modele wielowskaźnikowe Rozwinięciem modelu jednowskaźnikowego są modele wielowskaźnikowe. Ich główną ideą jest uwzględnianie więcej niż jednego czynnika do objaśniania stopy zwrotu akcji. Modele wielowskaźnikowe opierają się na założeniu, że korelacje stóp zwrotu poszczególnych akcji uzależnione są od jednoczesnego działania dwóch lub większej liczby czynników. Z reguły przyjmuje się, że jednym z tych czynników jest rynek. eżeli założymy, że ceny akcji reagują równocześnie na dwa czynniki (np. na zmiany ogólnej koniunktury rynku akcji oraz zmiany produkcji przemysłowej), to stopę zwrotu z akcji w okresie t można zapisać według następującego wzoru: = + β r + β g + r, t M, M, t g, t ε, t gdzie: β M, - rynkowa beta akcji (siła reakcji stopy zwrotu z akcji na zmiany stopy zwrotu z rynku), g t - stopa nieoczekiwanego wzrostu produkcji przemysłowej w okresie t, β g, - siła reakcji stopy zwrotu z akcji na nieoczekiwane zmiany produkcji przemysłowej (ceny akcji generalnie rzecz biorąc reagują na nieoczekiwane, tj. nie przewidziane przez rynek zdarzenia i nie uwzględnione wcześniej w cenach). eżeli dodatkowo założymy, że stopa zwrotu z rynku nie jest skorelowana ze stopą nieoczekiwanego wzrostu produkcji przemysłowej, to wtedy wariancję portfela będziemy mogli zapisać za pomocą następującego wzoru: σ = β ( r ) + ( g ) σ ε ( ) r p M, Pσ M β + ( ) g, Pσ P Z powyższego wzoru wynika, że ryzyko portfela jest sumą trzech składników: (1) ryzyka systematycznego rynku, () ryzyka systematycznego produkcji przemysłowej oraz (3) wariancji resztowej. Rynkowy współczynnik beta portfela (β M,P ) jest średnią ważoną rynkowych współczynników beta akcji wchodzących w skład portfela. Z kolei współczynnik beta portfela wyznaczony względem nieoczekiwanych zmian produkcji przemysłowej (β g,p ) jest średnią ważoną współczynników beta akcji wchodzących w skład portfela wyznaczonych względem nieoczekiwanych zmian produkcji przemysłowej. eżeli założymy, że składniki resztowe akcji wchodzących w skład portfela nie są ze sobą skorelowane, to wariancję resztową portfela można obliczyć według następującego wzoru: σ M ( ε ) = σ ( ε ) P x = 1 Wzór ten opiera się na założeniu, że model wielowskaźnikowy uwzględnia wszystkie czynniki wywołujące korelację stóp zwrotu z poszczególnych akcji. eżeli tak jest w rzeczywistości, to wariancje resztowe poszczególnych akcji nie będą ze sobą wzajemnie skorelowane. Gdyby jednak okazało się, że dla różnych par akcji ich składniki resztowe są ze sobą skorelowane, to oznaczałoby to, że w modelu nie uwzględniono wszystkich czynników wywołujących korelację stóp zwrotu z różnych akcji. Wtedy zachodziłaby konieczność uwzględnienia tych dodatkowych czynników w modelu, a zatem konieczność budowy modelu o trzech lub większej liczbie wskaźników. ak wykazują współczesne badania, aby uzyskać model, który w miarę dokładnie wyjaśniałby korelację pomiędzy stopami zwrotu poszczególnych akcji należy zbudować model przynajmniej cztero- lub pięciowskaźnikowy. 0