WSTĘP DO ANALIZY MATEMATYCZNEJ

Transkrypt

1 WSTĘP DO ANALIZY MATEMATYCZNEJ

2 Liliaa Jaicka WSTĘP DO ANALIZY MATEMATYCZNEJ Wydaie trzecie poprawioe GiS Oficya Wydawicza GiS Wrocław 2004

3 Projekt okładki IMPRESJA Studio Grafiki Reklamowej Copyright c 2002, 2003, 2004 by Liliaa Jaicka Utwór w całości ai we fragmetach ie może być powielay ai rozpowszechiay za pomocą urządzeń elektroiczych, mechaiczych, kopiujących, agrywających i iych. Poadto utwór ie może być umieszczay ai rozpowszechiay w postaci cyfrowej zarówo w iterecie, jak i w sieciach lokalych, bez pisemej zgody posiadacza praw autorskich. Prited i Polad. Składkomputerowywsystemie L A TEXwykoałaautorka ISBN X Wydaie III poprawioe, Wrocław 2004 Oficya Wydawicza GiS, s.c., tel.0-7) , gis@ kom-et.pl Druk: TINTA Sp. z o.o., tel.0-7) , tita@ tita.wroc.pl 4

4 Spis treści Wstęp 7 Zbiory liczbowe 9. Zbiór liczb aturalych orazzasadaidukcjimatematyczej Podzielość Zbiórliczbcałkowitychipojęciegrupy Zbiórliczbwymierychipojęcieciała Liczby wymiere, iewymiere i rzeczywiste. Iterpretacjageometrycza Kresy zbioru i twierdzeie o ciągłości zbioruliczbrzeczywistych Ćwiczeia Ciągi liczbowe 4 2. Ozaczeia,podstawowedefiicjeifakty Graicaciągu,podstawowewłasościgraicy Podstawowetwierdzeiaozbieżościciągów Pożyteczetwierdzeiaozbieżościciągów Podciągi,graicagóraidolaciągu WaruekCauchy ego Uwagiowyrażeiachieozaczoych Ćwiczeia Szeregi liczbowe Podstawowedefiicjeiprzykłady Zbieżośćszeregówowyrazachieujemych Szeregiowyrazachdowolych Ćwiczeia... 4 Ciągłość fukcji 4 4. Graicafukcjiwpukcie Asymptotywykresufukcji

5 SPIS TREŚCI SPIS TREŚCI 4.3 Ciągłośćfukcjiwpukcie Ciągłośćfukcjielemetarych Najważiejszewłasościfukcjiciągłych Jeszczejedozastosowaieciągłościfukcji Ćwiczeia Odpowiedzi do ćwiczeń 54 Skorowidz 56 6

6 Wstęp Niiejsze opracowaie dotyczy wybraych elemetarych zagadień aalizy matematyczej. Powstało oo w oparciu o moje wieloletie doświadczeie w pracy dydaktyczej z kadydatami a studia oraz ze studetami pierwszych lat kieruków matematyczych Politechiki i Uiwersytetu we Wrocławiu. Do przygotowaia tego opracowaia zachęciła mie moja córka Marysia. To dzięki jej staraym otatkom z mojego wykładu dla słuchaczy Studium Talet w Politechice Wrocławskiej, zawdzięcza oo swój obecy kształt. Do kogo adresoway jest te skrypt? Adresatami są słuchacze mojego wykładu a Studium Talet, ucziowie klas matematyczych oraz uczesticy kółek matematyczych. Skorzystają z iego zapewe także kadydaci a studia matematycze, jak rówież studeci pierwszych lat tego kieruku. Wyraz skrypt ujęłam w cudzysłów ieprzypadkowo, gdyż jest to raczej dosyć swobode opowiadaie o pewych zagadieiach aalizy matematyczej, iż uporządkoway podręczik akademicki, ale takie było moje zamierzeie. Książka podzieloa jest a cztery rozdziały. Każdy z ich jest zakończoy ćwiczeiami. Na końcu książki podae są odpowiedzi do wszystkich ćwiczeń. W rozdziale pierwszym omówioe są ajważiejsze własości zbiorów liczbowych pojawiających się w aalizie matematyczej, tz. zbiorów liczb: aturalych, całkowitych, wymierych, iewymierych i rzeczywistych. Rozdział drugi poświęcoy jest ciągom liczbowym, a dokładie pojęciu graicy ciągu jedemu z ajważiejszych pojęć aalizy matematyczej. Starałam się apisać go w taki sposób, by moża było udowodić każdy przytoczoy fakt, bazując jedyie a tym, co zostało wykazae wcześiej. Stąd taka kolejość przytaczaych twierdzeń. W rozdziale tym jest jeszcze kilka rzadziej omawiaych twierdzeń o zbieżości ciągów, takich jak p. twierdzeie o graicy ciągu średich arytmetyczych i geometryczych, czy lemat Stolza. Z kolei w rozdziale trzecim omówioe są szeregi liczbowe. Jestem przekoaa, że o szeregach, a więc o ciągach specjalej postaci, trzeba mówić bezpośredio po zreferowaiu materiału dotyczącego ciągów liczbowych. Nie ależy demoi- 7

7 8 zować pojęcia szeregu, zwłaszcza, że już w szkole średiej ucziowie spotykają szereg geometryczy. W ostatim rozdziale próbuję przybliżyć Czytelikowi pojęcie ciągłości fukcji. Zawartych jest w im wiele przykładów obliczaia graic fukcji w oparciu o defiicję Heiego. Graice odpowiedich ciągów liczbowych zostały wyzaczoe wcześiej. W tym rozdziale udowodioa jest też ciągłość fukcji elemetarych oraz omówioe są podstawowe własości fukcji ciągłych. Przygotowując to opracowaie korzystałam z podręczików: Rachuek różiczkowy i całkowy Kazimierza Kuratowskiego, Aaliza matematycza Heley i Juliaa Musielaków, Zbioru zadań z aalizy matematyczej Józefa Baasia i Staisława Wędrychowicza oraz z książki Aaliza matematycza Mariaa Gewerta i Zbigiewa Skoczylasa. Korzystałam także z kospektu wykładu Pai dr Agieszki Wojciechowskiej, przezaczoego dla studetów starszych lat matematyki auczycielskiej Uiwersytetu Wrocławskiego. Do obecego wydaia ksiązki dołączoo kilka owych przykładów oraz usuięto zauważoe błędy i usterki. Dziękuję mojej koleżace Pai dr Jolacie Długosz za cierpliwe i wikliwe czytaie kolejych wersji tekstu pierwszego wydaia. Dziękuję także Koleżakom i Kolegom z Istytutów Matematyki Politechiki i Uiwersytetu we Wrocławiu za przekazae uwagi i iformacje o błędach. Czytelików uprzejmie proszę o kierowaie wszelkich uwag o opracowaiu a mój adres elektroiczy. Liliaa Jaicka Istytut Matematyki Politechika Wrocławska liliaa.jaicka@pwr.wroc.pl

8 Zbiory liczbowe. Zbiór liczb aturalych oraz zasada idukcji matematyczej Jedym z ajważiejszych obiektów, jakimi zajmuje się aaliza matematycza, jest zbiór liczb aturalych, który w dalszym tekście ozaczamy literą N. Liczbami aturalymi, ich własościami i prawami rządzącymi w tym świecie, zajmuje się gałąź matematyki zwaa arytmetyką. Nam wystarczy wiedzieć, że zbiór liczb aturalych jest to ajmiejszy zbiór liczbowy zawierający 0 i wraz z każdą liczbą liczbęastępą+.wyikaztego,żezbiór Nmabardzoważąwłasość idukcji.miaowicie,jeżelizbióra Nzawieraliczbę0orazzzałożeia,że A wyika,że+) A,toA=N. Własość ta zaa jest główie jako metoda dowodzeia twierdzeń o liczbach aturalych i azywamy ją zasadą idukcji matematyczej. Wersję, w jakiej będziemy ją tutaj stosować, moża sformułować astępująco. Niech T) będzie zdaiem określającym daą własość liczby aturalejoraziech 0 będzieustaloąliczbąaturalą.jeżelispełioe są waruki: to i)zdaiet 0 )jestprawdziwe, ii) prawdziwajestimplikacjat)= T+), N, 0 N, 0 zdaiet)jestprawdziwe. Waruekii) stosujemy często w ieco zmodyfikowaej wersji. Miaowicie dowodzimy, że z prawdziwości twierdzeia dla wszystkich liczb miejszych od + wyikajegoprawdziwośćdlaliczby+. Pamiętajmywięc,żewaszychozaczeiachmamy N={0,,2,...}. 9

9 0 Zbiory liczbowe Idukcja służy ie tylko do dowodzeia, ale i do defiiowaia. Przypuśćmy, że chcemy w te sposób zdefiiować ciąg elemetów pewego zbioru A. Zdefiiujemy go wyraz po wyrazie, to zaczy że kolejy wyraz ciągu zdefiiujemy w zależości od wyrazu poprzediego. Musimy w tym celu mieć wyróżioy pewie elemet a A, od którego zacziemy budować asz ciąg, oraz sposób otrzymywaia astępego wyrazu z poprzediego. Jeżeli opisem tego sposobu jest fukcja f:a A,todefiicjamaastępującąpostać: i) a 0 =a, ii) a + =fa ). Taką defiicję azywamy idukcyją lub rekurecyją. Czasem fukcja f ma skomplikowaą postać, zależeć może od wielu zmieych, może też podawać wartośća + wzależościietylkooda,aleodwszystkichpoprzedichwyrazów, tj.a 0,a,...,a.Jedakżewybórelemetuaifukcjifgwaratujeistieiei jedozaczość ciągu spełiającego warukii),ii). W szkole zetkęliśmy się wiele razy z defiicjami tego typu. Dla przykładu ciąg arytmetyczy defiiujemy ajczęściej, podając wartość jego pierwszego wyrazuaorazróżicęr: i) a =a, ii) a + =a +r, atomiast ciąg geometryczy możemy całkowicie opisać, podając jego pierwszy wyrazaorazilorazq: i) a =a, ii) a + =a q. Czasemi tak jest w przypadku ciągu arytmetyczego i geometryczego) moża podaćrówieżdefiicjęjawą,tozaczy,podaćzależośćwpostacia =φ). Dlaciąguarytmetyczegootrzymujemywówczasa =a+ )r,adlaciągu geometryczegomamya =aq.łatwotosprawdzićprzezidukcję,którajest aturalym sposobem dowodzeia własości ciągów rekurecyjych. Podamy teraz przykłady zastosowaia zasady idukcji matematyczej. Fakt..ierówośćBeroulliego 2 )Niechx będziedowolieustaloą liczbą rzeczywistą. Wówczas dla każdej liczby aturalej zachodzi ierówość +x) +x. Dowód.i)Dla=ierówośćwtymprzypadku rówość)zachodzi. ii)niech będziedowolieustaloąliczbąaturalą.załóżmy,żeierówość +x) +x 2 JakobBeroulli ),jedezczłokówliczejrodziymatematykówszwajcarskich.

10 Zbiór liczb aturalych oraz zasada idukcji matematyczej jest prawdziwa. Wówczas +x) + =+x) +x) +x)+x) =+x+x+x 2 ++)x. Na mocy zasady idukcji matematyczej ierówość jest prawdziwa dla każdej liczbyaturalejidowolejliczbyrzeczywistejx. Czytelikom propoujemy, jako pożytecze ćwiczeie, udowodieie ogóliejszej,tzw.ierówościweierstrassa 3 +x ) +x 2 )... +x ) +x +x x, prawdziwejdladowolychx k,x k 0,x k tegosamegozaku. Przykład.. Niech x będzie dowolie ustaloą liczbą rzeczywistą taką, że 0 x.wówczasdladowolejliczbyaturalejzachodziierówość +x) +2 x. Dowód.i)Dla=zachodzirówość. ii)niech będziedowolieustaloąliczbąaturaląizałóżmy,żeierówość+x) +2 xjestprawdziwa.wówczas,dziękiierówościx 2 x prawdziwejdla0 x ),mamy +x) + =+x) +x) +2 x)+x)=+x+2 x+2 x 2 +x+2 x+2 x=+x+2 2x=++2 )x )x=++)2 x. Zatem, a mocy zasady idukcji matematyczej, ierówość jest prawdziwa dla każdejliczbyaturalejidowolejliczbyrzeczywistej0 x. Jedym z ajstarszych zaych przykładów ciągu rekurecyjego jest ciąg Fiboacciego 4 zdefiiowayzależościami: a =, a 2 =, a =a +a 2, dla=3,4,... Przykład..2 Pokazać, że wyrazy ciągu Fiboacciego moża przedstawić w postaci a = + 5) 5) KarlFriedrichWeierstrass85 897),matematykiemiecki,twórcapodstawaalizy matematyczej. 4 LeoardozPizyzwayFiboaccimok.75 po240),matematykwłoski,wprowadził do Europy cyfry arabskie.

11 2 Zbiory liczbowe Rozwiązaie.Wtymprzykładzie,trochęietypowo,musimysprawdzić pierwszywaruekzasadyidukcjimatematyczejdla=i=2. i)dla=mamyrówość + 5 ) 5 ) 2 5 ==a, adla=2otrzymamy ) 2 ) = ==a 2, czyli pierwszy waruek zasady idukcji matematyczej jest spełioy. ii)niech>2będziedowolieustaloąliczbąaturaląizałóżmy,że ) 2 ) 2 ) ) a 2 = oraza = Wówczas, zgodie z defiicją rekurecyją otrzymujemy kolejo: 2 5 a =a +a 2 = + 5) 2 5) ) 5 ) = 2+ 5) 2 2 5) ) 5 ) 2 5 ) 2 ) ) 2 ) = = = 2 5 ) 2 ) 2 ) 2 ) ) ) Zi) orazii), a mocy zasady idukcji matematyczej, wyika, że dowodzoy wzór jest prawdziwy dla każdej liczby aturalej. Zauważmy jeszcze, że z defiicji ciągu Fiboacciego i udowodioego wyżej wzoru określającego jego -ty wyraz wyika, iż dla każdej liczby aturalej liczba + 5 ) 5 ) 2 5 jest aturala, co bez odwołaia się do powyższej argumetacji ie jest takie oczywiste. Kolejy fakt, raczej czysto techiczej atury, posłuży am do udowodieia bardzo często wykorzystywaej zależości między średią arytmetyczą a średią geometryczą...

12 Zbiór liczb aturalych oraz zasada idukcji matematyczej 3 Fakt..2 Dla każdej liczby aturalej oraz dowolych dodatich liczb rzeczywistycha,a 2,...,a takich,żea a 2... a =zachodziierówość a +a a. Dowód.i)Dla=zachodzirówość,adla=2idwuliczba >0,a 2 >0 takich,żea a 2 =mamyrówości a +a 2 =a + a = a2 + a iierówośća +a 2 2jestrówoważaierówościa ) 2 0,prawdziwej dladowolejliczbya. ii)niech 2będziedowolieustaloąliczbąaturaląizałóżmy,żetezajest prawdziwadla.weźmyterazdowole+liczb:b >0,...,b >0,b + >0 takich,żeb b 2... b b + =.Jeżelib i =dlawszystkichi=,2,...,+, totezajestprawdziwamamypoprosturówość).jeżeliiewszystkieliczbyb i sąrówe,toprzyajmiejjedazichmusibyćmiejszaiżiprzyajmiej jeda większa iż. Nie zmiejszając ogólości rozumowaia możemy przyjąć, żeb <,b + >orazskorzystaćzzałożeiaidukcyjegodla a =b,...,a =b, a =b b +. Mamy stąd Zatem b +b b b +. b +b b +b + =b +b b b + b b + +b +b + Wystarczy więc pokazać, że b b + +b +b +. b b + +b +b + +, czyliżeb b b + b +. Ostatia ierówość jest jedak rówoważa ierówości b ) b + ) 0, prawdziwejprzyprzyjętympowyżejzałożeiuob ib +.Namocyzasadyidukcji matematyczej ierówość a +a a jestprawdziwadlakażdejliczbyaturalejidlawszystkichliczba >0,a 2 > 0,...,a >0takich,żea a 2... a =. Dladowolychliczbieujemycha,a 2,...,a defiiujemyśrediągeometrycząg iśrediąarytmetycząa kładąc: G = a a 2... a oraz A = a +a a.

13 4 Zbiory liczbowe Fakt..3Dladowolychliczbieujemych a,a 2,...,a zachodziierówość a a 2... a a +a a. Dowód.Jeżelia i =0dlajakiegośitakiego,że i,toierówośćjest oczywista,bowówczasg =0. Jeżeliwszystkiea i sądodatie,torozważmyliczby b i = a i a a 2... a >0dlai=,2,...,. Spełiają oe założeia poprzediego faktu, gdyż b b 2... b = a a a 2... a a 2 a a 2... a... a a a 2... a =. Zatemb +b b.stądotrzymamyierówość rówoważą ierówości a +a a a a 2... a, a +a a a a 2... a, którą ależało udowodić. Fakt..4Każdyzbiór elemetowyma2 podzbiorów. Dowód.i)Dla=0mamyzbiórpusty,któregojedyympodzbioremjest zbiórpustyi2 0 =,czylitezajestprawdziwadla=0. ii)niech będziedowolieustaloąliczbąaturalą.załóżmy,żedowoly zbiór elemetowyma2 podzbiorówiiecha={a,a 2,...,a + }będziejakimkolwiek zbiorem + ) elemetowym. Podzielmy wszystkie jego podzbiory a dwie klasy. Do pierwszej z ich zaliczmy wszystkie podzbiory zawierające ustaloyelemetp.a ),adodrugiej wszystkiepodzbioryiezawierające tego elemetu. Elemety drugiej klasy są podzbiorami elemetowego zbioru {a 2,...,a + },więcjestichamocyzałożeiaidukcyjego)2.zauważmyteż, że istieje wzajemie jedozacza odpowiediość między podzbiorami ależącymi do pierwszej klasy, a podzbiorami ależącymi do drugiej klasy. Wystarczy bowiemdodowolegopodzbioruależącegododrugiejklasydorzucićelemeta otrzymując podzbiór ależący do pierwszej klasy, przy czym z różych podzbiorów ależących do drugiej klasy otrzymujemy róże podzbiory ależące do pierwszej klasy i każdy podzbiór pierwszej klasy moża w te sposób otrzymać z pewego podzbioru ależącego do drugiej klasy. Zatem wszystkich podzbiorów dowolego zbioru+) elemetowegojest2 2 =2 +,coależałowykazać.

14 Zbiór liczb aturalych oraz zasada idukcji matematyczej 5 Zgodie z zasadą idukcji matematyczej wykazaliśmy, że dla dowolej liczby aturalejzbiór,którymaelemetów,posiada2 podzbiorów. Zajmiemy się teraz udowodieiem często wykorzystywaego wzoru a potęgę dwumiau. Dla N defiiujemy: ) 0!=,+)!=!+) symbol sili),! 2) = dlak N,k, symbol Newtoa). k) k! k)! W dalszym ciągu będziemy korzystać z rówości podaych w astępującym fakcie. Fakt..5Dladowolejliczbyaturalejorazdlak=,2,...,prawdziwesą rówości: ) + ) =, =, + =. 0) ) k) k k Dowód.Oczywiście: Poadto ) + = k) k 0) =! ) 0!! =, =!!0! =.! k! k)! +! k )! k ))! =! k ))+!k k! k ))! + =!+) k!+ k)! = +)! k!+ k)! = I zowu wykorzystamy zasadę idukcji matematyczej do dowodu kilku ważych faktów o wielorakich zastosowaiach. Fakt..6Dladowolejliczbyaturalejorazdlak=0,,...,liczba k) jest aturala. Dowód.i)Dla=0możemywziąćjedyiek=0,ajużwiemyzpoprzediego ) 0 faktu, że =. 0 ii) Niech będzie dowolie ustaloą liczbą aturalą. Załóżmy, że dla wszystkich ktakich,że0 k,liczba jest aturala. Należy pokazać, że dla wszystkichk=0,,...,+liczba jestaturala.dlak=0orazk=+ k) ) + k w Fakcie?? sprawdziliśmy, że ) ) + + =, =, 0 + k ).

15 6 Zbiory liczbowe adla0<k<+wykorzystujemytrzeciąrówośćzawartąrówieżwfakcie?? ) + ) = +. k k) k Na mocy założeia idukcyjego oba składiki sumy po prawej stroie tej rówości są liczbami aturalymi. Lewa stroa jest więc także liczbą aturalą, co a mocy zasady idukcji kończy dowód faktu. Możemy już przystąpić do dowodu wspomiaego wyżej wzoru a tą potęgę dwumiau. Fakt..7wzórdwumiaowyNewtoa 5 ) Dla dowolych liczb rzeczywistych a, b i dowolej liczby aturalej zachodzi astępujący wzór a tą potęgę dwumiau a+b) = a 0) b 0 + a ) b ) a b + a ) 0 b. Dowód.i)Dla=0wzórjestprawdziwy,gdyż ) 0 L=a+b) 0 =, orazp= a 0 b 0 =. 0 ii)niech będziedowolieustaloąliczbąaturalą.załóżmy,zgodie z zasadą idukcji matematyczej, że dowodzoa rówość jest prawdziwa dla wykładika > 0. Wykorzystując to założeie pokażemy, że jest oa prawdziwa dla wykładikarówego+.mamyzatem a+b) + =a+b) a+b) ) =a a b 0 + a 0 ) b ) +b a b 0 + a 0 ) b = a 0) + b 0 + a ) b a 0) b + a ) b = a 0) + b a ) 0)) b +... ) + + a ) b + a ) 0 b +. ) ) a b + )a 0 b ) ) a b + )a 0 b ) a 2 b + a ) b ) a b + a ) 0 b + 5 SirIsaacNewto ),agielskifizyk,astroomimatematykwspółodkrywca obok matematyka iemieckiego Gottfrieda Wilhelma Leibiza) rachuku różiczkowego i całkowego.

16 Zbiór liczb aturalych oraz zasada idukcji matematyczej 7 Wykorzystując teraz dwukrotiedla i + ) dwie pierwsze tożsamości oraz krotie trzecią tożsamość z Faktu??, otrzymujemy ostateczie rówość ) ) ) ) a+b) + = a + b 0 + a b a b + a 0 b Na mocy zasady idukcji matematyczej wzór dwumiaowy Newtoa jest prawdziwy dla każdej liczby aturalej. Współczyiki występujące w tym wzorze moża łatwo wyliczyć posługując siętzw.trójkątempascala 6,któryłatwobudujesięwoparciuopierwszywzór zfaktu??: Rys.... Trójkąt Pascala. Liczby tego wiersza trójkąta Pascala są kolejymi współczyikami rozwiięciadwumiaua+b).łatwozauważyć,żekażdyelemet tegowierszajest sumą dwu zajdujących się bezpośredio ad im elemetów ) szego wiersza. Posługując się dwumiaem Newtoa możemy zaleźć p. rekurecyjy wzór a sumę k tych potęg kolejych liczb aturalych. Poieważ dla dowolej liczby aturalej m zachodzi rówość ) ) k+ k+ k+ m+) k+ m k+ = m k + m k k więc,pisząctęrówośćkolejodlam=,2,...,mamy: ) ) k+ k+ k+ 2 k+ k+ = k + k k ) ) k+ k+ k+ 3 k+ 2 k+ = 2 k + 2 k k ) ) k+ k+ k+ 4 k+ 3 k+ = 3 k + 3 k k ) m + ) + ) 2 + ) 3 + ) k+ m 0, k+ k+ k+ k+ k+ k+ k+ 6 BlaisePascal ),fracuskimatematyk,fizyk,filozofipisarz,m.i.sformułował zasadę idukcji matematyczej i podał sposób obliczaia współczyików rozwiięciadwumiaua+b). ), ), ),

17 8 Zbiory liczbowe ) k+ +) k+ k+ = k + k+ 2 ) k k+ k ) + Dodając te rówości stroami i upraszczając ieco zapis, otrzymujemy ) k+ +) k+ = S k) + k+ 2 ) S k ) ) k+ =k+)s k) + S k ) k+ k+ k k ) S ) + ) S ) + ) k+. k+ ) k+ S 0) k+ ) k+ S 0), k+ gdzies j) = j +2 j j.możemyzatempodaćwzóras k),jeżelizamy postaćwszystkichwcześiejszychs j).miaowicie S k) = [ ) ) ] k+ k+ k+ +) k+) S k )... S ) )S 0). k+ 2 k k+ I tak dla przykładu dlak=mamy S = = 2 atomiast dla k = 2 otrzymujemy S 2 = = 3 = 6 +)2+). [ +) 2 [ +) 3 ) ] 2 = 2 2 +), ) ) ) ] 3 3 Zasada idukcji matematyczej jest rówoważa kilku iym własościom zbioru liczb aturalych. Pierwsze dwie z tych własości związae są z określoą w zbiorze liczbaturalychrelacjąmiejszości. Korzystając z zasady idukcji matematyczej moża udowodić ajważiejszą własośćrelacji dlaliczbaturalych,odróżiającąjąodrelacjimiejszości w iych zbiorach liczbowych. Jest ią tzw. zasada miimum. Każdy iepusty zbiór liczb aturalych ma elemet ajmiejszy. ZbiórA Nazywamyograiczoymzgóryzdołu),jeżeliistiejetaka liczbaaturalamm),żedlakażdegoa Ajesta Mm a).mówimy

18 Zbiór liczb aturalych oraz zasada idukcji matematyczej 9 wówczas,żemm)ograiczazgóryzdołu)zbióra.oczywiściekażdyzbiór liczbaturalychjestograiczoyzdołu,bo0 dlakażdego N.Natomiast samzbiór Niwielejegopodzbiorówiesąograiczoezgóry.Wzbiorzeliczb aturalych prawdziwa jest tzw. zasada maksimum. Każdy iepusty i ograiczoy z góry zbiór liczb aturalych zawiera liczbę ajwiększą. Obie zasady są rówoważe i bardzo często wykorzystywae w dowodach wielu faktów. IąwłasośćliczbaturalychopisujezasadaszufladkowaDirichleta 7. Mówioa,żejeżeliwkładamy+lubwięcej)przedmiotówdoszufladek,tow którejśzichzajdąsięcoajmiejdwaprzedmioty.zzasadytejwyikap.atychmiast, że wśród + kolejych liczb aturalych istieją dwie, których reszty z dzieleia przez są rówe. W języku fukcji formułujemy zasadę szufladkową astępująco. Dla dowolej liczby aturalej żada fukcja przekształcającazbiór{,2,...,,+}wzbiór{,2,...,} ie jest różowartościowa. Podamy kilka przykładów, w rozwiązaiach których wykorzystamy zasadę szufladkową. Przykład..3Wprostokącieobokachi2zajdujesię6 2 +puktów. Pokazać,żeistiejekołoopromieiu zawierającecoajmiejczteryzich. Rozwiązaie.Podzielmykażdyzbokówaprzedziałyodługości.Otrzymamywówczas2 2 małychkwadracikówobokurówym.namocyzasady szufladkowej któryś z tych kwadracików zawiera przyajmiej cztery z zadaych puktów. Każde koło, którego środkiem jest środek kwadratu zawierającego przyajmiej cztery pukty, a promień jest większy iż 2 2 <,zawierawięcprzyajmiej cztery spośród rozważaych puktów. Przykład..4Spośródliczb,2,...,200wybraodowolie0liczb.Pokazać, że istieją wśród ich przyajmiej dwie takie, że jeda z ich jest dzielikiem drugiej. Rozwiązaie.Zauważmy,żekażdązliczb,2,...,200możaprzedstawićwpostaci2 j 2k+).Poieważczyiki2k+)sąliczbamiieparzystymi 7 PeterGustawLejeuee-Dirichlet ), matematykiemieckipochodzeia fracuskiego. W latach był profesorem Uiwersytetu we Wrocławiu.

19 20 Zbiory liczbowe miejszymi od 200czyli różych jest co ajwyżej 00), więc, a mocy zasady szufladkowej, w przedstawieiu przyajmiej dwu z rozważaych 0 liczb występuje tesamczyik2k+.oczywiścietazich,któramamiejszywykładikj,jest dzielikiem drugiej. Przykład..5Zezbioru{,2,...,2},gdzie 3,wybraodowolie+ liczb. Pokazać, że istieją wśród ich trzy takie, z których jeda jest sumą dwu pozostałych. Rozwiązaie.Niech a <a 2 <...<a + będą tymi wybraymi liczbami. Rozważmy różic: a 2 a,a 3 a,...,a + a. Sątoliczbydodatie,paramiróżeikażdazichjestmiejszaod2.Razem mamyzatem2+liczbaturalych,zktórychkażdajestmiejszaod2.wobec tego muszą wśród ich być liczby rówe. Ale każde dwie spośród liczb a <a 2 <...<a + sąróże,atakżekażdedwiespośródliczb a 2 a,a 3 a,...,a a,a + a sąróże.któraśzliczb a <a 2 <...<a + jest więc rówa jedej z różic a 2 a,a 3 a,...,a + a, co daje tezę..2 Podzielość Mówiąc o liczbach aturalych wypada wspomieć o problemie podzielości. Defiicja.2. Mówimy, że liczba aturala dzieli się przez liczbę aturalą k gdziek>0),jeżeliistiejeliczbaaturaladtaka,że=kd. Piszemy wtedy k i mówimy, że k jest dzielikiem liczby. Oczywiście każda liczbadzielisięprzeziprzezsiebie.sątotzw.dzielikitrywiale.liczbyaturale większe od, które mają tylko trywiale dzieliki, azywamy liczbami pierwszymi. Relacja podzielości, ozaczaa symbolem, jest w zbiorze N zwrota

20 Podzielość 2 to zaczy dla każdej liczby aturalej ), słabo atysymetryczajeżeli k ik,to=k)iprzechodiajeżeli kik m,to m).poadto: jeżelia=d kib=d 2 k,toa+b=d +d 2 ) k oraz dladowolegoc Nmamya c=d c k. Udowodiliśmy w te sposób astępujący fakt. Fakt.2.Jeżelik aik b,tok a+b)orazjeżeli k alubk c,tok a c). Łatwo się przekoać, że stwierdzeia odwrote ie zachodzą. Przy badaiu zagadień dotyczących liczb aturalych bardzo często korzystamyzdwuastępującychtwierdzeń,którychautoremjesteuklides 8. Twierdzeie.2. Każdą liczbę aturalą większą od moża jedozaczie z dokładością do kolejości czyików) przedstawić w postaci iloczyu liczb pierwszych. Dowód.i)Liczba2spełiatezę,bojestpierwsza. ii) Przypuśćmy, że wszystkie liczby aturale miejsze od większe od ) spełiają tezę. Jeśli liczba ie jest pierwsza, to możemy ją przedstawić jako iloczy kl,gdziek,l>,więck,l,jakomiejszeod,dająsięrozłożyćaczyikipierwszelubsamesąpierwsze.todajerozkładaczyikipierwsze. A teraz sprawa jedozaczości. Załóżmy, że istieje liczba, która ma dwa istotie róże rozkłady. Na mocy zasady miimum istieje ajmiejsza taka liczba. Ozaczmy ją przez m, czyli Możemy oczywiście założyć, że m=p p 2... p r =q q 2... q s. p p 2... p r oraz q q 2... q s. Zauważmy,żep q,bowprzeciwymrazieistiałabyliczbamiejszaiżm posiadającaiejedozaczyrozkład.zatemp <q lubq <p.załóżmy,że p <q iiech m =m p q 2...q s =p p 2...p r q 2...q s )=q p )q 2...q s. Poieważm Nim <m,więcm majedozaczyrozkładaczyiki.stąd p q p )lubp q 2...q s.toostatiejestiemożliwe,boq i orazp sąliczbami pierwszymi,ap jestmiejszaodwszystkichq i.zatemq p )=p h,czyli q =p h+),coprzeczytemu,żeq byłoliczbąpierwszą. 8 Euklides365? 300?p..e.),greckimatematykifizyk.Wdziele Elemety,składającym się z 3 ksiąg, usystematyzował całość ówczesej wiedzy matematyczej.

21 22 Zbiory liczbowe Twierdzeie.2.2 Istieje ieskończeie wiele liczb pierwszych. Dowód.Niechp,p 2,...,p będąliczbamipierwszymi.pokażemy,żeiezależie od tego, jak zostały wybrae i ile ich jest, istieje jeszcze co ajmiej jeda liczba pierwsza. Rozważmy liczbę p p 2... p +. Zgodie z Twierdzeiem?? istieją liczba pierwsza p i liczba aturala c, być możerówa,takieże p p 2... p +=pc. Rówośćtawyklucza,bypbyłaktórąśzliczbp,p 2,...,p.Jeżelibowiemp=p k, abjestiloczyempozostałychliczbp i,dla i,i k,topb+=pc,czyli pc b)=.otrzymujemysprzeczość,gdyżpjestwiększeod,ac bjestco ajmiej rówe. Dozajdowaiakolejychliczbpierwszychsłużytzw.sitoEratosteesa 9. Postępujemy w sposób astępujący. W ciągu wszystkich liczb aturalych zostawiamy liczby, 2 i wykreślamy wszystkie wielokrotości liczby 2. Pierwszą liczbą iewykreśloą,większąod2jest3 liczbapierwsza,zostawiamyjąizciągu,który przed chwilą otrzymaliśmy, wykreślamy wszystkie wielokrotości liczby 3. Teraz pierwszą iewykreśloą jest 5 liczba pierwsza. Zostawiamy ją i wykreślamy jej wielokrotości, itd. Pozostaą same liczby pierwsze. Algorytm te adaje się do zajdowaia wszystkich liczb pierwszych z przedziału[2, N] za pomocą komputera.ato,jakdużemożemyprzyjąćn,zależyodszybkościjegoobliczeń. Liczbę aturalą > 0 azywamy złożoą, jeżeli dzieli się bez reszty przez jakąśliczbęodsiebiemiejsząawiększąod. Defiicja.2.2 Największym wspólym dzielikiem liczb aturalych i k, różych od zera, azywamy ajwiększą liczbę aturalą, przez którą dzielą się zarówojakik.ozaczamyjąsymbolemnwd,k),czyli NWD,k) def == max{l N:l il k}. Jej istieie wyika z zasady maksimum. Zbiór wszystkich wspólych dzielików liczbikjestbowiemiepustyależydoiego)iograiczoyp.przez). Do szukaia ajwiększego wspólego dzielika wykorzystujemy efektywy, zay od starożytości sposób, jakim jest algorytm Euklidesa. Niech0<k<iwykoajmydzieleiezresztąliczbyprzezliczbęk,otrzymując=kd+r.Wtedy,jeślil il k,torówieżl r,bor= kd.podobie, jeślil rorazl k,tol.takwięcwspóledzielikiliczbiksądokładietesame, cowspóledzielikiliczbkir.wszczególościnwd,k)=nwdk,r).wykoując więc operację dzieleia z resztą uzyskaliśmy parę miejszych liczb o tym 9 EratosteeszCyreyok.275 ok.94p..e.),greckifilozof,astroom,matematyk i geograf, pierwszy dokoał pomiaru długości połudika ziemskiego.

22 Podzielość 23 samymnwd.jeżeliliczbysąjeszczezadużebyzgadywać,możemytęoperację zastosować poowie, tym razem dzieląc k przez r, itd. Otrzymujemy: =kd +r, r <k, k =r d 2 +r 2, r 2 <r, r =r 2 d 3 +r 3, r 3 <r 2,.. To postępowaie musi się skończyć, bo koleje reszty tworzą malejący ciąg liczb aturalych.przypuśćmy,żer s+ =0.Ostatiedwawierszeaszychobliczeń wygladają tak: Mamy r s 2 =r s d s +r s, r s <r s 2, r s =r s d s+ +0, 0<r s. NWD,k)=NWDk,r )=NWDr,r 2 )=...=NWDr s,r s )=r s. Okazało się więc, że ostatia iezerowa reszta w tym ciągu dzieleń z resztą jest ajwiększym wspólym dzielikiem liczb i k. Wyzaczmyterazzpierwszejrówościr wzależościodik,podstawmydo drugiejrówościiwyliczmyr 2 teżwzależościodik)itd.otrzymamywkońcu wyrażeiear s.miaowicier s =p+qk,gdziepiqsąliczbamicałkowitymi,przy czym jeda z ich jest ujema. Udowodiliśmy w te sposób waże twierdzeie. Twierdzeie.2.3 Jeżeli liczba d jest ajwiększym wspólym dzielikiem liczb aturalychik,toistiejąliczbycałkowitepiqtakie,żed=p+qk. Liczbyaibazywająsięwzględiepierwsze,jeżeliNWDa,b)=.Zapomocą Twierdzeia?? możemy udowodić wiele ważych faktów dotyczących relacji podzielości w zbiorze liczb aturalych. Twierdzeie.2.4zasadicze twierdzeie arytmetyki) Jeżeli iloczy m liczb aturalych dzieli się przez liczbę aturalą k oraz k jest względiepierwszazm,todzielisięprzezk. Dowód.Poieważmiksąwzględiepierwsze,więcamocyTwierdzeia?? istiejąliczbycałkowitep,qtakie,że=pm+qk,astąd=pm+qk.oba składiki sumy po prawej stroie dzielą się przez k, więc suma też jest podziela przez k, czyli k. Poieważ każda liczba pierwsza jest względie pierwsza z dowolą większą od iej liczbą aturalą, która ie jest jej wielokrotością, więc otrzymujemy atychmiast bardzo często wykorzystyway wiosek.

23 24 Zbiory liczbowe Wiosek.2.Jeżelipjestliczbąpierwsząipdzieliiloczymliczbaturalych,topdzielub. Podajmy kilka przykładów zastosowaia udowodioych wyżej twierdzeń. Przykład.2.Dlakażdejliczbypierwszejp>3liczbaaturalapostacip 2 jest podziela przez 24. Rozwiązaie.Rozważmytrzykolejeliczbyaturalep,p,p+. Liczba p, jako pierwsza, jest ieparzysta i ie jest podziela przez 3. Zatem któraś zliczbp,p+dzielisięprzez3,obiesąparzysteidokładiejedazich jest podziela przez 4jako jeda z dwu kolejych liczb parzystych). Zatem liczba p 2 =p )p+)jestpodzielaprzeziloczy2 3 4=24. Przykład.2.2Dlajakichliczbaturalychliczba jestkwadratem liczby aturalej? Rozwiązaie.Załóżmy,że =m 2 dlapewejliczbyaturalej m. Wówczas mamy kolejo =m 2, +) 2 m 2 =3, + m)++m)=3, a poieważ 3 jest liczbą pierwszą, więc z twierdzeia o jedozaczości rozkładu liczby aturalej a czyiki pierwszetwierdzeie??) wyika, że liczby, m muszą spełiać jede z dwu astępujących układów rówań: { + m= ++m=3 lub { + m=3 ++m=. Porozwiązaiutychrówańwidzimy,żetylkodla=spełioyjestwaruek zadaia. Przykład.2.3Jeżeliliczbyaturalekik<)sąwzględiepierwsze,to liczba jest dzielikiem liczby. k) Rozwiązaie.Zauważmy,że awobectego = k) )! k k )![ ) k )]! = k ) k =. k) k ), k Poieważliczbykisąwzględiepierwsze,więcmusidzielić k).

24 Podzielość 25 Defiicja.2.3 Najmiejszą wspólą wielokrotością liczb aturalych a i b azywamy ajmiejszą liczbę aturalą, która jest podziela zarówo przez a jak iprzezb.ozaczamyjąsymbolemnwwa,b),czyli NWWa,b) def == mi{k N:k>0 a k b k}. Jej istieie wyika z zasady miimum. Wiedząc, że w zbiorze liczb aturalych żada liczba ie ma dwu istotie różych rozkładów a czyiki pierwsze, możemy posługiwać się tym rozkładem przy poszukiwaiu ajwiększego wspólego dzielika i ajmiejszej wspólej wielokrotości liczb. Jeżeli liczba pierwsza p występuje w rozkładzie liczby a z wykładikiem,awrozkładzieliczbybzwykładikiemm,topwystępujewrozkładzie liczby N W Da, b) z wykładikiem mi{, m}, atomiast w rozkładzie liczby NWWa,b) zwykładikiemmax{,m}.zatemnwda,b)jestiloczyem wszystkich wspólych czyików pierwszych liczb a i b. Kończąc te uwagi o podzielości przypomijmy ajczęściej stosowae cechy podzielości, czyli waruki koiecze i wystarczające a to, by jeda liczba aturala była podziela przez drugą. Liczba aturala a=c 0 +c c 0+c 0, gdziec 0,c,...,c {0,,2,...,9}jestpodzielaprzez: 2wtedyitylkowtedy,gdyc 0 {0,2,4,6,8}; 3wtedyitylkowtedy,gdysumac +c +...+c +c 0 jestpodzielaprzez3; 4wtedyitylkowtedy,gdyliczba0c +c 0 jestpodzielaprzez4; 5wtedyitylkowtedy,gdyc 0 {0,5}; 6wtedyitylkowtedy,gdyjestpodzielaprzez2iprzez3; 8wtedyitylkowtedy,gdyliczba0 2 c 2 +0c +c 0 dzielisięprzez8; 9wtedyitylkowtedy,gdysumac +c +...+c +c 0 jestpodzielaprzez9. Cechy podzielości przez 2, 4 i przez 8 wyikają z astępujących rówości: a=0 c 0 +c c ) +c0 =2 5 c 0 +c c ) +c0 ; a=0 2 c 0 2 +c c 2 ) +c 0+c 0 =4 25 c 0 2 +c c 2 ) +c 0+c 0 ; a=0 3 c 0 3 +c c 3 ) +c c 0+c 0, =8 25 c 0 3 +c c 3 ) +c c 0+c 0.

25 26 Zbiory liczbowe Natomiast zapisując liczbę a w postaci a=c }{{} dziewiątek =c }{{} dziewiątek +)+c )+...+c 2 99+)+c 9+)+c 0 +c }{{} ) dziewiątek }{{} ) dziewiątek +...+c 2 99+c 9+c +c +...+c +c 0, widzimy,żejestoapodzielaprzez3lubprzez9wtedyitylkowtedy,gdysuma jejcyfrc +c +...+c +c 0 )jestpodzielaprzez3lubprzez9odpowiedio. Pomiiętą tu cechę podzielości przez 7 jest dużo trudiej podać w postaci algorytmu..3 Zbiór liczb całkowitych i pojęcie grupy W zbiorze liczb aturalych określoe są dwa działaia dodawaie i możeie. Rozszerzając zbiór N liczb aturalych w taki sposób, by w tym większym zbiorze moża było zaleźć rozwiązaie każdego rówaia postaci + x = m, otrzymujemy zbiór liczb całkowitych Z. Jak wiemy, zbiór Z rozważay z dodawaiem ma astępujące własości: G)dodawaiejestłączeiprzemiee,tz.dladowolychx,y,z Z x+y)+z=x+y+z) oraz x+y=y+x; G2) liczba 0 jest elemetem eutralym działaia, tz. dla dowolej liczby całkowitejxzachodzirówośćx+0=x; G3)dladowolychliczb,m Zrówaie+x=mmadokładiejedorozwiązaie. W matematyce taką strukturę algebraiczą azywa się grupą przemieą. Ogóliejsze pojęcie grupyopuszczamy tylko założeie przemieości działaia) odgrywa ogromą rolę ie tylko w wielu gałęziach matematyki, ale i w wielu iych dziedziach auki takich jak p. fizykagłówie mechaika kwatowa), chemiakrystalografia), itd. Najszersze zastosowaie praktycze zalazły grupy skończoe, składające się ze skończoego zbioru elemetów. Natomiast zbiór liczb całkowitych z dodawaiem, tz. Z, + jest sztadarowym przykładem grupy ieskończoej. Pojęcie grupy zalazło tak wiele zastosowań, gdyż z jedej stroy jest oo bardzo ogóle, z drugiej zaś ma wiele własości posiadaych przez róże kokrete zbiory, w których określoe jest pewe działaie algebraicze, tz. operacja dwuargumetowa..4 Zbiór liczb wymierych i pojęcie ciała W zbiorze liczb całkowitych jest określoe w sposób aturaly jeszcze jedo działaie możeie. Działaia dodawaia i możeia powiązae są warukiem roz-

26 Zbiór liczb całkowitych i pojęcie ciała 27 dzielości x+y) z=x z+y z dladowolych x,y,z Z. Liczby całkowite rozważae z możeiem ie tworzą grupyp. ie istieje liczba całkowita spełiająca rówaie 2 x = ), więc, idąc przetartymi wcześiej ścieżkami, rozszerzamy zbiór liczb całkowitych tak, by w owo otrzymaym zbiorze liczbowymrozwiązalebyłokażderówaiepostaci x=mdla,m Z, 0. W te sposób otrzymujemy zbiór liczb wymierych Q, który utożsamiamy ze zbioremułamków,czyliwyrażeńpostaci m,przyczymdwaułamkim oraz m 2 uważamyzarówe,jeże 2 = m 2.Dzielącliczikmimiaowikułamka 2 m,gdziem Z, N\{0}przezichajwiększywspólydzielik,otrzymujemy rówy mu ułamek, którego liczik i miaowik są liczbami względie pierwszymi. W tym ostatim przypadku mówimy, że jest to ułamek ieskracaly. W zbiorze ułamków określamy dwa działaia: m + m 2 2 = m 2 + m 2 2 ; m m2 2 = m m 2 2. Zbiór Q wraz z wprowadzoymi wyżej działaiami ma astępujące własości: C) Q tworzy grupę przemieą z dodawaiem; C2) Q\{0} tworzy grupę przemieą z możeiem; C3)x+y) z=x z+y zdladowolychx,y,z Q. Taką strukturę algebraiczą azywamy ciałem. Zbiór Q z dodawaiem i możeiem jest ajmiejszym ieskończoym ciałem liczbowym. Poieważ każdą liczbę całkowitąmożautożsamićzułamkiemoliczikuimiaowiku,więcbędziemy po prostu uważać, że zbiór Z jest podzbiorem zbioru Q, a elemety zbioru Qbędziemykrótkoozaczaćpojedyczymiliteramix,y,...,oileiebędzieam zależało a podkreśleiu ich atury. Zbiór liczb wymierych jest w aturaly sposób liiowo uporządkoway przez relację miejszości określoą poiższymi warukami: a)0< m liczbym,majątesamzak; b) m < m 2 2 0< m m. Relacja miejszości w zbiorze liczb wymierych ma astępujące własości:.dladowolychx,y,z Qzachodzidokładiejedezwaruków x=y, x<y lub y<x; 2.jeżelix<yorazy<z,tox<z; 3.jeżeliy<z,todladowolegox Qzachodziierówośćx+y<x+z, atomiastdla0<xmamypoadtox y<x z.

27 28 Zbiory liczbowe Z waruków tych wyika, że między każdymi dwiema liczbami wymierymi x i y istieje ia liczba wymiera. Dla dowolych liczb wymierych x, y taką liczbą jest p.z= 2 x+y).ostatifakt odróżia uporządkowaiezbioruliczbwymierych od uporządkowaia zbioru liczb aturalych czy całkowitych..5 Liczby wymiere, iewymiere i rzeczywiste. Iterpretacja geometrycza Starożyti Grecy wpadli a pomysł iterpretowaia liczb wymierych dodatich jako puktów a prostej. Robi się to w sposób astępujący. Jeżeli mamy zaday odciek o długości a, to potrafimykorzystając z twierdzeia Talesa) skostruować odciek, który jest q tą częścią p tej jego wielokrotości, czyli, jak krótko zapisujemy,odciek p q a.dlaa=skostruowayodciekodpowiadaułamkowi p q.takzdefiiowaeliczbywymieremożageometrycziedodawaćimożyć,a działaia te podlegają tym samym prawom, co uzasadia używaie w stosuku do tych owych obiektów słowa liczba. Stąd mamy, przedstawioą poiżej, iterpretację geometryczą rozważaych dotąd zbiorów liczbowych. Naliiiprostejzazaczamydwapukty0iiotrzymujemyośliczbową. Liczby całkowite dodatie i ujeme są wtedy reprezetowae przez zbiór puktów rówo oddaloych od siebie a osi liczbowej; liczby dodatie są położoe a prawo odpuktu0,aliczbyujemealewo.abyprzedstawićułamkiomiaowikurówym,dzieykażdyzodcikówodługościjedearówychczęści;pukty podziału przedstawiają wtedy ułamki o miaowiku. Jeżeli uczyimy tak dla każdej liczby całkowitej, to przedstawimy wszystkie liczby wymiere za pomocą puktów a osi liczbowej. Pukty takie będziemy azywali puktami wymierymi, wszystkie pozostałe puktami iewymierymi i będziemy używali termiów liczba wymiera liczba iewymiera ) i pukt wymiery pukt iewymiery )wtymsamymzaczeiu.wtesposóbkażdejliczbiewymierej p q odpowiada pewie pukt a prostej lub rówoważie pewie odciek o początku wzadaympukcie0idługości p q.jużczterywiekiprzedasząerąwiedziao, że ie każdy odciek odpowiada pewej liczbie wymierej. Dla przykładu odkładając od puktu 0 odciek odpowiadający przekątej kwadratu jedostkowego ie trafimy w żade pukt wymiery. Łatwo to uzasadić korzystając z wcześiejszych wiadomości o podzielości i własościach liczb pierwszych. Załóżmy bowiem,że 2długośćprzekątejkwadratuoboku)jestliczbąwymierą, czyli 2= p q.możemyoczywiściezałożyć,żep q jestjużułamkiemieskracalym. Wówczas2q 2 =p 2.ZjedozaczościrozkładukażdejliczbyaczyikipierwszeTwierdzeie??)wyika,że2 p 2,apoieważ2jestliczbąpierwszą,więc2 p. Zatem4 p 2,więc4 2q 2,czyli2 q 2,codaje2 q.otrzymaliśmysprzeczośćzzałoże-

28 Liczby wymiere, iewymiere i rzeczywiste 29 iem, że liczby p, q były względie pierwsze. Podobie moża wykazać, że liczba jestwymierawtedyitylkowtedy,gdyjestkwadratemjakiejś liczby aturalej. Przykład.5. Sprawdzić, która z podaych iżej liczb jest wymiera, a która iewymiera: a)log 2 3; b)log 2 3) 2+ 3); c)cos5 o ; d) ; e) Rozwiązaie.a)Załóżmy,żeistiejąliczbywzględiepierwszep,qtakie, żelog 2 3= p q.wówczas2 p q =3,czyli2 p =3 q,cojestoczywiścieiemożliwe ze względu a jedozaczość rozkładu każdej liczby a czyiki pierwsze. To ozacza,żelog 2 3iemożebyćliczbąwymierą,czylijestliczbąiewymierą. b)poieważ2+ 3=2 3),więclog 2 3) 2+ 3)=.Możemywięc stwierdzić,żelog 2 3) 2+ 3)jestliczbąwymierą. c)gdybyliczbacos5 o byławymiera,toliczbąwymierąbyłobytakżewyrażeie 3 cos30 o =2cos 2 5 o,atymczasemcos30 o = 2.Otrzymaaliczbaiejest wymiera,bo 3iejestliczbąwymierą.Zatemcos5 o jestliczbąiewymierą. 5+2 d)niech =x0.Wówczas ) =x 3 0 i po wykoaiu potęgowaia otrzymujemy rówość ) =x 3 0, czyli x 3 0+3x 0 4=0. Łatwosprawdzić,żejedyymrzeczywistympierwiastkiemwielomiaux 3 +3x 4 jest.poieważaszex 0 spełiarówaiex 3 +3x 4=0,więcx 0 =,czyli =x0 jestliczbąwymierą. e) Mamy = czyli otrzymujemy liczbę wymierą. = ) ) ) ) 2 = = =4,

29 30 Zbiory liczbowe Jeżelizazaczymyaosiliczbowejwszystkieułamkipostaci p q,tozostaiejeszczebardzodużo dziur takich,jakta,wktórejzajdujesię 2.Liczbywymiere plus właśie te dziury czyli cała prosta) to tzw. liczby rzeczywiste. Zbiór liczb rzeczywistych będziemy ozaczać symbolem R. Moża pokazać, że dziur jest awet w pewym sesie zaczie więcej iż liczb wymierych. Jedą z pierwszychprecyzyjychdefiicjizbioruliczbrzeczywistychpodałr.dedekid 0 wprowadzając pojęcie tzw. przekrojuteraz azywamy go przekrojem Dedekida). Nie będziemy tu omawiać pojęcia przekroju, ale zajmiemy się dokładiej kosekwecjami pewej podstawowej własości, która została przez Dedekida sformułowaa za pomocą pojęcia przekroju. Najpierw jedak wprowadzimy jedo z fudametalych pojęć aalizy pojęcie kresu zbioru..6 Kresy zbioru i twierdzeie o ciągłości zbioru liczb rzeczywistych PodzbiórA Razywamyograiczoymzgóryzdołu),jeżeliistiejeM R m R)takie,żea Ma m)dlawszystkicha A.OczywiścieMm)iejest wyzaczoe jedozaczie i każde takie Mm) azywamy ograiczeiem górym dolym) zbioru A. Najmiejszeajwiększe) z takich ograiczeń górychdolych) zbioru A azywamy kresem górymkresem dolym) zbioru A. Jeżeli zbiór A jest ograiczoy z góry, to zbiór jego ograiczeń górych jest iepusty. Zauważmy jedak, że ie jest absolutie sprawą oczywistą, czy zbiór te ma elemet ajmiejszy. Okazuje się, że w zdefiiowaym przez Dedekida zbiorze przekrojów tak właśie jest. Twierdzeie.6.o ciągłości zbioru liczb rzeczywistych). KażdyiepustyzbiórA Rograiczoyzgórymakresgóry.Każdyiepusty zbióra Rograiczoyzdołumakresdoly. Twierdzeie to precyzuje podstawową własość zbioru liczb rzeczywistych odróżiającą te zbiór od zbioru liczb wymierych i umożliwiającą uprawiaie aalizy matematyczej w powszechie rozumiaym przez matematyków zaczeiu tego termiu. Fakt, że w zbiorze Q liczb wymierych Twierdzeie?? ie jest prawdziwe, łatwo zauważyćiietrudoudowodić.np.zbióra={w Q:w 2 2}jestoczywiście ograiczoy z góryp. przez 2), jedak zbiór jego ograiczeń górych ie posiada elemetu ajmiejszego. Załóżmy bowiem, że z Q jest jakimś ograiczeiem zbioruazgóry,czyliz 2 >2iweźmyjakiekolwiekwymiere0<h<takie,że h< z2 2 2z+. 0 JuliusWilhelmRickardDedekid83 96),matematykiemiecki.

30 Kresy zbioru i twierdzeie o ciągłości 3 Mamy wówczas z h) 2 =z 2 2hz+h 2 =z 2 h2z h)>z 2 z2 2 2z+ 2z h)>z2 z 2 2)=2. Zatem każde ograiczeie zbioru A z góry moża troszkę zmiejszyć otrzymując wciąż ograiczeie z góry, co dowodzi, że ie ma ajmiejszego ograiczeia zbioru A z góryw zbiorze liczb wymierych!). WdalszymciągukresgóryzbioruAozaczamysymbolemsupA,akresdoly symbolemifa. Aby udowodić, że jakaś liczba jest kresem górym zadaego zbioru, wygodie jest posłużyć się astępującą charakteryzacją. Fakt.6.Liczbaaa)jestkresemgórymdolym)zbioruA Rwtedyitylko wtedy, gdy )dlakażdegoa Azachodziierówośća a a a), 2)dlakażdegoε>0istiejetakiea A,żea ε<a a<a+ε). Dowód.Niecha=supA.Oczywiściea 0 spełiawaruki)oraz2).naodwrót jeżelijakaśliczbaaspełia),tojestoaograiczeiemzbioruazgóry,az waruku 2) wyika, że jest ajmiejszym ograiczeiem z góry. Dla zbiorów, które ie są ograiczoe z góryz dołu) wygodie jest przyjąć, że supa=+, ifa=.okresachzbiorupustegoraczejiemówimy.oczywiście, jeżeli w zbiorze jest elemet ajmiejszyajwiększy), to jest okresemdolymgórym)zbioru,gdyżwtedywaruek2)zfaktu??jest automatyczie spełioy. Jedą z ważiejszych kosekwecji twierdzeia o ciągłości zbioru liczb rzeczywistychtwierdzeie.6.) jest bardzo często w różych formach wykorzystywaa waaliziezasadaarchimedesa. Jeżeli0<xorazx<y,toistiejeliczbaaturalataka,żey<x. Dowód.Niech A= { m N:m y }. x ZdefiicjizbiórAjestograiczoyzgóryapoieważ y x,więcajestzbiorem iepustym.namocytwierdzeia??zbióramakresgóry,azwijmygou.wówczasu )iejestograiczeiemgórymzbiorua,zatemistiejek Atakie,że k>u.niech=k+.poieważ N,>uiujestkresemgórymzbioru A,więc A.Zatemmusibyć> y x,czyliy<x. Archimedesok.287 ok.22p..e.),greckifizyk,matematykiwyalazca.

31 32 Zbiory liczbowe ZzasadyArchimedesawyika,żedladowolychx,y>0istiejeliczbaaturalataka,żex y<+)x.biorącx=wioskujemy,żekażda liczba rzeczywista zajduje się między dwiema kolejymi liczbami aturalymi. Ściśle dla dowolej dodatiej liczby rzeczywistej x istieje liczba aturala taka, że x<+). Liczbęazywamyczęściącałkowitąliczbyxiozaczamy[x].Dlax=0 mamy[x]=0.jeżelixjestliczbąujemącałkowitą,toprzyjmujemy[x]= [ x]. Jeżeli x jest liczbą ujemą iecałkowitą, to przyjmujemy[x] = [ x] + ). Z zasady Archimedesa wyika rówież astępująca bardzo waża własość zbioru liczb wymierych. Fakt.6.2 Między dwiema dowolymi liczbami rzeczywistymi zajduje się liczba wymiera. Dowód.Niech0<x<ybędądwomadowolymipuktamiprostejiiech d=y x.zzasadyarchimedesawyikaistieieliczbyaturalejtakiej,że > d.zatemmamy <dizachodziierówość +x<y.niechk=[x ]. Wówczas prawdziwe są ierówości k x <k+, astąd k x<k+ <x+ <x+d=y. Wprzypadku,gdyx<0<yszukaąliczbąwymierąmożebyć0.Jeżelijedak x<y 0,to 0<x [x]<y [x]. Zajdujemyliczbęwymierą p q wprzedzialex [x],y [x]).wtedyp q +[x]jest liczbą wymierą ależącą do przedziałux, y). Kometarz. W podoby sposób moża udowodić, że między każdymi dwiema liczbami rzeczywistymi zajduje się liczba iewymiera. Pojęcie kresu pozwala sprecyzować wiele wcześiej pozaych w szkole pojęć. Na przykład, co dokładie rozumiemy przez pierwiastek stopia z dowolej liczby rzeczywistej? Co prawda, wiemy, że pierwiastkiem stopia z ieujemej liczby rzeczywistejyazywamytakąliczbęrzeczywistąx,żex =y,aleczytakiex istieje,ajeżelitak,toczytylkojedo?ituprzydajesiępojęciekresuzbioru! Rozważmy bowiem zbiór A={x R:x>0,x <y}. Ajestzbioremiepustym,bodlay mamyy y,więcy A,adlay> mamy A.Ajestzbioremograiczoym,p.przezy+,bozierówości

32 Kresy zbioru i twierdzeie o ciągłości 33 y+ xwyikałoby,że y+<y+) <x <y. ZTwierdzeia??wyika,żeistiejes=supA.Pokażemy,żes =y.załóżmy ajpierw,żes >y.poieważmiędzykażdymidwiemaliczbamirzeczywistymi zajduje się róża od ich liczba rzeczywistaawet wymiera), więc istieje b takie,żes >b>y.niechεbędziedowoląliczbąspełiającąierówości { 0<ε<mi s, b y } s. Wówczas, korzystając z ierówości BeroulliegoFakt??), możemy apisać astępujący ciąg zależości s ε) =s ε ) >s ε >b s s s) ε>y. Zatems ε A,więcs=supA s ε.sprzeczość! Załóżmyteraz,żes <y.podobie,jakpoprzedio,istiejeliczbactaka,że s <c<yizowudla { } y c 0<ε<mi s, 2s), dziękiierówościzprzykładu??zastosowaejdo0 z= ε s,mamy s+ε) =s + ε ) s +2 ε <c+2s) s s) ε<y. Zatems+ε A,więcs=supA s+ε.sprzeczość! Pokażemy teraz, jak się szuka kresów różych zbiorów. Przykład.6. Wyzaczyć kresy astępujących zbiorów: } { [ } a) A= { ) ) : N\{0} ; b) B= ) 2] + ) : N\{0} ; { } { } p 2 3 c) C= q :p,q N,q 0,p<2q ; d) D= m :,m N\{0} ; { } { } x x e) E= x 2 + :x R ; f) F= + x :x R. Rozwiązaie.a)Ozaczmydlawygodyiprzejrzystościrachuków) a = ) ).

33 34 Zbiory liczbowe Poieważ dla wszystkich N prawdziwe są zależości 0<a 2 = 2 < oraz <a 2 = + 2 <0, więczbiórazawartyjestwprzedziale-,).pokażemy,żeifa= oraz sup A =. Zauważmy ajpierw, że dla dowolej liczby aturalej zachodzą ierówości a 2, a 2. Niechε>0będziedowolieustaloe.Szukamytakiego,że a < +ε. Zazaczając a osi liczbowej kilka pierwszych elemetów zbioru A, dla przykładu: a =0, a 2 = 2, a 3= 2 3, a 4= 3 4, a 5= 4 5, a 6= 5 6, odrazuzauważamy,żetakiegoa ależyszukaćwśródwyrazówoumerachieparzystych. Musimy zatem rozwiązać ierówość + 2 < +ε, co daje oszacowaie > ) 2 ε + prawdziwe dla wszystkich dostateczie dużych. Zatem if A =. Aalogiczie postępujemypokazując,żesupa=. Zobaczmy, jak to wygląda a rysuku. a 7a 5 a 3 a 0 a 2 a 4 a 6a 8 Rys..6.. Ciąg wyrazów ieparzystych maleje do, ciąg wyrazów parzystych rośiedo. b)zewzględuaskładik ) [ 2] Czytelikpowiieobliczyćwartośća dla kilku p. dla pięciu, sześciu początkowych i zauważyć, co się dzieje!) wygodie jest podzielić wszystkie wyrazy aczterygrupy 2 : a 4 = ) [4 2 ] + ) 4 4 a = ) [ 2] + ) = ) [2] + 4 =+ 4 ց, a 4+ = ) [4+ 2 ] ) 4+ = )[2+ 2] ) = 4+ ր, 2 Wpoiższychwzorachzapis:a ցa,a րaozacza,żeciąga )jestmalejący odpowiedio rosący, a jego wyrazy zbliżają się ieograiczeie do liczby a.

34 Kresy zbioru i twierdzeie o ciągłości 35 a 4+2 = ) [4+2 2 ] + ) = )[2+] = ց, a 4+3 = ) [4+3 2 ] ) ] ) + = )[ = 4+3 ր. Zowu dobrze jest zazaczyć sobie a osi liczbowej kilka początkowych elemetów zbioruaizauważyć,żemaoelemetajmiejszya 3 = 4 3 iajwiększya 4= 5 4, azatemifa= 4 3 orazsupa=5 4. c)oczywiściea 0,2).KresemdolymzbioruAjestliczba0,bodladowolego ε>0istieje Ntakie,że0< <ε,aprzecież A.Natomiastkresem górymjestliczba2,gdyżdladowolegoε>0wprzedziale2 ε,2)istieje liczba wymierapatrz Fakt??). d) Nietrudo zauważyć, że dla dowolych aturalych m, zachodzą ierówości 2 3 3< m < 2. Poadtodladowolegoε>0istiejąliczbyaturale,mtakie,że 2 3< 3< 3 3+ε oraz 2 ε< 2 m < 2. StądifA= 3oraz supa= 2. e)zierówościx ) 2 0, x+) 2 0wyika,żedladowolejliczby rzeczywistej x zachodzą ierówości Dlax=mamy więcifa= 2, supa= 2. 2 x x = 2,adlax= jest ) 2 + = 2.Otrzymujemy f) Łatwo sprawdzić, że dla dowolej liczby rzeczywistej x zachodzą ierówości < x + x <. Niechεbędziedowolieustaloąliczbądodatią.Zauważmy,żedla> ε prawdziwe są ierówości < +ε oraz ε< + +. ZatemspełioyjestdrugiwaruekFaktu??,więcifA=, supa=.

35 36 Zbiory liczbowe.7 Ćwiczeia. Stosując zasadę idukcji matematyczej udowodić astępujące rówości i ierówości: a)+q+q q = q q ; b) = ; c) = ) 2 ; d) )2+) = +) 22+) ; e) ) 2 = 2 +)+2)3+5); ) ; f)!> 3 g)a+b) <2 a +b )dlaa>0,b>0..2 Wykazać, że dla dowolego N: a)liczba4 jestpodzielaprzez3; b)liczba jestpodzielaprzez33; c)liczba 5 jestpodzielaprzez6..3 Wykazać, że liczba wszystkich k elemetowych podzbiorów zbioru elemetowego rówa jest. k).4 Zaleźć liczbę przekątych kąta wypukłego. Otrzymay wzór udowodić idukcyjie..5 Udowodić tożsamości: a)cosxcos2xcos4x... cos2 x= si2+ x 2 + six b)cosx+cos2x+cos3x+...+cosx= dla x 2kπ; si x 2 cos+)x 2 si x 2 dla x 2kπ; c)six+si2x+si3x+...+six= si x 2 si+)x 2 si x 2 dla x 2kπ;

36 Ćwiczeia 37 d)six+2si2x+3si3x+...+six= +)six si+)x 4si 2x 2 dla x 2kπ..6Wykazać,żedlakażdegoaturalegoliczba2+ 3) +2 3) jest aturala. 3 a.7 Zaleźć te wyraz rozwiięcia dwumiau b + daeliczbydodatieaibwystępująwtejsamejpotędze. b 3 a) 4,wktórym.8Zaleźćtewyrazyrozwiięciadwumiau ) 24,któresąliczbami aturalymi..9 Wykorzystując wzór Newtoa obliczyć astępujące sumy: ) a) ; 0) ) 2) ) b) c) 2 0) + 2 ) + 2 2) ) ) ) 2) ) 2+ ; ) + ) )..0 Wykorzystując wzór Newtoa wykazać, że: a) ) ) 2) 3) b) ) ) 2) 3) 2 ) ) + =2 ) ; ) + ) =0. ). Wykazać, że z dowolych liczb aturalych moża zawsze wybrać dwie takie, których różica jest podziela przez 0..2Wprostokącieobokachdługościi2wybrao40puktów.Pokazać,że istieje kwadrat o boku długości 0, zawierający co ajmiej 3 z daych puktów..3 Wykazać, że spośród 2 dowolych liczb dwucyfrowych moża zawsze wybrać dwie takie, których różica jest zapisaa za pomocą dwu jedakowych cyfr..4 Nie korzystając z zasady idukcji matematyczej wykazać, że dla dowolej liczbyaturalej 3liczba jestpodzielaprzez20.

37 38 Zbiory liczbowe.5 Wykazać, że kwadrat dowolej liczby aturalej daje przy dzieleiu przez 5resztę0,lub4..6Udowodić,żejeżelid=NWDa,b),toliczby a d,b d sąwzględiepierwsze..7 Dowieść, że jeżeli a, b są względie pierwsze, to względie pierwsze są liczby ab oraz a+b..8udowodić,żejeżelinwda,b)=,todladowolejliczbyaturalejc jest NWDac,bc)=c..9 Udowodić astępujące fakty: a)jeżelipip+2sąliczbamipierwszymiwiększymiod3,toliczbap+jest podziela przez 6; b)liczbypierwszep,qsąbliźiaczetz. p q =2)wtedyitylkowtedy,gdy pq + jest kwadratem liczby aturalej; c)jeżeliliczbypierwszep,qsąwiększeod3,top 2 q 2 dzielisięprzez24; d)sumadwuliczbpierwszychróżiącychsięo2,zktórychmiejszajestwiększaod3,jestpodzielaprzez2; e)jeżeliliczbypi4p+sąliczbamipierwszymi,toliczba8p+iejestliczbą pierwszą; f)dlakażdejliczbyaturalejwiększejod2jedazliczb2,2 +jest złożoa; g)jeżeliliczba2 jestpierwsza,tojestliczbąpierwszą; h)jeżeliliczba )!+jestwiększaodipodzielaprzez,tojestliczbą pierwszą..20udowodić,żejeżelip>2jestliczbąpierwsząorazliczba ) k jest 2) 2 podzielaprzezpdlak= 2 p+),toliczbatajestrówieżpodzielaprzezp2. ) ) k Wsk. Zauważmy, że = k)+k ) oraz+k ) k)=2k =p Udowodić iewymierość astępujących liczb: a) 5; b) 3 2; c) 2+ 3; d) ; e) ; f)tg Usuąć iewymierości z miaowików astępujących ułamków: a) + 5 ; b) 3 2+ ; c) ; d)