ROZDZIAŁ 1. Stopień Brouwera

Transkrypt

1 ROZDZIAŁ 1 Stopień Brouwera 1. Definicja i własności stopnia W tym podrozdziale przypominamy w zarysie definicję stopnia Brouwera (stopnia topologicznego) oraz podstawowe jego własności. Czytelnik, dla którego jest to nowy materiał, brakujące dowody znajdzie na przykład w [Kraw97] i [Miln69]. Definicja 1.1. Niech f : Ω R n będzie odwzorowaniem klasy C 1 określonym na zbiorze otwartym Ω R n. x 0 Ω jest punktem regularnym odwzorowania f, jeżeli Df(x 0 ): R n R n jest izomorfizmem. x 0 Ω jest punktem krytycznym (osobliwym) odwzorowania f, jeżeli nie jest punktem regularnym. Przykład 1.1. Niech f : R 3 R 3 będzie odwzorowaniem danym wzorem f(x, y, z) = (x 3 3xy 2, 3x 2 y y 3, z). Ponieważ 3x 2 3y 2 6xy 0 Df(x, y, z) = 6xy 3x 2 3y oraz det Df(x, y, z) = 9(x 2 + y 2 ) 2, więc zbiór {(0, 0, z) R 3 : z R} jest zbiorem punktów krytycznych odwzorowania f. Przykład 1.2. Niech f(x) = sin x dla każdego x R. Wtedy zbiorem punktów krytycznych funkcji f jest zbiór { π 2 + kπ : k Z}. Definicja 1.2. Niech f : Ω R n będzie odwzorowaniem klasy C 1 określonym na zbiorze otwartym Ω R n. y 0 R n jest wartością regularną odwzorowania f, jeżeli albo f 1 ({y 0 }) = albo wszystkie punkty w f 1 ({y 0 }) są regularne. y 0 R n jest wartością krytyczną (osobliwą) odwzorowania f, jeżeli nie jest wartością regularną. Nietrudno zauważyć, że zbiór wartości krytycznych odwzorowania f jest obrazem zbioru punktów krytycznych tego odwzorowania. Przykład 1.3. Zbiór {(0, 0, z) R 3 : z R} jest zbiorem wartości krytycznych odwzorowania f z przykładu 1.1. Przykład 1.4. Jedynymi wartościami krytycznymi funkcji sinus są 1 i 1. Twierdzenie 1.1 (Sard, 1942). Jeżeli f : Ω R n jest odwzorowaniem klasy C 1 określonym na zbiorze otwartym Ω R n, to zbiór wartości krytycznych tego odwzorowania ma miarę Lebesgue a równą zeru. Ponieważ zbiór miary zero nie może zawierać niepustego zbioru otwartego, więc z twierdzenia Sarda wynika następujący wniosek. Wniosek 1.1 (Brown, 1935). Jeżeli f : Ω R n jest odwzorowaniem klasy C 1 określonym na zbiorze otwartym Ω R n, to zbiór wartości regularnych tego odwzorowania jest gęsty w R n. 1

2 2 1. STOPIEŃ BROUWERA Dowody twierdzenia 1.1 i wniosku 1.1 można znaleźć w [Miln69]. Niech Ω będzie otwartym i ograniczonym podzbiorem R n, a f : Ω R n będzie odwzorowaniem ciągłym. Mówimy, że f jest Ω-dopuszczalne lub że para (f, Ω) jest dopuszczalna, jeżeli f(x) 0 dla każdego x Ω. Rodzinę odwzorowań Ω-dopuszczalnych oznaczać będziemy symbolem A(Ω). Natomiast rodzinę tych f A(Ω), że f Ω jest klasy C 1 oznaczać będziemy symbolem A (Ω). Odwzorowanie f A (Ω) jest generyczne, jeżeli 0 jest wartością regularną f Ω. Przykład 1.5. Niech f : R R będzie funkcją daną wzorem f(x) = cosh x. Ponieważ f jest klasy C 1 oraz f 1 ({0}) =, więc dla dowolnego zbioru otwartego i ograniczonego Ω R odwzorowanie f Ω jest generyczne. Przykład 1.6. Niech f : R 2 R 2 będzie odwzorowaniem klasy C 1 danym wzorem f(x, y) = (x 2 + y 2 1, sinh(x + y)), a B(0, r) R 2 będzie kulą o środku w zerze i promieniu r > 0. Ponieważ f 1 ({(0, 0)}) = {( 2 2, 2 2 ), ( 2 2, 2 2 )}, więc f / A(B(0, 1)). Co więcej, det Df(x, y) = 2(x y) cosh(x + y) i det Df(x, y) = 0 tylko wtedy, gdy x = y. Zatem f B(0,r) jest generyczne dla każdego r 1. Każdemu odwzorowaniu f A(Ω) możemy przyporządkować liczbę całkowitą deg(f, Ω) nazywaną stopniem Brouwera lub stopniem topologicznym odwzorowania f na zbiorze Ω. Konstrukcja stopnia, której szkic podajemy poniżej, przebiega w trzech etapach. W pierwszym etapie definiujemy stopień dla odwzorowania generycznego, w drugim dla odwzorowania z A (Ω), a w trzecim dla odwzorowania z A(Ω). Stopień Brouwera odwzorowania generycznego f : Ω R n na zbiorze Ω definiujemy wzorem: (1) deg(f, Ω) := sign det Df(x). x f 1 ({0}) Ω Gdy f jest generyczne, to zbiór f 1 ({0}) Ω jest pusty lub składa się ze skończonej liczby punktów. Zatem wzór (1) jest poprawny. Co więcej, jeżeli przez p + oznaczymy liczbę tych x f 1 ({0}) Ω, dla których det Df(x) > 0, a przez p liczbę tych x f 1 ({0}) Ω, dla których det Df(x) < 0, to deg(f, Ω) = p + p. Przykład 1.7. Niech Ω R 2 będzie trójkątem ograniczonym prostymi x+y = 3, x = 0 i y = 1, a f : R 2 R 2 będzie odwzorowaniem danym wzorem f(x, y) = ( x 2 + 2x + y 5 2, 3 2 x y). Wtedy f 1 ({(0, 0)}) = {( 5 2, 15 4 ), (1, 3 2 )} i (1, 3 2 ) Ω, a ( 5 2, 15 4 ) / Ω. Ponieważ det Df(x, y) = 2x 7 2, więc det Df((1, 3 2 )) = 3 2 < 0. W konsekwencji, f Ω jest generyczne i deg(f, Ω) = 1. Przykład 1.8. Jeżeli odwzorowanie f A (Ω) oraz f 1 ({0}) =, to f jest generyczne i deg(f, Ω) = 0. Żeby zdefiniować stopień Brouwera dla dowolnego odwzorowania f A (Ω), wprowadzimy pojęcie homotopii Ω-dopuszczalnej. Definicja 1.3. Niech Ω będzie otwartym i ograniczonym podzbiorem R n. (1) Odwzorowanie h: Ω [0, 1] R n nazywamy Ω-dopuszczalną homotopią, jeżeli jest ciągłe i h(x, t) 0 dla wszystkich x Ω i t [0, 1]. (2) Niech f 0, f 1 A(Ω). Mówimy, że odwzorowanie f 0 jest homotopijne z odwzorowaniem f 1 w A(Ω), co zapisujemy f 0 f 1 w A(Ω), jeżeli istnieje homotopia Ω-dopuszczalna taka, że h(x, i) = f i (x) dla każdego x Ω oraz i = 0, 1. Jeżeli h(x, t) = (1 t)f 0 (x)+tf 1 (x) jest homotopią Ω-dopuszczalną, to h nazywamy homotopią liniową. Homotopijność odwzorowań Ω-dopuszczalnych jest relacją równoważności

3 1. DEFINICJA I W ASNOśCI STOPNIA 3 w zbiorze A(Ω). Dlatego zamiast mówić, że f 0 jest homotopijne z f 1, możemy też mówić, że f 0 i f 1 są homotopijne. Rodzinę wszystkich Ω-dopuszczalnych homotopii oznaczać będziemy symbolem HA(Ω). Jeżeli h HA(Ω), to dla każdego t [0, 1] odwzorowanie h t : Ω R n dane jest wzorem h t (x) := h(x, t). Przykład 1.9. Niech f 0 (x) = x 3 i f 1 (x) = x 5 dla x ( 1, 1). Odwzorowania f 0 i f 1 są homotopijne w A(( 1, 1)). Aby to wykazać, wystarczy sprawdzić, że h(x, t) = (1 t)x 3 + tx 5 dla (x, t) [ 1, 1] [0, 1] jest homotopią ( 1, 1)- dopuszczalną. Rzeczywiście, mamy h( 1, t) = 1 0 i h(1, t) = 1 0 dla każdego t [0, 1]. Fakt 1.1. Niech f A(Ω) i d = inf{ f(x) : x Ω}. Jeżeli g : Ω R n jest odwzorowaniem ciągłym i f(x) g(x) < d dla każdego x Ω, to g A(Ω) oraz f i g są homotopijne. Fakt 1.2. Jeżeli dwa odwzorowania generyczne f 0 i f 1 są homotopijne, to deg(f 0, Ω) = deg(f 1, Ω). Dowód powyższego faktu znajduje się między innymi w [Kraw97]. Weźmy f A (Ω). Niech d = inf{ f(x) : x Ω}. Na mocy wniosku 1.1 istnieje y R n takie, że y jest wartością regularną odwzorowania f Ω i y < d. Wtedy odwzorowanie g y : Ω R n dane wzorem g y (x) = f(x) y jest generyczne. Co więcej, z faktu 1.1 wynika, że f g y w A(Ω). Stopień Brouwera odwzorowania f na zbiorze Ω definiujemy wzorem (2) deg(f, Ω) := deg(g y, Ω). W świetle faktów 1.1 i 1.2 powyższa definicja nie zależy od wyboru y. Jeżeli bowiem z R n jest wartością regularną odwzorowania f Ω taką, że z < d i z y, to odwzorowanie g z (x) = f(x) z jest generyczne oraz g y i g z są homotopijne. Przykład Niech f : R R będzie dane wzorem f(x) = x n, gdzie n N. Przyjmijmy, że Ω = ( r, r), gdzie r > 0. Wówczas f 1 ({0}) Ω = {0} oraz inf{ f(x) : x Ω} = r n. Jeżeli n = 1, to 0 jest wartością regularną funkcji f oraz deg(f, Ω) = signf (0) = 1. Jeżeli n 1, to 0 jest wartością krytyczną funkcji f. Wówczas deg(f, Ω) = deg(f y, Ω), gdzie y jest taką wartością regularną funkcji f, że y (0, r n ). Ponieważ f 1 ({y}) = { n y, n y} dla n parzystych i f 1 ({y}) = { n y} dla n nieparzystych, więc { 0, gdy n jest parzyste, (3) deg(f, Ω) = 1, gdy n jest nieparzyste. Fakt 1.3. Jeżeli f A(Ω), to istnieje odwzorowanie generyczne g : Ω R n takie, że f i g są homotopijne. Dowód powyższego faktu Czytelnik znajdzie w [Kraw97]. Weźmy f A(Ω). Niech g będzie odwzorowaniem generycznym takim, że f i g są homotopijne. Wówczas stopień Brouwera odwzorowania f na zbiorze Ω możemy zdefiniować następująco (4) deg(f, Ω) := deg(g, Ω). Z faktu 1.2 wynika, że powyższy wzór jest poprawny. Przykład Niech f(x) = x dla x [ r, r], gdzie 0 < r < 1. Gdy x { r, r}, to f(x) x 2 = r r 2 < r. Zatem na mocy faktu 1.1 odwzorowanie f jest homotopijne z odwzorowaniem x 2 [ r,r]. W świetle przykładu 1.10, deg(f, ( r, r)) = 0. Oznaczmy przez M zbiór wszystkich par dopuszczalnych (f, Ω).

4 4 1. STOPIEŃ BROUWERA Definicja 1.4. Stopniem Brouwera nazywamy odwzorowanie deg : M Z, które parze dopuszczalnej (f, Ω) przyporządkowuje deg(f, Ω). Podamy teraz podstawowe własności stopnia Brouwera. Ich dowody Czytelnik znajdzie w [Kraw97]. Własność 1.1 (Normalizacja). Niech Ω R n będzie zbiorem otwartym i ograniczonym. Niech x 0 R n będzie punktem takim, że x 0 / Ω. Wtedy { 1, gdy x0 Ω, (5) deg(id x 0, Ω) = 0, gdy x 0 / Ω, gdzie Id: R n R n jest odwzorowaniem tożsamościowym. Własność 1.2 (Homotopijna niezmienniczość). Niech f, g A(Ω). Jeżeli f i g są homotopijne, to deg(f, Ω) = deg(g, Ω). Własność 1.3 (Addytywność). Niech Ω R n będzie zbiorem otwartym, ograniczonym i niech Ω 1, Ω 2 Ω będą takimi zbiorami otwartymi, że Ω 1 Ω 2 =. Jeżeli f A(Ω) i 0 / f(ω \ (Ω 1 Ω 2 )), to deg(f, Ω) = deg(f, Ω 1 ) + deg(f, Ω 2 ). Własność 1.4 (Wycinanie). Jeżeli f A(Ω) oraz Ω 0 Ω jest zbiorem otwartym takim, że 0 / f(ω \ Ω 0 ), to deg(f, Ω) = deg(f, Ω 0 ). Własność 1.5 (Istnienie). Jeżeli f A(Ω) i deg(f, Ω) 0, to istnieje punkt x 0 Ω taki, że f(x 0 ) = 0. Własność 1.6 (Ciągłość). Dla każdego niepustego, otwartego i ograniczonego zbioru Ω R n odwzorowanie deg A(Ω) : A(Ω) Z jest ciągłe. Precyzyjniej, jeżeli max{ f(x) g(x) : x Ω} < min{ f(x) : x Ω}, to deg(f, Ω) = deg(g, Ω). Własność 1.7. Niech Ω R n będzie zbiorem otwartym, niepustym i ograniczonym. Jeżeli f, g A(Ω) oraz f(x) = g(x) dla każdego x Ω, to deg(f, Ω) = deg(g, Ω). Własność 1.8 (Formuła produktowa). Załóżmy, że Ω R n R m jest zbiorem otwartym, niepustym i ograniczonym. Niech Ω x R n będzie rzutem Ω na R n, a g : Ω R n R m odwzorowaniem ciągłym danym wzorem g(x, y) = (f(x, y), y). Wówczas, jeżeli g jest Ω-dopuszczalne, to f Ωx jest Ω x -dopuszczalne i deg(g, Ω) = deg(f, Ω x ). 2. Zastosowania stopnia Brouwera w teorii bifurkacji W niniejszym podrozdziale wprowadzimy podstawowe pojęcia z teorii bifurkacji i przytoczymy kilka bardzo dobrze znanych w tej teorii twierdzeń, które korzystają ze stopnia Brouwera. Dowody tych twierdzeń Czytelnik może znaleźć w [?]. Załóżmy, że f : R n R R n jest odwzorowaniem ciągłym i f(0, λ) = 0 dla każdego λ R. Rozważmy równanie (6) f(x, λ) = 0. Punkt (x, λ) R n R taki, że f(x, λ) = 0 i x 0 nazywamy nietrywialnym rozwiązaniem równania (6). Natomiast dowolny punkt (0, λ) R n R jest trywialnym rozwiązaniem równania (6). Definicja 1.5. Punkt λ 0 R nazywamy punktem bifurkacji równania (6), jeżeli każde otoczenie punktu (0, λ 0 ) R n R zawiera nietrywialne rozwiązanie równania (6), t.j. (0, λ 0 ) {(x, λ) R n R : f(x, λ) = 0, x 0}.

5 2. ZASTOSOWANIA STOPNIA BROUWERA W TEORII BIFURKACJI 5 x λ Rysunek 1. Bifurkacja w kształcie widelca Uwaga 1.1. λ 0 jest punktem bifurkacji równania (6) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ciąg {(x n, λ n )} n N taki, że (x n, λ n ) (0, λ 0 ), gdy n oraz f(x n, λ n ) = 0 i x n 0 dla każdego n N. Przykład Rozważmy równanie (7) x 3 λx = 0, (x, λ) R R. Zbiór rozwiązań równania (7) przedstawia rys.1. Gdy λ 0, jedynym rozwiązaniem równania (7) jest (0, λ). Gdy λ > 0, równanie (7) ma trzy rozwiązania: (0, λ), ( λ, λ) i ( λ, λ). Punkt 0 jest punktem bifurkacji w kształcie widelca (ang. pitchfork bifurcation point). Patrząc na rys.1, przekonujemy się o trafności tego ogólnie przyjętego określenia. Załóżmy teraz, że f : R n R R n jest odwzorowaniem klasy C 1. Wówczas z twierdzenia o funkcji uwikłanej wynika następujący warunek konieczny na to, by punkt λ 0 był punktem bifurkacji równania (6). Stwierdzenie 1.1. Jeżeli punkt λ 0 R jest punktem bifurkacji równania (6), to D x f(0, λ 0 ): R n R n nie jest izomorfizmem. Zatem punktów bifurkacji równania (6) należy szukać wyłącznie w zbiorze B(f) := {λ R: D x f(0, λ) / GL(R n )}. Twierdzenie 1.2 (Krasnosielski). Przyjmijmy następujące założenia: (Z 1 ) λ 0 B(f), (Z 2 ) δ>0 B(f) [λ 0 δ, λ 0 + δ] = {λ 0 }, (Z 3 ) r0>0 0<r r0 deg(f(, λ 0 δ), B(0, r)) deg(f(, λ 0 + δ), B(0, r)) 0. Wówczas λ 0 jest punktem bifurkacji równania (6). Uwaga 1.2. Jeżeli λ / B(f), to z twierdzenia o lokalnym odwracaniu odwzorowań wynika, że istnieje r > 0 takie, że para (f(, λ), B(0, r)) jest dopuszczalna oraz deg(f(, λ), B(0, r)) = sign det D x f(0, λ). Zatem warunek (Z 3 ) jest równoważny z warunkiem det D x f(0, λ 0 δ) det D x f(0, λ 0 + δ) < 0. Uwaga 1.3. Jeżeli λ 0, λ 1 B(f) oraz (λ 0, λ 1 ) B(f) =, to sign det D x f(0, λ) = const dla każdego λ (λ 0, λ 1 ). Dla punktu λ 0 R spełniającego założenia (Z 1 ), (Z 2 ) twierdzenia Krasnosielskiego definiujemy σ(λ 0 ) następująco: σ(λ 0 ) := deg(f(, λ 0 + δ), B(0, r)) deg(f(, λ 0 δ), B(0, r)), gdzie B(0, r) {x R n : f(x, λ 0 δ) = f(x, λ 0 + δ) = 0} = {0}.

6 6 1. STOPIEŃ BROUWERA Twierdzenie 1.3 (Alternatywa Krasnosielskiego). Jeżeli spełnione są założenia (Z 1 ) (Z 3 ) twierdzenia 1.2 oraz S λ0 jest składową spójności domknięcia zbioru nietrywialnych rozwiązań równania (6) zawierającą punkt (0, λ 0 ), to albo składowa S λ0 jest nieograniczona albo istnieje λ 1 λ 0 takie, że (0, λ 1 ) S λ0. Twierdzenie 1.4 (Rabinowitz). Załóżmy, że B(f) = {λ 1, λ 2,..., λ k }. Wówczas, jeżeli S jest ograniczoną składową spójności domknięcia zbioru nietrywialnych rozwiązań równania (6) oraz S B(f) = {λ i1, λ i2,..., λ ij }, gdzie 1 i 1 < i 2 <... < i j k, to σ(λ i1 ) + σ(λ i2 ) σ(λ ij ) = 0. Zadania Zadanie 1. Pokazać, że homotopijność odwzorowań Ω-dopuszczalnych jest relacją równoważności w zbiorze A(Ω). Zadanie 2. Niech f : Ω R n będzie odwzorowaniem generycznym. Udowodnić, że f 1 ({0}) Ω składa się ze skończonej liczby punktów. Zadanie 3. Pokazać, że jeśli ψ : [a, b] R jest odwzorowaniem generycznym, to zachodzi równość b a deg(ψ, (a, b)) = lim χ [ ε,+ε](ψ(t))ψ (t)dt. ε 0 2ε Zadanie 4. Udowodnić fakt 1.1. Zadanie 5. Wykorzystując fakt 1.2 i wzór (1) udowodnić własności 1.1, 1.2 i 1.3. Zadanie 6. Pokazać, że deg(f, ) = 0. Zadanie 7. W oparciu o własność 1.3 i zadanie 6 udowodnić własność 1.4. Zadanie 8. Pokazać, że jeśli A: R n R n jest izomorfizmem, to dla każdego r > 0 zachodzi równość deg(a, B(0, r)) = sign det A = ±1. Zadanie 9. Obliczyć stopień Brouwera odwzorowania A: R 3 R 3 danego wzorem A(x, y, z) = (x + 4y + 2z, y, 3x + 5y + 2z) na kuli B(0, 1). Zadanie 10. Obliczyć stopień Brouwera odwzorowania f(x) = ( (x 1) 2 + 1, y) na zbiorze Ω, gdy (a) Ω jest trójkątem ograniczonym prostymi x = 1, y = 1, x + y = 1, (b) Ω jest trójkątem ograniczonym prostymi x + y = 3, x + y = 3, y = 1. Zadanie 11. Niech f : R R będzie parzystą funkcją klasy C 1. Załóżmy, że istnieje r > 0 takie, że f(r) 0. Wykazać, że jeśli f(0) = 0, to deg(f, ( r, r)) = 0. Zadanie 12. Niech f A ((a, b)) będzie odwzorowaniem monotonicznym. Obliczyć deg(f, (a, b)).

7 ROZDZIAŁ 2 Stopień T -niezmienniczych odwzorowań w R n Z czasem teorię stopnia topologicznego zaczęto rozszerzać na różne klasy odwzorowań niezmienniczych. W tym rozdziale przedstawiamy teorię stopnia odwzorowań T -niezmienniczych. Stanowi ona część ogólniejszej teorii stopnia odwzorowań G-niezmienniczych, gdy G jest skończoną grupą abelową. Do jej zbudowania nie jest potrzebna ani znajomość teorii reprezentacji ani topologii niezmienniczej. Prezentowane tu ujęcie teorii stopnia odwzorowań T -niezmienniczych zostało zaczerpnięte z książki [Gran03]. 1. T -niezmiennicze odwzorowania i homotopie Niech R n = R p R q, gdzie n, p i q są takimi liczbami naturalnymi, że n = p+q. Dla x R n piszemy x = (u, v), gdzie u R p i v R q. Niech T : R n R n będzie dane wzorem T (u, v) := (u, v). Odwzorowanie T jest izomorfizmem liniowym i inwolucją, t.j. T 2 = Id R n. Definicja 2.1. Zbiór X R n jest T -niezmienniczy, jeżeli T (X) X. Jeżeli zbiór X jest T -niezmienniczy, to T (X) = X i T X : X X jest inwolucją na X. Definicja 2.2. Niech X R n będzie T -niezmienniczy. (1) Odwzorowanie f : X R n nazywamy odwzorowaniem T -niezmienniczym, jeżeli dla każdego x X zachodzi równość f(t x) = T f(x). (2) Odwzorowanie h: X [0, 1] R n nazywamy homotopią T -niezmienniczą, jeżeli jest ciągłe oraz dla wszystkich x X, t [0, 1] zachodzi równość h(t x, t) = T h(x, t). (3) Funkcję τ : X R nazywamy funkcją T -niezmienniczą, jeżeli dla każdego x X zachodzi równość τ(t x) = τ(x). Jeżeli f = (f 1, f 2 ), gdzie f 1 : X R p i f 2 : X R q, to odwzorowanie f jest T - niezmiennicze wtedy i tylko wtedy, gdy f 1 (u, v) = f 1 (u, v) i f 2 (u, v) = f 2 (u, v) dla wszystkich (u, v) X. Każdy otwarty, ograniczony i T -niezmienniczy podzbiór R n nazywamy dalej zbiorem T -dopuszczalnym. Niech Ω R n będzie ustalonym zbiorem T -dopuszczalnym. Wówczas zbiór Ω jest T -niezmienniczy. Mówimy, że odwzorowanie f : Ω R n jest T -dopuszczalne, jeżeli f A(Ω) i f jest T -niezmiennicze. Zbiór wszystkich T -dopuszczalnych odwzorowań z Ω w R n oznaczamy symbolem A T (Ω). Analogicznie, mówimy, że homotopia h: Ω [0, 1] R n jest T -dopuszczalna, jeżeli h HA(Ω) i h jest T - niezmiennicza. Zbiór wszystkich T -dopuszczalnych homotopii z Ω [0, 1] w R n oznaczamy symbolem HA T (Ω). Definicja 2.3. Odwzorowanie f jest homotopijne z odwzorowaniem g w zbiorze A T (Ω), co zapisujemy f g w A T (Ω), jeżeli istnieje homotopia h HA T (Ω) łącząca f z g, t.j. taka, że h(x, 0) = f(x) i h(x, 1) = g(x) dla każdego x Ω. 7

8 8 2. STOPIEŃ T -NIEZMIENNICZYCH ODWZOROWAŃ W R n Homotopijność jest relacją równoważności w A T (Ω). Klasę homotopii odwzorowania f A T (Ω) oznaczamy symbolem [f], natomiast zbiór wszystkich takich klas homotopii symbolem HA T [Ω]. 2. T -niezmiennicze odwzorowania generyczne Niech Ω R n będzie zbiorem T -dopuszczalnym. Przyjmijmy natępujące oznaczenia: A T (Ω) = {f A T (Ω): f Ω jest gładkie}, HA T (Ω) = {h HA T (Ω): h t Ω jest gładkie dla t [0, 1]}. Definicja 2.4. Mówimy, że f jest homotopijne z g w A T (Ω), co zapisujemy f g w A T (Ω), jeżeli istnieje homotopia h HA T (Ω) łącząca f z g. Odwzorowanie f A T (Ω) nazywamy odwzorowaniem generycznym, jeżeli 0 Rn jest wartością regularną f Ω. W niniejszym podrozdziale pokażemy, że przy pewnych dodatkowych restrykcjach na Ω każda klasa homotopii w HA T [Ω] zawiera T -niezmiennicze odwzorowanie generyczne. W tym celu udowodnimy najpierw kilka lematów. Niech K R n będzie zbiorem zwartym, {U i } k i=1 będzie otwartym pokryciem zbioru K, a U = k i=1 U i. Przypomnijmy, że rodzinę funkcji gładkich λ i : U [0, 1], gdzie i = 1, 2,..., k, spełniających dwa następujące warunki: suppλ i = {x R n : λ i (x) 0} U i dla każdego i = 1, 2,..., k, k i=1 λ i(y) = 1 dla każdego y K nazywamy gładkim rozkładem jedności stowarzyszonym z pokryciem {U i } k i=1 zbioru K. Wiadomo, że taki rozkład zawsze istnieje (patrz [?]). Odwzorowanie f : K R n nazywamy gładkim, jeżeli istnieje zbiór otwarty X R n taki, że K X i istnieje odwzorowanie f : X R n, które jest gładkie i f K = f. Lemat 2.1. Niech K R n będzie zbiorem zwartym i T -niezmienniczym, a {U i } k i=1 otwartym i T -niezmienniczym pokryciem zbioru K. Wówczas istnieje gładki i T -niezmienniczy rozkład jedności stowarzyszony z pokryciem {U i } k i=1 zbioru K. Dowód. Niech {λ i } k i=1 będzie gładkim rozkładem jedności stowarzyszonym z pokryciem {U i } k i=1 zbioru K. Dla każdego i = 1, 2,..., k niech λ i będzie dane wzorem λ i = 1 2 (λ i + λ i T ). Funkcje λ i są oczywiście gładkie i T -niezmiennicze. Rodzina { λ i } k i=1 spełnia tezę lematu. Niech K R n będzie zbiorem zwartym i T -niezmienniczym. Mówimy, że T działa wolno na zbiorze K, jeżeli T x x dla każdego x K. Innymi słowy, K R p =. Wówczas dist(k, R p ) := inf{ x y : x K, y R p } jest liczbą dodatnią. Lemat 2.2. Niech K R n będzie zbiorem zwartym i T -niezmienniczym takim, że T działa wolno na K. Jeżeli odwzorowanie f : K R n jest ciągłe i T -niezmiennicze, to dla każdego ε > 0 istnieje gładkie i T -niezmiennicze odwzorowanie g : K R n takie, że sup x K f(x) g(x) < ε. Dowód. Weźmy ε > 0. Ponieważ K jest zbiorem zwartym, więc f jest odwzorowaniem jednostajnie ciągłym. Istnieje zatem δ > 0 taka, że f(x) f(y) < ε, o ile x y < δ. Niech δ = min{δ, dist(k, R p )}, a U x = B(x, δ ) dla każdego x K. Wówczas T U x = B(T x, δ ),

9 2. T -NIEZMIENNICZE ODWZOROWANIA GENERYCZNE 9 U x T U x =, K x K (U x T U x ). Ze zwartości zbioru K wynika, że istnieją punkty x 1, x 2,..., x k K takie, że K k i=1 (U i T U i ), gdzie U i = U xi. Weźmy gładki i T -niezmienniczy rozkład jedności {λ i } k i=1 stowarzyszony z pokryciem {U i T U i } k i=1 zbioru K. Niech U = k i=1 (U i T U i ). Niech π i : U R n dla każdego i {1, 2,..., k} będzie odwzorowaniem takim, że π i (U i ) = {x i }, a π i (T U i ) = {T x i }. Odwzorowanie g : U R n definiujemy wzorem k g(x) = λ i (x)f(π i (x)). i=1 Weźmy x U. Jeżeli x U i T U i, to w odpowiednio małym otoczeniu punktu x odwzorowanie f π i jest stałe. Jeżeli x U i T U i, to dostatecznie blisko punktu x funkcja λ i jest równa 0. Zatem g jest gładkie. Weźmy teraz x K. Jeżeli x U i, to π i (x) = x i i π i (x) x < δ. Jeżeli x T U i, to π i (x) = T x i i π i (x) x < δ. Jeżeli natomiast x / U i T U i, to λ i (x) = 0. Wobec tego g(x) f(x) = co więcej, g(t x) = k k λ i (x)f(π i (x)) λ i (x)f(x) i=1 k λ i (T x)f(π i (T x)) = i=1 i=1 k λ i (x)f(t π i (x)) = i=1 k λ i (x) f(π i (x)) f(x) < ε, i=1 k λ i (x)t f(π i (x)) = T g(x). Wniosek 2.1. Niech Ω R n będzie takim zbiorem T -dopuszczalnym, że T działa wolno na Ω. Wówczas dla każdego f A T (Ω) istnieje g A T (Ω) takie, że f g w A T (Ω). Niech U R n będzie zbiorem otwartym i ograniczonym, a K takim zbiorem zwartym, że K U. Wówczas wiadomo, że istnieje funkcja gładka η : R n [0, 1] taka, że { 1 dla x K, η(x) = 0 dla x R n \ U. W literaturze matematycznej η jest nazywane funkcją Urysohna (patrz [?]). Lemat 2.3. Niech U i U 0 będą T -dopuszczalnymi podzbiorami R n. Załóżmy, że U 0 U. Wówczas istnieje gładka i T -niezmiennicza funkcja η : R n [0, 1] taka, że η(x) = 1 dla x U 0 i η(x) = 0 dla x R n \ U. Prosty dowód powyższego lematu pozostawiamy Czytelnikowi. Lemat 2.4. Niech Ω 0 i Ω będą T -dopuszczalnymi podzbiorami R n takimi, że Ω 0 Ω. Załóżmy, że f 0, g 0 A T (Ω 0) są homotopijne w A T (Ω 0) i istnieje f A T (Ω) takie, że f Ω 0 = f 0. Wówczas istnieją odwzorowanie g A T (Ω) i T -dopuszczalny zbiór U 0 Ω 0 spełniające następujące warunki: (1) f g w A T (Ω), (2) g(x) = f(x) dla każdego x Ω \ Ω 0, (3) g0 1 ({0}) Ω 0 = g 1 ({0}) Ω 0 U 0, (4) g(x) = g 0 (x) dla każdego x U 0. i=1

10 10 2. STOPIEŃ T -NIEZMIENNICZYCH ODWZOROWAŃ W R n Dowód. Niech k HA T (Ω 0 ) będzie homotopią łączącą f 0 z g 0. Weźmy otwarty i T -niezmienniczy zbiór U 0 w Ω 0 taki, że U 0 Ω 0 oraz k(x, t) 0 dla każdego (x, t) (Ω 0 \ U 0 ) [0, 1]. Następnie weźmy otwarty i T -niezmienniczy zbiór U w Ω 0 taki, że U 0 U U Ω 0. Niech η : R n [0, 1] będzie gładką i T -niezmienniczą funkcją Urysohna dla zbiorów U 0, U, t.j. η(x) = 1 dla x U 0 i η(x) = 0 dla x R n \ U. Niech h: Ω [0, 1] R n będzie dane wzorem: { f(x) dla x Ω \ U, h(x, t) = k(x, η(x)t) dla x Ω 0. Łatwo sprawdzić, że h HA T (Ω) oraz g(x) = h(x, 1) dla x Ω spełnia warunki lematu. Zanim sformułujemy kolejny lemat, musimy wprowadzić nowe pojęcie. Niech K R n będzie zbiorem niepustym, zwartym i T -niezmienniczym, a k N. (T, k)-prostym pokryciem zbioru K nazywamy rodzinę zbiorów otwartych {U i } k i=1 spełniających dwa warunki: (1) U i T U i = dla i {1, 2,..., k}, (2) K k i=1 (U i T U i ). Mówimy, że K jest (T, k)-prosty, jeżeli posiada (T, k)-proste pokrycie. Przyjmujemy, że zbiór jest (T, 0)-prosty. Uwaga 2.1. Każdy niepusty, zwarty i T -niezmienniczy podzbiór R n taki, że T działa wolno na K jest (T, k)-prosty dla pewnego k N. Dla f A(Ω) takiego, że f Ω jest klasy C r, gdzie r 1, niech R(f) = {x f 1 ({0}): Df(x) GL(R n )}. Lemat 2.5. Niech Ω R n będzie zbiorem T -dopuszczalnym takim, że T działa wolno na Ω i zbiór Ω jest (T, k)-prosty dla pewnego k 1. Wówczas jeżeli f A T (Ω), to istnieje g A T (Ω) takie, że: (i) f g w A T (Ω), (ii) zbiór g 1 ({0}) \ R(g) jest (T, k 1)-prosty. Dowód. Załóżmy, że {U i } k i=1 jest (T, k)-prostym pokryciem zbioru Ω. Niech k K = Ω \ (U i T U i ), K 1 = K U 1. i=2 Zauważmy, że K i K 1 są zwarte, K (U 1 T U 1 ), czyli K jest (T, 1)-prosty oraz K = K 1 T K 1. Na mocy tw. Sarda istnieje wartość regularna y 0 odwzorowania f Ω U1 taka, że y 0 < inf{ f(x) : x Ω}. Ponieważ f T = T f, więc Df(T x) = T Df(x) T dla każdego x Ω. Wobec tego T y 0 jest wartością regularną f Ω T U1. Co więcej, T y 0 = y 0. Niech η : R n [0, 1] będzie funkcją gładką taką, że η(x) = 1 dla x K 1 oraz η(x) = 0 dla x R n \ U 1. Niech g : Ω R n będzie dane wzorem: g(x) = f(x) η(x)y 0 dla x U 1 Ω, f(x) η(t x)t y 0 dla x T U 1 Ω, f(x) dla x Ω \ (U 1 T U 1 ), Z konstrukcji odwzorowania g wynika, że g Ω jest gładkie. Niech h(x, t) = f(x) + t(g(x) f(x)) dla wszystkich (x, t) Ω [0, 1]. Ponieważ g(x) f(x) < y 0 dla x Ω, więc h jest homotopią łączącą f z g w HA T (Ω). Weźmy x Ω. Jeżeli x U 1 Ω, to g(t x) = f(t x) η(t 2 x)t y 0 = T f(x) η(x)t y 0 = T (f(x) η(x)y 0 ) = T g(x). Jeżeli x T U 1 Ω, to g(t x) = f(t x) η(t x)y 0 = T f(x) η(t x)y 0 = T f(x) T 2 η(t x)y 0 = T (f(x) η(t x)t y 0 ) = T g(x).

11 3. T-NIEZMIENNICZE ODWZOROWANIA NORMALNE 11 Jeżeli natomiast x Ω \ (U 1 T U 1 ), to g(t x) = f(t x) = T f(x) = T g(x). Zatem odwzorowanie g jest T -niezmiennicze. Zauważmy, że g 1 ({0}) \ R(g) jest zwarty i g 1 ({0}) k i=2 (U i T U i ) K. Weźmy x K. Jeżeli x K 1, to g(x) = f(x) y 0. Jeżeli x T K 1, to g(x) = f(x) T y 0. Stąd K g 1 ({0}) R(g), a więc g 1 ({0}) \ R(g) k i=2 (U i T U i ) jest (T, k 1)-prosty. Lemat 2.6. Niech Ω R n będzie zbiorem T -dopuszczalnym takim, że T działa wolno na Ω. Załóżmy, że f A T (Ω) i zbiór f 1 ({0}) \ R(f) jest (T, k)-prosty dla pewnego k 1. Wówczas istnieje odwzorowanie g A T (Ω) takie, że: (i) f g w A T (Ω), (ii) zbiór g 1 ({0}) \ R(g) jest (T, k 1)-prosty. Dowód. Ponieważ f 1 ({0}) \ R(f) jest (T, k)-prosty, więc istnieje zbiór otwarty i T -niezmienniczy Ω 0 Ω taki, że: (a) f 1 ({0}) \ R(f) Ω 0, (b) R(f) Ω \ Ω 0, (c) Ω 0 jest (T, k)-prosty. Niech f 0 = f Ω0. Wówczas z (a), (b) wynika, że f 0 A T (Ω 0). Na mocy lematu 2.5 istnieje odwzorowanie g 0 A T (Ω 0) takie, że f 0 g 0 w A T (Ω 0) oraz g0 1 ({0}) \ R(g 0 ) jest (T, k 1)-prosty. Natomiast z lematu 2.4 wynika, że istnieje g A T (Ω) takie, że f g w A T (Ω) oraz g 1 ({0})\R(g) = g0 1 ({0})\R(g 0). Zatem g 1 ({0})\ R(g) jest (T, k 1)-prosty. Metoda indukcji matematycznej, lemat 2.6 i lemat 2.2 prowadzą do następującego twierdzenia. Twierdzenie 2.1. Niech Ω R n będzie zbiorem T -dopuszczalnym takim, że T działa wolno na Ω. Jeżeli f A T (Ω), to istnieje odwzorowanie generyczne g A T (Ω) takie, że f g w A T (Ω). Wniosek 2.2. Niech Ω R n będzie zbiorem T -dopuszczalnym takim, że T działa wolno na Ω. Jeżeli f A T (Ω), to deg(f, Ω) 2Z. Dowód. Niech f A T (Ω). Na mocy twierdzenia 2.1 istnieje odwzorowanie generyczne g A T (Ω) takie, że f g w A T (Ω). Zatem deg(f, Ω) = deg(g, Ω). Ponieważ T g = g T, więc Dg(x) = T Dg(T x) T dla każdego x Ω. Stąd g 1 ({0}) Ω = {x 1, x 2,..., x m } {T x 1, T x 2,..., T x m } oraz sign det Dg(x i ) = sign det Dg(T x i ) dla i = 1, 2,..., m. W rezultacie, m m m deg(g, Ω) = sign det Dg(x i ) + sign det Dg(T x i ) = 2 sign det Dg(x i ), i=1 co kończy dowód. i=1 i=1 3. T-niezmiennicze odwzorowania normalne Niech Ω R n będzie zbiorem T -dopuszczalnym. Przyjmijmy, że gdzie ε > 0. Ω(ε) = {(u, v) Ω: v < ε}, Definicja 2.5. Niech f = (f 1, f 2 ) A T (Ω), gdzie f 1 : Ω R p, a f 2 : Ω R q. (1) Mówimy, że odwzorowanie f jest ε-normalne, jeżeli istnieje ε > 0 takie, że spełniony jest warunek (u, v) Ω(ε) f 2 (u, v) = v.

12 12 2. STOPIEŃ T -NIEZMIENNICZYCH ODWZOROWAŃ W R n (2) Mówimy, że odwzorowanie f jest normalne, jeżeli istnieje ε > 0 takie, że f jest ε-normalne. Zbiór wszystkich odwzorowań normalnych z Ω w R n oznaczamy symbolem N A T (Ω). Definicja 2.6. Niech Ω R n będzie zbiorem T -dopuszczalnym. (1) Homotopia h HA T (Ω) jest nazywana homotopią normalną, jeżeli istnieje ε > 0 takie, że dla każdego t [0, 1] odwzorowanie h t : Ω R n jest ε-normalne. (2) Odwzorowanie f jest homotopijne z odwzorowaniem g w N A T (Ω), co zapisujemy f g w N A T (Ω), jeżeli istnieje homotopia normalna łącząca f z g. Zbiór wszystkich homotopii normalnych z Ω [0, 1] w R n oznaczamy symbolem HN A T (Ω). Klasę homotopii odwzorowania f N A T (Ω) względem relacji oznaczamy symbolem [[f]], natomiast zbiór wszystkich takich klas homotopii symbolem N A T [Ω]. Konstrukcja stopnia dla odwzorowań należących do zbioru A T (Ω) jest oparta na następującym twierdzeniu. Twierdzenie 2.2. Odwzorowanie τ : N A T [Ω] A T [Ω], [[f]] [f] jest bijekcją. Dowód. (i) Wykażemy, że τ jest surjekcją. Weźmy f = (f 1, f 2 ) A T (Ω). Musimy pokazać, że istnieje g N A T (Ω) takie, że f g w A T (Ω). Niech d = inf{ f(x) : x Ω}. Ponieważ f jest T -niezmiennicze, więc f 2 (u, 0) = 0 dla każdego (u, 0) Ω. Wybierzmy 0 < ε d 3 takie, że jeśli v < 2ε, to f 2(u, v) < d 3. Niech η : R [0, 1] będzie taką funkcją gładką, że η(t) = 1 dla t ε i η(t) = 0 dla t 2ε. Niech h = (h 1, h 2 ): Ω [0, 1] R n będzie dane wzorem Wówczas h(u, v, t) = (f 1 (u, v), (1 tη( v ))f 2 (u, v) + tη( v )v). h 1 (T (u, v), t) = h 1 (u, v, t) = f 1 (u, v) = f 1 (u, v) = h 1 (u, v, t), h 2 (T (u, v), t) = h 2 (u, v, t) = (1 tη( v ))f 2 (u, v) tη( v )v = (1 tη( v ))f 2 (u, v) tη( v )v = h 2 (u, v, t), a więc h(t (u, v), t) = T h(u, v, t) dla (u, v) Ω i t [0, 1]. Zauważmy, że h jest Ω-dopuszczalne. Weźmy (u, v) Ω i t [0, 1]. Jeżeli v 2ε, to h(u, v, t) = f(u, v) 0. Jeżeli v < 2ε, to h(u, v, t) = f(u, v) tη( v )(0, f 2 (u, v) v) f(u, v) tη( v ) f 2 (u, v) v f(u, v) f 2 (u, v) v f(u, v) ( f 2 (u, v) + v ) > d 3 d 3 = 0. Zatem h HA T (Ω). Co więcej, g(u, v) = h(u, v, 1) jest normalne, ponieważ jeśli v ε, to g(u, v) = (f 1 (u, v), v). (ii) Wykażemy, że τ jest iniekcją. Weźmy f = (f 1, f 2 ) N A T (Ω) i g = (g 1, g 2 ) N A T (Ω) takie, że f g w A T (Ω). Musimy pokazać, że f g w N A T (Ω). Niech h = (h 1, h 2 ) A T (Ω) będzie homotopią łączącą f z g w A T (Ω), a d = inf{ h(x, t) : x Ω t [0, 1]}. Ponieważ h jest T -niezmiennicze, więc h 2 (u, 0, t) = 0 dla (u, 0) Ω i t [0, 1]. Wybierzmy 0 < ε d 3 takie, że jeśli v < 2ε, to h 2 (u, v, t) < d 3 oraz f 2(u, v) = g 2 (u, v) = v. Niech η : R [0, 1] będzie

13 4. STOPIEŃ T -NIEZMIENNICZY 13 taką funkcją gładką, że η(t) = 1 dla t ε i η(t) = 0 dla t 2ε. ĥ: Ω [0, 1] R n dane wzorem ĥ(u, v, t) = (h 1 (u, v, t), (1 η( v ))h 2 (u, v, t) + η( v )v) jest homotopią normalną łączącą f z g. Wówczas 4. Stopień T -niezmienniczy W tym podrozdziale podamy definicję i własności stopnia T -niezmienniczych odwzorowań w R n, nazywanego dalej stopniem T -niezmienniczym. Najpierw zdefiniujemy ten stopień dla odwzorowań normalnych, a następnie dla wszystkich odwzorowań T -dopuszczalnych. Niech Ω R n będzie zbiorem T -dopuszczalnym i f = (f 1, f 2 ) N A T (Ω), gdzie f 1 : Ω R p, f 2 : Ω R q. Niech Ω 0 = Ω R p. Gdy Ω 0, definiujemy odwzorowanie g 0 : Ω 0 R p wzorem g 0 (u) = f 1 (u, 0). Ponieważ f A(Ω) i f 2 (u, 0) = 0 dla każdego (u, 0) Ω, więc g 0 A(Ω 0 ). Przyjmijmy, że { deg(g0, Ω d 0 = 0 ), gdy Ω 0, 0, gdy Ω 0 =. Z założenia, że f jest normalne wynika, że istnieje ε > 0 takie, że f(x) 0 dla każdego x Ω(ε). Wobec tego formuła g 1 (x) = f(x) dla x Ω 1, gdzie Ω 1 = Ω \ Ω(ε), określa odwzorowanie g 1 A T (Ω 1 ). Zauważmy, że T działa wolno na Ω 1. Na mocy wniosku 2.2 istnieje liczba całkowita d 1 taka, że deg(g 1, Ω 1 ) = 2d 1. Stopień T -niezmienniczy odwzorowania normalnego f na zbiorze Ω definiujemy następująco: deg T (f, Ω) = (d 0, d 1 ) Z Z. Oznaczmy przez N rodzinę wszystkich takich par (f, Ω), że f N A T (Ω) i Ω R n jest zbiorem T -dopuszczalnym. Twierdzenie 2.3. Odwzorowanie deg T : N Z Z, które parze (f, Ω) N przyporządkowuje deg T (f, Ω) Z Z ma następujące własności: (1) (homotopijna niezmienniczość) Jeżeli h HN A T (Ω), to deg T (h t, Ω) = deg T (h 0, Ω) dla każdego t (0, 1]. (2) (wł. wycinania) Jeżeli Ω 0 Ω jest T -niezmienniczy oraz f 1 ({0}) Ω Ω 0, to deg T (f, Ω) = deg T (f Ω0, Ω 0 ). (3) (addytywność) Jeżeli Ω 1, Ω 2 są rązłącznymi, otwartymi i T -niez mienniczymi podzbiorami zbioru Ω takimi, że f 1 ({0}) Ω Ω 1 Ω 2, to deg T (f, Ω) = deg T (f Ω1, Ω 1 ) + deg T (f Ω2, Ω 2 ). (4) (wł. istnienia) Jeżeli deg T (f, Ω) 0, to istnieje punkt x Ω taki, że f(x) = 0. Odwzorowanie deg T : N Z Z nazywamy stopniem T -niezmienniczym odwzorowań normalnych. Powyższe własności stopnia T -niezmienniczego wynikają z jego definicji i z odpowiednich własności stopnia Brouwera (patrz wł ). Zauważmy, że zależność między stopniem Brouwera i stopniem T -niezmienniczym odwzorowania f N A T (Ω) jest następująca: deg(f, Ω) = d 0 + 2d 1 i d 0 = deg(f, Ω(ε)). Niech E oznacza rodzinę wszystkich takich par (f, Ω), że f A T (Ω) i Ω jest zbiorem T -dopuszczalnym. W oparciu o twierdzenie 2.2 możemy stopień T - niezmienniczy rozszerzyć na rodzinę E. Niech zatem f A T (Ω). Weźmy g

14 14 2. STOPIEŃ T -NIEZMIENNICZYCH ODWZOROWAŃ W R n N A T (Ω) takie, że [g] = [f]. Przyjmijmy, że Deg T (f, Ω) = deg T (g, Ω). Z twierdzenia 2.2 wynika, że powyższa formuła nie zależy od wyboru g. Definicja 2.7. Odwzorowanie Deg T : E Z Z, które parze (f, Ω) E przyporządkowuje Deg T (f, Ω) Z Z nazywamy stopniem T -niezmienniczym. Poniższe twierdzenie jest naturalną konsekwencją definicji 2.7 i twierdzenia 2.3. Twierdzenie 2.4. Stopień T -niezmienniczy ma następujące własności: (1) (homotopijna niezmienniczość) Jeżeli h HA T (Ω), to Deg T (h t, Ω) = Deg T (h 0, Ω) dla każdego t (0, 1]. (2) (wł. wycinania) Jeżeli Ω 0 Ω jest T -niezmienniczy oraz f 1 ({0}) Ω Ω 0, to Deg T (f, Ω) = Deg T (f Ω0, Ω 0 ). (3) (addytywność) Jeżeli Ω 1, Ω 2 są rązłącznymi, otwartymi i T -niez mienniczymi podzbiorami zbioru Ω takimi, że f 1 ({0}) Ω Ω 1 Ω 2, to Deg T (f, Ω) = Deg T (f Ω1, Ω 1 ) + Deg T (f Ω2, Ω 2 ). (4) (wł. istnienia) Jeżeli Deg T (f, Ω) 0, to istnieje punkt x Ω taki, że f(x) = 0. Zadanie 1. Udowodnić lemat 2.3. Zadanie 2. Niech U R n będzie zbiorem otwartym i ograniczonym, a g : U R n odwzorowaniem klasy C 1. Pokazać, że g 1 ({0}) \ R(g) jest zbiorem zwartym. Zadanie 3. Niech Ω R n będzie zbiorem T -dopuszczalnym takim, że T działa wolno na Ω, a K Ω zbiorem (T, k)-prostym. Pokazać, że istnieje zbiór otwarty i T -niezmienniczy Ω 0 Ω taki, że K Ω 0 i Ω 0 jest (T, k)-prosty.

15 ROZDZIAŁ 3 Podstawy topologii niezmienniczej i teorii reprezentacji W tym rozdziale zamieszczamy wszystkie ważne definicje i fakty z topologii niezmienniczej oraz teorii reprezentacji, które są niezbędne do określenia stopnia niezmienniczego. Pisząc ten rozdział, korzystaliśmy głównie z następujących prac [Gęba97], [Serr88] i [Trau00]. Definicja 3.1. Zbiór G jest grupą Liego, jeżeli spełnia następujące warunki: G jest grupą, G jest gładką rozmaitością, odwzorowanie G G (g, h) gh 1 G jest gładkie. Od teraz zakładamy, że G jest zwartą grupą Liego. Ważne i znane ze względu na zastosowania są następujące przykłady zwartych grup Liego: grupy skończone, w szczególności Z k grupa reszt z dzielenia przez liczbę naturalną k, z dodawaniem modulo k oraz D k grupa izometrii k-kąta foremnego ze składaniem izometrii (izomorficzna z sumą prawie rozłączną Z k k Z 2 ), O(n) grupa ortogonalnych odwzorowań przestrzeni R n, t.j. liniowych odwzorowań przestrzeni R n, które zachowują iloczyn skalarny, ze składaniem odwzorowań, SO(n) grupa złożona z tych ortogonalnych odwzorowań przestrzeni R n, których macierze mają wyznacznik równy 1, ze składaniem odwzorowań, S 1 := {e iϕ : 0 ϕ < 2π} z dodawaniem liczb zespolonych, izomorficzna z SO(2). Niech H i K będą podgrupami grupy G. Mówimy, że H jest sprzężone z K i zapisujemy H s K, gdy istnieje taki element g G, że H = g 1 Kg. Łatwo sprawdzić, że s jest relacją równoważności. Dla dowolnej podgrupy H grupy G, symbolem (H) s będziemy oznaczać klasę abstrakcji H względem relacji. Natomiast symbolem Ψ(G) będziemy oznaczać zbiór klas abstrakcji wszystkich domkniętych podgrup grupy G względem tej relacji. W zbiorze Ψ(G) wprowadzamy częściowy porządek s. Mianowicie, jeżeli H i K są domkniętymi podgrupami grupy G, to (H) s (K), gdy istnieje g G takie, że H g 1 Kg. Gdy grupa G jest abelowa, klasy abstrakcji relacji s są jednoelementowe. Wówczas Ψ(G) można utożsamić ze zbiorem wszystkich domkniętych podgrup grupy G, a relację s z inkluzją. 1. Działania Definicja 3.2. Niech X będzie przestrzenią topologiczną. ciągłe µ: G X X spełniające następujące warunki: µ(g, µ(h, x)) = µ(gh, x) dla dowolnych g, h G oraz x X, µ(e, x) = x dla każdego x X i elementu neutralnego e G Odwzorowanie nazywamy działaniem grupy G na przestrzeni X. Parę (X, µ) nazywamy G-przestrzenią. 15

16 16 3. PODSTAWY TOPOLOGII NIEZMIENNICZEJ I TEORII REPREZENTACJI Gdy działanie µ: G X X jest ustalone, to czasami zamiast pisać (X, µ) piszemy samo X, a zamiast µ(g, x) piszemy gx. Przykład 3.1. Niech X będzie dowolną przestrzenią topologiczną. Odwzorowanie µ: G X X dane wzorem µ(g, x) := x jest działaniem grupy G na przestrzeni X. Nazywamy je działaniem trywialnym. Przykład 3.2. Niech µ: Z 2 R 2 R 2 będzie określone następująco µ(0, (x 1, x 2 )) = (x 1, x 2 ), µ(1, (x 1, x 2 )) = (x 1, x 2 ) dla (x 1, x 2 ) R 2. Odwzorowanie µ jest działaniem Z 2 na R 2. Przykład 3.3. Niech A ϕ : R 2 R 2 będzie obrotem płaszczyzny o kąt 0 ϕ < 2π. Wówczas µ: S 1 R 2 R 2 dane wzorem µ(e iϕ, x) = A ϕ x jest działaniem S 1 na R 2. Przykład 3.4. Niech R 2 {0} będzie trójkątem równobocznym, którego dwusieczne przecinają się w punkcie (0, 0, 0) R 3, a jeden z wierzchołków leży na prostej R {(0, 0)}. Niech D 3 będzie grupą izometrii płaskich tego trójkąta. Definiujemy µ: D 3 R 3 R 3 nastepująco µ(a, (x 1, x 2, x 3 )) = (A(x 1, x 2 ), x 3 ), gdy A D 3 jest obrotem trójkąta wokół punktu (0, 0, 0), µ(a, (x 1, x 2, x 3 )) = (A(x 1, x 2 ), x 3 ), gdy A D 3 jest symetrią trójkąta względem jednej z jego dwusiecznych. Odwzorowanie to jest działaniem D 3 na R 3. Niech X będzie G-przestrzenią i niech G c (X) będzie grupą wszystkich ciągłych bijekcji X na siebie. Dla każdego g G odwzorowanie F g : X X określone wzorem F g (x) := gx jest elementem grupy G c (X). Co więcej, odwzorowanie G g F g G c (X) jest homomorfizmem, t.j. F gh = F g F h dla g, h G. Mówimy, że działanie G na X jest liniowe, jeżeli dla każdego g G odwzorowanie F g jest liniowe. Definicja 3.3. Niech X będzie G-przestrzenią. Zbiór Z X nazywamy zbiorem G-niezmienniczym (G-zbiorem), jeżeli dla każdego x Z i g G mamy gx Z. Przykład 3.5. Niech µ: Z 2 R 2 R 2 będzie działaniem z przykładu 3.2. Wówczas wszystkie podzbiory płaszczyzny symetryczne względem prostej x 2 = 0 są Z 2 -zbiorami. W szczególności, {(x 1, x 2 ) R 2 : (x 1 a) 2 + x 2 2 < R}, gdzie a R, R > 0, {(x 1, x 2 ) R 2 : r < (x 1 a) 2 + x 2 2 < R}, gdzie a R, 0 < r < R, {(x 1, x 2 ) R 2 : a x 1 c a, b x 2 b}, gdzie a, b > 0, c R są Z 2 -zbiorami. Przykład 3.6. Niech µ: S 1 R 2 R 2 będzie działaniem z przykładu 3.3. Wówczas, {(0, 0)}, R 2 oraz koła i pierścienie o środku w punkcie (0, 0) są jedynymi spójnymi S 1 -zbiorami. Przykład 3.7. Niech µ: D 3 R 3 R 3 będzie działaniem z przykładu 3.4. Wtedy dla każdego h > 0 zbiór [ h, h] jest D 3 -niezmienniczy. Definicja 3.4. Załóżmy, że X i Y są G-przestrzeniami. (1) Odwzorowanie f : X Y nazywamy odwzorowaniem G-niezmienniczym (G-odwzorowaniem), jeżeli dla każdego x X i g G zachodzi równość f(gx) = gf(x).

17 1. DZIA ANIA 17 (2) Odwzorowanie h: X [0, 1] Y nazywamy G-niezmienniczą homotopią (G-homotopią), jeżeli jest ciągłe i dla każdego t [0, 1] odwzorowanie h t : X Y jest G-niezmiennicze. (3) Funkcję f : X R nazywamy funkcją G-niezmienniczą (G-funkcją), jeżeli dla każdego x X i g G mamy f(gx) = f(x). Przykład 3.8. Załóżmy, że f 1, f 2 : R 2 R. Niech f = (f 1, f 2 ) i niech µ: Z 2 R 2 R 2 będzie działaniem z przykładu 3.2. Odwzorowanie f jest Z 2 -niezmiennicze wtedy i tylko wtedy, gdy f 1 jest parzyste ze względu na drugą zmienną oraz f 2 jest nieparzyste ze względu na drugą zmienną. Istotnie, jeśli (x 1, x 2 ) R 2, to µ(1, f(x 1, x 2 )) = f(µ(1, (x 1, x 2 ))) (f 1 (x 1, x 2 ), f 2 (x 1, x 2 )) = (f 1 (x 1, x 2 ), f 2 (x 1, x 2 )) f 1 (x 1, x 2 ) = f 1 (x 1, x 2 ) f 2 (x 1, x 2 ) = f 2 (x 1, x 2 ). Przykład 3.9. Niech X i Y będą G-przestrzeniami i niech f 1, f 2 : X Y będą G- odwzorowaniami. Jeżeli działanie G na Y jest liniowe, to odwzorowanie h(x, t) = tf 1 (x) + (1 t)f 2 (x), gdzie x X i t [0, 1], jest G-homotopią. Przykład Załóżmy, że S 1 działa na R 2 jak w przykładzie 3.3. Funkcja f : R 2 R jest S 1 -niezmiennicza wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego (x 1, x 2 ) R 2 zachodzi równość f(x 1, x 2 ) = f( x x2 2, 0). Rzeczywiście. Weźmy bowiem (x 1, x 2 ) R 2 i niech (r, α) [0, + ) [0, 2π) będą współrzędnymi biegunowymi tego punktu. Wówczas, jeżeli f jest G-funkcją, to dla każdego ϕ [0, 2π) mamy f(x 1, x 2 ) = f A ϕ (x 1, x 2 ) = f(r cos(α + ϕ), r sin(α + ϕ)). W szczególności, gdy ϕ = 2π α, to f(x 1, x 2 ) = f(r, 0) = f( x x2 2, 0). Implikacja przeciwna do udowodnionej jest oczywista. Załóżmy, że X jest G-przestrzenią. Dla każdego punktu x X zbiór G x := {g G: gx = x} jest domkniętą podgrupą grupy G. Nazywa się go grupą izotropii punktu x lub stabilizatorem punktu x. Natomiast zbiór nazywamy orbitą punktu x X. Gx := {gx: g G} Przykład Załóżmy, że Z 2 działa na R 2 jak w przykładzie 3.2. Weźmy x = (x 1, x 2 ) R 2. Jeżeli x 2 = 0, to (Z 2 ) x = Z 2 i Z 2 x = {x}. Jeżeli natomiast x 2 0, to (Z 2 ) x = {0} i Z 2 x = {(x 1, x 2 ), (x 1, x 2 )}. Przykład Załóżmy, że S 1 działa na R 2 jak w przykładzie 3.3. Niech x = (x 1, x 2 ) R 2. Jeżeli x = (0, 0), to S 1 x = S 1 i S 1 x = {x}. Jeżeli x (0, 0), to S 1 x = {1} i S 1 x = B((0, 0), x ). Stabilizatory punktów należących do tej samej orbity są sprzężone: G gx = gg x g 1. Jeżeli Gx = {x} (G x = G), to punkt x nazywamy punktem stałym działania grupy G. Mówimy, że dwie orbity Gx i Gy są tego samego typu orbitowego, jeżeli istnieje G-niezmienniczy homomorfizm φ: Gx Gy. Fakt 3.1. Dwie orbity Gx i Gy są tego samego typu orbitowego wtedy i tylko wtedy, gdy G x s Gy.

18 18 3. PODSTAWY TOPOLOGII NIEZMIENNICZEJ I TEORII REPREZENTACJI Powyższy fakt tłumaczy dlaczego zbiór Ψ(G) nazywamy czasami zbiorem typów orbitowych. W dalszym ciągu zakładamy, że H G jest podgrupą domkniętą. Wówczas dla Y X możemy zdefiniować następujące zbiory: Y H := {x Y : H G x }, Y H := {x Y : H = G x }, Y (H) := {x Y : (H) = (G x )}. Oczywiście, jeżeli G jest abelowa, to Y H = Y (H). Przykład Powróćmy do przykładu Niech H = {1}. Wtedy H jest domkniętą podgrupą S 1. Mamy (R 2 ) H = R 2 \ {(0, 0)} oraz (R 2 ) H = R 2. Fakt 3.2. Y (H) jest G-zbiorem. Fakt 3.3. Jeżeli G jest abelowa, to Y H i Y H są G-zbiorami. Fakt 3.4. Jeżeli Y jest zbiorem domkniętym, to Y H, Y H oraz Y (H) są zbiorami domkniętymi. Mówimy, że H jest maksymalnym typem orbitowym w Y, jeżeli (H) jest elementem maksymalnym w zbiorze {(G x ): x Y } względem relacji s. Jeżeli H jest maksymalnym typem orbitowym w Y, to Y H = Y H. W grupie G wprowadzamy relację H. Mówimy, że element g 1 G jest w relacji z elementem g 2 G, co zapisujemy g 1 H g2, jeżeli istnieje h H takie, że g 1 = g 2 h 1. Łatwo sprawdzić, że jest to relacja równoważności. Klasę abstrakcji elementu g G względem tej relacji oznaczamy symbolem [g]. Fakt 3.5. Przestrzeń ilorazowa G / H jest G-przestrzenią. Działanie G na G / H jest określone następująco µ(g, [g 1 ]) = [gg 1 ]. Fakt 3.6. Orbita Gx jest dyffeomorficzna z przestrzenią ilorazową G / Gx. 2. Reprezentacje Niech X będzie rzeczywistą przestrzenią unormowaną i niech GL(X) będzie grupą izomorfizmów przestrzeni X na siebie. Wiadomo, że GL(X) jest otwartym podzbiorem przestrzeni L(X) wszystkich odwzorowań liniowych i ciągłych z X w siebie, z normą A := sup x 1 Ax. Niech ϱ: G GL(X) będzie ciągłym homomorfizmem. Parę V = (X, ϱ) nazywamy reprezentacją grupy G w przestrzeni X. Mówimy, że X jest przestrzenią reprezentacji V (lub po prostu, mniej ściśle, że X jest reprezentacją grupy G), a dim X jest wymiarem reprezentacji V. Przykład Niech X będzie rzeczywistą przestrzenią unormowaną. Odwzorowanie σ : G GL(X) dane wzorem σ(g) = Id X, g G, jest ciągłym homomorfizmem. Parę (X, σ) nazywamy reprezentacją trywialną grupy G w przestrzeni X. Przykład Niech G będzie podgrupą grupy GL(R n ), a ϱ: G GL(R n ) będzie dane wzorem ϱ(g) := g dla g G. Parę (R n, ϱ) nazywamy reprezentacją definiującą G w R n. Przykład Załóżmy, że G jest grupą skończoną rzędu p. Niech X będzie rzeczywistą przestrzenią liniową wymiaru p o bazie {x g1, x g2,..., x gp } indeksowanej elementami g 1, g 2,..., g p grupy G. Niech ϱ(g): X X dla g G będzie takim przekształceniem liniowym, że ϱ(g)x gj = x ggj dla j = 1, 2,..., p. W ten sposób otrzymujemy reprezentację (X, ϱ), którą nazywamy reprezentacją regularną. Wymiar tej reprezentacji jest równy p.

19 2. REPREZENTACJE 19 Przykład Niech S x2 : R 2 R 2 będzie symetrią względem prostej x 2 = 0, t.j. S x2 (x 1, x 2 ) = (x 1, x 2 ). Niech ϱ: Z 2 GL(R 2 ) będzie określone następująco ϱ(0) = Id R 2, ϱ(1) = S x2. Wtedy (R 2, ϱ) jest reprezentacją grupy Z 2 w R 2. Nietrudno zauważyć, że jeśli V = (X, ϱ) jest reprezentacją grupy G w przestrzeni X, to odwzorowanie µ ϱ : G X X dane wzorem µ ϱ (g, x) := ϱ(g)x jest działaniem grupy G na przestrzeni X. Zatem (X, µ ϱ ) jest G-przestrzenią. Definicja 3.5. Niech V 1 = (X 1, ϱ 1 ) i V 2 = (X 2, ϱ 2 ) będą reprezentacjami grupy G w przestrzeniach X 1 i X 2. Mówimy, że reprezentacje te są izomorficzne lub równoważne, jeżeli istnieje izomorfizm T : X 1 X 2, który spełnia warunek dla każdego g G. T ϱ 1 (g) = ϱ 2 (g) T W szczególności, reprezentacje izomorficzne mają ten sam wymiar. Przykład Załóżmy, że G jest grupą skończoną rzędu p, a X rzeczywistą przestrzenią liniową wymiaru p o bazie {x g1, x g2,..., x gp } indeksowanej elementami g 1, g 2,..., g p grupy G. Niech (X, ϱ) będzie reprezentacją regularną grupy G (patrz przykład 3.16) i niech (X, ϱ) będzie reprezentacją grupy G taką, że dla pewnego x 0 X elementy postaci ϱ(g)x 0, g G, tworzą bazę przestrzeni X. Wówczas reprezentacja (X, ϱ) jest izomorficzna z reprezentacją regularną. Izomorfizm T : X X określamy przyjmując T x gj = ϱ(g j )x 0 dla j = 1, 2,..., p. Wtedy dla każdego g G zachodzi równość T ϱ(g) = ϱ(g) T. Definicja 3.6. Niech V 1 = (X 1, ϱ 1 ) i V 2 = (X 2, ϱ 2 ) będą reprezentacjami grupy G w przestrzeniach X 1 i X 2. Reprezentację grupy G w przestrzeni X 1 X 2 postaci V = (X 1 X 2, ϱ 1 ϱ 2 ), gdzie (ϱ 1 ϱ 2 )(g)(x 1 x 2 ) := ϱ 1 (g)x 1 ϱ 2 (g)x 2 dla wszystkich g G, x 1 X 1 i x 2 X 2, nazywamy sumą prostą reprezentacji V 1 i V 2. Zapisujemy V = V 1 V 2. Przykład Niech V 1 = (R 2, ϱ) będzie reprezentacją grupy Z 2 w przestrzeni R 2 z przykładu 3.17, a V 2 = (R, σ) trywialną reprezentacją Z 2 w R. Wówczas V 1 V 2 jest reprezentacją Z 2 w R 3. Co więcej, (ϱ σ)(0)(x 1, x 2, x 3 ) = (x 1, x 2, x 3 ), a (ϱ σ)(1)(x 1, x 2, x 3 ) = (x 1, x 2, x 3 ) dla każdego (x 1, x 2, x 3 ) R 3. Niech V = (X, ϱ) będzie reprezentacją grupy G w przestrzeni X i niech X 0 będzie podprzestrzenią liniową przestrzeni X. Załóżmy, że podprzestrzeń X 0 jest G-niezmiennicza, czyli ϱ(g)x X 0 dla wszystkich x X 0 i g G. Obcięcie ϱ(g) X0 izomorfizmu ϱ(g) do podprzestrzeni X 0 jest więc izomorfizmem przestrzeni X 0 na siebie i oczywiście ϱ(gh) X0 = ϱ(g) X0 ϱ(h) X0. Wobec tego odwzorowanie ϱ 0 : G GL(X 0 ), g ϱ(g) X0 jest homomorfizmem, a W = (X 0, ϱ 0 ) jest reprezentacją grupy G w przestrzeni X 0. Mówimy, że W jest podreprezentacją reprezentacji V. Przykład Niech V = (R 2, ϱ) będzie reprezentacją grupy Z 2 z przykładu Wówczas X 0 = {(x 1, 0) R 2 : x 1 R} jest podprzestrzenią Z 2 -niezmienniczą w R 2. Co więcej, ϱ(g) X0 = Id X0 dla g Z 2. Zatem trywialna reprezentacja grupy Z 2 w X 0 jest podreprezentacją reprezentacji V. Przykład Niech V = (X, ϱ) będzie reprezentacją grupy G w przestrzeni X. Załóżmy, że G jest abelowa oraz H G jest podgrupą domkniętą. Wówczas X H jest G-niezmienniczą podprzestrzenią, a ϱ H : G GL(X H ) dane wzorem ϱ H (g) = ϱ(g) X H dla g G jest homomorfizmem. Zatem para V H = (X H, ϱ H ) jest podreprezentacją reprezentacji V.

20 20 3. PODSTAWY TOPOLOGII NIEZMIENNICZEJ I TEORII REPREZENTACJI Definicja 3.7. Mówimy, że reprezentacja V = (X, ϱ) grupy G w przestrzeni X jest nieprzywiedlna lub prosta, jeżeli {0} i X są jedynymi G-niezmienniczymi podprzestrzeniami przestrzeni X. Przykład Dla każdego k N niech Żk := {A SO(2): A k = Id R 2}. Wiadomo, że elementami grupy SO(2) są obroty na płaszczyźnie wokół punktu (0, 0). Ż k jest grupą rzędu k generowaną przez obrót o kąt 2π k. Oczywiście Żk Z k. Niech ϱ k : Żk SO(2) dane będzie wzorem ϱ k (A) = A dla A Żk. Para (R 2, ϱ k ) jest nieprzywiedlną reprezentacją grupy Żk w przestrzeni R 2. Jednocześnie jest to reprezentacja definiująca grupy Żk w R 2 (porównaj przykład 3.15). Definicja 3.8. Mówimy, że reprezentacja V = (X, ϱ) grupy G w przestrzeni X jest rozkładalna, jeżeli istnieją dwie nietrywialne podprzestrzenie G-niezmiennicze X 1 i X 2 przestrzeni X takie, że X = X 1 X 2. Wtedy V i = (X i, ϱ i ), gdzie ϱ i : G GL(X i ) jest dane wzorem ϱ i (g) = ϱ(g) Xi, są takimi podreprezentacjami reprezentacji V, że V = V 1 V 2. Przykład Wróćmy do przykładu Niech X0 = {(0, x 2 ) R 2 : x 2 R}. Oczywiście X0 jest Z 2 -niezmienniczą podprzestrzenią w R 2. Ponieważ R 2 = X 0 X0, więc rozważana reprezentacja grupy Z 2 w R 2 jest rozkładalna. Twierdzenie 3.1. Niech V = (X, ϱ) będzie reprezentacją grupy G w skończenie wymiarowej przestrzeni X i niech X 1 będzie G-niezmienniczą podprzestrzenią przestrzeni X. Wówczas istnieje G-niezmiennicza podprzestrzeń X 2 przestrzeni X taka, że X = X 1 X 2. Wniosek 3.1. Każda skończenie wymiarowa reprezentacja zwartej grupy Liego jest sumą prostą reprezentacji nieprzywiedlnych. Twierdzenie 3.2. Jeżeli V jest skończenie wymiarową reprezentacją grupy G w przestrzeni X, to istnieją podreprezentacje V 1, V 2,..., V k takie, że V = k i=1 V i, V i = r i j=1 V ij dla każdego 1 i k, wszystkie reprezentacje V ij są nieprzywiedlne, reprezentacje V ij i V ij są izomorficzne dla 1 i k, 1 j, j r i, reprezentacje V ij i V i j nie są izomorficzne dla i i, 1 i, i k, 1 j r i, 1 j r i. Rozkład reprezentacji V na sumę prostą reprezentacji V 1, V 2,..., V k, o których mowa w powyższym twierdzeniu, nazywamy rozkładem kanonicznym. Definicja 3.9. Załóżmy, że (X,, ) jest rzeczywistą przestrzenią unitarną. Mówimy, że reprezentacja V = (X, ϱ) grupy G w przestrzeni X jest unitarna, jeżeli dla każdego g G izomorfizm ϱ(g): X X jest odwzorowaniem unitarnym, t.j. ϱ(g)x, ϱ(g)y = x, y dla x, y X. W szczególności, gdy X = R n i ϱ(g) O(n) dla g G, to mówimy, że reprezentacja V = (R n, ϱ) jest ortogonalna. Przykład Niech m N {0}. Homomorfizm ρ m : SO(2) SO(2) O(2) definiujemy wzorem (8) ρ m (A ϕ ) := A mϕ. Przypomnijmy, że każdy obrót na płaszczyźnie można przedstawić w postaci macierzy [ ] cos ϕ sin ϕ A ϕ =, sin ϕ cos ϕ gdzie ϕ [0, 2π). Zatem wzór (8) można zapisać w postaci ([ ]) [ ] cos ϕ sin ϕ cos mϕ sin mϕ (9) ρ m =. sin ϕ cos ϕ sin mϕ cos mϕ