Niepewność w wiedzy. Agnieszka Nowak - Brzezińska

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Niepewność w wiedzy. Agnieszka Nowak - Brzezińska"

Transkrypt

1 Realizacja niepewności wiedzy w systemach ekspertowych Instytut Informatyki, Uniwersytet Śląski, ul. Będzinska 39, Sosnowiec, Polska Tel (32) , Fax (32) czerwca 2010

2 Table of contents 1 Wprowadzenie

3 Słowem wstępu... Od zarania dziejów człowiek staje przed koniecznością dokonania wyborów o mniejszym bądź większym znaczeniu. W bardzo złożonych systemach często wkrada się niepewność, której nie można traktować jako losowość, dającą się opisywać klasycznym rachunkiem prawdopodobieństwa bądź statystyką, gdyż ona ma zastosowanie tylko dla zjawisk masowych (często powtarzalnych). Nie ma zaś metod radzenia sobie z przypadkami rzadkimi.

4 ... Wprowadzenie Wiedzą niepewną będziemy określać taką wiedzę, której ekspert tę wiedzę przekazujący ufa w większej części, i zakłada, że w większości przypadków ta wiedza się sprawdza w rzeczywistości. Jednak nie ma on 100% przekonania o tym, że będzie ona prawdziwa w każdej sytuacji. Ekspert przekazuje przecież wiedzę będącą wynikiem jego doświadczeń, nie jest zatem powiedziane, że wszyscy eksperci muszą podzielać takie samo zdanie. Mało tego, specyfika problemu analizowanego przez eksperta może być na tyle trudna do opisania, że jedyne co ekspert może zrobić to określić stopień swojego subiektywnego przekonania o spełnialności tej wiedzy w rzeczywistości. Z niepewnością w wiedzy wiążą się także tzw. pojęcia nieostre oraz po prostu wiedza niespójna.

5 ... Wprowadzenie... pojęcia nieostre, Niepewność pojęcia niespójne, wiedzy jest zagadnieniem bardzo złożonym i powodowana jest wieloma czynnikami. Wiedzą niepewną w bazie wiedzy zarówno w częściach warunkowych jak i decyzyjnych szum informacyjny, reguł, mogą być: dane niekompletne.

6 Pojęcia nieostre Pojęcia nieostre Pojęcia nieostre występują zawsze wtedy gdy wiedza zapisana jest przy użyciu pojęć typu: stan pacjenta stabilny czy odpowiednia dawka leku. Bez odpowiedniego aparatu matematycznego wspomagającego tak zapisaną wiedzę np. w postaci współczynników pewności czy np. probabilistyki, wnioskowanie w takim systemie jest niemożliwe Pojęcia niespójne Niepewność objawia się w ten sposób np., że przy takich samych warunkach w danej bazie wiedzy mamy reguły o innych decyzjach, które uniemożliwiają podjęcie jednoznacznej decyzji. Ten rodzaj niepewności wiedzy rozwiązują doskonale zbiory przybliżone

7 Szum informacyjny Szum informacyjny Jest specyficznym rodzajem niepewności wiedzy, dlatego, że nie istnieje jednoznaczny sposób identyfikacji takiego szumu i sposobów rozwiązania tego problemu. Szum informacyjny może powstawać z winy eksperta przekazującego wiedzę, bądź z winy inżyniera wiedzy, który na etapie akwizycji wiedzy, źle zapisał w systemie ekspertowym wiedzę pobraną od eksperta. Nie są to jedyne przypadki powstania szumu. Źródłem powstania szumu informacyjnego może być chociażby problem techniczny. Mogły zawieść urządzenia zapisujące i odczytujące dane, które przykładowo na etapie 80% transmisji danych uniemożliwią ich dalszą transmisję

8 ... Wprowadzenie Dane niekompletne Zapisanej wiedzy, w której nie dysponujemy pełną informacją, nie można w 100% ufać. W przypadku danych niekompletnych wyróżnia się wiele metod uzupełniania takich braków w danych (poprzez zastępowanie brakujących danych np. wartością średnią w zbiorze) jednak metody takie możliwe są do stosowania jedynie w przypadku gdy takich braków jest stosunkowo mało, zaś obserwacji w zbiorze odpowiednio dużo, by móc np. wartość średnią uznawać za miarodajną.

9 - reprezentacja wiedzy niepewnej w bazach wiedzy Niepewność może występować zarówno w faktach jak i w regułach. Do rozwiązania problemu niepewności w bazach wiedzy wykorzystuje się: prawdopodobieństwo zajścia jakiegoś zdarzenia (faktu), zbiory rozmyte, współczynnik CF, teoria Dempstera-Sheffera, zbiory przybliżone, gdzie wiedza pewna jest określona przez dolne lub górne przybliżenie zbioru, a to, co znajduje się na brzegu reprezentuje wiedzę niepewną (brzeg to różnica między górnym a dolnym przybliżeniem zbioru).

10 Pojęcie nieostre Z pojęciami nieostrymi mamy do czynienia bardzo często w świecie rzeczywistym i przyznamy z pewnością, że każdy człowieka przyjmuje własną interpretację tego typu pojęć. To samo pojęcie dla dwóch różnych ludzi może mieć zupełnie inne znaczenie. Wracając do przykładu naszej bazy wiedzy z regułami rozwiązującymi problem postępowania w przypadku awarii prądu. Z pojęciem nieostrym mielibyśmy do czynienia w przypadku gdyby reguła: będzie miała postać: 2: brak_prądu = Zupelny if dzialaja_gniazdka = Nie and swieci_swiatlo = Nie 2: brak_pradu = Zupełny if dzialaja_gniazdka = Nie and swieci_swiatlo = raczej nie ; bo wówczas, określenie faktu, że świeci_światło z wartością raczej nie nie pozwala nam być do końca pewnym, czy na pewno nie świeci. Wartość raczej nie sprawia, że jesteśmy bardziej skłonni do przyrównania z wartością nie, ale to tylko nasze subiektywne przypuszczenie.

11 Dwa różne podejścia do rozwiązania problemu pojęć nieostrych współczynniki pewności, sieci bayesowskie czy teoria Dempstera-Shafera, bądź logika rozmyta.

12 Dwa różne podejścia do rozwiązania problemu pojęć nieostrych współczynniki pewności, sieci bayesowskie czy teoria Dempstera-Shafera, bądź logika rozmyta.

13 Zbiory rozmyte Zbiory rozmyte wchodzą w kolizję z klasyczną logiką, która oparta jest na prawie wyłączonego środka "tertium non datur", oznaczającego, że zdanie może być albo prawdziwe, albo fałszywe, że dany przedmiot może należeć do zbioru lub nie. W przypadku zbiorów rozmytych owo trzecie wyjście istnieje: przedmiot może bowiem należeć do zbioru w pewnym tylko stopniu (a tym samym jednocześnie w określonym stopniu do niego nie należeć). Dlatego, w teorii zbiorów rozmytych niezwykle istotne są właściwości charakteryzujące obiekty, gdyż to one decydują o przynależności tych obiektów różnych zbiorów obiektów. Właściwość (cecha) dobrze określona wyznacza dla danego zbioru jednoznaczne granice oddzielające elementy należące od nie należących do niego. Jeśli bowiem przyjmujemy, że U to przestrzeń rozważanych obiektów, zbiór taki będziemy mogli określać przez funkcję f wyznaczającą przynależność obiektów do zbioru f w : U {0, 1}, gdzie w oznacza zbiór obiektów. Jeśli teraz oznaczymy przez X zbiór odpowiadający pewnej właściwości, to funkcja przynależności określona jest następująco: lub: f x (u) = 1 dla u X f x (u) = 0 dla u X

14 Niestety, istnieją takie właściwości, dla których trudno jest określić granicę rozdzielającą elementy spełniające tę właściwość od elementów jej nie spełniających. W tym celu wykorzystuje się właśnie funkcję przynależności, która przekształca przestrzeń U w odcinek [0, 1]. Po prostu, zdanie postaci: "Prawdopodobieństwo chłodu w dniu 1 stycznia 2000 wynosi 60 %źnaczy co innego niż stwierdzenie "Tego dnia jest chłodno w 60 % ". Stosując logikę rozmytą możemy tym zdaniem wyrazić stopień naszego przekonania o istniejących, rzeczywistych warunkach atmosferycznych, że jest raczej zimno niż ciepło. Wnioskowanie rozmyte przebiegać powinno zgodnie z algorytmem: wyznaczenie wartości funkcji f dla poszczególnych pojęć rozmytych występujących w warunkach reguł, wyznaczenie obszarów rozmytych na podstawie wartości obliczonych w punkcie pierwszym, zestawienie obszarów rozmytych, wyznaczenie wynikowego obszaru rozmytego, dokonanie defuzyfikacji wynikowego obszaru rozmytego, czyli zamiany tego zbioru na pewną wartość liczbową.

15 Geneza LOGIKI ROZMYTEJ 1 Kamienie milowe znaczące rozwój tej teorii to: koncepcja zbioru rozmytego, zbiory rozmyte a miary prawdopodobieństwa, zmienne lingwistyczne i wnioskowanie przybliżone, rozmyte programowanie dynamiczne i podejmowanie decyzji, rozmyta interpretacja języka, rozmyta algebra, rozmyte procesy stochastyczne i inne prace matematyczne. 2 Twórcy logiki rozmytej (ang. fuzzy logic) powołują się na polskiego matematyka Łukasiewicza, który pierwszy wprowadził logikę wielowartościową. 3 Praktyczne zastosowanie: układy sterowania. Wiele prac konstrukcyjnych i teoretycznych dotyczących doboru reguł sterowania i parametrów sterownika.powstały systemy samoorganizujące się, systemy człowiek-maszyna, których pięknym przykładem jest zbudowany przez japończyków helikopter sterowany głosem, rozumiejący polecenia takie jak: leć trochę wyżej, skręć nieco w lewo,itp. 4 Urządzenia powszechnego użytku, takich jak pralki, odkurzacze, odbiorniki radiowe i telewizyjne. Systemem ogniskowania niektórych modeli kamer Cannon zarządza układ rozmyty, który samodzielnie decyduje co jest obiektem filmowania i odpowiednio ustawia ostrość. W latach japończycy opracowali i wprowadzili do produkcji (firma Omron) pierwszy rozmyty mikroprocesor FP1000. Od tej pory rozmyte układy scalone torują sobie coraz śmielej drogę na rynek, chociaż z pewnym trudem upowszechniają się, gdyż inżynierowie nie znają podstaw nowej techniki.

16 Pojęcie zbioru rozmytego W klasycznej teorii zbiorów obowiązują m.in. dwa prawa: prawo niesprzeczności prawo wyłączonego środka. Inaczej mówiąc, każdy element należy albo do zbioru, albo do jego dopełnienia. Nie może należeć do obu naraz. Jeśli mamy np. pojęcia: dzień i noc, to one się wzajemnie wykluczają. Temperatura otoczenia może być tylko albo ujemna, albo nieujemna. W teorii zbiorów rozmytych przyjmuje, że element może należeć częściowo do zbioru jak i do jego dopełnienia. Stopień przynależności elementu x do zbioru A określa funkcja przynależności, oznaczana zwykle ma(x), o wartościach w przedziale [0, 1].Zbiory rozmyte opisują najczęściej pojęcia lingwistyczne używane często w życiu codziennym jak np. chłodno, gorąco.

17 Chłodno czy gorąco Przykład funkcji przynależności dla zbioru rozmytego chłodno, określonego w przestrzeni temperatur (np C). Sytuacja, gdy ma(x) = 1 oznacza pełną przynależność elementu x do zbioru A. Sytuacja, gdy ma(x) = 0 oznacza brak tej przynależności.

18 Zmienne lingwistyczne Pojęcie zmiennej lingwistycznej,zawdzięczane Zadehowi jest w zasadzie proste i intuicyjne, chociaż formalizm matematyczny jest dość skomplikowany. W potocznej mowie posługujemy się takimi pojęciami jak zimno i gorąco. Możemy utworzyć zmienną lingwistyczną o nazwie temperatura, rozbudowując powyższy przykład następująco: x - temperatura - nazwa zmiennej lingwistycznej, X - przestrzeń temperatur, czyli przedział [-20,+40]0C, {Mróz, Zimno, Chłodno, Ciepło, Gorąco} - wartości zmiennej lingwistycznej, przy czym: - dla temperatur [-20,0] zmienna lingwistyczna przyjmuje wartość mróz, - dla temperatur [-5,10] zmienna lingwistyczna przyjmuje wartość zimno, - dla temperatur [5,20] zmienna lingwistyczna przyjmuje wartość chłodno, - dla temperatur [15,30] zmienna lingwistyczna przyjmuje wartość ciepło, - dla temperatur [25,40] zmienna lingwistyczna przyjmuje wartość gorąco.

19 Temperatura

20 Zmienne lingwistyczne Założymy, że funkcje przynależności poszczególnych zbiorów rozmytych: mróz..gorąco mają kształt trapezowy o parametrach odpowiednio dobranych dla powyższych zbiorów: Dana wartość zmiennej x może należeć jednocześnie do kilku zbiorów rozmytych, z różnym stopniem przynależńości. Na przykład temperatura 14C należy do zbioru chłodno ze stopniem przynależności 0, 4 i zbioru ciepło ze stopniem przynależności 0, 6. Proces wyznaczania nazw zbiorów i stopni przynależności dla danego x nazywa się fuzzyfikacją. Podobnie wzrost człowieka, poziom wody w zbiorniku, możemy traktować jako zmienną lingwistyczn ą wprowadzając wartości lingwistyczne: niski, średni, wysoki oraz określając odpowiednie funkcje przynależności.

21 Zbiory rozmyte

22 Zastosowanie

23 Funkcje przynależności

24 Operacje na zbiorach rozmytych

25 Reguły rozmyte

26 Wnioskowanie rozmyte

27 Schemat przetwarzania danych z wykorzystaniem wnioskowania rozmytego Przetwarzanie wstępne, przetwarzanie końcowe Celem jest przekształcenie danych doprowadzonych do wejścia systemu do formatu akceptowanego przez moduł wnioskowania.analogicznie przetwarzanie końcowe służy do konwersji danych wyjściowych z tego modułu do postaci zgodniej z wymogami układów zewnętrznych.sam moduł wnioskowania oczekuje na wejściu ciągu liczb rzeczywistych i zwraca również ciąg takich liczb (crisp values) fuzyfikacja (rozmywanie): polega na transformacji wartości z dziedziny liczb rzeczywistych na wartości z dziedziny zbiorów rozmytych. w Tym celu dokonuje się wyznaczenia wartości funkcji przynależności dla kolejnych zmiennych lingwistycznych i dla danej rzeczywistej wartości wejściowej.

28 Schemat przetwarzania danych z wykorzystaniem wnioskowania rozmytego interpretacja reguł rozmytych W pierwszej kolejności realizowany jest proces obliczenia mocy reguł. w tym celu dla każdej zmiennej w przesłankach reguły wyznaczane są stopnie przynależności do odpowiedniego zbioru rozmytego. Jeśli moc reguły jest zerowa, uznaje się, że nie nastąpiła aktywacja reguły. Wyznaczany jest też zbiór rozmyty będący rezultatem uaktywnienia reguły. Zależy on od kształtu odpowiedniej funkcji przynależności oraz obliczonej mocy reguły. W najstępnym kroku następuje agregacja aktywnych reguł. Polega ona na sumowaniu rozmytych zbiorów wynikowych ze wszystkich reguł. Otrzymany zbiór rozmyty jest zbiorem wynikowym wnioskowania rozmytego. defuzyfikacja : po zakończeniu procedury agregacji reguł, wynikiem wnioskowania jest zbiór rozmyty. Zadaniem defuzyfikacji (zwanej też wyostrzaniem), jest zatem przekształcenie odwrotne do rozmywania, czyli transformacja wartości z dziedziny liczb rzeczywistych, której to można dokonać na wiele sposobów w zależności od konkretnego zastosowania.

29 Etapy projektowania systemu rozmytego określenie zadania oraz sposobu jego realizacji określenie zmiennych lingwistycznych i odpowiadających ich atrybutów rozmytych określenie funkcji przynależności określenie bazy reguł rozmytych wybór metody defizyfikacji

30 1 Firma ufundowała wakacyjne praktyki dla studentów, którzy uzyskali najlepsze wyniki z przedmiotów ścisłych (elektronika, informatyka, matematyka) oraz z języków (angielski, niemiecki). 2 Słowo najlepszy to wartość lingwistyczna, którą opisano oddzielnie dla przedmiotów ścisłych (NS) i języków (NJ). 3 Celem jest teraz określenie funkcji przynależności...

31 Funkcja przynależności dla zbioru rozmytego NS

32 Funkcja przynależności dla zbioru rozmytego NJ

33

34

35 Szukamy najlepszych studentów w ramach przedmiotów Najlepszy z elektroniki: G 1 = 1 x x x x x x 6

36 Szukamy najlepszych studentów w ramach przedmiotów Najlepszy z informatyki: G 2 = 1 x x x x x x 6

37 Szukamy najlepszych studentów w ramach przedmiotów Najlepszy z matematyki: G 3 = 0.6 x x x x x x 6

38 Szukamy najlepszych studentów w ramach przedmiotów Najlepszy z języka angielskiego: G 4 = 0 x x x x x x 6

39 Szukamy najlepszych studentów w ramach przedmiotów Najlepszy z języka niemieckiego: G 5 = 1 x x x x x x 6

40 Szukamy najlepszych studentów w ramach przedmiotów Najlepszy z elektroniki: Najlepszy z informatyki: Najlepszy z matematyki: G 1 = 1 x x x x x x 6 G 2 = 1 x x x x x x 6 G 3 = x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 Najlepszy z języka angielskiego: G 4 = x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 Najlepszy z języka niemieckiego: G 5 = x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6

41 Szukamy najlepszych studentów w ramach przedmiotów Podstawiając dane do wzoru: D = G 1 G 2 G 3 G 4 G 5 Decyzja rozmyta typu minimum jest postaci: D = 0 x x x x x x 6 Czyli x 5 Charakteryzuje się największym stopniem przynależności!

42 Zastosowania sterowniki fuzzy controllers sterowanie swiatlami na wjezdzie na autostrade sprzet powszechnego uzytku (np. pralki) w polaczeniu z innymi narzedziami AI, np. sieciami neuronowymi rozpoznawanie slów (cyfr itp.)

43 Pojęcia niespójne Zbiory przybliżone pozwalają reprezentować niepewność w wiedzy za pomocą pojęć dolnego i górnego przybliżenia zbioru.

44 Sieci bayesowskie łączące w sobie cechy: graficznej reprezentacji pozwalającej przedstawiać zależności przyczynowe oraz warunkowych prawdopodobieństw zmiennych względem ich bezpośrednich przyczyn, cieszą się dość dużą popularnością w pracach związanych z wnioskowaniem w systemach ekspertowych opartych na wiedzy niepewnej. Prekursorem sieci bayesowskich był Judea Pearl, który w 1988 roku zaproponował je jako reprezentację wiedzy niepewnej w sztucznej inteligencji.

45 Prawdopodobieństwo warunkowe - sieci Bayes a Wykorzystuje się w tym celu twierdzenie Bayes a, określające prawdopodobieństwo warunkowe. Jest to oczywiście prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A pod warunkiem zdarzenia B - co odpowiada prostej regule "Jeżeli B to A", którego ogólna postać wygląda następująco: P(B/A) P(A) P(A/B) = P(B) i oznacza, że stwierdzenia A może być uznane jako prawdziwe wtedy, kiedy stwierdzenie B jest uznane jako prawdziwe. Znajomość prawdopodobieństwa warunkowego pozwala na realizację procesów wnioskowania, które polegają na rozpatrywaniu prawdopodobieństwa stwierdzeń traktowanych jako pewne hipotezy.

46 Prawdopodobieństwo warunkowe - sieci Bayes a Aby np. określić prawdopodobieństwo faktu, że dany student ma przyznane stypendium, przy założeniu, że nie posiadamy żadnej wiedzy na ten temat, zgodnie z teorią prawdopodobieństwa musimy określić zdarzenia elementarne dotyczące badanej dziedziny. Zatem jeśli założymy, że istnieją tylko dwa elementarne zdarzenia D = {α, β}, gdzie odpowiednio: α - to zdarzenie polegające na tym, że dany student ma przyznane stypendium, β - to zdarzenie polegające na tym, że dany student nie ma przyznanego stypendium, to wykorzystując rachunek prawdopodobieństwa możemy stwierdzić, że: prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia αjest równe prawdopodobieństwu zajścia zdarzenia β i wynosi P(α) = P(β) = 1 2.

47 Prawdopodobieństwo warunkowe - sieci Bayes a Dostosowując się do wzoru Bayes a, w przypadku, gdy mamy dwa fakty: A- jeżdżę na rowerze, oraz B- jest ładna pogoda, gdzie P(A) = 0, 2i P(B) = 0, 4 oraz równocześnie w bazie wiedzy istnieją reguły : R1 : Jeżeli jest ładna pogoda to jeżdżę na rowerze- co po prostu oznacza P(A/B) R2 : Jeżeli jeżdżę na rowerze to jest ładna pogoda- co odpowiednio oznacza P(B/A), to znając prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia B pod warunkiem A, tzn., gdy wiemy, że P(B/A) = 0, 8, możemy także określić prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia Apod warunkiem B. Korzystając z wzoru Bayes a otrzymujemy wartość P(A/B) = [(0, 8 0, 4)/0, 2] = 0, 4. Wzór ten pozwala nam ustalić pewną hipotezę pod warunkiem, że znamy hipotezę przeciwną.

48 Prawdopodobieństwo warunkowe to prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A pod warunkiem zdarzenia B - co odpowiada prostej regule Jeżeli B to A, którego ogólna postać wygląda następująco: P(B/A) P(A) P(A/B) = P(B) i oznacza, że stwierdzenie A może być uznane jako prawdziwe wtedy, kiedy stwierdzenie B jest uznane jako prawdziwe. Znajomość prawdopodobieństwa warunkowego pozwala na realizację procesów wnioskowania, które polegają na rozpatrywaniu prawdopodobieństwa stwierdzeń traktowanych jako pewne hipotezy. O ich popularności w dużej mierze zadecydowały wydajne metody wnioskowania. Znaleźć można wiele zastosowań w sztucznej inteligencji, ekonomii, medycynie, genetyce czy statystyce. Sieć Bayesa stanowi numeryczny model związków przyczynowo-skutkowych zachodzących pomiędzy elementami zbioru obserwacji i hipotez. Stosując twierdzenie Bayesa, można dokonywać zarówno wnioskowania progresywnego (wnioskowanie w przód), jak i wnioskowania regresywnego (wnioskowanie wstecz).

49 Przetwarzanie wiedzy niepewnej - Zastosowanie teorii prawdopodobieństwa do reprezentacji wiedzy niepewnej wydaje się stosunkowo oczywiste. Określenia w postaci: prawdopodobnie, najczęściej itp. skłaniają do wykorzystania rachunku prawdopodobieństwa. Liczba reprezentująca prawdopodobieństwo odzwierciedla jedynie wiedzę obserwatora o świecie, nie oddaje więc prawdopodobieństwa obiektywnego. Punktem wyjścia dla różnych metod probabilistycznych jest twierdzenie Bayesa. Załóżmy, że mamy zbiór wzajemnie wyłączających się hipotez: dla których jest spełnione H = {h 1,..., h n }, P(h i ) > 0, i = 1, 2,..., n. Mamy również do dyspozycji zbiór obserwacji E = {e 1,..., e m }. Każdy fragment obserwacji e i jest niezależny warunkowo względem każdej hipotezy.

50 Reprezentacja wiedzy niepewnej Rozważmy przykład w którym n = m = 1. Mamy zatem jedną obserwację e oraz jedną hipotezę h. Załóżmy, że interesuje nas związek przyczynowo skutkowy pomiędzy obserwacją e a hipotezą h reprezentowany przez regułę: Jeżeli e To h co może być przedstawione graficznie: e h Obserwacja e oraz hipoteza h są reprezentowane przez wierzchołki grafu, natomiast natomiast wnioskowanie przez krawędź.

51 Reprezentacja wiedzy niepewnej Rozpatrywana reguła może być rozpatrywana w modelu Bayesa następująco: P(h e) = P(e h)p(h) P(e) Powyższy wzór jest szczególnym przypadkiem wzoru Bayesa, który w jednej ze swych postaci może być podany następująco: m P(h i )P(e 1,..., e m h i ) P(h i e 1,..., e m ) = n k=1 P(e 1,..., e m h k )P(h k ) = j=1 P(e j h i ) n m k=1 j=1 P(e j h k )P(h k ) P(h i) co uzyskujemy wykorzystując założoną uprzednio warunkową niezależność każdej obserwacji e i względem każdej hipotezy, co można opisać wzorem: m P(e 1,..., e m h i ) = P(e j h i ), dla i = 1,..., n j=1

52 Reprezentacja wiedzy niepewnej W warunkach rzeczywistych nigdy nie występuje jedna reguła, zatem również zamiast prostego grafu z jedną krawędzią i dwoma wierzchołkami otrzymamy sieć. Taka sieć nazywana siecią wnioskowań może mieć następującą postać: a b d E c F G gdzie: a, b, c, d to obserwacje, zaś E, F, G to hipotezy. Taka sieć wnioskowań może być opisana poprzez zbiór wierzchołków oraz zbiór krawędzi. Każdy wierzchołek reprezentuje obserwację lub hipotezę, każda krawędź jest określona w ten sposób, że podaje się dla niej informacje o wierzchołkach które dana krawędź łączy, oraz ewentualnie dla grafów skierowanych informację o kierunku krawędzi.

53 Definicja sieci Bayesowskiej G to graf określony zbiorem wierzchołków N i krawędzi E. CP to zbiór prawdopodobieństw warunkowych opisujących prawdopodobieństwo przejścia od jednego wierzchołka grafu do drugiego. Pod pojęciem sieci Bayesowskiej rozumieć będziemy trójkę: B = {N, E, CP}, gdzie dwójka {N, E} jest zorientowanym grafem acyklicznym zbudowanym na podstawie zadanych prawdopodobieństw warunkowych zawartych w zbiorze CP.

54 Definicja sieci Bayesa Sieć Bayesa Sieć Bayesa stanowi numeryczny model związków przyczynowo-skutkowych zachodzących między elementami zbioru obserwacji i hipotez. Stosując twierdzenie Bayesa, można dokonywać zarówno wnioskowania progresywnego (wnioskowanie w przód), jak i wnioskowania regresywnego (wnioskowanie wstecz).

55 Przykład syntezy sieci Bayesa A G Niech zbiór pewnych zmiennych identyfikujących obserwacje i hipotezy ma następującą postać: Z = {A, B, C, D, E, F, G, H}, B F H CP = {P(A), P(B A), P(C B), P(C F), P(D C), P(E CH), P(F G), P(G), P(H G)} To pozwala zbudować graf skierowany, który opisuje sieć Bayesa:B = {N, E, CP}, co można C przedstawić graficznie: D E Sieć Bayesa stanowi numeryczny model związków przyczynowo-skutkowych zachodzących pomiędzy elementami zbioru obserwacji i hipotez. Możliwe jest wówczas wnioskowanie progresywne (w przód), jak i wnioskowanie regresywne (wstecz).

56 Podsumowanie Prezentowana metoda reprezentacji i przetwarzania wiedzy niepewnej ma Metoda probabilistyczna ma charakter wybitnie numeryczny. Zarówno struktura sieci Bayes a jak również metody wnioskowania oparte są całkowicie o metody probabilistyczne (czy podobne jak np. teoria Dempster a-shafer a). Wady: realizacja praktyczna takiej reprezentacji wiedzy, umiarkowana zdolność do generowania objaśnień (ang. explanations ) procesu wnioskowania powodowana wybitnie numerycznym jego charakterem, złożoność obliczeniowa i pamięciowa procesu wnioskowania.

57 Problemy wynikające ze stosowania reprezentacji niepewności opartej na probabilistyce Wartość prawdopodobieństwa musi się sumować do jedynki, co oznacza, że jeśli P(a) = 0.3, to P( A) = 1 P(a) = = 0.7. Gdy za pomocą teorii prawdopodobieństwa modelujemy wybrany fragment rzeczywistości (często bardzo złożony), nie możemy się ograniczać do logiki dwuwartościowej i prawa tertium non datur tłumaczonego jako trzeciego wyjścia nie ma. Czasami jesteśmy w stanie jedynie powiedzieć, że prawdopodobieństwo zajścia pewnego zdarzenia wynosi np. 0.7 i, że jest ono możliwe przy zajściu pewnych zdarzeń je warunkujących. Możemy jednak zauważyć, że zdarzenie to zajdzie jeśli choć jedno z tych zdarzeń je warunkujących nastąpi, ale i gdy np. wszystkie trzy zajdą w rzeczywistości. Fakt, że zdarzenia nie są niezależne nie pozwala w łatwy sposób operować rachunkiem prawdopodobieństwa. Twórcą wiedzy w bazie wiedzy jest ekspert z danej dziedziny, który najczęściej nie potrafi posługiwać się statystykami i umiejętnością określania prawdopodobieństwa poprawnie. Ekspert przedstawia tylko swoją subiektywną ocenę.

58 Budowa sieci bayesowskiej dla bazy wiedzy zasilanie.bw Reguły w bazie wiedzy zasilanie.bw są budowane przy użyciu dwójek <atrybut, wartość>. Jeśli podstawimy za zmienne zdania symbolizujące pewne zdarzenia opisywane w tej bazie wiedzy to otrzymamy następujący wejściowy zbiór danych: A: co_zrobic = Zgłosić awarię w rejonie energetycznym B: brak_pradu = Zupełny C: prad_u_sasiadow = Nie mają D: prad_u_sasiadow = Mają E: bezpiecznik_glowny = Bezpiecznik główny włączony F: co_zrobic = Włączyć główny bezpiecznik G: bezpiecznik_glowny = Bezpiecznik główny wyłączony H: co_zrobic = Kontrola bezpiecznika obwodu gniazdek I: brak_pradu = W obwodzie gniazdek J: co_zrobic = Kontrola bezpiecznika obwodu świateł K: brak_pradu = W obwodzie świateł L: co_zrobic = Wszystko działa normalnie M: brak_pradu = Jest jak zawsze N: dzialaja_gniazdka = Nie O: swieci_swiatlo = Nie P: dzialaja_gniazdka = Tak R: swieci_swiatlo = Tak Niepewność ws: wiedzy lodowka_dziala = Nie

59 Analizując reguły w bazie zasilanie.bw możemy wyróżnić zbiory obserwacji i hipotez N, z których będzie można zbudować sieć. Dopiero gdy tę sieć opatrzymy zbiorem prawdopodobieństw warunkowych CP nazwiemy sieć siecią bayesowską - o ile oczywiście spełni ona założenia sieci bayesowskich o grafach acyklicznych i skierowanych. W naszym zbiorze obserwacjami będą: B, C, D, E, G, I, K, M, N, O, P, R, S, T, U oraz V zaś do zbioru hipotez zaliczymy A, F, H, J, L, B, I, K, M, N oraz P. Schemat sieci bayesowskiej (bez uwzględnienia wartości prawdopodobieństw warunkowych) dla takiej bazy wiedzy wygląda następująco:

60 Niech zbiór prawdopodobieństw warunkowych CP dla takich obserwacji i hipotez będzie następujący: CP = {P(A B&C), P(A B&D&E), P(F B&D&G), P(B), P(D), P(G), P(E), P(H D&I), P(I N&R), P(R), P(N S&T), P(S), P(T), P(J K&O), P(P U&V), P(U), P(V), P(O), P(L M), P(M P&R)}.

61 Rozkład prawdopodobieństw: P(A,..., V) = p(a B&C)p(A B&D&E)p(F B&D&G)p(B)p(D)p(G)p(E)p(H D&I)p(I N&R)p(R)p(N S&T) p(s)p(t)p(j K&O)p(P U&V)p(U)p(V)p(O)p(L M)p(M P&R). Jak widać, powstały graf jest grafem skierowanym i acyklicznym, a więc spełnia podstawowe założenia sieci bayesowskiej.

62 Przykład Wprowadzenie 1 A pogoda (słonecznie/pochmurno/deszczowo/wietrznie) 2 B czas wolny (tak/nie) 3 X humor (bardzo dobry/dobry/nietęgi) 4 C zajęcie na zewnątrz (spacer/basen/rower) 5 D zajęcie w domu(komputer/książka/gotowanie)

63 Przykład Wprowadzenie

64 Przykład Wprowadzenie

65 Przykład Wprowadzenie

66 Narzędzia do budowy sieci bayesowskich Bardzo wiele grup naukowców na całym świecie zajmuje się sieciami bayesowskimi, ich budową, analizą i optymalizacją. Ogromne zasługi ma zespół profesora Marka Drużdżela z University of Pittsburgh. Zespół opracował narzędzie SMILE+ (ang. Structural Modeling, Inference, and Learning Engine) dostarczające graficznej metody reprezentacji dla systemów decyzyjnych w postaci sieci bayesowskich. Do zbioru bibliotek stanowiących system SMILE zbudowano interfejs użytkownika GeNIe. Narzędzie cieszy się sporym zainteresowaniem na całym świecie.

67 Inne narzędzia: Microsoft Bayesian Network Editor - narzędzie wspomagające budowę sieci wnioskowań bayesowskich. Realizacja dwóch algorytmów rekomendacji kolejnych kroków w procesie ewaluacji sieci (czyli na przykład wskazują zmienną, której zmiana wartości najbardziej wpłynie na uzyskane wyniki). W praktyce pozwala to na uzyskanie listy zmiennych (węzłów) uporządkowanych według ich wagi i wpływu na proces wnioskowania, co jest możliwe dzięki przypisaniu węzłom pewnych typów decyzyjnych reprezentujących rolę, jaką pełni dany węzeł w sieci. HUGIN EXPERT - narzędzie służące do obliczeń prawdopodobieństw i niepewności parametrów. Dedykowane jest nie tylko na platformę Windows ale również UNIXowe stacje robocze. Dostępna na stronie Netica Bayesian Network Software from Norsys - oprogramowanie, którego wersja demonstracyjna (jest dostępna poprzez witrynęhttp://www.norsys.com/) jest zupełnie wystarczająca by zaprojektować sieć bayesowską i przeprowadzić w takiej sieci wnioskowanie.

68 Mycin Wprowadzenie System Mycin, który powstał w latach siedemdziesiątych na Uniwersytecie Stanford i którego autorem jest Edward H. Shortliffe, jest uznawany za wzorcowy (medyczny) system ekspertowy. Prace nad jego powstaniem rozpoczęły się w roku 1972 (i trwały kilka lat) w ramach Projektu Programowania Heurystycznego realizowanego w Stanford University, rozwijanego we współpracy z Zespołem Chorób Infekcyjnych (Infectious Diseases Group) ze Stanford Medical School. Pracę Shortliffe a nadzorował m.in. Bruce Buchanan. System Mycin cechuje się wysokim poziomem kompetencji w zakresie generowanych konkluzji. Jego zadaniem jest diagnoza bakteryjnej choroby krwi i zaproponowanie odpowiedniej terapii. System prowadzi swego rodzaju dialog z lekarzem, w którym lekarz przekazuje swoją wiedzę dotyczącą badanej próbki krwi (m.in. wiek i płeć pacjenta, data pobrania krwi, itp), a system - po zadaniu około pytań - wyświetla wyniki do jakich doszedł. Zaletą systemu była szybkość podejmowania trafnych decyzji, do których nie potrzebuje wyników czasochłonnych badań krwi ani wszystkich odpowiedzi na zadane lekarzowi pytania.

Systemy ekspertowe - wiedza niepewna

Systemy ekspertowe - wiedza niepewna Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego lab 8 Rozpatrzmy następujący przykład: Miażdżyca powoduje często zwężenie tętnic wieńcowych. Prowadzi to zazwyczaj do zmniejszenia przepływu krwi w tych naczyniach,

Bardziej szczegółowo

Jeśli X jest przestrzenią o nieskończonej liczbie elementów:

Jeśli X jest przestrzenią o nieskończonej liczbie elementów: Logika rozmyta 2 Zbiór rozmyty może być formalnie zapisany na dwa sposoby w zależności od tego z jakim typem przestrzeni elementów mamy do czynienia: Jeśli X jest przestrzenią o skończonej liczbie elementów

Bardziej szczegółowo

Systemy ekspertowe. Reprezentacja wiedzy niepewnej i wnioskowanie w warunkach niepewności. Model współczynników pewności.

Systemy ekspertowe. Reprezentacja wiedzy niepewnej i wnioskowanie w warunkach niepewności. Model współczynników pewności. Część siódma Reprezentacja wiedzy niepewnej i wnioskowanie w warunkach niepewności Autor Roman Simiński Model współczynników pewności Kontakt siminski@us.edu.pl www.us.edu.pl/~siminski Niniejsze opracowanie

Bardziej szczegółowo

Reprezentacja niepewności w wiedzy w systemach ekspertowych

Reprezentacja niepewności w wiedzy w systemach ekspertowych Reprezentacja niepewności w wiedzy w systemach ekspertowych Agnieszka Nowak- Brzezińska 24 stycznia 2014 1 Niepewność w wiedzy - reprezentacja wiedzy niepewnej w bazach wiedzy Niepewność może występować

Bardziej szczegółowo

Systemy ekspertowe i ich zastosowania. Katarzyna Karp Marek Grabowski

Systemy ekspertowe i ich zastosowania. Katarzyna Karp Marek Grabowski Systemy ekspertowe i ich zastosowania Katarzyna Karp Marek Grabowski Plan prezentacji Wstęp Własności systemów ekspertowych Rodzaje baz wiedzy Metody reprezentacji wiedzy Metody wnioskowania Języki do

Bardziej szczegółowo

Sztuczna inteligencja : Zbiory rozmyte cz. 2

Sztuczna inteligencja : Zbiory rozmyte cz. 2 Sztuczna inteligencja : Zbiory rozmyte cz. 2 Przemysław Juszczuk Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego 1 marca 2012 Funkcja trójkątna: Funkcja trójkątna: Funkcja przynależności γ (gamma): Rysunek:

Bardziej szczegółowo

Rozmyte systemy doradcze

Rozmyte systemy doradcze Systemy ekspertowe Rozmyte systemy doradcze Plan. Co to jest myślenie rozmyte? 2. Teoria zbiorów rozmytych. 3. Zmienne lingwistyczne. 4. Reguły rozmyte. 5. Wnioskowanie rozmyte (systemy doradcze). typu

Bardziej szczegółowo

Podstawy sztucznej inteligencji

Podstawy sztucznej inteligencji wykład 4 (Fuzzy logic) 23 listopad 2011 Plan wykładu 1 Systemy wnioskowania z danymi niepewnymi 2 3 Inteligentne systemy z wiedzą Systemy z wiedzą składają się z dwóch części: 1 Baza wiedzy (KB): zbioru

Bardziej szczegółowo

INŻYNIERIA WIEDZY I SYSTEMY EKSPERTOWE

INŻYNIERIA WIEDZY I SYSTEMY EKSPERTOWE Temat: Podstawowe pojęcia z logiki rozmytej Instrukcja do ćwiczeń przedmiotu INŻYNIERIA WIEDZY I SYSTEMY EKSPERTOWE Dr inż. Barbara Mrzygłód KISiM, WIMiIP, AGH mrzyglod@ agh.edu.pl 1 Wprowadzenie Sterowanie

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY BAZ DANYCH. 19. Perspektywy baz danych. 2009/2010 Notatki do wykładu "Podstawy baz danych"

PODSTAWY BAZ DANYCH. 19. Perspektywy baz danych. 2009/2010 Notatki do wykładu Podstawy baz danych PODSTAWY BAZ DANYCH 19. Perspektywy baz danych 1 Perspektywy baz danych Temporalna baza danych Temporalna baza danych - baza danych posiadająca informację o czasie wprowadzenia lub czasie ważności zawartych

Bardziej szczegółowo

166 Wstęp do statystyki matematycznej

166 Wstęp do statystyki matematycznej 166 Wstęp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwiązać nasz zasadniczy problem związany z identyfikacją cechy populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

Sieci Bayesa mgr Tomasz Xięski, Instytut Informatyki, Uniwersytet Śląski Sosnowiec, 2011

Sieci Bayesa mgr Tomasz Xięski, Instytut Informatyki, Uniwersytet Śląski Sosnowiec, 2011 Sieci Bayesa mgr Tomasz Xięski, Instytut Informatyki, Uniwersytet Śląski Sosnowiec, 2011 Sieć Bayesowska służy do przedstawiania zależności pomiędzy zdarzeniami bazując na rachunku prawdopodobieństwa.

Bardziej szczegółowo

Systemy ekspertowe : program PCShell

Systemy ekspertowe : program PCShell Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego lab 1 Opis sytemu ekspertowego Metody wnioskowania System PcShell Projekt System ekspertowy - system ekspertowy to system komputerowy zawierający w sobie wyspecjalizowaną

Bardziej szczegółowo

Inżynieria Wiedzy i Systemy Ekspertowe. Niepewność wiedzy. dr inż. Michał Bereta Politechnika Krakowska

Inżynieria Wiedzy i Systemy Ekspertowe. Niepewność wiedzy. dr inż. Michał Bereta Politechnika Krakowska Inżynieria Wiedzy i Systemy Ekspertowe Niepewność wiedzy dr inż. Michał Bereta Politechnika Krakowska http://torus.uck.pk.edu.pl/~beretam/ beretam@torus.uck.pk.edu.pl 1 Współczynniki pewności (ang. Certainty

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

Jacek Skorupski pok. 251 tel konsultacje: poniedziałek , sobota zjazdowa

Jacek Skorupski pok. 251 tel konsultacje: poniedziałek , sobota zjazdowa Jacek Skorupski pok. 251 tel. 234-7339 jsk@wt.pw.edu.pl http://skorupski.waw.pl/mmt prezentacje ogłoszenia konsultacje: poniedziałek 16 15-18, sobota zjazdowa 9 40-10 25 Udział w zajęciach Kontrola wyników

Bardziej szczegółowo

8. Neuron z ciągłą funkcją aktywacji.

8. Neuron z ciągłą funkcją aktywacji. 8. Neuron z ciągłą funkcją aktywacji. W tym ćwiczeniu zapoznamy się z modelem sztucznego neuronu oraz przykładem jego wykorzystania do rozwiązywanie prostego zadania klasyfikacji. Neuron biologiczny i

Bardziej szczegółowo

Inteligencja obliczeniowa

Inteligencja obliczeniowa Ćwiczenie nr 1 Zbiory rozmyte logika rozmyta Tworzenie: termów zmiennej lingwistycznej o różnych kształtach, modyfikatorów, zmiennych o wielu termach; operacje przecięcia, połączenia i dopełnienia 1. Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Inżynieria Wiedzy i Systemy Ekspertowe. Niepewność wiedzy. dr inż. Michał Bereta Politechnika Krakowska

Inżynieria Wiedzy i Systemy Ekspertowe. Niepewność wiedzy. dr inż. Michał Bereta Politechnika Krakowska Inżynieria Wiedzy i Systemy Ekspertowe Niepewność wiedzy dr inż. Michał Bereta Politechnika Krakowska http://torus.uck.pk.edu.pl/~beretam/ beretam@torus.uck.pk.edu.pl 1 Logika Rozmyta (Fuzzy Logic) Mimo

Bardziej szczegółowo

Sterowanie z wykorzystaniem logiki rozmytej

Sterowanie z wykorzystaniem logiki rozmytej Sterowanie z wykorzystaniem logiki rozmytej konspekt seminarium Paweł Szołtysek 24 stycznia 2009 1 Wstęp 1.1 Podstawy logiki rozmytej Logika rozmyta jest rodzajem logiki wielowartościowej, stanowi uogólnienie

Bardziej szczegółowo

Klasyfikacja metodą Bayesa

Klasyfikacja metodą Bayesa Klasyfikacja metodą Bayesa Tadeusz Pankowski www.put.poznan.pl/~tadeusz.pankowski warunkowe i bezwarunkowe 1. Klasyfikacja Bayesowska jest klasyfikacją statystyczną. Pozwala przewidzieć prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

Zasada rozszerzania. A U A jest zbiorem rozmytym, B jest obrazem zbioru A Przeniesienie rozmytości A w odwzorowaniu f na zbiór B. sup.

Zasada rozszerzania. A U A jest zbiorem rozmytym, B jest obrazem zbioru A Przeniesienie rozmytości A w odwzorowaniu f na zbiór B. sup. Zasada rozszerzania f U V U jest zbiorem rozmytym V = f( ), jest obrazem zbioru Przeniesienie rozmytości w odwzorowaniu f na zbiór v) = ( v)? ( f ( ) = sup ( u) gdy ( v) 0 1 = 1 u f ( v) f( ) ( v) 1 0

Bardziej szczegółowo

Transformacja wiedzy w budowie i eksploatacji maszyn

Transformacja wiedzy w budowie i eksploatacji maszyn Uniwersytet Technologiczno Przyrodniczy im. Jana i Jędrzeja Śniadeckich w Bydgoszczy Wydział Mechaniczny Transformacja wiedzy w budowie i eksploatacji maszyn Bogdan ŻÓŁTOWSKI W pracy przedstawiono proces

Bardziej szczegółowo

W narzędziu typu Excel, Calc czy Gnumeric napisz formułę logiczną która wyznaczy wartośd przynależności dla podanej temperatury do zbioru gorąco.

W narzędziu typu Excel, Calc czy Gnumeric napisz formułę logiczną która wyznaczy wartośd przynależności dla podanej temperatury do zbioru gorąco. Zadanie 0 Wyobraźmy sobie, że chcemy oceniad czy dana temperatura świadczy o tym, że jest gorąco czy raczej zimno. A więc znając wartośd liczbową temperatury chcemy oceniad wartośd funkcji przynależności

Bardziej szczegółowo

Arytmetyka liczb binarnych

Arytmetyka liczb binarnych Wartość dwójkowej liczby stałoprzecinkowej Wartość dziesiętna stałoprzecinkowej liczby binarnej Arytmetyka liczb binarnych b n-1...b 1 b 0,b -1 b -2...b -m = b n-1 2 n-1 +... + b 1 2 1 + b 0 2 0 + b -1

Bardziej szczegółowo

Inżynieria Wiedzy i Systemy Ekspertowe. Logika rozmyta. dr inż. Michał Bereta Politechnika Krakowska

Inżynieria Wiedzy i Systemy Ekspertowe. Logika rozmyta. dr inż. Michał Bereta Politechnika Krakowska Inżynieria Wiedzy i Systemy Ekspertowe Logika rozmyta dr inż. Michał Bereta Politechnika Krakowska http://torus.uck.pk.edu.pl/~beretam/ beretam@torus.uck.pk.edu.pl 1 Wyostrzanie Ostateczna, ostra wartość

Bardziej szczegółowo

SCENARIUSZ LEKCJI. TEMAT LEKCJI: Zastosowanie średnich w statystyce i matematyce. Podstawowe pojęcia statystyczne. Streszczenie.

SCENARIUSZ LEKCJI. TEMAT LEKCJI: Zastosowanie średnich w statystyce i matematyce. Podstawowe pojęcia statystyczne. Streszczenie. SCENARIUSZ LEKCJI OPRACOWANY W RAMACH PROJEKTU: INFORMATYKA MÓJ SPOSÓB NA POZNANIE I OPISANIE ŚWIATA. PROGRAM NAUCZANIA INFORMATYKI Z ELEMENTAMI PRZEDMIOTÓW MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZYCH Autorzy scenariusza:

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna dla leśników

Statystyka matematyczna dla leśników Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 03/04 Wykład 5 Testy statystyczne Ogólne zasady testowania hipotez statystycznych, rodzaje

Bardziej szczegółowo

Piotr Sobolewski Krzysztof Skorupski

Piotr Sobolewski Krzysztof Skorupski Plan prezentacji Logika rodzaje Logika klasyczna Logika wielowartościowa Logika rozmyta Historia powstania Definicje Zbiory rozmyte Relacje rozmyte Systemy rozmyte Modele Zastosowanie w optymalizacji przykłady

Bardziej szczegółowo

Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi:

Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi: 1 Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa. Tak więc zdanie może mieć jedną z dwóch wartości logicznych. Prawdziwość

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących

Bardziej szczegółowo

Bazy danych. Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie. Wykład 3: Model związków encji.

Bazy danych. Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie. Wykład 3: Model związków encji. Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie Bazy danych Wykład 3: Model związków encji. dr inż. Magdalena Krakowiak makrakowiak@wi.zut.edu.pl Co to jest model związków encji? Model związków

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do algorytmiki

Wprowadzenie do algorytmiki Wprowadzenie do algorytmiki Pojecie algorytmu Powszechnie przyjmuje się, że algorytm jest opisem krok po kroku rozwiązania postawionego problemu lub sposób osiągnięcia jakiegoś celu. Wywodzi się z matematyki

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 4 ZASTOSOWANIE METOD I NARZĘDZI LOGIKI ROZMYTEJ DO KLASYFIKACJI DANYCH I APROKSYMACJI ODWZOROWAŃ STATYCZNYCH

ĆWICZENIE 4 ZASTOSOWANIE METOD I NARZĘDZI LOGIKI ROZMYTEJ DO KLASYFIKACJI DANYCH I APROKSYMACJI ODWZOROWAŃ STATYCZNYCH Politechnika Białostocka Wydział Elektryczny Katedra Automatyki i Elektroniki ĆWICZENIE 4 ZASTOSOWANIE METOD I NARZĘDZI LOGIKI ROZMYTEJ DO KLASYFIKACJI DANYCH I APROKSYMACJI ODWZOROWAŃ STATYCZNYCH Pracownia

Bardziej szczegółowo

Algorytm. Krótka historia algorytmów

Algorytm. Krótka historia algorytmów Algorytm znaczenie cybernetyczne Jest to dokładny przepis wykonania w określonym porządku skończonej liczby operacji, pozwalający na rozwiązanie zbliżonych do siebie klas problemów. znaczenie matematyczne

Bardziej szczegółowo

Analiza danych. http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU

Analiza danych. http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Analiza danych Wstęp Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Różne aspekty analizy danych Reprezentacja graficzna danych Metody statystyczne: estymacja parametrów

Bardziej szczegółowo

1. Wstęp. Wnioskowanie w warunkach niepewności : Teoria Dempstera-Shafera

1. Wstęp. Wnioskowanie w warunkach niepewności : Teoria Dempstera-Shafera Teoria Dempstera-Shafera strona 1 / 10 Wnioskowanie w warunkach niepewności : Teoria Dempstera-Shafera 1. Wstęp Wśród wielu dziedzin jakimi zajmuje się informatyka ważną pozycję zajmuje problematyka sztucznej

Bardziej szczegółowo

Gdzie: N zbiór wierzchołków grafu, E zbiór krawędzi grafu, Cp zbiór prawdopodobieostw warunkowych.

Gdzie: N zbiór wierzchołków grafu, E zbiór krawędzi grafu, Cp zbiór prawdopodobieostw warunkowych. Laboratorium z przedmiotu Sztuczna inteligencja Temat: Sieci Bayesa, Wnioskowanie probabilistyczne, GeNIe Laboratorium nr 1 Sied Bayesowska służy do przedstawiania zależności pomiędzy zdarzeniami bazując

Bardziej szczegółowo

Elementy statystyki opisowej, podstawowe pojęcia statystyki matematycznej

Elementy statystyki opisowej, podstawowe pojęcia statystyki matematycznej Elementy statystyki opisowej, podstawowe pojęcia statystyki matematycznej Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia

1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia 1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia kwadratów i sześcianów przez małe liczby, cechy podzielności przez 2, 4, 8, 5, 25, 125, 3, 9. 26 września 2009 r. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie

Bardziej szczegółowo

Wykład 4: Wnioskowanie statystyczne. Podstawowe informacje oraz implementacja przykładowego testu w programie STATISTICA

Wykład 4: Wnioskowanie statystyczne. Podstawowe informacje oraz implementacja przykładowego testu w programie STATISTICA Wykład 4: Wnioskowanie statystyczne Podstawowe informacje oraz implementacja przykładowego testu w programie STATISTICA Idea wnioskowania statystycznego Celem analizy statystycznej nie jest zwykle tylko

Bardziej szczegółowo

Badania operacyjne: Wykład Zastosowanie kolorowania grafów w planowaniu produkcji typu no-idle

Badania operacyjne: Wykład Zastosowanie kolorowania grafów w planowaniu produkcji typu no-idle Badania operacyjne: Wykład Zastosowanie kolorowania grafów w planowaniu produkcji typu no-idle Paweł Szołtysek 12 czerwca 2008 Streszczenie Planowanie produkcji jest jednym z problemów optymalizacji dyskretnej,

Bardziej szczegółowo

Etapy modelowania ekonometrycznego

Etapy modelowania ekonometrycznego Etapy modelowania ekonometrycznego jest podstawowym narzędziem badawczym, jakim posługuje się ekonometria. Stanowi on matematyczno-statystyczną formę zapisu prawidłowości statystycznej w zakresie rozkładu,

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015

Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015 Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015 1 Metody numeryczne Dział matematyki Metody rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. Otrzymywane

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład I: Formalizm statystyki matematycznej 17 lutego 2014 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura Zagadnienia omawiane na wykładach Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura

Bardziej szczegółowo

Logika stosowana. Ćwiczenia Wnioskowanie przez abdukcję. Marcin Szczuka. Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski

Logika stosowana. Ćwiczenia Wnioskowanie przez abdukcję. Marcin Szczuka. Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski Logika stosowana Ćwiczenia Wnioskowanie przez abdukcję Marcin Szczuka Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski Wykład fakultatywny w semestrze zimowym 2013/2014 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika stosowana

Bardziej szczegółowo

wagi cyfry 7 5 8 2 pozycje 3 2 1 0

wagi cyfry 7 5 8 2 pozycje 3 2 1 0 Wartość liczby pozycyjnej System dziesiętny W rozdziale opiszemy pozycyjne systemy liczbowe. Wiedza ta znakomicie ułatwi nam zrozumienie sposobu przechowywania liczb w pamięci komputerów. Na pierwszy ogień

Bardziej szczegółowo

istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy

istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy MODEL REGRESJI LINIOWEJ. METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW Analiza regresji zajmuje się badaniem zależności pomiędzy interesującymi nas wielkościami (zmiennymi), mające na celu konstrukcję modelu, który dobrze

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza

MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza MATeMAtyka 1 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe

Bardziej szczegółowo

Analiza i projektowanie oprogramowania. Analiza i projektowanie oprogramowania 1/32

Analiza i projektowanie oprogramowania. Analiza i projektowanie oprogramowania 1/32 Analiza i projektowanie oprogramowania Analiza i projektowanie oprogramowania 1/32 Analiza i projektowanie oprogramowania 2/32 Cel analizy Celem fazy określania wymagań jest udzielenie odpowiedzi na pytanie:

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH

5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH 5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH Temat, którym mamy się tu zająć, jest nudny i żmudny będziemy się uczyć techniki obliczania wartości logicznej zdań dowolnie złożonych. Po co? możecie zapytać.

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n

Bardziej szczegółowo

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW ODRZUCANIE WYNIKÓW OJEDYNCZYCH OMIARÓW W praktyce pomiarowej zdarzają się sytuacje gdy jeden z pomiarów odstaje od pozostałych. Jeżeli wykorzystamy fakt, że wyniki pomiarów są zmienną losową opisywaną

Bardziej szczegółowo

Teoria przetwarzania A/C i C/A.

Teoria przetwarzania A/C i C/A. Teoria przetwarzania A/C i C/A. Autor: Bartłomiej Gorczyński Cyfrowe metody przetwarzania sygnałów polegają na przetworzeniu badanego sygnału analogowego w sygnał cyfrowy reprezentowany ciągiem słów binarnych

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne Testowanie hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Hipotezy

Bardziej szczegółowo

Proces badawczy schemat i zasady realizacji

Proces badawczy schemat i zasady realizacji Proces badawczy schemat i zasady realizacji Agata Górny Zaoczne Studia Doktoranckie z Ekonomii Warszawa, 14 grudnia 2014 Metodologia i metoda badawcza Metodologia Zadania metodologii Metodologia nauka

Bardziej szczegółowo

Proces badawczy schemat i zasady realizacji

Proces badawczy schemat i zasady realizacji Proces badawczy schemat i zasady realizacji Agata Górny Zaoczne Studia Doktoranckie z Ekonomii Warszawa, 23 października 2016 Metodologia i metoda naukowa 1 Metodologia Metodologia nauka o metodach nauki

Bardziej szczegółowo

CZEŚĆ PIERWSZA. Wymagania na poszczególne oceny,,matematyka wokół nas Klasa III I. POTĘGI

CZEŚĆ PIERWSZA. Wymagania na poszczególne oceny,,matematyka wokół nas Klasa III I. POTĘGI Wymagania na poszczególne oceny,,matematyka wokół nas Klasa III CZEŚĆ PIERWSZA I. POTĘGI Zamienia potęgi o wykładniku całkowitym ujemnym na odpowiednie potęgi o wykładniku naturalnym. Oblicza wartości

Bardziej szczegółowo

Analiza korespondencji

Analiza korespondencji Analiza korespondencji Kiedy stosujemy? 2 W wielu badaniach mamy do czynienia ze zmiennymi jakościowymi (nominalne i porządkowe) typu np.: płeć, wykształcenie, status palenia. Punktem wyjścia do analizy

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów Wrocław, 18.03.2016r Plan wykładu: 1. Testowanie hipotez 2. Etapy testowania hipotez 3. Błędy 4. Testowanie wielokrotne 5. Estymacja parametrów

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Kierunek: Informatyka Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy w ramach treści wspólnych z kierunkiem Matematyka, moduł kierunku obowiązkowy Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia I KARTA PRZEDMIOTU CEL

Bardziej szczegółowo

SIGMA KWADRAT. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i demografia CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY

SIGMA KWADRAT. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i demografia CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY SIGMA KWADRAT CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY Weryfikacja hipotez statystycznych Statystyka i demografia PROJEKT DOFINANSOWANY ZE ŚRODKÓW NARODOWEGO BANKU POLSKIEGO URZĄD STATYSTYCZNY

Bardziej szczegółowo

Programowanie komputerów

Programowanie komputerów Programowanie komputerów Wykład 1-2. Podstawowe pojęcia Plan wykładu Omówienie programu wykładów, laboratoriów oraz egzaminu Etapy rozwiązywania problemów dr Helena Dudycz Katedra Technologii Informacyjnych

Bardziej szczegółowo

Podstawowe definicje Z czego składa się system ekspertowy? Wnioskowanie: wprzód, wstecz, mieszane

Podstawowe definicje Z czego składa się system ekspertowy? Wnioskowanie: wprzód, wstecz, mieszane Podstawowe definicje Z czego składa się system ekspertowy? Wnioskowanie: wprzód, wstecz, mieszane Tworzymy system ekspertowy 1. Wstępna analiza i definicja dziedziny problemu. W tym: poznanie wiedzy dziedzinowej

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA

KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA I. Informacje ogólne 1 Nazwa modułu kształcenia Sztuczna inteligencja 2 Nazwa jednostki prowadzącej moduł Instytut Informatyki, Zakład Informatyki Stosowanej 3 Kod modułu (wypełnia

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania z matematyki zakres podstawowy Klasa I

Kryteria oceniania z matematyki zakres podstawowy Klasa I Kryteria oceniania z matematyki zakres podstawowy Klasa I zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry bardzo dobry Zdanie logiczne ( proste i złożone i forma zdaniowa oraz prawa logiczne dotyczące alternatywy,

Bardziej szczegółowo

Metody wnioskowania. Wnioskowanie w przód (ang. forward chaining) Wnioskowanie w tył (ang. Backward chaining) Od przesłanki do konkluzji Np..

Metody wnioskowania. Wnioskowanie w przód (ang. forward chaining) Wnioskowanie w tył (ang. Backward chaining) Od przesłanki do konkluzji Np.. Systemy regułowe Metody wnioskowania Wnioskowanie w przód (ang. forward chaining) Od przesłanki do konkluzji Np.. CLIPS Wnioskowanie w tył (ang. Backward chaining) Czyli od konkluzji do przesłanki Np..

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013 Dział LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0

Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0 ĆWICZENIE 1 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): zdania w sensie logicznym, wartości logiczne, spójniki logiczne, zmienne zdaniowe, tabele prawdziwościowe dla spójników logicznych, formuły, wartościowanie zbioru

Bardziej szczegółowo

Opis. Wymagania wstępne (tzw. sekwencyjny system zajęć i egzaminów) Liczba godzin zajęć dydaktycznych z podziałem na formy prowadzenia zajęć

Opis. Wymagania wstępne (tzw. sekwencyjny system zajęć i egzaminów) Liczba godzin zajęć dydaktycznych z podziałem na formy prowadzenia zajęć Załącznik nr 5 do Uchwały nr 1202 Senatu UwB z dnia 29 lutego 2012 r. nazwa SYLABUS A. Informacje ogólne Tę część wypełnia koordynator (w porozumieniu ze wszystkimi prowadzącymi dany przedmiot w jednostce)

Bardziej szczegółowo

Diagramy ERD. Model struktury danych jest najczęściej tworzony z wykorzystaniem diagramów pojęciowych (konceptualnych). Najpopularniejszym

Diagramy ERD. Model struktury danych jest najczęściej tworzony z wykorzystaniem diagramów pojęciowych (konceptualnych). Najpopularniejszym Diagramy ERD. Model struktury danych jest najczęściej tworzony z wykorzystaniem diagramów pojęciowych (konceptualnych). Najpopularniejszym konceptualnym modelem danych jest tzw. model związków encji (ERM

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III Program nauczania matematyki w gimnazjum Matematyka dla przyszłości DKW 4014 162/99 Opracowała: mgr Mariola Bagińska 1. Liczby i działania Podaje rozwinięcia

Bardziej szczegółowo

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl System dziesiętny 7 * 10 4 + 3 * 10 3 + 0 * 10 2 + 5 *10 1 + 1 * 10 0 = 73051 Liczba 10 w tym zapisie nazywa się podstawą systemu liczenia. Jeśli liczba 73051 byłaby zapisana w systemie ósemkowym, co powinniśmy

Bardziej szczegółowo

Komputerowe Systemy Przemysłowe: Modelowanie - UML. Arkadiusz Banasik arkadiusz.banasik@polsl.pl

Komputerowe Systemy Przemysłowe: Modelowanie - UML. Arkadiusz Banasik arkadiusz.banasik@polsl.pl Komputerowe Systemy Przemysłowe: Modelowanie - UML Arkadiusz Banasik arkadiusz.banasik@polsl.pl Plan prezentacji Wprowadzenie UML Diagram przypadków użycia Diagram klas Podsumowanie Wprowadzenie Języki

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie Excela w matematyce

Zastosowanie Excela w matematyce Zastosowanie Excela w matematyce Komputer w dzisiejszych czasach zajmuje bardzo znamienne miejsce. Trudno sobie wyobrazić jakąkolwiek firmę czy instytucję działającą bez tego urządzenia. W szkołach pierwsze

Bardziej szczegółowo

Metody statystyczne kontroli jakości i niezawodności Lekcja II: Karty kontrolne.

Metody statystyczne kontroli jakości i niezawodności Lekcja II: Karty kontrolne. Metody statystyczne kontroli jakości i niezawodności Lekcja II: Karty kontrolne. Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej Karty kontroli jakości: przypomnienie Załóżmy, że chcemy mierzyć pewną charakterystykę.

Bardziej szczegółowo

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas: ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik DOPUSZCZAJĄCY DOSTATECZNY DOBRY BARDZO DOBRY LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej. rozumie rozszerzenie

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA EKONOMICZNA

STATYSTYKA EKONOMICZNA STATYSTYKA EKONOMICZNA Analiza statystyczna w ocenie działalności przedsiębiorstwa Opracowano na podstawie : E. Nowak, Metody statystyczne w analizie działalności przedsiębiorstwa, PWN, Warszawa 2001 Dr

Bardziej szczegółowo

ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH

ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH 1 ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH WFAiS UJ, Informatyka Stosowana II stopień studiów 2 Wnioskowanie statystyczne dla zmiennych numerycznych Porównywanie dwóch średnich Boot-strapping Analiza

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: SYSTEMY INFORMATYCZNE WSPOMAGAJĄCE DIAGNOSTYKĘ MEDYCZNĄ Kierunek: Inżynieria Biomedyczna Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy moduł specjalności informatyka medyczna Rodzaj zajęć: wykład, projekt

Bardziej szczegółowo

Definicje. Algorytm to:

Definicje. Algorytm to: Algorytmy Definicje Algorytm to: skończony ciąg operacji na obiektach, ze ściśle ustalonym porządkiem wykonania, dający możliwość realizacji zadania określonej klasy pewien ciąg czynności, który prowadzi

Bardziej szczegółowo

Alicja Marszałek Różne rodzaje baz danych

Alicja Marszałek Różne rodzaje baz danych Alicja Marszałek Różne rodzaje baz danych Rodzaje baz danych Bazy danych można podzielić wg struktur organizacji danych, których używają. Można podzielić je na: Bazy proste Bazy złożone Bazy proste Bazy

Bardziej szczegółowo

Zapisywanie algorytmów w języku programowania

Zapisywanie algorytmów w języku programowania Temat C5 Zapisywanie algorytmów w języku programowania Cele edukacyjne Zrozumienie, na czym polega programowanie. Poznanie sposobu zapisu algorytmu w postaci programu komputerowego. Zrozumienie, na czym

Bardziej szczegółowo

SCHEMAT ROZWIĄZANIA ZADANIA OPTYMALIZACJI PRZY POMOCY ALGORYTMU GENETYCZNEGO

SCHEMAT ROZWIĄZANIA ZADANIA OPTYMALIZACJI PRZY POMOCY ALGORYTMU GENETYCZNEGO SCHEMAT ROZWIĄZANIA ZADANIA OPTYMALIZACJI PRZY POMOCY ALGORYTMU GENETYCZNEGO. Rzeczywistość (istniejąca lub projektowana).. Model fizyczny. 3. Model matematyczny (optymalizacyjny): a. Zmienne projektowania

Bardziej szczegółowo

doc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505.

doc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. doc. dr Beata Pułska-Turyna Zakład Badań Operacyjnych Zarządzanie B506 mail: turynab@wz.uw.edu.pl mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. Tel.: (22)55 34 144 Mail: student@pgadecki.pl

Bardziej szczegółowo

Identyfikacja istotnych atrybutów za pomocą Baysowskich miar konfirmacji

Identyfikacja istotnych atrybutów za pomocą Baysowskich miar konfirmacji Identyfikacja istotnych atrybutów za pomocą Baysowskich miar konfirmacji Jacek Szcześniak Jerzy Błaszczyński Roman Słowiński Poznań, 5.XI.2013r. Konspekt Wstęp Wprowadzenie Metody typu wrapper Nowe metody

Bardziej szczegółowo

REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH

REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2012/2013 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Pojęcie

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład I: Formalizm teorii prawdopodonieństwa 6 października 2014 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura Dostępność treści wykładów 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin dwuczęściowy:

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci

Bardziej szczegółowo

Algorytmy genetyczne

Algorytmy genetyczne Algorytmy genetyczne Motto: Zamiast pracowicie poszukiwać najlepszego rozwiązania problemu informatycznego lepiej pozwolić, żeby komputer sam sobie to rozwiązanie wyhodował! Algorytmy genetyczne służą

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE Zarządzanie i Inżynieria Produkcji studia stacjonarne Konspekt do wykładu z Matematyki 1 1 Postać trygonometryczna liczby zespolonej zastosowania i przykłady 1 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo