Temat: Sprawność termodynamicznego cyklu Carnota

Transkrypt

1 Temat: Sprawność termodynamicznego cyklu Carnota oraz (I i) II zasady termodynamiki Mirosław Kwiatek.Jaki byłby najlepszy na świecie silnik spalinowy do samochodów? Nazwisko Diesel jest dobrze znane; gorzej z nazwiskiem Carnot.Rosnący w pokoju bałagan jest zjawiskiem fizycznym rośnie tzw. entropia!.elektrownia maretermiczna wykorzystuje energię wody ale to nie hydroelektrownia ani nawet elektrownia wykorzystująca przypływy morskie (pływowa).nawet najnowocześniejsza elektrownia atomowa wykorzystuje parę do napędu turbin poruszających prądnice! Cykl Carnota, jak wiadomo, składając się z określonych krzywych (określonych procesów termodynamicznych) ma największą sprawność (z możliwych). Dlaczego krzywe cyklu Carnota są takie a nie inne i jak wyprowadzić zależność na tą maksymalną sprawność? Jak wiadomo, na wykresach w układzie p = f(v) pole pod jakąś krzywą termodynamiczną (pole między krzywą a osią poziomą) jest równe pracy (W = p x V; N/m 2 x m 3 = Nm = J; Podobnie jest na wykresie prędkości od czasu; Pole pod krzywą jest też reprezentantem wielkości fizycznej - drogi). Krzywa obiegu (Carnota) jest zamknięta. Więc pole wnętrza obiegu Carnota jest równe uzyskanej (z ciepła) pracy. Można przeanalizować jakie muszą być po kolei procesy aby pole cyklu Carnota jak największe. Pole jakiegoś obiegu musi się znajdować między dwoma izotermami. Załóżmy, ze mamy określoną ilość ciepła do wykorzystania. Należy zacząć i skończyć pierwszy proces termodynamiczny na izotermie (prawej o większej temperaturze. Proces Carnota jest odwracalny więc kierunek jest dowolny; Obieramy kierunek zgodny ze wskazówkami zegara czyli kierunek silnika a nie chłodziarki)! Tylko wtedy bowiem nasze pole będzie największe jeśli jak największa część jego obwodu będzie leżeć na izotermach! Wszelkie inne krzywe termodynamiczne leżą wewnątrz izoterm (adiabata, izobara czy izochora). Tak więc od jakiegoś punktu A na górnej izotermie przemieszczamy się w dół aż nie wyczerpiemy całego ciepła a wtedy otrzymamy punkt B. Nie jest to kres możliwości uzyskania pracy bo teraz jeszcze możemy pracę wykonać kosztem zawartej w gazie doskonałym energii wewnętrznej! Dzięki temu ogólne pole pracy wykonanej podczas cyklu ulegnie dodatkowemu zwiększeniu. Nie może być już wymiany ciepła z otoczeniem (bo ciepła już nie mamy) przemiana musi być więc adiabatyczna. Krańcem jest p. C na jakiejś niższej izotermie. Oczywiste jest, że podczas powrotu, trzecim cyklem będzie znów izoterma aby zmaksymalizować pole pracy. Izotermą tą nie zamkniemy cyklu (3 przemiany nie wystarczą) więc w jakimś p. D musimy skierować się z izotermy na p. A, z czwartą przemianą. Ale jaka to ma być przemiana (i) gdzie ma być p. D?. Powrót izobaryczny (od punktu D znajdującego się na lewo od A w jego poziomie) lub izochoryczny (od punktu D znajdującego się pod A w jednym pionie) wiązałby się z koniecznością doprowadzenia ciepła a tego już nie mamy w danym cyklu. Można by co prawda zapobiegliwie rozdzielić dysponowane ciepło na 2 następujące po sobie procesy drugi byłby na izotermie a pierwszy na izochorze lub izobarze ale wynika z tego, że na izotermie byłaby oddawana tylko część dostarczanego ciepła a w związku z tym co było stwierdzone wcześniej będzie mniejsza część obwodu pola pracy na izotermie górnej a to pociąga za sobą mniejszą długość izotermy dolnej (bo adiabata wcześniej zaczyna szukać dolnej izotermy)

2 Tak więc powrót musi być po adiabacie (drugiej), przy której nie ma wymiany ciepła z otoczeniem (aby tak było to proces musi adiabatyczny w cyklu Carnota trwać teoretycznie wolno choć w praktycznych procesach, np. Otta wręcz przeciwnie trwając b. krótko, np. 3 ms, spowoduje, że ciepło nie zdąży się wymienić). Aby koniec adiabaty mógł się spotkać z p. A to oczywiście p. D musi być odpowiednio dobrany. Tak więc rozumowanie powyższe może być prostym dowodem na to, że proces termodynamiczny z gazem doskonałym składający się z dwóch adiabat i 2 izoterm, czyli cykl Carnota musi być najsprawniejszy energetycznie! Przetnijmy rodzinę dwóch izoterm trzema adiabatami. Otrzymamy 3 cykle Carnota mające dwie wewnętrzne wspólne izotermy. Niech wszystkie trzy cykle Carnota mają ten sam kierunek obiegu w prawo. Wtedy kierunki obiegu na wewnętrznych izotermach są przeciwne. Na lewej spośród wewnętrznych izoterm praca dawana przez lewy skrajny cykl Carnota redukuje się z ciepłem dostarczanym do środkowego cyklu Carnota. Dlatego lewą wewnętrzną izotermę eliminujemy. Podobnie eliminujemy prawą. Otrzymamy jeden wypadkowy cykl Carnota. Powyższe rozumowanie prowadzi do wniosku, ze łącząc sąsiednie izotermy odpowiednio wybranymi odcinkami adiabat można z założona dokładnością temperaturową teoretycznie przybliżyć dowolny zamknięty cykl termodynamiczny zespołem cykli idealnych Carnota. Analogowy, dowolny cykl zastępujemy schodkowym, ząbkowanym cyklem kolejnych adiabat i izoterm (Przechodzenie wzdłuż pojedynczych cykli Carnota jest równoznaczne przechodzeniu wzdłuż kolejnych sekwencji adiabat oraz izoterm a zmniejszając różnicę temperatur miedzy izotermami możemy bardzo przybliżyć kształt rzeczywistego cyklu) Przy (powyższych i) dalszych rozważaniach potrzebna jest I zasada termodynamiki. Mówi ona, ze istnieje użyteczna wielkość fizyczna zwana energią wewnętrzną; Na podwyższenie tej energii wewnętrznej oraz na wykonanie pracy zewnętrznej idzie pobrane przez gaz ciepło. Inaczej: Nie można zbudować takiej maszyny, która pracowałaby (a więc oddawałaby energię na zewnątrz) bez pobierania energii w jakiejś postaci np. cieplnej. Nie można więc zbudować perpetuum mobile I rodzaju. Rozpatrując poszczególne składowe ciepła i energie (w tym: wewnętrzne) można na podstawie I zasady termodynamiki dowieść, ze sprawność cyklu Carnota wynosi: = W Q = Q dost - Q chł = 1 - Q chł dost Q dost Q dost Gdzie Q chł jest ciepłem oddanym przez silnik a Q dost dostarczonym do silnika Można udowodnić wzór praktyczniejszy i donioślejszy fizycznie: Wzdłuż pierwszej izotermy cyklu Carnota temperatura a więc i energia wewnętrzna gazu doskonałego pozostają stałe. Z I zasady termodynamiki wiadomo, że ciepło Q1 pobrane przez gaz podczas rozprężania musi być równe wykonanej (przez tłok) pracy W1. Dowód wymaga rachunku całkowego matematyki z całkami!: pdv W = v p Z r-nia stanu gazu doskonałego (Clapeyrona): p = n mr T V Praca na jeden mol: W/n m = vp RT V dv (Mol jest jednostką liczności materii) T = const więc: W n m = RT v p 1 V dv W n m = R T ln Vk V p

3 b Całka a 1 dv jest podstawowa tzn wynik całki bierzemy z tablic V Całka vp dv jest to suma całkowa pól prostokącików o b. małej szerokości V czyli dv i wysokości malejącej wzdłuż hiperboli V (izotermy) czyli wysokości równej średniej z wysokości poprzedniego i następnego prostokąta Ln jest logarytmem naturalnym czyli logarytmem o podstawie e = ~ 2,72. (e 1 = 2,72 stąd 1 = log e2,72 = ln2,72) Czyli: Q1 = W1 = n m RT 1 ln(v2/v1) V2 = objętość po rozprężeniu, V1 przed rozprężeniem (R stała gazowa, n m ilość moli gazu) Podobnie dla izotermy drugiej: Q2 = W2 = n m RT 2 ln(v3/v4) V3 = objętość przed sprężaniem, V4 po sprężeniu Dzieląc te równania stronami otrzymamy: Q 1 = T 1 ln(v2/v1) Q 2 T 2 ln(v3/v4) Na podstawie równań opisujących izotermiczną przemianę gazu doskonałego możemy napisać dla obu izoterm: p1v1 = p2v2 p3v3 = p4v4 Z równań opisujących przemianę adiabatyczną gazu doskonałego mamy: p 2 V 2 = p 3 V 3 wykładnik adiabaty; p 4 V 4 p 1 V 1 = Cp/Cv Cp = Ciepło właściwe gazu przy stałym ciśnieniu Cv = Ciepło właściwe gazu przy stałej objętości Dla przykładowych gazów rzeczywistych: powietrza: = 1,10 = 0,240 / 0,171, pary wodnej: k = 1,28 = 0,50 / 0,39 Dla cieczy i ciał stałych: c = Q m T ; dla wody: 1,0, dla lodu: 0,5 ; Wszędzie jednostka: kcal kg x deg ) Mnożąc stronami te cztery równania i skracając przez czynnik p1p2p3p4 pojawiający się po obu stronach otrzymujemy V 1 V 2 k V 3 V 4 k = V 2 V 3 k V 4 V 1 k (V 2 k V 4 ) k = (V 3 V 1 ) k V2/V1 = V3/V4 Podstawiając ten wynik do wyrażenia na Q1 i Q2 mamy: Q1/Q2 = T1/T2 Bo drugi ułamek = 1 mając mianownik = licznikowi (te same liczby logarytmowane) Wobec czego = 1 Q2/Q1 = 1 T2/T1 = Q 1 - Q 2 Q 1 = T 1 - T 2 T 1 albo A więc sprawność zależy (wyłącznie) od (różnicy) temperatur, która musi zaistnieć Np. dla temperatury wrzenia wody i pokojowej (maszyna parowa idealna) :

4 = 1 300/373 = 0,2 czyli 20% spalinowe, ok. 2 razy) (w praktyce: ok. 15%; Większą sprawność mają maszyny Ze wzoru na sprawność idealną (Carnota) wynika II zasada termodynamiki, która mówi, że do wytworzenia pracy z ciepła potrzebne są dwa źródła ciepła (a nie - jedno!); Źródło ciepła o temperaturze niższej, do którego ciepło (musi być) przekazywane nazywa się chłodnicą. Jeśli chłodnica odbiera ciepło to nie może mieć temperatury zera bezwzględnego (nawet gdy jest bardzo duża. Wszechświat ma temperaturę średnią 3 kelwinów; Mimo, ze ona spada wciąż, to nigdy nie będzie zerowa. W praktyce nie można uzyskać gazu o temperaturze poniżej 1 K) Nie może być: T2 = O K a więc nigdy też nie będzie: T2/T1 = 0 czyli sprawność zawsze będzie mniejsza od 1 (100 %). Inaczej mówiąc: nie można zbudować perpetuum mobile II rodzaju to jest maszyny cieplnej, która nie oddawałaby (części) energii cieplnej do otoczenia. Nie można więc np. zbudować maszyny cieplnej wykorzystującej całą, potężną, energię (wewnętrzną) wód oceanicznych Ziemi. Można jednak wykorzystać tą energię częściowo gdyż istnieje (dostatecznie duża z punktu widzenia technicznego; Są konstrukcje, zwane elektrowniami maretermicznymi, prototypowe o dodatnim bilansie energii) różnica temperatur między wodą powierzchniową a głębinową (czy też między wodą a powietrzem atmosferycznym *) (Niekiedy mówi się o III zasadzie termodynamiki oraz o zerowej zasadzie termodynamiki. III z. t. mówi, że nie można doprowadzić do chłodnicy mającej 0 K. Zerowa natomiast mówi, ze istnieje użyteczna wielkość fizyczna - temperatura) II zasadę termodynamiki formułuje się jeszcze inaczej (ilościowo): Istnieje użyteczna wielkość fizyczna zwana entropią S. (Mała) Zmiana entropii S = Q/T (mała ilość ciepła Q aby T = const) w zamkniętym układzie nie maleje czyli S 0 Istnieje związek między entropią a nieuporządkowaniem entropia jest miarą nieuporządkowania. Dlatego można też powiedzieć: Nieuporządkowanie nie maleje (nie mówimy: uporządkowanie maleje /lub jest stałe/!). Przyrost entropii S jest zerowy dla (całych) procesów odwracalnych (cyklicznych) a rośnie dla nieodwracalnych Dowiedźmy teraz wspomnianego związku między entropią a nieuporządkowaniem. Udowodnimy (liczbowo) powyższe na przykładzie, tzn., że podczas swobodnego izotermicznego rozprężania gazu (doskonałego) rośnie nieuporządkowanie a więc rośnie i entropia. (nieuporządkowanie rośnie też np. przy rozszczepieniu jąder uranu w reaktorze atomowym) Podczas procesu rozprężania izotermicznego liczba cząsteczek gazu i jego temperatura są stałe ale zmienia się (rosnąco) objętość. Również musi się więc zmieniać (rosnąco) prawdopodobieństwo w1 znalezienia jednej cząsteczki. Prawdopodobieństwo (jest liczbą z przedziału 0-1) to jest (wprost)proporcjonalne do V: w1 = cv gdzie c jest jakąś stałą. Prawdopodobieństwo w znalezienia równocześnie N cząsteczek maleje (w stosunku do w1)- bo jest N-krotnym iloczynem w1 czyli: w = w 1 N = (cv) N. Przy wyprowadzaniu wzoru na sprawność otrzymaliśmy wzór: Q1 = n m RT 1 ln(v2/v1) Można więc powiedzieć, że podczas izotermicznego rozprężania nastąpiła zmiana entropii Q/T = n m Rln(V2/V1). Z kolei w mechanice statystycznej entropia wyraża się następującym wzorem (związkiem z nieuporządkowaniem) : S = k ln w, gdzie w jest prawdopodobieństwem tego, że układ znajduje się w jakimś stanie (termodynamicznym) a k jest stałą Boltzmanna. (A prawdopodobieństwo ma związek z nieuporządkowaniem)

5 W naszym przypadku: S = k ln ((cv) N ) (Gdy się zwiększy objętość to wzrośnie entropia) Czyli S = k N (ln c + lnv) S = kn (ln c + ln ) - kn (ln c + lnv p ) S = = kn (ln lnv p ) S = k N ln ( / V p ) S = R N 0 N ln ( / V p ) = S = N N 0 R ln ( / V p ) = n m R ln ( / V p ) Otrzymaliśmy więc ten sam wzór. Czyli rzeczywiście tak nieuporządkowanie jak i entropia rosną podczas przemiany termodynamicznej (w postaci rozprężania izotermicznego) Jak widać więc, drugą zasadę termodynamiki powinniśmy traktować w kategoriach prawdopodobieństwa. II zasada mówi właściwie, że przechodzenie ciepła z obszaru cieplejszego do zimnego jest (tylko) najbardziej prawdopodobna! Istnieje więc jakieś niezerowe, oczywiście bardzo małe prawdopodobieństwo, ze może być na odwrót! Kierunek przebiegu zdarzeń jest ściśle związany z kierunkiem upływu czasu. Jednokierunkowy charakter przebiegu zdarzeń a w konsekwencji i czasu nosi nazwę termodynamicznej strzałki czasu. W teoretycznych cyklach rzeczywistych maszyn cieplnych możemy mieć np. (zawsze jest min. jedna hiperbola: np. izoterma albo adiabata): 1) 2 adiabaty + 2 izochory (cykl Otta dla silników spalinowych ze świecą iskrową w sprężonym aerozolu ciekłego paliwa w powietrzu) 2) 2 adiabaty + 1 izochora + 1 izobara (cykl Diesla dla silników spalinowych ze sprężarkowym wtryskiem ciekłego paliwa do sprężonego powietrza gorącego) 3) 2 adiabaty + 2 izobary (dla turbiny spalinowej) 4) jedna krzywa o stromości pośredniej między izotermą a adiabatą + 2 izobary + 1 izochora (dla sprężarki) 5) 2 adiabaty + 2 izochory + 1 izobara (dla silnika wysokoprężnego /Diesla/ z wtryskiem mechanicznym - bezsprężarkowym) 6) 3 adiabaty + 4 izobary + 1 izochora (sprężarka 3stopniowa z chłodzeniem międzystopniowym) Tak więc, nawet teoretyczne, cykle rzeczywistych maszyn nigdy nie mają cyklu Carnota (ideał nieosiągalny; Nie można zbudować silnika Carnota choćby dlatego, że zakłada on brak procesów nieodwracalnych jak np. tarcia tłoka). Nawet rzeczywiste (tzw. indykatorowe) cykle maszyn skonstruowanych różnią się od swoich teoretycznych cykli *) W okolicach podbiegunowych temperatura wody pod lodem wynosi 1 2 stopnie Celsjusza a temperatura powietrza jest ujemna i wynosi od -20 o C do -55 o C. Różnica temperatur może być więc większa niż dla terenów podzwrotnikowych. (Taka elektrownię maretermiczną możnaby nazwać arktyczną). Załóżmy, że temperatura powietrza wynosi -22 o C. Mamy butan doprowadzony do stanu ciekłego. Butan taki ma temperaturę wrzenia/parowania (pod ciśnieniem atmosferycznym) - 10 o C a poza tym nie rozpuszcza się w wodzie (nie musi być od wody oddzielany ścianką). Gdy doprowadzimy wodę do butanu to jego temperatura podniesie się a więc zacznie parować (w parowniku). Para butanowa napędza turbinę. Wykorzystana para butanowa ochładzana i skraplana następnie jest ponownie (w skraplaczu) pod wpływem zimnego powietrza arktycznego. Woda w parowniku, od której butan przejął ciepło, zamarza i jest usuwana w postaci lodu (analogia do zaszronienia zamrażalnika lodówki).

6 W elektrowniach wykorzystujących tylko wodę morską jest podobnie np. propan paruje w kontakcie z wodą powierzchniową (25 35 o C), napędza turbinę i skraplany jest wodą głębinową (na głębokości kilkuset metrów ma kilka o C) pompowaną przez rurę (o średnicy rzędu 2 m). Niestety temperatura wody głębinowej podczas transportu (np m 3 /godz) podniesie się trochę (np. z 8 do 14 o C). Elektrownia taka znajduje się na platformie skąd kablem podmorskim jest przesyłany prąd. Pierwsza realizacja powstała już w 1930 roku (zaledwie 25 kw mocy ale na Hawajach np. jest taka elektrownia 40 MW. Aby mieć przegląd terenów na których takie elektrownie można stawiać to można podać jeszcze przykłady wód: Wybrzeża Kości Słoniowej, Japonii, na Tahiti, na indonezyjskiej wyspie Bali) Wykorzystanie par jest więc duże (nawet w elektrowni atomowej są turbiny parowe) /23/24/