BADANIA SYMULACYJNE STEROWANIA ROBOTEM RÓWNOLEGŁYM Z NAPĘDEM HYDRAULICZNYM

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "BADANIA SYMULACYJNE STEROWANIA ROBOTEM RÓWNOLEGŁYM Z NAPĘDEM HYDRAULICZNYM"

Transkrypt

1 BAANIA SYMULACYJNE SEOWANIA OBOEM ÓWNOLEGŁYM Z NAPĘEM HYAULICZNYM Ioannis AVLIAKOS Evangeos PAPAOPOULOS Nationa echnica University of Athens epartment of Mechanica Engineering 578 Athens Greece Janusz FĄCZEK Marek WOJYA Poitechnika Warszawska Wydział Mechaniczny Energetyki i Lotnictwa Instytut echniki Lotnicze i Mechaniki Stosowane Nowowieska 4-5 Warszawa. WPOWAZENIE Siłowniki eektrohydrauiczne są często stosowane do napędu manipuatorów równoegłych typu patformy Stewarta. Zaetą tego typu napędów est ich zdoność do wytwarzania dużych sił przy dużych prędkościach ruchu ich duża trwałość sztywność i szybkość odpowiedzi na sygnały steruące. Istotną cechą różniąca napęd hydrauiczny od eektrycznego est nieproporconaność wytwarzane siły do natężenia prądu steruącego siłownikiem. W rezutacie układy sterowania zaproektowane da robotów z napędem eektrycznym nie mogą być stosowane do robotów napędzanych hydrauicznie. Zwięzły przegąd metod sterowania używanych w przypadku napędów eektrohydrauicznych można znaeźć w [3]. W nowoczesnych konstrukcach robotów równoegłych typu patformy Stewarta coraz częście odchodzi się od metod sterowania pozycynego stosuąc sterowanie z modeem dynamiki odwrotne. Ze wzgędu na dużą częstotiwość taktowania układu sterowania obiczenia pożądanych sił napędowych muszą być prowadzone bardzo szybko. Z tego właśnie powodu mode dynamiki odwrotne manipuatora wykorzystywany przez układ sterowania robotem est zazwycza uproszczony i nie oddae zawisk towarzyszących ruchowi manipuatora w pełne złożoności. W przypadku napędu hydrauicznego poawiaą się dodatkowe probemy wynikaące stąd że siła generowana przez siłownik est sinie nieiniową funkcą prądu steruącego serwozaworem hydrauicznym. Układ sterowania robotem musi zatem korzystać z modeu obiczeniowego siłownika i serwozaworu podczas wyznaczania wartości sygnałów steruących. odatkowym probemem est odpowiednio dokładne wyznaczenie parametrów np. współczynników tarcia wykorzystywanych przez mode obiczeniowy zaimpementowany w układzie sterowania. Ceem prezentowane pracy było zbadanie aki wpływ na osiąganą akość sterowania wywieraą niedokładności modeu dynamiki używanego przez układ sterowania. Niedokładności te mogą wynikać z przyętych uproszczeń oraz z nieprecyzynego oszacowania niektórych parametrów modeu. Przeprowadzone badania pomagaą ustaić dopuszczany stopień uproszczeń modeu dynamiki wykorzystywanego przez układ sterowania oraz okreśić pożądaną dokładność pomiaru parametrów modeu. Badania przeprowadzono wykorzystuąc mode symuacyny manipuatora równoegłego wraz z układem napędowym i układem sterowania. o zbudowania modeu użyto dwóch pakietów przeznaczonych do obiczeń inżynierskich. Pierwszy z nich służy do

2 modeowania układów wieoczłonowych a drugi do symuaci procesów sterowania. Obiczenia były prowadzone ednocześnie przez dwa współpracuące pakiety. raektoria zadana Zadaine odwrotne kinematyki L L L e e MALAB Sterownik L L Zadanie proste kinematyki L r v a ω ε Zadanie odwrotne dynamiki + tarcie Uproszczony mode patformy Mode serwozaworów Siłowniki eektrohydrauiczne P H i P AAMS Zadanuie proste dynamiki Patforma Stewarta raektoria zreaizowana ys. : Schemat modeu symuacynego o modeowania mechanizmu patformy Stewarta użyto pakietu do obiczeń układów wieoczłonowych. Program ten w sposób automatyczny układa i rozwiązue równania ruchu opisuące anaizowany układ mechanizm. zięki te właściwości stosunkowo łatwo można wprowadzać zmiany w modeu i uwzgędniać czynniki takie ak tarcie w parach kinematycznych niedokładności wykonania mechanizmu ego oddziaływanie z otoczeniem itp. Wprowadzanie zmian nie wymaga pracochłonnego wyprowadzania i oprogramowywania aeko idące uproszczenia modeu nie są zatem konieczne. odatkową korzyścią wynikaącą z zastosowania pakietu est możiwość ogądania animaci manipuatora w ruchu. Układ sterowania oraz serwozawory eektrohydrauiczne są modeowane w programie do symuaci procesów sterowania. Sterowanie manipuatorem wykorzystue mode ego dynamiki zachodzi zatem konieczność rozwiązywania zadania odwrotnego dynamiki w każdym kroku sterowania. W obiczeniach siły napędowe uwzgędnia się także tarcie występuące w układzie. Wykorzystywany przez układ sterowania mode dynamiki manipuatora est znacznie uproszczony by umożiwić szybkie obiczenia. Schemat modeu symuacynego przedstawiono na rysunku. Warto zwrócić uwagę że zawiska hydrauiczne zachodzące w serwozaworach i siłownikach (przepływy oeu) modeowane są w pakiecie do symuaci procesów sterowania natomiast zawiska mechaniczne (ruch eementów siłownika) w programie do modeowania układów wieoczłonowych.. KINEMAYKA MANIPULAOA Schemat kinematyczny manipuatora pokazano na rysunku. a uproszczenia pokazano tyko eden siłownik hydrauiczny. z y x s B r x z y d u A ys.. Uproszczony schemat kinematyczny manipuatora

3 Współrzędne wektorów wodzących d i (i ) są stałe w układzie π (związanym () z podstawą manipuatora) a współrzędne wektorów wodzących s i (i ) są stałe w układzie π (związanym z patformą ruchomą)... Obiczanie traektorii zadane Położenie okanego układu odniesienia π w układzie gobanym π est opisane przez wektor r aq orientaca układu π wzgędem π est dana przez trzy kąty Euera (z x z ): ϕ ϕ ϕ 3. Współrzędne wektora r oraz wartości kątówϕ ϕ ϕ 3 są zadanymi funkcami czasu. a zadanych wartości kątów Euera macierz kosinusów kierunkowych opisuąca orientacę układu π wzgędem π dana est następuącym wzorem: cosϕ sinϕ cosϕ3 sinϕ3 ( ) ( ) ( ) sin cos cos sin sin cos z ϕ x ϕ z ϕ3 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ3 ϕ3 sinϕ cosϕ () cosϕ3 cosϕ sinϕ3 cosϕ sinϕ sinϕ3 cosϕ cosϕ3 cosϕ sinϕ sinϕ sinϕ sin 3 cos cos + cos 3 sin cos 3 cos cos sin 3 sin sin cos ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ. sinϕ3 sinϕ cosϕ3 sinϕ cosϕ Prędkość iniową początku układu π wzgędem π obicza się różniczkuąc wektor r wzgędem czasu: v r () natomiast prędkość kątową układu π można obiczyć w następuący sposób: ϕ α cosϕ sinϕ sinϕ ω E( ϕ ) E( ϕ )ϕ ϕ ϕ3 ϕ ϕ β E ( ϕ) sinϕ cosϕ sinϕ. (3) ϕ 3 γ cosϕ Przyspieszenie iniowe początku układu π obicza się różniczkuąc wektor prędkości: a v r (4) a przyspieszenie kątowe dane est następuącymi wzorami: ε ω E ϕ + Eϕ ( ϕ ϕ ).. Zadanie odwrotne kinematyki ϕ sinϕ ϕ cosϕ sinϕ + ϕ sinϕ cosϕ E ϕ cosϕ ϕ sinϕ sinϕ ϕ cosϕ cosϕ. (5) ϕ sinϕ Zadanie odwrotne kinematyki poega na wyznaczeniu ruchu siłowników (długości oraz prędkości i przyspieszenia wysuwania) kiedy dany est ruch patformy (położenie prędkość i przyspieszenie). Jeśi wektor r oraz macierz są dane to wektor o początku w punkcie A oraz końcu w punkcie B można obiczyć ze wzoru: r + s () ługość wektora i można obiczyć ze wzoru: Wersor kierunkowy siłownika zdefiniuemy ako: d. (). (7) 3

4 u. (8) ługości wszystkich sześciu siłowników zestawmy w sześcioeementowy wektor L: [ ] L L. (9) óżniczkuąc równanie () wzgędem czasu i wykorzystuąc własności pochodne macierzy rotaci uzyskuemy: () r s v ωs ~ () + + v + ω ~ s. () W powyższym równaniu przez s oznaczono współrzędne wektora wodzącego punktu B w układzie π zapisane w układzie π ( s ). () s Wersor u ma ednostkową długość. Zatem pochodna wersora u est do niego prostopadła. Można to wyrazić za pomocą następuących równań: u () u u Wektor można zapisać w następuący sposób: u. () u. (3) óżniczkuąc równanie (3) wzgędem czasu otrzymuemy: u + u. (4) Mnożąc powyższe równanie ewostronnie przez u oraz uwzgędniaąc zaeżności () i () uzyskuemy: u u u + u u. (5) Uwzgędniaąc zaeżność () w równaniu (5) uzyskuemy: v u u ( v + ωs ~ ) u v u ~ sω J () ω W powyższym równaniu przez J oznaczono -ty wiersz akobianu manipuatora: J u u ~ s. (7) [ ] ównanie () pozwaa na obiczenie poszukiwanych prędkości wydłużania się siłowników. Prędkości siłowników zestawić w sześcioeementowy wektor L : [ L ] L. (8) óżniczkuąc równanie () wzgędem czasu uzyskuemy: v ωs ~ () ωs ~ () v ωs ~ () ωωs ~ ~ () a + ~ εs + ωω ~ ~ s. (9) Zróżniczkowanie równania (5) prowadzi do wzoru: u + u. () Wektor u można wyznaczyć z zaeżności (4): u Podstawiaąc (9) do () otrzymuemy: ( u ). () 4

5 u + u a ε ( a ~ εs ωωs ~ ~ ) u a u ~ sε u u ωωs ~ ~ J + u + ui ωω ~ ~ s. () Powyższe równanie pozwaa na obiczenie poszukiwanych przyspieszeń. Przyspieszenia siłowników zestawić w sześcioeementowy wektor L :.3. Zadanie proste kinematyki [ L ] L. (3) Zadanie proste kinematyki poega na wyznaczeniu ruchu patformy (położenie prędkość i przyspieszenie) kiedy dany est ruch siłowników (długości oraz prędkości i przyspieszenia wysuwania). Zadanie o położeniach będzie rozwiązywane metodami numerycznymi datego da uzyskania prostszego zapisu wygodnie est nadać ednoite nazwy poszukiwanym wiekościom opisuącym położenie i orientacę patformy ruchome (współrzędne wektora r i kąty Euera odpowiadaące macierzy ). Wprowadźmy następuące oznaczenia: q [ q q q q q q ] [ r r r ϕ ] [ r ϕ ] x y z ϕ3 ϕ. (4) Podnosząc do kwadratu równanie (7) i uwzgędniaąc wzór () otrzymuemy: () () ( r + s d ) ( r + s d ). (5) Powyższe równanie można napisać da każdego siłownika ( ). ysponuemy zatem układem sześciu równań z których naeży wyznaczyć poszukiwane wiekości r oraz. ównania typu (5) można zapisać łącznie w postaci: ( ) [ ( q) Φ ( q) ] Φ q gdzie Φ est zdefiniowane następuąco: ( q) Φ ( r ϕ) r + ( ϕ) Φ L () () () ( s d ) ( r + ( ϕ) s d ) Φ. (7) Układ równań nieiniowych rozwiązywany będzie numerycznie metodą Newtona aphsona. Spośród możiwych rozwiązań zadania kinematyki interesue nas tyko edno odpowiadaące konfiguraci w akie zmontowano mechanizm. atego szczegóną uwagę poświęcono właściwemu doborowi przybiżenia startowego q. Stwierdzono że dobre rezutaty uzyskue się rozpoczynaąc proces iteracyny od wektora q reprezentuącego centrany punkt przestrzeni robocze. Wykonano też testy numeryczne potwierdzaące że iterace zbiegaą do pożądanego rozwiązania. W metodzie Newtona aphsona schemat iteracyny est następuący: q k k [ Φ ( q )] Φ( q ) k + k q q. (8) Stosowanie metody Newtona aphsona wymaga zróżniczkowania odwzorowania () wzgędem poszukiwanych wiekości q. ozpocznimy od obiczenia pochodnych cząstkowych macierzy kosinusów kierunkowych (): ( ( ϕ )) ϕ Ω ( ϕ) ( ϕ ) ( ϕ3 ) z z x z ( ( ϕ )) ϕ ( ϕ) ( ϕ ) ( ϕ3 ) z Ω x x z ( ( )) ( ϕ ) ( ϕ ) Ω ( ) ϕ ϕ3 z x z z ϕ3 gdzie stałe macierze Ω x i Ω z zdefiniowane są następuąco: (9) 5

6 . z x Ω Ω (3) Powyższych wzorów można użyć podczas obiczania pochodnych zaeżności (7). Wykonuąc rachunki i wykorzystuąc wzór na pochodną ioczynu skaarnego wektorów otrzymuemy (da ): ( ) ( ) ( ) ( ) d s r r r () + ϕ ϕ Φ (3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( () () k k k s s d s r r ϕ ϕ ϕ Φ ϕ ϕ ϕ ϕ + k 3. (3) ysponuemy uż wszystkimi niezbędnymi formułami. a porządku przypomnimy że rozwiązywane przez nas równania kinematyki dane są wzorami (7). Eementy macierzy q Φ obiczamy korzystaąc z zaeżności (3) i (3) a schemat iteracyny dany est przez (8). Po wykonaniu obiczeń dotyczących zadania o położeniu wiekości r oraz są znane. Wykonuąc obiczenia według wzorów () (7) (8) oraz (7) (da ) można obiczyć akobian manipuatora J. ównania () da i można zestawić w edno: ω v J ω v J J L M M. (33) W zadaniu prostym prędkości siłowników są dane zatem poszukiwane prędkości patformy v oraz ω obicza się rozwiązuąc układ równań iniowych (33). Po wykonaniu obiczeń dotyczących zadań o położeniu i prędkości wiekości r v oraz ω są znane. Wykonuąc obiczenia według wzorów () oraz () (da ) można obiczyć oraz u. ównania () da można zestawić w edno: ~ ~ ~ ~ ωωs u u ωωs u u ε a J M. (34) W zadaniu prostym przyspieszenia siłowników są dane zatem poszukiwane przyspieszenia patformy a oraz ε obicza się rozwiązuąc układ równań iniowych (34). 3. YNAMIKA MANIPULAOA 3.. Zadanie proste dynamiki Zadanie proste dynamiki poega na wyznaczeniu ruchu mechanizmu kiedy dane są siły działaące na ten mechanizm. Zadanie to będzie rozwiązywane przez program do anaizy układów wieoczłonowych który automatycznie układa równania opisuące modeowany mechanizm zatem nie musimy wyprowadzać równań ruchu manipuatora w postaci pełne (pozbawione istotnych uproszczeń).

7 3.. Zadanie odwrotne dynamiki (uproszczone) Zadanie odwrotne dynamiki poega na obiczaniu wartości sił napędowych akie naeży przyłożyć do mechanizmu aby uzyskać żądany ruch. Układ sterowania robotem będzie korzystał z rozwiązania zadania odwrotnego dynamiki. o obiczeń zostanie wykorzystany uproszczony mode dynamiki manipuatora. Wszystkie za wyątkiem patformy ruchome człony manipuatora będą traktowane ak nieważkie. arcie w parach kinematycznych będzie pominięte (za wyątkiem tarcia w siłownikach które zostanie omówione osobno w punkcie 3.3). Zakładamy ze środek masy patformy ruchome pokrywa się z początkiem układu odniesienia π. Przymuemy że patforma charakteryzowana est przez masę m i macierz momentów bezwładności I (). Eementy macierzy I () wyznaczane wzgędem okanego poruszaącego się wraz z patformą układu π są stałe. Momenty bezwładności wyznaczane wzgędem środka masy patformy i kierunków osi układu π związanego z podstawą zmieniaą się wraz z ruchem patformy. Macierz bezwładności wyznaczoną wzgędem kierunków osi układu π można obiczyć ze wzoru: I () I. (35) ównanie Newtona wiąże wypadkową siłę oddziaływania siłowników na patformę ruchomą z e masą i przyspieszeniem: F ma. (3) Zaeżność pomiędzy przyspieszeniem i prędkością kątową patformy ruchome oraz e macierzą bezwładności a wypadkowym momentem oddziaływania siłowników iczonym wzgędem środka masy dana est równaniem Euera: M I ε + ω ~ I ω. (37) a zadanego ruchu patformy siłę F oraz moment M można wyznaczyć wprost z równań (3) oraz (37). Wypadkowa siła F oraz moment M oddziaływania siłowników na patformę ruchomą są związane z siłami P rozwianymi przez poszczegóne siłowniki poprzez akobian manipuatora J [ 8]: F J P M P [ P P ] K. (38) ozwiązanie zadania odwrotnego dynamiki poega zatem na wykonaniu obiczeń według wzorów (35) (37) i rozwiązaniu układu równań iniowych (38). Sposób obiczania akobianu manipuatora omówiono w punkcie arcie w siłownikach hydrauicznych H Siła P z aką siłownik działa na patformę różni się od siły parcia P wywierane przez oe na denko tłoka. óżnica spowodowana est przez występowanie tarcia pomiędzy eementami siłownika. Podczas symuaci przyęto następuący mode siły tarcia P F występuące w -tym siłowniku [4]: P F ( ) FC sgn P FS sgn ext + b ext ( P ) P P ext ext < F S F S (39) 7

8 gdzie: b est współczynnikiem tarcia wiskotycznego F C siłą tarcia Couomba F S maksymaną siłą tarcia statycznego a F ext siłą zewnętrzną działaącą na siłownik. 4. SIŁOWNIK HYAULICZNY 4.. Naważniesze zaeżności W niniesze pracy wykorzystano równania opisuące siłownik oraz zawór eektrohydrauiczny zaczerpnięte z prac [4] i [5] wprowadzaąc ednak pewne modyfikace. o sterowania siłownikiem służy serwozawór eektrohydrauiczny pokazany na rysunku 3a. Częstości własne serwonapędu znacznie przewyższaą częstości własne ego obciążenia mechanicznego datego w modeu pominięto dynamikę eementów zaworu uwzgędniaąc edynie opory przepływu. Założono również że geometria zaworu est ideana a w siłowniku nie występuą przecieki [ 7]. ypowy serwozawór hydrauiczny umożiwia przepływ oeu czterema drogami. Opory przepływu zmienia się przykładaąc napięcie steruące. Siłownik hydrauiczny wraz z serwozaworem może być przedstawiony ako hydrauiczny odpowiednik mostka Wheastone a pokazany na rysunku 3b. a) b) p S P Q f Q f A f (i) f (i) Q p p Q g (i) g (i) Q g Q g B p ys. 3. Serwozawór w przekrou (a) oraz schemat serwozaworu i siłownika (b) Kiedy prąd steruący zaworem est dodatni (i > ) oe przepływa drogą P A B a przepływ przez otwory P B i A ma charakter przecieków. Podobnie kiedy prąd steruący est uemny (i < ) przepływ następue drogą P B A a przecieki przedostaą się przez otwory P A i B. Natężenia przepływu cieczy robocze poprzez każdą z dróg w rozdzieaczu hydrauicznym zaeżą od ciśnień panuących w układzie oraz od współczynników przepływu f f g i g. Zaeżności te można zapisać w formie równań: Q f f( i Cd ρ) ps p Qg g( i Cd ρ) p p (4) Q f f( i Cd ρ) ps p Qg g( i Cd ρ) p p gdzie Q f Q f Q g i Q g oznaczaą odpowiednio przepływy przez otwory P A P B A i B p S oznacza ciśnienie zasiania p ciśnienie powrotne p ciśnienie w siłowniku hydrauicznym po stronie tłoka p ciśnienie w siłowniku po stronie tłoczyska i est natężeniem prądu w siniku serwozaworu (sygnałem steruącym) a f (i C d ρ) f (i C d ρ) g (i C d ρ) oraz g (i C d ρ) są nieiniowymi funkcami prądu steruącego współczynnika C d oraz gęstości oeu ρ. 8

9 W ogónym przypadku współczynnik C d zaeży od iczby charakteryzuące przepływ eynodsa i geometrii zaworu. Zaeżność funkci f f g i g od iczby eynodsa i gęstości oeu nie est sina zatem funkce f (i C d ρ) f (i C d ρ) g (i C d ρ) oraz g (i C d ρ) można zredukować do f (i) f (i) g (i) oraz g (i) uwzgędniaąc edynie zaeżność od prądu steruącego [5]. Uwzgędniaąc symetrię serwozaworu można sformułować następuące zaeżności: f() i g( i) f( i) g( i) (4) f() i g() i f( i) g( i). Badania doświadczane [3] wykazały że rozsądnym przybiżeniem est przyęcie iż powyższe funkce zaeżą iniowo od prądu steruącego kiedy droga przepływu est otwarta oraz że maą one stałą wartość kiedy przepływ ma charakter przecieku. Na przykład kiedy i > główny przepływ następue przez otwory P A i B a funkce występuące w równaniu (4) można zapisać w następuący sposób: f () i g( i) K + K f () i g () i K gdzie stały współczynnik K odpowiada za przepływ przez otwarty otwór a stały współczynnik K za przecieki kiedy droga przepływu est zamknięta. Ze wzgędu na symetrię wykonania zaworu współczynniki K i K są ednakowe da wszystkich dróg. Natężenie przepływu cieczy robocze wpływaące do cyindra po stronie tłoka (Q ) oraz wypływaące z cyindra po stronie tłoczyska (Q ) można obiczyć w następuący sposób: Q Q f Q g (43) Q Q g Q f. Natężenia przepływu Q i Q zaeżą także od prędkości ruchu tłoka wzgędem cyindra: Q A Q A. (44) i gdzie A oznacza powierzchnię czynną tłoka a A powierzchnię tłoka pomnieszoną o powierzchnię tłoczyska. Wypadkowa siła oddziaływania na tłok zaeży od ciśnień panuących po obu stronach tłoka i wyraża się wzorem: 4.. Obiczanie rozwiane siły P H A p A (4) p. (45) W trakcie symuaci pracy manipuatora konieczne będzie obiczanie sił rozwianych przez siłowniki. Siła generowana przez siłownik zaeży od dwóch czynników: prędkości ruchu tłoka wzgędem cyindra oraz natężenia prądu steruącego eektrozaworem. Podstawiaąc (44) oraz (4) do (43) otrzymuemy: f p p g p p A (4) g S p p f ps p A. (47) Pierwsze z powyższych równań pozwaa na obiczenie ciśnienia p a drugie ciśnienia p. ównanie (4) est w istocie równaniem kwadratowym wzgędem p. Jego rozwiązanie est następuące (interesue nas tyko rozwiązanie z przedziału [p p S ] ): 9

10 p p 4 4 ( p + ps ) f g + p g + ps f ( f g ) A m fg A ( ps p )( f + g ) ( f +g ) Soving equation (47) for p yieds: 4 4 ( p + ps ) f g + p g + ps f ( f g ) A ± f ga ( ps p )( f + g ) ( f +g ) A A. (48). (49) Naeży zauważyć że równania (4) i (47) zostały dwukrotnie podniesione do potęgi drugie by uzyskać równania kwadratowe wzgędem p i p. Może się zatem zdarzyć że znaezione wartości ciśnień spełniaą wprawdzie odpowiednie równania kwadratowe ae nie spełniaą równań (4) i (47). Zatem podczas obiczeń naeży zawsze sprawdzać czy rozwiązania uzyskane z równań (48) i (49) są właściwe. Po wyznaczeniu ciśnień p i p poszukiwaną siłę wyznacza się wprost z równania (45). Korzystaąc z powyższych równań można wyznaczyć zaeżność siły rozwiane przez serwonapęd hydrauiczny od ego chwiowe prędkości oraz od natężenia prądu steruącego. Zaeżność tę przedstawiono w formie wykresu pokazanego na rysunku 4. W obiczeniach wartości ciśnień p i p były ograniczane do przedziału [p p S ]. Siła [N] Prędkość [m/s] Prąd [A] ys. 4. Siła rozwiana przez siłownik w funkci prędkości i prądu steruącego 4.3. Obiczanie prądu steruącego Układ sterowania manipuatorem rozwiązue odwrotne zadanie dynamiki i wyznacza siły niezbędne do wykonania zadanego ruchu. Następnie da znane prędkości ruchu siłownika i zadane siły naeży obiczyć odpowiednią wartość natężenia prądu steruącego. Anaityczną formę zaeżności pomiędzy zadaną siłą P H a poszukiwanym prądem i można uzyskać podstawiaąc (48) i (49) do (45) a następnie wykorzystuąc zaeżności (4). Uzyskana zaeżność byłaby ednak zbyt skompikowana by anaitycznie wyznaczyć z nie poszukiwane natężenie prądu. atego zdecydowano się na zastosowanie metody numeryczne. Obiczaąc poszukiwane natężenie prądu steruącego i posłużono się metodą bisekci. Wykorzystano procedurę pozwaaącą na obiczenie siły P H gdy dane są natężenie i oraz

11 prędkość (patrz punkt poprzedni). Prędkość est dana zatem zaeżność P H ( i ) może być traktowana ako funkca edne zmienne prądu i. Poszukiwane natężenie prądu steruącego musi naeżeć do przedziału [ i max i max ]. Jak wynika z rysunku 4 da ustaone prędkości zaeżność siły P H od natężenia i est monotoniczna. zięki temu zastosowanie metody bisekci est możiwe. Procedura bisekci działa poprawnie eśi da zadane siły H P oraz chwiowe prędkości spełniony est warunek: H P i H H ) < P < P ( i ). (5) ( min max W przeciwnym wypadku zadana siła est nieosiągana. W wyniku obiczeń uzyskuemy natężenie prądu steruącego i max (ub i max ) odpowiadaące maksymane (ub minimane) sie aką może rozwinąć siłownik. 5. UKŁA SEOWANIA W obiczeniach wykorzystano opisany w pracy [4] układ sterowania napędzaną hydrauicznie patformą Stewarta. Układ sterowania wykorzystue mode dynamiki manipuatora oraz modee siłowników hydrauicznych wraz z serwozaworami. Własności dynamiczne urządzenia są znane zatem w zastosowanym podeściu sprzężenie zwrotne na poziomie sił ciśnień i przyspieszeń nie est konieczne mierzone są edynie chwiowe długości i prędkości siłowników. Prawo sterowania skonstruowane est w taki sposób by uchyb sterowania dążył asymptotycznie do zera niezaeżnie od zmian obciążenia patformy. Uchyby na poziomie położeń i prędkości redukowane są ednocześnie. Wartości sygnałów steruących (prądów steruących serwozaworami) dobiera się w taki sposób by spełnione było następuące równanie: e K e + K e (5) + v p gdzie e L L est uchybem sterowania ( L est -eementowym wektorem zadanych długości siłowników) a K p k pi oraz K v k vi diagonanymi macierzami wzmocnienia w torze położenia i prędkości. Współczynniki wzmocnienia k p i k v są tak dobrane by rozwiązanie równania (5) miało charakter aperiodyczny krytyczny. W pierwsze fazie obiczeń układ sterowania na podstawie zadane traektorii patformy ruchome wyznacza rozwiązuąc zadanie odwrotne kinematyki zadane długości L prędkości L i przyspieszenia siłowników L. W rzeczywistym manipuatorze rzeczywiste długości L oraz prędkości L siłowników są mierzone przez odpowiednie czuniki. W modeu symuacynym wartości te są obiczane przez pakiet anaizy układów wieoczłonowych dzięki czemu można zamknąć pętę sprzężenia zwrotnego w układzie sterowania. Koenym krokiem obiczeń est wyznaczenie przyspieszeń. a danych wiekości L L L L i L obicza się wartość L spełniaącą równanie (5): L L + K e + K e L + K L L + K L L. (5) ( ) ( ) v p v p Następnym etapem obiczeń est rozwiązanie zadania odwrotnego dynamiki manipuatora w którym da danych L L i L obicza się siły napędowe niezbędne do reaizaci zadanego ruchu. ozwiązanie zadania odwrotnego dynamiki musi być poprzedzone rozwiązaniem zadania prostego kinematyki w którym ruch siłowników przeiczany est na

12 ruch patformy. Obiczenia kończą się wyznaczeniem prądów steruących serwozwaorami przy których osiągnięte zostaną wyznaczone wcześnie siły napędowe.. WYNIKI OBLICZEŃ SYMULACYJNYCH Schemat modeu symuacynego przedstawiono na rysunku. Przeprowadzono cyk symuaci których ceem było sprawdzenie aki wpływ na akość sterowania robotem maą uproszczenia modeu dynamiki wykorzystywanego przez układ sterowania. Wszystkie obiczenia przeprowadzano da te same traektorii zadane. raektoria patformy ruchome była opisana następuącymi równaniami: ( π f t) ( π f t) ( π f t) ( t) α cos( π f t) () t π + β sin( π f t) () t γ sin( π f ) xsin ϕ r () t y cos ϕ (53) z + z sin ϕ3 t gdzie parametry x y z z α β γ f maą stałe wartości a czas t naeży do przedziału [ τ]. Manipuator w koenych fazach ruchu pokazano na rysunku 5. ys. 5. Manipuator w koenych fazach ruchu Jakość sterownia oceniano na podstawie przebiegu uchybu położenia e L L (różnica między zadanymi a zreaizowanymi długościami siłowników) oraz prędkości e L L. Uchyby sterownia e i e są zmiennymi w czasie sześcioeementowymi wektorami. a ułatwienia porównań wprowadzono skaarne miary uchybów zwane dae uchybami średnimi: e p τ τ e () t e() t dt e e () t e () t v τ τ dt. (54) Przeprowadzono symuace w kiku wariantach. Opis symuaci oraz ich syntetyczne wyniki w postaci uchybów średnich e L i e V zamieszczono w tabei.

13 abea. Opis przeprowadzonych symuaci i ich syntetyczne wyniki Mode dynamiki odwrotne (pakiet do ukł. sterowania) A. arcie pominięte B. arcie pominięte C. arcie pominięte. arcie pominięte E. arcie pominięte arcie uwzgędnione F. Skorygowana masa patformy arcie pominięte G. Skorygowana masa patformy arcie niedoszacowane H. Skorygowana masa patformy arcie przeszacowane I. Skorygowana masa patformy J. K. L. M. arcie uwzgędnione Skorygowana masa patformy arcie uwzgędnione Skorygowana masa patformy arcie uwzgędnione Skorygowana masa patformy arcie uwzgędnione Skorygowana masa patformy k p oraz k v zwiększone Mode symuacyny manipuatora (pakiet do ukł. wieoczłonowych) arcie pominięte Pominięte masy siłowników arcie pominięte Uwzgędnione masy siłowników arcie uwzgędnione Pominięte masy siłowników arcie uwzgędnione Uwzgędnione masy siłowników arcie uwzgędnione Uwzgędnione masy siłowników arcie uwzgędnione Uwzgędnione masy siłowników arcie uwzgędnione Uwzgędnione masy siłowników arcie uwzgędnione Actuator masses incuded arcie uwzgędnione Uwzgędnione masy siłowników arcie uwzgędnione Uwzgędnione masy siłowników Wymiary zmienione o % arcie uwzgędnione Uwzgędnione masy siłowników Obciążenie dołączone do patformy arcie uwzgędnione Uwzgędnione masy siłowników uchome obciążenie patformy arcie uwzgędnione Uwzgędnione masy siłowników uchome obciążenie patformy e p [mm] e v [mm/s] Prawidłowa interpretaca informaci zawartych w tabei wymaga zwrócenia uwagi na kika kwestii: Wszystkie symuace przeprowadzono da takich samych nastaw k p 4π i k v π wykorzystywanych przez prawo sterowania. Wyątek stanowi symuaca M w które wzmocnienia zwiększono do wartości k p 5π i k v 3π. W modeu dynamiki odwrotne wykorzystywanym przez układ sterowania pominięto masy siłowników. Jedynym obiektem którego masę uwzgędniono est patforma ruchoma. Natomiast w zadaniu prostym dynamiki rozwiązywanym przez pakiet do anaizy układów wieoczłonowych w większości przeprowadzonych symuaci siłowniki maą niezerowe masy. Jedynie podczas symuaci A i C wyzerowano masy siłowników. W modeu dynamiki odwrotne wykorzystywanym przez układ sterowania można w sposób uproszczony uwzgędnić masy siłowników koryguąc odpowiednio masę patformy (np. powiększaąc ą o masę tłoków). Postąpiono tak w symuacach F M. arcie można uwzgędniać bądź pomiać zarówno w modeu symuacynym utworzonym w programie do anaizy układów wieoczłonowych ak i w modeu dynamiki odwrotne wykorzystywanym przez układ sterowania. Parametry opisuące tarcie naeżą do trudno mierzanych oraz mało stabinych datego wykonano symuace w których 3

14 w obiczeniach wykonywanych przez układ sterowania uwzgędniano tarcie ecz ego parametry różniły się od parametrów używanych przez mode symuacyny manipuatora. Symuacę H przeprowadzono da niedoszacowanych (zmnieszonych o 5%) parametrów opisuących tarcie natomiast symuacę I da parametrów przeszacowanych (zwiększonych o 5%). zeczywiste wymiary charakterystyczne manipuatora mogą różnić się od wymiarów nominanych wykorzystywanych podczas obiczeń prowadzonych przez układ sterowania. Symuacę J przeprowadzono po to by zbadać skutki niedokładnego oszacowania parametrów geometrycznych. Wymiary patformy różniły się o % od wymiarów uwzgędnianych w układzie sterowania. W trzech symuacach patformę manipuatora obciążono przenoszonym ładunkiem. W pierwszym wypadku (symuaca K) była to masa 5 kg sztywno połączona z patformą. W drugim i trzecim wypadku (symuace L i M) masa 3 kg była połączona z patformą za pomocą przegubu sferycznego oraz podtrzymuących ą sprężyn i tłumików. Informace zawarte w tabei zawieraą edynie orientacyne dane o wynikach symuaci. Niektóre z bardzie interesuących wyników wykonanych symuaci omówiono poniże. Symuaca A odpowiada sytuaci w które mode dynamiki odwrotne wykorzystywany przez układ sterowania odpowiada dokładnie dynamice manipuatora. Jak widać uchyby położenia i prędkości są niema zerowe. Podczas symuaci B siłowniki manipuatora nie były uż traktowane ako nieważkie zatem mode dynamiki używany przez układ sterowania nie był w pełni zgody z dynamiką manipuatora. Podczas symuaci C uwzgędniono tarcie w siłownikach ecz nie uwzgędniano go w obiczeniach dotyczących sterowania. Porównanie wyników symuaci A B i C pozwaa stwierdzić że nieuwzgędnianie tarcia powodue znacznie większe probemy ze sterowaniem niż pominięcie mas siłowników..5 x -3 e [m] Symuaca E.5.5 Symuaca F t [s] ys.. Symuace E i F: przebiegi uchybów położenia Probemy wynikaące z nieuwzgędniania w modeu dynamiki odwrotne mas siłowników można w znacznym stopniu zneutraizować wprowadzaąc korektę masy patformy. Przebieg błędów pozyci da symuaci E w które nie dokonano korekty masy patformy pokazano na rysunku Warto zauważyć że błędy oscyuą wokół wartości ok..5 mm. Na tym samym rysunku pokazano przebieg błędów pozyci da symuaci F która różni się od poprzednie tym że masę patformy powiększono o masy tłoków wraz z tłoczyskami. Łatwo 4

15 zauważyć że tym razem że błędy oscyuą wokół wartości biskie zeru. Warto zwrócić uwagę że ampitudy oscyaci błędów pozyconowania są w obu wypadkach zbiżone.. e [m/s] Symuaca F t [s]..4 e [m/s] Symuaca G t [s] e [m/s] Symuaca H t [s] e [m/s] Symuaca I ys.7. Symuace F G H oraz I: przebiegi uchybów prędkości Probemy ze sterowaniem wynikaące z występowania tarcia w siłownikach można zmnieszyć uwzgędniaąc siły tarcia w modeu dynamiki wykorzystywanym przez układ sterowania. Naeży ednak pamiętać że tarcie est zawiskiem złożonym a ego modee są z konieczności uproszczone. Ponadto parametry opisuące tarcie są trudne do zmierzenia i często zmienne w czasie. Zatem nie naeży się spodziewać że mode tarcia wykorzystywany przez układ sterowania będzie wykazywał dużą zgodność z tarciem występuącym t [s] 5

16 w rzeczywistym obiekcie sterownia. Przeprowadzono serię symuaci sprawdzaących aki est wpływ sił tarcia na uzyskiwaną akość sterowania. Symuaca F odpowiada sytuaci w które mode tarcia wykorzystywany przez układ sterowania wykazue dużą zgodność z tarciem obserwowanym w manipuatorze. Symuaca G odpowiada sytuaci w które tarcie występowało w manipuatorze ecz było pomiane przez ego układ sterowania. Błędy wynikaące z pominięcia tarcia są szczegónie dobrze widoczne (w postaci charakterystycznych pików ) na wykresach uchybu prędkości pokazanych na rysunku 7. Nawiększe probemy sprawia tarcie suche poawiaące się przy prędkościach siłowników biskich zeru. symuaca H odpowiada sytuaci w które mode tarcia est wykorzystywany przez układ sterowania ae ego parametry są niedoszacowane (o połowę mniesze) w stosunku do tarcia występuącego w manipuatorze. Widoczna est pewna poprawa akości sterowania ae probemy z tarciem suchym są nada wyraźnie widoczne. Symuaca I odpowiada sytuaci w które siły tarcia obiczane przez mode dynamiki odwrotne stosowany w układzie sterowania są większe (o 5%) od występuących w manipuatorze. Obserwowane uchyby prędkości są w tym wypadku większe niż w symuaci F ae ednocześnie znacznie mniesze niż w symuaci G. Symuacę J przeprowadzono by zbadać skutki niedokładnego oszacowania parametrów geometrycznych patformy. Podczas te symuaci przyęto że rzeczywiste wymiary manipuatora różnią się o % od wymiarów nominanych wykorzystywanych przez układ sterowania. Stwierdzono że stosunkowo niewiekie zmiany wartości parametrów geometrycznych prowadzą do powstawania dość znacznych uchybów sterowania. Uchyby średnie podane w tabei są obiczane na podstawie błędów pozyci i prędkości siłowników. Warto ednak pamiętać że w wypadku symuaci J nabardzie znaczące są błędy pozyci i prędkości patformy ruchome w przestrzeni kartezańskie. Niedokładne oszacowanie parametrów geometrycznych mechanizmu skutkue tym że dokładne ruchy siłowników nie przekładaą się na równie precyzyny ruch patformy. Mode dynamiki wykorzystywany przez układ sterowania manipuatorem dostosowany est do przeciętnego przewidywanego obciążenia manipuatora. Zmiany rzeczywistego obciążenia patformy ruchome traktowane są ako zakłócenia z którymi musi sobie radzić układ sterowania. By zbadać wpływ obciążenia manipuatora ładunkiem na uzyskiwaną akość reguaci przeprowadzono symuace K oraz L. W pierwszym wypadku obciążenie patformy w postaci waca o masie 5 kg było sztywno przymocowane do patformy ruchome. W przypadku drugim (symuaca L) do patformy przymocowano podtrzymywane przez układ sprężyn i tłumików wahadło o masie 3 kg i długości. m tworzące z patformą parę sferyczną. akie podatne zamocowanie ładunku pozwoiło na zbadanie pracy układu sterowania przy zmiennym obciążeniu manipuatora. Oba zmodyfikowane modee manipuatora pokazano na rysunku 8. a) b) ys. 8. Modee wykorzystane podczas symuaci K (a) L oraz M (b)

17 Wyniki symuaci L pokazano na rysunku 9. Jest widoczne że przebieg uchybu położenia nie stabiizue się w postaci zbiżone do funkci okresowe (co było obserwowane w innych symuacach). Jest to wynik zmiennego w czasie obciążenia patformy spowodowanego ruchami wahadła. Ponadto uchyby położenia są większe od obserwowanych w przypadku symuaci F (rysunek ). Naeży ednak podkreśić że dodatkowe masy 5 kg ub 3 kg są stosunkowo duże w porównaniu z masą patformy ruchome (3 kg). W rezutacie obserwowane uchyby sterowania są również stosunkowo duże. We wszystkich omówionych wcześnie symuacach wzmocnienia charakteryzuące układ sterowania były następuące: k p 4π i k v π. Właściwy dobór parametrów k p i k v ma zasadniczy wpływ na uzyskiwaną akość reguaci często większy niż rozważane przez nas uproszczenia w modeu dynamiki odwrotne stosowanym w układzie sterowania. Pokazue to symuaca M która od symuaci L różni się edynie wzmocnieniami. ym razem w obiczeniach użyto wartości k p 5π i k v 3π. Spadek wiekości błędów pozyconowania podczas symuaci M est wyraźnie widoczny na rysunku x -3 e [m] Symuaca L t [s] x -3 e [m] Symuaca M ys. 9. Symuace L oraz M: przebiegi uchybów położenia t [s] 7. UWAGI KOŃCOWE Opracowany mode symuacyny manipuatora równoegłego wraz z napędem hydrauicznym i układem sterowania umożiwia anaizę różnych zagadnień związanych z pracą urządzenia. Skoncentrowano się na zbadaniu wpływu uproszczeń w modeu dynamiki odwrotne wykorzystywanym przez układ sterowania a także wpływu niedokładnego oszacowania wartości parametrów modeu na uzyskiwaną akość sterownia. Przeprowadzone badania symuacyne wykazały że uproszczenia modeu dynamiki odwrotne poegaące na pominięciu mas siłowników maą stosunkowo niewieki wpływ na 7

18 przebiegi uchybu pozyconowania i eszcze mnieszy na uchyb prędkości. Stwierdzono też że probemy wynikaące z nieuwzgędniania w modeu dynamiki odwrotne mas siłowników można w znacznym stopniu zneutraizować wprowadzaąc odpowiednią korektę masy patformy. Badania symuacyne wykazały że uwzgędnienie w modeu dynamiki odwrotne sił tarcia ma istotny wpływ na uzyskiwaną akość sterowania. Stwierdzono że parametry opisuące tarcie powinny być znane ze stosunkowo dużą dokładnością. Jeżei mode tarcia wykorzystywany przez układ sterowania nie opisue tarcia w manipuatorze z odpowiednią dokładnością to ego uwzgędnianie w układzie sterowania nie dae istotnych efektów. Badania wykazały także że naistotniesza est identyfikaca i prawidłowe modeowanie tarcia suchego. Naeży zwrócić uwagę że prezentowane symuace nie obywały się w czasie rzeczywistym. ozwiązywanie zadania prostego dynamiki w pakiecie przeznaczonym do anaizy układów wieoczłonowych wymaga bowiem kosztownego numerycznie całkowania równań ruchu. Warto ednak podkreśić że kiedy miesce modeu wieoczłonowego zamie rzeczywisty manipuator iość niezbędnych obiczeń zmnieszy się radykanie. Procedury wykorzystywane w modeu układu sterowania (zadanie proste kinematyki uproszczone zadanie odwrotne kinematyki i procedury do obiczania prądu steruącego) będzie można zaimpementować w sterowniku pracuącym w czasie rzeczywistym. Stwierdzono bowiem że w ich przypadku łączny czas wykonywania obiczeń wynosi ok. ms i est dostatecznie mały by spełnić wymagania układu sterowania w czasie rzeczywistym. Na zakończenie warto podkreśić że opracowany mode symuacyny można łatwo rozbudować np. po to by w sposób reaistyczny uwzgędnić oddziaływanie manipuatora z otoczeniem. POZIĘKOWANIA Praca została sfinansowana przez EPAN Cooperation Program (Greece-Poand) of the Heenic Genera Secretariat for esearch and echnoogy oraz ze środków przeznaczonych na badania własne w ILiMS PW w ramach pracy 53G/387/7. LIEAUA [] Angees J. Fundamentas of obotic Mechanica Systems. Springer Science+Business Media 3 rd Edition 7. [] Backburn J.F. eethof G. Shearer J.L. Fuid Power Contro. Cambridge MA: MI Press 9. [3] aviakos I. Zafiris A. and Papadopouos E. Joint Space Controer esign for Eectrohydrauic Servos. Proc. IEEE Internationa Symposium on Computer- Aided Contro Systems esign (CACS ') pp October 4-. [4] aviakos I. and Papadopouos E. Invariant Error ynamics Controer for a -dof Eectrohydrauic Stewart Patform. Proc. th CISM-IFoMM Symposium on obot esign ynamics and Contro (OMANSY ). Warsaw Poand June -4. [5] aviakos I. Chatzakos P. and Papadopouos E. eveopment of a Mode-based Impedance Controer for Eectrohydrauic Servos Proc. Internationa Conference on obotics and Appications Oct. 3-Nov. Cambridge MA USA 5. 8

19 [] Merritt H. E. Hydrauic Contro Systems. J. Wiey 97. [7] hayer W.J. Specification Standards for Eectrohydrauic Fow Contro Servovaves. echnica Buetin 7 Moog Incorporation Contro ivision E. Aurora New York 9. [8] sai L.-W. obot Anaysis. he Mechanics of Seria and Parae Manipuators. John Wiey Sons Inc. New York

Wstęp. Numeryczne Modelowanie Układów Ciągłych Podstawy Metody Elementów Skończonych. Warunki brzegowe. Elementy

Wstęp. Numeryczne Modelowanie Układów Ciągłych Podstawy Metody Elementów Skończonych. Warunki brzegowe. Elementy Wstęp Numeryczne Modeowanie Układów Ciągłych Podstawy Metody Eementów Skończonych Metoda Eementów Skończonych służy do rozwiązywania probemów początkowo-brzegowych, opisywanych równaniami różniczkowymi

Bardziej szczegółowo

2. Obliczenie sił działających w huśtawce

2. Obliczenie sił działających w huśtawce . Obiczenie sił działających w huśtawce Rozważone zostaną dwa aspekty rozwiązania tego zadania. Dokonanie obiczeń jest ważne ze wzgędu na dobór eementów, które zostaną wykorzystane w koncepcjach reguacji

Bardziej szczegółowo

m Jeżeli do końca naciągniętej (ściśniętej) sprężyny przymocujemy ciało o masie m., to będzie na nie działała siła (III zasada dynamiki):

m Jeżeli do końca naciągniętej (ściśniętej) sprężyny przymocujemy ciało o masie m., to będzie na nie działała siła (III zasada dynamiki): Ruch drgający -. Ruch drgający Ciało jest sprężyste, jeżei odzyskuje pierwotny kształt po ustaniu działania siły, która ten kształt zmieniła. Właściwość sprężystości jest ograniczona, to znaczy, że przy

Bardziej szczegółowo

Dynamika ruchu postępowego, ruchu punktu materialnego po okręgu i ruchu obrotowego bryły sztywnej

Dynamika ruchu postępowego, ruchu punktu materialnego po okręgu i ruchu obrotowego bryły sztywnej Dynamika ruchu postępowego, ruchu punktu materialnego po okręgu i ruchu obrotowego bryły sztywnej Dynamika ruchu postępowego 1. Balon opada ze stałą prędkością. Jaką masę balastu należy wyrzucić, aby balon

Bardziej szczegółowo

Sterowanie napędów maszyn i robotów

Sterowanie napędów maszyn i robotów Sterowanie napędów maszyn i robotów dr inż. Jakub Możaryn Wykład 1 Instytut Automatyki i Robotyki Wydział Mechatroniki Politechnika Warszawska, 2014 Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach

Bardziej szczegółowo

PRZEMIANA ENERGII ELEKTRYCZNEJ W CIELE STAŁYM

PRZEMIANA ENERGII ELEKTRYCZNEJ W CIELE STAŁYM PRZEMIANA ENERGII ELEKTRYCZNE W CIELE STAŁYM Anaizowane są skutki pzepływu pądu pzemiennego o natężeniu I pzez pzewodnik okągły o pomieniu. Pzyęto wstępne założenia upaszcząace: - kształt pądu est sinusoidany,

Bardziej szczegółowo

METODY OBLICZENIOWE. Projekt nr 3.4. Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03

METODY OBLICZENIOWE. Projekt nr 3.4. Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03 METODY OBLICZENIOWE Projekt nr 3.4 Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03 Zadanie Nasze zadanie składało się z dwóch części: 1. Sformułowanie, przy użyciu metody Lagrange a II rodzaju, równania różniczkowego

Bardziej szczegółowo

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Mechanika klasyczna Tadeusz Lesiak Wykład nr 4 Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Energia i praca T. Lesiak Mechanika klasyczna 2 Praca Praca (W) wykonana przez stałą

Bardziej szczegółowo

PF11- Dynamika bryły sztywnej.

PF11- Dynamika bryły sztywnej. Instytut Fizyki im. Mariana Smoluchowskiego Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej Uniwersytetu Jagiellońskiego Zajęcia laboratoryjne w I Pracowni Fizycznej dla uczniów szkół ponadgimnazjalych

Bardziej szczegółowo

PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO

PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO ĆWICZENIE 53 PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO Cel ćwiczenia: wyznaczenie wartości indukcyjności cewek i pojemności kondensatorów przy wykorzystaniu prawa Ohma dla prądu przemiennego; sprawdzenie prawa

Bardziej szczegółowo

Doświadczalne wyznaczanie współczynnika sztywności (sprężystości) sprężyny

Doświadczalne wyznaczanie współczynnika sztywności (sprężystości) sprężyny Doświadczalne wyznaczanie współczynnika sztywności (sprężystości) Wprowadzenie Wartość współczynnika sztywności użytej można wyznaczyć z dużą dokładnością metodą statyczną. W tym celu należy zawiesić pionowo

Bardziej szczegółowo

Notacja Denavita-Hartenberga

Notacja Denavita-Hartenberga Notacja DenavitaHartenberga Materiały do ćwiczeń z Podstaw Robotyki Artur Gmerek Umiejętność rozwiązywania prostego zagadnienia kinematycznego jest najbardziej bazową umiejętność zakresu Robotyki. Wyznaczyć

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 6

Rozwiązywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 6 ozwiązwanie beek prostch i przegubowch wznaczanie reakcji i wkresów sił przekrojowch 6 Obciążenie beki mogą stanowić sił skupione, moment skupione oraz obciążenia ciągłe q rs. 6.. s. 6. rzed przstąpieniem

Bardziej szczegółowo

Ruch drgający i falowy

Ruch drgający i falowy Ruch drgający i falowy 1. Ruch harmoniczny 1.1. Pojęcie ruchu harmonicznego Jednym z najbardziej rozpowszechnionych ruchów w mechanice jest ruch ciała drgającego. Przykładem takiego ruchu może być ruch

Bardziej szczegółowo

OCENA PRZYDATNOŚCI MODELU EKONOMETRYCZNEGO DO BADANIA ZMIAN DYNAMIKI GOSPODARKI WOJEWÓDZTWA ŚLĄSKIEGO

OCENA PRZYDATNOŚCI MODELU EKONOMETRYCZNEGO DO BADANIA ZMIAN DYNAMIKI GOSPODARKI WOJEWÓDZTWA ŚLĄSKIEGO Studia Ekonomiczne. Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego w Katowicach ISSN 2083-8611 Nr 220 2015 Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach Wydział Zarządzania Katedra Ekonometrii ozef.biolik@ue.katowice.pl

Bardziej szczegółowo

Mgr inż. Wojciech Chajec Pracownia Kompozytów, CNT Mgr inż. Adam Dziubiński Pracownia Aerodynamiki Numerycznej i Mechaniki Lotu, CNT SMIL

Mgr inż. Wojciech Chajec Pracownia Kompozytów, CNT Mgr inż. Adam Dziubiński Pracownia Aerodynamiki Numerycznej i Mechaniki Lotu, CNT SMIL Mgr inż. Wojciech Chajec Pracownia Kompozytów, CNT Mgr inż. Adam Dziubiński Pracownia Aerodynamiki Numerycznej i Mechaniki Lotu, CNT SMIL We wstępnej analizie przyjęto następujące założenia: Dwuwymiarowość

Bardziej szczegółowo

Podstawy Robotyki Określenie kinematyki oraz dynamiki manipulatora

Podstawy Robotyki Określenie kinematyki oraz dynamiki manipulatora Podstawy Robotyki Określenie kinematyki oraz dynamiki manipulatora AiR V sem. Gr. A4/ Wicher Bartłomiej Pilewski Wiktor 9 stycznia 011 1 1 Wstęp Rysunek 1: Schematyczne przedstawienie manipulatora W poniższym

Bardziej szczegółowo

WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII.

WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII. ĆWICZENIE 3. WAHADŁO SPRĘŻYNOWE. POMIAR POLA ELIPSY ENERGII. 1. Oscylator harmoniczny. Wprowadzenie Oscylatorem harmonicznym nazywamy punt materialny, na tóry,działa siła sierowana do pewnego centrum,

Bardziej szczegółowo

Ćw. 5. Badanie ruchu wahadła sprężynowego sprawdzenie wzoru na okres drgań

Ćw. 5. Badanie ruchu wahadła sprężynowego sprawdzenie wzoru na okres drgań KAEDRA FIZYKI SOSOWANEJ PRACOWNIA 5 FIZYKI Ćw. 5. Badanie ruchu wahadła sprężynowego sprawdzenie wzoru na ores drgań Wprowadzenie Ruch drgający naeży do najbardziej rozpowszechnionych ruchów w przyrodzie.

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA PŁYNÓW LABORATORIUM

MECHANIKA PŁYNÓW LABORATORIUM MECANIKA PŁYNÓW LABORATORIUM Ćwiczenie nr 4 Współpraca pompy z układem przewodów. Celem ćwiczenia jest sporządzenie charakterystyki pojedynczej pompy wirowej współpracującej z układem przewodów, przy różnych

Bardziej szczegółowo

Podstawy działań na wektorach - dodawanie

Podstawy działań na wektorach - dodawanie Podstawy działań na wektorach - dodawanie Metody dodawania wektorów można podzielić na graficzne i analityczne (rachunkowe). 1. Graficzne (rysunkowe) dodawanie dwóch wektorów. Założenia: dane są dwa wektory

Bardziej szczegółowo

Analiza kinematyczna i dynamiczna mechanizmów za pomocą MSC.visualNastran

Analiza kinematyczna i dynamiczna mechanizmów za pomocą MSC.visualNastran Analiza kinematyczna i dynamiczna mechanizmów za pomocą MSC.visualNastran Spis treści Omówienie programu MSC.visualNastran Analiza mechanizmu korbowo wodzikowego Analiza mechanizmu drgającego Analiza mechanizmu

Bardziej szczegółowo

EKSPLORACJA ZASOBÓW INTERNETU LAB 2 - MIŁOSZ KADZIŃSKI OCENA JAKOŚCI WYSZUKIWANIA + HUBS AND AUTHORITIES + QUERY EXPANDING

EKSPLORACJA ZASOBÓW INTERNETU LAB 2 - MIŁOSZ KADZIŃSKI OCENA JAKOŚCI WYSZUKIWANIA + HUBS AND AUTHORITIES + QUERY EXPANDING EKSPLORACJA ZASOBÓW INTERNETU LAB 2 - MIŁOSZ KAZIŃSKI OCENA JAKOŚCI WYSZUKIWANIA + HUBS AN AUTHORITIES + QUERY EXPANING. Pan Laboratorium II.. Ocena akości wyszukiwania (precision - dokładność, reca kompetność

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 1. Badanie aktuatora elektrohydraulicznego. Sterowanie Napędów Maszyn i Robotów Przemysłowych - laboratorium. Instrukcja laboratoryjna

Ćwiczenie 1. Badanie aktuatora elektrohydraulicznego. Sterowanie Napędów Maszyn i Robotów Przemysłowych - laboratorium. Instrukcja laboratoryjna Sterowanie Napędów Maszyn i Robotów Przemysłowych - laboratorium Ćwiczenie 1 Badanie aktuatora elektrohydraulicznego Instrukcja laboratoryjna Opracował : mgr inż. Arkadiusz Winnicki Warszawa 2010 Badanie

Bardziej szczegółowo

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4) Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego

Bardziej szczegółowo

Q t lub precyzyjniej w postaci różniczkowej. dq dt Jednostką natężenia prądu jest amper oznaczany przez A.

Q t lub precyzyjniej w postaci różniczkowej. dq dt Jednostką natężenia prądu jest amper oznaczany przez A. Prąd elektryczny Dotychczas zajmowaliśmy się zjawiskami związanymi z ładunkami spoczywającymi. Obecnie zajmiemy się zjawiskami zachodzącymi podczas uporządkowanego ruchu ładunków, który często nazywamy

Bardziej szczegółowo

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Podstawy Automatyki Badanie i synteza kaskadowego adaptacyjnego układu regulacji do sterowania obiektu o

Bardziej szczegółowo

Testy zgodności 9 113

Testy zgodności 9 113 Testy zgodności 9 3 9. TESTY ZGODNOŚCI 9. Różne sytuace praktyczne W praktyce badań statystycznych, ak uż poprzednio stwierdzono, cały proces analizy statystyczne dzielimy na dwa etapy: formułowanie hipotezy

Bardziej szczegółowo

Ć W I C Z E N I E N R M-2

Ć W I C Z E N I E N R M-2 INSYU FIZYKI WYDZIAŁ INŻYNIERII PRODUKCJI I ECHNOLOGII MAERIAŁÓW POLIECHNIKA CZĘSOCHOWSKA PRACOWNIA MECHANIKI Ć W I C Z E N I E N R M- ZALEŻNOŚĆ OKRESU DRGAŃ WAHADŁA OD AMPLIUDY Ćwiczenie M-: Zależność

Bardziej szczegółowo

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych. Sterowanie odbiornikiem hydraulicznym z rozdzielaczem typu Load-sensing

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych. Sterowanie odbiornikiem hydraulicznym z rozdzielaczem typu Load-sensing Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych Sterowanie odbiornikiem hydraulicznym z rozdzielaczem typu Load-sensing Wstęp teoretyczny Poprzednie ćwiczenia poświęcone były sterowaniom dławieniowym. Do realizacji

Bardziej szczegółowo

Metoda elementów skończonych

Metoda elementów skończonych Metoda elementów skończonych Wraz z rozwojem elektronicznych maszyn obliczeniowych jakimi są komputery zaczęły pojawiać się różne numeryczne metody do obliczeń wytrzymałości różnych konstrukcji. Jedną

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

Wektor położenia. Zajęcia uzupełniające. Mgr Kamila Rudź, Podstawy Fizyki. http://kepler.am.gdynia.pl/~karudz

Wektor położenia. Zajęcia uzupełniające. Mgr Kamila Rudź, Podstawy Fizyki. http://kepler.am.gdynia.pl/~karudz Kartezjański układ współrzędnych: Wersory osi: e x x i e y y j e z z k r - wektor o współrzędnych [ x 0, y 0, z 0 ] Wektor położenia: r t =[ x t, y t,z t ] każda współrzędna zmienia się w czasie. r t =

Bardziej szczegółowo

Badania właściwości dynamicznych sieci gazowej z wykorzystaniem pakietu SimNet TSGas 3

Badania właściwości dynamicznych sieci gazowej z wykorzystaniem pakietu SimNet TSGas 3 Andrzej J. Osiadacz Maciej Chaczykowski Łukasz Kotyński Badania właściwości dynamicznych sieci gazowej z wykorzystaniem pakietu SimNet TSGas 3 Andrzej J. Osiadacz, Maciej Chaczykowski, Łukasz Kotyński,

Bardziej szczegółowo

(t) w przedziale (0 s 16 s). b) Uzupełnij tabelę, wpisując w drugiej kolumnie rodzaj ruchu, jakim poruszała się mrówka w kolejnych przedziałach czasu.

(t) w przedziale (0 s 16 s). b) Uzupełnij tabelę, wpisując w drugiej kolumnie rodzaj ruchu, jakim poruszała się mrówka w kolejnych przedziałach czasu. 1 1 x (m/s) 4 0 4 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 t (s) a) Narysuj wykres a x (t) w przedziale (0 s 16 s). b) Uzupełnij tabelę, wpisując w drugiej kolumnie rodzaj ruchu, jakim poruszała się mrówka

Bardziej szczegółowo

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e

Bardziej szczegółowo

Temat: Układy pneumatyczno - hydrauliczne

Temat: Układy pneumatyczno - hydrauliczne Copyright by: Krzysztof Serafin. Brzesko 2007 Na podstawie skryptu 1220 AGH Temat: Układy pneumatyczno - hydrauliczne 1. Siłownik z zabudowanym blokiem sterującym Ten ruch wahadłowy tłoka siłownika jest

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA I. 5. Energia, praca, moc. http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I. 5. Energia, praca, moc. http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Wykład FIZYKA I 5. Energia, praca, moc Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html ENERGIA, PRACA, MOC Siła to wielkość

Bardziej szczegółowo

Pomiar ogniskowych soczewek metodą Bessela

Pomiar ogniskowych soczewek metodą Bessela Ćwiczenie O4 Pomiar ogniskowych soczewek metodą Bessela O4.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest wyznaczenie ogniskowych soczewek skupiających oraz rozpraszających z zastosowaniem o metody Bessela. O4.2.

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 42 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ. Wprowadzenie teoretyczne.

Ćwiczenie 42 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ. Wprowadzenie teoretyczne. Ćwiczenie 4 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ Wprowadzenie teoretyczne. Soczewka jest obiektem izycznym wykonanym z materiału przezroczystego o zadanym kształcie i symetrii obrotowej. Interesować

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

FIZYKA Podręcznik: Fizyka i astronomia dla każdego pod red. Barbary Sagnowskiej, wyd. ZamKor.

FIZYKA Podręcznik: Fizyka i astronomia dla każdego pod red. Barbary Sagnowskiej, wyd. ZamKor. DKOS-5002-2\04 Anna Basza-Szuland FIZYKA Podręcznik: Fizyka i astronomia dla każdego pod red. Barbary Sagnowskiej, wyd. ZamKor. WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA REALIZOWANYCH TREŚCI PROGRAMOWYCH Kinematyka

Bardziej szczegółowo

Praca, moc, energia. 1. Klasyfikacja energii. W = Epoczątkowa Ekońcowa

Praca, moc, energia. 1. Klasyfikacja energii. W = Epoczątkowa Ekońcowa Praca, moc, energia 1. Klasyfikacja energii. Jeżeli ciało posiada energię, to ma również zdolnoć do wykonania pracy kosztem częci swojej energii. W = Epoczątkowa Ekońcowa Wewnętrzna Energia Mechaniczna

Bardziej szczegółowo

Seria 6100. Prowadnice siłownika zaprojektowano w dwóch wersjach:

Seria 6100. Prowadnice siłownika zaprojektowano w dwóch wersjach: Seria 600 mocowanie górne przyłącza górne rowek pod czujnik mocowanie boczne alternatywne przyłącza boczne (zakorkowane) mocowanie dolne rowek kształtu T do mocowania dolnego rowek pod czujnik Siłowniki

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie sił w przegubach maszyny o kinematyce równoległej w trakcie pracy, z wykorzystaniem metod numerycznych

Wyznaczanie sił w przegubach maszyny o kinematyce równoległej w trakcie pracy, z wykorzystaniem metod numerycznych kinematyka równoległa, symulacja, model numeryczny, sterowanie mgr inż. Paweł Maślak, dr inż. Piotr Górski, dr inż. Stanisław Iżykowski, dr inż. Krzysztof Chrapek Wyznaczanie sił w przegubach maszyny o

Bardziej szczegółowo

ROBOTYKA. Odwrotne zadanie kinematyki - projekt. http://www.mbmaster.pl

ROBOTYKA. Odwrotne zadanie kinematyki - projekt. http://www.mbmaster.pl ROBOTYKA Odwrotne zadanie kinematyki - projekt Zawartość. Wstęp...... Proste zadanie kinematyki cel...... Odwrotne zadanie kinematyki cel..... Analiza statyczna robota..... Proste zadanie kinematyki....

Bardziej szczegółowo

II. STEROWANIE I REGULACJA AUTOMATYCZNA

II. STEROWANIE I REGULACJA AUTOMATYCZNA II. STEROWANIE I REGULACJA AUTOMATYCZNA 1. STEROWANIE RĘCZNE W UKŁADZIE ZAMKNIĘTYM Schemat zamkniętego układu sterowania ręcznego przedstawia rysunek 1. Centralnym elementem układu jest obiekt sterowania

Bardziej szczegółowo

Politechnika Śląska. Katedra Wytrzymałości Materiałów i Metod Komputerowych Mechaniki. Praca dyplomowa inżynierska. Wydział Mechaniczny Technologiczny

Politechnika Śląska. Katedra Wytrzymałości Materiałów i Metod Komputerowych Mechaniki. Praca dyplomowa inżynierska. Wydział Mechaniczny Technologiczny Politechnika Śląska Wydział Mechaniczny Technologiczny Katedra Wytrzymałości Materiałów i Metod Komputerowych Mechaniki Praca dyplomowa inżynierska Temat pracy Symulacja komputerowa działania hamulca tarczowego

Bardziej szczegółowo

MODEL MANIPULATORA O STRUKTURZE SZEREGOWEJ W PROGRAMACH CATIA I MATLAB MODEL OF SERIAL MANIPULATOR IN CATIA AND MATLAB

MODEL MANIPULATORA O STRUKTURZE SZEREGOWEJ W PROGRAMACH CATIA I MATLAB MODEL OF SERIAL MANIPULATOR IN CATIA AND MATLAB Kocurek Łukasz, mgr inż. email: kocurek.lukasz@gmail.com Góra Marta, dr inż. email: mgora@mech.pk.edu.pl Politechnika Krakowska, Wydział Mechaniczny MODEL MANIPULATORA O STRUKTURZE SZEREGOWEJ W PROGRAMACH

Bardziej szczegółowo

Rys. 1 Otwarty układ regulacji

Rys. 1 Otwarty układ regulacji Automatyka zajmuje się sterowaniem, czyli celowym oddziaływaniem na obiekt, w taki sposób, aby uzyskać jego pożądane właściwości. Sterowanie często nazywa się regulacją. y zd wartość zadana u sygnał sterujący

Bardziej szczegółowo

Zad. 2 Jaka jest częstotliwość drgań fali elektromagnetycznej o długości λ = 300 m.

Zad. 2 Jaka jest częstotliwość drgań fali elektromagnetycznej o długości λ = 300 m. Segment B.XIV Prądy zmienne Przygotowała: dr Anna Zawadzka Zad. 1 Obwód drgający składa się z pojemności C = 4 nf oraz samoindukcji L = 90 µh. Jaki jest okres, częstotliwość, częstość kątowa drgań oraz

Bardziej szczegółowo

Dynamika układów mechanicznych. dr hab. inż. Krzysztof Patan

Dynamika układów mechanicznych. dr hab. inż. Krzysztof Patan Dynamika układów mechanicznych dr hab. inż. Krzysztof Patan Wprowadzenie Modele układów mechanicznych opisują ruch ciał sztywnych obserwowany względem przyjętego układu odniesienia Ruch ciała w przestrzeni

Bardziej szczegółowo

R o z w i ą z a n i e Przy zastosowaniu sposobu analitycznego należy wyznaczyć składowe wypadkowej P x i P y

R o z w i ą z a n i e Przy zastosowaniu sposobu analitycznego należy wyznaczyć składowe wypadkowej P x i P y Przykład 1 Dane są trzy siły: P 1 = 3i + 4j, P 2 = 2i 5j, P 3 = 7i + 3j (składowe sił wyrażone są w niutonach), przecinające się w punkcie A (1, 2). Wyznaczyć wektor wypadkowej i jej wartość oraz kąt α

Bardziej szczegółowo

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu: Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie

Bardziej szczegółowo

Rys.1. Zasada eliminacji drgań. Odpowiedź impulsowa obiektu na obiektu impuls A1 (niebieska), A2 (czerwona) i ich sumę (czarna ze znacznikiem).

Rys.1. Zasada eliminacji drgań. Odpowiedź impulsowa obiektu na obiektu impuls A1 (niebieska), A2 (czerwona) i ich sumę (czarna ze znacznikiem). Eliminacja drgań w układach o słabym tłumieniu przy zastosowaniu filtru wejściowego (Input Shaping Filter). WSTĘP W wielu złożonych układach mechanicznych elementy nie są połączone z sobą sztywno a występują

Bardziej szczegółowo

Marek Pietrzakowski Wytrzymałość materiałów Warszawa 2010

Marek Pietrzakowski Wytrzymałość materiałów Warszawa 2010 arek Pietrzakowski Wytrzymałość materiałów Warszawa 00 Poitechnika Warszawska Wydział Samochodów i aszyn Roboczych Kierunek studiów "Edukacja techniczno informatyczna" 0-54 Warszawa, u. Narbutta 84, te.

Bardziej szczegółowo

KOOF Szczecin: www.of.szc.pl

KOOF Szczecin: www.of.szc.pl Źródło: LI OLIMPIADA FIZYCZNA (1/2). Stopień III, zadanie doświadczalne - D Nazwa zadania: Działy: Słowa kluczowe: Komitet Główny Olimpiady Fizycznej; Andrzej Wysmołek, kierownik ds. zadań dośw. plik;

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1. tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1

Bardziej szczegółowo

SZCZEGÓŁOWE CELE EDUKACYJNE

SZCZEGÓŁOWE CELE EDUKACYJNE Program nauczania: Fizyka z plusem, numer dopuszczenia: DKW 4014-58/01 Plan realizacji materiału nauczania fizyki w klasie I wraz z określeniem wymagań edukacyjnych DZIAŁ PRO- GRA- MOWY Pomiary i Siły

Bardziej szczegółowo

Zasada zachowania energii

Zasada zachowania energii Zasada zachowania energii Praca i energia Praca Najprostszy przypadek: Stała siła działa na ciało P powodując jego przesunięcie wzdłuż kierunku działania siły o. Praca jaką wykona przy tym siła W przypadku

Bardziej szczegółowo

Sterowanie Napędów Maszyn i Robotów

Sterowanie Napędów Maszyn i Robotów Wykład 2 - Dobór napędów Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstępny dobór napędu: dane o maszynie Podstawowe etapy projektowania Krok 1: Informacje o kinematyce maszyny Krok 2: Wymagania dotyczące

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 6 IZOLACJA DRGAŃ MASZYNY. 1. Cel ćwiczenia

Ćwiczenie 6 IZOLACJA DRGAŃ MASZYNY. 1. Cel ćwiczenia Ćwiczenie 6 IZOLACJA DRGAŃ MASZYNY 1. Cel ćwiczenia Przeprowadzenie izolacji drgań przekładni zębatej oraz doświadczalne wyznaczenie współczynnika przenoszenia drgań urządzenia na fundament.. Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Charakterystyka amplitudowa i fazowa filtru aktywnego

Charakterystyka amplitudowa i fazowa filtru aktywnego 1 Charakterystyka amplitudowa i fazowa filtru aktywnego Charakterystyka amplitudowa (wzmocnienie amplitudowe) K u (f) jest to stosunek amplitudy sygnału wyjściowego do amplitudy sygnału wejściowego w funkcji

Bardziej szczegółowo

9. OBWODY ROZGAŁĘZIONE - METODY I TWIERDZENIA

9. OBWODY ROZGAŁĘZIONE - METODY I TWIERDZENIA 9. OBWODY ROZGAŁĘZONE - METODY TWERDZENA Podobnie ak w przypadku obwodów prądu stałego analiza złożonych obwodów prądu sinusoidalnie zmiennego opiera się o tworzenie ich schematów zastępczych. Zestawiane

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Kierunek: ENERGETYKA Rodzaj przedmiotu: Kierunkowy ogólny Rodzaj zajęć: Wykład, ćwiczenia MECHANIKA Mechanics Forma studiów: studia stacjonarne Poziom kwalifikacji: I stopnia Liczba godzin/tydzień:

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych

MODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych MODELOWANIE ZA POMOCĄ MES Analiza statyczna ustrojów powierzchniowych PODSTAWY KOMPUTEROWEGO MODELOWANIA USTROJÓW POWIERZCHNIOWYCH Budownictwo, studia I stopnia, semestr VI przedmiot fakultatywny rok akademicki

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne do nowej podstawy programowej z fizyki realizowanej w zakresie rozszerzonym Kinematyka

Wymagania edukacyjne do nowej podstawy programowej z fizyki realizowanej w zakresie rozszerzonym Kinematyka 1 edukacyjne do nowej podstawy programowej z fizyki realizowanej w zakresie rozszerzonym Kinematyka *W nawiasie podano alternatywny temat lekcji (jeśli nazwa zagadnienia jest długa) bądź tematy lekcji

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM ELEKTROTECHNIKI POMIAR PRZESUNIĘCIA FAZOWEGO

LABORATORIUM ELEKTROTECHNIKI POMIAR PRZESUNIĘCIA FAZOWEGO POLITECHNIKA ŚLĄSKA WYDZIAŁ TRANSPORTU KATEDRA LOGISTYKI I TRANSPORTU PRZEMYSŁOWEGO NR 1 POMIAR PRZESUNIĘCIA FAZOWEGO Katowice, październik 5r. CEL ĆWICZENIA Poznanie zjawiska przesunięcia fazowego. ZESTAW

Bardziej szczegółowo

Dobór parametrów regulatora - symulacja komputerowa. Najprostszy układ automatycznej regulacji można przedstawić za pomocą

Dobór parametrów regulatora - symulacja komputerowa. Najprostszy układ automatycznej regulacji można przedstawić za pomocą Politechnika Świętokrzyska Wydział Mechatroniki i Budowy Maszyn Centrum Laserowych Technologii Metali PŚk i PAN Zakład Informatyki i Robotyki Przedmiot:Podstawy Automatyzacji - laboratorium, rok I, sem.

Bardziej szczegółowo

Czego można się nauczyć z prostego modelu szyny magnetycznej

Czego można się nauczyć z prostego modelu szyny magnetycznej Czego można się nauczyć z prostego modelu szyny magnetycznej 1) Hamowanie magnetyczne I B F L m v L Poprzeczka o masie m może się przesuwać swobodnie po dwóch równoległych szynach, odległych o L od siebie.

Bardziej szczegółowo

PAiTM - zima 2014/2015

PAiTM - zima 2014/2015 PAiTM - zima 204/205 Wyznaczanie przyspieszeń mechanizmu płaskiego metodą planu przyspieszeń (metoda wykreślna) Dane: geometria mechanizmu (wymiary elementów, ich położenie i orientacja) oraz stała prędkość

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych.

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. Równania różniczkowe. Lisa nr 2. Lieraura: N.M. Mawiejew, Meody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Maemayczna w Zadaniach, część II 1. Znaleźć ogólną posać

Bardziej szczegółowo

Rozwiązanie: Część teoretyczna

Rozwiązanie: Część teoretyczna Zgodnie z prawem Hooke a idealnie sprężysty pręt o długości L i polu przekroju poprzecznego S pod wpływem przyłożonej wzdłuż jego osi siły F zmienia swoją długość o L = L F/(S E), gdzie współczynnik E

Bardziej szczegółowo

Napędy urządzeń mechatronicznych - projektowanie. Ćwiczenie 3 Dobór silnika skokowego do pracy w obszarze rozruchowym

Napędy urządzeń mechatronicznych - projektowanie. Ćwiczenie 3 Dobór silnika skokowego do pracy w obszarze rozruchowym Napędy urządzeń mechatronicznych - projektowanie Dobór silnika skokowego do pracy w obszarze rozruchowym Precyzyjne pozycjonowanie (Velmix 2007) Temat ćwiczenia - stolik urządzenia technologicznego (Szykiedans,

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI WPISUJE ZDAJĄCY IMIĘ I NAZWISKO UCZNIA NUMER UCZNIA W DZIENNIKU PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15 stron (zadania 1 33). Ewentualny

Bardziej szczegółowo

Stosując II zasadę dynamiki Newtona dla ruchu postępowego otrzymujemy

Stosując II zasadę dynamiki Newtona dla ruchu postępowego otrzymujemy Zadania do rozdziału 6 Zad.6.. Wprowadzić równanie ruchu drgań wahadła matematcznego. Obicz okres wahadła matematcznego o długości =0 m. Wahadło matematczne jest to punkt materian (np. w postaci kuki K

Bardziej szczegółowo

Uwaga: Nie przesuwaj ani nie pochylaj stołu, na którym wykonujesz doświadczenie.

Uwaga: Nie przesuwaj ani nie pochylaj stołu, na którym wykonujesz doświadczenie. Mając do dyspozycji 20 kartek papieru o gramaturze 80 g/m 2 i wymiarach 297mm na 210mm (format A4), 2 spinacze biurowe o masie 0,36 g każdy, nitkę, probówkę, taśmę klejącą, nożyczki, zbadaj, czy maksymalna

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16

Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16 Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16 PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające

Bardziej szczegółowo

Analiza korespondencji

Analiza korespondencji Analiza korespondencji Kiedy stosujemy? 2 W wielu badaniach mamy do czynienia ze zmiennymi jakościowymi (nominalne i porządkowe) typu np.: płeć, wykształcenie, status palenia. Punktem wyjścia do analizy

Bardziej szczegółowo

Oddziaływania te mogą być różne i dlatego można podzieli je np. na:

Oddziaływania te mogą być różne i dlatego można podzieli je np. na: DYNAMIKA Oddziaływanie między ciałami można ilościowo opisywać posługując się pojęciem siły. Działanie siły na jakieś ciało przejawia się albo w zmianie stanu ruchu tego ciała (zmianie prędkości), albo

Bardziej szczegółowo

ZADANIE 8 BADANIE WAHADEŁ SPRZĘŻONYCH

ZADANIE 8 BADANIE WAHADEŁ SPRZĘŻONYCH ZADANIE 8 BADANIE WAHADEŁ SPRZĘŻONYCH WYKAZ PRZYRZĄDÓW:. Wahadło sprzężone. Linia metrowa 3. Szalka wagi 4. Statyw 5. Odważniki 6. Ostrze pryzmatyczne do wyznaczania środka ciężkości WYKONANIE ZADANIA:.

Bardziej szczegółowo

Modelowanie biomechaniczne. Dr inż. Sylwia Sobieszczyk Politechnika Gdańska Wydział Mechaniczny KMiWM 2005/2006

Modelowanie biomechaniczne. Dr inż. Sylwia Sobieszczyk Politechnika Gdańska Wydział Mechaniczny KMiWM 2005/2006 Modelowanie biomechaniczne Dr inż. Sylwia Sobieszczyk Politechnika Gdańska Wydział Mechaniczny KMiWM 2005/2006 Zakres: Definicja modelowania Modele kinematyczne ruch postępowy, obrotowy, przemieszczenie,

Bardziej szczegółowo

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE Zarządzanie i Inżynieria Produkcji studia stacjonarne Konspekt do wykładu z Matematyki 1 1 Postać trygonometryczna liczby zespolonej zastosowania i przykłady 1 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Kinematyka. zmiennym(przeprowadza złożone. kalkulatora)

Kinematyka. zmiennym(przeprowadza złożone. kalkulatora) Kinematyka Ocena podaje przykłady zjawisk fizycznych występujących w przyrodzie wyjaśnia, w jaki sposób fizyk zdobywa wiedzę o zjawiskach fizycznych wymienia przyczyny wprowadzenia Międzynarodowego Układu

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań na I etap konkursu fizycznego. Zad. 1 Kamień spadał swobodnie z wysokości h=20m. Średnia prędkość kamienia wynosiła :

Zestaw zadań na I etap konkursu fizycznego. Zad. 1 Kamień spadał swobodnie z wysokości h=20m. Średnia prędkość kamienia wynosiła : Zestaw zadań na I etap konkursu fizycznego Zad. 1 Kamień spadał swobodnie z wysokości h=20m. Średnia prędkość kamienia wynosiła : A) 5m/s B) 10m/s C) 20m/s D) 40m/s. Zad.2 Samochód o masie 1 tony poruszał

Bardziej szczegółowo

Zmiana punktu pracy wentylatorów dużej mocy z regulowaną prędkością obrotową w obiektach wytwarzających energię cieplną lub elektryczną

Zmiana punktu pracy wentylatorów dużej mocy z regulowaną prędkością obrotową w obiektach wytwarzających energię cieplną lub elektryczną Zmiana punktu pracy wentylatorów dużej mocy z regulowaną prędkością obrotową w obiektach wytwarzających energię cieplną lub elektryczną Zbigniew Szulc 1. Wstęp Wentylatory dużej mocy (powyżej 500 kw stosowane

Bardziej szczegółowo

DRGANIA ELEMENTÓW KONSTRUKCJI

DRGANIA ELEMENTÓW KONSTRUKCJI DRGANIA ELEMENTÓW KONSTRUKCJI (Wprowadzenie) Drgania elementów konstrukcji (prętów, wałów, belek) jak i całych konstrukcji należą do ważnych zagadnień dynamiki konstrukcji Przyczyna: nawet niewielkie drgania

Bardziej szczegółowo

Oddziaływanie wirnika

Oddziaływanie wirnika Oddziaływanie wirnika W każdej maszynie prądu stałego, pracującej jako prądnica lub silnik, może wystąpić taki szczególny stan pracy, że prąd wirnika jest równy zeru. Jedynym przepływem jest wówczas przepływ

Bardziej szczegółowo

KONCEPCJA TESTU. Test sprawdza bieżące wiadomości i umiejętności z zakresu kinematyki i dynamiki w klasie I LO.

KONCEPCJA TESTU. Test sprawdza bieżące wiadomości i umiejętności z zakresu kinematyki i dynamiki w klasie I LO. JOLANTA SUCHAŃSKA. CEL POMIARU: KONCEPCJA TESTU Test sprawdza bieżące wiadomości i umiejętności z zakresu kinematyki i dynamiki w klasie I LO. 2. RODZAJ TESTU: Jest to test sprawdzający, wielostopniowy,

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY METROLOGII ĆWICZENIE 7 TEMPERATURA Międzywydziałowa Szkoła Inżynierii Biomedycznej 2009/2010 SEMESTR 3

PODSTAWY METROLOGII ĆWICZENIE 7 TEMPERATURA Międzywydziałowa Szkoła Inżynierii Biomedycznej 2009/2010 SEMESTR 3 PODSTAWY METROLOGII ĆWICZENIE 7 TEMPERATURA Międzywydziałowa Szkoła Inżynierii Biomedycznej 2009/2010 SEMESTR 3 Rozwiązania zadań nie były w żaden sposób konsultowane z żadnym wiarygodnym źródłem informacji!!!

Bardziej szczegółowo

Silniki prądu stałego z komutacją bezstykową (elektroniczną)

Silniki prądu stałego z komutacją bezstykową (elektroniczną) Silniki prądu stałego z komutacją bezstykową (elektroniczną) Silnik bezkomutatorowy z fototranzystorami Schemat układu przekształtnikowego zasilającego trójpasmowy silnik bezszczotkowy Pojedynczy cykl

Bardziej szczegółowo

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Zagadnienie dane jest następująco: znaleźć funkcje własne i wartości własne operatora energii dla cząstki umieszczonej w nieskończonej studni potencjału,

Bardziej szczegółowo

Materiały pomocnicze do ćwiczeń laboratoryjnych

Materiały pomocnicze do ćwiczeń laboratoryjnych Materiały pomocnicze do ćwiczeń laboratoryjnych Badanie napędów elektrycznych z luzownikami w robocie Kawasaki FA006E wersja próbna Literatura uzupełniająca do ćwiczenia: 1. Cegielski P. Elementy programowania

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA GDAŃSKA WYDZIAŁ MECHANICZNY KATEDRA MECHANIKI I WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW. Rozprawa doktorska NADZOROWANIE DRGAŃ.

POLITECHNIKA GDAŃSKA WYDZIAŁ MECHANICZNY KATEDRA MECHANIKI I WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW. Rozprawa doktorska NADZOROWANIE DRGAŃ. POLITECHNIA GDAŃSA WYDZIAŁ MECHANICZNY ATEDRA MECHANII I WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW Rozprawa doktorska NADZOROWANIE DRGAŃ PODCZAS FREZOWANIA SZYBOŚCIOWEGO SMUŁYMI NARZĘDZIAMI Z WYORZYSTANIEM ZMIENNEJ PRĘDOŚCI

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy (propozycja 61 godzin)

Plan wynikowy (propozycja 61 godzin) 1 Plan wynikowy (propozycja 61 godzin) Kinematyka (19 godzin) *W nawiasie podano alternatywny temat lekcji (jeśli nazwa zagadnienia jest długa) bądź tematy lekcji realizowanych w ramach danego zagadnienia.

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo