OPRACOWANIE WYNIKÓW POMIARÓW

Transkrypt

1 OPRACOWANIE WYNIKÓW POMIARÓW Autor: Dr Adrzej Jaas Katedra Iżyierii Stopów i Kompozytów Odlewaych Wydział Odlewictwa AGH Szacowaie iepewości pomiarów i metody obliczaia iepewości pomiarowych Pomiary fizycze polegają a porówywaiu wielkości mierzoej z przyjętym wzorcem czyli jedostką. Badaia fizyki doświadczalej mają a celu poszukiwaie i ustalaie związków między różymi wielkościami fizyczymi. Ilościowe związki między wielkościami fizyczymi opisują prawa fizyki. Doświadczeia prowadzoe w laboratorium fizyczym polegają a dokoywaiu pomiarów różych wielkości fizyczych występujących w ilościowych opisach zjawisk fizyczych. Pomiary proste (bezpośredie) dokoywae są bezpośredio za pomocą przyrządów pomiarowych p. pomiar długości wykoay suwmiarką, pomiar masy ciała za pomocą wagi, pomiar czasu za pomocą stopera itp. Pomiary złożoe (pośredie) polegają a wyzaczaiu wartości wielkości złożoej a podstawie zaych zależości między różymi wielkościami mierzoymi bezpośredio p. pomiar oporości elektryczej metodą techiczą a podstawie zmierzoych bezpośredio wartości atężeia i apięcia albo wyzaczaie przyśpieszeia ziemskiego za pomocą wahadła matematyczego a podstawie pomiaru długości wahadła i jego okresu drgań. Wszystkie pomiary fizycze mogą być wykoywae tylko z pewym określoym stopiem dokładości z powodu iedoskoałości stosowaych przyrządów pomiarowych i ograiczoych zdolości zmysłów eksperymetatora, który posługuje się przyrządami pomiarowymi. Na uzyskae wyiki pomiarów mogą także mieć wpływ zmiay waruków zewętrzych występujące podczas prowadzeia pomiarów. Z tych powodów iemożliwe jest absolutie dokłade wyzaczeie wartości mierzoej wielkości fizyczej i dlatego ważym problemem praktyczym jest ocea wiarygodości otrzymaych wyików pomiarowych oraz oszacowaie lub obliczeie iepewości wyiku pomiaru. Ocea (ilościowa) iepewości wyiku pomiaru jest iezbęda do określeia stopia zaufaia do otrzymaego rezultatu. Niepewość pomiaru jest miarą rozrzutu wyików powtarzaych pomiarów daej wielkości fizyczej. Zapisując wyik pomiaru fizyczego x ależy wyraźie zazaczyć jedostkę podaej wartości i opatrzyć przedziałem iepewości x: x ± x p. zmierzoa mikrometrem średica drutu d wyosi d = (,53 ± 0,0) mm. Z powodu występowaia przypadkowych iepewości (błędów) pomiarowych powtarzaie pomiaru wielkości fizyczej daje róże wyiki. Otrzymae wartości (wyiki) rozkładają się wokół wartości rzeczywistej a ich rozrzut zależy od dokładości prowadzoych pomiarów. Niepewości przypadkowe mogą być związae z działaiem przyrządu pomiarowego, mogą być spowodowae przez eksperymetatora, p. subiektywa ocea ostrości obrazu czy miimum atężeia dźwięku, mogą też być wyikiem wpływu zmieych czyików zewętrzych. Niepewości przypadkowe moża zmiejszyć stosując dokładiejsze przyrządy i dbając o zapewieie iezmieych waruków doświadczeia ie moża ich jedak całkowicie uikąć. Występowaie iepewości przypadkowych podlega pewym prawidłowościom. Małe odchyleia od wartości rzeczywistej występują częściej iż odchyleia duże.

2 Oszacowaie wartości iepewości przypadkowych moża wykoać korzystając z metod statystyki matematyczej. Oprócz statystyczie rozłożoych iepewości przypadkowych podczas pomiarów mogą też wystąpić błędy grube i błędy systematycze. Błędy grube powstają wskutek fałszywego odczytu przyrządu lub ewidetej pomyłki eksperymetatora p. zapisaie wyiku pomiaru długości w cetymetrach zamiast w milimetrach. Pomiar obarczoy błędem grubym różi się zasadiczo od pozostałych wyików i moża go łatwo zauważyć. Powtarzaie pomiarów pozwala zatem dostrzec i wyelimiować (odrzucić) wyiki obarczoe błędem grubym. Błędy systematycze wyikają z wadliwego działaia przyrządu pomiarowego (p. amperomierz ze skrzywioą wskazówką, spieszący się stoper itp.) lub ze źle zaprojektowaego doświadczeia (p. waga jest ustawioa blisko grzejika i jedo ramię jej belki jest dłuższe od drugiego). W takich przypadkach występuje stała różica między wartościami zmierzoymi i wartością rzeczywistą. Błędy systematycze moża elimiować przez wprowadzeie poprawek lub takie projektowaie układów pomiarowych aby błędy te ie występowały. Ocea iepewości przypadkowych Wielokrote iezależe powtarzaie tego samego pomiaru fizyczego pozwala otrzymać serię wyików x, x, x 3... x gdzie liczba wykoaych pomiarów. Rzeczywistej wartości wielkości fizyczej ie zamy ale moża wykazać, że ajbardziej zbliżoa do iej jest średia arytmetycza otrzymaych wyików x x = x i Wyiki pomiarów układają się wokół wartości średiej arytmetyczej. Przy bardzo dużej liczbie pomiarów ( ) rozkład te może być opisay fukcją zwaą rozkładem Gaussa f(x) gęstość prawdopodobieństwa σ - odchyleie stadardowe Odchyleie stadardowe ( x x) f( x) = exp π σ σ σ = ( xi x) jest miarą iepewości pojedyczego wyiku pomiaru. Miarą iepewości średiej arytmetyczej x jest: σ x σ = = ( ) ( xi x)

3 Rozkład prawdopodobieństwa Gaussa daje możliwość obliczeia prawdopodobieństwa, że dowoly wyik pomiaru zajduje się w zadaym przedziale wartości x. W przedziale: ( x - σ, x + σ ) mieści się 8,7% wyików, ( x - σ, x + σ ) mieści się 95,45% wyików, ( x - 3 σ, x + 3 σ ) mieści się 99,73% wyików. f(x) 34,3% 34,3%,4%,4% 3,0% 3,0% 3σ σ σ x σ σ 3σ x Rys. Krzywa Gaussa rozkładu iepewości przypadkowych. Wartości liczbowe określają procetowe prawdopodobieństwa pojawieia się wyiku pomiaru w wyzaczoych przedziałach. Przykład Pomiar grubości płytki dokoay = 0 razy śrubą mikrometryczą dał astępujące wyiki: i d[mm] d - d (d - d ) 8,07-0, ,0-0, , -0, ,7 +0, ,4 +0, , 8,7 +0,0 +0,

4 ,3 8,4 8,8-0,008 +0,00 +0, d i = 8,38 ( d i d ) = Wartość średia: x = d i = 8, 38 mm Odchyleie stadardowe pojedyczego pomiaru: σ = ( d i d) = 0, 034 mm Niepewość stadardowa średiej arytmetyczej: σ d = σ = 0,009 mm Wartości średie i odchyleia stadardowe będące miarą iepewości pomiarowych moża łatwo obliczać posługując się kalkulatorami umożliwiającymi obliczeia statystycze. Przedstawioy przykład pokazuje, że kiedy wykoujemy serię pomiarów wielkości fizyczej, obliczamy średią arytmetyczą x, która jest ajbardziej zbliżoa do wartości rzeczywistej. Jako iepewość ocey x przyjmujemy wartość odchyleia stadardowego średiej arytmetyczej σ x, które azywamy iepewością stadardową. Wyik końcowy zapisujemy x ± σ x. W podaym przykładzie : d = d ± σd po zaokrągleiu d = (8, 4 ± 0, 0 ) mm W przypadku, gdy seria pomiarowa złożoa jest z iewielkiej liczby pomiarów ( < 5) jako miarę iepewości średiej arytmetyczej przyjmuje się połowę tzw. przedziału ufości czyli wielkość σ x t(, p ). Odchyleie stadardowe możymy przez pewie współczyik t(, p) (współczyik Studeta) zależy od liczby pomiarów i zadaego prawdopodobieństwa p. Przedział ( x σ t x t ) x (, p ), + σ x (, p) azywa się przedziałem ufości.

5 Prawdopodobieństwo, że przedział ufości obejmuje wartość rzeczywistą mierzoej wielkości osi azwę poziomu ufości. W pomiarach fizyczych zwykle posługujemy się dwoma poziomami ufości p = 0,87 i p = 0,9973 (ses przyjmowaia takich wartości wyjaśia tekst a str. i rys. ). Wartości współczyików studeta t(, p) są stadaryzowae. Tabela I. Współczyiki Studeta t(, p) dla różych poziomów ufości p. p = 0,87 p = 0,9545 p = 0, ,837,3,97,4, 3,98 4,57 3,307,89,49 35,777 9,0 9,9,0 5,507 Przykład. Czterokrotie ( = 4) zmierzoo wartość ogiskowej soczewki uzyskując astępujące wyiki: f = 7,3 cm f = 7,9 cm f 3 = 7,0 cm f 4 = 7,8 cm Obliczyć średią wartość f i wyzaczyć iepewość średiej arytmetyczej jako połowę przedziału ufości przyjmując poziom ufości p = 0,87. f = f i = 7, 0 cm = 4 σ f = ( ) ( f f) = 0, 08 cm Z tabeli I odczytujemy współczyik Studeta t(4; 0,87) =,97. Niepewość średiej arytmetyczej rówa połowie przedziału ufości dla przyjętego poziomu ufości wyosi: f = σ t(, p ) = 0, 08 97, = 0, 9 cm = 0, 3 cm f Szacowaie iepewości pomiarów prostych W przypadku wykoywaia pojedyczego pomiaru bezpośrediego przyjmujemy, że miarą iepewości jest ajmiejsza podziałka używaego przyrządu pomiarowego:

6 pomiar długości liijką iepewość mm pomiar suwmiarką iepewość 0, mm pomiar mikrometrem iepewość 0,0 mm. Niepewość określeia temperatury za pomocą termometru lekarskiego wyosi 0,0 0 C. Niepewość ważeia rówa jest masie ajmiejszego odważika. W przypadku zajdowaia mierzoej wartości przez dodawaie lub odejmowaie dwóch odczytów przyrządu (p. wyzaczaie masy wody w aczyiu poprzez podwóje ważeie aczyia pustego i wypełioego wodą) iepewość takiego pomiaru przyjmujemy dwa razy większą iż iepewość pomiaru pojedyczego. Maksymala iepewość pomiaru wyikająca z klasy (kl) mierika elektryczego wyosi: ( kl) Z xmax = 00, gdzie Z - zakres pomiarowy mierika. Maksymala iepewość pomiaru dokoaego mierikiem cyfrowym: x max = ( kl) c x + rozdzielczoœæ 00 (kl) c klasa mierika cyfrowego określaa jako iepewość przetwarzaia mierika podawaa w % wartości mierzoej, x wartość mierzoa, rozdzielczość iepewość wyikająca z dyskretości mierika cyfrowego ± a ostatiej wyświetlaej cyfrze. Oszacowae iepewości wyrażae są w takich samych jedostkach jak mierzoa wielkość fizycza i azywae są iepewościami bezwzględymi. Wygode jest używaie pojęcia iepewości względej, która jest wielkością bezwymiarową podawaą ajczęściej w procetach: x σ = x 00% dla pomiaru x o iepewości x, lub względa iepewość wartości średiej x : σ x σ = x 00% Zasady zaokrąglaia iepewości pomiaru i wyików pomiaru Niepewości zaokrąglamy w górę do jedej cyfry zaczącej (wyjątkowo do dwóch cyfr zaczących w przypadku gdy zaokrągleie iepewości zmieia ją więcej iż o 0 %). W przykładzie iepewość średiej arytmetyczej obliczoa jako połowa przedziału ufości wyosi f = 0,9 cm. Zaokrągleie (w górę) do f = 0, cm zmieia wartość iepewości o więcej iż 0% ależy zatem pozostawić cyfry zaczące f = 0,3 cm. Wyiki pomiarów ależy zaokrąglać tak, aby podawać je z dokładością do miejsca, a którym występuje ostatia zacząca cyfra iepewości pomiaru. Przykład 3.

7 Na podstawie serii pomiarowej obliczoo: x = 0,00093 iepewość x = 0, , po zaokrągleiu x = 0,00008; x = 0,000. Wyik końcowy zapisujemy: x = 0,000 ± 0,00008 Dokoywaie zaokrągleń jest koiecze daje bowiem poprawie podae wyiki o przedziały iepewości. Podawaie zbędych cyfr ie świadczy o skrupulatości wykoaych obliczeń lecz o brakach wiadomości z zakresu iepewości pomiarów. Obliczaie iepewości w przypadku pomiarów złożoych W większości ćwiczeń wykoywaych w laboratorium fizyczym dokoujemy pomiarów kilku wielkości fizyczych mierzoych bezpośredio i a podstawie tych pomiarów obliczamy ią wielkość fizyczą A = f(x, x, x 3,..., x k ) A wielkość złożoa, x, x,..., x k wyiki pomiarów bezpośredich mierzoych z iepewościami odpowiedio x, x,..., x k. Niepewość złożoą (bezwzględą) A moża obliczyć metodą różiczki zupełej opisaą rówaiem: f f f A = x + x x x x x Uwaga: wszystkie pochode cząstkowe są w modułach, a wyrazy wielomiau dodajemy. W te sposób otrzymujemy maksymalą iepewość bezwzględą wielkości złożoej. Względa iepewość maksymala: (, x,..., x ) A σ = = + + f f x... xk A f x x x k Poday powyżej sposób obliczeń daje prawdopodobieństwo zalezieia wartości rzeczywistej w przedziale (A - A, A + A) wyoszące 0,999. W przypadku, gdy wielkość złożoa: a a A = C x x... x jest iloczyem dowolych potęg mierzoych bezpośredio wielkości x... x k ; (C - dowola stała, potęgi a,..., a k mogą być dodatie, ujeme, całkowite, ułamkowe), stosujemy metodę pochodej logarytmiczej. a k k k k k

8 Niepewość względa: σ = A = x + x a a + + x... ak A x x x k k Niepewość bezwzględa wyraża się wzorem: x x xk A = A a + a ak x x xk Użycie modułów i dodawaie wyrazów wielomiau zapewia obliczeie maksymalej iepewości złożoej. Każdy z wyrazów wielomiau przedstawia wkład woszoy przez iepewości poszczególych pomiarów bezpośredich do iepewości pomiaru złożoego. Przykład 4. Momet bezwładości walca o masie m, promieiu R względem osi rówoległej do osi walca i przechodzącej od iej w odległości d wyraża wzór: I = m R + d W celu wyzaczeia wartości mometu bezwładości wykoao pomiary bezpośredie: m = 55,3 g; m = 0, g R = 3,5 cm; R = 0,0 cm d = 0,0 cm; d = 0, cm ( 3, 5 0 m 3 ) I = + ( ) 3 55, 3 0 kg 0, m =, 4 0 kg m Niepewość bezwzględa: R I = + d m + mr R + md d =, 4 0 kg m 5 Po zaokrągleiu zgodie z obowiązującymi zasadami: ( ) I =, 4 ± 0, kg m Względa iepewość złożoa: I σ = 00% =, % I Przykład 5. Przyśpieszeie ziemskie wyzaczamy za pomocą wahadła matematyczego:

9 l długość wahadła, T okres drgań wahadła. g = 4 π l T W wyiku pomiarów otrzymao l =,00 m; l = 0,0 m; T =,00 s; T = 0,0 s. (Miary iepewości l i Τ są rówe iepewościom stadardowym). (, ) ( s) 4 m m g = 3 4 = 9, 87 s Do obliczeia iepewości złożoej moża wykorzystać wzór a iepewość względą: g T l = + = 0, 03 = 3% g T l Niepewość bezwzględa: T l m g = g + = 0, 9 T l s Po zaokrągleiu zgodie z obowiązującymi zasadami: m g = ( 9, 9 ± 0, 3) s GRAFICZNE OPRACOWANIE WYNIKÓW POMIARÓW Celem iektórych pomiarów wykoywaych w laboratorium fizyczym jest potwierdzeie związków między mierzoymi wielkościami fizyczymi (p. sprawdzeie prawa Lamusa) lub zalezieie zależości między mierzoymi wielkościami (p. badaie zależości oporości materiału przewodzącego od temperatury). Wyiki takich pomiarów przedstawiae są zwykle w formie graficzej a wykresie. Rysowaie wykresów Wykresy ajczęściej rysuje się we współrzędych prostokątych (kartezjański układ współrzędych), ależy wykoywać je ręczie a papierze milimetrowym formatu A-4 lub A-5. Dobierając skale wykresu ależy stosować astępujące zasady:.. Na wykresie powiy się zaleźć wszystkie pukty pomiarowe... Początek układu współrzędych wybieramy tak, aby ajmiejsze zmierzoe wartości zajdowały się w pobliżu początku osi (podziałki ie muszą zaczyać się od zera!). Długość osi powia być taka, aby maksymale zmierzoe wartości leżały w pobliżu ich końców Osie układu muszą być opisae. Obok osi powia być azwa lub przyjęty symbol wielkości fizyczej i jej jedostka. Np. I[mA], T[K], itp.

10 Po przygotowaiu osi a wykres aosimy pukty pomiarowe ozaczoe tak, aby były wyraźe awet po arysowaiu krzywej wykresu. Oprócz puktów pomiarowych zazaczamy też przedziały iepewości w postaci prostokątów, których środek leży w pukcie pomiarowym, a boki są rówe podwójej wartości iepewości wielkości mierzoych ( x i y). Zamiast prostokąta moża zazaczyć dwa skrzyżowae odciki poziomy i pioowy o długościach odpowiadających wartościom iepewości wielkości mierzoych. Jeżeli iepewości są tak małe, że ie moża ich ozaczyć a rysuku to pod im powia się zaleźć odpowiedia iformacja. Rysując wykres ależy pamiętać, że zjawiska fizycze zwykle opisywae są fukcjami gładkimi (różiczkowymi) dlatego iedopuszczale jest łączeie puktów pomiarowych liią łamaą. Wykres rysujemy tak, aby przechodził o możliwie ajbliżej puktów pomiarowych. Jeżeli zależość jest liiowa używamy liijki, w iych przypadkach krzywików. METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW W przypadku pomiarów dwóch wielkości fizyczych x i y powiązaych zależością liiową zachodzi potrzeba poprowadzeia prostej y = ax + b ajlepiej dopasowaej do zbioru otrzymaych wartości (x, y ). Po zazaczeiu puktów a wykresie moża prostą poprowadzić a oko, metodą graficzą, przykładając liijkę. Istieje też procedura rachukowa, pozwalająca a obliczeie współczyików a i b dla zbioru par wyików doświadczalych. Współczyiki te azywamy współczyikami regresji, a do ich obliczaia stosuje się metodę ajmiejszych kwadratów. Współczyiki regresji opisują rówaia: a = xiyi xi yi xi xi b = xi yi xi xiyi xi xi Niepewość stadardowa wyzaczeia współczyików regresji a i b regresji prostej: [ y ( ax + b) ] i i i σ a = = i x xi

11 σ b i x = σa Przykład. Zależość oporości przewodika od temperatury opisaą wzorem R = R o ( + αt) badao w przedziale temperatur 30 o C 80 o C otrzymując astępujące rezultaty: t[ o C] x i R[Ω] 09,3 09,9,9 4,9 4,9, y i Wyzaczyć prostą regresji tej zależości. Na podstawie wyików pomiarów obliczamy: x i = 330 y i = 7, x i = 9900 x i y i = Współczyiki regresji: a = , 9900 ( 330) = 0, , b = 9900 ( 330) = 04, 5 Niepewości stadardowe współczyików regresji: σ a = 0, ( 330) = 0, 07 0, σ b = 0, 07 = 0, 74 0, 7 a = 0,4 ± 0,0 b = 04,7 ± 0,7 Poieważ R = R 0 + R 0 α t oraz y = b + ax odpowiedio mamy: b = R 0 = 04,7 Ω a = α R 0 = 0,4 Ω/ 0 C Na podstawie otrzymaych wartości liczbowych moża obliczyć temperaturowy współczyik oporu elektryczego:

12 a 3 3 α = =, 39 0, b C C Niepewość względa współczyika α wyosi: σ = α α = a + b 00% 00% = 8, 9% 9% a b