Wyznaczenie momentu bezwładności przy użyciu wahadła torsyjnego

Transkrypt

1 Wyznaczenie momentu bezwładności przy użyciu wahadła torsyjnego

2 Wahadło torsyjne ównanie ruchu obrotowego krążka d α I dt M M Dα I moment bezwładności krążka M moment siły D moment kierujący r drut d α D + α dt I ównanie oscyatora harmonicznego α α A sin( ωt + ϕ) Częstość kołowa Okres drgań ω π D I I D T ) Informacja o momencie bezwładności ) Informacja o własnościach sprężystych drutu

3 Wahadło torsyjne Nowy moment bezwładności z tw. Steinera: I I + [ m( r) + mr I D T π ] r w Dwa wace o masie m Moment bezwładności waca wzgędem osi I w /mr I D T π Wyznaczając doświadczanie T oraz T znajdziemy D oraz nieznany moment bezwładności I Podczas drgań wahadła zachodzi odkształcenie drutu poegające na ścinaniu

4 Odkształcenia sprężyste Sprężystość (eastyczność) własność powodująca, że odkształcone ciało dąży do stanu początkowego. Da ideanie sprężystych ciał naprężenia w nich wywoływane są jednoznacznymi funkcjami odkształceń. Przy niewiekich odkształceniach własności ciał stałych można opisywać traktując je jak ciała ideanie sprężyste, wtedy, jak to wykrył. Hooke da prostych odkształceń, odkształcenie jest proporcjonane do naprężenia (sprawdźmy czy ono działa ). a potem zajmijmy się przypadkiem odkształcenia postaci bez zmiany objętości jakim jest tzw. ścinanie

5 Ścinanie ozważmy kostkę prostopadłościenną przykejonej do podłoża * γ σ t γ Każdy eement górnej powierzchni kostki poddany jest naprężeniu stycznemu σ t F S F siła działająca stycznie do górnej powierzchni kostki S powierzchnia górnej ścianki kostki Odkształcenie kostki poega przesunięciu górnej ścianki w kierunku naprężenia, bez zmiany kształtu tej ścianki. Ścianka przednia i tyna przyjmują kształt równoegłoboków, ścianki boczne pochyają się o kąt γ W tym wypadku prawo Hooke a ma postać: γ σ t G G moduł sztywności * Aby naprężenia powstające na brzegach nie miały znaczenia wysokość kostki powinna znacznie mniejsza od pozostałych wymiarów

6 -F z dr Skręcanie (ścinanie) pręta r γ ϕ Pręt dzieimy na rurki o promieniu r i grubości dr Górny koniec rurki jest zamocowany. Do donego końca przykładamy parę sił o tej samej wartości i przeciwnych zwrotach tworzą one moment skręcający pręt, który równoważą naprężenia ścinające powstałe w pręcie. rϕ F z Każdy eement rurki uega ścinaniu o kąt γ Ponieważ γ γ σ t G rϕ G moduł sztywności ϕ - kąt skręcenia końca rurki długość rurki Zatem naprężenie ścinające: rϕ σ t G

7 Moment sił sprężystości równoważący moment sił zewnętrznych: dm dm dm dm dm Fr σ S t r σ πr dr t r rϕ G πr dr πg 3 ϕ r dr Skręcanie pręta F siła styczna S powierzchnia przekroju rurki Sumując przyczynki od rurek o różnych promieniach dostajemy całkowity moment sił sprężystości równoważący moment sił zewnętrznych 4 3 D J πg 4 G π M ϕ r dr ϕ Dϕ σ t F S z definicji naprężenia ścinającego G π G D moment kierujący J geometryczny moment bezwładności J S r ds

8 Badając drgania torsyjne wahadła fizycznego możemy wyznaczyć moduł sztywności G materiału, z którego wykonany jest drut Materiał guma miedź sta wofram szkło Moduł sztywności GPa Współczynnik Poissona GPa

9 Skręcanie wałów napędzających maszyny Moc przekazywana przez wał napędowy: PMω Zamiast wałów stosuje się czasem rury ) ( ) ( J J G G dr r G M r r π ϕ ϕ π ϕ π Jaki powinien być promień zewnętrzny rury o promieniu wewnętrznym, aby dawała ona taki sam moment skręcający jak pręt o promieniu ) ( π π,9 4 S S Warto używać pustych wałków!

10 Sprężyna Przy rozciąganiu sprężyny drut, z którego jest ona wykonana uega skręceniu o kąt θ (nie jest to jednak tak proste jakby się wydawało trudno zauważyć skręcenie drutu, gdy rozciągamy sprężynę jak to się dzieje - patrz dodatek). ϕ h s Skręcenie to wywoła pojawienie się momentu siły: M πr M G ϕ F s s promień sprężyny Moment sił sprężystości równoważy moment siły zewnętrznej F przyłożonej dokładnie wzdłuż osi sprężyny 4 r promień drutu długość drutu Łącząc powyższe wzory i biorąc pod uwagę, że długość drutu sprężyna wynosi πn s (gdzie N iczba zwojów sprężyny) dostajemy ostatecznie: F 4 Gr 4 N 3 s h F z k h k 4 Gr 3 4 N s

11 F n ozciąganie drutu Wydłużenie wzgędne: ε Prawo Hooke a (da niewiekich odkształceń) ε σ σ E F n S Przewężenie wzgędne: σ- naprężenie normane E moduł Younga F n SE t d Da odkształceń sprężystych: ε µε t ub µ - współczynnik Poissona d ε d ε t µ ε

12 Moduł Younga guma Nyon Magnez (Mg) Materiał Poietyen (LDPE) Poipropyen (PP) Osłonka wirusa Poi(tereftaan etyenu) (PET) Poistyren (PS) Drewno dębowe (wzdłuż włókien) Beton wysokiej wytrzymałości (ściskany) Stop ginu (auminium) (A) Szkło (SiO, NaCO3, CaCO3) Moduł Younga (E) GPa,-,,,5-, -3,-,5 3,-3, Materiał Szkło (SiO, NaCO3, CaCO3) Mosiądz (Cu, Zn) i Brąz (Cu, Sn) Tytan (Ti) Kompozyt z włókna węgowego Żeazo kute i sta Wofram (W) Węgik krzemu (SiC) Węgik tytanu (TiC) Miedź Cynk Ołów Diament (C) Moduł Younga (E) GPa Cyna 47 Nanorurka [] > 5-

13 Współczynnik Poissona Materiał Guma Ołów Auminium Sta Szkło Kwarc Wofram µ,46-,49,45,34,9,-,3,,7

14 Zmiana objętości pręta przy rozciąganiu z x y + r + r r Zmiana objętości przy rozciąganiu: ) ( π π ) ( ) π( µ σ σ µ σ E V E E V r r r r r r V Doświadczenie pokazuje, że V/V µ /

15 Wzgędna zmiana objętości: p ε ε µ t V p p Odkształcenie objętości p p p δ K V V κ κp p ciśnienie κ- współczynnik ściśiwości K modułściśiwości Doświadczenie myśowe: - każda z krawędzi uega skróceniu o czynnik (-p/e) - jednocześnie w wyniku działania ciśnienia w kierunku poprzecznym poissonowskiemu w stosunku (+µp/e)(+µp/e) Długość krawędzi po deformacji: 3 6 (-p/e)(+µp/e) 3 p µ p p µ p 3( µ ) + V ( 3 )( + 6 ) V p E E E E E V 3( µ ) V E p κ 3( µ ) E ub K E 3( µ )

16 F Ścinanie płytki a a a F D a a γ π + γ a F F d grubość płytki Naprężenie styczne: σ t F ad Naprężenie normane: F F σ n σ t ad ad π γ

17 Naprężenia normane rozciąga przekątną Zmiana kąta pomiędzy bokami γ σ t G G moduł sztywności D a Zmiana długości przekątnej: - rozciąganie podłużne - rozciąganie poissonowskie γ tg γ a a / a a D σ n σ n + µ D + µ D σ nd E E E a σ t a G + µ a σ ta E a + µ σ t a E G mniejsze niż E (od /3 do / E) G σ t + µ σ t G E E ( + µ ) ograniczenie na wsp. Poissona µ >

18 Zginanie beki h - przed odkształceniem przekroje p, q były równoegłe (odegłe od punktu zamocowania o x, x+ x - po ugięciu przekroje tworzą kąt ϕ - warstwa V znajdująca się w odegłości y od warstwy W (neutranej) wydłuża się o ϕy - eement beki o długości x i grubości y i szerokości b jest odkształcany pod wpływem siły F n σ S H. Szydłowski Pracownia Fizyczna (PWN)

19 F n σ S Eε S Powierzchnia eementu V : Sb y y Wydłużenie wzgędne (rysunek): ε ϕ x Stąd: ϕy F n E b y x Moment tej siły wzgędem warstwy W ϕ M y Fn E by y x Sumując przyczynki od wszystkich warstw mamy: ϕ h / M E ϕ by dy E J x h / x gdzie geometryczny moment bezwładności (eement powierzchni zamiast masy) J h / by dy h / s y ds

20 Da beki o przekroju prostokątnym (zginanej prostopade do h) J bh 3 y h Moment sił sprężystości wytworzony w eemencie beki o długości x : ϕ M E J x Bekę odkształca moment siły zewnętrznej F b ϕ M ( x) F M x EJ F ϕ ( x) x EJ Ponieważ pomiędzy stycznymi do beki w punktach p, q wynosi ϕ, to przyczynek S do ugięcia beki S wyniesie: S ϕ( x) F S ( x) x EJ

21 Sumując ugięcia od wszystkich przyczynków x dostajemy: F F 3 S ( x) dx EJ 3 EJ Da beki o przekroju prostokątnym: 3 4 S F 3 bh EJ Ugięcie zaeży od kształtu przekroju! J t J p J r π π ( 4 4 ) 3 3 ( DH dh ) d/ Im większy moment Geometryczny, tym trudniej zginać! Materiał powinien być więc jak najdaej od osi zginania. Puste w środku wytrzymasze? Mosty, konstrukcje i kości D h H

22 J x E M ϕ Moment siły jeszcze raz x ϕ x ϕ Promień krzywizny ) ( ) ( x EJ x M Z matematyki wiadomo, że krzywizna z y 3 / + x z x z x z Da małych ugięć: Stąd można uzyskać informacje kształcie beki

23 M ( x) EJ z x równanie na kształt beki z x F EJ ( x) da x z z, x Strzałka ujęcia beki zamocowanej na jednym z końców F z ( ) 3 EJ 3

24

25 Mikroskop AFM mikroskop optyczny z kamerą AFM ~5cm podstawa MutiMode AFM +Nanoscope IIIa Digita Instruments (obecnie Veeco)

26 Budowa mikroskopu AFM: ruchoma próbka Mikroskop optyczny z kamerą eguacja położenia dźwigni w płaszczyźnie Skaner Uchwyt dźwigni Głowica Mocowanie skanera Wyświetacz Przewody Baza Podstawka

27 Dźwignia tapping mode Długość 5 µm Szerokość 3 µm Grubość 3 µm Wysokość µm Stała sprężystości N/m Częstość rezonansowa ~3 khz Promień krzywizny nm Kąt rozwarcia stożka 3

28 Tryb kontaktowy ( contact mode )

29 Tryb kontaktowy ( contact mode )

30 (TappingMode TM AFM)

31 EFM Eectric Force Microscopy (Kevin Probe Microscopy) F( x) F( x ) + F x ( x x )... + Siła eektryczna (gradient) zmiana częstości rezonansowej Pęta sprzężenia zwrotnego: utrzymanie rezonansu F x f k f Przyciąganie Wzrost częstości Odpychanie Spadek częstości Doświadczenie w skai makro z ciężarkiem na brzeszczocie i magnesami

32 Dioda Schottky ego Au/GaN (złącze meta-półprzewodnik) topografia granica półprzezroczystej warstwy Au potencjał

33 GaN GaN LT Buffer sapphire.µm potecjał (KPFM) topografia (AFM)

34 MFM Magnetic Force Microscopy F( x) F( x ) + F x ( x x )... + F x f k f Siła magnetyczna (gradient) zmiana częstości rezonansowej Pęta sprzężenia zwrotnego: utrzymanie rezonansu Przyciąganie Wzrost częstości Odpychanie Spadek częstości

35 Mikroskop sił magnetycznych (MFM)

36 Nanorurki węgowe L. Forroro et a. Eectronic and mechanica properties of carbon nanotubes,

37 Moduł Younga da nanorurki L. Forroro et a. Eectronic and mechanica properties of carbon nanotubes (Wikipedia) Paaci A. Voodin et a.,phys. ev. Lett. 84, 334 () Paaci et a., Phys. ev. Lett. 94, 755 (5)

38