7. RUCH OBROTOWY BRYŁY SZTYWNEJ

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "7. RUCH OBROTOWY BRYŁY SZTYWNEJ"

Transkrypt

1 7. RUCH OBROTOWY BRYŁY SZTYWNEJ Omawane ponŝej welkośc wprowadzmy dla szczególnego, ale bardzo często występującego w praktyce przypadku ruchu obrotowego cała wokół ustalonej os obrotu. Przypadk ogólnejsze omówmy pod konec tego paragrafu (ruch precesyjny, oś neswobodna). 7.1 Podstawowe welkośc opsujące ruch obrotowy Kąt obrotu, prędkość przyspeszene kątowe Wyobraźmy sobe, Ŝe cało obraca sę wokół ustalonej os obrotu, jak na ponŝszym rysunku. Współrzędną opsującą obrót cała jest kąt albo naczej przemeszczene kątowe; nazwjmy je: α=α(t). Prędkość obrotu charakteryzuje prędkość kątowa ; defnujemy ją jako: dα = (53) Prędkość kątowa moŝe ulegać zmanom, a zatem defnuje sę przyspeszene kątowe ε: d d α ε = = (54) Prędkość kątowa przyspeszene kątowe są wektoram; w przypadku obrotu wokół ustalonej os kerunk tych wektorów pokrywają sę z kerunkem os obrotu, zaś ch zwrot wyznacza reguła śruby prawoskrętnej. Wzajemną orentację wektorów, v oraz r pokazuje ten rysunek. v r 7

2 Wektory ε są tym dla ruchu obrotowego czym są v a dla ruchu postępowego. Na ponŝszym rysunku przedstawono schematyczne ruch obrotowy bardzo małego cała ( punktu materalnego ) po okręgu. Wektor jest prostopadły do powerzchn rysunku jest skerowany do góry (oznaczamy go symbolczne przez ; dodajmy, Ŝe wektor prostopadły do rysunku, ale skerowany w dół oznaczamy przez ). Zgodne z łukową defncją kąta (patrz rysunek po prawej): przyrost drog (kawałek łuku) to: ds = rdα, ds dα prędkość lnowa (ruchu postępowego): v = = r = r ; a zatem: v = r. RóŜnczkując tą zaleŝność po czase otrzymujemy: a = rε. Dwe ostatne zaleŝnośc zapsuje sę ogólnej: v = r (55) a = ε r Występujący tu wektor r jest wektorem wodzącym rozwaŝanego punktu materalnego, zaś znak oznacza loczyn wektorowy. Podobne, jak w przypadku ruchu postępowego, moŝemy wyróŝnć dwa szczególne typy ruchu obrotowego: a) jednostajny; wtedy: α=α o +t, b) jednostajne zmenny (gdy ε=const, zakładamy ponao, Ŝe początkowe połoŝene kątowe to α 0, a początkowa prędkość kątowa to 0 ): εt at α = α 0 + 0t + (analoga do: x = x 0 + v0t + ) oraz: = 0 + εt (analoga do: v = v0 + at ) Energa knetyczna RozwaŜmy cało o dowolnym kształce, obracające sę wokół stałej os obrotu: 8

3 Na rysunku wydzelono masę m bardzo małego -tego elementu cała. Odległość tego elementu od os obrotu wynos r. Energa knetyczna cała w ruchu obrotowym będze sumą energ knetycznych ruchu postępowego wszystkch jego elementów: k N mv = = 1 N m = = 1 r = N m r = 1 E. Sumę występującą po prawej strone ostatnej równośc nazywamy momentem bezwładnośc oznaczamy jako I: I m r (55) = N = 1 Ostateczne, otrzymujemy bardzo przejrzysty wzór na energę knetyczną obracającego sę cała: E k I = (56) Moment pędu RozwaŜmy obrót cała wokół ustalonej os. Dla pojedynczego bardzo małego cała (nazywamy go punktem materalnym) moment pędu defnujemy jako: L = r p (57) gdze r jest wektorem połoŝena punktu materalnego, zaś p jest pędem cała. Moment pędu jest zatem określony względem punktu (oznaczonego tutaj jako 0 ). Relacja ta przedstawona jest schematyczne ponŝej. 9

4 L r p Zastanówmy sę teraz jak moŝna wylczyć całkowty moment pędu cała. Na ogół moment pędu cała (L) ne jest równoległy do wektora prędkośc kątowej () patrz rysunek ponŝej. Równoległość ta ma natomast mejsce jeśl oś obrotu jest osą symetr cała (lub gdy jest jedną z os głównych o czym będze mowa w paragrafe 7.3). L L 0 Po lewej: w ogólnym przypadku wektory L ne są równoległe, Po prawej: jeśl oś obrotu jest osą symetr cała to L są równoległe. Sytuacja znaczne sę upraszcza, jeśl rozwaŝymy składową momentu równoległą do os obrotu (L oś ); załóŝmy ponao, Ŝe oś obrotu ma ustalony kerunek w przestrzen (tak jest w wększośc urządzeń mechancznych). Wektor L oś jest oczywśce równoległy do wektora prędkośc kątowej. 30

5 Wylczene momentu pędu L oś rozpoczynamy od podzelena (w myślach) cała na ogromną lość bardzo małych elementów (numerujemy je wskaźnkem ). W ogólnośc moment pędu jest sumą jego przyczynków (r xp ) od wszystkch elementów m. Ogranczając sę do wylczena L oś berzemy wyraŝena r p (zamast r xp ), gdze r jest odległoścą elementu m od os obrotu. Tak węc: L oś N N = p r = m v r = m r r = m r = 1 = 1 N = 1 Otrzymalśmy zatem proste wyraŝene na moment pędu cała: L oś = I N = 1 = I Pamętajmy jednak, Ŝe moment pędu jest wektorem. Jak juŝ wspomnano, jeśl cało obraca sę wokół swojej os symetr (lub jednej z tzw. głównych os bezwładnośc) to kerunek wektora momentu pędu L (będący równym L oś ) jest równoległy do kerunku wektora prędkośc kątowej ; moŝemy wtedy zapsać: L = I (58) Moment bezwładnośc odgrywa podstawową rolę w mechance ruchu obrotowego. Porównując wyraŝena z analogcznym wyraŝenam dla ruchu postępowego, dochodzmy do wnosku, Ŝe moment bezwładnośc spełna w ruchu obrotowym taką sama rolę jak masa w ruchu postępowym. Przykład: moment bezwładnośc pręta względem os prostopadłej do nego przechodzącej przez jego konec Długość pręta wynos l, zaś jego masa M. Podzelmy w myśl obracający sę pręt na neskończene cenke plasterk. Nech grubość jednego z nch wynos dr, co pokazano na ponŝszym rysunku. Przyczynek do momentu bezwładnośc, który wnos nasz neskończene cenk plasterek o grubośc dr ( mase dm)wynos: di = r dm = r M Pręt jest obektem cągłym, a ne sumą dyskretnych elementów, węc wyraŝene 59 na moment bezwładnośc ne będze dostateczne precyzyjne (występuje w nm suma po skończonej lośc elementów). Sumę musmy zastąpć całką: dr l l 3 M M r I = dl = r dr = = V 0 l 0 l 3 gdze V 0 całkowtą oznacza objętość cała. Tak węc poszukwany moment bezwładnośc wynos: l 0 Ml 3 31

6 I = Ml 3 W oblczenach momentów bezwładnośc, często przydatne jest twerdzene Stenera. Pozwala ono wyrazć moment bezwładnośc cała (I) względem dowolnej os, jeśl znamy moment bezwładnośc (I 0 ) względem os do nej równoległej, ale przechodzącej przez środek masy cała: Ι + Mh (59) = Ι 0 gdze h jest odległoścą mędzy obu osam. ś.m. I I 0 h Moment sły W ruchu obrotowym rolę sły spełna moment sły. Defnujemy go jako: Μ = r F (60) gdze r jest wektorem połoŝena punktu materalnego względem punktu 0. M F r ZauwaŜmy takŝe, Ŝe wartość momentu sły moŝna wyrazć jako: M = rfsnα, lub teŝ M=dF; d=rsnα jest ramenem sły, czyl odcnkem prostopadłym do sły, o długośc równej odległośc sły od punktu 0. 3

7 7. Zasady dynamk ruchu obrotowego II zasada dynamk ruchu obrotowego RozwaŜmy znów przykład cała obracającego sę wokół ustalonej os. Dzelmy je w myślach na bardzo małe elementy (masy punktowe), które numerujemy wskaźnkem. ZałóŜmy, Ŝe na -tą masę punktową (m ) dzała sła o wartośc F, leŝąca w płaszczyźne prostopadłej do os obrotu odległa od tej os o r : Ogranczmy sę znów do szczególnego przypadku ustalonej os obrotu; wtedy stotna jest tylko składowa momentu sły równoległa do os obrotu: M oś. Wartość momentu sły (lczonego względem os obrotu) dzałającego na masę m wynos: M =F r. Momenty sł pochodzące od poszczególnych elementów m są równoległe dodają sę. Wartość całkowtego momentu sły wynos: M F r a m r os = = gdze a jest przyspeszenem (ruchu postępowego) masy m. Wykorzystując relację pomędzy przyspeszenam ruchu postępowego ruchu obrotowego: a = εr, zwązek powyŝszy moŝna przepsać: M = εm r = ε m r = I os ε Rezultat ten moŝna przepsać w wektorowej postac: M os = Iε (61) Ten szczególny przypadek, gdy moment pędu jest równoległy do os obrotu (lub gdy brana jest pod uwagę tylko składowa momentu pędu równoległa do os obrotu) ma postać analogczną do II zasady dynamk dla ruchu postępowego: F = ma. 33

8 RozwaŜmy teraz przypadek ogólny. Moment pędu (Równ. 60) defnujemy jako: L = r p. Wylczmy pochodną momentu pędu względem czasu: d L dp dr = r + p d t dr Lecz: = v, ponao wektory prędkośc pędu są równoległe ( v // p ), a zatem drug dr p = 0 człon po prawej strone powyŝej:. d L dp A zatem = r. d t d p Wdzelśmy wcześnej, Ŝe równowaŝna postać drugej zasady ma postać: = F, tak węc: d t d L = r F ; ponao r F = M (gdze M jest momentem sły). Ostateczne otrzymujemy: d t M = d L d t (6) Równane powyŝsze wyraŝa II zasadę dynamk dla ruchu obrotowego. Mów ona, Ŝe: Jeśl na cało dzała moment sły M to powoduje on zmanę momentu pędu dl/=m. A zatem, aby moment pędu cała ulegał zmane (co do wartośc lub kerunku), na cało mus dzałać moment sły. Równ. 6 pozostaje w pełnej analog z drugą zasadą dynamk dla ruchu postępowego, d p wyraŝoną w postac: F =. d t Zasada zachowana momentu pędu (I zasada dynamk ruchu obrotowego) Z drugej zasady dynamk: M=dL/ (lub: dl=m) wynka, Ŝe jeśl moment sły jest zerowy, to przyrost momentu pędu takŝe jest zerowy. W oparcu o powyŝsze formułujemy zasadę zachowana momentu pędu: Jeśl na cało ne dzała moment sły (M=0), to moment pędu cała jest stały (L=const). Zasada zachowana momentu pędu jest równowaŝna I zasadze dynamk ruchu obrotowego. 34

9 III zasada dynamk ruchu obrotowego Podobne jak sły, momenty sł równeŝ występują param. MoŜemy zatem sformułować zasadę akcj reakcj dla momentów sł: Jeśl cało A dzała na cało B momentem sły M AB, to równocześne cało B dzała na A momentem sły M BA, przy czym M AB = - M BA. 7.3 Swobodna oś obrotu RozwaŜmy teraz sytuację, gdy cało moŝe obracać sę wokół dowolnej os obrotu, nekoneczne ustalonej. Jeśl rzucmy np. kj czy pudełko zapałek, nadając m początkową prędkość kątową, to zauwaŝymy, Ŝe po chwl obracają sę one w sposób ustablzowany wokół jednej ze swych os symetr; jest to przykład os swobodnej. Na ogół ustablzowany obrót cała odbywa sę wokół tej os symetr, której odpowada najwększy moment bezwładnośc. Obrót pręta wokół os neswobodnej (po lewej) swobodnej (po prawej) Na powyŝszym rysunku wdać, Ŝe w przypadku os swobodnej, obrót odbywa sę w sposób naturalny, nekoneczne są łoŝyska, aby ją utrzymać. Cało zawsze w końcu samoczynne ustawa sę do obrotu wokół os swobodnej; czynnkem, który za to odpowada jest moment sł odśrodkowych. A zatem: Oś swobodna to oś przechodząca przez środek masy taka, Ŝe wypadkowa sł odśrodkowych ch momentów dzałających na cało wynos zero. Jak juŝ wspomnano, swobodna oś obrotu ne wymaga łoŝysk; przykładem jest tu oś obrotu Zem. RówneŜ zabeg centrowana (wywaŝana) koła samochodowego czy rowerowego to nc nnego jak doprowadzene do obrotu wokół os swobodnej. Wycentrowanym kołem (a zatem obracającym sę wokół os swobodnej) ne rzuca, ne bje ono na bok, a zatem ne obcąŝa ono łoŝysk. 35

10 Główne ose bezwładnośc MoŜna wykazać, Ŝe dla kaŝdego cała, równeŝ nesymetrycznego, moŝna zdefnować trzy prostopadłe ose, zwane głównym osam bezwładnośc; moment bezwładnośc cała względem jednej z nch jest maksymalny, względem drugej jest mnmalny, zaś względem trzecej ma wartość pośredną: I I I II I III. Jeśl cało ma kształt symetryczny główne ose bezwładnośc są takŝe osam symetr cała. Modelowym przykładem jest tutaj prostopadłoścan. I III I II I I Główne ose bezwładnośc są osam swobodnym, lecz jedyne I I wykazuje pełną trwałość ruchu (odporność na zakłócena). ZałóŜmy, Ŝe obrót cała odbywa sę względem os przechodzącej przez środek masy. Przedstawmy prędkość kątową jako sumę trzech wektorów składowych, równoległych do głównych os bezwładnośc: + + = (63) I II III Analogczne, moŝemy rozłoŝyć moment pędu względem tych samych os: = L + L + L I II III = I + I + I L (63a) I I II II III III Wdać stąd, Ŝe na ogół moment pędu (L) ne jest równoległy do wektora prędkośc kątowej (). Te dwa wektory są równoległe jedyne wówczas, gdy osą obrotu jest jedna z głównych os bezwładnośc. Wówczas otrzymujemy proste, znane nam z wcześnejszych paragrafów zaleŝnośc: L=I M=Iε (relacje te są słuszne takŝe w dowolnym przypadku, pod warunkem, Ŝe berzemy składowe L M równoległe do os obrotu). W ogólnym zaś przypadku, aby napsać relację mędzy M oraz L, defnuje sę moment bezwładnośc ne jako skalar (lczbę), tylko jako specjalny obekt matematyczny zwany tensorem. 7.4 Ruch precesyjny Istneje bardzo cekawy przykład ruchu obrotowego cała wokół os, która ne jest osą neruchomą w nercjalnym układze odnesena. Jest to wszystkm dobrze znany z dzecństwa ruch zabawk zwanej bąkem (Ŝyroskopowym). Schematyczne ruch bąka przedstawono na ponŝszym rysunku. W stoce moment pędu bąka (L) krąŝy po powerzchn stoŝka o ponowej os symetr; kąt rozwarca stoŝka wynos θ. Ruch tak nazywamy ruchem precesyjnym. 36

11 Oś bąka (jak równeŝ moment pędu bąka L) cały czas wruje wokół os ponowej. Zmana połoŝena wektora L w przedzale czasu t wynos L, przy czym L jest w kaŝdym momence prostopadłe do L; przyrost momentu pędu L wytwarzany jest przez moment sły M zwązany z słą grawtacyjną. (Jest to sytuacja analogczna do ruchu po okręgu, gdze w kaŝdym momence przyrost prędkośc v jest prostopadły do prędkośc v; przyrost prędkośc v jest generowany w tym przypadku przez słę dośrodkową). RozwaŜmy loścowy ops ruchu precesyjnego. Z zasady zachowana pędu: dl M = lub teŝ: M L, wynka stąd, Ŝe: L = M t. t Wylczmy prędkość kątową precesj p (patrz powyŝszy rysunek): p ϕ = t ; lecz: L M t ϕ = =. Lsn θ Lsn θ Poszukwana przez nas prędkość kątowa precesj wynos zatem: p ϕ M = = t Lsn θ (64) Momentem sły (M), który cały czas dzała na precesujący bąk jest moment sły cęŝkośc; jego wartość wynos M= mgd = mgrsnθ, gdze: m jest masą bąka, g jest przyspeszenem 37

12 grawtacyjnym, d jest ramenem sły grawtacyjnej względem os ponowej (z rysunku wdać, Ŝe d=rsnθ). Wstawając zatem wartość momentu sły (M= mgrsnθ) do ostatnego równana, otrzymujemy: mgr p = L Wdzmy z tego równana, Ŝe prędkość kątowa precesj jest odwrotne proporcjonalna do momentu pędu bąka; a zatem m jest bąk jest masywnejszy m szybcej wruje wokół własnej os tym wolnejsza jest jego precesja. Relacje na prędkość kątową precesj moŝemy zapsać w ogólnejszy sposób. ZauwaŜmy, Ŝe z Rów. 64 mamy: M= p Lsnθ. PonewaŜ kąt pomędzy wektoram p L wynos θ, węc równość tą moŝemy zapsać: M p L = (66) (65) Inne nteresujące przykłady ruchu precesyjnego Ruch precesyjny wykonuje takŝe Zema. (Moment sł generujący ten ruch pochodz m.n. od róŝncy sł przycągana grawtacyjnego obu półkul Zem prze Słońce; oś Zem jest bowem cały czas pochylona względem płaszczyzny orbty wokółsłonecznej). Okres ruchu precesyjnego Zem wynos lat. Ponao ruch precesyjny wykorzystywany jest w Ŝyroskope. Elementy ruchu precesyjnego występują równeŝ podczas jazdy na rowerze; dzęk nm rowerzysta utrzymuje równowagę. 7.5 Analoge mędzy ruchem postępowym obrotowym Jak wdzelśmy w poprzednch paragrafach, równana dla ruchu obrotowego mogą być uzyskane z równań dla ruchu postępowego poprzez analogę. Wystarczy w tym celu zamenć welkośc opsujące ruch postępowy odpowadającym m welkoścam, charakteryzującym ruch obrotowy. W ponŝszej tabelce zestawono odpowadające sobe pary zmennych: RUCH POSTĘPOWY RUCH OBROTOWY Przemeszczene (droga), x Przemeszczene kątowe, α Prędkość, dx v = Prędkość kątowa, dv d x a = dα = d α Przyspeszene, = Przyspeszene kątowe, ε = = Masa, m Moment bezwładnośc, I I = d I = m r lub r dm Pęd, p=mv Moment pędu, L os =I Sła, F=ma Moment sły, M os =Iε V o 38

13 d p F = d t d L M = d t Energa knetyczna, Praca, Moc, x = F(x)dx x1 mv E k = Energa knetyczna, W Praca, W M( α)dα dw P = lub P = Fv Moc, = α α1 E k I = dw P = lub P = M 8. Statyka cał Poznawszy juŝ welkośc opsujące zarówno ruch postępowy jak obrotowy, moŝemy sformułować ścśle warunk, jake muszą być spełnone, aby cało pozostawało w równowadze. Jest to warunek statyk cała. WyraŜa sę on następująco: 1) F = 0 ) M = 0 (67) Inaczej mówąc, aby cało pozostawało w równowadze, suma sł momentów sł dzałających na cało mus być równa zeru. Uwag końcowe: Pochodzene zasad zachowana pędu, momentu pędu energ mechancznej Na baze neco ogólnejszych rozwaŝań moŝna wykazać, Ŝe poznane przez nas zasady zachowana są konsekwencją podstawowych symetr, które stneją w otaczającym nas śwece. I tak: a) Zasada zachowana pędu (p=const, jeśl F=0) Zasada ta wynka z jednorodnośc przestrzen. Inaczej mówąc, jeśl przesunemy nasz układ współrzędnych w przestrzen, to równana praw fzyk (przyrody) w nm wyraŝone ne ulegną zmane. b) Zasada zachowana momentu pędu (L=const, jeśl M=0) Zasada ta wynka z zotrop przestrzen. Jeśl obrócmy nasz układ współrzędnych w przestrzen, to równana praw fzyk (przyrody) ne ulegną zmane. 39

14 c) Zasada zachowana energ mechancznej (E k + E p = const, jeśl układ jest zolowany) Zasada ta wynka z jednorodnośc czasu. Jeśl umowny moment chwl początkowej (t=0) w lczenu czasu, przesunemy w przyszłość lub w przeszłość, to równana praw fzyk (przyrody) ne ulegną zmane. Uwaga: Trzeba tutaj zauwaŝyć, Ŝe wspomnane przesunęce w czase w przeszłość pownno być mnejsze od czasu stnena znanego nam Wszechśwata (obecne modele kosmologczne w zdecydowanej wększośc uznają, Ŝe znany nam Wszechśwat powstał w tzw. Welkm Wybuchu klkanaśce mlardów lat temu). Ne wemy po prostu czy stnały jake były prawa fzyk przed Welkm Wybuchem. 40

RUCH OBROTOWY Można opisać ruch obrotowy ze stałym przyspieszeniem ε poprzez analogię do ruchu postępowego jednostajnie zmiennego.

RUCH OBROTOWY Można opisać ruch obrotowy ze stałym przyspieszeniem ε poprzez analogię do ruchu postępowego jednostajnie zmiennego. RUCH OBROTOWY Można opsać ruch obrotowy ze stałym przyspeszenem ε poprzez analogę do ruchu postępowego jednostajne zmennego. Ruch postępowy a const. v v at s s v t at Ruch obrotowy const. t t t Dla ruchu

Bardziej szczegółowo

Moment siły (z ang. torque, inna nazwa moment obrotowy)

Moment siły (z ang. torque, inna nazwa moment obrotowy) Moment sły (z ang. torque, nna nazwa moment obrotowy) Sły zmenają ruch translacyjny odpowednkem sły w ruchu obrotowym jest moment sły. Tak jak sła powoduje przyspeszene, tak moment sły powoduje przyspeszene

Bardziej szczegółowo

ver ruch bryły

ver ruch bryły ver-25.10.11 ruch bryły ruch obrotowy najperw punkt materalny: m d v dt = F m r d v dt = r F d dt r p = r F d dt d v r v = r dt d r d v v= r dt dt def r p = J def r F = M moment pędu moment sły d J dt

Bardziej szczegółowo

I. Elementy analizy matematycznej

I. Elementy analizy matematycznej WSTAWKA MATEMATYCZNA I. Elementy analzy matematycznej Pochodna funkcj f(x) Pochodna funkcj podaje nam prędkość zman funkcj: df f (x + x) f (x) f '(x) = = lm x 0 (1) dx x Pochodna funkcj podaje nam zarazem

Bardziej szczegółowo

Podstawy Procesów i Konstrukcji Inżynierskich. Ruch obrotowy INZYNIERIAMATERIALOWAPL. Kierunek Wyróżniony przez PKA

Podstawy Procesów i Konstrukcji Inżynierskich. Ruch obrotowy INZYNIERIAMATERIALOWAPL. Kierunek Wyróżniony przez PKA Podstawy Pocesów Konstukcj Inżyneskch Ruch obotowy Keunek Wyóżnony pzez PKA 1 Ruch jednostajny po okęgu Ruch cząstk nazywamy uchem jednostajnym po okęgu jeśl pousza sę ona po okęgu lub kołowym łuku z pędkoścą

Bardziej szczegółowo

ZASADA ZACHOWANIA MOMENTU PĘDU: PODSTAWY DYNAMIKI BRYŁY SZTYWNEJ

ZASADA ZACHOWANIA MOMENTU PĘDU: PODSTAWY DYNAMIKI BRYŁY SZTYWNEJ ZASADA ZACHOWANIA MOMENTU PĘDU: PODSTAWY DYNAMIKI BYŁY SZTYWNEJ 1. Welkośc w uchu obotowym. Moment pędu moment sły 3. Zasada zachowana momentu pędu 4. uch obotowy były sztywnej względem ustalonej os -II

Bardziej szczegółowo

Siła jest przyczyną przyspieszenia. Siła jest wektorem. Siła wypadkowa jest sumą wektorową działających sił.

Siła jest przyczyną przyspieszenia. Siła jest wektorem. Siła wypadkowa jest sumą wektorową działających sił. 1 Sła jest przyczyną przyspeszena. Sła jest wektorem. Sła wypadkowa jest sumą wektorową dzałających sł. Sr Isaac Newton (164-177) Jeśl na cało ne dzała żadna sła lub sły dzałające równoważą sę, to cało

Bardziej szczegółowo

r i m r Fwyp R CM Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej

r i m r Fwyp R CM Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej Dynamka ruchu obrotowego bryły sztywnej Bryła sztywna - zbór punktów materalnych (neskończene welu), których wzajemne położene ne zmena sę po wpływem załających sł F wyp R C O r m R F wyp C Śroek masy

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA 2 MOMENT BEZWŁADNOŚCI. Wykład Nr 10. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

MECHANIKA 2 MOMENT BEZWŁADNOŚCI. Wykład Nr 10. Prowadzący: dr Krzysztof Polko MECHANIKA Wykład Nr 10 MOMENT BEZWŁADNOŚCI Prowadzący: dr Krzysztof Polko Defncja momentu bezwładnośc Momentem bezwładnośc punktu materalnego względem płaszczyzny, os lub beguna nazywamy loczyn masy punktu

Bardziej szczegółowo

Opis ruchu obrotowego

Opis ruchu obrotowego Opis ruchu obrotowego Oprócz ruchu translacyjnego ciała obserwujemy w przyrodzie inną jego odmianę: ruch obrotowy Ruch obrotowy jest zawsze względem osi obrotu W ruchu obrotowym wszystkie punkty zakreślają

Bardziej szczegółowo

Ruch obrotowy bryły sztywnej. Bryła sztywna - ciało, w którym odległości między poszczególnymi punktami ciała są stałe

Ruch obrotowy bryły sztywnej. Bryła sztywna - ciało, w którym odległości między poszczególnymi punktami ciała są stałe Ruch obrotowy bryły sztywnej Bryła sztywna - ciało, w którym odległości między poszczególnymi punktami ciała są stałe Ruch obrotowy ruch po okręgu P, t 1 P 1, t 1 θ 1 θ Ruch obrotowy ruch po okręgu P,

Bardziej szczegółowo

Energia potencjalna jest energią zgromadzoną w układzie. Energia potencjalna może być zmieniona w inną formę energii (na przykład energię kinetyczną)

Energia potencjalna jest energią zgromadzoną w układzie. Energia potencjalna może być zmieniona w inną formę energii (na przykład energię kinetyczną) 1 Enega potencjalna jest enegą zgomadzoną w układze. Enega potencjalna może być zmenona w nną omę eneg (na pzykład enegę knetyczną) może być wykozystana do wykonana pacy. Sumę eneg potencjalnej knetycznej

Bardziej szczegółowo

INDUKCJA ELEKTROMAGNETYCZNA. - Prąd powstający w wyniku indukcji elektro-magnetycznej.

INDUKCJA ELEKTROMAGNETYCZNA. - Prąd powstający w wyniku indukcji elektro-magnetycznej. INDUKCJA ELEKTROMAGNETYCZNA Indukcja - elektromagnetyczna Powstawane prądu elektrycznego w zamknętym, przewodzącym obwodze na skutek zmany strumena ndukcj magnetycznej przez powerzchnę ogranczoną tym obwodem.

Bardziej szczegółowo

będzie momentem Twierdzenie Steinera

będzie momentem Twierdzenie Steinera Wykład z fizyki, Piotr Posmykiewicz. Niech 90 oznacza moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy ciała o masie i niech będzie momentem bezwładności tego ciała względem osi równoległej

Bardziej szczegółowo

Dynamika Newtonowska trzy zasady dynamiki

Dynamika Newtonowska trzy zasady dynamiki Dynamika Newtonowska trzy zasady dynamiki I. Zasada bezwładności Gdy działające siły równoważą się ciało fizyczne pozostaje w spoczynku lubporusza się ruchem prostoliniowym ze stałą prędkością. II. Zasada

Bardziej szczegółowo

Zasady dynamiki Isaak Newton (1686 r.)

Zasady dynamiki Isaak Newton (1686 r.) Zasady dynamiki Isaak Newton (1686 r.) I (zasada bezwładności) Istnieje taki układ odniesienia, w którym ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, jeśli nie działają

Bardziej szczegółowo

Podstawy fizyki sezon 1 V. Ruch obrotowy 1 (!)

Podstawy fizyki sezon 1 V. Ruch obrotowy 1 (!) Podstawy fizyki sezon 1 V. Ruch obrotowy 1 (!) Agnieszka Obłąkowska-Mucha WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Kinematyka ruchu

Bardziej szczegółowo

(M2) Dynamika 1. ŚRODEK MASY. T. Środek ciężkości i środek masy

(M2) Dynamika 1. ŚRODEK MASY. T. Środek ciężkości i środek masy (MD) MECHANIKA - Dynamka T. Środek cężkośc środek masy (M) Dynamka T: Środek cężkośc środek masy robert.szczotka(at)gmal.com Fzyka astronoma, Lceum 01/014 1 (MD) MECHANIKA - Dynamka T. Środek cężkośc środek

Bardziej szczegółowo

RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ

RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ Wykład 6 2016/2017, zima 1 MOMENT PĘDU I ENERGIA KINETYCZNA W RUCHU PUNKTU MATERIALNEGO PO OKRĘGU Definicja momentu pędu L=mrv=mr 2 ω L=Iω I= mr 2 p L r ω Moment

Bardziej szczegółowo

OGÓLNE PODSTAWY SPEKTROSKOPII

OGÓLNE PODSTAWY SPEKTROSKOPII WYKŁAD 8 OGÓLNE PODSTAWY SPEKTROSKOPII E E0 sn( ωt kx) ; k π ; ω πν ; λ T ν E (m c 4 p c ) / E +, dla fotonu m 0 p c p hk Rozkład energ w stane równowag: ROZKŁAD BOLTZMANA!!!!! P(E) e E / kt N E N E/

Bardziej szczegółowo

Bryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka

Bryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka Bryła sztywna Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka Moment bezwładności Prawa ruchu Energia ruchu obrotowego Porównanie ruchu obrotowego z ruchem postępowym Przypomnienie Równowaga bryły

Bardziej szczegółowo

R o z d z i a ł 4 MECHANIKA CIAŁA SZTYWNEGO

R o z d z i a ł 4 MECHANIKA CIAŁA SZTYWNEGO R o z d z i a ł 4 MECHANIKA CIAŁA SZTYWNEGO 4.1. Bryła sztywna W dotychczasowych rozważaniach traktowaliśmy wszystkie otaczające nas ciała jako punkty materialne lub zbiory punktów materialnych. Jest to

Bardziej szczegółowo

Przykład 4.1. Belka dwukrotnie statycznie niewyznaczalna o stałej sztywności zginania

Przykład 4.1. Belka dwukrotnie statycznie niewyznaczalna o stałej sztywności zginania Przykład.. Beka dwukrotne statyczne newyznaczana o stałej sztywnośc zgnana Poecene: korzystając z metody sł sporządzć wykresy sł przekrojowych da ponŝszej bek. Wyznaczyć ugęce oraz wzgędną zmanę kąta w

Bardziej szczegółowo

RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ

RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ RUCH OBROTOWY- MECHANIKA BRYŁY SZTYWNEJ Wykład 7 2012/2013, zima 1 MOMENT PĘDU I ENERGIA KINETYCZNA W RUCHU PUNKTU MATERIALNEGO PO OKRĘGU Definicja momentu pędu L=mrv=mr 2 ω L=Iω I= mr 2 p L r ω Moment

Bardziej szczegółowo

Podstawy termodynamiki

Podstawy termodynamiki Podstawy termodynamk Temperatura cepło Praca jaką wykonuje gaz I zasada termodynamk Przemany gazowe zotermczna zobaryczna zochoryczna adabatyczna Co to jest temperatura? 40 39 38 Temperatura (K) 8 7 6

Bardziej szczegółowo

VII.1 Pojęcia podstawowe.

VII.1 Pojęcia podstawowe. II.1 Pojęcia podstawowe. Jan Królikowski Fizyka IBC 1 Model matematyczny ciała sztywnego Zbiór punktów materialnych takich, że r r = const; i, j= 1,... N i j Ciało sztywne nie ulega odkształceniom w wyniku

Bardziej szczegółowo

5. Pochodna funkcji. lim. x c x c. (x c) = lim. g(c + h) g(c) = lim

5. Pochodna funkcji. lim. x c x c. (x c) = lim. g(c + h) g(c) = lim 5. Pocodna funkcj Defncja 5.1 Nec f: (a, b) R nec c (a, b). Jeśl stneje granca lm x c x c to nazywamy ją pocodną funkcj f w punkce c oznaczamy symbolem f (c) Twerdzene 5.1 Jeśl funkcja f: (a, b) R ma pocodną

Bardziej szczegółowo

PF11- Dynamika bryły sztywnej.

PF11- Dynamika bryły sztywnej. Instytut Fizyki im. Mariana Smoluchowskiego Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej Uniwersytetu Jagiellońskiego Zajęcia laboratoryjne w I Pracowni Fizycznej dla uczniów szkół ponadgimnazjalych

Bardziej szczegółowo

Kwantowa natura promieniowania elektromagnetycznego

Kwantowa natura promieniowania elektromagnetycznego Efekt Comptona. Kwantowa natura promenowana elektromagnetycznego Zadane 1. Foton jest rozpraszany na swobodnym elektrone. Wyznaczyć zmanę długośc fal fotonu w wynku rozproszena. Poneważ układ foton swobodny

Bardziej szczegółowo

Bąk wirujący wokół pionowej osi jest w równowadze. Momenty działających sił są równe zero (zarówno względem środka masy S jak i punktu podparcia O).

Bąk wirujący wokół pionowej osi jest w równowadze. Momenty działających sił są równe zero (zarówno względem środka masy S jak i punktu podparcia O). Bryła sztywna (2) Bąk Równowaga Rozważmy bąk podparty wirujący do okoła pionowej osi. Z zasady zachowania mementu pędu wynika, że jeśli zapewnimy znikanie momentów sił to kierunek momentu pędu pozostanie

Bardziej szczegółowo

Podstawy fizyki wykład 4

Podstawy fizyki wykład 4 Podstawy fizyki wykład 4 Dr Piotr Sitarek Instytut Fizyki, Politechnika Wrocławska Dynamika Obroty wielkości liniowe a kątowe energia kinetyczna w ruchu obrotowym moment bezwładności moment siły II zasada

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 4: Przestrzenie wektorowe i podprzestrzenie. Liniowa niezależność. Sumy i sumy proste podprzestrzeni.

Zestaw zadań 4: Przestrzenie wektorowe i podprzestrzenie. Liniowa niezależność. Sumy i sumy proste podprzestrzeni. Zestaw zadań : Przestrzene wektorowe podprzestrzene. Lnowa nezależność. Sumy sumy proste podprzestrzen. () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawanem jako dodawanem wektorów operacją mnożena przez skalar :

Bardziej szczegółowo

Warunek równowagi bryły sztywnej: Znikanie sumy sił przyłożonych i sumy momentów sił przyłożonych.

Warunek równowagi bryły sztywnej: Znikanie sumy sił przyłożonych i sumy momentów sił przyłożonych. Warunek równowag bryły sztywnej: Znkane suy sł przyłożonych suy oentów sł przyłożonych. r Precesja koła rowerowego L J Oznaczena na poprzench wykłaach L L L L g L t M M F L t F Częstość precesj: Ω ϕ t

Bardziej szczegółowo

Bryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXII: Porównanie ruchu obrotowego z ruchem postępowym. Bak Precesja Żyroskop

Bryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXII: Porównanie ruchu obrotowego z ruchem postępowym. Bak Precesja Żyroskop Bryła sztywna Wykład XXII: Fizyka I (B+C) Porównanie ruchu obrotowego z ruchem postępowym Bak Precesja Żyroskop Ogólne wyrażenie na moment pędu Tensor momentu bezwładności Osie główne Porównanie Punkt

Bardziej szczegółowo

Fizyka 11. Janusz Andrzejewski

Fizyka 11. Janusz Andrzejewski Fizyka 11 Ruch okresowy Każdy ruch powtarzający się w regularnych odstępach czasu nazywa się ruchem okresowym lub drganiami. Drgania tłumione ruch stopniowo zanika, a na skutek tarcia energia mechaniczna

Bardziej szczegółowo

Podstawy fizyki wykład 4

Podstawy fizyki wykład 4 Podstawy fizyki wykład 4 Dr Piotr Sitarek Katedra Fizyki Doświadczalnej, W11, PWr Dynamika Obroty wielkości liniowe a kątowe energia kinetyczna w ruchu obrotowym moment bezwładności moment siły II zasada

Bardziej szczegółowo

Fizyka 1- Mechanika. Wykład 7 16.XI Zygmunt Szefliński Środowiskowe Laboratorium Ciężkich Jonów

Fizyka 1- Mechanika. Wykład 7 16.XI Zygmunt Szefliński Środowiskowe Laboratorium Ciężkich Jonów zyka - Mechanka Wykład 7 6.XI.07 Zygunt Szeflńsk Środowskowe Laboratoru Cężkch Jonów szef@fuw.edu.pl http://www.fuw.edu.pl/~szef/ Zasada zachowana pędu Układ zolowany Każde cało oże w dowolny sposób oddzaływać

Bardziej szczegółowo

PROJEKTOWANIE I BUDOWA

PROJEKTOWANIE I BUDOWA ObcąŜena kadłuba PROJEKTOWANIE I BUDOWA OBIEKTÓW LATAJĄCYCH I ObcąŜena kadłuba W. BłaŜewcz Budowa samolotów, obcąŝena W. Stafej Oblczena stosowane przy projektowanu szybowców St. Danleck Konstruowane samolotów,

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys.

Ćwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys. Ćwiczenie M- Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego. Cel ćwiczenia: pomiar przyśpieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła fizycznego.. Przyrządy: wahadło rewersyjne, elektroniczny

Bardziej szczegółowo

12 RUCH OBROTOWY BRYŁY SZTYWNEJ I. a=εr. 2 t. Włodzimierz Wolczyński. Przyspieszenie kątowe. ε przyspieszenie kątowe [ ω prędkość kątowa

12 RUCH OBROTOWY BRYŁY SZTYWNEJ I. a=εr. 2 t. Włodzimierz Wolczyński. Przyspieszenie kątowe. ε przyspieszenie kątowe [ ω prędkość kątowa Włodzimierz Wolczyński Przyspieszenie kątowe 1 RUCH OROTOWY RYŁY SZTYWNEJ I = = ε przyspieszenie kątowe [ ] ω prędkość kątowa = = T okres, = - częstotliwość s=αr v=ωr a=εr droga = kąt x promień prędkość

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA 2. Wykład Nr 3 KINEMATYKA. Temat RUCH PŁASKI BRYŁY MATERIALNEJ. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

MECHANIKA 2. Wykład Nr 3 KINEMATYKA. Temat RUCH PŁASKI BRYŁY MATERIALNEJ. Prowadzący: dr Krzysztof Polko MECHANIKA 2 Wykład Nr 3 KINEMATYKA Temat RUCH PŁASKI BRYŁY MATERIALNEJ Prowadzący: dr Krzysztof Polko Pojęcie Ruchu Płaskiego Rys.1 Ruchem płaskim ciała sztywnego nazywamy taki ruch, w którym wszystkie

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych

Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 1. Układy równań liniowych Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analza zagadneń różnczkowych 1. Układy równań lnowych P. F. Góra http://th-www.f.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letn 2006/07 Podstawowe fakty Równane Ax = b, x,

Bardziej szczegółowo

Fizyka 1 (mechanika) AF14. Wykład 9

Fizyka 1 (mechanika) AF14. Wykład 9 Fizyka 1 (mechanika) 1100-1AF14 Wykład 9 Jerzy Łusakowski 05.12.2016 Plan wykładu Żyroskopy, bąki, etc. Toczenie się koła Ruch w polu sił centralnych Żyroskopy, bąki, etc. Niezrównoważony żyroskop L m

Bardziej szczegółowo

Laboratorium ochrony danych

Laboratorium ochrony danych Laboratorum ochrony danych Ćwczene nr Temat ćwczena: Cała skończone rozszerzone Cel dydaktyczny: Opanowane programowej metody konstruowana cał skończonych rozszerzonych GF(pm), poznane ch własnośc oraz

Bardziej szczegółowo

V. TERMODYNAMIKA KLASYCZNA

V. TERMODYNAMIKA KLASYCZNA 46. ERMODYNAMIKA KLASYCZNA. ERMODYNAMIKA KLASYCZNA ermodynamka jako nauka powstała w XIX w. Prawa termodynamk są wynkem obserwacj welu rzeczywstych procesów- są to prawa fenomenologczne modelu rzeczywstośc..

Bardziej szczegółowo

Ciało sztywne i moment bezwładności Ciekawe przykłady ruchu obrotowego Dynamika ruchu obrotowego Kinematyka ruchu obrotowego Obliczanie momentu

Ciało sztywne i moment bezwładności Ciekawe przykłady ruchu obrotowego Dynamika ruchu obrotowego Kinematyka ruchu obrotowego Obliczanie momentu Ruch obrotowy 016 Spis treści Ciało sztywne i moment bezwładności Ciekawe przykłady ruchu obrotowego Dynamika ruchu obrotowego Kinematyka ruchu obrotowego Obliczanie momentu bezwładności Ruch obrotowo-postępowy

Bardziej szczegółowo

Bryła sztywna. Wstęp do Fizyki I (B+C) Wykład XXI:

Bryła sztywna. Wstęp do Fizyki I (B+C) Wykład XXI: Bryła sztywna Wstęp do Fizyki I (B+C) Wykład XXI: Porównanie ruchu obrotowego z ruchem postępowym Ogólne wyrażenie na moment pędu Tensor momentu bezwładności Osie główne Równania Eulera Bak swobodny Porównanie

Bardziej szczegółowo

3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas

3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas 3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas oddziaływanie między ciałami, ani też rola, jaką to

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA 2 RUCH POSTĘPOWY I OBROTOWY CIAŁA SZTYWNEGO. Wykład Nr 2. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

MECHANIKA 2 RUCH POSTĘPOWY I OBROTOWY CIAŁA SZTYWNEGO. Wykład Nr 2. Prowadzący: dr Krzysztof Polko MECHANIKA 2 Wykład Nr 2 RUCH POSTĘPOWY I OBROTOWY CIAŁA SZTYWNEGO Prowadzący: dr Krzysztof Polko WSTĘP z r C C(x C,y C,z C ) r C -r B B(x B,y B,z B ) r C -r A r B r B -r A A(x A,y A,z A ) Ciało sztywne

Bardziej szczegółowo

Diagonalizacja macierzy kwadratowej

Diagonalizacja macierzy kwadratowej Dagonalzacja macerzy kwadratowej Dana jest macerz A nân. Jej wartośc własne wektory własne spełnają równane Ax x dla,..., n Każde z równań własnych osobno można zapsać w postac: a a an x x a a an x x an

Bardziej szczegółowo

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem Zestaw zadań : Przestrzene wektorowe. () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawanem jako dodawanem wektorów operacją mnożena przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzeną lnową nad całem lczb zespolonych

Bardziej szczegółowo

Mechanika ogólna. Kinematyka. Równania ruchu punktu materialnego. Podstawowe pojęcia. Równanie ruchu po torze (równanie drogi)

Mechanika ogólna. Kinematyka. Równania ruchu punktu materialnego. Podstawowe pojęcia. Równanie ruchu po torze (równanie drogi) Kinematyka Mechanika ogólna Wykład nr 7 Elementy kinematyki Dział mechaniki zajmujący się matematycznym opisem układów mechanicznych oraz badaniem geometrycznych właściwości ich ruchu, bez wnikania w związek

Bardziej szczegółowo

v 6 i 7 j. Wyznacz wektora momentu pędu czaski względem początku układu współrzędnych.

v 6 i 7 j. Wyznacz wektora momentu pędu czaski względem początku układu współrzędnych. Dynamika bryły sztywnej.. Moment siły. Moment pędu. Moment bezwładności. 171. Na cząstkę o masie kg znajdującą się w punkcie określonym wektorem r 5i 7j działa siła F 3i 4j. Wyznacz wektora momentu tej

Bardziej szczegółowo

ZASADY DYNAMIKI. Przedmiotem dynamiki jest badanie przyczyn i sposobów zmiany ruchu ciał.

ZASADY DYNAMIKI. Przedmiotem dynamiki jest badanie przyczyn i sposobów zmiany ruchu ciał. ZASADY DYNAMIKI Przedmiotem dynamiki jest badanie przyczyn i sposobów zmiany ruchu ciał Dynamika klasyczna zbudowana jest na trzech zasadach podanych przez Newtona w 1687 roku I zasada dynamiki Istnieją

Bardziej szczegółowo

Wstęp do mechaniki. Wektory. Mnożenie wektorów... Notatki. Notatki. Notatki. Notatki. dr inż. Ireneusz Owczarek

Wstęp do mechaniki. Wektory. Mnożenie wektorów... Notatki. Notatki. Notatki. Notatki. dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank dr nż. Ireneusz Owczarek CNMF PŁ reneusz.owczarek@p.lodz.pl http://cmf.p.lodz.pl/owczarek 1 dr nż. Ireneusz Owczarek Wstęp do mechank Wektory Algebra wektorów przedstawa sę (na płaszczyźne

Bardziej szczegółowo

Bryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXI: Statyka Prawa ruchu Moment bezwładności Energia ruchu obrotowego

Bryła sztywna. Fizyka I (B+C) Wykład XXI: Statyka Prawa ruchu Moment bezwładności Energia ruchu obrotowego Bryła sztywna Fizyka I (B+C) Wykład XXI: Statyka Prawa ruchu Moment bezwładności Energia ruchu obrotowego Typ równowagi zależy od zmiany położenia środka masy ( Równowaga Statyka Bryły sztywnej umieszczonej

Bardziej szczegółowo

Bryła sztywna. Wstęp do Fizyki I (B+C) Wykład XIX: Prawa ruchu Moment bezwładności Energia ruchu obrotowego

Bryła sztywna. Wstęp do Fizyki I (B+C) Wykład XIX: Prawa ruchu Moment bezwładności Energia ruchu obrotowego Bryła sztywna Wstęp do Fizyki I (B+C) Wykład XIX: Prawa ruchu Moment bezwładności Energia ruchu obrotowego Obrót wokół ustalonej osi Prawa ruchu Dla bryły sztywnej obracajacej się wokół ostalonej osi mement

Bardziej szczegółowo

3. Siła bezwładności występująca podczas ruchu ciała w układzie obracającym się siła Coriolisa

3. Siła bezwładności występująca podczas ruchu ciała w układzie obracającym się siła Coriolisa 3. Sła bezwładnośc występująca podczas uchu cała w układze obacającym sę sła Coolsa ω ω ω v a co wdz obsewato w układze necjalnym co wdz obsewato w układze nenecjalnym tajemncze pzyspeszene: to właśne

Bardziej szczegółowo

Materiały pomocnicze 5 do zajęć wyrównawczych z Fizyki dla Inżynierii i Gospodarki Wodnej

Materiały pomocnicze 5 do zajęć wyrównawczych z Fizyki dla Inżynierii i Gospodarki Wodnej Materiały pomocnicze 5 do zajęć wyrównawczych z Fizyki dla Inżynierii i Gospodarki Wodnej 1. Wielkości dynamiczne w ruchu postępowym. a. Masa ciała jest: - wielkością skalarną, której wielkość jest niezmienna

Bardziej szczegółowo

Diagnostyka układów kombinacyjnych

Diagnostyka układów kombinacyjnych Dagnostyka układów kombnacyjnych 1. Wprowadzene Dagnostyka obejmuje: stwerdzene stanu układu, systemu lub ogólne sec logcznej. Jest to tzw. kontrola stanu wykrywająca czy dzałane sec ne jest zakłócane

Bardziej szczegółowo

Mechanika ogólna / Tadeusz Niezgodziński. - Wyd. 1, dodr. 5. Warszawa, Spis treści

Mechanika ogólna / Tadeusz Niezgodziński. - Wyd. 1, dodr. 5. Warszawa, Spis treści Mechanika ogólna / Tadeusz Niezgodziński. - Wyd. 1, dodr. 5. Warszawa, 2010 Spis treści Część I. STATYKA 1. Prawa Newtona. Zasady statyki i reakcje więzów 11 1.1. Prawa Newtona 11 1.2. Jednostki masy i

Bardziej szczegółowo

Określanie mocy cylindra C w zaleŝności od ostrości wzroku V 0 Ostrość wzroku V 0 7/5 6/5 5/5 4/5 3/5 2/5 Moc cylindra C 0,5 0,75 1,0 1,25 1,5 > 2

Określanie mocy cylindra C w zaleŝności od ostrości wzroku V 0 Ostrość wzroku V 0 7/5 6/5 5/5 4/5 3/5 2/5 Moc cylindra C 0,5 0,75 1,0 1,25 1,5 > 2 T A R C Z A Z E G A R O W A ASTYGMATYZM 1.Pojęca ogólne a) astygmatyzm prosty (najbardzej zgodny z pozomem) - najbardzej płask połudnk tzn. o najmnejszej mocy jest pozomy b) astygmatyzm odwrotny (najbardzej

Bardziej szczegółowo

PRZYRZĄD DO WPROWADZENIA POJĘCIA MOMENTU OBROTU I PARY SIŁ

PRZYRZĄD DO WPROWADZENIA POJĘCIA MOMENTU OBROTU I PARY SIŁ PRZYRZĄD DO WPROWADZENIA POJĘCIA MOMENTU OBROTU I PARY SIŁ (V 6 60) Za pomocą kompletu, w skład którego wchodzi dźwignia, 5 małych bloczków z uchwytami dostosowanymi do prętów statywowych, 6 linek z haczykami

Bardziej szczegółowo

Projekt 6 6. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH CAŁKOWANIE NUMERYCZNE

Projekt 6 6. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Inormatyka Podstawy Programowana 06/07 Projekt 6 6. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH CAŁKOWANIE NUMERYCZNE 6. Równana algebraczne. Poszukujemy rozwązana, czyl chcemy określć perwastk rzeczywste równana:

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej

MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej MECHANIKA II. Dynamika ruchu obrotowego bryły sztywnej Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/

Bardziej szczegółowo

Obroty. dθ, cząstka W Y K Ł A D VIII. Prędkość kątowa i przyspieszenie kątowe.

Obroty. dθ, cząstka W Y K Ł A D VIII. Prędkość kątowa i przyspieszenie kątowe. Wykład z fzyk, Pot Posmykewcz 84 W Y K Ł A D VIII Oboty. Ruch obotowy jest wszędze wokół nas; od atomów do galaktyk. Zema obaca sę wokół własnej os. Koła, pzekładne, slnk, śmgła, CD, łyŝwaka wykonująca

Bardziej szczegółowo

5. CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE

5. CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE 5. CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE Oprócz transmtancj operatorowej, do opsu członów układów automatyk stosuje sę tzw. transmtancję wdmową. Transmtancję wdmową G(j wyznaczyć moŝna dzęk podstawenu do wzoru

Bardziej szczegółowo

Model IS-LM-BP. Model IS-LM-BP jest wersją modelu ISLM w gospodarce otwartej. Pokazuje on zatem jak

Model IS-LM-BP. Model IS-LM-BP jest wersją modelu ISLM w gospodarce otwartej. Pokazuje on zatem jak Ćwczena z Makroekonom II Model IS-LM- Model IS-LM- jest wersją modelu ISLM w gospodarce otwartej. Pokazuje on zatem jak gospodarka taka zachowuje sę w krótkm okrese, w efekce dzałań podejmowanych w ramach

Bardziej szczegółowo

Przykład 5.1. Kratownica dwukrotnie statycznie niewyznaczalna

Przykład 5.1. Kratownica dwukrotnie statycznie niewyznaczalna rzykład.. Kratownca dwukrotne statyczne newyznaczana oecene: korzystaąc z metody sł wyznaczyć sły w prętach ponższe kratowncy. const Rozwązane zadana rozpoczynamy od obczena stopna statyczne newyznaczanośc

Bardziej szczegółowo

9. PRZYPADEK OGÓLNY - RUCH W UKŁADZIE NIEINERCJALNYM

9. PRZYPADEK OGÓLNY - RUCH W UKŁADZIE NIEINERCJALNYM 9. PRZYPADEK OGÓLNY - RUCH W UKŁADZIE NIEINERCJALNYM Co to są kłady inercjalne i nieinercjalne? Układ inercjalny wyróŝnia się tym, Ŝe jeśli ciało w nim spoczywa lb porsza się rchem jednostajnym prostoliniowym,

Bardziej szczegółowo

Siły oporu prędkość graniczna w spadku swobodnym

Siły oporu prędkość graniczna w spadku swobodnym FIZYKA I Wykład III Mechanika: Pojęcia podstawowe dynamika i punktu historiamaterialnego (VI) Siły oporu prędkość graniczna w spadku swobodnym s = v 0 t + at v 0 = 0; a = g; s = h h = gt F o = k v F g

Bardziej szczegółowo

Równa Równ n a i n e i ru r ch u u ch u po tor t ze (równanie drogi) Prędkoś ędkoś w ru r ch u u ch pros pr t os ol t i ol n i io i wym

Równa Równ n a i n e i ru r ch u u ch u po tor t ze (równanie drogi) Prędkoś ędkoś w ru r ch u u ch pros pr t os ol t i ol n i io i wym Mechanika ogólna Wykład nr 14 Elementy kinematyki i dynamiki 1 Kinematyka Dział mechaniki zajmujący się matematycznym opisem układów mechanicznych oraz badaniem geometrycznych właściwości ich ruchu, bez

Bardziej szczegółowo

Zachowanie energii. W Y K Ł A D VI. 7-1 Zasada zachowania energii mechanicznej.

Zachowanie energii. W Y K Ł A D VI. 7-1 Zasada zachowania energii mechanicznej. Wykład z zyk. Potr Posmykewcz 56 W Y K Ł A D VI Zachowane energ. Energę potencjalną układu moŝna zdenować w następujący sposób: praca wykonana nad układem przez wewnętrzne sły zachowawcze jest równa zmnejszenu

Bardziej szczegółowo

Bryła sztywna. zbiór punktów materialnych utrzymujących stałą odległość między sobą. Deformująca się piłka nie jest bryłą sztywną!

Bryła sztywna. zbiór punktów materialnych utrzymujących stałą odległość między sobą. Deformująca się piłka nie jest bryłą sztywną! Bryła sztywna Ciało złożone z cząstek (punktów materialnych), które nie mogą się względem siebie przemieszczać. Siły utrzymujące punkty w stałych odległościach są siłami wewnętrznymi bryły sztywnej. zbiór

Bardziej szczegółowo

Nazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne. opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego

Nazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne. opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego Nazwisko i imię: Zespół: Data: Cel ćwiczenia: Ćwiczenie nr 1: Wahadło fizyczne opis ruchu drgającego a w szczególności drgań wahadła fizycznego wyznaczenie momentów bezwładności brył sztywnych Literatura

Bardziej szczegółowo

1. Wstęp. Grupa: Elektrotechnika, wersja z dn Studia stacjonarne, II stopień, sem.1 Laboratorium Techniki Świetlnej

1. Wstęp. Grupa: Elektrotechnika, wersja z dn Studia stacjonarne, II stopień, sem.1 Laboratorium Techniki Świetlnej Grupa: Elektrotechnka, wersja z dn. 0.03.011 Studa stacjonarne, stopeń, sem.1 Laboratorum Technk Śwetlnej Ćwczene nr 6 Temat: Porównane parametrów fotometrycznych Ŝarówek dod śwecących o ukerunkowanym

Bardziej szczegółowo

Funkcja momentu statycznego odciętej części przekroju dla prostokąta wyraża się wzorem. z. Po podstawieniu do definicji otrzymamy

Funkcja momentu statycznego odciętej części przekroju dla prostokąta wyraża się wzorem. z. Po podstawieniu do definicji otrzymamy etoy energetyczne rzykła Wyznaczyć współczynnk z - α z a przekroju prostokątnego który wzłuż os y ma wymar b wzłuż os Funkcja momentu statycznego ocętej częśc przekroju a prostokąta wyraża sę wzorem b

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań egzaminacyjnych (egzamin poprawkowy) z Mechaniki i Szczególnej Teorii Względności

Rozwiązania zadań egzaminacyjnych (egzamin poprawkowy) z Mechaniki i Szczególnej Teorii Względności Rozwiązania zadań egzaminacyjnych (egzamin poprawkowy) z Mechaniki i Szczególnej Teorii Względności Zadanie 1 (7 pkt) Cząstka o masie m i prędkości v skierowanej horyzontalnie wpada przez bocznąściankę

Bardziej szczegółowo

Fizyka 1- Mechanika. Wykład 9 1.XII Zygmunt Szefliński Środowiskowe Laboratorium Ciężkich Jonów

Fizyka 1- Mechanika. Wykład 9 1.XII Zygmunt Szefliński Środowiskowe Laboratorium Ciężkich Jonów Fizyka 1- Mechanika Wykład 9 1.X.016 Zygmunt Szefliński Środowiskowe Laboratorium Ciężkich Jonów szef@fuw.edu.pl http://www.fuw.edu.pl/~szef/ Moment bezwładności - koło Krążek wokół osi symetrii: M dm

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja belki wspornikowej

Optymalizacja belki wspornikowej Leszek MIKULSKI Katedra Podstaw Mechank Ośrodków Cągłych, Instytut Mechank Budowl, Poltechnka Krakowska e mal: ps@pk.edu.pl Optymalzacja belk wspornkowej 1. Wprowadzene RozwaŜamy zadane optymalnego kształtowana

Bardziej szczegółowo

AERODYNAMICS I WYKŁAD 6 AERODYNAMIKA SKRZYDŁA O SKOŃCZONEJ ROZPIĘTOŚCI PODSTAWY TEORII LINII NOŚNEJ

AERODYNAMICS I WYKŁAD 6 AERODYNAMIKA SKRZYDŁA O SKOŃCZONEJ ROZPIĘTOŚCI PODSTAWY TEORII LINII NOŚNEJ WYKŁAD 6 AERODYNAMIKA SKRZYDŁA O SKOŃCZONEJ ROZPIĘTOŚCI PODSTAWY TEORII INII NOŚNEJ Prawo Bota-Savarta Pole prędkośc ndukowanej przez lnę (nć) wrową o cyrkulacj może być wyznaczone przy użycu formuły Bota-Savarta

Bardziej szczegółowo

XLI OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP WSTĘPNY Zadanie teoretyczne

XLI OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP WSTĘPNY Zadanie teoretyczne XLI OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP WSTĘPNY Zadane teoretyczne Rozwąż dowolne rzez sebe wybrane dwa sośród odanych nże zadań: ZADANIE T Nazwa zadana: Protony antyrotony A. Cząstk o mase równe mase rotonu, ale

Bardziej szczegółowo

BRYŁA SZTYWNA. Zestaw foliogramów. Opracowała Lucja Duda II Liceum Ogólnokształcące w Pabianicach

BRYŁA SZTYWNA. Zestaw foliogramów. Opracowała Lucja Duda II Liceum Ogólnokształcące w Pabianicach BRYŁA SZTYWNA Zestaw fologamów Opacowała Lucja Duda II Lceum Ogólokształcące w Pabacach Pabace 003 Byłą sztywą azywamy cało, któe e defomuje sę pod wpływem sł zewętzych. Poszczególe częśc były sztywej

Bardziej szczegółowo

Programowanie Równoległe i Rozproszone

Programowanie Równoległe i Rozproszone Programowane Równoległe Rozproszone Wykład Programowane Równoległe Rozproszone Lucjan Stapp Wydzał Matematyk Nauk Informacyjnych Poltechnka Warszawska (l.stapp@mn.pw.edu.pl) /38 PRR Wykład Chcemy rozwązać

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 7

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 7 Stansław Cchock Natala Nehrebecka Wykład 7 1 1. Zmenne cągłe a zmenne dyskretne 2. Interpretacja parametrów przy zmennych dyskretnych 1. Zmenne cągłe a zmenne dyskretne 2. Interpretacja parametrów przy

Bardziej szczegółowo

Fizyka 7. Janusz Andrzejewski

Fizyka 7. Janusz Andrzejewski Fzyka 7 Janusz Andzejewsk Poblem: Dlaczego begacze na stadone muszą statować z óżnych mejsc wbegu na 400m? Janusz Andzejewsk Ruch obotowy Cało sztywne Cało, któe obaca sę w tak sposób, że wszystke jego

Bardziej szczegółowo

Mechanika teoretyczna

Mechanika teoretyczna Wypadkowa -metoda analityczna Mechanika teoretyczna Wykład nr 2 Wypadkowa dowolnego układu sił. Równowaga. Rodzaje sił i obciążeń. Rodzaje ustrojów prętowych. Składowe poszczególnych sił układu: Składowe

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Mnożenie wektorów

Plan wykładu. Mnożenie wektorów Plan wykładu Wstęp do mechank dr nż. Ireneusz Owczarek CMF PŁ reneusz.owczarek@p.lodz.pl http://cmf.p.lodz.pl/owczarek 2013/14 1 Algebra wektorów Knematyka 2 Układy nercjalne mechanka klasyczna Sła bezwładnośc

Bardziej szczegółowo

STATYKA. Cel statyki. Prof. Edmund Wittbrodt

STATYKA. Cel statyki. Prof. Edmund Wittbrodt STATYKA Cel statyk Celem statyk jest zastąpee dowolego układu sł ym, rówoważym układem sł, w tym układem złożoym z jedej tylko sły jedej pary sł (redukcja do sły mometu główego) lub zbadae waruków, jake

Bardziej szczegółowo

Prosta i płaszczyzna w przestrzeni

Prosta i płaszczyzna w przestrzeni Prosta i płaszczyzna w przestrzeni Wybrane wzory i informacje Równanie prostej przechodzącej przez punkt P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) o wektorze wodzącym r 0 i równoległej do wektora v = [a, b, c] : postać parametrycznego

Bardziej szczegółowo

Część 1 7. TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCI 1 7. TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCI Twierdzenie Bettiego (o wzajemności prac)

Część 1 7. TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCI 1 7. TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCI Twierdzenie Bettiego (o wzajemności prac) Część 1 7. TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCI 1 7. 7. TWIERDZENIA O WZAJEMNOŚCI 7.1. Twerdzene Bettego (o wzajemnośc prac) Nech na dowolny uład ramowy statyczne wyznaczalny lub newyznaczalny, ale o nepodatnych

Bardziej szczegółowo

Zasady dynamiki Newtona. Pęd i popęd. Siły bezwładności

Zasady dynamiki Newtona. Pęd i popęd. Siły bezwładności Zasady dynamiki Newtona Pęd i popęd Siły bezwładności Copyright by pleciuga@o2.pl Inercjalne układy odniesienia Układy inercjalne to takie układy odniesienia, względem których wszystkie ciała nie oddziałujące

Bardziej szczegółowo

Pole magnetyczne. Za wytworzenie pola magnetycznego odpowiedzialny jest ładunek elektryczny w ruchu

Pole magnetyczne. Za wytworzenie pola magnetycznego odpowiedzialny jest ładunek elektryczny w ruchu Pole magnetyczne Za wytworzene pola magnetycznego odpowedzalny jest ładunek elektryczny w ruchu Źródła pola magnetycznego Źródła pola magnetycznego I Sła Lorentza - wektor ndukcj magnetycznej Sła elektryczna

Bardziej szczegółowo

Pierwsze dwa podpunkty tego zadania dotyczyły równowagi sił, dla naszych rozważań na temat dynamiki ruchu obrotowego interesujące będzie zadanie 3.3.

Pierwsze dwa podpunkty tego zadania dotyczyły równowagi sił, dla naszych rozważań na temat dynamiki ruchu obrotowego interesujące będzie zadanie 3.3. Dynamika ruchu obrotowego Zauważyłem, że zadania dotyczące ruchu obrotowego bardzo często sprawiają maturzystom wiele kłopotów. A przecież wystarczy zrozumieć i stosować zasady dynamiki Newtona. Przeanalizujmy

Bardziej szczegółowo

III Zasada Dynamiki Newtona. Wykład 5: Układy cząstek i bryła sztywna. Przykład. Jak odpowiesz na pytania?

III Zasada Dynamiki Newtona. Wykład 5: Układy cząstek i bryła sztywna. Przykład. Jak odpowiesz na pytania? III Zasada Dynamiki Newtona 1:39 Wykład 5: Układy cząstek i bryła sztywna Matematyka Stosowana Ciało A na B: Ciało B na A: 0 0 Jak odpowiesz na pytania? Honda CRV uderza w Hondę Civic jak będzie wyglądał

Bardziej szczegółowo

termodynamika fenomenologiczna p, VT V, teoria kinetyczno-molekularna <v 2 > termodynamika statystyczna n(v) to jest długi czas, zachodzi

termodynamika fenomenologiczna p, VT V, teoria kinetyczno-molekularna <v 2 > termodynamika statystyczna n(v) to jest długi czas, zachodzi fzka statstczna stan makroskopow układ - skończon obszar przestrzenn (w szczególnośc zolowan) termodnamka fenomenologczna p, VT V, teora knetczno-molekularna termodnamka statstczna n(v) stan makroskopow

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo geometryczne

Prawdopodobieństwo geometryczne Prawdopodobeństwo geometryczne Przykład: Przestrzeń zdarzeń elementarnych określona jest przez zestaw punktów (x, y) na płaszczyźne wypełna wnętrze kwadratu [0 x ; 0 y ]. Znajdź p-stwo, że dowolny punkt

Bardziej szczegółowo

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 6

Stanisław Cichocki. Natalia Nehrebecka. Wykład 6 Stansław Cchock Natala Nehrebecka Wykład 6 1 1. Interpretacja parametrów przy zmennych objaśnających cągłych Semelastyczność 2. Zastosowane modelu potęgowego Model potęgowy 3. Zmenne cągłe za zmenne dyskretne

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA 2 KINEMATYKA. Wykład Nr 5 RUCH KULISTY I RUCH OGÓLNY BRYŁY. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

MECHANIKA 2 KINEMATYKA. Wykład Nr 5 RUCH KULISTY I RUCH OGÓLNY BRYŁY. Prowadzący: dr Krzysztof Polko MECHANIKA 2 KINEMATYKA Wykład Nr 5 RUCH KULISTY I RUCH OGÓLNY BRYŁY Prowadzący: dr Krzysztof Polko Określenie położenia ciała sztywnego Pierwszy sposób: Określamy położenia trzech punktów ciała nie leżących

Bardziej szczegółowo

FIZYKA klasa 1 Liceum Ogólnokształcącego (4 letniego)

FIZYKA klasa 1 Liceum Ogólnokształcącego (4 letniego) 2019-09-01 FIZYKA klasa 1 Liceum Ogólnokształcącego (4 letniego) Treści z podstawy programowej przedmiotu POZIOM ROZSZERZONY (PR) SZKOŁY BENEDYKTA Podstawa programowa FIZYKA KLASA 1 LO (4-letnie po szkole

Bardziej szczegółowo