St. Pod. dla Nauczycieli 5 seria zadań z algebry szkolnej

Transkrypt

1 St. Pod. dla Nauczycieli 5 seria zadań z algebry szkolnej I. Trygonometria. Definicja. Oznaczmy przez C okrąg jednostkowy, tzn. okrąg o środku w punkcie (0, 0) i promieniu równym 1. Po okręgu tym ze stałą prędkością kątową równą 1 obrót w czasie π porusza się punkt P. Przyjmijmy, że w chwili t = 0 znajduje się on w punkcie (1, 0), a w chwili t = π/ w punkcie (0, 1). Dla dowolnej liczby rzeczywistej t oznaczmy przez P (t) położenie punktu P w chwili t. Odcięta punktu P (t), to kosinus liczby t (ozn. cos t), a rzędna to sinus liczby t (ozn. sin t). Jeśli cos t 0, to określamy tangens liczby t (ozn. tg t) jako tg t = sin t, a jeśli sin t 0, to określamy kotangens liczby t (ozn. ctg t) cos t jako ctg t = cos t sin t. Twierdzenie. Dla dowolnych liczb rzeczywistych s, t zachodzą równości: sin(s + t) = sin s cos t + sin t cos s, cos(s + t) = cos s cos t sin t sin s, tg s + tg t tg(s + t) = 1 tg s tg t, sin(s t) = sin s cos t sin t cos s, cos(s t) = cos s cos t + sin t sin s, tg s tg t tg(s t) = 1 + tg s tg t. Twierdzenie. Dla dowolnej liczby rzeczywistej x i dowolnej liczby całkowitej m zachodzą równości (tzw. wzory redukcyjne): sin(x + mπ/) = ( 1) m sin x, cos(x + mπ/) = ( 1) m cos x, tg(x + mπ/) = tg x, ctg(x + mπ/) = ctg x, sin(x + (m + 1)π/) = ± cos x, cos(x + (m + 1)π/) = ± sin x, tg(x + (m + 1)π/) = ± ctg x, ctg(x + (m + 1)π/) = ± tg x, przy czym znaki w ostatnich czterech wzorach należy tak dobrać, żeby pasowały dla x (0, π/). Twierdzenie. Zachodzą równości: α) cos α = cos α sin α = cos α 1 = 1 sin α, β) sin α = sin α cos α, γ) tg α = tg α 1 tg α, δ) cos α = 1 tg α tg α, ε) sin α = 1 + tg α 1 + tg α, ζ) cos α = 1 + cos α, η) sin α = 1 cos α, ϑ) cos α cos β = 1 (cos(α β) + cos(α + β)), ι) sin α sin β = 1 (cos(α β) cos(α + β)), κ) sin α cos β = 1 (sin(α β) + sin(α + β)), λ) cos α + cos β = cos α + β cos α β, µ) cos α cos β = sin α + β sin α β, ν) sin α + sin β = sin α + β cos α β, ξ) sin α sin β = cos α + β sin α β. Twierdzenie. Dla dowolnych liczb rzeczywistych x i α : cos x = cos α x = α + kπ x = α + kπ, k Z; sin x = sin α x = α + kπ x = π α + kπ, k Z; tg x = tg α x = α + kπ, k Z; ctg x = ctg α x = α + kπ, k Z.

2 1. Znajdź współrzędne następujących punktów P (π), P (3π/), P ( π/), P ( π), P (π/6), P (π/4), P (π/3), P ( 3π/4), P (7π/6), P (10π/3).. Zbadaj znak liczby: a) sin π 7 5π 3π 11π, b) cos, c) tg, d) cos Porównaj liczby: a) sin 1 i cos 10, b) sin 1 i tg. 4. Wykaż, że dla dowolnej liczby t: a) sin t + cos t = 1, b) 1 + tg t = 1 cos t. 5. Korzystając z kółka jednostkowego rozwiąż równania i nierówności: a) sin t = 0, b) sin t = 1, c) cos t = 1, d) sin t = cos t, e) sin t = cos t, f) sin t = 1/, g) cos t = /, h) sin t + cos t = 1, i) sin t = + cos t, j) sin t 0, k) cos t > 0, l) cos t > 1/, m) sin t < 3/, n) sin t > cos t, o) sin t cos t 1, p) 1/ sin t <. 6. Oblicz: q) sin t, tg t, ctg t, jeśli cos t = 1/6 oraz sin t < cos t; r) sin t, cos t, tg t, jeśli ctg t = 8/15 oraz sin t > cos t; s) sin t cos t, jeśli sin t + cos t = 6/5; t) tg t + ctg t, jeśli sin t + cos t = 1/. 7. Uprość wyrażenia: u) sin 4 t + sin t cos t + cos 4 t, v) sin 4 t cos 4 t + cos t, 1 w) 1 + tg t ctg t, x) 1 cos t wiedząc, że t [0; π], y) 1 cos t wiedząc, że t [π; π], z) 1 + tg t wiedząc, że t (π/; π). 8. Oblicz sin 135, tg 150, cos 1110, sin 7π 3 9. Oblicz: 13π 11π, cos, tg 6 4. a) cos 76 cos 16 + sin 76 sin 16, b) sin 5 sin 65, c) (cos 10 cos 80 ) + cos 70, cos 40 ( ) π d) sin 4 + α, jeśli sin α = 3 ( ) π 5, α 4 ; π, e) cos α, jeśli cos α = 5, f) cos(α β), jeśli sin α + sin β = 1, cos α + cos β =, g) tg α tg β, jeśli cos(α + β) = 1 3, cos(α β) = Uprość wyrażenia: a) cos 5α cos 3α + sin 5α sin 3α, b) 11. Udowodnij równości: cos α sin α + cos α, c) sin3 α cos α sin α cos 3 α. a) tg α + tg α + 4 tg 4α n tg n α = ctg α n+1 ctg n+1 α, sin α + sin β b) cos α + cos β = tg α + β ( ) ( ) π π, c) tg α tg 3 + α tg 3 α = tg 3α, ( ) sin(α + β + γ) π d) tg α + tg β + tg γ tg α tg β tg γ = cos α cos β cos γ, e) tg 4 + α cos α = 1 sin α.

3 1. Znajdź wartość największą i wartość najmniejszą funkcji: a) 3 cos x sin x, κ) sin x 5 cos x, b) 1 + cos x + cos x, sin(π/ + x) c) sin x cos 4 x( sin x), d) sin 6 x + cos 6 x. 13. Oblicz: a) α + β, jeśli tg α = 3, tg β = 0, 5, 0 < α < π/, π/ < β < 0, b) α β, jeśli sin α = 40/41, sin β = 9/41, 0 < α < π/, π/ < β < 0, cos α c) 3 sin α, jeśli tg α = 3, d) cos(π/4 α) cos(5π/4 + α), jeśli cos α sin(3, 5π + α) = m, e) sin π 3π sin Czy liczba tg 3α jest wymierna, jeśli cos α = 0, 1? 15. Rozwiąż równania: a) sin x = 1/, b) tg x = 1, c) sin x + cos x = 1, d) 3 sin x cos x =, e) sin 7x = sin 15x, f) cos(3x π/6) = cos(x + π/4), g) tg 3x = tg 5x, h) sin 10x = cos 3x, i) cos x + cos x + cos 3x + cos 4x = 0, j) sin x cos 4x = sin 7x cos 9x, j) tg x tg 7x = 1, k) cos x = cos x + sin x, l) sin x = cos 5x + cos 7x, m) 3 sin 7 x + 4 cos 10 x = Rozwiąż równania stosując odpowiednie podstawienia: a) sin x + 3 sin x + 5 = 0, b) sin x + sin x 1 = 0, c) 3 cos x + 5 sin x = 1, d) tg 3 x + tg x + 3 tg x = 0, e) 8 cos 6x cos x + 4 sin 4x 3 = 0, f) 3 sin 4 x 10 sin x cos x + 3 cos 4 x = Znajdź wszystkie rozwiązania równania: a) cos 7x 3 sin 7x = spełniające warunek 0, 4π < x < 6π/7, b) 3 tg (πx π/8) = 1 spełniające warunek 1, 5 < x < Rozwiąż równania: a) sin x = 3(cos x + sin x 1), b) 1 cos x = sin x, c) sin 3x tg(x π/6) = Znajdź dziedzinę funkcji f(x) = 0. Rozwiąż nierówności: 1 6 sin x sin x cos x a) sin x > 1/, b) tg x < 3, c) sin(3π/ x) < 3/, d) sin x < cos x, e) sin x < cos x, f) sin x cos x /4, tg x + tg x g) 1, 1 tg x tg x h) ctg( x + π/3) 1, i) cos x cos 3x cos 4x, j) 5 sin x + sin x < 4 cos x, k) sin 4 x sin x 3 cos 4 x < 0.

4 II. Układy równań liniowych. Definicja. Równanie postaci a 1 x 1 + a x a n x n = b, gdzie a 1, a,..., a n, b są liczbami, nazywa się równaniem liniowym zmiennych x 1, x,..., x n. Liczby a 1, a,..., a n nazywają się współczynnikami, a b wyrazem wolnym. Ciąg liczb (w 1, w,..., w n ) nazywa się rozwiązaniem równania a 1 x 1 + a x a n x n = b, wtedy i tylko wtedy, gdy a 1 w 1 + a w a n w n = b. Definicja. Układem równań liniowych nazywa się układ złożony z równań liniowych. Ciąg liczb (w 1, w,..., w n ) nazywa się rozwiązaniem układu równań liniowych a 11 x 1 + a 1 x a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x a n x n = b... a k1 x 1 + a k x a kn x n = b k wtedy i tylko wtedy, gdy jest rozwiązaniem każdego z równań układu, tzn. gdy zachodzą równości a 11 w 1 + a 1 w a 1n w n = b 1 a 1 w 1 + a w a n w n = b... a k1 w 1 + a k w a kn w n = b k. Definicja. Dwa układy równań nazywają się równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy mają te same zbiory rozwiązań. Twierdzenie. Każda z następujących tzw. operacji elementarnych zastosowanych do układu równań liniowych prowadzi do układu równoważnego z układem danym: I. Zamiana dwóch równań miejscami; II. Dodanie do jednego równania innego pomnożonego stronami przez dowolną liczbę; III. Pomnożenie obu stron jednego z równań przez liczbę różną od zera; IV. Pominięcie równania 0 = 0. Uwaga. Na kolejnym stosowaniu operacji elementarnych polega następująca metoda eliminacji Gaussa. 1. Wybieramy jedną ze zmiennych i równanie, w którym ta zmienna występuje z niezerowym współczynnikiem.. Przy pomocy operacji III doprowadzamy do tego, że współczynnik przy wybranej zmiennej w tym równaniu jest równy Równanie z wybraną zmienną przenosimy na pierwsze miejsce. 4. Z pozostałych równań przy pomocy operacji II eliminujemy wybraną zmienną. 5. Wybieramy nową (jedną spośród jeszcze nie wybranych) zmiennych i nowe (jedno spośród jeszcze nie wybranych) równanie, w którym ta zmienna występuje z niezerowym współczynnikiem. 6. Przy pomocy operacji III doprowadzamy do tego, że współczynnik przy wybranej zmiennej w tym równaniu jest równy Równanie z wybraną zmienną przenosimy na pierwsze miejsce po uprzednio wybranych równaniach. 8. Ze wszystkich oprócz ostatnio wybranego równań przy pomocy operacji II eliminujemy ostatnio wybraną zmienną. 9. Jeśli istnieją jeszcze nie wybrane zmienne, występujące z niezerowymi współczynnikami w jeszcze nie wybranych równaniach, to wracamy do punktu Jeśli wśród nie wybranych równań jest równanie postaci 0 = b, i b 0, to układ równań nie

5 ma rozwiązań (jest sprzeczny). Jeśli takiego równania nie ma, przenosimy nie wybrane zmienne na prawą stronę i traktujemy jako parametry i z otrzymanego układu równań odczytujemy rozwiązanie. Definicja. Niech m, n będą liczbami naturalnymi. Prostokątną tablicę o m wierszach i n kolumnach wypełnioną liczbami nazywamy m n macierzą. Jeśli m = n, to macierz nazywa się kwadratowa stopnia n. Definicja. Niech A będzie macierzą kwadratową stopnia n 3. Wyznacznikiem macierzy A nazywa się liczba det A określona wzorem: 1. det A = a, jeśli A = [a] jest[ macierzą ] stopnia 1; a b. det A = ad bc, jeśli A = jest macierzą stopnia ; c d a b c 3. det A = aei + bfg + cdh ceg bdi afh, jeśli A = d e f jest macierzą stopnia 3. g h i Uwaga. Następujący sposób Sarrusa pozwala łatwo zapamiętać definicję wyznacznika macierzy stopnia 3. Do macierzy A dopisujemy z prawej strony pierwszą, a potem drugą kolumnę. Następnie od sumy iloczynów trójek liczb stojących na ukośnych opadających liniach odejmujemy sumę iloczynów trójek liczb stojących na ukośnych liniach wznoszących się. Zamiast dopisywać kolumny możemy dopisać u dołu pierwszy wiersz, a poniżej drugi, a następnie postąpić, jak poprzednio. Uwaga. Nie podaję tu definicji wyznacznika macierzy stopnia większego od 3. Liczy go się inaczej, w szczególności metoda Sarrusa nie ma tu zastosowania. Twierdzenie Cramera. Niech dany będzie układ n równań liniowych z n niewiadomymi Jeśli macierz współczynników a 11 x 1 + a 1 x a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x a n x n = b... a n1 x 1 + a n x a nn x n = b n. A = a 11 a 1... a 1n a 1 a... a n a n1 a n... a nn ma wyznacznik różny od zera, to dany układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie (w 1, w,..., w n ) dane wzorami w k = det A k det A dla k = 1,,..., n, gdzie symbol A k oznacza macierz otrzymaną z macierzy A poprzez zastąpienie jej k tej kolumny przez kolumnę wyrazów wolnych układu równań. Uwaga. Jeśli det A = 0 oraz det A k 0 dla pewnego k, to układ jest sprzeczny. Twierdzenie. Jeśli macierz współczynników układu równań jest kwadratowa i jej wyznacznik jest równy zero, to ten układ jest albo sprzeczny albo nieoznaczony.

6 1. Rozwiąż następujące układy równań: α) γ) x y + z = 4 x + y + z = 1 x 3y + 5z = 10 5x 6y + 8z = 19, x + y + z + t = 7 x y z + 4t = 5x + 5y + z + 7t = 1, δ) β) x + y + 3z + t = 1 x + 4y z + t = x + y + z + t = 0 3x + 6y + 10z + 3t = 3, x y + z s + t = 0 3x + 4y z + s + 3t = 1 x 8y + 5z 9s + t = 1,. Oblicz wartość zmiennej y z układu równań: y + z = 0 ε) x + 4y + z = 1 5x + 3y + z = 0, ζ) x + y + 3z = 1 x + 3y + z = 3 3x + y + z =. 3. Określ liczbę rozwiązań układu w zależności od wartości parametru p: η) x + py 3z = 1 x + 10y 6z = p x y + pz = 0, ϑ) x + 4y z = p 3x + 5y pz = 3 px + 3py + z = p. 4. W zależności od wartości parametrów m i n określ ilość rozwiązań układu { x y = m nx y = Rozwiąż w zależności od wartości parametru a następujące układy równań: ι) λ) { ax 6y = 16 a x + (1 a)y = 4, x + (a 1)y = 3 (a + 1)x + 4y = 3, κ) { (a )x + 7y = 4, 5 x + (a + 1)y = 1, µ) ax + y + z = 1 x + ay + z = a x + y + az = a. 6. Znajdź te wszystkie rozwiązania układu równania x 3y z = 5. { x y + 3z = 5, x 5y z = 4, które nie są rozwiązaniami 7. Syn ma 4 lata a ojciec ma o 1000% więcej lat. Za ile lat ojciec będzie miał o 00% więcej lat od syna? 8. Z dębu i ze stali zrobiono dwie trójkątne płyty tej samej grubości. Podstawa dębowego trójkąta jest o 0% dłuższa od podstawy trójkąta ze stali a wysokośc dębowego trójkąta jest o 50% dłuższa od wysokości trójkąta ze stali. O ile procent stalowa płyta jest cięższa od płyty dębowej, jeśli wiadomo, że ciężar właściwy dębu jest 10 razy mniejszy od ciężaru właściwego stali? 9. Fabryka produkuje w ciągu 30 dni 600 sztuk wyrobów. O ile procent należy zwiększyć dzienną produkcję, aby wykonać taką samą liczbę wyrobów w ciągu 6 dni?

7 30. Stal nierdzewna to stop stali z chromem i niklem. Ile chromu i ile niklu należy stopić z 67,6 kg stali, jeśli chromu powinno być w stopie 15%, a niklu 30 razy mniej, niż chromu? 31. Oblicz wagę i procentową zawartość srebra w kawałku stopu srebra z miedzią, wiedząc, że stopiwszy ten kawałek z 3 kg czystego srebra otrzymamy stop zawierający 90% srebra, a stopiwszy go z kg stopu zawierającego 90% srebra otrzymamy stop o zawartości 84% srebra. 3. Trzej murarze K,L,M mają postawić mur. K i L pracując razem mogą postawić ten mur w ciągu 1 dni, K i M w ciągu 15 dni a L i M w ciągu 0 dni. W ciągu ilu dni mogą postawić mur pracując razem we trzech? 33. Dwie koparki wykonują pewną pracę w ciągu 1 dni. Pierwsza koparka pracując sama może wykonać tę pracę w ciągu 0 dni. W jakim czasie może wykonać tę pracę druga koparka? 34. Turysta idący ze wsi do stacji kolejowej przebył w ciągu pierwszej godziny 3km drogi. Stwierdził, że jeśli dalej będzie szedł z taką prędkością, to przyjdzie na stację 40 minut po odjeździe pociągu. Resztę drogi przebył z prędkością 4 km/godz i na stację przybył 45 minut przed odjazdem pociągu. Oblicz odległość ze wsi do stacji. 35. Motorówka na rzece osiąga prędkość 8 km/godz z prądem i tylko 0 km/godz pod prąd. Na jaką odległość się oddaliła od przystani, jeśli wyruszyła w dół rzeki o rano a wróciła, nigdzie się nie zatrzymując, o 4.30 po południu? 36. Samolot przeleciał odległość między dwoma miastami lecąc z wiatrem w ciągu godzin 45 minut, a drogę powrotną (pod wiatr) w ciągu 3 godzin. Oblicz odległość między tymi miastami, wiedząc, że prędkość wiatru wynosiła 10 km/godz. 37. Samochód wyjechał z A o 8.00 rano i jadąc z prędkością 64 km/godz powinien przyjechać do B o ustalonej porze. O godz nastąpił niespodziewany postój na 50 minut z powodu remontu drogi. Potem samochód pojechał inną szosą tak, że przebyta droga wzrosła o 31 km. Chociaż po postoju samochód jechał z prędkością 70 km/godz, spóźnił się do B o 1 godzinę 5 minut. Jaką drogę przebył samochód jadąc z A do B? 38. Samolot leciał z prędkością 780 km/godz. Gdy do przebycia zostało mu o 680 km mniej niż przebył, zwiększył prędkość do 830 km/godz. Średnia prędkość na całym dystansie wyniosła 800 km/godz. Jaką drogę przebył samolot? 39. W górę Wisły płynął kajak. Koło mostu Świętokrzyskiego z kajaka wypadła piłka. Kajakarz zauważył brak piłki po 5 minutach i zaraz zawrócił. Dogonił piłkę koło mostu Starzyńskiego. Określ prędkość Wisły na tym odcinku wiedząc, że odległość między mostami Świętokrzyskim i Starzyńskiego wynosi,5 km. 40. Są dwa roztwory kwasu - silny i słaby. Jeśli zmieszać po 10 litrów każdego z nich i dolać 0 litrów wody, to otrzymamy 40 litrów roztworu 0% - owego. Wiadomo, że jeśli do pustego zbiornika pompować słaby kwas przez pierwszą rurę, i jednocześnie silny kwas przez drugą rurę, to otrzymamy w zbiorniku roztwór 30% - owy. Jakie będzie stężenie otrzymanego roztworu, jeśli będziemy pompować silny kwas przez pierwszą rurę, a słaby kwas przez drugą rurę? 41. Są dwa różne stopy miedzi i ołowiu. Jeśli stopić 1 kg pierwszego stopu i 1 kg drugiego stopu, to otrzymamy stop zawierający 65% miedzi. Jeśli stopić dwa kawałki: I pierwszego stopu i II drugiego stopu, mające łączną masę 7 kg, to otrzymamy stop zawierający 60% miedzi. Jaka jest masa miedzi zawartej w stopie otrzymanym przez stopienie kawałka pierwszego stopu mającego masę kawałka II i kawałka drugiego stopu mającego masę kawałka I?

8 III. Ciągi. 4. Zaproponuj wzory na n te wyrazy dwóch różnych ciągów, których kolejnymi wyrazami są: 1, 3, 5, Wyznacz najmniejszy wyraz ciągu (a n ), jeśli a) a n = n 5n + 1, b) a n = 3 n 4 n + 91, c) a n = n 1 + n n Czy ciąg ((n 3 + 4n + n 1)/(n 4 + n 3 + n n 1)) jest ograniczony? 45. Niech S n oznacza sumę n początkowych wyrazów ciągu. Wykaż, że jeśli S n = n + 3n dla n IN, to ten ciąg jest arytmetyczny. 46. Wykaż, że jeśli ciąg (a n ) jest c.a., to ciąg (b n ) określony wzorem b n = a 5n+19 też jest c. a. 47. Dla jakich wartości parametru m równanie x 3 + (m 5)x + (m 6)x = 0 ma trzy pierwiastki tworzące c.a.? 48. Znajdź wszystkie różne od zera wartości a, przy których równanie x 8 + ax 4 + a 4 = 0 ma dokładnie cztery pierwiastki, tworzące (w porządku rosnącym) c.a. 49. Znajdź taki c.a. złożony z liczb naturalnych, w którym iloczyn pierwszych trzech wyrazów jest równy 6, a iloczyn pierwszych czterech Dane są dwa c.a.. Wyrazy pierwszy i piąty pierwszego ciągu są równe odpowiednio 7 i 5. W drugim ciągu pierwszym wyrazem jest 0, a ostatnim 3 1. Oblicz sumę wyrazów drugiego ciągu wiedząc, że trzecie wyrazy obu ciągów są równe. 51. Czy istnieje rosnący c.g., w którym pierwszych dziesić wyrazów jest całkowitych, a żaden z następnych nie? 5. Suma pierwszych trzech wyrazów c.g. jest równa 1, a suma ich kwadratów 189. Znajdź pierwszy wyraz i iloraz ciągu. 53. Trzy liczby tworzą c.g.. Jeśli drugą zwiększyć o, to nowe liczby utworzą c.a., a jeśli potem jeszcze zwiększyć ostatnią o 9, to liczby znowu utworzą c.g. Co to za liczby? 54. Znajdź piąty wyraz rosnącego c.g., w którym pierwszy wyraz jest równy 7 3 5, a każdy wyraz poza pierwszym jest różnicą wyrazów sąsiednich. 55. Znajdź sumę pierwszych czterech wyrazów c.g, mającego tę własność, że pierwsze trzy wyrazy mają sumę 16 4 i są przy tym odpowiednio pierwszym, czwartym i ósmym wyrazami pewnego c.a Kąty wielokąta wypukłego tworzą c. a. Najmniejszy z kątów ma 119, a największy 169. Ile kątów na wielokąt? 57. Dane są cztery liczby takie, że trzy pierwsze są kolejnymi wyrazami c. g., a trzy ostatnie kolejnymi wyrazami c. a. Suma liczb skrajnych jest równa 56, a suma liczb środkowych 48. Wyznacz te liczby. 58. Wykaż, że jeśli (a n ) jest ciągiem arytmetycznym o wyrazach dodatnich, to 1 a a a a 3 an 1 + n 1 = a n a1 + dla n IN. a n 59. Czy liczby, 3, 5 są wyrazami jednego a) c.a., b) c.g.? 60. Liczby a, b, c, d tworzą (w tej kolejności) c.g., a + d = 10, ad = 7. Oblicz b 3 + c 3.

9 61. Pięćdziesiąty pierwszy wyraz c.a. o różnicy r < 1 jest równy 1. Oblicz najmniejszą możliwą wartość wyrażenia a 1a 49 a Znajdź sumę Puszka aluminiowa waży 10 gramów. W wyniku utylizacji odpadów odzyskuje się corocznie 75 procent zużytego aluminium. Ile puszek można wyprodukować z tony aluminium w ciągu 10 lat? Ile to razy więcej, niż gdyby odzyskiwano połowę zużytego aluminium? Ile to razy więcej, niż gdyby wyrzucano puszki bezpowrotnie? 64. Pan A złożył do banku 8000 zł, a po upływie pierwszego i każdego następnego roku wpłacał po 1000 zł. Ile lat oszczędzał pan A, jeśli na koniec tego okresu (nie dokonując kolejnej wpłaty) wszystko wypłacił i otrzymał wraz z odsetkami 690 zł? Przez cały czas oprocentowanie w banku wynosiło 4, 5% (procent prosty). Uwaga: procent prosty polega na tym, że odsetek nie dolicza się do sumy podlegającej oprocentowaniu. 65. Pan B złożył 7000 zł do banku na procent prosty. Po upływie kżdego kolejnego roku oprocentowanie w banku malało o jeden punkt procentowy (tzn. jeśli w jednym roku wynosiło a procent, to w następnym a 1 procent). Pan B wypłacił swoje oszczędności, gdy oprocentowanie spadło do zera. Ile lat trzymał w banku swoje oszczędności pan B, jeśli otrzymał 8960 zł? 66. Pan C złożył 7000 zł do banku na procent prosty. Po upływie każdego kolejnego roku oprocentowanie w banku malało o dziesięć procent. Pan C wypłacił swoje oszczędności wtedy, gdy pan B wypłacił swoje. Ile złotych otrzymał pan C, jeśli w chwili wpłaty oprocentowanie w obu bankach było jednakowe? 67. Pan D złożył do banku 8000 zł jednocześnie z panem A, a po upływie pierwszego i każdego następnego roku wpłacał po 1000 zł. Ile złotych otrzymał pan D, jeśli wypłacił swoje oszczędności razem z panem A? Przez cały czas oprocentowanie w banku pana D wynosiło % rocznie (procent składany) z kapitalizacją odsetek co kwartał. Uwaga: procent składany polega na tym, że odsetki są doliczane do sumy podlegającej oprocentowaniu; okres, po którym odsetki dolicza się do lokaty nazywa się okresem kapitalizacji. 68. Pan E chce ufundować rentę uczniowi. Jaką kwotę powinien wpłacić na początku roku do banku, aby uczeń mógł mieć wypłacane przez bank raz do roku zł przez kolejnych 10 lat? Pierwsza wypłata ma nastąpić pod koniec roku, w którym bank otrzymał pieniądze od pana E. Oprocentowanie w banku wynosi 7% w skali roku, kapitalizacja odsetek raz na rok. 69. Pan F zacząl palić papierosy w wieku 18 lat i od tej pory wydaje na papierosy średnio 70 zł miesięcznie. Jeśli roczny wydatek na papierosy wpłacałby do banku w końcu każdego roku, to jaką sumę zaoszczędziłby z końcem 60. roku życia? Zakładamy, że oprocentowanie w banku wynosi 6%, a kapitalizacja odsetek następuje raz na rok. 70. Znajdź wzór jawny na n ty wyraz ciągu (a n ) spełniającego równości: a) a 1 = 1, a n+1 = a n dla n IN. b) a 1 = 1, a n+1 = a 1 + a n + 1 dla n IN. n 71. Znajdź wzór rekurencyjny na: a) liczbę sposobów ułożenia prostokąta n z płytek o rozmiarach 1. b) liczbę sposobów ułożenia prostokąta n z płytek o rozmiarach 1 i. c) liczbę ciągów n elementowych o wyrazach 0,1, przy czym dwie jedynki nie mogą stać obok siebie.