ZAGADNIENIA WYBRANE. Wyboczenie sprężyste konstrukcji

Transkrypt

1 ZAGADNIENIA WYBRANE Wyboczenie sprężyste konstrukcji Utrata przez konstrukcję zdolności do przenoszenia obciążeń może nastąpić w różny sposób. W poprzednich rozdziałach kryterium oceny tej zdolności sformułowano w postaci warunku wytrzymałościowego lub warunku sztywnościowego. Przekroczenie naprężeń lub przemieszczeń dopuszczalnych dyskwalifikowało konstrukcję pod względem użytkowym, nie powodując jednak jej fizycznego zniszczenia. W projektowaniu pewnego typu konstrukcji, charakteryzujących się smukłością lub cienkościennością, pod uwagę musi być brane jeszcze inne kryterium oceny, a mianowicie ich podatność na wyboczenie. Przykładami takich konstrukcji są osiowo ściskane pręty, kolumny, cienkościenne płyty i powłoki, ramy i kratownice. Wyboczenie tych konstrukcji, utrata przez nie tzw. stateczności, prowadzi do ich nieuniknionego fizycznego zniszczenia. Wyboczenie jednego elementu pociąga za sobą zazwyczaj lawinowe zniszczenie powiązanych elementów. Utrata stateczności była przyczyną wielu głośnych katastrof budowlanych, takich jak zawalenia się budynków, mostów czy masztów radiowych. Przy projektowaniu konstrukcji prętowych, płyt, powłok itp. kryterium stateczności konstrukcji jest głównym kryterium wytrzymałościowym, spychającym na dalsze miejsce kryterium naprężeniowe i sztywnościowe. Badanie stateczności konstrukcji porównuje się z sytuacją kulki znajdującej się w polu grawitacyjnym (polu przyciągania ziemskiego. Dowolnie małe wychylenie kulki (zakłócenie) znajdującej się w najniższym punkcie wklęsłej powierzchni spowoduje zmianę jej położenia i powrót do położenia początkowego stan kulki można określić jako równowagę stałą (rys. a). Kulka znajdująca się w najwyższym punkcie powierzchni wypukłej (rys. b) teoretycznie znajduje się w równowadze, lecz jest to równowaga niestała (chwiejna), praktycznie nie do zrealizowania. Kulka znajdująca się na powierzchni płaskiej (rys. c) znajduje się w stanie określanym jako równowaga obojętna, gdyż jej stan jest taki sam w każdym miejscu na płaszczyźnie. 14 Zagadnienia wybrane.doc 160

2 Przykłady wyboczenia ściskanych konstrukcji cienkościennych Projektowanie konstrukcji cienkościennych: obliczanie tzw. obciążeń krytycznych (naprężeń krytycznych), poniżej których działanie obciążeń gwarantuje bezpieczną pracę konstrukcji (dobór współczynników bezpieczeństwa, wytyczne międzynarodowe, standardy krajowe i międzynarodowe, eurokody itp.). 14 Zagadnienia wybrane.doc 161

3 Zmęczenie materiału Zmęczenie materiału jest związane ze zmniejszeniem wytrzymałości elementów konstrukcyjnych poddanych działaniu okresowo zmiennych obciążeń. Zjawisko zmęczenia materiałów jest bardzo niebezpieczne, ponieważ zniszczenie elementu konstrukcyjnego lub części maszyny następuje nieoczekiwanie przy naprężeniach znacznie mniejszych od wytrzymałości doraźnej, wyznaczonej ze statycznej próby rozciągania. Zniszczenie następuje bez żadnych dostrzegalnych wcześniej odkształceń plastycznych. Zmęczenie materiałów ma olbrzymie znaczenie praktyczne, ponieważ większość współczesnych konstrukcji inżynierskich jest poddana działaniu zmiennych obciążeń (pojazdy, samoloty, maszyny z ruchomymi częściami). Przyczyną zmęczeniowego zniszczenia materiału jest zmienny stan naprężenia. Przebieg zniszczenia można prześledzić na przykładzie przełomu okrągłej próbki (np. osi wagonu kolejowego) przedstawionej na rysunku. Początek zniszczenia wału nastąpił w tzw. ognisku. Przyczyną zapoczątkowania procesu zmęczeniowego jest spiętrzenie naprężeń wywołane np. pęknięciem, rysą, wadą materiałową, karbem. Szczelina zmęczeniowa rozszerza się, penetruje w głąb przekroju następuje tzw. propagacja pęknięcia. Wał ulega zniszczeniu, gdy niezniszczona część wału nie jest w stanie przenieść obciążenia. W przełomie zmęczeniowym rozróżnia się dwie strefy. Strefa zniszczenia zmęczeniowego ma wygładzoną, błyszczącą powierzchnię z charakterystycznymi liniami, w których propagacja pęknięcia została np. na skutek zmniejszenia obciążenia zahamowana. Wygładzenie tej strefy wynika z tarcia powierzchni w czasie pracy. Druga strefa nosi nazwę strefy doraźnej (resztkowej) i ma wygląd gruboziarnisty, matowy. Istnieje wiele teorii na temat powstawania ogniska i propagacji szczelin zmęczeniowych. Większość z teorii przyjmuje dyslokacje i inne wady sieci krystalicznej za przyczynę tych zjawisk. 14 Zagadnienia wybrane.doc 162

4 WYTRZYMAŁOŚĆ ZMĘCZENIOWĄ MATERIAŁU CZASOWA (OGRANICZONA) WYTRZYMAŁOŚĆ ZMĘCZENIOWA N G = SPIĘTRZENIE NAPRĘŻEŃ Współczynniki spiętrzenia naprężeń ( współczynniki kształtu): K Najważniejsze czynniki wpływające na wytrzymałość zmęczeniową: typ obciążeń ( rozciąganie, ściskanie, zginanie, skręcanie, złożone stany obciążenia), widmo obciążenia (amplituda, wartość naprężenia średniego, częstość), geometria konstrukcji (kształt, głębokość, ostrość karbów), naprężenia własne (właściwy przebieg obróbki cieplnej), chropowatość powierzchni (mikrokarby, rodzaj obróbki wykańczającej), struktura materii (wielkość ziaren krystalicznych, skład chemiczny, niejednorodność budowy, wtrącenia), temperatura, środowisko pracy (korozja). max nom Metody energetyczne Tradycyjna wytrzymałość materiałów opiera się na ciągłym, jednorodnym modelu ciała sprężystego. Aby otrzymać rozwiązania problemów inżynierskich trzeba stosować różne uproszczenia, pomijać pewne czynniki, stosować przybliżone metody rozwiązywania równań. Obliczenia wytrzymałościowe oparte na klasycznych metodach prowadzą w wielu przypadkach do bardzo skomplikowanych zależności. Trudno jest też sobie wyobrazić ich stosowanie np. do prętów o zakrzywionej osi (łuków) w tym przypadku metody klasyczne są nieprzydatne. Wprowadzenie do wytrzymałości pojęcia energii potencjalnej pozwala na sformułowanie stosunkowo prostych metod umożliwiających określanie przemieszczeń konstrukcji czy rozwiązywanie zadań statycznie niewyznaczalnych. Dodatkową korzyścią jest zastosowanie prostych metod rachunkowych, wykorzystujących powszechnie znane metody analizy matematycznej (różniczki, całki). Metody wykorzystujące energię stanowią jedyne narzędzie pozwalające obliczać wytrzymałościowo ramy, łuki i zadania o wysokim stopniu statycznej niewyznaczalności. Metody oparte na energii wewnętrznych sił sprężystości, zwane metodami energetycznymi, stanowią powszechnie stosowane w praktyce narzędzie do obliczeń wytrzymałościowych zarówno elementów konstrukcyjnych, jak i całych konstrukcji. Znaczenie metod energetycznych wzrasta z rozwojem możliwości obliczeniowych współczesnej techniki komputerowej. Należy jednak pamiętać, że do prawidłowego stosowania metod energetycznych niezbędna jest odpowiednia znajomość wspomnianych klasycznych metod obliczeniowych., 14 Zagadnienia wybrane.doc 163

5 du Pojęcie energii potencjalnej wewnętrznych sił sprężystości (krótko energii sprężystej) nawiązuje do zagadnień znanych z dynamiki. W podejściu tym wykorzystuje się analogię do definicji pracy ciał sztywnych praca jest iloczynem siły na przesunięciu (drodze) i wyraża się za pomocą Nm (knm niutonometrów (dżuli J), kiloniutonometrów 1 ). Podejście wykorzystujące energię sił sprężystości wymaga przyjęcia pewnego modelu, określanego jako układ Clapeyrona (sprężystość liniowa, możliwość stosowania zasady superpozycji, równowaga układu). Dla układu Clapeyrona można wprowadzić dodatkowe pojęcia, upraszczające dalszą analizę. Pojęciami tymi są: Pręt uogólniony (pręt jednocześnie obciążony siłami osiowymi, siłami poprzecznymi, momentem skręcającym i momentem zginającym). Siła uogólniona (rozciąganie, ścinanie, skręcanie, zginanie). Przemieszczenie uogólnione (wydłużenia, ugięcia i obroty). Uogólnienie powyższych pojęć pozwala na wyprowadzenie ogólnych zależności i przystosowanie ich do konkretnych praktycznych sytuacji. Metody energetyczne są efektywnym narzędziem rozwiązywania złożonych problemów obliczeń wytrzymałościowych, polegających na wyznaczaniu przemieszczeń oraz rozwiązywaniu zadań wielokrotnie statycznie niewyznaczalnych. W oparciu o metody energetyczne można stosunkowo łatwo napisać programy komputerowe. Metody energetyczne są także podstawą metod elementów skończonych, współczesnego narzędzia szeroko obecnie stosowanego w projektowaniu konstrukcji inżynierskich wszelkiego typu. W poniższej tabeli przedstawiono w uproszczonej formie zależności pozwalające na zrozumienie energii sprężystej dla podstawowych modeli stosowanych w klasycznej wytrzymałości materiałów. Model N EA GJ S M S d Energia sprężysta ROZCIĄGANIE (ŚCISKANIE) PRĘTA Praca wykonana na wydłużeniu (skróceniu) liniowym pręta o długości siłą normalną N wynosi N du. EA 2 1 N Energia sprężysta: dv N du, 2 2EA gdzie: EA sztywność pręta na rozciąganie. SKRĘCANIE WAŁU OKRĄGŁEGO Moment skręcający M S wał o długości wykonuje pracę MS d. GJ 2 1 MS Energia sprężysta: dv MS d, 2 2GJS gdzie: GJ S sztywność wału na skręcanie. S 1 Dla odróżnienia dla momentu stosuje się zapis N m (kn m): niuton razy metr, kiloniuton razy metr. 14 Zagadnienia wybrane.doc 164

6 ZGINANIE PROSTE BELKI d ds d EJ M zg Moment zginający M zg belkę o długości wykonuje prace na kącie obrotu przekroju d. Na podstawie hipotezy płaskich przekrojów w zginaniu wyprowadzona jest zależność d 1 Mzg Mzg d. EJ EJ 2 1 Mzg Energia sprężysta: dv Mzg d, 2 2EJ gdzie: EJ sztywność belki na zginanie. ŚCINANIE BELKI (PRĘTA) GA T dy Siła poprzeczna T ścinająca belkę o długości wykonuje pracę na przemieszczeniu środka ciężkości przekroju dy. Działanie siły poprzeczne T wymaga przyjęcia szeregu uproszczeń opisanych w literaturze i wprowadzenia bezwymiarowego współczynnika kształtu przekroju. W rezultacie otrzymuje się wzór na energię sprężystą ścinanego pręta: 2 1 T dv T dy, 2 GA gdzie: współczynnik kształtu przekroju, GA sztywność belki na ścinanie. Uwaga związek między dy i jest szczegółowo opisany w literaturze. Energia sprężysta pręta uogólnionego pod działaniem sił rozciągających (ściskających), momentu skręcającego, momentu zginającego i sił ścinających wynosi: L 2 L 2 L 2 L 2 N M M S g T V, 2EA 2GJ 2EJ 2GA gdzie: A pole powierzchni przekroju [cm 2 ], L długość pręta L [m], E moduł Younga [MPa], G moduł Kirchoffa [MPa]. Dzięki wprowadzeniu uogólnionych pojęć sił i przemieszczeń można sformułować zależności szeroko stosowane w obliczeniach wytrzymałościowych. Podstawowym twierdzeniem w metodach energetycznych jest twierdzenie Castigliano (1873): i 0 V fi, P które mówi, że pochodna cząstkowa energii sprężystej układu względem siły uogólnionej jest równa przemieszczeniu uogólnionemu odpowiadającemu tej sile. Twierdzenie Castigliano jest stosowane do wyznaczania przemieszczeń układów statycznie wyznaczalnych. Nie przysparza ono żadnych trudności w zadaniach, w których poszukiwane przemieszczenie odpowiada rzeczywiście działającej sile. W zadaniach mających na celu poszukiwanie przemieszczeń w przekrojach, w których nie ma rzeczywistej siły, można dodać fikcyjne obciążenie odpowiadające szukanemu przemieszczeniu. Po zróżniczkowaniu energii to fikcyjne obciążenie należy przyrównać do zera Zagadnienia wybrane.doc 165

7 Obciążenie układu siłami zewnętrznymi czynnymi powoduje powstanie w podparciach (więzach) sił zewnętrznych biernych (reakcji). Dla podparcia sztywnego oraz bez tarcia przemieszczenie odpowiadające reakcji podporowej R i jest równe zeru. Wykorzystując twierdzenie Castigliano, powyższe stwierdzenie można przedstawić w postaci zależności V 0. R i W układzie sprężystym wszystkie siły czynne i wszystkie siły bierne są związane ogólnymi warunkami równowagi, wyrażonymi przez równania statyki. Powyższa zależność będzie prawdziwa tylko dla reakcji przyjętych za statycznie niewyznaczalne (nadliczbowe). Mówi o tym twierdzenie Menabre a (1857): w układzie liniowo-sprężystym sztywno podpartym pochodna cząstkowa energii sprężystej całego układu względem reakcji podporowej statycznie niewyznaczalnej jest równa zeru. Twierdzenie Menabre a pozwala na rozwiązywanie układów statycznie niewyznaczalnych. W układach z większą liczbą wielkości statycznie niewyznaczalnych należy zastosować twierdzenie Menabre a tyle razy, ile jest wielkości statycznie niewyznaczalnych. Twierdzenie Menabre a jest też zwane zasadą minimum energii lub zasadą najmniejszej pracy Menabre a. Za pomocą twierdzenia Castigliano można wyznaczać przemieszczenia w układach statycznie wyznaczalnych. Twierdzenie Menabre a pozwala na rozwiązywanie zadań statycznie niewyznaczalnych. Oba twierdzenia pozwalają na rozwiązywanie płaskich i przestrzennych konstrukcji typu ramy i łuki. 2 Metoda elementów skończonych Metoda elementów skończonych (MES) w ostatnich latach stała się powszechnie stosowanym narzędziem w praktyce inżynierskiej. Jej błyskawiczny rozwój oraz dalsze perspektywy są związane bezpośrednio z rozwojem informatyki (w zakresie hardware i software, sprzętu i oprogramowania). Niewiele jest dziedzin techniki, w których rozwój informatyki miałby tak znaczący wpływ na metody obliczeń, jak w przypadku obliczeń wytrzymałościowych. Tradycyjna wytrzymałość materiałów opiera się na ciągłym, jednorodnym modelu ciała sprężystego. Dla spotykanych w praktyce inżynierskiej zagadnień, polegających na wyznaczaniu naprężeń, przemieszczeń i innych wielkości (np. rozkładów temperatur), tylko w przypadku stosunkowo prostych modeli geometrycznych można otrzymać za pomocą metod analizy matematycznej (rachunek różniczkowy i całkowy) rozwiązania ścisłe, dokładne. Chodzi tu o takie rozwiązania, za pomocą których w dowolnych punktach konstrukcji można wyznaczyć interesujące konstruktora takie wielkości, jak naprężenia czy przemieszczenia. Aby otrzymać rozwiązania ilościowe trzeba stosować różne uproszczenia, pomijać pewne czynniki, stosować przybliżone metody rozwiązywania równań. Charakterystyczną cechą tych wszystkich uproszczeń i przybliżeń jest to, że dla ciągłego modelu geometrycznego otrzymuje się rozwiązania dla określonej liczby punktów. 2 Patrz: Ostwald M.: Podstawy wytrzymałości materiałów. Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej Ostwald M.: Wytrzymałość materiałów. Zbiór zadań. Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej Zagadnienia wybrane.doc 166

8 Metoda elementów skończonych polega na odejściu od ciągłego modelu konstrukcji na rzecz jej podziału na skończoną liczbę ściśle zdefiniowanych elementów elementów skończonych. Podział konstrukcji na elementy nazywa się dyskretyzacją konstrukcji, która ciągły model obliczeniowy zastępuje pewną skończoną liczbą elementów. W konstrukcjach dużych, złożonych można wydzielić pewne powtarzalne grupy elementów, które definiuje się jako tzw. superelementy, złożone z kolei z pewnej liczby elementów. Praktyczne stosowanie MES wymaga przede wszystkim dogłębnej znajomości wytrzymałości materiałów, jak również podstaw metod numerycznych i znajomości technik komputerowych. Jedną z najważniejszych czynności mających wpływ na końcowy wynik jest właściwy podział konstrukcji na odpowiednio dobrane elementy. Wymaga to umiejętności analizowania rozkładów naprężeń i przemieszczeń w konstrukcji oraz formułowania warunków brzegowych. Analiza otrzymanych wyników oraz wyciąganie właściwych wniosków również wymagają znajomości wytrzymałości materiałów. Niemożliwe jest traktowanie MES jako jednego z wielu narzędzi informatycznych, wymagającego jedynie znajomości posługiwania się komputerem. Rozwój MES, a także rozszerzanie zakresu jej zastosowań są nierozłącznie związane z rozwojem i możliwościami techniki komputerowej. Współczesne konstrukcje inżynierskie dzieli się na dziesiątki tysięcy elementów. Rozwiązanie takiego układu równań wymaga komputerów o odpowiedniej mocy obliczeniowej. Różnorodność spotykanych problemów technicznych powoduje, że współczesne sytemy komputerowe zawierają w swoich bibliotekach setki gotowych elementów z opcją umożliwiającą tworzenie własnych elementów. Wprowadzanie danych wejściowych, a także analiza wyników jest oparta przede wszystkim na wysoko wyspecjalizowanych procesorach graficznych. Współczesne zadania inżynierskie są rozwiązywane przez odpowiednio przygotowane systemy komputerowe. Każdy system komputerowy składa się z trzech zasadniczych części: preprocesora, umożliwiającego graficzne wprowadzanie danych wejściowych, dyskretyzację konstrukcji (automatyczną), dysponującego biblioteką elementów skończonych, umożliwiającego kontrolę poprawności dyskretyzacji, procesora, rozwiązującego z wymaganą dokładnością olbrzymie układy równań algebraicznych, obliczającego poszukiwane wielkości we wszystkich węzłach, postprocesora, przedstawiającego w zwartej postaci otrzymane wyniki, wykorzystującego możliwości graficzne współczesnych komputerów, tworzącego trwałe kopie otrzymanych wyników w postaci rysunków, wykresów, rozkładów poszukiwanych wielkości na płaszczyźnie i w przestrzeni. Do rozwiązywania dużych, skomplikowanych zadań inżynierskich wykorzystuje się wyspecjalizowane komputery, tzw. stacje robocze, dysponujące odpowiednio szybkimi procesorami (systemy wieloprocesorowe), dużą pamięcią operacyjną, monitorami o dużym ekranie i odpowiedniej rozdzielczości. Najbardziej obecnie znane systemy komputerowe MES to ALGOR, COSMOS i ABAQUS, umożliwiające rozwiązywanie szerokiej gamy zadań statycznych, dynamicznych, statecznościowych, dysponujące olbrzymimi bibliotekami gotowych elementów. Prawidłowe korzystanie z tych systemów wymaga przede wszystkim dogłębnej znajomości mechaniki i wytrzymałości materiałów, opanowania liczących często setki stron instrukcji użytkownika, jak również nabycia odpowiedniej praktyki 14 Zagadnienia wybrane.doc 167

9 obliczeniowej. Wymagania stawiane konstruktorom chcącym twórczo rozwiązywać za pomocą MES skomplikowane zagadnienia techniczne są olbrzymie, jednakże otrzymywanie zadowalających rezultatów innymi sposobami jest niemożliwe. Rysunek poniżej przedstawia przykłady zastosowania MES w różnych dziedzinach obliczeń wytrzymałościowych. Przykłady zastosowania metody elementów skończonych 14 Zagadnienia wybrane.doc 168

10 Współczesne materiały konstrukcyjne Współczesne konstrukcje inżynierskie coraz częściej stosują wielowarstwowe materiały kompozytowe (laminaty), których budowa nie spełnia przedstawionych powyżej warunków jednorodności i izotropowości. Wzorem dla materiałów kompozytowych są konstrukcje spotykane w naturze (pnie drzew, łodygi zbóż itp.). Przykład trójwarstwowej płyty z x y Przykłady zastosowania konstrukcji trójwarstwowych. Konstrukcje wielowarstwowe, oprócz spełnienia warunków wytrzymałościowych, są lekkie, sztywne i pozwalają na wykorzystanie warstwy wypełniającej do zwiększenia ich właściwości użytkowych (np. izolacje termiczne, miejsce na różne instalacje itp.) a) b) c) d) Przykłady niejednorodnych konstrukcji kompozytowych Projektowanie i obliczenia wytrzymałościowe konstrukcji kompozytowych wymagają stosowania skomplikowanych modeli matematycznych i metod ich rozwiązywania, opartych w głównej mierzy o metody numeryczne. 14 Zagadnienia wybrane.doc 169

11 POZNANIE MODELI, UPROSZCZEŃ I METOD KLASYCZNEJ WY- TRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW STANOWI NIEZBĘDNY WARUNEK PRAKTYCZNEGO ZASTOSOWANIA TYCH MATERIAŁÓW. Współczesne konstrukcje inżynierskie wymagające zastosowania odpowiednich metod projektowania i obliczania wytrzymałościowego (metody komputerowego wspomagania obliczeń CAx). Zastosowanie różnych materiałów w przekroju historycznym 14 Zagadnienia wybrane.doc 170

12 Współczesne konstrukcje lotnicze, a w ślad za nimi inne konstrukcje cechuje coraz szersze zastosowanie materiałów kompozytowych (materiały niejednorodne, anizotropowe, o nieliniowej charakterystyce) 3. 3 Porównaj model ciała w klasycznej wytrzymałości materiałow rozdział Zagadnienia wybrane.doc 171

13 14 Zagadnienia wybrane.doc 172