Maturalne. Matematyka. Poziom podstawowy i rozszerzony

Transkrypt

1 Maturalne Matematyka Poziom podstawowy i rozszerzony

2 4. Funkcje 4.36 Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f(x) =x - x 3. Naszkicuj wykresy funkcji f 1 (x) =-f(x), f (x) =f(-x), f 3 (x) =-f(-x) i wska, która z tych funkcji jest równa funkcji f Funkcja f dana jest wzorem f(x) = 1 x, x \ {0}. Wyka algebraicznie i graficznie, e f(-x) =f(x) Dana jest funkcja f, której zbiorem wartoêci jest przedzia 0; + ). Wykres funkcji f poddano jednemu z ni ej wymienionych przekszta ceƒ i uzyskano wykres funkcji g. Wska te przekszta cenia, dla których zbiory wartoêci funkcji f i g sà równe. a) przesuni cie o wektor [m, 0], m = 0 b) przesuni cie o wektor [0, m], m = 0 c) odbicie symetryczne wzgl dem osi x d) odbicie symetryczne wzgl dem osi y 4.39 Funkcja f jest funkcjà rosnàcà w przedziale (- ; m i malejàcà w przedziale m; + ). Podaj przedzia y monotonicznoêci funkcji f. Szkicowanie wykresów funkcji y = f(x) na podstawie wykresu funkcji y = f(x) Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f. Szkicowanie wykresu funkcji y = f(x) { f(x) dla f(x) 0 f(x) = -f(x) dla f(x) < 0 Dziedzinà funkcji f jest przedzia -;. Naszkicuj wykres funkcji g(x) = f(x) Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f, której dziedzinà jest zbiór liczb rzeczywistych. a) Naszkicuj wykres funkcji g(x) = f(x). b) Dla jakich wartoêci a, b zachodzi wzór f(x + a) + b = f(x)? 45

3 Matematyka. Poziom podstawowy i rozszerzony 4.4 Dziedzinà funkcji f jest zbiór liczb rzeczywistych, f(3) = -4, funkcja jest malejàca w przedziale (- ; 3)i rosnàca w przedziale 3; + ). Funkcja g dana jest wzorem g(x) =f(x) + 4. Naszkicuj wykres takiej funkcji f, aby warunek g(x) = g(x) nie by spe niony dla ka dego x. Szkicowanie wykresów funkcji, b dàcych efektem wykonania kilku operacji, np. y = f (x +) 3, na podstawie wykresu funkcji y = f(x) Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji f. Dziedzinà tej funkcji jest przedzia 0; 6). a) Naszkicuj wykres funkcji g danej wzorem g(x) = f(x + ). b) Odczytaj z wykresu miejsca zerowe funkcji g Podaj wzory funkcji f 1, f, f 3, f 4, wiedzàc, e ich wykresy powsta y z wykresu funkcji f(x) = x. a) b) c) d) 46

4 4. Funkcje 4.45 Na rysunkach naszkicowano wykresy czterech funkcji. Dopasuj wzory funkcji do wykresów. f(x) = x 3-4x - x + 4 g(x) = x 3 + 4x - x - 4 h(x) =- x 3-4x - x k(x) =- x 3-4x - x a) b) c) d) 4.46 Dane sà funkcje W(x) = x 3 - x - 11x + 1 dla x oraz H(x) =W(x + a) + b. Wyznacz warto- Êci a i b, wiedzàc, e H(7) = i H(x) dla x. a 4.47 Wyznacz wartoêci a, p, q, wiedzàc, e funkcja f dana wzorem f(x) = x - p + q o dziedzinie \ {3} jest rosnàca w przedziale ; 3), malejàca w przedzia ach (- ; oraz (3; + ) oraz f(0) = Dziedzinà funkcji f jest zbiór liczb rzeczywistych. Zbadaj graficznie, dla ilu ró nych argumentów wartoêç funkcji f jest równa a. a) f(x) = x + 3, a = 10 b) f(x) =- x + - 1, a = log 3 0,(3) c) f(x) = x - - 3, a = log d) f(x) = x , a =

5 Matematyka. Poziom podstawowy i rozszerzony 4.80 Dane sà funkcje f(x) = 3x - 3 i g(x) =- 3x - 3. Uzasadnij, e trójkàt ograniczony wykresami tych funkcji i osià x jest równoboczny Funkcja liniowa f ma wzór f(x) =(-p + 7)x - 4. Dla jakich wartoêci p: a) funkcja f jest nierosnàca, b) miejscem zerowym funkcji f jest x 0 =? 4.8 Funkcja liniowa g dana jest wzorem g(x) =(m - 8)x. Dla jakich wartoêci m funkcja f jest malejàca? 4.83 Jakie warunki spe niajà wspó czynniki a i b we wzorze funkcji f(x) =ax + b, je eli wiadomo, e: a) nierównoêç f(x) < 0 nie ma rozwiàzania, b) zbiorem rozwiàzaƒ nierównoêci f(x) < 0 jest zbiór niepusty? 4.84 Wyznacz wzór funkcji liniowej, tak aby spe nione by y warunki f(x 1 ) - f(x )=k(x 1 - x ) dla dowolnych x 1, x D f i f(k )= Wektor -fi a = [3, -1] jest zaczepiony w punkcie M =(-4, ). Niech (x, y) oznacza wspó rz dne koƒca dowolnego wektora równoleg ego do wektora -fi a i zaczepionego w punkcie M. Zapisz y jako funkcj x. Sporzàdzanie wykresów funkcji kwadratowych Naszkicuj wykres funkcji f. a) f(x) =-x + 4 b) f(x) = 3 x c) f(x) =(x-) + 5 d) f(x) =x + x e) f(x) =x + x + 1 f) f(x) =x Funkcja f ka dej liczbie rzeczywistej x z przedzia u -3; 3 przyporzàdkowuje jednà trzecià kwadratu tej liczby. a) Podaj wzór funkcji f. b) Naszkicuj wykres funkcji f. c) Odczytaj z wykresu najwi kszà oraz najmniejszà wartoêç funkcji f Funkcja f dana jest wzorem f(x) = funkcji f jest przedzia em 4; + )? x dla x. Dla jakiej wartoêci parametru a zbiór wartoêci a dla x < 4.89 Dana jest funkcja f(x) = -1 dla x < - x - 3 dla x > dla których równanie g(x) =p ma co najmniej trzy rozwiàzania. 3 - x dla - x. Funkcja g(x) = f(x). Podaj wszystkie wartoêci p, 5

6 4. Funkcje Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej Zapisz w postaci ogólnej wzór funkcji kwadratowej f, wiedzàc, e: a) a =3, b = -5, wykres funkcji przecina oê y w punkcie o wspó rz dnych (0, 6), b) a = -1, b = 11, f(0) = 0. Funkcja kwadratowa okreêlona jest wzorem f(x) =ax + bx + c dla a = 0. Jest to zapis funkcji kwadratowej w postaci ogólnej Zapisz w postaci ogólnej wzór funkcji kwadratowej, wiedzàc, e jej wykres przechodzi przez punkty o podanych wspó rz dnych. a) (0, 1), (1, 6), (-1, 0) b) (-1, 0), (1, 0), (0, -3) 4.9 Zapisz w postaci ogólnej wzór funkcji kwadratowej f, wiedzàc, e f(1) = -, f(-1) = -4, f(0) = Znajdê wspó rz dne wierzcho ka paraboli. a) y =5x - 5x + 5 b) y = x - 16x + 64 Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola. Wspó rz dne wierzcho ka paraboli x w = - b a, y w = - Δ 4a, gdzie Δ = b - 4ac Parabol o równaniu y =(x + 1) - 4 przesuni to o jednà jednostk w lewo wzd u osi x i o jednà jednostk w dó wzd u osi y. Znajdê wspó rz dne wierzcho ka paraboli, którà otrzymano w wyniku tego przesuni cia. Przesuni cie wykresu funkcji kwadratowej Funkcj f(x) =ax + bx + c mo na przedstawiç w postaci kanonicznej f(x) =a(x - x w ) + y w, gdzie x w, y w wspó rz dne wierzcho ka paraboli. Wykres tej funkcji uzyskuje si z przesuni cia wykresu funkcji y = ax o x w wzd u osi x i o y w wzd u osi y. Jest to przesuni cie o wektor [x w, y w ] Dopasuj wzory do wykresów funkcji. f(x) =x - 4x + 3, g(x) =x + 1, h(x) =-x - x - 1, k(x) =-x + 1 a) b) c) d) 53

7 Matematyka. Poziom podstawowy i rozszerzony Znajdowanie zwiàzków miarowych w figurach p askich, tak e z zastosowaniem trygonometrii, równie w zadaniach umieszczonych w kontekêcie praktycznym. Pola figur równoleg obok trapez trójkàt romb P = ah P = deltoid (a + b) h P = ah ab sin a P = P = ah P = ef P = ef 7.36 Proste k i l sà równoleg e. Uzasadnij, e narysowane figury majà równe pola Oblicz, o ile procent zwi kszy si pole figury F, je eli F jest: a) kwadratem i d ugoêç boku zwi kszono o 0%, b) prostokàtem i krótszy bok wyd u ono o 40%, a d u szy bok skrócono o 0%, c) równoleg obokiem i podstaw skrócono o 15%, a wysokoêç wyd u ono o 30%, d) trapezem i ka dà z podstaw wyd u ono dwukrotnie, a wysokoêç nie uleg a zmianie D ugoêci boków trapezu równoramiennego pozostajà w stosunku 4 :3:3:. Obwód trapezu jest równy 36. Oblicz: a) d ugoêci boków tego trapezu, b) pole powierzchni tego trapezu Oblicz pole deltoidu: a) o przekàtnych d ugoêci 10 i 14, b) w którym stosunek d ugoêci przekàtnych wynosi 4 :1, a suma ich d ugoêci jest równa Przekàtne deltoidu ABCD przecinajà si punkcie S. Ponadto AD = CD =5, AS =3, BS =9. Oblicz pole i obwód tego deltoidu W równoleg oboku d u sza przekàtna o d ugoêci 0 tworzy z d u szà podstawà kàt o mierze 0. Oblicz, z dok adnoêcià do 0,01, wysokoêç tego równoleg oboku. 7.4 W równoleg oboku o obwodzie 56 jeden bok jest o 00% d u szy od drugiego, a kàt ostry mi dzy bokami tego równoleg oboku ma miar 35. Oblicz: a) d ugoêci boków tego równoleg oboku, b) pole tego równoleg oboku (podaj wynik z dok adnoêcià do 0,01). 88

8 7. Planimetria 7.43 W trapezie równoramiennym podstawy majà d ugoêci 10 cm i 4 cm, rami ma d ugoêç 8 cm. Oblicz: a) cosinus kàta ostrego tego trapezu, b) tangens kàta ostrego tego trapezu (podaj wynik z dok adnoêcià do 0,01), c) przybli onà miar kàta rozwartego tego trapezu (podaj wynik w pe nych stopniach), d) pole tego trapezu (podaj wynik dok adny w centymetrach kwadratowych i wynik przybli ony w pe nych milimetrach kwadratowych) Obwód prostokàta jest równy 70, a przekàtna ma d ugoêç 5. Znajdê d ugoêci boków tego prostokàta Znajdê d ugoêci boków prostokàta o polu powierzchni 15 cm i obwodzie 3 cm WÊród prostokàtów o obwodzie równym 16, znajdê prostokàt o najwi kszym polu Obwód prostokàta P jest równy 40. Budujemy kwadrat K, którego bok ma d ugoêç równà d ugoêci przekàtnej prostokàta P. Dla jakich d ugoêci boków prostokàta P kwadrat K ma najmniejsze pole? 7.48 W okràg o promieniu 3 wpisano prostokàt ABCD, w którym AB = x. Nast pnie zbudowano kwadrat tak, aby odcinek BC by jego przekàtnà. Napisz wzór funkcji P, opisujàcej pole uzyskanego kwadratu w zale noêci od zmiennej x. OkreÊl dziedzin tej funkcji i naszkicuj jej wykres Oblicz, dla jakich wartoêci p liczby p +, p, 10 sà d ugoêciami boków: a) trójkàta, b) trójkàta równoramiennego Pi ciokàt wypuk y ABCDE ma obwód 4 dm. Obwód czworokàta ABCD jest równy 40 dm, obwód trójkàta AED jest równy 6 dm. Wyznacz d ugoêç przekàtnej AD Dane sà trzy odcinki o d ugoêciach x, y i z. Sprawdê, czy z tych odcinków mo na zbudowaç trójkàt. Je eli tak, to sprawdê, czy jest to trójkàt prostokàtny. a) x =5, y =, z = b) x =5, y =4, z = c) x = 3, y = 7, z = 10 d) x =3, y = 5 +, z = Znajdê d ugoêç odcinka, oznaczonà na rysunku literà x. a) b) c) d) 7.53 Liczby x - 7, x, x + 1 sà d ugoêciami boków trójkàta prostokàtnego. Wyznacz x Dwusieczne trójkàta ABC przecinajà si w punkcie D. Uzasadnij, e kàt ADB jest rozwarty. 89

9 Matematyka. Poziom podstawowy i rozszerzony 7.55 Punkt P le y na symetralnej odcinka AB. Znajdê odleg oêç punktu P od Êrodka S odcinka AB, wiedzàc, e: a) AB =10, AP =6, b) )<APB = 10, BP =4, c) PS = 1 AB, AP =4, d) AB =8,punkt P le y na okr gu o Êrednicy AB Dany jest trójkàt prostokàtny o przyprostokàtnych d ugoêci AB =4i BC =10. Wyznacz d ugoêci Êrodkowych trójkàta ABC, poprowadzonych z wierzcho ków A i C Trójkàt ABC jest wpisany w okràg o Êrodku S. Ponadto )<ASC = 140, )<ASB = 10. Wyznacz miar kàta SBC W trójkàcie równoramiennym ABC AC = BC =4oraz AB =6. Oblicz promieƒ okr gu opisanego na tym trójkàcie. Ârodkowa trójkàta to odcinek, àczàcy wierzcho ek trójkàta ze Êrodkiem przeciwleg ego boku. Okràg opisany na trójkàcie Symetralne boków trójkàta przecinajà si w jednym punkcie. Jest to Êrodek okr gu opisanego na tym trójkàcie Punkt O jest Êrodkiem okr gu wpisanego w trójkàt ABC. Znajdê miar kàta AOB wiedzàc, e: a) )<CAB =40 i )<ABC =80, b) )<ACB = 140 i AC = CB Wyka, e pole trójkàta jest równe p r, gdzie p po owa obwodu trójkàta, r promieƒ okr gu wpisanego w ten trójkàt Oblicz promieƒ okr gu wpisanego w trójkàt prostokàtny o przyprostokàtnych d ugoêci 6 cm, 8 cm. Okràg wpisany w trójkàt Dwusieczne kàtów trójkàta przecinajà si w jednym punkcie. Jest to Êrodek okr gu wpisanego w ten trójkàt. 7.6 Z wierzcho ków trójkàta zakreêlono trzy okr gi (wierzcho ki trójkàta sà Êrodkami okr gów), parami styczne zewn trznie. Promienie tych okr gów sà równe 3 cm, 4 cm i 5 cm. Wyznacz d ugoêci boków tego trójkàta Z wierzcho ków trójkàta ABC, w którym AB = 6, AC = BC = 8, zakreêlono trzy okr gi. Okr gi o Êrodkach w punktach A i B sà styczne zewn trznie. ównoczeênie oba te okr gi sà styczne wewn trznie do okr gu o Êrodku w punkcie C. Wyznacz promienie tych okr gów Dane sà dwa okr gi styczne wewn trznie. Promieƒ wi kszego okr gu jest równy 10, odleg oêç mi dzy Êrodkami okr gów jest równa 6. Ze Êrodka wi kszego okr gu poprowadzono styczne do mniejszego okr gu. Wyznacz przybli onà miar kàta mi dzy tymi stycznymi. Wynik zaokràglij do pe nych stopni. StycznoÊç dwóch okr gów Okr gi styczne zewn trznie S 1 S = r 1 + r Okr gi styczne wewn trznie S 1 S = r 1 - r 90

10 7. Planimetria 7.65 Pole ko a o promieniu 3 jest równe polu pewnego kwadratu. Znajdê d ugoêç boku tego kwadratu. Podaj wynik dok adny oraz przybli ony z dok adnoêcià do 0, ura o Êrednicy m b dzie pokryta warstwà izolacyjnà o gruboêci 80 mm. O ile wzroênie pole przekroju poprzecznego rury? 7.67 Oblicz pole i obwód ko a Oblicz obwód ko a. a) b) a) b) 7.69 Na trójkàcie prostokàtnym, o przyprostokàtnych d ugoêci a i b, w którym a + b = L = const, opisujemy okràg. Uzasadnij, e pole ko a, ograniczonego takim okr giem, jest równe co najmniej pl Dwa ko a majà jeden punkt wspólny, a suma d ugoêci ich Êrednic jest równa 0. a) Podaj wzór funkcji P, okreêlajàcej sum pól tych kó w zale noêci od promienia r jednego z nich. OkreÊl dziedzin funkcji P. b) Dla jakich wartoêci promieni obu kó suma ich pól jest najmniejsza? Pole ko a o promieniu r jest równe pr. Obwód ko a o promieniu r jest równy pr. Dla wycinka ko a o promieniu r, kàcie Êrodkowym a, polu P i uku d ugoêci L zachodzà proporcje: a = P 360 pr a 360 = L pr 7.71 Znajdê pole zaznaczonego wycinka ko a. a) b) 7.7 Oblicz pole zamalowanej figury. a) b) c) d) 91

11 Matematyka. Poziom podstawowy i rozszerzony 7.73 Dany jest trójkàt równoboczny o polu 9 3. Oblicz: a) wysokoêç tego trójkàta, b) promieƒ okr gu opisanego na tym trójkàcie, c) promieƒ okr gu wpisanego w ten trójkàt Niech P 1 oznacza pole ko a opisanego na trójkàcie równobocznym, a P pole ko a wpisanego w ten trójkàt. Wyznacz P 1. P Dla trójkàta równobocznego o boku a zachodzà wzory h = a 3, P = a 3, r = h, = 3 h, gdzie: h wysokoêç trójkàta, P pole powierzchni trójkàta, r promieƒ okr gu wpisanego w trójkàt, promieƒ okr gu opisanego na trójkàcie Z blachy, w kszta cie wycinka ko a o kàcie Êrodkowym 60 i promieniu 30 dm, chcemy wyciàç tarcz w kszta cie ko a. Wyznacz powierzchni najwi kszej takiej tarczy. Wynik zaokràglij do pe nych centymetrów kwadratowych Ciàg (p n ) to ciàg pól powierzchni szeêciokàtów foremnych, których obwody sà kolejnymi wielokrotnoêciami liczby 6. Zapisz wzór na wyraz ogólny ciàgu (p n ) W trójkàt równoboczny o boku d ugoêci a wpisano ko o K. Oblicz obwód ko a stycznego zewn trznie do ko a K i do dwóch boków trójkàta Przekàtne prostokàta o d ugoêci 8 tworzà kàt 60. Znajdê pole tego prostokàta Boki oêmiokàta foremnego, wpisanego w okràg o promieniu, przed u ono, uzyskujàc gwiazd równoramiennà. Oblicz pole tej gwiazdy Na podstawie danych z rysunków oblicz pole trapezu i pole rombu. a) b) 7.81 W rombie ABCD d ugoêç boku wynosi 1, a )<BAD =45. Niech S oznacza punkt przeci cia dwusiecznych kàtów wewn trznych tego rombu. Oblicz pole trójkàta ASD. 7.8 Oblicz w przybli eniu obwód trójkàta. a) b) 9

12 7. Planimetria 7.83 Nachylenie drogi na znakach drogowych jest podawane w procentach. Nachylenie p% oznacza, e tangens kàta nachylenia drogi do poziomu wynosi (w przybli eniu) p. Uzupe nij tabliczki ostrzegawcze na znakach drogowych. 100 a) b) 7.84 W trójkàcie ABC dane sà AB =5, AC =4, )<CAB =45. Znajdê pole tego trójkàta Boki równoleg oboku majà d ugoêci 6 i 4, a kàt rozwarty w tym równoleg oboku ma 150. Znajdê pole tego równoleg oboku WysokoÊç trójkàta równoramiennego ABC, opuszczona z wierzcho ka C na podstaw AB, ma d ugoêç, a kàt przy wierzcho ku C ma 10. Proste, zawierajàce wysokoêci tego trójkàta, przecinajà si w punkcie S. Znajdê wysokoêç trójkàta ABS, opuszczonà z wierzcho ka S Trójkàt jest zawarty w kwadracie o boku d ugoêci 1. Wyka, e pole tego trójkàta jest mniejsze od sinusa dowolnego kàta tego trójkàta W trapezie równoramiennym podstawa górna ma d ugoêç a, podstawa dolna jest dwa razy d u sza ni podstawa górna, a kàty przy podstawie dolnej majà po 60. Znajdê d ugoêç przekàtnej tego trapezu Wyka, e pole dowolnego czworokàta wypuk ego jest nie wi ksze ni a b + c d, gdzie a, b, c, d d ugoêci boków tego czworokàta Wyka, e pole dowolnego czworokàta wypuk ego jest nie wi ksze ni c d, gdzie c, d d ugoêci przekàtnych tego czworokàta W czworokàcie wypuk ym przekàtne majà d ugoêci 8 i 6, a kàt mi dzy nimi ma 30. Znajdê pole tego czworokàta. OkreÊlanie wzajemnego po o enia prostej i okr gu. 7.9 Trójkàt ABC, o boku AB d ugoêci 7, ma pole równe 14. Dla jakich wartoêci r okràg o Êrodku w wierzcho ku C i promieniu r przecina prostà, zawierajàcà bok AB, w dwóch punktach? 7.93 Dane sà dwa okr gi wspó Êrodkowe O 1 i O, o promieniach odpowiednio r 1 =6, r =. Prosta l jest styczna do okr gu O i przecina okràg O 1 w punktach P i Q. Oblicz PQ. 93