6. PODSTAWY PLANOWANIA EKSPERYMENTU

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "6. PODSTAWY PLANOWANIA EKSPERYMENTU"

Transkrypt

1 6. PODSTAWY PLANOWANIA EKSPERYMENTU 6.. Pojęcie i rola badań doświadczalnych Przez eksperyment rozumiemy badanie jakiegoś zjawiska, polegające na celowym wywoływaniu tego zjawiska lub jego zmian oraz obserwacji i pomiarach, umożliwiających wnioskowanie o jego właściwościach. Eksperyment przeprowadza się na drodze badań doświadczalnych mających na celu poznanie informacji o faktach, obiektach, zjawiskach bądź procesach. Na podstawie zgromadzonych informacji określa się model zjawiska, który stanowi jego reprezentację w postaci użytkowej wyrażającej istotne jego cechy. Istnieją modele lingwistyczne, fizyczne, matematyczne. Najczęściej stosowany model matematyczny jest opisem zjawiska za pomocą liczb, zmiennych, zbiorów, funkcji, relacji itd. Znajomość modelu matematycznego umożliwia przewidywanie przebiegu zjawiska lub zachowania obiektu w różnych warunkach. Podstawy teoretyczne badań doświadczalnych ujmuje dziedzina wiedzy nazywana teorią eksperymentu. Obejmuje ona następujące zagadnienia:. planowanie eksperymentów,. metodykę modelowania matematycznego, 3. technikę przeprowadzania pomiarów, 4. analizę wyników pomiarów. Zanim powstała teoria eksperymentu badania doświadczalne dotyczyły prostych obiektów o jednej wielkości wejściowej. Eksperyment polegał na przeprowadzeniu pomiarów wielkości wyjściowej y dla L arbitralnie wybranych wartości wielkości wejściowej x oraz wyznaczeniu funkcji aproksymującej y = f(x). Wraz ze wzrostem złożoności analizowanych obiektów, spowodowanym zwiększeniem liczby wielkości wejściowych, badania doświadczalne realizowano w oparciu o dwie metody: metodę badań kompletnych i monoselekcyjnych. W metodzie badań kompletnych doświadczenie odbywało się w następujący sposób: a) dla każdej zmiennej x k, k =,,..., s wybierano L wartości równomiernie rozmieszczonych w przedziale [x k min, x k max ], b) dla każdej kombinacji wartości wielkości wejściowych wykonywano pojedynczy pomiar, c) na podstawie przeprowadzonych pomiarów wyznaczano funkcję aproksymującą f( ). Graficzna interpretacja tej metody na przykładzie poszukiwania ekstremum obiektu o dwóch zmiennych wejściowych przedstawiona została na rys. 6.. Metoda badań kompletnych była skuteczną metodą identyfikacji funkcji obiektu badań dla jednej lub dwóch zmiennych wejściowych. Adoptowanie tej metody do obiektów o większej liczbie zmiennych prowadziło do eksplozji kombinatorycznej wynikającej z liczby koniecznych do wykonania pomiarów: n = L S (6.) Przykładowo dla s = 0, L = 0, oraz przyjmując czas trwania jednego pomiaru równy s uzyskujemy całkowity czas badań kompletnych wynoszący ponad 37lat! W celu ograniczenia liczby wykonywanych pomiarów opracowano metodę badań monoselekcyjnych, w której zastosowano procedurę właściwą obiektowi badań o jednym wejściu w odniesieniu do obiektu o wielu wejściach. W metodzie tej dla każdej zmiennej x k wybierano L wartości równomiernie rozmieszczonych w przedziale [x k min, x k max ]. Następnie

2 dokonywano pojedynczego wyboru (monoselekcji) kolejnych wartości x k i badano wpływ tej wielkości na wielkość wyjściową y. ymax y = f( x, x ) x x Rys. 6.. Plan kompletny dla dwóch zmiennych wejściowych Równocześnie przyjmowano, iż wartości pozostałych wielkości wejściowych są stałe: x q = const, q =,,..., s ; q k. W ten sposób całkowicie ignorowano współzależności między wielkościami wejściowymi i zamiast funkcji wielu zmiennych y = f(x, x,..., x k,..., x s ) uzyskiwano jedynie zbiór wielu funkcji jednej zmiennej y = f k (x k ) dla arbitralnych wartości pozostałych zmiennych (rys. 6.). x y max y = f( x, x ) x y = f (x ) x = x opt = const x opt x y y = f ( x ) x = const x opt x y Rys. 6.. Badania monoselekcyjne dla dwóch zmiennych wejściowych. Poszukiwane ekstremum funkcji nie zostaje wyznaczone

3 W porównaniu do metody badań kompletnych osiągnięto znaczną redukcję liczby koniecznych do przeprowadzenia pomiarów: n = L + s ( L ) k = (6.) Dla s = 0, L = 0, oraz przyjmując czas trwania jednego pomiaru równy s całkowity czas badań monoselekcyjnych uległ skróceniu do zaledwie 9s. Ze względu na ograniczenia metody kompletnej i monoselekcyjnej przy analizie złożonych obiektów zaistniała potrzeba opracowania nowych metod badawczych. Nastąpił rozwój teorii eksperymentu. Powstały metody planowania badań doświadczalnych, które umożliwiły zwiększenie ilości i jakości uzyskiwanej informacji naukowej. Zmniejszeniu uległa liczba koniecznych do przeprowadzenia pomiarów, a więc zredukowano koszty i czas trwania badań. Badania kompletne i monoselekcyjne pozostawiały swobodę wyboru wartości wielkości wejściowych (punktów pomiarowych) dla których realizowano eksperyment, natomiast wyniki pomiarów analizowano matematycznie dopiero po przeprowadzeniu doświadczenia. Wykorzystując zasady teorii eksperymentu ustala się wstępnie cel i metodę analizy wyników pomiarów, natomiast punkty pomiarowe generowane są na podstawie określonych procedur matematycznych. Pojedynczy punkt pomiarowy, będący s wymiarowym wektorem wartości wielkości wejściowych, nazywany jest układem planu eksperymentu, natomiast zbiór wszystkich punktów pomiarowych stanowi plan eksperymentu. W zależności od celu badań i stosowanych metod analizy uzyskuje się rozmieszczenie punktów, które pozwala na: - uwypuklenie poszukiwanych cech obiektu np. liniowości, współzależności zmiennych wejściowych, niezależności wielkości wyjściowej od wielkości wejściowych, - wyznaczenie ekstremum globalnego funkcji obiektu badań, - zmniejszenie nakładu obliczeniowego przy identyfikacji modelu obiektu. Jak wspomnieliśmy celem badań doświadczalnych jest zwykle wyznaczenie modelu obiektu badań. W ogólności rozróżnia się identyfikację strukturalną polegającą na ustalaniu struktury modelu i wyznaczeniu wartości jego parametrów, oraz identyfikację parametryczną polegającą na ustaleniu wartości parametrów modelu przy a priori danej strukturze modelu. Wyznaczenie dokładnego modelu badanego obiektu jest bardzo trudne ze względu na oddziaływanie na rzeczywisty obiekt wielu trudnych lub niemożliwych do zmierzenia zakłóceń losowych. Z tego względu w teorii eksperymentu stosuje się identyfikację parametryczną, w której przy założonej strukturze modelu i określonych danych wejściowych wyznacza się takie wartości parametrów, które zminimalizują niedokładność modelu. Przyjmuje się postać funkcji aproksymującej model obiektu (najczęściej wielomian algebraiczny) i wyznacza się wartości współczynników tego wielomianu korzystając z metody regresji. Planowanie eksperymentu odbywa się zatem według następującego scenariusza: a) charakterystyka obiektu badań polegająca na sformułowaniu zagadnienia wymagającego rozwiązania na drodze doświadczalnej, ustaleniu wielkości charakteryzujących obiekt badań (wielkości wejściowe, wyjściowe, stałe i zakłócające), oraz przyjęciu liczby poziomów zmiennych wejściowych, czyli wybranie wartości, które mogą przyjmować zmienne wejściowe, b) ustalenie celu badań doświadczalnych, którym może być: - identyfikacja modelu obiektu badań, - optymalizacja empiryczna wyznaczenie ekstremum globalnego modelu obiektu, 3

4 - badania eliminacyjne eliminacja wielkości wejściowych o nieistotnym znaczeniu, c) generacja lub wybór planu eksperymentu najlepiej dostosowanego do obiektu badań i przyjętego celu badań doświadczalnych, d) realizacja pomiarów w oparciu o wybrany plan doświadczenia, e) analiza danych empirycznych zmierzająca do osiągnięcia założonego celu badań doświadczalnych, f) analiza merytoryczna rezultatów przeprowadzonych badań polegająca na logicznej ocenie zjawisk związanych z badanym obiektem, g) sformułowanie wniosków poznawczych, praktycznych i rozwojowych z przeprowadzonych badań. W dalszej części niniejszego rozdziału omówione zostały podstawowe zagadnienia z zakresu planowania i analizy eksperymentu. Przedstawione wiadomości zaczerpnięto ze specjalistycznej literatury poświęconej metodologii prowadzenia badań empirycznych [-5], adresowanej do inżynierów różnych specjalności, zajmujących się doświadczalnictwem oraz identyfikacją modeli matematycznych obiektów. 6.. Charakterystyka obiektu badań Metody planowania eksperymentu mają charakter uniwersalny, niezależny od merytorycznego obszaru, w którym realizowany jest eksperyment. Uzyskano to dzięki wprowadzeniu uniwersalnego, przyczynowo-skutkowego modelu obiektu badań (rys. 6.3), który opisują następujące wielkości modelujące: a) niezależne wielkości wejściowe: {x, x,..., x k,..., x s }, k =,,..., s, b) zależne wielkości wyjściowe: {y, y,..., y p,..., y w }, p =,,..., w, c) wielkości stałe {c}, które mają wpływ na działanie układu, ale ich wartości są ustalone i niezmienne w czasie, przez co mogą zostać pominięte w analizie statystycznej, d) wielkości zakłócające {h}, których istnienie spowodowane jest oddziaływaniem losowych czynników w obiekcie badań na wielkości wyjściowe oraz niedoskonałościami metod i środków pomiarowych. Do wielkości wejściowych wlicza się te, których wpływ na wielkości wyjściowe interesuje realizatora badań. Mogą to być wielkości: fizyczne, chemiczne, techniczne, ekonomiczne i inne. W odniesieniu do każdej wielkości wejściowej określa się zakresy wartości x k min x k x k max, k =,,..., s zakładając, iż eksperyment jest fizycznie realizowalny jeżeli wartości mieszczą się w wyznaczonych przedziałach. W celu uniezależnienia się od fizycznej interpretacji oraz zmniejszenia błędów numerycznych podczas analizy danych empirycznych wielkości wejściowe normuje się do bezwymiarowego przedziału [-α, α]. Wielkość α jest nazywana ramieniem gwiezdnym i stanowi jeden z elementów charakteryzujących plan eksperymentu. Normowanie wielkości wejściowej x k realizowane jest zgodnie ze wzorem: ( x x ) α k k min x ( k = α (6.3) x x k max x x : x k : x s k min OBIEKT BADAŃ Rys Uniwersalny, statyczny model obiektu badań y y : y p : y w 4

5 Rzeczywistą wartość wielkości wejściowej uzyskuje się przez zastosowanie przekształcenia odwrotnego zwanego denormowaniem: ( x k = + α ( xk + α) ( xk max xk min ) xk min (6.4) Jeżeli wszystkie wielkości modelujące są niezależne od czasu wówczas mamy do czynienia z obiektem statycznym. W przeciwnym razie, jeżeli przynajmniej jeden z parametrów jest funkcją czasu, wówczas operujemy pojęciem obiekt dynamiczny. Metody identyfikacji obiektów dynamicznych są dużo bardziej złożone bowiem wymagają rozwiązywania równań różniczkowych i w związku z tym nie będą omawiane w tym podręczniku. Analizę obiektu badań opisanego liczbą w > wielkości wyjściowych sprowadza się przez dekompozycję do analizy w obiektów o jednym wyjściu. Dalsze rozważania będą dotyczyły obiektu zawierającego i-wejść x k, k =,,..., s oraz jedno wyjście y Metody planowania eksperymentu Kolejnym etapem badań doświadczalnych (po charakterystyce obiektu i ustaleniu celu badań) jest wyznaczenie zbioru punktów pomiarowych czyli generacja lub wybór planu eksperymentu. Algorytmy generacji planów ustala teoria eksperymentu na podstawie określonych reguł matematycznych. Prowadząc badania doświadczalne najczęściej wybieramy jeden plan z bazy planów eksperymentów dedykowany określonemu celowi badawczemu np. identyfikacji modelu liniowego, optymalizacji modelu liniowokwadratowego, badaniu wpływu poszczególnych składników na właściwości mieszaniny chemicznej. W zapisie matematycznym plan eksperymentu stanowi macierz x, x,..., xk,..., xs x, x,..., xk,..., xs...,...,...,...,...,... X = (6.5) xu, xu,..., xuk,..., xus...,...,...,...,...,... xn, xn,..., xnk,..., xns gdzie: n liczba układów planu eksperymentu; s liczba zmiennych wejściowych. Wiersz x u = [x u, x u,..., x uk,..., x us ] macierzy X stanowi układ planu eksperymentu. Istnieją różne klasyfikacje planów w zależności od struktury modelu identyfikowanego obiektu, parametrów wielkości modelujących oraz celu badań doświadczalnych. Liczba poziomów L zmiennych wejściowych x k determinuje plan L-poziomowy (dwupoziomowy, trójpoziomowy, wielopoziomowy). W zależności od proporcji liczby punktów pomiarowych n oraz liczby parametrów P identyfikowanego modelu wyróżnia się: a) plany nienasycone, w których n > P, b) plany nasycone, w których n = P. Rząd planu doświadczenia uzależniony jest natomiast od stopnia wielomianu aproksymującego model obiektu. Aproksymacja wielomianem algebraicznym stopnia i wymaga zastosowania planu i-tego rzędu. 5

6 W zależności od wpływu czasu na wartości zmiennych wejściowych wyróżniamy dwa rodzaje planów: a) statyczne wszystkie wielkości modelujące są niezależne od czasu, b) dynamiczne przynajmniej jedna z wielkości modelujących jest funkcją czasu. Najistotniejszym kryterium podziału jest przyjęty cel badań doświadczalnych. a) Weryfikację istotności wpływu wielkości wejściowych na wielkość wyjściową przeprowadza się w oparciu o plan randomizowany, który wprowadza element losowości do zbioru punktów pomiarowych. b) Identyfikację modelu obiektu badań najlepiej zrealizować w oparciu o plan zdeterminowany, którego układy determinują ustalone założenia teoretyczne. c) Przy wyznaczaniu ekstremum funkcji korzystamy z planu optymalizacyjnego. Największe praktyczne zastosowanie mają plany zdeterminowane, a wśród nich plany nazywane ułamkowymi lub poliselekcyjnymi. Zdeterminowane metody planowania opisane zostały w dalszej części tego rozdziału. Dokonano przy tym podziału w zależności od liczby poziomów zmiennych wejściowych. Jako szczególny przypadek planów zdeterminowanych, mających zastosowanie w badaniu zjawisk chemicznych, opisana została metoda planowania sympleksowego. Omówiono także technikę planowania optymalnego Planowanie dwupoziomowe Metoda planowania dwupoziomowego wykorzystywana jest do identyfikacji liniowych modeli obiektów. W metodzie tej każda zmienna wejściowa przyjmuje tylko dwie wartości (poziomy). Łączna liczba układów planu eksperymentu w planie dwupoziomowym wynosi S, gdzie s jest liczbą zmiennych wejściowych. Taki plan nosi nazwę dwupoziomowego całkowitego lub kompletnego i oznaczany jest symbolem S. Dla większej liczby zmiennych wejściowych przeprowadzenie eksperymentu całkowitego jest praktycznie niemożliwe ze względu na dużą liczbę koniecznych do przeprowadzenia pomiarów. W takim przypadku stosowane są plany ułamkowe (oznaczane symbolem S-P ) zawierające pewną liczbę układów z planu eksperymentu całkowitego. Istnieją zatem plany połówkowe, ćwiartkowe, ósemkowe itd. Unormowane zmienne wejściowe w planie dwupoziomowym przyjmują wartości x ( k ={ -, }. Rozmieszczenie układów planu całkowitego i ułamkowego (połówkowego) dla trzech zmiennych wejściowych we współrzędnych unormowanych podano na rys x ( 3 a) b) x ( 3 0 x ( 0 x ( x ( x ( Rys Rozmieszczenie we współrzędnych unormowanych układów planu dwupoziomowego: a) całkowitego, b) ułamkowego (połówkowego) 6

7 Wybór konkretnych układów nie może być przypadkowy, gdyż plan ułamkowy dla standaryzowanych zmiennych wejściowych powinien spełniać warunki: a) symetrii układów względem środka eksperymentu, b) ortogonalności, polegającej na zerowaniu wszystkich iloczynów skalarnych wektorów kolumnowych unormowanej macierzy X, c) równości sum kwadratów we wszystkich kolumnach unormowanej macierzy X Planowanie trójpoziomowe Metoda planowania trójpoziomowego umożliwia identyfikację kwadratowego modelu obiektu. W metodzie tej unormowane zmienne wejściowe przyjmują wartości x ( k ={ -, 0, }. W planie trójpoziomowym całkowitym (oznaczenie 3 S ) występuje bardzo gwałtowny wzrost liczby układów wraz ze wzrostem liczby wejść obiektu, stąd planowanie trójpoziomowe ma bardzo małe możliwości praktyczne. Identyfikacja modelu na podstawie planu trójpoziomowego jest bardziej skomplikowana niż na podstawie planu dwupoziomowego. Z tego powodu nie zostały opracowane plany eksperymentów trójpoziomowych ułamkowych Planowanie wielopoziomowe Planowanie wielopoziomowe zapewnia identyfikację modeli liniowo-kwadratowych. Szczególny przypadek planowania wielopoziomowego planowanie pięciopoziomowe stanowi rozszerzenie planowania dwupoziomowego i jest najczęściej wykorzystywane w praktyce. Wyróżniamy trzy zasadnicze typy planowania wielopoziomowego: ) planowanie kompozycyjne, ) planowanie ortogonalne, 3) planowanie rotabilne. Planowanie kompozycyjne jest rozwinięciem planowania dwupoziomowego typu S lub S-P o dwa rodzaje układów (dla zmiennych unormowanych): a) gwiezdne typu (0,..., 0, ±α, 0,..., 0), w których zmieniane są kolejno wartości zmiennych wejściowych między poziomami ±α dla pozostałych zmiennych na poziomie 0, przy czym wielkość α stanowi ramię gwiezdne planu, b) centralne typu (0, 0,..., 0) stanowiące centrum planu eksperymentu. Przykłady planów kompozycyjnych dla unormowanych zmiennych wejściowych przedstawia rys a) x ( α b) x ( 3 α 0 α x ( α 0 α x ( Rys Plany wielopoziomowe (kompozycyjne) we współrzędnych unormowanych dla różnej liczby zmiennych wejściowych: a) dwóch, b) trzech x ( 7

8 Liczba układów planu kompozycyjnego wynosi n = S + s + ( S układów planu dwupoziomowego, s układów gwiezdnych i jeden układ centralny). Stąd podstawową zaletą tego planu jest znaczne ograniczenie liczby układów w porównaniu do planu trójpoziomowego, w szczególności dla większych wartości s. Dobierając odpowiednią wartość ramienia gwiezdnego α w planie kompozycyjnym oraz zwiększając do n o liczbę układów w centrum planu można spełnić postulat ortogonalności planu doświadczenia. Uzyskujemy w ten sposób znaczne uproszczenie obliczeń przy wyznaczaniu parametrów modelu identyfikowanego obiektu oraz ocenie statystycznej otrzymanych współczynników. Plan spełniający postulat ortogonalności nazywany jest planem ortogonalnym. Wartość ramienia gwiezdnego planu ortogonalnego dla określonych wartości s i n o wyznaczamy ze wzoru [ n ( n + S + n ) n ] α = d d 0 d (6.6) gdzie: n d = S dla panu całkowitego lub n d = S-P dla planu ułamkowego. Planowanie rotabilne ma na celu spełnienie postulatu niezależności planu od obrotu układu współrzędnych w przestrzeni wielkości wejściowych. Zastosowanie planu rotabilnego umożliwia identyfikację modelu o wariancjach zależnych tylko od odległości od punktu centralnego eksperymentu. Warunek rotabilności planu jest spełniony, jeżeli wartość ramienia gwiezdnego wynosi α = 4 S dla panu całkowitego lub α = 4 S P dla panu ułamkowego. W tablicy 6.. podano zestawienie wartości ramienia gwiezdnego, zalecaną liczbę układów w centrum planu n o oraz łączną liczbę układów n planu rotabilnego dla liczby zmiennych wejściowych od do 6. Zestawienie optymalnych wartości parametrów dla planu rotabilnego s α,44,68,000,378,88 n o n Tablica Planowanie sympleksowe Specyficzny sposób planowania eksperymentu stosowany jest w przypadku badania właściwości mieszaniny zależnej od jej składu. Skład mieszaniny możemy opisać za pomocą wektora zmiennych x = [x, x,..., x s ], przy czym na zmienne te są narzucone następujące ograniczenia fizykalne: a) objętość mieszaniny jest stała, niezależna od jej składu: s k = b) zawartość każdego składnika w mieszaninie jest niezerowa: x k = const (6.7) x k 0, k =,,..., s (6.8) 8

9 Przykładowo dla mieszaniny zawierającej trzy składniki wszystkie możliwe składy mieszaniny leżą w przestrzeni trójwymiarowej na płaszczyźnie (warunek 6.7), ograniczonej trójkątem (warunek 6.8). Sytuacja taka została zilustrowana na rys a) x 3 b) x =0 x =0 x 3 = x =/ x =/4 x 3 =/4 x x x =0 x = x 3 =0 x = x =0 x 3 =0 Rys Płaszczyzna składów mieszaniny o trzech składnikach: a) w przestrzeni trójwymiarowej, b) w przestrzeni dwuwymiarowej W ogólnym przypadku przestrzeń dopuszczalnych wartości s składników mieszaniny jest sympleksem o s wierzchołkach na (s ) wymiarowej hiperpłaszczyźnie. W omawianych dotąd metodach planowania wartość wyjściową obiektu opisanego s zmiennymi wejściowymi traktowano jako funkcję s zmiennych niezależnych aproksymowaną za pomocą wielomianu algebraicznego stopnia R. W metodzie planowania sympleksowego natomiast zmienne wejściowe związane są zależnością sumacyjną (6.7), która zmniejsza liczę zmiennych niezależnych do s. Do opisu obiektu na który nałożone są ograniczenia (6.7) i (6.8) stosuje się wielomian zredukowany stopnia R, który uzyskuje się drogą odpowiednich przekształceń wielomianu algebraicznego stopnia R. Często zachodzi potrzeba ograniczenia dużej liczby współczynników wielomianów zredukowanych. Usuwając część z nich uzyskuje się uproszczone wielomiany zredukowane. Z uwagi na konieczność spełnienia warunków (6.7) i (6.8) sympleksowy plan eksperymentu może zawierać wyłącznie układy stanowiące punkty leżące na sympleksie s wymiarowym. Do wyznaczenia K współczynników wielomianu zredukowanego stopnia R dla s zmiennych stosowane są plany siatkowe całkowite typu {s, R}. Plan siatkowy całkowity {s, R} jest zbiorem układów określonych wzorami: s x R = 0,, k R R,..., oraz x k = (6.9) R Na rys. 6.7 podano przykładowe plany typu {3, R} mieszanin trójskładnikowych s = 3 stopnia R =,, 3, 4. k= x a) 3 = x b) 3 = c) x 3 = {3,} {3,} {3,3} x = x = x = x = x = x = Rys Całkowity plan sympleksowy dla trzech zmiennych stopnia: a) pierwszego, b) drugiego, c) trzeciego 9

10 Liczba układów planu całkowitego siatkowego wynosi: R + s n = R (6.0) Rys. 6.8 przedstawia rozmieszczenie układów planu typu {4, 3} mieszaniny czteroskładnikowej. Zasadniczą wadą planów siatkowych całkowitych typu {s, R} jest badanie właściwości mieszaniny przede wszystkim na granicy sympleksu. x = {4,3} x 4= x = x 3= Rys Całkowity plan sympleksowy trzeciego stopnia dla czterech zmiennych Wadę tę usuwa się stosując plany siatkowe ułamkowe typu {s}, stanowiące zbiór układów określonych wzorami: (, 0,..., 0), (,,0,..., 0 ), (,,,..., ) (6.) s s s s Przykład planu siatkowego ułamkowego przedstawia rys x 3 = a) b) x 4 = {3} {4} x 3 = x = x = x = x = Rys Ułamkowy plan sympleksowy dla trzech (a) i czterech zmiennych (b) Liczba układów planu siatkowego ułamkowego wynosi: n = s (6.) Plany siatkowe typu {s} stosowane są dla liczby składników s 5 ze względu na znacznie mniejszą liczbę współczynników wielomianów zredukowanych w odróżnieniu od planów typu {s, R} Planowanie optymalne Wraz z rozwojem technik obliczeniowych wymagania stawiane planom eksperymentu polegające na ułatwianiu obliczeń związanych z wyznaczaniem współczynników modelu stały się mało istotne. Postulowano natomiast opracowanie metod planowania zapewniających niezależne szacowanie współczynników modelu, ogólniejsze stawianie zadań planowania eksperymentu oraz zastosowanie do rozwiązywania tych zadań aparatu analizy matematycznej w postaci teorii miary. Nastąpił rozwój metod planowania optymalnego, w których analizując właściwości macierzy informacyjnej Fishera M (patrz punkt 6.5. Identyfikacja modelu obiektu 0

11 badań, wzór 6.33) optymalizowano wartości wariancji określonych parametrów w analizie modelu metodą regresji. Najpopularniejsze plany optymalne to plany: D-, E-, A-, G- oraz V- optymalne. Plan D-optymalny minimalizuje wartość uogólnionej wariancji parametrów modelu. Zadanie to sprowadza się do maksymalizacji wyznacznika macierzy informacyjnej M. Plan E-optymalny minimalizuje wartość największej wariancji parametrów modelu, poprzez maksymalizację najmniejszej wartości własnej macierzy M. Plan A-optymalny minimalizuje średnią wariancję parametrów modelu. Zadanie to polega na minimalizacji śladu macierzy kowariancyjnej C, będącej odwrotnością macierzy M. Plany G-(V-) optymalne polegają natomiast na minimalizacji największej (średniej) wartości wariancji prognozowanej wartości funkcji modelu (wzór 6.5) w punktach stanowiących plan eksperymentu. Z uwagi na szczególny charakter każdego przeprowadzanego eksperymentu wybór konkretnego planu pozostaje zawsze w gestii badacza, który często kieruje się własnymi kryteriami lub intuicją. Plan doświadczenia musi jednak spełniać podstawowe kryteria: informatywności, realizowalności i efektywności. Kryterium informatywności planu polega na jego zdolności do dostarczenia wymaganej ilości informacji potrzebnej do osiągnięcia założonego celu badań. Jeżeli np. celem badań jest wyznaczenie wielomianu aproksymującego stopnia i, o liczbie współczynników niewiadomych P, wówczas powinny być spełnione zależności: n P (6.3) L i + (6.4) gdzie: n liczba układów planu; L liczba poziomów każdej wielkości wejściowej. Zastosowanie tego kryterium do wyboru planu doświadczenia spowoduje odrzucenie planów nie spełniających warunków (6.3) i (6.4). Kryterium realizowalności planu polega na sprawdzeniu, czy analizowany plan jest możliwy do fizycznej realizacji na stanowisku badawczym, w szczególności czy badany obiekt będzie funkcjonował dla zadanego zbioru punktów pomiarowych. Plany nie możliwe do realizacji są odrzucane, a o ostatecznym wyborze decyduje kryterium efektywności. Kryterium efektywności dotyczy ograniczenia kosztów i czasu badań poprzez zmniejszenie liczby wykonywanych pomiarów. Ograniczenie liczby pomiarów zmniejsza jednak możliwość dokładnego wyznaczenia funkcji obiektu badań. Trzeba zatem pójść na kompromis między wzrostem dokładności identyfikacji funkcji obiektu uzyskiwanej przy zwiększaniu liczby pomiarów, a redukcją kosztów badań uzyskiwaną z kolei przy zmniejszaniu liczby pomiarów Realizacja pomiarów Dla każdego układu x u zawartego w macierzy planu eksperymentu X wykonywany jest pomiar, którego wynik stanowi u-element wektora kolumnowego wielkości wyjściowych y = [y, y,..., y u,..., y n ] T. W rzeczywistym obiekcie badań na wielkość wyjściową y oprócz wielkości wejściowych x k wpływają również wielkości zakłócające {h} mające charakter losowy. Wielkość wyjściowa y jest zatem zmienną losową, do której opisu stosuje się dwie miary:

12 a) położenia (np. wartość oczekiwana), b) rozproszenia (np. odchylenie standardowe). Wyznaczenie wartości parametrów statystycznych zmiennej losowej wymaga przeprowadzenia dodatkowych pomiarów (powtórzeń) w celu uzyskania próby z populacji generalnej. Przyjmuje się następujące warianty realizacji powtórzeń:. Dla każdego układu planu doświadczenia wykonuje się jednakową liczbę r powtórzeń. Wariant ten stosuje się wówczas, gdy na podstawie analizy obiektu badań można przypuszczać, że zakłócenia losowe zależą od wartości x k.. Jeżeli w planie doświadczenia występują jednakowe układy (np. plan ortogonalny, rotalny) wówczas dla każdego układu wykonuje się jeden pomiar, a powtórzenia uzyskuje się dzięki pomiarom wartości wielkości wyjściowej dla jednakowych układów. 3. Powtórzenia realizuje się niezależnie od planu doświadczenia dla arbitralnie wybranych wartości x k Analiza danych empirycznych Identyfikacja modelu obiektu badań Model obiektu badań przedstawia się w postaci zależności matematycznej nazywanej funkcją modelu, opisującej związek między wielkościami wejściowymi x, a wielkością wyjściową modelu ŷ : gdzie ŷ = f (x ; a) (6.5) a = [a, a,...a P ] T (6.6) jest wektorem P parametrów. Istotną kwestią jest ustalenie struktury modelu, a więc odpowiedni wybór funkcji modelu. Przy złym wyborze nie uzyskamy dostatecznego dopasowania wyników pomiarów do wartości wyjściowych modelu dla punktów pomiarowych nie wchodzących w skład planu doświadczenia. Przyjęty model nie będzie wówczas adekwatny do obiektu badań i uniemożliwi przewidywanie przebiegu zjawiska lub zachowania obiektu w różnych warunkach. Najczęściej stosowaną funkcją modelu jest liniowa kombinacja funkcji bazowych którą można zapisać w postaci wektorowej ŷ = a 0 f 0 (x) + a f (x) + + a P f P (x), (6.7) ŷ = [f(x)]a (6.8) gdzie: f(x) = [f 0 (x), f (x),..., f P (x)] jest wektorem funkcji bazowych. Jeżeli liczba pomiarów n wykonywanych w trakcie eksperymentu jest równa liczbie parametrów P (plan nasycony) wówczas identyfikacja parametryczna modelu opisanego funkcją (6.5) polega na rozwiązaniu układu P równań f [x (u), x (u),..., x i (u); a, a,..., a P ] = y(u), u =,,..., n (6.9) względem parametrów a, a,..., a P.

13 Jeżeli liczba pomiarów n jest większa od liczby parametrów P (plan nienasycony) wówczas identyfikację parametryczną przeprowadza się metodą regresji polegającą na znalezieniu takich wartości parametrów a, a,..., a P, dla których funkcja modelu aproksymuje, najlepiej w sensie przyjętego kryterium, wyniki pomiarów y przeprowadzonych dla ustalonego planu doświadczenia X. Najbardziej rozpowszechnioną metodą aproksymacji jest metoda najmniejszych kwadratów. W metodzie tej funkcjonałem podlegającym minimalizacji jest suma kwadratów błędów aproksymacji T [ ( u) ] = [ yˆ ( u) y( u) ] = ( yˆ y) ( yˆ y) = ϕ( a) S = (6.0) gdzie: ŷ jest wektorem kolumnowym wyjść modelu obliczonym ze wzoru (6.5), a sumowanie wykonuje się względem numeru pomiaru u =,,..., n. Minimalizacja funkcjonału (6.0) sprowadza się do poszukiwania minimum funkcji ϕ zależnej od P zmiennych rzeczywistych a, a,..., a P. Warunkiem koniecznym uzyskania minimum funkcji ϕ jest minimalizacja pochodnych cząstkowych ϕ = 0 ; p =,,..., P (6.) a p Warunek ten dla modelu liniowego względem funkcji bazy (6.7) jest również wystarczający. Dominującą postacią funkcji aproksymującej utworzonej na bazie modelu liniowego względem funkcji bazy jest wielomian algebraiczny drugiego stopnia, z podwójnymi iloczynami stanowiącymi tzw. interakcje, o ogólnej postaci: ˆ y = a0 + ax ai xi + ax aii xi + axx +... (6.) Przykładowo dla dwóch zmiennych wejściowych x i x wielomian drugiego stopnia przedstawia się następująco: 0 x x y ˆ = a + a x + a x + a x x + a + a (6.3) Wielomian ten można zapisać w postaci wektorowej (6.8) przyjmując następujące postacie funkcji bazowych: f (x) = ; f (x) = x ; f 3 (x) = x ; f 4 (x) = x x ; f 5 (x) = x ; f 6 (x) = x oraz zapisując wektor funkcji bazowych oraz wektor parametrów w postaci: (6.4) f(x) = [ x x x x x x ], a = [a 0 a a a a a ] T (6.5) W oparciu o macierz planu doświadczenia X oraz na podstawie zdefiniowanych funkcji bazowych (6.4) tworzona jest macierz F o wymiarze n N b, która odgrywa rolę macierzy obserwacji nowych zmiennych wejściowych. Liczba tych zmiennych jest równa liczbie identyfikowanych parametrów N b. Tworzenie macierzy F polega na wykonaniu na argumentach x ku macierzy X operacji określonych przez poszczególne funkcje bazowe. Dla wielomianu drugiego stopnia macierz F ma postać: 3

14 , x, x, xx, x, x, x, x, xx, x, x,...,...,...,...,... F = (6.6), xu, xu, xuxu, xu, xu,...,...,...,...,..., xn, xn, xnxn, xn, xn Identyfikacja parametryczna modelu dla planu nasyconego sprowadza się do rozwiązania układu równań Fa = y (6.7) Dla planu nienasyconego układ ten jest sprzeczny ze względu na błędy pomiarów wielkości wyjściowej y i/lub nieodpowiedni dobór struktury modelu. W takiej sytuacji wykorzystując warunek minimalizacji funkcjonału danego wzorem (6.0) rozwiązuje się tzw. równania normalne określone wzorem F T Fa = F T y (6.8) Jeżeli w trakcie wykonywania pomiarów przyjęto liczbę powtórzeń u-tego układu planu doświadczenia równą r u wówczas równania normalne zapisuje się w postaci F T RFa = F T R y (6.9) gdzie R jest macierzą diagonalną powtórzeń pomiarów o wymiarze n n: R = diag (r, r,..., r n ) (6.30) Wektor y jest natomiast wektorem wartości średnich wielkości wyjściowej dla kolejnych układów planu doświadczenia [ y y,..., y ] T u y y = (6.3),,..., n y u = r r u u j= y ( j) u (6.3) Rozwiązanie układu równań (6.8) wymaga w pierwszej kolejności wyznaczenia macierzy informacyjnej Fishera o postaci: M = F T RF (6.33) Następnie oblicza się wyznacznik macierzy informacyjnej i sprawdza warunek det (M) 0 (6.34) Jeżeli warunek ten nie jest spełniony wówczas macierz M jest osobliwa i należy zmodyfikować plan doświadczenia. W przeciwnym razie oblicza się macierz odwrotną (kowariancyjną) C = M - i rozwiązuje układ równań normalnych ze wzoru a = CF T R y (6.35) 4

15 Metoda najmniejszych kwadratów rozwiązywania układu równań normalnych jest szczególnie przydatna do aproksymacji wyników pomiarów wielomianami liniowymi oraz wielomianami drugiego stopnia. Dla wielomianów wyższych rzędów mogą wystąpić trudności w ocenie zgodności funkcji modelu z zachowaniem się obiektu badań w pełnym zakresie wartości wejściowych. Do identyfikacji modeli obiektów, oprócz wielomianów algebraicznych, można stosować również inne postacie funkcji aproksymujących: ax - funkcje eksponencjalne, np. y = a0e a - funkcje potęgowe, np. y = a0x Warunkiem zastosowania metody najmniejszych kwadratów jest wówczas przeprowadzenie linearyzacji funkcji poprzez zastosowanie nowych zmiennych pomocniczych. Zaleca się przeprowadzanie aproksymacji dla unormowanych wartości wielkości wejściowych. Zmniejszeniu ulegają wówczas błędy obliczeń numerycznych spowodowane zaokrągleniami przy wielokrotnym wykonywaniu operacji matematycznych. Możliwa jest również weryfikacja istotności współczynników funkcji testem t-studenta. Przedstawiona metoda rozwiązywania układu równań normalnych wymaga obliczenia macierzy odwrotnej. Operacja odwracania macierzy jest jednak złożona obliczeniowo i podatna na błędy numeryczne wynikające z zaokrągleń pośrednich wyników obliczeń. Z tego względu opracowano szereg metod rozwiązywania układów równań nie wymagających przeprowadzania operacji odwracania macierzy np. metoda eliminacji Gaussa-Jordana, rozkład względem wartości szczególnych SVD, metody dekompozycji LU, Choleskiego i QR. Każda z wymienionych metod odznacza się pewnymi właściwościami, które predestynują ją do rozwiązania układu równań normalnych (6.8), utworzonego na podstawie wybranego planu doświadczenia i z którym związana jest określona struktura macierzy informacyjnej M. Identyfikację modelu można zrealizować poprzez interpolację wyników pomiarów funkcjami sklejanymi splajnami (ang. spline). Metoda ta polega na interpolowaniu kolejnych par danych {x u, y u } wielomianami algebraicznymi stopnia m w taki sposób, aby uzyskać funkcję gładką tzn. ciągłą i mającą ciągłe pochodne do rzędu m włącznie na całym przedziale [x k min, x k max ]. Konieczne jest również spełnienie twierdzenia o jednoznaczności funkcji sklejanej, orzekające że m pochodne dla argumentów x k min i x k max powinny wynosić zero. Zastosowanie metody interpolacji funkcjami sklejanymi jest uzasadnione dla małych wartości błędów pomiarów wielkości wyjściowej y Weryfikacja adekwatności modelu obiektu Model obiektu opisuje jego właściwości i zachowanie tylko w przybliżeniu. Spowodowane jest to niedokładnością wyznaczenia parametrów modelu oraz nieadekwatnością struktury modelu. Na niedokładność wyznaczenia parametrów modelu mają wpływ następujące czynniki: - błędy przyjętej metody identyfikacji parametrów modelu, - błędy obliczeń numerycznych, - błędy danych użytych do identyfikacji parametrów modelu. Nieadekwatność struktury modelu wynika natomiast z trzech czynników: - pominięcia wśród wielkości modelujących obiekt, czynników istotnych dla przebiegu zjawisk w obiekcie, - niewłaściwą specyfikacją wielkości modelujących obiekt, 5

16 - przyjęciem niewłaściwego typu równania modelu. Oceny adekwatności modelu dokonuje się na dwa sposoby. Pierwsza metoda polega obliczeniu wartości błędu aproksymacji wybraną funkcją f( ) i porównaniu jej z pewną arbitralnie wybraną wartością dopuszczalną e d. Jeśli obliczona wartość błędu e max jest mniejsza od e d wówczas uznaje się wyznaczony model za adekwatny. Najczęściej stosuje się następujące definicje błędów aproksymacji: a) maksymalny bezwzględny błąd aproksymacji b) maksymalny błąd względny ε = max y ˆ (6.36) max u y u c) błąd średniokwadratowy y ˆ max max u yu δ = 00% (6.37) yu n u= ( y yˆ ) δ max = (6.38) n gdzie: y u wartość wielkości wyjściowej w u-układzie planu doświadczenia, ŷ u wartość wielkości wyjściowej obliczonej z wyznaczonej funkcji aproksymującej, n liczba układów planu doświadczenia. Innym sposobem jest zastosowanie statystycznego testu istotności testu F (Snedecora), w którym weryfikuje się statystycznie hipotezę: u u H: σ a σ, (6.39) porównując wariancję błędów aproksymacji (wariancję adekwatności) σ a z wariancją niedokładności pomiarów wielkości wyjściowej σ. Przyjmuje się następujące hipotezy: ) hipoteza zerowa H 0 : σ a = σ oznaczająca, iż model jest adekwatny, ) hipoteza alternatywna: H : σ a > σ oznaczająca, iż model nie jest adekwatny. Procedura weryfikacji statystycznej dla jednakowej liczby powtórzeń r we wszystkich układach planu eksperymentu jest następująca: a) Oblicza się wartość funkcji testowej przy czym: σ a F =, (6.40) σ n ( yu yu ) r σ a = ˆ (6.4) f u= 6

17 r σ = σ u, f n u= r j= ( j) ( y y ) u u σ u = (6.4) r W powyższych wzorach f = n(r ) jest liczbą stopni swobody wariancji σ, natomiast f = n N b jest liczbą stopni swobody wariancji σ a. b) Na podstawie rozkładu F (Snedecora) odczytuje się z tablicy statystycznej wartość krytyczną F α, f, f odpowiadającą założonemu poziomowi ufności α. c) Sprawdza się warunek F F α, f, f. Jeśli warunek jest spełniony wówczas nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej i przyjmuje się, że model jest adekwatny. W przeciwnym razie prawdziwa jest hipoteza alternatywna, czyli model nie jest adekwatny. Stwierdzenie na podstawie jednej z wymienionych metod nieadekwatności modelu obiektu oznacza konieczność ponownego przeprowadzenia aproksymacji funkcją o innej postaci lub zwiększenie liczby pomiarów dla każdego układu planu doświadczenia Weryfikacja istotności współczynników funkcji aproksymującej Charakteryzując obiekt badań przyjmuje się określoną liczbę zmiennych wejściowych. Nie ma jednak pewności czy wszystkie zdefiniowane zmienne wejściowe mają wpływ na działanie obiektu. Stwierdzenie braku skorelowania określonej zmiennej wejściowej x k ze zmienną wyjściową y umożliwia uproszczenie modelu badań poprzez usunięcie zmiennej x k. Działanie takie jest uzasadnione głównie ze względów ekonomicznych, gdyż prostszy model oznacza mniejszą ilość sprzętu technicznego nie-zbędnego do przeprowadzenia pomiarów oraz uproszczenie obliczeń matematycznych. Informacja o wpływie kolejnych wielkości wejściowych x k na wielkość wyjściową y jest ukryta w wartościach współczynników funkcji aproksymującej. Przykładowo jeśli wszystkie współczynniki przy x wynoszą zero tzn. a = a = a = 0 wówczas można stwierdzić, że wielkość wyjściowa y nie zależy od wielkości wejściowej x. Gdyby natomiast współczynniki przy x wynosiły: a = a = 0 oraz a 0 wówczas można wyciągnąć wniosek, że wielkość x wpływa na wielkość wyjściową, ale tylko liniowo. Jak widać analiza współczynników funkcji aproksymującej jest bardzo istotna dla realizatora badań, który uzyskuje w ten sposób istotne informacje o sposobie działania obiektu. Analiza ta nosi nazwę weryfikacji istotności współczynników funkcji aproksymującej. Realizowana jest w oparciu o test t-studenta oraz ocenę wartości kowariancji wszystkich par współczynników {a i, a j } funkcji aproksymującej f( ). Kowariancję współczynników a i oraz a j oblicza się ze wzoru: cov(a i, a j ) = c ij σ (6.43) gdzie c ij jest elementem macierzy kowariancyjnej C stanowiącej odwrotność macierzy informacyjnej M (wzór 6.3). Wykrycie nieistotnych współczynników funkcji aproksymującej na podstawie testu t-studenta lub ich wzajemnego skorelowania (niezerowej wartości kowariancji) wskazuje na konieczność uproszczenia modelu. Po wyznaczeniu funkcji aproksymującej należy ponownie przeprowadzić weryfikację jej adekwatności. Dopiero pozytywne przejście tej weryfikacji jest podstawą eliminacji nieistotnych współczynników. 7

18 Optymalizacja funkcji aproksymującej Optymalizacja wyznaczonej funkcji aproksymującej f( ) polega na znalezieniu ekstremum globalnego (maksimum lub minimum) w zadanych przedziałach wartości wielkości wejściowych [x k min, x k max ]. Istnieje wiele metod optymalizacji dedykowanych określonym rodzajom funkcji, jednak żadna z metod nie ma charakteru uniwersalnego gwarantującego uzyskanie ekstremum globalnego dowolnej funkcji wielu zmiennych. Metody gradientowe optymalizacji bazują na obliczeniach wartości pochodnych (cząstkowych, kierunkowych) optymalizowanej funkcji i wymagają spełnienia warunku różniczkowalności funkcji w całym zakresie zmienności wartości wielkości wejściowych, co przy pewnych postaciach funkcji aproksymujących nie jest spełnione. Ponadto algorytmy te cechuje skłonność do utykania w ekstremach lokalnych bez gwarancji osiągnięcia ekstremum globalnego. Z tego względu opracowano szereg algorytmów bezgradientowych (np. metoda Monte Carlo, metoda symulowanego wyżarzania, metoda wg Gaussa-Seidela), które w obliczeniach nie wykorzystują pochodnych optymalizowanej funkcji. Algorytmy te są mniej efektywne od algorytmów gradientowych pod względem dokładności wyznaczania ekstremum i cechuje je także znaczne wydłużenie procesu obliczeniowego. W przeciwieństwie do metod gradientowych są jednak skuteczniejsze w wyznaczaniu ekstremów globalnych. Z uwagi na wady każdej z dostępnych metod optymalizacji zaleca się równoczesne wykonywanie obliczeń z zastosowaniem dwóch lub trzech algorytmów oraz wybór najlepszego wyniku Analiza merytoryczna wyników badań doświadczalnych Istotnym krokiem realizacji eksperymentu jest analiza merytoryczna wyników przeprowadzonych badań. Sposób jej realizacji jest uzależniony od natury obiektu badań. Obiekt fizyczny wymaga na przykład odrębnej analizy niż obiekt chemiczny, a jeszcze innej niż obiekt ekonomiczny. Niezależnie jednak od natury obiektu należy poddać ocenie poprawność realizacji badań i skuteczność zastosowanych metod analizy danych empirycznych. Wyznaczenie funkcji aproksymującej modelu obiektu oraz przeprowadzenie jej optymalizacji powinno być uzupełnione sporządzeniem odpowiednich wykresów, które pozwolą zweryfikować stopień osiągnięcia założonych na wstępie celów eksperymentu naukowego. Wykres funkcji aproksymującej można przedstawić na płaszczyźnie lub w przestrzeni tylko dla jednej lub dwóch zmiennych wejściowych. Dla większej liczby zmiennych sporządza się wykresy zależności zmiennej wyjściowej od każdej zmiennej wejściowej z osobna, przy ustalonych wartościach pozostałych wielkości wejściowych. Wartości te można wybrać arbitralnie lub przyjąć wartości optymalne, dla których funkcja aproksymująca osiąga ekstremum. Uzyskujemy wówczas tzw. cięcia przestrzeni wielowymiarowej w ekstremum globalnym. Ostatecznie można sformułować wnioski poznawcze, praktyczne i rozwojowe z przeprowadzonych badań, które mogą dotyczyć poznania nowych zjawisk, wdrożenia nowych technologii oraz wskazać zagadnienia wymagające dalszego rozpoznania na drodze doświadczalnej. 8

19 6.7. Inteligentne systemy planowania eksperymentu Kluczową rolę w rozwoju nowoczesnych metod planowania eksperymentu zaczynają odgrywać systemy inteligentne wywodzące się z obszaru inżynierii systemów inteligentnych (ang. Intelligent Systems Engineering). Powstała koncepcja drugiej generacji planów eksperymentu (GD), tzw. planów inteligentnych eksperymentu (akronim: InDE). Konieczność wprowadzania nowych metod planowania wynika z istotnych ograniczeń dotychczasowych metod, określanych jako pierwsza generacja planów eksperymentu (GD). Metodologia teorii eksperymentu w pierwszej generacji planowania eksperymentów wymagała dopasowania przeprowadzanego eksperymentu do jednego z istniejących planów. Plany drugiej generacji są natomiast generowane poprzez inteligentne dostosowywanie do warunków realizacji eksperymentu. Na gruncie nowych metod planowania dominujące dotychczas procedury weryfikacji postawionych hipotez są wypierane przez metody eksploracyjne (Data Mining). Wśród nich można wymienić metodę rekurencyjnego podziału (analizę dyskryminacyjną), metody wizualne, sztuczne sieci neuronowe i algorytmy genetyczne. Metody eksploracyjne oparte na sztucznych sieciach neuronowych stosowane do aproksymacji funkcji badanego obiektu marginalizują aproksymację numeryczną. Metody numeryczne wymagają bowiem dokonania wielu założeń, które często nie mają fizycznego odzwierciedlenia w rzeczywistych obiektach. Można tu wymienić następujące ograniczenia:. Konieczność realizacji eksperymentu dla ściśle określonego zbioru wartości wejściowych występujących w wybranym planie eksperymentu, pomimo iż wartości te mogą znacznie różnić się od obowiązujących standardów lub też nie być realizowalne w praktyce,. Zachowanie stałej dla wszystkich wielkości wejściowych liczby wartości wielkości wejściowych, co może odbiegać od fizycznych możliwości generacji poszczególnych sygnałów wejściowych obiektu, 3. Rozmieszczenie układów planu eksperymentu zwykle z zachowaniem określonej symetrii tworzącej regularny obszar wielkości wejściowych, co nie jest skutecznym mechanizmem identyfikacji funkcji rzeczywistych obiektów. Warunki te można odrzucić, jeżeli wyniki pomiarów uzyskane w oparciu o inteligentny plan eksperymentu będą stanowiły dane do aproksymacji neuronowej. W ten sposób można indywidualnie generować plan eksperymentu do założonych z góry cech właściwych konkretnemu obiektowi badań i warunków realizacji eksperymentu. Istotna zaleta planu inteligentnego polega na możliwości jego wielokrotnego generowania, aż do uzyskania rezultatu spełniającego postulaty badacza Komputerowe wspomaganie badań doświadczalnych Jeszcze do niedawna złożoność obliczeniowa stosowanych algorytmów matematycznych stanowiła istotną przeszkodę w rozwoju teorii eksperymentu. Żmudne i czasochłonne obliczenia wymuszały opracowywanie specjalnych planów eksperymentu ułatwiających obliczenia oraz ograniczenie liczby przeprowadzanych analiz. Obecnie dysponujemy znacznymi mocami obliczeniowymi jakie oferują nam komputery osobiste i problem złożoności obliczeniowej algorytmów nie ma już istotnego znaczenia. Szeroko rozpowszechnione jest oprogramowanie CADEX/DOE (akronim: Computer Aided Design and Analysis of Experiments / Design of Experiments) wspomagające prowadzenie badań doświadczalnych (tablica 6.). 9

20 Najbardziej znane oprogramowanie CADEX/DOE nazwa programu Design Expert DAX-Expert System ekspertowy planowanie i analiza eksperymentu STATISTICA moduł Planowanie Doświadczeń STATGRAPHICS PLUS Matlab Statistics Toolbox JMP The Statistical Discovery Software Tablica 6.. firma lub uczelnia oferująca program Stat-Ease Politechnika Krakowska StatSoft Manugistics MathWorks SAS Institute Oferowane oprogramowanie CADEX/DOE zawiera obszerną pomoc elektroniczną wyjaśniającą wiele spraw związanych z planowaniem eksperymentu i podającą wskazówki ułatwiające realizację badań doświadczalnych. Obsługa programów wymaga jednak od użytkownika gruntownego przygotowania merytorycznego oraz umiejętności interpretacji prezentowanych wyników analiz. Przykład Rozważmy eksperyment polegający na identyfikacji modelu zjawiska ruchu pocisku balistycznego wystrzelonego z wyrzutni z prędkością początkową v 0 i ustawionej pod kątem ϕ do powierzchni Ziemi. Analizujemy wpływ dwóch wielkości wejściowych: x = v 0 i x = ϕ na zasięg pocisku y = s, tj. dystans pomiędzy wyrzutnią a miejscem zetknięcia się pocisku z Ziemią. Wprowadzamy następujące ograniczenia na wartości zmiennych wejściowych: ) zakres wysokości ustawienia działa: v 0min = 00 m/s, v 0max = 00 m/s, ) zakres kąta ustawienia działa: ϕ min = 0,75rad = 0, ϕ max =,396rad = 80. Celem badań jest wyznaczenie funkcji modelu procesu w postaci wielomianu algebraicznego drugiego stopnia o postaci: x 3 x x 5 3x x y ˆ = a x + a + a (6.44) oraz przeprowadzenie optymalizacji funkcji modelu polegającej na znalezieniu ekstremum globalnego w zadanych przedziałach wartości. Na podstawie charakterystyki obiektu badań i założonego celu badań wybrano kompozycyjny, centralny plan doświadczenia o wartości ramienia gwiezdnego α =,44 zawierający n = 9 układów (tablica 6.3). Dla każdego układu wykonano r = 0 pomiarów zasięgu pocisku i wyznaczono wartości parametrów statystycznych: wartość oczekiwaną yu i wariancję σ u (tablica 6.3). Identyfikację funkcji modelu przeprowadzono rozwiązując układ równań normalnych (6.35). Uzyskano w ten sposób następujące wartości parametrów: a = 0,03 a = -0,30 a 3 = -0,00 Adekwatność przyjętej struktury modelu weryfikujemy za pomocą testu F Snedecora, przyjmując hipotezy: ) zerową H 0 : σ a = σ oznaczająca, iż model jest adekwatny, ) alternatywną: H : σ a > σ oznaczająca, iż model nie jest adekwatny. 0

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne Testowanie hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Hipotezy

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Hipotezy statystyczne

Wykład 3 Hipotezy statystyczne Wykład 3 Hipotezy statystyczne Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu obserwowanej zmiennej losowej (cechy populacji generalnej) Hipoteza zerowa (H 0 ) jest hipoteza

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1. tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna dla leśników

Statystyka matematyczna dla leśników Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 03/04 Wykład 5 Testy statystyczne Ogólne zasady testowania hipotez statystycznych, rodzaje

Bardziej szczegółowo

Aproksymacja. funkcji: ,a 2. ,...,a m. - są funkcjami bazowymi m+1 wymiarowej podprzestrzeni liniowej X m+1

Aproksymacja. funkcji: ,a 2. ,...,a m. - są funkcjami bazowymi m+1 wymiarowej podprzestrzeni liniowej X m+1 Założenie: f(x) funkcja którą aproksymujemy X jest przestrzenią liniową Aproksymacja liniowa funkcji f(x) polega na wyznaczeniu współczynników a 0,a 1,a 2,...,a m funkcji: Gdzie: - są funkcjami bazowymi

Bardziej szczegółowo

Analiza korespondencji

Analiza korespondencji Analiza korespondencji Kiedy stosujemy? 2 W wielu badaniach mamy do czynienia ze zmiennymi jakościowymi (nominalne i porządkowe) typu np.: płeć, wykształcenie, status palenia. Punktem wyjścia do analizy

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

KORELACJE I REGRESJA LINIOWA

KORELACJE I REGRESJA LINIOWA KORELACJE I REGRESJA LINIOWA Korelacje i regresja liniowa Analiza korelacji: Badanie, czy pomiędzy dwoma zmiennymi istnieje zależność Obie analizy się wzajemnie przeplatają Analiza regresji: Opisanie modelem

Bardziej szczegółowo

RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH

RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH Piotr Konieczka Katedra Chemii Analitycznej Wydział Chemiczny Politechnika Gdańska Równoważność metod??? 2 Zgodność wyników analitycznych otrzymanych z wykorzystaniem porównywanych

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

166 Wstęp do statystyki matematycznej

166 Wstęp do statystyki matematycznej 166 Wstęp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwiązać nasz zasadniczy problem związany z identyfikacją cechy populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA OPOLSKA

POLITECHNIKA OPOLSKA POLITECHNIKA OPOLSKA WYDZIAŁ MECHANICZNY Katedra Technologii Maszyn i Automatyzacji Produkcji Laboratorium Podstaw Inżynierii Jakości Ćwiczenie nr 4 Temat: Analiza korelacji i regresji dwóch zmiennych

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY III Program nauczania matematyki w gimnazjum Matematyka dla przyszłości DKW 4014 162/99 Opracowała: mgr Mariola Bagińska 1. Liczby i działania Podaje rozwinięcia

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych związanych ą z szacowaniem i oceną ą modelu ekonometrycznego

Testowanie hipotez statystycznych związanych ą z szacowaniem i oceną ą modelu ekonometrycznego Testowanie hipotez statystycznych związanych ą z szacowaniem i oceną ą modelu ekonometrycznego Ze względu na jakość uzyskiwanych ocen parametrów strukturalnych modelu oraz weryfikację modelu, metoda najmniejszych

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji

Bardziej szczegółowo

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com Analiza korelacji i regresji KORELACJA zależność liniowa Obserwujemy parę cech ilościowych (X,Y). Doświadczenie jest tak pomyślane, aby obserwowane pary cech X i Y (tzn i ta para x i i y i dla różnych

Bardziej szczegółowo

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie:

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie: ma postać y = ax + b Równanie regresji liniowej By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : xy b = a = b lub x Gdzie: xy = też a = x = ( b ) i to dane empiryczne, a ilość

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015

Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015 Metody numeryczne Technika obliczeniowa i symulacyjna Sem. 2, EiT, 2014/2015 1 Metody numeryczne Dział matematyki Metody rozwiązywania problemów matematycznych za pomocą operacji na liczbach. Otrzymywane

Bardziej szczegółowo

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE STATYSTYKA WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE ESTYMACJA oszacowanie z pewną dokładnością wartości opisującej rozkład badanej cechy statystycznej. WERYFIKACJA HIPOTEZ sprawdzanie słuszności przypuszczeń dotyczących

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje

Bardziej szczegółowo

istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy

istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy MODEL REGRESJI LINIOWEJ. METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW Analiza regresji zajmuje się badaniem zależności pomiędzy interesującymi nas wielkościami (zmiennymi), mające na celu konstrukcję modelu, który dobrze

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI

LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI WERYFIKACJA HIPOTEZ Hipoteza statystyczna jakiekolwiek przypuszczenie dotyczące populacji generalnej- jej poszczególnych

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI

WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI Regresja 1. Metoda najmniejszych kwadratów-regresja prostoliniowa 2. Regresja krzywoliniowa 3. Estymacja liniowej funkcji regresji 4. Testy istotności współczynnika regresji liniowej

Bardziej szczegółowo

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa Weryfikacja hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o prawdziwości lub fałszywości którego wnioskuje się na podstawie

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Wydział Matematyki. Testy zgodności. Wykład 03

Wydział Matematyki. Testy zgodności. Wykład 03 Wydział Matematyki Testy zgodności Wykład 03 Testy zgodności W testach zgodności badamy postać rozkładu teoretycznego zmiennej losowej skokowej lub ciągłej. Weryfikują one stawiane przez badaczy hipotezy

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21

Bardziej szczegółowo

parametrów strukturalnych modelu = Y zmienna objaśniana, X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających,

parametrów strukturalnych modelu = Y zmienna objaśniana, X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających, 诲 瞴瞶 瞶 ƭ0 ƭ 瞰 parametrów strukturalnych modelu Y zmienna objaśniana, = + + + + + X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających, α 0, α 1, α 2,,α k parametry strukturalne modelu, k+1 parametrów

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW ODRZUCANIE WYNIKÓW OJEDYNCZYCH OMIARÓW W praktyce pomiarowej zdarzają się sytuacje gdy jeden z pomiarów odstaje od pozostałych. Jeżeli wykorzystamy fakt, że wyniki pomiarów są zmienną losową opisywaną

Bardziej szczegółowo

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Książka jest nowoczesnym podręcznikiem przeznaczonym dla studentów uczelni i wydziałów ekonomicznych. Wykład podzielono na cztery części. W pierwszej

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 8

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 8 STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 8 Regresja wielokrotna Regresja wielokrotna jest metodą statystyczną, w której oceniamy wpływ wielu zmiennych niezależnych (X 1, X 2, X 3,...) na zmienną zależną (Y).

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM Z FIZYKI

LABORATORIUM Z FIZYKI LABORATORIUM Z FIZYKI LABORATORIUM Z FIZYKI I PRACOWNIA FIZYCZNA C w Gliwicach Gliwice, ul. Konarskiego 22, pokoje 52-54 Regulamin pracowni i organizacja zajęć Sprawozdanie (strona tytułowa, karta pomiarowa)

Bardziej szczegółowo

doc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505.

doc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. doc. dr Beata Pułska-Turyna Zakład Badań Operacyjnych Zarządzanie B506 mail: turynab@wz.uw.edu.pl mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. Tel.: (22)55 34 144 Mail: student@pgadecki.pl

Bardziej szczegółowo

Statystyka i Analiza Danych

Statystyka i Analiza Danych Warsztaty Statystyka i Analiza Danych Gdańsk, 20-22 lutego 2014 Zastosowania analizy wariancji w opracowywaniu wyników badań empirycznych Janusz Wątroba StatSoft Polska Centrum Zastosowań Matematyki -

Bardziej szczegółowo

Ruch jednostajnie przyspieszony wyznaczenie przyspieszenia

Ruch jednostajnie przyspieszony wyznaczenie przyspieszenia Doświadczenie: Ruch jednostajnie przyspieszony wyznaczenie przyspieszenia Cele doświadczenia Celem doświadczenia jest zbadanie zależności drogi przebytej w ruchu przyspieszonym od czasu dla kuli bilardowej

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4.

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4. Testowanie hipotez Niech X = (X 1... X n ) będzie próbą losową na przestrzeni X zaś P = {P θ θ Θ} rodziną rozkładów prawdopodobieństwa określonych na przestrzeni próby X. Definicja 1. Hipotezą zerową Θ

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY

ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY Numer lekcji 1 2 Nazwa działu Lekcja organizacyjna. Zapoznanie z programem nauczania i kryteriami wymagań Zbiór liczb rzeczywistych i jego 3 Zbiór

Bardziej szczegółowo

ZMIENNE LOSOWE. Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R 1 tzn. X: R 1.

ZMIENNE LOSOWE. Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R 1 tzn. X: R 1. Opracowała: Joanna Kisielińska ZMIENNE LOSOWE Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R tzn. X: R. Realizacją zmiennej losowej

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI dla klasy I ba Rok szk. 2012/2013 Dział LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną, jeśli: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych oraz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

Etapy modelowania ekonometrycznego

Etapy modelowania ekonometrycznego Etapy modelowania ekonometrycznego jest podstawowym narzędziem badawczym, jakim posługuje się ekonometria. Stanowi on matematyczno-statystyczną formę zapisu prawidłowości statystycznej w zakresie rozkładu,

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH

WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH Pod redakcją Anny Piweckiej Staryszak Autorzy poszczególnych rozdziałów Anna Piwecka Staryszak: 2-13; 14.1-14.6; 15.1-15.4; 16.1-16.3; 17.1-17.6;

Bardziej szczegółowo

Statystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28

Statystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28 Statystyka #5 Testowanie hipotez statystycznych Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik rok akademicki 2016/2017 1 / 28 Testowanie hipotez statystycznych 2 / 28 Testowanie hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Prowadząca: dr inż. Hanna Zbroszczyk e-mail: gos@if.pw.edu.pl tel: +48 22 234 58 51 konsultacje: poniedziałek, 10-11; środa: 11-12 www: http://www.if.pw.edu.pl/~gos/students/kadd

Bardziej szczegółowo

Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h)

Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h) Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony (według podręczników z serii MATeMAtyka) Klasa I (90 h) Temat Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych.

Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Hipotezy i Testy statystyczne Każde

Bardziej szczegółowo

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu 1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

Metoda Karnaugh. B A BC A

Metoda Karnaugh. B A BC A Metoda Karnaugh. Powszechnie uważa się, iż układ o mniejszej liczbie elementów jest tańszy i bardziej niezawodny, a spośród dwóch układów o takiej samej liczbie elementów logicznych lepszy jest ten, który

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza

MATeMAtyka 1. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza MATeMAtyka 1 Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Klasa pierwsza Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI

ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI Wstęp ZASTOSOWANIE PROGRAMOWANIA LINIOWEGO W ZAGADNIENIACH WSPOMAGANIA PROCESU PODEJMOWANIA DECYZJI Problem podejmowania decyzji jest jednym z zagadnień sterowania nadrzędnego. Proces podejmowania decyzji

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT jest specyficznym problemem z zakresu zastosowań programowania liniowego. ZT wykorzystuje się najczęściej do: optymalnego planowania transportu towarów, przy minimalizacji kosztów,

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ

ZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ ZADANIA OPTYMALIZCJI BEZ OGRANICZEŃ Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTEP Zadanie minimalizacji bez ograniczeń f(ˆx) = min x R nf(x) f : R n R funkcja ograniczona z dołu Algorytm rozwiazywania Rekurencyjny

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele

Bardziej szczegółowo

Analiza wariancji. dr Janusz Górczyński

Analiza wariancji. dr Janusz Górczyński Analiza wariancji dr Janusz Górczyński Wprowadzenie Powiedzmy, że badamy pewną populację π, w której cecha Y ma rozkład N o średniej m i odchyleniu standardowym σ. Powiedzmy dalej, że istnieje pewien czynnik

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyk z próby

Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny

Bardziej szczegółowo

Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych)

Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Funkcja uwikłana (równanie nieliniowe) jest to funkcja, która nie jest przedstawiona jawnym przepisem, wzorem wyrażającym zależność wartości

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 4

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 4 STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 4 Inne układy doświadczalne 1) Układ losowanych bloków Stosujemy, gdy podejrzewamy, że może występować systematyczna zmienność między powtórzeniami np. - zmienność

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO. Wykład 2

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO. Wykład 2 STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład Parametry przedziałowe rozkładów ciągłych określane na podstawie próby (przedziały ufności) Przedział ufności dla średniej s X t( α;n 1),X + t( α;n 1) n s n t (α;

Bardziej szczegółowo

Szkice rozwiązań z R:

Szkice rozwiązań z R: Szkice rozwiązań z R: Zadanie 1. Założono doświadczenie farmakologiczne. Obserwowano przyrost wagi ciała (przyrost [gram]) przy zadanych dawkach trzech preparatów (dawka.a, dawka.b, dawka.c). Obiektami

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby

Bardziej szczegółowo

Wielowymiarowa analiza regresji. Regresja wieloraka, wielokrotna

Wielowymiarowa analiza regresji. Regresja wieloraka, wielokrotna Wielowymiarowa analiza regresji. Regresja wieloraka, wielokrotna Badanie współzależności zmiennych Uwzględniając ilość zmiennych otrzymamy 4 odmiany zależności: Zmienna zależna jednowymiarowa oraz jedna

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ

KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ TREŚCI KSZTAŁCENIA WYMAGANIA PODSTAWOWE WYMAGANIA PONADPODSTAWOWE Liczby wymierne i

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład

Bardziej szczegółowo

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Metody optymalizacji Metody poszukiwania ekstremum funkcji jednej zmiennej Materiały pomocnicze do ćwiczeń

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0. 5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,

Bardziej szczegółowo

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej 7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach

Bardziej szczegółowo

Pomiar rezystancji metodą techniczną

Pomiar rezystancji metodą techniczną Pomiar rezystancji metodą techniczną Cel ćwiczenia. Poznanie metod pomiarów rezystancji liniowych, optymalizowania warunków pomiaru oraz zasad obliczania błędów pomiarowych. Zagadnienia teoretyczne. Definicja

Bardziej szczegółowo

Estymacja parametrów, przedziały ufności etc

Estymacja parametrów, przedziały ufności etc Estymacja parametrów, przedziały ufności etc Liniowa MNK przypomnienie Wariancja parametrów Postulat Bayesa: rozkłady p-stwa dla parametrów Przypadek nieliniowy Przedziały ufności Rozkłady chi-kwadrat,

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy z przedmiotu: MATEMATYKA

Plan wynikowy z przedmiotu: MATEMATYKA Plan wynikowy z przedmiotu: MATEMATYKA Szkoła: Liceum Ogólnokształcące Klasa: pierwsza Poziom nauczania: podstawowy Numer programu: DPN-5002-31/08 Podręcznik: MATEMATYKA Anna Jatczak, Monika Ciołkosz,

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych

Rozwiązywanie układów równań liniowych Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów Wrocław, 18.03.2016r Plan wykładu: 1. Testowanie hipotez 2. Etapy testowania hipotez 3. Błędy 4. Testowanie wielokrotne 5. Estymacja parametrów

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja konstrukcji

Optymalizacja konstrukcji Optymalizacja konstrukcji Kształtowanie konstrukcyjne: nadanie właściwych cech konstrukcyjnych przeszłej maszynie określenie z jakiego punktu widzenia (wg jakiego kryterium oceny) będą oceniane alternatywne

Bardziej szczegółowo

METODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski

METODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski METODA SYMPLEKS Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP Algorytm Sympleks najpotężniejsza metoda rozwiązywania programów liniowych Metoda generuje ciąg dopuszczalnych rozwiązań x k w taki sposób,

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów stat. Hipoteza statystyczna Dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

Kilka uwag o testowaniu istotności współczynnika korelacji

Kilka uwag o testowaniu istotności współczynnika korelacji 341 Zeszyty Naukowe Wyższej Szkoły Bankowej we Wrocławiu Nr 20/2011 Piotr Peternek Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu Marek Kośny Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu Kilka uwag o testowaniu istotności

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 9 Wrocław, 5 grudnia 2011 Temat. Test zgodności χ 2 Pearsona. Statystyka χ 2 Pearsona Rozpatrzmy ciąg niezależnych zmiennych losowych X 1,..., X n o jednakowym dyskretnym rozkładzie

Bardziej szczegółowo

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym

Bardziej szczegółowo

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0 MODELE MATEMATYCZNE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Podstawową formą opisu procesów zachodzących w członach lub układach automatyki jest równanie ruchu - równanie dynamiki. Opisuje ono zależność wielkości fizycznych,

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA WARSZAWSKA

POLITECHNIKA WARSZAWSKA POLITECHNIKA WARSZAWSKA WYDZIAŁ BUDOWNICTWA, MECHANIKI I PETROCHEMII INSTYTUT INŻYNIERII MECHANICZNEJ STATYSTYCZNA KONTROLA PROCESU (SPC) Ocena i weryfikacja statystyczna założeń przyjętych przy sporządzaniu

Bardziej szczegółowo

Spis treści 3 SPIS TREŚCI

Spis treści 3 SPIS TREŚCI Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka zakres rozszerzony

MATeMAtyka zakres rozszerzony MATeMAtyka zakres rozszerzony Proponowany rozkład materiału kl. I (160 h) (Na czerwono zaznaczono treści z zakresu rozszerzonego) Temat lekcji Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15 1. Liczby naturalne

Bardziej szczegółowo

Karta (sylabus) modułu/przedmiotu Inżynieria Materiałowa Studia II stopnia Specjalność: Inżynieria Powierzchni

Karta (sylabus) modułu/przedmiotu Inżynieria Materiałowa Studia II stopnia Specjalność: Inżynieria Powierzchni Karta (sylabus) modułu/przedmiotu Inżynieria Materiałowa Studia II stopnia Specjalność: Inżynieria Powierzchni Przedmiot: Statystyczne Sterowanie Procesami Rodzaj przedmiotu: Obowiązkowy Kod przedmiotu:

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Analiza Matematyczna III Mathematical Analysis III Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Matematyka Poziom przedmiotu: I

Bardziej szczegółowo

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją

Bardziej szczegółowo

Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych. Wykład tutora na bazie wykładu prof. Marka Stankiewicza

Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych. Wykład tutora na bazie wykładu prof. Marka Stankiewicza Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych Wykład tutora na bazie wykładu prof. Marka tankiewicza Po co zajęcia w I Pracowni Fizycznej? 1. Obserwacja zjawisk i efektów

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo