Liczby wymierne. Liczby wymierne. System rzymski. Liczby wymierne. Działania na liczbach wymiernych. Potęga i pierwiastek

Transkrypt

1 Liczby wymierne Liczby wymierne System rzymski Liczby wymierne Działania na liczbach wymiernych Potęga i pierwiastek

2 Cyfry i liczby. System rzymski fot. Shutterstock Jakie informacje zapisane w systemie rzymskim można odczytać z rysunku? Podaj inne przykłady zastosowania znaków rzymskich. Do czego jeszcze służą współcześnie liczby zapisywane w systemie rzymskim? Oprócz poznanych wcześniej znaków I, V, X w systemie rzymskim, istnieją też inne, które służą do zapisywania większych liczb: L C D M Symbol C pochodzi od łacińskiego słowa centum, a symbol M od łacińskiego słowa mille. Sposób zapisywania liczb z wykorzystaniem powyższych znaków z tabeli jest analogiczny jak ten, który poznałeś wcześniej. 72 Aby wskazać liczbę, którą zapisano cyframi rzymskimi, wykorzystujemy dodawanie, jak pokazują przykłady: III = = XXXII = = 2 CCCV = = 05 MMMX = = 010 Więc MMDCCLXI = = 2761

3 SYSTEM RZYMSKI Ale gdy znak oznaczający mniejszą liczbę umieszczamy przed znakiem oznaczającym większą, stosujemy odejmowanie: IV = 5 1 = 4 IX = 10 1 = 9 XL = = 40 XC = = 90 CD = = 400 CM = = 900 Odczytaj liczbę zapisaną w systemie rzymskim CDXCIV. Wynik porównaj z zapisem kolegi. P = = MDCCCXCVII M 2409 = MMCD 12 IX DCCC XC VII 129 = 12 MCCXCIII Pisząc liczby w systemie rzymskim, pamiętaj o zasadach: bezpośrednio przed V i X można zapisać tylko znak I bezpośrednio przed L i C można zapisać tylko X bezpośrednio przed D i M można zapisać tylko C jednakowe znaki I, X, C lub M można zapisać obok siebie najwyżej trzy razy znaki V, L i D nie mogą być powtórzone obok siebie Stosując powyższe zasady, wyjaśnij, który zapis liczb w systemie rzymskim jest poprawny A czy B: Liczba Zapis A Zapis B 999 CMXCIX IM 1495 MCDXCV MVD 1990 MCMXC MXM 1010 MX DDVV Rzymianie stosowali ułamki o mianowniku 60 oraz o mianownikach 12, 24 i 48. Ułamki były im potrzebne do liczenia pieniędzy, miało to związek z używaniem miar i wag. Rzymska moneta as ważyła bowiem 1 funt i dzieliła się na 12 uncji. Stąd potrzeba stosowania ułamków o takich właśnie mianownikach. 7

4 1 Odczytaj z fasady domu, w którym roku został zbudowany. 2. Zapisz liczby cyframi arabskimi: a) CCXXVIII d) LXXVI g) CDI j) DCLXVI b) CDXLIV e) MDIX h) MMIX k) MMDCCCIII c) MCXLIV f) CMLXIX i) CDXL l) MMDCCCXXVII. Zapisz w systemie rzymskim: a) 97 c) 411 e) 619 g) 1445 i) 2008 k) 2999 b) 1116 d) 242 f) 162 h) 2071 j) 249 l) Zapisz datę urodzenia w systemie rzymskim: a) swoją b) koleżanki lub kolegi. 5. Dane liczby z biletu zapisz cyframi arabskimi. 6. Podane daty historyczne zapisz w systemie rzymskim. a) Rok 966 przyjmuje się za początek państwa polskiego, bo wówczas książę Mieszko przyjął chrześcijaństwo. b) Koronacja Bolesława Chrobrego na króla Polski odbyła się w 1025 roku. c) Bitwa pod Grunwaldem była w 1410 roku. d) Hołd pruski miał miejsce w roku e) Pierwsza wojna światowa zakończyła się w 1918 roku. f) Druga wojna światowa wybuchła w 199 roku. g) Stan wojenny w Polsce ogłoszono w 1981 roku. h) Karol Wojtyła został wybrany na papieża w 1978 roku. 7. Sprawdź, czy dane liczby są poprawnie zapisane w systemie rzymskim. W przypadku błędu zapisz poprawnie. 495 = VD 99 = XCIX 640 = DCXL 404 = CCCCIV 1999 = MIM 2449 = MMCDIL 8. Spośród zapisów wybierz te, które są poprawne i zapisz je cyframi arabskimi: 74 DD, MMM, IXIX, DMCXXI, CMXL, IC, CD, DC.

5 SYSTEM RZYMSKI 9. Ile zapałek wystarczy przestawić, aby otrzymać równość prawdziwą? 10. Podaj najmniejszą i największą liczbę czterocyfrową w zapisie: a) arabskim b) rzymskim. 11. Sprawdź, czy kwadrat jest magiczny (sumy liczb w wierszach, kolumnach i przekątnych są równe): a) V X IX b) CI CVI CV XII VIII IV CVIII CIV CX VII VI XI CIII CII CVII 12. Sprawdź poprawność obliczeń: a) M + C = MC d) C L = L b) M CC = DCC e) X IX = XIX c) L XX = XXX f) II + CLVII = CLIIX 1. Liczba DCXL wynosi: A. 440 B. 460 C. 640 D Rok 2999 zapisany w systemie rzymskim to: A. MMCMXCIX C. IMMM B. MMMCCXIX D. MMXCMIX. Rok MMDLXVII to inaczej: A B. 257 C D Dziewięćdziesiąte piąt e LO w Warszawie to inaczej: A. CXV B. XCV C. LXXXXV D. CLV 75

6 Pojęcie liczby wymiernej Powtórzmy wiadomości o poznanych liczbach. Liczby naturalne to: 0, 1, 2,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,... Liczby całkowite to:... 5, 4,, 2, 1, 0, 1, 2,, 4, 5, 6, 7,... Znasz ułamki zwykłe i dziesiętne. Przyjrzyj się następującym zapisom liczb: 7 = = = = = 12 4 = ,75 = ,75 = ,75 = = = = = = = Co możesz powiedzieć o liczbach zapisanych w licznikach i w mianownikach? Liczbą wymierną nazywamy każdą liczbę, która da się przedstawić w postaci ułamka zwykłego p q, gdzie p, q są liczbami całkowitymi i q jest różne od zera. Symbolicznie zbiór liczb wymiernych oznaczamy W. W C N 76 W oparciu o rysunek oceń, czy podane zdanie jest prawdziwe: Każda liczba naturalna i całkowita jest liczbą wymierną.

7 LICZBY WYMIERNE PROBLEM! Wytłumacz, dlaczego liczba 0,() jest liczbą wymierną. Wśród liczb wymiernych wyróżniamy liczby: wymierne ujemne wymierne dodatnie zero liczby ujemne są po lewej stronie zera liczby dodatnie są po prawej stronie zera P1. Odczytaj, jakie liczby zaznaczono na osi liczbowej. Sprawdź, że poniższe zdania są prawdziwe: Liczby dodatnie i zero to liczby nieujemne. Liczby ujemne i zero to liczby niedodatnie , ,6 4 Liczby całkowite zaznaczone na osi liczbowej to: 5; 0; 1; 5. 5 Liczby dodatnie zaznaczone na osi liczbowej to: 1; 2,6; 4 ; 5. Na tej osi liczbowej zaznaczono liczby nieujemne: 0; 1; 2,6; 4 ; 5. Niedodatnie liczby zaznaczone na osi liczbowej to: 5; 1 ; 1,5; 0. Na osi liczbowej zaznaczono trzy liczby, które są jednocześnie naturalne, całkowite i wymierne: 0; 1; 5. Pierwsze wzmianki o liczbach ujemnych pojawiły się w chińskim traktacie Matematyka w dziewięciu księgach z II w. p.n.e. Jednak dopiero około V w. n.e. matematycy hinduscy stosowali liczby ujemne do określania stanu majątkowego oraz rozliczeń handlowych, takich jak zapis długu. W powszechnym użyciu znalazły się w połowie XVIII wieku. (na podst. Encyklopedia Szkolna, WSiP, Warszawa 1997, pod red. prof. dr. hab. Włodzimierza Waliszewskiego, s.196) 77

8 1. Jaką liczbą opiszesz: a) pożyczone od kolegi 5 zł, b) temperaturę osiem stopni Celsjusza poniżej zera, c) otrzymane kieszonkowe w wysokości 0 zł, d) głębokość Rowu Mariańskiego, e) wysokość najwyższego szczytu w polskich Tatrach, f) zaciągnięty kredyt hipoteczny na kwotę 140 tys. zł, g) temperaturę ciała zdrowego człowieka, h) położenie Żuław Wiślanych? Do którego ze zbiorów należą te liczby: zbioru liczb naturalnych, całkowitych czy wymiernych? Podaj jak najwięcej możliwych odpowiedzi. 2. Podane liczby: 9; 4 4 ; 0,1; 2 ; 5,2; 11; 17 zapisz w postaci ułamka 5 zwykłego.. Spośród liczb: 10 1 ; 16,95; 2,75; 17; 28 4 ; 0; 2 8 ; ; 6; 25,5; 28,75 wypisz: a) liczby naturalne c) liczby całkowite e) wymierne dodatnie b) wymierne ujemne d) niedodatnie f ) nieujemne 4. Które z liczb zaznaczonych na osi liczbowej są: a) całkowite c) ujemne e) nieujemne b) dodatnie d) niedodatnie f) wymierne? 7, , ,() Zaznacz na osi liczbowej liczby: 2,25; 1 4 ; 1 ; 2,5; ; 0,25;, Zaznacz na osi liczbowej liczby: a) naturalne mniejsze od 7,25 b) całkowite ujemne większe od 8 c) całkowite większe od 6 i mniejsze od 4 d) całkowite niedodatnie większe od e) całkowite dodatnie mniejsze lub równe 6. Ile jest takich liczb?

9 LICZBY WYMIERNE 7. Ile jest liczb: a) naturalnych mniejszych od 7 b) całkowitych ujemnych większych od 10, c) całkowitych niedodatnich większych od 5 d) całkowitych pomiędzy liczbą 4, a liczbą 5 e) naturalnych większych od 1 2, a mniejszych od 61 6 f) całkowitych nieujemnych pomiędzy liczbą 5, a liczbą 4 g)* wymiernych pomiędzy liczbami 2, a 1 2? 8. Określ, które ze zdań jest prawdziwe, a które fałszywe: a) Każda liczba dziesiętna jest liczbą wymierną. b) Istnieją liczby całkowite, które są liczbami naturalnymi. c) Każda liczba naturalna jest liczbą wymierną. d) Każda liczba wymierna jest liczbą całkowitą. e) Istnieją liczby wym ierne, które są liczbami całkowitymi. f ) 0 nie jest liczbą wymierną. g) Nie każda liczba wymierna jest liczbą naturalną. h) Każda liczba, która ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe jest liczbą wymierną. i) Każda liczba całkowita jest liczbą naturalną. 9. Podaj przykład liczby, która jest: a) wymierna i nie jest naturalna b) wymierna i jest mniejsza od c) wymierna i nie jest całkowita d) wymierna i jest większa od 15 e) wymierna ujemna i większa od 1 f) wymierna i nie jest ani dodatnia ani ujemna g)* całkowita i nie jest liczbą wymierną h) naturalna i nie jest liczbą całkowitą. 79

10 Odległość liczb na osi liczbowej P1. 4 0,5 Na osi liczbowej zaznaczono liczby,5 i 4. Odległość liczby,5 od liczby 0 wynosi,5 jednostki. Liczba 4 leży w odległości 4 jednostek od liczby 0. PROBLEM! Czy istnieje liczba, której odległość od liczby 0 wynosi 2 jednostki? Odpowiedź uzasadnij. P2. W klasie Ia uczniowie zaznaczali na osi liczbowej liczbę, która leży w odległości 2 jednostek od liczby 0. Oto rozwiązania dwóch uczniów: Adama Krzysia Uzasadnij, że obaj chłopcy podali poprawne rozwiązanie. Podaj przykłady innych liczb, których odległości od zera są równe. Liczby, które leżą na osi liczbowej w tej samej odległości od zera i po przeciwnych stronach punktu 0 to liczby przeciwne, np.: 2 i 2, i PROBLEM! Czy istnieją takie liczby przeciwne, które są równe? 80 P. Na osi liczbowej zaznaczono punkty A, B, C, D, E odpowiadające liczbom: 5,, 0, 2, 4. A B C D E

11 LICZBY WYMIERNE Odległość między punktami A i B wynosi 2 jednostki. Odległość między liczbami B i D wynosi 5 jednostek. Podaj odległości między pozostałymi punktami. P4. Na osi liczbowej zaznaczono liczbę 1. Ile jest liczb, których odległość od zaznaczonej liczby wynosi jednostki? Są dwie takie liczby: 4 i 2. Znajdź liczby, których odległość od liczby 1 wynosi 7 jednostek. PROBLEM! Ile jest par liczb, których odległość na osi liczbowej wynosi jednostki? 1. Na osi liczbowej zaznaczono liczby: Podaj ich odległości od liczby zero. 2. Jakie to liczby, których odległość od liczby zero jest równa: a) 8 b) c) 1,9 d) 0 e) f) 2. Podaj liczby przeciwne do danych: 4,87; ; 0,5; 15 8 ; 1,167; 21 ; 11 4 ; ( 2 7 ) 4. Podaj takie dwie liczby, których odległość na osi liczbowej wynosi 2 jednostki i które są : a) naturalne d) wymierne, ale nie są naturalne b) wymierne ujemne e) wymierne i mniejsze od 5 c) całkowite niedodatnie f) wymierne i większe od Jakie to liczby, których odległość od liczby 2 wynosi: a) 1 jednostkę b) 2 jednostki c) jednostki 6. Wyznacz odległość między liczbami: a) i 1 b) 4 i 1 c) 2 i 9 d) - i 7 81

12 Porównywanie liczb wymiernych Na osi liczbowej zaznaczono liczby: 6; 1,5; 0; ; 1 4 ; , Czy poprawnie uporządkowano je rosnąco: 6 < 1,5 < 0 < < 1 4 < 5 Wykorzystując zaznaczone liczby na osi liczbowej, odpowiedz na pytania, która z dwóch liczb jest większa, jeśli: a) obie są ujemne b) obie są dodatnie c) jedna jest ujemna, a druga dodatnia? P1. Zauważ, że 1 < 1,5. Ale 1 > 1,5, ponieważ liczba 1 na osi liczbowej znajduje się bliżej 0 niż liczba 1,5. Spośród dwóch liczb ujemnych ta jest większa, która na osi liczbowej znajduje się bliżej zera. 1. Wykorzystując informacje z mapy, wykonaj polecenia: a) Odszukaj miasto, w którym była najniższa temperatura. b) W którym mieście było najcieplej? c) Wypisz malejąco odczytane z mapy temperatury. d) Podaj nazwy tych miast, w których było cieplej niż w Lublinie. 2. Zaznacz na osi liczbowej liczby: 4; ; 2,75; 5; 1 ; 0. Uporządkuj te liczby rosnąco Porównaj liczby: a) 2,5 i 2 1 b) 1 6 i 0 c) 5 4 i 5,25 d) 1,1 i 1,(1)

13 LICZBY WYMIERNE 4. Podaj cztery liczby całkowite dodatnie i trzy liczby całkowite ujemne, które są: a) mniejsze od 19 b) większe od 7,9 c) mniejsze od W tabeli podano temperatury topnienia niektórych substancji. Substancja cyna żelazo gliceryna rtęćazot srebro woda tlen siarka temperatura w C , ,8 120 a) Która z podanych substancji ma najwyższą, a która najniższą temperaturę topnienia? b) Uporządkuj podane temperatury w kolejności rosnącej. 6*. Podaj przykład liczby, która jest: a) większa od 0,5, ale mniejsza od 0,(5) b) większa od 5,4, ale mniejsza od 5, c) większa od 1 2, ale mniejsza od 1. Ile jest takich liczb? 1. Liczbą odwrotną do liczby 1 4 jest: A. 4 1 B. 4 1 C Które zdanie jest fałszywe? A. Istnieją liczby wymierne, które są liczbami całkowitymi. B. 0 nie jest liczbą wymierną. C. Nie każda liczba wymierna jest liczbą naturalną. D. Każda liczba naturalna jest liczbą całkowitą. D Odległość między liczbami 4 oraz jest równa: A. 7 B. 1 C. 7 D Liczby: a = ; b = 1,1; c = 1,(1); d= uporządkowane rosnąco to: A. a < b < a < d C. b < c < d < a B. d < c < a < -b D. a < d < b < c 8

14 Dodawanie i odejmowanie liczb wymiernych Rysunki ilustrują poziom wody Wisły w ciągu dwóch kolejnych dni latem i jesienią. Odczytaj, ile wody ubyło drugiego dnia latem. Nowy poziom wody wynosi 5, bo 2 = 5. Jeśli poziom wody wynosił, a wody ubyło 4, to jaki jest nowy poziom wody? Odczytaj, ile wody przybyło drugiego dnia jesienią. Nowy poziom wody wynosi 2, bo = 2. Jeśli początkowy poziom wody wynosił 5, a wody przybyło 1, to jaki jest nowy poziom wody? Aby wyznaczyć, jaki był początkowy stan wody na rzece, jeśli ubyło 7 i aktualny stan wody wynosi 1, należy wykonać następujące obliczenia: 1 ( 7) = 6 lub x 7 = 1 czyli x = x = 6 stan aktualny ubyło 7 stan początkowy Pewnego dnia stan wody na Wiśle wynosił 6, a następnego 10. Różnica poziomów wód wynosi zatem: ( 6) ( 10) = ( 6) + 10 = 4 Jaka jest różnica poziomu wód na rzece, jeśli pewnego dnia było 7, a następnego 2? Na podstawie powyższych przykładów przypomnij, jak dodawałeś i odejmowałeś liczby całkowite. 84

15 12 DZIAŁANIA NA LICZBACH WYMIERNYCH P1. Obliczmy sumę: a) ( 1 4 )+( 5) = ( ) = 81 4 Suma jest liczbą ujemną, bo obie liczby są ujemne. b) 6 + ( 7,125) = 6 7,125 = (7,125 6) = 1,125 Wynik jest liczbą ujemną, bo od mniejszej liczby odejmujemy większą. c) ( 2,5)= 4 2 2,5 = = = = 21 6 Wynik jest liczbą dodatnią, bo od większej liczby odejmujemy mniejszą. P2. Obliczmy sumę: 18 + ( 19) + ( 26) ( 1) + 29 Aby wykonać działanie najprostszym sposobem, osobno sumujemy liczby dodatnie i osobno sumujemy liczby ujemne, wykorzystując prawo łączności i przemienności dodawania. Następnie liczymy sumę dwóch liczb o różnych znakach, czyli: 18 + ( 19) + ( 26) ( 1) + 29 = 60 + ( 76) = (76 60) = 16 P. Obliczmy różnicę: a) ( 11,) = , = 12,4 + 11, = 2,7 5 b) 2 2 1,25 = ( 22) + ( 11) 4 = ( ) = c) 5,125 ( 7 ) = ( 5,125) +,875 = (5,125,875) = 1,250 = 1,25 8 Odejmowanie można zastąpić dodawaniem liczby przeciwnej. P4. Przypomnijmy, że: = 0 7, + ( 7,) = 0 bo suma liczb przeciwnych jest równa 0 85

16 P5. Własności liczb przeciwnych można wykorzystać przy dodawaniu liczb o różnych znakach. a) 86 + ( 64) = ( 64) = ( 64) = b) 52 + ( 75) = 52 + ( 52) + ( 2) = 52 + ( 52) + ( 2) = Oblicz: a) c) ( 5) + ( 1) e) ( 14) + 17 b) 28+ ( 16) d) ( 24) + 24 f) 15 + ( ) 2. Oblicz sumy: a) ( 18) c) ( 56) + ( 24) + ( 45) e) 15 + ( 9) + ( 11) b) ( 12) + ( 2) + ( 5) d) ( 6) + ( 25) +( 8) f) 26 + ( 2) + 2. Podaj liczbę o 9 większą od liczby: a) 1 b) 25 c) 7 d) 0 e) Znajdź sumę liczby 27 oraz liczby: a) 18 b) 54 c) 2 d) 18 e) Wykonaj dodawanie według przykładu: 14 + ( 9) = ( 9) = = 5 0 a) 26 + ( 2) c) 17 + ( 1) e) ( 1) + 45 b) ( ) + 27 d) 46 + ( 64) f) 88 + ( 108) Oblicz: a) 14 + ( 7) + ( 14) b) ( 44) + ( 71) ( 11) c) ( 5) ( 24) d) 8 + ( 22) ( 17) e) ( 49) + ( 1) + ( 64) f) 89 + ( 27) ( 89)

17 DZIAŁANIA NA LICZBACH WYMIERNYCH 7. Zapisz i oblicz, ile posiadasz pieniędzy, jeśli masz: a) 55 zł gotówki i 28 zł długu b) 120 zł długu i 85 zł gotówki c) 5 zł długu i 75 zł długu. 8. Ile wynosi suma wszystkich liczb całkowitych: a) większych od i mniejszych od? b) większych od 4 i mniejszych od 6? c) większych od 98 i mniejszych od 98? 9. Wykonaj odejmowanie: a) 16 ( 18) c) ( 61) 52 e) 74 ( 81) b) d) ( 57) 28 f) Oblicz: a) 12 ( 2) 2 ( 12) c) 100 ( 12) ( 27) ( 41) ( 19) b) 40 ( 5) ( 21) 56 d) 55 ( 4) ( 16) 5 ( 15) 11. Różnica dwóch liczb jest równa 20. Wyznacz odjemnik, jeśli odjemna wynosi: a) 9 b) 5 c) 17 d) e) Podaj liczbę mniejszą o 45 od liczby: a) 19 b) 6 c) 11 d) 89 e) 0 1. Oblicz: a) ( 6) 12 ( 24) + 5 c) ( 9) + ( 1) 46 + ( 5) b) 71 2 ( ) + 10 ( 11) d) 50 ( 17) + ( 8) 60 ( 6) 14. Marek wypłacił z konta 458 zł. Jaki jest stan jego konta po tej wypłacie, jeżeli początkowo miał 4 zł? 15. Ewa miała debet na koncie w wysokości 289 zł, a po wpłacie stan jej konta wynosił 876 zł. Jaką kwotę wpłaciła Ewa? 16. Wykonaj dodawanie: a) 2 + ( 1,5) d) 2,8 + ( 41) 6 b) 6,4 + ( 4,2) + ( 7,06) e) ( 6,75) c) ( 1 2 ) + ( 7 5 ) f) 4,25 + ( 1 6 ) ( 7,5) 87

18 17. Wykonaj odejmowanie: a) 6,6 ( 4) c) 9 ( 5,5) 1 4 e) 6,56 4,001 b) d) 2,5 6 1 (,75) f) (,4) ( 5,1) 6, Oblicz: a) ( 11) ( 21 ) c),75 ( 8,125) 6,001 ( 5,25) 6 b) 12 ( 2,5) ( 5 12 ) d) 5,8 ( ) ( 12,75) Różnicę liczb 45 2 i 41 zwiększ o liczbę przeciwną do, Od sumy liczb 12,25 i 1 1 odejmij ich różnicę. 21. Najwyższy szczyt w Polsce to Rysy mające 2499 m.n.p.m., natomiast najniższy punkt to Żuławy Wiślane leżące 1,8 m.p.p.m. Jaka jest różnica poziomów pomiędzy najwyższym i najniższym punktem w Polsce? 22. Rano temperatura powietrza wynosiła 5,5 o C i do wieczora wzrosła o 2,7 o C. Jaka temperatura była wieczorem? 2. Wieczorem temperatura powietrza wynosiła 1,6 o C i do rana spadła o 6,5 o C. Jaka temperatura była rano? 24. Różnica wysokości pomiędzy wjazdem do tunelu a najwyższym wzniesieniem wynosi 1600 m. Różnica temperatur wynosi średnio 0,6 C na każde 100 m wysokości. Ile wynosi temperatura powietrza przy wjeździe do tunelu, jeżeli na szczycie jest 11 C? 88

19 DZIAŁANIA NA LICZBACH WYMIERNYCH Mnożenie i dzielenie liczb wymiernych Dwa razy w tygodniu przez miesiąc Marek wypłacał kartą z bankomatu po 50 zł. Jaką kwotę powinien wpłacić pod koniec miesiąca, aby stan jego konta był identyczny jak na początku miesiąca? 50 zł wypłaty bank zaksięguje jako 50 zł. W ciągu tygodnia zadłużenie Marka wynosi 2 ( 50 zł) = 100 zł. Zatem, aby stan jego konta był identyczny jak na początku miesiąca, Marek powinien wpłacić zł = 400 zł. Mnożenie i dzielenie liczb całkowitych wykonujemy tak, jak na liczbach naturalnych, uwzględniając następującą siatkę znaków: Iloczyn/iloraz Liczba dodatnia Liczba ujemna Liczba dodatnia + Liczba ujemna + P1. 26 ( ) = (26 ) = 78 ( 56) : 4 = (56 : 4) = 14 ( 15) ( 4) = 15 4 = 60 ( 96) : ( 16) = 96 : 16 = 6 P2. Przypomnijmy, jak obliczamy iloczyn większej liczby czynników o różnych znakach. ( 2) 2 ( ) ( 1) 5 ( 10) = = 600 Iloczyn jest liczbą dodatnią, bo jest parzysta liczba czynników ujemnych. ( 5) 2 ( 1) ( 10) = ( ) = 00 Iloczyn jest liczbą ujemną, bo jest nieparzysta liczba czynników ujemnych. Jakiego znaku jest iloczyn ( 12) ( 7) 24 2 ( 12) 0 ( 58) 21? Odpowiedź uzasadnij. Przypominamy, że mnożąc i dzieląc liczby wymierne trzeba połączyć umiejętności mnożenia i dzielenia liczb całkowitych oraz ułamków. 89

20 P. a) ( 1 7 ) = ( ) = 15 4 = 4 b) (,6) ( ) = = = 4 iloczyn jest liczbą ujemną, bo występuje tu nieparzysta liczba czynników ujemnych iloczyn jest liczbą dodatnią, bo występuje tu parzysta liczba czynników ujemnych P4. c) ( ) ( ) ( 21 5 ) = ( ) = 18 5 = 5 d) ( 1,1) 2 = ( 1,1) ( 1,1) = 1,21 e) ( 1 2 ) = ( 5) ( 5) ( 5) = = a) 2 4 : ( ) = (11 4 : 8 ) = b) 2,4 : ( 6) = 2,4 : 6 = 0,4 = 2 c) (,5) : = (,5 : 2 1 ) 4 = 5 10 : 9 4 = = 14 9 = 15 9 PROBLEM! Wskaż taką liczbę ujemną, która jest równa swojej odwrotności. 1. Wykonaj mnożenie: a) 21 ( 1) d) 15 b) 2 ( 5) ( ) e) ( 54) c) 1 ( 2) ( ) ( 4) f ) 6 ( 5) ( 4) ( ) ( 2) ( 1) 2. Wykonaj dzielenie: a) 4 : ( 17) c) ( 6) : ( 9) e) 240 : ( 4) : ( 12) : ( 5) b) 0 : ( 51) d) 100 : ( 2) : 5 f ) 1000 : ( 8) : ( 5) : Nie wykonując mnożenia, ustal znak iloczynu: a) 21 ( 2) ( 4) ( 4) ( 11) ( ) 5 b) 16 ( 2) ( 51) ( ) ( 4) 1 c) 51 ( 50) ( 49) ( 48) ( 47) 46 ( 45) d) 128 ( 2) ( 4) 0 ( 49) ( 11) 87

21 DZIAŁANIA NA LICZBACH WYMIERNYCH 4. Oblicz i porównaj wyniki: a) 48 : 6 ( 2) i 48 : [6 ( 2)] b) 160 : ( 40) : ( 8) i 160 : [( 40) : ( 8)] c) 180 : ( 60) : ( ) i 180 : [( 60) : ( )] 5. Znajdź iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych nieparzystych, z których najmniejsza to liczba Oblicz iloczyn czterech kolejnych liczb całkowitych parzystych, z których największą jest liczba Oblicz iloczyn czterech liczb całkowitych, z których każda następna liczba jest o większa od poprzedniej, a największą z nich jest liczba Podane liczby wypisano według pewnej zasady. Na czym ona polega? Jaką liczbę należy wpisać w miejsce kropek? a) 2, 4, 8, 16, 2,... d)...,2, 2, 2, 2, 2 b) 1, 4, 16,..., 256 e) 15, 10, 5,..., 5, 10 c) 480, 240, 120, 60,..., 15 f) 11, 5,..., 7, 1, Wzór F = 9 5 C + 2 stosuje się do obliczania temperatury w stopniach Fahrenheita (F) (czyt. farenhaita), jeśli dana jest temperatura w stopniach Celsjusza (C). Podaj daną temperaturę w stopniach Fahrenheita: a) 15 o C c) 25 o C b) 0 o C d) 5 o C 10. Wzór C = 5 (F 2) stosuje się do obliczania temperatury w stopniach 9 Celsjusza (C), jeśli podana jest temperatura w stopniach Fahrenheita (F). Przedstaw podaną temperaturę w stopniach Celsjusza: a) 5 o F b) 41 o F c) 22 o F d) 2 o F 11. Oblicz: a) d) 4,5 ( 2) ( 1) g) 7 8 ( 2 1) 5 ( 8 b) 5 ( 15) e) ( 4 ) 5 h) 7 ( 0,2) 5,4 ( c) 0, ( 0,15) f) ( 17,) ) ( ) 91

22 12. Wykonaj dzielenie: a),4 : ( 2) d) 0,7 : b) 4,5 9 c), e) 0,25 : ( 0,5) h) f) 15 : ( 4 ) i) 7 g) 4,4 : ( 0,01) : ( 110) : ( 1 2 ) 2 2 : ( 6 7 ) : ( 4 9 ) : 1 2,7 : ( 54 ) : ( 1 7 ) 1. Wyznacz dzielną, jeśli dzielnik jest równy 2, a iloraz 1, Iloczyn dwóch liczb jest równy 9. Oblicz jeden z czynników, jeśli drugi jest równy 4, Iloraz liczb 1 5 i 14 zmniejsz dwukrotnie Znajdź liczbę, której,9 jest równe wartości wyrażenia 1, + 2,7 : 0, (,6) 1. Wykonując działania 4,5 + ( 1 1 ) +,75 otrzymasz: A B C [ 15 + ( 25) : 5] : (6 10) jest równe: A. 5 B. 2 C. 5 2 D D. 5. Iloraz 240 : ( 4) : ( 12) : ( 5) jest równy: A. 25 B. 1 C. 1 D W wyniku działań (2, ) : ( 0,125) + 4 otrzymamy: 5 A. 7 8 B. 8 5 C D

23 POTĘGA I PIERWIASTEK Potęga o wykładniku naturalnym Komórka pewnej bakterii rozmnaża się przez podział polegający na tym, że z każdej komórki powstają dwie nowe. Ile komórek powstanie w wyniku czwartego podziału, a ile w wyniku piątego? W oparciu o rysunek wyjaśnij, w jaki sposób policzysz liczbę bakterii powstałych w wyniku dziesiątego podziału? Czy zapis jest liczbą komórek bakterii po siódmym podziale? Odpowiedź uzasadnij. PROBLEM! Gdyby z jednej komórki bakterii po podziale powstawały trzy nowe komórki, to jak policzysz liczbę komórek po trzecim podziale? Możesz pomóc sobie, wykonując odpowiedni rysunek. Iloczyn jednakowych czynników zapisujemy w postaci potęgi. Zapis: = czynniki ( ) ( ) = ( ) czynniki czytamy: 2 do potęgi czwartej lub czwarta potęga liczby 2. czytamy: do potęgi drugiej lub druga potęga liczby albo do kwadratu lub kwadrat liczby. ( 1 2 ) (1 2 ) (1 2 ) = (1 2 ) czytamy: czynniki do potęgi trzeciej lub trzecia potęga liczby 1 2 albo 1 2 do sześcianu lub sześcian liczby 1 2 9

24 podstawa potęgi 2 wykładnik potęgi Przyjmujemy, że dowolna liczba różna od zera podniesiona do potęgi zerowej równa jest jeden. Na przykład: 7 0 = 1; ( 12,6) 0 = 1; ( 2 9 )0 = 1; (0,57) 0 = 1 P1. Porównaj zapisy: ( ) 2 = 9 i 2 = 9 ( 2 ) = 8 27 Odpowiedź uzasadnij. i 2 = 8 = Zapisz w postaci potęgi: a) d) b) 0,5 ( 0,5) ( 0,5) ( 0,5) ( 0,5) e) 5 5 c) f ) 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 2. Oblicz kwadraty liczb: 8 ; 1; 15; 2 5 ; 0,.. Znajdź sześciany liczb: 1; 2; 5; 1 4 ; 0,1. 4. Wykonaj potęgowanie: a) 5 c) ( 2) e) ( 1) 7 g) ( ) 2 b) ( 4) d) 0 5 f ) ( 2) 5 h) 4 5. Oblicz: a) ( 1 1 2) 2 c) ( 2 5) e) ( 1 1 ) g) b) (1,25) 2 d) ( 2,5) 2 f ) ( 0,2) f ) (,1) 2

25 POTĘGA I PIERWIASTEK 6. Oblicz: a) ( 2) 1 ( 2) ( 2) 5 b) ( ) 2 ( ) 4 ( ) 6 Co decyduje o tym, że wynik potęgowania jest liczbą dodatnią albo ujemną? Zapisz wniosek. 7. Spośród podanych potęg wybierz te, które mają wartości dodatnie: ( ) 5 ; ( 11) 2 ; 4 ; 5 2 ; ( 5) 2 ; 0 9 ; ( 7) 2 ; ( 6) ; ( 9) Dane liczby zapisz w postaci potęg o podstawie 2: 16; 2; 4; 2; 64; 1; Dane liczby zapisz w postaci potęg o podstawie : ; 27; 1; 9; 81; Kasia rozwiązała w poniedziałek dwa zadania i postanowiła, że każdego następnego dnia będzie rozwiązywać dwa razy więcej zadań niż w dniu poprzednim. Ile zadań rozwiązała Kasia w piątek? A ile zadań rozwiązała od poniedziałku do piątku? 11. Oblicz pole kwadratu o boku długości 5 cm, a następnie pole kwadratu o boku trzy razy większym. Ile razy zwiększyło się pole kwadratu? 12. Oblicz objętość sześcianu o krawędzi długości cm, a następnie objętość sześcianu o krawędzi dwa razy większej. Ile razy zwiększyła się objętość sześcianu? 1. Adam wymyślił zabawę polegającą na przesyłaniu pozdrowień przez siedem dni do dwóch osób ze swojej szkoły, które prześlą je dalej, każda do kolejnych dwóch osób. Ile pozdrowień zostanie wysłanych, jeśli szkoła, do której chodzi Adam, liczy 512 uczniów? Załóżmy, że każda osoba otrzyma jedno pozdrowienie. Wynik zapisz w postaci potęgi. 14. Na gałązce krzewu każdego roku wyrastają z jednego pąka nowe pędy zakończone pąkiem. Ile pąków będzie miała gałązka krzewu po 5 latach, która wyrosła z jednego pąka? 95

26 Pierwiastek kwadratowy i sześcienny Obliczmy długość boku kwadratu, którego pole jest równe 81 cm 2. Przypominamy, że pole kwadratu o boku a wyraża się wzorem: P = a a P = a 2, czyli a 2 = 81 a Musimy odgadnąć liczbę, której kwadrat jest równy 81. Tą liczbą jest 9, bo 9 2 = 81 oraz 9 bo ( 9) 2 = 81 Ale bok kwadratu ma długość 9 cm, ponieważ długość nie może być liczbą ujemną. Wyznaczanie długości boku kwadratu zapisujemy symbolicznie: a 81= 9, bo 9 2 = liczba podpierwiastkowa symbol pierwiastka Zapis 81 czytamy: pierwiastek drugiego stopnia liczby 81 lub pierwiastek kwadratowy z 81 lub krótko pierwiastek z 81 P1. Obliczmy następujące pierwiastki: 64= 8 bo 8 2 = = 11 bo 11 2 = = 0 bo 0 2 = 0 0,6 = 0,6 bo (0,6) 2 = 0, = = 9 4 = 2 bo ( 7 9) 2 = bo ( 2) 2 = 9 4 = Pierwiastkiem kwadratowym z nieujemnej liczby nazywamy taką nieujemną liczbę, której kwadrat jest równy liczbie podpierwiastkowej. 96

27 POTĘGA I PIERWIASTEK Wyznaczmy długość krawędzi sześcianu, którego objętość jest równa 64 dm. Przypominamy, że objętość sześcianu o krawędzi a wyraża się wzorem: V = a a a V = a, czyli a = 64 dm Musimy odgadnąć, jaka liczba podniesiona do trzeciej potęgi jest równa 64. Szukaną liczbą jest 4, bo 4 = 64. Zatem długość krawędzi sześcianu wynosi 4 dm. a a a Symboliczny zapis wyznaczania długości krawędzi sześcianu to: 64 = 4, bo 4 = 64 stopień pierwiastka 64 liczba podpierwiastkowa symbol pierwiastka Wyrażenie 64 czytamy: pierwiastek trzeciego stopnia z liczby 64 lub pierwiastek sześcienny z 64 P2. Obliczmy pierwiastki sześcienne: 125 = 5 bo 5 = = 8 bo 8 = 512 0,001 = 0,1 bo (0,1) = 0,001 0, = 0,06 bo (0,06) = 0, = 2 9 bo ( 2 9) = = 8 = 2 = bo (1 1 2) = ( 2) = 27 8 = 8 Pierwiastkiem sześciennym z nieujemnej liczby nazywamy taką liczbę, której sześcian jest równy liczbie podpierwiastkowej. 97

28 P. Zauważ, że: ( 144) 2 = 12 2 = 144 czyli ( 144) 2 = 144 ( 0,81) 2 = (0,9) 2 = 0,81 czyli ( 0,81) 2 = 0,81 ( ) 2 = ( 25 4 ) 2 = ( 5 2) 2 = 25 4 = czyli ( ) 2 = Pierwiastek kwadratowy podniesiony do potęgi drugiej jest równy liczbie podpierwiastkowej. P4. Zauważ również, że: ( 27 ) = = 27 czyli ( 27 ) = 27 ( 0,4 ) = (0,7) = 0,4 czyli ( 0,4 ) = 0,4 ( ) = 125 ( 27 ) = ( 5 ) = = czyli ( ) = Pierwiastek sześcienny podniesiony do potęgi trzeciej jest równy liczbie podpierwiastkowej. 1. Zapisz pierwiastki kwadratowe z podanych liczb: 9; 25; 16; 6; 144; 169; 625; 61; 289; 900; Podaj pierwiastki sześcienne z podanych liczb: 1; 8; 27; 216; 4; 729; 1000; Oblicz: a) 1 49 b) c) d) e) f) Wykonaj pierwiastkowanie: a) 0,04 c) 0,81 e) 0,0016 g) 1,69 b) 0,25 d) 2,25 f ) 0, h) 5,76 98

29 POTĘGA I PIERWIASTEK 5. Oblicz: 8 a) c) e) 1000 g) b) d) 27 4 f) h) Oblicz: a) 0,008 b) 0,512 c) 0,027 d) 0, e) 0,064 f) 0, g) 0,4 h) 0, Wykonaj potęgowanie: a) ( 256) 2 b) ( ) 2 c) ( 8) d) ( 2,89) 2 e) ( 0) 8 f )( Ile wynosi długość boku kwadratu o polu równym: a) 49 m 2 b) 1,96 cm 2 c) dm2 d) 5,29 cm 2? 9. Znajdź długość krawędzi sześcianu o objętości równej: a) 125 cm b) 0,216 dm c) 0,001 m d) 512 litrów 10. Uporządkuj rosnąco liczby: 0,04; 1; ; 0,25; ; 9 ; 0; 2, Oblicz długość siatki potrzebnej do ogrodzenia działki w kształcie kwadratu o powierzchni 6,25 a. Na bramę i furtkę odlicz 4,8 m. 12. Czy obrus o wymiarach 1,6 m x 1, m zakryje stół w kształcie kwadratu, którego powierzchnia wynosi 1,96 m 2? 1. Czy kartonowe pudełko w kształcie sześcianu o objętości 15,625 dm można wstawić do szafy, w której odstęp między półkami wynosi 24 cm? Możesz skorzystać z kalkulatora. ) 99