Liczby wymierne. Liczby wymierne. System rzymski. Liczby wymierne. Działania na liczbach wymiernych. Potęga i pierwiastek

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Liczby wymierne. Liczby wymierne. System rzymski. Liczby wymierne. Działania na liczbach wymiernych. Potęga i pierwiastek"

Transkrypt

1 Liczby wymierne Liczby wymierne System rzymski Liczby wymierne Działania na liczbach wymiernych Potęga i pierwiastek

2 Cyfry i liczby. System rzymski fot. Shutterstock Jakie informacje zapisane w systemie rzymskim można odczytać z rysunku? Podaj inne przykłady zastosowania znaków rzymskich. Do czego jeszcze służą współcześnie liczby zapisywane w systemie rzymskim? Oprócz poznanych wcześniej znaków I, V, X w systemie rzymskim, istnieją też inne, które służą do zapisywania większych liczb: L C D M Symbol C pochodzi od łacińskiego słowa centum, a symbol M od łacińskiego słowa mille. Sposób zapisywania liczb z wykorzystaniem powyższych znaków z tabeli jest analogiczny jak ten, który poznałeś wcześniej. 72 Aby wskazać liczbę, którą zapisano cyframi rzymskimi, wykorzystujemy dodawanie, jak pokazują przykłady: III = = XXXII = = 2 CCCV = = 05 MMMX = = 010 Więc MMDCCLXI = = 2761

3 SYSTEM RZYMSKI Ale gdy znak oznaczający mniejszą liczbę umieszczamy przed znakiem oznaczającym większą, stosujemy odejmowanie: IV = 5 1 = 4 IX = 10 1 = 9 XL = = 40 XC = = 90 CD = = 400 CM = = 900 Odczytaj liczbę zapisaną w systemie rzymskim CDXCIV. Wynik porównaj z zapisem kolegi. P = = MDCCCXCVII M 2409 = MMCD 12 IX DCCC XC VII 129 = 12 MCCXCIII Pisząc liczby w systemie rzymskim, pamiętaj o zasadach: bezpośrednio przed V i X można zapisać tylko znak I bezpośrednio przed L i C można zapisać tylko X bezpośrednio przed D i M można zapisać tylko C jednakowe znaki I, X, C lub M można zapisać obok siebie najwyżej trzy razy znaki V, L i D nie mogą być powtórzone obok siebie Stosując powyższe zasady, wyjaśnij, który zapis liczb w systemie rzymskim jest poprawny A czy B: Liczba Zapis A Zapis B 999 CMXCIX IM 1495 MCDXCV MVD 1990 MCMXC MXM 1010 MX DDVV Rzymianie stosowali ułamki o mianowniku 60 oraz o mianownikach 12, 24 i 48. Ułamki były im potrzebne do liczenia pieniędzy, miało to związek z używaniem miar i wag. Rzymska moneta as ważyła bowiem 1 funt i dzieliła się na 12 uncji. Stąd potrzeba stosowania ułamków o takich właśnie mianownikach. 7

4 1 Odczytaj z fasady domu, w którym roku został zbudowany. 2. Zapisz liczby cyframi arabskimi: a) CCXXVIII d) LXXVI g) CDI j) DCLXVI b) CDXLIV e) MDIX h) MMIX k) MMDCCCIII c) MCXLIV f) CMLXIX i) CDXL l) MMDCCCXXVII. Zapisz w systemie rzymskim: a) 97 c) 411 e) 619 g) 1445 i) 2008 k) 2999 b) 1116 d) 242 f) 162 h) 2071 j) 249 l) Zapisz datę urodzenia w systemie rzymskim: a) swoją b) koleżanki lub kolegi. 5. Dane liczby z biletu zapisz cyframi arabskimi. 6. Podane daty historyczne zapisz w systemie rzymskim. a) Rok 966 przyjmuje się za początek państwa polskiego, bo wówczas książę Mieszko przyjął chrześcijaństwo. b) Koronacja Bolesława Chrobrego na króla Polski odbyła się w 1025 roku. c) Bitwa pod Grunwaldem była w 1410 roku. d) Hołd pruski miał miejsce w roku e) Pierwsza wojna światowa zakończyła się w 1918 roku. f) Druga wojna światowa wybuchła w 199 roku. g) Stan wojenny w Polsce ogłoszono w 1981 roku. h) Karol Wojtyła został wybrany na papieża w 1978 roku. 7. Sprawdź, czy dane liczby są poprawnie zapisane w systemie rzymskim. W przypadku błędu zapisz poprawnie. 495 = VD 99 = XCIX 640 = DCXL 404 = CCCCIV 1999 = MIM 2449 = MMCDIL 8. Spośród zapisów wybierz te, które są poprawne i zapisz je cyframi arabskimi: 74 DD, MMM, IXIX, DMCXXI, CMXL, IC, CD, DC.

5 SYSTEM RZYMSKI 9. Ile zapałek wystarczy przestawić, aby otrzymać równość prawdziwą? 10. Podaj najmniejszą i największą liczbę czterocyfrową w zapisie: a) arabskim b) rzymskim. 11. Sprawdź, czy kwadrat jest magiczny (sumy liczb w wierszach, kolumnach i przekątnych są równe): a) V X IX b) CI CVI CV XII VIII IV CVIII CIV CX VII VI XI CIII CII CVII 12. Sprawdź poprawność obliczeń: a) M + C = MC d) C L = L b) M CC = DCC e) X IX = XIX c) L XX = XXX f) II + CLVII = CLIIX 1. Liczba DCXL wynosi: A. 440 B. 460 C. 640 D Rok 2999 zapisany w systemie rzymskim to: A. MMCMXCIX C. IMMM B. MMMCCXIX D. MMXCMIX. Rok MMDLXVII to inaczej: A B. 257 C D Dziewięćdziesiąte piąt e LO w Warszawie to inaczej: A. CXV B. XCV C. LXXXXV D. CLV 75

6 Pojęcie liczby wymiernej Powtórzmy wiadomości o poznanych liczbach. Liczby naturalne to: 0, 1, 2,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,... Liczby całkowite to:... 5, 4,, 2, 1, 0, 1, 2,, 4, 5, 6, 7,... Znasz ułamki zwykłe i dziesiętne. Przyjrzyj się następującym zapisom liczb: 7 = = = = = 12 4 = ,75 = ,75 = ,75 = = = = = = = Co możesz powiedzieć o liczbach zapisanych w licznikach i w mianownikach? Liczbą wymierną nazywamy każdą liczbę, która da się przedstawić w postaci ułamka zwykłego p q, gdzie p, q są liczbami całkowitymi i q jest różne od zera. Symbolicznie zbiór liczb wymiernych oznaczamy W. W C N 76 W oparciu o rysunek oceń, czy podane zdanie jest prawdziwe: Każda liczba naturalna i całkowita jest liczbą wymierną.

7 LICZBY WYMIERNE PROBLEM! Wytłumacz, dlaczego liczba 0,() jest liczbą wymierną. Wśród liczb wymiernych wyróżniamy liczby: wymierne ujemne wymierne dodatnie zero liczby ujemne są po lewej stronie zera liczby dodatnie są po prawej stronie zera P1. Odczytaj, jakie liczby zaznaczono na osi liczbowej. Sprawdź, że poniższe zdania są prawdziwe: Liczby dodatnie i zero to liczby nieujemne. Liczby ujemne i zero to liczby niedodatnie , ,6 4 Liczby całkowite zaznaczone na osi liczbowej to: 5; 0; 1; 5. 5 Liczby dodatnie zaznaczone na osi liczbowej to: 1; 2,6; 4 ; 5. Na tej osi liczbowej zaznaczono liczby nieujemne: 0; 1; 2,6; 4 ; 5. Niedodatnie liczby zaznaczone na osi liczbowej to: 5; 1 ; 1,5; 0. Na osi liczbowej zaznaczono trzy liczby, które są jednocześnie naturalne, całkowite i wymierne: 0; 1; 5. Pierwsze wzmianki o liczbach ujemnych pojawiły się w chińskim traktacie Matematyka w dziewięciu księgach z II w. p.n.e. Jednak dopiero około V w. n.e. matematycy hinduscy stosowali liczby ujemne do określania stanu majątkowego oraz rozliczeń handlowych, takich jak zapis długu. W powszechnym użyciu znalazły się w połowie XVIII wieku. (na podst. Encyklopedia Szkolna, WSiP, Warszawa 1997, pod red. prof. dr. hab. Włodzimierza Waliszewskiego, s.196) 77

8 1. Jaką liczbą opiszesz: a) pożyczone od kolegi 5 zł, b) temperaturę osiem stopni Celsjusza poniżej zera, c) otrzymane kieszonkowe w wysokości 0 zł, d) głębokość Rowu Mariańskiego, e) wysokość najwyższego szczytu w polskich Tatrach, f) zaciągnięty kredyt hipoteczny na kwotę 140 tys. zł, g) temperaturę ciała zdrowego człowieka, h) położenie Żuław Wiślanych? Do którego ze zbiorów należą te liczby: zbioru liczb naturalnych, całkowitych czy wymiernych? Podaj jak najwięcej możliwych odpowiedzi. 2. Podane liczby: 9; 4 4 ; 0,1; 2 ; 5,2; 11; 17 zapisz w postaci ułamka 5 zwykłego.. Spośród liczb: 10 1 ; 16,95; 2,75; 17; 28 4 ; 0; 2 8 ; ; 6; 25,5; 28,75 wypisz: a) liczby naturalne c) liczby całkowite e) wymierne dodatnie b) wymierne ujemne d) niedodatnie f ) nieujemne 4. Które z liczb zaznaczonych na osi liczbowej są: a) całkowite c) ujemne e) nieujemne b) dodatnie d) niedodatnie f) wymierne? 7, , ,() Zaznacz na osi liczbowej liczby: 2,25; 1 4 ; 1 ; 2,5; ; 0,25;, Zaznacz na osi liczbowej liczby: a) naturalne mniejsze od 7,25 b) całkowite ujemne większe od 8 c) całkowite większe od 6 i mniejsze od 4 d) całkowite niedodatnie większe od e) całkowite dodatnie mniejsze lub równe 6. Ile jest takich liczb?

9 LICZBY WYMIERNE 7. Ile jest liczb: a) naturalnych mniejszych od 7 b) całkowitych ujemnych większych od 10, c) całkowitych niedodatnich większych od 5 d) całkowitych pomiędzy liczbą 4, a liczbą 5 e) naturalnych większych od 1 2, a mniejszych od 61 6 f) całkowitych nieujemnych pomiędzy liczbą 5, a liczbą 4 g)* wymiernych pomiędzy liczbami 2, a 1 2? 8. Określ, które ze zdań jest prawdziwe, a które fałszywe: a) Każda liczba dziesiętna jest liczbą wymierną. b) Istnieją liczby całkowite, które są liczbami naturalnymi. c) Każda liczba naturalna jest liczbą wymierną. d) Każda liczba wymierna jest liczbą całkowitą. e) Istnieją liczby wym ierne, które są liczbami całkowitymi. f ) 0 nie jest liczbą wymierną. g) Nie każda liczba wymierna jest liczbą naturalną. h) Każda liczba, która ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe jest liczbą wymierną. i) Każda liczba całkowita jest liczbą naturalną. 9. Podaj przykład liczby, która jest: a) wymierna i nie jest naturalna b) wymierna i jest mniejsza od c) wymierna i nie jest całkowita d) wymierna i jest większa od 15 e) wymierna ujemna i większa od 1 f) wymierna i nie jest ani dodatnia ani ujemna g)* całkowita i nie jest liczbą wymierną h) naturalna i nie jest liczbą całkowitą. 79

10 Odległość liczb na osi liczbowej P1. 4 0,5 Na osi liczbowej zaznaczono liczby,5 i 4. Odległość liczby,5 od liczby 0 wynosi,5 jednostki. Liczba 4 leży w odległości 4 jednostek od liczby 0. PROBLEM! Czy istnieje liczba, której odległość od liczby 0 wynosi 2 jednostki? Odpowiedź uzasadnij. P2. W klasie Ia uczniowie zaznaczali na osi liczbowej liczbę, która leży w odległości 2 jednostek od liczby 0. Oto rozwiązania dwóch uczniów: Adama Krzysia Uzasadnij, że obaj chłopcy podali poprawne rozwiązanie. Podaj przykłady innych liczb, których odległości od zera są równe. Liczby, które leżą na osi liczbowej w tej samej odległości od zera i po przeciwnych stronach punktu 0 to liczby przeciwne, np.: 2 i 2, i PROBLEM! Czy istnieją takie liczby przeciwne, które są równe? 80 P. Na osi liczbowej zaznaczono punkty A, B, C, D, E odpowiadające liczbom: 5,, 0, 2, 4. A B C D E

11 LICZBY WYMIERNE Odległość między punktami A i B wynosi 2 jednostki. Odległość między liczbami B i D wynosi 5 jednostek. Podaj odległości między pozostałymi punktami. P4. Na osi liczbowej zaznaczono liczbę 1. Ile jest liczb, których odległość od zaznaczonej liczby wynosi jednostki? Są dwie takie liczby: 4 i 2. Znajdź liczby, których odległość od liczby 1 wynosi 7 jednostek. PROBLEM! Ile jest par liczb, których odległość na osi liczbowej wynosi jednostki? 1. Na osi liczbowej zaznaczono liczby: Podaj ich odległości od liczby zero. 2. Jakie to liczby, których odległość od liczby zero jest równa: a) 8 b) c) 1,9 d) 0 e) f) 2. Podaj liczby przeciwne do danych: 4,87; ; 0,5; 15 8 ; 1,167; 21 ; 11 4 ; ( 2 7 ) 4. Podaj takie dwie liczby, których odległość na osi liczbowej wynosi 2 jednostki i które są : a) naturalne d) wymierne, ale nie są naturalne b) wymierne ujemne e) wymierne i mniejsze od 5 c) całkowite niedodatnie f) wymierne i większe od Jakie to liczby, których odległość od liczby 2 wynosi: a) 1 jednostkę b) 2 jednostki c) jednostki 6. Wyznacz odległość między liczbami: a) i 1 b) 4 i 1 c) 2 i 9 d) - i 7 81

12 Porównywanie liczb wymiernych Na osi liczbowej zaznaczono liczby: 6; 1,5; 0; ; 1 4 ; , Czy poprawnie uporządkowano je rosnąco: 6 < 1,5 < 0 < < 1 4 < 5 Wykorzystując zaznaczone liczby na osi liczbowej, odpowiedz na pytania, która z dwóch liczb jest większa, jeśli: a) obie są ujemne b) obie są dodatnie c) jedna jest ujemna, a druga dodatnia? P1. Zauważ, że 1 < 1,5. Ale 1 > 1,5, ponieważ liczba 1 na osi liczbowej znajduje się bliżej 0 niż liczba 1,5. Spośród dwóch liczb ujemnych ta jest większa, która na osi liczbowej znajduje się bliżej zera. 1. Wykorzystując informacje z mapy, wykonaj polecenia: a) Odszukaj miasto, w którym była najniższa temperatura. b) W którym mieście było najcieplej? c) Wypisz malejąco odczytane z mapy temperatury. d) Podaj nazwy tych miast, w których było cieplej niż w Lublinie. 2. Zaznacz na osi liczbowej liczby: 4; ; 2,75; 5; 1 ; 0. Uporządkuj te liczby rosnąco Porównaj liczby: a) 2,5 i 2 1 b) 1 6 i 0 c) 5 4 i 5,25 d) 1,1 i 1,(1)

13 LICZBY WYMIERNE 4. Podaj cztery liczby całkowite dodatnie i trzy liczby całkowite ujemne, które są: a) mniejsze od 19 b) większe od 7,9 c) mniejsze od W tabeli podano temperatury topnienia niektórych substancji. Substancja cyna żelazo gliceryna rtęćazot srebro woda tlen siarka temperatura w C , ,8 120 a) Która z podanych substancji ma najwyższą, a która najniższą temperaturę topnienia? b) Uporządkuj podane temperatury w kolejności rosnącej. 6*. Podaj przykład liczby, która jest: a) większa od 0,5, ale mniejsza od 0,(5) b) większa od 5,4, ale mniejsza od 5, c) większa od 1 2, ale mniejsza od 1. Ile jest takich liczb? 1. Liczbą odwrotną do liczby 1 4 jest: A. 4 1 B. 4 1 C Które zdanie jest fałszywe? A. Istnieją liczby wymierne, które są liczbami całkowitymi. B. 0 nie jest liczbą wymierną. C. Nie każda liczba wymierna jest liczbą naturalną. D. Każda liczba naturalna jest liczbą całkowitą. D Odległość między liczbami 4 oraz jest równa: A. 7 B. 1 C. 7 D Liczby: a = ; b = 1,1; c = 1,(1); d= uporządkowane rosnąco to: A. a < b < a < d C. b < c < d < a B. d < c < a < -b D. a < d < b < c 8

14 Dodawanie i odejmowanie liczb wymiernych Rysunki ilustrują poziom wody Wisły w ciągu dwóch kolejnych dni latem i jesienią. Odczytaj, ile wody ubyło drugiego dnia latem. Nowy poziom wody wynosi 5, bo 2 = 5. Jeśli poziom wody wynosił, a wody ubyło 4, to jaki jest nowy poziom wody? Odczytaj, ile wody przybyło drugiego dnia jesienią. Nowy poziom wody wynosi 2, bo = 2. Jeśli początkowy poziom wody wynosił 5, a wody przybyło 1, to jaki jest nowy poziom wody? Aby wyznaczyć, jaki był początkowy stan wody na rzece, jeśli ubyło 7 i aktualny stan wody wynosi 1, należy wykonać następujące obliczenia: 1 ( 7) = 6 lub x 7 = 1 czyli x = x = 6 stan aktualny ubyło 7 stan początkowy Pewnego dnia stan wody na Wiśle wynosił 6, a następnego 10. Różnica poziomów wód wynosi zatem: ( 6) ( 10) = ( 6) + 10 = 4 Jaka jest różnica poziomu wód na rzece, jeśli pewnego dnia było 7, a następnego 2? Na podstawie powyższych przykładów przypomnij, jak dodawałeś i odejmowałeś liczby całkowite. 84

15 12 DZIAŁANIA NA LICZBACH WYMIERNYCH P1. Obliczmy sumę: a) ( 1 4 )+( 5) = ( ) = 81 4 Suma jest liczbą ujemną, bo obie liczby są ujemne. b) 6 + ( 7,125) = 6 7,125 = (7,125 6) = 1,125 Wynik jest liczbą ujemną, bo od mniejszej liczby odejmujemy większą. c) ( 2,5)= 4 2 2,5 = = = = 21 6 Wynik jest liczbą dodatnią, bo od większej liczby odejmujemy mniejszą. P2. Obliczmy sumę: 18 + ( 19) + ( 26) ( 1) + 29 Aby wykonać działanie najprostszym sposobem, osobno sumujemy liczby dodatnie i osobno sumujemy liczby ujemne, wykorzystując prawo łączności i przemienności dodawania. Następnie liczymy sumę dwóch liczb o różnych znakach, czyli: 18 + ( 19) + ( 26) ( 1) + 29 = 60 + ( 76) = (76 60) = 16 P. Obliczmy różnicę: a) ( 11,) = , = 12,4 + 11, = 2,7 5 b) 2 2 1,25 = ( 22) + ( 11) 4 = ( ) = c) 5,125 ( 7 ) = ( 5,125) +,875 = (5,125,875) = 1,250 = 1,25 8 Odejmowanie można zastąpić dodawaniem liczby przeciwnej. P4. Przypomnijmy, że: = 0 7, + ( 7,) = 0 bo suma liczb przeciwnych jest równa 0 85

16 P5. Własności liczb przeciwnych można wykorzystać przy dodawaniu liczb o różnych znakach. a) 86 + ( 64) = ( 64) = ( 64) = b) 52 + ( 75) = 52 + ( 52) + ( 2) = 52 + ( 52) + ( 2) = Oblicz: a) c) ( 5) + ( 1) e) ( 14) + 17 b) 28+ ( 16) d) ( 24) + 24 f) 15 + ( ) 2. Oblicz sumy: a) ( 18) c) ( 56) + ( 24) + ( 45) e) 15 + ( 9) + ( 11) b) ( 12) + ( 2) + ( 5) d) ( 6) + ( 25) +( 8) f) 26 + ( 2) + 2. Podaj liczbę o 9 większą od liczby: a) 1 b) 25 c) 7 d) 0 e) Znajdź sumę liczby 27 oraz liczby: a) 18 b) 54 c) 2 d) 18 e) Wykonaj dodawanie według przykładu: 14 + ( 9) = ( 9) = = 5 0 a) 26 + ( 2) c) 17 + ( 1) e) ( 1) + 45 b) ( ) + 27 d) 46 + ( 64) f) 88 + ( 108) Oblicz: a) 14 + ( 7) + ( 14) b) ( 44) + ( 71) ( 11) c) ( 5) ( 24) d) 8 + ( 22) ( 17) e) ( 49) + ( 1) + ( 64) f) 89 + ( 27) ( 89)

17 DZIAŁANIA NA LICZBACH WYMIERNYCH 7. Zapisz i oblicz, ile posiadasz pieniędzy, jeśli masz: a) 55 zł gotówki i 28 zł długu b) 120 zł długu i 85 zł gotówki c) 5 zł długu i 75 zł długu. 8. Ile wynosi suma wszystkich liczb całkowitych: a) większych od i mniejszych od? b) większych od 4 i mniejszych od 6? c) większych od 98 i mniejszych od 98? 9. Wykonaj odejmowanie: a) 16 ( 18) c) ( 61) 52 e) 74 ( 81) b) d) ( 57) 28 f) Oblicz: a) 12 ( 2) 2 ( 12) c) 100 ( 12) ( 27) ( 41) ( 19) b) 40 ( 5) ( 21) 56 d) 55 ( 4) ( 16) 5 ( 15) 11. Różnica dwóch liczb jest równa 20. Wyznacz odjemnik, jeśli odjemna wynosi: a) 9 b) 5 c) 17 d) e) Podaj liczbę mniejszą o 45 od liczby: a) 19 b) 6 c) 11 d) 89 e) 0 1. Oblicz: a) ( 6) 12 ( 24) + 5 c) ( 9) + ( 1) 46 + ( 5) b) 71 2 ( ) + 10 ( 11) d) 50 ( 17) + ( 8) 60 ( 6) 14. Marek wypłacił z konta 458 zł. Jaki jest stan jego konta po tej wypłacie, jeżeli początkowo miał 4 zł? 15. Ewa miała debet na koncie w wysokości 289 zł, a po wpłacie stan jej konta wynosił 876 zł. Jaką kwotę wpłaciła Ewa? 16. Wykonaj dodawanie: a) 2 + ( 1,5) d) 2,8 + ( 41) 6 b) 6,4 + ( 4,2) + ( 7,06) e) ( 6,75) c) ( 1 2 ) + ( 7 5 ) f) 4,25 + ( 1 6 ) ( 7,5) 87

18 17. Wykonaj odejmowanie: a) 6,6 ( 4) c) 9 ( 5,5) 1 4 e) 6,56 4,001 b) d) 2,5 6 1 (,75) f) (,4) ( 5,1) 6, Oblicz: a) ( 11) ( 21 ) c),75 ( 8,125) 6,001 ( 5,25) 6 b) 12 ( 2,5) ( 5 12 ) d) 5,8 ( ) ( 12,75) Różnicę liczb 45 2 i 41 zwiększ o liczbę przeciwną do, Od sumy liczb 12,25 i 1 1 odejmij ich różnicę. 21. Najwyższy szczyt w Polsce to Rysy mające 2499 m.n.p.m., natomiast najniższy punkt to Żuławy Wiślane leżące 1,8 m.p.p.m. Jaka jest różnica poziomów pomiędzy najwyższym i najniższym punktem w Polsce? 22. Rano temperatura powietrza wynosiła 5,5 o C i do wieczora wzrosła o 2,7 o C. Jaka temperatura była wieczorem? 2. Wieczorem temperatura powietrza wynosiła 1,6 o C i do rana spadła o 6,5 o C. Jaka temperatura była rano? 24. Różnica wysokości pomiędzy wjazdem do tunelu a najwyższym wzniesieniem wynosi 1600 m. Różnica temperatur wynosi średnio 0,6 C na każde 100 m wysokości. Ile wynosi temperatura powietrza przy wjeździe do tunelu, jeżeli na szczycie jest 11 C? 88

19 DZIAŁANIA NA LICZBACH WYMIERNYCH Mnożenie i dzielenie liczb wymiernych Dwa razy w tygodniu przez miesiąc Marek wypłacał kartą z bankomatu po 50 zł. Jaką kwotę powinien wpłacić pod koniec miesiąca, aby stan jego konta był identyczny jak na początku miesiąca? 50 zł wypłaty bank zaksięguje jako 50 zł. W ciągu tygodnia zadłużenie Marka wynosi 2 ( 50 zł) = 100 zł. Zatem, aby stan jego konta był identyczny jak na początku miesiąca, Marek powinien wpłacić zł = 400 zł. Mnożenie i dzielenie liczb całkowitych wykonujemy tak, jak na liczbach naturalnych, uwzględniając następującą siatkę znaków: Iloczyn/iloraz Liczba dodatnia Liczba ujemna Liczba dodatnia + Liczba ujemna + P1. 26 ( ) = (26 ) = 78 ( 56) : 4 = (56 : 4) = 14 ( 15) ( 4) = 15 4 = 60 ( 96) : ( 16) = 96 : 16 = 6 P2. Przypomnijmy, jak obliczamy iloczyn większej liczby czynników o różnych znakach. ( 2) 2 ( ) ( 1) 5 ( 10) = = 600 Iloczyn jest liczbą dodatnią, bo jest parzysta liczba czynników ujemnych. ( 5) 2 ( 1) ( 10) = ( ) = 00 Iloczyn jest liczbą ujemną, bo jest nieparzysta liczba czynników ujemnych. Jakiego znaku jest iloczyn ( 12) ( 7) 24 2 ( 12) 0 ( 58) 21? Odpowiedź uzasadnij. Przypominamy, że mnożąc i dzieląc liczby wymierne trzeba połączyć umiejętności mnożenia i dzielenia liczb całkowitych oraz ułamków. 89

20 P. a) ( 1 7 ) = ( ) = 15 4 = 4 b) (,6) ( ) = = = 4 iloczyn jest liczbą ujemną, bo występuje tu nieparzysta liczba czynników ujemnych iloczyn jest liczbą dodatnią, bo występuje tu parzysta liczba czynników ujemnych P4. c) ( ) ( ) ( 21 5 ) = ( ) = 18 5 = 5 d) ( 1,1) 2 = ( 1,1) ( 1,1) = 1,21 e) ( 1 2 ) = ( 5) ( 5) ( 5) = = a) 2 4 : ( ) = (11 4 : 8 ) = b) 2,4 : ( 6) = 2,4 : 6 = 0,4 = 2 c) (,5) : = (,5 : 2 1 ) 4 = 5 10 : 9 4 = = 14 9 = 15 9 PROBLEM! Wskaż taką liczbę ujemną, która jest równa swojej odwrotności. 1. Wykonaj mnożenie: a) 21 ( 1) d) 15 b) 2 ( 5) ( ) e) ( 54) c) 1 ( 2) ( ) ( 4) f ) 6 ( 5) ( 4) ( ) ( 2) ( 1) 2. Wykonaj dzielenie: a) 4 : ( 17) c) ( 6) : ( 9) e) 240 : ( 4) : ( 12) : ( 5) b) 0 : ( 51) d) 100 : ( 2) : 5 f ) 1000 : ( 8) : ( 5) : Nie wykonując mnożenia, ustal znak iloczynu: a) 21 ( 2) ( 4) ( 4) ( 11) ( ) 5 b) 16 ( 2) ( 51) ( ) ( 4) 1 c) 51 ( 50) ( 49) ( 48) ( 47) 46 ( 45) d) 128 ( 2) ( 4) 0 ( 49) ( 11) 87

21 DZIAŁANIA NA LICZBACH WYMIERNYCH 4. Oblicz i porównaj wyniki: a) 48 : 6 ( 2) i 48 : [6 ( 2)] b) 160 : ( 40) : ( 8) i 160 : [( 40) : ( 8)] c) 180 : ( 60) : ( ) i 180 : [( 60) : ( )] 5. Znajdź iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych nieparzystych, z których najmniejsza to liczba Oblicz iloczyn czterech kolejnych liczb całkowitych parzystych, z których największą jest liczba Oblicz iloczyn czterech liczb całkowitych, z których każda następna liczba jest o większa od poprzedniej, a największą z nich jest liczba Podane liczby wypisano według pewnej zasady. Na czym ona polega? Jaką liczbę należy wpisać w miejsce kropek? a) 2, 4, 8, 16, 2,... d)...,2, 2, 2, 2, 2 b) 1, 4, 16,..., 256 e) 15, 10, 5,..., 5, 10 c) 480, 240, 120, 60,..., 15 f) 11, 5,..., 7, 1, Wzór F = 9 5 C + 2 stosuje się do obliczania temperatury w stopniach Fahrenheita (F) (czyt. farenhaita), jeśli dana jest temperatura w stopniach Celsjusza (C). Podaj daną temperaturę w stopniach Fahrenheita: a) 15 o C c) 25 o C b) 0 o C d) 5 o C 10. Wzór C = 5 (F 2) stosuje się do obliczania temperatury w stopniach 9 Celsjusza (C), jeśli podana jest temperatura w stopniach Fahrenheita (F). Przedstaw podaną temperaturę w stopniach Celsjusza: a) 5 o F b) 41 o F c) 22 o F d) 2 o F 11. Oblicz: a) d) 4,5 ( 2) ( 1) g) 7 8 ( 2 1) 5 ( 8 b) 5 ( 15) e) ( 4 ) 5 h) 7 ( 0,2) 5,4 ( c) 0, ( 0,15) f) ( 17,) ) ( ) 91

22 12. Wykonaj dzielenie: a),4 : ( 2) d) 0,7 : b) 4,5 9 c), e) 0,25 : ( 0,5) h) f) 15 : ( 4 ) i) 7 g) 4,4 : ( 0,01) : ( 110) : ( 1 2 ) 2 2 : ( 6 7 ) : ( 4 9 ) : 1 2,7 : ( 54 ) : ( 1 7 ) 1. Wyznacz dzielną, jeśli dzielnik jest równy 2, a iloraz 1, Iloczyn dwóch liczb jest równy 9. Oblicz jeden z czynników, jeśli drugi jest równy 4, Iloraz liczb 1 5 i 14 zmniejsz dwukrotnie Znajdź liczbę, której,9 jest równe wartości wyrażenia 1, + 2,7 : 0, (,6) 1. Wykonując działania 4,5 + ( 1 1 ) +,75 otrzymasz: A B C [ 15 + ( 25) : 5] : (6 10) jest równe: A. 5 B. 2 C. 5 2 D D. 5. Iloraz 240 : ( 4) : ( 12) : ( 5) jest równy: A. 25 B. 1 C. 1 D W wyniku działań (2, ) : ( 0,125) + 4 otrzymamy: 5 A. 7 8 B. 8 5 C D

23 POTĘGA I PIERWIASTEK Potęga o wykładniku naturalnym Komórka pewnej bakterii rozmnaża się przez podział polegający na tym, że z każdej komórki powstają dwie nowe. Ile komórek powstanie w wyniku czwartego podziału, a ile w wyniku piątego? W oparciu o rysunek wyjaśnij, w jaki sposób policzysz liczbę bakterii powstałych w wyniku dziesiątego podziału? Czy zapis jest liczbą komórek bakterii po siódmym podziale? Odpowiedź uzasadnij. PROBLEM! Gdyby z jednej komórki bakterii po podziale powstawały trzy nowe komórki, to jak policzysz liczbę komórek po trzecim podziale? Możesz pomóc sobie, wykonując odpowiedni rysunek. Iloczyn jednakowych czynników zapisujemy w postaci potęgi. Zapis: = czynniki ( ) ( ) = ( ) czynniki czytamy: 2 do potęgi czwartej lub czwarta potęga liczby 2. czytamy: do potęgi drugiej lub druga potęga liczby albo do kwadratu lub kwadrat liczby. ( 1 2 ) (1 2 ) (1 2 ) = (1 2 ) czytamy: czynniki do potęgi trzeciej lub trzecia potęga liczby 1 2 albo 1 2 do sześcianu lub sześcian liczby 1 2 9

24 podstawa potęgi 2 wykładnik potęgi Przyjmujemy, że dowolna liczba różna od zera podniesiona do potęgi zerowej równa jest jeden. Na przykład: 7 0 = 1; ( 12,6) 0 = 1; ( 2 9 )0 = 1; (0,57) 0 = 1 P1. Porównaj zapisy: ( ) 2 = 9 i 2 = 9 ( 2 ) = 8 27 Odpowiedź uzasadnij. i 2 = 8 = Zapisz w postaci potęgi: a) d) b) 0,5 ( 0,5) ( 0,5) ( 0,5) ( 0,5) e) 5 5 c) f ) 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 2. Oblicz kwadraty liczb: 8 ; 1; 15; 2 5 ; 0,.. Znajdź sześciany liczb: 1; 2; 5; 1 4 ; 0,1. 4. Wykonaj potęgowanie: a) 5 c) ( 2) e) ( 1) 7 g) ( ) 2 b) ( 4) d) 0 5 f ) ( 2) 5 h) 4 5. Oblicz: a) ( 1 1 2) 2 c) ( 2 5) e) ( 1 1 ) g) b) (1,25) 2 d) ( 2,5) 2 f ) ( 0,2) f ) (,1) 2

25 POTĘGA I PIERWIASTEK 6. Oblicz: a) ( 2) 1 ( 2) ( 2) 5 b) ( ) 2 ( ) 4 ( ) 6 Co decyduje o tym, że wynik potęgowania jest liczbą dodatnią albo ujemną? Zapisz wniosek. 7. Spośród podanych potęg wybierz te, które mają wartości dodatnie: ( ) 5 ; ( 11) 2 ; 4 ; 5 2 ; ( 5) 2 ; 0 9 ; ( 7) 2 ; ( 6) ; ( 9) Dane liczby zapisz w postaci potęg o podstawie 2: 16; 2; 4; 2; 64; 1; Dane liczby zapisz w postaci potęg o podstawie : ; 27; 1; 9; 81; Kasia rozwiązała w poniedziałek dwa zadania i postanowiła, że każdego następnego dnia będzie rozwiązywać dwa razy więcej zadań niż w dniu poprzednim. Ile zadań rozwiązała Kasia w piątek? A ile zadań rozwiązała od poniedziałku do piątku? 11. Oblicz pole kwadratu o boku długości 5 cm, a następnie pole kwadratu o boku trzy razy większym. Ile razy zwiększyło się pole kwadratu? 12. Oblicz objętość sześcianu o krawędzi długości cm, a następnie objętość sześcianu o krawędzi dwa razy większej. Ile razy zwiększyła się objętość sześcianu? 1. Adam wymyślił zabawę polegającą na przesyłaniu pozdrowień przez siedem dni do dwóch osób ze swojej szkoły, które prześlą je dalej, każda do kolejnych dwóch osób. Ile pozdrowień zostanie wysłanych, jeśli szkoła, do której chodzi Adam, liczy 512 uczniów? Załóżmy, że każda osoba otrzyma jedno pozdrowienie. Wynik zapisz w postaci potęgi. 14. Na gałązce krzewu każdego roku wyrastają z jednego pąka nowe pędy zakończone pąkiem. Ile pąków będzie miała gałązka krzewu po 5 latach, która wyrosła z jednego pąka? 95

26 Pierwiastek kwadratowy i sześcienny Obliczmy długość boku kwadratu, którego pole jest równe 81 cm 2. Przypominamy, że pole kwadratu o boku a wyraża się wzorem: P = a a P = a 2, czyli a 2 = 81 a Musimy odgadnąć liczbę, której kwadrat jest równy 81. Tą liczbą jest 9, bo 9 2 = 81 oraz 9 bo ( 9) 2 = 81 Ale bok kwadratu ma długość 9 cm, ponieważ długość nie może być liczbą ujemną. Wyznaczanie długości boku kwadratu zapisujemy symbolicznie: a 81= 9, bo 9 2 = liczba podpierwiastkowa symbol pierwiastka Zapis 81 czytamy: pierwiastek drugiego stopnia liczby 81 lub pierwiastek kwadratowy z 81 lub krótko pierwiastek z 81 P1. Obliczmy następujące pierwiastki: 64= 8 bo 8 2 = = 11 bo 11 2 = = 0 bo 0 2 = 0 0,6 = 0,6 bo (0,6) 2 = 0, = = 9 4 = 2 bo ( 7 9) 2 = bo ( 2) 2 = 9 4 = Pierwiastkiem kwadratowym z nieujemnej liczby nazywamy taką nieujemną liczbę, której kwadrat jest równy liczbie podpierwiastkowej. 96

27 POTĘGA I PIERWIASTEK Wyznaczmy długość krawędzi sześcianu, którego objętość jest równa 64 dm. Przypominamy, że objętość sześcianu o krawędzi a wyraża się wzorem: V = a a a V = a, czyli a = 64 dm Musimy odgadnąć, jaka liczba podniesiona do trzeciej potęgi jest równa 64. Szukaną liczbą jest 4, bo 4 = 64. Zatem długość krawędzi sześcianu wynosi 4 dm. a a a Symboliczny zapis wyznaczania długości krawędzi sześcianu to: 64 = 4, bo 4 = 64 stopień pierwiastka 64 liczba podpierwiastkowa symbol pierwiastka Wyrażenie 64 czytamy: pierwiastek trzeciego stopnia z liczby 64 lub pierwiastek sześcienny z 64 P2. Obliczmy pierwiastki sześcienne: 125 = 5 bo 5 = = 8 bo 8 = 512 0,001 = 0,1 bo (0,1) = 0,001 0, = 0,06 bo (0,06) = 0, = 2 9 bo ( 2 9) = = 8 = 2 = bo (1 1 2) = ( 2) = 27 8 = 8 Pierwiastkiem sześciennym z nieujemnej liczby nazywamy taką liczbę, której sześcian jest równy liczbie podpierwiastkowej. 97

28 P. Zauważ, że: ( 144) 2 = 12 2 = 144 czyli ( 144) 2 = 144 ( 0,81) 2 = (0,9) 2 = 0,81 czyli ( 0,81) 2 = 0,81 ( ) 2 = ( 25 4 ) 2 = ( 5 2) 2 = 25 4 = czyli ( ) 2 = Pierwiastek kwadratowy podniesiony do potęgi drugiej jest równy liczbie podpierwiastkowej. P4. Zauważ również, że: ( 27 ) = = 27 czyli ( 27 ) = 27 ( 0,4 ) = (0,7) = 0,4 czyli ( 0,4 ) = 0,4 ( ) = 125 ( 27 ) = ( 5 ) = = czyli ( ) = Pierwiastek sześcienny podniesiony do potęgi trzeciej jest równy liczbie podpierwiastkowej. 1. Zapisz pierwiastki kwadratowe z podanych liczb: 9; 25; 16; 6; 144; 169; 625; 61; 289; 900; Podaj pierwiastki sześcienne z podanych liczb: 1; 8; 27; 216; 4; 729; 1000; Oblicz: a) 1 49 b) c) d) e) f) Wykonaj pierwiastkowanie: a) 0,04 c) 0,81 e) 0,0016 g) 1,69 b) 0,25 d) 2,25 f ) 0, h) 5,76 98

29 POTĘGA I PIERWIASTEK 5. Oblicz: 8 a) c) e) 1000 g) b) d) 27 4 f) h) Oblicz: a) 0,008 b) 0,512 c) 0,027 d) 0, e) 0,064 f) 0, g) 0,4 h) 0, Wykonaj potęgowanie: a) ( 256) 2 b) ( ) 2 c) ( 8) d) ( 2,89) 2 e) ( 0) 8 f )( Ile wynosi długość boku kwadratu o polu równym: a) 49 m 2 b) 1,96 cm 2 c) dm2 d) 5,29 cm 2? 9. Znajdź długość krawędzi sześcianu o objętości równej: a) 125 cm b) 0,216 dm c) 0,001 m d) 512 litrów 10. Uporządkuj rosnąco liczby: 0,04; 1; ; 0,25; ; 9 ; 0; 2, Oblicz długość siatki potrzebnej do ogrodzenia działki w kształcie kwadratu o powierzchni 6,25 a. Na bramę i furtkę odlicz 4,8 m. 12. Czy obrus o wymiarach 1,6 m x 1, m zakryje stół w kształcie kwadratu, którego powierzchnia wynosi 1,96 m 2? 1. Czy kartonowe pudełko w kształcie sześcianu o objętości 15,625 dm można wstawić do szafy, w której odstęp między półkami wynosi 24 cm? Możesz skorzystać z kalkulatora. ) 99

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,

Bardziej szczegółowo

ZBIÓR ZADAŃ - ROZUMOWANIE I ARGUMENTACJA

ZBIÓR ZADAŃ - ROZUMOWANIE I ARGUMENTACJA ZIÓR ZŃ - ROZUMOWNIE I RGUMENTJ 0--30 Strona ZIÓR ZO O WYMGNI EGZMINYJNEGO - ROZUMOWNIE I RGUMENTJ. Zapisz sumę trzech kolejnych liczb naturalnych, z których najmniejsza jest liczba n. zy suma ta jest

Bardziej szczegółowo

Do gimnazjum by dobrze zakończyć! Do liceum by dobrze zacząć! MATEMATYKA. Na dobry start do liceum. Zadania. Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro

Do gimnazjum by dobrze zakończyć! Do liceum by dobrze zacząć! MATEMATYKA. Na dobry start do liceum. Zadania. Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro 6 Na dobry start do liceum 8Piotr Drozdowski 6 Do gimnazjum by dobrze zakończyć! Do liceum by dobrze zacząć! MATEMATYKA Zadania Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro Piotr Drozdowski MATEMATYKA. Na dobry

Bardziej szczegółowo

Lista zadań nr 15 TERMIN ODDANIA ROZWIĄZANYCH ZADAŃ 9 marca 2015

Lista zadań nr 15 TERMIN ODDANIA ROZWIĄZANYCH ZADAŃ 9 marca 2015 Lista zadań nr 5 TERMIN ODDANIA ROZWIĄZANYCH ZADAŃ 9 marca 05 Liczby rzeczywiste a) planuję i wykonuję obliczenia na liczbach rzeczywistych; w szczególności obliczam pierwiastki, w tym pierwiastki nieparzystego

Bardziej szczegółowo

ZADANIA MATURALNE LICZBY RZECZYWISTE - POZIOM PODSTAWOWY. Opracowała mgr Danuta Brzezińska

ZADANIA MATURALNE LICZBY RZECZYWISTE - POZIOM PODSTAWOWY. Opracowała mgr Danuta Brzezińska ZADANIA MATURALNE LICZBY RZECZYWISTE - POZIOM PODSTAWOWY Zad1 ( 5 pkt) 1 0 8 1 2 11 5 4 Dane są liczby x 5, y 5 2 2 1 5 a) Wyznacz liczbę, której 60% jest równe x Wynik podaj z dokładnością do 0,01 b)

Bardziej szczegółowo

Ciekawe zadania o... liczbach całkowitych poziom 3

Ciekawe zadania o... liczbach całkowitych poziom 3 1/9 Małgorzata Rucińska-Wrzesińska Ciekawe zadania o... liczbach całkowitych poziom 3 Zadanie 1 Zapisz pięć liczb całkowitych co najmniej trzycyfrowych oraz liczby do nich przeciwne. Następnie uszereguj

Bardziej szczegółowo

Treści nauczania wymagania szczegółowe

Treści nauczania wymagania szczegółowe Treści nauczania wymagania szczegółowe 1. Liczby wymierne dodatnie. Uczeń: 1) odczytuje i zapisuje liczby naturalne dodatnie w systemie rzymskim (w zakresie do 3000); 2) dodaje, odejmuje, mnoży i dzieli

Bardziej szczegółowo

Kuratorium Oświaty w Lublinie ZESTAW ZADAŃ KONKURSOWYCH Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW SZKOŁY PODSTAWOWEJ ROK SZKOLNY 2014/2015 ETAP WOJEWÓDZKI

Kuratorium Oświaty w Lublinie ZESTAW ZADAŃ KONKURSOWYCH Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW SZKOŁY PODSTAWOWEJ ROK SZKOLNY 2014/2015 ETAP WOJEWÓDZKI Kuratorium Oświaty w Lublinie KOD UCZNIA ZESTAW ZADAŃ KONKURSOWYCH Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW SZKOŁY PODSTAWOWEJ ROK SZKOLNY 2014/2015 ETAP WOJEWÓDZKI Instrukcja dla ucznia 1. Zestaw konkursowy zawiera 14

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY V

MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY V MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY V Na ocenę wyższą uczeń powinien opanować wiedzę i umiejętności na ocenę (oceny) niższą. Dział programowy: LICZBY NATURALNE podać przykład liczby naturalnej czytać

Bardziej szczegółowo

WIOLETTA NAWROCKA nauczyciel matematyki w Zespole Szkół w Choczewie IDĘ DO GIMNAZJUM ZADANIA TESTOWE Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KL. VI.

WIOLETTA NAWROCKA nauczyciel matematyki w Zespole Szkół w Choczewie IDĘ DO GIMNAZJUM ZADANIA TESTOWE Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KL. VI. WIOLETTA NAWROCKA nauczyciel matematyki w Zespole Szkół w Choczewie IDĘ DO GIMNAZJUM ZADANIA TESTOWE Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KL. VI. Przeczytaj uważnie pytanie. Chwilę zastanów się. Masz do wyboru cztery

Bardziej szczegółowo

Konkursy w województwie podkarpackim w roku szkolnym 2013/2014 KONKURS Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW SZKÓŁ PODSTAWOWYCH ETAP REJONOWY

Konkursy w województwie podkarpackim w roku szkolnym 2013/2014 KONKURS Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW SZKÓŁ PODSTAWOWYCH ETAP REJONOWY Kod ucznia - - pieczątka WKK Dzień Miesiąc Rok DATA URODZENIA UCZNIA KONKURS Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW SZKÓŁ PODSTAWOWYCH ETAP REJONOWY Drogi Uczniu! Witaj na II etapie konkursu z matematyki. Przeczytaj

Bardziej szczegółowo

Liczby rzeczywiste. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych. Robert Malenkowski 1

Liczby rzeczywiste. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych. Robert Malenkowski 1 Robert Malenkowski 1 Liczby rzeczywiste. 1 Liczby naturalne. N {0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8...} Liczby naturalne to liczby używane powszechnie do liczenia i ustalania kolejności. Liczby naturalne można ustawić

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KLAS IV-VI

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KLAS IV-VI WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KLAS IV-VI Klasa IV Stopień dopuszczający otrzymuje uczeń, który potrafi: odejmować liczby w zakresie 100 z przekroczeniem progu dziesiątkowego,

Bardziej szczegółowo

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Wyrażeniem algebraicznym nazywamy wyrażenie zbudowane z liczb, liter, nawiasów oraz znaków działań, na przykład: Symbole literowe występujące w wyrażeniu algebraicznym nazywamy zmiennymi.

Bardziej szczegółowo

Ciekawe zadania o... liczbach całkowitych poziom 2

Ciekawe zadania o... liczbach całkowitych poziom 2 1/6 Małgorzata Rucińska-Wrzesińska Ciekawe zadania o... liczbach całkowitych poziom 2 Zadanie 1 Zapisz w postaci liczb ujemnych: a. temperaturę powietrza zanotowaną pewnego zimowego poranka i wynoszącą

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2014/15

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2014/15 Ćwiczenia 5/6, 10, 17.03.2015 (obie grupy) 33. Połączyć podane warunki w grupy warunków równoważnych dla dowolnej liczby naturalnej n. a) liczba n jest nieparzysta b) liczba n jest względnie pierwsza z

Bardziej szczegółowo

Powtórzenie podstawowych zagadnień. związanych ze sprawnością rachunkową *

Powtórzenie podstawowych zagadnień. związanych ze sprawnością rachunkową * Powtórzenie podstawowych zagadnień związanych ze sprawnością rachunkową * (Materiały dydaktyczne do laboratorium fizyki) Politechnika Koszalińska październik 2010 Spis treści 1. Zbiory liczb..................................................

Bardziej szczegółowo

Matematyka podstawowa I. Liczby rzeczywiste, zbiory

Matematyka podstawowa I. Liczby rzeczywiste, zbiory Zadania wprowadzające: Matematyka podstawowa I Liczby rzeczywiste, zbiory 1. Liczba jest równa 2. Liczba jest równa 3. Wynikiem działania jest 4. Przedstaw w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego 5. Oblicz

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny szkolne w klasie V

Wymagania na poszczególne oceny szkolne w klasie V Wymagania na poszczególne oceny szkolne w klasie V Wymagania Dział 1. Liczby naturalne i dziesiętne. Działania na liczbach naturalnych i dziesiętnych Uczeń: Zastosowania matematyki praktycznych liczbę

Bardziej szczegółowo

Matematyka Matematyka z pomysłem Klasa 5 Szkoła podstawowa 4 6

Matematyka Matematyka z pomysłem Klasa 5 Szkoła podstawowa 4 6 Wymagania na poszczególne oceny szkolne Ocena postępów ucznia jest wynikiem oceny stopnia opanowania jego umiejętności podstawowych i ponadpodstawowych. W programie nauczania Matematyka z pomysłem umiejętności

Bardziej szczegółowo

podstawowe (ocena dostateczna) 3 Dział 1. Liczby naturalne i dziesiętne. Działania na liczbach naturalnych i dziesiętnych Uczeń:

podstawowe (ocena dostateczna) 3 Dział 1. Liczby naturalne i dziesiętne. Działania na liczbach naturalnych i dziesiętnych Uczeń: Klasa V Wymagania na poszczególne oceny szkolne Ocena postępów ucznia jest wynikiem oceny stopnia opanowania jego umiejętności podstawowych i ponadpodstawowych. W programie nauczania Matematyka z pomysłem

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN GIMNAZJALNY W ROKU SZKOLNYM 2011/2012

EGZAMIN GIMNAZJALNY W ROKU SZKOLNYM 2011/2012 EGZAMIN GIMNAZJALNY W ROKU SZKOLNYM 2011/2012 BADANIE UMIEJĘTNOŚCI UCZNIÓW W TRZECIEJ KLASIE GIMNAZJUM CZĘŚĆ MATEMATYCZNO PRZYRODNICZA MATEMATYKA TEST 2 Klucz odpowiedzi i wykaz umiejętności do pobrania

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny szkolne

Wymagania na poszczególne oceny szkolne Wymagania na poszczególne oceny szkolne Klasa V Rozdział Wymagania podstawowe Wymagania ponadpodstawowe konieczne (ocena dopuszczająca) 2 podstawowe (ocena dostateczna) 3 rozszerzające (ocena dobra) 4

Bardziej szczegółowo

I semestr WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA VI. Wymagania na ocenę dopuszczającą. Dział programu: Liczby naturalne

I semestr WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA VI. Wymagania na ocenę dopuszczającą. Dział programu: Liczby naturalne WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA VI Wymagania na ocenę dopuszczającą I semestr Dział programu: Liczby naturalne Oblicza różnice czasu proste Wymienia jednostki opisujące prędkość, drogę, czas. Rozwiązuje

Bardziej szczegółowo

Dany jest ciąg określony wzorem dla. Oblicz i. Piąty wyraz ciągu określonego wzorem, gdzie jest równy A) 1 B) 5 C) 10 D) 0,5.

Dany jest ciąg określony wzorem dla. Oblicz i. Piąty wyraz ciągu określonego wzorem, gdzie jest równy A) 1 B) 5 C) 10 D) 0,5. Zadanie 1 Dany jest ciąg określony wzorem dla. Oblicz i. Zadanie 2 Piąty wyraz ciągu określonego wzorem, gdzie jest równy A) 1 B) 5 C) 10 D) 0,5. Zadanie 3 Dany jest ciąg o wzorze ogólnym, gdzie. Piąty

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie 5

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie 5 Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie 5 Wymagania podstawowe Wymagania ponadpodstawowe Rozdział konieczne (ocena dopuszczająca) 2 podstawowe (ocena dostateczna) 3 rozszerzające (ocena dobra) 4 dopełniające

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy z wymaganiami edukacyjnymi z matematyki w zakresie podstawowym dla klasy 1 zsz Katarzyna Szczygieł

Plan wynikowy z wymaganiami edukacyjnymi z matematyki w zakresie podstawowym dla klasy 1 zsz Katarzyna Szczygieł Plan wynikowy z wymaganiami edukacyjnymi z matematyki w zakresie podstawowym dla klasy 1 zsz Katarzyna Szczygieł Lp. Temat Kształcone umiejętności 1 Zasady pracy na lekcjach matematyki. Dział I. LICZBY

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE

WYMAGANIA EDUKACYJNE SZKOŁA PODSTAWOWA W RYCZOWIE WYMAGANIA EDUKACYJNE niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z MATEMATYKI w klasie 6 Szkoły Podstawowej str. 1 Liczby naturalne

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN GIMNAZJALNY

PRÓBNY EGZAMIN GIMNAZJALNY PRÓBNY EGZAMIN GIMNAZJALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO 31 MARCA 2012 CZAS PRACY: 90 MINUT 1 ZADANIE 1 (1 PKT.) Kierowca samochodu dostawczego zanotował w tabeli informacje

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI DLA KL. 5

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI DLA KL. 5 WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI DLA KL. 5 Na ocenę niedostateczną (1) uczeń nie spełnia wymagań koniecznych. Na ocenę dopuszczającą (2) uczeń spełnia wymagania konieczne tzn.: 1. posiada i

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie IV

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie IV Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie IV Na ocenę dopuszczającą uczeń potrafi: Dodawać i odejmować w pamięci liczby dwucyfrowe. Obliczyć wartości wyrażeń arytmetycznych z zachowaniem kolejności wykonywania

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA - KLASA IV. I półrocze

MATEMATYKA - KLASA IV. I półrocze Liczby i działania MATEMATYKA - KLASA IV I półrocze Rozróżnia pojęcia: cyfra, liczba. Porównuje liczby naturalne proste przypadki. Dodaje i odejmuje liczby naturalne w zakresie 100. Mnoży i dzieli liczby

Bardziej szczegółowo

Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów szkół podstawowych województwa śląskiego w roku szkolnym 2014/2015

Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów szkół podstawowych województwa śląskiego w roku szkolnym 2014/2015 Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów szkół podstawowych województwa śląskiego w roku szkolnym 2014/2015 KOD UCZNIA Etap: Data: Czas pracy: rejonowy 13 stycznia 2015 r. 90 minut Informacje

Bardziej szczegółowo

Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika(

Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika( STOPIEŃ BARDZO WYMAGANIA NA OCENY ŚRÓDROCZNE: LICZBY NATURALNE - POWTÓRZENIE WIADOMOŚCI I OSIĄGNIĘCIA Zapisywanie i odczytywanie liczb w dziesiątkowym systemie pozycyjnym. Obliczanie wartości wyrażeń arytmetycznych

Bardziej szczegółowo

Sprawdzian z matematyki na rozpoczęcie nauki w pierwszej klasie gimnazjum

Sprawdzian z matematyki na rozpoczęcie nauki w pierwszej klasie gimnazjum WYPEŁNIA UCZEŃ Kod ucznia Sprawdzian z matematyki na rozpoczęcie nauki w pierwszej klasie gimnazjum Informacje dla ucznia. Sprawdź, czy sprawdzian ma 7 stron. Ewentualny brak stron lub inne usterki zgłoś

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE IV

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE IV WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE IV Zna zależności wartości cyfry od jej położenia w liczbie Zna kolejność działań bez użycia nawiasów Zna algorytmy czterech działań pisemnych

Bardziej szczegółowo

Liczby i działania str. 1/6

Liczby i działania str. 1/6 Liczby i działania str. 1/6 1. Rysunek, na którym zacieniowano 4 figury, to rysunek: 2. Odwrotnością liczby 1 1 jest: 6 B. 6 C. 1 1 D. 1 1 3. Odwrotnością liczby 2 7 jest: 2 7 B. 3 1 2 C. 7 2 D. 2 7 4.

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY IV

MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY IV MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY IV Nauczyciel: Jacek Zoń WYMAGANIA EDUKACYJNE NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA KLASY IV : 1. przeczyta i zapisze liczbę wielocyfrową (do tysięcy) 2. zna nazwy rzędów

Bardziej szczegółowo

Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. PESEL

Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. PESEL Układ graficzny CKE 2011 Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. UZUPEŁNIA ZESPÓŁ NADZORUJĄCY KOD UCZNIA PESEL miejsce na naklejkę z

Bardziej szczegółowo

Klasa 3. Odczytywanie wykresów.

Klasa 3. Odczytywanie wykresów. Klasa 3 Odczytywanie wykresów 1 Wykres obok przedstawia zmiany temperatury podczas pewnego zimowego dnia w Giżycku Jaką temperaturę powietrza pokazywał tego dnia termometr o godzinie 18 00? A 0 C B 1 C

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału nauczania z matematyki dla klasy V

Rozkład materiału nauczania z matematyki dla klasy V Rozkład materiału nauczania z matematyki dla klasy V Lp. Temat lekcji uwagi D Lekcja organizacyjna. Zapoznanie uczniów z programem nauczania oraz systemem oceniania. LICZBY NATURALNE 1-22 1. Liczba, a

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych z matematyki na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka wokół nas klasa 4

Katalog wymagań programowych z matematyki na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka wokół nas klasa 4 Katalog wymagań programowych z matematyki na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka wokół nas klasa 4 Kategorie zostały określone następująco: dotyczy wiadomości uczeń zna uczeń rozumie dotyczy przetwarzania

Bardziej szczegółowo

ZADANIA MATEMATYCZNE DLA UCZNIÓW KLAS VI zestaw drugi.

ZADANIA MATEMATYCZNE DLA UCZNIÓW KLAS VI zestaw drugi. ZADANIA MATEMATYCZNE DLA UCZNIÓW KLAS VI zestaw drugi. 21. Za bilety wstępu do pijalni wód mineralnych dla 4 osób dorosłych i 40 dzieci zapłacono 106 zł. Bilet dla osoby dorosłej kosztował 3,50 zł. Ile

Bardziej szczegółowo

Trenuj przed sprawdzianem! Matematyka Test 3

Trenuj przed sprawdzianem! Matematyka Test 3 mię i nazwisko ucznia...................................................................... Klasa............... Numer w dzienniku.............. 1. Dom państwa Wiśniewskich stoi na działce o powierzchni

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WOKÓŁ NAS Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 4

MATEMATYKA WOKÓŁ NAS Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 4 MATEMATYKA WOKÓŁ NAS Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 4 Dział programu: Działania na liczbach naturalnych Rozróżnia pojęcia: cyfra, liczba. Porównuje liczby naturalne

Bardziej szczegółowo

Matematyka test dla uczniów klas piątych

Matematyka test dla uczniów klas piątych Matematyka test dla uczniów klas piątych szkół podstawowych w roku szkolnym 2010/2011 Etap szkolny (60 minut) Dysleksja [suma punktów] Imię i nazwisko... kl.5... Asia postanowiła sprawdzić, ile czasu poświęca

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCEN DLA KLASY VI. Zespół Szkolno-Przedszkolny nr 1

KRYTERIA OCEN DLA KLASY VI. Zespół Szkolno-Przedszkolny nr 1 KRYTERIA OCEN DLA KLASY VI Zespół Szkolno-Przedszkolny nr 1 2 3 KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA KLASY VI LICZBY NATURALNE I UŁAMKI Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien: - znać algorytm czterech

Bardziej szczegółowo

KL. I. ZAD. 2 Zapytano rybaka, ile waży złowiona przez niego rybka. Rybak odpowiedział:

KL. I. ZAD. 2 Zapytano rybaka, ile waży złowiona przez niego rybka. Rybak odpowiedział: KL. I ZAD. 1 2 3 0,5 x 3 5 Oblicz x : 1, 2 7 3 1 1,4 : 2 20 4 ZAD. 2 Zapytano rybaka, ile waży złowiona przez niego rybka. Rybak odpowiedział: 2 2 kg i jeszcze 2 razy po swojej masy. Ile waży złowiona

Bardziej szczegółowo

SZCZEGÓŁOWE KRYTERIA OCENIANIA UCZNIÓW W ZAKRESIE TREŚCI PROGRAMOWYCH Z MATEMATYKI W KLASACH IV i V ZESPOŁU SZKÓŁ W ŚWILCZY

SZCZEGÓŁOWE KRYTERIA OCENIANIA UCZNIÓW W ZAKRESIE TREŚCI PROGRAMOWYCH Z MATEMATYKI W KLASACH IV i V ZESPOŁU SZKÓŁ W ŚWILCZY SZCZEGÓŁOWE KRYTERIA OCENIANIA UCZNIÓW W ZAKRESIE TREŚCI PROGRAMOWYCH Z MATEMATYKI W KLASACH IV i V ZESPOŁU SZKÓŁ W ŚWILCZY KLASA IV Uczeń otrzymuje ocenę celującą gdy: potrafi samodzielnie wyciągać wnioski,

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Repetytorium szóstoklasisty

Matematyka. Repetytorium szóstoklasisty Matematyka Repetytorium szóstoklasisty 7 do sprawdzianu Najpierw... Potem... 4 1 2 + 8 Powodzenia!!! 7 Szóstoklasisto, już wkrótce ukończysz naukę w szkole podstawowej. Zanim to jednak nastąpi, w kwietniu

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 4

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 4 Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 4 Dział programowy: Działania na liczbach naturalnych Uczeń: 6 5 4 3 2 Opis osiągnięć rozróżnia pojęcia: cyfra, liczba 6 5 4 3 2 porównuje

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki na poszczególne oceny klasa IV

Wymagania edukacyjne z matematyki na poszczególne oceny klasa IV Wymagania edukacyjne z matematyki na poszczególne oceny klasa IV Ocena dopuszczająca: Rozróżnia pojęcia cyfra liczba Porównuje liczby naturalne-proste przypadki Dodaje i odejmuje liczby naturalne w zakresie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY IV REALIZOWANE WEDŁUG

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY IV REALIZOWANE WEDŁUG WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY IV REALIZOWANE WEDŁUG PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM Poziom podstawowy Poziom ponadpodstawowy Uczeń potrafi na: Uczeń potrafi na: ocenę dopuszczającą ocenę dostateczną

Bardziej szczegółowo

DZIAŁ 1. LICZBY NATURALNE I DZIESIĘTNE. DZIAŁANIA NA LICZBACH NATURALNYCH I DZIESIĘTNYCH (40 GODZ.)

DZIAŁ 1. LICZBY NATURALNE I DZIESIĘTNE. DZIAŁANIA NA LICZBACH NATURALNYCH I DZIESIĘTNYCH (40 GODZ.) Matematyka w otaczającym nas świecie Gra tabliczka mnożenia Karta pracy 1 Po IV klasie szkoły podstawowej Ślimak gra edukacyjna z tabliczką mnożenia 1. Zastosowania matematyki w sytuacjach praktycznych

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny szkolne KLASA VI

Wymagania na poszczególne oceny szkolne KLASA VI Matematyka Matematyka z pomysłem Klasa Szkoła podstawowa Wymagania na poszczególne oceny szkolne Ocena postępów ucznia jest wynikiem oceny stopnia opanowania jego umiejętności podstawowych i ponadpodstawowych.

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA W KLASACH CZWARTYCH - Matematyka. ocenę niedostateczną otrzymuje uczeń, który nie spełnia kryteriów na ocenę dopuszczającą;

KRYTERIA OCENIANIA W KLASACH CZWARTYCH - Matematyka. ocenę niedostateczną otrzymuje uczeń, który nie spełnia kryteriów na ocenę dopuszczającą; KRYTERIA OCENIANIA W KLASACH CZWARTYCH - Matematyka ocenę niedostateczną otrzymuje uczeń, który nie spełnia kryteriów na ocenę dopuszczającą; ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: porównuje liczby

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KL. 6

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KL. 6 WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI W KL. 6 Na ocenę niedostateczną (1) uczeń nie spełnia wymagań koniecznych. Na ocenę dopuszczającą (2) uczeń spełnia wymagania konieczne tzn.: 1. posiada i prowadzi

Bardziej szczegółowo

Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów. Etap Wojewódzki 12 lutego 2015 Czas 90 minut

Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów. Etap Wojewódzki 12 lutego 2015 Czas 90 minut Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów. Etap Wojewódzki 12 lutego 2015 Czas 90 minut Rozwiązania i punktacja Zadanie 1. (1 punkt) Średnia arytmetyczna liczb 0, 3 10 2015 i 2, 2 10 201 jest

Bardziej szczegółowo

Nie tylko wynik Plan wynikowy dla klasy 1 gimnazjum

Nie tylko wynik Plan wynikowy dla klasy 1 gimnazjum Poziomy wymagań edukacyjnych: K konieczny P podstawowy R rozszerzający D dopełniający W wykraczający Nie tylko wynik Plan wynikowy dla klasy 1 gimnazjum Ułamki i działania 20 h Nazwa modułu I. Ułamki zwykłe

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki KLASA VI

Wymagania edukacyjne z matematyki KLASA VI Wymagania edukacyjne z matematyki KLASA VI Ocena dopuszczająca Uczeń: zna nazwy argumentów działań, algorytmy czterech działań pisemnych, algorytm mnożenia i dzielenia ułamków dziesiętnych przez 10, 100,

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM.

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM. I. Funkcje. ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM. 1. Pojęcie funkcji i jej dziedzina. 2. Zbiór wartości funkcji. 3. Wykres funkcji liczbowej i odczytywanie jej własności

Bardziej szczegółowo

Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów województwa śląskiego w roku szkolnym 2014/2015

Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów województwa śląskiego w roku szkolnym 2014/2015 Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów województwa śląskiego w roku szkolnym 204/205 KOD UCZNIA Etap: Data: Czas pracy: rejonowy 5 stycznia 205 r. 20 minut Informacje dla ucznia.

Bardziej szczegółowo

PESEL. Czas pracy: do 135 minut 4. Rozwiązania zadań od 21. do 23. formułujesz samodzielnie.

PESEL. Czas pracy: do 135 minut 4. Rozwiązania zadań od 21. do 23. formułujesz samodzielnie. Układ graficzny CKE 2011 Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. UZUPEŁNIA ZESPÓŁ NADZORUJĄCY KOD UCZNIA PESEL miejsce na naklejkę z

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1 Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powielanie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przypadku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia

Bardziej szczegółowo

UZUPEŁNIA ZESPÓŁ NADZORUJĄCY

UZUPEŁNIA ZESPÓŁ NADZORUJĄCY Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2013 KOD UCZNIA UZUPEŁNIA ZESPÓŁ NADZORUJĄCY PESEL miejsce na naklejkę z kodem EGZAMIN W KLASIE TRZECIEJ

Bardziej szczegółowo

V Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów szkół podstawowych województwa wielkopolskiego

V Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów szkół podstawowych województwa wielkopolskiego Kod ucznia Data urodzenia ucznia Dzień miesiąc rok V Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów szkół podstawowych ETAP REJONOWY Rok szkolny 01/016 Instrukcja dla ucznia 1. Sprawdź, czy test zawiera 1

Bardziej szczegółowo

Trening czyni mistrza zdaj maturę na piątkę

Trening czyni mistrza zdaj maturę na piątkę Trening czyni mistrza zdaj maturę na piątkę ZESTAW I Liczby rzeczywiste Zdający demonstruje poziom opanowania powyższych umiejętności, rozwiązując zadania, w których: a) planuje i wykonuje obliczenia na

Bardziej szczegółowo

Skrypt 23. Przygotowanie do egzaminu Pierwiastki

Skrypt 23. Przygotowanie do egzaminu Pierwiastki Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla gimnazjów współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 2 Przygotowanie do egzaminu Pierwiastki 1.

Bardziej szczegółowo

Matematyka Matematyka z pomysłem Klasa 5 Szkoła podstawowa 4 6

Matematyka Matematyka z pomysłem Klasa 5 Szkoła podstawowa 4 6 Wymagania na poszczególne oceny szkolne Ocena postępów ucznia jest wynikiem oceny stopnia opanowania jego umiejętności podstawowych i ponadpodstawowych. W programie nauczania Matematyka z pomysłem umiejętności

Bardziej szczegółowo

Matematyka, kl. 5. Konieczne umiejętności

Matematyka, kl. 5. Konieczne umiejętności Matematyka, kl. 5 Liczby i działania Program Matematyka z plusem Ocena Konieczne umiejętności Opanowane algorytmy pisemnego dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia liczb naturalnych. Prawidłowe wykonywanie

Bardziej szczegółowo

8 + 66 =.. 48 + 20 =... 35 + 46 =... 53 7 =... 89 50 =... 72 58 =...

8 + 66 =.. 48 + 20 =... 35 + 46 =... 53 7 =... 89 50 =... 72 58 =... Matematyka test dla uczniów klas trzecich szkół podstawowych w roku szkolnym 2011/2012 Etap szkolny (60 minut) Ryzyko dysleksji [suma punktów].... Imię i nazwisko Klasa 1. Oblicz. 8 + 66 =.. 48 + 20 =...

Bardziej szczegółowo

Małe olimpiady przedmiotowe

Małe olimpiady przedmiotowe Małe olimpiady przedmiotowe Test z matematyki Organizatorzy: Wydział Edukacji Urzędu Miasta Centrum Edukacji Nauczycieli Szkoła Podstawowa Nr 17 Szkoła Podstawowa Nr 18 Drogi Uczniu, przeczytaj uwaŝnie

Bardziej szczegółowo

XX edycja Międzynarodowego Konkursu Matematycznego PIKOMAT rok szkolny 2011/2012

XX edycja Międzynarodowego Konkursu Matematycznego PIKOMAT rok szkolny 2011/2012 XX edycja Międzynarodowego Konkursu Matematycznego PIKOMA rok szkolny 2011/2012 Etap I Klasa IV Zastąp znaki zapytania znakami dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia w taki sposób, aby wyniki obliczeń

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN GIMNAZJALNY

PRÓBNY EGZAMIN GIMNAZJALNY PRÓBNY EGZAMIN GIMNAZJALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO 11 KWIETNIA 2015 CZAS PRACY: 90 MINUT 1 Informacja do zadań 1 i 2 Koszt ubezpieczenia samochodu w pewnej firmie

Bardziej szczegółowo

PYTANIA TEORETYCZNE Z MATEMATYKI

PYTANIA TEORETYCZNE Z MATEMATYKI Zbiory liczbowe: 1. Wymień znane Ci zbiory liczbowe. 2. Co to są liczby rzeczywiste? 3. Co to są liczby naturalne? 4. Co to są liczby całkowite? 5. Co to są liczby wymierne? 6. Co to są liczby niewymierne?

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZĘCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkę MMA-P_P-08 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MAJ ROK 008 Czas pracy 0 minut Instrukcja dla

Bardziej szczegółowo

Treści nauczania. Klasa 5

Treści nauczania. Klasa 5 . Klasa 5 1. Liczby naturalne w dziesiątkowym układzie pozycyjnym 2. Działania na liczbach naturalnych Systemy liczenia Obliczenia pamięciowe na liczbach naturalnych Prędkość droga czas Działania pisemne

Bardziej szczegółowo

KRYTERIUM OCEN Z MATEMATYKI DLA KLASY 4 SZKOŁY PODSTAWOWEJ

KRYTERIUM OCEN Z MATEMATYKI DLA KLASY 4 SZKOŁY PODSTAWOWEJ KRYTERIUM OCEN Z MATEMATYKI DLA KLASY 4 SZKOŁY PODSTAWOWEJ DOPUSZCZAJĄCY Wymagania konieczne (na ocenę dopuszczającą) obejmują wiadomości i umiejętności umożliwiające uczniowi dalszą naukę, bez których

Bardziej szczegółowo

GSP075 Pakiet. KArty pracy. MateMatyka

GSP075 Pakiet. KArty pracy. MateMatyka GSP075 klasa Pakiet 5 KArty pracy MateMatyka Instrukcja matematyka Uważnie czytaj teksty zadań i polecenia. Rozwiązania wpisuj długopisem lub piórem. Nie używaj długopisu w kolorze czerwonym. W zadaniach,

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki. dla uczniów klasy Ia i Ib. Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie. w roku szkolnym 2015/2016

Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki. dla uczniów klasy Ia i Ib. Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie. w roku szkolnym 2015/2016 Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki dla uczniów klasy Ia i Ib Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie w roku szkolnym 2015/2016 DZIAŁ I: LICZBY zaznacza na osi liczbowej punkty odpowiadające

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU DLA VI KLASY SZKOŁY PODSTAWOWEJ

ROZKŁAD MATERIAŁU DLA VI KLASY SZKOŁY PODSTAWOWEJ ROZKŁAD MATERIAŁU DLA VI KLASY SZKOŁY PODSTAWOWEJ TEMAT 1. Rachunki pamięciowe na liczbach naturalnych i ułamkach dziesiętnych. LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ Z XII

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA PROGRAMOWE Z MATEMATYKI DLA KLASY V

WYMAGANIA PROGRAMOWE Z MATEMATYKI DLA KLASY V WYMAGANIA PROGRAMOWE Z MATEMATYKI DLA KLASY V (n - el prowadzący M. Stańczyk) Wymagania programowe z matematyki w klasie V szkoły podstawowej czyli kompetencje i umiejętności uczniów z matematyki w klasie

Bardziej szczegółowo

Lista 1 liczby rzeczywiste.

Lista 1 liczby rzeczywiste. Lista 1 liczby rzeczywiste Zad 1 Przedstaw liczbę m w postaci W każdym ze składników tej sumy musimy wyłączyd czynnik przed znak pierwiastka Można to zrobid rozkładając liczby podpierwiastkowe na czynniki

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA WYMAGAŃ Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY

KRYTERIA WYMAGAŃ Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY 1 KRYTERIA WYMAGAŃ Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY KLASA I LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie porównywać

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VI DZIAŁ I : LICZBY NATURALNE I UŁAMKI

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VI DZIAŁ I : LICZBY NATURALNE I UŁAMKI WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VI NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ : UCZEŃ zna nazwy działań (K) DZIAŁ I : LICZBY NATURALNE I UŁAMKI zna algorytm mnożenia i dzielenia ułamków dziesiętnych przez 10,

Bardziej szczegółowo

ZAGADANIENIA NA EGZAMIN USTNY Z MATEMATYKI

ZAGADANIENIA NA EGZAMIN USTNY Z MATEMATYKI ZAGADANIENIA NA EGZAMIN USTNY Z MATEMATYKI SEMESTR I ZESTAW. Podaj liczbę przeciwną i odwrotną do liczby 2 2. Jak zmieniła się cena wyrobu po podwyżce o 20%, a następnie po obniżeniu otrzymanej ceny o

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VI ROK SZKOLNY 2015/2016 PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLAS 4 6 SZKOŁY PODSTAWOWEJ

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VI ROK SZKOLNY 2015/2016 PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLAS 4 6 SZKOŁY PODSTAWOWEJ WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VI ROK SZKOLNY 2015/2016 PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLAS 4 6 SZKOŁY PODSTAWOWEJ REALIZOWANY PRZY POMOCY PODRĘCZNIKA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY VI I.

Bardziej szczegółowo

Uczeń. KONKURS OMNIBUS MATEMATYCZNY rok szkolny 2011/2012. 90 minut. Pracuj samodzielnie. Powodzenia! Finał 20 kwietnia 2012 roku

Uczeń. KONKURS OMNIBUS MATEMATYCZNY rok szkolny 2011/2012. 90 minut. Pracuj samodzielnie. Powodzenia! Finał 20 kwietnia 2012 roku KONKURS OMNIBUS MATEMATYCZNY rok szkolny 2011/2012 Finał 20 kwietnia 2012 roku Zestaw dla uczniów klas III Uczeń Liczba zdobytych punktów Drogi Uczniu, witaj na finale konkursu Omnibus Matematyczny. Przeczytaj

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA W KLASACH SZÓSTYCH - Matematyka

KRYTERIA OCENIANIA W KLASACH SZÓSTYCH - Matematyka KRYTERIA OCENIANIA W KLASACH SZÓSTYCH - Matematyka 1. Ocenę niedostateczną otrzymuje uczeń, który nie spełnia kryteriów na ocenę dopuszczającą. 2. Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: 2.1 Liczby

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

Wymagania programowe uporządkowane według poziomów wymagań na pierwszy semestr MATEMATYKA 2001 KLASA 4

Wymagania programowe uporządkowane według poziomów wymagań na pierwszy semestr MATEMATYKA 2001 KLASA 4 Wymagania programowe uporządkowane według poziomów wymagań na pierwszy semestr MATEMATYKA 2001 KLASA 4 Na ocenę dopuszczającą uczeń 1. Zapisać słowami podaną cyframi liczbę naturalną, (co najwyżej liczbę

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA- MATEMATYKA KLASA 6. Rok szkolny 2012/2013. Tamara Kostencka

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA- MATEMATYKA KLASA 6. Rok szkolny 2012/2013. Tamara Kostencka PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA- MATEMATYKA KLASA 6 Rok szkolny 2012/2013 Tamara Kostencka 1 LICZBY NA CO DZIEŃ LICZBY NATURALNE I UŁAMKI Wymagania programowe dla klasy VI szkoły podstawowej DZIAŁ WYMAGANIA

Bardziej szczegółowo

KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM Etap Rejonowy. Drogi Uczniu Witaj na II etapie konkursu matematycznego. Przeczytaj uważnie instrukcję.

KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM Etap Rejonowy. Drogi Uczniu Witaj na II etapie konkursu matematycznego. Przeczytaj uważnie instrukcję. Kod ucznia - - Dzień Miesiąc Rok pieczątka WKK DATA URODZENIA UCZNIA KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM Etap Rejonowy Drogi Uczniu Witaj na II etapie konkursu matematycznego. Przeczytaj uważnie

Bardziej szczegółowo

KONKURS Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW SZKÓŁ PODSTAWOWYCH

KONKURS Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW SZKÓŁ PODSTAWOWYCH Kod ucznia - - pieczątka WKK Dzień Miesiąc Rok DATA URODZENIA UCZNIA KONKURS Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW SZKÓŁ PODSTAWOWYCH ETAP REJONOWY Drogi Uczniu! Witaj na etapie rejonowym konkursu matematycznego. Przeczytaj

Bardziej szczegółowo

Lista 8 Wyrażenia wymierne. Przypomnijmy, że: Jeżeli wykres funkcji przesuniemy o wektor, to otrzymamy wykres funkcji.

Lista 8 Wyrażenia wymierne. Przypomnijmy, że: Jeżeli wykres funkcji przesuniemy o wektor, to otrzymamy wykres funkcji. Lista 8 Wyrażenia wymierne. Zad 1. Narysuj wykres funkcji. Przykład 1:. Przypomnijmy, że: Jeżeli wykres funkcji przesuniemy o wektor, to otrzymamy wykres funkcji. Funkcję nazywamy funkcja podstawową, a

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN W KLASIE TRZECIEJ GIMNAZJUM CZĘŚĆ 2. MATEMATYKA

EGZAMIN W KLASIE TRZECIEJ GIMNAZJUM CZĘŚĆ 2. MATEMATYKA Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. UZUPEŁNIA ZESPÓŁ NADZORUJĄCY KOD UCZNIA PESEL miejsce na naklejkę EGZAMIN W KLASIE TRZECIEJ GIMNAZJUM CZĘŚĆ 2. MATEMATYKA Instrukcja

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU Z MATEMATYKI DLA KLASY IV SP NA PODSTAWIE PROGRAMU DKW /99 Liczę z Pitagorasem

ROZKŁAD MATERIAŁU Z MATEMATYKI DLA KLASY IV SP NA PODSTAWIE PROGRAMU DKW /99 Liczę z Pitagorasem ROZKŁAD MATERIAŁU Z MATEMATYKI DLA KLASY IV SP NA PODSTAWIE PROGRAMU DKW 4014 180/99 Liczę z Pitagorasem Lp. Dział programu Tematyka jednostki metodycznej Uwagi 1 2 3 4 Lekcja organizacyjna I Działania

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie 5

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie 5 Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie 5 PODSTAWOWE PONADPODSTAWOWE LICZBY I DZAŁANIA porównywać liczby porządkować liczby w kolejności od najmniejszej do największej lub odwrotnie przedstawiać liczby

Bardziej szczegółowo

Kryteria ocen z matematyki w klasie V

Kryteria ocen z matematyki w klasie V Uczeń musi umieć: Kryteria ocen z matematyki w klasie V na ocenę dopuszczającą: -odczytywać liczby zapisane cyframi -porównywać liczby naturalne, - przedstawiać liczby naturalne na osi liczbowej, - pamięciowo

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN GIMNAZJALNY

PRÓBNY EGZAMIN GIMNAZJALNY PRÓBNY EGZAMIN GIMNAZJALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO 24 MARCA 2012 CZAS PRACY: 90 MINUT 1 ZADANIE 1 (1 PKT.) Która równość jest fałszywa? Wybierz odpowiedź spośród

Bardziej szczegółowo