LINIOWA REALIZACJA MODELI DYNAMIKI STOSOWANYCH W KOMPUTEROWYCH DYNAMICZNYCH SYSTEMACH NAUCZANIA

Transkrypt

1 LINIOWA REALIZACJA MODELI DYNAMIKI STOSOWANYCH W KOMPUTEROWYCH DYNAMICZNYCH SYSTEMACH NAUCZANIA ANNA BARCZ PIOTR PIELA Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny Streszczenie Głównym elementem komputerowych systemów nauczania dla operatorów obiektów dynamicznych est system symulacyny. Podstaw tego systemu s modele matematyczne obiektu nauczania. Wymaganym warunkiem dla komputerowych systemów nauczania est dokładno odwzorowania zachowania obiektu nauczania. Poniewa od ako ci modelu dynamiki zale y bezpo rednio ako procesu nauczania wa n rol w procesie tworzenia komputerowych systemów nauczania odgrywa proces korekty parametrów modelu. Opis zachowania obiektu nauczania w postaci liniowych układów równa dynamicznych stwarza mo liwo korzystania z dobrze opracowanych metod ogólne teorii systemów. Mo na do nich zaliczy : sterowalno, obserwowalno, identyfikowalno i metody ich bada. Zastosowanie tych metod pozwala na uproszczenie procesu kalibraci zło onych modeli obiektu nauczania. W artykule opisano algorytm tworzenia nieprzeliczalnego zbioru modeli liniowych, odpowiada cego podstawowemu układowi równa nieliniowych, który opisue obiekt dynamiczny. Zaproponowano przykładowy sposób zast pienia nieprzeliczalnego zbioru modeli liniowych zbiorem przeliczalnym. Słowa kluczowe: komputerowy system nauczania, matematyczny model dynamiki, kalibraca. Wprowadzenie Komputerowe systemy nauczania s szeroko stosowane w szkoleniu operatorów procesów technologicznych, kierowców transportu samochodowego, w szkoleniu mechaników i pilotów lotnictwa cywilnego, w nauczaniu i podnoszeniu kwalifikaci sterników statków i innych rodków transportu []. Wszystkie komputerowe systemy nauczania mo na podzieli na dwie podstawowe kategorie: systemy statyczne i systemy dynamiczne. Merytoryczne tre ci i cechy charakterystyczne tych dwóch kategorii systemów przedstawiono w pracy [4]. Głównym elementem dynamicznego inteligentnego systemu nauczania est system symulacyny. System ten mo e by zrealizowany z ró nym stopniem zło ono ci oraz przy pomocy ró nych technik imitaci wygl du obiektu rzeczywistego. Bez wzgl du na sposób realizaci system symulacyny oparty est na matematycznym modelu obiektu nauczania. Nale y podkre li, e niedostateczna dokładno modelowania dynamiki obiektu nauczania, ak równie niezadowala ce rozwi zania zadania komputerowe wizualizaci mog doprowadza do ukształtowania nieprawidłowych nawyków u ucznia. W zwi zku z tym istotn rol w procesie tworzenia dynamicznego inteligentnego systemu nauczania odgrywa korekca parametrów modelu matematycznego obiektu nauczania. Przedstawienie procesu dynamicznego (który opisany est wielowymiarowym układem nieliniowych równa ró niczkowych) w postaci liniowego układu dynamicznego, którego parametry

2 POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZ DZANIA WIEDZ Seria: Studia i Materiały, nr 7, 00 9 zale od bie cego stanu obiektu [5] stwarza mo liwo korzystania z dobrze opracowanych metod ogólne teorii systemów. Mo na do nich zaliczy : sterowalno, obserwowalno, identyfikowalno i metody ich bada. Zastosowanie tych po pozwala na uproszczenie procesu kalibraci zło onych modeli obiektu nauczania.. Przedstawienie modelu nieliniowego przeliczalnym zbiorem modeli liniowych Dany est obiekt dynamiczny, którego zachowanie mo na opisa równaniem: ( X, U t) X = Φ, () n X R, m U R odpowiednio wektory stanu i sterowa, Φ odpowiednie wymia- gdzie: rowo ci wektorowa funkca gładka wzgl dem wszystkich swoich argumentów. Wynikiem linearyzaci nieliniowego układ () w przestrzeni stanów wokół ka dego punktu pewnego ruchu bazowego est zbiór systemów przybli enia liniowego w postaci: ( X, U ) X + B( X, U ) U F( t), X = A + gdzie: A ( X, U ), ( X U ) B, macierze b d ce funkcami punktu przestrzeni stanów. Układ równa () est poprawny w małym otoczeniu ka dego bazowego punktu przestrzeni stanów. Dla oceny blisko ci ruchu nieliniowego systemu () i systemu liniowego () mo na opracowa odpowiednie oceny. Nieprzeliczalny zbiór systemów () mo na aproksymowa przeliczalnym zbiorem liniowych staconarnych systemów w postaci: ( t), (,, S) X = A X + B U + F =, W równaniach () wektory X, U oraz macierze A, B s tych samych wymiarowo ci, co odpowiednie wektory i macierze w układzie (). Na rysunku pokazano koleno post powa w trakcie rozwi zywania tego zadania. () ()

3 0 Anna Barcz, Piotr Piela Liniowa realizaca modeli dynamiki stosowanych w komputerowych dynamicznych systemach nauczania Rysunek. Przedstawienie modelu nieliniowego za pomoc przeliczalnego zbioru modeli liniowych Ka dy liniowy staconarny układ () est poprawny w ograniczonym otoczeniu pewnego bazowego punktu przestrzeni stanów. Rozmiar tego otoczenia est zale ny od wyznaczone warto ci bł du aproksymaci (rysunek ). Rysunek. Przedstawienie procesu dynamicznego zbiorem przeliczalnych staconarnych modeli liniowych Bł d aproksymaci mo na zdefiniowa w nast pu cy sposób: niech X X ( X 0, U, t) n R, a X X ( X U, t) = b dzie traektori nieliniowego systemu () w przestrzeni =, * * 0 stanowi traektori systemu () w te przestrzeni. Wektor bł du (odchylenia ruchu systemu liniowego od ruchu systemu nieliniowego) mo na okre li w postaci:

4 POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZ DZANIA WIEDZ Seria: Studia i Materiały, nr 7, 00 ( t) = X ( t) X ( t) ξ, (4) * Dane est nast pu ce zadanie: zamieni (aproksymowa ) system () zbiorem systemów () w taki sposób, aby niektóre oceny bł du aproksymaci nie przewy szały zadane warto ci. Tak ξ lub inne ocen mo e by na przykład euklidesowa norma wektora bł du aproksymaci ( t) oceny. Rysunek przedstawia schemat blokowy algorytmu realizu cego proces zamiany modelu nieliniowego przeliczalnym zbiorem modeli liniowych. Rysunek. Algorytm przeł czania modeli liniowych Zgodnie ze schematem na odcinku od [, ] liniowy: 0 t nieliniowemu obiektowi () odpowiada system X = A0 X + B0U + F0( t), (5)

5 Anna Barcz, Piotr Piela Liniowa realizaca modeli dynamiki stosowanych w komputerowych dynamicznych systemach nauczania Odpowiednio na odcinkach [ t ], [ ] t bazowemu nieliniowemu systemowi () odpowiada systemy liniowe:,t,t [ t, t ] X = A X + BU + F ( t), [ t, t ] X = A X + B U + F ( t). ξ Wybór prawego punktu granicznego t powinien by zdefiniowany przez warunek ξ, gdzie ξ stanowi maksymaln dopuszczaln norm wektora bł du aproksymaci. Działanie algorytmu przedstawionego na rysunku zostanie zilustrowane na przykładzie systemu trzeciego rz du z dwoma sygnałami steru cymi u i u. Model tego systemu opisany est nast pu cymi równaniami ró niczkowymi: y y y [, ] = y = y = 4y y 0.5y y y + u + u, (6) Pierwszy model liniowy odpowiada cy modelowi nieliniowemu (6) w przedziale czasowym y, 0 t uzyskano na podstawie linearyzaci dla warunków stanu ustalonego: y 0, 0 y = 0, u = 0, u = w przedziałach czasowych [ t ], [ t ] 0 = 0 =,. Kolene modele liniowe odpowiada ce modelowi nieliniowemu,t,t, itd. uzyskano w wyniku zastosowania algorytmu w przedziale czasowym [ 0, t ]. Model liniowy dla przedziału czasowego [ ] identyfikaci na podstawie obróbki danych ruchu obiektu nieliniowego (6). W przedstawionym przykładzie wykorzystano identyfikac metod namnieszych kwadratów [, ]. Model liniowy odpowiada cy modelowi nieliniowemu w przedziale czasowym [ t,t ] uzyskano w wyniku identyfikaci modelu nieliniowego na podstawie pomiaru przebiegu zmiennych stanu i sterowa t uzyskano stosu c identyfikac na podstawie pomiaru przebiegu zmiennych stanu i sterowa modelu, itd. Rysunek 4 przedstawia reakc modelu nieli- nieliniowego w przedziale czasowym [ t ],t niowego na skokow zmian sygnału steru cego u.,t

6 POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZ DZANIA WIEDZ Seria: Studia i Materiały, nr 7, 00 Rysunek 4. Odpowied modelu (6) na skokow zmian sygnału steru cego u dla maksymalne dopuszczalna normy wektora bł du aproksymaci ξ = 0. 0 Pocz tek skoku nast pił w czasie t 0. Amplituda skoku wynosiła Ci gł czarn lini 0 = zaznaczono przebieg poszczególnych zmiennych stanu dla modelu nieliniowego. Pionowe linie oznacza momenty, w których nast pue przeł czenie modeli liniowych. Szar przerywan lini zaznaczono przebieg zmiennych stanu dla modeli liniowych. Maksymalna dopuszczalna norma wektora bł du aproksymaci dla przedstawionego przykładu wynosiła ξ = Model

7 4 Anna Barcz, Piotr Piela Liniowa realizaca modeli dynamiki stosowanych w komputerowych dynamicznych systemach nauczania nieliniowy został zast piony pi cioma modelami liniowymi, których macierze A i B zostały przedstawione w tabeli. Wszystkie warto ci własne le w lewe półpłaszczy nie, zatem otrzymane modele liniowe s stabilne. Tabela. Warto ci parametrów zbioru modeli liniowych Mo na zauwa y, e przy realizaci takiego algorytmu ma miesce skoki warto ci zmiennych stanu systemu. Skoki te odbywa si w momentach przeł czania liniowych modeli dynamicznych, poniewa warunki pocz tkowe ruchu nast pnego liniowego modelu ró ni si od granicznych warunków na prawym ko cu traektorii poprzedniego modelu liniowego. Mo na w znacznym stopniu zmnieszy warto skoków zmiennych stanu w momentach przeł czenia modeli liniowych poprzez zmnieszenie maksymalne dopuszczalne normy wektora bł du aproksymaci. Rysunek 5 przedstawia przebieg zmienne y w przypadku zmnieszenia maksymalne dopuszczalne normy wektora bł du aproksymaci do warto ci ξ = Ilo modeli liniowych odpowiada cych modelowi nieliniowemu uległa zmianie. Otrzymali my zbiór trzynastu modeli liniowych, który znacznie lepie przybli a model nieliniowy.

8 POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZ DZANIA WIEDZ Seria: Studia i Materiały, nr 7, 00 5 Rysunek 5. Przebieg zmienne y dla ξ = (rysunek dolny powi kszenie) Wykorzystu c omawiany algorytm przeł czania modeli liniowych mo na całkowicie wyeliminowa skoki warto ci zmiennych stanu. Sytuaca ta est mo liwa w przypadku, gdy ako warunki pocz tkowe nowego modelu liniowego w momencie przeł czania przymiemy warto ci zmiennych stanu poprzedniego modelu liniowego. W tym przypadku norma wektora bł du aproksymaci est liczona dla modelu liniowego posiada cego warunki pocz tkowe równe warto ci zmiennych modelu nieliniowego w momencie przeł czania. Oznacza to, e w danym przedziale czasowym przeprowadzamy symulac dwóch modeli liniowych, o takich samych parametrach, lecz innych warto ciach pocz tkowych. Na rysunku 6 przedstawiono przebieg zmienne y w przypadku zamiany modelu nieliniowego za pomoc sko czonego zbioru modeli liniowych bez skoku warto ci zmiennych stanu w momencie przeł czania. Rysunek górny otrzymano dla maksymalne dopuszczalne normy wektora bł du aproksymaci wynosz ce ξ = 0. 0, natomiast dolny dla ξ =

9 6 Anna Barcz, Piotr Piela Liniowa realizaca modeli dynamiki stosowanych w komputerowych dynamicznych systemach nauczania Rysunek 6. Przedstawienie modelu nieliniowego zbiorem modeli liniowych bez skoku warto ci zmiennych stanu w momencie przeł czania. Podsumowanie Głównym elementem dynamicznego komputerowego systemu nauczania est model obiektu nauczania. Zachowanie tego modelu w czasie rzeczywistym powinno precyzynie odpowiada zachowaniu obiektu rzeczywistego, ednak tworzenie tego typu modeli est procesem trudnym i pracochłonnym. Przedstawienie zada modelowania dynamiki w postaci liniowych układów równa dynamicznych stwarza mo liwo korzystania z dobrze opracowanych metod ogólne teorii systemów. Mo na do nich zaliczy : sterowalno, obserwowalno, identyfikowalno i metody ich bada. Zastosowanie tych po pozwala na uproszczenie procesu kalibraci zło onych modeli obiektu nauczania. Opisane w artykule zadanie zamiany modelu nieliniowego przeliczalnym zbiorem modeli liniowych mo e zosta zrealizowane na dwa sposoby. W pierwszym przypadku otrzymuemy skoki warto ci zmiennych stanu w momentach przeł czania modeli. Zaistniała sytuaca nie powodue ednak trudno ci dla u ytkownika, poniewa liniowe modele dynamiczne wykorzystano tylko w badaniach charakterystyk modelowanego systemu, a komputerowa symulaca modelu odbywa si w oparciu o pełny nieliniowy układ równa ró niczkowych. Sposób drugi, bez skoków zmiennych stanu, umo liwia zamian modelu nieliniowego zarówno w badaniach charakterystyk systemu, ak i w trakcie symulaci komputerowe.

10 POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZ DZANIA WIEDZ Seria: Studia i Materiały, nr 7, 00 7 Bibliografia [] Bieli ska E., Finger J., Kasprzyk J., Jegierski T., Ogonowski Z., Pawełczyk M., Identyfikaca procesów, Wydawnictwo Politechniki l skie, Gliwice, 00. [] Dozortsev W. M., Komputerowe trena ery dla nauczania operatorów procesów technologicznych, Sinteg, Moskwa, 009, (w zyku rosyskim). [] Lung L., System Identification Theory for the User. Prentice Hall PTR, Upper Saddle River, New York, 999. [4] Popov O., Barcz A., Piela P., Komputerowe systemy nauczania dla operatorów obiektów dynamicznych, Studia i Materiały Polskiego Stowarzyszenia Zarz dzania Wiedz nr, 009. Polskie Stowarzyszenie Zarz dzania Wiedz, Bydgoszcz, 009 [5] Popov O., Lalanne R., Gouarderes G., Minko A., Tretyakov A.. Some tasks of intelligent tutoring systems design for civil aviation pilots. Advanced Computer Systems. Kluwer Academic Publishers, Boston, Londyn, 00. LINEAR REALIZATION OF DYNAMICS MODELS USING IN THE COMPUTER DYNAMIC TUTORING SYSTEMS Summary The main element of computer tutoring systems for operators of dynamic obects is a simulation system. The mathematical models of tutoring obect are the base of such systems. The high accuracy of mapping the behavior of the tutoring obect is necessary for computer tutoring systems. Because the quality of the model dynamics depend directly on the quality of the learning process, an important role in the process of creating computer tutoring systems plays the process of correction parameters of the model. Description of the behavior of the tutoring obect in the form of dynamic linear equations creates the possibility of using well-developed methods from general systems theory. These include: controllability, observability, traceability and methods for their research. Using these methods allows you to simplify the process of calibration of the complex models of tutoring obect. The paper describes an algorithm to create an uncountable set of linear models, corresponding to the basic set of nonlinear equations, which describes the dynamic obect. An example of how to replace a uncountable set of linear models with the a countable set of equations is suggested. Keywords: computer tutoring system, mathematical model, calibration Anna Barcz Piotr Piela Wydział Informatyki Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny ul. ołnierska 49, 7-0 Szczecin abarcz@wi.zut.edu.pl ppiela@wi.zut.edu.pl