Złote reguły akumulacji kapitału w grawitacyjnym modelu wzrostu gospodarczego

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Złote reguły akumulacji kapitału w grawitacyjnym modelu wzrostu gospodarczego"

Transkrypt

1 Katarzyna Filipowicz, Tomasz Tokarski, Mariusz Troak, Złote reguły akumulaci kapitału Gospodarka narodowa 3 (277) Rok LXXXV/XXVI ma czerwiec 2015 s Katarzyna FILIPOWICZ* Tomasz TOKARSKI** Mariusz TROJAK*** Złote reguły akumulaci kapitału w grawitacynym modelu wzrostu gospodarczego Streszczenie: Artykuł ma na celu próbę wyznaczenia złotych reguł akumulaci kapitału w grawitacynym modelu wzrostu gospodarczego. Model ten est rozszerzeniem neoklasycznego modelu wzrostu gospodarczego Solowa [1956] o tzw. efekty grawitacyne. Na gruncie grawitacynego modelu wzrostu gospodarczego rozważa się dwa warianty złotych reguł akumulaci kapitału. W pierwszym wariancie szuka się takie kombinaci stóp inwestyci, która maksymalizue średnią geometryczną z konsumpci na pracuącego we wszystkich gospodarkach w warunkach długookresowe równowagi modelu grawitacynego. W drugim zaś wyznacza się taką kombinacę stóp inwestyci, która maksymalizue długookresową konsumpcę na pracuącego w każde z analizowanych gospodarek. Podęte w artykule rozważania prowadzą do następuących wniosków. W pierwszym wariancie złotą regułą akumulaci kapitału są stopy inwestyci równe (w każde z gospodarek) elastyczności produktu względem nakładów kapitałowych powiększone o dwukrotność siły działania efektu grawitacynego. Natomiast w drugim wariancie optymalne stopy inwestyci zależne są (podobnie ak w pierwszym wariancie) od elastyczności produkci względem kapitału, siły działania efektu grawitacynego oraz (co nie występue w pierwszym wariancie) liczby gospodarek podlegaących działaniu efektu grawitacynego. Ponadto w wariancie tym wzrost elastyczności produkci względem kapitału i/lub siły działania efektów grawitacynych prowadzi do wzrostu optymalnych stóp inwestyci. Jeśli zaś liczba gospodarek, na które oddziałue efekt grawitacyny rośnie, to spadaą stopy inwestyci, które maksymalizuą długookresową konsumpcę na pracuącego w każde z gospodarek. W obu rozważanych w artykule wariantach gasnące (do zera) efekty grawitacyne powoduą zbieżność uzyskanych złotych reguł akumulaci z oryginalnymi złotymi regułami * Uniwersytet Jagielloński, Katedra Ekonomi Matematyczne; ** Uniwersytet Jagielloński, Katedra Ekonomi Matematyczne; *** Uniwersytet Jagielloński, Katedra Globalizaci i Integraci Ekonomiczne;

2 28 GOSPODARKA NARODOWA nr 3/2015 Phelpsa. Oznacza to, iż wyznaczone przez autorów złote reguły akumulaci kapitału stanowią uogólnienie złotych reguł akumulaci kapitału Phelpsa na grawitacyny model wzrostu gospodarczego. Słowa kluczowe: model grawitacyny, złote reguły akumulaci kapitału, wzrost gospodarczy, efekty grawitacyne Kody klasyfikaci JEL: C02, R11, E23, O47 Artykuł nadesłany 27 listopada 2014 r., zaakceptowany 20 maa 2015 r. Wprowadzenie 1 Celem artykułu est próba wyznaczenia złotych reguł akumulaci kapitału w grawitacynym modelu wzrostu gospodarczego. Model ten est kompilacą neoklasycznego modelu wzrostu gospodarczego Solowa [1956] z efektami grawitacynymi (wynikaącymi z modeli makroekonomicznych prezentowanych m.in. w opracowaniach Tinbergena [1962], Pulliainena [1963] lub Linnemanna [1963], por. też np. Mroczek, Nowosad, Tokarski [2015], Mroczek, Tokarski [2014] lub Mroczek, Tokarski, Troak [2014]) oraz ze złotą regułą akumulaci kapitału Phelpsa [1961] (por. też Phelps [1966] lub Tokarski [2009; 2011]). Struktura prezentowanego artykułu przedstawia się następuąco. Część druga zawiera założenia grawitacynego modelu wzrostu gospodarczego, nawiązuącego do neoklasycznego, ednokapitałowego modelu wzrostu Solowa [1956]. W części trzecie znadue się definica złotych reguł akumulaci kapitału Phelpsa [1961] zarówno na gruncie modelu wzrostu Solowa, ak i na gruncie grawitacynego modelu wzrostu gospodarczego. Na gruncie grawitacynego modelu wzrostu gospodarczego analizue się dwa warianty złotych reguł akumulaci kapitału. Po pierwsze, szuka się takie kombinaci stóp inwestyci, które maksymalizuą średnią (geometryczną) z konsumpci na pracuącego we wszystkich analizowanych kraach (regionach) w warunkach długookresowe równowagi modelu grawitacynego. Po drugie, wyznacza się taką kombinacę stóp inwestyci, która maksymalizue długookresową konsumpcę na pracuącego w każde z analizowanych gospodarek. Ponadto w te części opracowania porównue się także dwa uzyskane rozwiązania zarówno z oryginalnymi złotymi regułami akumulaci kapitału Phelpsa, ak i porównue się te rozwiązania między sobą (z punktu widzenia długookresowe wydaności pracy oraz konsumpci na pracuącego). Artykuł kończy część czwarta, w które autorzy przedstawili podsumowanie prowadzonych w nim rozważań oraz ważniesze wnioski. 1 Autorzy dziękuą Prof. Armenowi Edigarianowi z Instytutu Matematyki Uniwersytetu Jagiellońskiego oraz Prof. Krzysztofowi Maladze i Dr. Michałowi Konopczyńskiemu z Katedry Ekonomii Matematyczne Uniwersytetu Ekonomicznego w Poznaniu za uwagi do wstępne wersi prezentowanego artykułu. Rzecz asna, odpowiedzialność za ostateczną wersę artykułu ponoszą wyłącznie autorzy.

3 Katarzyna Filipowicz, Tomasz Tokarski, Mariusz Troak, Złote reguły akumulaci kapitału Założenia modelu Model grawitacyny W prezentowanych dale rozważaniach przymue się następuące założenia: 1) Analizue się funkconowanie pewne, skończone liczby N>2 (N Ν) kraów (lub regionów) 2, między którymi istnieą przestrzenne interakce rozwou ekonomicznego. Interakce te opisane są przez scharakteryzowane dale (indywidualne i łączne) efekty grawitacyne. 2) Proces produkcyny w -te gospodarce opisany est przez funkcę produkci Cobba-Douglasa [1928]. Stąd zaś wynika, iż wydaność pracy y w owe gospodarce można zapisać wzorem (por. też np. Żółtowska [1997] lub Tokarski [2009; 2011]) 3 : y (t) a (g (t)) (k (t)) α, (1) gdzie: a > 0, α, (0;1) i < 1 α 4. Wyrażenie y oznacza wydaność pracy 2 w krau (regionie), k techniczne uzbroenie pracy w owym krau (regionie), zaś wielkość g w funkci wydaności pracy (1) opisue tę część łączne produktywności czynników produkci (a g ) w gospodarce, która wynika z działania efektu grawitacynego (efekt ów opisany est zaś w założeniach 3 4). Natomiast a >0 est częścią łączne produktywności czynników produkci wynikaącą z działania pewnych czynników, które nie są uwzględnione w prowadzonych dale rozważaniach 5. Parametr α oznacza elastyczność wielkości produkci (lub wydaności pracy) względem nakładów kapitału rzeczowego (lub technicznego uzbroenia pracy). Natomiast parametr to elastyczność łączne produktywności czynników produkci względem łącznego efektu grawitacynego, opisanego przez g. 2 Krae (regiony) będą nazywane dale również gospodarkami. 3 O wszystkich występuących dale zmiennych makroekonomicznych zakłada się, iż są różniczkowalnymi funkcami czasu t 0. Zapis x (t) będzie dale oznaczał wartość zmienne x w momencie t, zaś!x(t) dx / dt pochodną zmienne x po czasie t, czyli (ekonomicznie rzecz biorąc) przyrost wartości zmienne x w momencie t. Natomiast zapis będzie oznaczał 1,2,..., N, gdzie N>2 est liczbą analizowanych kraów (regionów). Podobnie odczytue się również wyrażenia x oraz x. 4 Przyęcie założenia, że < 1 α w równaniu (1) est bardzo istotne dla pokazania stabilności 2 nietrywialnego punktu staconarnego układu równań różniczkowych (7). Założenie to oznacza ekonomicznie tyle, iż elastyczność produkci względem efektu grawitacynego est mniesza od połowy elastyczności produktu względem nakładów pracy. 5 Zróżnicowanie a może (ak to ma miesce np. w modelu Lucasa [1988] lub Mankiwa, Romera, Weila [1992], por. też Malaga, Kliber [2007] lub Roszkowska [2013]) wynikać ze zróżnicowania kapitału ludzkiego pomiędzy analizowanymi kraami (regionami), bądź też może być skutkiem różnych instytuconalnych lub sektorowych struktur badanych gospodarek.

4 30 GOSPODARKA NARODOWA nr 3/2015 3) Indywidualne efekty grawitacyne, łączące kra (region) z kraem (regionem) m opisuą zależności:,m m g m (t) k (t)k m (t) d m 2, (2) gdzie,m m d m > 0 oznacza odległość między stolicą gospodarki a stolicą gospodarki m. Przez analogię do prawa powszechne grawitaci Newtona przymuemy też, że siła działania indywidualnych efektów grawitacynych łączących dwa krae (regiony) est wprost proporconalna do ich potencału ekonomicznego (mierzonego k i k m ) oraz odwrotnie proporconalna do kwadratu odległości między nimi. Przyęcie alternatywnego założenia, że indywidualne efekty grawitacyne opisue związek:,m m g m (t) k (t)k m (t) γ, d m gdzie γ>0 (czyli, że w mianowniku indywidualnych efektów grawitacynych podobnie ak w analizach makroekonomicznych prowadzonych w grawitacynych modelach handlu występue d m γ, a nie d 2 m ) nie ma większego wpływu ani na stabilność analizowanego modelu wzrostu, ani na wnioski płynące z równań (8 9), ani na złote reguły akumulaci kapitału w rozważanym modelu wzrostu gospodarczego. 4) Łączne efekty grawitacyne (oddziałuące na gospodarkę ), są średnią geometryczną z indywidualnych efektów grawitacynych. Oznacza to, iż spełnione są związki: g (t) N 1 g m (t). (3) 5) Podobnie ak w modelu wzrostu Solowa równania przyrostów technicznego uzbroenia pracy w każdym z kraów (regionów) opisuą następuące równania różniczkowe: m! k (t) s y (t) µ k (t), (4) gdzie s (0;1) µ > 0. Wyrażenia s oznaczaą stopy inwestyci w -tym krau (regionie), zaś μ stopy ubytku kapitału na pracuącego w tym krau (regionie). Stopy μ (dla kolenych ) są sumami stóp deprecaci kapitału i stopy wzrostu liczby pracuących. Równowaga modelu Z zależności (2 3) uzyskue się równania łącznych efektów grawitacynych dane wzorami:

5 Katarzyna Filipowicz, Tomasz Tokarski, Mariusz Troak, Złote reguły akumulaci kapitału gdzie: d N 1 d m m k (t) g (t) m 1 N 1 k m (t) 2, (5) d > 0. Wyrażenia d oznaczaą średnią geometryczną z odległości stolicy -te gospodarki od stolic pozostałych gospodarek. Dlatego też im mnieszą wartość przymue d, tym bardzie centralnie położona est -ta gospodarka, zaś wysokie wartości d są tożsame z peryferynym (w sensie geograficznym) charakterem -te gospodarki. Wstawiaąc związki (5) do równań (1) mamy: gdzie: θ a d 2 > 0. y (t) θ m k m (t) N 1 (k (t)) α, (6) Z zależności (4) i (6) dochodzi się do następuącego układu równań różniczkowych: k! N 1 (t) s θ k m (t) (k (t)) α µ k (t). (7) m Korzystaąc z twierdzenia Grobmana-Hartmana (por. Ombach [1999, s ]) można pokazać (Mroczek, Tokarski, Troak [2014]), że układ równań różniczkowych (7) ma dokładnie eden nietrywialny punkt staconarny k * (k 1 *,k 2 *,,k N * ) w przestrzeni fazowe P [0; ) N, który charakteryzue się asymptotyczną stabilnością 6. Dlatego też punkt k * będzie dale traktowany ako punkt długookresowe równowagi grawitacynego modelu wzrostu gospodarczego. Można również pokazać (Mroczek, Tokarski, Troak [2014]), że w nietrywialnym punkcie staconarnym k * techniczne uzbroenie pracy (k * ) oraz wydaność pracy (y * ) w -tym krau (regionie) opisane są przez równania: (N 1)(1 α 2) ln k * m ln s m a m µ m d m 2 ln s a µ d 2 1 α N 2 N 1. (8) 6 Układ równań różniczkowych (7) posiada także rozwiązanie trywialne (0,0,,0), które dale będzie ednak pomiane ako nieciekawe zarówno z ekonomicznego, ak i matematycznego punktu widzenia.

6 32 GOSPODARKA NARODOWA nr 3/2015 oraz: ln y * ln a N 2 α 2 d N 1 1 α N 2 ln s a N 1 µ d 2 (N 1)(1 α 2) 1 α N 2 ln s a m m N 1 µ m d. (9) 2 m m Z równań (8 9) płyną m.in. cztery następuące wnioski. Po pierwsze, długookresowy zasób technicznego uzbroenia pracy i strumień wydaności pracy w krau (regionie), podobnie ak ma to miesce w oryginalnym modelu Solowa, są tym wyższe, im wyższa est stopa inwestyci s oraz im niższa est stopa ubytku kapitału na pracuącego μ w tym krau (regionie). Po drugie, im bardzie centralnie położona est dana gospodarka, czyli im niższa est średnia geometryczna z odległości d m, tym wyższy est poziom zarówno technicznego uzbroenia pracy, ak i wydaności pracy w warunkach długookresowe równowagi grawitacynego modelu wzrostu gospodarczego. Po trzecie, poziomy rozważanych tu zmiennych makroekonomicznych w -tym krau (regionie) są tym wyższe, im wyższa est średnia geometryczna N 1 ze stóp s m m inwestyci w pozostałych kraach (regionach) oraz im niższa est średnia geometryczna N 1 ze stóp ubytku kapitału na pracuącego w tych kraach µ m m (regionach). Po czwarte, na poziom wydaności pracy oraz technicznego uzbroenia pracy w -te gospodarce w warunkach długookresowe równowagi ma wpływ także pozagrawitacyna część łączne produktywności czynników produkci a zarówno w te gospodarce, ak i średnia geometryczna N 1 a m m z pozagrawitacynych części łącznych produktywności czynników produkci w pozostałych kraach (regionach). Co więce, im wyższe est a lub N 1, tym wyższe wartości przymuą y * oraz k *. a m m Złote reguły akumulaci kapitału Idea złotych reguł akumulaci kapitału po raz pierwszy poawiła się w analizach makroekonomicznych w znanym artykule Phelpsa z 1961 r. W artykule tym przez złotą regułę akumulaci kapitału rozumie się taką stopę oszczędności/inwestyci, która maksymalizue wielkość konsumpci na pracuącego w gospodarce znaduące się w stanie długookresowe równowagi modelu wzrostu gospodarczego Solowa. Stopa oszczędności/inwestyci, zgodna ze złotą regułą akumulaci w modelu Solowa z funkcą produkci Cobba-Douglasa

7 Katarzyna Filipowicz, Tomasz Tokarski, Mariusz Troak, Złote reguły akumulaci kapitału [1928], est równa elastyczności strumienia wytworzonego produktu względem nakładów kapitału rzeczowego. Jak uż wspomniano, złotą regułę akumulaci kapitału z modelu Solowa można również uogólnić na neoklasyczne modele wzrostu gospodarczego Mankiwa, Romera, Weila [1992] oraz Nonnemana, Vanhoudta [1996] (por. np. Dykas, Sulima, Tokarski [2008] lub Tokarski [2011]). Wówczas złotą regułą akumulaci kapitału est taka kombinaca stóp inwestyci w kolene zasoby kapitałowe, która odpowiada kombinaci elastyczności produkci względem owych nakładów kapitałowych 7. W prezentowanych dale analizach teoretycznych złotą regułę akumulaci kapitału w grawitacynym modelu wzrostu gospodarczego definiowana est na dwa sposoby. W pierwszym wariancie przez złotą regułę akumulaci będzie się rozumieć taką kombinacę stóp inwestyci w kolenych kraach (regionach), która maksymalizue średnią geometryczną z konsumpci na pracuącego w długookresowe równowadze modelu we wszystkich kraach (regionach). Natomiast w drugim wariancie reguła ta definiowana est ako taka kombinaca stóp inwestyci, która maksymalizue długookresową konsumpcę na pracuącego w każdym z rozważanych kraów (regionów). Wariant pierwszy maksymalizaca średnie geometryczne z konsumpci na pracuącego W punkcie staconarnym k * (przy! k 1! k 2! k N 0) zachodzą związki: (1 α )ln k * 1 N 1 ln k * 2 N 1 ln k * ln sθ 1 1 N µ 1 N 1 ln k * (1 α )ln k * 1 2 N 1 ln k * ln s θ 2 2 N µ 2! N 1 ln k * 1 N 1 ln k * (1 α )ln k * 2 N ln s θ N N co (po zsumowaniu powyższych równań) dae: µ N, * (1 α 2) ln k ln s θ, µ 7 Oznacza to, iż w dwukapitałowym modelu wzrostu Mankiwa-Romera-Weila złotą regułą akumulaci kapitału est kombinaca stóp inwestyci w zasoby kapitału rzeczowego i ludzkiego, która odpowiada kombinaci elastyczności produkci względem owych zasobów kapitałowych produkcie. Natomiast w N-kapitałowym modelu wzrostu Nonnemana-Vanhoudta złotą regułą akumulaci kapitału est kombinaca stóp inwestyci w N zasobów kapitałowych równa kombinaci elastyczności strumienia produktu względem tych nakładów.

8 34 GOSPODARKA NARODOWA nr 3/2015 a stąd: ln s θ * µ ln k 1 α 2. (10) Z zależności (6) wynika, iż: ln y (t) lnθ N 1 więc, w szczególności, w punkcie staconarnym k * : m ln k m (t) (α )ln k (t), ln y * lnθ * ln k N 1 m (α )ln k *, m czyli: * * ln y lnθ (α 2) ln k. (11) Z równań (10) i (11) wynika zaś, że: co powodue, iż: * ln y lnθ α 2 ln s θ, 1 α 2 * 1 ln y lnθ 1 α 2 α 2 ln s. (12) 1 α 2 Niech s (s 1,s 2,,s N ) oznacza dowolną kombinacę stóp inwestyci należącą do zbioru (0;1) N, zaś c * (c * 1,c * 2,,c * N ) (0; ) N kombinacę konsumpci na pracuącego w punkcie staconarnym k *. Wiadomo ponadto, że w długookresowe równowadze konsumpcę na pracuącego w -tym krau (regionie) opisue równanie: c * (1 s )y *. (13) µ µ Oznaczmy też przez c( s) średnią geometryczną z konsumpci na pracuącego (w długookresowe równowadze grawitacynego modelu wzrostu gospodarczego) odpowiadaącą kombinaci stóp inwestyci s. Wówczas, po uwzględnieniu związków (13), mamy: c(s) c * (s) (1 s ) N N y * (s). (14)

9 Katarzyna Filipowicz, Tomasz Tokarski, Mariusz Troak, Złote reguły akumulaci kapitału Średnią geometryczną c(s) można traktować ako swego rodzau (osadzoną w przestrzeni geograficzne) funkcę użyteczności, w które elastyczność użyteczności względem konsumpci na pracuącego w każdym z kraów (regionów) równa est 1/N. Jak uż wspomniano, w analizowanym tu wariancie przez złotą regułę akumulaci kapitału będzie rozumiana taka kombinaca stóp inwestyci ŝ (ŝ 1,ŝ 2,,ŝ N ) (0;1) N, która maksymalizue średnią geometryczną z konsumpci na pracuącego we wszystkich gospodarkach. Średnia ta dana est wzorem (14). Maksymalizaca funkci (14) względem kombinaci s (0;1) N tożsama est z maksymalizacą funkci: * ϕ(s) N ln c(s) ln(1 s ) ln y (s), (15) względem s (0;1) N. Funkcę (15), po uwzględnieniu równania (12), można zapisać następuąco: ϕ(s) ln(1 s ) α 2 1 ln s 1 α 2 lnθ 1 α 2 α 2 1 α 2 ln(1 s ) α 2 1 ln s 1 α 2 lnθ 1 α 2 α 2 ln µ 1 α 2. (16) Warunki konieczne maksymalizaci funkci (16) przedstawiaą się następuąco: ϕ 1 α 2 0, (17) s 1 s (1 α 2)s zaś warunek dostateczny sprowadza się do tego, by hesan: ln H(s) 2 2 ϕ / s 1 2 ϕ / s 1 s 2 2 ϕ / s 1 s N 2 ϕ / s 2 s ϕ / s 2 2 ϕ / s 2 s N!! "! 2 ϕ / s N s 1 2 ϕ / s N s ϕ / s N był uemnie określony przynamnie w punkcie, w którym zachodzą równania (17). Hesan H (s) można zapisać wzorem: Ω Ω H(s) 2 0!! "! 0 0 Ω N,

10 36 GOSPODARKA NARODOWA nr 3/2015 gdzie: Ω 1 (1 s ) α 2 > 0. Dlatego też kolene minory główne α 2)s (m 1, m 2,, m N ) hesanu H (s) określaą wzory: m ( 1) Ω 1 Ω 2 Ω, czyli minory główne m hesanu H (s) są uemne dla nieparzystych oraz dodatnie dla parzystych. Płynie stąd wniosek, że hesan H (s) ten est uemnie określony dla dowolnego s (0;1) N, więc (w szczególności) est także uemnie określony w punkcie ŝ (0;1) N. Punkt ten est zaś rozwiązaniem układu równań złożonego z równań (17). A zatem: co prowadzi do wniosku, iż: 1 α 2, 1 s (1 α 2)s ŝ α 2. (18) Równania (18) wyznaczaą pierwszy wariant złotych reguł akumulaci kapitału w rozważanym tu modelu wzrostu gospodarczego. Z równań tych można wyciągnąć kilka następuących wniosków. Po pierwsze, złote stopy inwestyci ŝ zależne są od elastyczności produktu względem nakładów kapitału, czyli α, oraz od siły działania efektu grawitacynego, a więc od. Po drugie, im wyższe są wartości α lub, tym wyższa est optymalna stopa inwestyci ŝ w -te gospodarce. Po trzecie, eśli gasną efekty grawitacyne, czyli 0, to złota stopa inwestyci ŝ est zbieżna do złote reguły Phelpsa. Po czwarte, przy ekstremalnie silnym działaniu efektów grawitacynych, a więc przy 1 α 2, stopy inwestyci ŝ zbieżne są do 1 -. Wariant drugi maksymalizaca konsumpci na pracuącego w każde z gospodarek W tym wariancie przez złotą regułę akumulaci kapitału w analizowanym grawitacynym modelu wzrostu gospodarczego będzie rozumiana taka kombinaca stóp inwestyci s (0;1) N, która maksymalizue długookresową konsumpcę na pracuącego w każde z gospodarek. Szukaąc te złote reguły w -tym krau (regionie) przymie się także, że stopy inwestyci w pozostałych kraach (regionach) ukształtowały się na pewnych stałych poziomach (a zatem stopy te traktue się wówczas ako zmienne egzogeniczne). Wynika stąd, iż szukaąc złote reguły w -tym regionie należy zmaksymalizować funkcę: c * (s ) (1 s )y * (s ) względem s (0;1).

11 Katarzyna Filipowicz, Tomasz Tokarski, Mariusz Troak, Złote reguły akumulaci kapitału Maksymalizaca ta tożsama est z maksymalizacą funkci: ϕ (s ) ln c * (s ) ln(1 s ) ln y * (s ), względem s (0;1). To zaś, wraz z równaniem (9), dae: ϕ (s ) ln(1 s ) ln a N 2 α 2 d N 1 1 α N 2 ln s a N 1 µ d 2 lub: (N 1)(1 α 2) 1 α N 2 N 1 ϕ (s ) ln(1 s ) α N 2 N 1 m 1 α N 2 N 1 ln s m a m µ m d m 2 ln s a α 2 d gdzie dla kolenych 8 : N 2 N 1 1 α N 2 N 1 a (N 1)(1 α 2) 1 α N 2 ln s N 1 Θ, (19) Θ ln a N 2 α 2 d N 1 1 α N 2 ln a N 1 µ d 2 (N 1)(1 α 2) 1 α N 2 N 1 ln µ d 2 (N 1)(1 α 2) 1 α N 2 ln N 1 a µ d 2 (N 1)(1 α 2) 1 α N 2 ln s a m m N 1 µ m d. 2 m m 8 Wyrażenia Θ są niezależne od s, zatem nie wpływaą również na maksimum funkci (19 20).

12 38 GOSPODARKA NARODOWA nr 3/2015 Równanie (19) można zapisać także następuąco: lub: (N 1) α N 2 N 1 (1 α 2) ϕ (s ) ln(1 s ) (N 1)(1 α 2) 1 α N 2 ln s N 1 Θ, ϕ (s ) ln(1 s ) λ N ln s Θ, (20) gdzie: (N 1) α N 2 N 1 1 α 2 λ N (N 1) 1 α N 2 > 0. (21) N 1 Warunki (konieczny i dostateczny) maksymalizaci funkci (20) względem s (0;1), dla kolenych, przedstawiaą się następuąco: i: dϕ ds 0 (22) Z równania (20) wynika zaś, że: d 2 ϕ ds 2 < 0. (23) oraz: dϕ ds 1 1 s λ N s (24) d 2 ϕ ds 2 1 (1 s ) 2 λ N s 2 < 0. (25) Ze związku (25) można wyciągnąć wniosek, iż dla dowolnego s (0;1) spełniony est warunek dostateczny (23) maksymalizaci funkci (20). Wstawiaąc zaś zależność (24) do związku (22) sprowadza się warunek konieczny maksymalizaci analizowane funkci do równania: λ N s 1 1 s,

13 Katarzyna Filipowicz, Tomasz Tokarski, Mariusz Troak, Złote reguły akumulaci kapitału co powodue, że:!s λ N 1 λ N, (26) gdzie!s oznacza stopę inwestyci w -tym krau (regionie) odpowiadaącą złote regule akumulaci kapitału. Z zależności (21) i (26) można wyciągnąć następuące wnioski: Złota stopa inwestyci!s w -tym krau (regionie) zależna est od trzech następuących czynników. Elastyczności produktu względem nakładów kapitałowych (α), siły działania efektu grawitacynego () oraz liczby kraów (regionów), w których działa efekt grawitacyny (czyli N). Ponieważ: d!s 1 dλ N (1 λ N ) > 0, 2 zatem monotoniczność!s względem α, i N est taka sama, ak monotoniczność λ N względem owych zmiennych. Jeśli siła działania efektu grawitacynego spada do 0, czyli 0, to λ N α 1 α, co powodue, że stopa inwestyci!s est wówczas zbieżna do α, czyli dąży do złote reguły akumulaci kapitału Phelpsa. Przy ekstremalnie silnym działaniu efektu grawitacynego, a więc przy 1 α 2, λ N, skąd wynika, że wówczas!s 1. Ponieważ: ln λ N ln (N 1) α N 2 N 1 N 2 1 α 2 ln(n 1) ln 1 α N 1, więc: ln λ N 1 α N 2 (1 α 2) 2 N 2 (N 1) α N 2 N 1 (N 1) 1 α N 2 1 α 2 N 1 > 0, co powodue, że także λ N / > 0. Oznacza to, że im silnie działaą efekty grawitacyne, tym wyższa powinna być stopa inwestyci!s odpowiadaąca temu wariantowi złote reguły akumulaci kapitału w analizowanym modelu wzrostu gospodarczego.

14 40 GOSPODARKA NARODOWA nr 3/2015 Podobnie, stąd, że: ln λ N α N 1 (1 α 2) 2 (N 1) α N 2 N 1 (1 α 2) 1 1 α N 2 > 0, N 1 można wyciągnąć wniosek, iż λ N / α > 0, a zatem (podobnie ak w pracy Phelpsa [1961]) wysokie elastyczności produkci względem nakładów kapitału odpowiada wysoka stopa inwestyci maksymalizuąca długookresową konsumpcę na pracuącego w -tym krau (regionie). Stąd zaś, że dla dowolnego N>2, zachodzi: N α N 1 N (N 1) α N 2 1 α 2 N 1 1 α 2 λ N1 λ N N 1 α N 1 N (N 1) 1 α N 2, N 1 co prowadzi do równości: α N 1 N 1 α N 2 N 1 α N 2 N 1 N 1 1 α N λ N1 λ N 1 α N 1 N 1 α N 2 N 1 (N 1) 1 α N 2 N 1 N 1 N 1 α N N(N 1) 1 α N 1 N 1 α N 2, N 1 (1 α 2) którą można zapisać również następuąco: λ N1 λ N N(N 1) 1 α N 1 N 1 α N 2 N 1 (1 α ) N(N 1) 1 α N 1 N 1 α N 2 N 1 (1 α )

15 Katarzyna Filipowicz, Tomasz Tokarski, Mariusz Troak, Złote reguły akumulaci kapitału a zatem: λ N1 λ N 2 N(N 1) 1 α N 1 N 1 α N 2 < 0, N 1 (1 α 2) wynika, że dla każdego N>2 spełniona est nierówność: λ N1 < λ N. Płynie stąd wniosek, iż im więce gospodarek kraowych (regionalnych) korzysta z działania efektu grawitacynego, tym niższa est stopa inwestyci!s gwarantuąca -te gospodarce maksymalną konsumpcę na pracuącego w długim okresie. Licząc zaś granicę (przy N ) z λ N mamy: α N 2 N 1 lim λ N N lim N co wraz ze związkiem (26) dae: (N 1)(1 α 2) 1 α N 2 N 1 α 1 α, lim!s N α. (27) Z równania (27) wynika, że przy bardzo duże liczbie gospodarek korzystaących w efektu grawitacynego optymalna stopa inwestyci w każdym z kraów (regionów), czyli!s, wyższa est od phelpsowskie złote stopy inwestyci (równe α) oraz niższa od optymalne stopy inwestyci w wariancie pierwszym (wynoszące α2). Porównanie stanów długookresowe równowagi gospodarki przy różnych złotych regułach akumulaci kapitału Niech p (dla kolenych ) oznacza iloraz długookresowe wydaności pracy w pierwszym i drugim wariancie złotych reguł akumulaci kapitału w rozważanym modelu wzrostu gospodarczego. Zatem wówczas: p ŷ *!y, * gdzie ŷ * (!y * ) oznacza długookresową wydaność pracy odpowiadaącą kombinaci stóp inwestyci ŝ (!s). Oznaczmy też przez: p ŷ!y iloraz średnie geometryczne z wydaności pracy w wariancie pierwszym i drugim złotych reguł akumulaci kapitału. Analogicznie zdefiniumy także

16 42 GOSPODARKA NARODOWA nr 3/2015 przez q ĉ *!c * oraz q ĉ!c ilorazy długookresowych wielkości konsumpci na pracuącego w kolenych gospodarkach w pierwszym i drugim wariancie analizowanych reguł i ilorazy ich średnich geometrycznych. Wówczas: ln p ln ŷ * ln!y *, (28) ln p ln ŷ ln!y, (29) ln q ln ĉ * ln!c * (30) oraz: ln q ln ĉ ln!c. (31) Ze związków (9) i (28) można wyciągnąć wniosek, że: ln p α N 2 N 1 1 α N 2 N 1 co (po kilku przekształceniach) dae: N (N 1)(1 α 2) 1 α N 2 (ln ŝ N 1 ln!s ), ln p α 2 1 α 2 (ln ŝ ln!s ). (32) Z równań (32) wynika, że ilorazy p zależne są od trzech czynników. Elastyczności produkci względem nakładów kapitału α, siły działania efektu grawitacynego oraz liczby kraów (regionów) korzystaących z działania efektu grawitacynego N (należy bowiem pamiętać o tym, że stopy inwestyci ŝ i!s są również funkcami α, oraz N). Ponieważ zróżniczkowanie równania (32) względem α i, po uwzględnieniu równań ŝ oraz!s, est mocno skompli kowane, zatem autorzy zdecydowali się na policzenie ilorazów p na podstawie (przedstawione w pracy Mroczek, Tokarski [2014]) kalibraci parametrów α i dla 28 kraów UE za lata Zgodnie z tą kali bracą α0,293, 0,0868, co powodue, iż ŝ 0,4666 oraz!s 0, i wówczas 9 Złote stopy inwestyci równe (odpowiednio) ŝ 46,7% i!s 38,0%, wynikaące z prezentowanych tu złotych reguł akumulaci kapitału w grawitacynym modelu wzrostu gospodarczego i cytowanych kalibraci, mogą wydawać się znacząco przeszacowane, gdyż w kraach UE stopy te w latach kształtowały się między 16,2% (w Wielkie Brytanii) a 28,6% (w Estonii za Mroczek, Tokarski [2014]). Należy ednak pamiętać, iż dążenie do uzyskania złotych reguł akumulaci kapitału wiąże się z radykalnym ograniczeniem bieżące konsumpci np. z 83,8% produktu w Wielkie Brytanii lub z 71,4% produktu w Estonii do 53,3% produktu (zarówno w Wielkie Brytanii, ak i w Estonii w wariancie pierwszym) lub do 62,0% produktu (w obu tych

17 Katarzyna Filipowicz, Tomasz Tokarski, Mariusz Troak, Złote reguły akumulaci kapitału ln p 0,179, a zatem: p 1,196. Płynie stąd wniosek, że eśli α0,293, 0,0868 i N28, to w pierwszym badanym wcześnie wariancie złotych reguł akumulaci każda z gospodarek powinna osiągnąć o prawie 20% wyższą długookresową wydaność pracy, niż w wariancie drugim. Co więce, stąd, że dla każdego ilorazy p są sobie równe oraz ze związków (28 29) płynie wniosek, iż dla dowolnych p p. A zatem przy α0,293, 0,0868 i N28 również średnia geometryczna z długookresowe wydaności pracy powinna być o prawie 20% wyższa w pierwszym wariancie złotych reguł akumulaci kapitału, niż w wariancie drugim. Ponieważ: ln ĉ * ln(1 ŝ ) ln ŷ * oraz ln!c * ln(1!s ) ln ŷ *, więc stąd oraz z równań (30) i (32) mamy: ln q ln 1 ŝ ln ŷ * 1!s ln!y * ln 1 ŝ ln p i 1!s. (33) i Równania (33) interpretue się ekonomicznie analogicznie do związków (32). Dlatego też, z równań tych wynika, że eśli α0,293, 0,0868 i N28, to dla każdego ln q 0,0289, co powodue, że q 1,029. A zatem w pierwszym wariancie złotych reguł akumulaci kapitału długookresowa konsumpca na pracuącego w każde z gospodarek powinna być o ok. 2,9% wyższa, niż w wariancie drugim. Wówczas również, przy q 1 q 2 q N, ze związku (31) wynika, że dla dowolnego q q. Odnosząc zaś złote reguły w wariancie pierwszym lub drugim w grawitacynym modelu wzrostu gospodarczego do oryginalnych złotych reguł akumulaci Phelpsa (przy α0,293) okazue się, że w wariancie pierwszym długookresowa wydaność pracy byłaby o ok. 50,2% wyższa, niż przy złotych regułach Phelpsa, natomiast długookresowa konsumpca na pracuącego o ok. 13,3% wyższa. Jeśli zaś chodzi o porównanie długookresowych wielkości wydaności pracy i konsumpci na pracuącego wielkości te byłyby w wariancie drugim o (odpowiednio) ok. 25,6% oraz 10,1% wyższe niż w oryginalnych złotych regułach Phelpsa. gospodarkach w wariancie drugim). To zaś wymaga wyrzeczeń konsumpci bieżącego pokolenia, na rzecz konsumpci przyszłych pokoleń. Odchylenia bieżących stóp inwestyci od złotoregułowych stóp inwestyci można zaś stosunkowo prosto wytłumaczyć teoretycznie na gruncie modeli optymalnego sterowania (por. np. Tokarski [2009; 2011] lub Konopczyński [2015]), gdzie uwzględnienie subiektywne stopy dyskonta konsumpci przyszłe (w stosunku do konsumpci bieżące) typowych podmiotów w gospodarce prowadzi do kształtowania się rzeczywistych stóp inwestyci poniże złotych reguł akumulaci kapitału Phelpsa.

18 44 GOSPODARKA NARODOWA nr 3/2015 Co więce, eśli zaś (przy powyższych założeniach) porówna się wydaność pracy i konsumpcę na pracuącego w długookresowe równowadze grawitacynego modelu wzrostu w pierwszym i drugim wariancie złotych reguł akumulaci kapitału z wartościami tych zmiennych przy nieważone średnie stóp inwestyci w kraach UE w latach (wynoszące 21,6%), to okazue się, że w pierwszym wariancie długookresowa wydaność pracy w pierwszym wariancie powinna być o 96,2% wyższa niż przy 21,6% stopie inwestyci, w drugim zaś wariancie o 64,0% wyższa. Natomiast długookresowa konsumpca na pracuącego winna być w wariancie pierwszym o 33,5% wyższa niż przy s 21,6%, zaś w drugim wariancie o 29,7% wyższa niż przy średnich stopach inwestyci w kraach UE w latach Podsumowanie Prowadzone w artykule rozważania można podsumować następuąco: I. Zaprezentowany w artykule grawitacyny model wzrostu gospodarczego bazue na modelu wzrostu Solowa. W modelu tym przymue się również założenie, że na zróżnicowanie łączne produktywności czynników produkci (a tym samym także na zróżnicowanie wydaności pracy) w kraach (regionach) wypływaą występuące między nimi interakce przestrzenne. Interakce te opisane są przez efekty grawitacyne. Sposób kwantyfikaci siły działania efektów grawitacynych w tym modelu wzrostu gospodarczego nawiązue do newtonowskiego prawa powszechne grawitaci. Zakłada się zatem, że gospodarki oddziałuą na siebie z określoną siłą, która est wprost proporconalna do iloczynu ich potencałów gospodarczych oraz odwrotnie proporconalna do kwadratu odległości między nimi. II. Opisany model teoretyczny posiada nietrywialny, asymptotycznie stabilny punkt staconarny, który na gruncie ekonomicznym traktowany est ako punkt długookresowe równowagi modelu. W warunkach długookresowe równowagi analizowanego modelu wzrostu techniczne uzbroenie pracy oraz wydaność pracy w danym krau (regionie) zależą od stopy inwestyci, stopy ubytku kapitału na pracuącego, pozagrawitacyne części łączne produktywności czynników produkci w tym krau (regionie), od średnie odległości te gospodarki od pozostałych gospodarek, a także od stóp inwestyci, stóp ubytku technicznego uzbroenia pracy oraz pozagrawitacynych części łączne produkcyności czynników produkci w pozostałych kraach (regionach). III. W teorii ekonomii przez złotą regułę akumulaci Phelpsa rozumie się taką stopę oszczędności/inwestyci, która maksymalizue wielkość konsumpci na pracuącego w gospodarce znaduące się w stanie długookresowe równowagi typu Solowa. Stopa oszczędności/inwestyci, zgodna ze złotą regułą akumulaci w modelu Solowa z funkcą produkci Cobba-Douglasa, est równa elastyczności strumienia produktu względem zasobu kapitału. Złotą regułę akumulaci kapitału z modelu Solowa można również

19 Katarzyna Filipowicz, Tomasz Tokarski, Mariusz Troak, Złote reguły akumulaci kapitału uogólnić na neoklasyczne modele wzrostu gospodarczego Mankiwa, Romera, Weila oraz Nonnemana, Vanhoudta. IV. W grawitacynym modelu wzrostu gospodarczego złota reguła akumulaci kapitału definiowana est przez autorów na dwa sposoby. Regułę tę definiue się albo ako taką kombinacę stóp inwestyci w gospodarkach obętych działaniem efektu grawitacynego, która maksymalizue średnią geometryczną z konsumpci na pracuącego (w długookresowe równowadze) we wszystkich gospodarkach, albo ako taką kombinacę owych stóp, która maksymalizue długookresową konsumpcę na pracuącego w każde gospodarek. V. W pierwszym wariancie złotą regułą akumulaci kapitału są stopy inwestyci równe (w każde z gospodarek) elastyczności produktu względem nakładów kapitałowych powiększone o dwukrotność siły działania efektu grawitacynego. VI. Natomiast w drugim wariancie optymalne stopy inwestyci zależne są (podobnie ak w pierwszym wariancie) od elastyczności produkci względem kapitału, siły działania efektu grawitacynego oraz (co nie występue w pierwszym wariancie) liczby gospodarek podlegaących działaniu efektu grawitacynego. Co więce, w wariancie tym wzrost elastyczności produkci względem kapitału i/lub siły działania efektów grawitacynych prowadzi do wzrostu optymalnych stóp inwestyci. Jeśli zaś liczba kraów (regionów), na które oddziałue efekt grawitacyny rośnie, to spadaą stopy inwestyci, które maksymalizuą długookresową konsumpcę na pracuącego w każde z gospodarek. VII. W obu rozważanych w artykule wariantach gasnące (do zera) efekty grawitacyne powoduą zbieżność uzyskanych złotych reguł akumulaci z oryginalnymi złotymi regułami Phelpsa. Oznacza to, iż wyznaczone przez autorów złote reguły akumulaci kapitału stanowią uogólnienie złotych reguł akumulaci kapitału Phelpsa na grawitacyny model wzrostu gospodarczego. Bibliografia Cobb C. W., Douglas P. H. [1928], A Theory of Production, American Economic Review, no. 18. Dykas P., Sulima A., Tokarski T. [2008], Złote reguły akumulaci kapitału w N-kapitałowym modelu wzrostu gospodarczego, Gospodarka Narodowa, nr Konopczyński M. [2015], Optymalna polityka fiskalna w gospodarce otwarte w świetle teorii endogenicznego wzrostu gospodarczego, Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego w Poznaniu, Poznań (w druku). Linnemann H. [1963], An Econometric Study of International Trade Flows, North-Holland Publishing Company, Amsterdam. Lucas R. E. [1988], On the Mechanics of Economics Development, Journal of Monetary Economics, July.

20 46 GOSPODARKA NARODOWA nr 3/2015 Malaga K., Kliber P. [2007], Konwergenca i nierówności regionalne w Polsce w świetle neoklasycznych modeli wzrostu gospodarczego, Wydawnictwo Akademii Ekonomiczne w Poznaniu, Poznań. Mankiw N. G., Romer D., Weil D. N. [1992], A Contribution to the Empirics of Economic Growth, Quarterly Journal of Economics, May. Mroczek K., Nowosad A., Tokarski T. [2015], Efekt grawitacyny a zróżnicowanie wydaności pracy w kraach bałkańskich, Gospodarka Narodowa, nr 2. Mroczek K., Tokarski T. [2014], Efekt grawitacyny a zróżnicowanie wydaności pracy w kraach UE, referat na IV Ogólnopolską Konferencę im. prof. Z. Czerwińskiego, pt. Matematyka i informatyka na usługach ekonomii, WIGE UEP, Poznań, Mroczek K., Tokarski T., Troak M. [2014], Grawitacyny model zróżnicowania rozwou ekonomicznego woewództw, Gospodarka Narodowa, nr 3. Nonneman W., Vanhoudt P. [1996], A Further Augmentation of the Solow Model and the Empirics of Economic Growth for the OECD Countries, Quarterly Journal of Economics, August. Ombach J. [1999], Wykłady z równań różniczkowych wspomagane komputerowo-maple, Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków. Phelps E. S. [1961], The Golden Rule of Accumulation: A Fable for Growthmen, American Economic Review, September. Phelps E. S. [1966], Model of Technical Progress and the Golden Rule of Research, Review of Economic Studies, April. Pulliainen K. [1963], A World Trade Study. An Econometric Model of the Pattern of Commodity Flows in International Trade in , Ekonomiska Samfundet Tidskrift, no. 2. Roszkowska S. [2013], Kapitał ludzki a wzrost gospodarczy w Polsce, Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, Łódź. Solow R. M. [1956], A Contribution to the Theory of Economic Growth, Quarterly Journal of Economics, February. Tinbergen J. [1962], Shaping the World Economy: Suggestions for an International Economic Policy, The Twentieth Century Fund, New York. Tokarski T. [2009], Matematyczne modele wzrostu gospodarczego (uęcie neoklasyczne), Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków. Tokarski T. [2011], Ekonomia matematyczna. Modele makroekonomiczne, Polskie Wydawnictwo Ekonomiczne, Warszawa. Żółtowska E. [1997], Funkca produkci. Teoria, estymaca, zastosowania, Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, Łódź.

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA DYNAMICZNYCH LOKAT KAPITAŁOWYCH Krzysztof Gąsior Uniwersytet Rzeszowski Streszczenie Celem referatu jest zaprezentowanie praktycznego zastosowania

Bardziej szczegółowo

(b) Oblicz zmianę zasobu kapitału, jeżeli na początku okresu zasób kapitału wynosi kolejno: 4, 9 oraz 25.

(b) Oblicz zmianę zasobu kapitału, jeżeli na początku okresu zasób kapitału wynosi kolejno: 4, 9 oraz 25. Zadanie 1 W pewnej gospodarce funkcja produkcji może być opisana jako Y = AK 1/2 N 1/2, przy czym A oznacza poziom produktywności, K zasób kapitału, a N liczbę zatrudnionych. Stopa oszczędności s wynosi

Bardziej szczegółowo

OCENA PRZYDATNOŚCI MODELU EKONOMETRYCZNEGO DO BADANIA ZMIAN DYNAMIKI GOSPODARKI WOJEWÓDZTWA ŚLĄSKIEGO

OCENA PRZYDATNOŚCI MODELU EKONOMETRYCZNEGO DO BADANIA ZMIAN DYNAMIKI GOSPODARKI WOJEWÓDZTWA ŚLĄSKIEGO Studia Ekonomiczne. Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego w Katowicach ISSN 2083-8611 Nr 220 2015 Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach Wydział Zarządzania Katedra Ekonometrii ozef.biolik@ue.katowice.pl

Bardziej szczegółowo

ROZDZIAŁ 3 KAPITAŁ LUDZKI W KRAJACH UNII EUROPEJSKIEJ - ANALIZA PORÓWNAWCZA

ROZDZIAŁ 3 KAPITAŁ LUDZKI W KRAJACH UNII EUROPEJSKIEJ - ANALIZA PORÓWNAWCZA Gabriela Wronowska ROZDZIAŁ 3 KAPITAŁ LUDZKI W KRAJACH UNII EUROPEJSKIEJ - ANALIZA PORÓWNAWCZA Wprowadzenie Na temat kapitału ludzkiego i ego roli we wzroście i rozwou gospodarczym toczy się wiele ożywionych

Bardziej szczegółowo

Makroekonomia Gospodarki Otwartej Wykład 7 Równowaga na rynku walutowym podejście elastycznościowe, warunek Marshalla-Lernera

Makroekonomia Gospodarki Otwartej Wykład 7 Równowaga na rynku walutowym podejście elastycznościowe, warunek Marshalla-Lernera Makroekonomia Gospodarki Otwartej Wykład 7 Równowaga na rynku walutowym podejście elastycznościowe, warunek Marshalla-Lernera Leszek Wincenciak Wydział Nauk Ekonomicznych UW 2/27 Plan wykładu: Warunek

Bardziej szczegółowo

ROLA WIEDZY I INNOWACJI W STYMULOWANIU WZROSTU GOSPODARCZEGO

ROLA WIEDZY I INNOWACJI W STYMULOWANIU WZROSTU GOSPODARCZEGO dr Paweł Kawa Wyższa Szkoła Zarządzania i Bankowości w Krakowie Akademia Ekonomiczna w Krakowie ROLA WIEDZY I INNOWACJI W STYMULOWANIU WZROSTU GOSPODARCZEGO STRESZCZENIE Przeprowadzona w niniejszym artykule

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie algebraicznych układów równań liniowych metodami iteracyjnymi. Plan wykładu:

Rozwiązywanie algebraicznych układów równań liniowych metodami iteracyjnymi. Plan wykładu: Rozwiązywanie algebraicznych układów równań liniowych metodami iteracynymi Plan wykładu: 1. Przykłady macierzy rzadkich i formaty ich zapisu 2. Metody: Jacobiego, Gaussa-Seidla, nadrelaksaci 3. Zbieżność

Bardziej szczegółowo

Matematyka bankowa 1 1 wykład

Matematyka bankowa 1 1 wykład Matematyka bankowa 1 1 wykład Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl

Bardziej szczegółowo

Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II

Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Łódzkiego w Łodzi Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II Łódź 2008 Rozdział

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 4. Wartości własne i wektory własne 4.1. Podstawowe definicje, własności i twierdzenia 4.2. Lokalizacja wartości własnych 4.3. Metoda potęgowa znajdowania

Bardziej szczegółowo

Makroekonomia 1 Wykład 5: Model klasyczny gospodarki (dla przypadku gospodarki zamkniętej)

Makroekonomia 1 Wykład 5: Model klasyczny gospodarki (dla przypadku gospodarki zamkniętej) Makroekonomia 1 Wykład 5: Model klasyczny gospodarki (dla przypadku gospodarki zamkniętej) Gabriela Grotkowska Katedra Makroekonomii i Teorii Handlu Zagranicznego PKB jako miara dobrobytu Produkcja w gospodarce

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt

Bardziej szczegółowo

Przegląd termodynamiki II

Przegląd termodynamiki II Wykład II Mechanika statystyczna 1 Przegląd termodynamiki II W poprzednim wykładzie po wprowadzeniu podstawowych pojęć i wielkości, omówione zostały pierwsza i druga zasada termodynamiki. Tutaj wykorzystamy

Bardziej szczegółowo

EKONOMIA II stopień ogólnoakademicki niestacjonarne wszystkie Katedra Strategii Gospodarczych dr Helena Baraniecka. podstawowy. obowiązkowy polski

EKONOMIA II stopień ogólnoakademicki niestacjonarne wszystkie Katedra Strategii Gospodarczych dr Helena Baraniecka. podstawowy. obowiązkowy polski KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Z-EKON2-008 Nazwa modułu Makroekonomia II Nazwa modułu w języku angielskim Macroeconomics II Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013 A. USYTUOWANIE MODUŁU

Bardziej szczegółowo

UWAGI O ZŁOTEJ REGULE AKUMULACJI KAPITAŁU RZECZOWEGO I LUDZKIEGO W KONTEKŚCIE ZAGADNIENIA MAKSYMALIZACJI DOBROBYTU

UWAGI O ZŁOTEJ REGULE AKUMULACJI KAPITAŁU RZECZOWEGO I LUDZKIEGO W KONTEKŚCIE ZAGADNIENIA MAKSYMALIZACJI DOBROBYTU RUCH PRAWNICZY, EKONOMICZNY I SOCJOLOGICZNY ROK LXXI - zeszyt 1-2009 PIOTR PIETRASZEWSKI UWAGI O ZŁOTEJ REGULE AKUMULACJI KAPITAŁU RZECZOWEGO I LUDZKIEGO W KONTEKŚCIE ZAGADNIENIA MAKSYMALIZACJI DOBROBYTU

Bardziej szczegółowo

Jerzy Osiatyński. Wybór stopy wzrostu w Kaleckiego teorii wzrostu gospodarki centralnie planowanej a złota reguła akumulacji kapitału *

Jerzy Osiatyński. Wybór stopy wzrostu w Kaleckiego teorii wzrostu gospodarki centralnie planowanej a złota reguła akumulacji kapitału * Jerzy Osiatyński Wybór stopy wzrostu w Kaleckiego teorii wzrostu gospodarki centralnie planowanej a złota reguła akumulacji kapitału * W teorii ekonomii głównego nurtu koncepcja złotej reguły akumulacji

Bardziej szczegółowo

Testy zgodności 9 113

Testy zgodności 9 113 Testy zgodności 9 3 9. TESTY ZGODNOŚCI 9. Różne sytuace praktyczne W praktyce badań statystycznych, ak uż poprzednio stwierdzono, cały proces analizy statystyczne dzielimy na dwa etapy: formułowanie hipotezy

Bardziej szczegółowo

Zestaw 3 Optymalizacja międzyokresowa

Zestaw 3 Optymalizacja międzyokresowa Zestaw 3 Optymalizacja międzyokresowa W modelu tym rozważamy optymalny wybór konsumenta dotyczący konsumpcji w okresie obecnym i w przyszłości. Zakładając, że nasz dochód w okresie bieżącym i przyszłym

Bardziej szczegółowo

M. Dąbrowska. K. Grabowska. Wroclaw University of Economics

M. Dąbrowska. K. Grabowska. Wroclaw University of Economics M. Dąbrowska K. Grabowska Wroclaw University of Economics Zarządzanie wartością przedsiębiorstwa na przykładzie przedsiębiorstw z branży produkującej napoje JEL Classification: A 10 Słowa kluczowe: Zarządzanie

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii

Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii Maciej Grzesiak Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii 1 Metoda mnożników Lagrange a znajdowania ekstremum warunkowego Pochodna kierunkowa i gradient Dla prostoty ograniczymy się do

Bardziej szczegółowo

Brygida Beata Cupiał. Keywords: competitiveness, innovativeness, small and medium-sized enterprises, regional support policy

Brygida Beata Cupiał. Keywords: competitiveness, innovativeness, small and medium-sized enterprises, regional support policy Zarządzanie Publiczne, 2(18)/2012, s. 75-85 Kraków 2012 Published online September 10, 2012 doi: 10.4467/20843968ZP. 12.012.0536 Wsparcie konkurencyjności małych i średnich przedsiębiorstw w województwie

Bardziej szczegółowo

Jarosław Michał Nazarczuk, Renata Marks-Bielska CZYNNIKI WZROSTU GOSPODARCZEGO POLSKI W ŚWIETLE NEOKLASYCZNEGO MODELU WZROSTU. 1.

Jarosław Michał Nazarczuk, Renata Marks-Bielska CZYNNIKI WZROSTU GOSPODARCZEGO POLSKI W ŚWIETLE NEOKLASYCZNEGO MODELU WZROSTU. 1. PRACE NAUKOWE UNIWERSYSTETU EKONOMICZNEGO WE WROCŁAWIU Nr 39 2009 Problemy ekonomii, polityki ekonomicznej i finansów publicznych Jarosław Michał Nazarczuk, Renata Marks-Bielska Uniwersytet Warmińsko-Mazurski

Bardziej szczegółowo

Ekonomia matematyczna - 1.2

Ekonomia matematyczna - 1.2 Ekonomia matematyczna - 1.2 6. Popyt Marshalla, a popyt Hicksa. Poruszać się będziemy w tzw. standardowym polu preferencji X,, gdzie X R n i jest relacją preferencji, która jest: a) rosnąca (tzn. x y x

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu 8 Równowaga ogólna w małej gospodarce otwartej

Plan wykładu 8 Równowaga ogólna w małej gospodarce otwartej Plan wykładu 8 Równowaga ogólna w małej gospodarce otwartej 1. Model Mundella Fleminga 2. Dylemat polityki gospodarczej małej gospodarki otwartej 3. Skuteczność polityki monetarnej i fiskalnej w warunkach

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna - 14. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi i szeregi liczbowe

Analiza matematyczna - 14. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi i szeregi liczbowe Analiza matematyczna - 4. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi i szeregi liczbowe Wstęp: zmienne ciągłe i zmienne dyskretne Podczas dotychczasowych wykładów rozważaliśmy przede wszystkim zależności funkcyjne

Bardziej szczegółowo

Immunizacja ryzyka stopy procentowej ubezpieczycieli życiowych

Immunizacja ryzyka stopy procentowej ubezpieczycieli życiowych Immunizacja ryzyka stopy procentowej ubezpieczycieli życiowych Elżbieta Krajewska Instytut Matematyki Politechnika Łódzka Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 1/22 Plan prezentacji

Bardziej szczegółowo

Analiza wpływu długości trwania strategii na proces optymalizacji parametrów dla strategii inwestycyjnych w handlu event-driven

Analiza wpływu długości trwania strategii na proces optymalizacji parametrów dla strategii inwestycyjnych w handlu event-driven Raport 8/2015 Analiza wpływu długości trwania strategii na proces optymalizacji parametrów dla strategii inwestycyjnych w handlu event-driven autor: Michał Osmoła INIME Instytut nauk informatycznych i

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

Analiza inwestycji i zarządzanie portfelem SPIS TREŚCI

Analiza inwestycji i zarządzanie portfelem SPIS TREŚCI Analiza inwestycji i zarządzanie portfelem Frank K. Reilly, Keith C. Brown SPIS TREŚCI TOM I Przedmowa do wydania polskiego Przedmowa do wydania amerykańskiego O autorach Ramy książki CZĘŚĆ I. INWESTYCJE

Bardziej szczegółowo

dr Bartłomiej Rokicki Chair of Macroeconomics and International Trade Theory Faculty of Economic Sciences, University of Warsaw

dr Bartłomiej Rokicki Chair of Macroeconomics and International Trade Theory Faculty of Economic Sciences, University of Warsaw Chair of Macroeconomics and International Trade Theory Faculty of Economic Sciences, University of Warsaw Model ISLM w gospodarce otwartej Fundamentalne równania modelu: IS: Y = C(Y d ) + I(r) + G + NX(Y,Y*,q)

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej

Bardziej szczegółowo

Przestrzenne zróżnicowanie płac w Polsce

Przestrzenne zróżnicowanie płac w Polsce Andrzej ADAMCZYK * Tomasz TOKARSKI ** Robert W. WŁODARCZYK ** Przestrzenne zróżnicowanie płac w Polsce Wprowadzenie Jedną z ważniejszych charakterystyk każdego rynku pracy jest wykształcenie się odpowiedniej

Bardziej szczegółowo

Analiza zdarzeń Event studies

Analiza zdarzeń Event studies Analiza zdarzeń Event studies Dobromił Serwa akson.sgh.waw.pl/~dserwa/ef.htm Leratura Campbell J., Lo A., MacKinlay A.C.(997) he Econometrics of Financial Markets. Princeton Universy Press, Rozdział 4.

Bardziej szczegółowo

SYMULACJA WYBRANYCH PROCESÓW

SYMULACJA WYBRANYCH PROCESÓW Romuald Mosdorf Joanicjusz Nazarko Nina Siemieniuk SYMULACJA WYBRANYCH PROCESÓW EKONOMICZNYCH Z ZASTOSOWANIEM TEORII CHAOSU DETERMINISTYCZNEGO Gospodarka rynkowa oparta jest na mechanizmach i instytucjach

Bardziej szczegółowo

System pieniężny i teoria pieniądza

System pieniężny i teoria pieniądza System pieniężny i teoria pieniądza Wyższa Szkoła Technik Komputerowych i Telekomunikacji w Kielcach 1 Wykład nr 3 System pieniężny i teoria pieniądza 1. Pojęcie i funkcje pieniądza. 2. Klasyczna teoria

Bardziej szczegółowo

Proces Poissona. Proces {N(t), t 0} nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t.

Proces Poissona. Proces {N(t), t 0} nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t. Procesy stochastyczne WYKŁAD 5 Proces Poissona. Proces {N(t), t } nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t. Proces zliczający musi

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne liniowe pierwszego rzędu

1 Równania różniczkowe zwyczajne liniowe pierwszego rzędu Równania różniczkowe zwyczajne liniowe I-go rzędu 1 1 1 Równania różniczkowe zwyczajne liniowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym liniowym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (RL1)

Bardziej szczegółowo

Autonomiczne składniki popytu globalnego Efekt wypierania i tłumienia Krzywa IS Krzywa LM Model IS-LM

Autonomiczne składniki popytu globalnego Efekt wypierania i tłumienia Krzywa IS Krzywa LM Model IS-LM Autonomiczne składniki popytu globalnego Efekt wypierania i tłumienia Krzywa IS Krzywa LM Model IS-LM Konsumpcja, inwestycje Utrzymujemy założenie o stałości cen w gospodarce. Stopa procentowa wiąże ze

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24)

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Podstawy Automatyki wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak Politechnika Wrocławska Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Laboratorium Podstaw Automatyzacji (L6) 105/2 B1 Sprawy organizacyjne

Bardziej szczegółowo

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu: Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie

Bardziej szczegółowo

WYRÓWNYWANIE POZIOMU ROZWOJU POLSKI I UNII EUROPEJSKIEJ

WYRÓWNYWANIE POZIOMU ROZWOJU POLSKI I UNII EUROPEJSKIEJ dr Barbara Ptaszyńska Wyższa Szkoła Bankowa w Poznaniu WYRÓWNYWANIE POZIOMU ROZWOJU POLSKI I UNII EUROPEJSKIEJ Wprowadzenie Podstawowym celem wspólnoty europejskiej jest wyrównanie poziomu rozwoju poszczególnych

Bardziej szczegółowo

Makroekonomia zaawansowana konwersatorium Ekonomia międzynarodowa: pytania przykładowe

Makroekonomia zaawansowana konwersatorium Ekonomia międzynarodowa: pytania przykładowe Makroekonomia zaawansowana konwersatorium Ekonomia międzynarodowa: pytania przykładowe dr Leszek Wincenciak Pytanie 1 Omów główne różnice między neoklasyczną i nową teorią handlu. Jakie według nowej teorii

Bardziej szczegółowo

Bardzo dobra Dobra Dostateczna Dopuszczająca

Bardzo dobra Dobra Dostateczna Dopuszczająca ELEMENTY EKONOMII PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Klasa: I TE Liczba godzin w tygodniu: 3 godziny Numer programu: 341[02]/L-S/MEN/Improve/1999 Prowadzący: T.Kożak- Siara I Ekonomia jako nauka o gospodarowaniu

Bardziej szczegółowo

Matematyka bankowa 2

Matematyka bankowa 2 1. Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Łódzki 2. Instytut Nauk Ekonomicznych i Informatyki Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Płocku Matematyka bankowa 2 średnio- i

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych.

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. Równania różniczkowe. Lisa nr 2. Lieraura: N.M. Mawiejew, Meody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Maemayczna w Zadaniach, część II 1. Znaleźć ogólną posać

Bardziej szczegółowo

Ciągi. Kurs matematyki w Oratorium (http://www.salezjanie.rumia.pl/math)

Ciągi. Kurs matematyki w Oratorium (http://www.salezjanie.rumia.pl/math) Ciągi Kurs matematyki w Oratorium (http://www.salezjanie.rumia.pl/math) Spis treści 1 Ciągi liczbowe 1 1.1 Podstawowe własności ciągów................... 2 1.2 Granica ciągu............................

Bardziej szczegółowo

Makroekonomia David Begg, Stanley Fisher, Gianluigi Vernasca, Rudiger Dornbusch

Makroekonomia David Begg, Stanley Fisher, Gianluigi Vernasca, Rudiger Dornbusch Makroekonomia David Begg, Stanley Fisher, Gianluigi Vernasca, Rudiger Dornbusch Makroekonomia jest najczęściej używanym podręcznikiem na pierwszych latach studiów ekonomicznych w większości polskich uczelni.

Bardziej szczegółowo

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Z E S Z Y T M E T O D Y C Z N Y Miejski

Bardziej szczegółowo

JEDNOLITA POLITYKA PIENIĘŻNA EUROPEJSKIEGO BANKU CENTRALNEGO, A HETEROGENICZNOŚĆ STREFY EURO. mgr Dominika Brózda Uniwersytet Łódzki

JEDNOLITA POLITYKA PIENIĘŻNA EUROPEJSKIEGO BANKU CENTRALNEGO, A HETEROGENICZNOŚĆ STREFY EURO. mgr Dominika Brózda Uniwersytet Łódzki JEDNOLITA POLITYKA PIENIĘŻNA EUROPEJSKIEGO BANKU CENTRALNEGO, A HETEROGENICZNOŚĆ STREFY EURO mgr Dominika Brózda Uniwersytet Łódzki Plan wystąpienia 1. Ogólne założenia polityki pieniężnej EBC 2. Dywergencja

Bardziej szczegółowo

Modele cyklu ekonomicznego

Modele cyklu ekonomicznego Prezentacja licencjacka pod kierunkiem dr Sławomira Michalika 03/06/2013 Obserwacje rozwiniętych gospodarek wolnorynkowych wykazują, że nie występują w nich stany stacjonarne, typowe są natomiast pewne

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analitycznych i numerycznych metod wyceny opcji

Wstęp do analitycznych i numerycznych metod wyceny opcji Wstęp do analitycznych i numerycznych metod wyceny opcji Jan Palczewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 16 maja 2008 Jan Palczewski Wycena opcji Warszawa, 2008

Bardziej szczegółowo

Inwestycje finansowe. Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. Ryzyko.

Inwestycje finansowe. Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. Ryzyko. Inwestycje finansowe Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. yzyko. Inwestycje finansowe Instrumenty rynku pieniężnego (np. bony skarbowe). Instrumenty rynku walutowego. Obligacje. Akcje. Instrumenty pochodne.

Bardziej szczegółowo

Wykład 5 Kurs walutowy parytet stóp procentowych

Wykład 5 Kurs walutowy parytet stóp procentowych Wykład 5 Kurs walutowy parytet stóp procentowych dr Leszek Wincenciak WNUW 2/30 Plan wykładu: Kurs walutowy i stopy procentowe Kursy walutowe i dochody z aktywów Rynek pieniężny i rynek walutowy fektywność

Bardziej szczegółowo

Wskazówki rozwiązania zadań#

Wskazówki rozwiązania zadań# Terminy i skróty pochodzące z języka angielskiego: P - price - cena Q - quantity - ilość S - sales - sprzedaż VC - variable cost - koszt zmienny FC - fixed cost - koszt stały EBIT - Earnings before Intrest

Bardziej szczegółowo

Papiery wartościowe o stałym dochodzie

Papiery wartościowe o stałym dochodzie Papiery wartościowe o stałym dochodzie Inwestycje i teoria portfela Strona 1 z 42 1. Wartość pieniądza w czasie Złotówka dzisiaj (którą mamy w ręku) jest więcej warta niż (przyrzeczona) złotówka w przyszłości,

Bardziej szczegółowo

PLANOWANIE I OCENA PRZEDSIĘWZIĘĆ INWESTYCYJNYCH

PLANOWANIE I OCENA PRZEDSIĘWZIĘĆ INWESTYCYJNYCH Mariusz Próchniak Katedra Ekonomii II, SGH PLANOWANIE I OCENA PRZEDSIĘWZIĘĆ INWESTYCYJNYCH Ekonomia menedżerska 1 2 Wartość przyszła (FV future value) r roczna stopa procentowa B kwota pieniędzy, którą

Bardziej szczegółowo

Parytet siły nabywczej prosta analiza empiryczna (materiał pomocniczy dla studentów CE UW do przygotowaniu eseju o wybranej gospodarce)

Parytet siły nabywczej prosta analiza empiryczna (materiał pomocniczy dla studentów CE UW do przygotowaniu eseju o wybranej gospodarce) Parytet siły nabywczej prosta analiza empiryczna (materiał pomocniczy dla studentów CE UW do przygotowaniu eseju o wybranej gospodarce) 1. Wprowadzenie Teoria parytetu siły nabywczej (purchaising power

Bardziej szczegółowo

ZESTAWY ZADAŃ Z EKONOMII MATEMATYCZNEJ

ZESTAWY ZADAŃ Z EKONOMII MATEMATYCZNEJ ZESTAWY ZADAŃ Z EKONOMII MATEMATYCZNEJ Zestaw 5 1.Narynkuistniejądwajhandlowcyidwatowary,przyczymtowarupierwszegosą3sztuki,adrugiego 2sztuki. a). Jak wygląda zbiór alokacji dopuszczalnych, jeśli towary

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ INFORMATYKI I GOSPODARKI ELEKTRONICZNEJ KARTA OPISU MODUŁU KSZTAŁCENIA

WYDZIAŁ INFORMATYKI I GOSPODARKI ELEKTRONICZNEJ KARTA OPISU MODUŁU KSZTAŁCENIA WYDZIAŁ INFORMATYKI I GOSPODARKI ELEKTRONICZNEJ KARTA OPISU MODUŁU KSZTAŁCENIA Nazwa modułu Mikroekonomia Nazwa modułu w języku angielskim Microeconomics Kod modułu Kody nie zostały jeszcze nadane Kierunek

Bardziej szczegółowo

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Zagadnienie dane jest następująco: znaleźć funkcje własne i wartości własne operatora energii dla cząstki umieszczonej w nieskończonej studni potencjału,

Bardziej szczegółowo

Wpływ macierzy przejścia systemu bonus-malus ubezpieczeń komunikacyjnych OC na jego efektywność taryfikacyjną

Wpływ macierzy przejścia systemu bonus-malus ubezpieczeń komunikacyjnych OC na jego efektywność taryfikacyjną Wpływ macierzy przejścia systemu bonus-malus ubezpieczeń komunikacyjnych OC na jego efektywność taryfikacyjną Anna Szymańska Katedra Metod Statystycznych Uniwersytet Łódzki Taryfikacja w ubezpieczeniach

Bardziej szczegółowo

Obliczenia naukowe Wykład nr 6

Obliczenia naukowe Wykład nr 6 Obliczenia naukowe Wykład nr 6 Paweł Zieliński Katedra Informatyki, Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Politechnika Wrocławska Literatura Literatura podstawowa [1] D. Kincaid, W. Cheney, Analiza

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

Optymalne inwestowanie w rozwój firmy. Zastosowanie teorii sterowania.

Optymalne inwestowanie w rozwój firmy. Zastosowanie teorii sterowania. Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Izabela Asiewicz Nr albumu: 305038 Optymalne inwestowanie w rozwój firmy. Zastosowanie teorii sterowania. Praca licencjacka na kierunku

Bardziej szczegółowo

Podstawowe pojęcia: koszt, przychód, zysk Koszt alternatywny a koszt księgowy Koszt krańcowy, utarg krańcowy optymalna wielkość produkcji

Podstawowe pojęcia: koszt, przychód, zysk Koszt alternatywny a koszt księgowy Koszt krańcowy, utarg krańcowy optymalna wielkość produkcji Podstawowe pojęcia: koszt, przychód, zysk Koszt alternatywny a koszt księgowy Koszt krańcowy, utarg krańcowy optymalna wielkość produkcji dr inż. Anna Kowalska-Pyzalska email: anna.kowalska@pwr.wroc.pl

Bardziej szczegółowo

a 1, a 2, a 3,..., a n,...

a 1, a 2, a 3,..., a n,... III. Ciągi liczbowe. 1. Definicja ciągu liczbowego. Definicja 1.1. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R i oznaczamy przez {a

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO

ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP często spotykane w życiu codziennym wybór asortymentu produkcji jakie wyroby i w jakich ilościach powinno produkować przedsiębiorstwo

Bardziej szczegółowo

K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys. jp.

K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys. jp. Sprawdzian 2. Zadanie 1. Za pomocą KMNK oszacowano następującą funkcję produkcji: Gdzie: P wartość produkcji, w tys. jp (jednostek pieniężnych) K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys.

Bardziej szczegółowo

9. OBWODY ROZGAŁĘZIONE - METODY I TWIERDZENIA

9. OBWODY ROZGAŁĘZIONE - METODY I TWIERDZENIA 9. OBWODY ROZGAŁĘZONE - METODY TWERDZENA Podobnie ak w przypadku obwodów prądu stałego analiza złożonych obwodów prądu sinusoidalnie zmiennego opiera się o tworzenie ich schematów zastępczych. Zestawiane

Bardziej szczegółowo

STOPA KAPITALIZACJI Mnożnikowe metody wyceny:

STOPA KAPITALIZACJI Mnożnikowe metody wyceny: Piotr Cegielski, MAI, MRICS, CCIM STOPA KAPITALIZACJI (Wybrane fragmenty artykułu opublikowanego w C.H. Beck Nieruchomości, numer z 20 r. Całość dostępna pod adresem internetowym: www.nieruchomosci.beck.pl)

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa - 4. P t n 1 1 r. (Gdy P t 0 0, P t 1 0,...,P t N 0, to przyjmujemy umownie i P. Gdy t n kn. do równania definiującego.

Matematyka finansowa - 4. P t n 1 1 r. (Gdy P t 0 0, P t 1 0,...,P t N 0, to przyjmujemy umownie i P. Gdy t n kn. do równania definiującego. Matematyka finansowa - 4 Przepływy pieniężne - 2 Wewnętrzna stopa zwrotu Definicja Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR-Internal Rate of Return) dla strumienia przepływów pieniężnych P P t,p t, P t 2,...,P t w

Bardziej szczegółowo

Dynamiczne metody oceny opłacalności inwestycji tonażowych

Dynamiczne metody oceny opłacalności inwestycji tonażowych Dynamiczne metody oceny opłacalności inwestycji tonażowych Dynamiczne formuły oceny opłacalności inwestycji tonażowych są oparte na założeniu zmiennej (malejącej z upływem czasu) wartości pieniądza. Im

Bardziej szczegółowo

Konwergencja nominalna versus konwergencja realna a przystąpienie. Ewa Stawasz Katedra Międzynarodowych Stosunków Gospodarczych UŁ

Konwergencja nominalna versus konwergencja realna a przystąpienie. Ewa Stawasz Katedra Międzynarodowych Stosunków Gospodarczych UŁ Konwergencja nominalna versus konwergencja realna a przystąpienie Polski do strefy euro Ewa Stawasz Katedra Międzynarodowych Stosunków Gospodarczych UŁ Plan prezentacji 1. Nominalne kryteria konwergencji

Bardziej szczegółowo

Szeregi liczbowe. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk

Szeregi liczbowe. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk Analiza Matematyczna Szeregi liczbowe Alexander Denisjuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych zamiejscowy ośrodek dydaktyczny w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ EKONOMII KARTA OPISU MODUŁU KSZTAŁCENIA

WYDZIAŁ EKONOMII KARTA OPISU MODUŁU KSZTAŁCENIA WYDZIAŁ EKONOMII KARTA OPISU MODUŁU KSZTAŁCENIA Nazwa modułu Podstawy ekonomii Nazwa modułu w języku angielskim Fundamentals of Economics Kod modułu Kody nie zostały jeszcze przypisane Kierunek studiów

Bardziej szczegółowo

System bonus-malus z mechanizmem korekty składki

System bonus-malus z mechanizmem korekty składki System bonus-malus z mechanizmem korekty składki mgr Kamil Gala Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny dr hab. Wojciech Bijak, prof. SGH Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny, Szkoła Główna Handlowa Zagadnienia

Bardziej szczegółowo

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA 1 3. 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA Analizując płaski stan naprężenia posługujemy się składowymi tensora naprężenia w postaci wektora {,,y } (3.1) Za dodatnie

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Podstawy ekonomii Kierunek: Inżynieria Środowiska Rodzaj przedmiotu: treści ogólnych, moduł Rodzaj zajęć: wykład Profil kształcenia: ogólnoakademicki Poziom kształcenia: I stopnia Liczba

Bardziej szczegółowo

Zmiany korelacji stóp oszczędności i wzrostu gospodarczego w regionach o zróżnicowanym poziomie rozwoju gospodarczego

Zmiany korelacji stóp oszczędności i wzrostu gospodarczego w regionach o zróżnicowanym poziomie rozwoju gospodarczego Zmiany korelacji stóp oszczędności i wzrostu gospodarczego w regionach o zróżnicowanym poziomie rozwoju gospodarczego Anna Korzeniowska Uniwersytet Marii Curie-Skłodowskiej w Lublinie, Wydział Ekonomiczny,

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej 7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach

Bardziej szczegółowo

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0.

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0. Matematyka ZLic - 3 Pochodne i różniczki funkcji jednej zmiennej Definicja Pochodną funkcji f w punkcie x, nazwiemy liczbę oznaczaną symbolem f x lub df x dx, równą granicy właściwej f x lim h - o ile

Bardziej szczegółowo

STOPA DYSKONTOWA 1+ =

STOPA DYSKONTOWA 1+ = Piotr Cegielski, MAI, MRICS, CCIM STOPA DYSKONTOWA (Wybrane fragmenty artykułu opublikowanego w C.H. Beck Nieruchomości, numer 10 z 2011 r. Całość dostępna pod adresem internetowym: www.nieruchomosci.beck.pl)

Bardziej szczegółowo

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Mechanika klasyczna Tadeusz Lesiak Wykład nr 4 Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Energia i praca T. Lesiak Mechanika klasyczna 2 Praca Praca (W) wykonana przez stałą

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE Zarządzanie i Inżynieria Produkcji studia stacjonarne Konspekt do wykładu z Matematyki 1 1 Postać trygonometryczna liczby zespolonej zastosowania i przykłady 1 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

PROJEKCJE MAKROEKONOMICZNE EKSPERTÓW EUROSYSTEMU DLA OBSZARU EURO

PROJEKCJE MAKROEKONOMICZNE EKSPERTÓW EUROSYSTEMU DLA OBSZARU EURO PROJEKCJE MAKROEKONOMICZNE EKSPERTÓW EUROSYSTEMU DLA OBSZARU EURO Eksperci Eurosystemu opracowali projekcje rozwoju sytuacji makroekonomicznej w obszarze euro na podstawie informacji dostępnych na dzień

Bardziej szczegółowo

Procedura recenzowania artykułów zgłoszonych do Roczników Wyższej Szkoły Bankowej w Toruniu

Procedura recenzowania artykułów zgłoszonych do Roczników Wyższej Szkoły Bankowej w Toruniu Procedura recenzowania artykułów zgłoszonych do Roczników Wyższej Szkoły Bankowej w Toruniu 1. Każdy zgłoszony artykuł recenzowany jest przez dwóch niezależnych recenzentów spoza jednostki afiliacji autora,

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Dyskretne modele populacji

Dyskretne modele populacji Dyskretne modele populacji Micha l Machtel Adam Soboczyński 19 stycznia 2007 Typeset by FoilTEX Dyskretne modele populacji [1] Wst ep Dyskretny opis modelu matematycznego jest dobry dla populacji w których

Bardziej szczegółowo

TWIERDZENIE TALESA W PRZESTRZENI

TWIERDZENIE TALESA W PRZESTRZENI TWIERDZENIE TALESA W PRZESTRZENI PRACA BADAWCZA autor Agnieszka Duszeńko Uniwersytet Wrocławski Wydział Matematyki i Informatyki 2005 Na płaszczyźnie: Najpopularniejsza, powszechnie znana wersja twierdzenia

Bardziej szczegółowo

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

Teorioinformacyjne twierdzenie Gödla,

Teorioinformacyjne twierdzenie Gödla, Teorioinformacyjne twierdzenie Gödla, czyli co ma logika do statystyki? Łukasz Dębowski ldebowsk@ipipan.waw.pl Instytut Podstaw Informatyki PAN Temat referatu Twierdzenie, o którym opowiem, jest pomysłem

Bardziej szczegółowo

Teoria produkcji pojęcie, prawa, izokwanty. Funkcja produkcji pojęcie, przykłady.

Teoria produkcji pojęcie, prawa, izokwanty. Funkcja produkcji pojęcie, przykłady. Przedmiot: EKONOMIA MATEMATYCZNA Katedra: Ekonomii Opracowanie: dr hab. Jerzy Telep Temat: Matematyczna teoria produkcji Zagadnienia: Teoria produkcji pojęcie, prawa, izokwanty. Funkcja produkcji pojęcie,

Bardziej szczegółowo

13. Teoriogrowe Modele Konkurencji Gospodarczej

13. Teoriogrowe Modele Konkurencji Gospodarczej 13. Teoriogrowe Modele Konkurencji Gospodarczej Najpierw, rozważamy model monopolu. Zakładamy że monopol wybiera ile ma produkować w danym okresie. Jednostkowy koszt produkcji wynosi k. Cena wynikająca

Bardziej szczegółowo

WYKORZYSTANIE WYBRANYCH MODELI ANALIZY FINANSOWEJ DLA OCENY MOŻLIWOŚCI AKTYWIZOWANIA SIĘ ORGANIZACJI POZARZĄDOWYCH W SEKTORZE TRANSPORTU

WYKORZYSTANIE WYBRANYCH MODELI ANALIZY FINANSOWEJ DLA OCENY MOŻLIWOŚCI AKTYWIZOWANIA SIĘ ORGANIZACJI POZARZĄDOWYCH W SEKTORZE TRANSPORTU Mirosław rajewski Uniwersytet Gdański WYORZYSTANIE WYBRANYCH MODELI ANALIZY FINANSOWEJ DLA OCENY MOŻLIWOŚCI ATYWIZOWANIA SIĘ ORGANIZACJI POZARZĄDOWYCH W SETORZE TRANSPORTU Wprowadzenie Problemy związane

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna wykład 1: Indukcja i zależności rekurencyjne Gniewomir Sarbicki Literatura Kenneth A. Ross, Charles R. B. Wright Matematyka Dyskretna PWN 005 J. Jaworski, Z. Palka, J. Szymański Matematyka

Bardziej szczegółowo