Złote reguły akumulacji kapitału w grawitacyjnym modelu wzrostu gospodarczego

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Złote reguły akumulacji kapitału w grawitacyjnym modelu wzrostu gospodarczego"

Transkrypt

1 Katarzyna Filipowicz, Tomasz Tokarski, Mariusz Troak, Złote reguły akumulaci kapitału Gospodarka narodowa 3 (277) Rok LXXXV/XXVI ma czerwiec 2015 s Katarzyna FILIPOWICZ* Tomasz TOKARSKI** Mariusz TROJAK*** Złote reguły akumulaci kapitału w grawitacynym modelu wzrostu gospodarczego Streszczenie: Artykuł ma na celu próbę wyznaczenia złotych reguł akumulaci kapitału w grawitacynym modelu wzrostu gospodarczego. Model ten est rozszerzeniem neoklasycznego modelu wzrostu gospodarczego Solowa [1956] o tzw. efekty grawitacyne. Na gruncie grawitacynego modelu wzrostu gospodarczego rozważa się dwa warianty złotych reguł akumulaci kapitału. W pierwszym wariancie szuka się takie kombinaci stóp inwestyci, która maksymalizue średnią geometryczną z konsumpci na pracuącego we wszystkich gospodarkach w warunkach długookresowe równowagi modelu grawitacynego. W drugim zaś wyznacza się taką kombinacę stóp inwestyci, która maksymalizue długookresową konsumpcę na pracuącego w każde z analizowanych gospodarek. Podęte w artykule rozważania prowadzą do następuących wniosków. W pierwszym wariancie złotą regułą akumulaci kapitału są stopy inwestyci równe (w każde z gospodarek) elastyczności produktu względem nakładów kapitałowych powiększone o dwukrotność siły działania efektu grawitacynego. Natomiast w drugim wariancie optymalne stopy inwestyci zależne są (podobnie ak w pierwszym wariancie) od elastyczności produkci względem kapitału, siły działania efektu grawitacynego oraz (co nie występue w pierwszym wariancie) liczby gospodarek podlegaących działaniu efektu grawitacynego. Ponadto w wariancie tym wzrost elastyczności produkci względem kapitału i/lub siły działania efektów grawitacynych prowadzi do wzrostu optymalnych stóp inwestyci. Jeśli zaś liczba gospodarek, na które oddziałue efekt grawitacyny rośnie, to spadaą stopy inwestyci, które maksymalizuą długookresową konsumpcę na pracuącego w każde z gospodarek. W obu rozważanych w artykule wariantach gasnące (do zera) efekty grawitacyne powoduą zbieżność uzyskanych złotych reguł akumulaci z oryginalnymi złotymi regułami * Uniwersytet Jagielloński, Katedra Ekonomi Matematyczne; ** Uniwersytet Jagielloński, Katedra Ekonomi Matematyczne; *** Uniwersytet Jagielloński, Katedra Globalizaci i Integraci Ekonomiczne;

2 28 GOSPODARKA NARODOWA nr 3/2015 Phelpsa. Oznacza to, iż wyznaczone przez autorów złote reguły akumulaci kapitału stanowią uogólnienie złotych reguł akumulaci kapitału Phelpsa na grawitacyny model wzrostu gospodarczego. Słowa kluczowe: model grawitacyny, złote reguły akumulaci kapitału, wzrost gospodarczy, efekty grawitacyne Kody klasyfikaci JEL: C02, R11, E23, O47 Artykuł nadesłany 27 listopada 2014 r., zaakceptowany 20 maa 2015 r. Wprowadzenie 1 Celem artykułu est próba wyznaczenia złotych reguł akumulaci kapitału w grawitacynym modelu wzrostu gospodarczego. Model ten est kompilacą neoklasycznego modelu wzrostu gospodarczego Solowa [1956] z efektami grawitacynymi (wynikaącymi z modeli makroekonomicznych prezentowanych m.in. w opracowaniach Tinbergena [1962], Pulliainena [1963] lub Linnemanna [1963], por. też np. Mroczek, Nowosad, Tokarski [2015], Mroczek, Tokarski [2014] lub Mroczek, Tokarski, Troak [2014]) oraz ze złotą regułą akumulaci kapitału Phelpsa [1961] (por. też Phelps [1966] lub Tokarski [2009; 2011]). Struktura prezentowanego artykułu przedstawia się następuąco. Część druga zawiera założenia grawitacynego modelu wzrostu gospodarczego, nawiązuącego do neoklasycznego, ednokapitałowego modelu wzrostu Solowa [1956]. W części trzecie znadue się definica złotych reguł akumulaci kapitału Phelpsa [1961] zarówno na gruncie modelu wzrostu Solowa, ak i na gruncie grawitacynego modelu wzrostu gospodarczego. Na gruncie grawitacynego modelu wzrostu gospodarczego analizue się dwa warianty złotych reguł akumulaci kapitału. Po pierwsze, szuka się takie kombinaci stóp inwestyci, które maksymalizuą średnią (geometryczną) z konsumpci na pracuącego we wszystkich analizowanych kraach (regionach) w warunkach długookresowe równowagi modelu grawitacynego. Po drugie, wyznacza się taką kombinacę stóp inwestyci, która maksymalizue długookresową konsumpcę na pracuącego w każde z analizowanych gospodarek. Ponadto w te części opracowania porównue się także dwa uzyskane rozwiązania zarówno z oryginalnymi złotymi regułami akumulaci kapitału Phelpsa, ak i porównue się te rozwiązania między sobą (z punktu widzenia długookresowe wydaności pracy oraz konsumpci na pracuącego). Artykuł kończy część czwarta, w które autorzy przedstawili podsumowanie prowadzonych w nim rozważań oraz ważniesze wnioski. 1 Autorzy dziękuą Prof. Armenowi Edigarianowi z Instytutu Matematyki Uniwersytetu Jagiellońskiego oraz Prof. Krzysztofowi Maladze i Dr. Michałowi Konopczyńskiemu z Katedry Ekonomii Matematyczne Uniwersytetu Ekonomicznego w Poznaniu za uwagi do wstępne wersi prezentowanego artykułu. Rzecz asna, odpowiedzialność za ostateczną wersę artykułu ponoszą wyłącznie autorzy.

3 Katarzyna Filipowicz, Tomasz Tokarski, Mariusz Troak, Złote reguły akumulaci kapitału Założenia modelu Model grawitacyny W prezentowanych dale rozważaniach przymue się następuące założenia: 1) Analizue się funkconowanie pewne, skończone liczby N>2 (N Ν) kraów (lub regionów) 2, między którymi istnieą przestrzenne interakce rozwou ekonomicznego. Interakce te opisane są przez scharakteryzowane dale (indywidualne i łączne) efekty grawitacyne. 2) Proces produkcyny w -te gospodarce opisany est przez funkcę produkci Cobba-Douglasa [1928]. Stąd zaś wynika, iż wydaność pracy y w owe gospodarce można zapisać wzorem (por. też np. Żółtowska [1997] lub Tokarski [2009; 2011]) 3 : y (t) a (g (t)) (k (t)) α, (1) gdzie: a > 0, α, (0;1) i < 1 α 4. Wyrażenie y oznacza wydaność pracy 2 w krau (regionie), k techniczne uzbroenie pracy w owym krau (regionie), zaś wielkość g w funkci wydaności pracy (1) opisue tę część łączne produktywności czynników produkci (a g ) w gospodarce, która wynika z działania efektu grawitacynego (efekt ów opisany est zaś w założeniach 3 4). Natomiast a >0 est częścią łączne produktywności czynników produkci wynikaącą z działania pewnych czynników, które nie są uwzględnione w prowadzonych dale rozważaniach 5. Parametr α oznacza elastyczność wielkości produkci (lub wydaności pracy) względem nakładów kapitału rzeczowego (lub technicznego uzbroenia pracy). Natomiast parametr to elastyczność łączne produktywności czynników produkci względem łącznego efektu grawitacynego, opisanego przez g. 2 Krae (regiony) będą nazywane dale również gospodarkami. 3 O wszystkich występuących dale zmiennych makroekonomicznych zakłada się, iż są różniczkowalnymi funkcami czasu t 0. Zapis x (t) będzie dale oznaczał wartość zmienne x w momencie t, zaś!x(t) dx / dt pochodną zmienne x po czasie t, czyli (ekonomicznie rzecz biorąc) przyrost wartości zmienne x w momencie t. Natomiast zapis będzie oznaczał 1,2,..., N, gdzie N>2 est liczbą analizowanych kraów (regionów). Podobnie odczytue się również wyrażenia x oraz x. 4 Przyęcie założenia, że < 1 α w równaniu (1) est bardzo istotne dla pokazania stabilności 2 nietrywialnego punktu staconarnego układu równań różniczkowych (7). Założenie to oznacza ekonomicznie tyle, iż elastyczność produkci względem efektu grawitacynego est mniesza od połowy elastyczności produktu względem nakładów pracy. 5 Zróżnicowanie a może (ak to ma miesce np. w modelu Lucasa [1988] lub Mankiwa, Romera, Weila [1992], por. też Malaga, Kliber [2007] lub Roszkowska [2013]) wynikać ze zróżnicowania kapitału ludzkiego pomiędzy analizowanymi kraami (regionami), bądź też może być skutkiem różnych instytuconalnych lub sektorowych struktur badanych gospodarek.

4 30 GOSPODARKA NARODOWA nr 3/2015 3) Indywidualne efekty grawitacyne, łączące kra (region) z kraem (regionem) m opisuą zależności:,m m g m (t) k (t)k m (t) d m 2, (2) gdzie,m m d m > 0 oznacza odległość między stolicą gospodarki a stolicą gospodarki m. Przez analogię do prawa powszechne grawitaci Newtona przymuemy też, że siła działania indywidualnych efektów grawitacynych łączących dwa krae (regiony) est wprost proporconalna do ich potencału ekonomicznego (mierzonego k i k m ) oraz odwrotnie proporconalna do kwadratu odległości między nimi. Przyęcie alternatywnego założenia, że indywidualne efekty grawitacyne opisue związek:,m m g m (t) k (t)k m (t) γ, d m gdzie γ>0 (czyli, że w mianowniku indywidualnych efektów grawitacynych podobnie ak w analizach makroekonomicznych prowadzonych w grawitacynych modelach handlu występue d m γ, a nie d 2 m ) nie ma większego wpływu ani na stabilność analizowanego modelu wzrostu, ani na wnioski płynące z równań (8 9), ani na złote reguły akumulaci kapitału w rozważanym modelu wzrostu gospodarczego. 4) Łączne efekty grawitacyne (oddziałuące na gospodarkę ), są średnią geometryczną z indywidualnych efektów grawitacynych. Oznacza to, iż spełnione są związki: g (t) N 1 g m (t). (3) 5) Podobnie ak w modelu wzrostu Solowa równania przyrostów technicznego uzbroenia pracy w każdym z kraów (regionów) opisuą następuące równania różniczkowe: m! k (t) s y (t) µ k (t), (4) gdzie s (0;1) µ > 0. Wyrażenia s oznaczaą stopy inwestyci w -tym krau (regionie), zaś μ stopy ubytku kapitału na pracuącego w tym krau (regionie). Stopy μ (dla kolenych ) są sumami stóp deprecaci kapitału i stopy wzrostu liczby pracuących. Równowaga modelu Z zależności (2 3) uzyskue się równania łącznych efektów grawitacynych dane wzorami:

5 Katarzyna Filipowicz, Tomasz Tokarski, Mariusz Troak, Złote reguły akumulaci kapitału gdzie: d N 1 d m m k (t) g (t) m 1 N 1 k m (t) 2, (5) d > 0. Wyrażenia d oznaczaą średnią geometryczną z odległości stolicy -te gospodarki od stolic pozostałych gospodarek. Dlatego też im mnieszą wartość przymue d, tym bardzie centralnie położona est -ta gospodarka, zaś wysokie wartości d są tożsame z peryferynym (w sensie geograficznym) charakterem -te gospodarki. Wstawiaąc związki (5) do równań (1) mamy: gdzie: θ a d 2 > 0. y (t) θ m k m (t) N 1 (k (t)) α, (6) Z zależności (4) i (6) dochodzi się do następuącego układu równań różniczkowych: k! N 1 (t) s θ k m (t) (k (t)) α µ k (t). (7) m Korzystaąc z twierdzenia Grobmana-Hartmana (por. Ombach [1999, s ]) można pokazać (Mroczek, Tokarski, Troak [2014]), że układ równań różniczkowych (7) ma dokładnie eden nietrywialny punkt staconarny k * (k 1 *,k 2 *,,k N * ) w przestrzeni fazowe P [0; ) N, który charakteryzue się asymptotyczną stabilnością 6. Dlatego też punkt k * będzie dale traktowany ako punkt długookresowe równowagi grawitacynego modelu wzrostu gospodarczego. Można również pokazać (Mroczek, Tokarski, Troak [2014]), że w nietrywialnym punkcie staconarnym k * techniczne uzbroenie pracy (k * ) oraz wydaność pracy (y * ) w -tym krau (regionie) opisane są przez równania: (N 1)(1 α 2) ln k * m ln s m a m µ m d m 2 ln s a µ d 2 1 α N 2 N 1. (8) 6 Układ równań różniczkowych (7) posiada także rozwiązanie trywialne (0,0,,0), które dale będzie ednak pomiane ako nieciekawe zarówno z ekonomicznego, ak i matematycznego punktu widzenia.

6 32 GOSPODARKA NARODOWA nr 3/2015 oraz: ln y * ln a N 2 α 2 d N 1 1 α N 2 ln s a N 1 µ d 2 (N 1)(1 α 2) 1 α N 2 ln s a m m N 1 µ m d. (9) 2 m m Z równań (8 9) płyną m.in. cztery następuące wnioski. Po pierwsze, długookresowy zasób technicznego uzbroenia pracy i strumień wydaności pracy w krau (regionie), podobnie ak ma to miesce w oryginalnym modelu Solowa, są tym wyższe, im wyższa est stopa inwestyci s oraz im niższa est stopa ubytku kapitału na pracuącego μ w tym krau (regionie). Po drugie, im bardzie centralnie położona est dana gospodarka, czyli im niższa est średnia geometryczna z odległości d m, tym wyższy est poziom zarówno technicznego uzbroenia pracy, ak i wydaności pracy w warunkach długookresowe równowagi grawitacynego modelu wzrostu gospodarczego. Po trzecie, poziomy rozważanych tu zmiennych makroekonomicznych w -tym krau (regionie) są tym wyższe, im wyższa est średnia geometryczna N 1 ze stóp s m m inwestyci w pozostałych kraach (regionach) oraz im niższa est średnia geometryczna N 1 ze stóp ubytku kapitału na pracuącego w tych kraach µ m m (regionach). Po czwarte, na poziom wydaności pracy oraz technicznego uzbroenia pracy w -te gospodarce w warunkach długookresowe równowagi ma wpływ także pozagrawitacyna część łączne produktywności czynników produkci a zarówno w te gospodarce, ak i średnia geometryczna N 1 a m m z pozagrawitacynych części łącznych produktywności czynników produkci w pozostałych kraach (regionach). Co więce, im wyższe est a lub N 1, tym wyższe wartości przymuą y * oraz k *. a m m Złote reguły akumulaci kapitału Idea złotych reguł akumulaci kapitału po raz pierwszy poawiła się w analizach makroekonomicznych w znanym artykule Phelpsa z 1961 r. W artykule tym przez złotą regułę akumulaci kapitału rozumie się taką stopę oszczędności/inwestyci, która maksymalizue wielkość konsumpci na pracuącego w gospodarce znaduące się w stanie długookresowe równowagi modelu wzrostu gospodarczego Solowa. Stopa oszczędności/inwestyci, zgodna ze złotą regułą akumulaci w modelu Solowa z funkcą produkci Cobba-Douglasa

7 Katarzyna Filipowicz, Tomasz Tokarski, Mariusz Troak, Złote reguły akumulaci kapitału [1928], est równa elastyczności strumienia wytworzonego produktu względem nakładów kapitału rzeczowego. Jak uż wspomniano, złotą regułę akumulaci kapitału z modelu Solowa można również uogólnić na neoklasyczne modele wzrostu gospodarczego Mankiwa, Romera, Weila [1992] oraz Nonnemana, Vanhoudta [1996] (por. np. Dykas, Sulima, Tokarski [2008] lub Tokarski [2011]). Wówczas złotą regułą akumulaci kapitału est taka kombinaca stóp inwestyci w kolene zasoby kapitałowe, która odpowiada kombinaci elastyczności produkci względem owych nakładów kapitałowych 7. W prezentowanych dale analizach teoretycznych złotą regułę akumulaci kapitału w grawitacynym modelu wzrostu gospodarczego definiowana est na dwa sposoby. W pierwszym wariancie przez złotą regułę akumulaci będzie się rozumieć taką kombinacę stóp inwestyci w kolenych kraach (regionach), która maksymalizue średnią geometryczną z konsumpci na pracuącego w długookresowe równowadze modelu we wszystkich kraach (regionach). Natomiast w drugim wariancie reguła ta definiowana est ako taka kombinaca stóp inwestyci, która maksymalizue długookresową konsumpcę na pracuącego w każdym z rozważanych kraów (regionów). Wariant pierwszy maksymalizaca średnie geometryczne z konsumpci na pracuącego W punkcie staconarnym k * (przy! k 1! k 2! k N 0) zachodzą związki: (1 α )ln k * 1 N 1 ln k * 2 N 1 ln k * ln sθ 1 1 N µ 1 N 1 ln k * (1 α )ln k * 1 2 N 1 ln k * ln s θ 2 2 N µ 2! N 1 ln k * 1 N 1 ln k * (1 α )ln k * 2 N ln s θ N N co (po zsumowaniu powyższych równań) dae: µ N, * (1 α 2) ln k ln s θ, µ 7 Oznacza to, iż w dwukapitałowym modelu wzrostu Mankiwa-Romera-Weila złotą regułą akumulaci kapitału est kombinaca stóp inwestyci w zasoby kapitału rzeczowego i ludzkiego, która odpowiada kombinaci elastyczności produkci względem owych zasobów kapitałowych produkcie. Natomiast w N-kapitałowym modelu wzrostu Nonnemana-Vanhoudta złotą regułą akumulaci kapitału est kombinaca stóp inwestyci w N zasobów kapitałowych równa kombinaci elastyczności strumienia produktu względem tych nakładów.

8 34 GOSPODARKA NARODOWA nr 3/2015 a stąd: ln s θ * µ ln k 1 α 2. (10) Z zależności (6) wynika, iż: ln y (t) lnθ N 1 więc, w szczególności, w punkcie staconarnym k * : m ln k m (t) (α )ln k (t), ln y * lnθ * ln k N 1 m (α )ln k *, m czyli: * * ln y lnθ (α 2) ln k. (11) Z równań (10) i (11) wynika zaś, że: co powodue, iż: * ln y lnθ α 2 ln s θ, 1 α 2 * 1 ln y lnθ 1 α 2 α 2 ln s. (12) 1 α 2 Niech s (s 1,s 2,,s N ) oznacza dowolną kombinacę stóp inwestyci należącą do zbioru (0;1) N, zaś c * (c * 1,c * 2,,c * N ) (0; ) N kombinacę konsumpci na pracuącego w punkcie staconarnym k *. Wiadomo ponadto, że w długookresowe równowadze konsumpcę na pracuącego w -tym krau (regionie) opisue równanie: c * (1 s )y *. (13) µ µ Oznaczmy też przez c( s) średnią geometryczną z konsumpci na pracuącego (w długookresowe równowadze grawitacynego modelu wzrostu gospodarczego) odpowiadaącą kombinaci stóp inwestyci s. Wówczas, po uwzględnieniu związków (13), mamy: c(s) c * (s) (1 s ) N N y * (s). (14)

9 Katarzyna Filipowicz, Tomasz Tokarski, Mariusz Troak, Złote reguły akumulaci kapitału Średnią geometryczną c(s) można traktować ako swego rodzau (osadzoną w przestrzeni geograficzne) funkcę użyteczności, w które elastyczność użyteczności względem konsumpci na pracuącego w każdym z kraów (regionów) równa est 1/N. Jak uż wspomniano, w analizowanym tu wariancie przez złotą regułę akumulaci kapitału będzie rozumiana taka kombinaca stóp inwestyci ŝ (ŝ 1,ŝ 2,,ŝ N ) (0;1) N, która maksymalizue średnią geometryczną z konsumpci na pracuącego we wszystkich gospodarkach. Średnia ta dana est wzorem (14). Maksymalizaca funkci (14) względem kombinaci s (0;1) N tożsama est z maksymalizacą funkci: * ϕ(s) N ln c(s) ln(1 s ) ln y (s), (15) względem s (0;1) N. Funkcę (15), po uwzględnieniu równania (12), można zapisać następuąco: ϕ(s) ln(1 s ) α 2 1 ln s 1 α 2 lnθ 1 α 2 α 2 1 α 2 ln(1 s ) α 2 1 ln s 1 α 2 lnθ 1 α 2 α 2 ln µ 1 α 2. (16) Warunki konieczne maksymalizaci funkci (16) przedstawiaą się następuąco: ϕ 1 α 2 0, (17) s 1 s (1 α 2)s zaś warunek dostateczny sprowadza się do tego, by hesan: ln H(s) 2 2 ϕ / s 1 2 ϕ / s 1 s 2 2 ϕ / s 1 s N 2 ϕ / s 2 s ϕ / s 2 2 ϕ / s 2 s N!! "! 2 ϕ / s N s 1 2 ϕ / s N s ϕ / s N był uemnie określony przynamnie w punkcie, w którym zachodzą równania (17). Hesan H (s) można zapisać wzorem: Ω Ω H(s) 2 0!! "! 0 0 Ω N,

10 36 GOSPODARKA NARODOWA nr 3/2015 gdzie: Ω 1 (1 s ) α 2 > 0. Dlatego też kolene minory główne α 2)s (m 1, m 2,, m N ) hesanu H (s) określaą wzory: m ( 1) Ω 1 Ω 2 Ω, czyli minory główne m hesanu H (s) są uemne dla nieparzystych oraz dodatnie dla parzystych. Płynie stąd wniosek, że hesan H (s) ten est uemnie określony dla dowolnego s (0;1) N, więc (w szczególności) est także uemnie określony w punkcie ŝ (0;1) N. Punkt ten est zaś rozwiązaniem układu równań złożonego z równań (17). A zatem: co prowadzi do wniosku, iż: 1 α 2, 1 s (1 α 2)s ŝ α 2. (18) Równania (18) wyznaczaą pierwszy wariant złotych reguł akumulaci kapitału w rozważanym tu modelu wzrostu gospodarczego. Z równań tych można wyciągnąć kilka następuących wniosków. Po pierwsze, złote stopy inwestyci ŝ zależne są od elastyczności produktu względem nakładów kapitału, czyli α, oraz od siły działania efektu grawitacynego, a więc od. Po drugie, im wyższe są wartości α lub, tym wyższa est optymalna stopa inwestyci ŝ w -te gospodarce. Po trzecie, eśli gasną efekty grawitacyne, czyli 0, to złota stopa inwestyci ŝ est zbieżna do złote reguły Phelpsa. Po czwarte, przy ekstremalnie silnym działaniu efektów grawitacynych, a więc przy 1 α 2, stopy inwestyci ŝ zbieżne są do 1 -. Wariant drugi maksymalizaca konsumpci na pracuącego w każde z gospodarek W tym wariancie przez złotą regułę akumulaci kapitału w analizowanym grawitacynym modelu wzrostu gospodarczego będzie rozumiana taka kombinaca stóp inwestyci s (0;1) N, która maksymalizue długookresową konsumpcę na pracuącego w każde z gospodarek. Szukaąc te złote reguły w -tym krau (regionie) przymie się także, że stopy inwestyci w pozostałych kraach (regionach) ukształtowały się na pewnych stałych poziomach (a zatem stopy te traktue się wówczas ako zmienne egzogeniczne). Wynika stąd, iż szukaąc złote reguły w -tym regionie należy zmaksymalizować funkcę: c * (s ) (1 s )y * (s ) względem s (0;1).

11 Katarzyna Filipowicz, Tomasz Tokarski, Mariusz Troak, Złote reguły akumulaci kapitału Maksymalizaca ta tożsama est z maksymalizacą funkci: ϕ (s ) ln c * (s ) ln(1 s ) ln y * (s ), względem s (0;1). To zaś, wraz z równaniem (9), dae: ϕ (s ) ln(1 s ) ln a N 2 α 2 d N 1 1 α N 2 ln s a N 1 µ d 2 lub: (N 1)(1 α 2) 1 α N 2 N 1 ϕ (s ) ln(1 s ) α N 2 N 1 m 1 α N 2 N 1 ln s m a m µ m d m 2 ln s a α 2 d gdzie dla kolenych 8 : N 2 N 1 1 α N 2 N 1 a (N 1)(1 α 2) 1 α N 2 ln s N 1 Θ, (19) Θ ln a N 2 α 2 d N 1 1 α N 2 ln a N 1 µ d 2 (N 1)(1 α 2) 1 α N 2 N 1 ln µ d 2 (N 1)(1 α 2) 1 α N 2 ln N 1 a µ d 2 (N 1)(1 α 2) 1 α N 2 ln s a m m N 1 µ m d. 2 m m 8 Wyrażenia Θ są niezależne od s, zatem nie wpływaą również na maksimum funkci (19 20).

12 38 GOSPODARKA NARODOWA nr 3/2015 Równanie (19) można zapisać także następuąco: lub: (N 1) α N 2 N 1 (1 α 2) ϕ (s ) ln(1 s ) (N 1)(1 α 2) 1 α N 2 ln s N 1 Θ, ϕ (s ) ln(1 s ) λ N ln s Θ, (20) gdzie: (N 1) α N 2 N 1 1 α 2 λ N (N 1) 1 α N 2 > 0. (21) N 1 Warunki (konieczny i dostateczny) maksymalizaci funkci (20) względem s (0;1), dla kolenych, przedstawiaą się następuąco: i: dϕ ds 0 (22) Z równania (20) wynika zaś, że: d 2 ϕ ds 2 < 0. (23) oraz: dϕ ds 1 1 s λ N s (24) d 2 ϕ ds 2 1 (1 s ) 2 λ N s 2 < 0. (25) Ze związku (25) można wyciągnąć wniosek, iż dla dowolnego s (0;1) spełniony est warunek dostateczny (23) maksymalizaci funkci (20). Wstawiaąc zaś zależność (24) do związku (22) sprowadza się warunek konieczny maksymalizaci analizowane funkci do równania: λ N s 1 1 s,

13 Katarzyna Filipowicz, Tomasz Tokarski, Mariusz Troak, Złote reguły akumulaci kapitału co powodue, że:!s λ N 1 λ N, (26) gdzie!s oznacza stopę inwestyci w -tym krau (regionie) odpowiadaącą złote regule akumulaci kapitału. Z zależności (21) i (26) można wyciągnąć następuące wnioski: Złota stopa inwestyci!s w -tym krau (regionie) zależna est od trzech następuących czynników. Elastyczności produktu względem nakładów kapitałowych (α), siły działania efektu grawitacynego () oraz liczby kraów (regionów), w których działa efekt grawitacyny (czyli N). Ponieważ: d!s 1 dλ N (1 λ N ) > 0, 2 zatem monotoniczność!s względem α, i N est taka sama, ak monotoniczność λ N względem owych zmiennych. Jeśli siła działania efektu grawitacynego spada do 0, czyli 0, to λ N α 1 α, co powodue, że stopa inwestyci!s est wówczas zbieżna do α, czyli dąży do złote reguły akumulaci kapitału Phelpsa. Przy ekstremalnie silnym działaniu efektu grawitacynego, a więc przy 1 α 2, λ N, skąd wynika, że wówczas!s 1. Ponieważ: ln λ N ln (N 1) α N 2 N 1 N 2 1 α 2 ln(n 1) ln 1 α N 1, więc: ln λ N 1 α N 2 (1 α 2) 2 N 2 (N 1) α N 2 N 1 (N 1) 1 α N 2 1 α 2 N 1 > 0, co powodue, że także λ N / > 0. Oznacza to, że im silnie działaą efekty grawitacyne, tym wyższa powinna być stopa inwestyci!s odpowiadaąca temu wariantowi złote reguły akumulaci kapitału w analizowanym modelu wzrostu gospodarczego.

14 40 GOSPODARKA NARODOWA nr 3/2015 Podobnie, stąd, że: ln λ N α N 1 (1 α 2) 2 (N 1) α N 2 N 1 (1 α 2) 1 1 α N 2 > 0, N 1 można wyciągnąć wniosek, iż λ N / α > 0, a zatem (podobnie ak w pracy Phelpsa [1961]) wysokie elastyczności produkci względem nakładów kapitału odpowiada wysoka stopa inwestyci maksymalizuąca długookresową konsumpcę na pracuącego w -tym krau (regionie). Stąd zaś, że dla dowolnego N>2, zachodzi: N α N 1 N (N 1) α N 2 1 α 2 N 1 1 α 2 λ N1 λ N N 1 α N 1 N (N 1) 1 α N 2, N 1 co prowadzi do równości: α N 1 N 1 α N 2 N 1 α N 2 N 1 N 1 1 α N λ N1 λ N 1 α N 1 N 1 α N 2 N 1 (N 1) 1 α N 2 N 1 N 1 N 1 α N N(N 1) 1 α N 1 N 1 α N 2, N 1 (1 α 2) którą można zapisać również następuąco: λ N1 λ N N(N 1) 1 α N 1 N 1 α N 2 N 1 (1 α ) N(N 1) 1 α N 1 N 1 α N 2 N 1 (1 α )

15 Katarzyna Filipowicz, Tomasz Tokarski, Mariusz Troak, Złote reguły akumulaci kapitału a zatem: λ N1 λ N 2 N(N 1) 1 α N 1 N 1 α N 2 < 0, N 1 (1 α 2) wynika, że dla każdego N>2 spełniona est nierówność: λ N1 < λ N. Płynie stąd wniosek, iż im więce gospodarek kraowych (regionalnych) korzysta z działania efektu grawitacynego, tym niższa est stopa inwestyci!s gwarantuąca -te gospodarce maksymalną konsumpcę na pracuącego w długim okresie. Licząc zaś granicę (przy N ) z λ N mamy: α N 2 N 1 lim λ N N lim N co wraz ze związkiem (26) dae: (N 1)(1 α 2) 1 α N 2 N 1 α 1 α, lim!s N α. (27) Z równania (27) wynika, że przy bardzo duże liczbie gospodarek korzystaących w efektu grawitacynego optymalna stopa inwestyci w każdym z kraów (regionów), czyli!s, wyższa est od phelpsowskie złote stopy inwestyci (równe α) oraz niższa od optymalne stopy inwestyci w wariancie pierwszym (wynoszące α2). Porównanie stanów długookresowe równowagi gospodarki przy różnych złotych regułach akumulaci kapitału Niech p (dla kolenych ) oznacza iloraz długookresowe wydaności pracy w pierwszym i drugim wariancie złotych reguł akumulaci kapitału w rozważanym modelu wzrostu gospodarczego. Zatem wówczas: p ŷ *!y, * gdzie ŷ * (!y * ) oznacza długookresową wydaność pracy odpowiadaącą kombinaci stóp inwestyci ŝ (!s). Oznaczmy też przez: p ŷ!y iloraz średnie geometryczne z wydaności pracy w wariancie pierwszym i drugim złotych reguł akumulaci kapitału. Analogicznie zdefiniumy także

16 42 GOSPODARKA NARODOWA nr 3/2015 przez q ĉ *!c * oraz q ĉ!c ilorazy długookresowych wielkości konsumpci na pracuącego w kolenych gospodarkach w pierwszym i drugim wariancie analizowanych reguł i ilorazy ich średnich geometrycznych. Wówczas: ln p ln ŷ * ln!y *, (28) ln p ln ŷ ln!y, (29) ln q ln ĉ * ln!c * (30) oraz: ln q ln ĉ ln!c. (31) Ze związków (9) i (28) można wyciągnąć wniosek, że: ln p α N 2 N 1 1 α N 2 N 1 co (po kilku przekształceniach) dae: N (N 1)(1 α 2) 1 α N 2 (ln ŝ N 1 ln!s ), ln p α 2 1 α 2 (ln ŝ ln!s ). (32) Z równań (32) wynika, że ilorazy p zależne są od trzech czynników. Elastyczności produkci względem nakładów kapitału α, siły działania efektu grawitacynego oraz liczby kraów (regionów) korzystaących z działania efektu grawitacynego N (należy bowiem pamiętać o tym, że stopy inwestyci ŝ i!s są również funkcami α, oraz N). Ponieważ zróżniczkowanie równania (32) względem α i, po uwzględnieniu równań ŝ oraz!s, est mocno skompli kowane, zatem autorzy zdecydowali się na policzenie ilorazów p na podstawie (przedstawione w pracy Mroczek, Tokarski [2014]) kalibraci parametrów α i dla 28 kraów UE za lata Zgodnie z tą kali bracą α0,293, 0,0868, co powodue, iż ŝ 0,4666 oraz!s 0, i wówczas 9 Złote stopy inwestyci równe (odpowiednio) ŝ 46,7% i!s 38,0%, wynikaące z prezentowanych tu złotych reguł akumulaci kapitału w grawitacynym modelu wzrostu gospodarczego i cytowanych kalibraci, mogą wydawać się znacząco przeszacowane, gdyż w kraach UE stopy te w latach kształtowały się między 16,2% (w Wielkie Brytanii) a 28,6% (w Estonii za Mroczek, Tokarski [2014]). Należy ednak pamiętać, iż dążenie do uzyskania złotych reguł akumulaci kapitału wiąże się z radykalnym ograniczeniem bieżące konsumpci np. z 83,8% produktu w Wielkie Brytanii lub z 71,4% produktu w Estonii do 53,3% produktu (zarówno w Wielkie Brytanii, ak i w Estonii w wariancie pierwszym) lub do 62,0% produktu (w obu tych

17 Katarzyna Filipowicz, Tomasz Tokarski, Mariusz Troak, Złote reguły akumulaci kapitału ln p 0,179, a zatem: p 1,196. Płynie stąd wniosek, że eśli α0,293, 0,0868 i N28, to w pierwszym badanym wcześnie wariancie złotych reguł akumulaci każda z gospodarek powinna osiągnąć o prawie 20% wyższą długookresową wydaność pracy, niż w wariancie drugim. Co więce, stąd, że dla każdego ilorazy p są sobie równe oraz ze związków (28 29) płynie wniosek, iż dla dowolnych p p. A zatem przy α0,293, 0,0868 i N28 również średnia geometryczna z długookresowe wydaności pracy powinna być o prawie 20% wyższa w pierwszym wariancie złotych reguł akumulaci kapitału, niż w wariancie drugim. Ponieważ: ln ĉ * ln(1 ŝ ) ln ŷ * oraz ln!c * ln(1!s ) ln ŷ *, więc stąd oraz z równań (30) i (32) mamy: ln q ln 1 ŝ ln ŷ * 1!s ln!y * ln 1 ŝ ln p i 1!s. (33) i Równania (33) interpretue się ekonomicznie analogicznie do związków (32). Dlatego też, z równań tych wynika, że eśli α0,293, 0,0868 i N28, to dla każdego ln q 0,0289, co powodue, że q 1,029. A zatem w pierwszym wariancie złotych reguł akumulaci kapitału długookresowa konsumpca na pracuącego w każde z gospodarek powinna być o ok. 2,9% wyższa, niż w wariancie drugim. Wówczas również, przy q 1 q 2 q N, ze związku (31) wynika, że dla dowolnego q q. Odnosząc zaś złote reguły w wariancie pierwszym lub drugim w grawitacynym modelu wzrostu gospodarczego do oryginalnych złotych reguł akumulaci Phelpsa (przy α0,293) okazue się, że w wariancie pierwszym długookresowa wydaność pracy byłaby o ok. 50,2% wyższa, niż przy złotych regułach Phelpsa, natomiast długookresowa konsumpca na pracuącego o ok. 13,3% wyższa. Jeśli zaś chodzi o porównanie długookresowych wielkości wydaności pracy i konsumpci na pracuącego wielkości te byłyby w wariancie drugim o (odpowiednio) ok. 25,6% oraz 10,1% wyższe niż w oryginalnych złotych regułach Phelpsa. gospodarkach w wariancie drugim). To zaś wymaga wyrzeczeń konsumpci bieżącego pokolenia, na rzecz konsumpci przyszłych pokoleń. Odchylenia bieżących stóp inwestyci od złotoregułowych stóp inwestyci można zaś stosunkowo prosto wytłumaczyć teoretycznie na gruncie modeli optymalnego sterowania (por. np. Tokarski [2009; 2011] lub Konopczyński [2015]), gdzie uwzględnienie subiektywne stopy dyskonta konsumpci przyszłe (w stosunku do konsumpci bieżące) typowych podmiotów w gospodarce prowadzi do kształtowania się rzeczywistych stóp inwestyci poniże złotych reguł akumulaci kapitału Phelpsa.

18 44 GOSPODARKA NARODOWA nr 3/2015 Co więce, eśli zaś (przy powyższych założeniach) porówna się wydaność pracy i konsumpcę na pracuącego w długookresowe równowadze grawitacynego modelu wzrostu w pierwszym i drugim wariancie złotych reguł akumulaci kapitału z wartościami tych zmiennych przy nieważone średnie stóp inwestyci w kraach UE w latach (wynoszące 21,6%), to okazue się, że w pierwszym wariancie długookresowa wydaność pracy w pierwszym wariancie powinna być o 96,2% wyższa niż przy 21,6% stopie inwestyci, w drugim zaś wariancie o 64,0% wyższa. Natomiast długookresowa konsumpca na pracuącego winna być w wariancie pierwszym o 33,5% wyższa niż przy s 21,6%, zaś w drugim wariancie o 29,7% wyższa niż przy średnich stopach inwestyci w kraach UE w latach Podsumowanie Prowadzone w artykule rozważania można podsumować następuąco: I. Zaprezentowany w artykule grawitacyny model wzrostu gospodarczego bazue na modelu wzrostu Solowa. W modelu tym przymue się również założenie, że na zróżnicowanie łączne produktywności czynników produkci (a tym samym także na zróżnicowanie wydaności pracy) w kraach (regionach) wypływaą występuące między nimi interakce przestrzenne. Interakce te opisane są przez efekty grawitacyne. Sposób kwantyfikaci siły działania efektów grawitacynych w tym modelu wzrostu gospodarczego nawiązue do newtonowskiego prawa powszechne grawitaci. Zakłada się zatem, że gospodarki oddziałuą na siebie z określoną siłą, która est wprost proporconalna do iloczynu ich potencałów gospodarczych oraz odwrotnie proporconalna do kwadratu odległości między nimi. II. Opisany model teoretyczny posiada nietrywialny, asymptotycznie stabilny punkt staconarny, który na gruncie ekonomicznym traktowany est ako punkt długookresowe równowagi modelu. W warunkach długookresowe równowagi analizowanego modelu wzrostu techniczne uzbroenie pracy oraz wydaność pracy w danym krau (regionie) zależą od stopy inwestyci, stopy ubytku kapitału na pracuącego, pozagrawitacyne części łączne produktywności czynników produkci w tym krau (regionie), od średnie odległości te gospodarki od pozostałych gospodarek, a także od stóp inwestyci, stóp ubytku technicznego uzbroenia pracy oraz pozagrawitacynych części łączne produkcyności czynników produkci w pozostałych kraach (regionach). III. W teorii ekonomii przez złotą regułę akumulaci Phelpsa rozumie się taką stopę oszczędności/inwestyci, która maksymalizue wielkość konsumpci na pracuącego w gospodarce znaduące się w stanie długookresowe równowagi typu Solowa. Stopa oszczędności/inwestyci, zgodna ze złotą regułą akumulaci w modelu Solowa z funkcą produkci Cobba-Douglasa, est równa elastyczności strumienia produktu względem zasobu kapitału. Złotą regułę akumulaci kapitału z modelu Solowa można również

19 Katarzyna Filipowicz, Tomasz Tokarski, Mariusz Troak, Złote reguły akumulaci kapitału uogólnić na neoklasyczne modele wzrostu gospodarczego Mankiwa, Romera, Weila oraz Nonnemana, Vanhoudta. IV. W grawitacynym modelu wzrostu gospodarczego złota reguła akumulaci kapitału definiowana est przez autorów na dwa sposoby. Regułę tę definiue się albo ako taką kombinacę stóp inwestyci w gospodarkach obętych działaniem efektu grawitacynego, która maksymalizue średnią geometryczną z konsumpci na pracuącego (w długookresowe równowadze) we wszystkich gospodarkach, albo ako taką kombinacę owych stóp, która maksymalizue długookresową konsumpcę na pracuącego w każde gospodarek. V. W pierwszym wariancie złotą regułą akumulaci kapitału są stopy inwestyci równe (w każde z gospodarek) elastyczności produktu względem nakładów kapitałowych powiększone o dwukrotność siły działania efektu grawitacynego. VI. Natomiast w drugim wariancie optymalne stopy inwestyci zależne są (podobnie ak w pierwszym wariancie) od elastyczności produkci względem kapitału, siły działania efektu grawitacynego oraz (co nie występue w pierwszym wariancie) liczby gospodarek podlegaących działaniu efektu grawitacynego. Co więce, w wariancie tym wzrost elastyczności produkci względem kapitału i/lub siły działania efektów grawitacynych prowadzi do wzrostu optymalnych stóp inwestyci. Jeśli zaś liczba kraów (regionów), na które oddziałue efekt grawitacyny rośnie, to spadaą stopy inwestyci, które maksymalizuą długookresową konsumpcę na pracuącego w każde z gospodarek. VII. W obu rozważanych w artykule wariantach gasnące (do zera) efekty grawitacyne powoduą zbieżność uzyskanych złotych reguł akumulaci z oryginalnymi złotymi regułami Phelpsa. Oznacza to, iż wyznaczone przez autorów złote reguły akumulaci kapitału stanowią uogólnienie złotych reguł akumulaci kapitału Phelpsa na grawitacyny model wzrostu gospodarczego. Bibliografia Cobb C. W., Douglas P. H. [1928], A Theory of Production, American Economic Review, no. 18. Dykas P., Sulima A., Tokarski T. [2008], Złote reguły akumulaci kapitału w N-kapitałowym modelu wzrostu gospodarczego, Gospodarka Narodowa, nr Konopczyński M. [2015], Optymalna polityka fiskalna w gospodarce otwarte w świetle teorii endogenicznego wzrostu gospodarczego, Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego w Poznaniu, Poznań (w druku). Linnemann H. [1963], An Econometric Study of International Trade Flows, North-Holland Publishing Company, Amsterdam. Lucas R. E. [1988], On the Mechanics of Economics Development, Journal of Monetary Economics, July.

20 46 GOSPODARKA NARODOWA nr 3/2015 Malaga K., Kliber P. [2007], Konwergenca i nierówności regionalne w Polsce w świetle neoklasycznych modeli wzrostu gospodarczego, Wydawnictwo Akademii Ekonomiczne w Poznaniu, Poznań. Mankiw N. G., Romer D., Weil D. N. [1992], A Contribution to the Empirics of Economic Growth, Quarterly Journal of Economics, May. Mroczek K., Nowosad A., Tokarski T. [2015], Efekt grawitacyny a zróżnicowanie wydaności pracy w kraach bałkańskich, Gospodarka Narodowa, nr 2. Mroczek K., Tokarski T. [2014], Efekt grawitacyny a zróżnicowanie wydaności pracy w kraach UE, referat na IV Ogólnopolską Konferencę im. prof. Z. Czerwińskiego, pt. Matematyka i informatyka na usługach ekonomii, WIGE UEP, Poznań, Mroczek K., Tokarski T., Troak M. [2014], Grawitacyny model zróżnicowania rozwou ekonomicznego woewództw, Gospodarka Narodowa, nr 3. Nonneman W., Vanhoudt P. [1996], A Further Augmentation of the Solow Model and the Empirics of Economic Growth for the OECD Countries, Quarterly Journal of Economics, August. Ombach J. [1999], Wykłady z równań różniczkowych wspomagane komputerowo-maple, Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków. Phelps E. S. [1961], The Golden Rule of Accumulation: A Fable for Growthmen, American Economic Review, September. Phelps E. S. [1966], Model of Technical Progress and the Golden Rule of Research, Review of Economic Studies, April. Pulliainen K. [1963], A World Trade Study. An Econometric Model of the Pattern of Commodity Flows in International Trade in , Ekonomiska Samfundet Tidskrift, no. 2. Roszkowska S. [2013], Kapitał ludzki a wzrost gospodarczy w Polsce, Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, Łódź. Solow R. M. [1956], A Contribution to the Theory of Economic Growth, Quarterly Journal of Economics, February. Tinbergen J. [1962], Shaping the World Economy: Suggestions for an International Economic Policy, The Twentieth Century Fund, New York. Tokarski T. [2009], Matematyczne modele wzrostu gospodarczego (uęcie neoklasyczne), Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków. Tokarski T. [2011], Ekonomia matematyczna. Modele makroekonomiczne, Polskie Wydawnictwo Ekonomiczne, Warszawa. Żółtowska E. [1997], Funkca produkci. Teoria, estymaca, zastosowania, Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, Łódź.

ISBN (wersja drukowana) ISBN (ebook)

ISBN (wersja drukowana) ISBN (ebook) Sylwia Roszkowska Katedra Makroekonomii, Instytut Ekonomii Wydział Ekonomiczno-Socjologiczny, Uniwersytet Łódzki 90-214 Łódź, ul. Rewolucji 1905 r., nr 41/43 RECENZENT Marek Bednarski PROJEKT OKŁADKI Barbara

Bardziej szczegółowo

Postęp techniczny kolejne typy wynalazków. Dr hab. Joanna Siwińska-Gorzelak

Postęp techniczny kolejne typy wynalazków. Dr hab. Joanna Siwińska-Gorzelak ostęp techniczny kolene typy wynalazków Dr hab. Joanna Siwińska-Gorzelak Wstęp Celem modelu est pokazanie, akie czynniki wpływaą na postęp techniczny Jego autorem est aul Romer; ednym z głównych założeń

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Dlaczego wzrost gospodarczy? Model wzrostu Harroda-Domara.

Plan wykładu. Dlaczego wzrost gospodarczy? Model wzrostu Harroda-Domara. Plan wykładu Dlaczego wzrost gospodarczy? Model wzrostu Harroda-Domara. Model wzrostu Solowa. Krytyka podejścia klasycznego wstęp do endogenicznych podstaw wzrostu gospodarczego. Potrzeba analizy wzrostu

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA DYNAMICZNYCH LOKAT KAPITAŁOWYCH Krzysztof Gąsior Uniwersytet Rzeszowski Streszczenie Celem referatu jest zaprezentowanie praktycznego zastosowania

Bardziej szczegółowo

(b) Oblicz zmianę zasobu kapitału, jeżeli na początku okresu zasób kapitału wynosi kolejno: 4, 9 oraz 25.

(b) Oblicz zmianę zasobu kapitału, jeżeli na początku okresu zasób kapitału wynosi kolejno: 4, 9 oraz 25. Zadanie 1 W pewnej gospodarce funkcja produkcji może być opisana jako Y = AK 1/2 N 1/2, przy czym A oznacza poziom produktywności, K zasób kapitału, a N liczbę zatrudnionych. Stopa oszczędności s wynosi

Bardziej szczegółowo

OCENA PRZYDATNOŚCI MODELU EKONOMETRYCZNEGO DO BADANIA ZMIAN DYNAMIKI GOSPODARKI WOJEWÓDZTWA ŚLĄSKIEGO

OCENA PRZYDATNOŚCI MODELU EKONOMETRYCZNEGO DO BADANIA ZMIAN DYNAMIKI GOSPODARKI WOJEWÓDZTWA ŚLĄSKIEGO Studia Ekonomiczne. Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego w Katowicach ISSN 2083-8611 Nr 220 2015 Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach Wydział Zarządzania Katedra Ekonometrii ozef.biolik@ue.katowice.pl

Bardziej szczegółowo

WPŁYW EFEKTU GRAWITACYJNEGO NA PRZESTRZENNE ZRÓŻNICOWANIE ROZWOJU EKONOMICZNEGO POWIATÓW POLSKI WSCHODNIEJ

WPŁYW EFEKTU GRAWITACYJNEGO NA PRZESTRZENNE ZRÓŻNICOWANIE ROZWOJU EKONOMICZNEGO POWIATÓW POLSKI WSCHODNIEJ Studia i Materiały. Miscellanea Oeconomicae Rok 19, Nr 4/2015, tom I Wydział Zarządzania i Administracji Uniwersytetu Jana Kochanowskiego w Kielcach Zintegrowane podejście do spójności rola statystyki

Bardziej szczegółowo

CZĘŚĆ I MODELE I WZROST GOSPODARCZY WE WSPÓŁCZESNYCH PAŃSTWACH

CZĘŚĆ I MODELE I WZROST GOSPODARCZY WE WSPÓŁCZESNYCH PAŃSTWACH CZĘŚĆ I MODELE I WZROST GOSPODARCZY WE WSPÓŁCZESNYCH PAŃSTWACH Paweł awa ROZDZIAŁ 1 ROLA PAŃSTWA W STYMULOWANIU WZROSTU GOSPODARCZEGO W ŚWIETLE NOWYCH MODELI WZROSTU 1. Wstęp Od lat osiemdziesiątych można

Bardziej szczegółowo

Wzrost gospodarczy definicje

Wzrost gospodarczy definicje Wzrost gospodarczy Wzrost gospodarczy definicje Przez wzrost gospodarczy rozumiemy proces powiększania podstawowych wielkości makroekonomicznych w gospodarce, a w szczególności proces powiększania produkcji

Bardziej szczegółowo

ROZDZIAŁ 3 KAPITAŁ LUDZKI W KRAJACH UNII EUROPEJSKIEJ - ANALIZA PORÓWNAWCZA

ROZDZIAŁ 3 KAPITAŁ LUDZKI W KRAJACH UNII EUROPEJSKIEJ - ANALIZA PORÓWNAWCZA Gabriela Wronowska ROZDZIAŁ 3 KAPITAŁ LUDZKI W KRAJACH UNII EUROPEJSKIEJ - ANALIZA PORÓWNAWCZA Wprowadzenie Na temat kapitału ludzkiego i ego roli we wzroście i rozwou gospodarczym toczy się wiele ożywionych

Bardziej szczegółowo

Makroekonomia Gospodarki Otwartej Wykład 7 Równowaga na rynku walutowym podejście elastycznościowe, warunek Marshalla-Lernera

Makroekonomia Gospodarki Otwartej Wykład 7 Równowaga na rynku walutowym podejście elastycznościowe, warunek Marshalla-Lernera Makroekonomia Gospodarki Otwartej Wykład 7 Równowaga na rynku walutowym podejście elastycznościowe, warunek Marshalla-Lernera Leszek Wincenciak Wydział Nauk Ekonomicznych UW 2/27 Plan wykładu: Warunek

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie algebraicznych układów równań liniowych metodami iteracyjnymi. Plan wykładu:

Rozwiązywanie algebraicznych układów równań liniowych metodami iteracyjnymi. Plan wykładu: Rozwiązywanie algebraicznych układów równań liniowych metodami iteracynymi Plan wykładu: 1. Przykłady macierzy rzadkich i formaty ich zapisu 2. Metody: Jacobiego, Gaussa-Seidla, nadrelaksaci 3. Zbieżność

Bardziej szczegółowo

PRZESTRZENNE ZRÓŻNICOWANIE PŁAC W POLSKICH POWIATACH. Wstęp 1

PRZESTRZENNE ZRÓŻNICOWANIE PŁAC W POLSKICH POWIATACH. Wstęp 1 STUDIA PRAWNO-EKONOMICZNE, t. LXXXV, 2012 PL ISSN 0081-6841 s. 287 308 Tomasz TOKARSKI* PRZESTRZENNE ZRÓŻNICOWANIE PŁAC W POLSKICH POWIATACH Wstęp 1 Celem prezentowanego opracowania jest statystyczna analiza

Bardziej szczegółowo

Kolokwium I z Makroekonomii II Semestr zimowy 2014/2015 Grupa I

Kolokwium I z Makroekonomii II Semestr zimowy 2014/2015 Grupa I Kolokwium I z Makroekonomii II Semestr zimowy 2014/2015 Grupa I Czas trwania kolokwium wynosi 45 minut. Należy rozwiązać dwa z trzech zamieszczonych poniżej zadań. Za każde zadanie można uzyskać maksymalnie

Bardziej szczegółowo

ROLA WIEDZY I INNOWACJI W STYMULOWANIU WZROSTU GOSPODARCZEGO

ROLA WIEDZY I INNOWACJI W STYMULOWANIU WZROSTU GOSPODARCZEGO dr Paweł Kawa Wyższa Szkoła Zarządzania i Bankowości w Krakowie Akademia Ekonomiczna w Krakowie ROLA WIEDZY I INNOWACJI W STYMULOWANIU WZROSTU GOSPODARCZEGO STRESZCZENIE Przeprowadzona w niniejszym artykule

Bardziej szczegółowo

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,

Bardziej szczegółowo

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Rachunek Prawdopodobieństwa istatystyka W4 Rozkład normalny Parametry rozkładu zmienne losowe Zmienne losowe wielowymiarowe Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Rozkład normalny - standaryzaca

Bardziej szczegółowo

5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne.

5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne. 5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne. 78. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log 6 2+log 36 9 a) 4 2+log 27 = (2 2 ) log 27 4 = 28 2 = 784 29 listopada 2008

Bardziej szczegółowo

Matematyka bankowa 1 1 wykład

Matematyka bankowa 1 1 wykład Matematyka bankowa 1 1 wykład Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl

Bardziej szczegółowo

Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II

Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Łódzkiego w Łodzi Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II Łódź 2008 Rozdział

Bardziej szczegółowo

Finanse i Rachunkowość studia stacjonarne lista nr 9 zastosowania metod teorii funkcji rzeczywistych w ekonomii (część II)

Finanse i Rachunkowość studia stacjonarne lista nr 9 zastosowania metod teorii funkcji rzeczywistych w ekonomii (część II) dr inż. Ryszard Rębowski 1 FUNKCJA KOSZTU Finanse i Rachunkowość studia stacjonarne lista nr 9 zastosowania metod teorii funkcji rzeczywistych w ekonomii (część II) 1 Funkcja kosztu Z podstaw mikroekonomii

Bardziej szczegółowo

UWAGI O ZŁOTEJ REGULE AKUMULACJI KAPITAŁU RZECZOWEGO I LUDZKIEGO W KONTEKŚCIE ZAGADNIENIA MAKSYMALIZACJI DOBROBYTU

UWAGI O ZŁOTEJ REGULE AKUMULACJI KAPITAŁU RZECZOWEGO I LUDZKIEGO W KONTEKŚCIE ZAGADNIENIA MAKSYMALIZACJI DOBROBYTU RUCH PRAWNICZY, EKONOMICZNY I SOCJOLOGICZNY ROK LXXI - zeszyt 1-2009 PIOTR PIETRASZEWSKI UWAGI O ZŁOTEJ REGULE AKUMULACJI KAPITAŁU RZECZOWEGO I LUDZKIEGO W KONTEKŚCIE ZAGADNIENIA MAKSYMALIZACJI DOBROBYTU

Bardziej szczegółowo

Wyznaczniki prowzrostowej strategii ograniczającej nierówności społeczne wynikające z teorii wzrostu

Wyznaczniki prowzrostowej strategii ograniczającej nierówności społeczne wynikające z teorii wzrostu Prof. dr hab. Michał Gabriel Woźniak Katedra Teorii Ekonomii Uniwersytetu Rzeszowskiego Wyznaczniki prowzrostowej strategii ograniczającej nierówności społeczne wynikające z teorii wzrostu 1.Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Makroekonomia 1 Wykład 5: Model klasyczny gospodarki (dla przypadku gospodarki zamkniętej)

Makroekonomia 1 Wykład 5: Model klasyczny gospodarki (dla przypadku gospodarki zamkniętej) Makroekonomia 1 Wykład 5: Model klasyczny gospodarki (dla przypadku gospodarki zamkniętej) Gabriela Grotkowska Katedra Makroekonomii i Teorii Handlu Zagranicznego PKB jako miara dobrobytu Produkcja w gospodarce

Bardziej szczegółowo

MODEL AS-AD. Dotąd zakładaliśmy (w modelu IS-LM oraz w krzyżu keynesowskim), że ceny w gospodarce są stałe. Model AS-AD uchyla to założenie.

MODEL AS-AD. Dotąd zakładaliśmy (w modelu IS-LM oraz w krzyżu keynesowskim), że ceny w gospodarce są stałe. Model AS-AD uchyla to założenie. MODEL AS-AD Dotąd zakładaliśmy (w modelu IS-LM oraz w krzyżu keynesowskim), że ceny w gospodarce są stałe. Model AS-AD uchyla to założenie. KRZYWA AD Krzywą AD wyprowadza się z modelu IS-LM Każdy punkt

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 4. Wartości własne i wektory własne 4.1. Podstawowe definicje, własności i twierdzenia 4.2. Lokalizacja wartości własnych 4.3. Metoda potęgowa znajdowania

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt

Bardziej szczegółowo

Wykład 19: Model Mundella-Fleminga, część I (płynne kursy walutowe) Gabriela Grotkowska

Wykład 19: Model Mundella-Fleminga, część I (płynne kursy walutowe) Gabriela Grotkowska Międzynarodowe Stosunki Ekonomiczne Makroekonomia gospodarki otwartej i finanse międzynarodowe Wykład 19: Model Mundella-Fleminga, część I (płynne kursy walutowe) Gabriela Grotkowska Plan wykładu Model

Bardziej szczegółowo

Przegląd termodynamiki II

Przegląd termodynamiki II Wykład II Mechanika statystyczna 1 Przegląd termodynamiki II W poprzednim wykładzie po wprowadzeniu podstawowych pojęć i wielkości, omówione zostały pierwsza i druga zasada termodynamiki. Tutaj wykorzystamy

Bardziej szczegółowo

Zadania z ekonomii matematycznej Teoria produkcji

Zadania z ekonomii matematycznej Teoria produkcji Paweł Kliber Zadania z ekonomii matematycznej Teoria produkcji Zadania Zad Dla podanych funkcji produkcji a fk z k + z b fk z 6k z c fk z k z d fk z k 4 z e fk z k + z wykonaj następujące polecenia: A

Bardziej szczegółowo

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją

Bardziej szczegółowo

Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne

Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne Paweł Foralewski Teoria Ponieważ funkcje wykładnicza i logarytmiczna zostały wprowadzone wcześniej, tutaj przypomnimy tylko definicję logarytmu i jego

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale

Bardziej szczegółowo

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji.

VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. VIII. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania funkcji. 1. Twierdzenia o wartości średniej. Monotoniczność funkcji. Twierdzenie 1.1. (Rolle a) Jeżeli funkcja f jest ciągła w przedziale domkniętym

Bardziej szczegółowo

Zestaw 3 Optymalizacja międzyokresowa

Zestaw 3 Optymalizacja międzyokresowa Zestaw 3 Optymalizacja międzyokresowa W modelu tym rozważamy optymalny wybór konsumenta dotyczący konsumpcji w okresie obecnym i w przyszłości. Zakładając, że nasz dochód w okresie bieżącym i przyszłym

Bardziej szczegółowo

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu 1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie

Bardziej szczegółowo

ZWIĄZKI MIĘDZY WSPÓŁCZYNNIKAMI WRAŻLIWOŚCI W MODELU WYCENY OPCJI GARMANA-KOHLHAGENA

ZWIĄZKI MIĘDZY WSPÓŁCZYNNIKAMI WRAŻLIWOŚCI W MODELU WYCENY OPCJI GARMANA-KOHLHAGENA STUDIA I PRACE WYDZIAŁU NAUK EKONOMICZNYCH I ZARZĄDZANIA NR Beata Bieszk-Stolorz Uniwersytet Szczeciński ZWIĄZKI MIĘDZY WSPÓŁCZYNNIKAMI WRAŻLIWOŚCI W MODELU WYCENY OPCJI GARMANA-KOHLHAGENA Streszczenie

Bardziej szczegółowo

Uwarunkowania wzrostu gospodarczego w świetle wniosków płynących z nowych modeli wzrostu

Uwarunkowania wzrostu gospodarczego w świetle wniosków płynących z nowych modeli wzrostu Paweł Kawa Akademia Ekonomiczna w Krakowie Uwarunkowania wzrostu gospodarczego w świetle wniosków płynących z nowych modeli wzrostu Wprowadzenie Analizując historię myśli ekonomicznej, nietrudno sformułować

Bardziej szczegółowo

EKONOMIA II stopień ogólnoakademicki niestacjonarne wszystkie Katedra Strategii Gospodarczych dr Helena Baraniecka. podstawowy. obowiązkowy polski

EKONOMIA II stopień ogólnoakademicki niestacjonarne wszystkie Katedra Strategii Gospodarczych dr Helena Baraniecka. podstawowy. obowiązkowy polski KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Z-EKON2-008 Nazwa modułu Makroekonomia II Nazwa modułu w języku angielskim Macroeconomics II Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013 A. USYTUOWANIE MODUŁU

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - podstawy matematyczne. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki

Podstawy Automatyki. Wykład 2 - podstawy matematyczne. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki Wykład 2 - podstawy matematyczne Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Rzeczywiste obiekty regulacji, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe, n.p. turbulencje, wiele

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Historia. Definicja

Logarytmy. Historia. Definicja Logarytmy Historia Logarytmy po raz pierwszy pojawiły się w książce szkockiego matematyka - Johna Nepera "Opis zadziwiających tablic logarytmów" z 1614 roku. Szwajcarski astronom i matematyk Jost Burgi

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym

Bardziej szczegółowo

Jerzy Osiatyński. Wybór stopy wzrostu w Kaleckiego teorii wzrostu gospodarki centralnie planowanej a złota reguła akumulacji kapitału *

Jerzy Osiatyński. Wybór stopy wzrostu w Kaleckiego teorii wzrostu gospodarki centralnie planowanej a złota reguła akumulacji kapitału * Jerzy Osiatyński Wybór stopy wzrostu w Kaleckiego teorii wzrostu gospodarki centralnie planowanej a złota reguła akumulacji kapitału * W teorii ekonomii głównego nurtu koncepcja złotej reguły akumulacji

Bardziej szczegółowo

Wykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39

Wykład 11 i 12. Informatyka Stosowana. 9 stycznia Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia / 39 Wykład 11 i 12 Informatyka Stosowana 9 stycznia 2017 Informatyka Stosowana Wykład 11 i 12 9 stycznia 2017 1 / 39 Twierdzenie Lagrange a Jeżeli funkcja f spełnia warunki: 1 jest ciagła na [a, b] 2 f istnieje

Bardziej szczegółowo

M. Dąbrowska. K. Grabowska. Wroclaw University of Economics

M. Dąbrowska. K. Grabowska. Wroclaw University of Economics M. Dąbrowska K. Grabowska Wroclaw University of Economics Zarządzanie wartością przedsiębiorstwa na przykładzie przedsiębiorstw z branży produkującej napoje JEL Classification: A 10 Słowa kluczowe: Zarządzanie

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań z matematyki - matura rozszerzona

Propozycje rozwiązań zadań z matematyki - matura rozszerzona Jacek Kredenc Propozycje rozwiązań zadań z matematyki - matura rozszerzona Zadanie 1 Zastosujmy trójkąt Paskala 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 Przy iloczynie będzie stał współczynnik 3. Zatem Odpowiedź : C Zadanie

Bardziej szczegółowo

Testy zgodności 9 113

Testy zgodności 9 113 Testy zgodności 9 3 9. TESTY ZGODNOŚCI 9. Różne sytuace praktyczne W praktyce badań statystycznych, ak uż poprzednio stwierdzono, cały proces analizy statystyczne dzielimy na dwa etapy: formułowanie hipotezy

Bardziej szczegółowo

Brygida Beata Cupiał. Keywords: competitiveness, innovativeness, small and medium-sized enterprises, regional support policy

Brygida Beata Cupiał. Keywords: competitiveness, innovativeness, small and medium-sized enterprises, regional support policy Zarządzanie Publiczne, 2(18)/2012, s. 75-85 Kraków 2012 Published online September 10, 2012 doi: 10.4467/20843968ZP. 12.012.0536 Wsparcie konkurencyjności małych i średnich przedsiębiorstw w województwie

Bardziej szczegółowo

MAKROEKONOMIA II KATARZYNA ŚLEDZIEWSKA

MAKROEKONOMIA II KATARZYNA ŚLEDZIEWSKA MAKROEKONOMIA II KATARZYNA ŚLEDZIEWSKA WYKŁAD XII WZROST GOSPODARCZY cd. Chiny i ich wzrost gospodarczy Podstawy endogenicznej teorii wzrostu Konsekwencje wzrostu endogenicznego Dwusektorowy model endogeniczny

Bardziej szczegółowo

KLASYFIKACJA KRAJÓW UNII EUROPEJSKIEJ A SZYBKOŚĆ ICH KONWERGENCJI DOCHODOWEJ

KLASYFIKACJA KRAJÓW UNII EUROPEJSKIEJ A SZYBKOŚĆ ICH KONWERGENCJI DOCHODOWEJ Barbara Batóg, Jacek Batóg Uniwersytet Szczeciński KLASYFIKACJA KRAJÓW UNII EUROPEJSKIEJ A SZYBKOŚĆ ICH KONWERGENCJI DOCHODOWEJ Wstęp Zjawisko wyrównywania się poziomów dochodów w poszczególnych krajach

Bardziej szczegółowo

Zbiór zadań. Makroekonomia II ćwiczenia KONSUMPCJA

Zbiór zadań. Makroekonomia II ćwiczenia KONSUMPCJA Zbiór zadań. Makroekonomia II ćwiczenia KONSUMPCJA Zadanie 1. Konsument żyje przez 4 okresy. W pierwszym i drugim okresie jego dochód jest równy 100; w trzecim rośnie do 300, a w czwartym spada do zera.

Bardziej szczegółowo

ISBN (wersja drukowana) ISBN (ebook)

ISBN (wersja drukowana) ISBN (ebook) Sylwia Roszkowska Katedra Makroekonomii, Instytut Ekonomii Wydział Ekonomiczno-Socjologiczny, Uniwersytet Łódzki 90-214 Łódź, ul. Rewolucji 1905 r., nr 41/43 RECENZENT Marek Bednarski PROJEKT OKŁADKI Barbara

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych

Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych V Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych Opracowanie Monika Fabijańczyk ROZDZIAŁ 1 Cechy podzielności Poniższe zadania zostały wybrane z różnych zbiorów zadań, opracowań, konkursów matematycznych.

Bardziej szczegółowo

KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury

KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury Funkcje wektorowe Jeśli wektor a jest określony dla parametru t (t należy do przedziału t (, t k )

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

Przestrzenne zróżnicowanie płac w Polsce

Przestrzenne zróżnicowanie płac w Polsce Andrzej ADAMCZYK * Tomasz TOKARSKI ** Robert W. WŁODARCZYK ** Przestrzenne zróżnicowanie płac w Polsce Wprowadzenie Jedną z ważniejszych charakterystyk każdego rynku pracy jest wykształcenie się odpowiedniej

Bardziej szczegółowo

System BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10

System BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10 System BCD z κ Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna Semestr letni 2009/10 Rozważamy system BCD ze stałą typową κ i aksjomatami ω κ κ i κ ω κ. W pierwszej części tej notatki

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 Obszar określoności równania Jeżeli występująca w równaniu y' f ( x, y) funkcja f jest ciągła, to równanie posiada rozwiązanie. Jeżeli f jest nieokreślona w punkcie (x 0,

Bardziej szczegółowo

Krzysztof Rykaczewski. Szeregi

Krzysztof Rykaczewski. Szeregi Krzysztof Rykaczewski Spis treści 1 Definicja szeregu 2 Zbieżność szeregu 3 Kryteria zbieżności szeregów 4 Iloczyn Cauchy ego szeregów 5 Bibliografia 1 / 13 Definicja szeregu Niech dany będzie ciąg (a

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH

WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH WYKŁADY Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW UCZELNI EKONOMICZNYCH Pod redakcją Anny Piweckiej Staryszak Autorzy poszczególnych rozdziałów Anna Piwecka Staryszak: 2-13; 14.1-14.6; 15.1-15.4; 16.1-16.3; 17.1-17.6;

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 13

SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 13 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 13 CZĘŚĆ I. ALGEBRA ZBIORÓW... 15 ROZDZIAŁ 1. ZBIORY... 15 1.1. Oznaczenia i określenia... 15 1.2. Działania na zbiorach... 17 1.3. Klasa zbiorów. Iloczyn kartezjański zbiorów...

Bardziej szczegółowo

Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii

Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii Maciej Grzesiak Metoda mnożników Lagrange a i jej zastosowania w ekonomii 1 Metoda mnożników Lagrange a znajdowania ekstremum warunkowego Pochodna kierunkowa i gradient Dla prostoty ograniczymy się do

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

V Międzyszkolny Konkurs Matematyczny

V Międzyszkolny Konkurs Matematyczny V Międzyszkolny Konkurs Matematyczny im. Stefana Banacha dla uczniów szkół średnich Zespół Szkół Nr 1 im. Adama Mickiewicza w Lublińcu 42-700 Lubliniec, ul. Sobieskiego 22 18. kwiecień 2011 rok 1. W trapezie

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyk z próby

Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny

Bardziej szczegółowo

Funkcja wykładnicza kilka dopowiedzeń

Funkcja wykładnicza kilka dopowiedzeń Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja

Bardziej szczegółowo

Równowaga i stabilność rynku konkurencyjnego z krzyżowymi zależnościami między dynamiką cen, popytem na towary i ich podażą

Równowaga i stabilność rynku konkurencyjnego z krzyżowymi zależnościami między dynamiką cen, popytem na towary i ich podażą Monika Majewska * Równowaga i stabilność rynku konkurencyjnego z krzyżowymi zależnościami między dynamiką cen, popytem na towary i ich podażą Wstęp Równowaga od lat pozostaje niezmiennie w centrum zainteresowania

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE RACHUNKU OPERATORÓW MIKUS- IŃSKIEGO W PEWNYCH ZAGADNIENIACH DYNAMIKI KONSTRUKCJI

ZASTOSOWANIE RACHUNKU OPERATORÓW MIKUS- IŃSKIEGO W PEWNYCH ZAGADNIENIACH DYNAMIKI KONSTRUKCJI Budownictwo 18 Mariusz Poński ZASTOSOWANIE RACHUNKU OPERATORÓW MIKUS- IŃSKIEGO W PEWNYCH ZAGADNIENIACH DYNAMIKI KONSTRUKCJI 1. Metody transformacji całkowych Najczęściej spotykaną metodą rozwiązywania

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie Po co uczyć (się) teorii ekonomii?

Wprowadzenie Po co uczyć (się) teorii ekonomii? Wprowadzenie Po co uczyć (się) teorii ekonomii? a po co uczyć matematyki? - ćwiczenie umysłu żeby oswoić studentów z terminologią później pisząc pracę magisterską czy też komunikując się z innymi nie muszą

Bardziej szczegółowo

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych

RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych. Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych RÓŻNICZKOWANIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH: rachunek pochodnych dla funkcji wektorowych Pochodne cząstkowe funkcji rzeczywistej wielu zmiennych wyliczamy według wzoru (x, x 2,..., x n ) f(x, x 2,..., x n )

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE A. RÓWNANIA RZĘDU PIERWSZEGO Uwagi ogólne Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego zawiera. Poza tym może zawierać oraz zmienną. Czyli ma postać ogólną Na przykład

Bardziej szczegółowo

Jarosław Michał Nazarczuk, Renata Marks-Bielska CZYNNIKI WZROSTU GOSPODARCZEGO POLSKI W ŚWIETLE NEOKLASYCZNEGO MODELU WZROSTU. 1.

Jarosław Michał Nazarczuk, Renata Marks-Bielska CZYNNIKI WZROSTU GOSPODARCZEGO POLSKI W ŚWIETLE NEOKLASYCZNEGO MODELU WZROSTU. 1. PRACE NAUKOWE UNIWERSYSTETU EKONOMICZNEGO WE WROCŁAWIU Nr 39 2009 Problemy ekonomii, polityki ekonomicznej i finansów publicznych Jarosław Michał Nazarczuk, Renata Marks-Bielska Uniwersytet Warmińsko-Mazurski

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

Całki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej

Całki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Definicja całki podwójnej Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 25 maja 2016 Definicja całki podwójnej Załóżmy, że f : K R, gdzie K = a, b c, d R 2, jest funkcją ograniczoną. Niech x 0, x 1,...,

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN, ANALIZA 1A, , ROZWIĄZANIA

EGZAMIN, ANALIZA 1A, , ROZWIĄZANIA Zadanie 1. Podać kresy następujących zbiorów. Przy każdym z kresów napisać, czy kres należy do zbioru (TAK = należy, NIE = nie należy). infa = 0 NIE A = infb = 1 TAK { 1 i + 2 j +1 + 3 } k +2 : i,j,k N

Bardziej szczegółowo

6. ANALIZA POST-OPTYMALIZACYJNA analiza wrażliwości rozwiązania optymalnego

6. ANALIZA POST-OPTYMALIZACYJNA analiza wrażliwości rozwiązania optymalnego 6. ANALIZA POST-OPTYMALIZACYJNA analiza wrażliwości rozwiązania optymalnego Analiza wrażliwości est studium analizy wpływu zmian wartości różnych parametrów modelu PL na rozwiązanie optymalne. Na optymalne

Bardziej szczegółowo

ANALIZA STOPNIA ZADŁUŻENIA PRZEDSIĘBIORSTW SKLASYFIKOWANYCH W KLASIE EKD

ANALIZA STOPNIA ZADŁUŻENIA PRZEDSIĘBIORSTW SKLASYFIKOWANYCH W KLASIE EKD Studia i Materiały. Miscellanea Oeconomicae Rok 13, Nr 1/2009 Wydział Zarządzania i Administracji Uniwersytetu Humanistyczno Przyrodniczego Jana Kochanowskiego w Kielcach G ospodarowanie zasobami organiza

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

Makroekonomia I. Jan Baran

Makroekonomia I. Jan Baran Makroekonomia I Jan Baran Model klasyczny a keynesowski W prostym modelu klasycznym zakładamy, że produkt zależy jedynie od nakładów czynników produkcji i funkcji produkcji. Nie wpływają na niego wprowadzone

Bardziej szczegółowo

Analiza inwestycji i zarządzanie portfelem SPIS TREŚCI

Analiza inwestycji i zarządzanie portfelem SPIS TREŚCI Analiza inwestycji i zarządzanie portfelem Frank K. Reilly, Keith C. Brown SPIS TREŚCI TOM I Przedmowa do wydania polskiego Przedmowa do wydania amerykańskiego O autorach Ramy książki CZĘŚĆ I. INWESTYCJE

Bardziej szczegółowo

Definicja pochodnej cząstkowej

Definicja pochodnej cząstkowej 1 z 8 gdzie punkt wewnętrzny Definicja pochodnej cząstkowej JeŜeli iloraz ma granicę dla to granicę tę nazywamy pochodną cząstkową funkcji względem w punkcie. Oznaczenia: Pochodną cząstkową funkcji względem

Bardziej szczegółowo

x v m 1 stopę zwrotu otrzymujemy równanie

x v m 1 stopę zwrotu otrzymujemy równanie Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa - 4 Przepływy pienięŝne - 2 Wewnętrzna stopa zwrotu Definicja Wewnętrzna stopa zwrotu (IRR-Internal Rate of Return) dla strumienia przepływów pienięŝnych P Pt, Pt,

Bardziej szczegółowo

1 Kinetyka reakcji chemicznych

1 Kinetyka reakcji chemicznych Podstawy obliczeń chemicznych 1 1 Kinetyka reakcji chemicznych Szybkość reakcji chemicznej definiuje się jako ubytek stężenia substratu lub wzrost stężenia produktu w jednostce czasu. ν = c [ ] 2 c 1 mol

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i

Bardziej szczegółowo

Nowe modele wzrostu gospodarczego a paradygmat zrównoważonego rozwoju

Nowe modele wzrostu gospodarczego a paradygmat zrównoważonego rozwoju Nowe modele wzrostu gospodarczego a paradygmat zrównoważonego rozwoju 27 Nierówności Społeczne a Wzrost Gospodarczy, nr 38 (2/2014) ISSN 1898-5084 dr Dorota Kuder 1 Katedra Teorii Ekonomii Uniwersytet

Bardziej szczegółowo

Analiza zdarzeń Event studies

Analiza zdarzeń Event studies Analiza zdarzeń Event studies Dobromił Serwa akson.sgh.waw.pl/~dserwa/ef.htm Leratura Campbell J., Lo A., MacKinlay A.C.(997) he Econometrics of Financial Markets. Princeton Universy Press, Rozdział 4.

Bardziej szczegółowo

Uniwersyteckie Koło Matematyczne - Tajemnicza liczba e.

Uniwersyteckie Koło Matematyczne - Tajemnicza liczba e. Uniwersyteckie Koło Matematyczne - Tajemnicza liczba e. Filip Piękniewski Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Mikołaja Kopernika http://www.mat.umk.pl/ philip 17 grudnia 2009 Filip Piękniewski,

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH

ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym

Bardziej szczegółowo

Analiza wpływu długości trwania strategii na proces optymalizacji parametrów dla strategii inwestycyjnych w handlu event-driven

Analiza wpływu długości trwania strategii na proces optymalizacji parametrów dla strategii inwestycyjnych w handlu event-driven Raport 8/2015 Analiza wpływu długości trwania strategii na proces optymalizacji parametrów dla strategii inwestycyjnych w handlu event-driven autor: Michał Osmoła INIME Instytut nauk informatycznych i

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna - 14. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi i szeregi liczbowe

Analiza matematyczna - 14. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi i szeregi liczbowe Analiza matematyczna - 4. Analiza zmiennych dyskretnych: ciągi i szeregi liczbowe Wstęp: zmienne ciągłe i zmienne dyskretne Podczas dotychczasowych wykładów rozważaliśmy przede wszystkim zależności funkcyjne

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia 3. Współczynnik przyrostu naturalnego. Koncepcja ludności zastojowej i ustabilizowanej. Prawo Lotki.

Ćwiczenia 3. Współczynnik przyrostu naturalnego. Koncepcja ludności zastojowej i ustabilizowanej. Prawo Lotki. Ćwiczenia 3 Współczynnik przyrostu naturalnego. Koncepcja ludności zastojowej i ustabilizowanej. Prawo Lotki. Współczynnik przyrostu naturalnego r = U t Z t L t gdzie: U t - urodzenia w roku t Z t - zgony

Bardziej szczegółowo

SYMULACJA WYBRANYCH PROCESÓW

SYMULACJA WYBRANYCH PROCESÓW Romuald Mosdorf Joanicjusz Nazarko Nina Siemieniuk SYMULACJA WYBRANYCH PROCESÓW EKONOMICZNYCH Z ZASTOSOWANIEM TEORII CHAOSU DETERMINISTYCZNEGO Gospodarka rynkowa oparta jest na mechanizmach i instytucjach

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n

Bardziej szczegółowo

Immunizacja ryzyka stopy procentowej ubezpieczycieli życiowych

Immunizacja ryzyka stopy procentowej ubezpieczycieli życiowych Immunizacja ryzyka stopy procentowej ubezpieczycieli życiowych Elżbieta Krajewska Instytut Matematyki Politechnika Łódzka Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 1/22 Plan prezentacji

Bardziej szczegółowo

Proces Poissona. Proces {N(t), t 0} nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t.

Proces Poissona. Proces {N(t), t 0} nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t. Procesy stochastyczne WYKŁAD 5 Proces Poissona. Proces {N(t), t } nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t. Proces zliczający musi

Bardziej szczegółowo

Wzrost i rozwój gospodarczy. Edyta Ropuszyńska-Surma

Wzrost i rozwój gospodarczy. Edyta Ropuszyńska-Surma Wzrost i rozwój gospodarczy Edyta Ropuszyńska-Surma Zagadnienia Wzrost gospodarczy i stopa wzrostu gospodarczego. Teorie wzrostu gospodarczego. Granice wzrostu. Modele wzrostu. Wzrost gospodarczy i polityka

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

Innowacje społeczne innowacyjne instrumenty polityki społecznej w projektach finansowanych ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego

Innowacje społeczne innowacyjne instrumenty polityki społecznej w projektach finansowanych ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego Zarządzanie Publiczne, 2(18)/2012, s. 33 45 Kraków 2012 Published online September 10, 2012 doi: 10.4467/20843968ZP. 12.009.0533 Innowacje społeczne innowacyjne instrumenty polityki społecznej w projektach

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MAGISTERSKI, Biomatematyka

EGZAMIN MAGISTERSKI, Biomatematyka Biomatematyka 90...... Zadanie 1. (8 punktów) Załóżmy, że w diploidalnej populacji, dla której zachodzi prawo Hardy ego- Weinberga dla loci o dwóch allelach A i a proporcja osobników o genotypie AA wynosi

Bardziej szczegółowo