Złote reguły akumulacji kapitału w grawitacyjnym modelu wzrostu gospodarczego

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Złote reguły akumulacji kapitału w grawitacyjnym modelu wzrostu gospodarczego"

Transkrypt

1 Katarzyna Filipowicz, Tomasz Tokarski, Mariusz Troak, Złote reguły akumulaci kapitału Gospodarka narodowa 3 (277) Rok LXXXV/XXVI ma czerwiec 2015 s Katarzyna FILIPOWICZ* Tomasz TOKARSKI** Mariusz TROJAK*** Złote reguły akumulaci kapitału w grawitacynym modelu wzrostu gospodarczego Streszczenie: Artykuł ma na celu próbę wyznaczenia złotych reguł akumulaci kapitału w grawitacynym modelu wzrostu gospodarczego. Model ten est rozszerzeniem neoklasycznego modelu wzrostu gospodarczego Solowa [1956] o tzw. efekty grawitacyne. Na gruncie grawitacynego modelu wzrostu gospodarczego rozważa się dwa warianty złotych reguł akumulaci kapitału. W pierwszym wariancie szuka się takie kombinaci stóp inwestyci, która maksymalizue średnią geometryczną z konsumpci na pracuącego we wszystkich gospodarkach w warunkach długookresowe równowagi modelu grawitacynego. W drugim zaś wyznacza się taką kombinacę stóp inwestyci, która maksymalizue długookresową konsumpcę na pracuącego w każde z analizowanych gospodarek. Podęte w artykule rozważania prowadzą do następuących wniosków. W pierwszym wariancie złotą regułą akumulaci kapitału są stopy inwestyci równe (w każde z gospodarek) elastyczności produktu względem nakładów kapitałowych powiększone o dwukrotność siły działania efektu grawitacynego. Natomiast w drugim wariancie optymalne stopy inwestyci zależne są (podobnie ak w pierwszym wariancie) od elastyczności produkci względem kapitału, siły działania efektu grawitacynego oraz (co nie występue w pierwszym wariancie) liczby gospodarek podlegaących działaniu efektu grawitacynego. Ponadto w wariancie tym wzrost elastyczności produkci względem kapitału i/lub siły działania efektów grawitacynych prowadzi do wzrostu optymalnych stóp inwestyci. Jeśli zaś liczba gospodarek, na które oddziałue efekt grawitacyny rośnie, to spadaą stopy inwestyci, które maksymalizuą długookresową konsumpcę na pracuącego w każde z gospodarek. W obu rozważanych w artykule wariantach gasnące (do zera) efekty grawitacyne powoduą zbieżność uzyskanych złotych reguł akumulaci z oryginalnymi złotymi regułami * Uniwersytet Jagielloński, Katedra Ekonomi Matematyczne; mroczekka@gmail.com ** Uniwersytet Jagielloński, Katedra Ekonomi Matematyczne; tomtok67@o2.pl *** Uniwersytet Jagielloński, Katedra Globalizaci i Integraci Ekonomiczne; mariusz.troak@u.edu.pl

2 28 GOSPODARKA NARODOWA nr 3/2015 Phelpsa. Oznacza to, iż wyznaczone przez autorów złote reguły akumulaci kapitału stanowią uogólnienie złotych reguł akumulaci kapitału Phelpsa na grawitacyny model wzrostu gospodarczego. Słowa kluczowe: model grawitacyny, złote reguły akumulaci kapitału, wzrost gospodarczy, efekty grawitacyne Kody klasyfikaci JEL: C02, R11, E23, O47 Artykuł nadesłany 27 listopada 2014 r., zaakceptowany 20 maa 2015 r. Wprowadzenie 1 Celem artykułu est próba wyznaczenia złotych reguł akumulaci kapitału w grawitacynym modelu wzrostu gospodarczego. Model ten est kompilacą neoklasycznego modelu wzrostu gospodarczego Solowa [1956] z efektami grawitacynymi (wynikaącymi z modeli makroekonomicznych prezentowanych m.in. w opracowaniach Tinbergena [1962], Pulliainena [1963] lub Linnemanna [1963], por. też np. Mroczek, Nowosad, Tokarski [2015], Mroczek, Tokarski [2014] lub Mroczek, Tokarski, Troak [2014]) oraz ze złotą regułą akumulaci kapitału Phelpsa [1961] (por. też Phelps [1966] lub Tokarski [2009; 2011]). Struktura prezentowanego artykułu przedstawia się następuąco. Część druga zawiera założenia grawitacynego modelu wzrostu gospodarczego, nawiązuącego do neoklasycznego, ednokapitałowego modelu wzrostu Solowa [1956]. W części trzecie znadue się definica złotych reguł akumulaci kapitału Phelpsa [1961] zarówno na gruncie modelu wzrostu Solowa, ak i na gruncie grawitacynego modelu wzrostu gospodarczego. Na gruncie grawitacynego modelu wzrostu gospodarczego analizue się dwa warianty złotych reguł akumulaci kapitału. Po pierwsze, szuka się takie kombinaci stóp inwestyci, które maksymalizuą średnią (geometryczną) z konsumpci na pracuącego we wszystkich analizowanych kraach (regionach) w warunkach długookresowe równowagi modelu grawitacynego. Po drugie, wyznacza się taką kombinacę stóp inwestyci, która maksymalizue długookresową konsumpcę na pracuącego w każde z analizowanych gospodarek. Ponadto w te części opracowania porównue się także dwa uzyskane rozwiązania zarówno z oryginalnymi złotymi regułami akumulaci kapitału Phelpsa, ak i porównue się te rozwiązania między sobą (z punktu widzenia długookresowe wydaności pracy oraz konsumpci na pracuącego). Artykuł kończy część czwarta, w które autorzy przedstawili podsumowanie prowadzonych w nim rozważań oraz ważniesze wnioski. 1 Autorzy dziękuą Prof. Armenowi Edigarianowi z Instytutu Matematyki Uniwersytetu Jagiellońskiego oraz Prof. Krzysztofowi Maladze i Dr. Michałowi Konopczyńskiemu z Katedry Ekonomii Matematyczne Uniwersytetu Ekonomicznego w Poznaniu za uwagi do wstępne wersi prezentowanego artykułu. Rzecz asna, odpowiedzialność za ostateczną wersę artykułu ponoszą wyłącznie autorzy.

3 Katarzyna Filipowicz, Tomasz Tokarski, Mariusz Troak, Złote reguły akumulaci kapitału Założenia modelu Model grawitacyny W prezentowanych dale rozważaniach przymue się następuące założenia: 1) Analizue się funkconowanie pewne, skończone liczby N>2 (N Ν) kraów (lub regionów) 2, między którymi istnieą przestrzenne interakce rozwou ekonomicznego. Interakce te opisane są przez scharakteryzowane dale (indywidualne i łączne) efekty grawitacyne. 2) Proces produkcyny w -te gospodarce opisany est przez funkcę produkci Cobba-Douglasa [1928]. Stąd zaś wynika, iż wydaność pracy y w owe gospodarce można zapisać wzorem (por. też np. Żółtowska [1997] lub Tokarski [2009; 2011]) 3 : y (t) a (g (t)) (k (t)) α, (1) gdzie: a > 0, α, (0;1) i < 1 α 4. Wyrażenie y oznacza wydaność pracy 2 w krau (regionie), k techniczne uzbroenie pracy w owym krau (regionie), zaś wielkość g w funkci wydaności pracy (1) opisue tę część łączne produktywności czynników produkci (a g ) w gospodarce, która wynika z działania efektu grawitacynego (efekt ów opisany est zaś w założeniach 3 4). Natomiast a >0 est częścią łączne produktywności czynników produkci wynikaącą z działania pewnych czynników, które nie są uwzględnione w prowadzonych dale rozważaniach 5. Parametr α oznacza elastyczność wielkości produkci (lub wydaności pracy) względem nakładów kapitału rzeczowego (lub technicznego uzbroenia pracy). Natomiast parametr to elastyczność łączne produktywności czynników produkci względem łącznego efektu grawitacynego, opisanego przez g. 2 Krae (regiony) będą nazywane dale również gospodarkami. 3 O wszystkich występuących dale zmiennych makroekonomicznych zakłada się, iż są różniczkowalnymi funkcami czasu t 0. Zapis x (t) będzie dale oznaczał wartość zmienne x w momencie t, zaś!x(t) dx / dt pochodną zmienne x po czasie t, czyli (ekonomicznie rzecz biorąc) przyrost wartości zmienne x w momencie t. Natomiast zapis będzie oznaczał 1,2,..., N, gdzie N>2 est liczbą analizowanych kraów (regionów). Podobnie odczytue się również wyrażenia x oraz x. 4 Przyęcie założenia, że < 1 α w równaniu (1) est bardzo istotne dla pokazania stabilności 2 nietrywialnego punktu staconarnego układu równań różniczkowych (7). Założenie to oznacza ekonomicznie tyle, iż elastyczność produkci względem efektu grawitacynego est mniesza od połowy elastyczności produktu względem nakładów pracy. 5 Zróżnicowanie a może (ak to ma miesce np. w modelu Lucasa [1988] lub Mankiwa, Romera, Weila [1992], por. też Malaga, Kliber [2007] lub Roszkowska [2013]) wynikać ze zróżnicowania kapitału ludzkiego pomiędzy analizowanymi kraami (regionami), bądź też może być skutkiem różnych instytuconalnych lub sektorowych struktur badanych gospodarek.

4 30 GOSPODARKA NARODOWA nr 3/2015 3) Indywidualne efekty grawitacyne, łączące kra (region) z kraem (regionem) m opisuą zależności:,m m g m (t) k (t)k m (t) d m 2, (2) gdzie,m m d m > 0 oznacza odległość między stolicą gospodarki a stolicą gospodarki m. Przez analogię do prawa powszechne grawitaci Newtona przymuemy też, że siła działania indywidualnych efektów grawitacynych łączących dwa krae (regiony) est wprost proporconalna do ich potencału ekonomicznego (mierzonego k i k m ) oraz odwrotnie proporconalna do kwadratu odległości między nimi. Przyęcie alternatywnego założenia, że indywidualne efekty grawitacyne opisue związek:,m m g m (t) k (t)k m (t) γ, d m gdzie γ>0 (czyli, że w mianowniku indywidualnych efektów grawitacynych podobnie ak w analizach makroekonomicznych prowadzonych w grawitacynych modelach handlu występue d m γ, a nie d 2 m ) nie ma większego wpływu ani na stabilność analizowanego modelu wzrostu, ani na wnioski płynące z równań (8 9), ani na złote reguły akumulaci kapitału w rozważanym modelu wzrostu gospodarczego. 4) Łączne efekty grawitacyne (oddziałuące na gospodarkę ), są średnią geometryczną z indywidualnych efektów grawitacynych. Oznacza to, iż spełnione są związki: g (t) N 1 g m (t). (3) 5) Podobnie ak w modelu wzrostu Solowa równania przyrostów technicznego uzbroenia pracy w każdym z kraów (regionów) opisuą następuące równania różniczkowe: m! k (t) s y (t) µ k (t), (4) gdzie s (0;1) µ > 0. Wyrażenia s oznaczaą stopy inwestyci w -tym krau (regionie), zaś μ stopy ubytku kapitału na pracuącego w tym krau (regionie). Stopy μ (dla kolenych ) są sumami stóp deprecaci kapitału i stopy wzrostu liczby pracuących. Równowaga modelu Z zależności (2 3) uzyskue się równania łącznych efektów grawitacynych dane wzorami:

5 Katarzyna Filipowicz, Tomasz Tokarski, Mariusz Troak, Złote reguły akumulaci kapitału gdzie: d N 1 d m m k (t) g (t) m 1 N 1 k m (t) 2, (5) d > 0. Wyrażenia d oznaczaą średnią geometryczną z odległości stolicy -te gospodarki od stolic pozostałych gospodarek. Dlatego też im mnieszą wartość przymue d, tym bardzie centralnie położona est -ta gospodarka, zaś wysokie wartości d są tożsame z peryferynym (w sensie geograficznym) charakterem -te gospodarki. Wstawiaąc związki (5) do równań (1) mamy: gdzie: θ a d 2 > 0. y (t) θ m k m (t) N 1 (k (t)) α, (6) Z zależności (4) i (6) dochodzi się do następuącego układu równań różniczkowych: k! N 1 (t) s θ k m (t) (k (t)) α µ k (t). (7) m Korzystaąc z twierdzenia Grobmana-Hartmana (por. Ombach [1999, s ]) można pokazać (Mroczek, Tokarski, Troak [2014]), że układ równań różniczkowych (7) ma dokładnie eden nietrywialny punkt staconarny k * (k 1 *,k 2 *,,k N * ) w przestrzeni fazowe P [0; ) N, który charakteryzue się asymptotyczną stabilnością 6. Dlatego też punkt k * będzie dale traktowany ako punkt długookresowe równowagi grawitacynego modelu wzrostu gospodarczego. Można również pokazać (Mroczek, Tokarski, Troak [2014]), że w nietrywialnym punkcie staconarnym k * techniczne uzbroenie pracy (k * ) oraz wydaność pracy (y * ) w -tym krau (regionie) opisane są przez równania: (N 1)(1 α 2) ln k * m ln s m a m µ m d m 2 ln s a µ d 2 1 α N 2 N 1. (8) 6 Układ równań różniczkowych (7) posiada także rozwiązanie trywialne (0,0,,0), które dale będzie ednak pomiane ako nieciekawe zarówno z ekonomicznego, ak i matematycznego punktu widzenia.

6 32 GOSPODARKA NARODOWA nr 3/2015 oraz: ln y * ln a N 2 α 2 d N 1 1 α N 2 ln s a N 1 µ d 2 (N 1)(1 α 2) 1 α N 2 ln s a m m N 1 µ m d. (9) 2 m m Z równań (8 9) płyną m.in. cztery następuące wnioski. Po pierwsze, długookresowy zasób technicznego uzbroenia pracy i strumień wydaności pracy w krau (regionie), podobnie ak ma to miesce w oryginalnym modelu Solowa, są tym wyższe, im wyższa est stopa inwestyci s oraz im niższa est stopa ubytku kapitału na pracuącego μ w tym krau (regionie). Po drugie, im bardzie centralnie położona est dana gospodarka, czyli im niższa est średnia geometryczna z odległości d m, tym wyższy est poziom zarówno technicznego uzbroenia pracy, ak i wydaności pracy w warunkach długookresowe równowagi grawitacynego modelu wzrostu gospodarczego. Po trzecie, poziomy rozważanych tu zmiennych makroekonomicznych w -tym krau (regionie) są tym wyższe, im wyższa est średnia geometryczna N 1 ze stóp s m m inwestyci w pozostałych kraach (regionach) oraz im niższa est średnia geometryczna N 1 ze stóp ubytku kapitału na pracuącego w tych kraach µ m m (regionach). Po czwarte, na poziom wydaności pracy oraz technicznego uzbroenia pracy w -te gospodarce w warunkach długookresowe równowagi ma wpływ także pozagrawitacyna część łączne produktywności czynników produkci a zarówno w te gospodarce, ak i średnia geometryczna N 1 a m m z pozagrawitacynych części łącznych produktywności czynników produkci w pozostałych kraach (regionach). Co więce, im wyższe est a lub N 1, tym wyższe wartości przymuą y * oraz k *. a m m Złote reguły akumulaci kapitału Idea złotych reguł akumulaci kapitału po raz pierwszy poawiła się w analizach makroekonomicznych w znanym artykule Phelpsa z 1961 r. W artykule tym przez złotą regułę akumulaci kapitału rozumie się taką stopę oszczędności/inwestyci, która maksymalizue wielkość konsumpci na pracuącego w gospodarce znaduące się w stanie długookresowe równowagi modelu wzrostu gospodarczego Solowa. Stopa oszczędności/inwestyci, zgodna ze złotą regułą akumulaci w modelu Solowa z funkcą produkci Cobba-Douglasa

7 Katarzyna Filipowicz, Tomasz Tokarski, Mariusz Troak, Złote reguły akumulaci kapitału [1928], est równa elastyczności strumienia wytworzonego produktu względem nakładów kapitału rzeczowego. Jak uż wspomniano, złotą regułę akumulaci kapitału z modelu Solowa można również uogólnić na neoklasyczne modele wzrostu gospodarczego Mankiwa, Romera, Weila [1992] oraz Nonnemana, Vanhoudta [1996] (por. np. Dykas, Sulima, Tokarski [2008] lub Tokarski [2011]). Wówczas złotą regułą akumulaci kapitału est taka kombinaca stóp inwestyci w kolene zasoby kapitałowe, która odpowiada kombinaci elastyczności produkci względem owych nakładów kapitałowych 7. W prezentowanych dale analizach teoretycznych złotą regułę akumulaci kapitału w grawitacynym modelu wzrostu gospodarczego definiowana est na dwa sposoby. W pierwszym wariancie przez złotą regułę akumulaci będzie się rozumieć taką kombinacę stóp inwestyci w kolenych kraach (regionach), która maksymalizue średnią geometryczną z konsumpci na pracuącego w długookresowe równowadze modelu we wszystkich kraach (regionach). Natomiast w drugim wariancie reguła ta definiowana est ako taka kombinaca stóp inwestyci, która maksymalizue długookresową konsumpcę na pracuącego w każdym z rozważanych kraów (regionów). Wariant pierwszy maksymalizaca średnie geometryczne z konsumpci na pracuącego W punkcie staconarnym k * (przy! k 1! k 2! k N 0) zachodzą związki: (1 α )ln k * 1 N 1 ln k * 2 N 1 ln k * ln sθ 1 1 N µ 1 N 1 ln k * (1 α )ln k * 1 2 N 1 ln k * ln s θ 2 2 N µ 2! N 1 ln k * 1 N 1 ln k * (1 α )ln k * 2 N ln s θ N N co (po zsumowaniu powyższych równań) dae: µ N, * (1 α 2) ln k ln s θ, µ 7 Oznacza to, iż w dwukapitałowym modelu wzrostu Mankiwa-Romera-Weila złotą regułą akumulaci kapitału est kombinaca stóp inwestyci w zasoby kapitału rzeczowego i ludzkiego, która odpowiada kombinaci elastyczności produkci względem owych zasobów kapitałowych produkcie. Natomiast w N-kapitałowym modelu wzrostu Nonnemana-Vanhoudta złotą regułą akumulaci kapitału est kombinaca stóp inwestyci w N zasobów kapitałowych równa kombinaci elastyczności strumienia produktu względem tych nakładów.

8 34 GOSPODARKA NARODOWA nr 3/2015 a stąd: ln s θ * µ ln k 1 α 2. (10) Z zależności (6) wynika, iż: ln y (t) lnθ N 1 więc, w szczególności, w punkcie staconarnym k * : m ln k m (t) (α )ln k (t), ln y * lnθ * ln k N 1 m (α )ln k *, m czyli: * * ln y lnθ (α 2) ln k. (11) Z równań (10) i (11) wynika zaś, że: co powodue, iż: * ln y lnθ α 2 ln s θ, 1 α 2 * 1 ln y lnθ 1 α 2 α 2 ln s. (12) 1 α 2 Niech s (s 1,s 2,,s N ) oznacza dowolną kombinacę stóp inwestyci należącą do zbioru (0;1) N, zaś c * (c * 1,c * 2,,c * N ) (0; ) N kombinacę konsumpci na pracuącego w punkcie staconarnym k *. Wiadomo ponadto, że w długookresowe równowadze konsumpcę na pracuącego w -tym krau (regionie) opisue równanie: c * (1 s )y *. (13) µ µ Oznaczmy też przez c( s) średnią geometryczną z konsumpci na pracuącego (w długookresowe równowadze grawitacynego modelu wzrostu gospodarczego) odpowiadaącą kombinaci stóp inwestyci s. Wówczas, po uwzględnieniu związków (13), mamy: c(s) c * (s) (1 s ) N N y * (s). (14)

9 Katarzyna Filipowicz, Tomasz Tokarski, Mariusz Troak, Złote reguły akumulaci kapitału Średnią geometryczną c(s) można traktować ako swego rodzau (osadzoną w przestrzeni geograficzne) funkcę użyteczności, w które elastyczność użyteczności względem konsumpci na pracuącego w każdym z kraów (regionów) równa est 1/N. Jak uż wspomniano, w analizowanym tu wariancie przez złotą regułę akumulaci kapitału będzie rozumiana taka kombinaca stóp inwestyci ŝ (ŝ 1,ŝ 2,,ŝ N ) (0;1) N, która maksymalizue średnią geometryczną z konsumpci na pracuącego we wszystkich gospodarkach. Średnia ta dana est wzorem (14). Maksymalizaca funkci (14) względem kombinaci s (0;1) N tożsama est z maksymalizacą funkci: * ϕ(s) N ln c(s) ln(1 s ) ln y (s), (15) względem s (0;1) N. Funkcę (15), po uwzględnieniu równania (12), można zapisać następuąco: ϕ(s) ln(1 s ) α 2 1 ln s 1 α 2 lnθ 1 α 2 α 2 1 α 2 ln(1 s ) α 2 1 ln s 1 α 2 lnθ 1 α 2 α 2 ln µ 1 α 2. (16) Warunki konieczne maksymalizaci funkci (16) przedstawiaą się następuąco: ϕ 1 α 2 0, (17) s 1 s (1 α 2)s zaś warunek dostateczny sprowadza się do tego, by hesan: ln H(s) 2 2 ϕ / s 1 2 ϕ / s 1 s 2 2 ϕ / s 1 s N 2 ϕ / s 2 s ϕ / s 2 2 ϕ / s 2 s N!! "! 2 ϕ / s N s 1 2 ϕ / s N s ϕ / s N był uemnie określony przynamnie w punkcie, w którym zachodzą równania (17). Hesan H (s) można zapisać wzorem: Ω Ω H(s) 2 0!! "! 0 0 Ω N,

10 36 GOSPODARKA NARODOWA nr 3/2015 gdzie: Ω 1 (1 s ) α 2 > 0. Dlatego też kolene minory główne α 2)s (m 1, m 2,, m N ) hesanu H (s) określaą wzory: m ( 1) Ω 1 Ω 2 Ω, czyli minory główne m hesanu H (s) są uemne dla nieparzystych oraz dodatnie dla parzystych. Płynie stąd wniosek, że hesan H (s) ten est uemnie określony dla dowolnego s (0;1) N, więc (w szczególności) est także uemnie określony w punkcie ŝ (0;1) N. Punkt ten est zaś rozwiązaniem układu równań złożonego z równań (17). A zatem: co prowadzi do wniosku, iż: 1 α 2, 1 s (1 α 2)s ŝ α 2. (18) Równania (18) wyznaczaą pierwszy wariant złotych reguł akumulaci kapitału w rozważanym tu modelu wzrostu gospodarczego. Z równań tych można wyciągnąć kilka następuących wniosków. Po pierwsze, złote stopy inwestyci ŝ zależne są od elastyczności produktu względem nakładów kapitału, czyli α, oraz od siły działania efektu grawitacynego, a więc od. Po drugie, im wyższe są wartości α lub, tym wyższa est optymalna stopa inwestyci ŝ w -te gospodarce. Po trzecie, eśli gasną efekty grawitacyne, czyli 0, to złota stopa inwestyci ŝ est zbieżna do złote reguły Phelpsa. Po czwarte, przy ekstremalnie silnym działaniu efektów grawitacynych, a więc przy 1 α 2, stopy inwestyci ŝ zbieżne są do 1 -. Wariant drugi maksymalizaca konsumpci na pracuącego w każde z gospodarek W tym wariancie przez złotą regułę akumulaci kapitału w analizowanym grawitacynym modelu wzrostu gospodarczego będzie rozumiana taka kombinaca stóp inwestyci s (0;1) N, która maksymalizue długookresową konsumpcę na pracuącego w każde z gospodarek. Szukaąc te złote reguły w -tym krau (regionie) przymie się także, że stopy inwestyci w pozostałych kraach (regionach) ukształtowały się na pewnych stałych poziomach (a zatem stopy te traktue się wówczas ako zmienne egzogeniczne). Wynika stąd, iż szukaąc złote reguły w -tym regionie należy zmaksymalizować funkcę: c * (s ) (1 s )y * (s ) względem s (0;1).

11 Katarzyna Filipowicz, Tomasz Tokarski, Mariusz Troak, Złote reguły akumulaci kapitału Maksymalizaca ta tożsama est z maksymalizacą funkci: ϕ (s ) ln c * (s ) ln(1 s ) ln y * (s ), względem s (0;1). To zaś, wraz z równaniem (9), dae: ϕ (s ) ln(1 s ) ln a N 2 α 2 d N 1 1 α N 2 ln s a N 1 µ d 2 lub: (N 1)(1 α 2) 1 α N 2 N 1 ϕ (s ) ln(1 s ) α N 2 N 1 m 1 α N 2 N 1 ln s m a m µ m d m 2 ln s a α 2 d gdzie dla kolenych 8 : N 2 N 1 1 α N 2 N 1 a (N 1)(1 α 2) 1 α N 2 ln s N 1 Θ, (19) Θ ln a N 2 α 2 d N 1 1 α N 2 ln a N 1 µ d 2 (N 1)(1 α 2) 1 α N 2 N 1 ln µ d 2 (N 1)(1 α 2) 1 α N 2 ln N 1 a µ d 2 (N 1)(1 α 2) 1 α N 2 ln s a m m N 1 µ m d. 2 m m 8 Wyrażenia Θ są niezależne od s, zatem nie wpływaą również na maksimum funkci (19 20).

12 38 GOSPODARKA NARODOWA nr 3/2015 Równanie (19) można zapisać także następuąco: lub: (N 1) α N 2 N 1 (1 α 2) ϕ (s ) ln(1 s ) (N 1)(1 α 2) 1 α N 2 ln s N 1 Θ, ϕ (s ) ln(1 s ) λ N ln s Θ, (20) gdzie: (N 1) α N 2 N 1 1 α 2 λ N (N 1) 1 α N 2 > 0. (21) N 1 Warunki (konieczny i dostateczny) maksymalizaci funkci (20) względem s (0;1), dla kolenych, przedstawiaą się następuąco: i: dϕ ds 0 (22) Z równania (20) wynika zaś, że: d 2 ϕ ds 2 < 0. (23) oraz: dϕ ds 1 1 s λ N s (24) d 2 ϕ ds 2 1 (1 s ) 2 λ N s 2 < 0. (25) Ze związku (25) można wyciągnąć wniosek, iż dla dowolnego s (0;1) spełniony est warunek dostateczny (23) maksymalizaci funkci (20). Wstawiaąc zaś zależność (24) do związku (22) sprowadza się warunek konieczny maksymalizaci analizowane funkci do równania: λ N s 1 1 s,

13 Katarzyna Filipowicz, Tomasz Tokarski, Mariusz Troak, Złote reguły akumulaci kapitału co powodue, że:!s λ N 1 λ N, (26) gdzie!s oznacza stopę inwestyci w -tym krau (regionie) odpowiadaącą złote regule akumulaci kapitału. Z zależności (21) i (26) można wyciągnąć następuące wnioski: Złota stopa inwestyci!s w -tym krau (regionie) zależna est od trzech następuących czynników. Elastyczności produktu względem nakładów kapitałowych (α), siły działania efektu grawitacynego () oraz liczby kraów (regionów), w których działa efekt grawitacyny (czyli N). Ponieważ: d!s 1 dλ N (1 λ N ) > 0, 2 zatem monotoniczność!s względem α, i N est taka sama, ak monotoniczność λ N względem owych zmiennych. Jeśli siła działania efektu grawitacynego spada do 0, czyli 0, to λ N α 1 α, co powodue, że stopa inwestyci!s est wówczas zbieżna do α, czyli dąży do złote reguły akumulaci kapitału Phelpsa. Przy ekstremalnie silnym działaniu efektu grawitacynego, a więc przy 1 α 2, λ N, skąd wynika, że wówczas!s 1. Ponieważ: ln λ N ln (N 1) α N 2 N 1 N 2 1 α 2 ln(n 1) ln 1 α N 1, więc: ln λ N 1 α N 2 (1 α 2) 2 N 2 (N 1) α N 2 N 1 (N 1) 1 α N 2 1 α 2 N 1 > 0, co powodue, że także λ N / > 0. Oznacza to, że im silnie działaą efekty grawitacyne, tym wyższa powinna być stopa inwestyci!s odpowiadaąca temu wariantowi złote reguły akumulaci kapitału w analizowanym modelu wzrostu gospodarczego.

14 40 GOSPODARKA NARODOWA nr 3/2015 Podobnie, stąd, że: ln λ N α N 1 (1 α 2) 2 (N 1) α N 2 N 1 (1 α 2) 1 1 α N 2 > 0, N 1 można wyciągnąć wniosek, iż λ N / α > 0, a zatem (podobnie ak w pracy Phelpsa [1961]) wysokie elastyczności produkci względem nakładów kapitału odpowiada wysoka stopa inwestyci maksymalizuąca długookresową konsumpcę na pracuącego w -tym krau (regionie). Stąd zaś, że dla dowolnego N>2, zachodzi: N α N 1 N (N 1) α N 2 1 α 2 N 1 1 α 2 λ N1 λ N N 1 α N 1 N (N 1) 1 α N 2, N 1 co prowadzi do równości: α N 1 N 1 α N 2 N 1 α N 2 N 1 N 1 1 α N λ N1 λ N 1 α N 1 N 1 α N 2 N 1 (N 1) 1 α N 2 N 1 N 1 N 1 α N N(N 1) 1 α N 1 N 1 α N 2, N 1 (1 α 2) którą można zapisać również następuąco: λ N1 λ N N(N 1) 1 α N 1 N 1 α N 2 N 1 (1 α ) N(N 1) 1 α N 1 N 1 α N 2 N 1 (1 α )

15 Katarzyna Filipowicz, Tomasz Tokarski, Mariusz Troak, Złote reguły akumulaci kapitału a zatem: λ N1 λ N 2 N(N 1) 1 α N 1 N 1 α N 2 < 0, N 1 (1 α 2) wynika, że dla każdego N>2 spełniona est nierówność: λ N1 < λ N. Płynie stąd wniosek, iż im więce gospodarek kraowych (regionalnych) korzysta z działania efektu grawitacynego, tym niższa est stopa inwestyci!s gwarantuąca -te gospodarce maksymalną konsumpcę na pracuącego w długim okresie. Licząc zaś granicę (przy N ) z λ N mamy: α N 2 N 1 lim λ N N lim N co wraz ze związkiem (26) dae: (N 1)(1 α 2) 1 α N 2 N 1 α 1 α, lim!s N α. (27) Z równania (27) wynika, że przy bardzo duże liczbie gospodarek korzystaących w efektu grawitacynego optymalna stopa inwestyci w każdym z kraów (regionów), czyli!s, wyższa est od phelpsowskie złote stopy inwestyci (równe α) oraz niższa od optymalne stopy inwestyci w wariancie pierwszym (wynoszące α2). Porównanie stanów długookresowe równowagi gospodarki przy różnych złotych regułach akumulaci kapitału Niech p (dla kolenych ) oznacza iloraz długookresowe wydaności pracy w pierwszym i drugim wariancie złotych reguł akumulaci kapitału w rozważanym modelu wzrostu gospodarczego. Zatem wówczas: p ŷ *!y, * gdzie ŷ * (!y * ) oznacza długookresową wydaność pracy odpowiadaącą kombinaci stóp inwestyci ŝ (!s). Oznaczmy też przez: p ŷ!y iloraz średnie geometryczne z wydaności pracy w wariancie pierwszym i drugim złotych reguł akumulaci kapitału. Analogicznie zdefiniumy także

16 42 GOSPODARKA NARODOWA nr 3/2015 przez q ĉ *!c * oraz q ĉ!c ilorazy długookresowych wielkości konsumpci na pracuącego w kolenych gospodarkach w pierwszym i drugim wariancie analizowanych reguł i ilorazy ich średnich geometrycznych. Wówczas: ln p ln ŷ * ln!y *, (28) ln p ln ŷ ln!y, (29) ln q ln ĉ * ln!c * (30) oraz: ln q ln ĉ ln!c. (31) Ze związków (9) i (28) można wyciągnąć wniosek, że: ln p α N 2 N 1 1 α N 2 N 1 co (po kilku przekształceniach) dae: N (N 1)(1 α 2) 1 α N 2 (ln ŝ N 1 ln!s ), ln p α 2 1 α 2 (ln ŝ ln!s ). (32) Z równań (32) wynika, że ilorazy p zależne są od trzech czynników. Elastyczności produkci względem nakładów kapitału α, siły działania efektu grawitacynego oraz liczby kraów (regionów) korzystaących z działania efektu grawitacynego N (należy bowiem pamiętać o tym, że stopy inwestyci ŝ i!s są również funkcami α, oraz N). Ponieważ zróżniczkowanie równania (32) względem α i, po uwzględnieniu równań ŝ oraz!s, est mocno skompli kowane, zatem autorzy zdecydowali się na policzenie ilorazów p na podstawie (przedstawione w pracy Mroczek, Tokarski [2014]) kalibraci parametrów α i dla 28 kraów UE za lata Zgodnie z tą kali bracą α0,293, 0,0868, co powodue, iż ŝ 0,4666 oraz!s 0, i wówczas 9 Złote stopy inwestyci równe (odpowiednio) ŝ 46,7% i!s 38,0%, wynikaące z prezentowanych tu złotych reguł akumulaci kapitału w grawitacynym modelu wzrostu gospodarczego i cytowanych kalibraci, mogą wydawać się znacząco przeszacowane, gdyż w kraach UE stopy te w latach kształtowały się między 16,2% (w Wielkie Brytanii) a 28,6% (w Estonii za Mroczek, Tokarski [2014]). Należy ednak pamiętać, iż dążenie do uzyskania złotych reguł akumulaci kapitału wiąże się z radykalnym ograniczeniem bieżące konsumpci np. z 83,8% produktu w Wielkie Brytanii lub z 71,4% produktu w Estonii do 53,3% produktu (zarówno w Wielkie Brytanii, ak i w Estonii w wariancie pierwszym) lub do 62,0% produktu (w obu tych

17 Katarzyna Filipowicz, Tomasz Tokarski, Mariusz Troak, Złote reguły akumulaci kapitału ln p 0,179, a zatem: p 1,196. Płynie stąd wniosek, że eśli α0,293, 0,0868 i N28, to w pierwszym badanym wcześnie wariancie złotych reguł akumulaci każda z gospodarek powinna osiągnąć o prawie 20% wyższą długookresową wydaność pracy, niż w wariancie drugim. Co więce, stąd, że dla każdego ilorazy p są sobie równe oraz ze związków (28 29) płynie wniosek, iż dla dowolnych p p. A zatem przy α0,293, 0,0868 i N28 również średnia geometryczna z długookresowe wydaności pracy powinna być o prawie 20% wyższa w pierwszym wariancie złotych reguł akumulaci kapitału, niż w wariancie drugim. Ponieważ: ln ĉ * ln(1 ŝ ) ln ŷ * oraz ln!c * ln(1!s ) ln ŷ *, więc stąd oraz z równań (30) i (32) mamy: ln q ln 1 ŝ ln ŷ * 1!s ln!y * ln 1 ŝ ln p i 1!s. (33) i Równania (33) interpretue się ekonomicznie analogicznie do związków (32). Dlatego też, z równań tych wynika, że eśli α0,293, 0,0868 i N28, to dla każdego ln q 0,0289, co powodue, że q 1,029. A zatem w pierwszym wariancie złotych reguł akumulaci kapitału długookresowa konsumpca na pracuącego w każde z gospodarek powinna być o ok. 2,9% wyższa, niż w wariancie drugim. Wówczas również, przy q 1 q 2 q N, ze związku (31) wynika, że dla dowolnego q q. Odnosząc zaś złote reguły w wariancie pierwszym lub drugim w grawitacynym modelu wzrostu gospodarczego do oryginalnych złotych reguł akumulaci Phelpsa (przy α0,293) okazue się, że w wariancie pierwszym długookresowa wydaność pracy byłaby o ok. 50,2% wyższa, niż przy złotych regułach Phelpsa, natomiast długookresowa konsumpca na pracuącego o ok. 13,3% wyższa. Jeśli zaś chodzi o porównanie długookresowych wielkości wydaności pracy i konsumpci na pracuącego wielkości te byłyby w wariancie drugim o (odpowiednio) ok. 25,6% oraz 10,1% wyższe niż w oryginalnych złotych regułach Phelpsa. gospodarkach w wariancie drugim). To zaś wymaga wyrzeczeń konsumpci bieżącego pokolenia, na rzecz konsumpci przyszłych pokoleń. Odchylenia bieżących stóp inwestyci od złotoregułowych stóp inwestyci można zaś stosunkowo prosto wytłumaczyć teoretycznie na gruncie modeli optymalnego sterowania (por. np. Tokarski [2009; 2011] lub Konopczyński [2015]), gdzie uwzględnienie subiektywne stopy dyskonta konsumpci przyszłe (w stosunku do konsumpci bieżące) typowych podmiotów w gospodarce prowadzi do kształtowania się rzeczywistych stóp inwestyci poniże złotych reguł akumulaci kapitału Phelpsa.

18 44 GOSPODARKA NARODOWA nr 3/2015 Co więce, eśli zaś (przy powyższych założeniach) porówna się wydaność pracy i konsumpcę na pracuącego w długookresowe równowadze grawitacynego modelu wzrostu w pierwszym i drugim wariancie złotych reguł akumulaci kapitału z wartościami tych zmiennych przy nieważone średnie stóp inwestyci w kraach UE w latach (wynoszące 21,6%), to okazue się, że w pierwszym wariancie długookresowa wydaność pracy w pierwszym wariancie powinna być o 96,2% wyższa niż przy 21,6% stopie inwestyci, w drugim zaś wariancie o 64,0% wyższa. Natomiast długookresowa konsumpca na pracuącego winna być w wariancie pierwszym o 33,5% wyższa niż przy s 21,6%, zaś w drugim wariancie o 29,7% wyższa niż przy średnich stopach inwestyci w kraach UE w latach Podsumowanie Prowadzone w artykule rozważania można podsumować następuąco: I. Zaprezentowany w artykule grawitacyny model wzrostu gospodarczego bazue na modelu wzrostu Solowa. W modelu tym przymue się również założenie, że na zróżnicowanie łączne produktywności czynników produkci (a tym samym także na zróżnicowanie wydaności pracy) w kraach (regionach) wypływaą występuące między nimi interakce przestrzenne. Interakce te opisane są przez efekty grawitacyne. Sposób kwantyfikaci siły działania efektów grawitacynych w tym modelu wzrostu gospodarczego nawiązue do newtonowskiego prawa powszechne grawitaci. Zakłada się zatem, że gospodarki oddziałuą na siebie z określoną siłą, która est wprost proporconalna do iloczynu ich potencałów gospodarczych oraz odwrotnie proporconalna do kwadratu odległości między nimi. II. Opisany model teoretyczny posiada nietrywialny, asymptotycznie stabilny punkt staconarny, który na gruncie ekonomicznym traktowany est ako punkt długookresowe równowagi modelu. W warunkach długookresowe równowagi analizowanego modelu wzrostu techniczne uzbroenie pracy oraz wydaność pracy w danym krau (regionie) zależą od stopy inwestyci, stopy ubytku kapitału na pracuącego, pozagrawitacyne części łączne produktywności czynników produkci w tym krau (regionie), od średnie odległości te gospodarki od pozostałych gospodarek, a także od stóp inwestyci, stóp ubytku technicznego uzbroenia pracy oraz pozagrawitacynych części łączne produkcyności czynników produkci w pozostałych kraach (regionach). III. W teorii ekonomii przez złotą regułę akumulaci Phelpsa rozumie się taką stopę oszczędności/inwestyci, która maksymalizue wielkość konsumpci na pracuącego w gospodarce znaduące się w stanie długookresowe równowagi typu Solowa. Stopa oszczędności/inwestyci, zgodna ze złotą regułą akumulaci w modelu Solowa z funkcą produkci Cobba-Douglasa, est równa elastyczności strumienia produktu względem zasobu kapitału. Złotą regułę akumulaci kapitału z modelu Solowa można również

19 Katarzyna Filipowicz, Tomasz Tokarski, Mariusz Troak, Złote reguły akumulaci kapitału uogólnić na neoklasyczne modele wzrostu gospodarczego Mankiwa, Romera, Weila oraz Nonnemana, Vanhoudta. IV. W grawitacynym modelu wzrostu gospodarczego złota reguła akumulaci kapitału definiowana est przez autorów na dwa sposoby. Regułę tę definiue się albo ako taką kombinacę stóp inwestyci w gospodarkach obętych działaniem efektu grawitacynego, która maksymalizue średnią geometryczną z konsumpci na pracuącego (w długookresowe równowadze) we wszystkich gospodarkach, albo ako taką kombinacę owych stóp, która maksymalizue długookresową konsumpcę na pracuącego w każde gospodarek. V. W pierwszym wariancie złotą regułą akumulaci kapitału są stopy inwestyci równe (w każde z gospodarek) elastyczności produktu względem nakładów kapitałowych powiększone o dwukrotność siły działania efektu grawitacynego. VI. Natomiast w drugim wariancie optymalne stopy inwestyci zależne są (podobnie ak w pierwszym wariancie) od elastyczności produkci względem kapitału, siły działania efektu grawitacynego oraz (co nie występue w pierwszym wariancie) liczby gospodarek podlegaących działaniu efektu grawitacynego. Co więce, w wariancie tym wzrost elastyczności produkci względem kapitału i/lub siły działania efektów grawitacynych prowadzi do wzrostu optymalnych stóp inwestyci. Jeśli zaś liczba kraów (regionów), na które oddziałue efekt grawitacyny rośnie, to spadaą stopy inwestyci, które maksymalizuą długookresową konsumpcę na pracuącego w każde z gospodarek. VII. W obu rozważanych w artykule wariantach gasnące (do zera) efekty grawitacyne powoduą zbieżność uzyskanych złotych reguł akumulaci z oryginalnymi złotymi regułami Phelpsa. Oznacza to, iż wyznaczone przez autorów złote reguły akumulaci kapitału stanowią uogólnienie złotych reguł akumulaci kapitału Phelpsa na grawitacyny model wzrostu gospodarczego. Bibliografia Cobb C. W., Douglas P. H. [1928], A Theory of Production, American Economic Review, no. 18. Dykas P., Sulima A., Tokarski T. [2008], Złote reguły akumulaci kapitału w N-kapitałowym modelu wzrostu gospodarczego, Gospodarka Narodowa, nr Konopczyński M. [2015], Optymalna polityka fiskalna w gospodarce otwarte w świetle teorii endogenicznego wzrostu gospodarczego, Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego w Poznaniu, Poznań (w druku). Linnemann H. [1963], An Econometric Study of International Trade Flows, North-Holland Publishing Company, Amsterdam. Lucas R. E. [1988], On the Mechanics of Economics Development, Journal of Monetary Economics, July.

20 46 GOSPODARKA NARODOWA nr 3/2015 Malaga K., Kliber P. [2007], Konwergenca i nierówności regionalne w Polsce w świetle neoklasycznych modeli wzrostu gospodarczego, Wydawnictwo Akademii Ekonomiczne w Poznaniu, Poznań. Mankiw N. G., Romer D., Weil D. N. [1992], A Contribution to the Empirics of Economic Growth, Quarterly Journal of Economics, May. Mroczek K., Nowosad A., Tokarski T. [2015], Efekt grawitacyny a zróżnicowanie wydaności pracy w kraach bałkańskich, Gospodarka Narodowa, nr 2. Mroczek K., Tokarski T. [2014], Efekt grawitacyny a zróżnicowanie wydaności pracy w kraach UE, referat na IV Ogólnopolską Konferencę im. prof. Z. Czerwińskiego, pt. Matematyka i informatyka na usługach ekonomii, WIGE UEP, Poznań, Mroczek K., Tokarski T., Troak M. [2014], Grawitacyny model zróżnicowania rozwou ekonomicznego woewództw, Gospodarka Narodowa, nr 3. Nonneman W., Vanhoudt P. [1996], A Further Augmentation of the Solow Model and the Empirics of Economic Growth for the OECD Countries, Quarterly Journal of Economics, August. Ombach J. [1999], Wykłady z równań różniczkowych wspomagane komputerowo-maple, Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków. Phelps E. S. [1961], The Golden Rule of Accumulation: A Fable for Growthmen, American Economic Review, September. Phelps E. S. [1966], Model of Technical Progress and the Golden Rule of Research, Review of Economic Studies, April. Pulliainen K. [1963], A World Trade Study. An Econometric Model of the Pattern of Commodity Flows in International Trade in , Ekonomiska Samfundet Tidskrift, no. 2. Roszkowska S. [2013], Kapitał ludzki a wzrost gospodarczy w Polsce, Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, Łódź. Solow R. M. [1956], A Contribution to the Theory of Economic Growth, Quarterly Journal of Economics, February. Tinbergen J. [1962], Shaping the World Economy: Suggestions for an International Economic Policy, The Twentieth Century Fund, New York. Tokarski T. [2009], Matematyczne modele wzrostu gospodarczego (uęcie neoklasyczne), Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków. Tokarski T. [2011], Ekonomia matematyczna. Modele makroekonomiczne, Polskie Wydawnictwo Ekonomiczne, Warszawa. Żółtowska E. [1997], Funkca produkci. Teoria, estymaca, zastosowania, Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, Łódź.

DWUBIEGUNOWY MODEL WZROSTU GOSPODARCZEGO Z PRZEPŁYWAMI INWESTYCYJNYMI

DWUBIEGUNOWY MODEL WZROSTU GOSPODARCZEGO Z PRZEPŁYWAMI INWESTYCYJNYMI Studia Prawno-ekonomiczne, t. XCVI, 05 PL ISSN 008-684 s. 97 Katarzyna FILIPOWICZ Tomasz TOKARSKI DWUBIEGUNOWY MODEL WZROSTU GOSPODARCZEGO Z PRZEPŁYWAMI INWESTYCYJNYMI (Streszczenie) Celem opracowania

Bardziej szczegółowo

NEOKLASYCZNY MODEL WZROSTU GOSPODARCZEGO Z SINUSOIDALNYMI INWESTYCJAMI 3

NEOKLASYCZNY MODEL WZROSTU GOSPODARCZEGO Z SINUSOIDALNYMI INWESTYCJAMI 3 PRZEGLĄD STATYSTYCZNY R. LXIII ZESZYT 1 2016 PAWEŁ DYKAS 1, TOMASZ MISIAK 2 NEOKLASYCZNY MODEL WZROSTU GOSPODARCZEGO Z SINUSOIDALNYMI INWESTYCJAMI 3 1. WPROWADZENIE Celem prezentowanego artykułu jest próba

Bardziej szczegółowo

ISBN (wersja drukowana) ISBN (ebook)

ISBN (wersja drukowana) ISBN (ebook) Sylwia Roszkowska Katedra Makroekonomii, Instytut Ekonomii Wydział Ekonomiczno-Socjologiczny, Uniwersytet Łódzki 90-214 Łódź, ul. Rewolucji 1905 r., nr 41/43 RECENZENT Marek Bednarski PROJEKT OKŁADKI Barbara

Bardziej szczegółowo

MAKROEKONOMIA 2. Wykład 11. Poza modelem Solowa. dr Dagmara Mycielska dr hab. Joanna Siwińska - Gorzelak

MAKROEKONOMIA 2. Wykład 11. Poza modelem Solowa. dr Dagmara Mycielska dr hab. Joanna Siwińska - Gorzelak MAKROEKONOMIA 2 Wykład 11. Poza modelem Solowa dr Dagmara Mycielska dr hab. Joanna Siwińska - Gorzelak 2 Plan wykładu Rozszerzenia NEOKLASYCZNEGO modelu Solowa (oparte na neoklasycznej funkcji produkcji)

Bardziej szczegółowo

MAKROEKONOMIA 2. Wykład 10. Złota reguła. Model Solowa - wersja pełna. dr Dagmara Mycielska dr hab. Joanna Siwińska - Gorzelak

MAKROEKONOMIA 2. Wykład 10. Złota reguła. Model Solowa - wersja pełna. dr Dagmara Mycielska dr hab. Joanna Siwińska - Gorzelak MAKROEKONOMIA 2 Wykład 10. Złota reguła. Model Solowa - wersja pełna dr Dagmara Mycielska dr hab. Joanna Siwińska - Gorzelak 2 Plan wykładu Złota reguła problem maksymalizacji konsumpcji per capita. Model

Bardziej szczegółowo

Wstęp. Funkcja produkcji i dekompozycja wzrostu

Wstęp. Funkcja produkcji i dekompozycja wzrostu Makroekonomia II Wstęp. Funkcja produkcji i dekompozycja wzrostu Makroekonomia II Joanna Siwińska-Gorzelak Plan wykładu Wstęp zasady zaliczenia, itp. Krótki i długi okres - powtórzenie Wzrost gospodarczy

Bardziej szczegółowo

Wstęp do równań różniczkowych

Wstęp do równań różniczkowych Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Dlaczego wzrost gospodarczy? Model wzrostu Harroda-Domara.

Plan wykładu. Dlaczego wzrost gospodarczy? Model wzrostu Harroda-Domara. Plan wykładu Dlaczego wzrost gospodarczy? Model wzrostu Harroda-Domara. Model wzrostu Solowa. Krytyka podejścia klasycznego wstęp do endogenicznych podstaw wzrostu gospodarczego. Potrzeba analizy wzrostu

Bardziej szczegółowo

Postęp techniczny kolejne typy wynalazków. Dr hab. Joanna Siwińska-Gorzelak

Postęp techniczny kolejne typy wynalazków. Dr hab. Joanna Siwińska-Gorzelak ostęp techniczny kolene typy wynalazków Dr hab. Joanna Siwińska-Gorzelak Wstęp Celem modelu est pokazanie, akie czynniki wpływaą na postęp techniczny Jego autorem est aul Romer; ednym z głównych założeń

Bardziej szczegółowo

Optymalna stopa podatkowa a wzrost gospodarczy. Łukasz Nitecki

Optymalna stopa podatkowa a wzrost gospodarczy. Łukasz Nitecki Optymalna stopa podatkowa a wzrost gospodarczy Łukasz Nitecki Zagregowana funkcja produkcji: Y=AK K=S- K S=I= Y Gdzie: Y PKB A współczynnik stosunku przyrostu PKB do kapitału S oszczędności - współczynnik

Bardziej szczegółowo

Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z 21 grudnia 2014)

Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z 21 grudnia 2014) dr inż. Ryszard Rębowski DEFINICJA CIĄGU LICZBOWEGO Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z grudnia 04) Definicja ciągu liczbowego Spośród

Bardziej szczegółowo

Wstęp do równań różniczkowych

Wstęp do równań różniczkowych Wstęp do równań różniczkowych Wykład 1 Lech Sławik Instytut Matematyki PK Literatura 1. Arnold W.I., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, Warszawa, 1975. 2. Matwiejew N.M., Metody całkowania równań różniczkowych

Bardziej szczegółowo

Stabilność II Metody Lapunowa badania stabilności

Stabilność II Metody Lapunowa badania stabilności Metody Lapunowa badania stabilności Interesuje nas w sposób szczególny system: Wprowadzamy dla niego pojęcia: - stabilności wewnętrznej - odnosi się do zachowania się systemu przy zerowym wejściu, czyli

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA DYNAMICZNYCH LOKAT KAPITAŁOWYCH Krzysztof Gąsior Uniwersytet Rzeszowski Streszczenie Celem referatu jest zaprezentowanie praktycznego zastosowania

Bardziej szczegółowo

(b) Oblicz zmianę zasobu kapitału, jeżeli na początku okresu zasób kapitału wynosi kolejno: 4, 9 oraz 25.

(b) Oblicz zmianę zasobu kapitału, jeżeli na początku okresu zasób kapitału wynosi kolejno: 4, 9 oraz 25. Zadanie 1 W pewnej gospodarce funkcja produkcji może być opisana jako Y = AK 1/2 N 1/2, przy czym A oznacza poziom produktywności, K zasób kapitału, a N liczbę zatrudnionych. Stopa oszczędności s wynosi

Bardziej szczegółowo

Model Dixita Stiglitza: Love of variety

Model Dixita Stiglitza: Love of variety Model Dixita Stiglitza: ove of variety mgr eszek Wincenciak 9 lutego 2005 r. 1 Strona podażowa Zakłada się, że rynek charakteryzue monopolistyczna konkurenca pomiędzy N firmami, które dostarczaą różne

Bardziej szczegółowo

Postęp techniczny próba wyjaśnienia jego ekonomicznych źródeł. Dr hab. Joanna Siwińska-Gorzelak

Postęp techniczny próba wyjaśnienia jego ekonomicznych źródeł. Dr hab. Joanna Siwińska-Gorzelak ostęp techniczny próba wyaśnienia ego ekonomicznych źródeł Dr hab. Joanna Siwińska-Gorzelak Wstęp Celem modelu est analiza, akie czynniki maą wpływ na postęp techniczny Jego autorem est aul Romer; ednym

Bardziej szczegółowo

Podstawowe fakty. Model Solowa przypomnienie

Podstawowe fakty. Model Solowa przypomnienie Podstawowe fakty. Model Solowa przypomnienie Zaawansowana Makroekonomia Dr hab. Joanna Siwińska-Gorzelak Długi i krótki okres w makroekonomii Źródłem większości grafik jest Acemoglu; Introduction do Modern

Bardziej szczegółowo

Poszukiwanie optymalnego wyrównania harmonogramu zatrudnienia metodą analityczną

Poszukiwanie optymalnego wyrównania harmonogramu zatrudnienia metodą analityczną Mieczysław POŁOŃSKI Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska, Szkoła Główna Gospodarstwa Wieskiego, Warszawa, ul. Nowoursynowska 159 e-mail: mieczyslaw_polonski@sggw.pl Poszukiwanie optymalnego wyrównania

Bardziej szczegółowo

Makroekonomia 1 Wykład 12: Naturalna stopa bezrobocia i krzywa AS

Makroekonomia 1 Wykład 12: Naturalna stopa bezrobocia i krzywa AS Makroekonomia 1 Wykład 12: Naturalna stopa bezrobocia i krzywa AS Gabriela Grotkowska Katedra Makroekonomii i Teorii Handlu Zagranicznego NATURALNA STOPA BEZROBOCIA Naturalna stopa bezrobocia Ponieważ

Bardziej szczegółowo

MAKROEKONOMIA 2. Wykład 11. Poza modelem Solowa. dr Dagmara Mycielska dr hab. Joanna Siwińska - Gorzelak

MAKROEKONOMIA 2. Wykład 11. Poza modelem Solowa. dr Dagmara Mycielska dr hab. Joanna Siwińska - Gorzelak MAKROEKONOMIA 2 Wykład 11. Poza modelem Solowa dr Dagmara Mycielska dr hab. Joanna Siwińska - Gorzelak 2 Plan wykładu Rozszerzenia NEOKLASYCZNEGO modelu Solowa (oparte na neoklasycznej funkcji produkcji)

Bardziej szczegółowo

MAKROEKONOMIA 2. Wykład 4-5. Dynamiczny model DAD/DAS, część 3. Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak

MAKROEKONOMIA 2. Wykład 4-5. Dynamiczny model DAD/DAS, część 3. Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak MAKROEKONOMIA 2 Wykład 4-5. Dynamiczny model DAD/DAS, część 3 Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak 2 Plan wykładu Zakłócenia w modelu DAD/DAS: Wzrost produkcji potencjalnej; Zakłócenie podażowe

Bardziej szczegółowo

Sylwia Roszkowska WPŁYW KAPITAŁU LUDZKIEGO NA WZROST W GOSPODARCE POLSKIEJ OSZACOWANIA WIELOCZYNNIKOWEJ FUNKCJI PRODUKCJI

Sylwia Roszkowska WPŁYW KAPITAŁU LUDZKIEGO NA WZROST W GOSPODARCE POLSKIEJ OSZACOWANIA WIELOCZYNNIKOWEJ FUNKCJI PRODUKCJI A C T A U N I V E R S I T A T I S L O D Z I E N S I S FOLIA OECONOMICA 281, 2013 WPŁYW KAPITAŁU LUDZKIEGO NA WZROST W GOSPODARCE POLSKIEJ OSZACOWANIA WIELOCZYNNIKOWEJ FUNKCJI PRODUKCJI WSTĘP Mimo, że pojęcie

Bardziej szczegółowo

WPŁYW EFEKTU GRAWITACYJNEGO NA PRZESTRZENNE ZRÓŻNICOWANIE ROZWOJU EKONOMICZNEGO POWIATÓW POLSKI WSCHODNIEJ

WPŁYW EFEKTU GRAWITACYJNEGO NA PRZESTRZENNE ZRÓŻNICOWANIE ROZWOJU EKONOMICZNEGO POWIATÓW POLSKI WSCHODNIEJ Studia i Materiały. Miscellanea Oeconomicae Rok 19, Nr 4/2015, tom I Wydział Zarządzania i Administracji Uniwersytetu Jana Kochanowskiego w Kielcach Zintegrowane podejście do spójności rola statystyki

Bardziej szczegółowo

dr Bartłomiej Rokicki Katedra Makroekonomii i Teorii Handlu Zagranicznego Wydział Nauk Ekonomicznych UW

dr Bartłomiej Rokicki Katedra Makroekonomii i Teorii Handlu Zagranicznego Wydział Nauk Ekonomicznych UW Katedra Makroekonomii i Teorii Handlu Zagranicznego Wydział Nauk Ekonomicznych UW Międzyokresowy handel i konsumpcja Międzyokresowy handel występuje gdy zasoby mogą być transferowane w czasie, czyli gdy

Bardziej szczegółowo

Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady

Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady Pochodne wyższych rzędów Drugą pochodną funkcji nazywamy pochodną pochodnej tej funkcji. Trzecia pochodna jest pochodną drugiej pochodnej; itd. Ogólnie, -ta

Bardziej szczegółowo

Wzrost gospodarczy definicje

Wzrost gospodarczy definicje Wzrost gospodarczy Wzrost gospodarczy definicje Przez wzrost gospodarczy rozumiemy proces powiększania podstawowych wielkości makroekonomicznych w gospodarce, a w szczególności proces powiększania produkcji

Bardziej szczegółowo

CZĘŚĆ I MODELE I WZROST GOSPODARCZY WE WSPÓŁCZESNYCH PAŃSTWACH

CZĘŚĆ I MODELE I WZROST GOSPODARCZY WE WSPÓŁCZESNYCH PAŃSTWACH CZĘŚĆ I MODELE I WZROST GOSPODARCZY WE WSPÓŁCZESNYCH PAŃSTWACH Paweł awa ROZDZIAŁ 1 ROLA PAŃSTWA W STYMULOWANIU WZROSTU GOSPODARCZEGO W ŚWIETLE NOWYCH MODELI WZROSTU 1. Wstęp Od lat osiemdziesiątych można

Bardziej szczegółowo

ROZDZIAŁ 2 DYNAMIKA MODELU WZROSTU GOSPODARCZEGO Z CZYNNIKIEM MIGRACJI LUDNOŚCI

ROZDZIAŁ 2 DYNAMIKA MODELU WZROSTU GOSPODARCZEGO Z CZYNNIKIEM MIGRACJI LUDNOŚCI Robert ruszewski ROZDZIAŁ 2 DYNAMIA MODELU WZROSTU GOSPODARCZEGO Z CZYNNIIEM MIGRACJI LUDNOŚCI 1. Wstęp Wzrost gospodarczy jest zjawiskiem ważnym i bardzo złożonym. Od wielu lat skupia na sobie uwagę ekonomistów

Bardziej szczegółowo

MAKROEKONOMIA 2. Wykład 4-5. Dynamiczny model DAD/DAS, część 3. Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak

MAKROEKONOMIA 2. Wykład 4-5. Dynamiczny model DAD/DAS, część 3. Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak MAKROEKONOMIA 2 Wykład 4-5. Dynamiczny model DAD/DAS, część 3 Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak 2 Plan wykładu Zakłócenia w modelu DAD/DAS: Wzrost produkcji potencjalnej; Zakłócenie podażowe

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia 5, Makroekonomia II, Rozwiązania

Ćwiczenia 5, Makroekonomia II, Rozwiązania Ćwiczenia 5, Makroekonomia II, Rozwiązania Zadanie 1 Załóżmy, że w gospodarce ilość pieniądza rośnie w tempie 5% rocznie, a realne PKB powiększa się w tempie 2,5% rocznie. Ile wyniesie stopa inflacji w

Bardziej szczegółowo

ROZDZIAŁ 8 POLITYKA FISKALNA A OPTYMALNE STOPY OSZCZĘDNOŚCI W MODELU WZROSTU GOSPODARCZEGO Z CZYNNIKIEM MIGRACJI LUDNOŚCI

ROZDZIAŁ 8 POLITYKA FISKALNA A OPTYMALNE STOPY OSZCZĘDNOŚCI W MODELU WZROSTU GOSPODARCZEGO Z CZYNNIKIEM MIGRACJI LUDNOŚCI Robert ruszewski ROZDZIAŁ 8 OLITYA FISALNA A OTYMALNE STOY OSZCZĘDNOŚCI W MODELU WZROSTU GOSODARCZEGO Z CZYNNIIEM MIGRACJI LUDNOŚCI Wprowadzenie W pracy skonstruuję model wzrostu gospodarczego z kapitałem

Bardziej szczegółowo

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.

VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w

Bardziej szczegółowo

MAKROEKONOMIA 2. Wykład 9. Dlaczego jedne kraje są bogate, a inne biedne? Model Solowa, wersja prosta. Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak

MAKROEKONOMIA 2. Wykład 9. Dlaczego jedne kraje są bogate, a inne biedne? Model Solowa, wersja prosta. Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak MAKROEKONOMIA 2 Wykład 9. Dlaczego jedne kraje są bogate, a inne biedne? Model Solowa, wersja prosta Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak 2 Plan wykładu Funkcja produkcji - własności. Model Solowa

Bardziej szczegółowo

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,

Bardziej szczegółowo

OCENA PRZYDATNOŚCI MODELU EKONOMETRYCZNEGO DO BADANIA ZMIAN DYNAMIKI GOSPODARKI WOJEWÓDZTWA ŚLĄSKIEGO

OCENA PRZYDATNOŚCI MODELU EKONOMETRYCZNEGO DO BADANIA ZMIAN DYNAMIKI GOSPODARKI WOJEWÓDZTWA ŚLĄSKIEGO Studia Ekonomiczne. Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego w Katowicach ISSN 2083-8611 Nr 220 2015 Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach Wydział Zarządzania Katedra Ekonometrii ozef.biolik@ue.katowice.pl

Bardziej szczegółowo

Makroekonomia Gospodarki Otwartej Wykład 7 Równowaga na rynku walutowym podejście elastycznościowe, warunek Marshalla-Lernera

Makroekonomia Gospodarki Otwartej Wykład 7 Równowaga na rynku walutowym podejście elastycznościowe, warunek Marshalla-Lernera Makroekonomia Gospodarki Otwartej Wykład 7 Równowaga na rynku walutowym podejście elastycznościowe, warunek Marshalla-Lernera Leszek Wincenciak Wydział Nauk Ekonomicznych UW 2/27 Plan wykładu: Warunek

Bardziej szczegółowo

MAKROEKONOMIA 2. Wykład 2. Dynamiczny model DAD/DAS. Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak

MAKROEKONOMIA 2. Wykład 2. Dynamiczny model DAD/DAS. Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak MAKROEKONOMIA 2 Wykład 2. Dynamiczny model DAD/DAS Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak Plan wykładu Uwzględnienie dynamiki w modelu AD/AS. Modelowanie wpływu zakłóceń lub zmian polityki gospodarczej

Bardziej szczegółowo

5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne.

5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne. 5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne. 78. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log 6 2+log 36 9 a) 4 2+log 27 = (2 2 ) log 27 4 = 28 2 = 784 29 listopada 2008

Bardziej szczegółowo

(Dantzig G. B. (1963))

(Dantzig G. B. (1963)) (Dantzig G.. (1963)) Uniwersalna metoda numeryczna dla rozwiązywania zadań PL. Ideą metody est uporządkowany przegląd skończone ilości rozwiązań bazowych układu ograniczeń, które możemy utożsamiać, w przypadku

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji odwrotnej

Pochodna funkcji odwrotnej Pochodna funkcji odwrotnej Niech będzie dana w przedziale funkcja różniczkowalna i różnowartościowa. Wiadomo, że istnieje wówczas funkcja odwrotna (którą oznaczymy tu : ), ciągła w przedziale (lub zależnie

Bardziej szczegółowo

Władysław Milo, Maciej Malaczewski Uniwersytet Łódzki. Stabilność punktu równowagi modelu Solowa

Władysław Milo, Maciej Malaczewski Uniwersytet Łódzki. Stabilność punktu równowagi modelu Solowa DYNAMICZNE MODEE EKONOMETRYCZNE IX Ogólnopolskie Seminarium Naukowe 6 8 września 2005 w Toruniu Katedra Ekonometrii i Statystyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Władysław Milo Maciej Malaczewski

Bardziej szczegółowo

MAKROEKONOMIA II K A T A R Z Y N A Ś L E D Z I E WS K A

MAKROEKONOMIA II K A T A R Z Y N A Ś L E D Z I E WS K A MAKROEKONOMIA II K A T A R Z Y N A Ś L E D Z I E WS K A WYKŁAD X WZROST GOSPODARCZY Malthusiański model wzrostu gospodarczego Wprowadzenie Stan ustalony Efekt wzrostu produktywności Kontrola wzrostu urodzeń

Bardziej szczegółowo

ROLA WIEDZY I INNOWACJI W STYMULOWANIU WZROSTU GOSPODARCZEGO

ROLA WIEDZY I INNOWACJI W STYMULOWANIU WZROSTU GOSPODARCZEGO dr Paweł Kawa Wyższa Szkoła Zarządzania i Bankowości w Krakowie Akademia Ekonomiczna w Krakowie ROLA WIEDZY I INNOWACJI W STYMULOWANIU WZROSTU GOSPODARCZEGO STRESZCZENIE Przeprowadzona w niniejszym artykule

Bardziej szczegółowo

Kamil Pikuła. Wpływ migracji czynników produkcji na międzynarodową wymianę towarową w różnych systemach gospodarczych.

Kamil Pikuła. Wpływ migracji czynników produkcji na międzynarodową wymianę towarową w różnych systemach gospodarczych. Kamil Pikuła Wpływ migracji czynników produkcji na międzynarodową wymianę towarową w różnych systemach gospodarczych. Streszczenie rozprawy doktorskiej Promotor: prof. dr hab. Paweł Bożyk Warszawa 2014

Bardziej szczegółowo

Dr Łukasz Goczek. Uniwersytet Warszawski

Dr Łukasz Goczek. Uniwersytet Warszawski Dr Łukasz Goczek Uniwersytet Warszawski Model Ramsaya Model Ramsaya w otwartej gospodarce Ograniczenia w kredytowaniu Niedoskonała substytucja kapitału Dyfuzja technologii Prawa autorskie Główna różnica

Bardziej szczegółowo

Kolokwium I z Makroekonomii II Semestr zimowy 2014/2015 Grupa I

Kolokwium I z Makroekonomii II Semestr zimowy 2014/2015 Grupa I Kolokwium I z Makroekonomii II Semestr zimowy 2014/2015 Grupa I Czas trwania kolokwium wynosi 45 minut. Należy rozwiązać dwa z trzech zamieszczonych poniżej zadań. Za każde zadanie można uzyskać maksymalnie

Bardziej szczegółowo

lim Np. lim jest wyrażeniem typu /, a

lim Np. lim jest wyrażeniem typu /, a Wykład 3 Pochodna funkcji złożonej, pochodne wyższych rzędów, reguła de l Hospitala, różniczka funkcji i jej zastosowanie, pochodna jako prędkość zmian 3. Pochodna funkcji złożonej. Jeżeli funkcja złożona

Bardziej szczegółowo

Rachunek Różniczkowy

Rachunek Różniczkowy Rachunek Różniczkowy Sąsiedztwo punktu Liczby rzeczywiste będziemy teraz nazywać również punktami. Dla ustalonego punktu x 0 i promienia r > 0 zbiór S(x 0, r) = (x 0 r, x 0 ) (x 0, x 0 + r) nazywamy sąsiedztwem

Bardziej szczegółowo

Jerzy Osiatyński Kalecki a złota reguła akumulacji kapitału

Jerzy Osiatyński Kalecki a złota reguła akumulacji kapitału Jerzy Osiatyński Kalecki a złota reguła akumulacji kapitału Konferencja Polskiego Towarzystwa Ekonomicznego i Le Monde diplomatique: Idee na kryzys: Michał Kalecki Warszawa, 2 grudnia 2014 r. ZRA: ujęcie

Bardziej szczegółowo

Konwergencja i nierówności na świecie. Modele neoklasyczne czy Ak? Zaawansowana makroekonomia Dr hab. Joanna Siwińska-Gorzelak

Konwergencja i nierówności na świecie. Modele neoklasyczne czy Ak? Zaawansowana makroekonomia Dr hab. Joanna Siwińska-Gorzelak Konwergencja i nierówności na świecie. Modele neoklasyczne czy Ak? Zaawansowana makroekonomia Dr hab. Joanna Siwińska-Gorzelak Na ostatnich zajęciach poznaliśmy model pokazujący znaczenie wydatków i podatków

Bardziej szczegółowo

Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji

Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji Adam Kiersztyn Lublin 2014 Adam Kiersztyn () Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 1 / 24 Zanim przejdziemy

Bardziej szczegółowo

Poza modelem Solowa (jeszcze coś jest) Makroekonomia II Dr hab. Joanna Siwińska-Gorzelak

Poza modelem Solowa (jeszcze coś jest) Makroekonomia II Dr hab. Joanna Siwińska-Gorzelak Poza modelem Solowa (jeszcze coś jest) Makroekonomia II Dr hab. Joanna Siwińska-Gorzelak Dzisiaj omawiamy.. Dwa odmienne teoretyczne podejścia (w ramach teorii wzrostu) Rozszerzenia NEOKLASYCZNEGO modelu

Bardziej szczegółowo

Makroekonomia 1 Wykład 5: Klasyczny model gospodarki zamkniętej

Makroekonomia 1 Wykład 5: Klasyczny model gospodarki zamkniętej Makroekonomia 1 Wykład 5: Klasyczny model gospodarki zamkniętej Gabriela Grotkowska Katedra Makroekonomii i Teorii Handlu Zagranicznego PKB jako miara dobrobytu Produkcja w gospodarce Mierzyć już umiemy,

Bardziej szczegółowo

Matematyka bankowa 1 1 wykład

Matematyka bankowa 1 1 wykład Matematyka bankowa 1 1 wykład Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl

Bardziej szczegółowo

MAKROEKONOMIA 2. Wykład 14. Inwestycje. dr Dagmara Mycielska dr hab. Joanna Siwińska - Gorzelak

MAKROEKONOMIA 2. Wykład 14. Inwestycje. dr Dagmara Mycielska dr hab. Joanna Siwińska - Gorzelak MAKROEKONOMIA 2 Wykład 14. Inwestycje dr Dagmara Mycielska dr hab. Joanna Siwińska - Gorzelak 2 Plan wykładu Inwestycje a oczekiwania. Neoklasyczna teoria inwestycji i co z niej wynika Teoria q Tobina

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Skręcanie nieskrępowane prętów o przekroju prostokątnym.

Wykład 5. Skręcanie nieskrępowane prętów o przekroju prostokątnym. Adresy internetowe, pod którymi można znaleźć wykłady z Wytrzymałości Materiałów: Politechnika Krakowska http://limba.wil.pk.edu.pl/kwm-edu.html Politechnika Łódzka http://kmm.p.lodz.pl/dydaktyka Wykład

Bardziej szczegółowo

ROZDZIAŁ 3 KAPITAŁ LUDZKI W KRAJACH UNII EUROPEJSKIEJ - ANALIZA PORÓWNAWCZA

ROZDZIAŁ 3 KAPITAŁ LUDZKI W KRAJACH UNII EUROPEJSKIEJ - ANALIZA PORÓWNAWCZA Gabriela Wronowska ROZDZIAŁ 3 KAPITAŁ LUDZKI W KRAJACH UNII EUROPEJSKIEJ - ANALIZA PORÓWNAWCZA Wprowadzenie Na temat kapitału ludzkiego i ego roli we wzroście i rozwou gospodarczym toczy się wiele ożywionych

Bardziej szczegółowo

Elementy metod numerycznych

Elementy metod numerycznych Wykład nr 5 i jej modyfikacje. i zera wielomianów Założenia metody Newtona Niech będzie dane równanie f (x) = 0 oraz przedział a, b taki, że w jego wnętrzu znajduje się dokładnie jeden pierwiastek α badanego

Bardziej szczegółowo

dr Bartłomiej Rokicki Katedra Makroekonomii i Teorii Handlu Zagranicznego Wydział Nauk Ekonomicznych UW

dr Bartłomiej Rokicki Katedra Makroekonomii i Teorii Handlu Zagranicznego Wydział Nauk Ekonomicznych UW Katedra Makroekonomii i Teorii Handlu Zagranicznego Wydział Nauk Ekonomicznych UW Model klasyczny podstawowe założenia W modelu klasycznym wielkość PKB jest określana przez stronę podażową. Mamy 2 czynniki

Bardziej szczegółowo

PRZESTRZENNE ZRÓŻNICOWANIE PŁAC W POLSKICH POWIATACH. Wstęp 1

PRZESTRZENNE ZRÓŻNICOWANIE PŁAC W POLSKICH POWIATACH. Wstęp 1 STUDIA PRAWNO-EKONOMICZNE, t. LXXXV, 2012 PL ISSN 0081-6841 s. 287 308 Tomasz TOKARSKI* PRZESTRZENNE ZRÓŻNICOWANIE PŁAC W POLSKICH POWIATACH Wstęp 1 Celem prezentowanego opracowania jest statystyczna analiza

Bardziej szczegółowo

ZESTAW 5 FUNKCJA PRODUKCJI. MODEL SOLOWA (Z ROZSZERZENIAMI)

ZESTAW 5 FUNKCJA PRODUKCJI. MODEL SOLOWA (Z ROZSZERZENIAMI) ZESTAW 5 FUNKCJA PRODUKCJI. MODEL SOLOWA (Z ROZSZERZENIAMI) Zadanie 5.1 Dla podanych funkcji produkcji sprawdź, czy spełniają one warunki stawiane neoklasycznym funkcjom produkcji. Jeśli tak, zapisz je

Bardziej szczegółowo

Konwergencja w Polsce i w Europie

Konwergencja w Polsce i w Europie Wydział Ekonomiczno-Socjologiczny Konwergencja w Polsce i w Europie Ewa Kusideł Wykład dla EUROREG 30.04.2015 r. Wydział Ekonomiczno-Socjologiczny Plan prezentacji 1. Definicje konwergencji: beta- vs sigma-konwergencja,

Bardziej szczegółowo

Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)

Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja) Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie algebraicznych układów równań liniowych metodami iteracyjnymi. Plan wykładu:

Rozwiązywanie algebraicznych układów równań liniowych metodami iteracyjnymi. Plan wykładu: Rozwiązywanie algebraicznych układów równań liniowych metodami iteracynymi Plan wykładu: 1. Przykłady macierzy rzadkich i formaty ich zapisu 2. Metody: Jacobiego, Gaussa-Seidla, nadrelaksaci 3. Zbieżność

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda regula falsi Metoda siecznych Metoda stycznych RÓWNANIA NIELINIOWE

Wprowadzenie Metoda bisekcji Metoda regula falsi Metoda siecznych Metoda stycznych RÓWNANIA NIELINIOWE Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Zazwyczaj nie można znaleźć

Bardziej szczegółowo

Informacja o przestrzeniach Sobolewa

Informacja o przestrzeniach Sobolewa Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością

Bardziej szczegółowo

1 Równania nieliniowe

1 Równania nieliniowe 1 Równania nieliniowe 1.1 Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym jest numeryczne poszukiwanie rozwiązań równań nieliniowych, np. algebraicznych (wielomiany),

Bardziej szczegółowo

MAKROEKONOMIA 2. Wykład 9. Złota reguła. Model Solowa - wersja pełna. dr Dagmara Mycielska dr hab. Joanna Siwińska - Gorzelak

MAKROEKONOMIA 2. Wykład 9. Złota reguła. Model Solowa - wersja pełna. dr Dagmara Mycielska dr hab. Joanna Siwińska - Gorzelak MAKROEKONOMIA 2 Wykład 9. Złota reguła. Model Solowa - wersja pełna dr Dagmara Mycielska dr hab. Joanna Siwińska - Gorzelak 2 Plan wykładu Złota reguła problem maksymalizacji konsumpcji per capita. Model

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 4 ZASADA ZMIENNOŚCI PĘDU I OGÓLNE RÓWNANIA ZNACZENIE ZASADY ZMIENNOŚCI KRĘTU. RUCHU PŁYNU. 1/11

WYKŁAD 4 ZASADA ZMIENNOŚCI PĘDU I OGÓLNE RÓWNANIA ZNACZENIE ZASADY ZMIENNOŚCI KRĘTU. RUCHU PŁYNU. 1/11 WYKŁAD 4 ZASADA ZMIENNOŚCI PĘDU I OGÓLNE RÓWNANIA RUCHU PŁYNU. ZNACZENIE ZASADY ZMIENNOŚCI KRĘTU. 1/11 RÓŻNICZKOWE RÓWNANIA RUCHU PŁYNU Wiemy uż, że Zasada Zmienności Pędu est szczególnym przypadkiem ogólne

Bardziej szczegółowo

Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy

Matematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)

Bardziej szczegółowo

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne , centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania prac domowych - Kurs Pochodnej. x 2 4. (x 2 4) 2. + kπ, gdzie k Z

Rozwiązania prac domowych - Kurs Pochodnej. x 2 4. (x 2 4) 2. + kπ, gdzie k Z 1 Wideo 5 1.1 Zadanie 1 1.1.1 a) f(x) = x + x f (x) = x + f (x) = 0 x + = 0 x = 1 [SZKIC] zatem w x = 1 występuje minimum 1.1. b) f(x) = x x 4 f (x) = x(x 4) x (x) (x 4) f (x) = 0 x(x 4) x (x) (x 4) =

Bardziej szczegółowo

Determinanty kursu walutowego w ujęciu modelowym

Determinanty kursu walutowego w ujęciu modelowym Determinanty kursu walutowego w ujęciu modelowym Model Dornbuscha dr Dagmara Mycielska c by Dagmara Mycielska Względna sztywność cen i model Dornbuscha. [C] roz. 7 Spadek podaży pieniądza w modelu Dornbuscha

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów

Bardziej szczegółowo

1 Pochodne wyższych rzędów

1 Pochodne wyższych rzędów Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych

Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych Rachunek różniczkowy funkcji dwóch zmiennych Definicja Spis treści: Wykres Ciągłość, granica iterowana i podwójna Pochodne cząstkowe Różniczka zupełna Gradient Pochodna kierunkowa Twierdzenie Schwarza

Bardziej szczegółowo

MAKROEKONOMIA 2. Wykład 1. Model AD/AS - powtórzenie. Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak

MAKROEKONOMIA 2. Wykład 1. Model AD/AS - powtórzenie. Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak MAKROEKONOMIA 2 Wykład 1. Model AD/AS - powtórzenie Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak Plan wykładu 1. Krótkookresowe wahania koniunktury Dynamiczny model zagregowanego popytu i podaży: skutki

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI POLITECHNICZNEJ KLASA 2

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI POLITECHNICZNEJ KLASA 2 WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI POLITECHNICZNEJ KLASA 2 I. GEOMETRIA ANALITYCZNA: Wektor w układzie współrzędnych.

Bardziej szczegółowo

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Rachunek Prawdopodobieństwa istatystyka W4 Rozkład normalny Parametry rozkładu zmienne losowe Zmienne losowe wielowymiarowe Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Rozkład normalny - standaryzaca

Bardziej szczegółowo

Wzrost gospodarczy definicje

Wzrost gospodarczy definicje Wzrost gospodarczy Wzrost gospodarczy definicje Przez wzrost gospodarczy rozumiemy proces powiększania podstawowych wielkości makroekonomicznych w gospodarce, a w szczególności proces powiększania produkcji

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych

Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta

Bardziej szczegółowo

Filtry i nety w przestrzeniach topologicznych

Filtry i nety w przestrzeniach topologicznych Filtry i nety w przestrzeniach topologicznych Magdalena Ziębowicz Streszczenie W referacie zostaną przedstawione i scharakteryzowane pojęcia związane z filtrami i ultrafiltrami, ciągami uogólnionymi oraz

Bardziej szczegółowo

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).

6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x). 6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco

Bardziej szczegółowo

wiedzy Sieci neuronowe (c.d.)

wiedzy Sieci neuronowe (c.d.) Metody detekci uszkodzeń oparte na wiedzy Sieci neuronowe (c.d.) Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 8 Metody detekci uszkodzeń oparte na wiedzy Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Elementy rachunku różniczkowego i całkowego

Elementy rachunku różniczkowego i całkowego Elementy rachunku różniczkowego i całkowego W paragrafie tym podane zostaną elementarne wiadomości na temat rachunku różniczkowego i całkowego oraz przykłady jego zastosowania w fizyce. Małymi literami

Bardziej szczegółowo

MAKROEKONOMIA 2. Wykład 2. Dynamiczny model DAD/DAS. Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak

MAKROEKONOMIA 2. Wykład 2. Dynamiczny model DAD/DAS. Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak MAKROEKONOMIA 2 Wykład 2. Dynamiczny model DAD/DAS Dagmara Mycielska Joanna Siwińska - Gorzelak Plan wykładu Uwzględnienie dynamiki w modelu AD/AS. Modelowanie wpływu zakłóceń lub zmian polityki gospodarczej

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr. 3 notatki

Zajęcia nr. 3 notatki Zajęcia nr. 3 notatki 22 kwietnia 2005 1 Funkcje liczbowe wprowadzenie Istnieje nieskończenie wiele funkcji w matematyce. W dodaktu nie wszystkie są liczbowe. Rozpatruje się funkcje które pobierają argumenty

Bardziej szczegółowo

Finanse i Rachunkowość studia stacjonarne lista nr 9 zastosowania metod teorii funkcji rzeczywistych w ekonomii (część II)

Finanse i Rachunkowość studia stacjonarne lista nr 9 zastosowania metod teorii funkcji rzeczywistych w ekonomii (część II) dr inż. Ryszard Rębowski 1 FUNKCJA KOSZTU Finanse i Rachunkowość studia stacjonarne lista nr 9 zastosowania metod teorii funkcji rzeczywistych w ekonomii (część II) 1 Funkcja kosztu Z podstaw mikroekonomii

Bardziej szczegółowo

Makroekonomia zaawansowana. Zbiór zadań wraz z odpowiedziami przygotowanie przed egzaminem

Makroekonomia zaawansowana. Zbiór zadań wraz z odpowiedziami przygotowanie przed egzaminem Joanna Siwińska-Gorzelak Makroekonomia zaawansowana. Zbiór zadań wraz z odpowiedziami przygotowanie przed egzaminem Zanim przystąpicie Państwo do rozwiązywania zadań, powtórzcie sobie proszę wyprowadzenie

Bardziej szczegółowo

PREKURSORZY EKONOMII MATEMATYCZNEJ W POLSCE

PREKURSORZY EKONOMII MATEMATYCZNEJ W POLSCE UNIWERSYTET MIKOŁAJA KOPERNIKA ROZPRAWA HABILITACYJNA MIROSŁAW BOCHENEK PREKURSORZY EKONOMII MATEMATYCZNEJ W POLSCE WYDAWNICTWO NAUKOWE UNIWERSYTETU MIKOŁAJA KOPERNIKA TORUŃ 2008 SPIS TREŚCI Wstęp 9 Rozdział

Bardziej szczegółowo

Zbiór zadań Makroekonomia II ćwiczenia

Zbiór zadań Makroekonomia II ćwiczenia Zbiór zadań Makroekonomia II ćwiczenia ZESTAW 5 MODEL SOLOWA Zadanie 5.1 Dla podanych funkcji produkcji sprawdź, czy spełniają one warunki stawiane neoklasycznym funkcjom produkcji. Jeśli tak, zapisz je

Bardziej szczegółowo

- prędkość masy wynikająca z innych procesów, np. adwekcji, naprężeń itd.

- prędkość masy wynikająca z innych procesów, np. adwekcji, naprężeń itd. 4. Równania dyfuzji 4.1. Prawo zachowania masy cd. Równanie dyfuzji jest prostą konsekwencją prawa zachowania masy, a właściwie to jest to prawo zachowania masy zapisane dla procesu dyfuzji i uwzględniające

Bardziej szczegółowo

Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II

Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej. Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Łódzkiego w Łodzi Dariusz Wardowski Katedra Analizy Nieliniowej Bankowość i metody statystyczne w biznesie - zadania i przykłady część II Łódź 2008 Rozdział

Bardziej szczegółowo

Definicje i przykłady

Definicje i przykłady Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )

Bardziej szczegółowo

13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła.

13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła 13 1 13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. 13.1 Równanie struny drgającej Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu typu

Bardziej szczegółowo

MODEL AS-AD. Dotąd zakładaliśmy (w modelu IS-LM oraz w krzyżu keynesowskim), że ceny w gospodarce są stałe. Model AS-AD uchyla to założenie.

MODEL AS-AD. Dotąd zakładaliśmy (w modelu IS-LM oraz w krzyżu keynesowskim), że ceny w gospodarce są stałe. Model AS-AD uchyla to założenie. MODEL AS-AD Dotąd zakładaliśmy (w modelu IS-LM oraz w krzyżu keynesowskim), że ceny w gospodarce są stałe. Model AS-AD uchyla to założenie. KRZYWA AD Krzywą AD wyprowadza się z modelu IS-LM Każdy punkt

Bardziej szczegółowo