Projekt dyplomowy in»ynierski

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Projekt dyplomowy in»ynierski"

Transkrypt

1 Politechnika Gdańska Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Katedra: Analizy Matematycznej i Numerycznej Kierunek: Matematyka Specjalno± : Matematyka Finansowa Rodzaj studiów: stacjonarne Aleksandra Kantowska Nr albumu: Projekt dyplomowy in»ynierski Temat projektu: Analiza ryzyka portfela: inwestycje w srebro i zªoto. Zakres projektu: Przedstawienie miar ryzyka Value-at-Risk oraz expected shortfall. Przedstawienie podstawowych poj dotycz cych teorii kopuª. Wykorzystanie teorii kopuª do analizy ryzyka portfela inwestycyjnego zªo»onego z inwestycji w srebro i w zªoto przy pomocy programu R. Potwierdzenie przyj cia projektu: Opiekun projektu: Kierownik Katedry: dr hab. Karol Dziedziul dr hab. Karol Dziedziul Gdansk,

2 Spis tre±ci Wst p 3 1 Miary ryzyka Koherentne miary ryzyka Uogólniona funkcja odwrotna Warto± zagro»ona - Value-at-Risk (V ar α ) Zagro»ona warto± oczekiwana - Expected Shortfall (ES α ) Surowce Podstawowe informacje Notowania Analiza rozkªadu Value at Risk Expeted Shortfall Ryzyko portfela z wykorzystaniem funkcji kopuªa Funkcja kopuªa Kopuªy dla portfela Value at Risk Expected Shortfall Podsumowanie 42 Zaª czniki 43 Zaª cznik Zaª cznik Zaª cznik Bibliograa 51 1

3 Wst p Ryzyko, jest poj ciem nie obcym»adnemu czªowiekowi. Mo»emy si z nim spotka w ró»nych sytuacjach, zarówno w»yciu codziennym jak i w nansach. W zwi zku z tym,»e istnieje ryzyko, istniej tak»e sposoby jego obliczania i zabezpieczania si przed nim. W pracy tej postaram si przybli»y metody jego wyliczania. W pracy skupi si na wyznaczeniu ryzyka inwestycji za pomoc dwóch miar: warto- ±ci zagro»onej oraz expected shortfall. Pierwsza z nich jest jedn z najpopularniejszych miar ryzyka. Jest stosowana przez banki, instytucje nansowe czy towarzystwa ubezpieczeniowe. Od roku 2012, zgodnie z dyrektyw Unii Europejskiej Solvency II (pol. Wypªacalno± II), wszystkie rmy ubezpieczeniowe b d musiaªy oblicza ryzyko oraz poziom rezerw za pomoc warto±ci zagro»onej. W pracy zajm si analiz ryzyka straty, jak mo»e ponie± inwestor w przypadku, gdy zainwestuje 1 mln dolarów na okres jednego miesi ca. Dokonam porównania ryzyka trzech ró»nych inwestycji. Pierwsz z nich b dzie zainwestowanie 1 miliona dolarów w srebro, drug b dzie inwestycja 1 miliona dolarów w zªoto, a trzeci zainwestowanie w portfel zªo»ony z inwestycji dolarów w srebro i dolarów w zªoto. We wszystkich trzech przypadkach za poziom ufno±ci przyjm α = 0, 95. Praca skªada si z trzech rozdziaªów, a ka»dy z nich zostaª podzielony na podrozdziaªy. W rozdziale pierwszym wprowadzone zostanie poj cie koherentnej miary ryzyka, oraz przykªady miar: Valu-at-Risk (V ar α ) oraz expected shortfall (ES α ). Zostanie równie» wprowadzona denicja uogólnionej funkcji odwrotnej oraz jej wªasno±ci. W drugim rozdziale zostan przedstawione podstawowe informacje o dwóch surowcach - srebrze i zªocie. Nast pnie na postawie historycznych notowa«z ostatniego dnia miesi ca na przestrzeni 5 lat i warto±ci stóp strat obliczonych z tych danych zostanie sprawdzone, czy stopy strat maj rozkªad normalny. Po sprawdzeniu rozkªadów i wyznaczeniu kwantyla rozkªadu zajmiemy si wyznaczeniem warto±ci miar V ar oraz ES dla dwóch inwestycji, w zªoto i srebro. Ka»da z tych inwestycji b dzie to inwestycja 1 miliona dolarów na okres 1 miesi ca. W rozdziale trzecim zostanie wprowadzona teoria dotycz ca funkji kopuªy. Nast pnie wykorzystuj c funkcj kopuªy zajmiemy si wyznaczeniem warto±ci V ar i ES w przypadku inwestycji w zdywersykowany portfel inwestycyjny, skªadaj cy si z inwestycji 500 2

4 000 dolarów w srebro oraz inwestycji dolarów w zªoto. W pracy potrzebne obliczenia zostaªy wykonane przy wykorzystaniu programu R, a kody u»yte do tych wylicze«znajduj si w zª cznikach do tej pracy. 3

5 Rozdziaª 1 Miary ryzyka Zacznijmy od okre±lenia czym jest ryzyko. Najpro±ciej mówi c ryzyko jest to prawdopodobie«stwo poniesienia straty, mo»liwo± niepowodzenia inwestycji czy dziaªa«. Ryzyko jest obecne w ka»dej dziedzinie, jest to zarówno nieodª czny element»ycia ka»dego czªowieka, dziaªalno±ci podmiotów gospodarczych, jak i dziaªalno±ci na rynkach nansowych. Skupiaj c si na nansach mo»emy wyró»ni wiele rodzajów ryzyka. Jednym z nich jest ryzyko rynkowe, które mo»emy podzieli na interesuj ce nas ryzyko cen towarów, a tak»e ryzyko kursu walut, ryzyko stopy procentowej czy ryzyko cen akcji. Innymi przykªadami ryzyka s ryzyko kredytowe, operacyjne czy ryzyko prawne. W zwi zku z istnieniem ryzyka istnieje tak»e potrzeba zabezpieczenia si przed nim. Aby móc uchroni si przed potencjaln strat, trzeba pozna jej mo»liw wielko±. Wªa- ±nie ta warto± jest jedn z wa»niejszych rzeczy, które chc pozna osoby oraz instytucje dziaªaj ce na rynkach nansowych. Jednym ze sposobów obliczania ryzyka jest stosownie miar ryzyka, w szczególno±ci koherentnych miar ryzyka, które przedstawi w tym rozdziale. Rozdziaª ten opracowaªam gªównie na podstawie ksi»ki [6]. 1.1 Koherentne miary ryzyka Aby okre±li co t s koherentne miary ryzyka musimy zacz od okre±lenia czym jest miara ryzyka. Zacznijmy od tego,»e (Ω, F, P ) jest przestrzeni probabilistyczn a poprzez oznaczymy horyzont czasowy inwestycji. Wprowad¹my tak»e zbiór wszystkich zmiennych losowych zdeniowanych na (Ω, F), oznaczmy go poprzez L 0 (Ω, F, P ). Przez zbiór zmiennych losowych M L 0 (Ω, F, P ) oznaczmy reprezentacj ryzyka nansowego, które interpretujemy jako strat portfela na zadanym horyzoncie czasu, gdzie M jest sto»kiem wypukªym zdeniowanym nast puj co: Denicja 1. (Sto»ek wypukªy M)[6] 4

6 Sto»ek wypukªy jest to niepusty podzbiór przestrzeni liniowej M L 0 (Ω, F, P ) o nast puj cych wªasno±ciach: λ>0 L M λl M L 1, L 2 M L 1 + L 2 M R M. W naszym przypadku rozpatrujemy wszystko z punktu widzenia strat dlatego poprzez L i oznaczmy strat z i-tej inwestycji. Mo»emy teraz wprowadzi denicj miary ryzyka. Denicja 2. (Miara ryzyka)[6] Miar ryzyka nazywamy pewn funkcj rzeczywist dziaªaj c ze zbioru zmiennych losowych okre±lonych na sto»ku wypukªym na zbiór liczb rzeczywistych ρ : M R. Znaj c ju» denicj miary ryzyka mo»emy pozna jej interpretacj. Ogólnie ujmuj c, miar ryzyka ρ(l) interpretujemy jako kwot kapitaªu (rezerw ), któr powinni±my doda do pozycji w portfelu o mo»liwej stracie L. Gdy rezerwy zostan wyliczone i zabezpieczone to taka pozycja mo»e zosta zaakceptowana przez osoby sprawuj ce kontrol nad ryzykiem. W przypadku, gdy wyliczona warto± miary ryzyka jest mniejsza lub równa zeru (ρ(l) 0) to mo»emy stwierdzi,»e nie mamy potrzeby tworzenia dodatkowych rezerw, poniewa» ujemna strata to jest zysk. W sytuacji, gdy otrzymamy miar ryzyka mniejsz od zera ρ(l) < 0 to nie tylko nie ma potrzeby tworzenia rezerw, mo»liwe jest nawet wycofanie cz ±ci kapitaªu. Natomiast w przypadku, gdy wyliczona miara ryzyka b dzie wi ksza od zera ρ(l) > 0 to aby inwestycja zostaªa zaakceptowana przez kontrolerów ryzyka potrzebne jest stworzenie rezerw. Znaj c ju» denicje sto»ka wypukªego oraz miary ryzyka mo»emy przej± do wprowadzenia denicji koherentnej miary ryzyka. Denicja 3. (Koherentna miara ryzyka)[6] Miar ryzyka ρ, której dziedzina zawiera sto»ek wypukªy M (ρ : M R), nazywamy koherentn miar ryzyka, je»eli miara ta speªnia aksjomaty 1-4. Aksjomaty, które s wymagane przez denicj koherentnej miary ryzyka, zostaªy wprowadzone w 1999 prze Artzner'a i s one nast puj cej postaci: 5

7 Aksjomat 1. (Niezmienniczo± ze wzgl du na translacj ) L M l R ρ(l + l) = ρ(l) + l Aksjomat ten oznacza,»e je»eli do pozycji o mo»liwej stracie L dodamy b d¹ odejmiemy wielko± l, zmienimy w ten sposób nasze wymagania odno±nie kapitaªu o dokªadnie t kwot l. Aksjomat 2. (Subaddytywno± ) L1,L 2 M ρ(l 1 + L 2 ) ρ(l 1 ) + ρ(l 2 ) Miara ryzyka jest subaddytywna, je»eli dla dowolnych inwestycji A (o stracie L 1 ) i B (o stracie L 2 ), ryzyko poniesienia straty dla portfela A + B jest niewi ksze ni» suma ryzyka straty inwestycji A i ryzyka straty z inwestycji B. Ryzyko portfela zªo»onego z dwóch skªadników jest mniejsze lub równe sumie ich indywidualnych ryzyk. Aksjomat 3. (Dodatnia jednorodno± ) L M λ>0 ρ(λl) = λρ(l) Je»eli powi kszymy λ-krotnie rozmiar ka»dej pozycji w portfelu, ryzyko portfela wzro- ±nie λ-krotnie. Aksjomat 4. (Monotoniczno± ) L1,L 2 M L 1 L 2 p p.w ρ(l 1 ) ρ(l 2 ) Je»eli strata L 1 (dla inwestycji A) jest wi ksza ni» strata L 2 (dla inwestycji B) dla wszystkich mo»liwych scenariuszy straty, wtedy ryzyko straty z inwestycji A jest wi ksze, ni» ryzyko straty z inwestycji B. 1.2 Uogólniona funkcja odwrotna Aby przej± do przykªadów miar ryzyka jakimi s Value-at-Risk oraz Expected Shortfall musimy najpierw wprowadzi denicj uogólnionej funkcji odwrotnej oraz jej wªasno- ±ci. Denicja 4. (Uogólniona funkcja odwrotna)[6] Niech funkcja niemalej ca T b dzie okre±lona nast puj co T : R R, uogólniona funkcja odwrotna do funkcji T jest zdeniowana nast puj co T (y) := inf {x R : T (x) y}, (1.1) u»ywamy konwencji,»e kres dolny zbioru pustego jest równy niesko«czono±ci (inf{ } = ). 6

8 Wprowad¹my tak»e denicj kwantyla funkcji. Denicja 5. (Kwantyl funkcji)[6] Niech F b dzie dystrybuant funkcji, uogólnion funkcj odwrotn F nazywamy kwantylem funkcji F. Dla α (0, 1) α - kwantyl funkcji F jest postaci q α (F ) := F (α) = inf {x R : F (x) α}. (1.2) Dla przypadku, gdy F jest dystrybuant zmiennej losowej X mo»na u»y oznaczenia q α (X) := q α (F ). Gdy funkcja F jest ci gªa i ±ci±le rosn ca a jej funkcj odwrotn jest F 1, wtedy zachodzi q α (F ) = F 1 (α). Do przedstawienia wªasno±ci uogólnionej funkcji odwrotnej potrzebne s nast puj ce lematy. Lemat 1. [6] Je»eli X jest zmienn losow oraz funkcja T jest niemalej ca, wtedy {X x} {T (X) T (x)} oraz P (T (X) T (x)) = P (X x) + P (T (X) = T (x), X > x). Lemat 2. [6] Je»eli F jest dystrybuant zmiennej losowej X, wtedy P (F (X) F (x)) = P (X x). Znaj c denicj oraz podstawowe lematy dotycz ce uogólnionej funkcji odwrotnej mo-»emy przej± do okre±lenia jej wªasno±ci. Wªasno± 1. (Wªasno±ci uogólnionej funkcji odwrotnej)[6] Dla niemalej cej funkcji T zachodzi: 1. T jest niemalej ca, lewostronnie ci gª funkcj 2. T jest ci gªa T jest ±ci±le rosn ca 3. T jest ±ci±le rosn ca T jest ci gªa Dla pozostaªych wªasno±ci dodatkowo zaªó»my,»e T (y) < 4. Je»eli T jest prawostronnie ci gªa oraz T (x) y T (y) x 5. T T (x) x 6. T T (y) y 7

9 7. T jest ±ci±le rosn ca T T (x) = x 8. T jest ci gªa T T (y) = y. Wªasno± 2. [6] Je»eli X jest zmienn losow o dystrybuancie F, wtedy P (F F (X) = X) = Warto± zagro»ona - Value-at-Risk (V ar α ) Najpopularniejsz miar ryzyka stosowan mi dzy innymi przez instytucje nansowe jest miara ryzyka nazywana warto±ci zagro»on lub warto±ci nara»on na ryzyko, w skrócie VaR (ang. Value-at-Risk). Wywodzi si ona z koncepcji kwantyla rozkªadu. Najpro±ciej mówi c, VaR okre±la jak najwi ksz strat mo»emy ponie± na danej inwestycji przy okre±lonym prawdopodobie«stwie α, oraz przy zadanym horyzoncie czasowym. Rozwa»my portfel ryzykownych inwestycji oraz ustalony horyzont czasu, oznaczmy przez F L (l) = P (L l) dystrybuant zmiennej losowej oznaczaj cej strat. Denicja 6. (Value-at-Risk)[6] Niech α (0, 1) b dzie ustalonym poziomem ufno±ci. Warto± zagro»ona portfela na poziomie ufno±ci α jest okre±lona przez najmniejsz liczb l tak,»e prawdopodobie«stwo,»e strata L osi gnie warto± l jest nie wi ksze ni» (1 α). Formalnie, V ar α (L) = inf {l R : P (L > l) 1 α} = inf {l R : F L (l) α}. (1.3) W uj ciu probabilistycznym, VaR jest kwantylem dystrybuanty funkcji straty. Poziom ufno±ci α mo»e by dowolnie ustalony, jednak najcz ±ciej okre±la si go na poziomie α = 0, 95 lub α = 0, 99. Tak jak α równie» horyzont czasowy dla którego badamy ryzyko mo»e by dowolnie ustalony. Najcz ±ciej za horyzont czasu przyjmuje si 1 rok w przypadku wyliczania ryzyka operacyjnego lub kredytowego, oraz w przypadku wyliczania ryzyka rynkowego jest to zazwyczaj 1 lub 10 dni. Z dowolno±ci tych dwóch parametrów mo»na stwierdzi,»e warto± VaR b dzie wi ksza im dªu»szy b dzie rozpatrywany horyzont czasowy oraz im wi kszy b dzie poziom ufno±ci. VaR nie jest doskonaª miar ryzyka, poniewa» nie s speªnione wszystkie aksjomaty, które powinna speªnia koherentna miara ryzyka. Nie jest speªniony aksjomat 2, czyli 8

10 VaR nie jest subaddytywna. Pozostaªe trzy aksjomaty s speªnione: Niezmienniczo± ze wzgl du na translacj : L M l R V ar α (L + l) = V ar α (L) + l Dowód. V ar α (L + l) = inf{t R : P (L + l > t) 1 α} = inf{t R : F L+l (t) α} = = inf{t R : P (L + l t) α} = inf{t R : P (L t l) α} = = inf{t l + l R : F L (t l) α} = = l + inf{t l R : F L (t l) α} = = l + V ar α (L) Dodatnia jednorodno± : Dowód. Zaª.»e λ > 0 L M λ>0 V ar α (λl) = λv ar α (L) V ar α (λl) = F λl(α) = inf{x R : F λl (x) α} = = inf{x R : P (λl x) α} = inf{x R : P { = inf λ x (L λ R : P x ) } α = { λ x ( = λ inf λ R : P L x ) } α = λ = λfl (α) = λv ar α (L) ( L x ) α} = λ Monotoniczno± : L1,L 2 M L 1 L 2 p p.w V ar α (L 1 ) V ar α (L 2 ) Dowód. Mamy V ar α (L 1 ) = FL 1 (α) = inf {x R : F L1 (x) α} V ar α (L 2 ) = FL 2 (α) = inf {x R : F L2 (x) α}. Korzystaj c z tego,»e {L 2 x} {L 1 x} 9

11 otrzymujemy P (L 1 x) = F L1 (x) F L2 (x) = P (L 2 x). Z tego wynika,»e inf {x R : F L1 (x) α} inf {x R : F L2 (x) α} V ar α (L 1 ) V ar α (L 2 ). Value-at-Risk nie mówi tak»e jak du»a mo»e by strata, gdy warto± VaR zostanie przekroczona (nie rozpatruje jak du»a b dzie strata dla przypadków znajduj cych si w ogonie 1 α procentowym). Value-at-Risk nie jest koherentn miar ryzyka, poniewa» nie jest speªniony aksjomat o sybaddytywno±ci. 1.4 Zagro»ona warto± oczekiwana - Expected Shortfall (ES α ) Kolejn miar ryzyka, któr si zajmiemy jest Expected Shortfall. Jest to miara ryzyka ±ci±le zwi zana z przedstawion wcze±niej miar VaR. Aby zdeniowa expected shortfall potrzebna jest denicja warto±ci oczekiwanej. Denicja 7. (Warto± oczekiwana)[2] Powiemy,»e zmienna losowa X o warto±ciach w R ma warto± oczekiwan, je»eli jest caªkowalna, czyli zachodzi X dp <, wtedy warto±ci oczekiwan zmiennej losowej X nazwiemy liczb EX = XdP. Ω Denicja 8. (Expected Shortfall)[6] Dla straty L ze sko«czon warto±ci oczekiwan E ( L ) < oraz z dystrybuant F L expected shortfall na poziomie ufno±ci α (0, 1) jest zdeniowana nast puj co ES α = 1 1 α Ω 1 gdzie q u jest kwantylem funkcji F L, (q u (F L ) = F L 10 α q u (F L ) du, (1.4) (u)).

12 Jak ju» zostaªo powiedziane expected shortfall jest miar ryzyka powi zan z miar VaR, zwi zek pomi dzy tymi miarami ryzyka wygl da nast puj co ES α = 1 1 α 1 α V ar u (L) du. W przypadku expected shorfall patrzymy na warto± wi ksz od warto±ci VaR, gdy» zamiast ustala jaki± inny szczególny poziom ufno±ci α korzystamy z u±rednienia warto±ci VaR dla wszystkich poziomów u α. Warto± ES α zale»y tylko od rozkªadu straty L, zatem ES α V ar α. W sytuacji, gdy straty maj rozkªad ci gªy expected shortfall mo»emy interpretowa jako warunkow warto± oczekiwan straty pod warunkiem,»e warto± VaR zostaªa przekroczona. Denicja 9. (Warunkowa warto± oczekiwana) [2] Niech P (A) > 0 i niech X b dzie zmienn losow o sko«czonej warto±ci oczekiwanej, wtedy warunkow warto± oczekiwan okre±lamy E(X A) = 1 P (A) A XdP. Lemat 3. [6] Dla caªkowalnej straty L o ci gªej dystrybuancie F L oraz o dowolnym poziomie ufno±ci α (0, 1) mamy ES α = E(L; L q α(l)) = E(L L V ar α ), (1.5) 1 α gdzie u»ywamy notacji E(X; A) := E(XI A ) dla ogólnej caªkowalnej zmiennej losowej X oraz ogólnego zbioru A F. Dowód. Dowód lematu mo»na znale¹ w ksi»ce [6]. Denicja 10. (Expected shortfall dla rozkªadu normalnego)[6] W przypadku, gdy α (0, 1) oraz dystrybuanta straty F L ma rozkªad normalny o ±redniej µ oraz o wariancji σ 2, czyli F L N (µ, σ 2 ), mo»emy zapisa gdzie φ jest g sto±ci standardowego rozkªadu normalnego. ES α = µ + σ φ(φ 1 (α)) 1 α, (1.6) Denicja 11. (Statystyka pozycyjna)[5] Niech X 1,..., X n b dzie prób z rozkªadu o dystrybuancie F. Je»eli warto±ci tych zmiennych losowych uporz dkujemy w porz dku rosn cym (malej - cym), to otrzymamy nowy zbiór zmiennych losowych X 1,n X 2,n... X n,n 11

13 (X 1,n X 2,n... X n,n ). Zmienn X k,n, 1 k n, nazywamy k-t statystyk pozycyjn. W szczególno±ci (dla porz dku rosn cego) X 1,n = min(x 1, X 2,..., X n ), X n,n = max(x 1, X 2,..., X n ). Lemat 4. [6] Dla ci gu niezale»nych zmiennych losowych o jednakowym rozkªadzie (L i ) i N oraz o dystrybuancie F l mamy n(1 α) i=1 L i,n lim n = ES α, n(1 α) gdzie L 1,n... L n,n s statystykami pozycyjnymi oraz n(1 α) oznacza najwi ksz liczb caªkowit nie osi gaj c n(1 α). Expexted shortfall jest koherentn miar ryzyka, speªnione s wszystkie cztery aksjomaty jakie powinna speªnia koherentna miara ryzyka. Aksjomaty niezmienniczo± ze wzgl du na translacj, dodatnia jednorodno± oraz monotoniczno± wynikaj bezpo±rednio z denicji Value-at-Risk. Niezmienniczo± ze wzgl du na translacj : L M l R ES α (L + l) = ES α (L) + l Dowód. Korzystamy z niezmienniczo±ci ze wzgl du na translacj dla VaR. Zatem 1 1 ES α (L + l) = V ar u (L + l)du = 1 1 α α 1 α 1 1 = V ar u (L)du α α 1 α α = ES α (L) + l. 1 α ldu = (V ar u (L) + l)du = Dodatnia jednorodno± : L M λ>0 ES α (λl) = λes α (L) Dowód. Korzystamy z tego,»e dla VaR zachodzi dodatnia jednorodno±. Zatem ES α = = 1 1 α λ 1 α 1 α 1 α V ar u (λ L)du = 1 1 α V ar u (L)du = λ ES α. 1 α λ V ar u (L)du = 12

14 Monotoniczno± : L1,L 2 M L 1 L 2 p p.w ES α (L 1 ) ES α (L 2 ) Dowód. Korzystaj c z tego,»e VaR jest monotoniczne otrzymujemy ES α (L 1 ) = 1 1 α 1 α V ar u (L 1 )du 1 1 α 1 α V ar u (L 2 )du = ES α (L 2 ). Subaddytywno± : L1,L 2 M ES α (L 1 + L 2 ) ES α (L 1 ) + ES α (L 2 ) Dowód. [6] Rozwa»my ci g zmiennych losowych X 1,..., X n o jednakowym rozkªadzie, niech X 1,n... X n,n b d jego statystykami pozycyjnymi. Zauwa»my,»e dla dowolnie ustalonego m speªniaj cego nierówno± 1 m n mamy m X i,n = sup{x i X im : 1 i 1 <... < i m m}. i=1 Teraz rozwa»my dwie zmienne losowe X i X o ª cznej dystrybuancie F(X, X) = F oraz ci g niezale»nych wektorów losowych (X 1, X 1 ),..., (X n, X n ) o jednakowym rozkªadzie F. Oznaczmy (X + X) i := X i + X i, a tak»e (X + X) i,n dla uporz dkowanych wektorów. (X + X) 1,..., (X + X) n. Wtedy otrzymamy m (X + X) i,n = sup{(x + X) i (X + X) im : 1 i 1 <... < i m m} i=1 sup{x i1 + X i X i,m : 1 i 1 <... < i m m} + + sup{ X i1 + X i X i,m : 1 i 1 <... < i m m} = = m m X i,n + X i,n. i=1 i=1 Gdy za m przyjmiemy m = n(1 α) oraz zaªo»ymy,»e n mo»emy skorzysta z lematu 4. Otrzymamy wtedy ES α (L + L) ES α (L) + ES α ( L), czyli expected shortfall speªnia warunek subaddytywno±ci. Miara ryzyka expected shortfall jest koherentn miar ryzyka. 13

15 Rozdziaª 2 Surowce 2.1 Podstawowe informacje W pracy analizuj c ryzyko portfela skupimy si na dwóch surowcach srebrze oraz zªocie. Zacznijmy od krótkiego opisu obu surowców oraz ich rynków. Opis srebra i zªota opracowaªam na podstawie ksi»ki [7]. Srebro Srebro (Ag) jest to metal nale» cy do grupy metali szlachetnych. Czyste srebro jest to l±ni cy, srebrzystobiaªy metal o najwy»szej przewodno±ci cieplnej oraz elektrycznej, charakteryzuje si wysok kowalno±ci, ci gliwo±ci, jest odporne na dziaªanie wielu czynników korozyjnych. Posiada wªa±ciwo±ci bakteriobójcze, jednak srebro wyst puj ce w odpadach i ±ciekach z zakªadów galwanicznych jest toksyczne. Historia u»ytkowania srebra si ga co najmniej 6000 lat wstecz. Pierwotnie srebro byªo wykorzystywane gªównie jako pieni dz oraz do produkcji przedmiotów ozdobnych, z czasem znalazªo zastosowanie w wyrobach przemysªowych. Obecnie srebro stosuje si gªównie w wyrobach jubilerskich i zastawie stoªowej, jest u»ywane równie» w fotograi. Ze srebra wykonywane s równie» instrumenty muzyczne (np. ety), wykorzystuje si je w wyrobach elektronicznych, elektrycznych, w br zach i stopach lutowniczych, lustrach, katalizatorach. Wyrabia si z niego tak»e monety i medale pami tkowe. Srebro wyst puje w postaci pierwotnej w rudach srebra w postaci mineraªów wªasnych, jak równie» jako domieszka w rudach innych metali. Wtórnie metal ten otrzymuje si z wyrobów ze srebra oraz z jego stopów, ze zªomu monet oraz w maªym stopniu z odpadów przetwórczych. Zªo»a srebra wyst puj przewa»nie ze zªo»ami innych metali. O zªo»u rudy srebra mo»emy mówi, gdy wyst puje w nim mniej ni» 3,5% innych metali (np. oªowiu, cynku), oraz gdy nie mniej ni» 60% ogólnej warto±ci rudy dostarczanej przetwórcom jest to war- 14

16 to± srebra. Gªówne zªo»a srebra wyst puj w stree wokóªpacycznej, w Europie gªówne zªo»a wyst puj w Polsce. Krajami, w których wyst puj zªo»a srebra s Meksyk, Kanada, USA, Peru, Australia. W Polsce srebro uzyskuje si gªównie ze zªó» rud miedzi. W handlu u»ywa si srebra ranowanego (oczyszczonego) o czysto±ci 99,9% 99,99% Ag. Rynek srebra jest do± niestabilny i podatny na spekulacje. Gªównym o±rodkiem handlu srebrem jest nowojorska gieªda COMEX. W Europie transakcji srebrem gªównie dokonuje s na Londy«skiej Gieªdzie Metali (LME-London Metal Exchange), codziennie i o staªych porach, po tym jak dwa razy dziennie nast puje xing, czyli ustalenie ceny sprzeda»y. Ceny srebra s niepewne, ewolucja cen srebra ksztaªtowaªa si wedªug praw popytu i poda»y. Gªówne zapasy tego metalu znajduj si w r kach prywatnych, w postaci sztabek, a tak»e w bi»uterii. Cz ± ±wiatowych zapasów znajduje si jako depozyty w bankach. Na gieªdach cena srebra podawana jest w dolarach za uncj jubilersk (USD/tr.oz), gdzie 1 tr.oz.= 31,105g. Zªoto Zªoto (Au) tak jak srebro nale»y do grupy metali szlachetnych. Jest to metal o jasno»óªtej barwie i wyra¹nym poªysku, jest mi kki, plastyczny i kowalny. Charakteryzuje si wysok odporno±ci na korozj, posiada du»a przewodno± ciepln i elektryczn, nie podlega dziaªaniu kwasów. W celu utwardzenia zªota dodaje si do niego dodatki stopowe ligatury. Wyst puje w ziarnach o na ogóª nieregularnym ksztaªcie, ró»nej wielko±ci, zazwyczaj wi ksze ziarna maj porowat powierzchni. Jest to pierwiastek o najmniejszym wyst powaniu w skorupie ziemskiej. Zªoto posiada dªug histori. Wiadomo,»e wydobywa si je i u»ytkuje od co najmniej 6000 lat. Zarówno kiedy±, jak i dzi± zªoto jest traktowane jako ozdoba, no±nik bogactwa, od zawsze byªo ±rodkiem obiegowym. Od I w. p.n.e. wykorzystywane byªo jako ±rodek pªatniczy. Poszukiwania i ch posiadania jak najwi kszych ilo±ci tego kruszcu nap dzaªo odkrycia geograczne, pozwoliªo to po odkryciu Ameryki na dostarczenie du»ych ilo±ci tego metalu do Europy. Zªoto jest specycznym surowcem ze wzgl du na jego ograniczon warto± u»ytkow w codziennym»yciu. Jest to spowodowane tym,»e wi kszo± wydobytego kruszcu tra- a do skarbców, b d¹ jako zabezpieczenie przy niektórych dªugookresowych transakcjach handlowych. Gªównym i jednocze±nie najwa»niejszym mineraªem zªota jest zªoto rodzime. Wyst puje w zªo»ach samodzielnych (okoªo 80-85% zasobów), tak»e w rudach innych metali, najwi cej zªota wyst puje w mineraªach miedzi. Gªówne zªo»a zªota wyst puj w RPA, USA, Australii, Uzbekistanie, Kanadzie. W Polsce zªoto pozyskuje si jako produkt uboczny przy oczyszczaniu miedzi. W przypadku, gdy zªo»e zawiera ponad 500t kruszcu to mo»emy uzna,»e jest to du»e zªo»e, gdy poni»ej 50t jest to zªo»e maªe. Jest kilka 15

17 czynników wpªywaj cych na jako± rud, m.in.: skªad mineralny no±nika zªota, typ chemiczny rud, wielko± i ksztaªt ziaren, domieszki korzystnie i szkodliwe. Poza przemysªem górniczym, istnieje kilka innych sposobów uzyskiwania zªota. Najstarsz technik stosowan przez poszukiwaczy zªota jest pªukanie w panwiach. Nakªady inwestycyjne w sektorze wydobywczym zªota s bardzo du»e. Mo»emy powiedzie,»e inwestycja jest opªacalna, gdy koszty pozyskania zªota s ni»sze ni» cena sprzeda»y. W celu uzyskania nakªadów nansowych na wydobycie stosuje si po»yczki w zªocie a tak»e przedsprzeda» zªota. Zªoto uzyskuje si tak»e z wtórnych surowców, gªównie ze zªomu bi»uterii, a tak»e ze sztabek z rezerw bankowych. W handlu zªoto najcz ±ciej wyst puje w stopach z innymi metalami, czysto± stopów okre±la si prób zªota lub ilo±ci karatów. Surowiec ten dostarczany jest i magazynowany gªównie w oznakowanych sztabkach o próbie i ci»arze okoªo 402 uncji. W jubilerstwie stosuje si stopy zªota zwane ligatur, dzi ki domieszkom stopy te uzyskuj twardo± oraz obni»aj cen produktu. Transakcje zªotem, tak jak srebrem dokonywane s w USD/tr.oz., gªównymi o±rodkami handlu zªotem s Londy«ska Gieªda Zªota (London Gold Market) i gieªda w Zurychu (Goldpool). Na gieªdzie w Londynie tak jak w przypadku srebra dwa razy dziennie nast puje xing, na którym ustalana jest cena równowagi pomi dzy poda» a popytem. Notowane s ceny zªota w postaci sztabek o ci»arze okoªo 12,5kg i czysto±ci Wi kszo± zapasów zªota znajduje si jako zapasy banków narodowych oraz znajduj si w r kach prywatnych. 2.2 Notowania W tabelach 2.1 oraz 2.2 zostaªo przedstawionych 61 warto±ci notowa«odpowiednio dla srebra i zªota z ostatniego dnia roboczego ka»dego miesi ca z okresu , na podstawie których zostaªy obliczone historyczne stopy strat. Mówi one o tym jakie straty zostaªy poniesione na przestrzeni kolejnych miesi cy. Stopy strat zostaªy obliczone za pomoc nast puj cego wzoru: gdzie: i = 1,..., n 1, n - liczba notowa«, v i jest to warto± i-tego notowania, v i+1 jest to warto± notowania nast pnego. S = v i v i+1 v i, Korzystaj c z powy»szego wzoru otrzymali±my 60 stóp strat (warto±ci w tabelach). 16

18 Tablica 2.1: Notowania oraz stopy strat srebra ( ) ( ródªo notowa«: kitco.com. Warto±ci stóp strat obliczone za pomoc programu MS Oce Excel) Lp. Data notowania Warto± notowania [USD/oz] Stopa straty Lp. Data notowania Warto± notowania [USD/oz] Stopa straty , ,760 0, ,695 0, ,960 0, ,755-0, ,280 0, ,555-0, ,120-0, ,900-0, ,790-0, ,700 0, ,510-0, ,340-0, ,210-0, ,600-0, ,110 0, ,550 0, ,630 0, ,080-0, ,520-0, ,680-0, ,940 0, ,900 0, ,630 0, ,360-0, ,540-0, ,310-0, ,450-0, ,350 0, ,570-0, ,500-0, ,140-0, ,250 0, ,990 0, ,540 0, ,290 0, ,930-0, ,120 0, ,950 0, ,500-0, ,650-0, ,620-0, ,320-0, ,530 0, ,230 0, ,740-0, ,760-0, ,660 0, ,740-0, ,870-0, ,620-0, ,070-0, ,990 0, ,960-0, ,470 0, ,130-0, ,850-0, ,630-0, ,650-0, ,750 0, ,480 0,

19 Tablica 2.2: Notowania oraz stopy strat zªota ( ) ( ródªo notowa«: kitco.com. Warto±ci stóp strat obliczone za pomoc programu MS Oce Excel) Lp. Data notowania Warto± notowania [USD/oz] Stopa straty Lp. Data notowania Warto± notowania [USD/oz] Stopa straty , ,00 0, ,00 0, ,50-0, ,00-0, ,75 0, ,00-0, ,50-0, ,50-0, ,75-0, ,50 0, ,50-0, ,10-0, ,00-0, ,50 0, ,50 0, ,25 0, ,25 0, ,75-0, ,50-0, ,70-0, ,50 0, ,00 0, ,00-0, ,50-0, ,50-0, ,20-0, ,75-0, ,75 0, ,00-0, ,00-0, ,75-0, ,10 0, ,50 0, ,50 0, ,50 0, ,50-0, ,25-0, ,00-0, ,50-0, ,00-0, ,25-0, ,50-0, ,50-0, ,50 0, ,00-0, ,75-0, ,00 0, ,25-0, ,00-0, ,50-0, ,00-0, ,50 0, ,75-0, ,00 0, ,50-0, ,75-0, ,50-0, ,25-0, ,00 0, ,00 0, Wykresy 2.1 i 2.2 pokazuj jak zmieniaªy si warto±ci notowa«srebra i zªota na przestrzeni badanych 5 lat. W obu przypadkach widzimy,»e ceny surowców wykazywaªy trendy rosn ce w badanym okresie. 18

20 Rysunek 2.1: Wykres notowa«srebra w dniach (wykonany w programie MSOce Excel) Rysunek 2.2: Wykres notowa«zªota w dniach (wykonany w programie MSOce Excel) 2.3 Analiza rozkªadu Przeprowadzimy teraz analiz rozkªadów dla stóp strat srebra i stóp strat zªota. Korzystaj c z programu R sprawdzimy, czy warto±ci te dla obu surowców posiadaj empiryczny rozkªad normalny. Mo»emy postawi hipotez zerowa o dopasowaniu danych do rozkªadu normalnego, wobec hipotezy alternatywnej,»e dane nie maj rozkªadu normalnego. Formalnie mo»na 19

Ocena ryzyka inwestycyjnego na przykªadzie pary walutowej EUR/USD. 15 czerwca 2010

Ocena ryzyka inwestycyjnego na przykªadzie pary walutowej EUR/USD. 15 czerwca 2010 Ocena ryzyka inwestycyjnego na przykªadzie pary walutowej EUR/USD Anna Barczy«ska Maciej Bieli«ski 15 czerwca 2010 1 Spis tre±ci 1 Forex 3 1.1 EUR/USD............................. 4 2 Waluty 5 2.1 Siªa

Bardziej szczegółowo

Ryzyko inwestycji na rynku kawy i kakao. Optymalny portfel ze wzgl du na VAR i ES. Joanna Dunaj

Ryzyko inwestycji na rynku kawy i kakao. Optymalny portfel ze wzgl du na VAR i ES. Joanna Dunaj Ryzyko inwestycji na rynku kawy i kakao. Optymalny portfel ze wzgl du na VAR i ES. Joanna Dunaj 22 czerwca 2015 Spis tre±ci Wst p 4 1 Analiza danych 5 1.1 Informacje o surowcach................................

Bardziej szczegółowo

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja

Bardziej szczegółowo

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku

Bardziej szczegółowo

Strategie zabezpieczaj ce

Strategie zabezpieczaj ce 04062008 Plan prezentacji Model binarny Model Black Scholesa Bismut- Elworthy -Li formuła Model binarny i opcja call Niech cena akcji w chwili pocz tkowej wynosi S 0 = 21 Zaªó»my,»e ceny akcji po trzech

Bardziej szczegółowo

CAŠKOWANIE METODAMI MONTE CARLO Janusz Adamowski

CAŠKOWANIE METODAMI MONTE CARLO Janusz Adamowski III. CAŠKOWAIE METODAMI MOTE CARLO Janusz Adamowski 1 1 azwa metody Podstawowym zastosowaniem w zyce metody Monte Carlo (MC) jest opis zªo-»onych ukªadów zycznych o du»ej liczbie stopni swobody. Opis zªo»onych

Bardziej szczegółowo

Zastosowania matematyki

Zastosowania matematyki Zastosowania matematyki Monika Bartkiewicz 1 / 126 ...czy«cie dobrze i po»yczajcie niczego si nie spodziewaj c(šk. 6,34-35) Zagadnienie pobierania procentu jest tak stare jak gospodarka pieni»na. Procent

Bardziej szczegółowo

Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE

Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE I STAŠE 1 Liczby losowe Czasami spotkamy si z tak sytuacj,»e b dziemy potrzebowa by program za nas wylosowaª jak ± liczb. U»yjemy do tego polecenia: - liczba losowa Sprawd¹my

Bardziej szczegółowo

wiczenie nr 3 z przedmiotu Metody prognozowania kwiecie«2015 r. Metodyka bada«do±wiadczalnych dr hab. in». Sebastian Skoczypiec Cel wiczenia Zaªo»enia

wiczenie nr 3 z przedmiotu Metody prognozowania kwiecie«2015 r. Metodyka bada«do±wiadczalnych dr hab. in». Sebastian Skoczypiec Cel wiczenia Zaªo»enia wiczenie nr 3 z przedmiotu Metody prognozowania kwiecie«2015 r. wiczenia 1 2 do wiczenia 3 4 Badanie do±wiadczalne 5 pomiarów 6 7 Cel Celem wiczenia jest zapoznanie studentów z etapami przygotowania i

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Wprowadzenie PWSZ Gªogów, 2009 Plan wykªadów Wprowadzenie, podanie zagadnie«, poj cie metody numerycznej i algorytmu numerycznego, obszar zainteresowa«i stosowalno±ci

Bardziej szczegółowo

Metodydowodzenia twierdzeń

Metodydowodzenia twierdzeń 1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych

Bardziej szczegółowo

Zadania z rachunku prawdopodobie«stwa

Zadania z rachunku prawdopodobie«stwa STATYSTYKA 2 rok, informatyka,. Zadania z rachunku prawdopodobie«stwa 1. Niech A B C = Ω, P (B) = 2P (A), P (C) = 3P (A), P (A B) = P (A C) = P (B C). Pokaza,»e 1 P (A) 1. Pokaza,»e oba ograniczenia mog

Bardziej szczegółowo

O pewnej regule alokacji jako sposobie inwestowania na gieªdzie papierów warto±ciowych

O pewnej regule alokacji jako sposobie inwestowania na gieªdzie papierów warto±ciowych O pewnej regule alokacji jako sposobie inwestowania na gieªdzie papierów warto±ciowych Paweª Gªadki 1 Podstawowe poj cia teorii gier dwuosobowych Strategia gracza to reguªa okre±laj ca wybór przez gracza

Bardziej szczegółowo

Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb

Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb 1. Podzielno± Przedmiotem bada«teorii liczb s wªasno±ci liczb caªkowitych. Zbiór liczb caªkowitych oznacza b dziemy symbolem Z. Zbiór liczb naturalnych

Bardziej szczegółowo

KLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE. ogólne - orzekaj co± o wszystkich desygnatach podmiotu szczegóªowe - orzekaj co± o niektórych desygnatach podmiotu

KLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE. ogólne - orzekaj co± o wszystkich desygnatach podmiotu szczegóªowe - orzekaj co± o niektórych desygnatach podmiotu ➏ Filozoa z elementami logiki Na podstawie wykªadów dra Mariusza Urba«skiego Sylogistyka Przypomnij sobie: stosunki mi dzy zakresami nazw KLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE Trzy znaczenia sªowa jest trzy rodzaje

Bardziej szczegółowo

Podstawy statystycznego modelowania danych Analiza prze»ycia

Podstawy statystycznego modelowania danych Analiza prze»ycia Podstawy statystycznego modelowania danych Analiza prze»ycia Tomasz Suchocki Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocªawiu Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierz t Plan wykªadu 1. Wprowadzenie 2. Hazard rate

Bardziej szczegółowo

Modele z czasem dyskretnym

Modele z czasem dyskretnym Rozdziaª 1 Modele z czasem dyskretnym 1.1. Wprowadzenie- rynki dyskretne Dynamika aktywu bazowego i warunki pozyskania pieni dza-opis probabilistyczny Niech cena akcji w chwili pocz tkowej wynosi S 0 =

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Wst p do metod numerycznych. Dawid Rasaªa. January 9, 2012. Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9

Metody numeryczne. Wst p do metod numerycznych. Dawid Rasaªa. January 9, 2012. Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9 Metody numeryczne Wst p do metod numerycznych Dawid Rasaªa January 9, 2012 Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9 Metody numeryczne Czym s metody numeryczne? Istota metod numerycznych Metody numeryczne s

Bardziej szczegółowo

Ryzyko inwestycji na dwóch wybranych rynkach. Optymalny portfel ze względu na VAR i ES. Paweł Karyś

Ryzyko inwestycji na dwóch wybranych rynkach. Optymalny portfel ze względu na VAR i ES. Paweł Karyś Ryzyko inwestycji na dwóch wybranych rynkach. Optymalny portfel ze względu na VAR i ES. Paweł Karyś 11 czerwca 2015 Spis treści 1 Wstęp 2 2 Opis wybranych rynków 3 2.1 WIG20...............................................

Bardziej szczegółowo

Maksymalna liczba punktów do zdobycia: 80. Zadanie 1: a) 6 punktów, b) 3 punkty, Zadanie 2: a) 6 punktów, b) 4 punkty,

Maksymalna liczba punktów do zdobycia: 80. Zadanie 1: a) 6 punktów, b) 3 punkty, Zadanie 2: a) 6 punktów, b) 4 punkty, VII Wojewódzki Konkurs Matematyczny "W ±wiecie Matematyki" im. Prof. Wªodzimierza Krysickiego Etap drugi - 17 lutego 2015 r. Maksymalna liczba punktów do zdobycia: 80. 1. Drugi etap Konkursu skªada si

Bardziej szczegółowo

Eugeniusz Gostomski. Ryzyko stopy procentowej

Eugeniusz Gostomski. Ryzyko stopy procentowej Eugeniusz Gostomski Ryzyko stopy procentowej 1 Stopa procentowa Stopa procentowa jest ceną pieniądza i wyznacznikiem wartości pieniądza w czasie. Wpływa ona z jednej strony na koszt pozyskiwania przez

Bardziej szczegółowo

Mikro II: Krzywe kosztów, Poda» rmy i Poda» gaª zi.

Mikro II: Krzywe kosztów, Poda» rmy i Poda» gaª zi. Mikro II: Krzywe kosztów, Poda» rmy i Poda» gaª zi. Krzysztof Makarski 22 Krzywe kosztów Wst p Celem jest wyprowadzenie funkcji poda»y i jej wªasno±ci. Funkcj poda»y wyprowadzamy z decyzji maksymalizuj

Bardziej szczegółowo

Podstawowe pojęcia: Populacja. Populacja skończona zawiera skończoną liczbę jednostek statystycznych

Podstawowe pojęcia: Populacja. Populacja skończona zawiera skończoną liczbę jednostek statystycznych Podstawowe pojęcia: Badanie statystyczne - zespół czynności zmierzających do uzyskania za pomocą metod statystycznych informacji charakteryzujących interesującą nas zbiorowość (populację generalną) Populacja

Bardziej szczegółowo

Podstawy Ekonomii Matematycznej. Aktualizacja: 9 czerwca 2011

Podstawy Ekonomii Matematycznej. Aktualizacja: 9 czerwca 2011 Podstawy Ekonomii Matematycznej Aktualizacja: 9 czerwca 2011 Spis tre±ci I Elementy matematyki nansowej. 5 1 Procent, stopa procentowa, kapitalizacja. 6 2 Procent prosty. 8 2.1 Zasada oprocentowania prostego,

Bardziej szczegółowo

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej 7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach

Bardziej szczegółowo

EDUKARIS - O±rodek Ksztaªcenia

EDUKARIS - O±rodek Ksztaªcenia - O±rodek Ksztaªcenia Zabrania si kopiowania i rozpowszechniania niniejszego regulaminu przez inne podmioty oraz wykorzystywania go w dziaªalno±ci innych podmiotów. Autor regulaminu zastrzega do niego

Bardziej szczegółowo

Lekcja 8 - ANIMACJA. 1 Polecenia. 2 Typy animacji. 3 Pierwsza animacja - Mrugaj ca twarz

Lekcja 8 - ANIMACJA. 1 Polecenia. 2 Typy animacji. 3 Pierwsza animacja - Mrugaj ca twarz Lekcja 8 - ANIMACJA 1 Polecenia Za pomoc Baltiego mo»emy tworzy animacj, tzn. sprawia by obraz na ekranie wygl daª jakby si poruszaª. Do animowania przedmiotów i tworzenia animacji posªu» nam polecenia

Bardziej szczegółowo

Temat: Co to jest optymalizacja? Maksymalizacja objętości naczynia prostopadłościennego za pomocą arkusza kalkulacyjngo.

Temat: Co to jest optymalizacja? Maksymalizacja objętości naczynia prostopadłościennego za pomocą arkusza kalkulacyjngo. Konspekt lekcji Przedmiot: Informatyka Typ szkoły: Gimnazjum Klasa: II Nr programu nauczania: DKW-4014-87/99 Czas trwania zajęć: 90min Temat: Co to jest optymalizacja? Maksymalizacja objętości naczynia

Bardziej szczegółowo

1 Kodowanie i dekodowanie

1 Kodowanie i dekodowanie 1 Kodowanie i dekodowanie Teoria informacji zajmuje si sposobami gromadzenia, przechowywania oraz przesyªania informacji. W tym celu, a tak»e dla ochrony danych informacje kodujemy. Rozmowa telefoniczna,

Bardziej szczegółowo

Optyka geometryczna. Soczewki. Marcin S. Ma kowicz. rok szk. 2009/2010. Zespóª Szkóª Ponadgimnazjalnych Nr 2 w Brzesku

Optyka geometryczna. Soczewki. Marcin S. Ma kowicz. rok szk. 2009/2010. Zespóª Szkóª Ponadgimnazjalnych Nr 2 w Brzesku skupiaj ce rozpraszaj ce Optyka geometryczna Zespóª Szkóª Ponadgimnazjalnych Nr 2 w Brzesku rok szk. 2009/2010 skupiaj ce rozpraszaj ce Spis tre±ci 1 Wprowadzenie 2 Ciekawostki 3 skupiaj ce Konstrukcja

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZANIA PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ. KORELACJA zmiennych jakościowych (niemierzalnych)

ROZWIĄZANIA PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ. KORELACJA zmiennych jakościowych (niemierzalnych) ROZWIĄZANIA PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ KORELACJA zmiennych jakościowych (niemierzalnych) Zadanie 1 Zapytano 180 osób (w tym 120 mężczyzn) o to czy rozpoczynają dzień od wypicia kawy czy też może preferują herbatę.

Bardziej szczegółowo

Surowiec Zużycie surowca Zapas A B C D S 1 0,5 0,4 0,4 0,2 2000 S 2 0,4 0,2 0 0,5 2800 Ceny 10 14 8 11 x

Surowiec Zużycie surowca Zapas A B C D S 1 0,5 0,4 0,4 0,2 2000 S 2 0,4 0,2 0 0,5 2800 Ceny 10 14 8 11 x Przykład: Przedsiębiorstwo może produkować cztery wyroby A, B, C, i D. Ograniczeniami są zasoby dwóch surowców S 1 oraz S 2. Zużycie surowca na jednostkę produkcji każdego z wyrobów (w kg), zapas surowca

Bardziej szczegółowo

przewidywania zapotrzebowania na moc elektryczn

przewidywania zapotrzebowania na moc elektryczn do Wykorzystanie do na moc elektryczn Instytut Techniki Cieplnej Politechnika Warszawska Slide 1 of 20 do Coraz bardziej popularne staj si zagadnienia zwi zane z prac ¹ródªa energii elektrycznej (i cieplnej)

Bardziej szczegółowo

Hotel Hilberta. Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci. Marcin Kysiak. Festiwal Nauki, 20.09.2011. Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego

Hotel Hilberta. Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci. Marcin Kysiak. Festiwal Nauki, 20.09.2011. Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Festiwal Nauki, 20.09.2011 Nasze do±wiadczenia hotelowe Fakt oczywisty Hotel nie przyjmie nowych go±ci, je»eli wszystkie

Bardziej szczegółowo

Program Sprzeda wersja 2011 Korekty rabatowe

Program Sprzeda wersja 2011 Korekty rabatowe Autor: Jacek Bielecki Ostatnia zmiana: 14 marca 2011 Wersja: 2011 Spis treci Program Sprzeda wersja 2011 Korekty rabatowe PROGRAM SPRZEDA WERSJA 2011 KOREKTY RABATOWE... 1 Spis treci... 1 Aktywacja funkcjonalnoci...

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny:

Zadanie 1. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny: Matematyka ubezpieczeń majątkowych 5.2.2008 r. Zadanie. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny: Pr ( N = k) = 0 dla k = 0,, K, 9. Liczby szkód w

Bardziej szczegółowo

Caªkowanie numeryczne - porównanie skuteczno±ci metody prostokatów, metody trapezów oraz metody Simpsona

Caªkowanie numeryczne - porównanie skuteczno±ci metody prostokatów, metody trapezów oraz metody Simpsona Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisªawa Staszica w Krakowie Wydziaª Fizyki i Informatyki Stosowanej Krzysztof Grz dziel kierunek studiów: informatyka stosowana Caªkowanie numeryczne - porównanie skuteczno±ci

Bardziej szczegółowo

Informacja dotycząca adekwatności kapitałowej HSBC Bank Polska S.A. na 31 grudnia 2010 r.

Informacja dotycząca adekwatności kapitałowej HSBC Bank Polska S.A. na 31 grudnia 2010 r. Informacja dotycząca adekwatności kapitałowej HSBC Bank Polska S.A. na 31 grudnia 2010 r. Spis treści: 1. Wstęp... 3 2. Fundusze własne... 4 2.1 Informacje podstawowe... 4 2.2 Struktura funduszy własnych....5

Bardziej szczegółowo

DANE MAKROEKONOMICZNE (TraderTeam.pl: Rafa Jaworski, Marek Matuszek) Lekcja XXIII

DANE MAKROEKONOMICZNE (TraderTeam.pl: Rafa Jaworski, Marek Matuszek) Lekcja XXIII DANE MAKROEKONOMICZNE (TraderTeam.pl: Rafa Jaworski, Marek Matuszek) Lekcja XXIII Systemy transakcyjne cz.1 Wszelkie prawa zastrze one. Kopiowanie i rozpowszechnianie ca ci lub fragmentu niniejszej publikacji

Bardziej szczegółowo

Fed musi zwiększać dług

Fed musi zwiększać dług Fed musi zwiększać dług Autor: Chris Martenson Źródło: mises.org Tłumaczenie: Paweł Misztal Fed robi, co tylko może w celu doprowadzenia do wzrostu kredytu (to znaczy długu), abyśmy mogli powrócić do tego,

Bardziej szczegółowo

PROJEKT DYPLOMOWY IN YNIERSKI

PROJEKT DYPLOMOWY IN YNIERSKI Politechnika Gda ska Wydzia Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Katedra/Zak ad: Analizy Matematycznej i Numerycznej Kierunek studiów: Matematyka Specjalno : Matematyka finansowa Rodzaj studiów:

Bardziej szczegółowo

Statystyka finansowa

Statystyka finansowa Statystyka finansowa Rynki finansowe Rynek finansowy rynek na którym zawierane są transakcje finansowe polegające na zakupie i sprzedaży instrumentów finansowych Instrument finansowy kontrakt pomiędzy

Bardziej szczegółowo

Temat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1

Temat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Temat: Funkcje. Własności ogólne A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Kody kolorów: pojęcie zwraca uwagę * materiał nieobowiązkowy A n n a R a

Bardziej szczegółowo

W zadaniach na procenty wyró»niamy trzy typy czynno±ci: obliczanie, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba,

W zadaniach na procenty wyró»niamy trzy typy czynno±ci: obliczanie, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba, 2 Procenty W tej lekcji przypomnimy sobie poj cie procentu i zwi zane z nim podstawowe typy zada«. Prosimy o zapoznanie si z regulaminem na ostatniej stronie. 2.1 Poj cie procentu Procent jest to jedna

Bardziej szczegółowo

Przykªadowe analizy. Grzegorz Kemski. 26 listopada 2008

Przykªadowe analizy. Grzegorz Kemski. 26 listopada 2008 26 listopada 2008 Plan wykªadu Prezentacja danych i metod statystycznych u»ytych w artykuªach: 'Why living-donor renal transplant yields better outcomes than cadaver renal transplant?' L. Guirado, E. Vela,

Bardziej szczegółowo

Krótkoterminowe planowanie finansowe na przykładzie przedsiębiorstw z branży 42

Krótkoterminowe planowanie finansowe na przykładzie przedsiębiorstw z branży 42 Krótkoterminowe planowanie finansowe na przykładzie przedsiębiorstw z branży 42 Anna Salata 0 1. Zaproponowanie strategii zarządzania środkami pieniężnymi. Celem zarządzania środkami pieniężnymi jest wyznaczenie

Bardziej szczegółowo

E2 - PROBABILISTYKA - Zadania do oddania

E2 - PROBABILISTYKA - Zadania do oddania E - PROBABILISTYKA - Zadania do oddania Parametr k = liczba trzycyfrowa dwie ostatnie cyfry to dwie ostatnie cyfry numeru indeksu pierwsza cyfra to pierwsza cyfra liczby liter pierwszego imienia. Poszczególne

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna 1. Podaj denicj liczby zespolonej. 2. Jak obliczy sum /iloczyn dwóch liczb zespolonych w postaci algebraicznej? 3. Co to jest liczba urojona?

Bardziej szczegółowo

Zastosowania matematyki

Zastosowania matematyki Zastosowania matematyki Monika Bartkiewicz 1 / 143 Dyskonto-przypomnienie Obliczanie kapitaªu pocz tkowego P v na podstawie znanej warto±ci kapitaªu ko«cowego F v nazywa si dyskontowaniem kapitaªu F v.

Bardziej szczegółowo

Wykªad 10. Spis tre±ci. 1 Niesko«czona studnia potencjaªu. Fizyka 2 (Informatyka - EEIiA 2006/07) c Mariusz Krasi«ski 2007

Wykªad 10. Spis tre±ci. 1 Niesko«czona studnia potencjaªu. Fizyka 2 (Informatyka - EEIiA 2006/07) c Mariusz Krasi«ski 2007 Wykªad 10 Fizyka 2 (Informatyka - EEIiA 2006/07) 08 05 2007 c Mariusz Krasi«ski 2007 Spis tre±ci 1 Niesko«czona studnia potencjaªu 1 2 Laser 3 2.1 Emisja spontaniczna...........................................

Bardziej szczegółowo

Matematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia 2011. Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej

Matematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia 2011. Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej Matematyka wykªad 1 Macierze (1) Andrzej Torój Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej 17 wrze±nia 2011 Plan wykªadu 1 2 3 4 5 Plan prezentacji 1 2 3 4 5 Kontakt moja strona internetowa:

Bardziej szczegółowo

JAK INWESTOWAĆ W ROPĘ?

JAK INWESTOWAĆ W ROPĘ? JAK INWESTOWAĆ W ROPĘ? Za pośrednictwem platformy inwestycyjnej DIF Freedom istnieje wiele sposobów inwestowania w ropę naftową. Zacznijmy od instrumentu, który jest związany z najmniejszym ryzykiem inwestycyjnym

Bardziej szczegółowo

Analiza wydajno±ci serwera openldap

Analiza wydajno±ci serwera openldap Analiza wydajno±ci serwera openldap Autor: Tomasz Kowal 13 listopada 2003 Wst p Jako narz dzie testowe do pomiarów wydajno±ci i oceny konguracji serwera openldap wykorzystano pakiet DirectoryMark w wersji

Bardziej szczegółowo

Projekt dyplomowy inżynierski

Projekt dyplomowy inżynierski Katedra Analizy Matematycznej i Numerycznej Kierunek Matematyka Specjalność Matematyka finansowa Studia stacjonarne Karolina Pelcer Projekt dyplomowy inżynierski Temat projektu: Ocena ryzyka inwestycyjnego

Bardziej szczegółowo

JAK INWESTOWAĆ W ZŁOTO?

JAK INWESTOWAĆ W ZŁOTO? JAK INWESTOWAĆ W ZŁOTO? W złoto można inwestować na wiele różnych sposobów. W złoto można inwestować po prostu w fizyczny sposób zakupując monety i sztabki. Największym problemem w tego typu inwestycji

Bardziej szczegółowo

IV Krakowska Konferencja Matematyki Finansowej

IV Krakowska Konferencja Matematyki Finansowej IV Krakowska Konferencja Matematyki Finansowej dr inż. Bartosz Krysta Członek Zarządu ds. Zarządzania Portfelem Enea Trading Sp. z o.o. Kraków, 18.04.2015 r. Agenda Wycena ryzyka - istota Zniżkowy trend

Bardziej szczegółowo

Elementy Modelowania Matematycznego Wykªad 9 Systemy kolejkowe

Elementy Modelowania Matematycznego Wykªad 9 Systemy kolejkowe Elementy Modelowania Matematycznego Wykªad 9 Systemy kolejkowe Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis tre±ci 1 2 3 Spis tre±ci 1 2 3 Spis tre±ci 1 2 3 Teoria masowej obsªugi,

Bardziej szczegółowo

Kontrakty terminowe na WIBOR

Kontrakty terminowe na WIBOR Kontrakty terminowe na WIBOR W Polsce podstawowym wskaźnikiem odzwierciedlającym koszt pieniądza na rynku międzybankowym jest WIBOR (ang. Warsaw Interbank Offered Rate). Jest to średnia stopa procentowa

Bardziej szczegółowo

Wykorzystanie funkcji powiązań do pomiaru ryzyka rynkowego. Katarzyna Kuziak

Wykorzystanie funkcji powiązań do pomiaru ryzyka rynkowego. Katarzyna Kuziak Wykorzystanie funkcji powiązań do pomiaru ryzyka rynkowego Katarzyna Kuziak Cel: łączenie różnych rodzajów ryzyka rynkowego za pomocą wielowymiarowej funkcji powiązań 2 Ryzyko rynkowe W pomiarze ryzyka

Bardziej szczegółowo

Cz ± III. Testowanie hipotez statystycznych

Cz ± III. Testowanie hipotez statystycznych Cz ± III Testowanie hipotez statystycznych 85 Rozdziaª 7 Testy istotno±ci W tym rozdziale spróbujemy wyja±ni, na czym polega zagadnienie testowania hipotez statystycznych. Poka»emy, jak konstruuje si

Bardziej szczegółowo

Twoja droga do zysku! Typy inwestycyjne Union Investment TFI

Twoja droga do zysku! Typy inwestycyjne Union Investment TFI Twoja droga do zysku! Typy inwestycyjne Union Investment TFI Co ma najwyższy potencjał zysku w średnim terminie? Typy inwestycyjne na 12 miesięcy Subfundusz UniStrategie Dynamiczny UniKorona Pieniężny

Bardziej szczegółowo

Wykorzystaj szans na wi kszy zysk Inwestuj w metale szlachetne. Inwestycyjne ubezpieczenie na ycie subskrypcja Z OTO i PLATYNA

Wykorzystaj szans na wi kszy zysk Inwestuj w metale szlachetne. Inwestycyjne ubezpieczenie na ycie subskrypcja Z OTO i PLATYNA Wykorzystaj szans na wi kszy zysk Inwestuj w metale szlachetne Inwestycyjne ubezpieczenie na ycie subskrypcja Z OTO i PLATYNA Inwestycyjne ubezpieczenie na ycie to: mo liwoêç udzia u w zyskach z inwestycji

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący

Bardziej szczegółowo

MNIEJ I BARDZIEJ ZNANE PROBLEMY TEORII LICZB

MNIEJ I BARDZIEJ ZNANE PROBLEMY TEORII LICZB MNIEJ I BARDZIEJ ZNANE PROBLEMY TEORII LICZB PAWEŠ GŠADKI Teoria liczb, mogªoby si wydawa, jest gaª zi matematyki zajmuj c si histori i lozo poj cia liczby, jego rozwojem i uogólnieniami. W rzeczywisto±ci

Bardziej szczegółowo

Zadania ćwiczeniowe do przedmiotu Makroekonomia I

Zadania ćwiczeniowe do przedmiotu Makroekonomia I Dr. Michał Gradzewicz Zadania ćwiczeniowe do przedmiotu Makroekonomia I Ćwiczenia 3 i 4 Wzrost gospodarczy w długim okresie. Oszczędności, inwestycje i wybrane zagadnienia finansów. Wzrost gospodarczy

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 12.10.2002 r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 12.10.2002 r. Matematya ubezpieczeń majątowych.0.00 r. Zadanie. W pewnym portfelu ryzy ubezpieczycielowi udaje się reompensować sobie jedną trzecią wartości pierwotnie wypłaconych odszodowań w formie regresów. Oczywiście

Bardziej szczegółowo

Strategia czy intuicja?

Strategia czy intuicja? Strategia czy intuicja czyli o grach niesko«czonych Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Grzegorzewice, 29 sierpnia 2009 Denicja gry Najprostszy przypadek: A - zbiór (na ogóª co najwy»ej przeliczalny),

Bardziej szczegółowo

Wst p do informatyki. Systemy liczbowe. Piotr Fulma«ski. 21 pa¹dziernika 2010. Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska

Wst p do informatyki. Systemy liczbowe. Piotr Fulma«ski. 21 pa¹dziernika 2010. Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska Wst p do informatyki Systemy liczbowe Piotr Fulma«ski Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska 21 pa¹dziernika 2010 Spis tre±ci 1 Liczby i ich systemy 2 Rodzaje systemów liczbowych

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego

Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego Przykład Cena metra kwadratowego (w tys. zł) z dla 14 losowo wybranych mieszkań w

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Interpolacja PWSZ Gªogów, 2009 Interpolacja Okre±lenie zale»no±ci pomi dzy interesuj cymi nas wielko±ciami, Umo»liwia uproszczenie skomplikowanych funkcji (np. wykorzystywana

Bardziej szczegółowo

Porównanie generatorów liczb losowych wykorzystywanych w arkuszach kalkulacyjnych

Porównanie generatorów liczb losowych wykorzystywanych w arkuszach kalkulacyjnych dr Piotr Sulewski POMORSKA AKADEMIA PEDAGOGICZNA W SŁUPSKU KATEDRA INFORMATYKI I STATYSTYKI Porównanie generatorów liczb losowych wykorzystywanych w arkuszach kalkulacyjnych Wprowadzenie Obecnie bardzo

Bardziej szczegółowo

Wyniki finansowe funduszy inwestycyjnych i towarzystw funduszy inwestycyjnych w 2011 roku 1

Wyniki finansowe funduszy inwestycyjnych i towarzystw funduszy inwestycyjnych w 2011 roku 1 Warszawa, 26 czerwca 2012 r. Wyniki finansowe funduszy inwestycyjnych i towarzystw funduszy inwestycyjnych w 2011 roku 1 W końcu 2011 r. na polskim rynku finansowym funkcjonowały 484 fundusze inwestycyjne

Bardziej szczegółowo

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii.

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii. Rozkład normalny Rozkład normalny jest niezwykle ważnym rozkładem prawdopodobieństwa w wielu dziedzinach. Nazywa się go także rozkładem Gaussa, w szczególności w fizyce i inżynierii. W zasadzie jest to

Bardziej szczegółowo

Aleksander Adamowski (s1869) zmienn ą losow ą T o rozkładzie wykładniczym o średniej 5 minut.

Aleksander Adamowski (s1869) zmienn ą losow ą T o rozkładzie wykładniczym o średniej 5 minut. Zadanie Statystyczna Analiza Danych - Zadania 6 Aleksander Adamowski (s869) W pewnym biurze czas losowo wybranej rozmowy telefonicznej jest zmienn ą losow ą T o rozkładzie wykładniczym o średniej 5 minut.

Bardziej szczegółowo

Warszawska Giełda Towarowa S.A.

Warszawska Giełda Towarowa S.A. KONTRAKT FUTURES Poprzez kontrakt futures rozumiemy umowę zawartą pomiędzy dwoma stronami transakcji. Jedna z nich zobowiązuje się do kupna, a przeciwna do sprzedaży, w ściśle określonym terminie w przyszłości

Bardziej szczegółowo

Wskaźniki oparte na wolumenie

Wskaźniki oparte na wolumenie Wskaźniki oparte na wolumenie Łukasz Bąk Wrocław 2006 1 Wolumen Wolumen reprezentuje aktywność inwestorów krótko- i długoterminowych na rynku. Każda jednostka wolumenu jest wynikiem działania dwóch osób

Bardziej szczegółowo

Ogólna charakterystyka kontraktów terminowych

Ogólna charakterystyka kontraktów terminowych Jesteś tu: Bossa.pl Kurs giełdowy - Część 10 Ogólna charakterystyka kontraktów terminowych Kontrakt terminowy jest umową pomiędzy dwiema stronami, z których jedna zobowiązuje się do nabycia a druga do

Bardziej szczegółowo

WFiIS Imi i nazwisko: Rok: Zespóª: Nr wiczenia: Fizyka Dominik Przyborowski IV 5 22 J drowa Katarzyna Wolska

WFiIS Imi i nazwisko: Rok: Zespóª: Nr wiczenia: Fizyka Dominik Przyborowski IV 5 22 J drowa Katarzyna Wolska WFiIS Imi i nazwisko: Rok: Zespóª: Nr wiczenia: Fizyka Dominik Przyborowski IV 5 22 J drowa Katarzyna Wolska Temat wiczenia: Wyznaczanie stosunku przekrojów czynnych na aktywacj neutronami termicznymi

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu.

MATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu. INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy na studia medyczne Rok szkolny 00/0 tel. 050 38 39 55 www.medicus.edu.pl MATEMATYKA 4 FUNKCJA KWADRATOWA Funkcją kwadratową lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję

Bardziej szczegółowo

Wykªady z analizy matematycznej dla studentów informatyki Politechniki Lubelskiej. A. Bobrowski

Wykªady z analizy matematycznej dla studentów informatyki Politechniki Lubelskiej. A. Bobrowski Wykªady z analizy matematycznej dla studentów informatyki Politechniki Lubelskiej A. Bobrowski Spis tre±ci Teoria zbie»no±ci ci gów liczbowych strona 6. Gªówne zagadnienia 6.2 Granice sko«czone i niesko«czone

Bardziej szczegółowo

DANE MAKROEKONOMICZNE (TraderTeam.pl: Rafa Jaworski, Marek Matuszek) Lekcja V

DANE MAKROEKONOMICZNE (TraderTeam.pl: Rafa Jaworski, Marek Matuszek) Lekcja V DANE MAKROEKONOMICZNE (TraderTeam.pl: Rafa Jaworski, Marek Matuszek) Lekcja V Inflacja (CPI, PPI) Wszelkie prawa zastrze one. Kopiowanie i rozpowszechnianie ca ci lub fragmentu niniejszej publikacji w

Bardziej szczegółowo

Quercus TFI S.A.: Wyniki finansowe w roku 2014 Spotkanie z Analitykami i Zarządzającymi

Quercus TFI S.A.: Wyniki finansowe w roku 2014 Spotkanie z Analitykami i Zarządzającymi Quercus TFI S.A.: Wyniki finansowe w roku 2014 Spotkanie z Analitykami i Zarządzającymi Sebastian Buczek, Prezes Zarządu Quercus TFI S.A. Warszawa, 26 lutego 2015 r. 2 Historia 21 VIII 2007 założenie Quercus

Bardziej szczegółowo

1 Miary asymetrii i koncentracji

1 Miary asymetrii i koncentracji Studia podyplomowe w zakresie technik internetowych i komputerowej analizy danych Podstawy statystyki opisowej Adam Kiersztyn 3 godziny lekcyjne 2011-10-22 10.10-12.30 1 Miary asymetrii i koncentracji

Bardziej szczegółowo

Planowanie adresacji IP dla przedsibiorstwa.

Planowanie adresacji IP dla przedsibiorstwa. Planowanie adresacji IP dla przedsibiorstwa. Wstp Przy podejciu do planowania adresacji IP moemy spotka si z 2 głównymi przypadkami: planowanie za pomoc adresów sieci prywatnej przypadek, w którym jeeli

Bardziej szczegółowo

RZECZPOSPOLITA POLSKA. Prezydent Miasta na Prawach Powiatu Zarząd Powiatu. wszystkie

RZECZPOSPOLITA POLSKA. Prezydent Miasta na Prawach Powiatu Zarząd Powiatu. wszystkie RZECZPOSPOLITA POLSKA Warszawa, dnia 11 lutego 2011 r. MINISTER FINANSÓW ST4-4820/109/2011 Prezydent Miasta na Prawach Powiatu Zarząd Powiatu wszystkie Zgodnie z art. 33 ust. 1 pkt 2 ustawy z dnia 13 listopada

Bardziej szczegółowo

Zadania powtórzeniowe I. Ile wynosi eksport netto w gospodarce, w której oszczędności równają się inwestycjom, a deficyt budżetowy wynosi 300?

Zadania powtórzeniowe I. Ile wynosi eksport netto w gospodarce, w której oszczędności równają się inwestycjom, a deficyt budżetowy wynosi 300? Zadania powtórzeniowe I Adam Narkiewicz Makroekonomia I Zadanie 1 (5 punktów) Ile wynosi eksport netto w gospodarce, w której oszczędności równają się inwestycjom, a deficyt budżetowy wynosi 300? Przypominamy

Bardziej szczegółowo

Inne kryteria tworzenia portfela. Inne kryteria tworzenia portfela. Poziom bezpieczeństwa. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 3. Dr Katarzyna Kuziak

Inne kryteria tworzenia portfela. Inne kryteria tworzenia portfela. Poziom bezpieczeństwa. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 3. Dr Katarzyna Kuziak Inne kryteria tworzenia portfela Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 3 Dr Katarzyna Kuziak. Minimalizacja ryzyka przy zadanym dochodzie Portfel efektywny w rozumieniu Markowitza odchylenie standardowe

Bardziej szczegółowo

KOMISJA NADZORU FINANSOWEGO

KOMISJA NADZORU FINANSOWEGO KOMISJA NADZORU FINANSOWEGO PLAC POWSTAŃ CÓW WARSZAWY 1, 00-950 WARSZAWA WNIOSEK O ZATWIERDZENIE ANEKSU DO PROSPEKTU EMISYJNEGO zatwierdzonego w dniu 6 marca 2008 r. decyzją nr DEM/410/4/26/08 (Na podstawie

Bardziej szczegółowo

10. / 42! 1 A$!! )$$$% 0 " + 42 + 1 +! "!" 1!" ""!1!!!!42 % "" t "1%/4( " +. 7 4'8 A. 5.62 B. 5.67 C. 5.72 D. 5.77 E. 5.82

10. / 42! 1 A$!! )$$$% 0  + 42 + 1 +! ! 1! !1!!!!42 %  t 1%/4(  +. 7 4'8 A. 5.62 B. 5.67 C. 5.72 D. 5.77 E. 5.82 Matematyka finansowa 09.12.2000 r. 10. / 42! 1 A$!! )$$$% 0 " + 42 + 1 +! "!" 1!" ""!1!!!!42 % "" * t "1%/4( " + i 10%. 7 4'8 A. 5.62 B. 5.67 C. 5.72 D. 5.77 E. 5.82 10 Matematyka finansowa 24.03.2001

Bardziej szczegółowo

Metody analizy funkcji przeżycia

Metody analizy funkcji przeżycia Metody analizy funkcji przeżycia Page 1 of 26 1. 1.1. Analiza czasu przeżycia Badamy czas T jaki musi upłynąć, by nastąpiło pewne interesujące nas zdarzenie. Najbardziej typowym przykładem takiej analizy

Bardziej szczegółowo

AUTOR MAGDALENA LACH

AUTOR MAGDALENA LACH PRZEMYSŁY KREATYWNE W POLSCE ANALIZA LICZEBNOŚCI AUTOR MAGDALENA LACH WARSZAWA, 2014 Wstęp Celem raportu jest przedstawienie zmian liczby podmiotów sektora kreatywnego na obszarze Polski w latach 2009

Bardziej szczegółowo

7. OPRACOWYWANIE DANYCH I PROWADZENIE OBLICZEŃ powtórka

7. OPRACOWYWANIE DANYCH I PROWADZENIE OBLICZEŃ powtórka 7. OPRACOWYWANIE DANYCH I PROWADZENIE OBLICZEŃ powtórka Oczekiwane przygotowanie informatyczne absolwenta gimnazjum Zbieranie i opracowywanie danych za pomocą arkusza kalkulacyjnego Uczeń: wypełnia komórki

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA WROCŠAWSKA WYDZIAŠ ELEKTRONIKI PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA

POLITECHNIKA WROCŠAWSKA WYDZIAŠ ELEKTRONIKI PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA POLITECHNIKA WROCŠAWSKA WYDZIAŠ ELEKTRONIKI Kierunek: Specjalno± : Automatyka i Robotyka (AIR) Robotyka (ARR) PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA Podatny manipulator planarny - budowa i sterowanie Vulnerable planar

Bardziej szczegółowo

Od redakcji. Symbolem oznaczono zadania wykraczające poza zakres materiału omówionego w podręczniku Fizyka z plusem cz. 2.

Od redakcji. Symbolem oznaczono zadania wykraczające poza zakres materiału omówionego w podręczniku Fizyka z plusem cz. 2. Od redakcji Niniejszy zbiór zadań powstał z myślą o tych wszystkich, dla których rozwiązanie zadania z fizyki nie polega wyłącznie na mechanicznym przekształceniu wzorów i podstawieniu do nich danych.

Bardziej szczegółowo

1 Praktyczne metody wyznaczania podstawowych miar bez zastosowania komputerów

1 Praktyczne metody wyznaczania podstawowych miar bez zastosowania komputerów Kurs w zakresie zaawansowanych metod komputerowej analizy danych Podstawy statystycznej analizy danych 8.03.014 - godziny ćwiczeń autor: Adam Kiersztyn 1 Praktyczne metody wyznaczania podstawowych miar

Bardziej szczegółowo

Konspekt lekcji otwartej

Konspekt lekcji otwartej Konspekt lekcji otwartej Przedmiot: Temat lekcji: informatyka Modelowanie i symulacja komputerowa prawidłowości w świecie liczb losowych Klasa: 2 g Data zajęć: 21.12.2004. Nauczyciel: Roman Wyrwas Czas

Bardziej szczegółowo

GŁÓWNY URZĄD STATYSTYCZNY. Wyniki finansowe banków w I kwartale 2014 r. 1

GŁÓWNY URZĄD STATYSTYCZNY. Wyniki finansowe banków w I kwartale 2014 r. 1 GŁÓWNY URZĄD STATYSTYCZNY Departament Studiów Makroekonomicznych i Finansów Warszawa, 18 czerwca 2014 r. Informacja sygnalna Wyniki finansowe banków w I kwartale 2014 r. 1 W końcu marca 2014 r. działalność

Bardziej szczegółowo

GŁÓWNY URZĄD STATYSTYCZNY

GŁÓWNY URZĄD STATYSTYCZNY GŁÓWNY URZĄD STATYSTYCZNY Departament Studiów Makroekonomicznych i Finansów Warszawa, 19 września 2014 r. Informacja sygnalna Wyniki finansowe banków w I półroczu 2014 r. 1 W końcu czerwca 2014 r. działalność

Bardziej szczegółowo

Jak Polacy podchodz do funduszy inwestycyjnych?

Jak Polacy podchodz do funduszy inwestycyjnych? Jak Polacy podchodz do funduszy inwestycyjnych? Podsumowanie badania Polska zrealizowanego przez Instytut Homo Homini wrzesie 2014 Ilu Polaków inwestuje w fundusze? 14% Polaków posiada jednostki funduszy

Bardziej szczegółowo

Ksztaªt orbity planety: I prawo Keplera

Ksztaªt orbity planety: I prawo Keplera V 0 V 0 Ksztaªt orbity planety: I prawo Keplera oka»emy,»e orbit planety poruszaj cej si pod dziaªaniem siªy ci»ko±ci ze strony Sªo«ca jest krzywa sto»kowa, w szczególno±ci elipsa. Wektor pr dko±ci planety

Bardziej szczegółowo