æ Inżynieria Finansowa Egzamin Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 28 stycznia 2003 roku

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "æ Inżynieria Finansowa Egzamin Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 28 stycznia 2003 roku"

Transkrypt

1 æ Inżynieria Finansowa Egzamin Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 28 stycznia 2003 roku Uwagi i zasady 1. Rozwiązania zadań rachunkowych muszą zawierać objaśnienia do wykonywanych obliczeń pokazujące i uzasadniające przyjęty sposób rozwiązywania. Za brak objaśnień będą odejmowane punkty, w skrajnych przypadkach wszystkie. 2. Każde zadanie proszę napisać na osobnej i podpisanej kartce. 3. Proszę pisać wyraźnie! 4. Nie wolno ściągać. Osoby przyłapane na ściąganiu zostaną usunięte z egzaminu z oceną niedostateczną. 5. Osoby, które chcą otrzymać informację o wyniku egzaminu pocztą elektroniczną, proszę o podanie adresu (czytelnie!). Zadanie 1. (a) Dane są następujące wielkości: sześcio-miesięczna stopa depozytowa wynosi 6%, kwotowania kontraktów FRA na przyszłą stopę procentową wynoszą FRA6x12-6.2%, FRA12x18-6.3%, stopa dwuletniego kontraktu IRS wynosi 6.5%, ceny obligacji zerokuponowych, które zapadają za dwa i pół roku oraz za trzy lata, wynoszą odpowiednio B(2 1 2Y ) = 85 oraz B(3Y ) = Wyznacz wartości czynników dyskontowych dla okresów czasu będących wielokrotnościami sześcio-miesięcznych okresów do trzech lat włącznie. W obliczeniach, dla uproszczenia, n przyjmij, że długość n-miesięcznego okresu czasu (n = 6, 12, 18, 24, 30, 36) wynosi 12 lat. (b) Rozpatrzmy jednowalutowy kontrakt wymiany procentowej typu fixed/float ze zmiennym nominałem o czasie trwania 3 lata. W trakcie trwania kontraktu nominał kontraktu jest redukowany o 20% początkowej wartości (tj. wartości w chwili zawarcia) po każdym rocznym okresie odsetkowym. Odsetki po stronie stałej (fixed leg) są płacone co roku, a po stronie zmiennej (float leg) co pół roku. Przy danych rynkowych podanych w punkcie (a) wyceń ten kontrakt, tzn. oblicz stopę stałej strony kontraktu, przy której wartość tego kontraktu w chwili zawarcia wynosi zero. Zadanie 2. Rozpatrzmy opcję amerykańską put na kurs wymiany S [PLN/USD] o czasie trwania 9 miesięcy, cenie wykonania 4.50 PLN/USD, i o nominale USD. Wyceń tę opcję na trzy-okresowym drzewie dwumianowym przy następujących danych: bieżący kurs wymiany wynosi 4.00 PLN/USD, zmienność kursu wymiany w rozpatrywanym okresie wynosi 25%, ceny amerykańskich bonów skarbowych wynoszą odpowiednio

2 B USD (3M) = 99.00, B USD (6M) = 96.03, oraz B USD (9M) = 91.23, ceny polskich bonów skarbowych wynoszą odpowiednio B PLN (3M) = 97.00, B PLN (6M) = 92.15, oraz B PLN (9M) = W obliczeniach, dla uproszczenia, przyjmij, że 3M = 1 4 roku, 6M = 1 2 roku, oraz 9M = 3 4 roku. Zadanie 3. Załóżmy, że proces S(t), który opisuje ceny akcji niepłacącej dywidendy, spełnia w świecie wolnym od ryzyka równanie ds = rsdt + σsdw t. Zakładamy, że r - stopa wolna od ryzyka, oraz σ - zmienność akcji, są stałe. (a) Znajdź równanie, które w świecie wolnym od ryzyka spełnia proces S (α) (t) = (S(t)) α, gdzie α > 0. (b) Wyprowadź wzór na wycenę opcji europejskiej, której wypłata w chwili wygaśnięcia T wynosi max(s (α) (T ) K α, 0). Przy wyprowadzaniu wzoru możesz wykorzystać znane Ci formuły Blacka-Scholesa na wycenę opcji europejskich. Zadanie 4. Rozpatrzmy binarne opcje europejskie call: o funkcji wypłaty H(S(T ) K), put: o funkcji wypłaty H(K S(T )), gdzie K jest ceną wykonania, a H jest funkcją Heaviside a (H(x) = 1 gdy x 0, oraz H(x) = 0 gdy x < 0). (a) Wyprowadź tzw. parytet call-put dla opcji binarnych, czyli związek pomiędzy ceną opcji call oraz ceną opcji put. (b) Przy założeniach identycznych jak przy dowodzie formuł Blacka-Scholesa na cenę waniliowych (tzn. prostych, klasycznych) opcji, wyprowadź wzór na cenę binarnej opcji europejskiej call. Przyjmij następujące oznaczenia: T - czas trwania opcji, r - stopa wolna od ryzyka, σ - zmienność akcji. Wypisz dokładnie założenia przy których przeprowadzasz wyprowadzenie wzoru na cenę opcji. Wypisując wzór zastosuj notację analogiczną do przyjętej w standardowych formułach Blacka-Scholesa.

3 æ Inżynieria Finansowa Rozwiązania Zadań z Egzaminu 18 lutego 2003 roku Zadanie 1. (a) Dane są następujące wielkości: sześcio-miesięczna stopa depozytowa wynosi 6.00%, kwotowania kontraktów FRA na przyszłą stopę procentową wynoszą FRA6x %, FRA12x %, stopa dwuletniego kontraktu IRS wynosi 6.50%, ceny obligacji zerokuponowych, które zapadają za dwa i pół roku oraz za trzy lata, wynoszą odpowiednio B(2 1 2Y ) = oraz B(3Y ) = Wyznacz wartości czynników dyskontowych dla okresów czasu będących wielokrotnościami sześcio-miesięcznych okresów do trzech lat włącznie. W obliczeniach, dla uproszczenia, n przyjmij, że długość n-miesięcznego okresu czasu (n = 6, 12, 18, 24, 30, 36) wynosi 12 lat. (b) Rozpatrzmy jednowalutowy kontrakt wymiany procentowej typu fixed/float ze zmiennym nominałem o czasie trwania 3 lata. W trakcie trwania kontraktu nominał kontraktu jest redukowany o 20% początkowej wartości (tj. wartości w chwili zawarcia) po każdym rocznym okresie odsetkowym. Odsetki po stronie stałej (fixed leg) są płacone co roku, a po stronie zmiennej (float leg) co pół roku. Przy danych rynkowych podanych w punkcie (a) wyceń ten kontrakt, tzn. oblicz stopę stałej strony kontraktu, przy której wartość tego kontraktu w chwili zawarcia wynosi zero. Rozwiązanie (a) Czynniki dyskontowe ze stawki Depo: DF ( 1 2 Y ) = R depo ( 1 2 Y ) 1 2 = = z FRA: oraz DF (1Y ) = DF ( 1 2 Y ) 1 + R FRA6x DF (1 1 2 Y ) = DF (1Y ) 1 + R FRA12x = = = , = z IRS (przy założeniu że IRS płaci roczne odsetki po nodze stałej): Korzystając z warunku NP V (noga zmienna) = NP V (noga stała), który przybiera w naszym przypadku postać 1 DF (2Y ) = R IRS DF (1Y ) 1 + R IRS DF (2Y ) 1,

4 otrzymujemy DF (2Y ) = 1 R IRSDF (1Y ) R IRS 1 = = Gdyby przyjąć, że IRS płaci stałe odsetki co pół roku, zasada obliczania DF (2Y ) jest analogiczna tyle że mamy więcej rachunków. z obligacji zerokuponowych DF (2 1 2 Y ) = B(21 Y )/100 = 0.85 oraz DF (3Y ) = B(3Y )/100 = (b) Będą nam potrzebne 6M stopy forward F ( k 2 2 Y ) gdzie k = 1, 2,..., 5, bo nasz 3Y IRS (ze zmiennym nominałem) po stronie zmiennej płaci odsetki co pół roku. Dla pierwszego 6M okresu stopa odsetek jest już ustalona i jest to dana 6M stopa depozytowa. Dla dwóch następnych okresów są to podane stopy kontraktów FRA: Y, k+1 F ( 1 2 Y, 1Y ) = R FRA6x12 oraz F (1Y, Y ) = R FRA12x18. Dla pozostałych trzech 6M okresów od k 2 wyznaczamy z wzoru ( F ( k 2 Y, k + 1 DF ( k 2 Y ) = Y ) ) 2 DF ( k+1 2 Y ) 1 /( 1 2 ). k+1 Y do 2 Y, gdzie k = 3, 4, 5, stopy forward Po obliczeniach F ( 3 2 Y, 2Y ) = , F (2Y, 5 2 Y ) = , oraz F ( 5 2Y, 3Y ) = Nominał kontraktu zmienia się w czasie trwania kontraktu: w pierwszym roku wynosi 1, w drugim 0.80, a w trzecim Niech R oznacza szukaną stopę kontraktu IRS. Płatności nogi stałej wynoszą wtedy CF (1Y ) = R 1 1, CF (2Y ) = R 0.8 1, CF (3Y ) = R Natomiast płatności nogi zmiennej wynoszą: w pierwszym roku CF ( 1 2 Y ) = R depo = 0, 03 CF (1Y ) = R FRA6x = 0, 031, w drugim roku CF (1 1 2 Y ) = R FRA12x = 0, 0252, CF (2Y ) = F ( 3 2 Y, 2Y ) = 0,

5 oraz w trzecim roku CF (2 1 2 Y ) = F (2Y, 5 2 Y ) CF (3Y ) = F ( 5 2 Y, 3Y ) = 0, , = 0, NPV nogi zmiennej wynosi NP V (noga zmienna) = 6 CF ( k 2 Y ) DF (k 2 Y ) = k=1 Warunek na stopę R to równość NPV nogi stałej i NPV nogi zmiennej. Stąd R = NP V (noga zmienna) DF (1Y ) + DF (2Y ) DF (3Y ) 0.6 = = Zadanie 2. Rozpatrzmy opcję amerykańską put na kurs wymiany S [PLN/USD] o czasie trwania 9 miesięcy, cenie wykonania 4.50 PLN/USD, i o nominale USD. Wyceń tę opcję na trzy-okresowym drzewie dwumianowym przy następujących danych: bieżący kurs wymiany wynosi 4.00 PLN/USD, zmienność kursu wymiany w rozpatrywanym okresie wynosi 25%, ceny amerykańskich bonów skarbowych wynoszą odpowiednio B USD (3M) = 99.00, B USD (6M) = 96.03, oraz B USD (9M) = 91.23, ceny polskich bonów skarbowych wynoszą odpowiednio B PLN (3M) = 97.00, B PLN (6M) = 92.15, oraz B PLN (9M) = W obliczeniach, dla uproszczenia, przyjmij, że 3M = 1 4 roku, 6M = 1 2 roku, oraz 9M = 3 4 roku. Rozwiązanie Jest to prawie standardowe zadanie na wycenę na drzewie dwumianowym. Prawie, bo jedynym odstępstwem od standardu jest to, że stopy procentowe nie są stałe w czasie trwania instrumentu pochodnego (sprawdzić to!). Wybieramy wariant, w którym, mimo że w każdym 3M okresie stopy procentowe są różne, drzewo będzie się rekombinować. W naszym przypadku, drzewo będzie się rekombinować jeśli współczynniki U i D określimy w następujący sposób U = exp(+σ t) oraz D = exp( σ t), bowiem wtedy U D = 1. W powyższym wzorze t = 1 4 obliczeniach otrzymujemy jest długością 3M okresu. Po U = exp( ) = oraz D = 1/U =

6 Niestety, ponieważ stopy procentowe są różne w poszczególnych 3M okresach, prawdopodobieństwa martyngałowe dla tych okresów będą różne. I tak, w pierwszym 3M okresie prawdopodobieństwo matrygnałowe wynosi p 1 = e(r PLN r USD ) t D U D = B USD (3M) B PLN (3M) D U D = w drugim 3M okresie prawdopodobieństwo matrygnałowe wynosi ( ) p 2 = e f PLN (3M,6M) f USD (3M,6M) t DF USD (3M,6M) D DF = PLN (3M,6M) D, U D U D gdzie f PLN (3M, 6M) oraz f USD (3M, 6M) są stopami forward na drugi okres, tzn. od 3M do 6M. Tych stóp nie będziemy wyliczać. Jak widać z powyższego wzoru wystarczy obliczyć czynniki, które dyskontują z chwili 6M do chwili 3M (czynnik dla PLN i tak będzie nam potrzebny przy wycenie opcji!) Wówczas, po obliczeniach, otrzymamy DF USD (3M, 6M) = B USD(6M) B USD (3M) = = 0.97, DF PLN (3M, 6M) = B PLN(6M) B PLN (3M) = = p 2 = w trzecim 3M okresie prawdopodobieństwo matrygnałowe wynosi ( ) p 3 = e f PLN (6M,9M) f USD (6M,9M) t DF USD (6M,9M) D DF = PLN (6M,9M) D, U D U D gdzie f PLN (6M, 6M) oraz f USD (3M, 6M) są stopami forward na trzeci okres, tzn. od 6M do 9M. Czynniki, które dyskontują z chwili 9M do chwili 6M, wynoszą DF USD (6M, 9M) = B USD(9M) B USD (6M) = = , DF PLN (6M, 9M) = B PLN(9M) B PLN (6M) = = Wówczas, po obliczeniach, otrzymamy p 3 = Mamy już wszelkie dane by utworzyć proces cen na drzewie i wycenić na nim opcję. Najpierw wyznaczamy kursy wymiany na drzewie posuwając się od chwili t = 0 to t = 9M,

7 po czym opcję wyceniany od końca, tzn. cofając się od chwili t = 9M do t = 0. Opiszemy dokładnie tylko wycenę opcji zakładając że proces kursów już wyznaczyliśmy, tzn. będziemy się tylko cofać. w t = 9M kursy wymiany wynoszą (w zależności od stanu ) S(9M, 3) = S U 3 = , S(9M, 2) = S U 2 D = , S(9M, 1) = S UD 2 = , S(9M, 0) = S D 3 = Wówczas wypłaty z opcji wynoszą (= max(k S, 0), gdzie K = 4.5 PLN/USD) V (9M, 3) = 0, V (9M, 2) = 0, V (9M, 1) = , V (9M, 0) = w t = 6M kursy wymiany wynoszą a wypłaty z opcji wynoszą S(6M, 2) = S U 2 = , S(6M, 1) = S UD = 4, S(6M, 0) = S D 2 = , V (6M, 2) = 0, V (6M, 1) = 0.5, V (6M, 0) = Z drugiej strony zdyskontowane do t = 6M wartości oczekiwane wypłat opcji w t = 9M wynoszą, odpowiednio P (6M, 2) = DF PLN (6M, 9M) ( p 3 V (9M, 3) + (1 p 3 ) V (9M, 2) ) = 0, P (6M, 1) = DF PLN (6M, 9M) ( p 3 V (9M, 2) + (1 p 3 ) V (9M, 1) ) = , P (6M, 0) = DF PLN (6M, 9M) ( p 3 V (9M, 1) + (1 p 3 ) V (9M, 0) ) = Opcja jest amerykańska, więc sprawdzamy czy optymalne jest jej wykonanie. Oznacza to, że porównujemy wartość z wypłaty V (6M, ) z P (6M, ) Zatem wartości tej opcji, równe max ( V (6M, ), P (6M, ) ), w t = 6M wynoszą P (6M, 2) = 0, P (6M, 1) = 0.5, P (6M, 0) = w t = 3M kursy wymiany wynoszą S(3M, 1) = S U = , S(3M, 0) = S D = , a wypłaty z opcji wynoszą V (3M, 1) = 0, V (3M, 0) =

8 Z drugiej strony zdyskontowane do t = 3M wartości oczekiwane wartości opcji w t = 6M wynoszą, odpowiednio P (3M, 1) = DF PLN (3M, 6M) ( p 2 P (6M, 2) + (1 p 2 ) P (6M, 1) ) = , P (3M, 0) = DF PLN (3M, 6M) ( p 2 P (6M, 1) + (1 p 2 ) P (6M, 0) ) = Zatem wartości tej opcji, równe max ( V (3M, ), P (3M, ) ), w t = 3M wynoszą W końcu jesteśmy w t = 0. Wypłata z opcji wynosi P (3M, 1) = , P (3M, 0) = V (0, 0) = 0.5. Z drugiej strony zdyskontowana do t = 0 wartość oczekiwana wartości opcji w t = 3M wynosi P (0, 0) = DF PLN (3M) ( p 1 P (3M, 1) + (1 p 1 ) P (3M, 0) ) = Zatem wartość tej opcji, równa max ( V (0, 0), P (0, 0) ), w t = 0 wynosi P (0, 0) = Obliczyliśmy cenę opcji za 1 USD (w jednostkach PLN/USD). Opcja ma nominał USD. Zatem cena opcji o takim nominale wynosi P = USD PLN/USD = PLN. Zadanie 3. Załóżmy, że proces S(t), który opisuje ceny akcji niepłacącej dywidendy, spełnia równanie ds = µsdt + σsdw t. Zakładamy, że r - stopa wolna od ryzyka, µ - współczynnik dryfu akcji, oraz σ - zmienność akcji, są stałe. (a) Znajdź równanie, które spełnia proces S (n) (t) = (S(t)) n, gdzie n 1. (b) Wyprowadź wzór na wycenę opcji europejskiej, której wypłata w chwili wygaśnięcia T wynosi max(s (n) (T ) K n, 0). Przy wyprowadzaniu wzoru możesz wykorzystać znane Ci formuły Blacka-Scholesa na wycenę opcji europejskich.

9 Rozwiązanie (a) Skorzystamy z wzoru Ito df = ( f t który w przypadku f(s) = S n, daje nam d(s n ) = f + µs S + 1 ) 2 σ2 S 2 2 f S 2 dt + σs f S dw t, ( 0 + µs ns n σ2 S 2 n(n 1)S n 2) dt + σs ns n 1 dw t. Po uporządkowaniu i podstawieniu S (n) = S n, otrzymujemy następujące równanie d(s (n) ) = (nµ n(n 1)σ2 )S (n) dt + nσs (n) dw t. (b) Rachunek z punktu (a) możemy przeprowadzić w świecie wolnym od ryzyka. Wówczas, w powyższych równaniach zamiast stopy µ kładziemy stopę wolną od ryzyka r. W szczególności otrzymamy d(s (n) ) = (nr n(n 1)σ2 )S (n) dt + nσs (n) d W t, gdzie W t jest odpowiednio dobranym procesem Winera. Rozwiązanie tego równania w chwili czasu T ma postać ( (nr S (n) (T ) = S (n) 1 (0) exp + 2 n(n 1)σ2 1 ) 2 (nσ) 2 )T + nσ Wt. Podstawiając oraz ( ((n G 0 = S (n) 1 ) (0) exp 1)r + 2 n(n 1)σ2) T ˆσ = nσ, możemy zapisać to nasze rozwiązanie w postaci S (n) (T ) = G 0 exp ((r 1 2 ˆσ2 )T + ˆσ W ) t. Możemy więc potraktować naszą opcję jako opcję na proces G(t), który (w świecie wolnym od ryzyka) spełnia równanie dg = rgdt + ˆσGd W t, z warunkiem początkowym G(0) = G 0. Cena opcji call o cenie wykonania K n, której instrumentem podstawowym jest G(t), wynosi C = G(0)Φ(d 1 ) exp( rt )K n Φ(d 2 ),

10 gdzie oraz d 1 = ln (G(0)/Kn ) + (r ˆσ2 )T ˆσ T d 2 = d 1 ˆσ T. Teraz wystarczy wrócić do pierwotnych oznaczeń i zmiennych. Po wykonaniu podstawień i stosownych uproszczeń, otrzymamy następujący wzór na cenę potęgowej opcji call C = exp ( (n 1)(r nσ2 )T ) S n (0)Φ(d 1 ) exp( rt )K n Φ(d 2 ), gdzie wyrażenia na d 1 i d 2 mają następującą postać, oraz d 1 = ln (S(0)/K) + (r + (n 1 2 )σ2 )T σ T d 2 = d 1 nσ T = ln (S(0)/K) + (r 1 2 σ2 )T σ T,. Zadanie 4. Niech S(t) oznacza cenę akcji, która nie płaci dywidendy. Rozpatrzmy binarne opcje europejskie call: o funkcji wypłaty H(S(T ) K), put: o funkcji wypłaty H(K S(T )), gdzie K jest ceną wykonania, T jest czasem trwania opcji, a H oznacza funkcję Heaviside a (H(x) = 1 gdy x 0, oraz H(x) = 0 gdy x < 0). (a) Wyprowadź tzw. parytet call-put dla opcji binarnych, czyli związek pomiędzy ceną opcji call oraz ceną opcji put. (b) Przy założeniach identycznych jak przy dowodzie formuł Blacka-Scholesa na cenę waniliowych (tzn. prostych, klasycznych) opcji, wyprowadź wzór na cenę binarnej opcji europejskiej call. Przyjmij następujące oznaczenia: r - stopa wolna od ryzyka, σ - zmienność akcji. Wypisz dokładnie założenia przy których przeprowadzasz wyprowadzenie wzoru na cenę opcji. Wypisując wzór zastosuj notację analogiczną do przyjętej w standardowych formułach Blacka-Scholesa. Rozwiązanie (a) Rozpatrzmy portfel złożony z binarnej opcji call i binarnej opcji put. Z definicji tych opcji wynika, że wypłata z tego portfela w chwili T, niezależnie od wartości S(T ), wyniesie 1. Zatem dzisiejsza wartość tego portfela wynosi exp( rt ). Z drugiej strony dzisiejsza wartość tego portfela jest sumą dzisiejszych wartości obu opcji. Mamy zatem związek (parytet binarnych opcji call-put) C binary + P binary = exp( rt ).

11 (b) Zakładamy, że cena akcji S(t) spełnia (w świecie wolnym od ryzyka) równanie ds = rsdt + σsdw t. Zatem S(T ) = S(0) exp ((r 1 ) 2 σ2 )T + σw t. Zgodnie z zasadą wyceny innstrumentów pochodnych w świecie wolnym od ryzyka C binary = exp( rt )E(H(S(T ) K)) = exp( rt )E(1 S(T ) > K). Ale warunek S(T ) > K jest równoważny następującej nierówności W T > ln(k/s(0)) (r 1 2 σ2 )T σ gdzie jak pamiętamy W T N(0, T ). Proces W T możemy zapisać jako W T = T Z T, gdzie Z T N(0, 1). Tak więc, warunek wykonania opcji call zapiszemy jako, Z T > ln(k/s(0)) (r 1 2 σ2 )T σ T = d 2, gdzie standardowo Stąd d 2 = ln(s(0)/k) + (r 1 2 σ2 )T σ T C binary = exp( rt )E(1 Z T > d 2 ) = exp( rt )P(Z T > d 2 ) = exp( rt )P(Z T < d 2 ) = exp( rt )Φ(d 2 ), gdzie skorzystaliśmy z symetrii rozkładu N(0, 1), a Φ jest dystrybuantą rozkładu N(0, 1)..

12 æ Inżynieria Finansowa Egzamin Poprawkowy Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 4 marca 2003 roku Zasady i uwagi 1. Rozwiąż dowolnie wybrane zadania, takie by suma maksymalnej liczby punktów za te zadania wynosiła 30. Do oceny oddaj tylko te zadania! 2. Rozwiązania zadań rachunkowych muszą zawierać objaśnienia do wykonywanych obliczeń pokazujące i uzasadniające przyjęty sposób rozwiązywania. Za brak objaśnień będą odejmowane punkty, w skrajnych przypadkach wszystkie. 3. Każde zadanie proszę napisać na osobnej i podpisanej kartce. Proszę pisać wyraźnie! 4. Nie wolno ściągać. Osoby przyłapane na ściąganiu zostaną usunięte z egzaminu z oceną niedostateczną. 5. Osoby, które chcą otrzymać informację o wyniku egzaminu pocztą elektroniczną, proszę o podanie adresu (czytelnie!). 6. W obliczeniach, dla uproszczenia, przyjmij, że długość n-miesięcznego okresu czasu wynosi n 12 lat. Zadanie 1. (10 punktów) Rozpatrzmy dwa typy obligacji o zmiennym oprocentowaniu. Obligacja A - wypłaca co pół roku kupon, obliczany według referencyjnej 6M stopy rynkowej (wartość której jest ustalana przez rynek przed rozpoczęciem kolejnego okresu odsetkowego), oraz w terminie wykupu zwraca nominał. Obligacja B - półroczne kupony obliczane według referencyjnej 6M stopy rynkowej są kapitalizowane na końcu każdego okresu odsetkowego a skapitalizowana kwota odsetek jest wypłacana wraz z nominałem w terminie wykupu. Załóżmy, że 6M stopa rynkowa wynosiła 8 miesięcy temu: 10%, 5 miesięcy temu: 9%, 2 miesiące temu: 8%, oraz że aktualna cena (brudna) obligacji A, której bieżący okres odsetkowy zaczął się 5 miesięcy temu, wynosi , aktualna cena (brudna) obligacji B, której pierwszy okres odsetkowy zaczął się 8 miesięcy temu, wynosi Oblicz aktualną stopę kontraktu FRA1x4 przy założeniu, że obie obligacje są sprawiedliwie wyceniane przez rynek. W s k a z ó w k a : Zastanów się jak teoretycznie (tj. z modelu) wyceniałbyś te obligacje. Brak informacji o terminie zapadalności tych obligacji nie jest przypadkowy. Zadanie 2. (10 punktów) Dane są następujące kwotowania kurs wymiany PLN/USD: , punkty swapowe PLN/USD wynoszą dla 3M: , oraz dla 6M: ,

13 PLN 3M Depo: 4.00%, PLN FRA3x6: 5.00%, USD FRA3x6: 2.00%. (a) Oblicz stopę 3M depozytu dolarowego przy założeniu, że w okresie 3M na rynku nie ma możliwości do arbitrażu. (b) Czy przy powyższych danych istnieją na rynku w okresie do 6M możliwości do arbitrażu? Jeśli tak, opisz strategię arbitrażową i oblicz dzisiejszą wartość wolnego od ryzyka zysku. Zadanie 3. (15 punktów) Wypłata opcji azjatyckiej call w chwili t T (T jest czasem wygaśnięcia opcji) wynosi gdzie K jest ceną wykonania a max(a(t) K, 0), A(t) = 1 n n S(t i ) jest dyskretną średnią arytmetyczną naliczoną do chwili t na podstawie wartości cen akcji w chwilach t 1 < t 2 <... < t n t. Jeśli t < t 1, to A(t) = 0. Ostatnia chwila czasu t N z której wartość ceny akcji jest uwzględniana do obliczenia średniej pokrywa się z czasem wygaśnięcia opcji T. Rozpatrzmy 9-cio miesięczną amerykańską opcję azjatycką call na akcję (niepłacącą dywidendy). Cena wykonania tej opcji wynosi K = 105 PLN. Dyskretna średnia arytmetyczna jest obliczana w chwilach t i = (3i)M, gdzie i = 0, 1, 2, 3. Wyceń tę opcję na trzy-okresowym drzewie dwumianowym przy następujących danych: bieżąca cena akcji wynosi 100 PLN, zmienność akcji wynosi %, 3M stopa procentowa wynosi 11.6%, stopa FRA3x6: 9.41%, stopa FRA6x9: 8.32%. Zadanie 4. (5 punktów) Rozpatrzmy opcje europejskie o czasie trwania T, które są w chwili bieżącej at-the-money forward, to znaczy takie których cena wykonania K i bieżąca cena akcji S spełniają warunek S = K exp( (r δ)t ), gdzie r jest stopą wolną od ryzyka, a δ stopą (ciągłej) dywidendy. Pokaż, że w tym przypadku ceny opcji call i put są takie same i wynoszą V = e δt S i=1 ( Φ ( 1 2 σ T ) Φ ( 1 ) 2 σ T ). Ponadto, pokaż, że dla małych wartości σ T, zachodzi przybliżony wzór V 0.4 e δt S σ T. W powyższych wzorach σ oznacza zmienność akcji, a Φ dystrybuantę rozkładu N(0, 1).

14 Zadanie 5. (5 punktów) Europejska opcja pay-later call jest opcją, której wypłata w chwili wygaśnięcia opcji T wynosi max(s(t ) K, 0), a jej posiadacz płaci wystawcy premię Q w chwili wygaśnięcia opcji tylko wtedy gdy S(T ) K. Wyznacz wartość premii Q.

15 4 marca 2003 Inżynieria Finansowa 1 æ Rozwiązania Zadań z Egzaminu Poprawkowego Zadanie 1. (10 punktów) Rozpatrzmy dwa typy obligacji o zmiennym oprocentowaniu. Obligacja A - wypłaca co pół roku kupon, obliczany według referencyjnej 6M stopy rynkowej (wartość której jest ustalana przez rynek przed rozpoczęciem kolejnego okresu odsetkowego), oraz w terminie wykupu zwraca nominał. Obligacja B - półroczne kupony obliczane według referencyjnej 6M stopy rynkowej są kapitalizowane (dopisywane do nominału) na końcu każdego okresu odsetkowego a skapitalizowana kwota odsetek jest wypłacana wraz z nominałem w terminie wykupu. (a) Wyprowadź wzory na teoretyczną cenę tych obligacji w chwili czasu leżącej wewnątrz okresów odsetkowych. Wzory doprowadź do postaci, które nie będą zawierały explicite stóp forward. (b) Załóżmy, że 6M stopa rynkowa wynosiła 8 miesięcy temu: 10%, 5 miesięcy temu: 9%, 2 miesiące temu: 8%, oraz że aktualna cena (brudna) obligacji A, której bieżący okres odsetkowy zaczął się 5 miesięcy temu, wynosi , aktualna cena (brudna) obligacji B, której pierwszy okres odsetkowy zaczął się 8 miesięcy temu, wynosi Oblicz aktualną stopę kontraktu FRA1x4 przy założeniu, że obie obligacje są sprawiedliwie wyceniane przez rynek. W s k a z ó w k a : Brak informacji o terminie zapadalności tych obligacji nie jest przypadkowy. Rozwiązanie (a) Wycena teoretyczna obligacji Obligacja A Kupony zapłacone przez obligację nie mają wpływu na bieżącą cenę obligacji. Rozpatrzmy zatem tylko przyszłe płatności generowane przez obligację. Niech t 1 < t 2 <... < t M oznaczają terminy płatności; t 1 jest najbliższym terminem płatności, a t M terminem zapadalności w którym następuje wypłata kuponu i zwrot nominału. Przepływy pieniężne generowane przez taką obligację wyglądają następująco C(t 1 ) = R 1 1 N w chwili t 1, C(t 2 ) = F 2 2 N w chwili t 2,.. C(t M ) = F M M N + N w chwili t M, gdzie R 1 jest rynkową stopą procentową wartość, której została ustalona przez rynek tuż przed (zwykle dwa dni robocze) rozpoczęciem bieżącego okresu odsetkowego, a F i dla

16 4 marca 2003 Inżynieria Finansowa 2 i = 2,..., M są stopami, których wartości będą w przyszłości ustalone przez rynek. i oznaczają długości okresów odsetkowych. Wyceniając taką obligację za stopy F i bierze się bieżące stopy forward na kolejne okresy odsetkowe od t i 1 do t i. Stopy te spełniają warunek 1 DF (t i 1 ) (1 + F i i ) = 1 DF (t i ), gdzie DF (t) oznacza czynnik dyskontujący z chwili t do chwili bieżącej. Bieżąca cena takiej obligacji jest równa wartości bieżącej przepływów pieniężnych generowanych przez tą obligację M P A = C(t i )DF (t i ) i=1 = R 1 1 NDF (t 1 ) + N M F i i DF (t i ) + NDF (t M ). i=2 Ponieważ, jak łatwo wynika z warunku na stopy F i, F i i DF (t i ) = DF (t i 1 ) DF (t i ), wzór na cenę obligacji można znacznie uprościć. Mianowicie P A = R 1 1 NDF (t 1 ) + N M (DF (t i 1 ) DF (t i )) + NDF (t M ) i=2 = R 1 1 NDF (t 1 ) + NDF (t 1 ) = (1 + R 1 1 )NDF (t 1 ). Tak więc, wartość bieżąca strumienia przepływów generowanych przez tą obligację pokrywa się z wartością bieżącą pojedyńczego przepływu pieniężnego w wysokości który następuje w chwili t 1, to znaczy N + R 1 1 N, P A = (1 + R 1 1 )NDF (t 1 ). Inne, być może bardziej objaśniające, wyprowadzenie powyższego wzoru na wycenę takiej obligacji jest następujące. Obliczamy kolejno zdyskontowane do chwil t i, gdzie i = M 1,..., 1, wartości (przyszłych w stosunku do t i ) przepływów pieniężnych tej obligacji. Przepływ pieniężny tej obligacji następujący w chwili t M wynosi (1 + F M M )N. Zdyskontowana do t M 1 wartość tego przepływu wynosi N, bowiem czynnik dyskontowy za okres od t M 1 do t M jest równy 1/(1 + F M M ). Podobnie, dyskontowana do t M 2 wartość przepływów:

17 4 marca 2003 Inżynieria Finansowa 3 F M 1 M 1 N następującego w t M 1, oraz (1 + F M M )N następującego w t M, również wynosi N, bowiem 1 ( F M 1 M 1 N F M 1 M 1 1 (F M 1 M 1 + 1) N = N. 1 + F M 1 M 1 ) 1 (1 + F M M ) N = 1 + F M M Postępując dalej w analogiczny sposób pokazujemy, że zdyskontowana do chwili t 1 wartość przyszłych w stosunku do t 1 przepływów pieniężnych tej obligacji wynosi N. Ta wartość w połączeniu z kuponem R 1 1 N płatnym w t 1 daje nam przepływ, którego wartość bieżąca jest ceną obligacji. Uwaga: Z powyższych rozważań wynika również, że wartość obligacji o zmiennym kuponie na początku każdego okresu odsetkowego jest równa jej nominałowi, tzn. cena za 100 wynosi 100 (obligacja jest wyceniana at par). Wynika to również z wzoru na cenę P A, bowiem na początku okresu odsetkowego (1 + R 1 1 )DF (t 1 ) = 1. Komentarz: Zwracam uwagę, że bardzo podobne rozumowanie było przedstawione na wykładzie przy omawianiu wyceny kontraktów wymiany procentowej IRS. Obligacja B Ta obligacja w czasie jej trwania nie wypłaca kuponów. Kupony są kapitalizowane co okres odsetkowy i ich wypłata następuje wraz z nominałem w terminie wykupu tej obligacji. Niech t 1 < t 2 <... < t M oznaczają terminy kapitalizacji kuponów; t 1 jest pierwszym terminem kapitalizacji (który zaczął się w chwili t 0 ), a t M terminem zapadalności w którym następuje wypłata skapitalizowanych odsetek i zwrot nominału. Niech 1 k M oznacza numer bieżącego okresu odsetkowego. Zatem, wartości R 1, R 2,..., R k stopy rynkowej na pierwsze k okresów odsetkowych zostały już (w przeszłości), tj. w chwilach t 0 < t 1 <... < t k 1 (dokładniej tuż przed), ustalone przez rynek. Natomiast, wartości stopy rynkowej na przyszłe okresy odsetkowe [t i 1, t i ), gdzie i = k + 1,... M będą dopiero ustalone. Tak jak w przypadku poprzedniej obligacji, do bieżącej wyceny tej obligacji jako wartości tych przyszłych stóp bierzemy stopy forward F i na odpowiednie okresy odsetkowe. Wówczas, dzisiejsza projekcja kwoty skapitalizowanych kuponów wraz z nominałem płatnych w terminie wykupu obligacji wynosi C(t M ) = (1 + R 1 1 )... (1 + R k k ) (1 + F k+1 k+1 )... (1 + F M M )N. Ceną tej obligacji jest wartość bieżąca tego przepływu pieniężnego, a więc P B = C(t M )DF (t M ). Ponieważ, jak wynika z definicji stopy forward, (1 + F i i )DF (t i ) = DF (t i 1 ),

18 4 marca 2003 Inżynieria Finansowa 4 wzór na wycenę tej obligacji możemy, postępując rekurencyjnie od końca, zwinąć do następującej postaci P B = (1 + R 1 1 )... (1 + R k k )NDF (t k ). Zatem wycena takiej obligacji jest taka sama jak wycena pojedyńczego przepływu finansowego w wysokości (1 + R 1 1 )... (1 + R k k )N następującego w chwili t k, tj. w najbliższym momencie kapitalizacji odsetek. Uwaga: Z wzorów na wycenę tych obligacji wynika ważny fakt. Otóż, te obligacje są niewrażliwe na stopy procentowe o terminach dłuższych niż termin najbliższej płatnosci kuponu w przypadku obligacji typu A lub termin najbliższej kapitalizacji odsetek w przypadku obligacji typu B. Uzbrojeni w wiedzę z punktu (a) możemy rozwiązać zagadnienie postawione w punkcie (b). (b) Obliczenie stopy kontraktu FRA1x4 Stopa kontraktu FRA1x4 jest 3M stopą forward na okres czasu zaczynający się za 1M (jeden miesiąc) i kończący się za 4M (cztery miesiące). Obliczamy ją z wzoru R FRA1x4 = F (1M, 4M) = ( ) DF (1M) DF (4M) 1 / (1M,4M), gdzie (1M,4M) = 1 4 jest długością okresu czasu od 1M do 4M. Tak więc musimy wyznaczyć czynniki dyskontowe DF (1M) oraz DF (4M). Wyznaczymy je korzystając z ceny obligacji A i ceny obligacji B. Czynnik dyskontowy DF (1M) Aktualna cena (brudna) obligacji A, której bieżący okres odsetkowy zaczął się 5 miesięcy temu, wynosi Rynkowa 6M stopa procentowa, ustalona 5 miesięcy temu, a więc stopa według której obliczony został kupon tej obligacji płatny w chwili 1M (od dziś), wynosiła 9%. Zatem, jest bieżącą wartością przepływu pieniężnego o wysokości ( ) 100 = , 2 który nastąpi za 1M od dziś. Zatem, zakładając, że ta obligacja jest sprawiedliwie wycenia przez rynek, musi zachodzić równość = DF (1M). Stąd, obliczamy DF (1M) = =

19 4 marca 2003 Inżynieria Finansowa 5 Czynnik dyskontowy DF (4M) Aktualna cena (brudna) obligacji B, której pierwszy okres odsetkowy zaczął się 8 miesięcy temu, wynosi Rynkowa 6M stopa procentowa, ustalona 8 miesięcy temu, a wiec stopa według której obliczony został pierwszy kupon tej obligacji, wynosiła 10%. Stopa rynkowa dla drugiego (aktualnie trwającego) okresu odsetkowego, została ustalona 2 miesiące temu i wynosiła 8%. Zatem, jest bieżącą wartością przepływu pieniężnego o wysokości ( ) ( ) 100 = , 2 2 który nastąpi za 4M od dziś. Zatem, zakładając, że ta obligacja jest sprawiedliwie wycenia przez rynek, musi zachodzić równość = DF (4M). Stąd, obliczamy DF (4M) = = Teraz możemy już obliczyć stopę FRA1x4 R FRA1x4 = ( ) / 1 4 = %. Zadanie 2. (10 punktów) Dane są następujące kwotowania kurs wymiany PLN/USD: , punkty swapowe PLN/USD wynoszą dla 3M: , oraz dla 6M: , PLN 3M Depo: 4.00%, PLN FRA3x6: 5.00%, USD FRA3x6: 2.00%. (a) Oblicz stopę 3M depozytu dolarowego przy założeniu, że w okresie 3M na rynku nie ma możliwości do arbitrażu. (b) Czy przy powyższych danych istnieją na rynku w okresie do 6M możliwości do arbitrażu? Jeśli tak, opisz strategię arbitrażową i oblicz dzisiejszą wartość wolnego od ryzyka zysku (od nominału transakcji arbitrażowej 100 PLN). Rozwiązanie (a) Stopa depozytowa 3M dla USD Niech S = PLN/USD oznacza kurs spotowy wymiany USD na PLN. 3M terminowy kurs wymiany PLN/USD wynosi F 3M = S + 3M punkty swapowe = = PLN/USD.

20 4 marca 2003 Inżynieria Finansowa 6 Między terminowym kursem wymiany F 3M a kursem bieżącym (kursem spotowym) S, przy braku arbitrażu, zachodzi następujący związek (tzw. parytet stóp procentowych) F 3M = S 1 + rpln 3M 1 + r USD 3M 3M, 3M gdzie r3m PLN, rusd 3M oznaczają 3M stopy depozytowe dla PLN i USD, odpowiednio, a 3M jest długością okresu 3M depozytu. Korzystając z tego wzoru możemy wyznaczyć szukaną stopę r3m USD. Mianowicie ( ) S r3m USD ( ) = 1 + r PLN 3M 3M 1 / 3M. F 3M Po wstawieniu danych do powyższego wzoru otrzymujemy ( ( r3m USD = ) ) 1 / = 0, %. (a) Możliwość arbitrażu na rynku do 6M Niech F 6M oznacza 6M terminowy kurs wymiany. Przy braku możliwości do arbitrażu w segmencie rynku terminowego od 3M do 6M, kurs ten oraz kurs F 3M muszą spełniać warunek (parytet stóp forward) F 6M = F 3M 1 + f 3M,6M PLN (3M,6M) 1 + f3m,6m USD, (3M,6M) gdzie f3m,6m PLN, f 3M,6M USD są stopami forward 3M depozytów dla PLN i USD na okres od 3M do 6M, odpowiednio, a (3M,6M) jest długością tego okresu. Stopy forward na ten okres mamy dane jako kwotowania stóp kontraktów FRA f PLN 3M,6M = R PLN FRA6x9 oraz f USD 3M,6M = R USD FRA6x9. Sprawdzamy czy powyższy warunek zachodzi. Z jednej strony mamy kwotowanie F 6M = S + 6M punkty swapowe = = PLN/USD. Z drugiej strony, z parytetu stóp forward, 6M kurs wymiany wynosiłby = Tak więc, ceny na rynku depozytowym implikują wyższy kurs terminowy niż kurs z terminowego rynku walutowego. Zatem jest okazja do arbitrażu. Dolar w terminie 6M jest na rynku walutowym tańszy niż cena dolara jaką możemy uzyskać z 3M lokat terminowych.

21 4 marca 2003 Inżynieria Finansowa 7 Opłaca się kupić tanio w terminie 6M dolara i jednocześnie go przez transakcje depozytowe sprzedać po wyższej cenie. Teraz widzimy co musimy zrobić: (a) tanie kupno dolara w 6M: zawieramy transakcję FX forward na termin 6M kupna dolara po cenie PLN/USD, (b) wygenerować drogą sprzedaż dolara w 6M - robimy to tak: 1) kupujemy transakcję USD FRA3x6 ze stopą 2.00% - to zapewnia nam możliwość finansowania się w USD (pożyczenia dolarów) po tej stopie na okres od 3M do 6M; 2) zawieramy transakcję FX forward na termin 3M sprzedaży dolara po cenie PLN/USD - sprzedaż pożyczonych w 3M dolarów; 3) sprzedajamy transakcję PLN FRA3x6 ze stopą 5.00% - to zapewnia nam możliwość ulokowania PLN otrzymanych ze sprzedaży pożyczonych w 3M USD po tej stopie na okres od 3M do 6M. Niezależnie od tego jak się będą kształtować kursy i stopy procentowe w przyszłości, nasz bilans w 6M będzie wyglądał następująco (licząc od 1 USD pożyczonego w 3M): + otrzymamy zwrot z lokaty w PLN w kwocie ( ) = PLN, musimy zwrócić pożyczone USD na kwotę 1 ( ) = USD, które kupujemy po PLN/USD (mamy zagwaratnowane przez zawartą transakcję FX forward) - musimy na to wydać = PLN. Zatem zostaje nam w 6M z tej operacji = PLN na 1 USD pożyczone w terminie 3M. Uwaga: Dlaczego strategię opisaną (b) określamy jako sprzedaż dolarów w terminie 6M? Otóż, w 6M otrzymamy PLN z tytułu wygaśnięcia lokaty złotowej, oraz jednocześnie musimy zwrócić (oddać z odsetkami) pożyczone dolary - można powiedzieć że sprzedajemy USD (to oddawanie dolarów) za PLN (bo złote otrzymamy), a więc wymiana walutowa. Możemy, wyliczyć kurs po jakim ta wymiana się odbędzie w tej części strategii. Powinien on wynieść PLN/USD (dlaczego?). Tak jest w istocie, bo jak widać z rachunków opisujących bilans naszej tranaskacji arbitrażowej, w 6M mamy wymianę USD za PLN, czyli kurs tej wymiany wynosi PLN/1.005 USD = PLN/USD. Wartość bieżąca zysku od nominału transakcji 100 PLN w 3M. W 3M ten nominał jest wart 100/ = USD. Zatem nasz zysk od takiego dolarowego nominału będzie wynosił = PLN. Bieżąca wartość tej kwoty wynosi przy założeniu, że stopy dla PLN są w rynku. = PLN, Uwaga: Czy to dużo czy mało zależy od nominału transkacji. Duzi gracze zawierają takie transakcje na nominał rzędu PLN. Zysk na takiej transakcji (wolnej od ryzyka) zrealizowany w 6M od dzisiaj wyniesie PLN.

22 4 marca 2003 Inżynieria Finansowa 8 Zadanie 3. (15 punktów) Wypłata opcji azjatyckiej call w chwili t T (T jest czasem wygaśnięcia opcji) wynosi gdzie K jest ceną wykonania a max(a(t) K, 0), A(t) = 1 n n S(t i ) jest dyskretną średnią arytmetyczną naliczoną do chwili t na podstawie wartości cen akcji w chwilach t 1 < t 2 <... < t n t. Jeśli t < t 1, to A(t) = 0. Ostatnia chwila czasu t N z której wartość ceny akcji jest uwzględniana do obliczenia średniej pokrywa się z czasem wygaśnięcia opcji T. Rozpatrzmy 9-cio miesięczną amerykańską opcję azjatycką call na akcję (niepłacącą dywidendy). Cena wykonania tej opcji wynosi K = 105 PLN. Dyskretna średnia arytmetyczna jest obliczana w chwilach t i = (3i)M, gdzie i = 0, 1, 2, 3. Wyceń tę opcję na trzy-okresowym drzewie dwumianowym przy następujących danych: bieżąca cena akcji wynosi 100 PLN, zmienność akcji wynosi %, 3M stopa procentowa wynosi 11.77%, stopa FRA3x6: 9.53%, stopa FRA6x9: 8.41%. Rozwiązanie i=1 Współczynniki U i D określamy w następujący sposób U = exp(+σ t) oraz D = exp( σ t), wtedy U D = 1. W powyższym wzorze t = 1 4 otrzymujemy jest długością 3M okresu. Po obliczeniach U = exp( ) = oraz D = 1/U = Ponieważ stopy procentowe są różne w poszczególnych 3M okresach, prawdopodobieństwa martyngałowe dla tych okresów będą różne. I tak, w pierwszym 3M okresie prawdopodobieństwo matrygnałowe wynosi p 1 = (1 + r PLN(3M) t) D U D = ( ) = w drugim 3M okresie prawdopodobieństwo matrygnałowe wynosi p 2 = (1 + f PLN(3M, 6M) t) D U D = , gdzie za stopę forward f PLN (3M, 6M) na drugi okres, tzn. od 3M do 6M należy wziąźć stopę kontraktu FRA3x6.

23 4 marca 2003 Inżynieria Finansowa 9 w trzecim 3M okresie prawdopodobieństwo matrygnałowe wynosi p 3 = (1 + f PLN(6M, 9M) t) D U D = , gdzie f PLN (6M, 9M) = R FRA6x9. Będą nam również potrzebne czynniki, które dyskontują z końców kolejnych 3M okresów na ich początki. I tak, czynnik, który dyskontuje z chwili 3M do chwili 0 obliczamy z wzoru DF (3M) = r PLN (3M) t = = czynnik, który dyskontuje z chwili 6M do chwili 3M obliczamy z wzoru DF (3M, 6M) = f PLN (3M, 6M) t = = czynnik, który dyskontuje z chwili 9M do chwili 6M obliczamy z wzoru DF (6M, 9M) = f PLN (6M, 9M) t = = Zaczynamy od wyznaczenia procesu cen S na drzewie. Będziemy od razu wyznaczać średnie cen A oraz wartość wypłaty V z tytułu realizacji opcji w danym węźle. w t = 0 S(0) = 100 A(0) = 100 V (0) = max( , 0) = 0 w t = 3M S(3M, U) = A(3M, U) = 1 2 (S(0) + S(3M, U)) = V (3M, U) = max( , 0) = S(3M, D) = A(3M, D) = 1 2 (S(0) + S(3M, D)) = V (3M, D) = max( , 0) = 0 w t = 6M S(6M, UU) = A(6M, UU) = 1 3 (S(0) + S(3M, U) + S(6M, UU)) = V (6M, UU) = max( , 0) = S(6M, UD) = 100 A(6M, UD) = 1 3 (S(0) + S(3M, U) + S(6M, UD)) = V (6M, UD) = max( , 0) =

24 4 marca 2003 Inżynieria Finansowa 10 S(6M, DU) = 100 A(6M, DU) = 1 3 (S(0) + S(3M, D) + S(6M, DU)) = V (6M, DU) = max( , 0) = 0 S(6M, DD) = A(6M, DD) = 1 3 (S(0) + S(3M, D) + S(6M, DD)) = V (6M, DD) = max( , 0) = 0 w t = 9M S(9M, UUU) = A(9M, UUU) = 1 4 (S(0) + S(3M, U) + S(6M, UU) + S(9M, UUU)) = V (9M, UUU) = max( , 0) = S(9M, UUD) = A(9M, UUD) = 1 4 (S(0) + S(3M, U) + S(6M, UU) + S(9M, UUD)) = V (9M, UUD) = max( , 0) = S(9M, UDU) = A(9M, UDU) = 1 4 (S(0) + S(3M, U) + S(6M, UD) + S(9M, UDU)) = V (9M, UDU) = max( , 0) = S(9M, UDD) = A(9M, UDD) = 1 4 (S(0) + S(3M, U) + S(6M, UD) + S(9M, UDD)) = V (9M, UDD) = max( , 0) = 0 S(9M, DUU) = A(9M, DUU) = 1 4 (S(0) + S(3M, D) + S(6M, DU) + S(9M, DUU)) = V (9M, DUU) = max( , 0) = 0 S(9M, DUD) = A(9M, DUD) = 1 4 (S(0) + S(3M, D) + S(6M, DU) + S(9M, DUD)) = V (9M, DUD) = max( , 0) = 0 S(9M, DDU) = A(9M, DDU) = 1 4 (S(0) + S(3M, D) + S(6M, DD) + S(9M, DDU)) = V (9M, DDU) = max( , 0) = 0 S(9M, DDD) = A(9M, DDD) = 1 4 (S(0) + S(3M, D) + S(6M, DD) + S(9M, DDU)) = V (9M, DDD) = max( , 0) = 0 Zauważmy, że choć drzewo z procesem cen rekombinuje się, to drzewo z procesem średnich jest rozdzielone i niestety to po tym rozdzielonym drzewie będziemy musieli poruszać się dokonując wyceny opcji. Oczywiście wycenę przeprowadzamy zaczynając od końca, tzn. cofając się od chwili t = 9M do t = 0. W każdym węźle obliczamy zdyskontowaną wartość oczekiwaną wartości opcji widzianych z tego węzła w stanie Up i Down w następnym okresie i porównujemy ją wypłatą jaką byśmy otrzymali w przypadku realizacji opcji - wartość opcji w tym węźle jest liczbą większą z nich. w t = 6M E(6M, UU) = DF (6M, 9M) (p 3 V (9M, UUU)+(1 p 3 ) V (9M, UUD)) = P (6M, UU) = max(e(6m, UU), V (6M, UU)) =

25 4 marca 2003 Inżynieria Finansowa 11 E(6M, UD) = DF (6M, 9M) (p 3 V (9M, UDU)+(1 p 3 ) V (9M, UDD)) = P (6M, UD) = max(e(6m, UD), V (6M, UD)) = E(6M, DU) = DF (6M, 9M) (p 3 V (9M, DUU) + (1 p 3 ) V (9M, DUD)) = 0 P (6M, DU) = max(e(6m, DU), V (6M, DU)) = 0 E(6M, DD) = DF (6M, 9M) (p 3 V (9M, DDU) + (1 p 3 ) V (9M, DDD)) = 0 P (6M, DD) = max(e(6m, DD), V (6M, DD)) = 0 w t = 3M E(3M, U) = DF (3M, 6M) (p 2 P (6M, UU) + (1 p 2 ) P (6M, UD)) = P (3M, U) = max(e(3m, U), V (3M, U)) = E(3M, D) = DF (3M, 6M) (p 2 P (6M, DU) + (1 p 2 ) P (6M, DD)) = 0 P (3M, D) = max(e(3m, D), V (3M, D)) = 0 W końcu jesteśmy w t = 0. E(0) = DF (3M) (p 1 P (3M, U) + (1 p 1 ) P (3M, D)) = P (0) = max(e(0), V (0)) = Uff! Cena opcji wynosi PLN. Zadanie 4. (5 punktów) Rozpatrzmy (waniliowe) opcje europejskie o czasie trwania T, które są w chwili bieżącej at-the-money forward, to znaczy takie których cena wykonania K i bieżąca cena akcji S spełniają warunek K = S exp((r δ)t ), gdzie r jest stopą wolną od ryzyka, a δ jest stopą (ciągłej) dywidendy. Pokaż, że w tym przypadku ceny opcji call i put są takie same i wynoszą ( 1 ) ( V = e δt S Φ( 2 σ T Φ 1 ) ) 2 σ T. Ponadto, pokaż, że dla małych wartości σ T, zachodzi przybliżony wzór V 0.4 e δt S σ T. W powyższych wzorach σ oznacza zmienność akcji, a Φ dystrybuantę rozkładu N(0, 1). Rozwiązanie Parytet call-put dla waniliowych opcji europejskich oznacza, że C(S, r, δ, σ, T, K) P (S, r, δ, σ, T, K) = e δt S e rt K. Dla opcji które są w chwili bieżącej (t = 0) at-the-money forward, prawa strona powyższej tożsamości wynosi zero. Stąd C(S, r, δ, σ, T, K) = P (S, r, δ, σ, T, K),

26 4 marca 2003 Inżynieria Finansowa 12 które dla uproszczenia notacji oznaczymy przez V. Z wzorów Blacka-Scholesa, wypisanego dla opcji call, mamy V = e δt S Φ(d 1 ) e rt KΦ(d 2 ), gdzie oraz Ponieważ S/K = e (r δ)t, to d 1 = ln (S/K) + (r δ σ2 )T σ T d 2 = d 1 σ T., d 1 = (r δ)t + (r δ σ2 )T σ T = 1 2 σ T, i wówczas d 2 = d 1 σ T = 1 2 σ T. Stąd, oraz jeszcze raz korzystając z równości e δt S = e rt K, otrzymujemy ( 1 ) ( V = e δt S Φ(d 1 ) exp( rt )KΦ(d 2 ) = e δt S Φ( 2 σ T Φ 1 ) ) 2 σ T. Ponieważ 1 ) ( Φ( 2 σ T Φ 1 ) 2 σ T = π 2 σ T 1 2 σ T e 1 2 x2 dx, to dla małych wartości σ T, możemy posłużyć się następującym przybliżeniem gdyż 1 2π 0.4. V e δt S σ T 2π 1 2 σ T 1 dx = e δt S 1 2π σ T 0.4 e δt S σ T, Zadanie 5. (5 punktów) Europejska opcja pay-later call jest opcją, której wypłata w chwili wygaśnięcia opcji T wynosi max(s(t ) K, 0), a jej posiadacz płaci wystawcy premię Q w chwili wygaśnięcia opcji tylko wtedy gdy S(T ) K. Wyznacz wartość premii Q. Rozwiązanie Długa pozycja w europejskiej opcji pay-later call jest identyczna z portfelem złożonym z (a) kupionej waniliowej opcji europejskiej call, oraz (b) sprzedanej binarnej opcji europejskiej call o nominale Q,

27 4 marca 2003 Inżynieria Finansowa 13 mających tą samą cenę wykonania K i ten sam termin wygaśnięcia T. Zatem cena P opcji pay-later call w chwili zawarcia transakcji jest sumą wartości początkowych długiej pozycji w opcji waniliowej i krótkiej pozycji w opcji binarnej P = P vanilla call Q P binary call. Początkowy koszt europejskiej opcji pay-later call wynosi zero. Stąd Ponieważ, dla akcji niepłacącej dywidendy Q = P vanilla call P binary call. P vanilla call = S(0) Φ(d 1 ) e rt KΦ(d 2 ), oraz, jak już wyjaśniliśmy przy okazji poprzedniego egzaminu (patrz Zadanie 4 z tego egzaminu), P binary call = e rt Φ(d 2 ), po prostych przekształceniach otrzymamy Q = e rt S(0) Φ(d 1) Φ(d 2 ) K, gdzie d 1 oraz d 2 mają standardowe znaczenia, takie jak we wzorach Blacka-Scholesa.

28 æ Inżynieria Finansowa Egzamin Poprawkowy II Zasady i uwagi Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 16 kwietnia 2003 roku 1. Rozwiązania zadań rachunkowych muszą zawierać objaśnienia do wykonywanych obliczeń pokazujące i uzasadniające przyjęty sposób rozwiązywania. Za brak objaśnień będą odejmowane punkty, w skrajnych przypadkach wszystkie. 2. Każde zadanie proszę napisać na osobnej i podpisanej kartce. Proszę pisać wyraźnie! 3. Nie wolno ściągać. Osoby przyłapane na ściąganiu zostaną usunięte z egzaminu z oceną niedostateczną. 4. Osoby, które chcą otrzymać informację o wyniku egzaminu pocztą elektroniczną, proszę o podanie adresu (czytelnie!). 5. W obliczeniach, dla uproszczenia, przyjmij, że długość n-miesięcznego okresu czasu wynosi n 12 lat. Zadanie 1. (5 punktów) Rozpatrzmy opcję na 1000 akcji firmy ABC. Bieżąca cena akcji wynosi S = 100 PLN, a ich zmienność σ = 20%. Cena tej opcji wynosi V = 2599 PLN. Delta opcji wynosi = , a gamma Γ = Oblicz (przybliżoną) cenę tej opcji po upływie 3 dni, przy założeniu, że wszystkie pozostałe wielkości, od których zależy cena opcji, nie uległy zmianie w tym czasie. Przyjmij, że stopa procentowa wolna od ryzyka, kapitalizowana w sposób ciągły, wynosi 7.00%, oraz załóż, że akcja nie płaci dywidendy w czasie trwania opcji. Zadanie 2. (10 punktów) Dane są następujące kwotowania: cena 3M opcji ATM (at-the-money) kupna 1 miliona USD za PLN (to jest opcji call na kurs wymiany PLN/USD o nominale 1 milion USD) wynosi: PLN, bieżący kurs PLN/USD wynosi: (PLN za 1 USD), 3M punkty swapowe PLN/USD wynoszą: , 3M stopa (kapitalizowana w sposób ciągły) dla PLN wynosi: 7.00%. Przy założeniu, że na rynku nie ma możliwości do arbitrażu, (a) oblicz cenę 3M opcji ATM (at-the-money) kupna PLN za USD, (b) 3M depozytową stopę (wolną od ryzyka) dla USD. Przypomnienie: Mówimy, że opcja jest ATM (at-the-money) jeśli bieżąca cena instrumentu podstawowego opcji jest równa cenie wykonania opcji.

29 Zadanie 3. (10 punktów) Terminowa opcja call na akcje to kontrakt, w którym posiadacz tego kontraktu w ustalonej chwili w przyszłości T 1 otrzymuje europejską opcję call na te akcje z ceną wykonania opcji równą S(T 1 ) (cenie akcji w chwili T 1 ) o czasie trwania T 2. Wyznacz cenę dzisiejszą (to jest w t = 0) tej opcji terminowej. W tym celu: (a) Pokaż, że cena opcji ATM (at-the-money) call jest wprost proporcjonalna do bieżącej ceny akcji. (b) Korzystając z (a) wyznacz wartość opcji terminowej w chwili T 1. (c) Korzystając z ogólnej metody wyceny instrumentów pochodnych oblicz dzisiejszą cenę opcji terminowej. Załóż, że stopa wolna od ryzyka, dywidenda, oraz zmienność akcji są stałe w okresie czasu do T 1 + T 2, oraz, że cena akcji spełnia standardowy model stosowany przy wypowadzeniu wzorów Blacka-Scholesa. Zadanie 4. (15 punktów) Wypłata opcji azjatyckiej call ze średnią ceną wykonania (ang. average strike option) w chwili t T (T jest czasem wygaśnięcia opcji) wynosi gdzie max(s(t) A(t), 0), A(t) = 1 n n S(t i ) jest dyskretną średnią arytmetyczną naliczoną do chwili t na podstawie wartości cen akcji w chwilach t 1 < t 2 <... < t n t. Jeśli t < t 1, to A(t) = 0. Ostatnia chwila czasu t N z której wartość ceny akcji jest uwzględniana do obliczenia średniej pokrywa się z czasem wygaśnięcia opcji T. Rozpatrzmy europejską opcję azjatycką call ze średnią ceną wykonania na akcję (niepłacącą dywidendy), której kontraktowy czas trwania wynosi 15 miesięcy. Dyskretna średnia arytmetyczna jest obliczana w chwilach t i = (3(i 1))M, gdzie i = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Oś czasu jest wyskalowana w następujący sposób: zawarcie kontraktu nastąpiło w chwili t = 0, bieżącą chwilą czasu jest t = 6M, to jest, 6 miesięcy od daty zawarcia kontraktu. Wyceń tę opcję w chwili t = 6M na trzy-okresowym drzewie dwumianowym przy następujących danych: w chwili zawarcia kontraktu cena akcji wynosiła S(0) = 80 PLN, po 3M od momentu zawarcia kontraktu cena akcji wynosiła S(3M) = 90 PLN, i=1 bieżąca cena akcji wynosi S(6M) = 100 PLN, zmienność akcji wynosi %, bieżąca 3M stopa procentowa wynosi 11.77%, stopa FRA3x6: 9.53%, cena obligacji zerokuponowej zapadającej w 9M (od chwili bieżącej) wynosi

30 Inżynieria Finansowa - Egzamin - 28 stycznia æ Uwagi i zasady 1. Rozwiązania zadań rachunkowych muszą zawierać objaśnienia do wykonywanych obliczeń pokazujące i uzasadniające przyjęty sposób rozwiązywania. Za brak objaśnień będą odejmowane punkty, w skrajnych przypadkach wszystkie. 2. Rozwiązanie każdego zadania proszę napisać na osobnej i podpisanej kartce (kartkach). 3. Proszę pisać wyraźnie. 4. Nie wolno ściągać. Osoby przyłapane na ściąganiu kończą egzamin z oceną niedostateczną. Dane rynkowe, przy których należy rozwiązywać zadania: sześcio-miesięczna stopa depozytowa wynosi 6.00%, stopa rocznego kontraktu IRS, który płaci odsetki na nodze stałej co pół roku, wynosi 6.20%, stopa dwuletniego kontraktu IRS, który płaci odsetki na nodze stałej co rok, wynosi 6.40%, stopa kontraktu FRA12x18 wynosi 6.50%. Dla uproszczenia przyjmij, że długość n-miesięcznego okresu czasu (n = 6, 12, 18, 24) wynosi n 12 lat. Zadanie 1. Punktacja: (a) - 8, (b) - 2. (a) Wyznacz wartości czynników dyskontowych dla okresów czasu będących wielokrotnościami sześcio-miesięcznych okresów do dwóch lat włącznie. (b) Oblicz (prostą) stopę forward dla sześcio-miesięcznego okresu, który zaczyna się za sześć miesięcy. Uwaga: Wyniki tego zadania będą potrzebne do wykonania obliczeń w pozostałych zadaniach. Zadanie 2. Punktacja: (a) - 7, (b) - 3. Aby podratować słabnącą kondycję finansową, spółka wuwu.com emituje dwuletnią obligację o półrocznym kuponie i z wbudowaną opcją, która daje posiadaczowi tej obligacji prawo do kupna w terminie wykupu obligacji N 0 sztuk akcji spółki (na 100 nominału obligacji) po ustalonej cenie wykonania K. Oprocentownie obligacji maleje po każdym okresie odsetkowym o q% wartości stopy obowiązującej w pierwszym okresie odsetkowym. W chwili emisji obligacji dwuletnie opcje sprzedaży akcji wuwu.com z ceną wykonania K kosztowały P 0 (za jedną akcję), a ceny opcji kupna nie były kwotowane na rynku. W prospekcie emisyjnym obligacji spółka przewiduje, że za sześć miesięcy zostanie wypłacona dywidenda w wysokości D na akcję. (a) Wyznacz wzór na początkową stopę oprocentowania tej obligacji, przy której cena tej obligacji będzie równa cenie właśnie wyemitowanej dwuletniej obligacji rządowej o stałej stopie procentowej C (pa) płacącej kupon co pół roku. (b) Wykonaj obliczenia dla następujących danych liczbowych: C = 6% (pa), q = 20, D = 0.5, P 0 = 5.34 (na 1 akcję) przy cenie akcji S 0 = 10 i dla K = 15, N 0 = 1.

Egzaminy z Inżynierii Finansowej

Egzaminy z Inżynierii Finansowej Egzaminy z Inżynierii Finansowej Włodzimierz Waluś Wydział Matematyki Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Semestr zimowy 2002/2003 Inżynieria Finansowa - Egzamin - 28 stycznia 2003 2 Egzamin

Bardziej szczegółowo

Inżynieria Finansowa - Egzamin - 28 stycznia Rozwiązania zadań Wersja z dnia 1 marca 2005, z drobnymi poprawkami

Inżynieria Finansowa - Egzamin - 28 stycznia Rozwiązania zadań Wersja z dnia 1 marca 2005, z drobnymi poprawkami Inżynieria Finansowa - Egzamin - 28 stycznia 2005 Rozwiązania zadań Wersja z dnia marca 2005, z drobnymi poprawkami Uwaga: Dla uproszczenia we wszelkich obliczeniach przyjęliśmy, że długość n-miesięcznego

Bardziej szczegółowo

Inżynieria finansowa Wykład IV Kontrakty OIS/IRS/CRIS

Inżynieria finansowa Wykład IV Kontrakty OIS/IRS/CRIS Inżynieria finansowa Wykład IV Kontrakty OIS/IRS/CRIS Wydział Matematyki Informatyki i Mechaniki UW 25 października 2011 1 Kontrakty OIS 2 Struktura kontraktu IRS Wycena kontraktu IRS 3 Struktura kontraktu

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 03.10.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r.

Matematyka finansowa 03.10.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. L Egzamin dla Aktuariuszy z 5 października 2009 r.

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. L Egzamin dla Aktuariuszy z 5 października 2009 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy L Egzamin dla Aktuariuszy z 5 października 2009 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 0 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Rozważmy

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 13.12.2010 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I

Matematyka finansowa 13.12.2010 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Pan

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 26.05.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I

Matematyka finansowa 26.05.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Przyjmijmy

Bardziej szczegółowo

Instrumenty pochodne - Zadania

Instrumenty pochodne - Zadania Jerzy A. Dzieża Instrumenty pochodne - Zadania 27 marca 2011 roku Rozdział 1 Wprowadzenie 1.1. Zadania 1. Spekulant zajął krótką pozycję w kontrakcie forward USD/PLN zapadającym za 2 miesiące o nominale

Bardziej szczegółowo

Inżynieria finansowa Wykład IV Kontrakty OIS/IRS/CIRS

Inżynieria finansowa Wykład IV Kontrakty OIS/IRS/CIRS Inżynieria finansowa Wykład IV Kontrakty OIS/IRS/CIRS Wydział Matematyki Informatyki i Mechaniki UW 25 października 2011 1 Kontrakty OIS Struktura kontraktu OIS Wycena kontraktu OIS 2 Struktura kontraktu

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 10.12.2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r.

Matematyka finansowa 10.12.2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 czerwca 2004 r. Część I. Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 czerwca 2004 r. Część I. Matematyka finansowa Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 czerwca 2004 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Trzy osoby biorą

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 05.12.2005 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2005 r.

Matematyka finansowa 05.12.2005 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2005 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2005 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU A Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Inżynieria finansowa Ćwiczenia III Stopy Forward i Kontrakt FRA

Inżynieria finansowa Ćwiczenia III Stopy Forward i Kontrakt FRA Inżynieria finansowa Ćwiczenia III Stopy Forward i Kontrakt FRA Wydział Matematyki Informatyki i Mechaniki UW 18 października 2011 Zadanie 3.1 W dniu 18 października 2004 Bank X kwotował: 3M PLN Depo -

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r.

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1

Bardziej szczegółowo

Inżynieria Finansowa: 4. FRA i Swapy

Inżynieria Finansowa: 4. FRA i Swapy Inżynieria Finansowa: 4. FRA i Swapy Piotr Bańbuła Katedra Rynków i Instytucji Finansowych, KES Październik 2014 r. Warszawa, Szkoła Główna Handlowa Zakup syntetycznej obligacji +1 mln PLN: emisja obligacji/krótka

Bardziej szczegółowo

Inżynieria Finansowa: 4. FRA i IRS

Inżynieria Finansowa: 4. FRA i IRS Inżynieria Finansowa: 4. FRA i IRS Piotr Bańbuła Katedra Ekonomii Ilościowej, KAE Marzec 2017 r. Warszawa, Szkoła Główna Handlowa Zakup syntetycznej obligacji +1 mln PLN: emisja obligacji/krótka sprzedaż/pożyczka

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 8.12.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część I

Matematyka finansowa 8.12.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Wykład 5. Wycena opcji modele dyskretne Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK Kurs letni dla studentów studiów zamawianych na kierunku Matematyka

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 11.10.2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r.

Matematyka finansowa 11.10.2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU Czas egzaminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIX Egzamin dla Aktuariuszy z 6 kwietnia 2009 r.

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIX Egzamin dla Aktuariuszy z 6 kwietnia 2009 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLIX Egzamin dla Aktuariuszy z 6 kwietnia 2009 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Wycena equity derivatives notowanych na GPW w obliczu wysokiego ryzyka dywidendy

Wycena equity derivatives notowanych na GPW w obliczu wysokiego ryzyka dywidendy Instrumenty pochodne 2014 Wycena equity derivatives notowanych na GPW w obliczu wysokiego ryzyka dywidendy Jerzy Dzieża, WMS, AGH Kraków 28 maja 2014 (Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives

Bardziej szczegółowo

Materiały do samodzielnego kształcenia Inżynieria finansowa i zarządzanie ryzykiem. Temat wykładu: Wycena kontraktów swap

Materiały do samodzielnego kształcenia Inżynieria finansowa i zarządzanie ryzykiem. Temat wykładu: Wycena kontraktów swap Materiały do samodzielnego kształcenia Inżynieria finansowa i zarządzanie ryzykiem Temat wykładu: Wycena kontraktów swap Podstawowe zagadnienia: 1. Wycena swapa procentowego metodą wyceny obligacji 2.

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIV Egzamin dla Aktuariuszy z 3 grudnia 2007 r. Część I. Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIV Egzamin dla Aktuariuszy z 3 grudnia 2007 r. Część I. Matematyka finansowa Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLIV Egzamin dla Aktuariuszy z 3 grudnia 2007 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Rachunki oszczędnościowe

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 15.06.2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 15 czerwca 2015 r.

Matematyka finansowa 15.06.2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 15 czerwca 2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 czerwca 201 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Pracownik

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 30.09.2013 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r.

Matematyka finansowa 30.09.2013 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 08.01.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I

Matematyka finansowa 08.01.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 00 minut . Ile

Bardziej szczegółowo

Inżynieria finansowa Wykład II Stopy Procentowe

Inżynieria finansowa Wykład II Stopy Procentowe Inżynieria finansowa Wykład II Stopy Procentowe Wydział Matematyki Informatyki i Mechaniki UW 11 października 2011 1 Rynkowe stopy procentowe Rodzaje stóp rynkowych Reguły rachunku stóp 2 3 Definicje stóp

Bardziej szczegółowo

Powtórzenie. Ćwiczenia ZPI. Katarzyna Niewińska, ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1

Powtórzenie. Ćwiczenia ZPI. Katarzyna Niewińska, ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1 Powtórzenie Ćwiczenia ZPI 1 Zadanie 1. Średnia wartość stopy zwrotu dla wszystkich spółek finansowych wynosi 12%, a odchylenie standardowe 5,1%. Rozkład tego zjawiska zbliżony jest do rozkładu normalnego.

Bardziej szczegółowo

Papiery wartościowe o stałym dochodzie

Papiery wartościowe o stałym dochodzie Papiery wartościowe o stałym dochodzie Inwestycje i teoria portfela Strona 1 z 42 1. Wartość pieniądza w czasie Złotówka dzisiaj (którą mamy w ręku) jest więcej warta niż (przyrzeczona) złotówka w przyszłości,

Bardziej szczegółowo

4.5. Obligacja o zmiennym oprocentowaniu

4.5. Obligacja o zmiennym oprocentowaniu .5. Obligacja o zmiennym oprocentowaniu 71.5. Obligacja o zmiennym oprocentowaniu Aby wycenić kontrakt IRS musi bliżej przyjrzeć się obligacji o zmiennym oprocentowaniu (Floating Rate Note lub floater

Bardziej szczegółowo

Opcje - wprowadzenie. Mała powtórka: instrumenty liniowe. Anna Chmielewska, SGH,

Opcje - wprowadzenie. Mała powtórka: instrumenty liniowe. Anna Chmielewska, SGH, Opcje - wprowadzenie Mała powtórka: instrumenty liniowe Punkt odniesienia dla rozliczania transakcji terminowej forward: ustalony wcześniej kurs terminowy. W dniu rozliczenia transakcji terminowej forward:

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 marca 2016 r. Część I

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 marca 2016 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 7 marca 2016 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 04.04.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I

Matematyka finansowa 04.04.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 25 marca 2013 r. Część I

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 25 marca 2013 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 25 marca 2013 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 20.06.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r.

Matematyka finansowa 20.06.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Instrumenty pochodne Instrumenty wbudowane

Instrumenty pochodne Instrumenty wbudowane www.pwcacademy.pl Instrumenty pochodne Instrumenty wbudowane Jan Domanik Instrumenty pochodne ogólne zasady ujmowania i wyceny 2 Instrument pochodny definicja. to instrument finansowy: którego wartość

Bardziej szczegółowo

Inżynieria finansowa Ćwiczenia II Stopy Procentowe

Inżynieria finansowa Ćwiczenia II Stopy Procentowe Inżynieria finansowa Ćwiczenia II Stopy Procentowe Wydział Matematyki Informatyki i Mechaniki UW 11 października 2011 Zadanie 2.1 Oprocentowanie 3M pożyczki wynosi 5.00% (ACT/365). Natomiast, 3M bon skarbowy

Bardziej szczegółowo

Inżynieria Finansowa: 5. Opcje

Inżynieria Finansowa: 5. Opcje Inżynieria Finansowa: 5. Opcje Piotr Bańbuła atedra Ekonomii Ilościowej, AE wiecień 2017 r. Warszawa, Szkoła Główna Handlowa Amounts outstanding of assets and derivatives Derivatives Derivatives Note:

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 16 maja 2005 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 16 maja 2005 r. Część I Matematyka finansowa Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 6 maja 005 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU A Czas egzaminu: 00 minut . Inwestorzy

Bardziej szczegółowo

Wykład VI Kontrakty opcyjne

Wykład VI Kontrakty opcyjne Inżynieria Finansowa - Wykład VI 1 Wykład VI Kontrakty opcyjne Kontrakt opcyjny (krótko: opcja) to umowa na podstawie której jedna strona umowy (posiadacz opcji) nabywa prawo do zrealizowania opisanej

Bardziej szczegółowo

1/ W oparciu o znajomość MSSF, które zostały zatwierdzone przez UE (dalej: MSR/MSSF): (Punktacja dot. pkt 1, razem: od 0 do 20 pkt)

1/ W oparciu o znajomość MSSF, które zostały zatwierdzone przez UE (dalej: MSR/MSSF): (Punktacja dot. pkt 1, razem: od 0 do 20 pkt) II Etap Maj 2013 Zadanie 1 II Etap Maj 2013 1/ W oparciu o znajomość MSSF, które zostały zatwierdzone przez UE (dalej: MSR/MSSF): (Punktacja dot. pkt 1, razem: od 0 do 20 pkt) 1.1/podaj definicję składnika

Bardziej szczegółowo

Dokumentacja Analityczna wycena instrumentów pochodnych na stopę procentową

Dokumentacja Analityczna wycena instrumentów pochodnych na stopę procentową Dokumentacja Analityczna wycena instrumentów pochodnych na stopę procentową Tomasz Romanowski Opis wycenianych instrumentów Caplet / Floorlet Jest to pojedyncza opcja kupna/sprzedaży stopy rynkowej L(T,

Bardziej szczegółowo

OPISY PRODUKTÓW. Rabobank Polska S.A.

OPISY PRODUKTÓW. Rabobank Polska S.A. OPISY PRODUKTÓW Rabobank Polska S.A. Warszawa, marzec 2010 Wymiana walut (Foreign Exchange) Wymiana walut jest umową pomiędzy bankiem a klientem, w której strony zobowiązują się wymienić w ustalonym dniu

Bardziej szczegółowo

Wycena papierów wartościowych - instrumenty pochodne

Wycena papierów wartościowych - instrumenty pochodne Matematyka finansowa - 8 Wycena papierów wartościowych - instrumenty pochodne W ujęciu probabilistycznym cena akcji w momencie t jest zmienną losową P t o pewnym (zwykle nieznanym) rozkładzie prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

Wzory matematyka finansowa

Wzory matematyka finansowa Wzory matematyka finansowa MaciejRomaniuk 29 września 29 K(t) funkcjaopisującaakumulacjęwchwiliczasut,k() kapitał,i stopazyskuwchwilit: i= K(t) K() (1) K() K kapitał,i stałastopaprocentowadlaustalonegookresuczasut,

Bardziej szczegółowo

Wskaźniki efektywności Sharpe a, Treynora, Jensena, Information Ratio, Sortino

Wskaźniki efektywności Sharpe a, Treynora, Jensena, Information Ratio, Sortino Ćwiczenia 5 Pojęcie benchmarku, tracking error Wskaźniki efektywności Sharpe a, Treynora, Jensena, Information Ratio, Sortino Renata Karkowska, Wydział Zarządzania UW 1 Współczynnik Sharpe a Renata Karkowska,

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 15.12.2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 grudnia 2008 r.

Matematyka finansowa 15.12.2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 grudnia 2008 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 grudnia 2008 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1

Bardziej szczegółowo

Wycena opcji. Dr inż. Bożena Mielczarek

Wycena opcji. Dr inż. Bożena Mielczarek Wycena opcji Dr inż. Bożena Mielczarek Stock Price Wahania ceny akcji Cena jednostki podlega niewielkim wahaniom dziennym (miesięcznym) wykazując jednak stały trend wznoszący. Cena może się doraźnie obniżać,

Bardziej szczegółowo

Opcje podstawowe własności.

Opcje podstawowe własności. Opcje podstawowe własności. Opcja jest to rodzaj umowy między dwoma podmiotami i jednocześnie instrument finansowy. Opcje kupna (call) dają posiadaczowi prawo do kupienia określonego w umowie aktywa (bazowego)

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIV Egzamin dla Aktuariuszy z 17 czerwca 2013 r.

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIV Egzamin dla Aktuariuszy z 17 czerwca 2013 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIV Egzamin dla Aktuariuszy z 17 czerwca 2013 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 0 minut 1 1. Rozważamy

Bardziej szczegółowo

Forward kontrakt terminowy o charakterze rzeczywistym (z dostawą instrumentu bazowego).

Forward kontrakt terminowy o charakterze rzeczywistym (z dostawą instrumentu bazowego). Kontrakt terminowy (z ang. futures contract) to umowa pomiędzy dwiema stronami, z których jedna zobowiązuje się do kupna, a druga do sprzedaży, w określonym terminie w przyszłości (w tzw. dniu wygaśnięcia)

Bardziej szczegółowo

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLV Egzamin dla Aktuariuszy z 17 marca 2008 r. Część I. Matematyka finansowa

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLV Egzamin dla Aktuariuszy z 17 marca 2008 r. Część I. Matematyka finansowa Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLV Egzamin dla Aktuariuszy z 17 marca 2008 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. RozwaŜmy

Bardziej szczegółowo

R NKI K I F I F N N NSOW OPCJE

R NKI K I F I F N N NSOW OPCJE RYNKI FINANSOWE OPCJE Wymagania dotyczące opcji Standard opcji Interpretacja nazw Sposoby ustalania ostatecznej ceny rozliczeniowej dla opcji na GPW OPCJE - definicja Kontrakt finansowy, w którym kupujący

Bardziej szczegółowo

1) jednostka posiada wystarczające środki aby zakupić walutę w dniu podpisania kontraktu

1) jednostka posiada wystarczające środki aby zakupić walutę w dniu podpisania kontraktu Przykład 1 Przedsiębiorca będący importerem podpisał kontrakt na zakup materiałów (surowców) o wartości 1 000 000 euro z datą płatności za 3 miesiące. Bieżący kurs 3,7750. Pozostałe koszty produkcji (wynagrodzenia,

Bardziej szczegółowo

TRANSAKCJE SWAP: - PROCENTOWE - WALUTOWE - WALUTOWO-PROCENTOWE - KREDYTOWE

TRANSAKCJE SWAP: - PROCENTOWE - WALUTOWE - WALUTOWO-PROCENTOWE - KREDYTOWE TRANSAKCJE SWAP: - PROCENTOWE - WALUTOWE - WALUTOWO-PROCENTOWE - KREDYTOWE 1 SWAP - fixed-to-floating rate IRS - swap procentowy jest umową, w której dwie strony uzgadniają, że będą w ustalonych terminach

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa - 8 Wycena papierów wartościowych

Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa - 8 Wycena papierów wartościowych Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa - 8 Wycena papierów wartościowych W ujęciu probabilistycznym cena akcji w momencie t jest zmienną losową P t o pewnym (zwykle nieznanym) rozkładzie prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

8. Papiery wartościowe: obligacje

8. Papiery wartościowe: obligacje 8. Papiery wartościowe: obligacje Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w 8. Krakowie) Papiery wartościowe: obligacje

Bardziej szczegółowo

8. Zarządzanie portfelem inwestycyjnym za pomocą instrumentów pochodnych Zabezpieczenie Spekulacja Arbitraż 9. Charakterystyka i teoria wyceny

8. Zarządzanie portfelem inwestycyjnym za pomocą instrumentów pochodnych Zabezpieczenie Spekulacja Arbitraż 9. Charakterystyka i teoria wyceny 8. Zarządzanie portfelem inwestycyjnym za pomocą instrumentów pochodnych Zabezpieczenie Spekulacja Arbitraż 9. Charakterystyka i teoria wyceny kontraktów terminowych Kontrakty forward FRA 1 Zadanie 1 Profil

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia ZPI. Katarzyna Niewińska, ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1

Ćwiczenia ZPI. Katarzyna Niewińska, ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1 Ćwiczenia ZPI 1 Kupno opcji Profil wypłaty dla nabywcy opcji kupna. Z/S Premia (P) np. 100 Kurs wykonania opcji (X) np. 2500 Punkt opłacalności X + P 2500+100=2600 WIG20 2 Kupno opcji Profil wypłaty dla

Bardziej szczegółowo

5.1 Stopa Inflacji - Dyskonto odpowiadające sile nabywczej

5.1 Stopa Inflacji - Dyskonto odpowiadające sile nabywczej 5.1 Stopa Inflacji - Dyskonto odpowiadające sile nabywczej Stopa inflacji, i, mierzy jak szybko ceny się zmieniają jako zmianę procentową w skali rocznej. Oblicza się ją za pomocą średniej ważonej cząstkowych

Bardziej szczegółowo

Sposób wyliczania depozytów zabezpieczających oraz zasady wyceny instrumentów pochodnych i transakcji repo

Sposób wyliczania depozytów zabezpieczających oraz zasady wyceny instrumentów pochodnych i transakcji repo Sposób wyliczania depozytów zabezpieczających oraz zasady wyceny instrumentów pochodnych i transakcji repo 1 Wprowadzenie Dokument przedstawia zaimplementowane w systemie KDPW_CCP formuły wyceny instrumentów

Bardziej szczegółowo

Forward Rate Agreement

Forward Rate Agreement Forward Rate Agreement Nowoczesne rynki finansowe oferują wiele instrumentów pochodnych. Należą do nich: opcje i warranty, kontrakty futures i forward, kontrakty FRA (Forward Rate Agreement) oraz swapy.

Bardziej szczegółowo

Modelowanie ryzyka kredytowego MODELOWANIE ZA POMOCA HAZARDU cz. II: CDS y - swapy kredytowe

Modelowanie ryzyka kredytowego MODELOWANIE ZA POMOCA HAZARDU cz. II: CDS y - swapy kredytowe Modelowanie ryzyka kredytowego MODELOWANIE ZA POMOCA FUNKCJI HAZARDU cz. II: CDS y - swapy kredytowe Mariusz Niewęgłowski Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych, Politechniki Warszawskiej Warszawa 2014

Bardziej szczegółowo

Inwestycje finansowe. Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. Ryzyko.

Inwestycje finansowe. Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. Ryzyko. Inwestycje finansowe Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. yzyko. Inwestycje finansowe Instrumenty rynku pieniężnego (np. bony skarbowe). Instrumenty rynku walutowego. Obligacje. Akcje. Instrumenty pochodne.

Bardziej szczegółowo

Model Blacka-Scholesa

Model Blacka-Scholesa WYCENA OPCJI EUROPEJSKIEJ I AMERYKAŃSKIEJ W MODELACH DWUMIANOWYCH I TRÓJMIANOWYCH COXA-ROSSA-RUBINSTEINA I JARROWA-RUDDA Joanna Karska W modelach dyskretnych wyceny opcji losowość wyrażana jest poprzez

Bardziej szczegółowo

Wykład XII. Instrumenty pochodne stopy procentowej

Wykład XII. Instrumenty pochodne stopy procentowej Inżynieria Finansowa - Wykład XII 1 Wykład XII Instrumenty pochodne stopy procentowej Proste instrumenty pochodne stopy procentowej Instrumenty pochodne, których wypłaty zależą od struktury stóp procentowych,

Bardziej szczegółowo

Inżynieria finansowa Wykład I Wstęp

Inżynieria finansowa Wykład I Wstęp Wykład I Wstęp Wydział Matematyki Informatyki i Mechaniki UW 4 października 2011 1 Podstawowe pojęcia Instrumenty i rynki finansowe 2 Instrumenty i rynki finansowe to dyscyplina, która zajmuje się analizą

Bardziej szczegółowo

OPCJE. Slide 1. This presentation or any of its parts cannot be used without prior written permission of Dom Inwestycyjny BRE Banku S..A.

OPCJE. Slide 1. This presentation or any of its parts cannot be used without prior written permission of Dom Inwestycyjny BRE Banku S..A. OPCJE Slide 1 Informacje ogólne definicje opcji: kupna (call)/sprzedaŝy (put) terminologia typy opcji krzywe zysk/strata Slide 2 Czym jest opcja KUPNA (CALL)? Opcja KUPNA (CALL) jest PRAWEM - nie zobowiązaniem

Bardziej szczegółowo

2a. Przeciętna stopa zwrotu

2a. Przeciętna stopa zwrotu 2a. Przeciętna stopa zwrotu Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2a. Przeciętna stopa zwrotu Matematyka

Bardziej szczegółowo

istota transakcji opcyjnych, rodzaje opcji, czynniki wpływające na wartość opcji (premii). Mała powtórka: instrumenty liniowe

istota transakcji opcyjnych, rodzaje opcji, czynniki wpływające na wartość opcji (premii). Mała powtórka: instrumenty liniowe Opcje istota transakcji opcyjnych, rodzaje opcji, czynniki wpływające na wartość opcji (premii). Mała powtórka: instrumenty liniowe Punkt odniesienia dla rozliczania transakcji terminowej forward: ustalony

Bardziej szczegółowo

Zatem, jest wartością portfela (wealth) w chwili,. j=1

Zatem, jest wartością portfela (wealth) w chwili,. j=1 Model Rynku z czasem dyskretnym n = 0,1,2, S 1 (n), S 2,, S m (n) - czas - ceny m aktywów obciążanych ryzykiem (akcji) w momencie : dodatnie zmienne losowe. - cena aktywa wolnego od ryzyka (obligacji)

Bardziej szczegółowo

NOTA 6 - INSTRUMENTY POCHODNE BPH Fundusz Inwestycyjny Otwarty Parasolowy BPH Subfundusz Obligacji 2 na dzień 31.12.2012 Typ zajętej pozycji Rodzaj instrumentu pochodnego Cel otwarcia pozycji Wartość otwartej

Bardziej szczegółowo

dr hab. Marcin Jędrzejczyk

dr hab. Marcin Jędrzejczyk dr hab. Marcin Jędrzejczyk Przez inwestycje należy rozumieć aktywa nabyte w celu osiągnięcia korzyści ekonomicznych, wynikających z przyrostu wartości tych zasobów, uzyskania z nich przychodów w postaci

Bardziej szczegółowo

Charakterystyka i wycena kontraktów terminowych forward

Charakterystyka i wycena kontraktów terminowych forward Charakterystyka i wycena kontraktów terminowych forward Profil wypłaty forward Profil wypłaty dla pozycji długiej w kontrakcie terminowym Long position Zysk/strata Cena spot Profil wypłaty dla pozycji

Bardziej szczegółowo

Elementy matematyki finansowej

Elementy matematyki finansowej ROZDZIAŁ 2 Elementy matematyki finansowej 1. Procent składany i ciągły Stopa procentowa i jest związana z podstawową jednostką czasu, jaką jest zwykle jeden rok. Jeśli pożyczamy komuś 100 zł na jeden rok,

Bardziej szczegółowo

Prof. nadzw. dr hab. Marcin Jędrzejczyk

Prof. nadzw. dr hab. Marcin Jędrzejczyk Prof. nadzw. dr hab. Marcin Jędrzejczyk 1. Zakup akcji, udziałów w obcych podmiotach gospodarczych według cen nabycia. 2. Zakup akcji i innych długoterminowych papierów wartościowych, traktowanych jako

Bardziej szczegółowo

O PEWNEJ ANOMALII W WYCENIE INSTRUMENTÓW DŁUŻNYCH

O PEWNEJ ANOMALII W WYCENIE INSTRUMENTÓW DŁUŻNYCH O PEWNEJ ANOMALII W WYCENIE INSTRUMENTÓW DŁUŻNYCH A. KARPIO KATEDRA EKONOMETRII I STATYSTYKI SGGW W WARSZAWIE Krzywa dochodowości Obligacja jest papierem wartościowym, którego wycena opiera się na oczekiwanych

Bardziej szczegółowo

Analiza instrumentów pochodnych

Analiza instrumentów pochodnych Analiza instrumentów pochodnych Dr Wioletta Nowak Wykład 2-3 Kontrakt forward na przyszłą stopę procentową Kontrakty futures na długoterminowe instrumenty procentowe Swapy procentowe Przykład 1 Inwestor

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa, rozkład normalny, Model wyceny aktywów kapitałowych, Forward, Futures

Matematyka finansowa, rozkład normalny, Model wyceny aktywów kapitałowych, Forward, Futures Matematyka finansowa, rozkład normalny, Model wyceny aktywów kapitałowych, Forward, Futures 1 Inwestor ma trzyletnią obligację o wartości nominalnej 2000 zł, oprocentowaną 8% rocznie, przy czym odsetki

Bardziej szczegółowo

Egzamin XXVII dla Aktuariuszy z 12 października 2002 r.

Egzamin XXVII dla Aktuariuszy z 12 października 2002 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy Egzamin XXVII dla Aktuariuszy z 12 października 2002 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut Ośrodek Doskonalenia

Bardziej szczegółowo

1. Charakterystyka obligacji. 2. Rodzaje obligacji. 3. Zadania praktyczne-duration/ceny obligacji.

1. Charakterystyka obligacji. 2. Rodzaje obligacji. 3. Zadania praktyczne-duration/ceny obligacji. mgr Maciej Jagódka 1. Charakterystyka obligacji 2. Rodzaje obligacji. 3. Zadania praktyczne-duration/ceny obligacji. Wierzycielski papier wartościowy, w którym emitent obligacji jest dłużnikiem posiadacza

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia ZPI. Katarzyna Niewińska, ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1

Ćwiczenia ZPI. Katarzyna Niewińska, ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1 Ćwiczenia ZPI 1 Zysk/strata Zysk 1 3,89 4,19 4,33 Cena spot np. EURPLN Strata 1 Zysk/Strata nabywcy = Cena Spot Cena wykonania 2 Zysk/strata Zysk 1 Strata 1 3,89 4,19 4,33 Cena spot np. EURPLN Zysk/Strata

Bardziej szczegółowo

Opcje. istota transakcji opcyjnych, rodzaje opcji, czynniki wpływające na wartość opcji (premii).

Opcje. istota transakcji opcyjnych, rodzaje opcji, czynniki wpływające na wartość opcji (premii). Opcje istota transakcji opcyjnych, rodzaje opcji, czynniki wpływające na wartość opcji (premii). 1 Mała powtórka: instrumenty liniowe Takie, w których funkcja wypłaty jest liniowa (np. forward, futures,

Bardziej szczegółowo

Inżynieria Finansowa: 5. Opcje

Inżynieria Finansowa: 5. Opcje Inżynieria Finansowa: 5. Opcje Piotr Bańbuła atedra Ekonomii Ilościowej, AE Listopad 2014 r. Warszawa, Szkoła Główna Handlowa Opcje - typy Opcja jest asymetrycznym instrumentem. Opcja (standardowa, prosta,

Bardziej szczegółowo

ANALIZA OPCJI ANALIZA OPCJI - WYCENA. Krzysztof Jajuga Katedra Inwestycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu

ANALIZA OPCJI ANALIZA OPCJI - WYCENA. Krzysztof Jajuga Katedra Inwestycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu Krzysztof Jajuga Katedra Inwestycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu Podstawowe pojęcia Opcja: in-the-money (ITM call: wartość instrumentu podstawowego > cena wykonania

Bardziej szczegółowo

II Etap egzaminu na Doradcę Inwestycyjnego Maj 2014. Zadanie 2

II Etap egzaminu na Doradcę Inwestycyjnego Maj 2014. Zadanie 2 II Etap egzaminu na Doradcę Inwestycyjnego Maj 2014 Zadanie 2 1/ Analizowane są dwie spółki Alfa i Gamma. Spółka Alfa finansuje swoją działalność nie korzystając z długu, natomiast spółka Gamma finansuje

Bardziej szczegółowo

UBEZPIECZENIA NA ŻYCIE

UBEZPIECZENIA NA ŻYCIE UBEZPIECZENIA NA ŻYCIE M BIENIEK Ubezpieczenie na życie jest to kontrakt pomiędzy ubezpieczycielem a ubezpieczonym gwarantujący, że ubezpieczyciel w zamian za opłacanie składek, wypłaci z góry ustaloną

Bardziej szczegółowo

REZERWY UBEZPIECZEŃ I RENT ŻYCIOWYCH

REZERWY UBEZPIECZEŃ I RENT ŻYCIOWYCH REZERWY UBEZPIECZEŃ I RENT ŻYCIOWYCH M. BIENIEK Przypomnijmy, że dla dowolnego wektora przepływów c rezerwę w chwili k względem funkcji dyskonta v zdefiniowaliśmy jako k(c; v) = Val k ( k c; v), k = 0,

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa. Ćwiczenia ZPI. Ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1

Matematyka finansowa. Ćwiczenia ZPI. Ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1 Matematyka finansowa Ćwiczenia ZPI 1 Zadanie 1. Procent składany W banku A oprocentowanie lokat 4% przy kapitalizacji kwartalnej. W banku B oprocentowanie lokat 4,5% przy kapitalizacji miesięcznej. W banku

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Zadanie 2. Zadanie 3

Zadanie 1. Zadanie 2. Zadanie 3 Zadanie 1 Inwestor rozważa nabycie obligacji wieczystej (konsoli), od której będzie otrzymywał na koniec każdego półrocza kupon w wysokości 80 zł. Wymagana przez inwestora stopa zwrotu w terminie do wykupu

Bardziej szczegółowo

Dokumentacja. Portal Mathfinance Wycena opcji paryskich metoda. Wiktor Madejski

Dokumentacja. Portal Mathfinance Wycena opcji paryskich metoda. Wiktor Madejski Dokumentacja Portal Mathfinance Wycena opcji paryskich metoda PDE Wiktor Madejski Spis treści 1 Wstęp 2 2 Opcje paryskie 2 2.1 Układ PDE dla opcji paryskich..................... 2 2.2 Schemat numeryczny..........................

Bardziej szczegółowo

KONTRAKTY TERMINOWE FUTURES ORAZ FORWARD

KONTRAKTY TERMINOWE FUTURES ORAZ FORWARD KONTRAKTY TERMINOWE FUTURES ORAZ FORWARD KONTRAKT TERMINOWY To instrument finansowy, w którym nabywca (długa pozycja)/ wystawca (krótka pozycja) zobowiązuje się kupić/sprzedać określony instrument bazowy

Bardziej szczegółowo

Stochastyczne równania różniczkowe, model Blacka-Scholesa

Stochastyczne równania różniczkowe, model Blacka-Scholesa Stochastyczne równania różniczkowe, model Blacka-Scholesa Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Błądzenie losowe................................ 1 1. Proces Wienera................................. 1.3

Bardziej szczegółowo

mgr Katarzyna Niewińska; Wydział Zarządzania UW Ćwiczenia 8

mgr Katarzyna Niewińska; Wydział Zarządzania UW Ćwiczenia 8 Ćwiczenia 8 Opcja jest to umowa między nabywcą (posiadaczem) a sprzedawcą (wystawcą), dająca nabywcy prawo do kupna (opcja kupna) lub sprzedaży (opcja sprzedaży) instrumentu bazowego przed lub w ustalonym

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. Matematyka ubezpieczeń majątkowych 4.04.0 r. Zadanie. Przy danej wartości λ parametru ryzyka Λ liczby szkód generowane przez ubezpieczającego się w kolejnych latach to niezależne zmienne losowe o rozkładzie

Bardziej szczegółowo

Sprzedający => Wystawca opcji Kupujący => Nabywca opcji

Sprzedający => Wystawca opcji Kupujący => Nabywca opcji Opcja walutowa jest to umowa, która daje kupującemu prawo (nie obowiązek) do kupna lub sprzedaży instrumentu finansowego po z góry ustalonej cenie przed lub w określonym terminie w przyszłości. Kupujący

Bardziej szczegółowo

INSTRUMENTY POCHODNE OPCJE EUROPEJSKIE OPCJE AMERYKAŃSKIE OPCJE EGZOTYCZNE

INSTRUMENTY POCHODNE OPCJE EUROPEJSKIE OPCJE AMERYKAŃSKIE OPCJE EGZOTYCZNE INSTRUMENTY POCHODNE OPCJE EUROPEJSKIE OPCJE AMERYKAŃSKIE OPCJE EGZOTYCZNE OPCJE / DEFINICJA Opcja jest prawem do zakupu lub sprzedaży określonej ilości wyspecyfikowanego przedmiotu (tzw. instrumentu bazowego)

Bardziej szczegółowo

mgr Katarzyna Niewińska; Wydział Zarządzania UW Ćwiczenia 2

mgr Katarzyna Niewińska; Wydział Zarządzania UW Ćwiczenia 2 Ćwiczenia 2 Wartość pieniądza w czasie Zmienna wartość pieniądza w czasie jest pojęciem, które pozwala porównać wartość różnych sum pieniężnych otrzymanych w różnych okresach czasu. Czy 1000 PLN otrzymane

Bardziej szczegółowo

Załącznik nr 6 do Szczegółowych Zasad Systemu Rozliczeń OTC Sposób wyliczania depozytów zabezpieczających oraz zasady wyceny instrumentów pochodnych

Załącznik nr 6 do Szczegółowych Zasad Systemu Rozliczeń OTC Sposób wyliczania depozytów zabezpieczających oraz zasady wyceny instrumentów pochodnych Załącznik nr 6 do Szczegółowych Zasad Systemu Rozliczeń OTC Sposób wyliczania depozytów zabezpieczających oraz zasady wyceny instrumentów pochodnych i transakcji repo Tabela zmian Wersja dokumentu Wprowadzone

Bardziej szczegółowo