Opływ walca kołowego

Transkrypt

1 1. Wprowadzenie Ć w i c z e n i e Opływ walca kołowego Celem ćwiczenia jest eksperymentalne określenie rozkładu ciśnienia na powierzchni walca kołowego oraz obliczenie współczynnika oporu ciśnieniowego c xc. Rozpatrywany jest opływ nieskończenie długiego walca, tzn. są pominięte efekty brzegowe, a obraz opływu jest identyczny w kaŝdym z przekrojów poprzecznych. Zakładając przepływ czynnika nielepkiego i nieściśliwego, moŝliwe jest uzyskanie analitycznego rozwiązania, znanego pod nazwą potencjału kołowego zasadniczego [1]. Linie prądu opływu potencjalnego walca, uzyskane z rozwiązania analitycznego pokazano na rysunku 1, z zaznaczeniem wartości prędkości w czterech charakterystycznych punktach opływanego ciała: π 3 α = 0,, π, π Ciśnienie na powierzchni okręgu utworzonego przez zerową linię prądu Ψ = 0 jest opisane zaleŝnością: ( 1 4sin α) p α = + q (1) gdzie: p - ciśnienie statyczne przepływu niezakłóconego, Rys. 1. Obraz linii prądu dla opływu potencjalnego walca ρ q = U - ciśnienie dynamiczne przepływu niezakłóconego, U - prędkość przepływu niezakłóconego, ρ - gęstość medium. Związek ten moŝe być przekształcony do postaci opisującej tzw. współczynnik ciśnienia definiowany jako: 11

2 pα pα p c p = = = 1 4sin α () α q q a jego zmienność zilustrowano na rys. a. p Odpowiednie wartości α ( α) naniesiono wzdłuŝ promienia walca w taki sposób, Ŝe q dodatnie wartości współczynnika ciśnienia są odkładane od powierzchni do wnętrza walca, a ujemne na zewnątrz opływanej powierzchni. MoŜna zauwaŝyć, Ŝe rozkład ciśnienia jest symetryczny względem układu współrzędnych, zawierając dwa punkty stagnacji PS (połoŝone na osi x) i dwa punkty maksymalnej depresji PD (połoŝone na osi y). Rys.. Rozkład ciśnień na powierzchni walca opływanego płynem nielepkim (a) i schemat sił ciśnieniowych, działających na element powierzchni (b) Na element powierzchni walca ds (rys. b) o jednostkowej długości działa elementarna siła powierzchniowa: dp= pα ds = pα 1 R dα (3) co po zsumowaniu sił działających na cały obwód walca i rozłoŝeniu na kierunki x i y daje: π Px = R pα cosα dα 0 (4) π Py = R pα sinα dα 0 JeŜeli w miejsce p α podstawiona zostanie zaleŝność (1), wówczas po scałkowaniu otrzymamy: P x = 0 (siła oporu) P y = 0 (siła nośna) co oznacza, Ŝe na walec opływany płynem idealnym nie działa Ŝadna siła (paradoks d Alamberta). Wynik ten jest w sposób oczywisty sprzeczny z doświadczeniem, co oznacza, Ŝe lepkość zmieniać musi obraz opływu, przy czym mechanizm tego oddziaływania jest dwojaki: - lepkość prowadzi do ukształtowania takiego rozkładu ciśnień na powierzchni opływanego ciała, który daje róŝną od zera siłę wypadkową (siła oporu ciśnieniowego P xc ), 1

3 - lepkość powoduje wystąpienie na powierzchni opływanego ciała sił stycznych, dających niezerową wypadkową (opór tarcia P xt ). Suma elementarnych oporów ciśnienia i tarcia działających na element powierzchni walca ds przy załoŝeniu, Ŝe kierunek przepływu pokrywa się z osią x (rys. 3), moŝe być opisana zaleŝnością: r r r r Px = Pxc + Pxt = p cos( p, i) ds+ τ cos( τ, i) ds (6) gdzie: p r r - wektor elementarnej siły normalnej, τ - wektor elementarnej siły stycznej, i r - wersor osi x. S S Rys. 3. Schemat oddziaływania elementarnej siły normalnej i stycznej na element powierzchni walca ds Siła P x, nazywana oporem profilowym [], wyznaczana jest zazwyczaj przez pomiar reakcji wywieranej przez płyn na opływane ciało. Pomiar ten jest realizowany za pomocą wagi aerodynamicznej [3], przy czym jest to metoda kosztowna i wymagająca specjalistycznego wyposaŝenia. Opór tarcia moŝna obliczyć za pomocą zaleŝności wyprowadzonych dla przepływu w warstwie przyściennej, przy czym dokładność tego typu metod jest zadowalająca jedynie w przypadku smukłych ciał opływowych []. Obliczanie oporu ciśnieniowego na drodze analitycznej jest bardzo trudne i stąd najczęściej wyznacza się go eksperymentalnie przez pomiar rozkładu ciśnienia na powierzchni opływanego ciała. Analiza wymiarowa omawianego przepływu [3] wykazuje, Ŝe związek opisujący zmienność siły oporu profilowego moŝe być zapisany w postaci: gdzie: c x - współczynnik oporu, S - powierzchnia odniesienia. P x = c x ρu S (7) 13

4 W przypadku opływu walca najczęściej jako powierzchnię odniesienia przyjmuje się pole będące rzutem powierzchni walca na płaszczyznę prostopadłą do kierunku przepływu, tzn.: S = RL. (8) gdzie L długość walca. Istnienie dwóch składowych oporu zaznacza się często [4] następującym zapisem: c x = cxc + cxt (9) gdzie: c xc - współczynnik oporu ciśnieniowego, c xt - współczynnik oporu tarcia. Współczynnik oporu profilowego dla nieskończenie długiego walca pokazany na rysunku 4 w funkcji liczby Reynoldsa (przy ograniczeniu rozwaŝań do przepływów nieściśliwych) ma, jak widać, bardzo złoŝony przebieg. Lepkość powoduje bowiem, Ŝe obraz rzeczywistego opływu walca róŝni się w sposób istotny od tego, który moŝna było zaobserwować dla płynu idealnego (rys. 5 i rys. 1). Najistotniejsze róŝnice występują w tylnej części opływanego ciała, gdzie zauwaŝa się wyraźne odsunięcie linii prądu od powierzchni opływanego ciała (pkt 0 rys. 5a). Za walcem tworzy się wówczas obszar, w którym linie prądu tworzą obraz zupełnie odmienny od tego, który występuje w przepływie otaczającym (pole zakreskowane na rys. 5), nazywamy często strefą cienia aerodynamicznego [1]. Zjawisko to jest definiowane oderwaniem warstwy przyściennej, a jego mechanizm przedstawiono na rys. 5b. Rys. 4. Zmienność współczynnika oporu profilowego walca w funkcji liczby Reynoldsa Rys. 5. Obraz opływu walca płynem rzeczywistym (a) i mechanizm oderwania warstwy przyściennej (b) Podczas opływu ciała, ograniczonego powierzchnią krzywoliniową, zmienia się prędkość przepływu wzdłuŝ zewnętrznej granicy warstwy przyściennej, czemu towarzyszy odpowiednia zmienność gradientu ciśnienia. Wzrostowi prędkości w 14

5 p kierunku przepływu odpowiada ujemny gradient ciśnienia ( < 0 - pkt 1 rys. 5b), s podczas gdy spadek prędkości wywołuje wystąpienie gradientu dodatniego (pkt 3 i dalsze rys. 5b). W punkcie 4 (którego lokalizacja odpowiada punktowi 0 z tys. 5a) siły lepkości powodują powstanie profilu prędkości, w którym w bezpośredniej U bliskości ścianki występuje zerowy gradient prędkości = 0. Towarzyszy n n= 0 temu zerowa wartość napręŝeń stycznych na ściance τ o = 0, a w przekrojach następnych (pkt 5 i 6 rys. 5b) dodatni gradient ciśnienia powoduje powstanie przepływu powrotnego, prowadząc w konsekwencji do odsunięcia linii prądu od opływanej powierzchni i oderwania warstwy przyściennej. Oderwana masa płynu zostaje uniesiona w postaci wiru przez przepływ zewnętrzny, po czym następuje ponowne przylgnięcie linii prądu do opływanej powierzchni i cały przebieg powtarza się od nowa. Przestrzeń za profilem jest wypełniona wówczas wirami spływającymi naprzemiennie z obu stron walca, jak pokazano na rys. 6. Dwa szeregi wirów są przesunięte względem siebie o ½ l, a odległość poszczególnych szeregów wynosi h/l = 0,81; układ ten jest znany powszechnie jako ścieŝka wirowa Karmana. Jak wykazały liczne doświadczenia, wyraźny obraz ścieŝki wirowej zaobserwować moŝna jedynie wówczas, gdy warstwa przyścienna na powierzchni opływanego walca ma charakter laminarny. Przepływ taki jest nazywany powszechnie podkrytycznym i jak wynika z rysunku 7, punkt maksymalnej depresji występuje wówczas przy α 70 o, podczas gdy oderwanie zauwaŝa się dla α 85 o. Rys. 6. Obraz linii prądu ścieŝki wirowej Karmana w ruchomym układzie odniesienia Rys. 7. Rozkłady ciśnień na powierzchni walca przy opływie płynem idealnym (a) oraz rzeczywistym w przepływie podkrytycznym (b) i nadkrytycznym (c) 15

6 W przypadku, gdy prędkość płynu opływającego walec jest na tyle duŝa, Ŝe na jego powierzchni występuje przejście warstwy przyściennej laminarnej w turbulentną (przed punktem oderwania), wówczas punkt 0 przesuwa się w stronę tylnej powierzchni walca (α = 110 o rys. 7) i opływ taki jest nazywany nadkrytycznym. Obszar cienia aerodynamicznego za opływanym ciałem jest wówczas znacznie węŝszy w porównaniu z przepływem podkrytycznym, czego rezultatem jest wyraźny spadek współczynnika oporu (rys. 4). Powodem jest intensywna wymiana elementów płynu w turbulentnej warstwie przyściennej, która wywołując zasilanie w energię obszaru przylegającego bezpośrednio do powierzchni walca, opóźnia wystąpienie oderwania. Wartość krytycznej liczby Reynoldsa, przy której występuje przejście laminarnoturbulentne w warstwie przyściennej (rys. 4) zaleŝy od wielu czynników, takich jak intensywność turbulencji w przepływie zewnętrznym, chropowatość powierzchni walca itp. MoŜliwe jest przy tym celowe sprowokowanie przejścia laminarnoturbulentnego przez zaburzenie opływu czołowej powierzchni walca (rys. 8), co Rys. 8. Ilustracja wpływu chropowatości opływanego ciała na proces przejścia laminarnoturbulentnego pozwala na uzyskanie zmniejszonego współczynnika oporu przy tej samej liczbie Reynoldsa. Do niedawna uwaŝano, Ŝe występowanie ścieŝki wirowej Karmana jest ograniczone jedynie do zakresu podkrytycznego. Najnowsze badania wykazują jednak, Ŝe takŝe i w przypadku opływu nadkrytycznego zauwaŝa się istnienie zorganizowanej wirowości w śladzie za walcem [5]. Struktury wirowe są jednak przytłoczone turbulentnymi fluktuacjami o znacznej amplitudzie, co sprawia, Ŝe ich identyfikacja wymaga zastosowania specjalnych technik pomiarowych.. Stanowisko badawcze NajwaŜniejsze elementy tunelu aerodynamicznego, w którym jest realizowany pomiar, pokazano schematycznie na rysunku 9. Wentylator zasysa powietrze z otoczenia do komory pomiarowej 1, której odpowiednio ukształtowany wlot zapewnia uzyskanie jednorodnego profilu prędkości. W połowie wysokości komory zamontowany jest walec 3 w uchwycie 4 zapewniającym jego obrót w zakresie od 0 o do 360 o. Kątomierz 5 obracający się wraz z walcem umoŝliwia odczyt kąta α utworzonego między osią otworu pomiarowego 6 a kierunkiem napływającego 16

7 strumienia. Ciśnienie mierzone na powierzchni walca jest przekazywane do mikromanometru 7, którego drugi króciec jest połączony z sondą 8, słuŝącą do pomiaru ciśnienia statycznego p w komorze pomiarowej. 3. Metodyka pomiarów i obliczeń Rys. 9. Schemat stanowiska badawczego Podstawową wielkością którą naleŝy określić w trakcie ćwiczenia jest współczynnik oporu ciśnieniowego, który obliczyć moŝna z rozkładu ciśnienia na powierzchni opływanego ciała. JeŜeli manometr jest połączony w sposób pokazany na rys. 9, wówczas długość słupa cieczy manometrycznej jest proporcjonalna do róŝnicy ciśnień p α (): pα = pα p = lm g ρm i (10) gdzie: l m - długość słupa cieczy manometrycznej, m, g - przyspieszenie ziemskie, m/s, ρ m - gęstość cieczy manometrycznej, kg/m 3, i = sinβ - przełoŝenie manometru. Siłę oporu ciśnieniowego przypadającego na jednostkę długości walca moŝna obliczyć z zaleŝności: P jedn π xc = p R cosα dα (11) lub w postaci przybliŝonej po obliczeniu wartości całki metodą prostokątów: 0 α 17

8 gdzie: p αn P xc jedn = α R π n= α n= 1 pα cosα n nadciśnienie na powierzchni walca, którego połoŝenie jest określone kątem α n, N/m, α - odstęp między punktami pomiarowymi, rad α = 10 o 0,1744 rad Całkowita siła oporu ciśnieniowego wyraŝona moŝe być jako: Pxc = P L (13) gdzie L długość walca lub po wykorzystaniu (7), (8) i (9): xc jedn ρu Pxc = c xc L d (14) gdzie: d = R średnica walca, m. Z porównania wzorów (13) i (14) wyznaczyć moŝna współczynnik oporu ciśnieniowego: Pxc jedn cxc = (15) ρ U d NaleŜy przy tym pamiętać, Ŝe róŝnicowy pomiar ciśnień dla kąta α = 0 (otworek impulsowy znajduje się w punkcie spiętrzenia) daje ciśnienie dynamiczne przepływu niezakłóconego: ρu p = q = α = 0 = ρm lm g i (16) α= 0 skąd wyliczyć moŝna zarówno prędkość napływającego czynnika jak i odpowiadającą jej wartość liczby Reynoldsa U d Re = (17) ν Gęstość i lepkość przepływającego czynnika występujące w powyŝszych zaleŝnościach moŝna obliczyć według wzorów (7) i (9) podanych w ćwiczeniu Szczegółowy program ćwiczenia Po uruchomieniu tunelu aerodynamicznego i ustaleniu odpowiedniej prędkości przepływu naleŝy dokonać pomiaru temperatury czynnika i po obliczeniu gęstości i lepkości zanotować wyniki w tabeli pomiarowej. Pomiar ciśnienia na powierzchni walca naleŝy rozpocząć przy α = 0 o, tzn. w połoŝeniu, w którym oś otworu pomiarowego jest równoległa do kierunku przepływu. Następne odczyty wykonać naleŝy co 10 o aŝ do wartości kąta α = 350 o, zapisując odpowiednie długości słupa cieczy manometrycznej w rubryce (4) tabeli pomiarowej. Po obliczeniu wartości ciśnień i współczynnika ciśnienia w odpowiednich punktach na powierzchni walca (wzory 10 i ) i zanotowaniu ich w rubrykach 5 i 6 tabeli naleŝy p sporządzić wykres zmienności α, zarówno w postaci rozwiniętej (rys. 7), jak i q n (1) 18

9 naniesionej na powierzchnię walca (rys. a). Dla porównania trzeba na te wykresy nanieść równieŝ odpowiednią zmienność współczynników ciśnienia dla przepływu nad- i podkrytycznego, odczytane z rys. 7. Po zaznaczeniu punktu oderwania naleŝy przeanalizować, czy badany przepływ określić moŝna jako pod- czy teŝ nadkrytyczny. Następnym krokiem jest oszacowanie wartości całki, występującej we wzorze (11), metodą prostokątów (1). Po obliczeniu iloczynów p αn cosα n (dla ułatwienia obliczeń wartości cosα n podano w rubryce 3) i sumy, naleŝy obliczyć siłę jednostkowego oporu ciśnieniowego (1) i współczynnik oporu ciśnieniowego (15). Dla obliczonej uprzednio liczby Reynoldsa (17), naleŝy odczytać wartość współczynnika oporu profilowego c x (rys. 4) i oszacować odpowiednie udziały oporu ciśnieniowego i oporu tarcia. Trzeba równieŝ stwierdzić, czy wartość uzyskanego współczynnika oporu ciśnieniowego potwierdza wcześniejsze wnioski o rodzaju opływu (nad- czy podkrytycznego). Literatura 1. Bukowski J.: Mechanika płynów, PWN, Warszawa Bukowski J., Kijowski P.: Kurs mechaniki płynów, PWN, Warszawa Duckworth R.A.: Mechanika płynów, WNT, Warszawa Elsner J.W.: Turbulencja przepływów, PWN, Warszawa Wysocki J.: Mechanika płynów, PWN, Warszawa

10 Tabela pomiarowo-obliczeniowa d = 0,04 m; ρ m =... kg/m 3 ; g = 9,81 m/s ; α = 0,1744 rad; t ot =... o C; ν = m /s; ρ =...kg/m 3 ; i = sin β =. n α n cosα n l m n m 1 0 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,9848 p αn N/m q p αn pαn cosα n N/m 0