Analiza matematyczna w zadaniach, t. 1, W. Krysicki, L. Włodarski - rozwiązania

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Analiza matematyczna w zadaniach, t. 1, W. Krysicki, L. Włodarski - rozwiązania"

Transkrypt

1 Analiza matematyczna w zadaniach, t., W. Krysicki, L. Włodarski - rozwiązania Całki nieoznaczone. Całkowanie przez podstawienie i całkowanie przez części ( ) ( ) ( + )( + + ) ( + ) 5 + ( + ) 6 a, a 0, a + + ( + ) a + b e e cos sin( + ) sin 5 cos cos + sin sin a + b cos, b 0 cos e sin cos tan cos cos ( + ) (ln ) e + e e e + ln( + ) + ln 6 ln ln arctan + e ( + ) 6 ( + ) arctan (π arcsin ) + ( + ) e e e

2 5.70 cos 5.7 cos 5.7 sin e cos 5.7 e sin 5.75 e cos( ) 5.76 ln (ln ) (ln ) (ln 5.79 ) ln 5.80 (ln ) (ln ) 5.8 n ln, n Całki funkcji wymiernych ( + ) ( ) ( 5) + ( + )

3 ( ) ( + ) ( + )( )( ) 7 6 ( )( ) ( + )( + ) ( + 9)( + 5) a ( )( + + 9) ( ) ( + ) ( + + ) 7 + ( ) ( + + 8) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) Całki funkcji niewymiernych. Całki funkcji zawierających pierwiastki z wyrażenia liniowego ( + )

4 a 7.0 a ( + ) ( ) Całki funkcji zawierających pierwiastek kwadratowy z trójmianu kwadratowego (8 + ) + + (0 + 5) (r ) ( + ) m ( a)( a) ( + ) + ( + ) a a

5 a + a a + a + a ( 5) ( + ) ( + ) + ( ) ( + ) + ( ) (a ) a ( ) 6 + ( ) ( ) ( ) + Całki funkcji trygonometrycznych. 8.0 cos 5 cos 7 8. cos cos 8. sin cos 8. sin cos 5

6 8. cos sin 8.5 sin sin cos cos 8.7 sin sin 8.8 sin 5 sin 8.9 sin 8.0 sin 8. cos 8. cos 5 8. sin 5 8. tan cot 8.6 ctg sin cos 8.8 sin 7 cos sin 5 cos 8.50 sin cos 8.5 sin cos 8.5 sin cos cos sin sin tan cos 8.55 sin sin cos sin cos sin sin sin 8.59 sin cos 8.60 sin sin + cos 8.6 sin sin cos + cos 8.6 sin 8.6 cos 8.6 sin 8.65 cos sin sin cos 8.68 sin cos 8.69 sin 5 cos 8.70 sin cos sin 8.7 cos sin 8.7 cos cos sin sin 8.7 cos 8 cos 8.75 cos cos sin 8.78 sin + cos sin cos 8.79 sin + cos + sin 8.80 cos cos cos + sin 8.8 (sin cos ) sin cos 8.8 sin + cos sin cos sin 8.8 (sin + cos ) sin cos 8.85 sin 8 + cos sin + cos 8.87 sin 6

7 Całki funkcji cyklometrycznych arcsin arcsin ( ) arctan + ( + 9 ) arctan ( + )(arctan ) (arctan ) + arccos arcsin arctan ( + ) arcsin ( ) arcsin arctan ( ) arctan arctan e e ( + e ) arcsin arcsin e e arctan ( + ) arccos( ) arctan + arcsin ( + ) arctan arcsin + Całki funkcji wykładniczych i logarytmicznych (e + e ) e e e + e e e + e e + e e + + e e + e e (e ) (e + e ) e e + 5 e + 6e 9e e e + e e (e + a) n e 5e e + e + e ln ln( + ) (ln ) ln( + + ) ln + 5 ( + ln ) ln ( + ) ln ln( + ) a, a > 7

8 5 Całki nieoznaczone. Całkowanie przez podstawienie i całkowanie przez części. 5. ( ) 5 + ln 5 + C Podstawowe prawa całkowania i wzory na całki funkcji elementarnych: Całka z iloczynu funkcji przez stałą: a f() a f(), gdzie a R Całka z sumy (różnicy) funkcji: [f() ± g()] f() ± g() a n a n + n+ + C, gdzie a R n ln + C 5. ( ) ln + C ( 5 + ) 5. ( + )( + + ) ( + + ) C 5.5 t + ( + ) 5 t 5 t6 + C ( + ) 6 + C t + t ln t + C ln + + C 8

9 5.7 ( + ) 6 t + t 6 t 6 0 t 5 + C 0( + ) 5 + C 5.8 a, a 0, a + t a + t ln t + C ln a + + C ( ) C ( ) C 5. ( + ) ( ) C C C C 5. t + + t 9 t + C 9 ( + ) + C 9

10 5.5 a t a + b + b b b b t b t + C b (a + b) + C, gdzie b t t 8 t + C 8 ( ) + C, gdzie 5.7 t + + t t + C ( + ) + C t t 5 t + C C 5.9 ( + ) + ( + ) ( + ) + 5 ( + ) 5 ( + ) + C 5 ( + )( + ) ( + ) + C 5 ( + 5)( + ) 5 ( )( + ) + C (a + b) n a(n + ) (a + b)n+ + C, dla n C f () f() f() + C 0

11 t + t 5 5 t 5 + C 5 ( + ) 5 + C 5. e t e t e t + C e + C 5. t e e t et + C e + C 5. cos t 6 cos t 6 tan t + C 6 tan + C cos tan + C 5.5 t + sin( + ) sin t cos t + C cos( + ) + C 5.6 sin 5 t sin cos cos t 5 6 t6 + C 6 sin6 + C 5.7 cos + sin t + sin cos t t + C + sin + C 5.8 sin a + b cos, b 0

12 t a + b cos b sin sin b b t b ln t + C ln a + b cos + C b 5.9 cos e sin e sin + C f () e f() e f() + C 5.50 cos t cos t tan t + C tan + C 5.5 tan cos t tan cos t t + C tan + C 5.5 cos ( + ) t + cos t tan t + C tan( + ) + C 5.5 (ln ) t ln t t + C (ln ) + C 5.5 e + e e e + t e e t + arctan t + C arctan(e ) + C 5.55 e e + t e + e e t ln t + C ln e + + C

13 t + ln( + ) u ln t ln t du t dv v t ( t ln t ) t ln t t + C ( + ) ln( + ) ( + ) + C ( + ) ln( + ) + C Uwaga: liczbę włączono do stałej całkowania Wzór całkowania przez części: udv uv vdu ln t + ln t t + C ( + ln ) + C 5.58 t 6 6 t 6t ln 6 + C 6 ln 6 + C 5.59 t ln ln t arcsin t + C arcsin(ln ) + C 5.60 ln arctan t arctan + u ln t ln t + du t t ln t t + C arctan [ln(arctan ) ] + C dv v t t ln t ln (ln ) + C 5.6 e e ( + ( + ) t + + ) e e te t

14 u t du dv e t v e t e ( te t ) e t + C ( ) ( + )e + e + + C e e + C 5.6 t 6 t arcsin t + C arcsin( ) + C 5.6 ( + ) arctan t arctan + t ln t + C ln arctan + C 5.6 (π arcsin ) t arcsin (π t) πt t + C π arcsin arcsin + C t t + arctan t + C arctan( ) + C 5.66 ( + ) ( ) C 5.67 e u dv e du v e e e u dv e du v e e e + e e e + e + C e ( + ) + C 5.68 e u dv e du v e e e u dv e du v e e e + 6 e u dv e du v e e e + 6e 6 e e e + 6e 6e + C e ( + 6 6) + C

15 e u dv e du v e e e u du e e + e u dv e du v e e e + e e u dv e du v e e e + e e + e dv e v e e e + e e + e + C ( e + + ) + C e a a ea + C, gdzie a u cos du dv cos v sin sin sin sin + cos + C 5.7 u cos dv cos du v sin sin sin u dv sin du v cos sin + cos cos sin + cos sin + C 5.7 u sin 5 dv sin 5 du v 5 cos 5 5 cos 5 + cos 5 5 u dv cos 5 du v 5 sin 5 5 cos sin 5 sin cos 5 + sin 5 + cos 5 + C 5 5 cos a sin a + C, gdzie a 0 a sin a cos a + C, gdzie a 0 a 5

16 5.7 e u e cos dv cos du e v sin e sin e sin + C u e dv sin du e v cos e sin + e cos e cos + C e cos e sin + e cos e cos + C e cos e (sin + cos ) + C e cos e (sin + cos ) + C 5.7 e u e sin dv sin du e v cos e cos e cos + C u e dv cos du e v sin e cos 9 e sin e sin + C 9 e sin e cos 9 e sin e sin + C 9 e sin 9 e cos 9 e sin + C e sin e cos e sin + C 5.75 e cos( ) u e dv cos( ) du e v sin( ) e sin( ) e sin( ) + C u e dv sin( ) du e v cos( ) e sin( ) + 9 e cos( ) 9 e cos( ) + C e cos( ) e sin( ) + 9 e cos( ) 9 e cos( ) + C e cos( ) e sin( ) + 9 e cos( ) + C e cos( ) 6 e sin( ) + 9 e cos( ) + C 5.76 u ln dv ln du v ln + C ln 9 + C 5.77 (ln ) u ln dv du ln v ln ln + C 6

17 u ln dv ln u v ln ln u ln dv + 6 ln + C du u ln ln + 6 ln 6 + C ln ln + 6 ln 6 + C 5.78 (ln ) u ln dv 5 5 ln du v ln + u ln dv 5 du v ln ln ln 5 + C 5 + C ln ln 8 + C 5.79 (ln ) u ln dv du ln v ln ln + C u ln dv ln du v ln ln + 8 ln + C u ln dv du v ln ln ln + C 9 ln ln ln 7 + C 5.80 ln u ln du dv v ln + + C ln 9 + C 5.8 (ln ) t (ln t ) 8 ln u ln t dv t du ln t t v t 8t ln u ln t dv t 6 ln t du t v t 8t ln t 6t ln t C 8t ln t 6t ln t + 6t + C 8 ln ( ) 6 ln( ) C ln 8 ln C 5.8 (ln ) u ln dv du ln v ln ln + C u ln dv du v ln 8 ln + + C 8 ln 8 ln + + C 5.8 7

18 n ln, n u ln dv n du v n+ n+ n + n+ ln n n + ( n + n+ ln (n + ) n+ + C n+ ln ) + C n + n + 6 Całki funkcji wymiernych. 6.6 ( + ) t + t 8 t + C 8 ( + ) + C 6.7 ( ) t t 9 t + C 9( ) + C rozkład na ułamki proste: 6 ( )( + ) A + B + A( + ) + B( ) (A + B) + (A B) { A + B A B { A B... + ln + ln + + C ln + + C f () ln f() + C f() 8

19 rozkład na ułamki proste: ( 5)( + ) A 5 + B + + A( + ) + B( 5) + (A + B) + (A 5B) { A + B A 5B { A B ln 5 ln + + C rozkład na ułamki proste: ( + )( + ) A + + B A( + ) + B( + ) + 6 (A + B) + (A + B) { A + B A + B 6 { A 0 B ln + ln + + C + a + b ln a + b + C, gdzie a 0 a ( )( )... 9

20 rozkład na ułamki proste: 6 ( )( ) A + B 6 A( ) + B( ) 6 (A + B) + ( A B) { A + B A B 6 { A 8 B ln + ln + C 6. 5 ( ) 5 + ln C rozkład na ułamki proste: 5 + ( + 5)( ) A B 5 + A( ) + B( + 5) 5 + (A + B) + ( A + 5B) { A + B 5 A + 5B { A B ( + 5)( )... ln ln + C ( + 6)( )... rozkład na ułamki proste: ( + 6)( ) A B A( ) + B( + 6) 6 0

21 5 6 (A + B) + ( A + 6B) 6 { A + B 5 6 A + 6B 6 { A 7 B ln + 6 ln + C rozkład na ułamki proste: ( + ) ( + + )( + ) A A( + ) + B( + + ) (A + B) + [A( ) + B( + )] { A + B 0 A( ) + B( + ) A B ( + + )( + )... B + ln ln + + C ln C rozkład na ułamki proste: ( )( )... ( )( ) A + B A( ) + B( ) (A + B) + ( A B) { A + B 0 A B { A 5 B 5

22 ln + ln + C (0 + ) 0 + ln C ln C ( ) ln + ( ) ( ) + C a a ln a + a + C, dla a > 0 a 6. + rozkład na ułamki proste: ( + 5 )( 5 ) A A( 5 ) + B( + 5 ) ( (A + B) + A 5 { A + B 0 ( ) 5 B 5 B + 5 ) ( + 5 )( 5 )... A 5 B + 5 A 5 B ln 5 ln C 6. ( )...

23 rozkład na ułamki proste: ( ) A + B A( ) + B ( A + B) + A { A + B 0 A { A B... + ln ln + C 6. + rozkład na ułamki proste: + ( + )( ) A + + B + A( ) + B( + ) + (A + B) + ( A + B) { A + B A + B { A B ( + )( ) ln ln + C ( ) ln C 5 ( ) ( + ) + 8 ln + 8 ln ( ) ( ) + C ln + ( ) + C ( ) 6.6

24 ( 5) ( 5) ( 5) ln C ( + ) 5 ( + ) ( + ) ln C ( ) + ( ) arctan ( 5) 5 ( + ) ( ) + C + a a arctan + C, gdzie a 0 a ( + ) + ( ( ) + arctan + C ) ( ) + ( ) arctan + C ( ) + arctan t + C arctan( ) + C t t ( + ) + + ln + + ln + + ( ) arctan + C ( ) ( ) 6.5

25 ( + + ) + ln ln + + arctan( ) + C ( ) + ( ) 6.5 ( ) + ln ln ( ) arctan + C ( ) ( ) 8 ln ln ( ) arctan + C ( ) ( ) ln ( ) ln arctan + C ( ) ( + + 8) ln ( ) + ln arctan + C ( + ) ( ) + 6 ln + 6 ln 6 ln + ln + C ( + ) ln + + ( ) arctan + C

26 6 ( ) + + ( + ln + + arctan ) + C ln + + ( + ) ( ) 5 ln ( ) 5 ln arctan + C ( ) ( ) + 7 ln ln arctan( ) + C ( ) ( + ) ln + + C ) arctan ( 5 + C ( 5 ) ( ) ( ) ln ( + ) + 5 ln ( ) + arctan + C ( + )( )( 7)... 6

27 rozkład na ułamki proste: ( + )( )( 7) A + + B + C A( )( 7) + B( + )( 7) + C( + )( ) (A + B + C) + ( A 5B C) + (8A B 8C) A + B + C 7 A 5B C 7 8A B 8C 76 A B C ln + + ln + 8 ln 7 + C ( )... rozkład na ułamki proste: + ( ) A + B ( ) + C ( ) + D ( ) + A( ) + B( ) + C( ) + D + A + ( 6A + B) + (A B + C) + ( 8A + B C + D) A 6A + B A B + C 0 8A + B C + D A B C D ( ) + ( ) + ln + ( ) + 7 ( ) + C 7 ( ) ( + )( )... 7

28 rozkład na ułamki proste: 5 + ( + )( ) A + B + + C 5 + (A + B)( ) + C( + ) 5 + (A + C) + ( A + B) + ( B + C) A + C A + B 5 B + C A 7 7 B 7 C ln ln 7 7 ln + ( ) 7 arctan + ln + C ) ) + ( + ) ( + ) ( + ) }{{} t + + ( + ) }{{}... t t + C + + C ( + ) + ( + ) + u dv ( arctan +) du v arctan + arctan + ( + ) + C arctan + ( +) ( + ) ( + ) ( + ) + C ( + ) + arctan + C ( ) ( ) rozkład na ułamki proste: 5 A + + B 8

29 5 A( ) + B( + ) 5 (A + B) + ( A + B) { A + B 5 A + B { A B ln + + ln + C ( 8 + 6) ( 8 + 6) ( ) ( ) + ln + C 6.7 ( + )( + ) arctan + C ( ) ( + ) 8 6 ( + ) ( + ) ( ) arctan + C ( + ) ( + ) ( + ) rozkład na ułamki proste: 5 + A + B 5 A( ) + B( ) 9

30 5 (A + B) + ( A B) { A + B A B 5 { A B ln + ln + C ( + )( )( )... rozkład na ułamki proste: ( + )( )( ) A + + B + C A( )( ) + B( + )( ) + C( + )( ) (A + B + C) + ( A + 5 B + C) + ( A B C) A + B + C A + 5B + C 0 A B 6C 8 A 5 B 7 C ln + + ln 5 ln + C ( )( )... rozkład na ułamki proste: 7 6 ( )( ) A + + B + C + + D 7 6 A( )( ) + B( + )( ) + C( )( ) + D( )( + ) A + B + C + D 0 A + B C + D 7 A B C D A B + C D 6 0

31 A B 5 C D ln ln ln ln + C 6.77 ( + )( + )... rozkład na ułamki proste: ( + )( + ) A + B + + C + D + (A + B)( + ) + (C + D)( + ) (A + C) + (B + D) + (A + C) + (B + D) A + C 0 B + D 0 A + C B + D 0 A B 0 C D ln + ln + + C ( + 9)( + 5)... rozkład na ułamki proste: ( + 9)( + 5) A + B C + D (A + B)( + 5) + (C + D)( + 9) A + C 0 A + B C + D 0 5A B + 9C D 0 5B + 9D 00

32 A B C 6 D ( + 9) + 0 ( + 5) + 6 ( ) ( ) + ( ) ( ) ln arctan + ln arctan + C rozkład na ułamki proste: + 6 ( + )( ) A + B ( + )(... ) C + + D + 6 (A + B)( ) + C( + )( ) + D( + )( + ) + 6 (A + C + D) + (B C + D) + ( A + C + D) + ( B C + D) A + C + D B C + D A + C + D 6 B C + D... A B C 5 D ln + + arctan ( ) + 5 ln + ln + C rozkład na ułamki proste: A + B + + C + + D A( + )( + )( + ) + B( + )( + ) + C( + )( + ) + D( + )( + )

33 (A + B + C + D) + (6A + 5B + C + D) + (A + 6B + C + D) + 6A A + B + C + D 0 6A + 5B + C + D 0 A + 6B + C + D 0 6A 6... A B C D ln + ln + + ln + + ln + + C rozkład na ułamki proste: A + B + C + D A( + ) + B( + ) + (C + D) (A + C) + (B + D) + A + B A + C 6 B + D 0 A B A B C D ln + ln + arctan + C 6.8 dla a... a 0 + C

34 dla a 0 rozkład na ułamki proste: a A + B + C a A( a ) + (B + C) (A + B) + C a A A + B 0 C 0 a A A a B a C 0 a... + a a ln + a a ln a + C rozkład na ułamki proste: + + A + B + C + + A( + + ) + (B + C) (A + B) + (A + C) + A A + B 0 A + C 0 A A B C ln + ( + + ) ( + ) + ( ) ln ln + + ( ) + arctan + C

35 rozkład na ułamki proste: + + A + B + + C + D + + (A + B)( + + )(C + D)( + ) (A + C) + (A + B C + D) + (A + B + C D) + (B + D) A + C 0 A + B C + D 0 A + B + C D 0 B + D 0... A B C D ( + ) + + ( + + ) ln + + ( ) + ( + ) ln ln ( ) arctan + arctan ( + ) + C ( + ) + ( ) rozkład na ułamki proste: A 6 + B + + C + D A( + )( + ) + B( )( + ) + (C + D)( ) (A + B + C) + (A B + D) + (A + B C) + (8A 8B D) A + B + C 5 A B + D A + B C 8A 8B D A B C D ln + ln + + ln + + arctan + C 5

36 ( )( + + 9)... rozkład na ułamki proste: ( )( + + 9) A + B + C A( + + 9) + (B + C)( ) (A + B) + (A B + C) + (9A C) A + B 5 A B + C 66 9A C A B C ( ln ) + ( + ) + 5 ln + 6 ln ( ) + 5 arctan + C ( ) ln ( + ) ln ln ( + ) + C ( + ) 6.88 ( ) ( + )... rozkład na ułamki proste: ( ) ( + ) A + B + C + D + E ( ) + F + A ( ) ( + ) + B( ) ( + ) + C( ) ( + )+ +D ( )( + ) + E ( + ) + F ( ) (A + D + F ) 5 + ( A + B + E F ) + ( A B + C D + E + F ) + +(A B C) + (B C) + C 6

37 A + D + F 0 A + B + E F 0 A B + C D + E + F 0 A B C 0 B C 0 C... A B C D 7 E F ( ) + + ln 7 ln ( ) ln + + C 6.89 ( + + ) 6 9 ( [( + ) + ( ) ] ) t + [ ( ) ] korzystając z wyliczonej całki w zadaniu (6.69) :... 8 ( arctan t + t arctan ( + ) + (t + ) + C ) + ( + + ) + C [ ( ) + + ] (t + )... arctan t + t (t + ) + C Wzór rekurencyjny: I n n n ( + + ) n n I n, gdzie I n ( + ) n ( )... 7

38 [( ) ] ( ) + ( + ) ( ) ln ( ) + ln 5 ( ) 5( ) ( ) 5 ln + ( ) + ( ) + C 6.9 ( + + 8) (t + )... [( + ) + ] ( ) t + [ ( ) ] + + korzystając z wzoru rekurencyjnego pod zadaniem (6.89):... [ t (t + ) + [ t (t + ) + ( [ 6 + ( + + 8) + 8 ] (t + ) t t + + t (t + ) + t 8(t + ) + ] 8 arctan t )] + + C ( ) + 56 arctan + C ( ) ( + )... rozkład na ułamki proste: ( ) ( + ) A + B ( ) + C + + D ( + ) A( )( + ) + B( + ) + C( ) ( + ) + D( ) (A + C) + (A + B C + D) + ( A + B C D) + ( A + B + C + D) A + C A + B C + D A + B C D 7 A + B + C + D A B 5 C D ( ) ( + ) 8

39 ln + 5 ( ) + ln + + ( + ) + C rozkład na ułamki proste: ( + 8)( + + 8)... ( + 8)( + + 8) A + B C + D (A + B)( + + 8) + (C + D)( + 8) (A + C) + (A + B C + D) + (8A + B + 8C D) + (8B + 8D) A + C 0 A + B C + D 0 8A + B + 8C D 0 8B + 8D A 6 B 6 C 6 D ( + 8) + 8 ( ) + + ( + + 8) + ( + ) + 8 ln ( 6 arctan ) + 8 ln ( + 6 arctan ) + C ( + ) ( ) ( ) 5 ( + + ) + 5 ( ) ( ) + 5 ln + ( ) + ( ) 5 ln + ( ) + 5 ln + ( ) ( ) + C ( ) ( + 5)( + + 5)... 9

40 rozkład na ułamki proste: ( + 5)( + + 5) A + B C + D (A + B)( + + 5) + (C + D)( + 5) (A + C) + (A + B C + D) + (5A + B + 5C D) + (5B + 5D) A + C 0 A + B C + D 0 5A + B + 5C D 0 5B + 5D A 0 B 0 C 0 D ( + 5) ( ) + + ( + + 5) + 0 ( + ) + 0 ln ( 0 arctan ( ) ( + ) rozkład na ułamki proste: ( ) ( + ) ) + 0 ln ( + 0 arctan A + B ( ) + C ( ) + D ( ) + E A( ) ( + ) + B( ) ( + ) + C( )( + )+ +D( + ) + E( ) (A + E) + (B E) + ( 6A + B + C + 6E) + +(8A 5B + C + D E) + ( A + B C + D + E) A + E 9 B E 6A + B + C + 6E 8A 5B + C + D E 0 A + B C + D + E... A 7 B 5 C D E ) + C 0

41 ( ) + ( ) + ( ) + 7 ln 5 ( ) + ln + + C ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ln + arctan ( + ) + C t + ( + ) t t + C ( + ) + C ( ) ( + )... rozkład na ułamki proste: + ( ) ( + ) A + B ( ) + C ( ) + D + E + + A( ) ( + ) + B( )( + ) + C( + ) + (D + E)( ) + (A + D) + ( A + B D + E) + (A B + C + D E) + +( A + B D + E) + (A B + C E) A + D 0 A + B D + E 0 A B + C + D E A + B D + E A B + C E A B 5 C D E ( ) + ( ) + + ln 5 ( ) ( ) + ( + ) + ln 5 ( ) ( ) + ln + arctan + C

42 7 Całki funkcji niewymiernych. 7. Całki funkcji zawierających pierwiastki z wyrażenia liniowego. 7.6 t + + t t + C ( + ) + C t + t + t t t t t + C + + C 7.8 t t t t t t t + C ( ) + C 7.9 t 5 + t ( + ) 5t 5 t 5 t t 5 t + C 5 5 ( + ) + C 7.0 t t t t + (t + )t t (t 6 + t ) 7 t7 + t + C 7 t (t + 7) + C 7 ( )( + 7) + C 7 ( )( + ) + C 7 ( ) + C 7. t t t t + t t t t + (t 6 + t )

43 t7 + t + C ( ) 7 + ( ) + C 7. t + t + + t t t t 5 t5 7 t + C 5 ( + ) 5 7 ( + ) + C 7. t 5 t 5 5 t 5 5t t 5 t t (t t ) 9 t ( 5 t ) 5 t (t t ) 5 5 t5 75 t + C 5 ( 5) 5 75 ( 5) + C 7. (7.0) u dv ( + ) du v ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) 7 + C t + t + t t (t ) (t ) t (t 7 t + t) 8 t8 5 t5 + t + C 8 ( + ) 8 5 ( + ) 5 + ( + ) + C 7.7

44 t + t + t t ( t ) + t (t t + ) + 7 t 5 t5 8 t t + C + + C 5 ( + ) 5 8 ( + ) u dv + + du v 5 ( + ) 5 5 ( + ) 5 5 ( + ) 5 5 ( + ) 5 5 ( + ) 9 + C a t + a t + a t a t t a ( a) t ln a a + t + C a t a + a ln + C + a a ln + C a a + + a a + a + a a a ln a + a + C, gdzie a > 0 a 7.0 a t a t a t + a t t + a ( ) t arctan + C a arctan + C a a a a 7. t t t t t + t t t

45 t ln + t t + C + ln + C + ln + C + 7. t + + t + t t t t... korzystając z całki obliczonej w przykładzie (7.) ostatecznie otrzymujemy: ln + C t t ( + t) t t t t + t t(t ) + t t t (t ) + t t t t t t ln t + C ln + C 7. ( + ) t t t + t t ( t + )t t ( ) t ln + t + C ln + C t t t t t u t dv t + t + du v (t + ) t(t + ) (t + ) t(t + ) 8 5 (t + ) 5 + C 8 ( + ) 5 ( + ) 5 + C 5

46 (t ) + 6 t 6 t 6 6t 5 6t 7 t 6 + t 5 6 t (t )(t + ) + t + 6 t + t + t 6t + 6ln t + + C ln C t 6 t 6 6t 5 6t 5 t + t 6t t(t + ) t t + t + t + (t + ) + t + t + t + t t + ln t + + C 6 + ln C 7.8 ( 5 7) ] [( 5) ( 7) + C t + 9 t + 9 t 9 t t 9 t ln + t t + C ln t t + + C + 9 ln + C u dv 7 7 du v 8 (7 ) 8 (7 ) + (7 ) u dv (7 ) du v (7 ) 7 8 (7 ) 9 56 (7 ) (7 )

47 8 (7 ) 9 56 (7 ) (7 ) + C t 6 + t + t + t 6 + 6t 5 6t 5 t + t 6 t (t t + 6 t + )(t + ) t + 6 (t t + ) 6 t + t t + 6t 6 ln t + + C ln C 7. t ( ) t t t t ( ) t t t t + C + C 7. t + t + + t + t + t + + t (t +) t + t + t + t + t t (t + ) t + t + t (t... + )(t )(t + ) rozkład na ułamki proste: t (t + )(t )(t + ) At + B t + + C t + D t + t (At + B)(t ) + C(t + t + t + ) + D(t t + t ) t (A + C + D)t + (B + C D)t + ( A + C + D)t + ( B + C D) A + C + D 0 B + C D A + C + D 0 B + C D 0 7

48 A 0 B C D t + + t arctan t + ln t ln t + + C t + ( ) arctan + ln + + ln C t 6 + t 6 + (t 6 ) 6t 5 t 6 6t 5 t t t (t 6 ) 6 t 6 t (t 5 + t + t + t + t + ) t9 t8 6 7 t7 t t5 t + C ( + ) ( + ) 6 7 ( + ) 7 6 ( + ) 6 5 ( + ) 5 6 ( + ) + C t 6 (t t 6 t + ) 6t 5 t t 9 t 8 + t 5 6 t... pisemne dzielenie wielomianów: (t 9 t 8 + t 5 ) : (t ) t 7 t 6 + t 5 t + t t + t t 9 + t 7 t 8 + t 7 + t 5 t 8 t 6 t 7 t 6 + t 5 t 7 + t 5 t 6 + t 5 t 6 t t 5 t t 5 + t t + t t t t t t + t t + t t t 8

49 (... 6 t 7 t 6 + t 5 t + t t + t + t t ) t8 6 7 t7 + t t5 + t t + 6t 6t + 6 ln t t ln ln 6 + C 7. Całki funkcji zawierających pierwiastek kwadratowy z trójmianu kwadratowego 7.5 (8 + ) ( ) C f () f() f() + C 7.5 (0 + 5) ( ) C 7.5 ( ) arcsin( ) + C ( ) + ( + ) arcsin + C 7.55 t 9 t arcsin(t) + C arcsin() + C 7.56 (r ) ( ) r r ( r) arcsin + C r

50 ( + ) ( ) + () + arcsin() + C 7.58 ( ) + ( ) ( + ) arcsin ( + ) + C 7.59 t arcsin() + C t ( arcsin(t) t t ) + C a a arcsin a + a + C (6 + ) (6 + ) ( 5 ) ( ) arcsin ( 5 ) + C (5 + ) ( ) 5 + arcsin ( + ) + C (8 + )

51 8 + + ( ) arcsin ( ) + C ( ) 9 arcsin ( ) + ( ) 6 + C 7.6 ( ) 5 5 ( + ) 5 arcsin ( + ) + C ln C + p + q ln + p + + p + q + C t ln C ln t + t + t + t + t + C m ln + + m + C 7.68 ( a)( a) a + a ln a + ( a)( a) + C 7.69 ( + ) + ( + ) ln C

52 ( + ) ( 5 + 9) ln C a a ( a) a + a a a + a ln a + a + C ( + 5) ln C ( + 5) ln C ( + 5 ) ln C ( + 8 )

53 ln C ( + ) ( + ) + ln C + k + k + k ln + + k + C, gdzie + k > ( + ) ln C 7.78 ( + ) arcsin ( + ) + ( + ) + C 7.79 ln + + C ( + 5 ) + 9 ( + 5 ) ln C ( ) ( ) + 8 ln C 5

54 arcsin() + arcsin() arcsin() + arcsin() + C + arcsin() + C ( + + ) + + ( + ) ( + ) ln C ( ) ln C 7.8 (t + ) ( ) ( ) t t t + t t (t + ) (t + ) (t + ) t + arctan + C t (t arctan(t) arctan(t) + ) t + + C 7.85 a + a + +, a > metoda współczynników nieoznaczonych I a + a a + + (P + Q) a K a + + a + a + + P a (P + Q)(a + ) K a + + a + + 5

55 a + p(a + + ) + (P + Q)(a + ) + K P a a P + Qa 0 P + Q + K P Q a K a I ( a ) a a a + + ( a ) a a a + a + a ( a ) a a a ( + a ) + a a ( a ) a a a ln + a + + a + a + C ( + ) ( + ) ln ln C ( + ) + + C 7.87 a + a + a, a 0 ( + a ) + a a + a + a + a a + a + a ln + + a a + a a ( + a ) + a + a + a + a + a ln + + a a + a a ln + + a + C ( a) + a + C

56 metoda współczynników nieoznaczonych (a + b + c) K (a + b) (a + b + c)( + ) K (a + b)( + + ) + (a + b + c)( + ) + K + a + (5a + b) + (a + b + c) + (b + c + K) a 5a + b 0 a + b + c b + c + K a b 5 6 c 6 K ( ) ( ) ln C metoda współczynników nieoznaczonych (a + b + c) + + K (a + b) + + (a + b + c)( + ) + + K + + (a + b)( + ) + (a + b + c)( + ) + K + a + (5a + b) + ( a + b + c) + ( b + c + K) a 5a + b a + b + c b + c + K a b 6 c 7 6 K ( )

57 ( ) + ln C metoda współczynników nieoznaczonych + (a + b + c) + + K + + (a + b) + + (a + b + c)( ) K (a + b)( + ) + (a + b + c)( ) + K a + ( 0a + b) + (6a 6b + c) + (b c + K) a 0a + b 0 6a 6b + c 0 b c + K 0 a b 5 c 8 K + ( ) ( ) + + ln C metoda współczynników nieoznaczonych (a + b + c) K (a + b) (a + b + c)( + ) K (a + b)( + + ) + (a + b + c)( + ) + K a 5 a + b 0 a + b + c 0 b + c + K a b 5 c 8 K

58 ( 5 8 ) ( 5 8 ) ln C 7.9 ( ) + metoda współczynników nieoznaczonych + (a + b + c + d) + K + (a + b + c) + (a + b + c + d)( ) K + + (a + b + c)( ) + (a + b + c + d)( ) + K a a b 0b c 0 6c d 0 d + K 0 a b 6 c 5 6 d 5 K 0 + ( d) + 0 ( ) ( ) ( 6 5 ( ) 6 5) + 0 arcsin + C 7.9 ( ) metoda współczynników nieoznaczonych (a + b + c) K (a + b) a + b + c)( ) K

59 (a + b)(6 + ) + (a + b + c)( ) + K a 5 a b a + b c 6 6b + c + K 0 a b c 7 8 K ( ) ( 7 8 ) ( 5 ) ( ) ( 7 8 ) ( ) 6 arcsin + C metoda współczynników nieoznaczonych 5 + (a + b + c + d) K (a + b + c) (a + b + c + d) 5 K (a + b + c)(5 + ) + 5(a + b + c + d) + K 0a 5b 0 a + 0c 0 8b + 5d 0 c + K 0 a 0 b 0 c 50 d 0 K ( 0 50 ) ( 0 50 )

60 ( 0 50 ) ln C metoda współczynników nieoznaczonych (a + b + c) K (a + b) (a + b + c)( + ) K (a + b)( + + ) + (a + b + c)( + ) + K a 5 a + b 5 a + b + c b + c + K a b 5 c 6 K ( ) ( ) ln C metoda współczynników nieoznaczonych (a + b) K a (a + b)( 5 ) K a( 5 + 8) + (a + b)( 5 ) + K 6a b 8a 5 b + K 0 a 5 6 b 7 K

61 ( ) ( ) ( ) ln C metoda współczynników nieoznaczonych (a + b + c) K (a + b) (a + b + c)( ) K (a + b)(5 + 6 ) + (a + b + c)( ) + K a 5a b 0a + 9b c 6 5b + c + K a b 9 c 7 6 K ( ) ( ) ( ) + ( ) ( 9 7 ( ) 6 ) arcsin + C 7.98 ( ) metoda współczynników nieoznaczonych (a + b + c) K 8 + 6

62 (a + b) (a + b + c)( ) K (a + b)(8 + ) + (a + b + c)( ) + K a 5 a b 6a + b c 8 8b + c + K 0 a b c 67 K ( ) ( ) ( ) ( 67 ) arcsin ( ) + C 7.99 ( 5) + ( 5)( + ) metoda współczynników nieoznaczonych + 0 (a + b + c) + + K (a + b) + + (a + b + c)( ) + + K (a + b)( + ) + (a + b + c)( ) + K a 5 a b a + 9 b c b + c + K 0 a b c 6 K ( ) ( + 6 ) + 7 ( 7 ) ( ) 6

63 ( + 6 ) + 7 arcsin ( 7 ) + C metoda współczynników nieoznaczonych + (a + b + c) + + K + + (a + b) + + (a + b + c) K (a + b)( + ) + (a + b + c) + K 6a b 0 6a + c 0 b + K 0 a 6 b 0 c K 0 + ( 6 ) + + C metoda współczynników nieoznaczonych 5 + (a + b + c + + e) + + K (a + b + c + d) + + (a + b + c + + e) K (a + b + c + d)( + ) + (a + b + c + + e) + K 0a 8b 0 a + 6c 0 9b + d 0 d + K 0 6

64 a 0 b 0 c 5 d 0 e 5 K ( ) + + C metoda współczynników nieoznaczonych + + (a + b + c + d) K (a + b + c) (a + b + c + d)( + ) K (a + b + c)( + + ) + (a + b + c + d)( + ) + K a 7a + b 0 9a + 5b + c 0 6b + c + d 0 c + d + K 0 a b 7 c d 5 K 7 ( ) ( ) ln C 7.0 t 0 t t (0t ) 0 0t 5 t 0 t t t 0 t t t 0 0t + C 5 + C 0t 6

65 0 t 0 t 0 t + t 0 ( + t ) t + t 0 0t ( + t ) 0 0t + t 0 5 t + C + C t 0t 0t ( + t ) 7.0 ( + )t ( + ) t ( + )t t + t t + t ( t ) + t ( + ) + t t t + t t ( t ) + t t t t + C + + C 7.05 ( + ) ( + )t ( + ) t ( + )t t + t + t t ( + t ) t t + t t t 8t ( + t ) + + t t + t t t + t t t ( t ) 8t ( + t ) 65

66 t + C + + C t + t t + t t t + t + (t + ) t + t + t + t (t + ) (t + ) (t + ) t + t (t + ) + t t + t + + t + t t + t + arctan t + C arctan ( + + ) + C t + t + t + t + t (t + t ) (t + ) 7.07 t + arctan t + C arctan ( + ) + C t t t + t t t + t (t ) t + t + t t(t ) (t + ) (t ) t t (t ) t t + t t t t t t + t t t (t t ) (t )

67 ( ) t t + t t t + t t t t + t + t t t t t + t t t t t + t ( t ) + ( ) t arctan + ( ) + arctan + C ( t ) + C t t t + t t t t t + + t + t + t + t t + t t t + (t + ) t ( + ) + t t + (t t ) (t + ) + t t + 5 t + + t t + t + + (t t ) t + t + t t + 5 t + (t t ) (t t ) (t + ) t t + 5 ( ) (t ) + t ( ) t arctan + C + ( ) + arctan + C 67

68 t + t t + + t t t t (t ) t t ( ) + t (t t + ) (t ) (t t + ) t + t t t + t t + t t (t t + ) t t t + (t t + ) (t ) t t + ( t ) + ( ) t ( ) t arctan + C + ( ) + arctan + + C t + + t t + t + + t + t + t + t t t ( t ) t t t (t t + ) ( t ) + + t t t t t + t ln t + C ln t t C t t t + (t t + ) ( t ) 7. 68

69 t t t + t t t t + t + t t t t t + t t t t t t + t t t arctan t + C arctan ( + ) + C t + 7. a (a )t a (a ) t a + (a )t a + at t + t at a (a ) a ( + t ) at a + t at a a + t a a + t at ( + t ) a a t + C a a + C a + t at at ( + t ) 7. ( ) t 6 + t t t t t 6 t (t 6) t t t 6 (t 6t + ) (t 6) t t 6 t t + t t t t t 6t + t 6 t 6 t t + t 6 t 6t + t 6t + (t 6) 69

70 t t + (t ) ( ) t + 7 ( ) t arctan + C ( ) + arctan C ( + )t ( + ) t ( + )t t + t t + t t ( + t ) t + t 8t ( + t ) t + t + t ( + t) ( t ) + ( t) ( t) ( + t) ( ) ( + t) + ( t) ( t + t t t + C + C 7.6 ( ) 0 + t (9 t ) + t (9 t ) A + C 0 A + B C + D 0 t 0 t 0 t 0 + t 0 ( + t ) 0 + t 0t ( + t ) 9 t + t 0 0t + t A t + 9A + 6B 9C 6D 0 7A + 9B + 7C + 9D ( + t ) ( t ) + t t B ( t) + ) + C 8t ( + t ) ( + t ) (9 t ) + t 0t C + t + D ( + t) 0t ( + t ) 70

71 A 7 B 5 9 C 7 D t 5 9 ( t) t ln + t t 5 9 t t + C 7 ln + t t 0 9 t 9 t ln C ( + t) t + + t + t + t + t t + t t t ( t ) t + t t ( ( t ) t ) + t t 8t t + t ( + t ) ( t ) ( t ) ( + t ) ( t ) + t t t t t ( t ) t ( ) t t + t ( ) t ln t t + C ( (t )(t ) + ) 8 t ln t + C ( + ) + ln + + C 7.8 7

72 + + t t + t + + t + t + t + t t t ( t ) t t + + t ( t ( t ) ) + t(t ) ( t ) (t ) t t t + t t + ( t ) t t + ( t ) + + t t t + t t + + t t + t ( t ) (t ) ( t ) (t ) ( t ) 8t + 7 t + + (t ) ( ) t + + t (t ) + (t ) ( t + t + ln t + t ) (t ) + C ( ) ln C t 8t + 7 (t ) A A + B 8 A B + C 7 A B C t 8t + 7 (t ) A t + t + B (t ) + (t ) + C (t ) ) (t ) ) 7.9 ( ) ( ) 9 6 7

73 9 6 t t + 6t t + 6t 6 t + 6t t + 6 6t (t + 6) 6t 6t t + 6 6(t + 6) + t (t + 6) 6t 6 (t + 6) 6t t 6 t t t + 6 t t + 8 t + 6 (t + 6) (t + 6t + 6) t + 6 t 8 6t 6 (t + 6) (t + 6) (t + 6t + 6) (t + 6) (t + ) (t + + ) (t + 6) (t + ) (t + + ) A t D t E (t + + ) + F (t + + ) B (t + ) + C (t + ) (t + 6) A(t + ) (t + + ) + B(t + )(t + + ) + C(t + + ) +D(t + ) (t + + ) + E(t + ) (t + + ) + F (t + ) A 7 B 6 + C 8 D 7 E 6 F 8 7 t + + ( 6 + ) (t + ) + ( 8) (t + ) 7 t ( 6 ) (t + + ) + ( 8) (t + + ) (6 ) t + + (9 6 ) (t + ) + (6 + ) t (9 + 6 ) (t + + ) + 7 t + ln t C ( ( ) + 6 ) + 7 ln + + C 7.0 7

74 + t + + t + t + + t + t + t + t t t + ( t ) t + + t + t ( t ) + t(t + ) (t + ) t + 8t + (t + ) + t + t t + + t + t + t ( t ) (t + ) t t + t + t + 8t + (t + ) t (t + ) ( ) t + + (t + ) ( t ln t + ) + C t ln + + C

75 t t + 6t t + 6t 6 + t + 6t t 6t + 6 ( t ) 6t + 6 6t + 6 t 6( t ) + t(6t + 6) ( t ) 6t + t + 8 ( t ) t + 6 t t t + 6t + 9 t ( t ) 96(t + ) t t + 6t + 9 6t + t + 8 ( t ) ( t ) 68 ( + t) ( 6t ( t 6t ) t ) 68 (t + ) 6t 6t + 8 6(t + ) + (t + ) + (t + ) + 8 ( ) t + t + 68 (t + ) + (t + ) + 8 ( + t) 6 t + ( 68 t + t t t + (t + ) 8 ) (t + ) 6 ln t + + C ln C 7. ( ) + 75

76 + t + t t + t t t t (t ) t t t t(t ) (t ) (t ) t 8t + (t ) t t + 8 t t t + 7 t + t t t + t t + t (t ) (t t + 7) t t t + t 8t + (t ) (t ) (t t + 7) (t )(t t + 7) (t ) 8 (t t + 7) 8(t ) (t t + 7) (t ) (t t + 7) (t t + 7) + 8 (t t + 7) + C 7 ( 8 + ) + ( ) + C ( ) + C 8 Całki funkcji przestępnych. 8. Całki funkcji trygonometrycznych cos 5 cos 7 cos 7 cos 5 [cos(7 + 5) + cos(7 5)] (cos + cos ) sin + sin + C 8. sin cos [sin( + ) + sin( )] [sin 5 + sin ] 76

77 0 cos 5 cos + C 8. cos cos [cos( + ) + cos( )] [cos 5 + cos( )] [cos 5 + cos ] 0 sin 5 + sin + C 8. sin cos [sin( + ) + sin( )] [sin + sin( )] [sin sin ] 8 cos + cos + C 8. cos sin sin cos [sin( + ) + sin( )] [sin 6 + sin ] cos 6 cos + C 8.5 sin sin 5 [cos( 5) cos( + 5)] [cos( ) cos 7] [cos cos 7] 6 sin sin 7 + C 8.6 cos cos [cos( + ) + cos( )] [cos + cos( )] [cos + cos ] 8 sin + sin + C 8.7 sin sin sin sin + C 8 [cos( ) cos( + )] [cos cos ] 8.8 sin 5 sin 6 sin sin 7 + C [cos(5 ) cos(5 + )] [cos cos 7] 77

78 8.9 sin ( cos t cos ) sin sin (t ) t t + C cos cos + C 8.0 sin sin cos + sin sin cos 8 sin cos C Wzór redukcyjny sin n n sinn cos + n n sin n 8. cos sin ( π + ) u π + du sin udu sin u cos u 8 sin u cos u + 8 u + C sin ( π + ) cos(π + ) 8 sin(π + ) cos(π + ) + 8 (π + ) + C sin cos + 8 sin cos C 8. cos 5 ( sin ) t sin cos cos ( t ) (t t + ) 5 t5 t + t + C 5 sin5 sin + sin + C 8. sin 5 ( cos ) t cos sin sin ( t ) (t t + ) 5 t5 + t t + C 5 cos5 + cos cos + C 8. tan 5 t tan t + t 5 t t + (t + ) t(t + ) + t t + 78

79 t t + (t + ) t + t + t + ln t + + C tan + tan + ln tan + + C tan + tan ln cos + C 8.5 cot t cot t + (t ) t (t t + )(t + ) + t + t + t + t arctan(t) + C cot + cot arctan(cot ) + C cot + cot arctan(tan( π )) + C cot + cot + + C 8.6 ctg 6 t cot t + (t t + ) + t 6 t t + (t + ) t (t + ) + (t + ) t + t + 5 t5 + t t + arctan(t) + C 5 cot5 + cot cot + arctan(cot ) + C 5 cot5 + cot cot + arctan(tan( π )) + C 5 cot5 + cot cot + C 8.7 sin cos sin ( cos ) cos t cos sin ( t )t (t 6 t ) 7 t7 5 t5 + C 7 cos7 5 cos5 + C 8.8 sin 7 cos 6 sin ( cos ) cos 6 t cos sin ( t ) t 6 (t t 0 + t 8 t 6 ) t t + t9 7 t7 + C cos cos + cos9 7 cos7 + C 79

80 8.9 sin 5 cos sin ( cos ) cos t cos sin ( t ) t (t 6 t + t ) 7 t7 + 5 t5 t + C 7 cos7 + 5 cos5 cos + C 8.50 cos sin cos sin 8 8 sin + C 8.5 sin cos sin cos ( sin ) t sin cos t ( t ) (t t 5 ) t 6 t6 + C sin 6 sin6 + C 8.5 sin cos 5 sin cos ( sin ) t sin cos t ( t ) (t t 6 + t 8 ) 5 t5 7 t7 + 9 t9 + C 5 sin5 7 sin7 + 9 sin9 + C 8.5 cos sin 8 t sin cos t 8 7t 7 + C 7 sin 7 + C 8.5 sin t sin sin tan cos cos t t t + t + t t + ln t + t + C sin + ln sin + sin + C 8.55 cos t sin sin cos t t + C sin + C

81 sin + cos t + cos sin sin t t + C ( + cos ) + C 8.57 sin + cos sin cos ( + cos + cos ) + cos + cos + C 8.58 sin sin cos ( + sin + sin + sin ) + sin ln + sin + C 8.59 sin sin cos sin sin t sin sin cos arcsin(t) + C arcsin(sin ) + C t 8.60 cos ( sin sin ) cos sin t t sin cos t t t t + C sin sin + C + sin + C sin 8.6 sin + cos sin sin cos + cos (sin + cos ) cos + sin + C 8.6 sin sin + cos sin cos sin + ln tan + C całki obliczone pomocniczo: cos sin + cos sin sin + sin sin cos sin u tan du +u u +u sin cos sin du u ln u + C ln tan + C cos sin u cos cos dv du sin v sin 8

82 cos sin sin cos t sin sin cos t t + C sin + C 8.6 cos sin ( + π ) t + π sin t... korzystając z rozwiązania w przykładzie (8.6) otrzymujemy:... cos t sin t + ln tan t + C cos( + π ) sin ( + π ) + ln tan ( + π ) + C sin cos + ln tan( + π ) + C 8.6 sin sin + cos cos sin sin + sin cot cot + C cos cot sin t cot sin t cot + C sin 8.65 sin cos 5 + cos sin cos 5 cos 5 + sin cos + sin 8 cos + 8 ln tan( + π ) + C sin u sin cos 5 dv sin cos 5 du cos v sin cos cos sin t cos cos 5 sin t 5 t + C cos + C cos sin cos + cos cos 8.66 sin 7 u tan du +u u sin +u du +u (u ( u ) +u 7 + ) 6 6u 7 du u + 6u 0 + 5u 8 + 0u 6 + 5u + 6u + 6 u 7 du ( u 5 + 6u + 5u u + 5 u + 6 u 5 + ) u 7 du 8 u6 + 8 u u ln u 6 8u 8u 8u 6 + C 8 tan6 + 8 tan tan ln tan 5 8 tan 8 tan 8 tan 6 + C 8

83 sin sin cos + cos sin cos cos sin cos + sin cot + sin sin ln tan cot + C t sin sin t ln tan t + C ln tan + C cot t cot sin t cot + C 8.68 sin sin sin cos + cos sin sin cos cos + sin cos tan cos + sin tan + ln tan + C t sin sin t ln tan t + C ln tan + C tan t tan cos t tan + C 8.69 cos sin sin 5 cos + cos sin 5 cos sin cos + sin 5 cos sin + cos sin sin cos + + cos sin 5 cos sin cos + sin cos + cos sin cos + sin 5 sin + cos sin sin cos + + cos cos sin + cos sin 5 sin cos + sin cos + cos cos sin cos + sin + sin 5 sin cos + cos cos sin cos + sin + sin 5 cos + ln tan sin sin + C całki obliczone pomocniczo sin cos t cos sin t t + C cos + C sin cos t sin sin t ln tan t + C ln tan + C cos sin t sin cos t t + C sin + C 8

84 cos sin 5 t sin cos t 5 t + C sin + C sin cos sin + cos sin cos cos + sin cos sin + cos sin + cos cos + sin cos sin cos + cos + cos + sin tan cos + cos + sin tan + tan cot + C tan t tan cos t t + C tan + C cos 8.7 sin ( cos cos ) sin cos cos cos cos cos cos cos + sin sin sin cos cos cos cos sin cos + ln tan( + π ) ln tan( + π ) + sin + C sin cos ln tan( + π ) + sin + C cos + w przykładzie wykorzystano rozwiązania całek z przykładów (8.6), (8.6) cos cos sin( + π ) ln tan( + π ) + C 8.7 sin ( cos cos ) cos cos + cos cos cos cos + cos ( sin ) cos sin + ln tan( + π ) 8

85 sin sin + ln tan( + π ) + C ( sin ) cos t sin cos ( t ) t t + C sin sin + C 8.7 cos 5 sin ( sin ) cos sin t sin cos t t + sin ln sin + sin + C cos cos sin sin + t t ln t + t + C sin cos 8.7 sin cos 8 ( cos ) sin cos 8 sin cos 8 t 8 + t 6 7t 7 5t 5 + C 7 cos 7 5 cos 5 + C sin t cos cos 6 sin 8.75 cos cos cos cos ln tan( + π sin ) cos + C cos cos w przykładzie wykorzystano całki z przykładów (8.7), (8.6) cos u tan du +u u +u cos du +u 5 + u +u du +u 5+5u + u +u du 9 + u 9 du ( u ) + t u du t + ( arctan tan ) + C sin u tan du +u u sin +u du +u + u +u du (u + ) 85

86 u + + C tan + + C 8.78 sin + cos sin( + π ) ln tan( + π 8 ) + C 8.79 sin cos sin + cos... zakładając, że cos 0... sin cos sin cos + arctan(tan ) + C t tan sin cos t + arctan(t) + C sin cos cos t + t tan t + t t + sin t + cos (t t + + ) + t + + t t + t + (t +) + t+ t + t + t + t + t + t + arctan( t) + C tan + arctan( tan ) + C t + u t du du u + arctan(u) + C arctan( t) + C 8.8 cos + sin t sin cos (sin cos ) (cos + sin ) t t + C sin cos + C 8.8 sin cos sin + cos cos (sin + cos ) sin cos cos sin t sin cos u t du t du u ln + u u + C sin ln + + C ln + sin + C sin sin

87 sin cos + sin t sin sin cos + t arctan(t) + C arctan(sin ) + C 8.8 (sin + cos ) t tan t + t t + sin t + cos t + ( t t + + t + ) t + t (t + ) + (t + ) t + t + 9 ( t + u t ) du (t + ) du u + korzystając z całki obliczonej w przykładzie (6.69) otrzymujemy:... arctan(u) arctan(u) ( ) tan arctan arctan ( tan ) tan tan + + C tan tan C u u + + C t + (t +) (t +) du (u + ) sin cos sin 8 + cos 8 sin ( sin + cos ) 8 sin sin ( + cos ) 8 sin sin sin + 8 sin 8 cos sin cos cos + 8 tan t tan t t 8 t t + 8t cos 8 cos + tan + 8 tan t + 8t + 8 (t + a)(t + b) t + 8t + 8 t + (a + b)t + ab { a + b 8 ab 8 { a b + { a + b rozkład na ułamki proste: t (t + )(t + + ) At + B t + + Ct + D t

88 t (At + B)(t + ) + (Ct + D)(t + + ) t (A + C)t + (B + D)t + [( + )A + ( )C]t + ( + )B + ( )D A + C 0 B + D ( + )A + ( )C 0 ( + )B + ( )D 0 A 0 B ( ) C 0 D ( + )... ( ) t + + ( ) ( + ) t + + t ( ) + + ( + ) + t ( + ) + u t v t + + du + dv ( ) du u + + ( + ) dv + v + ( ) arctan u + ( + ) + ( ) tan arctan + arctan v + C ( + ) + tan arctan + + C 8.86 sin + cos... korzystając ze wzorów: sin otrzymujemy: cos() cos() + 8 cos cos() + cos() cos + u du t + t + t + arctan t + ( ) tan + C du cos u + t tan u t + du t + t + cos u t + ( ) ( ) t arctan + C t + t + t

89 sin + t t + ( sin )( + sin ) t + t + + cos ( + sin ) t + t arctan( t) + C tan + arctan( ) + C t + u t du du u + arctan(u) + C t tan t cos t + sin 8. Całki funkcji cyklometrycznych (kołowych). 8.9 arcsin u arcsin dv du v arcsin arcsin arcsin arcsin + arcsin arcsin + + C całki obliczone pomocniczo: + + arcsin + arcsin + C arcsin + C arcsin t arcsin t arcsin + C 8.9 ( ) arcsin ( ) u arcsin dv du v arcsin + ln + C arcsin t arcsin ( ) sin t tan(arcsin ) + C tan(arctan arcsin arctan sin t ) + C cos t tan t + C + C

90 + arctan + arctan + arctan ln + arctan + C arctan arctan + całki obliczone pomocniczo: arctan u arctan du + + dv v arctan + arctan ln + + C arctan t arctan + t t + C arctan + C 8.9 ( + 9 ) arctan t arctan +9 t + C arctan + C t 8.95 t arctan ( + )(arctan ) + t t + C arctan + C 8.96 (arctan ) t arctan + + t t + C arctan + C 8.97 arccos t arccos t t + C arccos + C 8.98 arcsin t arcsin t ln t + C ln arcsin + C 8.99 arctan ( + ) u arctan dv du v + ( +) ( +) arctan ( + ) + arctan + ( + ) + C arctan ( + ) + ( + ) 90

91 arcsin u arcsin dv ( ) du v arcsin ln + + C ( ) arcsin 8.0 arcsin u arcsin dv du v arcsin arcsin + arcsin + arcsin + arcsin + arcsin + C ( ) arcsin + + C 8.0 arctan ( ) u arctan dv ( ) du v arctan + ( ) ( ) + arctan ( ) arctan 8 ln + + ln + C 8 ( + )( ) rozkład na ułamki proste: ( + )( ) A + B + + C + + D (A + B)( ) + C( )( + ) + D( + )( + ) (A + C + D) + (B C + D) + ( A + C + D) + ( A C + D) A + C + D 0 B C + D 0 A + C + D 0 B C + D A 0 B C D arctan ln + + ln + C ( + )( ) 9

92 8.0 arctan u arctan dv du v + arctan + arctan ( + ) + arctan ln + + C 8.0 arctan e e ( + e ) t e ln t ln t t arctan t arctan t t arctan t arctan t t arctan t arctan t t arctan t arctan t t + arctan t u arctan t dv t (t ( t (t +) + ) du v arctan t t + t arctan t t arctan t + ( + t t t + t(t + ) t(t + ) ) + ln t ln t + + C arctan e e arctan e + ln e + + C ) 8.05 arcsin arcsin u arcsin dv du v ln + + C arcsin t t t t t ln t + t + C ln + + C + t 8.06 arcsin e e arcsin t t + t e ln t t arcsin t t t t arcsin t t e arcsin e ln e + e + C u arcsin t dv t du t v t ln t + t + C

93 arctan u arctan dv du v + arctan arctan ( )( + ) arctan + arctan + C ( ) arctan ( ) + C 8.08 ( + ) arccos( ) t u arccos t dv (t + 6) du t v t + 6t ( t + t) arccos t + t + + t t ( t + t) arccos t t + + t ( t + t) arccos t + (t + 6) arccos t t + t t t t ( t + t) arccos t 8 arcsin t 8 t t + arcsin t t + C ( ( ) + ( )) arccos( ) 8 arcsin( ) 8 ( ) ( ) + arcsin( ) 8.09 arctan + + u arctan dv du v arctan ln C + arctan arcsin u arcsin dv du v arcsin + arcsin + arcsin arcsin arcsin + arcsin arcsin + C arcsin + arcsin + C 8. ( + ) arctan u arctan dv ( + ) du v + + ( + ) arctan + + ( + ) arctan ( )( + )

94 ( + ) arctan ( ) + + ( + ) arctan + arctan ln + + C ( + ) arctan + ln + + C 8. arcsin u arcsin + dv + du (+) v arcsin arcsin + + arctan( ) + C + t t t t t + + t t arctan t + arctan( ) + C 8. Całki funkcji wykładniczych i logarytmicznych. 8.8 (e + e ) e + e + C e a a ea + C, gdzie a e e e + e t e + e (e e ) t ln t + C ln(e + e ) + C 8.0 t e e ln t t t(t ) ( ln t ln t + C ln e + + C ) t t 8. e + e arctan(e ) + C e e + t e e t + arctan(t) + C 9

95 8. e + + e + + ln t e + t e + t e t t + e + e t (t t ) + t t + ln t t + t + + C t + C e e e + + e + ln e + + C t e e + ln t t ln e + + C t(t + ) t e + + ln e + + C ln t ln t + t + 8. t + e + e t e + t e t ( ) t t e + t ln + C + + e ln t + e + C 8.5 e + e t + t e e t + C (e + ) + C 8.6 e (e ) t e e t t + C e + C 8.7 (e + e ) (e + + e ) (e e ) + + C

96 e e + 5 (e + 5) e + 5 ln e C 8.9 e + 6e e t 9e e + 6 e 9e ln t rozkład na ułamki proste: t t + 6 t(9t ) t t(t )(t + ) t + 6 t(t )(t + ) A t + B t + C t + t + 6 A(9t ) + Bt(t + ) + Ct(t ) t + 6 (9A + B + C)t + (B C)t + ( A) 9A + B + C B C 0 A 6 A B 5 C 5... t + 5 t + 5 t + 5 ln t + 6 ln 9t + C ln 9e + C 8.0 t e e + e ln t t rozkład na ułamki proste: t (t + ) A t + B t + C t + At(t + ) + B(t + ) + Ct t (t + ) (A + C)t + (A + B)t + B A + C 0 A + B 0 B A B C... + t t + t + ln t + ln t + + C t 96

97 e + ln e + + C 8. dla e (e + a) n n e dla e + a ln e + a + C n N + {} e (e + a) n t e + a e t n (n )t n + C (n )(e + a) n + C 8. e 5e t e e 5 5t du arcsin u + C 5 arcsin( u 5 5 e ) + C u 5 t ( 5 t) 5 du 8. t e e + e + ln t t du u + u + ln e + + e + e + + C t t + t + u t u t du u du u u + u + du (u + ) ln u + + u + u + + C 8. e u dv e du v e e + e u dv e du v e e e + 6 e u dv e du v e e e 6e + 6 e e e 6e 6e + C 8.5 ln t ln t ln t + C ln ln + C 97

98 8.6 ln( + ) u ln( + ) dv du + v ln( + ) + ln( + ) ln( + ) + arctan() + C 8.7 (ln ) u ln dv ln ln ln du v ln ln + ln ln + + C u ln du dv v 8.8 ln( + + ) u ln( + + ) du + ln( + + ) dv v + ln( + + ) + + C 8.9 ln + 5 ln + 5 u ln + 5 dv du 5 +5 v ln + 5 ln ln ln C ( + ) ln C ( + ln ) t ln arctan(t) + C arctan(ln ) + C + t 8. ln u ln du dv v ln + ln + C 8. ( + ) ln ( ) ln u ln dv ( ) du v ( + + 6) ln ( + + 6) ( + + 6) ln C 98

99 8. ln( + ) ( + ) ln( + ) t + u ln t dv (t ) (t ) ln t du t v t t (t 6t) ln t ( t ) (t 6t) ln t 8 t + t + C ( 9) ln + 8 ( + ) + ( + ) + C 8. a, a > u dv a du v a ln a a ln a ln a a a ln a a ln a + C 99

Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C,

Całki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C, Całki nieoznaczone Adam Gregosiewicz 7 maja 00 Własności a) Jeżeli F () = f(), to f()d = F () + C, dla dowolnej stałej C R. b) Jeżeli a R, to af()d = a f()d. c) Jeżeli f i g są funkcjami całkowalnymi,

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =

Bardziej szczegółowo

1 Całki nieoznaczone: całkowanie jako operacja (prawie) odwrotna do różniczkowania

1 Całki nieoznaczone: całkowanie jako operacja (prawie) odwrotna do różniczkowania 1 Całki nieoznaczone: całkowanie jako operacja (prawie) odwrotna do różniczkowania 1.1 Podstawowe definicje Def. Funkcję F nazywamy funkcją pierwotną funkcji f, określonej w przedziale otwartym P (skończonym

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje elementarne

1 Funkcje elementarne 1 Funkcje elementarne Funkcje elementarne, które będziemy rozważać to: x a, a x, log a (x), sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arc ctg(x). 1.1 Funkcje x a. a > 0, oraz a N

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone Zadania z analizy matematycznej - sem. II Całki nieoznaczone Definicja 1 (funkcja pierwotna i całka nieoznaczona). Niech f : I R. Mówimy, że F : I R jest funkcją pierwotną funkcji f, jeśli F jest różniczkowalna

Bardziej szczegółowo

CAŁKI NIEOZNACZONE C R}.

CAŁKI NIEOZNACZONE C R}. CAŁKI NIEOZNACZONE Definicja 1 Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) = f(x) dla każdego x I. Np. funkcjami pierwotnymi funkcji f(x) = sin x na R są cos x, cos x+1, cos

Bardziej szczegółowo

Funkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje

Funkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje Funkcje Andrzej Musielak 1 Funkcje Funkcja liniowa Funkcja liniowa jest postaci f(x) = a x + b, gdzie a, b R Wartość a to tangens nachylenia wykresu do osi Ox, natomiast b to wartość funkcji w punkcie

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),

ELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j), ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j

Bardziej szczegółowo

KOMPENDIUM Z MATEMATYKI

KOMPENDIUM Z MATEMATYKI Publikacja współfinansowana przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego KOMPENDIUM Z MATEMATYKI Metody obliczania całek ε = mc Michał Stukow Błażej Szepietowski Publikacja współfinansowana

Bardziej szczegółowo

Literatura podstawowa

Literatura podstawowa 1 Wstęp Literatura podstawowa 1. Grażyna Kwiecińska: Matematyka : kurs akademicki dla studentów nauk stosowanych. Cz. 1, Wybrane zagadnienia algebry liniowej, Wydaw. Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk, 2003.

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

III. Funkcje rzeczywiste

III. Funkcje rzeczywiste . Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja

Bardziej szczegółowo

Repetytorium. Zajęcia w semestrze zimowym 2012/2013. Ewa Cygan

Repetytorium. Zajęcia w semestrze zimowym 2012/2013. Ewa Cygan Repetytorium Zajęcia w semestrze zimowym 01/013 Ewa Cygan Wersja z 15 stycznia 013 Zestawy zadań na kolejne ćwiczenia Na najbliższe zajęcia (11.10.) proszę o rozwiązanie (bądź powtórzenie sobie rozwiązań

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.

Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne. Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna

Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna Rozdział 9 Funkcja pierwotna 9. Funkcja pierwotna Definicja funkcji pierwotnej. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale P. Mówimy, że funkcja F : P R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław

Treści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

Sprawy organizacyjne. dr Barbara Przebieracz Bankowa 14, p.568

Sprawy organizacyjne. dr Barbara Przebieracz Bankowa 14, p.568 Sprawy organizacyjne Jak można się ze mna skontaktować dr Barbara Przebieracz Bankowa 14, p.568 barbara.przebieracz@us.edu.pl www.math.us.edu.pl/bp 10 wykładów, Zaliczenie wykładu: ocena z wykładu jest

Bardziej szczegółowo

Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości

Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości Funkcją pierwotną funkcji w przedziale nazywamy funkcję taką, że dla każdego punktu z tego przedziału zachodzi Różnica dwóch funkcji pierwotnych w przedziale danej

Bardziej szczegółowo

Lista 1 - Funkcje elementarne

Lista 1 - Funkcje elementarne Lista - Funkcje elementarne Naszkicuj wykresy funkcji: a) y = sgn, y = sgn ; b) y = ; c) y = 2 Przedstaw w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji potęgowej y = α dla: a) α =, 2, 3, 4; b) α =,, 2;

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych

1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 15.1.010r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f x) = arc cos x x + x 5 ) ) log x + 5. Rozwiązanie. Wymagane

Bardziej szczegółowo

Rozważmy przedział I zawarty w zbiorze liczb rzeczywistych ( I R ). Funkcję rzeczywistą mającą pochodną w każdym

Rozważmy przedział I zawarty w zbiorze liczb rzeczywistych ( I R ). Funkcję rzeczywistą mającą pochodną w każdym Całka nieoznaczona E-podręcznik pod redakcją: Vsevolod Vladimirov Autor: Konrad Nosek 05 Spis treści Funkcja pierwotna. Całka nieoznaczona. Podstawowe wzory Całkowanie przez podstawianie całek nieoznaczonych

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17

Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17 Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =

Bardziej szczegółowo

1. Równania i nierówności liniowe

1. Równania i nierówności liniowe Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x

Bardziej szczegółowo

Matematyka ETId I.Gorgol. Funkcja złożona i odwrotna. Funkcje

Matematyka ETId I.Gorgol. Funkcja złożona i odwrotna. Funkcje Funkcja złożona i odwrotna. Funkcje cyklometryczne. Definicja funkcji DEFINICJA Niech dane będa dwa zbiory D i P. Funkcja f : D P nazywamy przyporzadkowanie, które każdemu elementowi ze zbioru D przyporzadkowuje

Bardziej szczegółowo

1 Całki funkcji wymiernych

1 Całki funkcji wymiernych Całki funkcji wymiernych Definicja. Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów. Całka funkcji wymiernej jest więc postaci: W (x) W (x) = an x n + a n x n +... + a x + a 0 b m x m + b m x m +...

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki (4 godz.)

Elementy logiki (4 godz.) Elementy logiki (4 godz.) Spójniki zdaniotwórcze, prawa de Morgana. Wyrażenie implikacji za pomocą alternatywy i negacji, zaprzeczenie implikacji. Prawo kontrapozycji. Podstawowe prawa rachunku zdań. Uczestnik

Bardziej szczegółowo

Rachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej

Rachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej Lista Nr 5 Rachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej 5.0. Obliczanie pochodnej funkcji Pochodne funkcji podstawowych. f() = α f () = α α. f() = log a f () = ln a '. f() = ln f () = 3. f() = a f () =

Bardziej szczegółowo

LISTY ZADAŃ DO KURSU ANALIZA MATEMATYCZNA 1 (MAT 1637, 1644)

LISTY ZADAŃ DO KURSU ANALIZA MATEMATYCZNA 1 (MAT 1637, 1644) LISTY ZADAŃ DO KURSU ANALIZA MATEMATYCZNA MAT 67, 644) Zadania przeznaczone są do rozwiązywania na ćwiczeniach oraz samodzielnie. Dwie dodatkowe listy: POWTÓRKA i POWTÓRKA to przygotowanie do kolokwiów.

Bardziej szczegółowo

Z-LOG-476I Analiza matematyczna I Calculus I. Przedmiot podstawowy Obowiązkowy polski Semestr I

Z-LOG-476I Analiza matematyczna I Calculus I. Przedmiot podstawowy Obowiązkowy polski Semestr I KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2017/2018 Z-LOG-476I Analiza matematyczna I Calculus I A. USYTUOWANIE MODUŁU W

Bardziej szczegółowo

1 Funkcja wykładnicza i logarytm

1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA I

ANALIZA MATEMATYCZNA I ANALIZA MATEMATYCZNA I Lista zadań dla kursów mających ćwiczenia co dwa tygodnie. Zadania po symbolu potrójne karo omawiane są na ćwiczeniach rzadko, ale warto też poświęcić im nieco uwagi. Lista nie zawiera

Bardziej szczegółowo

Obliczenia Symboliczne

Obliczenia Symboliczne Lekcja Strona z Obliczenia Symboliczne MathCad pozwala na prowadzenie obliczeń zarówno numerycznych, dających w efekcie rozwiązania w postaci liczbowej, jak też obliczeń symbolicznych przeprowadzanych

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna MAEW101

Analiza Matematyczna MAEW101 Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,

Bardziej szczegółowo

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n Propozycje pytań na maturę ustną ( profil podstawowy ) Elżbieta Kujawińska ZESTAW Podaj wzory na postać kanoniczną i iloczynową funkcji kwadratowej Sprowadź do postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany:

Bardziej szczegółowo

LISTA 0 (materiał do samodzielnego powtórzenia). Działania w zbiorze liczb rzeczywistych

LISTA 0 (materiał do samodzielnego powtórzenia). Działania w zbiorze liczb rzeczywistych LISTA 0 materiał do samodzielnego powtórzenia). Działania w zbiorze liczb rzeczywistych W zadaniach 0. 0.5 n N, natomiast a, b,, y są liczbami rzeczywistymi, dla których występujące w zadaniach wyrażenia

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Wykorzysano: M A T E M A T Y K A Wykład dla sudenów Część Krzyszo KOŁOWROCKI, ZBIÓR ZADAŃ Z RACHUNKU CAŁKOWEGO Krzyszo PISKÓRZ Deinicja CAŁKA NIEOZNACZONA Funkcję

Bardziej szczegółowo

Równania poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie = Rozwiąż układ równań: (( + 1 ( + 2 = = 1

Równania poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie  = Rozwiąż układ równań: (( + 1 ( + 2 = = 1 Równania poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie http://www.zadania.info/). Rozwiąż układ równań: (( + ( + 2 = 3 = 4. http://www.zadania.info/d38/2287 2. Rozwiąż układ równań: ( + 2 (

Bardziej szczegółowo

1 Funkcja wykładnicza i logarytm

1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres

Bardziej szczegółowo

Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę

Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę Program zajęć pozalekcyjnych z matematyki poziom rozszerzony- realizowanych w ramach projektu Przez naukę i praktykę na Politechnikę 1. Omówienie programu. Zaznajomienie uczniów ze źródłami finansowania

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna. Wzornictwo Przemysłowe I stopień Ogólnoakademicki studia stacjonarne wszystkie specjalności Katedra Matematyki dr Monika Skóra

Analiza matematyczna. Wzornictwo Przemysłowe I stopień Ogólnoakademicki studia stacjonarne wszystkie specjalności Katedra Matematyki dr Monika Skóra Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Analiza matematyczna Nazwa modułu w języku angielskim Calculus Obowiązuje

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe drugiego rzędu

1 Równania różniczkowe drugiego rzędu Równania różniczkowe drugiego rzędu Najpierw zajmiemy się równaniami różniczkowymi rzędu drugiego, w których y nie występuje w sposób jawny, tzn. F (x, y, y ) = 0 (.) Równanie takie rozwiązujemy poprzez

Bardziej szczegółowo

Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji.

Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji. Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji.. Ciągi Ciąg jest to funkcja określona na zbiorze N lub jego podzbiorze. Z tego względu ciągi dziey na

Bardziej szczegółowo

SYLABUS. Studia Kierunek studiów Poziom kształcenia Forma studiów. stopnia

SYLABUS. Studia Kierunek studiów Poziom kształcenia Forma studiów. stopnia SYLABUS Nazwa przedmiotu Analiza matematyczna Nazwa jednostki prowadzącej Wydział Matematyczno-Przyrodniczy, przedmiot Instytut Fizyki Kod przedmiotu Studia Kierunek studiów Poziom kształcenia Forma studiów

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres

Bardziej szczegółowo

W. Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1 i cz. 2. Pomocnicze symbole. Spójniki logiczne: Symbole kwantyfikatorów:

W. Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1 i cz. 2. Pomocnicze symbole. Spójniki logiczne: Symbole kwantyfikatorów: dr Urszula Konieczna-Spychała Instytut Matematyki i Fizyki UTP imif.utp.edu.pl Literatura: M. Lassak, Matematyka dla studiów technicznych. M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1. M. Gewert, Z.

Bardziej szczegółowo

x 2 5x + 6 x 2 x 6 = 1 3, x 0sin 2x = 2, 9 + 2x 5 lim = 24 5, = e 4, (i) lim x 1 x 1 ( ), (f) lim (nie), (c) h(x) =

x 2 5x + 6 x 2 x 6 = 1 3, x 0sin 2x = 2, 9 + 2x 5 lim = 24 5, = e 4, (i) lim x 1 x 1 ( ), (f) lim (nie), (c) h(x) = Zadanie.. Obliczyć granice 2 + 2 (a) lim (d) lim 0 2 + 2 + 25 5 = 5,. Granica i ciągłość funkcji odpowiedzi = 4, (b) lim 2 5 + 6 2 6 =, 4 (e) lim 0sin 2 = 2, cos (g) lim 0 2 =, (h) lim 2 8 Zadanie.2. Obliczyć

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.

ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. ROZKŁAD MATERIAŁU DO 1 KLASY LICEUM (ZAKRES PODSTAWOWY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. TEMAT Równania i nierówności (30h) LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH Liczby wymierne 3 Liczby niewymierne 1 Zapisywanie

Bardziej szczegółowo

Wstęp. W razie zauważenia jakichś błędów w tym tekście proszę o sygnał, na przykład mailowy:

Wstęp. W razie zauważenia jakichś błędów w tym tekście proszę o sygnał, na przykład mailowy: Wstęp Niniejsze opracowanie zawiera notatki z ćwiczeń z matematyki prowadzonych na UTP kierunkach: Budownictwo, Mechanika i Budowa Maszyn, Inżynieria Odnawialnych Źródeł Energii, Transport, Teleinformatyka,

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem

Bardziej szczegółowo

Poradnik encyklopedyczny

Poradnik encyklopedyczny I.N.Bronsztejn K.A.Siemiendiajew Poradnik encyklopedyczny Tłumaczyli Stefan Czarnecki, Robert Bartoszyński Wydanie dziesiąte Wydawnictwo Naukowe PWN Warszawa 1995 SPIS RZECZY Przedmowa 5 Oznaczenia matematyczne

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

Wzory funkcji cyklometrycznych (kołowych)

Wzory funkcji cyklometrycznych (kołowych) Wzory funkcji cyklometrycznych (kołowych) Mateusz Kowalski www.kowalskimateusz.pl 19.07.01 Streszczenie Wzory funkcji cyklometrycznych wraz z wyprowadzeniami. 1 A co to za funkcje? Funkcje cyklometryczne

Bardziej szczegółowo

Karta (sylabus) modułu/przedmiotu ELEKTROTECHNIKA (Nazwa kierunku studiów)

Karta (sylabus) modułu/przedmiotu ELEKTROTECHNIKA (Nazwa kierunku studiów) Przedmiot: Matematyka I Karta (sylabus) modułu/przedmiotu ELEKTROTECHNIKA (Nazwa kierunku studiów) Kod przedmiotu: E05_1_D Typ przedmiotu/modułu: obowiązkowy X obieralny Rok: pierwszy Semestr: pierwszy

Bardziej szczegółowo

Całka nieoznaczona wykład 7 ( ) Motywacja

Całka nieoznaczona wykład 7 ( ) Motywacja Całka nieoznaczona wykład 7 (12.11.07) Motywacja Problem 1 Kropla wody o średnicy 0,07 mm porusza się z prędkościa v(t) = g c (1 e ct ), gdzie g oznacza przyśpieszenie ziemskie, a stałac c = 52,6 1 s została

Bardziej szczegółowo

PROGRAM ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI NA KIERUNKU MATEMATYKA

PROGRAM ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI NA KIERUNKU MATEMATYKA PROGRAM ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI NA KIERUNKU MATEMATYKA UNIWERSYTET PRZYRODNICZO HUMANISTYCZNY Instytut Matematyki i Fizyki Siedlce 2011 Dział matematyki Szczegółowy program Liczba godz. I. ELEMENTY

Bardziej szczegółowo

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymagań egzaminacyjnych Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Funkcje, ich granice i ciągłość

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Funkcje, ich granice i ciągłość Zadania z analizy matematycznej - sem II Funkcje ich granice i ciągłość Zadanie 1 Wyznaczyć i naszkicować dziedziny naturalne podanych funkcji: a f y = 2 y 3 25 2 +y 2 16 b g y = ln1 2 y 2 c h y = ln 2

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia 4 / 5 rachunek różniczkowy

Ćwiczenia 4 / 5 rachunek różniczkowy Matematyka dla Ciekawych Świata, 2012/2013 13 listopada 2012 Ćwiczenia 4 / 5 rachunek różniczkowy 0. Kangur powraca Przypomnij sobie, że nasz kangur porusza się z prędkością 4 km/h. Zamodeluj ruch kangura

Bardziej szczegółowo

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni 30 30

Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium Liczba godzin zajęć zorganizowanych w Uczelni 30 30 WYDZIAŁ ARCHITEKTURY KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim Matematyka 1 Nazwa w języku angielskim Mathematics 1 Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy): Stopień studiów i forma:

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna - 1. Granice

Analiza matematyczna - 1. Granice Analiza matematyczna - Granice Celem tej części wykładu jest uściślenie, co rozumiemy przez stwierdzenie, że jakaś zmienna ekonomiczna zachowuje się w pewien sposób w przybliżeniu bądź w granicy Przykład

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna - 1. Granice

Analiza matematyczna - 1. Granice Analiza matematyczna - Granice Celem tej części wykładu jest uściślenie, co rozumiemy przez stwierdzenie, że jakaś zmienna ekonomiczna zachowuje się w pewien sposób w przybliżeniu bądź w granicy Przykład

Bardziej szczegółowo

< > Sprawdzić prawdziwość poniższych zdań logicznych (odpowiedź uzasadnić) oraz podać ich zaprzeczenia:

< > Sprawdzić prawdziwość poniższych zdań logicznych (odpowiedź uzasadnić) oraz podać ich zaprzeczenia: Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/7 Zdania logiczne Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory Ocenić wartość logiczną zdania (odpowiedź uzasadnić): < Nieprawda, że

Bardziej szczegółowo

Interpolacja funkcji

Interpolacja funkcji Interpolacja funkcji Interpolacja funkcji Interpolacja funkcji Wielomianowa Splajny Lagrange a Trygonometryczna Interpolacja Newtona (wzór I ) Czebyszewa Newtona (wzór II ) ( Wielomiany Czebyszewa ) Załóżmy,

Bardziej szczegółowo

Lista 1 - Kilka bardzo prostych funkcji. Logarytm i funkcja wykładnicza

Lista 1 - Kilka bardzo prostych funkcji. Logarytm i funkcja wykładnicza Lista - Kilka bardzo prostych funkcji Logarytm i funkcja wykładnicza Naszkicuj wykresy funkcji: y = sgn x oraz y = x sgn x; b) y = x oraz y = x ; c) y = x x Przedstaw w jednym układzie współrzędnych wykresy

Bardziej szczegółowo

Paul Erdős i Dowody z Księgi

Paul Erdős i Dowody z Księgi Paul Erdős i Dowody z Księgi Antoni Kijowski, Michał Król, Krzysztof Kwiatkowski Faculty of Mathematics and Information Science Warsaw University of Technology Warsaw, 9 January 013 (Krótki kurs historii

Bardziej szczegółowo

Granice funkcji. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21

Granice funkcji. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21 Granice funkcji XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #8 1 / 21 Granica funkcji Definicje Granica właściwa funkcji w punkcie wg Heinego Liczbę g nazywamy granicą właściwą funkcji f w punkcie

Bardziej szczegółowo

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego 5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =

Bardziej szczegółowo

Obliczanie pochodnej funkcji. Podstawowe wzory i twierdzenia. Autorzy: Tomasz Zabawa

Obliczanie pochodnej funkcji. Podstawowe wzory i twierdzenia. Autorzy: Tomasz Zabawa Obliczanie pocodnej funkcji. Podstawowe wzory i twierdzenia Autorzy: Tomasz Zabawa 207 ./matjax/matjax.js?configtex-ams-mml_htmlormml"> Obliczanie pocodnej funkcji. Podstawowe wzory i twierdzenia Autor:

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zestawy pytań maturalnych z matematyki na egzamin ustny.

Przykładowe zestawy pytań maturalnych z matematyki na egzamin ustny. Przykładowe zestawy pytań maturalnych z matematyki na egzamin ustny Zestaw I 1) Przedstaw i omów postać kanoniczną i iloczynową funkcjikwadratowej Daną funkcję przedstaw w postaci kanonicznej: y = ( )(

Bardziej szczegółowo

Zamiana liczby dziesiętnej na ułamek Ułamek zwykły i liczba dziesiętna Działania na liczbach dziesiętnych...

Zamiana liczby dziesiętnej na ułamek Ułamek zwykły i liczba dziesiętna Działania na liczbach dziesiętnych... SPIS TREŚCI 1. Witaj w świecie liczb rzeczywistych... 15 Prawa działań... 18 2. Poznajemy zbiory liczbowe... 19 3. Cyfry arabskie i rzymskie... 21 4. Liczby pierwsze i złożone... 22 5. Liczba przeciwna

Bardziej szczegółowo

Funkcje trygonometryczne. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 1 / 14

Funkcje trygonometryczne. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 1 / 14 XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #5 1 / 14 Miara kąta Miara kąta kąt mierzymy od ramienia początkowego do końcowego w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (α > 0) kąt zgodny

Bardziej szczegółowo

Zestaw 0. 1 sin 2 x ; k) (arctg x) 0 = 1 ; l) (arcctg x) x 2 m) (arcsin x) 0 = p 1

Zestaw 0. 1 sin 2 x ; k) (arctg x) 0 = 1 ; l) (arcctg x) x 2 m) (arcsin x) 0 = p 1 Podstawowe wzor rachunku ró zniczkowego Zestaw. Rachunek ró zniczkow i ca kow a) (f () g ()) = f () g () + f () g () b) f (g ()) = f (g ()) g () f() c) g() = f ()g() f()g () d) ( n ) = n n g () e) (log

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 10.1.010r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f (x) = x 4x + 3 x + x + log arc sin 1 x. Rozwiązanie. Wymagane

Bardziej szczegółowo

Projekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Zajęcia 1 Pewne funkcje - funkcja liniowa dla gdzie -funkcja kwadratowa dla gdzie postać kanoniczna postać iloczynowa gdzie równanie kwadratowe pierwiastki równania kwadratowego: dla dla wzory Viete a

Bardziej szczegółowo

WIELOMIANY. ZADANIE 1 (5 PKT) Reszta z dzielenia wielomianu x 3 + px 2 x + q przez trójmian (x + 2) 2 wynosi 1 x. Wyznacz pierwiastki tego wielomianu.

WIELOMIANY. ZADANIE 1 (5 PKT) Reszta z dzielenia wielomianu x 3 + px 2 x + q przez trójmian (x + 2) 2 wynosi 1 x. Wyznacz pierwiastki tego wielomianu. IMIE I NAZWISKO WIELOMIANY SUMA PUNKTÓW: 125 ZADANIE 1 (5 PKT) Reszta z dzielenia wielomianu x 3 + px 2 x + q przez trójmian (x + 2) 2 wynosi 1 x. Wyznacz pierwiastki tego wielomianu. ZADANIE 2 (5 PKT)

Bardziej szczegółowo

na egzaminach z matematyki

na egzaminach z matematyki Błędy studentów na egzaminach z matematyki W opracowaniu omówiłem typowe błędy popełniane przez studentów na kolokwiach i egzaminach z algebry oraz analizy. Ponadto podaję błędy rzadziej spotykane, które

Bardziej szczegółowo

Projekty standardów wymagań egzaminacyjnych z matematyki (materiał do konsultacji)

Projekty standardów wymagań egzaminacyjnych z matematyki (materiał do konsultacji) Projekty standardów wymagań egzaminacyjnych z matematyki (materiał do konsultacji) Od roku 2010 matematyka będzie obowiązkowo zdawana przez wszystkich maturzystów. W ślad za tą decyzją podjęto prace nad

Bardziej szczegółowo

Przeksztacenie Laplace a. Krzysztof Patan

Przeksztacenie Laplace a. Krzysztof Patan Przeksztacenie Laplace a Krzysztof Patan Wprowadzenie Transformata Fouriera popularna metoda opisu systemów w dziedzinie częstotliwości Transformata Fouriera umożliwia wykonanie wielu użytecznych czynności:

Bardziej szczegółowo

E-N-1112-s1 MATEMATYKA Mathematics

E-N-1112-s1 MATEMATYKA Mathematics KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU E-N-1112-s1 MATEMATYKA Mathematics Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/13 A. USYTUOWANIE MODUŁU W SYSTEMIE STUDIÓW

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 2

ANALIZA MATEMATYCZNA 2 ANALIZA MATEMATYCZNA Marian Gewert Zbigniew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA Przykłady i zadania Wydanie dziewiętnaste powiększone GiS Oficyna Wydawnicza GiS Wrocław 6 Marian Gewert Wydział Matematyki Politechnika

Bardziej szczegółowo

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej

Granica i ciągłość funkcji. 1 Granica funkcji rzeczywistej jednej zmiennej rzeczywistej Wydział Matematyki Stosowanej Zestaw zadań nr 3 Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie WEiP, energetyka, I rok Elżbieta Adamus 3 listopada 06r. Granica i ciągłość funkcji Granica funkcji rzeczywistej jednej

Bardziej szczegółowo

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2011-2014 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY 1. wykorzystania

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA I

ANALIZA MATEMATYCZNA I ANALIZA MATEMATYCZNA I Lista zadań dla kursów mających ćwiczenia co tydzień Choć zadania po symbolu potrójne karo nie są typowe, warto też poświęcić im nieco uwagi Lista nie zawiera odpowiedzi, ale poprawność

Bardziej szczegółowo

Funkcje. Część druga. Zbigniew Koza. Wydział Fizyki i Astronomii

Funkcje. Część druga. Zbigniew Koza. Wydział Fizyki i Astronomii Funkcje Część druga Zbigniew Koza Wydział Fizyki i Astronomii Wrocław, 2015 GRANICA I CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI Granica funkcji Funkcja f: R A R ma w punkcie x 0 granicę g wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego ciągu

Bardziej szczegółowo

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY Numer zadania... Etapy rozwiązania zadania Przekształcenie wzoru funkcji do żądanej postaci f( x) = + lub f( x) =. x x I sposób rozwiązania podpunktu b). Zapisanie

Bardziej szczegółowo

ZAKRES PODSTAWOWY CZĘŚĆ I. Liczby rzeczywiste

ZAKRES PODSTAWOWY CZĘŚĆ I. Liczby rzeczywiste CZĘŚĆ I ZAKRES PODSTAWOWY W nawiasach proponowane oceny: 2 poziom konieczny wymagań edukacyjnych 3 poziom podstawowy wymagań edukacyjnych 4 poziom rozszerzający wymagań edukacyjnych 5 poziom dopełniający

Bardziej szczegółowo

Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h)

Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h) Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony (według podręczników z serii MATeMAtyka) Klasa I (90 h) Temat Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15

Bardziej szczegółowo

BLOK I. , x = 2 2. 3. Korzystając z definicji pochodnej w punkcie, obliczyć pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach:

BLOK I. , x = 2 2. 3. Korzystając z definicji pochodnej w punkcie, obliczyć pochodne podanych funkcji we wskazanych punktach: BLOK I. Rachunek różniczkowy i całkowy. Znaleźć przyrost funkcji f(x) = 3x 3 przy x = zakładając, że przyrost x zmiennej niezależnej jest równy: a), ; b), ;, 5.. Znaleźć iloraz różnicowy funkcji y = f(x)

Bardziej szczegółowo

Z-EKO-476 Analiza matematyczna Calculus. Ekonomia. I stopień ogólnoakademicki. studia stacjonarne Wszystkie Katedra Matematyki dr Mateusz Masternak

Z-EKO-476 Analiza matematyczna Calculus. Ekonomia. I stopień ogólnoakademicki. studia stacjonarne Wszystkie Katedra Matematyki dr Mateusz Masternak KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/13 Z-EKO-476 Analiza matematyczna Calculus A. USYTUOWANIE MODUŁU W SYSTEMIE

Bardziej szczegółowo

II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty.

II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty. II. Funkcje. Pojęcia podstawowe. 1. Podstawowe definicje i fakty. Definicja 1.1. Funkcją określoną na zbiorze X R o wartościach w zbiorze Y R nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi x X dokładnie

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Funkcje jednej zmiennej rzeczywistej

Rozdział 2. Funkcje jednej zmiennej rzeczywistej Rozdział. Funkcje jednej zmiennej rzeczywistej. Rodzaje funkcji elementarnych Kiedy mamy do czynienia z pojęciem funkcji? Każdy używany samochód ma swój nr rejestracyjny. Oczywiście niektóre tablice rejestracyjne

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II

ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności

Bardziej szczegółowo

Sylabus - Matematyka

Sylabus - Matematyka Sylabus - Matematyka 1. Metryczka Nazwa Wydziału: Program kształcenia: Wydział Farmaceutyczny z Oddziałem Medycyny Laboratoryjnej Farmacja, jednolite studia magisterskie Forma studiów: stacjonarne i niestacjonarne

Bardziej szczegółowo

Równania i nierówności trygonometryczne

Równania i nierówności trygonometryczne Równania i nierówności trygonometryczne Piotr Rzonsowski Zadanie 1. Obliczyć równania: Zadania obowiązkowe a) cos x = 1, b) tg x =, c) cos( x + π ) =, d) sin x = 1. Wskazówka: (a) Oblicz cos y = 1 a następnie

Bardziej szczegółowo

S Y L A B U S P R Z E D M I O T U

S Y L A B U S P R Z E D M I O T U "Z A T W I E R D Z A M dr hab. inż. Stanisław Cudziło, prof. WAT Dziekan Wydziału Nowych Technologii i Chemii Warszawa, dnia... S Y L A B U S P R Z E D M I O T U NAZWA PRZEDMIOTU: MATEMATYKA Wersja anglojęzyczna:

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone i

1. Liczby zespolone i Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe zwyczajne zadania z odpowiedziami

Równania różniczkowe zwyczajne zadania z odpowiedziami Równania różniczkowe zwyczajne zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Równania pierwszego rzędu 2 o rozdzielonych zmiennych 2 jednorodne 4 liniowe 4 Bernoulliego 5 Równania sprowadzalne

Bardziej szczegółowo

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU

Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a

Bardziej szczegółowo