Analiza matematyczna w zadaniach, t. 1, W. Krysicki, L. Włodarski - rozwiązania

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Analiza matematyczna w zadaniach, t. 1, W. Krysicki, L. Włodarski - rozwiązania"

Transkrypt

1 Analiza matematyczna w zadaniach, t., W. Krysicki, L. Włodarski - rozwiązania Całki nieoznaczone. Całkowanie przez podstawienie i całkowanie przez części ( ) ( ) ( + )( + + ) ( + ) 5 + ( + ) 6 a, a 0, a + + ( + ) a + b e e cos sin( + ) sin 5 cos cos + sin sin a + b cos, b 0 cos e sin cos tan cos cos ( + ) (ln ) e + e e e + ln( + ) + ln 6 ln ln arctan + e ( + ) 6 ( + ) arctan (π arcsin ) + ( + ) e e e

2 5.70 cos 5.7 cos 5.7 sin e cos 5.7 e sin 5.75 e cos( ) 5.76 ln (ln ) (ln ) (ln 5.79 ) ln 5.80 (ln ) (ln ) 5.8 n ln, n Całki funkcji wymiernych ( + ) ( ) ( 5) + ( + )

3 ( ) ( + ) ( + )( )( ) 7 6 ( )( ) ( + )( + ) ( + 9)( + 5) a ( )( + + 9) ( ) ( + ) ( + + ) 7 + ( ) ( + + 8) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) Całki funkcji niewymiernych. Całki funkcji zawierających pierwiastki z wyrażenia liniowego ( + )

4 a 7.0 a ( + ) ( ) Całki funkcji zawierających pierwiastek kwadratowy z trójmianu kwadratowego (8 + ) + + (0 + 5) (r ) ( + ) m ( a)( a) ( + ) + ( + ) a a

5 a + a a + a + a ( 5) ( + ) ( + ) + ( ) ( + ) + ( ) (a ) a ( ) 6 + ( ) ( ) ( ) + Całki funkcji trygonometrycznych. 8.0 cos 5 cos 7 8. cos cos 8. sin cos 8. sin cos 5

6 8. cos sin 8.5 sin sin cos cos 8.7 sin sin 8.8 sin 5 sin 8.9 sin 8.0 sin 8. cos 8. cos 5 8. sin 5 8. tan cot 8.6 ctg sin cos 8.8 sin 7 cos sin 5 cos 8.50 sin cos 8.5 sin cos 8.5 sin cos cos sin sin tan cos 8.55 sin sin cos sin cos sin sin sin 8.59 sin cos 8.60 sin sin + cos 8.6 sin sin cos + cos 8.6 sin 8.6 cos 8.6 sin 8.65 cos sin sin cos 8.68 sin cos 8.69 sin 5 cos 8.70 sin cos sin 8.7 cos sin 8.7 cos cos sin sin 8.7 cos 8 cos 8.75 cos cos sin 8.78 sin + cos sin cos 8.79 sin + cos + sin 8.80 cos cos cos + sin 8.8 (sin cos ) sin cos 8.8 sin + cos sin cos sin 8.8 (sin + cos ) sin cos 8.85 sin 8 + cos sin + cos 8.87 sin 6

7 Całki funkcji cyklometrycznych arcsin arcsin ( ) arctan + ( + 9 ) arctan ( + )(arctan ) (arctan ) + arccos arcsin arctan ( + ) arcsin ( ) arcsin arctan ( ) arctan arctan e e ( + e ) arcsin arcsin e e arctan ( + ) arccos( ) arctan + arcsin ( + ) arctan arcsin + Całki funkcji wykładniczych i logarytmicznych (e + e ) e e e + e e e + e e + e e + + e e + e e (e ) (e + e ) e e + 5 e + 6e 9e e e + e e (e + a) n e 5e e + e + e ln ln( + ) (ln ) ln( + + ) ln + 5 ( + ln ) ln ( + ) ln ln( + ) a, a > 7

8 5 Całki nieoznaczone. Całkowanie przez podstawienie i całkowanie przez części. 5. ( ) 5 + ln 5 + C Podstawowe prawa całkowania i wzory na całki funkcji elementarnych: Całka z iloczynu funkcji przez stałą: a f() a f(), gdzie a R Całka z sumy (różnicy) funkcji: [f() ± g()] f() ± g() a n a n + n+ + C, gdzie a R n ln + C 5. ( ) ln + C ( 5 + ) 5. ( + )( + + ) ( + + ) C 5.5 t + ( + ) 5 t 5 t6 + C ( + ) 6 + C t + t ln t + C ln + + C 8

9 5.7 ( + ) 6 t + t 6 t 6 0 t 5 + C 0( + ) 5 + C 5.8 a, a 0, a + t a + t ln t + C ln a + + C ( ) C ( ) C 5. ( + ) ( ) C C C C 5. t + + t 9 t + C 9 ( + ) + C 9

10 5.5 a t a + b + b b b b t b t + C b (a + b) + C, gdzie b t t 8 t + C 8 ( ) + C, gdzie 5.7 t + + t t + C ( + ) + C t t 5 t + C C 5.9 ( + ) + ( + ) ( + ) + 5 ( + ) 5 ( + ) + C 5 ( + )( + ) ( + ) + C 5 ( + 5)( + ) 5 ( )( + ) + C (a + b) n a(n + ) (a + b)n+ + C, dla n C f () f() f() + C 0

11 t + t 5 5 t 5 + C 5 ( + ) 5 + C 5. e t e t e t + C e + C 5. t e e t et + C e + C 5. cos t 6 cos t 6 tan t + C 6 tan + C cos tan + C 5.5 t + sin( + ) sin t cos t + C cos( + ) + C 5.6 sin 5 t sin cos cos t 5 6 t6 + C 6 sin6 + C 5.7 cos + sin t + sin cos t t + C + sin + C 5.8 sin a + b cos, b 0

12 t a + b cos b sin sin b b t b ln t + C ln a + b cos + C b 5.9 cos e sin e sin + C f () e f() e f() + C 5.50 cos t cos t tan t + C tan + C 5.5 tan cos t tan cos t t + C tan + C 5.5 cos ( + ) t + cos t tan t + C tan( + ) + C 5.5 (ln ) t ln t t + C (ln ) + C 5.5 e + e e e + t e e t + arctan t + C arctan(e ) + C 5.55 e e + t e + e e t ln t + C ln e + + C

13 t + ln( + ) u ln t ln t du t dv v t ( t ln t ) t ln t t + C ( + ) ln( + ) ( + ) + C ( + ) ln( + ) + C Uwaga: liczbę włączono do stałej całkowania Wzór całkowania przez części: udv uv vdu ln t + ln t t + C ( + ln ) + C 5.58 t 6 6 t 6t ln 6 + C 6 ln 6 + C 5.59 t ln ln t arcsin t + C arcsin(ln ) + C 5.60 ln arctan t arctan + u ln t ln t + du t t ln t t + C arctan [ln(arctan ) ] + C dv v t t ln t ln (ln ) + C 5.6 e e ( + ( + ) t + + ) e e te t

14 u t du dv e t v e t e ( te t ) e t + C ( ) ( + )e + e + + C e e + C 5.6 t 6 t arcsin t + C arcsin( ) + C 5.6 ( + ) arctan t arctan + t ln t + C ln arctan + C 5.6 (π arcsin ) t arcsin (π t) πt t + C π arcsin arcsin + C t t + arctan t + C arctan( ) + C 5.66 ( + ) ( ) C 5.67 e u dv e du v e e e u dv e du v e e e + e e e + e + C e ( + ) + C 5.68 e u dv e du v e e e u dv e du v e e e + 6 e u dv e du v e e e + 6e 6 e e e + 6e 6e + C e ( + 6 6) + C

15 e u dv e du v e e e u du e e + e u dv e du v e e e + e e u dv e du v e e e + e e + e dv e v e e e + e e + e + C ( e + + ) + C e a a ea + C, gdzie a u cos du dv cos v sin sin sin sin + cos + C 5.7 u cos dv cos du v sin sin sin u dv sin du v cos sin + cos cos sin + cos sin + C 5.7 u sin 5 dv sin 5 du v 5 cos 5 5 cos 5 + cos 5 5 u dv cos 5 du v 5 sin 5 5 cos sin 5 sin cos 5 + sin 5 + cos 5 + C 5 5 cos a sin a + C, gdzie a 0 a sin a cos a + C, gdzie a 0 a 5

16 5.7 e u e cos dv cos du e v sin e sin e sin + C u e dv sin du e v cos e sin + e cos e cos + C e cos e sin + e cos e cos + C e cos e (sin + cos ) + C e cos e (sin + cos ) + C 5.7 e u e sin dv sin du e v cos e cos e cos + C u e dv cos du e v sin e cos 9 e sin e sin + C 9 e sin e cos 9 e sin e sin + C 9 e sin 9 e cos 9 e sin + C e sin e cos e sin + C 5.75 e cos( ) u e dv cos( ) du e v sin( ) e sin( ) e sin( ) + C u e dv sin( ) du e v cos( ) e sin( ) + 9 e cos( ) 9 e cos( ) + C e cos( ) e sin( ) + 9 e cos( ) 9 e cos( ) + C e cos( ) e sin( ) + 9 e cos( ) + C e cos( ) 6 e sin( ) + 9 e cos( ) + C 5.76 u ln dv ln du v ln + C ln 9 + C 5.77 (ln ) u ln dv du ln v ln ln + C 6

17 u ln dv ln u v ln ln u ln dv + 6 ln + C du u ln ln + 6 ln 6 + C ln ln + 6 ln 6 + C 5.78 (ln ) u ln dv 5 5 ln du v ln + u ln dv 5 du v ln ln ln 5 + C 5 + C ln ln 8 + C 5.79 (ln ) u ln dv du ln v ln ln + C u ln dv ln du v ln ln + 8 ln + C u ln dv du v ln ln ln + C 9 ln ln ln 7 + C 5.80 ln u ln du dv v ln + + C ln 9 + C 5.8 (ln ) t (ln t ) 8 ln u ln t dv t du ln t t v t 8t ln u ln t dv t 6 ln t du t v t 8t ln t 6t ln t C 8t ln t 6t ln t + 6t + C 8 ln ( ) 6 ln( ) C ln 8 ln C 5.8 (ln ) u ln dv du ln v ln ln + C u ln dv du v ln 8 ln + + C 8 ln 8 ln + + C 5.8 7

18 n ln, n u ln dv n du v n+ n+ n + n+ ln n n + ( n + n+ ln (n + ) n+ + C n+ ln ) + C n + n + 6 Całki funkcji wymiernych. 6.6 ( + ) t + t 8 t + C 8 ( + ) + C 6.7 ( ) t t 9 t + C 9( ) + C rozkład na ułamki proste: 6 ( )( + ) A + B + A( + ) + B( ) (A + B) + (A B) { A + B A B { A B... + ln + ln + + C ln + + C f () ln f() + C f() 8

19 rozkład na ułamki proste: ( 5)( + ) A 5 + B + + A( + ) + B( 5) + (A + B) + (A 5B) { A + B A 5B { A B ln 5 ln + + C rozkład na ułamki proste: ( + )( + ) A + + B A( + ) + B( + ) + 6 (A + B) + (A + B) { A + B A + B 6 { A 0 B ln + ln + + C + a + b ln a + b + C, gdzie a 0 a ( )( )... 9

20 rozkład na ułamki proste: 6 ( )( ) A + B 6 A( ) + B( ) 6 (A + B) + ( A B) { A + B A B 6 { A 8 B ln + ln + C 6. 5 ( ) 5 + ln C rozkład na ułamki proste: 5 + ( + 5)( ) A B 5 + A( ) + B( + 5) 5 + (A + B) + ( A + 5B) { A + B 5 A + 5B { A B ( + 5)( )... ln ln + C ( + 6)( )... rozkład na ułamki proste: ( + 6)( ) A B A( ) + B( + 6) 6 0

21 5 6 (A + B) + ( A + 6B) 6 { A + B 5 6 A + 6B 6 { A 7 B ln + 6 ln + C rozkład na ułamki proste: ( + ) ( + + )( + ) A A( + ) + B( + + ) (A + B) + [A( ) + B( + )] { A + B 0 A( ) + B( + ) A B ( + + )( + )... B + ln ln + + C ln C rozkład na ułamki proste: ( )( )... ( )( ) A + B A( ) + B( ) (A + B) + ( A B) { A + B 0 A B { A 5 B 5

22 ln + ln + C (0 + ) 0 + ln C ln C ( ) ln + ( ) ( ) + C a a ln a + a + C, dla a > 0 a 6. + rozkład na ułamki proste: ( + 5 )( 5 ) A A( 5 ) + B( + 5 ) ( (A + B) + A 5 { A + B 0 ( ) 5 B 5 B + 5 ) ( + 5 )( 5 )... A 5 B + 5 A 5 B ln 5 ln C 6. ( )...

23 rozkład na ułamki proste: ( ) A + B A( ) + B ( A + B) + A { A + B 0 A { A B... + ln ln + C 6. + rozkład na ułamki proste: + ( + )( ) A + + B + A( ) + B( + ) + (A + B) + ( A + B) { A + B A + B { A B ( + )( ) ln ln + C ( ) ln C 5 ( ) ( + ) + 8 ln + 8 ln ( ) ( ) + C ln + ( ) + C ( ) 6.6

24 ( 5) ( 5) ( 5) ln C ( + ) 5 ( + ) ( + ) ln C ( ) + ( ) arctan ( 5) 5 ( + ) ( ) + C + a a arctan + C, gdzie a 0 a ( + ) + ( ( ) + arctan + C ) ( ) + ( ) arctan + C ( ) + arctan t + C arctan( ) + C t t ( + ) + + ln + + ln + + ( ) arctan + C ( ) ( ) 6.5

25 ( + + ) + ln ln + + arctan( ) + C ( ) + ( ) 6.5 ( ) + ln ln ( ) arctan + C ( ) ( ) 8 ln ln ( ) arctan + C ( ) ( ) ln ( ) ln arctan + C ( ) ( + + 8) ln ( ) + ln arctan + C ( + ) ( ) + 6 ln + 6 ln 6 ln + ln + C ( + ) ln + + ( ) arctan + C

26 6 ( ) + + ( + ln + + arctan ) + C ln + + ( + ) ( ) 5 ln ( ) 5 ln arctan + C ( ) ( ) + 7 ln ln arctan( ) + C ( ) ( + ) ln + + C ) arctan ( 5 + C ( 5 ) ( ) ( ) ln ( + ) + 5 ln ( ) + arctan + C ( + )( )( 7)... 6

27 rozkład na ułamki proste: ( + )( )( 7) A + + B + C A( )( 7) + B( + )( 7) + C( + )( ) (A + B + C) + ( A 5B C) + (8A B 8C) A + B + C 7 A 5B C 7 8A B 8C 76 A B C ln + + ln + 8 ln 7 + C ( )... rozkład na ułamki proste: + ( ) A + B ( ) + C ( ) + D ( ) + A( ) + B( ) + C( ) + D + A + ( 6A + B) + (A B + C) + ( 8A + B C + D) A 6A + B A B + C 0 8A + B C + D A B C D ( ) + ( ) + ln + ( ) + 7 ( ) + C 7 ( ) ( + )( )... 7

28 rozkład na ułamki proste: 5 + ( + )( ) A + B + + C 5 + (A + B)( ) + C( + ) 5 + (A + C) + ( A + B) + ( B + C) A + C A + B 5 B + C A 7 7 B 7 C ln ln 7 7 ln + ( ) 7 arctan + ln + C ) ) + ( + ) ( + ) ( + ) }{{} t + + ( + ) }{{}... t t + C + + C ( + ) + ( + ) + u dv ( arctan +) du v arctan + arctan + ( + ) + C arctan + ( +) ( + ) ( + ) ( + ) + C ( + ) + arctan + C ( ) ( ) rozkład na ułamki proste: 5 A + + B 8

29 5 A( ) + B( + ) 5 (A + B) + ( A + B) { A + B 5 A + B { A B ln + + ln + C ( 8 + 6) ( 8 + 6) ( ) ( ) + ln + C 6.7 ( + )( + ) arctan + C ( ) ( + ) 8 6 ( + ) ( + ) ( ) arctan + C ( + ) ( + ) ( + ) rozkład na ułamki proste: 5 + A + B 5 A( ) + B( ) 9

30 5 (A + B) + ( A B) { A + B A B 5 { A B ln + ln + C ( + )( )( )... rozkład na ułamki proste: ( + )( )( ) A + + B + C A( )( ) + B( + )( ) + C( + )( ) (A + B + C) + ( A + 5 B + C) + ( A B C) A + B + C A + 5B + C 0 A B 6C 8 A 5 B 7 C ln + + ln 5 ln + C ( )( )... rozkład na ułamki proste: 7 6 ( )( ) A + + B + C + + D 7 6 A( )( ) + B( + )( ) + C( )( ) + D( )( + ) A + B + C + D 0 A + B C + D 7 A B C D A B + C D 6 0

31 A B 5 C D ln ln ln ln + C 6.77 ( + )( + )... rozkład na ułamki proste: ( + )( + ) A + B + + C + D + (A + B)( + ) + (C + D)( + ) (A + C) + (B + D) + (A + C) + (B + D) A + C 0 B + D 0 A + C B + D 0 A B 0 C D ln + ln + + C ( + 9)( + 5)... rozkład na ułamki proste: ( + 9)( + 5) A + B C + D (A + B)( + 5) + (C + D)( + 9) A + C 0 A + B C + D 0 5A B + 9C D 0 5B + 9D 00

32 A B C 6 D ( + 9) + 0 ( + 5) + 6 ( ) ( ) + ( ) ( ) ln arctan + ln arctan + C rozkład na ułamki proste: + 6 ( + )( ) A + B ( + )(... ) C + + D + 6 (A + B)( ) + C( + )( ) + D( + )( + ) + 6 (A + C + D) + (B C + D) + ( A + C + D) + ( B C + D) A + C + D B C + D A + C + D 6 B C + D... A B C 5 D ln + + arctan ( ) + 5 ln + ln + C rozkład na ułamki proste: A + B + + C + + D A( + )( + )( + ) + B( + )( + ) + C( + )( + ) + D( + )( + )

33 (A + B + C + D) + (6A + 5B + C + D) + (A + 6B + C + D) + 6A A + B + C + D 0 6A + 5B + C + D 0 A + 6B + C + D 0 6A 6... A B C D ln + ln + + ln + + ln + + C rozkład na ułamki proste: A + B + C + D A( + ) + B( + ) + (C + D) (A + C) + (B + D) + A + B A + C 6 B + D 0 A B A B C D ln + ln + arctan + C 6.8 dla a... a 0 + C

34 dla a 0 rozkład na ułamki proste: a A + B + C a A( a ) + (B + C) (A + B) + C a A A + B 0 C 0 a A A a B a C 0 a... + a a ln + a a ln a + C rozkład na ułamki proste: + + A + B + C + + A( + + ) + (B + C) (A + B) + (A + C) + A A + B 0 A + C 0 A A B C ln + ( + + ) ( + ) + ( ) ln ln + + ( ) + arctan + C

35 rozkład na ułamki proste: + + A + B + + C + D + + (A + B)( + + )(C + D)( + ) (A + C) + (A + B C + D) + (A + B + C D) + (B + D) A + C 0 A + B C + D 0 A + B + C D 0 B + D 0... A B C D ( + ) + + ( + + ) ln + + ( ) + ( + ) ln ln ( ) arctan + arctan ( + ) + C ( + ) + ( ) rozkład na ułamki proste: A 6 + B + + C + D A( + )( + ) + B( )( + ) + (C + D)( ) (A + B + C) + (A B + D) + (A + B C) + (8A 8B D) A + B + C 5 A B + D A + B C 8A 8B D A B C D ln + ln + + ln + + arctan + C 5

36 ( )( + + 9)... rozkład na ułamki proste: ( )( + + 9) A + B + C A( + + 9) + (B + C)( ) (A + B) + (A B + C) + (9A C) A + B 5 A B + C 66 9A C A B C ( ln ) + ( + ) + 5 ln + 6 ln ( ) + 5 arctan + C ( ) ln ( + ) ln ln ( + ) + C ( + ) 6.88 ( ) ( + )... rozkład na ułamki proste: ( ) ( + ) A + B + C + D + E ( ) + F + A ( ) ( + ) + B( ) ( + ) + C( ) ( + )+ +D ( )( + ) + E ( + ) + F ( ) (A + D + F ) 5 + ( A + B + E F ) + ( A B + C D + E + F ) + +(A B C) + (B C) + C 6

37 A + D + F 0 A + B + E F 0 A B + C D + E + F 0 A B C 0 B C 0 C... A B C D 7 E F ( ) + + ln 7 ln ( ) ln + + C 6.89 ( + + ) 6 9 ( [( + ) + ( ) ] ) t + [ ( ) ] korzystając z wyliczonej całki w zadaniu (6.69) :... 8 ( arctan t + t arctan ( + ) + (t + ) + C ) + ( + + ) + C [ ( ) + + ] (t + )... arctan t + t (t + ) + C Wzór rekurencyjny: I n n n ( + + ) n n I n, gdzie I n ( + ) n ( )... 7

38 [( ) ] ( ) + ( + ) ( ) ln ( ) + ln 5 ( ) 5( ) ( ) 5 ln + ( ) + ( ) + C 6.9 ( + + 8) (t + )... [( + ) + ] ( ) t + [ ( ) ] + + korzystając z wzoru rekurencyjnego pod zadaniem (6.89):... [ t (t + ) + [ t (t + ) + ( [ 6 + ( + + 8) + 8 ] (t + ) t t + + t (t + ) + t 8(t + ) + ] 8 arctan t )] + + C ( ) + 56 arctan + C ( ) ( + )... rozkład na ułamki proste: ( ) ( + ) A + B ( ) + C + + D ( + ) A( )( + ) + B( + ) + C( ) ( + ) + D( ) (A + C) + (A + B C + D) + ( A + B C D) + ( A + B + C + D) A + C A + B C + D A + B C D 7 A + B + C + D A B 5 C D ( ) ( + ) 8

39 ln + 5 ( ) + ln + + ( + ) + C rozkład na ułamki proste: ( + 8)( + + 8)... ( + 8)( + + 8) A + B C + D (A + B)( + + 8) + (C + D)( + 8) (A + C) + (A + B C + D) + (8A + B + 8C D) + (8B + 8D) A + C 0 A + B C + D 0 8A + B + 8C D 0 8B + 8D A 6 B 6 C 6 D ( + 8) + 8 ( ) + + ( + + 8) + ( + ) + 8 ln ( 6 arctan ) + 8 ln ( + 6 arctan ) + C ( + ) ( ) ( ) 5 ( + + ) + 5 ( ) ( ) + 5 ln + ( ) + ( ) 5 ln + ( ) + 5 ln + ( ) ( ) + C ( ) ( + 5)( + + 5)... 9

40 rozkład na ułamki proste: ( + 5)( + + 5) A + B C + D (A + B)( + + 5) + (C + D)( + 5) (A + C) + (A + B C + D) + (5A + B + 5C D) + (5B + 5D) A + C 0 A + B C + D 0 5A + B + 5C D 0 5B + 5D A 0 B 0 C 0 D ( + 5) ( ) + + ( + + 5) + 0 ( + ) + 0 ln ( 0 arctan ( ) ( + ) rozkład na ułamki proste: ( ) ( + ) ) + 0 ln ( + 0 arctan A + B ( ) + C ( ) + D ( ) + E A( ) ( + ) + B( ) ( + ) + C( )( + )+ +D( + ) + E( ) (A + E) + (B E) + ( 6A + B + C + 6E) + +(8A 5B + C + D E) + ( A + B C + D + E) A + E 9 B E 6A + B + C + 6E 8A 5B + C + D E 0 A + B C + D + E... A 7 B 5 C D E ) + C 0

41 ( ) + ( ) + ( ) + 7 ln 5 ( ) + ln + + C ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ln + arctan ( + ) + C t + ( + ) t t + C ( + ) + C ( ) ( + )... rozkład na ułamki proste: + ( ) ( + ) A + B ( ) + C ( ) + D + E + + A( ) ( + ) + B( )( + ) + C( + ) + (D + E)( ) + (A + D) + ( A + B D + E) + (A B + C + D E) + +( A + B D + E) + (A B + C E) A + D 0 A + B D + E 0 A B + C + D E A + B D + E A B + C E A B 5 C D E ( ) + ( ) + + ln 5 ( ) ( ) + ( + ) + ln 5 ( ) ( ) + ln + arctan + C

42 7 Całki funkcji niewymiernych. 7. Całki funkcji zawierających pierwiastki z wyrażenia liniowego. 7.6 t + + t t + C ( + ) + C t + t + t t t t t + C + + C 7.8 t t t t t t t + C ( ) + C 7.9 t 5 + t ( + ) 5t 5 t 5 t t 5 t + C 5 5 ( + ) + C 7.0 t t t t + (t + )t t (t 6 + t ) 7 t7 + t + C 7 t (t + 7) + C 7 ( )( + 7) + C 7 ( )( + ) + C 7 ( ) + C 7. t t t t + t t t t + (t 6 + t )

43 t7 + t + C ( ) 7 + ( ) + C 7. t + t + + t t t t 5 t5 7 t + C 5 ( + ) 5 7 ( + ) + C 7. t 5 t 5 5 t 5 5t t 5 t t (t t ) 9 t ( 5 t ) 5 t (t t ) 5 5 t5 75 t + C 5 ( 5) 5 75 ( 5) + C 7. (7.0) u dv ( + ) du v ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) 7 + C t + t + t t (t ) (t ) t (t 7 t + t) 8 t8 5 t5 + t + C 8 ( + ) 8 5 ( + ) 5 + ( + ) + C 7.7

44 t + t + t t ( t ) + t (t t + ) + 7 t 5 t5 8 t t + C + + C 5 ( + ) 5 8 ( + ) u dv + + du v 5 ( + ) 5 5 ( + ) 5 5 ( + ) 5 5 ( + ) 5 5 ( + ) 9 + C a t + a t + a t a t t a ( a) t ln a a + t + C a t a + a ln + C + a a ln + C a a + + a a + a + a a a ln a + a + C, gdzie a > 0 a 7.0 a t a t a t + a t t + a ( ) t arctan + C a arctan + C a a a a 7. t t t t t + t t t

45 t ln + t t + C + ln + C + ln + C + 7. t + + t + t t t t... korzystając z całki obliczonej w przykładzie (7.) ostatecznie otrzymujemy: ln + C t t ( + t) t t t t + t t(t ) + t t t (t ) + t t t t t t ln t + C ln + C 7. ( + ) t t t + t t ( t + )t t ( ) t ln + t + C ln + C t t t t t u t dv t + t + du v (t + ) t(t + ) (t + ) t(t + ) 8 5 (t + ) 5 + C 8 ( + ) 5 ( + ) 5 + C 5

46 (t ) + 6 t 6 t 6 6t 5 6t 7 t 6 + t 5 6 t (t )(t + ) + t + 6 t + t + t 6t + 6ln t + + C ln C t 6 t 6 6t 5 6t 5 t + t 6t t(t + ) t t + t + t + (t + ) + t + t + t + t t + ln t + + C 6 + ln C 7.8 ( 5 7) ] [( 5) ( 7) + C t + 9 t + 9 t 9 t t 9 t ln + t t + C ln t t + + C + 9 ln + C u dv 7 7 du v 8 (7 ) 8 (7 ) + (7 ) u dv (7 ) du v (7 ) 7 8 (7 ) 9 56 (7 ) (7 )

47 8 (7 ) 9 56 (7 ) (7 ) + C t 6 + t + t + t 6 + 6t 5 6t 5 t + t 6 t (t t + 6 t + )(t + ) t + 6 (t t + ) 6 t + t t + 6t 6 ln t + + C ln C 7. t ( ) t t t t ( ) t t t t + C + C 7. t + t + + t + t + t + + t (t +) t + t + t + t + t t (t + ) t + t + t (t... + )(t )(t + ) rozkład na ułamki proste: t (t + )(t )(t + ) At + B t + + C t + D t + t (At + B)(t ) + C(t + t + t + ) + D(t t + t ) t (A + C + D)t + (B + C D)t + ( A + C + D)t + ( B + C D) A + C + D 0 B + C D A + C + D 0 B + C D 0 7

48 A 0 B C D t + + t arctan t + ln t ln t + + C t + ( ) arctan + ln + + ln C t 6 + t 6 + (t 6 ) 6t 5 t 6 6t 5 t t t (t 6 ) 6 t 6 t (t 5 + t + t + t + t + ) t9 t8 6 7 t7 t t5 t + C ( + ) ( + ) 6 7 ( + ) 7 6 ( + ) 6 5 ( + ) 5 6 ( + ) + C t 6 (t t 6 t + ) 6t 5 t t 9 t 8 + t 5 6 t... pisemne dzielenie wielomianów: (t 9 t 8 + t 5 ) : (t ) t 7 t 6 + t 5 t + t t + t t 9 + t 7 t 8 + t 7 + t 5 t 8 t 6 t 7 t 6 + t 5 t 7 + t 5 t 6 + t 5 t 6 t t 5 t t 5 + t t + t t t t t t + t t + t t t 8

49 (... 6 t 7 t 6 + t 5 t + t t + t + t t ) t8 6 7 t7 + t t5 + t t + 6t 6t + 6 ln t t ln ln 6 + C 7. Całki funkcji zawierających pierwiastek kwadratowy z trójmianu kwadratowego 7.5 (8 + ) ( ) C f () f() f() + C 7.5 (0 + 5) ( ) C 7.5 ( ) arcsin( ) + C ( ) + ( + ) arcsin + C 7.55 t 9 t arcsin(t) + C arcsin() + C 7.56 (r ) ( ) r r ( r) arcsin + C r

50 ( + ) ( ) + () + arcsin() + C 7.58 ( ) + ( ) ( + ) arcsin ( + ) + C 7.59 t arcsin() + C t ( arcsin(t) t t ) + C a a arcsin a + a + C (6 + ) (6 + ) ( 5 ) ( ) arcsin ( 5 ) + C (5 + ) ( ) 5 + arcsin ( + ) + C (8 + )

51 8 + + ( ) arcsin ( ) + C ( ) 9 arcsin ( ) + ( ) 6 + C 7.6 ( ) 5 5 ( + ) 5 arcsin ( + ) + C ln C + p + q ln + p + + p + q + C t ln C ln t + t + t + t + t + C m ln + + m + C 7.68 ( a)( a) a + a ln a + ( a)( a) + C 7.69 ( + ) + ( + ) ln C

52 ( + ) ( 5 + 9) ln C a a ( a) a + a a a + a ln a + a + C ( + 5) ln C ( + 5) ln C ( + 5 ) ln C ( + 8 )

53 ln C ( + ) ( + ) + ln C + k + k + k ln + + k + C, gdzie + k > ( + ) ln C 7.78 ( + ) arcsin ( + ) + ( + ) + C 7.79 ln + + C ( + 5 ) + 9 ( + 5 ) ln C ( ) ( ) + 8 ln C 5

54 arcsin() + arcsin() arcsin() + arcsin() + C + arcsin() + C ( + + ) + + ( + ) ( + ) ln C ( ) ln C 7.8 (t + ) ( ) ( ) t t t + t t (t + ) (t + ) (t + ) t + arctan + C t (t arctan(t) arctan(t) + ) t + + C 7.85 a + a + +, a > metoda współczynników nieoznaczonych I a + a a + + (P + Q) a K a + + a + a + + P a (P + Q)(a + ) K a + + a + + 5

55 a + p(a + + ) + (P + Q)(a + ) + K P a a P + Qa 0 P + Q + K P Q a K a I ( a ) a a a + + ( a ) a a a + a + a ( a ) a a a ( + a ) + a a ( a ) a a a ln + a + + a + a + C ( + ) ( + ) ln ln C ( + ) + + C 7.87 a + a + a, a 0 ( + a ) + a a + a + a + a a + a + a ln + + a a + a a ( + a ) + a + a + a + a + a ln + + a a + a a ln + + a + C ( a) + a + C

56 metoda współczynników nieoznaczonych (a + b + c) K (a + b) (a + b + c)( + ) K (a + b)( + + ) + (a + b + c)( + ) + K + a + (5a + b) + (a + b + c) + (b + c + K) a 5a + b 0 a + b + c b + c + K a b 5 6 c 6 K ( ) ( ) ln C metoda współczynników nieoznaczonych (a + b + c) + + K (a + b) + + (a + b + c)( + ) + + K + + (a + b)( + ) + (a + b + c)( + ) + K + a + (5a + b) + ( a + b + c) + ( b + c + K) a 5a + b a + b + c b + c + K a b 6 c 7 6 K ( )

57 ( ) + ln C metoda współczynników nieoznaczonych + (a + b + c) + + K + + (a + b) + + (a + b + c)( ) K (a + b)( + ) + (a + b + c)( ) + K a + ( 0a + b) + (6a 6b + c) + (b c + K) a 0a + b 0 6a 6b + c 0 b c + K 0 a b 5 c 8 K + ( ) ( ) + + ln C metoda współczynników nieoznaczonych (a + b + c) K (a + b) (a + b + c)( + ) K (a + b)( + + ) + (a + b + c)( + ) + K a 5 a + b 0 a + b + c 0 b + c + K a b 5 c 8 K

58 ( 5 8 ) ( 5 8 ) ln C 7.9 ( ) + metoda współczynników nieoznaczonych + (a + b + c + d) + K + (a + b + c) + (a + b + c + d)( ) K + + (a + b + c)( ) + (a + b + c + d)( ) + K a a b 0b c 0 6c d 0 d + K 0 a b 6 c 5 6 d 5 K 0 + ( d) + 0 ( ) ( ) ( 6 5 ( ) 6 5) + 0 arcsin + C 7.9 ( ) metoda współczynników nieoznaczonych (a + b + c) K (a + b) a + b + c)( ) K

59 (a + b)(6 + ) + (a + b + c)( ) + K a 5 a b a + b c 6 6b + c + K 0 a b c 7 8 K ( ) ( 7 8 ) ( 5 ) ( ) ( 7 8 ) ( ) 6 arcsin + C metoda współczynników nieoznaczonych 5 + (a + b + c + d) K (a + b + c) (a + b + c + d) 5 K (a + b + c)(5 + ) + 5(a + b + c + d) + K 0a 5b 0 a + 0c 0 8b + 5d 0 c + K 0 a 0 b 0 c 50 d 0 K ( 0 50 ) ( 0 50 )

60 ( 0 50 ) ln C metoda współczynników nieoznaczonych (a + b + c) K (a + b) (a + b + c)( + ) K (a + b)( + + ) + (a + b + c)( + ) + K a 5 a + b 5 a + b + c b + c + K a b 5 c 6 K ( ) ( ) ln C metoda współczynników nieoznaczonych (a + b) K a (a + b)( 5 ) K a( 5 + 8) + (a + b)( 5 ) + K 6a b 8a 5 b + K 0 a 5 6 b 7 K

61 ( ) ( ) ( ) ln C metoda współczynników nieoznaczonych (a + b + c) K (a + b) (a + b + c)( ) K (a + b)(5 + 6 ) + (a + b + c)( ) + K a 5a b 0a + 9b c 6 5b + c + K a b 9 c 7 6 K ( ) ( ) ( ) + ( ) ( 9 7 ( ) 6 ) arcsin + C 7.98 ( ) metoda współczynników nieoznaczonych (a + b + c) K 8 + 6

62 (a + b) (a + b + c)( ) K (a + b)(8 + ) + (a + b + c)( ) + K a 5 a b 6a + b c 8 8b + c + K 0 a b c 67 K ( ) ( ) ( ) ( 67 ) arcsin ( ) + C 7.99 ( 5) + ( 5)( + ) metoda współczynników nieoznaczonych + 0 (a + b + c) + + K (a + b) + + (a + b + c)( ) + + K (a + b)( + ) + (a + b + c)( ) + K a 5 a b a + 9 b c b + c + K 0 a b c 6 K ( ) ( + 6 ) + 7 ( 7 ) ( ) 6

63 ( + 6 ) + 7 arcsin ( 7 ) + C metoda współczynników nieoznaczonych + (a + b + c) + + K + + (a + b) + + (a + b + c) K (a + b)( + ) + (a + b + c) + K 6a b 0 6a + c 0 b + K 0 a 6 b 0 c K 0 + ( 6 ) + + C metoda współczynników nieoznaczonych 5 + (a + b + c + + e) + + K (a + b + c + d) + + (a + b + c + + e) K (a + b + c + d)( + ) + (a + b + c + + e) + K 0a 8b 0 a + 6c 0 9b + d 0 d + K 0 6

64 a 0 b 0 c 5 d 0 e 5 K ( ) + + C metoda współczynników nieoznaczonych + + (a + b + c + d) K (a + b + c) (a + b + c + d)( + ) K (a + b + c)( + + ) + (a + b + c + d)( + ) + K a 7a + b 0 9a + 5b + c 0 6b + c + d 0 c + d + K 0 a b 7 c d 5 K 7 ( ) ( ) ln C 7.0 t 0 t t (0t ) 0 0t 5 t 0 t t t 0 t t t 0 0t + C 5 + C 0t 6

65 0 t 0 t 0 t + t 0 ( + t ) t + t 0 0t ( + t ) 0 0t + t 0 5 t + C + C t 0t 0t ( + t ) 7.0 ( + )t ( + ) t ( + )t t + t t + t ( t ) + t ( + ) + t t t + t t ( t ) + t t t t + C + + C 7.05 ( + ) ( + )t ( + ) t ( + )t t + t + t t ( + t ) t t + t t t 8t ( + t ) + + t t + t t t + t t t ( t ) 8t ( + t ) 65

66 t + C + + C t + t t + t t t + t + (t + ) t + t + t + t (t + ) (t + ) (t + ) t + t (t + ) + t t + t + + t + t t + t + arctan t + C arctan ( + + ) + C t + t + t + t + t (t + t ) (t + ) 7.07 t + arctan t + C arctan ( + ) + C t t t + t t t + t (t ) t + t + t t(t ) (t + ) (t ) t t (t ) t t + t t t t t t + t t t (t t ) (t )

67 ( ) t t + t t t + t t t t + t + t t t t t + t t t t t + t ( t ) + ( ) t arctan + ( ) + arctan + C ( t ) + C t t t + t t t t t + + t + t + t + t t + t t t + (t + ) t ( + ) + t t + (t t ) (t + ) + t t + 5 t + + t t + t + + (t t ) t + t + t t + 5 t + (t t ) (t t ) (t + ) t t + 5 ( ) (t ) + t ( ) t arctan + C + ( ) + arctan + C 67

68 t + t t + + t t t t (t ) t t ( ) + t (t t + ) (t ) (t t + ) t + t t t + t t + t t (t t + ) t t t + (t t + ) (t ) t t + ( t ) + ( ) t ( ) t arctan + C + ( ) + arctan + + C t + + t t + t + + t + t + t + t t t ( t ) t t t (t t + ) ( t ) + + t t t t t + t ln t + C ln t t C t t t + (t t + ) ( t ) 7. 68

69 t t t + t t t t + t + t t t t t + t t t t t t + t t t arctan t + C arctan ( + ) + C t + 7. a (a )t a (a ) t a + (a )t a + at t + t at a (a ) a ( + t ) at a + t at a a + t a a + t at ( + t ) a a t + C a a + C a + t at at ( + t ) 7. ( ) t 6 + t t t t t 6 t (t 6) t t t 6 (t 6t + ) (t 6) t t 6 t t + t t t t t 6t + t 6 t 6 t t + t 6 t 6t + t 6t + (t 6) 69

70 t t + (t ) ( ) t + 7 ( ) t arctan + C ( ) + arctan C ( + )t ( + ) t ( + )t t + t t + t t ( + t ) t + t 8t ( + t ) t + t + t ( + t) ( t ) + ( t) ( t) ( + t) ( ) ( + t) + ( t) ( t + t t t + C + C 7.6 ( ) 0 + t (9 t ) + t (9 t ) A + C 0 A + B C + D 0 t 0 t 0 t 0 + t 0 ( + t ) 0 + t 0t ( + t ) 9 t + t 0 0t + t A t + 9A + 6B 9C 6D 0 7A + 9B + 7C + 9D ( + t ) ( t ) + t t B ( t) + ) + C 8t ( + t ) ( + t ) (9 t ) + t 0t C + t + D ( + t) 0t ( + t ) 70

71 A 7 B 5 9 C 7 D t 5 9 ( t) t ln + t t 5 9 t t + C 7 ln + t t 0 9 t 9 t ln C ( + t) t + + t + t + t + t t + t t t ( t ) t + t t ( ( t ) t ) + t t 8t t + t ( + t ) ( t ) ( t ) ( + t ) ( t ) + t t t t t ( t ) t ( ) t t + t ( ) t ln t t + C ( (t )(t ) + ) 8 t ln t + C ( + ) + ln + + C 7.8 7

72 + + t t + t + + t + t + t + t t t ( t ) t t + + t ( t ( t ) ) + t(t ) ( t ) (t ) t t t + t t + ( t ) t t + ( t ) + + t t t + t t + + t t + t ( t ) (t ) ( t ) (t ) ( t ) 8t + 7 t + + (t ) ( ) t + + t (t ) + (t ) ( t + t + ln t + t ) (t ) + C ( ) ln C t 8t + 7 (t ) A A + B 8 A B + C 7 A B C t 8t + 7 (t ) A t + t + B (t ) + (t ) + C (t ) ) (t ) ) 7.9 ( ) ( ) 9 6 7

73 9 6 t t + 6t t + 6t 6 t + 6t t + 6 6t (t + 6) 6t 6t t + 6 6(t + 6) + t (t + 6) 6t 6 (t + 6) 6t t 6 t t t + 6 t t + 8 t + 6 (t + 6) (t + 6t + 6) t + 6 t 8 6t 6 (t + 6) (t + 6) (t + 6t + 6) (t + 6) (t + ) (t + + ) (t + 6) (t + ) (t + + ) A t D t E (t + + ) + F (t + + ) B (t + ) + C (t + ) (t + 6) A(t + ) (t + + ) + B(t + )(t + + ) + C(t + + ) +D(t + ) (t + + ) + E(t + ) (t + + ) + F (t + ) A 7 B 6 + C 8 D 7 E 6 F 8 7 t + + ( 6 + ) (t + ) + ( 8) (t + ) 7 t ( 6 ) (t + + ) + ( 8) (t + + ) (6 ) t + + (9 6 ) (t + ) + (6 + ) t (9 + 6 ) (t + + ) + 7 t + ln t C ( ( ) + 6 ) + 7 ln + + C 7.0 7

74 + t + + t + t + + t + t + t + t t t + ( t ) t + + t + t ( t ) + t(t + ) (t + ) t + 8t + (t + ) + t + t t + + t + t + t ( t ) (t + ) t t + t + t + 8t + (t + ) t (t + ) ( ) t + + (t + ) ( t ln t + ) + C t ln + + C

75 t t + 6t t + 6t 6 + t + 6t t 6t + 6 ( t ) 6t + 6 6t + 6 t 6( t ) + t(6t + 6) ( t ) 6t + t + 8 ( t ) t + 6 t t t + 6t + 9 t ( t ) 96(t + ) t t + 6t + 9 6t + t + 8 ( t ) ( t ) 68 ( + t) ( 6t ( t 6t ) t ) 68 (t + ) 6t 6t + 8 6(t + ) + (t + ) + (t + ) + 8 ( ) t + t + 68 (t + ) + (t + ) + 8 ( + t) 6 t + ( 68 t + t t t + (t + ) 8 ) (t + ) 6 ln t + + C ln C 7. ( ) + 75

76 + t + t t + t t t t (t ) t t t t(t ) (t ) (t ) t 8t + (t ) t t + 8 t t t + 7 t + t t t + t t + t (t ) (t t + 7) t t t + t 8t + (t ) (t ) (t t + 7) (t )(t t + 7) (t ) 8 (t t + 7) 8(t ) (t t + 7) (t ) (t t + 7) (t t + 7) + 8 (t t + 7) + C 7 ( 8 + ) + ( ) + C ( ) + C 8 Całki funkcji przestępnych. 8. Całki funkcji trygonometrycznych cos 5 cos 7 cos 7 cos 5 [cos(7 + 5) + cos(7 5)] (cos + cos ) sin + sin + C 8. sin cos [sin( + ) + sin( )] [sin 5 + sin ] 76

77 0 cos 5 cos + C 8. cos cos [cos( + ) + cos( )] [cos 5 + cos( )] [cos 5 + cos ] 0 sin 5 + sin + C 8. sin cos [sin( + ) + sin( )] [sin + sin( )] [sin sin ] 8 cos + cos + C 8. cos sin sin cos [sin( + ) + sin( )] [sin 6 + sin ] cos 6 cos + C 8.5 sin sin 5 [cos( 5) cos( + 5)] [cos( ) cos 7] [cos cos 7] 6 sin sin 7 + C 8.6 cos cos [cos( + ) + cos( )] [cos + cos( )] [cos + cos ] 8 sin + sin + C 8.7 sin sin sin sin + C 8 [cos( ) cos( + )] [cos cos ] 8.8 sin 5 sin 6 sin sin 7 + C [cos(5 ) cos(5 + )] [cos cos 7] 77

78 8.9 sin ( cos t cos ) sin sin (t ) t t + C cos cos + C 8.0 sin sin cos + sin sin cos 8 sin cos C Wzór redukcyjny sin n n sinn cos + n n sin n 8. cos sin ( π + ) u π + du sin udu sin u cos u 8 sin u cos u + 8 u + C sin ( π + ) cos(π + ) 8 sin(π + ) cos(π + ) + 8 (π + ) + C sin cos + 8 sin cos C 8. cos 5 ( sin ) t sin cos cos ( t ) (t t + ) 5 t5 t + t + C 5 sin5 sin + sin + C 8. sin 5 ( cos ) t cos sin sin ( t ) (t t + ) 5 t5 + t t + C 5 cos5 + cos cos + C 8. tan 5 t tan t + t 5 t t + (t + ) t(t + ) + t t + 78

79 t t + (t + ) t + t + t + ln t + + C tan + tan + ln tan + + C tan + tan ln cos + C 8.5 cot t cot t + (t ) t (t t + )(t + ) + t + t + t + t arctan(t) + C cot + cot arctan(cot ) + C cot + cot arctan(tan( π )) + C cot + cot + + C 8.6 ctg 6 t cot t + (t t + ) + t 6 t t + (t + ) t (t + ) + (t + ) t + t + 5 t5 + t t + arctan(t) + C 5 cot5 + cot cot + arctan(cot ) + C 5 cot5 + cot cot + arctan(tan( π )) + C 5 cot5 + cot cot + C 8.7 sin cos sin ( cos ) cos t cos sin ( t )t (t 6 t ) 7 t7 5 t5 + C 7 cos7 5 cos5 + C 8.8 sin 7 cos 6 sin ( cos ) cos 6 t cos sin ( t ) t 6 (t t 0 + t 8 t 6 ) t t + t9 7 t7 + C cos cos + cos9 7 cos7 + C 79

80 8.9 sin 5 cos sin ( cos ) cos t cos sin ( t ) t (t 6 t + t ) 7 t7 + 5 t5 t + C 7 cos7 + 5 cos5 cos + C 8.50 cos sin cos sin 8 8 sin + C 8.5 sin cos sin cos ( sin ) t sin cos t ( t ) (t t 5 ) t 6 t6 + C sin 6 sin6 + C 8.5 sin cos 5 sin cos ( sin ) t sin cos t ( t ) (t t 6 + t 8 ) 5 t5 7 t7 + 9 t9 + C 5 sin5 7 sin7 + 9 sin9 + C 8.5 cos sin 8 t sin cos t 8 7t 7 + C 7 sin 7 + C 8.5 sin t sin sin tan cos cos t t t + t + t t + ln t + t + C sin + ln sin + sin + C 8.55 cos t sin sin cos t t + C sin + C

81 sin + cos t + cos sin sin t t + C ( + cos ) + C 8.57 sin + cos sin cos ( + cos + cos ) + cos + cos + C 8.58 sin sin cos ( + sin + sin + sin ) + sin ln + sin + C 8.59 sin sin cos sin sin t sin sin cos arcsin(t) + C arcsin(sin ) + C t 8.60 cos ( sin sin ) cos sin t t sin cos t t t t + C sin sin + C + sin + C sin 8.6 sin + cos sin sin cos + cos (sin + cos ) cos + sin + C 8.6 sin sin + cos sin cos sin + ln tan + C całki obliczone pomocniczo: cos sin + cos sin sin + sin sin cos sin u tan du +u u +u sin cos sin du u ln u + C ln tan + C cos sin u cos cos dv du sin v sin 8

82 cos sin sin cos t sin sin cos t t + C sin + C 8.6 cos sin ( + π ) t + π sin t... korzystając z rozwiązania w przykładzie (8.6) otrzymujemy:... cos t sin t + ln tan t + C cos( + π ) sin ( + π ) + ln tan ( + π ) + C sin cos + ln tan( + π ) + C 8.6 sin sin + cos cos sin sin + sin cot cot + C cos cot sin t cot sin t cot + C sin 8.65 sin cos 5 + cos sin cos 5 cos 5 + sin cos + sin 8 cos + 8 ln tan( + π ) + C sin u sin cos 5 dv sin cos 5 du cos v sin cos cos sin t cos cos 5 sin t 5 t + C cos + C cos sin cos + cos cos 8.66 sin 7 u tan du +u u sin +u du +u (u ( u ) +u 7 + ) 6 6u 7 du u + 6u 0 + 5u 8 + 0u 6 + 5u + 6u + 6 u 7 du ( u 5 + 6u + 5u u + 5 u + 6 u 5 + ) u 7 du 8 u6 + 8 u u ln u 6 8u 8u 8u 6 + C 8 tan6 + 8 tan tan ln tan 5 8 tan 8 tan 8 tan 6 + C 8

83 sin sin cos + cos sin cos cos sin cos + sin cot + sin sin ln tan cot + C t sin sin t ln tan t + C ln tan + C cot t cot sin t cot + C 8.68 sin sin sin cos + cos sin sin cos cos + sin cos tan cos + sin tan + ln tan + C t sin sin t ln tan t + C ln tan + C tan t tan cos t tan + C 8.69 cos sin sin 5 cos + cos sin 5 cos sin cos + sin 5 cos sin + cos sin sin cos + + cos sin 5 cos sin cos + sin cos + cos sin cos + sin 5 sin + cos sin sin cos + + cos cos sin + cos sin 5 sin cos + sin cos + cos cos sin cos + sin + sin 5 sin cos + cos cos sin cos + sin + sin 5 cos + ln tan sin sin + C całki obliczone pomocniczo sin cos t cos sin t t + C cos + C sin cos t sin sin t ln tan t + C ln tan + C cos sin t sin cos t t + C sin + C 8

84 cos sin 5 t sin cos t 5 t + C sin + C sin cos sin + cos sin cos cos + sin cos sin + cos sin + cos cos + sin cos sin cos + cos + cos + sin tan cos + cos + sin tan + tan cot + C tan t tan cos t t + C tan + C cos 8.7 sin ( cos cos ) sin cos cos cos cos cos cos cos + sin sin sin cos cos cos cos sin cos + ln tan( + π ) ln tan( + π ) + sin + C sin cos ln tan( + π ) + sin + C cos + w przykładzie wykorzystano rozwiązania całek z przykładów (8.6), (8.6) cos cos sin( + π ) ln tan( + π ) + C 8.7 sin ( cos cos ) cos cos + cos cos cos cos + cos ( sin ) cos sin + ln tan( + π ) 8

85 sin sin + ln tan( + π ) + C ( sin ) cos t sin cos ( t ) t t + C sin sin + C 8.7 cos 5 sin ( sin ) cos sin t sin cos t t + sin ln sin + sin + C cos cos sin sin + t t ln t + t + C sin cos 8.7 sin cos 8 ( cos ) sin cos 8 sin cos 8 t 8 + t 6 7t 7 5t 5 + C 7 cos 7 5 cos 5 + C sin t cos cos 6 sin 8.75 cos cos cos cos ln tan( + π sin ) cos + C cos cos w przykładzie wykorzystano całki z przykładów (8.7), (8.6) cos u tan du +u u +u cos du +u 5 + u +u du +u 5+5u + u +u du 9 + u 9 du ( u ) + t u du t + ( arctan tan ) + C sin u tan du +u u sin +u du +u + u +u du (u + ) 85

86 u + + C tan + + C 8.78 sin + cos sin( + π ) ln tan( + π 8 ) + C 8.79 sin cos sin + cos... zakładając, że cos 0... sin cos sin cos + arctan(tan ) + C t tan sin cos t + arctan(t) + C sin cos cos t + t tan t + t t + sin t + cos (t t + + ) + t + + t t + t + (t +) + t+ t + t + t + t + t + t + arctan( t) + C tan + arctan( tan ) + C t + u t du du u + arctan(u) + C arctan( t) + C 8.8 cos + sin t sin cos (sin cos ) (cos + sin ) t t + C sin cos + C 8.8 sin cos sin + cos cos (sin + cos ) sin cos cos sin t sin cos u t du t du u ln + u u + C sin ln + + C ln + sin + C sin sin

87 sin cos + sin t sin sin cos + t arctan(t) + C arctan(sin ) + C 8.8 (sin + cos ) t tan t + t t + sin t + cos t + ( t t + + t + ) t + t (t + ) + (t + ) t + t + 9 ( t + u t ) du (t + ) du u + korzystając z całki obliczonej w przykładzie (6.69) otrzymujemy:... arctan(u) arctan(u) ( ) tan arctan arctan ( tan ) tan tan + + C tan tan C u u + + C t + (t +) (t +) du (u + ) sin cos sin 8 + cos 8 sin ( sin + cos ) 8 sin sin ( + cos ) 8 sin sin sin + 8 sin 8 cos sin cos cos + 8 tan t tan t t 8 t t + 8t cos 8 cos + tan + 8 tan t + 8t + 8 (t + a)(t + b) t + 8t + 8 t + (a + b)t + ab { a + b 8 ab 8 { a b + { a + b rozkład na ułamki proste: t (t + )(t + + ) At + B t + + Ct + D t

88 t (At + B)(t + ) + (Ct + D)(t + + ) t (A + C)t + (B + D)t + [( + )A + ( )C]t + ( + )B + ( )D A + C 0 B + D ( + )A + ( )C 0 ( + )B + ( )D 0 A 0 B ( ) C 0 D ( + )... ( ) t + + ( ) ( + ) t + + t ( ) + + ( + ) + t ( + ) + u t v t + + du + dv ( ) du u + + ( + ) dv + v + ( ) arctan u + ( + ) + ( ) tan arctan + arctan v + C ( + ) + tan arctan + + C 8.86 sin + cos... korzystając ze wzorów: sin otrzymujemy: cos() cos() + 8 cos cos() + cos() cos + u du t + t + t + arctan t + ( ) tan + C du cos u + t tan u t + du t + t + cos u t + ( ) ( ) t arctan + C t + t + t

89 sin + t t + ( sin )( + sin ) t + t + + cos ( + sin ) t + t arctan( t) + C tan + arctan( ) + C t + u t du du u + arctan(u) + C t tan t cos t + sin 8. Całki funkcji cyklometrycznych (kołowych). 8.9 arcsin u arcsin dv du v arcsin arcsin arcsin arcsin + arcsin arcsin + + C całki obliczone pomocniczo: + + arcsin + arcsin + C arcsin + C arcsin t arcsin t arcsin + C 8.9 ( ) arcsin ( ) u arcsin dv du v arcsin + ln + C arcsin t arcsin ( ) sin t tan(arcsin ) + C tan(arctan arcsin arctan sin t ) + C cos t tan t + C + C

90 + arctan + arctan + arctan ln + arctan + C arctan arctan + całki obliczone pomocniczo: arctan u arctan du + + dv v arctan + arctan ln + + C arctan t arctan + t t + C arctan + C 8.9 ( + 9 ) arctan t arctan +9 t + C arctan + C t 8.95 t arctan ( + )(arctan ) + t t + C arctan + C 8.96 (arctan ) t arctan + + t t + C arctan + C 8.97 arccos t arccos t t + C arccos + C 8.98 arcsin t arcsin t ln t + C ln arcsin + C 8.99 arctan ( + ) u arctan dv du v + ( +) ( +) arctan ( + ) + arctan + ( + ) + C arctan ( + ) + ( + ) 90

91 arcsin u arcsin dv ( ) du v arcsin ln + + C ( ) arcsin 8.0 arcsin u arcsin dv du v arcsin arcsin + arcsin + arcsin + arcsin + arcsin + C ( ) arcsin + + C 8.0 arctan ( ) u arctan dv ( ) du v arctan + ( ) ( ) + arctan ( ) arctan 8 ln + + ln + C 8 ( + )( ) rozkład na ułamki proste: ( + )( ) A + B + + C + + D (A + B)( ) + C( )( + ) + D( + )( + ) (A + C + D) + (B C + D) + ( A + C + D) + ( A C + D) A + C + D 0 B C + D 0 A + C + D 0 B C + D A 0 B C D arctan ln + + ln + C ( + )( ) 9

92 8.0 arctan u arctan dv du v + arctan + arctan ( + ) + arctan ln + + C 8.0 arctan e e ( + e ) t e ln t ln t t arctan t arctan t t arctan t arctan t t arctan t arctan t t arctan t arctan t t + arctan t u arctan t dv t (t ( t (t +) + ) du v arctan t t + t arctan t t arctan t + ( + t t t + t(t + ) t(t + ) ) + ln t ln t + + C arctan e e arctan e + ln e + + C ) 8.05 arcsin arcsin u arcsin dv du v ln + + C arcsin t t t t t ln t + t + C ln + + C + t 8.06 arcsin e e arcsin t t + t e ln t t arcsin t t t t arcsin t t e arcsin e ln e + e + C u arcsin t dv t du t v t ln t + t + C

93 arctan u arctan dv du v + arctan arctan ( )( + ) arctan + arctan + C ( ) arctan ( ) + C 8.08 ( + ) arccos( ) t u arccos t dv (t + 6) du t v t + 6t ( t + t) arccos t + t + + t t ( t + t) arccos t t + + t ( t + t) arccos t + (t + 6) arccos t t + t t t t ( t + t) arccos t 8 arcsin t 8 t t + arcsin t t + C ( ( ) + ( )) arccos( ) 8 arcsin( ) 8 ( ) ( ) + arcsin( ) 8.09 arctan + + u arctan dv du v arctan ln C + arctan arcsin u arcsin dv du v arcsin + arcsin + arcsin arcsin arcsin + arcsin arcsin + C arcsin + arcsin + C 8. ( + ) arctan u arctan dv ( + ) du v + + ( + ) arctan + + ( + ) arctan ( )( + )

94 ( + ) arctan ( ) + + ( + ) arctan + arctan ln + + C ( + ) arctan + ln + + C 8. arcsin u arcsin + dv + du (+) v arcsin arcsin + + arctan( ) + C + t t t t t + + t t arctan t + arctan( ) + C 8. Całki funkcji wykładniczych i logarytmicznych. 8.8 (e + e ) e + e + C e a a ea + C, gdzie a e e e + e t e + e (e e ) t ln t + C ln(e + e ) + C 8.0 t e e ln t t t(t ) ( ln t ln t + C ln e + + C ) t t 8. e + e arctan(e ) + C e e + t e e t + arctan(t) + C 9

95 8. e + + e + + ln t e + t e + t e t t + e + e t (t t ) + t t + ln t t + t + + C t + C e e e + + e + ln e + + C t e e + ln t t ln e + + C t(t + ) t e + + ln e + + C ln t ln t + t + 8. t + e + e t e + t e t ( ) t t e + t ln + C + + e ln t + e + C 8.5 e + e t + t e e t + C (e + ) + C 8.6 e (e ) t e e t t + C e + C 8.7 (e + e ) (e + + e ) (e e ) + + C

96 e e + 5 (e + 5) e + 5 ln e C 8.9 e + 6e e t 9e e + 6 e 9e ln t rozkład na ułamki proste: t t + 6 t(9t ) t t(t )(t + ) t + 6 t(t )(t + ) A t + B t + C t + t + 6 A(9t ) + Bt(t + ) + Ct(t ) t + 6 (9A + B + C)t + (B C)t + ( A) 9A + B + C B C 0 A 6 A B 5 C 5... t + 5 t + 5 t + 5 ln t + 6 ln 9t + C ln 9e + C 8.0 t e e + e ln t t rozkład na ułamki proste: t (t + ) A t + B t + C t + At(t + ) + B(t + ) + Ct t (t + ) (A + C)t + (A + B)t + B A + C 0 A + B 0 B A B C... + t t + t + ln t + ln t + + C t 96

97 e + ln e + + C 8. dla e (e + a) n n e dla e + a ln e + a + C n N + {} e (e + a) n t e + a e t n (n )t n + C (n )(e + a) n + C 8. e 5e t e e 5 5t du arcsin u + C 5 arcsin( u 5 5 e ) + C u 5 t ( 5 t) 5 du 8. t e e + e + ln t t du u + u + ln e + + e + e + + C t t + t + u t u t du u du u u + u + du (u + ) ln u + + u + u + + C 8. e u dv e du v e e + e u dv e du v e e e + 6 e u dv e du v e e e 6e + 6 e e e 6e 6e + C 8.5 ln t ln t ln t + C ln ln + C 97

98 8.6 ln( + ) u ln( + ) dv du + v ln( + ) + ln( + ) ln( + ) + arctan() + C 8.7 (ln ) u ln dv ln ln ln du v ln ln + ln ln + + C u ln du dv v 8.8 ln( + + ) u ln( + + ) du + ln( + + ) dv v + ln( + + ) + + C 8.9 ln + 5 ln + 5 u ln + 5 dv du 5 +5 v ln + 5 ln ln ln C ( + ) ln C ( + ln ) t ln arctan(t) + C arctan(ln ) + C + t 8. ln u ln du dv v ln + ln + C 8. ( + ) ln ( ) ln u ln dv ( ) du v ( + + 6) ln ( + + 6) ( + + 6) ln C 98

99 8. ln( + ) ( + ) ln( + ) t + u ln t dv (t ) (t ) ln t du t v t t (t 6t) ln t ( t ) (t 6t) ln t 8 t + t + C ( 9) ln + 8 ( + ) + ( + ) + C 8. a, a > u dv a du v a ln a a ln a ln a a a ln a a ln a + C 99

Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna

Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna Rozdział 9 Funkcja pierwotna 9. Funkcja pierwotna Definicja funkcji pierwotnej. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale P. Mówimy, że funkcja F : P R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale

Bardziej szczegółowo

PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne

PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń używa języka matematycznego

Bardziej szczegółowo

Jolanta Widzińska Zespół Szkół Ogólnokształcących w Żorach

Jolanta Widzińska Zespół Szkół Ogólnokształcących w Żorach www.awans.net Publikacje nauczycieli Jolanta Widzińska Zespół Szkół Ogólnokształcących w Żorach Program nauczania matematyki dla 3 letniego liceum ogólnokształcącego dla dorosłych (po zasadniczej szkole

Bardziej szczegółowo

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008 Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5

Bardziej szczegółowo

Matematyka zajęcia fakultatywne (Wyspa inżynierów) Dodatkowe w ramach projektu UE

Matematyka zajęcia fakultatywne (Wyspa inżynierów) Dodatkowe w ramach projektu UE PROGRAM ZAJĘĆ FAKULTATYWNYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU SYLABUS Nazwa uczelni: Wyższa Szkoła Przedsiębiorczości i Administracji w Lublinie ul. Bursaki 12, 20-150 Lublin Kierunek Rok studiów Informatyka

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Kierunek: Informatyka Rodzaj przedmiotu: Obowiązkowy w ramach treści wspólnych z kierunkiem Matematyka, moduł kierunku obowiązkowy Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia I KARTA PRZEDMIOTU CEL

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

KARTA KURSU. Mathematics

KARTA KURSU. Mathematics KARTA KURSU Nazwa Nazwa w j. ang. Matematyka Mathematics Kod Punktacja ECTS* 4 Koordynator Dr Maria Robaszewska Zespół dydaktyczny dr Maria Robaszewska Opis kursu (cele kształcenia) Celem kursu jest zapoznanie

Bardziej szczegółowo

Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.)

Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.) IV etap edukacyjny Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.01 r.) Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY /

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY / WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY / Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem powinny być opanowane przez każdego ucznia. Wymagania

Bardziej szczegółowo

Matematyka od podstaw do matury czyli Everest w zasięgu Twojej dłoni

Matematyka od podstaw do matury czyli Everest w zasięgu Twojej dłoni Matematyka od podstaw do matury czyli Everest w zasięgu Twojej dłoni Drogi Czytelniku W tej książce pragnę nauczyć Cię matematyki. W prosty i przyjazny sposób wytłumaczę Ci teorię i przećwiczymy ją na

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania z matematyki

Przedmiotowy system oceniania z matematyki Przedmiotowy system oceniania z matematyki Przedmiotowy system oceniania został skonstruowany w oparciu o następujące dokumenty: 1. Rozporządzenie Ministra Edukacji Narodowej z dnia 7 września 2004 roku

Bardziej szczegółowo

1. Znajdowanie miejsca zerowego funkcji metodą bisekcji.

1. Znajdowanie miejsca zerowego funkcji metodą bisekcji. 1. Znajdowanie miejsca zerowego funkcji metodą bisekcji. Matematyczna funkcja f ma być określona w programie w oddzielnej funkcji języka C (tak, aby moŝna było łatwo ją zmieniać). Przykładowa funkcja to:

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY 1. FUNKCJA KWADRATOWA rysuje wykres funkcji i podaje jej własności sprawdza algebraicznie, czy dany punkt należy

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna 1. Podaj denicj liczby zespolonej. 2. Jak obliczy sum /iloczyn dwóch liczb zespolonych w postaci algebraicznej? 3. Co to jest liczba urojona?

Bardziej szczegółowo

Jeden obraz bywa lepszy niż 1000 słów

Jeden obraz bywa lepszy niż 1000 słów Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Konferencja Na płaszczyźnie i w przestrzeni, Ameliówka 25-27 X 2013 1 9 + 1 9 5 9 + 1 9 5 9 2 + 1 9 5 9 3 +... = 1 4 1 9 + 1 9 5 9 + 1 9 5 9 2 + 1 9 5 9 3

Bardziej szczegółowo

PROGRAM KLASY Z ROZSZERZONĄ MATEMATYKĄ

PROGRAM KLASY Z ROZSZERZONĄ MATEMATYKĄ PROGRAM KLASY Z ROZSZERZONĄ MATEMATYKĄ ALGEBRA Klasa I 3 godziny tygodniowo Klasa II 4 godziny tygodniowo Klasa III 3 godziny tygodniowo A. Liczby (24) 1. Liczby naturalne i całkowite. a. Własności, kolejność

Bardziej szczegółowo

M A T E M A T Y K A LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE, TECHNIKUM, LICEUM UZUPEŁNIAJĄCE WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY

M A T E M A T Y K A LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE, TECHNIKUM, LICEUM UZUPEŁNIAJĄCE WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY M A T E M A T Y K A LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE, TECHNIKUM, LICEUM UZUPEŁNIAJĄCE WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Zakres podstawowy i rozszerzony Katalog wymagań na poszczególne oceny: Zakres wiedzy

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje i ich granice

1 Funkcje i ich granice Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja

Bardziej szczegółowo

Skrypt edukacyjny do zajęć wyrównawczych z matematyki Ewa Kwaśniok

Skrypt edukacyjny do zajęć wyrównawczych z matematyki Ewa Kwaśniok Projekt Kompleksowy Trening Kompetencji - Program Rozwojowy dla Technikum nr w Zespole Szkół Łączności w Gliwicach, współfinansowany przez Unię Europejską z Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZMIN MTURLNY 010 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Klucz punktowania odpowiedzi MJ 010 Egzamin maturalny z matematyki Zadania zamknięte W zadaniach od 1. do 5. podane

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA - - MATEMATYKA ROK SZKOLNY 2015/2016. opracowała: mgr Anna Przybylska

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA - - MATEMATYKA ROK SZKOLNY 2015/2016. opracowała: mgr Anna Przybylska PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA - - MATEMATYKA ROK SZKOLNY 2015/2016 opracowała: mgr Anna Przybylska I. CELE EDUKACJI MATEMATYCZNEJ w zakresie rozwoju intelektualnego ucznia (cele związane z kształceniem):

Bardziej szczegółowo

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt

Bardziej szczegółowo

Klasa 1. Osiągnięcia. Treści kształcenia. Dział. Uczeń: buduje zdania złożone w postaci koniunkcji, 1.1. Język matematyki

Klasa 1. Osiągnięcia. Treści kształcenia. Dział. Uczeń: buduje zdania złożone w postaci koniunkcji, 1.1. Język matematyki Opis założonych osiągnięć ucznia W tabelach dla poszczególnych klas, przy treściach kształcenia podajemy przewidywane osiągnięcia uczniów w ramach zakresu rozszerzonego. Podzieliliśmy je na podstawowe

Bardziej szczegółowo

0 2 odpowiadająca zajęciom o charakterze praktycznym (P) w tym liczba punktów ECTS

0 2 odpowiadająca zajęciom o charakterze praktycznym (P) w tym liczba punktów ECTS Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ ** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ A Nazwa w języku angielskim Algebra and Analytic Geometry Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2011 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY 0 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MAJ 0 Egzamin maturalny z matematyki poziom podstawowy Zadanie (0 ) Obszar standardów i tworzenie informacji

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN EKSTERNISTYCZNY Z MATEMATYKI Z ZAKRESU LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO DLA DOROSŁYCH PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE WRAZ Z ROZWIĄZANIAMI

EGZAMIN EKSTERNISTYCZNY Z MATEMATYKI Z ZAKRESU LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO DLA DOROSŁYCH PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE WRAZ Z ROZWIĄZANIAMI EGZAMIN EKSTERNISTYCZNY Z MATEMATYKI Z ZAKRESU LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO DLA DOROSŁYCH PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE WRAZ Z ROZWIĄZANIAMI Poniżej prezentujemy przykładowe, które znalazły się na egzaminie

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony

MATeMAtyka 3. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek MATeMAtyka 3 Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania

Bardziej szczegółowo

Dorota Ponczek, Karolina Wej Agnieszka Kamińska. MATeMAtyka. Plan wynikowy. Zakres podstawowy i rozszerzony

Dorota Ponczek, Karolina Wej Agnieszka Kamińska. MATeMAtyka. Plan wynikowy. Zakres podstawowy i rozszerzony Dorota onczek, arolina Wej Agnieszka amińska MATeMAtyka lan wynikowy Zakres podstawowy i rozszerzony Oznaczenia: wymagania konieczne; wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające;

Bardziej szczegółowo

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe W rezultacie kształcenia matematycznego uczeń potrafi: Osiągnięcia ponadprzedmiotowe Umiejętności konieczne i podstawowe czytać teksty w stylu matematycznym wykorzystywać słownictwo wprowadzane przy okazji

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres rozszerzony)

MATEMATYKA Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres rozszerzony) MATEMATYKA Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres rozszerzony) Omawiając dane zagadnienie programowe lub rozwiązując zadanie, nauczyciel określa, do jakiego zakresu

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)

MATEMATYKA Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) MATEMATYKA Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Omawiając dane zagadnienie programowe lub rozwiązując zadanie, nauczyciel określa, do jakiego zakresu

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.)

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.) Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. godz. = 76 godz.) I. Funkcja i jej własności.4godz. II. Przekształcenia wykresów funkcji...9 godz. III. Funkcja

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI KLASA I Lb TECHNIKUM \ rok. LICZBY I DZIAŁANIA Liczby naturalne, całkowite, wymierne i niewymierne Działania na liczbach Przedziały liczbowe,działania na

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych.

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. Równania różniczkowe. Lisa nr 2. Lieraura: N.M. Mawiejew, Meody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Maemayczna w Zadaniach, część II 1. Znaleźć ogólną posać

Bardziej szczegółowo

Ł ć ć Ł Ą Ń Ę Ą Ń Ń Ą Ą ć Ń Ń ć Ą ć ć ź ć ź Ł Ł Ą Ę ć ć ć ć ć ć Ź ć Ę ĘĄ ć Ę ĘĄ Ę Ł Ł ź Ę ć ć ć Ę Ł Ż Ę Ł ź ć Ł ć ź Ę ź Ą Ą ć ć ć Ą Ł Ł Ą ć Ę Ę Ę ć ć ć ć Ą Ę Ń Ę Ą Ń ć Ł Ą Ń Ę Ą Ń Ę ć Ń ć Ć ć Ń Ń ć ć ć

Bardziej szczegółowo

ć ć Ą Ę Ę Ę Ę Ą ć ć ć ć ć ź Ą Ą Ą Ą ć Ą Ą Ą Ą ź Ę Ż ć ć Ł Ł ź ź Ł ć Ę Ę Ń Ż Ń ć Ę ć Ś Ś ć Ą Ę ć ć ć Ę ź Ę Ę Ń Ę Ń Ę Ę ć Ę Ę Ę Ę ć ć ź ć ć Ę ć Ę ć ć ć ć Ę Ę ź Ł Ę Ą Ą Ą Ę ź ź ć ź ć Ł ć Ł Ę ć Ą Ł

Bardziej szczegółowo

Ź Ó Ź Ź Ą ź ź Ń Ó ć Ź ć ć Ź Ó Ń ź Ó Ś Ó Ó Ó Ą ź ź Ó Ą Ą Ź ć Ź Ó Ó Ó Ą ć ć ć Ą ć Ó Ść ć Ś Ść Ś Ó ć ć Ś Ó Ó ć Ś ć ć ć Ó Ó ć ć Ó Ś Ą Ó ć Ź ĘĄ Ó Ó Ą Ś Ó Ź Ą Ł Ś ć Ź Ł Ł Ą Ó Ś Ł ć ć Ź Ó Ź Ł Ć ć Ó ć Ś Ź Ó ć

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna 1 (2014/2015)

Analiza Matematyczna 1 (2014/2015) Analiza Matematyczna 4/5) MAP43, 9, 4, 43, 345, 357 Opracowanie: dr Marian Gewert, doc Zbigniew Skoczylas Listazdań obejmujecałymateriałkursuijestpodzielonana4jednostekodpowiadającychkolejnym wykładom

Bardziej szczegółowo

NOWA PODSTAWA PROGRAMOWA Z MATEMATYKI liceum zakres podstawowy

NOWA PODSTAWA PROGRAMOWA Z MATEMATYKI liceum zakres podstawowy 1 NOWA PODSTAWA PROGRAMOWA Z MATEMATYKI liceum zakres podstawowy 1. Cele kształcenia wymagania ogólne. NOWA ZAKRES PODSTAWOWY w postawie programowej obowiązującej począwszy od 01.09.2012 r. w klasach pierwszych

Bardziej szczegółowo

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0.

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0. Matematyka ZLic - 3 Pochodne i różniczki funkcji jednej zmiennej Definicja Pochodną funkcji f w punkcie x, nazwiemy liczbę oznaczaną symbolem f x lub df x dx, równą granicy właściwej f x lim h - o ile

Bardziej szczegółowo

Matematyka - zajęcia wyrównawcze przygotowujące do obowiązkowej matury w klasie III

Matematyka - zajęcia wyrównawcze przygotowujące do obowiązkowej matury w klasie III 249 - Matematyka - zajęcia wyrównawcze przygotowujące do obowiązkowej matury w klasie III Jesteś zalogowany(a) jako Recenzent (Wyloguj) Kreatywna szkoła ZP_249 Zmień rolę na... Włącz tryb edycji Osoby

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

Informator o egzaminie eksternistycznym. od 2007 roku MATEMATYKA. Liceum ogólnokształcące

Informator o egzaminie eksternistycznym. od 2007 roku MATEMATYKA. Liceum ogólnokształcące Informator o egzaminie eksternistycznym od 007 roku MATEMATYKA Liceum ogólnokształcące Warszawa 007 Opracowano w Centralnej Komisji Egzaminacyjnej we współpracy z okręgowymi komisjami egzaminacyjnymi w

Bardziej szczegółowo

Microsoft Small Basic

Microsoft Small Basic Microsoft Small Basic Obiekt Math Szacowany czas trwania lekcji: 1 godzina Obiekt Math Podczas tej lekcji dowiesz się, jak: Używać różnych właściwości obiektu Math. Używać różnych operacji obiektu Math.

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA KL I LO zakres podstawowy i rozszerzony

MATEMATYKA KL I LO zakres podstawowy i rozszerzony MATEMATYKA KL I LO zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY (zakres rozszerzony) klasa 2.

PLAN WYNIKOWY (zakres rozszerzony) klasa 2. PLAN WYNIKOWY (zakres rozszerzony) klasa 2. Wstęp Plan wynikowy kształcenia matematycznego jest dostosowany do programu nauczania matematyki w liceach i technikach zakres rozszerzony, autorstwa Marcina

Bardziej szczegółowo

PORTFOLIO Próbki tekstu składanego systemem L A TEX

PORTFOLIO Próbki tekstu składanego systemem L A TEX PORTFOLIO Próbki tekstu składanego systemem L A TEX Autor: Spis treści Wstęp. Wprowadzenie...................................... Warunki korzystania z usługi............................ Przykładowe próbki

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony

MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE 1. LICZBY RZECZYWISTE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą lub dostateczną *, jeśli: podaje przykłady liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych

Bardziej szczegółowo

RAPORT WYNIKÓW MATURALNYCH PRZEDMIOTY OBOWIĄZKOWE. szkoła województwo okręg kraj 59,46% 46,27% 45,33% 48% Średni wynik procentowy

RAPORT WYNIKÓW MATURALNYCH PRZEDMIOTY OBOWIĄZKOWE. szkoła województwo okręg kraj 59,46% 46,27% 45,33% 48% Średni wynik procentowy RAPORT WYNIKÓW MATURALNYCH PRZEDMIOTY OBOWIĄZKOWE 1. matematyka- 2014 2. 178 os. 3. Wyniki szkoły na tle: Wynik procentowy Wynik staninowy szkoła województwo okręg kraj 59,46% 46,27% 45,33% 48% 5 5/6?

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych

MATEMATYKA Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych MATEMATYKA Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R),

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7) EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 04/05 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A, A, A, A4, A6, A7) GRUDZIEŃ 04 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych Nr zadania 4 5 6

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: ocena dopuszczająca wymagania na poziomie (K)

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: ocena dopuszczająca wymagania na poziomie (K) - 1 - Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe, rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania (W). Wymienione poziomy wymagań odpowiadają

Bardziej szczegółowo

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe Osiągnięcia ponadprzedmiotowe W rezultacie kształcenia matematycznego w klasie 2 gimnazjum uczeń potrafi: Umiejętności konieczne i podstawowe czytać teksty w stylu matematycznym tworzyć teksty w stylu

Bardziej szczegółowo

MAJ 2014. Czas pracy: 170 minut. do uzyskania: Miejsce na naklejkę z kodem PESEL KOD. punktów. pióra z czarnym tuszem. liczby. cyrkla.

MAJ 2014. Czas pracy: 170 minut. do uzyskania: Miejsce na naklejkę z kodem PESEL KOD. punktów. pióra z czarnym tuszem. liczby. cyrkla. Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 0 WPISUJE ZDAJĄCY KOD PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy System Oceniania z matematyki

Przedmiotowy System Oceniania z matematyki Przedmiotowy System Oceniania z matematyki Opracowany zgodnie ze Statutem oraz z Wewnątrzszkolnym Systemem Oceniania Liceum Ogólnokształcącego im. Janka Bytnara w Kolbuszowej. I. Kontrakt między nauczycielem

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA KLASA I. I. MODUŁ Praca klasowa nr 1

MATEMATYKA KLASA I. I. MODUŁ Praca klasowa nr 1 MATEMATYKA KLASA I I. MODUŁ Praca klasowa nr 1 1. RozróŜniać figury geometryczne 2. Nazwać figury geometryczne 3. Rozpoznać kąty: ostre, proste i rozwarte 4. Wskazać proste równoległe 5. Wskazać proste

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy. Klasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń i systemów energetyki odnawialnej. Kształcenie ogólne w zakresie podstawowym

Plan wynikowy. Klasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń i systemów energetyki odnawialnej. Kształcenie ogólne w zakresie podstawowym Oznaczenia: wymagania konieczne, P wymagania podstawowe, R wymagania rozszerzające, D wymagania dopełniające, W wymagania wykraczające. Plan wynikowy lasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZMIN MTURLNY 0 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi MJ 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie. (0 ) Obszar standardów Modelowanie matematyczne Opis

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie rozszerzonym. Klasa 3 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W SPOŁECZNYM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM SPLOT IMIENIA JANA KARSKIEGO W NOWYM SĄCZU I. Cele edukacyjne: W zakresie rozwoju intelektualnego ucznia: wykształcenie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA POJĘCIOWE III etap edukacyjny obowiązuje wszystkich uczniów IV etap obowiązuje w zakresie realizowanym w szkole

WYMAGANIA POJĘCIOWE III etap edukacyjny obowiązuje wszystkich uczniów IV etap obowiązuje w zakresie realizowanym w szkole WYMAGANIA POJĘCIOWE III etap edukacyjny obowiązuje wszystkich uczniów IV etap obowiązuje w zakresie realizowanym w szkole Cele kształcenia wymagania ogólne MATEMATYKA III etap edukacyjny I. Wykorzystanie

Bardziej szczegółowo

Cele kształcenia wymagania ogólne (przedruk z podstawy programowej) kształcenie w zakresie rozszerzonym. Podręcznik 3 (6 godzin 25 tygodni)

Cele kształcenia wymagania ogólne (przedruk z podstawy programowej) kształcenie w zakresie rozszerzonym. Podręcznik 3 (6 godzin 25 tygodni) PLAN WYNIKOWY dla techników i liceów ogólnokształcących zakres podstawowy i rozszerzony do Podręcznika 3 z serii Matematyka w otaczającym nas świecie Wydawnictwa Podkowa Plan wynikowy polega na zaplanowaniu

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-P_P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 0 minut Instrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 5 stron (zadania

Bardziej szczegółowo

1. Edward Kącki, Lucjan Siewierski Wybrane działy matematyki wyższej z ćwiczeniami.

1. Edward Kącki, Lucjan Siewierski Wybrane działy matematyki wyższej z ćwiczeniami. Polecam korzystanie również z poniższych podręczników. 1. Edward Kącki, Lucjan Siewierski Wybrane działy matematyki wyższej z ćwiczeniami. 2. Izydor Dziubiński, Lucjan Siewierski Matematyka dla wyższych

Bardziej szczegółowo

Algebra I sprawozdanie z badania 2014-2015

Algebra I sprawozdanie z badania 2014-2015 MATEMATYKA Algebra I sprawozdanie z badania 2014-2015 IMIĘ I NAZWISKO Data urodzenia: 08/09/2000 ID: 5200154019 Klasa: 11 Niniejsze sprawozdanie zawiera informacje o wynikach zdobytych przez Państwa dziecko

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2013 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2013 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 00 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

POLECAMY Matematyka nowa matura - zagadnienia teoretyczne wraz z przykładami cz.i .

POLECAMY Matematyka nowa matura - zagadnienia teoretyczne wraz z przykładami cz.i . POLECAMY Matematyka nowa matura - zagadnienia teoretyczne wraz z przykładami cz.i. To książka dla wszystkich maturzystów, zdających nową maturę z matematyki na poziomie podstawowym i rozszerzonym. Jasne

Bardziej szczegółowo

Materiał nauczania i przewidywane umiejętności uczniów. Klasa I. XCII LO z Oddziałami Integracyjnymi i Sportowymi. Treści nauczania. I.

Materiał nauczania i przewidywane umiejętności uczniów. Klasa I. XCII LO z Oddziałami Integracyjnymi i Sportowymi. Treści nauczania. I. XCII LO z Oddziałami Integracyjnymi i Sportowymi Materiał nauczania i przewidywane umiejętności uczniów Klasa I Treści nauczania I. Liczby 1. Liczby rzeczywiste, zapis dziesiętny liczby rzeczywistej, zamiana

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy System Oceniania dla matematyki Kontrakt z uczniami: Ocena Waga

Przedmiotowy System Oceniania dla matematyki Kontrakt z uczniami: Ocena Waga Przedmiotowy System Oceniania dla matematyki Maria Wietrzykowska Kontrakt z uczniami: 1. Każdy uczeń jest oceniany zgodnie z prawe WSO i zasadami sprawiedliwości. 2. Ocenie podlega: Ocena Waga Wypowiedź

Bardziej szczegółowo

Konkurs dla szkół ponadgimnazjalnych Etap szkolny 9 stycznia 2013 roku

Konkurs dla szkół ponadgimnazjalnych Etap szkolny 9 stycznia 2013 roku Konkurs dla szkół ponadgimnazjalnych Etap szkolny 9 stycznia roku Instrukcja dla ucznia W zadaniach o numerach od do są podane cztery warianty odpowiedzi: A, B, C, D Dokładnie jeden z nich jest poprawny

Bardziej szczegółowo

Przegląd ważniejszych rozkładów

Przegląd ważniejszych rozkładów Przegląd ważniejszych rozkładów Rozkład dwupunktowy P (X = x) = { p dla x = a, 1 p dla x = b, to zmienna losowa X ma rozkład dwupunktowy z parametrem p (0 < p < 1). Rozkład ten pojawia się przy opisie

Bardziej szczegółowo

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające MATeMAtyka lan wynikowy: Zakres podstawowy i rozszerzony Oznaczenia: wymagania konieczne; wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające Temat lekcji

Bardziej szczegółowo

1. Ubezpieczenia życiowe

1. Ubezpieczenia życiowe 1. Ubezpieczenia życiowe Przy ubezpieczeniach życiowych mamy do czynienia z jednorazową wypłatą sumy ubezpieczenia. Moment jej wypłaty i wielkość wypłaty może być funkcją zmiennej losowej T a więc czas

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA ZESPÓŁ SZÓŁ OGÓLNOSZTAŁCĄCYCH ul. M.Curie-Skłodowskiej 58-400 amienna Góra tel.: (+48) 75-645-0-8 fax: (+48) 75-645-0-83 E-mail: zso@kamienna-gora.pl WWW: http://www.zso.kamienna-gora.pl PRZEDMIOTOWY SYSTEM

Bardziej szczegółowo

Wymagania z matematyki, poziom rozszerzony. nowa podstawa programowa

Wymagania z matematyki, poziom rozszerzony. nowa podstawa programowa Wymagania z matematyki, poziom rozszerzony nowa podstawa programowa Nauczyciel matematyki: mgr Izabela Stachowiak Wilk Zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory odróżnia zdanie logiczne od innych wypowiedzi

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen z matematyki w Regionalnym Centrum Edukacji Zawodowej

Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen z matematyki w Regionalnym Centrum Edukacji Zawodowej Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen z matematyki w Regionalnym Centrum Edukacji Zawodowej Kształcenie w zakresie podstawowym i rozszerzonym. cały cykl

Bardziej szczegółowo

POLECAMY Matematyka nowa matura - zagadnienia teoretyczne wraz z przykładami cz.i .

POLECAMY Matematyka nowa matura - zagadnienia teoretyczne wraz z przykładami cz.i . POLECAMY Matematyka nowa matura - zagadnienia teoretyczne wraz z przykładami cz.i. To książka dla wszystkich maturzystów, zdających nową maturę z matematyki na poziomie podstawowym i rozszerzonym. Jasne

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16

Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16 Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16 PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające

Bardziej szczegółowo

a) Wykaż, że przekształcenie P jest izometrią b) W prostokątnym układzie współrzędnych narysuj trójkąt o wierzchołkach A ( 1;2)

a) Wykaż, że przekształcenie P jest izometrią b) W prostokątnym układzie współrzędnych narysuj trójkąt o wierzchołkach A ( 1;2) ZESTAW I R Zad (3 pkt) Suma pierwiastków trójmianu a, c R R trójmianu jest równa 8 y ax bx c jest równa log c log a, gdzie Uzasadnij, że odcięta wierzchołka paraboli będącej wykresem tego a c Zad (7 pkt)

Bardziej szczegółowo

Kurs matematyki dla chemików

Kurs matematyki dla chemików Kurs matematyki dla chemików nr 136 Joanna Ger Kurs matematyki dla chemików Wydanie piąte poprawione Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego Katowice 2012 Redaktor serii: Matematyka Tomawsz Dłotko Recenzenci

Bardziej szczegółowo

I. LICZBY RZECZYWISTE I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Temat. Ilość godzin Podstawowe wiadomości o zbiorach. Opis wymagań

I. LICZBY RZECZYWISTE I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Temat. Ilość godzin Podstawowe wiadomości o zbiorach. Opis wymagań PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO, LICEUM PROFILOWANEGO I TECHNIKUM 4 LETNIEGO (Kształcenie ogólne w zakresie podstawowym z obowiązkową maturą z matematyki) I. LICZBY RZECZYWISTE

Bardziej szczegółowo