Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów rok szkolny 2015/2016 Etap I szkolny

Transkrypt

1 Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów rok szkolny 2015/2016 Etap I szkolny W kluczu przedstawiono przykładowe rozwiązania oraz prawidłowe odpowiedzi. Za każdą inną poprawną metodę rozwiązania zadania uczeń otrzymuje maksymalną liczbę punktów. Do kolejnego etapu kwalifikuje się uczeń, który uzyskał co najmniej 14 punktów. Zadanie 1 [2 pkt] W Gdyni zorganizowano rowerowy rajd na orientację. Średnia arytmetyczna wieku wszystkich uczestników rajdu była równa 13 lat. Najstarszy z nich miał 22 lata, a średnia wieku pozostałych była równa 12 lat. Oblicz, ile osób brało udział w rowerowym rajdzie na orientację? Przykładowe rozwiązania: x - liczba uczestników rajdu bez 22 latka 12x + 22 = 13(x + 1) 12x + 22 = 13x + 13 x = = = 10 Odpowiedź: W rajdzie na orientację brało udział 10 uczestników. x - liczba wszystkich uczestników rajdu 13x = 12(x 1) x = 12x x = 10 Odpowiedź: W rajdzie na orientację brało udział 10 uczestników. zastosuje poprawną metodę obliczenia liczby uczestników rajdu. obliczy liczbę uczestników rajdu (10). Zadanie 2 [3pkt] a) Liczby 2 500, 3 400, 4 300, uporządkowane rosnąco to: 5 200, 2 500, 4 300, b) Czwarta część liczby to: c) Liczba 2, jest razy mniejsza od liczby 5, udzieli jednej poprawnej odpowiedzi. : udzieli dwóch poprawnych odpowiedzi. Uczeń otrzymuje 3 punkty, gdy: udzieli trzech poprawnych odpowiedzi. Strona 1 z 6

2 Zadanie 3 [3 pkt] Wśród pasażerów jadących autobusem kobiety stanowiły 25%. Na przystanku nikt nie wysiadł natomiast wsiadła jedna kobieta. Teraz liczba kobiet stanowi 28% wszystkich pasażerów. Oblicz, ile kobiet jechało początkowo w tym autobusie. Przykładowe rozwiązania: x początkowa liczba pasażerów 0,25x + 1 = 0,28(x + 1) 25x = 28x x = 72 x = 24 25% z 24 to 6 Odpowiedź: Początkowo w autobusie jechało 6 kobiet. x końcowa liczba pasażerów 0,25(x 1) + 1 = 0,28x 25x = 28x 3x = 75 x = 25 28% z 25 to = 6 Odpowiedź: Początkowo w autobusie jechało 6 kobiet. x początkowa liczba kobiet 4x początkowa liczba pasażerów x + 1 4x + 1 = x + 1 4x + 1 = (x + 1) = 7(4x + 1) 25x + 25 = 28x + 7 3x = 18 x = 6 Odpowiedź: Początkowo w autobusie jechało 6 kobiet. Uczeń otrzymuje 1 punkt, gdy zapisze poprawne równanie wynikające z treści zadania. obliczy liczbę pasażerów Uwaga! Jeżeli uczeń oznaczy jako x liczbę kobiet i zapisze prawidłowe równanie z jedną niewiadomą, to otrzymuje 2 punkty. Uczeń otrzymuje 3 punkty, gdy obliczy początkową liczbę kobiet (6). Strona 2 z 6

3 Zadanie 4 [3 pkt] Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 12 i 16. W trójkąt ten wpisano okrąg i na tym trójkącie opisano okrąg. Oblicz sumę długości średnic tych okręgów. Przykładowe rozwiązania: R promień okręgu opisanego na danym trójkącie = (2R) 2 (2R) 2 = 400 2R = 20 r promień okręgu wpisanego w dany trójkąt 16 r + 12 r = 20 2r = 8 lub = 12r r r 2 r = 4 2R + 2r = 28 Odpowiedź : Suma długości średnic jest równa 28. obliczy długość średnicy lub promienia okręgu opisanego na danym trójkącie lub obliczy długość średnicy lub promienia okręgu wpisanego w dany trójkąt. obliczy długość średnicy lub promienia okręgu opisanego na danym trójkącie i długość średnicy lub promienia okręgu wpisanego w dany trójkąt. Uczeń otrzymuje 3 punkty, gdy obliczy sumę długości obu średnic. Strona 3 z 6

4 Zadanie 5 [3pkt] Jeżeli liczbę dwucyfrową podzielimy przez sumę jej cyfr, to otrzymamy 4 i resztę 6. Jeśli natomiast podzielimy tę liczbę przez sumę jej cyfr pomniejszoną o 2, to otrzymamy 5 i resztę 3. Oblicz, jaka to liczba. Przykładowe rozwiązanie: x cyfra dziesiątek y cyfra jedności Odpowiedź: Ta liczba to x + y = 4(x + y) x + y = 5(x + y 2) x + y = 4x + 4y x + y = 5x + 5y x 3y = 6 5x 4y = 7 2x y = 2 5x 4y = 7 8x + 4y = 8 5x 4y = 7 3x = 15 x = 5 y = 8 zapisze jedno poprawne równanie wynikające z treści zadania. : zapisze poprawnie dwa równania wynikające z treści zadania. Uczeń otrzymuje 3 punkty, gdy: poda poprawne rozwiązanie (Ta liczba to 58). Strona 4 z 6

5 Zadanie 6 [3 pkt] W trójkącie różnobocznym ABC dwusieczne kątów ABC i ACB przecinają się w punkcie D. Miara kąta BDC jest równa 110 O. Oblicz miarę kąta BAC. Przykładowe rozwiązanie: C y y A D x x B x + y = = 70 BAC = 180 o 2x 2y BAC = 180 o 2(x + y) = 40 o Odpowiedź: BAC = 40 zastosuje poprawną metodę obliczenia sumy miar kątów x i y lub uzależni miarę kąta BAC od miar kątów x i y (x y). zastosuje poprawną metodę obliczenia sumy miar kątów x i y i uzależni miarę kąta BAC od miar kątów x i y (x y). Uczeń otrzymuje 3 punkty, gdy obliczy miarę kąta BAC (40 O ). Strona 5 z 6

6 Zadanie 7 [3 pkt] Pani Jola kupiła kosz pełen gruszek dla swojej trzyosobowej rodziny. Pani Jola i jej mąż Karol zjedliby te gruszki w ciągu 45 dni. Pan Karol z córką Asią zjedliby te gruszki w ciągu 60 dni, natomiast pani Jola z córką Asią zjadłyby te gruszki w ciągu 90 dni. Oblicz, w ciągu ilu dni zjedzą te gruszki razem pani Jola, jej mąż Karol i ich córka Asia (zakładając, że każdy je gruszki w swoim stałym tempie). Przykładowe rozwiązanie: Część kosza gruszek zjedzonych w jeden dzień przez: Panią Jolę i pana Karola: 1 45 Pana Karola i Asię: 1 60 Panią Jolę i Asię: 1 90 Rodzina zjada wspólnie w ciągu jednego dnia: ( ) : 2 = 1 kosza gruszek Odpowiedź: Pani Jola, pan Karol i Asia zjedzą kosz gruszek w 40 dni. zapisze, jaką część gruszek w ciągu jednego dnia zjadają pani Jola i pan Karol ( 1 ) lub Pan Karol 45 i Asia ( 1 60 ) lub Asia i pani Jola ( 1 90 ). : zapisze w postaci wyrażenia, jaką część kosza gruszek zjadają razem pani Jola, pan Karol i Asia w ciągu jednego dnia: ( ) : 2 Uczeń otrzymuje 3 punkty, gdy: poda liczbę dni potrzebną do zjedzenia kosza gruszek przez rodzinę pani Joli (40). Strona 6 z 6