Grudziądzki Konkurs Matematyczny 2009 Klasy Technikum i Liceum

Transkrypt

1 Grudziądzki Konkurs Matematyczny 009 Klasy Technikum i Liceum 4_TL. Funkcja liniowa str. 4_TL. Funkcja kwadratowa str. 3 4_TL.3 Wielomiany i funkcje wymierne str. 4 4_TL.4 Geometria analityczna str. 6 4_TL.5 Geometria str. 7

2 4_TL. Funkcja liniowa Zad. Funkcja g opisana jest wzorem: Naszkicuj wykres funkcji i wyznacz przedziały monotoniczności i miejsca zerowe. Zad. Wielkości z i t, występujące w tabelce, związane są z zależnością, gdzie a jest wartością stałą. Dokonano sześciu pomiarów zmiennej t i odpowiadającej wartości z. Zauważono że jeden z pomiarów należy uznać za błędny. Wskaż błędny pomiar i ustal liczbę a. t 0, z,5,5-5 -7,5 0,5 5 Zad. 3 Funkcja f jest rosnącą funkcją liniową. Funkcja ta przyjmuje wartości dodatnie wtedy i tylko wtedy, gdy. Wyznacz miejsce zerowe funkcji f. Zad. 4 Funkcja f jest jest funkcją liniową, oraz. Wyznacz wzór funkcji f i oblicz jej największą wartość w przedziale. Zad. 5 Funkcja f jest malejącą funkcją liniową. W przedziale osiąga wartość największą równą 6 i wartość najmniejszą równą 3. Naszkicuj wykres funkcji f w podanym przedziale i znajdź jej wzór. Zad6. Naszkicuj wykres funkcji f danej wzorem. Podaj zbiór wartości funkcji. Zad. 7 Dana jest funkcja dla. Naszkicuj wykres funkcji f,. Naszkicuj wykres funkcji, 3. Naszkicuj wykres funkcji. Zad. 8 Dana jest funkcja. Wyznacz parametr m, tak aby: a) Do wykresu należał punkt, b) Miejscem zerowym była liczba, c) Funkcja była malejąca. Zad. 9 Naszkicuj wykres funkcji. Odczytaj z wykresu miejsca zerowe i przedziały monotoniczności funkcji f. Zad. 0 Wyznacz wzór funkcji liniowej, wiedząc że jej wykres przechodzi przez punkt i jest nachylony do osi OX pod kątem. Zad. Napisz wzór funkcji liniowej, wiedząc że miejscem zerowym funkcji jest liczba i do wykresu funkcji należy punkt. Zad. Wyznacz wzór funkcji liniowej oraz kąt nachylenia wykresu tej funkcji do osi OX, jeśli wiadomo że do jej wykresu należą punkty oraz. Zad.3 Trzy miasta A, B, C są tak położone, że długość drogi z A do C przez miasto B jest równa 90 km, z B do A przez C 6 km, a z C do B przez A 69 km. Oblicz odległość między tymi miastami. Zad. 4 Oblicz pole figury wyznaczonej przez układ nierówności:,,. Zad. 5 Dwie siostry mają razem 4 lat, a ich matka jest dwa razy starsza od starszej z sióstr. Za 5 lat wszystkie razem będą miały 00 lat. Ile lat ma każda z sióstr, a ile ich matka? Zad. 6 Oblicz cenę dyskietki i taśmy do drukarki, wiedząc że taśma jest o zł droższa od dyskietki, a za pięć dyskietek i taśmę zapłacono 33 zł. Zad. 7 Klub sportowy przeznaczył na kupno 8 dresów kwotę w wysokości 860 zł. Zamierza kupić dresy w dwóch gatunkach. Jaką największą liczbę dresów pierwszego gatunku może kupić ten klub, jeśli wiadomo że dres pierwszego gatunku kosztuje 5 zł, a dres drugiego gatunku 80 zł. Zad.8 Pewna firma produkuje samochodziki dla dzieci. Koszty produkcji w czasie miesiąca opisuje funkcja (zł), gdzie 000 jest kosztem stałym, a 5 jest kosztem wyprodukowania jednego samochodziku, zaś x jest liczbą samochodzików. 5. Ile samochodzików wyprodukowano w miesiącu, w którym poniesiono koszty 7000? 6. Jaki był zysk firmy w miesiącu, w którym wyprodukowano 400 samochodzików i sprzedano je po 60 zł za sztukę? Zad. 9 W ciągu trzech godzin samolot przeleciał z wiatrem drogę długości 34 km. Lecąc pod wiatr z taką samą prędkością przeleciał w czasie jednej godziny 34 km. Jaka jest prędkość samolotu, a jaka wiatru? Zad. 0 Zebrano 6 kg świeżych grzybów zawierających 90% wody. Ile będą wazyły te grzyby po wysuszeniu, jeśli zawartość wody spadnie do 40%.

3 3 4_TL. Funkcja kwadratowa Zadanie. Wiedząc, że f(x)=x +3x, gdzie x R, rozwiąż równanie f(x) = f(+x) i podaj jego całkowite rozwiązania. Zadanie Miejscami zerowymi pewnej funkcji kwadratowej f są liczby 3 i 5, a zbiorem wartości tej funkcji jest przedział <, ). a) Podaj wzór funkcji b) określ przedziały monotoniczności funkcji. Zadanie 3 Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji określonej wzorem f(x) = -(x + 3)(x - 4) w przedziale <, 3 >. Zadanie 4 Rozwiązaniem nierówności ax + bx + c 0 jest przedział <, 4 >, a wykres funkcji y = ax + bx + c przecina oś OY w punkcie ( 0, 8 ). Wyznacz współczynniki a i b Zadanie 5 Dana jest funkcja f(x)= x + bx + c.wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli, jeśli miejscami zerowymi tej funkcji są liczby 3 i 5 Zadanie 6 Funkcja f określona jest wzorem: f(x) = mx +4x+. Wyznacz te wartości parametru m, dla których wierzchołek paraboli, będącej wykresem funkcji f, leży nad prostą y = - x 5 Zadanie 7 Na podstawie rysunku podaj wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej Zadanie 8 Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f: a) Napisz wzór funkcji. b) podaj przedziały monotoniczności. c) podaj zbiór wartości funkcji Zadanie 9 Dla jakich wartości parametru m funkcja określona wzorem f(x) = (m - )x - 3x + m+ przyjmuje wartości dodatnie dla każdego x R? Zadanie 0 Dla jakich wartości c funkcje określone wzorami Rys. f(x) = -x + c i g(x) = x + x 5 mają rozłączne zbiory wartości? Zadanie Chodziarz idzie z prędkością v [ m/s ] określoną wzorem v(t) = 0,5 t 0,0 t, gdzie t oznacza czas w sekundach, jaki minął od startu. a)jaką maksymalną prędkość osiągnął chodziarz? b)ile czasu szedł? Zadanie Funkcja kwadratowa określona wzorem f(x) = x +bx +c przyjmuje wartości ujemne tylko dla x (-,).Wyznacz zbiór wartości funkcji. Zadanie 3 Ratownik mający linę długości 80 m chce przy brzegu plaży wytyczyć dla dzieci kąpielisko w kształcie prostokąta o największym obszarze. Jakie wymiary powinno mieć to kąpielisko? Zadanie 4 Napisz wzór funkcji, której wykres jest symetryczny do wykresu funkcji określonej wzorem f(x) = x x - względem prostej y =. Zadanie 5 Dane są funkcje f(x)=x i g(x)= x Rys. a) Dla jakich x zachodzi równość f(x) = g(x)? y x b) Przedstaw w układzie współrzędnych graficzne rozwiązanie układu nierówności y x Zadanie 6 Właściciel księgarni sprzedaje miesięcznie 0 egzemplarzy danej książki w cenie 40 zł. Obniżka ceny książki o zł powoduje przeciętnie zwiększenie sprzedaży o jeden egzemplarz miesięcznie. Jaką cenę książki powinien zaproponować właściciel księgarni, aby jego utarg był maksymalny? Zadanie 7 Liczbę 5 przedstaw w postaci sumy dwóch liczb tak, aby suma kwadratów tych liczb była najmniejsza? Zadanie 8 Znajdź takie dwie liczby, których różnica jest równa 0, a iloczyn jest najmniejszy z możliwych. Zadanie 9 W trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 6 i 8 wpisujemy prostokąt w taki sposób, że dwa jego boki zawarte są w przyprostokątnych, a jeden z wierzchołków leży w przeciwprostokątnej. Zbadaj, jakie powinny być wymiary prostokąta, aby jego pole było największe. Zadanie 0 Funkcja kwadratowa y = ax + bx + maleje w przedziale <, + ), a jej zbiorem wartości jest przedział ( -,5 >. Wyznacz współczynniki a i b.

4 4 4_TL.3 Wielomiany i funkcje wymierne Zad. Wyznacz współczynniki a i b wielomianu W ( x ) = x 3 ax x + b, wiedząc, że W ( ) = 3 oraz w ( 0 ) = -. Zad. Wyznacz najmniejszą wartość wyrażenia x 3 + y 3, wiedząc, że x +y =. Zad. 3 Dane są wielomiany: Q(x) = x 4-8x 3 + x -4x+9 oraz P(x) = x 3 9x +7x +6. Oblicz wartości m i n dla których wielomian W(x) = x 4 + ( m 4 )x 3 ( n + 6 )x 38x 3 jest równy wielomianowi Q(x) P(x). Zad.4 Wielomian W(x) czwartego stopnia ma następujące pierwiastki: 0, -4, 5, ½. Rozwiąż nierówność: W(x) 0, wiedząc, że: W() = Zad 5. Dane są wielomiany: W(x) = x - x, P(x) = ax -0,5b Q(x) = x 3 x x + Dla jakich wartości parametrów a oraz b spełniona jest równość: ( x) P( x) Q( x) W =? Zad 6. Zbuduj wielomian stopnia n, który ma dokładnie dwa pierwiastki r,s, gdy a )n=, r=, s=-3 b )n=4, r=, s= Zad 7. Dla jakich wartości parametru m rzeczywistego wielomian W (x)= (x-)(x-3+m)(x--m) a) ma jeden pierwiastek b) ma dwa różne pierwiastki c) ma trzy różne pierwiastki? Zad 8. Dla jakich wartości parametru m całkowitego wszystkie pierwiastki równania (x-m)(x-m-3)(x+0m-9) są dodatnie? Dla znalezionej wartości m rozwiąż nierówność (x-m)(x-m-3)(x+0m-9)>0 Zad 9. Dla podanego wielomianu W(x) = (x+)(x-3)(x+,5) określ stopień, oblicz jego pierwiastki i podaj dla jakich wartości x wielomian przyjmuje wartości nieujemne. Zad 0. Napisz wielomian najniższego stopnia mając zbiór jego pierwiastków d) {, -, 3, -4 } e) {, -, m-, 5-m } uzasadnij odpowiedź w tym przypadku od wartości parametru m Zad. Wykonaj działania i podaj niezbędne założenia a) 4 3 a + 4x 4 + ; b) x + x + ; c) a + a a 4 x + x ( )( ) ( ) x 4y x y x y Zad. Oblicz wartość liczbową wyrażenia ( x y)( x + y) ( x + y) m m dla x=, i y=,5 Zad. 3 Na rysunku został przedstawiony wykres pewnej proporcjonalności odwrotnej f. a) napisz wzór funkcji f b) dla jakiego argumentu funkcja przyjmuje wartość? 3 c) Oblicz dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości mniejsze od 36 4 m : m + 6m Zad. 4 Rozwiąż równania x x x a) = 0 ; b) x = x 3 x +

5 5 Zad. 5 Rozwiąż nierówność < i podaj najmniejszą liczbę naturalną należącą do zbioru rozwiązań tej nierówności. x 7 Zad. 6 Pole prostokąta jest równe 6 m. Napisz wzór funkcji wyrażającej zależność między długością jednego boku tego prostokąta a długością drugiego. Sporządź jej wykres. 3 f x = przesunięto o dwie jednostki w prawo wzdłuż osi OX i o jedną jednostkę w dół wzdłuż Zad. 7 Wykres funkcji ( ) osi OY a) sporządź wykres tej funkcji b) podaj wzór tej funkcji i zapisz go w postaci g( x) c) wyznacz miejsca zerowe tej funkcji. x = 5 ax cx Zad. 8 Dwa samochody wyruszyły jednocześnie z miasta A. Po pewnym czasie pierwszy znajdował się 30 km od tego miasta, a drugi 40 km. Średnia prędkość drugiego samochodu była o 0 km/h mniejsza od pierwszego. Znajdź średnie prędkości z jakimi poruszały się samochody. 3x Zad. 9 Sprawdź, czy rozwiązania równania + + b d x + = należą do zbioru rozwiązań nierówności x Zad. 0 Gdy jest otwarty kran na ciepłą wodę, to napełnienie całej wanny trwa o 7 minut dłużej niż gdy jest otwarty kran na zimną wodę. Jeśli obydwa krany są otwarte, to napełnienie pustej wanny odbywa się w czasie minut. Ile czasu potrzeba na napełnienie pustej wanny, gdy okręcony jest tylko kran na zimną wodę? x + 5 <

6 4_TL.4 Geometria anlityczna Zad. Dane są punkty ( 6,4), B( 5,6), C(,3) 6 A będące środkami boków KLM. Znajdź współrzędne wierzchołków KLM i współrzędne środka ciężkości. P, i przecinającą prostą x + y + = 0 pod kątem 45. Zad. Znajdź równie prostej przechodzącej przez punkt ( ) Zad. 3 Okrąg o równaniu ( ) + ( y + 3) = 4 równanie okręgu wpisanego w ten trójkąt. x jest opisany na pewnym trójkącie równobocznym ABC. Znajdź Zad. 4 Kwadrat ABCD wpisany jest w okrąg o równaniu x + y + 4y 5 = 0. Znając współrzędne wierzchołka A (, ), znajdź współrzędne pozostałych wierzchołków. 8 5a + 6 A. a + a + Zad. 5 Dane są ( 4,3), B(,6), C( 4,8), D, a) Dla jakich wartości a, punkty A, B, D są współliniowe. b) Wyznacz wszystkie wartości a, dla których kąt przy wierzchołku C BCD jest prosty. c) Oblicz pole czworokąta ACBC, gdzie C jest obrazem punktu C w symetrii względem prostej AB. Zad. 6 Prosta o równaniu + y + 8 = 0 x przecina parabolę = x + x 8 trójkąta ABC, gdzie C jest wierzchołkiem paraboli. Zad. 7 Punkty A (,0) i ( 6,6) Zad. 8 Punkty A ( 0,3 ), B( 0,0), C( 5,0) i ( x,3) y w punktach A i B. Oblicz obwód i pole B są wierzchołkami trójkąta równobocznego ABC. Oblicz pole trójkąta ABC. D, gdzie x R, są kolejnymi wierzchołkami czworokąta ABCD. Wyznacz wartość x, dla której w czworokąt można wpisać okrąg. Dla wyznaczonego x wyznacz równanie tego okręgu. Zad. 9 Sąsiednie boki równoległoboku ABCD zawierają się w prostych m : x y + = 0 i : 3x + y = 0 P 6,4 Przekątne tego równoległoboku przecinają się w punkcie ( ) ABCD i jego pole. Zad. 0 Dane są punkty A (, 3), B( 5, ) l.. Oblicz współrzędne wierzchołków równoległoboku. Odcinek AB jest podstawą trójkąta równoramiennego ABC. Pole trójkąta ABC jest równe 5. Oblicz długość wysokości trójkąta ABC poprowadzonej z wierzchołka C i podaj równanie okręgu opisanego i wpisanego w ten trójkąt. Zad. Wyznacz pole równoległoboku ABCD wiedząc, że ( 0,0), B( 3, ), C ( 4,3) Zad. Niech a = [ 4,3 ], b = [, ]. Wyznacz taki parametr k ( 0) będą równoległe. Zad. 3 Wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach (,), ( 3, ) A.. k, dla którego wektory c = a + 5b oraz kc Zad. 4 Wyznacz pole koła opisanego na trójkącie o wierzchołkach w punktach ( 0,), B (, ), C( 3,3 ) Zad. 5 Dany jest okrąg o środku ( 0,0) i promieniu. Wyznacz taki parametr R y + styczna do okręgu. Zad. 6 Przez punkt ( 0,0) A =. m, aby prosta x m = 0 była A poprowadzono styczne do okręgu o równaniu x + y 4x + y + 5 = 0 trójkąta ABC, gdzie B, C są punktami styczności danych prostych z okręgiem.. Oblicz pole Zad. 7 Bok kwadratu opisanego na okręgu o równaniu x + y = 5 zawiera się w prostej x + y 5 = 0. Wyznacz współrzędne wierzchołków tego kwadratu. Zad. 8 Dana jest parabola o równaniu y = x + bx + c. Prosta o równaniu 5 x y + = 0 jest do niej styczna w punkcie A, a prosta o równaniu x + y + 8 = 0 jest do niej styczna w punkcie B. Oblicz pole trójkąta ABC, w którym punkt C jest wierzchołkiem paraboli. Zad. 9 Okrąg k o środku należącym do prostej o równaniu + y 7 = 0 Napisz równanie tego okręgu. Zad. 0 Punkty A(,5 ), B( 5, ), C( 5,3) x przechodzi przez punkty A ( 0,0) i (,7 ) B. są wierzchołkami trapezu równoramiennego ABCD o podstawie AB. Oblicz współrzędna wierzchołka D oraz pole tego trapezu.

7 7 4_TL.5 Geometria Zadanie Statek płynący z prędkością 9 km/h przecina linię równika pod kątem o mierze 4 i nie zmienia kierunku. Jaka będzie odległość statku od równika po dwóch dobach podróży? Zadanie Mama kupiła tacie koszulę, która okazała się za ciasna: kołnierzyk ściśle przylega do szyi. Koszulę należy wymienić na taką, aby między szyją a kołnierzykiem było 3 mm luzu. O ile numerów większą koszulę należy kupić, jeżeli każdy następny numer powiększa długość kołnierzyka o cm? Zadanie 3 W poniższym starohinduskim wierszu należy odnaleźć i rozwiązać problem matematyczny: Z jeziora wychylił się o pół stopy z wieczora biały lotosu kwiat. Uderzył weń wiatr zawzięty aż lotos ugięty ucałował o dwie stopy dalej błysk kryształowej fali. Wodo zdradliwa, wodo chłodna Jak daleko do dna.? Zadanie 4 Oblicz pole trapezu równoramiennego, w którym przekątna o długości d tworzy z dłuższą podstawą kąt α. Zadanie 5 Punkt P należy do wnętrza kąta o mierze 60 i jest oddalony od ramion kąta o a i b. Wyznacz odległość punktu P od wierzchołka kąta. Zadanie 6 Długości boków trójkąta wynoszą 0, 0,. Oblicz odległości środka okręgu wpisanego w ten trójkąt od wierzchołków trójkąta. Zadanie 7 Każdy z boków trójkąta o polu 7 podzielono na trzy części w stosunku :4:. Oblicz pole sześciokąta, którego wierzchołkami są punkty podziału boków. Zadanie 8 Wierzchołek komina widać z punktu A pod kątem 6, a z punktu B pod kątem 40. Podstawa komina oraz punkty A i B leżą na jednej prostej. Komin ma wysokość 0 m. Jaka jest odległość między punktami A i B? Zadanie 9 Jedno ramię szlabanu na przejeździe kolejowym na 5 m długości, a drugie ma m. W położeniu poziomym szlaban znajduje się 0,75 m nad ziemią. Gdy szlaban jest podniesiony, krótsze ramię szlabanu dotyka ziemi. Na jaką wysokość podnosi się dłuższe ramię? Pomiń szerokość ramienia szlabanu. Zadanie 0 W pewnej chwili samolot znajduję się bezpośrednio nad Tobą, a po 30 sekundach przesuwa się tak, że widzisz go pod kątem 35 w stosunku do poprzedniego położenia. Jak wysoko leci samolot przy założeniu, że leci z prędkością 800 km/h? Zadanie W trójkącie prostokątnym dana jest długość krótszej przyprostokątnej a=6 cm. Wiedząc, że przyprostokątne tego trójkąta pozostają w stosunku 3:4, oblicz długość promienia okręgu wpisanego i opisanego na tym trójkącie. Zadanie Dwa zewnętrznie styczne okręgi są styczne do ramion kąta. Odległości ich środków od wierzchołka kąta wynoszą odpowiednio: 7 cm i cm. Oblicz długości promieni tych okręgów. Zadanie 3 W wycinek koła o promieniu 60 cm wpisano okrąg o promieniu 0 cm. Wyznacz obwód i pole tego wycinka. Zadanie 4 O ile zwiększy się liczba przekątnych w wielokącie, jeżeli liczbę boków zwiększymy o? Zadanie 5 Na trójkącie ABC, w którym = 50 BAC i = 70 ABC opisano okrąg, a następnie przez punkt C poprowadzono styczną do tego okręgu przecinającą prostą AB w punkcie D. Wyznacz kąty wewnętrzne trójkąta BCD. Zadanie 6 Oblicz długość boku kwadratu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku długości 6 cm. Zadanie 7 W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 5 i 0. Na krótszej przyprostokątnej jako na średnicy zbudowano okrąg. Oblicz długości odcinków na jakie ten okrąg podzielił przeciwprostokątną. Zadanie 8 W trapezie równoramiennym dłuższa podstawa ma długość 0, zaś ramię o długości 6 jest prostopadłe do przekątnej. Oblicz odległość punktu przecięcia się przekątnych trapezu od jego dłuższej podstawy. Zadanie 9 Oblicz pole trapezu równoramiennego ABCD o podstawach AB i CD takich, że AB=0 i CD= wiedząc, że przekątne trapezu są do siebie prostopadłe. Zadanie 0 W trójkącie równoramiennym ABC damesą podstawa AB = 0 oraz ramiona AC = BC = 3. długość środkowych tego trójkąta. Znajdź