Grudziądzki Konkurs Matematyczny 2009 Klasy Technikum i Liceum

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Grudziądzki Konkurs Matematyczny 2009 Klasy Technikum i Liceum"

Transkrypt

1 Grudziądzki Konkurs Matematyczny 009 Klasy Technikum i Liceum 4_TL. Funkcja liniowa str. 4_TL. Funkcja kwadratowa str. 3 4_TL.3 Wielomiany i funkcje wymierne str. 4 4_TL.4 Geometria analityczna str. 6 4_TL.5 Geometria str. 7

2 4_TL. Funkcja liniowa Zad. Funkcja g opisana jest wzorem: Naszkicuj wykres funkcji i wyznacz przedziały monotoniczności i miejsca zerowe. Zad. Wielkości z i t, występujące w tabelce, związane są z zależnością, gdzie a jest wartością stałą. Dokonano sześciu pomiarów zmiennej t i odpowiadającej wartości z. Zauważono że jeden z pomiarów należy uznać za błędny. Wskaż błędny pomiar i ustal liczbę a. t 0, z,5,5-5 -7,5 0,5 5 Zad. 3 Funkcja f jest rosnącą funkcją liniową. Funkcja ta przyjmuje wartości dodatnie wtedy i tylko wtedy, gdy. Wyznacz miejsce zerowe funkcji f. Zad. 4 Funkcja f jest jest funkcją liniową, oraz. Wyznacz wzór funkcji f i oblicz jej największą wartość w przedziale. Zad. 5 Funkcja f jest malejącą funkcją liniową. W przedziale osiąga wartość największą równą 6 i wartość najmniejszą równą 3. Naszkicuj wykres funkcji f w podanym przedziale i znajdź jej wzór. Zad6. Naszkicuj wykres funkcji f danej wzorem. Podaj zbiór wartości funkcji. Zad. 7 Dana jest funkcja dla. Naszkicuj wykres funkcji f,. Naszkicuj wykres funkcji, 3. Naszkicuj wykres funkcji. Zad. 8 Dana jest funkcja. Wyznacz parametr m, tak aby: a) Do wykresu należał punkt, b) Miejscem zerowym była liczba, c) Funkcja była malejąca. Zad. 9 Naszkicuj wykres funkcji. Odczytaj z wykresu miejsca zerowe i przedziały monotoniczności funkcji f. Zad. 0 Wyznacz wzór funkcji liniowej, wiedząc że jej wykres przechodzi przez punkt i jest nachylony do osi OX pod kątem. Zad. Napisz wzór funkcji liniowej, wiedząc że miejscem zerowym funkcji jest liczba i do wykresu funkcji należy punkt. Zad. Wyznacz wzór funkcji liniowej oraz kąt nachylenia wykresu tej funkcji do osi OX, jeśli wiadomo że do jej wykresu należą punkty oraz. Zad.3 Trzy miasta A, B, C są tak położone, że długość drogi z A do C przez miasto B jest równa 90 km, z B do A przez C 6 km, a z C do B przez A 69 km. Oblicz odległość między tymi miastami. Zad. 4 Oblicz pole figury wyznaczonej przez układ nierówności:,,. Zad. 5 Dwie siostry mają razem 4 lat, a ich matka jest dwa razy starsza od starszej z sióstr. Za 5 lat wszystkie razem będą miały 00 lat. Ile lat ma każda z sióstr, a ile ich matka? Zad. 6 Oblicz cenę dyskietki i taśmy do drukarki, wiedząc że taśma jest o zł droższa od dyskietki, a za pięć dyskietek i taśmę zapłacono 33 zł. Zad. 7 Klub sportowy przeznaczył na kupno 8 dresów kwotę w wysokości 860 zł. Zamierza kupić dresy w dwóch gatunkach. Jaką największą liczbę dresów pierwszego gatunku może kupić ten klub, jeśli wiadomo że dres pierwszego gatunku kosztuje 5 zł, a dres drugiego gatunku 80 zł. Zad.8 Pewna firma produkuje samochodziki dla dzieci. Koszty produkcji w czasie miesiąca opisuje funkcja (zł), gdzie 000 jest kosztem stałym, a 5 jest kosztem wyprodukowania jednego samochodziku, zaś x jest liczbą samochodzików. 5. Ile samochodzików wyprodukowano w miesiącu, w którym poniesiono koszty 7000? 6. Jaki był zysk firmy w miesiącu, w którym wyprodukowano 400 samochodzików i sprzedano je po 60 zł za sztukę? Zad. 9 W ciągu trzech godzin samolot przeleciał z wiatrem drogę długości 34 km. Lecąc pod wiatr z taką samą prędkością przeleciał w czasie jednej godziny 34 km. Jaka jest prędkość samolotu, a jaka wiatru? Zad. 0 Zebrano 6 kg świeżych grzybów zawierających 90% wody. Ile będą wazyły te grzyby po wysuszeniu, jeśli zawartość wody spadnie do 40%.

3 3 4_TL. Funkcja kwadratowa Zadanie. Wiedząc, że f(x)=x +3x, gdzie x R, rozwiąż równanie f(x) = f(+x) i podaj jego całkowite rozwiązania. Zadanie Miejscami zerowymi pewnej funkcji kwadratowej f są liczby 3 i 5, a zbiorem wartości tej funkcji jest przedział <, ). a) Podaj wzór funkcji b) określ przedziały monotoniczności funkcji. Zadanie 3 Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji określonej wzorem f(x) = -(x + 3)(x - 4) w przedziale <, 3 >. Zadanie 4 Rozwiązaniem nierówności ax + bx + c 0 jest przedział <, 4 >, a wykres funkcji y = ax + bx + c przecina oś OY w punkcie ( 0, 8 ). Wyznacz współczynniki a i b Zadanie 5 Dana jest funkcja f(x)= x + bx + c.wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli, jeśli miejscami zerowymi tej funkcji są liczby 3 i 5 Zadanie 6 Funkcja f określona jest wzorem: f(x) = mx +4x+. Wyznacz te wartości parametru m, dla których wierzchołek paraboli, będącej wykresem funkcji f, leży nad prostą y = - x 5 Zadanie 7 Na podstawie rysunku podaj wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej Zadanie 8 Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f: a) Napisz wzór funkcji. b) podaj przedziały monotoniczności. c) podaj zbiór wartości funkcji Zadanie 9 Dla jakich wartości parametru m funkcja określona wzorem f(x) = (m - )x - 3x + m+ przyjmuje wartości dodatnie dla każdego x R? Zadanie 0 Dla jakich wartości c funkcje określone wzorami Rys. f(x) = -x + c i g(x) = x + x 5 mają rozłączne zbiory wartości? Zadanie Chodziarz idzie z prędkością v [ m/s ] określoną wzorem v(t) = 0,5 t 0,0 t, gdzie t oznacza czas w sekundach, jaki minął od startu. a)jaką maksymalną prędkość osiągnął chodziarz? b)ile czasu szedł? Zadanie Funkcja kwadratowa określona wzorem f(x) = x +bx +c przyjmuje wartości ujemne tylko dla x (-,).Wyznacz zbiór wartości funkcji. Zadanie 3 Ratownik mający linę długości 80 m chce przy brzegu plaży wytyczyć dla dzieci kąpielisko w kształcie prostokąta o największym obszarze. Jakie wymiary powinno mieć to kąpielisko? Zadanie 4 Napisz wzór funkcji, której wykres jest symetryczny do wykresu funkcji określonej wzorem f(x) = x x - względem prostej y =. Zadanie 5 Dane są funkcje f(x)=x i g(x)= x Rys. a) Dla jakich x zachodzi równość f(x) = g(x)? y x b) Przedstaw w układzie współrzędnych graficzne rozwiązanie układu nierówności y x Zadanie 6 Właściciel księgarni sprzedaje miesięcznie 0 egzemplarzy danej książki w cenie 40 zł. Obniżka ceny książki o zł powoduje przeciętnie zwiększenie sprzedaży o jeden egzemplarz miesięcznie. Jaką cenę książki powinien zaproponować właściciel księgarni, aby jego utarg był maksymalny? Zadanie 7 Liczbę 5 przedstaw w postaci sumy dwóch liczb tak, aby suma kwadratów tych liczb była najmniejsza? Zadanie 8 Znajdź takie dwie liczby, których różnica jest równa 0, a iloczyn jest najmniejszy z możliwych. Zadanie 9 W trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 6 i 8 wpisujemy prostokąt w taki sposób, że dwa jego boki zawarte są w przyprostokątnych, a jeden z wierzchołków leży w przeciwprostokątnej. Zbadaj, jakie powinny być wymiary prostokąta, aby jego pole było największe. Zadanie 0 Funkcja kwadratowa y = ax + bx + maleje w przedziale <, + ), a jej zbiorem wartości jest przedział ( -,5 >. Wyznacz współczynniki a i b.

4 4 4_TL.3 Wielomiany i funkcje wymierne Zad. Wyznacz współczynniki a i b wielomianu W ( x ) = x 3 ax x + b, wiedząc, że W ( ) = 3 oraz w ( 0 ) = -. Zad. Wyznacz najmniejszą wartość wyrażenia x 3 + y 3, wiedząc, że x +y =. Zad. 3 Dane są wielomiany: Q(x) = x 4-8x 3 + x -4x+9 oraz P(x) = x 3 9x +7x +6. Oblicz wartości m i n dla których wielomian W(x) = x 4 + ( m 4 )x 3 ( n + 6 )x 38x 3 jest równy wielomianowi Q(x) P(x). Zad.4 Wielomian W(x) czwartego stopnia ma następujące pierwiastki: 0, -4, 5, ½. Rozwiąż nierówność: W(x) 0, wiedząc, że: W() = Zad 5. Dane są wielomiany: W(x) = x - x, P(x) = ax -0,5b Q(x) = x 3 x x + Dla jakich wartości parametrów a oraz b spełniona jest równość: ( x) P( x) Q( x) W =? Zad 6. Zbuduj wielomian stopnia n, który ma dokładnie dwa pierwiastki r,s, gdy a )n=, r=, s=-3 b )n=4, r=, s= Zad 7. Dla jakich wartości parametru m rzeczywistego wielomian W (x)= (x-)(x-3+m)(x--m) a) ma jeden pierwiastek b) ma dwa różne pierwiastki c) ma trzy różne pierwiastki? Zad 8. Dla jakich wartości parametru m całkowitego wszystkie pierwiastki równania (x-m)(x-m-3)(x+0m-9) są dodatnie? Dla znalezionej wartości m rozwiąż nierówność (x-m)(x-m-3)(x+0m-9)>0 Zad 9. Dla podanego wielomianu W(x) = (x+)(x-3)(x+,5) określ stopień, oblicz jego pierwiastki i podaj dla jakich wartości x wielomian przyjmuje wartości nieujemne. Zad 0. Napisz wielomian najniższego stopnia mając zbiór jego pierwiastków d) {, -, 3, -4 } e) {, -, m-, 5-m } uzasadnij odpowiedź w tym przypadku od wartości parametru m Zad. Wykonaj działania i podaj niezbędne założenia a) 4 3 a + 4x 4 + ; b) x + x + ; c) a + a a 4 x + x ( )( ) ( ) x 4y x y x y Zad. Oblicz wartość liczbową wyrażenia ( x y)( x + y) ( x + y) m m dla x=, i y=,5 Zad. 3 Na rysunku został przedstawiony wykres pewnej proporcjonalności odwrotnej f. a) napisz wzór funkcji f b) dla jakiego argumentu funkcja przyjmuje wartość? 3 c) Oblicz dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości mniejsze od 36 4 m : m + 6m Zad. 4 Rozwiąż równania x x x a) = 0 ; b) x = x 3 x +

5 5 Zad. 5 Rozwiąż nierówność < i podaj najmniejszą liczbę naturalną należącą do zbioru rozwiązań tej nierówności. x 7 Zad. 6 Pole prostokąta jest równe 6 m. Napisz wzór funkcji wyrażającej zależność między długością jednego boku tego prostokąta a długością drugiego. Sporządź jej wykres. 3 f x = przesunięto o dwie jednostki w prawo wzdłuż osi OX i o jedną jednostkę w dół wzdłuż Zad. 7 Wykres funkcji ( ) osi OY a) sporządź wykres tej funkcji b) podaj wzór tej funkcji i zapisz go w postaci g( x) c) wyznacz miejsca zerowe tej funkcji. x = 5 ax cx Zad. 8 Dwa samochody wyruszyły jednocześnie z miasta A. Po pewnym czasie pierwszy znajdował się 30 km od tego miasta, a drugi 40 km. Średnia prędkość drugiego samochodu była o 0 km/h mniejsza od pierwszego. Znajdź średnie prędkości z jakimi poruszały się samochody. 3x Zad. 9 Sprawdź, czy rozwiązania równania + + b d x + = należą do zbioru rozwiązań nierówności x Zad. 0 Gdy jest otwarty kran na ciepłą wodę, to napełnienie całej wanny trwa o 7 minut dłużej niż gdy jest otwarty kran na zimną wodę. Jeśli obydwa krany są otwarte, to napełnienie pustej wanny odbywa się w czasie minut. Ile czasu potrzeba na napełnienie pustej wanny, gdy okręcony jest tylko kran na zimną wodę? x + 5 <

6 4_TL.4 Geometria anlityczna Zad. Dane są punkty ( 6,4), B( 5,6), C(,3) 6 A będące środkami boków KLM. Znajdź współrzędne wierzchołków KLM i współrzędne środka ciężkości. P, i przecinającą prostą x + y + = 0 pod kątem 45. Zad. Znajdź równie prostej przechodzącej przez punkt ( ) Zad. 3 Okrąg o równaniu ( ) + ( y + 3) = 4 równanie okręgu wpisanego w ten trójkąt. x jest opisany na pewnym trójkącie równobocznym ABC. Znajdź Zad. 4 Kwadrat ABCD wpisany jest w okrąg o równaniu x + y + 4y 5 = 0. Znając współrzędne wierzchołka A (, ), znajdź współrzędne pozostałych wierzchołków. 8 5a + 6 A. a + a + Zad. 5 Dane są ( 4,3), B(,6), C( 4,8), D, a) Dla jakich wartości a, punkty A, B, D są współliniowe. b) Wyznacz wszystkie wartości a, dla których kąt przy wierzchołku C BCD jest prosty. c) Oblicz pole czworokąta ACBC, gdzie C jest obrazem punktu C w symetrii względem prostej AB. Zad. 6 Prosta o równaniu + y + 8 = 0 x przecina parabolę = x + x 8 trójkąta ABC, gdzie C jest wierzchołkiem paraboli. Zad. 7 Punkty A (,0) i ( 6,6) Zad. 8 Punkty A ( 0,3 ), B( 0,0), C( 5,0) i ( x,3) y w punktach A i B. Oblicz obwód i pole B są wierzchołkami trójkąta równobocznego ABC. Oblicz pole trójkąta ABC. D, gdzie x R, są kolejnymi wierzchołkami czworokąta ABCD. Wyznacz wartość x, dla której w czworokąt można wpisać okrąg. Dla wyznaczonego x wyznacz równanie tego okręgu. Zad. 9 Sąsiednie boki równoległoboku ABCD zawierają się w prostych m : x y + = 0 i : 3x + y = 0 P 6,4 Przekątne tego równoległoboku przecinają się w punkcie ( ) ABCD i jego pole. Zad. 0 Dane są punkty A (, 3), B( 5, ) l.. Oblicz współrzędne wierzchołków równoległoboku. Odcinek AB jest podstawą trójkąta równoramiennego ABC. Pole trójkąta ABC jest równe 5. Oblicz długość wysokości trójkąta ABC poprowadzonej z wierzchołka C i podaj równanie okręgu opisanego i wpisanego w ten trójkąt. Zad. Wyznacz pole równoległoboku ABCD wiedząc, że ( 0,0), B( 3, ), C ( 4,3) Zad. Niech a = [ 4,3 ], b = [, ]. Wyznacz taki parametr k ( 0) będą równoległe. Zad. 3 Wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach (,), ( 3, ) A.. k, dla którego wektory c = a + 5b oraz kc Zad. 4 Wyznacz pole koła opisanego na trójkącie o wierzchołkach w punktach ( 0,), B (, ), C( 3,3 ) Zad. 5 Dany jest okrąg o środku ( 0,0) i promieniu. Wyznacz taki parametr R y + styczna do okręgu. Zad. 6 Przez punkt ( 0,0) A =. m, aby prosta x m = 0 była A poprowadzono styczne do okręgu o równaniu x + y 4x + y + 5 = 0 trójkąta ABC, gdzie B, C są punktami styczności danych prostych z okręgiem.. Oblicz pole Zad. 7 Bok kwadratu opisanego na okręgu o równaniu x + y = 5 zawiera się w prostej x + y 5 = 0. Wyznacz współrzędne wierzchołków tego kwadratu. Zad. 8 Dana jest parabola o równaniu y = x + bx + c. Prosta o równaniu 5 x y + = 0 jest do niej styczna w punkcie A, a prosta o równaniu x + y + 8 = 0 jest do niej styczna w punkcie B. Oblicz pole trójkąta ABC, w którym punkt C jest wierzchołkiem paraboli. Zad. 9 Okrąg k o środku należącym do prostej o równaniu + y 7 = 0 Napisz równanie tego okręgu. Zad. 0 Punkty A(,5 ), B( 5, ), C( 5,3) x przechodzi przez punkty A ( 0,0) i (,7 ) B. są wierzchołkami trapezu równoramiennego ABCD o podstawie AB. Oblicz współrzędna wierzchołka D oraz pole tego trapezu.

7 7 4_TL.5 Geometria Zadanie Statek płynący z prędkością 9 km/h przecina linię równika pod kątem o mierze 4 i nie zmienia kierunku. Jaka będzie odległość statku od równika po dwóch dobach podróży? Zadanie Mama kupiła tacie koszulę, która okazała się za ciasna: kołnierzyk ściśle przylega do szyi. Koszulę należy wymienić na taką, aby między szyją a kołnierzykiem było 3 mm luzu. O ile numerów większą koszulę należy kupić, jeżeli każdy następny numer powiększa długość kołnierzyka o cm? Zadanie 3 W poniższym starohinduskim wierszu należy odnaleźć i rozwiązać problem matematyczny: Z jeziora wychylił się o pół stopy z wieczora biały lotosu kwiat. Uderzył weń wiatr zawzięty aż lotos ugięty ucałował o dwie stopy dalej błysk kryształowej fali. Wodo zdradliwa, wodo chłodna Jak daleko do dna.? Zadanie 4 Oblicz pole trapezu równoramiennego, w którym przekątna o długości d tworzy z dłuższą podstawą kąt α. Zadanie 5 Punkt P należy do wnętrza kąta o mierze 60 i jest oddalony od ramion kąta o a i b. Wyznacz odległość punktu P od wierzchołka kąta. Zadanie 6 Długości boków trójkąta wynoszą 0, 0,. Oblicz odległości środka okręgu wpisanego w ten trójkąt od wierzchołków trójkąta. Zadanie 7 Każdy z boków trójkąta o polu 7 podzielono na trzy części w stosunku :4:. Oblicz pole sześciokąta, którego wierzchołkami są punkty podziału boków. Zadanie 8 Wierzchołek komina widać z punktu A pod kątem 6, a z punktu B pod kątem 40. Podstawa komina oraz punkty A i B leżą na jednej prostej. Komin ma wysokość 0 m. Jaka jest odległość między punktami A i B? Zadanie 9 Jedno ramię szlabanu na przejeździe kolejowym na 5 m długości, a drugie ma m. W położeniu poziomym szlaban znajduje się 0,75 m nad ziemią. Gdy szlaban jest podniesiony, krótsze ramię szlabanu dotyka ziemi. Na jaką wysokość podnosi się dłuższe ramię? Pomiń szerokość ramienia szlabanu. Zadanie 0 W pewnej chwili samolot znajduję się bezpośrednio nad Tobą, a po 30 sekundach przesuwa się tak, że widzisz go pod kątem 35 w stosunku do poprzedniego położenia. Jak wysoko leci samolot przy założeniu, że leci z prędkością 800 km/h? Zadanie W trójkącie prostokątnym dana jest długość krótszej przyprostokątnej a=6 cm. Wiedząc, że przyprostokątne tego trójkąta pozostają w stosunku 3:4, oblicz długość promienia okręgu wpisanego i opisanego na tym trójkącie. Zadanie Dwa zewnętrznie styczne okręgi są styczne do ramion kąta. Odległości ich środków od wierzchołka kąta wynoszą odpowiednio: 7 cm i cm. Oblicz długości promieni tych okręgów. Zadanie 3 W wycinek koła o promieniu 60 cm wpisano okrąg o promieniu 0 cm. Wyznacz obwód i pole tego wycinka. Zadanie 4 O ile zwiększy się liczba przekątnych w wielokącie, jeżeli liczbę boków zwiększymy o? Zadanie 5 Na trójkącie ABC, w którym = 50 BAC i = 70 ABC opisano okrąg, a następnie przez punkt C poprowadzono styczną do tego okręgu przecinającą prostą AB w punkcie D. Wyznacz kąty wewnętrzne trójkąta BCD. Zadanie 6 Oblicz długość boku kwadratu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku długości 6 cm. Zadanie 7 W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 5 i 0. Na krótszej przyprostokątnej jako na średnicy zbudowano okrąg. Oblicz długości odcinków na jakie ten okrąg podzielił przeciwprostokątną. Zadanie 8 W trapezie równoramiennym dłuższa podstawa ma długość 0, zaś ramię o długości 6 jest prostopadłe do przekątnej. Oblicz odległość punktu przecięcia się przekątnych trapezu od jego dłuższej podstawy. Zadanie 9 Oblicz pole trapezu równoramiennego ABCD o podstawach AB i CD takich, że AB=0 i CD= wiedząc, że przekątne trapezu są do siebie prostopadłe. Zadanie 0 W trójkącie równoramiennym ABC damesą podstawa AB = 0 oraz ramiona AC = BC = 3. długość środkowych tego trójkąta. Znajdź

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2).

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2). 1. Narysuj poniższe figury: a), b), c) 2. Punkty A = (0;1) oraz B = (-1;0) należą do okręgu którego środek należy do prostej o równaniu x-2 = 0. Podaj równanie okręgu. 3. Znaleźć równanie okręgu przechodzącego

Bardziej szczegółowo

7. PLANIMETRIA.GEOMETRIA ANALITYCZNA

7. PLANIMETRIA.GEOMETRIA ANALITYCZNA 7. PLANIMETRIA.GEOMETRIA ANALITYCZNA ZADANIA ZAMKNIĘTE 1. Okrąg o równaniu : A) nie przecina osi, B) nie przecina osi, C) przechodzi przez początek układu współrzędnych, D) przechodzi przez punkt. 2. Stosunek

Bardziej szczegółowo

Określ zbiór wartości i przedziały monotoniczności funkcji.

Określ zbiór wartości i przedziały monotoniczności funkcji. Zadanie 1 Sprowadź do postaci ogólnej funkcję kwadratową Zadanie 2 Wyznacz zbiór wartości funkcji Zadanie 3 Określ zbiór wartości i przedziały monotoniczności funkcji Zadanie 4 Wykres funkcji kwadratowej

Bardziej szczegółowo

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź.

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź. ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska Zad.1. (5 pkt) Sprawdź, czy funkcja określona wzorem x( x 1)( x ) x 3x dla x 1 i x dla x 1 f ( x) 1 3 dla

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0, C. 0. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA 3, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0,3 C. 30. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba

Bardziej szczegółowo

Zad. 8(3pkt) Na podstawie definicji wykaż, że funkcja y=

Zad. 8(3pkt) Na podstawie definicji wykaż, że funkcja y= Funkcje, funkcja liniowa, funkcja kwadratowa powt. kl. 3d Zad. 1 (5pkt.) Dana jest funkcja f(x)=. Narysuj wykres funkcji g(x)= -f(x). Rozwiąż nierówność g(x). Podaj liczbę rozwiązań równania g(x)=m w zależności

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania

Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania FUNKCJA KWADRATOWA Wykres funkcji f (x) = ax Przesunięcie wykresu funkcji f(x) = ax o wektor Postać kanoniczna i postać ogólna funkcji kwadratowej

Bardziej szczegółowo

ZESTAW PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI ZAKRES ROZSZERZONY

ZESTAW PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI ZAKRES ROZSZERZONY ZESTAW PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI ZAKRES ROZSZERZONY Zadanie Wskaż w zbiorze A = Zadanie Usuń niewymierność z wyrażenia,(0); 0,9; ; 0; 8; 0; 0 liczby wymierne 6 Zadanie Rozwiąż nierówność x + > Rozwiązanie

Bardziej szczegółowo

na postać kanoniczną, podaj współrzędne wierzchołka paraboli i określ czy jej ramiona są skierowane w górę czy w dół.

na postać kanoniczną, podaj współrzędne wierzchołka paraboli i określ czy jej ramiona są skierowane w górę czy w dół. Zadania na poprawkę dla sa f x x 1x na postać kanoniczną, podaj współrzędne wierzchołka paraboli i określ czy jej ramiona są skierowane w górę czy w dół. 1. Zamień postać ogólną funkcji kwadratowej 5.

Bardziej szczegółowo

Tematy: zadania tematyczne

Tematy: zadania tematyczne Tematy: zadania tematyczne 1. Ciągi liczbowe zadania typu udowodnij 1) Udowodnij, Ŝe jeŝeli liczby,, tworzą ciąg arytmetyczny ), to liczby,, takŝe tworzą ciąg arytmetyczny. 2) Ciąg jest ciągiem geometrycznym.

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

Planimetria VII. Wymagania egzaminacyjne:

Planimetria VII. Wymagania egzaminacyjne: Wymagania egzaminacyjne: a) korzysta ze związków między kątem środkowym, kątem wpisanym i kątem między styczną a cięciwą okręgu, b) wykorzystuje własności figur podobnych w zadaniach, w tym umieszczonych

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI

FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI. Napisz równanie prostej przechodzącej przez początek układu i prostopadłej do prostej 3x-y+=0.. Oblicz pole trójkąta ograniczonego osiami układy i prostą x+y-6=0. 3. Odcinek o

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM.

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM. I. Funkcje. ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM. 1. Pojęcie funkcji i jej dziedzina. 2. Zbiór wartości funkcji. 3. Wykres funkcji liczbowej i odczytywanie jej własności

Bardziej szczegółowo

Klasa III technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień I. CIĄGI LICZBOWE 1. Pojęcie ciągu liczbowego. b) a n =

Klasa III technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień I. CIĄGI LICZBOWE 1. Pojęcie ciągu liczbowego. b) a n = /9 Narysuj wykres ciągu (a n ) o wyrazie ogólnym: I. CIĄGI LICZBOWE. Pojęcie ciągu liczbowego. a) a n =5n dla n

Bardziej szczegółowo

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności

Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności I. Pojęcie funkcji definicja różne sposoby opisu funkcji określenie dziedziny, zbioru wartości, miejsc zerowych. Należy

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

Odległośc w układzie współrzędnych. Środek odcinka.

Odległośc w układzie współrzędnych. Środek odcinka. GEOMETRIA ANALITYCZNA ZADANIA. Odległośc w układzie współrzędnych. Środek odcinka. Zad. 1 Wyznacz odległość między punktami A i B (długość odcinka AB) jeżeli: d = Zad. 2 a) A=(5,-3) B=(-2,3) b) A=(-2,2)

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM.

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM. I. Funkcje. ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE II TECHNIKUM. 1. Pojęcie funkcji i jej dziedzina. 2. Zbiór wartości funkcji. 3. Wykres funkcji liczbowej i odczytywanie jej własności

Bardziej szczegółowo

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM Zespól Szkół Ogólnokształcących i Zawodowych w Ciechanowcu 23 czerwca 2017r. Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM Strona 1 z 9 1. Geometria płaska trójkąty zna

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA ANALITYCZNA. Poziom podstawowy

GEOMETRIA ANALITYCZNA. Poziom podstawowy GEOMETRIA ANALITYCZNA Poziom podstawowy Zadanie (4 pkt.) Dana jest prosta k opisana równaniem ogólnym x + y 6. a) napisz równanie prostej k w postaci kierunkowej. b) podaj współczynnik kierunkowy prostej

Bardziej szczegółowo

1. Oblicz miarę kąta wpisanego i środkowego opartych na tym samym łuku równym 1/10 długości okręgu. 2. Wyznacz kąty x i y. Odpowiedź uzasadnij.

1. Oblicz miarę kąta wpisanego i środkowego opartych na tym samym łuku równym 1/10 długości okręgu. 2. Wyznacz kąty x i y. Odpowiedź uzasadnij. lb. Oblicz miarę kąta wpisanego i środkowego opartych na tym samym łuku równym /0 długości okręgu.. Wyznacz kąty i y. Odpowiedź uzasadnij. 3. Wyznacz miary kątów α i β. 4. Wyznacz miary kątów α i β. 5.

Bardziej szczegółowo

Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI

Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI MATEMATYKA ZAKRES PODSTAWOWY Rok szkolny 01/013 Klasa: II Nauczyciel: Mirosław Kołomyjski Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI Lp. Zagadnienie Osiągnięcia ucznia. 1. Podstawowe własności funkcji.. Podaje określenie

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania

Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania Zagadnienia z matematyki dla klasy II oraz przykładowe zadania FUNKCJA KWADRATOWA Wykres funkcji f () = a Przesunięcie wykresu funkcji f() = a o wektor Postać kanoniczna i postać ogólna funkcji kwadratowej

Bardziej szczegółowo

Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej.

Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej. C Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej. Zad. 1 Oblicz pole trójkąta o bokach 13 cm, 14 cm, 15cm. Zad. 2 W trójkącie ABC rys. 1 kąty

Bardziej szczegółowo

x+h=10 zatem h=10-x gdzie x>0 i h>0

x+h=10 zatem h=10-x gdzie x>0 i h>0 Zadania optymalizacyjne. Jaka jest największa możliwa wartość iloczynu dwóch liczb, których suma jest równa 60? Rozwiązanie: KROK USTALENIE WZORU Liczby oznaczamy przez a i b więc x+y=60 Następnie wyznaczamy

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zad. 1 (2 pkt) Rozwiąż równanie Zad.2 (2 pkt) 2 3x 1 = 1 2x 2 Rozwiąż układ równań x +3y =5 2x y = 3 Zad.3 (2 pkt) 2 Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0 Zad.4 (2 pkt) 3 2

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ klasa 2b

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ klasa 2b MATEMATYKA materiał ćwiczeniowy CZERWIEC 0 Instrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz zawiera 4 stron.. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to przeznaczonym.. W zadaniach od do są podane

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI PRZED MATURĄ MAJ 2017 POZIOM PODSTAWOWY Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15 stron (zadania 1 33). 2. Rozwiązania zadań wpisuj

Bardziej szczegółowo

VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH

VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH VIII. ZIÓR PRZYKŁDOWYCH ZDŃ MTURLNYCH ZDNI ZMKNIĘTE Zadanie. ( pkt) 0 90 Liczba 9 jest równa 0.. 00 C. 0 9 D. 700 7 Zadanie. 8 ( pkt) Liczba 9 jest równa.. 9 C. D. 5 Zadanie. ( pkt) Liczba log jest równa.

Bardziej szczegółowo

Planimetria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie

Planimetria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie Planimetria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie http://www.zadania.info/) 1. W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona na przeciwprostokątną ma długość 10 cm, a promień okręgu

Bardziej szczegółowo

Zadania otwarte. 1. Sprawdź, czy dla każdego kąta ostrego zachodzi równośd:

Zadania otwarte. 1. Sprawdź, czy dla każdego kąta ostrego zachodzi równośd: Klasa II Zadania otwarte 1. Sprawdź, czy dla każdego kąta ostrego zachodzi równośd: 1 cos = tg. cos 1+sin. Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt (-3,5) i nachylonej do osix pod katem 60 0.

Bardziej szczegółowo

Międzyszkolne Zawody Matematyczne Klasa I LO i I Technikum - zakres podstawowy Etap wojewódzki 02.04.2005 rok Czas rozwiązywania zadań 150 minut

Międzyszkolne Zawody Matematyczne Klasa I LO i I Technikum - zakres podstawowy Etap wojewódzki 02.04.2005 rok Czas rozwiązywania zadań 150 minut Klasa I - zakres podstawowy Etap wojewódzki 17.04.004 rok Zad 1 ( 6 pkt) Znajdź wszystkie liczby czterocyfrowe podzielne przez 15, w których cyfrą tysięcy jest jeden, a cyfrą dziesiątek dwa. Odpowiedź

Bardziej szczegółowo

PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM

PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM PRZYKŁADOWE ZADANIA Z MATEMATYKI NA POZIOMIE PODSTAWOWYM Zad.1. (0-1) Liczba 3 8 3 3 9 2 A. 3 3 Zad.2. (0-1) jest równa: Liczba log24 jest równa: B. 3 32 9 C. 3 4 D. 3 5 A. 2log2 + log20 B. log6 + 2log2

Bardziej szczegółowo

PRACA KONTROLNA nr 1

PRACA KONTROLNA nr 1 XXXV KORESPONDENCYJNY KURS Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 005r. 1. Niech f(x) = x + bx + 5. Wyznaczyć wszystkie wartości parametru b, dla których: a) wykres funkcji f jest symetryczny względem

Bardziej szczegółowo

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I C LO (Rok szkolny 2015/16) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I C LO (Rok szkolny 2015/16) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I C LO (Rok szkolny 05/6) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum (osiągnięcia ucznia w zakresie podstawowym) I. Liczby rzeczywiste. Język

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY. (zakres podstawowy) klasa 2

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY. (zakres podstawowy) klasa 2 WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY (zakres podstawowy) klasa 2 1. Funkcja liniowa Tematyka zajęć: Proporcjonalność prosta Funkcja liniowa. Wykres funkcji liniowej Miejsce zerowe funkcji liniowej.

Bardziej szczegółowo

MATURA probna listopad 2010

MATURA probna listopad 2010 MATURA probna listopad 00 ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaniach od. do 5. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. Zadanie. ( pkt) - 4 $ 4 Liczba 0 jest równa 4-0, 5 A. B. C. D. 4 Zadanie. ( pkt) Liczba log 6 - log

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI (zakres podstawowy) Rok szkolny 2017/2018 - klasa 2a, 2b, 2c 1. Funkcja

Bardziej szczegółowo

2 cos α 4. 2 h) g) tgx. i) ctgx

2 cos α 4. 2 h) g) tgx. i) ctgx ZESTAW I - FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE - powtórzenie. Znajdź wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych, jeśli: sin α b). Oblicz wartość wyrażenia: tg ctg 77 = b) sin 0 (cos ) = c) sin = d) [( sin 0

Bardziej szczegółowo

Klasa 3. Trójkąty. 1. Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne p i q oraz przeciwprostokątną r. Z twierdzenia Pitagorasa wynika równość:

Klasa 3. Trójkąty. 1. Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne p i q oraz przeciwprostokątną r. Z twierdzenia Pitagorasa wynika równość: Klasa 3. Trójkąty. 1. Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne p i q oraz przeciwprostokątną r. Z twierdzenia Pitagorasa wynika równość: A. r 2 + q 2 = p 2 B. p 2 + r 2 = q 2 C. p 2 + q 2 = r 2 D. p + q

Bardziej szczegółowo

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki 23 czerwca 2017r. Zespól Szkół Ogólnokształcących i Zawodowych w Ciechanowcu Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej LICEUM Strona 1 z 13 1. Funkcja i jej własności Uczeń:

Bardziej szczegółowo

Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50. UZUPEŁNIA UCZEŃ miejsce KOD UCZNIA PESEL na naklejkę z kodem UZUPEŁNIA ZESPÓŁ NADZORUJĄCY

Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50. UZUPEŁNIA UCZEŃ miejsce KOD UCZNIA PESEL na naklejkę z kodem UZUPEŁNIA ZESPÓŁ NADZORUJĄCY Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2013 UZUPEŁNIA UCZEŃ miejsce KOD UCZNIA PESEL na naklejkę z kodem UZUPEŁNIA ZESPÓŁ NADZORUJĄCY EGZAMIN MATURALNY

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 2. rok szkolny 2015/2016

PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 2. rok szkolny 2015/2016 PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) klasa 2. rok szkolny 2015/2016 Wymagania wykraczające zawierają w sobie wymagania dopełniające, te zaś zawierają wymagania podstawowe. Ocenę dopuszczającą powinien otrzymać

Bardziej szczegółowo

ODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN

ODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN ODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN Gr. 1 Zad. 1. Dane są punkty: P = (-, 1), R = (5, -1), S = (, 3). a) Oblicz odległość między punktami R i S. b) Wyznacz współrzędne środka odcinka PR. c) Napisz równanie

Bardziej szczegółowo

Grudziądzki Konkurs Matematyczny 2009 Klasy drugie poziom rozszerzony

Grudziądzki Konkurs Matematyczny 2009 Klasy drugie poziom rozszerzony Grudziądzki Konkurs Matematyczny 009 Klasy drugie poziom rozszerzony _R Funkcja liniowa i funkcja kwadratowa str _R Ciągi str _R Wielomiany i funkcje wymierne str 5 _R4 Geometria analityczna str 6 _R5

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r.

Ćwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r. Waldemar ompe echy przystawania trójkątów 1. unkt leży na przekątnej kwadratu (rys. 1). unkty i R są rzutami prostokątnymi punktu odpowiednio na proste i. Wykazać, że = R. R 2. any jest trójkąt ostrokątny,

Bardziej szczegółowo

Zadanie 01 Zaznacz w układzie współrzędnych zbiory : A = { (x, y) ; x R i y R i x + y 1 } oraz. B m = { (x, y) ; x R i y R i 4x 2 + 4y 2 4x 4m+1 }

Zadanie 01 Zaznacz w układzie współrzędnych zbiory : A = { (x, y) ; x R i y R i x + y 1 } oraz. B m = { (x, y) ; x R i y R i 4x 2 + 4y 2 4x 4m+1 } Zadanie 0 Zaznacz w układzie współrzędnych zbiory : A = { (x, y) ; x R i y R i x + y } oraz B = { (x, y) ; x R i y R i 4x + 4y 4x 5 } Zaznacz osobno zbiór B-A ( ) Niech m N. Oznaczmy zbiory : A m = { (x,

Bardziej szczegółowo

PODKARPACKI SPRAWDZIAN PRZEDMATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY

PODKARPACKI SPRAWDZIAN PRZEDMATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL PODKARPACKI SPRAWDZIAN PRZEDMATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: 3 CZERWCA 2016 R. GODZINA ROZPOCZĘCIA: 9:00 CZAS PRACY: 170 MINUT LICZBA PUNKTÓW DO UZYSKANIA: 50

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI. Do Nauczyciela Regulamin konkursu Zadania

SPIS TREŚCI. Do Nauczyciela Regulamin konkursu Zadania SPIS TREŚCI Do Nauczyciela... 6 Regulamin konkursu... 7 Zadania Liczby i działania... 9 Procenty... 14 Figury geometryczne... 19 Kąty w kole... 24 Wyrażenia algebraiczne... 29 Równania i nierówności...

Bardziej szczegółowo

Zadanie 3. Na prostej o równaniu y = 2x 3 znajdź punkt P, którego odległość od punktu A = ( 2, -1 ) jest najmniejsza. Oblicz AP

Zadanie 3. Na prostej o równaniu y = 2x 3 znajdź punkt P, którego odległość od punktu A = ( 2, -1 ) jest najmniejsza. Oblicz AP Zadania do samodzielnego rozwiązania: II dział Funkcja liniowa, własności funkcji Zadanie. Liczba x = - 7 jest miejscem zerowym funkcji liniowej f ( x) ( a) x 7 dla A. a = - 7 B. a = C. a = D. a = - 1

Bardziej szczegółowo

I Liceum Ogólnokształcące w Warszawie

I Liceum Ogólnokształcące w Warszawie I Liceum Ogólnokształcące w Warszawie Imię i Nazwisko Klasa Nauczyciel PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Liczba punktów Wynik procentowy Informacje dla ucznia 1 Sprawdź, czy zestaw

Bardziej szczegółowo

Funkcja liniowa -zadania. Funkcja liniowa jest to funkcja postaci y = ax + b dla x R gdzie a, b R oraz

Funkcja liniowa -zadania. Funkcja liniowa jest to funkcja postaci y = ax + b dla x R gdzie a, b R oraz Funkcja liniowa jest to funkcja postaci y = ax + b dla x R gdzie a, b R oraz x argumenty funkcji y wartości funkcji a współczynnik kierunkowy prostej ( a = tg, gdzie osi OX) - kąt nachylenia wykresu funkcji

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 200 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI PRZED MATURĄ MAJ 2016 POZIOM PODSTAWOWY Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 14 stron (zadania 1 31). 2. Rozwiązania zadań wpisuj

Bardziej szczegółowo

Matematyka podstawowa VII Planimetria Teoria

Matematyka podstawowa VII Planimetria Teoria Matematyka podstawowa VII Planimetria Teoria 1. Rodzaje kątów: a) Kąty wierzchołkowe; tworzą je dwie przecinające się proste, mają takie same miary. b) Kąty przyległe; mają wspólne jedno ramię, ich suma

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału nauczania

Rozkład materiału nauczania Dział/l.p. Ilość godz. Typ szkoły: TECHNIKUM Zawód: TECHNIK USŁUG FRYZJERSKICH Rok szkolny 2016/2017 Przedmiot: MATEMATYKA Klasa: II 96 godzin numer programu T5/O/5/12 Rozkład materiału nauczania Temat

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ MATEMATYKA - poziom podstawowy

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ MATEMATYKA - poziom podstawowy 1 MATEMATYKA - poziom podstawowy CZERWIEC 2014 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 14 stron. 2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to przeznaczonym.

Bardziej szczegółowo

a) Wykaż, że przekształcenie P jest izometrią b) W prostokątnym układzie współrzędnych narysuj trójkąt o wierzchołkach A ( 1;2)

a) Wykaż, że przekształcenie P jest izometrią b) W prostokątnym układzie współrzędnych narysuj trójkąt o wierzchołkach A ( 1;2) ZESTAW I R Zad (3 pkt) Suma pierwiastków trójmianu a, c R R trójmianu jest równa 8 y ax bx c jest równa log c log a, gdzie Uzasadnij, że odcięta wierzchołka paraboli będącej wykresem tego a c Zad (7 pkt)

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI 5 MAJA 2016 POZIOM PODSTAWOWY. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI 5 MAJA 2016 POZIOM PODSTAWOWY. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 013 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL dyskalkulia miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI KLASA I Lb TECHNIKUM \ rok. LICZBY I DZIAŁANIA Liczby naturalne, całkowite, wymierne i niewymierne Działania na liczbach Przedziały liczbowe,działania na

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie W = (p, q), gdzie

FUNKCJA KWADRATOWA. Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie W = (p, q), gdzie Funkcja kwadratowa jest to funkcja postaci y = ax 2 + bx + c, wyrażenie ax 2 + bx + c nazywamy trójmianem kwadratowym, gdzie x, a, oraz a, b, c - współczynniki liczbowe trójmianu kwadratowego. ó ó Wykresem

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy. Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy. Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KOD PESEL PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Marzec 2017 we współpracy z 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny

Bardziej szczegółowo

Matura 2014 z WSiP Arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy

Matura 2014 z WSiP Arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy Wypełnia uczeń Numer PESEL Kod ucznia Matura 0 z WSiP Arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy Informacje dla ucznia. Sprawdź, czy zestaw egzaminacyjny zawiera stron. Ewentualny brak stron lub

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Internetowe Kółko Matematyczne 2003/2004

Internetowe Kółko Matematyczne 2003/2004 Internetowe Kółko Matematyczne 003/004 http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ Zadania dla szkoły średniej Zestaw I (5 IX) Zadanie 1. Które liczby całkowite można przedstawić w postaci różnicy kwadratów dwóch

Bardziej szczegółowo

Zadanie PP-GP-1 Punkty A, B, C, D i E leżą na okręgu (zob. rysunek). Wiadomo, że DBE = 10

Zadanie PP-GP-1 Punkty A, B, C, D i E leżą na okręgu (zob. rysunek). Wiadomo, że DBE = 10 Zadanie PP-GP-1 Punkty A, B, C, D i E leżą na okręgu (zob. rysunek). Wiadomo, że DBE = 10, ACE = 60, ADB = 40 i BEC = 20. Oblicz miarę kąta CAD. B C A D E Typ szkoły: LO LP T Czy jesteś w klasie z rozszerzonym

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 51. ( pkt) Rozwiąż równanie 3 x = 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x+ 3y = 5 Rozwiąż układ równań. x y = 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0. ZNI OTWRTE KRÓTKIEJ OPOWIEZI Zadanie 54. ( pkt)

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATUR pola do tego przeznaczone. Błędne

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATUR pola do tego przeznaczone. Błędne 1 MATEMATYKA - poziom podstawowy klasa 2 CZERWIEC 2015 Instrukcja dla zdaj cego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 17 stron. 2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga.

Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga. Wymagania edukacyjne z matematyki w XVIII Liceum Ogólnokształcącym w Krakowie, zakres podstawowy. Klasa druga. Funkcja liniowa. Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą, jeśli: - rozpoznaje funkcję liniową

Bardziej szczegółowo

Troszkę przypomnienia

Troszkę przypomnienia Troszkę przypomnienia Przesunięcie o wektor Przesunięcie funkcji o wektor polega na przesunięciu jej w układzie współrzędnych o określoną ilośc jednostek w poziomie oraz w pionie. Pierwsza współrzędna

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2015

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2015 1 MATEMATYKA - poziom podstawowy klasa 2 CZERWIEC 2015 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 17 stron. 2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 51. ( pkt) Rozwiąż równanie 3 x = 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x+ 3y = 5 Rozwiąż układ równań. x y = 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0. ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2016 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dyskalkulia dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami

Bardziej szczegółowo

MATERIAŁ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI

MATERIAŁ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI MATERIAŁ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI STYCZEŃ 0 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 70 minut Instrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz zawiera 0 stron.. W zadaniach od. do 0. są podane odpowiedzi: A, B, C, D,

Bardziej szczegółowo

ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI DLA KLASY II GIMNAZJUM W ZAKRESIE WYMAGAŃ KONIECZNYCH I PODSTAWOWYCH

ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI DLA KLASY II GIMNAZJUM W ZAKRESIE WYMAGAŃ KONIECZNYCH I PODSTAWOWYCH ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI DLA KLASY II GIMNAZJUM W ZAKRESIE WYMAGAŃ KONIECZNYCH I PODSTAWOWYCH Opracowała: nauczyciel matematyki mgr Małgorzata Drejka Legionowo 007 SPIS TREŚCI ALGEBRA potęgi i pierwiastki

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych Centralna Komisja Egzaminacyjna Materiał współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki listopad 009 Klucz odpowiedzi do

Bardziej szczegółowo

. c) do jej wykresu należą punkty A ( 3,2 3 3) oraz

. c) do jej wykresu należą punkty A ( 3,2 3 3) oraz Funkcja liniowa powtórzenie wiadomości Napisz wzór funkcji liniowej wiedząc, że: a) miejscem zerowym funkcji jest liczba oraz f()=, b) miejscem zerowym funkcji jest liczba i i wykres funkcji przecina oś

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ Klasa 1 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 18 stron.. W zadaniach od 1. do 0. są podane 4 odpowiedzi: A, B, C, D, z których tylko jedna jest

Bardziej szczegółowo

Model odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza I

Model odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza I Model odpowiedzi i schemat oceniania do arkusza I Zadanie 1 (4 pkt) n Odczytanie i zapisanie danych z wykresu: 100, 105, 100, 10, 101. n Obliczenie mediany: Mediana jest równa 101. n Obliczenie średniej

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI WPISUJE ZDAJĄCY KOD PESEL PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY PRZED MATURĄ MAJ 015 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 16 stron (zadania 1 34). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu

Bardziej szczegółowo

ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY ZADANIA ZAMKNIĘTE

ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY ZADANIA ZAMKNIĘTE ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY ZADANIA ZAMKNIĘTE Zad.1. (1p) Liczba 3 30 9 90 jest równa: A. 3 210 B. 3 300 C. 9 120 D. 27 2700 Zad.2. (1p) Liczba 3 8 3 3 9 2 jest równa: A. 3

Bardziej szczegółowo

Wskazówki do zadań testowych. Matura 2016

Wskazówki do zadań testowych. Matura 2016 Wskazówki do zadań testowych. Matura 2016 Zadanie 1 la każdej dodatniej liczby a iloraz jest równy.. C.. Korzystamy ze wzoru Zadanie 2 Liczba jest równa.. 2 C.. 3 Zadanie 3 Liczby a i c są dodatnie. Liczba

Bardziej szczegółowo

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I A LO (Rok szkolny 2015/16)

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I A LO (Rok szkolny 2015/16) Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I A LO (Rok szkolny 05/6) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum (osiągnięcia ucznia w zakresie podstawowym) I. Liczby rzeczywiste. Język

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 00 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY CZERWIEC 2013. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY CZERWIEC 2013. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 00 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

Egzamin wstępny z Matematyki 1 lipca 2011 r.

Egzamin wstępny z Matematyki 1 lipca 2011 r. Egzamin wstępny z Matematyki 1 lipca 011 r. 1. Mamy 6 elementów. Ile jest możliwych permutacji tych elementów jeśli: a) wszystkie elementy są różne, b) dwa elementy wśród nich są identyczne, a wszystkie

Bardziej szczegółowo

2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia.

2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia. 1. Wykaż, że liczba 2 2 jest odwrotnością liczby 1 2. 2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia. 3. Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej

Bardziej szczegółowo

UZUPEŁNIA ZDAJĄCY miejsce na naklejkę

UZUPEŁNIA ZDAJĄCY miejsce na naklejkę Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 017 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: 5 maja 017 r.

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. W trapezie ABCD poprowadzono przekątne, które podzieliły go na cztery trójkąty. Mając dane pole S 1

Zadanie 1. W trapezie ABCD poprowadzono przekątne, które podzieliły go na cztery trójkąty. Mając dane pole S 1 Zadanie. W trapezie ABCD poprowadzono przekątne, które podzieliły go na cztery trójkąty. Mając dane pole S i S 2 obliczyć pole trapezu ABCD. Zadanie 2. Mamy trapez, w którym suma kątów przy dłuższej podstawie

Bardziej szczegółowo

Skrypt 24. Geometria analityczna: Opracowanie L5

Skrypt 24. Geometria analityczna: Opracowanie L5 Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 24 Geometria analityczna:

Bardziej szczegółowo

MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI

MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI CZERWIEC 20 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 00 minut Instrukcja dla zdającego. Sprawdź, czy arkusz zawiera 6 stron (zadania 9). 2. Arkusz zawiera 3 zadań zamkniętych i

Bardziej szczegółowo

ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE PIERWSZEJ.

ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE PIERWSZEJ. ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO PRAWDZIANÓW W KLAIE PIERWZEJ I Działania w zbiorze liczb rzeczywistych Zad Dane są liczby: i y + Oblicz: a) sumę i y ; b) różnicę i y ; c) iloczyn i y ; d) iloraz i y ( usuń niewymierność

Bardziej szczegółowo