Ćwiczenie E3 BADANIE REZONANSU W OBWODZIE RLC

Transkrypt

1 Laboratorium Podstaw Elektroniki Wiaczesław Szamow Ćwiczenie E3 BADANIE EZONANSU W OBWODZIE LC opr. tech. Krystyna Ługowska Mirosław Maś Uniwersytet Przyrodniczo - Humanistyczny Siedlce 211

2 1. Wstęp Istnieje wiele układów izycznych, które posiadają tzw. stan równowagi trwałej. Układ wytrącony ze stanu równowagi trwałej wykonuje drgania, których częstotliwość o zależy od konstrukcji tego układu. Takie układy nazywa się oscylatorami a ich drgania oscylacjami. Wskutek tłumienia (i związanych z tym strat energetycznych drgania zanikają. Układ można zmusić do drgań stosując zewnętrzne wymuszenie, ale wówczas układ drga z częstotliwością równą częstotliwości siły wymuszającej. Jeżeli częstotliwość odbiega od częstotliwości o drgań własnych układu, to amplituda drgań układu jest niewielka. Oczywiście amplituda drgań jest największa, gdy częstotliwość zmian siły wymuszającej pokrywa się z częstotliwością własną układu tj. gdy = o. Zjawisko to nazywa się rezonansem a częstotliwość, przy której ono zachodzi nazywa się częstotliwością rezonansową. W ćwiczeniu bada się zjawisko rezonansu zachodzącego w obwodzie LC pod wpływem harmonicznie zmiennego napięcia wymuszającego. W skład zestawu pomiarowego wchodzą: 1. generator unkcyjny SFG miernik uniwersalny MEATONIK V obwód LC w obudowie 4. 2 przewody koncentryczne z wtykami BNC Przed wykonaniem ćwiczenia sprawdź czy zestaw pomiarowy jest kompletny. Do ćwiczenia należy przygotować następujące zagadnienia teoretyczne: liczby zespolone oporność elektryczna, prawo Ohma kondensator, pojemność elektryczna cewka, indukcyjność cewki napięcie harmoniczne i jego postać wskazowa impedancja i zawada zjawisko rezonansu dobroć obwodu 3

3 2. Postać wskazowa napięcia harmonicznego Drgania w obwodzie elektrycznym polegają na okresowych zmianach napięcia i prądu płynącego w obwodzie. Najprostszym napięciem okresowym jest napięcie harmonicznie zmienne w czasie. Zmienia się ono w czasie jak unkcja gdzie: U m - amplituda napięcia ω - częstość kołowa (tzw. pulsacja φ - kąt przesunięcia azowego ( t = U ( ω t + ϕ U m cos (1 Niech T oznacza okres powtarzania się tego napięcia. Odwrotność okresu = 1/T nazywa się częstotliwością napięcia. W układzie SI jednostką częstotliwości jest hertz: Hz = 1/s. Przykładowo, częstotliwość =1kHz posiada napięcie, którego zmiany powtarzają się 1 razy na sekundę. Ponieważ unkcja cos ma okres 2π radianów, to okres T, pulsacja ω i częstotliwość spełniają związki 2 π ωt = 2π, a stąd ω = = 2π T Przebieg napięcia harmonicznego ilustruje ys. 1 ys. 1 Na osi czasu napięcie (1 jest przesunięte w stosunku do unkcji cos ωt o odcinek czasu (φ/2πt. Gdy zasilamy napięciem harmonicznym obwód elektryczny złożony z elementów liniowych, to wszystkie napięcia i prądy występujące w takim obwodzie są również harmonicznie zmienne w czasie. Mają one tę samą pulsację ω, lecz mogą być przesunięte w azie. Amplitudy i kąty przesunięć azowych napięć i prądów harmonicznych najwygodniej jest obliczać za pomocą liczb zespolonych. Stosując postać wykładniczą liczb zespolonych, napięcie harmoniczne da się wyrazić jako część rzeczywistą następującej unkcji zespolonej: U ( t = eu m e j( ωt+ ϕ = eu m e jϕ e jωt 4

4 Liczbę zespoloną U = U e jϕ m (2 nazywa się wskazem lub amplitudą zespoloną napięcia harmonicznego. Jak widać, wskaz (2 zawiera jednocześnie inormację o amplitudzie U m i kącie przesunięcia azowego φ napięcia (1. Geometrycznie, wskaz interpretujemy jako wektor płaszczyznowy (patrz ys. 2 o współrzędnych U m cosφ i U m sinφ. ys. 2 j t Całemu napięciu zespolonemu Ue ω odpowiada wektor o długości U m, który obraca się wokół początku układu współrzędnych z prędkością kątową ω. Przy wyznaczaniu wskazów j t napięciowych i prądowych czynnik e ω jest na końcu obliczeń pomijany. 3. Opornik, kondensator i cewka Najprostszymi elementami elektronicznymi są opornik, kondensator i cewka. W teorii zakłada się, że są to elementy liniowe i że ich parametry nie zależą od wielkości przykładanych napięć i prądów. Na schematach opornik, kondensator i cewkę oznacza się odpowiednio symbolami: Idealny opornik spełnia prawo Ohma 1 I = U 5

5 które twierdzi, że natężenie prądu przepływającego przez opornik jest proporcjonalne do napięcia przyłożonego do opornika. Współczynnik proporcjonalności G = 1/ nazywamy przewodnością, a wielkość opornością opornika. Oporność w układzie SI mierzy się w omach: Ω = V / A. Zależność prądu od napięcia dla oporników rzeczywistych jest liniowa tylko dla dostatecznie małych napięć (duże napięcia mogą opornik nawet uszkodzić. W zapisie wskazowym prawo Ohma ma postać U I = (3 Jak widać, opornik idealny nie wprowadza przesunięcia azowego pomiędzy prądem i napięciem, bo jego opór wyraża się liczbą czysto rzeczywistą. Prąd płynący przez opornik wykonuje pracę kosztem energii źródła zasilającego. Praca ta zamienia się na ciepło rozpraszane w oporniku. Zatem opornik jest elementem stratnym. Kondensator, w najprostszym przypadku, to układ dwóch przewodników pomiędzy którymi umieszcza się najczęściej dielektryk. Przewodniki te nazywają się okładkami kondensatora. Kondensator posiada zdolność gromadzenia ładunku i energii elektrycznej. Przy tym ładunek q zgromadzony na okładkach jest proporcjonalny do napięcia U na kondensatorze: q = CU Stałą proporcjonalności C nazywa się pojemnością elektryczną kondensatora. Jednostką pojemności w układzie SI jest arad: F = A s / V = Ω -1 s. W teorii zakłada się, że pojemność idealnego kondensatora nie zależy od napięcia, a jedynie od konstrukcji samego kondensatora. óżniczkując jego ładunek q względem czasu otrzymujemy natężenie prądu płynącego przez kondensator du i = C dt Ponieważ prąd jest tu proporcjonalny do szybkości zmian napięcia, to kondensator dobrze przewodzi prądy szybkozmienne, a źle prądy wolnozmienne. óżniczkując zamiast U j t napięcie zespolone Ue ω, otrzymujemy związek jaki spełniają wskazy napięciowy i prądowy dla kondensatora I = jωcu (4 Wielkość 1 / jωc możemy traktować jako urojoną oporność kondensatora. Jej moduł 1 X c = ω C 6

6 nazywa się reaktancją kondensatora. Jak widać opór kondensatora maleje ze wzrostem częstotliwości przykładanego napięcia. Mnożenie przez jedynkę urojoną j oznacza, że zmiany prądu wyprzedzają w azie o kąt π/2 zmiany napięcia. Cewkę wykonuje się np. nawijając miedziany drut na rdzeń errytowy. Taki element ma, między innymi, zdolność magazynowania energii magnetycznej. Jeżeli przez cewkę płynie prąd zmienny, to wewnątrz niej powstaje zmienne pole magnetyczne. Zmienne pole magnetyczne, zgodnie z prawem Faraday a, indukuje w zwojach cewki napięcie elektryczne. Przy tym dla idealnej cewki di U = L dt Stałą proporcjonalności L nazywa się indukcyjnością własną cewki. W układzie SI indukcyjność mierzymy w henrach: H = V s/a =Ω s. Indukcyjność cewki idealnej nie j zależy od natężenia prądu, a jedynie od jej konstrukcji. óżniczkując prąd zespolony Ie ˆ otrzymujemy wskazową postać prawa Ohma dla cewki ωt U = jωli (5 Wielkość jωl można traktować jak opór urojony cewki dla napięć harmonicznych. Jego moduł X L = ωl nazywa się reaktancją cewki. Jak widać opór cewki rośnie z częstotliwością, a zmiany napięcia na cewce wyprzedzają w azie o kąt π/2 zmiany prądu. Zarówno idealny kondensator jak i idealna cewka są, w przeciwieństwie do opornika, elementami bezstratnymi. Oznacza to, że pobraną podczas zasilania energię te elementy oddają w całości podczas rozładowania. W kondensatorach i cewkach rzeczywistych występują straty energetyczne związane chociażby z opornością ich doprowadzeń. 4. Drgania wymuszone w obwodzie LC Gdy dołączymy cewkę do naładowanego kondensatora, to zacznie on rozładowywać się przez cewkę. Energia elektryczna zmagazynowana w kondensatorze zamienia się w energię magnetyczną cewki. Z kolei tak naładowana cewka rozładowuje się przez kondensator i jej energia magnetyczna zamienia się w energię elektryczną kondensatora, lecz teraz będzie on przeciwnie spolaryzowany. Następnie kondensator znów rozładowuje się przez cewkę a cewka przez kondensator, na którym napięcie powraca do polaryzacji wyjściowej. Proces ten powtarza się periodycznie. Można pokazać, że napięcie elektryczne w takim obwodzie zmienia się harmonicznie w czasie z częstotliwością o 1 = (6 2π LC 7

7 gdzie C i L oznaczają pojemność kondensatora i indukcyjność cewki. Częstotliwość o nazywa się częstotliwością własną obwodu LC. W obwodzie LC (tj. złożonym z opornika, cewki i kondensatora drgania napięcia będą zanikały z uwagi na straty energetyczne na oporności obwodu. Aby uzupełnić straty energetyczne i otrzymać drgania o stałej amplitudzie, obwód LC zasila się źródłem napięcia harmonicznego. W ogólności częstotliwość tego napięcia może być różna od częstotliwości własnej o obwodu. Jednak po upływie pewnego czasu napięcie zewnętrzne wymusi w obwodzie drgania harmoniczne o częstotliwości równej częstotliwości napięcia zasilającego. W zapisie wskazowym obwód LC z wymuszeniem harmonicznym ilustruje ys. 3 ys. 3 gdzie kondensator i cewkę reprezentują opory urojone 1/jωC i jωl, a U jest amplitudą napięcia zasilającego. Traktując ten obwód jako dzielnik napięcia, prosto dostajemy wskaz U odpowiadający napięciu na oporniku. U = + jωl + U 1 jωc = 1+ jq U o o Ostatnią równość otrzymuje się wykorzystując wzór (6, wzór ω = 2π i wprowadzając bezwymiarową wielkość zwaną dobrocią obwodu. L Q = 1 (7 C iθ Wskaz U = Ae jest liczbą zespoloną, której moduł A i argument Θ są odpowiednio amplitudą i kątem przesunięcia azowego napięcia na oporniku. Obliczając te wielkości dla otrzymanego wyżej wyrażenia dostajemy 8

8 A = U 2 1+ Q o 2 o, tg Θ = Q (8 o 5. Krzywa rezonansowa i dobroć obwodu Zgodnie z (8, jeżeli częstotliwość napięcia zasilającego znacznie odbiega od częstotliwości własnej o obwodu, to drgania w obwodzie mają niewielką amplitudę. Jeżeli częstotliwość zbliża się do częstotliwości o, to drgania wzrastają. Dla = o amplituda drgań jest maksymalna i w obwodzie LC zachodzi zjawisko rezonansu. Częstotliwość o, przy której drgania są maksymalne nazywamy częstotliwością rezonansową. Przy rezonansie kąt przesunięcia azowego zeruje się: Θ = i drgania w obwodzie mają azę zgodną z azą napięcia zasilającego. Wykres amplitudy drgań w unkcji częstotliwości nazywa się krzywą rezonansową, a jej orientacyjny przebieg ilustruje ys. 4 ys. 4 Z elektronicznego punktu widzenia, obwód LC jest iltrem środkowoprzepustowym o 3dB paśmie przenoszenia jak na ys. 4. Im pasmo to jest węższe, tym bardziej selektywny jest obwód LC, czyli tym bardziej taki obwód tłumi częstotliwości różne od częstotliwości rezonansowej o. Miarą selektywności obwodu jest stosunek o Q' = (9 9

9 3dB pasmo przenoszenia obwodu dostajemy kładąc we wzorze (8 Q = ± 1 Jeżeli pasmo przenoszenia jest wąskie tj. gdy << o, to krzywa rezonansowa w otoczeniu częstotliwości jest symetryczna i można położyć = ± 2 gdzie znaki ± bierzemy dla górnej i dolnej częstotliwości granicznej pasma przenoszenia. Stąd dla tych częstotliwości mamy = 1± i = 1m ± 2 Przybliżenie jest uzasadnione, bo z założenia stosunek / o <<1. Stąd dla 3dB pasma przenoszenia dostajemy Q 1 Oszacowanie to jest tym lepsze im większa jest dobroć układu. A zatem dobroć Q zdeiniowana wzorem (7 i selektywność Q zdeiniowana wzorem (9 pokrywają się dla obwodów wysokoselektywnych ( w praktyce dla Q > 1. Generalnie, dobroć oscylatorów elektrycznych jest mniejsza od dobroci oscylatorów mechanicznych. Dlatego np. częstotliwość generatorów wzorcowych stabilizuje się za pomocą tzw. kwarców, czyli odpowiednio oszliowanych kryształów kwarcu. Dobroć Q obwodu rezonansowego z kwarcem wielokrotnie przewyższa dobroć obwodów LC. Jednak największą dobroć mają oscylatory atomowe i cząsteczkowe. Zostało to wykorzystane, między innymi, przy konstrukcji tzw. zegara amoniakalnego i zegara cezowego. Wysoka dobroć obwodu oznacza izycznie, że obwód ma małe straty energetyczne. Zgodnie z teorią, drgania obwodu LC po odłączeniu napięcia zasilającego zanikają wykładniczo w czasie (patrz ys. 5. 1

10 ys. 5 Dobroć obwodu jest tym większa im mniejsze są straty energetyczne. Nietrudno pokazać, że wyrażenie energia calkowita w obwodzie Q = 2π energia tracona w okresie pokrywa się z deinicją (7. Dla napięć oscylujących naturalną jednostką czasu jest okres T oscylacji. Niech N oznacza ilość oscylacji, po których amplituda drgań w obwodzie zmniejsza się np. o 3dB, czyli e NT 2L = 1 2 Dla małostratnego obwodu LC można przyjąć, że okres drgań tłumionych wynosi T = 2π LC, stąd: 2L NT N = N 2π LC = π 2L Q Logarytmując poprzednią równość dostajemy w przybliżeniu 2 Q = π N 9N (1 ln 2 Jak widać, dobroć układu jest proporcjonalna do ilości oscylacji, które układ może wykonać bez zasilania zewnętrznego. Przykładowo, dla układów o dobroci Q 1 amplituda drgań maleje o 3dB po każdej oscylacji. Zatem obwód o takiej dobroci jest gorszy niż zwykła huśtawka. 11

11 6. Przebieg pomiarów Stosowany w ćwiczeniu obwód LC składa się z wymiennego induktora o indukcyjności 1mH, 5mH lub 2mH. kondensatora nastawnego o regulowanej pojemności 7 147pF i trzech oporności 222Ω, 444Ω, 672Ω, które można wybierać przełącznikiem P. Całość umieszczono w obudowie, gdzie dwa złącza BNC służą odpowiednio do podłączenia generatora sinusoidy i woltomierza. a. Połącz układ pomiarowy jak na ys. 6. ys. 6 Przerywanym prostokątem oznaczono obwód LC w obudowie. Woltomierz V służy do mierzenia napięcia U na wybranej oporności. Oporności 222Ω, 444Ω, 672Ω wybiera się ustawiając przełącznik P w pozycji 1, 2 i 3 odpowiednio. UWAGA: Generator do sieci włącza prowadzący zajęcia b. ustaw oporność = 222Ω, pojemność C = 147pF i wyznacz częstotliwość rezonansową o obwodu LC. c. następnie ustaw amplitudę napięcia generatora tak, aby woltomierz przy rezonansie wskazał U = 5V. Zmierz napięcie U zmieniając częstotliwość generatora następująco: od 1kHz do 5kHz co 5kHz; od 5kHz do 7kHz co 2kHz; od 7kHz do 11kHz co 5kHz, uzyskane wyniki zapisz w Tab. 1 12

12 d. powtórz pomiary z punktów b i c dla oporności 444Ω i 672Ω. Wyniki umieść w Tab. 1 [khz] Napięcie U [V] dla oporu 222Ω 444Ω 672Ω o 1 15 Tab. 1 e. zmierz częstotliwość rezonansową dla =222 Ω zmieniając pojemność C w przedziale 7 147pF, ustawiając pokrętło odpowiednio w pozycji 1. Wyniki umieść w Tab. 2 C[pF] cz. dośw. o [khz] cz. teor. o [khz] 7. Opracowanie wyników Tab oblicz częstotliwości rezonansowe dla L = 5mH i pojemności jak w Tab. 2. Oszacuj błąd w przypadku pojemności 147pF. 2. na jednym wykresie różnymi kolorami narysuj trzy krzywe rezonansowe dla = 222Ω, =444Ω i = 672Ω. Wyznacz 3dB pasma przenoszenia i selektywności Q 1, Q 2, Q 3 dla tych oporności. 3. na jednym wykresie narysuj zależność teoretyczną i doświadczalną częstotliwości rezonansowej od pojemności. Porównaj obie krzywe i wyciągnij wnioski. 4. oblicz dobrocie Q 1, Q 2, Q 3 ze wzoru i oszacuj błędy. Porównaj selektywności z p.3 i dobrocie z p.4 w ormie tabeli. 5. wyciągnij wnioski z pomiarów i obliczeń. Elementy obwodu LC zostały połączone w innej kolejności niż na ys. 6 narysuj aktyczny schemat tego obwodu. Literatura [1] M. usek, J. Pasierbiński, Elementy i układy elektroniczne w pytaniach i odpowiedziach, WNT, Warszawa 26 [2] D.Halliday,.esnick, J.Walker, Kurs izyki, PWN, tom 3, Warszawa 23. [3] Wprowadzenie do laboratorium Podstaw Elektroniki 13