Średnia odległość planety od Słońca i III prawo Keplera

Transkrypt

1 FOON 18 Wiosna 15 Śednia odległość lanety od Słońca i III awo Kelea Andzej Majhofe Wydział Fizyki Uniwesytetu Waszawskiego Studiowanie odęczników jest badzo ouczające a czasami może nawet zainsiować do własnych badań Weźmy na zykład awa Kelea Co do dwóch iewszych odęczniki są zgodne lanety obiegają Słońce o toach elitycznych (I awo) zy czym odcinek łączący lanetę ze Słońcem w ównych odcinkach czasu zakeśla ówne ola inaczej mówiąc ędkość olowa jest w tym uchu stała (II awo) Kłooty zaczynają się gdy czytamy o III awie Kelea Co do iewszej części sfomułowania anuje zgoda: dla wszystkich lanet stosunek D Johannes Kele ( ) ma tę samą watość zy czym oznacza okes w jakim Planeta obiega Słońce Co do D to zdania są już jednak odzielone: w części odęczników D to śednia odległość Planety od Słońca a w ozostałych D oznacza długość większej ółosi elitycznej obity Kto ma ację? A może oba okeślenia są ównoważne? o tzeba wyjaśnić Zacznijmy od zaisania I awa Kelea we wsółczesnym języku: Planeta obiega Słońce o obicie elitycznej to znaczy że odległość Planeta Słońce jako funkcja kąta φ między omieniem wodzącym lanety i kieunkiem Słońce eyhelium lanety dana jest ównaniem φ 1 + e cos φ w któym i e są dodatnimi stałymi oaz < e < 1 Stała e nazywana jest mimośodem obity Maksymalna odległość od Słońca (ahelium) wynosi więc a minimalna (eyhelium): max min 1 e 1 e Pisząc Planeta dużą liteą Auto ma na myśli któąś z lanet Układu Słonecznego

2 FOON 18 Wiosna 15 Równanie oisuje elisę o ółosiach: dłuższej a 1 min + 1 e oaz kótszej b a 1 e Sawdźmy ile wynosi śednia odległość Planeta Słońce u musimy zdecydować jaka śednia nas inteesuje: względem kąta czy względem czasu e dwie wydają się jedynymi sensownymi bo dostęnymi obsewacji Obliczmy obie Zacznijmy od śedniej względem kąta: max 1 φ dφ b φ π 1 π e Niedobze otzymaliśmy długość kótszej ółosi elisy Może leiej nam ójdzie z uśednieniem względem czasu? Musimy w tym celu zmienić zmienną całkowania i dodatkowo wyznaczyć okes obiegu Bo oszukiwana śednia to: t 1 tdt

3 4 FOON 18 Wiosna 15 W ostatniej całce musimy zmienić zmienną całkowania z t na φ Skozystamy z II awa Kelea: w ównych odcinkach czasu omień wodzący Planety zakeśla jednakowe ola We wsółczesnym języku wzoów możemy II awo zaisać tak: 1 dφ dt gdzie C jest ewną stałą eaz możemy naisać wynikający stąd wzó na ochodną omienia względem czasu: C d d dφ d C dt dφ dt dφ ym samym czas w któym Planeta obiega Słońce wynosi: π dt 1 dφ C a zatem uśedniona względem czasu watość omienia to: t π 1 dφ π dφ π C dφ Po obliczeniu całek i skozystaniu ze związku a z aametem dostajemy: a 1 + e t Otzymaliśmy dwie óżne watości śedniej i obie óżne od dłuższej ółosi a: ozednio mniejszą niż a a teaz znowu większą niż a o jak to w końcu jest z III awem Kelea? Co właściwie stwiedził Kele? Nie mógł zeowadzić obliczeń odobnych do naszych bo achunek całkowy owstał doieo kilkadziesiąt lat o jego śmieci Niektóe fagmenty jego wywodów są dosyć bliskie wowadzonym óźniej ojęciom analizy w swoich ozważaniach dzielił n uch lanety na dzienne odcinki isał jednak badzo zawile i badacze jego dzieł do dziś sieają się czy oawny wniosek nie był wynikiem oełnienia komensujących się błędów [1] Na szczęście ozdobił swoje wywody badzo czytelnym ysunkiem na któym łuk odowiadający śedniemu omieniowi wyada dokładnie w ołowie odległości między łukiem w ahelium i w eyhelium Oznacza to że śednia odległość Planeta Słońce to według Kelea: 1 min + max a Kele

4 FOON 18 Wiosna 15 5 Geometyczna hamonia był foemnych w Hamonices Mundi (1619) ** Nie mógł zesztą inaczej ozumieć śedniej bo samo ojęcie śedniej funkcji ciągłej jakim osługiwaliśmy się owyżej ojawiło się doieo waz z achunkiem całkowym Dziś osługiwanie się tym ojęciem jest oczywiste W wielu odęcznikach fizyki i astonomii nadal jednak można znaleźć histoyczne sfomułowanie III awa Kelea co owadzi do ytania od któego ozoczął się ten atykuł Jak się wydaje wielu wykładowców mechaniki zaczyna od ozstzygnięcia tej wątliwości i z dumą dzieli się swym wyjaśnieniem z kolegami [ 5] Podczas wykładów z fizyki tzy awa Kelea ojawiają się jako elementy ozwiązania zagadnienia uchu dwóch ciał o masach M i m zyciągających się (centalną) siłą malejącą z kwadatem odległości Rozwiązanie ozwala owiązać watość stałej w III awie Kelea z wielkościami mas obu ciał: a G M + m 4π W tym miejscu dyskusję kończy zwykle kótka uwaga że masa całego Układu Słonecznego jest badzo nieznacznie większa od masy Słońca oznaczonej w owyższym wzoze jako M a dla każdej z lanet jej masa m jest tak mała w oównaniu z M (dla najmasywniejszej z lanet Jowisza m/m < 1) że można ją ominąć otzymując III awo Kelea Sądzę że wato oświęcić więcej czasu na efleksję na ile ozwiązanie zagadnienia dwóch ciał wyjaśnia awa Kelea sfomułowane wyłącznie na odstawie obsewacji Poza ogomem masy Słońca obsewacyjne sfomułowanie aw Kelea było możliwe także dzięki szczególnemu wzajemnemu ołożeniu lanet odległości każdej z nich od wszystkich ozostałych jest tak duża że ich wzajemne zyciąganie owoduje badzo niewielkie zabuzenia ich keleowskich uchów Dążenie do wyjaśnienia obsewowanych niewielkich odchyleń od aw Kelea zez 1 ** Naisy omiędzy tójkami łuków i nazwami lanet odnoszą się do sekulacji Kelea o związku ozmiaów obit z byłami latońskimi (oublikował te sekulacje no może hiotezy w ajemnica Kosmosu jest tłumaczenie olskie)

5 6 FOON 18 Wiosna 15 onad lat stymulowało ozwój mechaniki a o dodze umożliwiło odkycie Netuna i Plutona lanet znalezionych dokładnie w miejscach w któych obliczenia wskazywały na obecność ciał zabuzających uchy znanych wcześniej lanet Układu Słonecznego Ale to już całkiem inna histoia Liteatua [1] EJ Aiton Isis 6 75 (1969) i cytowana tam liteatua [] RA Aziz Ameican Jounal of Physics 4 58 (1966) [] JE Pussing Ameican Jounal of Physics (1977) [4] M Buche DP Siemens Ameican Jounal of Physics (1998) [5] M Buche D Elm DP Siemens Ameican Jounal of Physics (1998)