Proces Poissona. Wykład Proces zliczajacy

Transkrypt

1 Wykład 4 roces oissona 4.1 roces zliczajacy roces stochastyczny {N t ;t } nazywamy zliczaj acym, gdy N t jest równe całkowitej ilości zdarzeń które zdarzyły się do momentu t. rzekładami procesów zliczajacychn t s a: 1. ilośćosób, któreweszłydopewnegomagazynuprzedlubwmomenciet; N t oznaczatuwówczasilośćosóbktóreweszłydomagazynu, 2. ilośćosóbktóresięurodziłyprzedlubwokreślonymczasiet,n t oznacza wówczas ilość urodzeń do momentu t. 3. ilość bramek które zgromadził dany piłkarz itd. Zauważmy, że każdy proces zliczajacy musi spełniać następujace warunki (i N t, (ii wartościamin t s a liczby całkowite (iii dlas<t,n t N s równasięilości zdarzeń którezdarzyłysięwprzedziale czasu(s,t>. Uwaga rocesy zliczajaces a czasem nazywane strumieniami zgłoszeń. roces zliczajacy nazywa się procesem o przyrostach niezależnych, jeśli w rozł acznych przedziałach czasu przyrosty procesu sa niezależne. Uwaga W przekładzie 1. prawdopodobnie spełnione jest założenie niezależności przyrostów procesu. Natomiast w przykładzie 2. wydaje się, ze nie jest. Jeśli bowiem N t jest duże to mamy dużo ludzi a to znaczy, że w następnych chwilachwinnobyćdużourodzeńczyli wartośćn t+s N t byłabydużajeślin t jestduże(brakniezależnościodn t. roces zliczajacy ma stacjonarne przyrosty, gdy ilość zdarzeń które zdarzyły się w przedziale czasu (s,t > zależy tylko od długości tego przedziału tj. od wielkościt s. roces zliczajacy {N t ;t } nazywa się pojedynczym jeśli a t > s :(N t N s 1 λ(t s+o( t s, b t > s :(N t N s 2 o( t s. 21

2 22 WYKŁAD 4. ROCES OISSONA Definicja roces zliczajacy{n t ;t }nazywasię,procesemoissonaz intensywnościaλ,gdy: in, ii ma niezależne i stacjonarne przyrosty iii ilość zdarzeń w przedziale o długości t ma rozkład oissona z parametrem λt, tzn. t,s :(N t+s N s ke λt(λtk. k! Twierdzenie roces zliczajacy, pojedynczy o stacjonarnych, niezależnych przyrostach jest procesem oissona. Dowód. Oznaczmy Mamy: g(teexp( vn t. g(t+h Eexp( vn t+h Eexp( vn t Eexp( v(n t+t N t g(teexp( vn h. Wykorzystaliśmy tu niezależność przyrostów i stacjonarność. Mamy dalej: Eexp( vn h E(exp( vn h N h (N h +E(exp( vn h N h 1(N h 1 +E(exp( vn h N h 2(N h 2 1 λh+o 1 (h+e v (λh+o 2 (h+o 3 (h 1 λh+λhe v +o(h. Zatem g(t+h g(t g(tλ ( e v 1 + o(h h h. Niech h. Dostaniemy wówczas: St ad już łatwo dostać: g (tg(tλ ( e v 1. g(texp ( λt ( e v 1. Jest to transformata Laplace a rozkładu oissona z parametrem λt. 4.2 Okresy między zgłoszeniami Niech dany będzie proces oissona {N t ;t } i niech T 1 będzie momentem pierwszego zdarzenia. Dalej niech dla n > T n oznacza czas jaki upłyn ał międzyn 1yman-tymzdarzeniem. Ci ag{t i } i 1 nazywasięci agiem czasów międzyzgłoszeniami(przybyciami. Zauważmy,że{T 1 >t}{n t } (T 1 >t(n t exp( λt.

3 4.3. SUMOWANIE ROCESÓW OISSONA 23 odobniemamy: (T 2 >te((t 2 >t T 1.Ale (T 2 >t T 1 s (brakzdarzeńwprzedziale(s,s+t> T 1 s (brakzdarzeńwprzedziale(s,s+t>exp( λt. W ostatnich równościach wykorzystaliśmy niezależność i stacjonarność. przyrostów. Mamy więc: Stwierdzenie Ciag{T n } n 1 czasówmiędzyprzybyciamistanowi aniezależne zmienne losowe o jednakowych rozkładach wykładniczych ze średnia 1 λ. DalejoznaczmyprzezS n czasprzybycien tegozgłoszenialubinaczejczas oczekiwania na n te zgłoszenie. Łatwo wydedukować, że n S n T i, awięc,żes n marozkładgammazparametraminiλ.innymisłowy,żerozkład S n magęstośćrówn a: f Sn (tλexp( λt (λtn 1 (n 1! ;t. owyższa gęstość można było otrzymać zauważajac, że n te zgłoszenie się zdarzy przed momentem t wtedy i tylko wtedy, gdy ilość zdarzeń przed momentem t była przynajmniej n. Tzn. awięc N t n S n t, F Sn (t + (S n t(n t n St ad różniczkujac po t dostaniemy: f Sn (t λ jn e λt(λtj j! λe λt(λtn 1 (n 1!. + jn jn e λt(λtj. j! λe λt(λtj 1 (j 1! 4.3 Sumowanie procesów oissona Niechdanybędzieprocesoissona{N t ;t }zintensywności aλ.iprzypuśćmy, że każde zdarzenie(zgłoszenie jest klasyfikowane jako I badź II typu. Załóżmy dalej, że zgłoszenie jest klasyfikowane jako typu I lub II z prawdopodobieństwami odpowiednio p i 1 p niezależnie od innych zdarzeń (zgłoszeń. (Na przykład załóżmy, że klienci przebywajadosklepuikażdyznichokazujesiębyć mężczyzna z prawdopodobieństwem 1/2 badźkobiet a z prawdopodobieństwem 1/2. Niech N (1 t i N (2 t oznaczaj a odpowiednio ilości zdarzeń odpowiednio typu I b adź II w czasie [,t]. Zauważmy, że N t N (1 t +N (2 t. Mamy następuj ace stwierdzenie:

4 24 WYKŁAD 4. ROCES OISSONA Stwierdzenie N (1 t in (2 t s a oba procesami oissona o intensywnościach odpowiednioλpiλ(1 p.onadtoprocesytes a niezależne. Dowód. oliczymy prawdopodobieństwo łaczne: N (1 t n,n (2 t m N (1 t n,n (2 t m N t k (N t k. k Zauważmy,żepopierwszeabymogłobyćnzdarzeńtypuIimzdarzeńtypuII winnobyćł acznien+mzdarzeńazatem N (1 t n,n (2 t m ( N (1 t n,n (2 t m N t n+m e λt(λtn+m (n+m!. Zauważmy teraz, że jeśli zdarzyło się ł acznie n+m zdarzeń to ilość zdarzeń typuimiałarozkładdwumianowy(ilośćsukcesówwci agun+mdoświadczeń Bernoulli ego. Zatem Awięc N (1 t n,n (2 t m N t n+m ( n+m n p n (1 p m. N (1 t n,n (2 t m ( n+m n p n (1 p m e λt(λtn+m (n+m! e λpt(λptn n! e λ(1 pt(λ(1 ptm. m! onadto mamy N (1 t n N (1 t n,n (2 t m m e λpt(λptn n! m e λ(1 pt(λ(1 ptm m! e λpt(λptn. n! Widaćzatem,żeN (1 t in (2 t s a niezależnymi procesami oissona. Uwaga4.3.2 To,żeprocesyN 1 in 2 s a oissonowskie nie jest zbyt zastanawiaj ace. Można było się tego spodziewać. Niespodziewany wydaje się być fakt, że procesytes a niezależne.

5 4.4. ROZKŁAD WARUNKOWY CZASÓW RZYBYCIA Rozkład warunkowy czasów przybycia Zacznijmy od czasu przybycia pierwszego zgłoszenia pod warunkiem, że wiadomo,żenaodcinkuczasu[,t]byłojedno. Innymisłowywyznaczymy(T 1 <s N t 1. Dostaniemy wówczas: (T 1 <s N t 1 (T 1<s,N t 1 (N t 1 (1zgłoszeniena (,s izgłoszeńna[s,t] (N t 1 (1zgłoszeniena (,s(zgłoszeńna[s,t] (N t 1 λse λs e λ(t s λte λt s t. Awięcrozkładtenjestjednostajny na odcinku<,t>. Wynik tenmoże być uogólniony. Aby jednak to zrobić trzeba wprowadzić pojęcie statystyk pozycyjnych. Definicja4.4.1 Niech{X 1,...,X n }będziepróbalosow a. Wektorlosowy{Y 1,...,Y n } spełniajacywarunkiy 1 Y 2,..., Y n zprawdopodobieństwemjedeniokreślony następujaco: Y i i-tacodowielkościwartość {X 1,...,X n } nazywamywektoremstatystykpozycyjnychwektora{x 1,...,X n }. Uwaga4.4.2 Wartości współrzędnychwektora{y 1,...,Y n } oznaczamytradycyjnie{x 1:n,...,X n:n }. otrzebujemy także następujacych dwu prostych lematów Lemat4.4.3 Jeślipróba{X 1,...,X n }jestprosta(zmiennelosowe{x i } n s a niezależneiojednakowychrozkładachigęstośćx 1 jestrównaf(x,togęstość ł acznawektorastatystykpozycyjnych{x 1:n,...,X n:n }jestrówna: dlay 1 y 2... y n. g(y 1,...,y n n! n f(y i, Dowód. Zauważmy,żeabyzaobserwowaćX 1:n y 1,...,X n:n y n dowolna z n! permutacji { } X (1,...,X (n zmiennych {X1,...,X n } przyjęła wartości odpowiednio{y 1,...,y n }.onadto ( X (1 (y 1,y 1 +dy 1,...,X (n (y n,y n +dy n n f(y i dy 1,...dy n.

6 26 WYKŁAD 4. ROCES OISSONA Lemat NiechzmiennelosoweS 1,...,S n s ai.i.dimajarozkładu(,t -jednostajny na odcinku<,t >. Wówczas rozkład ł aczny wektora statystyk pozycyjnych(s 1:n,...,S n:n magęstośćrówn a: dlay 1 y 2... y n. g(y 1,...,y n n! tn, (4.4.1 Teraz możemy już udowodnić następujace twierdzenie: Twierdzenie od warunkiem, że N(tn tj. wiadomo iż na odcinku <,t > było n zgłoszeń, momenty zgłoszeń (S 1,...,S n s a rozłożone tak jak statystyki porzadkowe rozkładu łacznego n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach jednostajnych na odcinku <, t >, tj. f S1,...,S n (s 1,...,s n n! t n;dla<s 1<...,<s n <t. Dowód. Aby dostać gęstość ł aczn a wektora (S 1,...,S n przy warunku N(tnzauważmy,żedla<s 1 <,...,<s n <tzdarzenies 1 s 1,S 2 s 2,...,S n s n,n(tnznaczy,żepierwszychn+1czasówmiędzyzgłoszeniami spełnia T 1 s 1, T 2 s 2 s 2,..., T n s n s n 1, T n+1 > t s n. A więc korzystajac z niezależności czasów między zgłoszeniami mamy f(s 1,...,s n n (T 1s 1,...,T n s n s n 1,T n >t s n (N(tn λe λs1 λe λ(s2 s1...λe λ(sn sn 1 e λ(t sn e λt (λt n /n! n! t n. Uwaga4.4.6 Wyniktenmożnawyrazíctakżewnastępuj acy sposób: od warunkiem, że było ich n, momenty zgłoszeń rozpatrywanie jako nieuporzadkowane zmienne losowe s a niezależne i maj a takie same rozkłady jednostajne na odcinku <,t>. Twierdzenie powyższe może służyć do następujacego uogólnienia Stwierdzenia załóżmy teraz, że po przybyciu każde zdarzenie jest klasyfikowane jako będ ace jednego z k typów, przy czym jeśli zgłoszenie nast apiło w chwili y to będziezakwalifikowanejakotypuizprawdopodobieństwem i (y, k i(y 1.Mamynastępuj ace: Twierdzenie NiechNt;t,,...,koznaczailośćelementówtypu i iktórezgłosiłysięwczasie<,t>.wówczas Nt i s a niezależnymi zmiennymi oissona z wartościami oczekiwanymi odpowiednio: EN i t λ t i (sds.

7 4.4. ROZKŁAD WARUNKOWY CZASÓW RZYBYCIA 27 Dowód. Obliczmy łaczneprawdopodobieństwo Nt 1 n 1,...,Nt k n k. Mamy ( Nt 1 n 1,...,Nt k n k ( k k Nt 1 n 1,...,Nt k n k N t n i N t n i. Rozważmy terazdowolnezgłoszenie,którezdarzyłosięwmomencie<,t>. Jeśli zdarzyło się w momencie s, wówczas prawdopodobieństwo, że byłoby typu i wynosiłoby i (s.zatemnapodstawietwierdzenia4.4.7wynika,żezgłoszenie to przybyłoby wjednostajnierozłożonymna odcinku<,t>momencies. A więc prawdopodobieństwo, że zdarzenie to będzie typu i wynosi: p i 1 t niezależnie od innych zdarzeń. A więc ( t i (sds, N 1 t n 1,...,N k t n k N t N 1 t n 1,...,N k t n k N t k n i k n i marozkładwielomianowyzn i elementamitypuiiprawdopodobieństwamizajściap 1,...,p k,.czyli (! Awięc Nt 1 n 1,...,Nt k n k! ( k n i k n i! k p n i k [e λtpi(λtp i ni n i! i e λt(λt k ]. ( k n i k n i! ni ( k n i! k p ni i To twierdzenie zilustrujemy ciekawym nietypowym przykładem. rzykład (Minimalizacja liczby wyprzedzeń: Załóżmy, że samochody wjeżdżaja na jednokierunkowa drogę zgodnie z rozkładem oissona o intensywności λ.wjeżdżajaonewpunkcieaawyjeżdżaj awpunkcieb.każdysamochód jedziezestał a prędkościaustalan a niezależnie dla każdego samochodu zgodnie z rozkładem G. Gdy szybszy samochód spotyka wolniejszy wyprzedza go bez starty czasu. Jeśli samochód wjeżdża na rozważana drogę w momencie s i ty masz możliwość wybrania prędkości, to jaka prędkość byś wybrał aby zminimalizować średnia liczbę spodziewanych spotkań z innym samochodami. rzez spotkanie rozumiemy wydarzenie gdy nasz samochód wyprzedza badź jest wyprzedzany przez inny samochód.

8 28 WYKŁAD 4. ROCES OISSONA Rozwiazanie: okażemy, że dla dużych s, prędkościa która minimalizuje spodziewana ilość spotkań jest mediana rozkładu G. Aby to zobaczyć przypuśćmy, żewybralísmyprędkośćx.niechdb a oznaczadługośćdrogi. Wmomencie wyboru prędkości x, wynika, że twój samochód wjedzie na drogę w momencie s awyjedziewmomencies+t,gdziet d/xjestczasempodróży. rzypominamy, że inne samochody wjeżdżajanadrogęzgodniezrozkłademois- sona o intensywności λ. Każdy z nich wybiera prędkość X zgodnie z rozkładem G. SkutkujetoczasemprzejazduT d/x. NieF oznaczarozkładczasupodróży T. Tzn. F(t(T <t(d/x<t(x>d/tḡ(d/t. (gdzieoznaczylísmyprzez F(t1 F(togonrozkładuF owiemy, ze zdarzenie zdarzyło się w momencie t jeśli samochód wjeżdża na drogęwmomenciet. odobniepowiemy,żezdarzeniejesttypu1jeśliwwyniku zdarzy się spotkanie z twoim samochodem. Twój samochód wjeżdża w momencie s i wyjedzie w momencie s+t. Zatem samochód spotka twój samochód jeśli wjedzieprzedmomentemsawyjedziepos+t (wtymostatnimprzypadkutwój samochód wyprzedzi ten samochód na drodze lub jeśli wjedzie po momencie s ale wyjedzie przed momentem s+t (w tym wypadku ten samochód wyprzedzi twój. W rezultacie samochód który wjeżdża na drogę w momencie t spotka twój samochódjeślijegoczaspodróżyt jesttaki,że t+t >s+t gdy t<s t+t <s+t gdy s<t<s+t Z poprzednich rozważań widzimy, że w momencie t będzie, niezależnie od innych wydarzeń, będzie typu 1 z prawdopodobieństwem p(t danym przez: (t+t >s+t F(s+t t gdy t<s p(t (t+t <s+t F(s+t t gdy s<t<s+t gdy t>s>t Zakładajac, że zdarzenia (tzn. samochody wjeżdżajace na drogę zdarzaj a się zgodnie z rozkładem oissona to wnioskujemy, że, stosujac Twierdzenie 4.4.7, że całkowita liczba wydarzeń typu 1 które się zdarzyły ma też rozkład oissona ośredniej s s+t λ p(tdt λ F(s+t tdt+λ F(s+t tdt λ s+t t t F(ydy+λ F(ydy Abywybraćwartośćt któraminimalizujepowyższ a wielkość zróżniczkujmy ja. Dostaniemy wówczas ( d s+t t λ F(ydy+λ F(ydy λ ( F(s+t dt F(t +F(t. t rzyrównujactęwielkośćdo,iwykorzystuj ac,żef(s+t gdysjestduże, widzimy,żeoptymalnyczasprzejazdut danyjestzależności a F(t F(t 1 F(t

9 4.4. ROZKŁAD WARUNKOWY CZASÓW RZYBYCIA 29 lub F(t 1 2. Zatem optymalny czas przejazdu jest mediana rozkładu czasu przejazdu. Skoro prędkość X jest równa odległości d podzielonej przez czas przejazdu T, wnosimy stadżeoptymalnaprędkośćx d/t jesttaka,żef(d/x 1 2.Skoro F(d/x Ḡ(x widzimyżeg(x 1 2, awięcoptymalnaprędkośćjestmedian arozkładuprędkości. odsumowujac wykazalísmy, że dla dowolnej prędkości x ilość spotkań z innymi samochodami ma rozkład oissona, a średnia tego rozkładu będzie równa najmniejszagdyprędkośćszostaławybranatakabybyłamedian a rozkładu G.