Zastosowanie transformacji Hougha do tworzenia mapy i lokalizacji robota mobilnego
|
|
- Eleonora Olejnik
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Zastosowanie transformacji Hougha do tworzenia mapy i lokalizacji robota mobilnego Barbara Siemiatkowska 1 Streszczenie W niniejszej pracy przedstawiono zastosowanie transformacji Hougha w określeniu zmian położenia robota w środowisku, które nie jest znane. Robot wyposażony w laserowy czujnik odległości porusza się we wnętrzu budynku. Znajdowane są cechy charakterystyczne otoczenia - fragmenty ścian, łuki i obiekty nieregularne. Określenie przemieszczenia robota odbywa się na podstawie określenia zmian położenia pojazdu względem wykrytych obiektów charakterystycznych - znaczników, wykrywanych przy pomocy transformacji Hougha. Zaletą opisywanej metody jest możliwość realizacji w sposób wielorównoległy. W referacie przedstawione będą wyniki eksperymentów prowadzonych w środowisku typu budynek. Metoda może być także stosowana w przestrzeniach otwartych. 1. WSTEP Systemy nawigacyjne robotów mobilnych składają się z trzech podstawowych elementów: określenia położenia otaczających pojazd przeszkód, planowania bezkolizyjnej trasy oraz lokalizacji. Metody lokalizacji dzielone są na dwie podstawowe grupy. W pierwszej grupie znajdują się systemy umożliwiające określenie przemieszczenia robota między kolejnymi punktami pomiarowymi. W drugiej obliczane jest położenie pojazdu w pewnym globalnym układzie współrzędnych. Podstawową metodą określenia przemieszczeń robota jest odometria. Istotną wadą odometrii jest jednak to, że niedokładności pomiarów kumulują się w czasie. Powstanie błędów może być spowodowane wadami urządzenia np. nierównościami kół, ograniczoną rozdzielczością enkoderów lub przypadkowymi zaburzeniami np. poślizgami kół, nierównością powierzchni [1]. Układy odometryczne są wzbogacane o zewnętrzne układ lokalizacji. Najstarsze systemy polegały na badaniu przemieszczenia robota względem sztucznych znaczników aktywnych [5] lub pasywnych (obiektów o określonym kolorze i kształcie [6]). Wadą takich systemów jest to, że układ znaczników musi być znany i ich położenie nie może się zmieniać. Inną dużo bardziej elastyczną metodą jest określenie przemieszczenia na podstawie tworzonych przez robota map lokalnych. W literaturze opisywane są trzy grupy tych metod: Dopasowywanie map[2] - algorytmy umożliwiają określenie przemieszczenia robota z dużą dokładnością, ale są czasochłonne obliczeniowo. 1 Instytut Podstawowych Problemów Techniki PAN, ul. Świętokrzyska 21, Warszawa, bsiem@ippt.gov.pl
2 B. Siemiatkowska Dopasowywanie skanów - do tej grupy należą np. metody określanie kierunków głównych [8][4] - metoda może być stosowana wewnątrz budynków posiadających regularny układ ścian. Wykrywanie i dopasowywanie elementów charakterystycznych - robot znajduje w środowisku znaczniki - elementy charakterystyczne, niezmienne i odporne na przypadkowe zakłócenia [3][10]. Znaczniki są najczęściej opisywane w postaci zbioru cech. Metoda ta jest metodą uniwersalną tzn. może być stosowana zarówno w pomieszczeniach jak i w otwartej przestrzeni. Jej efektywność zależy głównie od sposobu wykrywania i dopasowywania charakterystycznych elementów otoczenia. Przedstawiona w poniższej pracy metoda lokalizacji robota należy do ostatniej z opisywanych grup. W prowadzonych eksperymentach stosowano dalmierz laserowy firmy SICK, a parametry znaczników są obliczane przy pomocy zmodyfikowanej transformacji Hougha. Opisywane w poniższym artykule badania są rozszerzeniem i uzupełnieniem metody przedstawionej w [9]. 2. DALMIERZ LASEROWY Dalmierz laserowy LMS 200 firmy SICK jest urządzeniem pierwszej klasy bezpieczeństwa umożliwiającym dokonywanie pomiarów w pomieszczeniach zamkniętych. Dostarcza ciąg odczytów postaci: (R i,φ i ), gdzie R i jest wskazaną przez laser odległością od przeszkody, a φ i kątem skanowania. Sensor wykrywa przeszkody w odległości nie przekraczającej 30 m. Statystyczny błąd pomiaru wynosi ok. 15mm dla R i < 800cm i ok. 4 cm dla R i > 800cm. LMS umożliwia wykrywanie przeszkód w sektorze 180 o z rozdzielczością kątową 0.5 lub 1. Czas dokonania skanu wynosi 26ms (dla 0.5 ) i 13ms dla rozdzielczości 1. Jeśli przyjmiemy że dalmierz laserowy znajduje się w początku układu współrzędnych, to współrzędne punktów należących do krawędzi przeszkody możemy obliczyć na podstawie równania (1). x i = R i cosφ i y i = R i sinφ i (1) R i jest wskazaną przez laser odległością od przeszkody, a φ i jest kątem skanowania. 3. SCHEMAT ALGORYTMU Algorytm określania przemieszczenia robota między kolejnymi punktami pomiarowymi składa się z następujących etapów: Dokonanie pomiarów przy pomocy dalmierza laserowego. Ciąg odległości jest zapamiętany w jednowymiarowej tablicy. Indeks tablicy w sposób jednoznaczny określa kąt skanowania. Indeksowi o wartości i odpowiada kąt skanowania i ϕ, gdzie ϕ jest rozdzielczością skanera. W prowadzonych eksperymentach przyjęto ϕ = 1.0 0
3 Zastosowanie transformacji Hougha w lokalizacji... Filtracja danych Dane pochodzące ze skanera są często zaszumiane. Błędy odczytów powstają najczęściej w sytuacji, gdy wiązka świetlna pada na granicę dwóch przeszkód. W celu zredukowania występujących szumów dane są filtrowane przy pomocy filtru medianowego. Filtr ten jest realizowany przy pomocy sieci komórkowej. Umożliwia to realizację algorytmu w sposób wielorównoległy. Na rys. 1 przedstawiono wynik filtracji danych. Linią przerywaną zaznaczono odczyty ze skanera, a linią ciągłą wynik zastosowania filtru medianowego. Rys. 1. Dane pochodzące ze skanera laserowego Wyodrębnienie obiektów Obiekty są wyodrębniane prz pomocy transformacji Hougha. Poszukujemy odcinków dłuższych niż zadany próg ( naszym wypadku 20cm). Po wyodrębnieniu długich odcinków analizujemy pozostałe punkty. Przyjmujemy, że dwa kolejne odczyty skanera (R i,φ i ) i (R i+1,φ i+1 ) wskazują na ten sam obiekt, jeśli spełniony jest warunek: R 2 i+1 + R 2 i 2 R i+1 R i cos ϕ R 2 (2) W prowadzonych eksperymentach przyjęto R = 25cm. Na rys. 2 przedstawiono wynik segmentacji danych. Na rys. 3 przedstawiono mapę utworzoną na podstawie odczytów z lasera. Klasyfikacja i określenie cech obiektu. W algorytmach określenia przemieszczenia robota na podstawie wskazań dalmierz laserowego jako cechy charakterystyczne przyjmuje się fragmenty ścian i naroża. W opisywanej w poniższej pracy metodzie zbiór cech rozszerzono o łuki i elementy nieregularne. Postępowanie to umożliwia dokonywanie lokalizacji w środowisku, w którym nie występuje regularny układ ścian.
4 B. Siemiatkowska Rys. 2. Segmentacja danych Określenie zmiany położenia robota Po określeniu parametrów i dopasowaniu znaczników wykrytych w kolejnych punktach pomiarowych, obliczane jest przesunięcie robota oraz zmiana jego orientacji. Metoda obliczania zmian położenia pojazdu na podstawie zaobserwowanych zmian położenia punktów charakterystycznych jest przedstawiona w pracach: [3][7]. 4. TRANSFORMACJA HOUGHA Transformacja Hougha jest od wielu lat stosowana w przetwarzaniu obrazów, zwykle do znajdowania najdłuższych odcinków linii występujących w obrazie rastrowym Równanie prostej można zapisać w postaci normalnej: c = x cosα + y sinα (3) gdzie α jest kątem między normalną do danej prostej a osią OX, c - jest minimalną odległością danej prostej od punktu (0,0). Jeśli przyjmiemy pewną dyskretyzację przestrzeni, to dla każdego punktu płaszczyzny (x, y) możemy wyznaczyć rodzinę prostych do których punkt należy, a więc także rodzinę par (α, c). Jeśli utworzymy tablicę dwuwymiarową i elementowi (α, c) przyporządkowujemy ilość pikseli obrazu leżących na wyznaczonej przez tę parę prostej, to element o największej wartości w sposób jednoznaczny wyznacza najdłuższy odcinek na obrazie. W przypadku, gdy dane pochodzą z lasera równanie (3) może być zastąpione równaniem:
5 Zastosowanie transformacji Hougha w lokalizacji... Rys. 3. Lokalna mapa otoczenia c = R i cos(α φ i ) (4) Z równania (4) wynika, że aby dokonać transformacji Hougha obrazu otrzymanego na podstawie wskazań dalmierza laserowego nie musimy obliczać współrzędnych (x,y), wystarczą dane o odległości od przeszkody i kącie skanowania. Dwa kolejne odczyty (R i,φ i ) i (R i+1,φ i+1 ) należą do tej samej prostej wyznaczonej przez parametry (α,c), jeśli spełnione są warunki (5)-(6). R i cos(α φ i ) R i+1 cos(α φ i+1 ) ε (5) R i cos(α φ i ) c ε (6) Wartość parametru ε jest dopuszczalnym błędem. W eksperymentach przyjęto ε 1.5cm. Analiza powstałego w wyniku transformacji Hougha histogramu umożliwia określenie typu obiektu, który jest obserwowany. W przypadku ścian występuje jedno wyraźne maksimum, w przypadku naroży występują dwa maksima odpowiadające kierunkom ścian. W przypadku obiektów nieregularnych brak jest wyraźnych maksimów. Dla zbioru odczytów współliniowych (R i,φ), należy znaleźć takie wartości parametrów (α, c), dla których błąd średniokwadratowy γ opisany równaniem (7) jest najmniejszy: γ = N i=1 (R i cos(α φ i ) c) 2 (7) gdzie N - jest ilością odczytów współliniowych. Wartości optymalne są obliczane zgodnie ze wzorem (8)
6 B. Siemiatkowska Rys. 4. Określenie zakresu parametrów α α = 1 2 atan( p q ) c = 1 N N i=1 R i cos(φ i α) p = N i=1 N j=1 R i R j sin(φ i + φ j ) + N N i=1 R2 i sin(2 φ i) q = N i=1 N j=1 R i R j cos(φ i + φ j ) + N N i=1 R2 i cos(2 φ i) (8) Naroża są reprezentowane jako punkt (x,y). Punkt ten powstaje w wyniku przecięcia się dwóch ścian. Wyniki metody opisywanej metody są przedstawione w pracy [9]. W prowadzonych obecnie badaniach nie zmieniono koncepcji przedstawionej metody, skoncentrowano się jedynie na stworzeniu algorytmu, który umożliwia przeprowadzenie obliczeń w sposób bardziej efektywny. Wprowadzono następujące modyfikacje: analiza położenia dwóch kolejnych punktów umożliwia określenie zakresu współczynników α dla których warto obliczać wartości parametrów c. Ideę metody przedstawia rys. 4. Czarne koła reprezentują dwa kolejne odczyty dalmierza laserowego. Okręgami zaznaczono obszar błędu odczytu. Zaznaczone proste wyznaczają zakres współczynników α, dla których przeprowadzana będzie transformacja Hougha. W wyniku stosowania opisanej metody następuje kilkukrotne skrócenie czasu obliczeń. Transformacja Hougha może być stosowana także do wykrywania dowolnych krzywych, które mogą być opisywane w sposób parametryczny. W przypadku punktów znajdujących się na okręgu opisanym równaniem (9) musimy wyznaczyć parametry x 0, y 0 i parametr r. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = r 2 (9) Zwykle stosowanie transformacji Hougha do wykrywania krzywych opisywanych więcej niż dwoma parametrami jest czasochłonne. W tej pracy przedstawiony zostanie algorytm określania parametrów obiektów, które z punktu widzenia sensora wyglądają jak fragmenty okręgu. Okrąg będzie opisywany przez następujące parametry: d - odległość punktu (x 0,y 0 ) od środka układu współrzędnych, α - kąt nachylenia prostej przechodzącej przez (x 0,y 0 ) i (0,0) do osi OX oraz r - promień okręgu. W
7 Zastosowanie transformacji Hougha w lokalizacji... Rys. 5. Parametryczny opis okręgu klasycznej metodzie dla każdego punktu (r i,φ i ) wskazanego przez laser i dla każdego α [0,180], należałoby obliczyć zbiór dopuszczalnych wartości d i r. Równanie (9) możemy zapisać w następujący sposób: (x d cosα) 2 + (y d sinα) 2 = r 2 (10) Ponieważ w opisywanej metodzie spełniony jest warunek (1), to podstawiając wartości x i y do równania (10) otrzymujemy: r 2 i + d 2 2 r i d cos(α φ i ) = r 2 (11) Jeśli zbiór odczytów (r i,ϕ i ) i=0,..,n leży na jednym okręgu to spełnione są następujące warunki: 1. Zbiór r i jest symetryczny względem k = 1+N 2 2. Kąt β = N i=1 ϕ i N jest przybliżoną wartością α. W kolejnym kroku generowane jest przybliżone równanie okręgu, przyjmujemy, że przybliżoną wartością parametru α jest parametr β. Trzy punkty (r i,φ i ),(r k,φ k ),(r j,φ j ) należą do jednego okręgu, którego środek leży na prostej wyznaczonej przez kąt α, jeśli spełniony jest warunek (12). ri 2 r2 r 2 k j = r2 k (12) r i cosφ i r k cosφ k r j cosφ j r k cosφ k Wartości parametrów d i r wyznaczane są zgodnie ze wzorem (13).
8 B. Siemiatkowska r 2 j r2 k r j cosφ j r k cosφ k d = 1 2 r 2 = ri 2 + d2 2 r i d cos(α φ i ) (13) Warunek 12 jest niestabilny numerycznie dla punktów takich, że ϕ i α ϕ k α, dlatego przyjmujemy, że i, j są indeksami odczytów skrajnych, a k indeksem odczytu środkowego. Mając obliczone przybliżone wartości d i α dla każdego punktu (r i,ϕ i ) obliczamy odległość od wyznaczonego środka okręgu. Uznajemy, że zbiór punktów leży na jednym okręgu, jeśli dla każdego z punktów wartość R nie różni się od poprzednio wyznaczonej wartości więcej niż zadany próg. Na rysunku 6a) przedstawiono odczyty z lasera, otrzymane gdy obserwowany jest okrąg o parametrach α = 45 o, d=100cm, R=20cm. Rozdzielczość skanera wynosiła 1 o. Rysunek 6b) przedstawia wyniki pomiarów w układzie biegunowym. Przybliżona wartość kąta wynosi 45 o, a parametru d= Rysunek 7 przedstawia obliczone wartości parametru R dla kolejnych punktów. Kolejny krok polega na wyznaczeniu optymalnych wartości parametrów. W tym przypadku podobnie jak poprzednio szukamy minimum funkcji f (α,d,r) opisanej wzorem 14 f (α,d,r) = N i=1 (d 2 + r 2 i 2 d r i cos(α ϕ i ) R 2 ) 2 (14) a) b) Rys. 6. Odczyty z dalmierza Wyniki przeprowadzonych eksperymentów przedstawia rys. 8. Na wykresie przedstawiono błąd określenia parametru d dla okręgów o promieniu r = 10cm, r = 20cm i r = 30cm. Okręgi były umieszczane w odległościach od 0.5m do 3.0m od
9 Zastosowanie transformacji Hougha w lokalizacji... Rys. 7. Wartości parametru R dalmierza laserowego. Błąd jest tym większy im mniejszy jest obiekt i im dalej znajduje się od robota. Parametr błąd określenia parametru r jest ściśle skorelowany z d i rozkład błędu jest zbliżony do rozkładu błędu dla d. Czas określenia parametrów nie przekroczył 10ms. Obliczenia były prowadzone na komputerze z zegarem 1.2GHz. 5. WNIOSKI W pracy przedstawiono implementację transformacji Hougha umożliwiającą wykrywanie fragmentów ścian i łuków. Metoda umożliwia określenie zmian orientacji i położenia robota wyposażonego w dalmierz laserowy. Przyjęto założenie, że robot porusza się w otoczeniu typu wnętrze. Mapa pomieszczenia nie jest znana. Algorytm jest bardzo efektywny. Opisywana metoda może być stosowana także do określania położenia robota w znanym pomieszczeniu, a także może ułatwiać tworzenie mapy metrycznej otoczenia, które nie jest znane. Czas działania algorytmu nie przekracza 20ms. Wyniki prezentowane w tej pracy zostay zrealizowane w ramach grantu MEiN 3 T11C LITERATURA [1] J. Borenstein, L. Feng. Measurement and Correction of Systematic Odometry Errors in Mobile Robots. Trans. on Robotics and Automation, Vol. 12, No.6,
10 B. Siemiatkowska Rys. 8. Błąd określenia parametru d [2] F. Dellaert, D. Fox, W. Burgard, and S. Thrun. Monte Carlo localization for mobile robots. In IEEE Int. Conf. on Robotics and Automation. s , [3] G. Dissanayake, H. Durrant-Whyte, and T. Bailey. A computationally effcient solution to the simultaneous localisation and map building (SLAM) problem. In: IEEE Int. Conf. on Robotics and Automation. Proceedings. Vol. 2, 2000, s [4] A. Dubrawski, B. Siemiątkowska. A Neural Method for Self-Localization of a Mobile Robot Equipped with a 2-D Scanning Laser Range Finder, In: IEEE Conf. on Robotics and Automation, Leuven. Proceedings. 1998, s [5] G. Giralt, R. Sobek, and R. Chatila. A multi-level planning and navigation system for a mobile robot. A first approach to Hilare. In: Sixth Int. Joint Conf. on Robotics and Automation [6] I. Hallmann, B. Siemiątkowska. Artificial landmark navigation system. In: 9th Int. Symposium Intelligent Robotic Systems. Proceedings. 2001, s [7] E. Mennegatti, M. Zoccarato, E. Pagell, H. Ishiguro. Hierarchical image-based localization for mobile robot with Monte-Carlo Localisation. In: European Conf. on Mobile Robotics Proceedings. 1995, s [8] B. Siemiatkowska, R. Chojecki. Mobile Robot Localization Based on Omnicamera 5th IFAC/EURON Symposium on Intelligent Autonomous Vehicles. Elsevier Proceedings, [9] B. Siemiątkowska, A. Dubrawski. Cellular Neural Networks for a Mobile Robot, Rough Sets and Current Trends in Computing, Springer. s , [10] A. Stevens, M. Stevens, and H.F. Durrant-Whyte. OxNav: Reliable autonomous navigation. In: IEEE Int. Conf. on Robotics and Automation. 1995, s HOUGH TRANSFORM FOR MAP BUILDING AND LOCALIZATION OF A MOBILE ROBOT
11 Zastosowanie transformacji Hougha w lokalizacji... The paper presents the application of Hough transform for mobile robot localization. It is assumed that the robot acts in an unknown environment. It is equipped with the SICK laser range finder. The robot looks for segments, edges and circles, which are features of the environment. Comparing the robot position relatively to the landmarks the displacement of the vehicle is computed. In this paper a certain modification of Hough transform is proposed in order to detect features and to compute their parameters. Experiments show the efficiency of the proposed approach.
METODY NAWIGACJI LASEROWEJ W AUTOMATYCZNIE KIEROWANYCH POJAZDACH TRANSPORTOWYCH
METODY NAWIGACJI LASEROWEJ W AUTOMATYCZNIE KIEROWANYCH POJAZDACH TRANSPORTOWYCH Mirosław ŚMIESZEK 1, Paweł DOBRZAŃSKI 2, Magdalena DOBRZAŃSKA 3 W pracy przedstawiono najczęściej wykorzystywane metody służące
Bardziej szczegółowoCyfrowe przetwarzanie obrazów i sygnałów Wykład 9 AiR III
1 Na podstawie materiałów autorstwa dra inż. Marka Wnuka. Niniejszy dokument zawiera materiały do wykładu z przedmiotu Cyfrowe Przetwarzanie Obrazów i Sygnałów. Jest on udostępniony pod warunkiem wykorzystania
Bardziej szczegółowoKrzywe stożkowe Lekcja II: Okrąg i jego opis w różnych układach współrzędnych
Krzywe stożkowe Lekcja II: Okrąg i jego opis w różnych układach współrzędnych Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej Okrąg Okrąg jest szczególną krzywą stożkową. Wyznacza nam koło, które jest podstawą
Bardziej szczegółowoPRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA 3, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0,3 C. 30. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba
Bardziej szczegółowoAutomatyczne tworzenie trójwymiarowego planu pomieszczenia z zastosowaniem metod stereowizyjnych
Automatyczne tworzenie trójwymiarowego planu pomieszczenia z zastosowaniem metod stereowizyjnych autor: Robert Drab opiekun naukowy: dr inż. Paweł Rotter 1. Wstęp Zagadnienie generowania trójwymiarowego
Bardziej szczegółowoSpis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16
Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego
Bardziej szczegółowoPRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA
Politechnika Poznańska Wydział Budowy Maszyn i Zarządzania PRACA DYPLOMOWA MAGISTERSKA Konstrukcja autonomicznego robota mobilnego Małgorzata Bartoszewicz Promotor: prof. dr hab. inż. A. Milecki Zakres
Bardziej szczegółowoMetoda określania pozycji wodnicy statków na podstawie pomiarów odległości statku od głowic laserowych
inż. Marek Duczkowski Metoda określania pozycji wodnicy statków na podstawie pomiarów odległości statku od głowic laserowych słowa kluczowe: algorytm gradientowy, optymalizacja, określanie wodnicy W artykule
Bardziej szczegółowoAproksymacja kraw. Od wielu lokalnych cech (edge elements) do spójnej, jednowymiarowej. epnej aproksymacji
Aproksymacja kraw edzi Od wielu lokalnych cech (edge elements) do spójnej, jednowymiarowej cechy (edge). Różne podejścia: szukanie w pobliżu wst epnej aproksymacji transformacja Hough a. Wiedza o obiektach:
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 42 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ. Wprowadzenie teoretyczne.
Ćwiczenie 4 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ Wprowadzenie teoretyczne. Soczewka jest obiektem izycznym wykonanym z materiału przezroczystego o zadanym kształcie i symetrii obrotowej. Interesować
Bardziej szczegółowoKoncepcja pomiaru i wyrównania przestrzennych ciągów tachimetrycznych w zastosowaniach geodezji zintegrowanej
Koncepcja pomiaru i wyrównania przestrzennych ciągów tachimetrycznych w zastosowaniach geodezji zintegrowanej Krzysztof Karsznia Leica Geosystems Polska XX Jesienna Szkoła Geodezji im Jacka Rejmana, Polanica
Bardziej szczegółowoODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN
ODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN Gr. 1 Zad. 1. Dane są punkty: P = (-, 1), R = (5, -1), S = (, 3). a) Oblicz odległość między punktami R i S. b) Wyznacz współrzędne środka odcinka PR. c) Napisz równanie
Bardziej szczegółowoPRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0, C. 0. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba
Bardziej szczegółowoZastosowanie laserów w nawigacji automatycznie kierowanych pojazdów transportowych
DOBRZAŃSKI Paweł 1 ŚMIESZEK Mirosław 2 DOBRZAŃSKA Magdalena 3 Zastosowanie laserów w nawigacji automatycznie kierowanych pojazdów transportowych WSTĘP Szybki rozwój przemysłu, a w szczególności sektorów
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA - CYKL 5 GODZINNY. DATA : 8 czerwca 2009
MATURA EUROPEJSKA 2009 MATEMATYKA - CYKL 5 GODZINNY DATA : 8 czerwca 2009 CZAS TRWANIA EGZAMINU: 4 godziny (240 minut) DOZWOLONE POMOCE : Europejski zestaw wzorów Kalkulator (bez grafiki, bez możliwości
Bardziej szczegółowoAUTORKA: ELŻBIETA SZUMIŃSKA NAUCZYCIELKA ZESPOŁU SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH SCHOLASTICUS W ŁODZI ZNANE RÓWNANIA PROSTEJ NA PŁASZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI
UTORK: ELŻBIET SZUMIŃSK NUCZYCIELK ZESPOŁU SZKÓŁ OGÓLNOKSZTŁCĄCYCH SCHOLSTICUS W ŁODZI ZNNE RÓWNNI PROSTEJ N PŁSZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI SPIS TREŚCI: PROST N PŁSZCZYŻNIE Str 1. Równanie kierunkowe prostej
Bardziej szczegółowoA. fałszywa dla każdej liczby x.b. prawdziwa dla C. prawdziwa dla D. prawdziwa dla
Zadanie 1 Liczba jest równa A. B. C. 10 D. Odpowiedź B. Zadanie 2 Liczba jest równa A. 3 B. 2 C. D. Odpowiedź D. Zadanie 3. Liczba jest równa Odpowiedź D. Zadanie 4. Liczba osobników pewnego zagrożonego
Bardziej szczegółowoZastosowanie kołowej transformaty Hougha w zadaniu zliczania monet
Zbigniew GOMÓŁKA Uniwersytet Rzeszowski, Polska Ewa ŻESŁAWSKA Wyższa Szkoła Informatyki i Zarządzania w Rzeszowie, Polska Zastosowanie kołowej transformaty Hougha w zadaniu zliczania monet Transformata
Bardziej szczegółowoTRANSCOMP XIV INTERNATIONAL CONFERENCE COMPUTER SYSTEMS AIDED SCIENCE, INDUSTRY AND TRANSPORT
TRANSCOMP XIV INTERNATIONAL CONFERENCE COMPUTER SYSTEMS AIDED SCIENCE, INDUSTRY AND TRANSPORT Adam BARTNICKI 1 Andrzej TYPIAK 1 Ladar, analiza obrazów, wykrywanie przeszkód, pojazd bezzałogowy, wskaźniki
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI KATEDRA AUTOMATYKI. Robot do pokrycia powierzchni terenu
WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI KATEDRA AUTOMATYKI Robot do pokrycia powierzchni terenu Zadania robota Zadanie całkowitego pokrycia powierzchni na podstawie danych sensorycznych Zadanie unikania przeszkód
Bardziej szczegółowoDefinicja obrotu: Definicja elementów obrotu:
5. Obroty i kłady Definicja obrotu: Obrotem punktu A dookoła prostej l nazywamy ruch punktu A po okręgu k zawartym w płaszczyźnie prostopadłej do prostej l w kierunku zgodnym lub przeciwnym do ruchu wskazówek
Bardziej szczegółowoCyfrowe przetwarzanie obrazów i sygnałów Wykład 7 AiR III
1 Niniejszy dokument zawiera materiały do wykładu z przedmiotu Cyfrowe Przetwarzanie Obrazów i Sygnałów. Jest on udostępniony pod warunkiem wykorzystania wyłącznie do własnych, prywatnych potrzeb i może
Bardziej szczegółowoĆwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys.
Ćwiczenie M- Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego. Cel ćwiczenia: pomiar przyśpieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła fizycznego.. Przyrządy: wahadło rewersyjne, elektroniczny
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA ANALITYCZNA. Poziom podstawowy
GEOMETRIA ANALITYCZNA Poziom podstawowy Zadanie (4 pkt.) Dana jest prosta k opisana równaniem ogólnym x + y 6. a) napisz równanie prostej k w postaci kierunkowej. b) podaj współczynnik kierunkowy prostej
Bardziej szczegółowo11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2).
1. Narysuj poniższe figury: a), b), c) 2. Punkty A = (0;1) oraz B = (-1;0) należą do okręgu którego środek należy do prostej o równaniu x-2 = 0. Podaj równanie okręgu. 3. Znaleźć równanie okręgu przechodzącego
Bardziej szczegółowoZadanie 21. Stok narciarski
KLUCZ DO ZADAŃ ARKUSZA II Jeżeli zdający rozwiąże zadanie inną, merytorycznie poprawną metodą otrzymuje maksymalną liczbę punktów Numer zadania Zadanie. Stok narciarski Numer polecenia i poprawna odpowiedź.
Bardziej szczegółowoPrzykład 4.1. Ściag stalowy. L200x100x cm 10 cm I120. Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym
Przykład 4.1. Ściag stalowy Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym rysunku jeśli naprężenie dopuszczalne wynosi 15 MPa. Szukana siła P przyłożona jest
Bardziej szczegółowoODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania
Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM PODSTAWOWY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi. Podanie dziedziny funkcji f:
Bardziej szczegółowoPLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1
PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych
Centralna Komisja Egzaminacyjna Materiał współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki listopad 009 Klucz odpowiedzi do
Bardziej szczegółowostr 1 WYMAGANIA EDUKACYJNE ( ) - matematyka - poziom podstawowy Dariusz Drabczyk
str 1 WYMAGANIA EDUKACYJNE (2017-2018) - matematyka - poziom podstawowy Dariusz Drabczyk Klasa 3e: wpisy oznaczone jako: (T) TRYGONOMETRIA, (PII) PLANIMETRIA II, (RP) RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA, (ST)
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ NA ROK SZKOLNY 2011/2012 DO PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY TRZECIEJ NA ROK SZKOLNY 2011/2012 DO PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM LICZBY, WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE umie obliczyć potęgę o wykładniku naturalnym; umie obliczyć
Bardziej szczegółowoGraficzne opracowanie wyników pomiarów 1
GRAFICZNE OPRACOWANIE WYNIKÓW POMIARÓW Celem pomiarów jest bardzo często potwierdzenie związku lub znalezienie zależności między wielkościami fizycznymi. Pomiar polega na wyznaczaniu wartości y wielkości
Bardziej szczegółowoODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1 POZIOM PODSTAWOWY
Nr zadania Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM PODSTAWOWY Nr Etapy rozwiązania zadania czynności Obliczenie wyróżnika oraz pierwiastków trójmianu
Bardziej szczegółowoGeometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2
Geometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2 Inne rozwiązanie zadania 2. (Wyznaczyć równanie stycznej do elipsy x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 w dowolnym jej punkcie (x 0, y 0 ). ) Przypuśćmy, że krzywa na
Bardziej szczegółowoPrzykładowy zestaw zadań nr 1 z matematyki Odpowiedzi i schemat punktowania poziom podstawowy ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 1
Nr zadania Nr czynności. Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR Etapy rozwiązania zadania POZIOM PODSTAWOWY Obliczenie wyróżnika oraz pierwiastków trójmianu
Bardziej szczegółowoĆwiczenia nr 7. TEMATYKA: Krzywe Bézier a
TEMATYKA: Krzywe Bézier a Ćwiczenia nr 7 DEFINICJE: Interpolacja: przybliżanie funkcji za pomocą innej funkcji, zwykle wielomianu, tak aby były sobie równe w zadanych punktach. Poniżej przykład interpolacji
Bardziej szczegółowoGeometria powłoki, wg publikacji dr inż. Wiesław Baran
Geometria powłoki, wg publikacji dr inż. Wiesław Baran Gładką i regularną powierzchnię środkową S powłoki można opisać za pomocą funkcji wektorowej (rys. 2.1) dwóch współrzędnych krzywoliniowych u 1 i
Bardziej szczegółowoProsta i płaszczyzna w przestrzeni
Prosta i płaszczyzna w przestrzeni Wybrane wzory i informacje Równanie prostej przechodzącej przez punkt P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) o wektorze wodzącym r 0 i równoległej do wektora v = [a, b, c] : postać parametrycznego
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15
Bardziej szczegółowoZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź.
ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska Zad.1. (5 pkt) Sprawdź, czy funkcja określona wzorem x( x 1)( x ) x 3x dla x 1 i x dla x 1 f ( x) 1 3 dla
Bardziej szczegółowoMATURA PRÓBNA - odpowiedzi
MATURA PRÓBNA - odpowiedzi Zadanie 1. (1pkt) Zbiorem wartości funkcji = + 6 7 jest przedział: A., B., C., D., Zadanie. (1pkt) Objętość kuli wpisanej w sześcian o krawędzi długości 6 jest równa: A. B. 4
Bardziej szczegółowoi = [ 0] j = [ 1] k = [ 0]
Ćwiczenia nr TEMATYKA: Układy współrzędnych: kartezjański, walcowy (cylindryczny), sferyczny (geograficzny), Przekształcenia: izometryczne, nieizometryczne. DEFINICJE: Wektor wodzący: wektorem r, ρ wodzącym
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 7. Obraz z wykrytymi krawędziami: gdzie 1 - wartość konturu, 0 - wartość tła.
WYKŁAD 7 Elementy segmentacji Obraz z wykrytymi krawędziami: Detektory wzrostu (DTW); badanie pewnego otoczenia piksla Lokalizacja krawędzi metodami: - liczenie różnicy bezpośredniej, - liczenie różnicy
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Funkcje dwóch zmiennych Andrzej Musielak Str Funkcje dwóch zmiennych Wstęp Funkcja rzeczywista dwóch zmiennych to funkcja, której argumentem jest para liczb rzeczywistych, a wartością liczba rzeczywista.
Bardziej szczegółowoMetody kodowania wybranych cech biometrycznych na przykładzie wzoru naczyń krwionośnych dłoni i przedramienia. Mgr inż.
Metody kodowania wybranych cech biometrycznych na przykładzie wzoru naczyń krwionośnych dłoni i przedramienia Mgr inż. Dorota Smorawa Plan prezentacji 1. Wprowadzenie do zagadnienia 2. Opis urządzeń badawczych
Bardziej szczegółowoZestaw Obliczyć objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach m, n, p jeśli wiadomo, że objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach:
Zestaw 9. Wykazać, że objętość równoległościanu zbudowanego na przekątnych ścian danego równoległościanu jest dwa razy większa od objętości równoległościanu danego.. Obliczyć objętość równoległościanu
Bardziej szczegółowoEgzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź.
ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaniach -5 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź. Zadanie. ( pkt) Wskaż rysunek, na którym zaznaczony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY 1. FUNKCJA KWADRATOWA rysuje wykres funkcji i podaje jej własności sprawdza algebraicznie, czy dany punkt należy
Bardziej szczegółowoLaboratorium techniki laserowej Ćwiczenie 2. Badanie profilu wiązki laserowej
Laboratorium techniki laserowej Ćwiczenie 2. Badanie profilu wiązki laserowej 1. Katedra Optoelektroniki i Systemów Elektronicznych, WETI, Politechnika Gdaoska Gdańsk 2006 1. Wstęp Pomiar profilu wiązki
Bardziej szczegółowoZastosowanie stereowizji do śledzenia trajektorii obiektów w przestrzeni 3D
Zastosowanie stereowizji do śledzenia trajektorii obiektów w przestrzeni 3D autorzy: Michał Dajda, Łojek Grzegorz opiekun naukowy: dr inż. Paweł Rotter I. O projekcie. 1. Celem projektu było stworzenie
Bardziej szczegółowoKORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI
KORESPONDENCYJNY KURS PRZYGOTOWAWCZY Z MATEMATYKI PRACA KONTROLNA nr 1 październik 1999 r 1. Stop składa się z 40% srebra próby 0,6, 30% srebra próby 0,7 oraz 1 kg srebra próby 0,8. Jaka jest waga i jaka
Bardziej szczegółowoRozdział 2. Krzywe stożkowe. 2.1 Elipsa. Krzywe stożkowe są zadane ogólnym równaniem kwadratowym na płaszczyźnie
Rozdział Krzywe stożkowe Krzywe stożkowe są zadane ogólnym równaniem kwadratowym na płaszczyźnie x + By + Cxy + Dx + Ey + F = 0. (.) W zależności od relacji pomiędzy współczynnikami otrzymujemy elipsę,
Bardziej szczegółowoMETODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH
METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Jednym z zastosowań metod numerycznych jest wyznaczenie pierwiastka lub pierwiastków równania nieliniowego. W tym celu stosuje się szereg metod obliczeniowych np:
Bardziej szczegółowoROBOT MOBILNY ZBIERAJĄCY INFORMACJE O POMIESZCZENIU
P O L I T E C H N I K A P O Z N A Ń S K A Praca magisterska ROBOT MOBILNY ZBIERAJĄCY INFORMACJE O POMIESZCZENIU Promotor: dr inż. Dariusz Sędziak inż. Maciej Ciechanowski Poznań 2016 Cel pracy: CEL I ZAKRES
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA - WYKRES
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości
Bardziej szczegółowoRozkład normalny, niepewność standardowa typu A
Podstawy Metrologii i Technik Eksperymentu Laboratorium Rozkład normalny, niepewność standardowa typu A Instrukcja do ćwiczenia nr 1 Zakład Miernictwa i Ochrony Atmosfery Wrocław, listopad 2010 r. Podstawy
Bardziej szczegółowoTO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH )
Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA TO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH ) PAKIET ZADAŃ (zadania wybrano ze zbiorów autorów i wydawnictw: Kiełbasa, Res Polona,
Bardziej szczegółowoRysowanie precyzyjne. Polecenie:
7 Rysowanie precyzyjne W ćwiczeniu tym pokazane zostaną różne techniki bardzo dokładnego rysowania obiektów w programie AutoCAD 2010, między innymi wykorzystanie punktów charakterystycznych. Z uwagi na
Bardziej szczegółowoAlgorytm SAT. Marek Zając 2012. Zabrania się rozpowszechniania całości lub fragmentów niniejszego tekstu bez podania nazwiska jego autora.
Marek Zając 2012 Zabrania się rozpowszechniania całości lub fragmentów niniejszego tekstu bez podania nazwiska jego autora. Spis treści 1. Wprowadzenie... 3 1.1 Czym jest SAT?... 3 1.2 Figury wypukłe...
Bardziej szczegółowoAerotriangulacja. 1. Aerotriangulacja z niezależnych wiązek. 2. Aerotriangulacja z niezależnych modeli
Aerotriangulacja 1. Aerotriangulacja z niezależnych wiązek 2. Aerotriangulacja z niezależnych modeli Definicja: Cel: Kameralne zagęszczenie osnowy fotogrametrycznej + wyznaczenie elementów orientacji zewnętrznej
Bardziej szczegółowoTemat 1. Wprowadzenie do nawigacji robotów mobilnych. Dariusz Pazderski Opracowanie w ramach programu ERA Inżyniera
Kurs: Algorytmy Nawigacji Robotów Mobilnych Temat 1 Wprowadzenie do nawigacji robotów mobilnych 1 Pojęcia podstawowe Dariusz Pazderski Opracowanie w ramach programu ERA Inżyniera Na początku wprowadzimy
Bardziej szczegółowona postać kanoniczną, podaj współrzędne wierzchołka paraboli i określ czy jej ramiona są skierowane w górę czy w dół.
Zadania na poprawkę dla sa f x x 1x na postać kanoniczną, podaj współrzędne wierzchołka paraboli i określ czy jej ramiona są skierowane w górę czy w dół. 1. Zamień postać ogólną funkcji kwadratowej 5.
Bardziej szczegółowoPraca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015
Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015 2 6 + 3 1. Oblicz 3. 3 x 1 3x 2. Rozwiąż nierówność > x. 2 3 3. Funkcja f przyporządkowuje każdej
Bardziej szczegółowoFunkcja liniowa i prosta podsumowanie
Funkcja liniowa i prosta podsumowanie Definicja funkcji liniowej Funkcja liniowa określona jest wzorem postaci: y = ax + b, x R, a R, b R a, b współczynniki funkcji dowolne liczby rzeczywiste a- współczynnik
Bardziej szczegółowoOpis ćwiczenia. Cel ćwiczenia Poznanie budowy i zrozumienie istoty pomiaru przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Henry ego Katera.
ĆWICZENIE WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO ZA POMOCĄ WAHADŁA REWERSYJNEGO Opis ćwiczenia Cel ćwiczenia Poznanie budowy i zrozumienie istoty pomiaru przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie równań nieliniowych
Rozwiązywanie równań nieliniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Przykłady wyznaczania miejsc zerowych funkcji f : f(ξ) = 0. Wyszukiwanie miejsc zerowych wielomianu n-tego stopnia. Wymiar tej przestrzeni wektorowej
Bardziej szczegółowoPolitechnika Poznańska Instytut Technologii Mechanicznej. Laboratorium MASZYN I URZĄDZEŃ TECHNOLOGICZNYCH. Nr 2
Politechnika Poznańska Instytut Technologii Mechanicznej Laboratorium MASZYN I URZĄDZEŃ TECHNOLOGICZNYCH Nr 2 POMIAR I KASOWANIE LUZU W STOLE OBROTOWYM NC Poznań 2008 1. CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczenia jest
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
Bardziej szczegółowoAplikacje Systemów. Nawigacja inercyjna. Gdańsk, 2016
Aplikacje Systemów Wbudowanych Nawigacja inercyjna Gdańsk, 2016 Klasyfikacja systemów inercyjnych 2 Nawigacja inercyjna Podstawowymi blokami, wchodzącymi w skład systemów nawigacji inercyjnej (INS ang.
Bardziej szczegółowoZagadnienia: równanie soczewki, ogniskowa soczewki, powiększenie, geometryczna konstrukcja obrazu, działanie prostych przyrządów optycznych.
msg O 7 - - Temat: Badanie soczewek, wyznaczanie odległości ogniskowej. Zagadnienia: równanie soczewki, ogniskowa soczewki, powiększenie, geometryczna konstrukcja obrazu, działanie prostych przyrządów
Bardziej szczegółowoKGGiBM GRAFIKA INŻYNIERSKA Rok III, sem. VI, sem IV SN WILiŚ Rok akademicki 2011/2012
Rysowanie precyzyjne 7 W ćwiczeniu tym pokazane zostaną wybrane techniki bardzo dokładnego rysowania obiektów w programie AutoCAD 2012, między innymi wykorzystanie punktów charakterystycznych. Narysować
Bardziej szczegółowoArkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.
Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami
Bardziej szczegółowo7. PLANIMETRIA.GEOMETRIA ANALITYCZNA
7. PLANIMETRIA.GEOMETRIA ANALITYCZNA ZADANIA ZAMKNIĘTE 1. Okrąg o równaniu : A) nie przecina osi, B) nie przecina osi, C) przechodzi przez początek układu współrzędnych, D) przechodzi przez punkt. 2. Stosunek
Bardziej szczegółowoSpośród licznych filtrów nieliniowych najlepszymi właściwościami odznacza się filtr medianowy prosty i skuteczny.
Filtracja nieliniowa może być bardzo skuteczną metodą polepszania jakości obrazów Filtry nieliniowe Filtr medianowy Spośród licznych filtrów nieliniowych najlepszymi właściwościami odznacza się filtr medianowy
Bardziej szczegółowoKrystalografia. Analiza wyników rentgenowskiej analizy strukturalnej i sposób ich prezentacji
Krystalografia Analiza wyników rentgenowskiej analizy strukturalnej i sposób ich prezentacji Opis geometrii Symetria: kryształu: grupa przestrzenna cząsteczki: grupa punktowa Parametry geometryczne współrzędne
Bardziej szczegółowoAnaliza korelacyjna i regresyjna
Podstawy Metrologii i Technik Eksperymentu Laboratorium Analiza korelacyjna i regresyjna Instrukcja do ćwiczenia nr 5 Zakład Miernictwa i Ochrony Atmosfery Wrocław, kwiecień 2014 Podstawy Metrologii i
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci
Bardziej szczegółowoVECTORy-01 wymaga zasilania napięciem 12-42V DC 200mA. Zasilanie oraz sygnały sterujące należy podłączyć do złącza zgodnie z załączonym schematem
CNC-WAP www.cncwap.pl VECTORy-01 Rejestrator VECTORy-01 jest urządzeniem pomiarowym i rejestracyjnym Opracowanym przez CNC-WAP Wojciech Ogarek, przeznaczonym do współpracy z obrabiarkami cnc sterowanymi
Bardziej szczegółowoPODSTAWY > Figury płaskie (1) KĄTY. Kąt składa się z ramion i wierzchołka. Jego wielkość jest mierzona w stopniach:
PODSTAWY > Figury płaskie (1) KĄTY Kąt składa się z ramion i wierzchołka. Jego wielkość jest mierzona w stopniach: Kąt możemy opisać wpisując w łuk jego miarę (gdy jest znana). Gdy nie znamy miary kąta,
Bardziej szczegółowoZakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/
Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt
Bardziej szczegółowoZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna
Arkusz A06 2 Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna odpowiedź Zadanie 1. (0-1) Wartość wyrażenia 1 3 + 1 + 3
Bardziej szczegółowo9. Podstawowe narzędzia matematyczne analiz przestrzennych
Waldemar Izdebski - Wykłady z przedmiotu SIT 75 9. odstawowe narzędzia matematyczne analiz przestrzennych Niniejszy rozdział służy ogólnemu przedstawieniu metod matematycznych wykorzystywanych w zagadnieniu
Bardziej szczegółowoARKUSZ II
www.galileusz.com.pl ARKUSZ II W każdym z zadań 1.-24. wybierz i zaznacz jedną poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (0-1 pkt) Liczba 30 to p% liczby 80, zatem A) p = 44,(4)% B) p > 44,(4)% C) p = 43,(4)% D)
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA ELEMENTARNA
Bardo, 7 11 XII A. D. 2016 I Uniwersytecki Obóz Olimpiady Matematycznej GEOMETRIA ELEMENTARNA materiały przygotował Antoni Kamiński na podstawie zbiorów zadań: Przygotowanie do olimpiad matematycznych
Bardziej szczegółoworectan.co.uk 1. Szkic projektu Strona:1
Zadanie: Wyznaczyć położenie głównych centralnych osi bezwładności i obliczyć główne centralne momenty bezwładności 1. Szkic projektu * Rozwiązanie zadania * Oznaczenia: A [cm²] - pole powierzchni figury
Bardziej szczegółowoFIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE
Umiejętności opracowanie: Maria Lampert LISTA MOICH OSIĄGNIĘĆ FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE Co powinienem umieć Umiejętności znam podstawowe przekształcenia geometryczne: symetria osiowa i środkowa,
Bardziej szczegółowo8. TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO.
WYKŁAD 6 1 8. TRYGONOMETRIA. 8.1. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO. SINUSEM kąta nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym : =. COSINUSEM
Bardziej szczegółowoPROGRAMOWANIE DYNAMICZNE W ROZMYTYM OTOCZENIU DO STEROWANIA STATKIEM
Mostefa Mohamed-Seghir Akademia Morska w Gdyni PROGRAMOWANIE DYNAMICZNE W ROZMYTYM OTOCZENIU DO STEROWANIA STATKIEM W artykule przedstawiono propozycję zastosowania programowania dynamicznego do rozwiązywania
Bardziej szczegółowoRównania prostych i krzywych; współrzędne punktu
Równania prostych i krzywych; współrzędne punktu Zad 1: Na paraboli o równaniu y = 1 x znajdź punkt P leŝący najbliŝej prostej o równaniu x + y = 0 Napisz równanie stycznej do tej paraboli, poprowadzonej
Bardziej szczegółowoLaboratorium Podstaw Robotyki I Ćwiczenie Khepera dwukołowy robot mobilny
Laboratorium Podstaw Robotyki I Ćwiczenie Khepera dwukołowy robot mobilny 16 listopada 2006 1 Wstęp Robot Khepera to dwukołowy robot mobilny zaprojektowany do celów badawczych i edukacyjnych. Szczegółowe
Bardziej szczegółowoNotatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013
Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 013 3.4.1 Inwersja względem okręgu. Inwersja względem okręgu jest przekształceniem płaszczyzny
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 5 MAJA Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50
Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 01 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę Instrukcja dla zdającego EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoOKREŚLENIE WPŁYWU WYŁĄCZANIA CYLINDRÓW SILNIKA ZI NA ZMIANY SYGNAŁU WIBROAKUSTYCZNEGO SILNIKA
ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ 2008 Seria: TRANSPORT z. 64 Nr kol. 1803 Rafał SROKA OKREŚLENIE WPŁYWU WYŁĄCZANIA CYLINDRÓW SILNIKA ZI NA ZMIANY SYGNAŁU WIBROAKUSTYCZNEGO SILNIKA Streszczenie. W
Bardziej szczegółowoW czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z zestawu wzorów matematycznych, linijki i cyrkla oraz kalkulatora.
Egzamin maturalny od roku szkolnego 2014/2015 Matematyka Poziom rozszerzony Przykładowy zestaw zadań dla osób słabowidzących (A4) W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z zestawu wzorów matematycznych,
Bardziej szczegółowoTechnikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu
Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z obowiązkowych
Bardziej szczegółowoFIZYKA klasa 1 Liceum Ogólnokształcącego (4 letniego)
2019-09-01 FIZYKA klasa 1 Liceum Ogólnokształcącego (4 letniego) Treści z podstawy programowej przedmiotu POZIOM ROZSZERZONY (PR) SZKOŁY BENEDYKTA Podstawa programowa FIZYKA KLASA 1 LO (4-letnie po szkole
Bardziej szczegółowoInstrukcja do ćwiczenia jednopłaszczyznowe wyważanie wirników
Instrukcja do ćwiczenia jednopłaszczyznowe wyważanie wirników 1. Podstawowe pojęcia związane z niewyważeniem Stan niewyważenia stan wirnika określony takim rozkładem masy, który w czasie wirowania wywołuje
Bardziej szczegółowo