Zastosowanie transformacji Hougha do tworzenia mapy i lokalizacji robota mobilnego

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Zastosowanie transformacji Hougha do tworzenia mapy i lokalizacji robota mobilnego"

Transkrypt

1 Zastosowanie transformacji Hougha do tworzenia mapy i lokalizacji robota mobilnego Barbara Siemiatkowska 1 Streszczenie W niniejszej pracy przedstawiono zastosowanie transformacji Hougha w określeniu zmian położenia robota w środowisku, które nie jest znane. Robot wyposażony w laserowy czujnik odległości porusza się we wnętrzu budynku. Znajdowane są cechy charakterystyczne otoczenia - fragmenty ścian, łuki i obiekty nieregularne. Określenie przemieszczenia robota odbywa się na podstawie określenia zmian położenia pojazdu względem wykrytych obiektów charakterystycznych - znaczników, wykrywanych przy pomocy transformacji Hougha. Zaletą opisywanej metody jest możliwość realizacji w sposób wielorównoległy. W referacie przedstawione będą wyniki eksperymentów prowadzonych w środowisku typu budynek. Metoda może być także stosowana w przestrzeniach otwartych. 1. WSTEP Systemy nawigacyjne robotów mobilnych składają się z trzech podstawowych elementów: określenia położenia otaczających pojazd przeszkód, planowania bezkolizyjnej trasy oraz lokalizacji. Metody lokalizacji dzielone są na dwie podstawowe grupy. W pierwszej grupie znajdują się systemy umożliwiające określenie przemieszczenia robota między kolejnymi punktami pomiarowymi. W drugiej obliczane jest położenie pojazdu w pewnym globalnym układzie współrzędnych. Podstawową metodą określenia przemieszczeń robota jest odometria. Istotną wadą odometrii jest jednak to, że niedokładności pomiarów kumulują się w czasie. Powstanie błędów może być spowodowane wadami urządzenia np. nierównościami kół, ograniczoną rozdzielczością enkoderów lub przypadkowymi zaburzeniami np. poślizgami kół, nierównością powierzchni [1]. Układy odometryczne są wzbogacane o zewnętrzne układ lokalizacji. Najstarsze systemy polegały na badaniu przemieszczenia robota względem sztucznych znaczników aktywnych [5] lub pasywnych (obiektów o określonym kolorze i kształcie [6]). Wadą takich systemów jest to, że układ znaczników musi być znany i ich położenie nie może się zmieniać. Inną dużo bardziej elastyczną metodą jest określenie przemieszczenia na podstawie tworzonych przez robota map lokalnych. W literaturze opisywane są trzy grupy tych metod: Dopasowywanie map[2] - algorytmy umożliwiają określenie przemieszczenia robota z dużą dokładnością, ale są czasochłonne obliczeniowo. 1 Instytut Podstawowych Problemów Techniki PAN, ul. Świętokrzyska 21, Warszawa,

2 B. Siemiatkowska Dopasowywanie skanów - do tej grupy należą np. metody określanie kierunków głównych [8][4] - metoda może być stosowana wewnątrz budynków posiadających regularny układ ścian. Wykrywanie i dopasowywanie elementów charakterystycznych - robot znajduje w środowisku znaczniki - elementy charakterystyczne, niezmienne i odporne na przypadkowe zakłócenia [3][10]. Znaczniki są najczęściej opisywane w postaci zbioru cech. Metoda ta jest metodą uniwersalną tzn. może być stosowana zarówno w pomieszczeniach jak i w otwartej przestrzeni. Jej efektywność zależy głównie od sposobu wykrywania i dopasowywania charakterystycznych elementów otoczenia. Przedstawiona w poniższej pracy metoda lokalizacji robota należy do ostatniej z opisywanych grup. W prowadzonych eksperymentach stosowano dalmierz laserowy firmy SICK, a parametry znaczników są obliczane przy pomocy zmodyfikowanej transformacji Hougha. Opisywane w poniższym artykule badania są rozszerzeniem i uzupełnieniem metody przedstawionej w [9]. 2. DALMIERZ LASEROWY Dalmierz laserowy LMS 200 firmy SICK jest urządzeniem pierwszej klasy bezpieczeństwa umożliwiającym dokonywanie pomiarów w pomieszczeniach zamkniętych. Dostarcza ciąg odczytów postaci: (R i,φ i ), gdzie R i jest wskazaną przez laser odległością od przeszkody, a φ i kątem skanowania. Sensor wykrywa przeszkody w odległości nie przekraczającej 30 m. Statystyczny błąd pomiaru wynosi ok. 15mm dla R i < 800cm i ok. 4 cm dla R i > 800cm. LMS umożliwia wykrywanie przeszkód w sektorze 180 o z rozdzielczością kątową 0.5 lub 1. Czas dokonania skanu wynosi 26ms (dla 0.5 ) i 13ms dla rozdzielczości 1. Jeśli przyjmiemy że dalmierz laserowy znajduje się w początku układu współrzędnych, to współrzędne punktów należących do krawędzi przeszkody możemy obliczyć na podstawie równania (1). x i = R i cosφ i y i = R i sinφ i (1) R i jest wskazaną przez laser odległością od przeszkody, a φ i jest kątem skanowania. 3. SCHEMAT ALGORYTMU Algorytm określania przemieszczenia robota między kolejnymi punktami pomiarowymi składa się z następujących etapów: Dokonanie pomiarów przy pomocy dalmierza laserowego. Ciąg odległości jest zapamiętany w jednowymiarowej tablicy. Indeks tablicy w sposób jednoznaczny określa kąt skanowania. Indeksowi o wartości i odpowiada kąt skanowania i ϕ, gdzie ϕ jest rozdzielczością skanera. W prowadzonych eksperymentach przyjęto ϕ = 1.0 0

3 Zastosowanie transformacji Hougha w lokalizacji... Filtracja danych Dane pochodzące ze skanera są często zaszumiane. Błędy odczytów powstają najczęściej w sytuacji, gdy wiązka świetlna pada na granicę dwóch przeszkód. W celu zredukowania występujących szumów dane są filtrowane przy pomocy filtru medianowego. Filtr ten jest realizowany przy pomocy sieci komórkowej. Umożliwia to realizację algorytmu w sposób wielorównoległy. Na rys. 1 przedstawiono wynik filtracji danych. Linią przerywaną zaznaczono odczyty ze skanera, a linią ciągłą wynik zastosowania filtru medianowego. Rys. 1. Dane pochodzące ze skanera laserowego Wyodrębnienie obiektów Obiekty są wyodrębniane prz pomocy transformacji Hougha. Poszukujemy odcinków dłuższych niż zadany próg ( naszym wypadku 20cm). Po wyodrębnieniu długich odcinków analizujemy pozostałe punkty. Przyjmujemy, że dwa kolejne odczyty skanera (R i,φ i ) i (R i+1,φ i+1 ) wskazują na ten sam obiekt, jeśli spełniony jest warunek: R 2 i+1 + R 2 i 2 R i+1 R i cos ϕ R 2 (2) W prowadzonych eksperymentach przyjęto R = 25cm. Na rys. 2 przedstawiono wynik segmentacji danych. Na rys. 3 przedstawiono mapę utworzoną na podstawie odczytów z lasera. Klasyfikacja i określenie cech obiektu. W algorytmach określenia przemieszczenia robota na podstawie wskazań dalmierz laserowego jako cechy charakterystyczne przyjmuje się fragmenty ścian i naroża. W opisywanej w poniższej pracy metodzie zbiór cech rozszerzono o łuki i elementy nieregularne. Postępowanie to umożliwia dokonywanie lokalizacji w środowisku, w którym nie występuje regularny układ ścian.

4 B. Siemiatkowska Rys. 2. Segmentacja danych Określenie zmiany położenia robota Po określeniu parametrów i dopasowaniu znaczników wykrytych w kolejnych punktach pomiarowych, obliczane jest przesunięcie robota oraz zmiana jego orientacji. Metoda obliczania zmian położenia pojazdu na podstawie zaobserwowanych zmian położenia punktów charakterystycznych jest przedstawiona w pracach: [3][7]. 4. TRANSFORMACJA HOUGHA Transformacja Hougha jest od wielu lat stosowana w przetwarzaniu obrazów, zwykle do znajdowania najdłuższych odcinków linii występujących w obrazie rastrowym Równanie prostej można zapisać w postaci normalnej: c = x cosα + y sinα (3) gdzie α jest kątem między normalną do danej prostej a osią OX, c - jest minimalną odległością danej prostej od punktu (0,0). Jeśli przyjmiemy pewną dyskretyzację przestrzeni, to dla każdego punktu płaszczyzny (x, y) możemy wyznaczyć rodzinę prostych do których punkt należy, a więc także rodzinę par (α, c). Jeśli utworzymy tablicę dwuwymiarową i elementowi (α, c) przyporządkowujemy ilość pikseli obrazu leżących na wyznaczonej przez tę parę prostej, to element o największej wartości w sposób jednoznaczny wyznacza najdłuższy odcinek na obrazie. W przypadku, gdy dane pochodzą z lasera równanie (3) może być zastąpione równaniem:

5 Zastosowanie transformacji Hougha w lokalizacji... Rys. 3. Lokalna mapa otoczenia c = R i cos(α φ i ) (4) Z równania (4) wynika, że aby dokonać transformacji Hougha obrazu otrzymanego na podstawie wskazań dalmierza laserowego nie musimy obliczać współrzędnych (x,y), wystarczą dane o odległości od przeszkody i kącie skanowania. Dwa kolejne odczyty (R i,φ i ) i (R i+1,φ i+1 ) należą do tej samej prostej wyznaczonej przez parametry (α,c), jeśli spełnione są warunki (5)-(6). R i cos(α φ i ) R i+1 cos(α φ i+1 ) ε (5) R i cos(α φ i ) c ε (6) Wartość parametru ε jest dopuszczalnym błędem. W eksperymentach przyjęto ε 1.5cm. Analiza powstałego w wyniku transformacji Hougha histogramu umożliwia określenie typu obiektu, który jest obserwowany. W przypadku ścian występuje jedno wyraźne maksimum, w przypadku naroży występują dwa maksima odpowiadające kierunkom ścian. W przypadku obiektów nieregularnych brak jest wyraźnych maksimów. Dla zbioru odczytów współliniowych (R i,φ), należy znaleźć takie wartości parametrów (α, c), dla których błąd średniokwadratowy γ opisany równaniem (7) jest najmniejszy: γ = N i=1 (R i cos(α φ i ) c) 2 (7) gdzie N - jest ilością odczytów współliniowych. Wartości optymalne są obliczane zgodnie ze wzorem (8)

6 B. Siemiatkowska Rys. 4. Określenie zakresu parametrów α α = 1 2 atan( p q ) c = 1 N N i=1 R i cos(φ i α) p = N i=1 N j=1 R i R j sin(φ i + φ j ) + N N i=1 R2 i sin(2 φ i) q = N i=1 N j=1 R i R j cos(φ i + φ j ) + N N i=1 R2 i cos(2 φ i) (8) Naroża są reprezentowane jako punkt (x,y). Punkt ten powstaje w wyniku przecięcia się dwóch ścian. Wyniki metody opisywanej metody są przedstawione w pracy [9]. W prowadzonych obecnie badaniach nie zmieniono koncepcji przedstawionej metody, skoncentrowano się jedynie na stworzeniu algorytmu, który umożliwia przeprowadzenie obliczeń w sposób bardziej efektywny. Wprowadzono następujące modyfikacje: analiza położenia dwóch kolejnych punktów umożliwia określenie zakresu współczynników α dla których warto obliczać wartości parametrów c. Ideę metody przedstawia rys. 4. Czarne koła reprezentują dwa kolejne odczyty dalmierza laserowego. Okręgami zaznaczono obszar błędu odczytu. Zaznaczone proste wyznaczają zakres współczynników α, dla których przeprowadzana będzie transformacja Hougha. W wyniku stosowania opisanej metody następuje kilkukrotne skrócenie czasu obliczeń. Transformacja Hougha może być stosowana także do wykrywania dowolnych krzywych, które mogą być opisywane w sposób parametryczny. W przypadku punktów znajdujących się na okręgu opisanym równaniem (9) musimy wyznaczyć parametry x 0, y 0 i parametr r. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = r 2 (9) Zwykle stosowanie transformacji Hougha do wykrywania krzywych opisywanych więcej niż dwoma parametrami jest czasochłonne. W tej pracy przedstawiony zostanie algorytm określania parametrów obiektów, które z punktu widzenia sensora wyglądają jak fragmenty okręgu. Okrąg będzie opisywany przez następujące parametry: d - odległość punktu (x 0,y 0 ) od środka układu współrzędnych, α - kąt nachylenia prostej przechodzącej przez (x 0,y 0 ) i (0,0) do osi OX oraz r - promień okręgu. W

7 Zastosowanie transformacji Hougha w lokalizacji... Rys. 5. Parametryczny opis okręgu klasycznej metodzie dla każdego punktu (r i,φ i ) wskazanego przez laser i dla każdego α [0,180], należałoby obliczyć zbiór dopuszczalnych wartości d i r. Równanie (9) możemy zapisać w następujący sposób: (x d cosα) 2 + (y d sinα) 2 = r 2 (10) Ponieważ w opisywanej metodzie spełniony jest warunek (1), to podstawiając wartości x i y do równania (10) otrzymujemy: r 2 i + d 2 2 r i d cos(α φ i ) = r 2 (11) Jeśli zbiór odczytów (r i,ϕ i ) i=0,..,n leży na jednym okręgu to spełnione są następujące warunki: 1. Zbiór r i jest symetryczny względem k = 1+N 2 2. Kąt β = N i=1 ϕ i N jest przybliżoną wartością α. W kolejnym kroku generowane jest przybliżone równanie okręgu, przyjmujemy, że przybliżoną wartością parametru α jest parametr β. Trzy punkty (r i,φ i ),(r k,φ k ),(r j,φ j ) należą do jednego okręgu, którego środek leży na prostej wyznaczonej przez kąt α, jeśli spełniony jest warunek (12). ri 2 r2 r 2 k j = r2 k (12) r i cosφ i r k cosφ k r j cosφ j r k cosφ k Wartości parametrów d i r wyznaczane są zgodnie ze wzorem (13).

8 B. Siemiatkowska r 2 j r2 k r j cosφ j r k cosφ k d = 1 2 r 2 = ri 2 + d2 2 r i d cos(α φ i ) (13) Warunek 12 jest niestabilny numerycznie dla punktów takich, że ϕ i α ϕ k α, dlatego przyjmujemy, że i, j są indeksami odczytów skrajnych, a k indeksem odczytu środkowego. Mając obliczone przybliżone wartości d i α dla każdego punktu (r i,ϕ i ) obliczamy odległość od wyznaczonego środka okręgu. Uznajemy, że zbiór punktów leży na jednym okręgu, jeśli dla każdego z punktów wartość R nie różni się od poprzednio wyznaczonej wartości więcej niż zadany próg. Na rysunku 6a) przedstawiono odczyty z lasera, otrzymane gdy obserwowany jest okrąg o parametrach α = 45 o, d=100cm, R=20cm. Rozdzielczość skanera wynosiła 1 o. Rysunek 6b) przedstawia wyniki pomiarów w układzie biegunowym. Przybliżona wartość kąta wynosi 45 o, a parametru d= Rysunek 7 przedstawia obliczone wartości parametru R dla kolejnych punktów. Kolejny krok polega na wyznaczeniu optymalnych wartości parametrów. W tym przypadku podobnie jak poprzednio szukamy minimum funkcji f (α,d,r) opisanej wzorem 14 f (α,d,r) = N i=1 (d 2 + r 2 i 2 d r i cos(α ϕ i ) R 2 ) 2 (14) a) b) Rys. 6. Odczyty z dalmierza Wyniki przeprowadzonych eksperymentów przedstawia rys. 8. Na wykresie przedstawiono błąd określenia parametru d dla okręgów o promieniu r = 10cm, r = 20cm i r = 30cm. Okręgi były umieszczane w odległościach od 0.5m do 3.0m od

9 Zastosowanie transformacji Hougha w lokalizacji... Rys. 7. Wartości parametru R dalmierza laserowego. Błąd jest tym większy im mniejszy jest obiekt i im dalej znajduje się od robota. Parametr błąd określenia parametru r jest ściśle skorelowany z d i rozkład błędu jest zbliżony do rozkładu błędu dla d. Czas określenia parametrów nie przekroczył 10ms. Obliczenia były prowadzone na komputerze z zegarem 1.2GHz. 5. WNIOSKI W pracy przedstawiono implementację transformacji Hougha umożliwiającą wykrywanie fragmentów ścian i łuków. Metoda umożliwia określenie zmian orientacji i położenia robota wyposażonego w dalmierz laserowy. Przyjęto założenie, że robot porusza się w otoczeniu typu wnętrze. Mapa pomieszczenia nie jest znana. Algorytm jest bardzo efektywny. Opisywana metoda może być stosowana także do określania położenia robota w znanym pomieszczeniu, a także może ułatwiać tworzenie mapy metrycznej otoczenia, które nie jest znane. Czas działania algorytmu nie przekracza 20ms. Wyniki prezentowane w tej pracy zostay zrealizowane w ramach grantu MEiN 3 T11C LITERATURA [1] J. Borenstein, L. Feng. Measurement and Correction of Systematic Odometry Errors in Mobile Robots. Trans. on Robotics and Automation, Vol. 12, No.6,

10 B. Siemiatkowska Rys. 8. Błąd określenia parametru d [2] F. Dellaert, D. Fox, W. Burgard, and S. Thrun. Monte Carlo localization for mobile robots. In IEEE Int. Conf. on Robotics and Automation. s , [3] G. Dissanayake, H. Durrant-Whyte, and T. Bailey. A computationally effcient solution to the simultaneous localisation and map building (SLAM) problem. In: IEEE Int. Conf. on Robotics and Automation. Proceedings. Vol. 2, 2000, s [4] A. Dubrawski, B. Siemiątkowska. A Neural Method for Self-Localization of a Mobile Robot Equipped with a 2-D Scanning Laser Range Finder, In: IEEE Conf. on Robotics and Automation, Leuven. Proceedings. 1998, s [5] G. Giralt, R. Sobek, and R. Chatila. A multi-level planning and navigation system for a mobile robot. A first approach to Hilare. In: Sixth Int. Joint Conf. on Robotics and Automation [6] I. Hallmann, B. Siemiątkowska. Artificial landmark navigation system. In: 9th Int. Symposium Intelligent Robotic Systems. Proceedings. 2001, s [7] E. Mennegatti, M. Zoccarato, E. Pagell, H. Ishiguro. Hierarchical image-based localization for mobile robot with Monte-Carlo Localisation. In: European Conf. on Mobile Robotics Proceedings. 1995, s [8] B. Siemiatkowska, R. Chojecki. Mobile Robot Localization Based on Omnicamera 5th IFAC/EURON Symposium on Intelligent Autonomous Vehicles. Elsevier Proceedings, [9] B. Siemiątkowska, A. Dubrawski. Cellular Neural Networks for a Mobile Robot, Rough Sets and Current Trends in Computing, Springer. s , [10] A. Stevens, M. Stevens, and H.F. Durrant-Whyte. OxNav: Reliable autonomous navigation. In: IEEE Int. Conf. on Robotics and Automation. 1995, s HOUGH TRANSFORM FOR MAP BUILDING AND LOCALIZATION OF A MOBILE ROBOT

11 Zastosowanie transformacji Hougha w lokalizacji... The paper presents the application of Hough transform for mobile robot localization. It is assumed that the robot acts in an unknown environment. It is equipped with the SICK laser range finder. The robot looks for segments, edges and circles, which are features of the environment. Comparing the robot position relatively to the landmarks the displacement of the vehicle is computed. In this paper a certain modification of Hough transform is proposed in order to detect features and to compute their parameters. Experiments show the efficiency of the proposed approach.

Cyfrowe przetwarzanie obrazów i sygnałów Wykład 9 AiR III

Cyfrowe przetwarzanie obrazów i sygnałów Wykład 9 AiR III 1 Na podstawie materiałów autorstwa dra inż. Marka Wnuka. Niniejszy dokument zawiera materiały do wykładu z przedmiotu Cyfrowe Przetwarzanie Obrazów i Sygnałów. Jest on udostępniony pod warunkiem wykorzystania

Bardziej szczegółowo

METODY NAWIGACJI LASEROWEJ W AUTOMATYCZNIE KIEROWANYCH POJAZDACH TRANSPORTOWYCH

METODY NAWIGACJI LASEROWEJ W AUTOMATYCZNIE KIEROWANYCH POJAZDACH TRANSPORTOWYCH METODY NAWIGACJI LASEROWEJ W AUTOMATYCZNIE KIEROWANYCH POJAZDACH TRANSPORTOWYCH Mirosław ŚMIESZEK 1, Paweł DOBRZAŃSKI 2, Magdalena DOBRZAŃSKA 3 W pracy przedstawiono najczęściej wykorzystywane metody służące

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA 3, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0,3 C. 30. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba

Bardziej szczegółowo

Krzywe stożkowe Lekcja II: Okrąg i jego opis w różnych układach współrzędnych

Krzywe stożkowe Lekcja II: Okrąg i jego opis w różnych układach współrzędnych Krzywe stożkowe Lekcja II: Okrąg i jego opis w różnych układach współrzędnych Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej Okrąg Okrąg jest szczególną krzywą stożkową. Wyznacza nam koło, które jest podstawą

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie laserów w nawigacji automatycznie kierowanych pojazdów transportowych

Zastosowanie laserów w nawigacji automatycznie kierowanych pojazdów transportowych DOBRZAŃSKI Paweł 1 ŚMIESZEK Mirosław 2 DOBRZAŃSKA Magdalena 3 Zastosowanie laserów w nawigacji automatycznie kierowanych pojazdów transportowych WSTĘP Szybki rozwój przemysłu, a w szczególności sektorów

Bardziej szczegółowo

Koncepcja pomiaru i wyrównania przestrzennych ciągów tachimetrycznych w zastosowaniach geodezji zintegrowanej

Koncepcja pomiaru i wyrównania przestrzennych ciągów tachimetrycznych w zastosowaniach geodezji zintegrowanej Koncepcja pomiaru i wyrównania przestrzennych ciągów tachimetrycznych w zastosowaniach geodezji zintegrowanej Krzysztof Karsznia Leica Geosystems Polska XX Jesienna Szkoła Geodezji im Jacka Rejmana, Polanica

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0, C. 0. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 42 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ. Wprowadzenie teoretyczne.

Ćwiczenie 42 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ. Wprowadzenie teoretyczne. Ćwiczenie 4 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ Wprowadzenie teoretyczne. Soczewka jest obiektem izycznym wykonanym z materiału przezroczystego o zadanym kształcie i symetrii obrotowej. Interesować

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA - CYKL 5 GODZINNY. DATA : 8 czerwca 2009

MATEMATYKA - CYKL 5 GODZINNY. DATA : 8 czerwca 2009 MATURA EUROPEJSKA 2009 MATEMATYKA - CYKL 5 GODZINNY DATA : 8 czerwca 2009 CZAS TRWANIA EGZAMINU: 4 godziny (240 minut) DOZWOLONE POMOCE : Europejski zestaw wzorów Kalkulator (bez grafiki, bez możliwości

Bardziej szczegółowo

AUTORKA: ELŻBIETA SZUMIŃSKA NAUCZYCIELKA ZESPOŁU SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH SCHOLASTICUS W ŁODZI ZNANE RÓWNANIA PROSTEJ NA PŁASZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI

AUTORKA: ELŻBIETA SZUMIŃSKA NAUCZYCIELKA ZESPOŁU SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH SCHOLASTICUS W ŁODZI ZNANE RÓWNANIA PROSTEJ NA PŁASZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI UTORK: ELŻBIET SZUMIŃSK NUCZYCIELK ZESPOŁU SZKÓŁ OGÓLNOKSZTŁCĄCYCH SCHOLSTICUS W ŁODZI ZNNE RÓWNNI PROSTEJ N PŁSZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI SPIS TREŚCI: PROST N PŁSZCZYŻNIE Str 1. Równanie kierunkowe prostej

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie kołowej transformaty Hougha w zadaniu zliczania monet

Zastosowanie kołowej transformaty Hougha w zadaniu zliczania monet Zbigniew GOMÓŁKA Uniwersytet Rzeszowski, Polska Ewa ŻESŁAWSKA Wyższa Szkoła Informatyki i Zarządzania w Rzeszowie, Polska Zastosowanie kołowej transformaty Hougha w zadaniu zliczania monet Transformata

Bardziej szczegółowo

Definicja obrotu: Definicja elementów obrotu:

Definicja obrotu: Definicja elementów obrotu: 5. Obroty i kłady Definicja obrotu: Obrotem punktu A dookoła prostej l nazywamy ruch punktu A po okręgu k zawartym w płaszczyźnie prostopadłej do prostej l w kierunku zgodnym lub przeciwnym do ruchu wskazówek

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych Centralna Komisja Egzaminacyjna Materiał współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki listopad 009 Klucz odpowiedzi do

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI KATEDRA AUTOMATYKI. Robot do pokrycia powierzchni terenu

WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI KATEDRA AUTOMATYKI. Robot do pokrycia powierzchni terenu WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI KATEDRA AUTOMATYKI Robot do pokrycia powierzchni terenu Zadania robota Zadanie całkowitego pokrycia powierzchni na podstawie danych sensorycznych Zadanie unikania przeszkód

Bardziej szczegółowo

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2).

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2). 1. Narysuj poniższe figury: a), b), c) 2. Punkty A = (0;1) oraz B = (-1;0) należą do okręgu którego środek należy do prostej o równaniu x-2 = 0. Podaj równanie okręgu. 3. Znaleźć równanie okręgu przechodzącego

Bardziej szczegółowo

Zadanie 21. Stok narciarski

Zadanie 21. Stok narciarski KLUCZ DO ZADAŃ ARKUSZA II Jeżeli zdający rozwiąże zadanie inną, merytorycznie poprawną metodą otrzymuje maksymalną liczbę punktów Numer zadania Zadanie. Stok narciarski Numer polecenia i poprawna odpowiedź.

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA ANALITYCZNA. Poziom podstawowy

GEOMETRIA ANALITYCZNA. Poziom podstawowy GEOMETRIA ANALITYCZNA Poziom podstawowy Zadanie (4 pkt.) Dana jest prosta k opisana równaniem ogólnym x + y 6. a) napisz równanie prostej k w postaci kierunkowej. b) podaj współczynnik kierunkowy prostej

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia

Bardziej szczegółowo

Przykład 4.1. Ściag stalowy. L200x100x cm 10 cm I120. Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym

Przykład 4.1. Ściag stalowy. L200x100x cm 10 cm I120. Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym Przykład 4.1. Ściag stalowy Obliczyć dopuszczalną siłę P rozciagającą ściąg stalowy o przekroju pokazanym na poniższym rysunku jeśli naprężenie dopuszczalne wynosi 15 MPa. Szukana siła P przyłożona jest

Bardziej szczegółowo

Rysowanie precyzyjne. Polecenie:

Rysowanie precyzyjne. Polecenie: 7 Rysowanie precyzyjne W ćwiczeniu tym pokazane zostaną różne techniki bardzo dokładnego rysowania obiektów w programie AutoCAD 2010, między innymi wykorzystanie punktów charakterystycznych. Z uwagi na

Bardziej szczegółowo

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź.

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź. ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska Zad.1. (5 pkt) Sprawdź, czy funkcja określona wzorem x( x 1)( x ) x 3x dla x 1 i x dla x 1 f ( x) 1 3 dla

Bardziej szczegółowo

MATURA PRÓBNA - odpowiedzi

MATURA PRÓBNA - odpowiedzi MATURA PRÓBNA - odpowiedzi Zadanie 1. (1pkt) Zbiorem wartości funkcji = + 6 7 jest przedział: A., B., C., D., Zadanie. (1pkt) Objętość kuli wpisanej w sześcian o krawędzi długości 6 jest równa: A. B. 4

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Krzywe stożkowe. 2.1 Elipsa. Krzywe stożkowe są zadane ogólnym równaniem kwadratowym na płaszczyźnie

Rozdział 2. Krzywe stożkowe. 2.1 Elipsa. Krzywe stożkowe są zadane ogólnym równaniem kwadratowym na płaszczyźnie Rozdział Krzywe stożkowe Krzywe stożkowe są zadane ogólnym równaniem kwadratowym na płaszczyźnie x + By + Cxy + Dx + Ey + F = 0. (.) W zależności od relacji pomiędzy współczynnikami otrzymujemy elipsę,

Bardziej szczegółowo

KGGiBM GRAFIKA INŻYNIERSKA Rok III, sem. VI, sem IV SN WILiŚ Rok akademicki 2011/2012

KGGiBM GRAFIKA INŻYNIERSKA Rok III, sem. VI, sem IV SN WILiŚ Rok akademicki 2011/2012 Rysowanie precyzyjne 7 W ćwiczeniu tym pokazane zostaną wybrane techniki bardzo dokładnego rysowania obiektów w programie AutoCAD 2012, między innymi wykorzystanie punktów charakterystycznych. Narysować

Bardziej szczegółowo

Rozkład normalny, niepewność standardowa typu A

Rozkład normalny, niepewność standardowa typu A Podstawy Metrologii i Technik Eksperymentu Laboratorium Rozkład normalny, niepewność standardowa typu A Instrukcja do ćwiczenia nr 1 Zakład Miernictwa i Ochrony Atmosfery Wrocław, listopad 2010 r. Podstawy

Bardziej szczegółowo

ROBOT MOBILNY ZBIERAJĄCY INFORMACJE O POMIESZCZENIU

ROBOT MOBILNY ZBIERAJĄCY INFORMACJE O POMIESZCZENIU P O L I T E C H N I K A P O Z N A Ń S K A Praca magisterska ROBOT MOBILNY ZBIERAJĄCY INFORMACJE O POMIESZCZENIU Promotor: dr inż. Dariusz Sędziak inż. Maciej Ciechanowski Poznań 2016 Cel pracy: CEL I ZAKRES

Bardziej szczegółowo

Metody kodowania wybranych cech biometrycznych na przykładzie wzoru naczyń krwionośnych dłoni i przedramienia. Mgr inż.

Metody kodowania wybranych cech biometrycznych na przykładzie wzoru naczyń krwionośnych dłoni i przedramienia. Mgr inż. Metody kodowania wybranych cech biometrycznych na przykładzie wzoru naczyń krwionośnych dłoni i przedramienia Mgr inż. Dorota Smorawa Plan prezentacji 1. Wprowadzenie do zagadnienia 2. Opis urządzeń badawczych

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15

Bardziej szczegółowo

Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015

Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015 Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015 2 6 + 3 1. Oblicz 3. 3 x 1 3x 2. Rozwiąż nierówność > x. 2 3 3. Funkcja f przyporządkowuje każdej

Bardziej szczegółowo

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt

Bardziej szczegółowo

Opis ćwiczenia. Cel ćwiczenia Poznanie budowy i zrozumienie istoty pomiaru przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Henry ego Katera.

Opis ćwiczenia. Cel ćwiczenia Poznanie budowy i zrozumienie istoty pomiaru przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Henry ego Katera. ĆWICZENIE WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO ZA POMOCĄ WAHADŁA REWERSYJNEGO Opis ćwiczenia Cel ćwiczenia Poznanie budowy i zrozumienie istoty pomiaru przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego

Bardziej szczegółowo

Funkcja liniowa i prosta podsumowanie

Funkcja liniowa i prosta podsumowanie Funkcja liniowa i prosta podsumowanie Definicja funkcji liniowej Funkcja liniowa określona jest wzorem postaci: y = ax + b, x R, a R, b R a, b współczynniki funkcji dowolne liczby rzeczywiste a- współczynnik

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia: równanie soczewki, ogniskowa soczewki, powiększenie, geometryczna konstrukcja obrazu, działanie prostych przyrządów optycznych.

Zagadnienia: równanie soczewki, ogniskowa soczewki, powiększenie, geometryczna konstrukcja obrazu, działanie prostych przyrządów optycznych. msg O 7 - - Temat: Badanie soczewek, wyznaczanie odległości ogniskowej. Zagadnienia: równanie soczewki, ogniskowa soczewki, powiększenie, geometryczna konstrukcja obrazu, działanie prostych przyrządów

Bardziej szczegółowo

7. PLANIMETRIA.GEOMETRIA ANALITYCZNA

7. PLANIMETRIA.GEOMETRIA ANALITYCZNA 7. PLANIMETRIA.GEOMETRIA ANALITYCZNA ZADANIA ZAMKNIĘTE 1. Okrąg o równaniu : A) nie przecina osi, B) nie przecina osi, C) przechodzi przez początek układu współrzędnych, D) przechodzi przez punkt. 2. Stosunek

Bardziej szczegółowo

Aplikacje Systemów. Nawigacja inercyjna. Gdańsk, 2016

Aplikacje Systemów. Nawigacja inercyjna. Gdańsk, 2016 Aplikacje Systemów Wbudowanych Nawigacja inercyjna Gdańsk, 2016 Klasyfikacja systemów inercyjnych 2 Nawigacja inercyjna Podstawowymi blokami, wchodzącymi w skład systemów nawigacji inercyjnej (INS ang.

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami

Bardziej szczegółowo

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013 Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 013 3.4.1 Inwersja względem okręgu. Inwersja względem okręgu jest przekształceniem płaszczyzny

Bardziej szczegółowo

VECTORy-01 wymaga zasilania napięciem 12-42V DC 200mA. Zasilanie oraz sygnały sterujące należy podłączyć do złącza zgodnie z załączonym schematem

VECTORy-01 wymaga zasilania napięciem 12-42V DC 200mA. Zasilanie oraz sygnały sterujące należy podłączyć do złącza zgodnie z załączonym schematem CNC-WAP www.cncwap.pl VECTORy-01 Rejestrator VECTORy-01 jest urządzeniem pomiarowym i rejestracyjnym Opracowanym przez CNC-WAP Wojciech Ogarek, przeznaczonym do współpracy z obrabiarkami cnc sterowanymi

Bardziej szczegółowo

9. Podstawowe narzędzia matematyczne analiz przestrzennych

9. Podstawowe narzędzia matematyczne analiz przestrzennych Waldemar Izdebski - Wykłady z przedmiotu SIT 75 9. odstawowe narzędzia matematyczne analiz przestrzennych Niniejszy rozdział służy ogólnemu przedstawieniu metod matematycznych wykorzystywanych w zagadnieniu

Bardziej szczegółowo

Algorytm SAT. Marek Zając 2012. Zabrania się rozpowszechniania całości lub fragmentów niniejszego tekstu bez podania nazwiska jego autora.

Algorytm SAT. Marek Zając 2012. Zabrania się rozpowszechniania całości lub fragmentów niniejszego tekstu bez podania nazwiska jego autora. Marek Zając 2012 Zabrania się rozpowszechniania całości lub fragmentów niniejszego tekstu bez podania nazwiska jego autora. Spis treści 1. Wprowadzenie... 3 1.1 Czym jest SAT?... 3 1.2 Figury wypukłe...

Bardziej szczegółowo

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych zad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 odp A C C C A A B B C B D A 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C C A B A D C B

Bardziej szczegółowo

FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE

FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE Umiejętności opracowanie: Maria Lampert LISTA MOICH OSIĄGNIĘĆ FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA GEOMETRYCZNE Co powinienem umieć Umiejętności znam podstawowe przekształcenia geometryczne: symetria osiowa i środkowa,

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 014/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ DLA OSÓB SŁABOSŁYSZĄCYCH (A3) W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z zestawu wzorów matematycznych,

Bardziej szczegółowo

8. TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO.

8. TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO. WYKŁAD 6 1 8. TRYGONOMETRIA. 8.1. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA OSTREGO. SINUSEM kąta nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym : =. COSINUSEM

Bardziej szczegółowo

O 2 O 1. Temat: Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego

O 2 O 1. Temat: Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego msg M 7-1 - Temat: Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Zagadnienia: prawa dynamiki Newtona, moment sił, moment bezwładności, dynamiczne równania ruchu wahadła fizycznego,

Bardziej szczegółowo

Politechnika Poznańska Instytut Technologii Mechanicznej. Laboratorium MASZYN I URZĄDZEŃ TECHNOLOGICZNYCH. Nr 2

Politechnika Poznańska Instytut Technologii Mechanicznej. Laboratorium MASZYN I URZĄDZEŃ TECHNOLOGICZNYCH. Nr 2 Politechnika Poznańska Instytut Technologii Mechanicznej Laboratorium MASZYN I URZĄDZEŃ TECHNOLOGICZNYCH Nr 2 POMIAR I KASOWANIE LUZU W STOLE OBROTOWYM NC Poznań 2008 1. CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczenia jest

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r.

Ćwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r. Waldemar ompe echy przystawania trójkątów 1. unkt leży na przekątnej kwadratu (rys. 1). unkty i R są rzutami prostokątnymi punktu odpowiednio na proste i. Wykazać, że = R. R 2. any jest trójkąt ostrokątny,

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

Temat 1. Wprowadzenie do nawigacji robotów mobilnych. Dariusz Pazderski Opracowanie w ramach programu ERA Inżyniera

Temat 1. Wprowadzenie do nawigacji robotów mobilnych. Dariusz Pazderski Opracowanie w ramach programu ERA Inżyniera Kurs: Algorytmy Nawigacji Robotów Mobilnych Temat 1 Wprowadzenie do nawigacji robotów mobilnych 1 Pojęcia podstawowe Dariusz Pazderski Opracowanie w ramach programu ERA Inżyniera Na początku wprowadzimy

Bardziej szczegółowo

WYBÓR PUNKTÓW POMIAROWYCH

WYBÓR PUNKTÓW POMIAROWYCH Scientific Bulletin of Che lm Section of Technical Sciences No. 1/2008 WYBÓR PUNKTÓW POMIAROWYCH WE WSPÓŁRZĘDNOŚCIOWEJ TECHNICE POMIAROWEJ MAREK MAGDZIAK Katedra Technik Wytwarzania i Automatyzacji, Politechnika

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY 1. FUNKCJA KWADRATOWA rysuje wykres funkcji i podaje jej własności sprawdza algebraicznie, czy dany punkt należy

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci

Bardziej szczegółowo

3. WYNIKI POMIARÓW Z WYKORZYSTANIEM ULTRADŹWIĘKÓW.

3. WYNIKI POMIARÓW Z WYKORZYSTANIEM ULTRADŹWIĘKÓW. 3. WYNIKI POMIARÓW Z WYKORZYSTANIEM ULTRADŹWIĘKÓW. Przy rozchodzeniu się fal dźwiękowych może dochodzić do częściowego lub całkowitego odbicia oraz przenikania fali przez granice ośrodków. Przeszkody napotykane

Bardziej szczegółowo

Aerotriangulacja. 1. Aerotriangulacja z niezależnych wiązek. 2. Aerotriangulacja z niezależnych modeli

Aerotriangulacja. 1. Aerotriangulacja z niezależnych wiązek. 2. Aerotriangulacja z niezależnych modeli Aerotriangulacja 1. Aerotriangulacja z niezależnych wiązek 2. Aerotriangulacja z niezależnych modeli Definicja: Cel: Kameralne zagęszczenie osnowy fotogrametrycznej + wyznaczenie elementów orientacji zewnętrznej

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY > Figury płaskie (1) KĄTY. Kąt składa się z ramion i wierzchołka. Jego wielkość jest mierzona w stopniach:

PODSTAWY > Figury płaskie (1) KĄTY. Kąt składa się z ramion i wierzchołka. Jego wielkość jest mierzona w stopniach: PODSTAWY > Figury płaskie (1) KĄTY Kąt składa się z ramion i wierzchołka. Jego wielkość jest mierzona w stopniach: Kąt możemy opisać wpisując w łuk jego miarę (gdy jest znana). Gdy nie znamy miary kąta,

Bardziej szczegółowo

Pomiar ogniskowych soczewek metodą Bessela

Pomiar ogniskowych soczewek metodą Bessela Ćwiczenie O4 Pomiar ogniskowych soczewek metodą Bessela O4.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest wyznaczenie ogniskowych soczewek skupiających oraz rozpraszających z zastosowaniem o metody Bessela. O4.2.

Bardziej szczegółowo

KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ

KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ KLASA II TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające (W).

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 204/205 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ (A) W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z zestawu wzorów matematycznych, linijki i cyrkla

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadanie egzaminacyjne w części praktycznej egzaminu w modelu d dla kwalifikacji B.35 Obsługa geodezyjna inwestycji budowlanych

Przykładowe zadanie egzaminacyjne w części praktycznej egzaminu w modelu d dla kwalifikacji B.35 Obsługa geodezyjna inwestycji budowlanych Przykładowe zadanie egzaminacyjne w części praktycznej egzaminu w modelu d dla kwalifikacji B.35 Obsługa geodezyjna inwestycji budowlanych W ramach pomiaru kontrolnego pomierzono punkty pośrednie łuku

Bardziej szczegółowo

Matematyka licea ogólnokształcące, technika

Matematyka licea ogólnokształcące, technika Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI poziom rozszerzony

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI poziom rozszerzony Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony 1 PRÓNY EGZMIN MTURLNY Z MTEMTYKI poziom rozszerzony ZNI ZMKNIĘTE W każdym z zadań 1.. wybierz i zaznacz jedną poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (0

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

m 0 + m Temat: Badanie ruchu jednostajnie zmiennego przy pomocy maszyny Atwooda.

m 0 + m Temat: Badanie ruchu jednostajnie zmiennego przy pomocy maszyny Atwooda. msg M 1-1 - Temat: Badanie ruchu jednostajnie zmiennego przy pomocy maszyny Atwooda. Zagadnienia: prawa dynamiki Newtona, równania dynamiczne ruchu, siły tarcia, moment sił, moment bezwładności, opis kinematyczny

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 1. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 1. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań MTEMTYK Przed próbną maturą. Sprawdzian. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań Zadanie. ( pkt) III... Uczeń posługuje się w obliczeniach pierwiastkami i stosuje prawa działań na pierwiastkach. 7 6 6 =

Bardziej szczegółowo

Wstęp Pierwsze kroki Pierwszy rysunek Podstawowe obiekty Współrzędne punktów Oglądanie rysunku...

Wstęp Pierwsze kroki Pierwszy rysunek Podstawowe obiekty Współrzędne punktów Oglądanie rysunku... Wstęp... 5 Pierwsze kroki... 7 Pierwszy rysunek... 15 Podstawowe obiekty... 23 Współrzędne punktów... 49 Oglądanie rysunku... 69 Punkty charakterystyczne... 83 System pomocy... 95 Modyfikacje obiektów...

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie z fizyki Doświadczalne wyznaczanie ogniskowej soczewki oraz współczynnika załamania światła

Ćwiczenie z fizyki Doświadczalne wyznaczanie ogniskowej soczewki oraz współczynnika załamania światła Ćwiczenie z fizyki Doświadczalne wyznaczanie ogniskowej soczewki oraz współczynnika załamania światła Michał Łasica klasa IIId nr 13 22 grudnia 2006 1 1 Doświadczalne wyznaczanie ogniskowej soczewki 1.1

Bardziej szczegółowo

SPOSOBY POMIARU KĄTÓW W PROGRAMIE AutoCAD

SPOSOBY POMIARU KĄTÓW W PROGRAMIE AutoCAD Dr inż. Jacek WARCHULSKI Dr inż. Marcin WARCHULSKI Mgr inż. Witold BUŻANTOWICZ Wojskowa Akademia Techniczna SPOSOBY POMIARU KĄTÓW W PROGRAMIE AutoCAD Streszczenie: W referacie przedstawiono możliwości

Bardziej szczegółowo

Zakład Inżynierii Komunikacyjnej Wydział Inżynierii Lądowej Politechnika Warszawska PODSTAWY PROJEKTOWANIA LINII I WĘZŁÓW TRAMWAJOWYCH CZĘŚĆ III

Zakład Inżynierii Komunikacyjnej Wydział Inżynierii Lądowej Politechnika Warszawska PODSTAWY PROJEKTOWANIA LINII I WĘZŁÓW TRAMWAJOWYCH CZĘŚĆ III Zakład Inżynierii Komunikacyjnej Wydział Inżynierii Lądowej Politechnika Warszawska DROGI SZYNOWE PODSTAWY PROJEKTOWANIA LINII I WĘZŁÓW TRAMWAJOWYCH CZĘŚĆ III PROJEKTOWANIE UKŁADU TORÓW TRAMWAJOWYCH W

Bardziej szczegółowo

8. Analiza danych przestrzennych

8. Analiza danych przestrzennych 8. naliza danych przestrzennych Treścią niniejszego rozdziału będą analizy danych przestrzennych. naliza, ogólnie mówiąc, jest procesem poszukiwania (wydobywania) informacji ukrytej w zbiorze danych. Najprostszym

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 204/205 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ DLA OSÓB Z AUTYZMEM, W TYM Z ZESPOŁEM ASPERGERA (A2) W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 14

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 14 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 14 Wybrane przykłady krzywych płaskich Wybrane przykłady krzywych Cykloida Okrąg o promieniu a toczy sie bez poslizgu po prostej. Ustalony punkt tego okręgu porusza się po krzywej

Bardziej szczegółowo

Sprawdzenie narzędzi pomiarowych i wyznaczenie niepewności rozszerzonej typu A w pomiarach pośrednich

Sprawdzenie narzędzi pomiarowych i wyznaczenie niepewności rozszerzonej typu A w pomiarach pośrednich Podstawy Metrologii i Technik Eksperymentu Laboratorium Sprawdzenie narzędzi pomiarowych i wyznaczenie niepewności rozszerzonej typu A w pomiarach pośrednich Instrukcja do ćwiczenia nr 4 Zakład Miernictwa

Bardziej szczegółowo

Przypadki toczenia okręgu

Przypadki toczenia okręgu ul. Konarskiego 2, 30-049 Kraków Tel. 12 633 13 83 lub 12 633 02 47 Przypadki toczenia okręgu Arkadiusz Biel Kraków 2012 Motywem do napisania pracy była obserwacja przyczepionej do szprychy roweru kolorowej

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie prędkości dźwięku w powietrzu

Wyznaczanie prędkości dźwięku w powietrzu Imię i Nazwisko... Wyznaczanie prędkości dźwięku w powietrzu Opracowanie: Piotr Wróbel 1. Cel ćwiczenia. Celem ćwiczenia jest wyznaczenie prędkości dźwięku w powietrzu, metodą różnicy czasu przelotu. Drgania

Bardziej szczegółowo

Ruch jednostajnie przyspieszony wyznaczenie przyspieszenia

Ruch jednostajnie przyspieszony wyznaczenie przyspieszenia Doświadczenie: Ruch jednostajnie przyspieszony wyznaczenie przyspieszenia Cele doświadczenia Celem doświadczenia jest zbadanie zależności drogi przebytej w ruchu przyspieszonym od czasu dla kuli bilardowej

Bardziej szczegółowo

METODY OBLICZENIOWE. Projekt nr 3.4. Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03

METODY OBLICZENIOWE. Projekt nr 3.4. Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03 METODY OBLICZENIOWE Projekt nr 3.4 Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03 Zadanie Nasze zadanie składało się z dwóch części: 1. Sformułowanie, przy użyciu metody Lagrange a II rodzaju, równania różniczkowego

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie nr 254. Badanie ładowania i rozładowywania kondensatora. Ustawiony prąd ładowania I [ ma ]: t ł [ s ] U ł [ V ] t r [ s ] U r [ V ] ln(u r )

Ćwiczenie nr 254. Badanie ładowania i rozładowywania kondensatora. Ustawiony prąd ładowania I [ ma ]: t ł [ s ] U ł [ V ] t r [ s ] U r [ V ] ln(u r ) Nazwisko... Data... Wydział... Imię... Dzień tyg.... Godzina... Ćwiczenie nr 254 Badanie ładowania i rozładowywania kondensatora Numer wybranego kondensatora: Numer wybranego opornika: Ustawiony prąd ładowania

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. podstawowym dla uczniów technikum. część II

Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena. w nauczaniu matematyki w zakresie. podstawowym dla uczniów technikum. część II Wymagania edukacyjne, kontrola i ocena w nauczaniu matematyki w zakresie podstawowym dla uczniów technikum część II Figury na płaszczyźnie kartezjańskiej L.p. Temat lekcji Uczeń demonstruje opanowanie

Bardziej szczegółowo

10.3. Typowe zadania NMT W niniejszym rozdziale przedstawimy podstawowe zadania do jakich może być wykorzystany numerycznego modelu terenu.

10.3. Typowe zadania NMT W niniejszym rozdziale przedstawimy podstawowe zadania do jakich może być wykorzystany numerycznego modelu terenu. Waldemar Izdebski - Wykłady z przedmiotu SIT 91 10.3. Typowe zadania NMT W niniejszym rozdziale przedstawimy podstawowe zadania do jakich może być wykorzystany numerycznego modelu terenu. 10.3.1. Wyznaczanie

Bardziej szczegółowo

Animowana grafika 3D. Opracowanie: J. Kęsik.

Animowana grafika 3D. Opracowanie: J. Kęsik. Animowana grafika 3D Opracowanie: J. Kęsik kesik@cs.pollub.pl Rzutowanie Równoległe Perspektywiczne Rzutowanie równoległe Rzutowanie równoległe jest powszechnie używane w rysunku technicznym - umożliwienie

Bardziej szczegółowo

Dopasowanie prostej do wyników pomiarów.

Dopasowanie prostej do wyników pomiarów. Dopasowanie prostej do wyników pomiarów. Graficzna analiza zależności liniowej Założenie: każdy z pomiarów obarczony jest taką samą niepewnością pomiarową (takiej samej wielkości prostokąty niepewności).

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH

MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH dr inż. Robert Szmit Przedmiot: MECHANIKA PRĘTÓW CIENKOŚCIENNYCH WYKŁAD nr Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie Katedra Geotechniki i Mechaniki Budowli Opis stanu odkształcenia i naprężenia powłoki

Bardziej szczegółowo

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA 1 3. 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA Analizując płaski stan naprężenia posługujemy się składowymi tensora naprężenia w postaci wektora {,,y } (3.1) Za dodatnie

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 12. Analiza obrazu Wyznaczanie parametrów ruchu obiektów

WYKŁAD 12. Analiza obrazu Wyznaczanie parametrów ruchu obiektów WYKŁAD 1 Analiza obrazu Wyznaczanie parametrów ruchu obiektów Cel analizy obrazu: przedstawienie każdego z poszczególnych obiektów danego obrazu w postaci wektora cech dla przeprowadzenia procesu rozpoznania

Bardziej szczegółowo

Pattern Classification

Pattern Classification Pattern Classification All materials in these slides were taken from Pattern Classification (2nd ed) by R. O. Duda, P. E. Hart and D. G. Stork, John Wiley & Sons, 2000 with the permission of the authors

Bardziej szczegółowo

Ć w i c z e n i e K 3

Ć w i c z e n i e K 3 Akademia Górniczo Hutnicza Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji Nazwisko i Imię: Nazwisko i Imię: Wydział Górnictwa i Geoinżynierii Grupa

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Pomiary sytuacyjne. Wykład 5 1

Wykład 5. Pomiary sytuacyjne. Wykład 5 1 Wykład 5 Pomiary sytuacyjne Wykład 5 1 Proste pomiary polowe Tyczenie linii prostych Tyczenie kątów prostych Pomiar szczegółów topograficznych: - metoda ortogonalna, - metoda biegunowa, - związek liniowy.

Bardziej szczegółowo

MATERIAŁ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI

MATERIAŁ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI Materiał ćwiczeniowy zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia diagnozy. Materiał ćwiczeniowy chroniony jest prawem autorskim. Materiału nie należy powielać ani udostępniać w żadnej innej

Bardziej szczegółowo

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY

OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY OCENIANIE ARKUSZA POZIOM ROZSZERZONY Numer zadania... Etapy rozwiązania zadania Przekształcenie wzoru funkcji do żądanej postaci f( x) = + lub f( x) =. x x I sposób rozwiązania podpunktu b). Zapisanie

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony

Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI

FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI FUNKCJA LINIOWA, OKRĘGI. Napisz równanie prostej przechodzącej przez początek układu i prostopadłej do prostej 3x-y+=0.. Oblicz pole trójkąta ograniczonego osiami układy i prostą x+y-6=0. 3. Odcinek o

Bardziej szczegółowo

22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA

22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA CAŁA RZYWOLINIOWA SIEROWANA Niech łuk o równaniach parametrycznych: x x(t), y y(t), a < t < b, będzie łukiem regularnym skierowanym, tzn łukiem w którym przyjęto punkt A(x(a), y(a)) za początek łuku, zaś

Bardziej szczegółowo

Prof. Eugeniusz RATAJCZYK. Makrogemetria Pomiary odchyłek kształtu i połoŝenia

Prof. Eugeniusz RATAJCZYK. Makrogemetria Pomiary odchyłek kształtu i połoŝenia Prof. Eugeniusz RATAJCZYK Makrogemetria Pomiary odchyłek kształtu i połoŝenia Rodzaje odchyłek - symbole Odchyłki kształtu okrągłości prostoliniowości walcowości płaskości przekroju wzdłuŝnego Odchyłki

Bardziej szczegółowo

Grafika komputerowa Wykład 8 Modelowanie obiektów graficznych cz. II

Grafika komputerowa Wykład 8 Modelowanie obiektów graficznych cz. II Grafika komputerowa Wykład 8 Modelowanie obiektów graficznych cz. II Instytut Informatyki i Automatyki Państwowa Wyższa Szkoła Informatyki i Przedsiębiorczości w Łomży 2 0 0 9 Spis treści Spis treści 1

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY Rozwiązania zadań Arkusz maturalny z matematyki nr POZIOM PODSTAWOWY Zadanie (pkt) Sposób I Skoro liczba jest środkiem przedziału, więc odległość punktu x od zapisujemy przy pomocy wartości bezwzględnej.

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości

Bardziej szczegółowo

(54) Sposób pomiaru cech geometrycznych obrzeża koła pojazdu szynowego i urządzenie do

(54) Sposób pomiaru cech geometrycznych obrzeża koła pojazdu szynowego i urządzenie do RZECZPOSPOLITA POLSKA (12) OPIS PATENTOWY (19)PL (11)167818 (13) B1 Urząd Patentowy Rzeczypospolitej Polskiej (21) Numer zgłoszenia: 2 9 3 7 2 5 (22) Data zgłoszenia: 0 6.0 3.1 9 9 2 (51) Intcl6: B61K9/12

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM ELEKTROTECHNIKI POMIAR PRZESUNIĘCIA FAZOWEGO

LABORATORIUM ELEKTROTECHNIKI POMIAR PRZESUNIĘCIA FAZOWEGO POLITECHNIKA ŚLĄSKA WYDZIAŁ TRANSPORTU KATEDRA LOGISTYKI I TRANSPORTU PRZEMYSŁOWEGO NR 1 POMIAR PRZESUNIĘCIA FAZOWEGO Katowice, październik 5r. CEL ĆWICZENIA Poznanie zjawiska przesunięcia fazowego. ZESTAW

Bardziej szczegółowo