Zastosowanie transformacji Hougha do tworzenia mapy i lokalizacji robota mobilnego

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Zastosowanie transformacji Hougha do tworzenia mapy i lokalizacji robota mobilnego"

Transkrypt

1 Zastosowanie transformacji Hougha do tworzenia mapy i lokalizacji robota mobilnego Barbara Siemiatkowska 1 Streszczenie W niniejszej pracy przedstawiono zastosowanie transformacji Hougha w określeniu zmian położenia robota w środowisku, które nie jest znane. Robot wyposażony w laserowy czujnik odległości porusza się we wnętrzu budynku. Znajdowane są cechy charakterystyczne otoczenia - fragmenty ścian, łuki i obiekty nieregularne. Określenie przemieszczenia robota odbywa się na podstawie określenia zmian położenia pojazdu względem wykrytych obiektów charakterystycznych - znaczników, wykrywanych przy pomocy transformacji Hougha. Zaletą opisywanej metody jest możliwość realizacji w sposób wielorównoległy. W referacie przedstawione będą wyniki eksperymentów prowadzonych w środowisku typu budynek. Metoda może być także stosowana w przestrzeniach otwartych. 1. WSTEP Systemy nawigacyjne robotów mobilnych składają się z trzech podstawowych elementów: określenia położenia otaczających pojazd przeszkód, planowania bezkolizyjnej trasy oraz lokalizacji. Metody lokalizacji dzielone są na dwie podstawowe grupy. W pierwszej grupie znajdują się systemy umożliwiające określenie przemieszczenia robota między kolejnymi punktami pomiarowymi. W drugiej obliczane jest położenie pojazdu w pewnym globalnym układzie współrzędnych. Podstawową metodą określenia przemieszczeń robota jest odometria. Istotną wadą odometrii jest jednak to, że niedokładności pomiarów kumulują się w czasie. Powstanie błędów może być spowodowane wadami urządzenia np. nierównościami kół, ograniczoną rozdzielczością enkoderów lub przypadkowymi zaburzeniami np. poślizgami kół, nierównością powierzchni [1]. Układy odometryczne są wzbogacane o zewnętrzne układ lokalizacji. Najstarsze systemy polegały na badaniu przemieszczenia robota względem sztucznych znaczników aktywnych [5] lub pasywnych (obiektów o określonym kolorze i kształcie [6]). Wadą takich systemów jest to, że układ znaczników musi być znany i ich położenie nie może się zmieniać. Inną dużo bardziej elastyczną metodą jest określenie przemieszczenia na podstawie tworzonych przez robota map lokalnych. W literaturze opisywane są trzy grupy tych metod: Dopasowywanie map[2] - algorytmy umożliwiają określenie przemieszczenia robota z dużą dokładnością, ale są czasochłonne obliczeniowo. 1 Instytut Podstawowych Problemów Techniki PAN, ul. Świętokrzyska 21, Warszawa,

2 B. Siemiatkowska Dopasowywanie skanów - do tej grupy należą np. metody określanie kierunków głównych [8][4] - metoda może być stosowana wewnątrz budynków posiadających regularny układ ścian. Wykrywanie i dopasowywanie elementów charakterystycznych - robot znajduje w środowisku znaczniki - elementy charakterystyczne, niezmienne i odporne na przypadkowe zakłócenia [3][10]. Znaczniki są najczęściej opisywane w postaci zbioru cech. Metoda ta jest metodą uniwersalną tzn. może być stosowana zarówno w pomieszczeniach jak i w otwartej przestrzeni. Jej efektywność zależy głównie od sposobu wykrywania i dopasowywania charakterystycznych elementów otoczenia. Przedstawiona w poniższej pracy metoda lokalizacji robota należy do ostatniej z opisywanych grup. W prowadzonych eksperymentach stosowano dalmierz laserowy firmy SICK, a parametry znaczników są obliczane przy pomocy zmodyfikowanej transformacji Hougha. Opisywane w poniższym artykule badania są rozszerzeniem i uzupełnieniem metody przedstawionej w [9]. 2. DALMIERZ LASEROWY Dalmierz laserowy LMS 200 firmy SICK jest urządzeniem pierwszej klasy bezpieczeństwa umożliwiającym dokonywanie pomiarów w pomieszczeniach zamkniętych. Dostarcza ciąg odczytów postaci: (R i,φ i ), gdzie R i jest wskazaną przez laser odległością od przeszkody, a φ i kątem skanowania. Sensor wykrywa przeszkody w odległości nie przekraczającej 30 m. Statystyczny błąd pomiaru wynosi ok. 15mm dla R i < 800cm i ok. 4 cm dla R i > 800cm. LMS umożliwia wykrywanie przeszkód w sektorze 180 o z rozdzielczością kątową 0.5 lub 1. Czas dokonania skanu wynosi 26ms (dla 0.5 ) i 13ms dla rozdzielczości 1. Jeśli przyjmiemy że dalmierz laserowy znajduje się w początku układu współrzędnych, to współrzędne punktów należących do krawędzi przeszkody możemy obliczyć na podstawie równania (1). x i = R i cosφ i y i = R i sinφ i (1) R i jest wskazaną przez laser odległością od przeszkody, a φ i jest kątem skanowania. 3. SCHEMAT ALGORYTMU Algorytm określania przemieszczenia robota między kolejnymi punktami pomiarowymi składa się z następujących etapów: Dokonanie pomiarów przy pomocy dalmierza laserowego. Ciąg odległości jest zapamiętany w jednowymiarowej tablicy. Indeks tablicy w sposób jednoznaczny określa kąt skanowania. Indeksowi o wartości i odpowiada kąt skanowania i ϕ, gdzie ϕ jest rozdzielczością skanera. W prowadzonych eksperymentach przyjęto ϕ = 1.0 0

3 Zastosowanie transformacji Hougha w lokalizacji... Filtracja danych Dane pochodzące ze skanera są często zaszumiane. Błędy odczytów powstają najczęściej w sytuacji, gdy wiązka świetlna pada na granicę dwóch przeszkód. W celu zredukowania występujących szumów dane są filtrowane przy pomocy filtru medianowego. Filtr ten jest realizowany przy pomocy sieci komórkowej. Umożliwia to realizację algorytmu w sposób wielorównoległy. Na rys. 1 przedstawiono wynik filtracji danych. Linią przerywaną zaznaczono odczyty ze skanera, a linią ciągłą wynik zastosowania filtru medianowego. Rys. 1. Dane pochodzące ze skanera laserowego Wyodrębnienie obiektów Obiekty są wyodrębniane prz pomocy transformacji Hougha. Poszukujemy odcinków dłuższych niż zadany próg ( naszym wypadku 20cm). Po wyodrębnieniu długich odcinków analizujemy pozostałe punkty. Przyjmujemy, że dwa kolejne odczyty skanera (R i,φ i ) i (R i+1,φ i+1 ) wskazują na ten sam obiekt, jeśli spełniony jest warunek: R 2 i+1 + R 2 i 2 R i+1 R i cos ϕ R 2 (2) W prowadzonych eksperymentach przyjęto R = 25cm. Na rys. 2 przedstawiono wynik segmentacji danych. Na rys. 3 przedstawiono mapę utworzoną na podstawie odczytów z lasera. Klasyfikacja i określenie cech obiektu. W algorytmach określenia przemieszczenia robota na podstawie wskazań dalmierz laserowego jako cechy charakterystyczne przyjmuje się fragmenty ścian i naroża. W opisywanej w poniższej pracy metodzie zbiór cech rozszerzono o łuki i elementy nieregularne. Postępowanie to umożliwia dokonywanie lokalizacji w środowisku, w którym nie występuje regularny układ ścian.

4 B. Siemiatkowska Rys. 2. Segmentacja danych Określenie zmiany położenia robota Po określeniu parametrów i dopasowaniu znaczników wykrytych w kolejnych punktach pomiarowych, obliczane jest przesunięcie robota oraz zmiana jego orientacji. Metoda obliczania zmian położenia pojazdu na podstawie zaobserwowanych zmian położenia punktów charakterystycznych jest przedstawiona w pracach: [3][7]. 4. TRANSFORMACJA HOUGHA Transformacja Hougha jest od wielu lat stosowana w przetwarzaniu obrazów, zwykle do znajdowania najdłuższych odcinków linii występujących w obrazie rastrowym Równanie prostej można zapisać w postaci normalnej: c = x cosα + y sinα (3) gdzie α jest kątem między normalną do danej prostej a osią OX, c - jest minimalną odległością danej prostej od punktu (0,0). Jeśli przyjmiemy pewną dyskretyzację przestrzeni, to dla każdego punktu płaszczyzny (x, y) możemy wyznaczyć rodzinę prostych do których punkt należy, a więc także rodzinę par (α, c). Jeśli utworzymy tablicę dwuwymiarową i elementowi (α, c) przyporządkowujemy ilość pikseli obrazu leżących na wyznaczonej przez tę parę prostej, to element o największej wartości w sposób jednoznaczny wyznacza najdłuższy odcinek na obrazie. W przypadku, gdy dane pochodzą z lasera równanie (3) może być zastąpione równaniem:

5 Zastosowanie transformacji Hougha w lokalizacji... Rys. 3. Lokalna mapa otoczenia c = R i cos(α φ i ) (4) Z równania (4) wynika, że aby dokonać transformacji Hougha obrazu otrzymanego na podstawie wskazań dalmierza laserowego nie musimy obliczać współrzędnych (x,y), wystarczą dane o odległości od przeszkody i kącie skanowania. Dwa kolejne odczyty (R i,φ i ) i (R i+1,φ i+1 ) należą do tej samej prostej wyznaczonej przez parametry (α,c), jeśli spełnione są warunki (5)-(6). R i cos(α φ i ) R i+1 cos(α φ i+1 ) ε (5) R i cos(α φ i ) c ε (6) Wartość parametru ε jest dopuszczalnym błędem. W eksperymentach przyjęto ε 1.5cm. Analiza powstałego w wyniku transformacji Hougha histogramu umożliwia określenie typu obiektu, który jest obserwowany. W przypadku ścian występuje jedno wyraźne maksimum, w przypadku naroży występują dwa maksima odpowiadające kierunkom ścian. W przypadku obiektów nieregularnych brak jest wyraźnych maksimów. Dla zbioru odczytów współliniowych (R i,φ), należy znaleźć takie wartości parametrów (α, c), dla których błąd średniokwadratowy γ opisany równaniem (7) jest najmniejszy: γ = N i=1 (R i cos(α φ i ) c) 2 (7) gdzie N - jest ilością odczytów współliniowych. Wartości optymalne są obliczane zgodnie ze wzorem (8)

6 B. Siemiatkowska Rys. 4. Określenie zakresu parametrów α α = 1 2 atan( p q ) c = 1 N N i=1 R i cos(φ i α) p = N i=1 N j=1 R i R j sin(φ i + φ j ) + N N i=1 R2 i sin(2 φ i) q = N i=1 N j=1 R i R j cos(φ i + φ j ) + N N i=1 R2 i cos(2 φ i) (8) Naroża są reprezentowane jako punkt (x,y). Punkt ten powstaje w wyniku przecięcia się dwóch ścian. Wyniki metody opisywanej metody są przedstawione w pracy [9]. W prowadzonych obecnie badaniach nie zmieniono koncepcji przedstawionej metody, skoncentrowano się jedynie na stworzeniu algorytmu, który umożliwia przeprowadzenie obliczeń w sposób bardziej efektywny. Wprowadzono następujące modyfikacje: analiza położenia dwóch kolejnych punktów umożliwia określenie zakresu współczynników α dla których warto obliczać wartości parametrów c. Ideę metody przedstawia rys. 4. Czarne koła reprezentują dwa kolejne odczyty dalmierza laserowego. Okręgami zaznaczono obszar błędu odczytu. Zaznaczone proste wyznaczają zakres współczynników α, dla których przeprowadzana będzie transformacja Hougha. W wyniku stosowania opisanej metody następuje kilkukrotne skrócenie czasu obliczeń. Transformacja Hougha może być stosowana także do wykrywania dowolnych krzywych, które mogą być opisywane w sposób parametryczny. W przypadku punktów znajdujących się na okręgu opisanym równaniem (9) musimy wyznaczyć parametry x 0, y 0 i parametr r. (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = r 2 (9) Zwykle stosowanie transformacji Hougha do wykrywania krzywych opisywanych więcej niż dwoma parametrami jest czasochłonne. W tej pracy przedstawiony zostanie algorytm określania parametrów obiektów, które z punktu widzenia sensora wyglądają jak fragmenty okręgu. Okrąg będzie opisywany przez następujące parametry: d - odległość punktu (x 0,y 0 ) od środka układu współrzędnych, α - kąt nachylenia prostej przechodzącej przez (x 0,y 0 ) i (0,0) do osi OX oraz r - promień okręgu. W

7 Zastosowanie transformacji Hougha w lokalizacji... Rys. 5. Parametryczny opis okręgu klasycznej metodzie dla każdego punktu (r i,φ i ) wskazanego przez laser i dla każdego α [0,180], należałoby obliczyć zbiór dopuszczalnych wartości d i r. Równanie (9) możemy zapisać w następujący sposób: (x d cosα) 2 + (y d sinα) 2 = r 2 (10) Ponieważ w opisywanej metodzie spełniony jest warunek (1), to podstawiając wartości x i y do równania (10) otrzymujemy: r 2 i + d 2 2 r i d cos(α φ i ) = r 2 (11) Jeśli zbiór odczytów (r i,ϕ i ) i=0,..,n leży na jednym okręgu to spełnione są następujące warunki: 1. Zbiór r i jest symetryczny względem k = 1+N 2 2. Kąt β = N i=1 ϕ i N jest przybliżoną wartością α. W kolejnym kroku generowane jest przybliżone równanie okręgu, przyjmujemy, że przybliżoną wartością parametru α jest parametr β. Trzy punkty (r i,φ i ),(r k,φ k ),(r j,φ j ) należą do jednego okręgu, którego środek leży na prostej wyznaczonej przez kąt α, jeśli spełniony jest warunek (12). ri 2 r2 r 2 k j = r2 k (12) r i cosφ i r k cosφ k r j cosφ j r k cosφ k Wartości parametrów d i r wyznaczane są zgodnie ze wzorem (13).

8 B. Siemiatkowska r 2 j r2 k r j cosφ j r k cosφ k d = 1 2 r 2 = ri 2 + d2 2 r i d cos(α φ i ) (13) Warunek 12 jest niestabilny numerycznie dla punktów takich, że ϕ i α ϕ k α, dlatego przyjmujemy, że i, j są indeksami odczytów skrajnych, a k indeksem odczytu środkowego. Mając obliczone przybliżone wartości d i α dla każdego punktu (r i,ϕ i ) obliczamy odległość od wyznaczonego środka okręgu. Uznajemy, że zbiór punktów leży na jednym okręgu, jeśli dla każdego z punktów wartość R nie różni się od poprzednio wyznaczonej wartości więcej niż zadany próg. Na rysunku 6a) przedstawiono odczyty z lasera, otrzymane gdy obserwowany jest okrąg o parametrach α = 45 o, d=100cm, R=20cm. Rozdzielczość skanera wynosiła 1 o. Rysunek 6b) przedstawia wyniki pomiarów w układzie biegunowym. Przybliżona wartość kąta wynosi 45 o, a parametru d= Rysunek 7 przedstawia obliczone wartości parametru R dla kolejnych punktów. Kolejny krok polega na wyznaczeniu optymalnych wartości parametrów. W tym przypadku podobnie jak poprzednio szukamy minimum funkcji f (α,d,r) opisanej wzorem 14 f (α,d,r) = N i=1 (d 2 + r 2 i 2 d r i cos(α ϕ i ) R 2 ) 2 (14) a) b) Rys. 6. Odczyty z dalmierza Wyniki przeprowadzonych eksperymentów przedstawia rys. 8. Na wykresie przedstawiono błąd określenia parametru d dla okręgów o promieniu r = 10cm, r = 20cm i r = 30cm. Okręgi były umieszczane w odległościach od 0.5m do 3.0m od

9 Zastosowanie transformacji Hougha w lokalizacji... Rys. 7. Wartości parametru R dalmierza laserowego. Błąd jest tym większy im mniejszy jest obiekt i im dalej znajduje się od robota. Parametr błąd określenia parametru r jest ściśle skorelowany z d i rozkład błędu jest zbliżony do rozkładu błędu dla d. Czas określenia parametrów nie przekroczył 10ms. Obliczenia były prowadzone na komputerze z zegarem 1.2GHz. 5. WNIOSKI W pracy przedstawiono implementację transformacji Hougha umożliwiającą wykrywanie fragmentów ścian i łuków. Metoda umożliwia określenie zmian orientacji i położenia robota wyposażonego w dalmierz laserowy. Przyjęto założenie, że robot porusza się w otoczeniu typu wnętrze. Mapa pomieszczenia nie jest znana. Algorytm jest bardzo efektywny. Opisywana metoda może być stosowana także do określania położenia robota w znanym pomieszczeniu, a także może ułatwiać tworzenie mapy metrycznej otoczenia, które nie jest znane. Czas działania algorytmu nie przekracza 20ms. Wyniki prezentowane w tej pracy zostay zrealizowane w ramach grantu MEiN 3 T11C LITERATURA [1] J. Borenstein, L. Feng. Measurement and Correction of Systematic Odometry Errors in Mobile Robots. Trans. on Robotics and Automation, Vol. 12, No.6,

10 B. Siemiatkowska Rys. 8. Błąd określenia parametru d [2] F. Dellaert, D. Fox, W. Burgard, and S. Thrun. Monte Carlo localization for mobile robots. In IEEE Int. Conf. on Robotics and Automation. s , [3] G. Dissanayake, H. Durrant-Whyte, and T. Bailey. A computationally effcient solution to the simultaneous localisation and map building (SLAM) problem. In: IEEE Int. Conf. on Robotics and Automation. Proceedings. Vol. 2, 2000, s [4] A. Dubrawski, B. Siemiątkowska. A Neural Method for Self-Localization of a Mobile Robot Equipped with a 2-D Scanning Laser Range Finder, In: IEEE Conf. on Robotics and Automation, Leuven. Proceedings. 1998, s [5] G. Giralt, R. Sobek, and R. Chatila. A multi-level planning and navigation system for a mobile robot. A first approach to Hilare. In: Sixth Int. Joint Conf. on Robotics and Automation [6] I. Hallmann, B. Siemiątkowska. Artificial landmark navigation system. In: 9th Int. Symposium Intelligent Robotic Systems. Proceedings. 2001, s [7] E. Mennegatti, M. Zoccarato, E. Pagell, H. Ishiguro. Hierarchical image-based localization for mobile robot with Monte-Carlo Localisation. In: European Conf. on Mobile Robotics Proceedings. 1995, s [8] B. Siemiatkowska, R. Chojecki. Mobile Robot Localization Based on Omnicamera 5th IFAC/EURON Symposium on Intelligent Autonomous Vehicles. Elsevier Proceedings, [9] B. Siemiątkowska, A. Dubrawski. Cellular Neural Networks for a Mobile Robot, Rough Sets and Current Trends in Computing, Springer. s , [10] A. Stevens, M. Stevens, and H.F. Durrant-Whyte. OxNav: Reliable autonomous navigation. In: IEEE Int. Conf. on Robotics and Automation. 1995, s HOUGH TRANSFORM FOR MAP BUILDING AND LOCALIZATION OF A MOBILE ROBOT

11 Zastosowanie transformacji Hougha w lokalizacji... The paper presents the application of Hough transform for mobile robot localization. It is assumed that the robot acts in an unknown environment. It is equipped with the SICK laser range finder. The robot looks for segments, edges and circles, which are features of the environment. Comparing the robot position relatively to the landmarks the displacement of the vehicle is computed. In this paper a certain modification of Hough transform is proposed in order to detect features and to compute their parameters. Experiments show the efficiency of the proposed approach.

METODY NAWIGACJI LASEROWEJ W AUTOMATYCZNIE KIEROWANYCH POJAZDACH TRANSPORTOWYCH

METODY NAWIGACJI LASEROWEJ W AUTOMATYCZNIE KIEROWANYCH POJAZDACH TRANSPORTOWYCH METODY NAWIGACJI LASEROWEJ W AUTOMATYCZNIE KIEROWANYCH POJAZDACH TRANSPORTOWYCH Mirosław ŚMIESZEK 1, Paweł DOBRZAŃSKI 2, Magdalena DOBRZAŃSKA 3 W pracy przedstawiono najczęściej wykorzystywane metody służące

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie laserów w nawigacji automatycznie kierowanych pojazdów transportowych

Zastosowanie laserów w nawigacji automatycznie kierowanych pojazdów transportowych DOBRZAŃSKI Paweł 1 ŚMIESZEK Mirosław 2 DOBRZAŃSKA Magdalena 3 Zastosowanie laserów w nawigacji automatycznie kierowanych pojazdów transportowych WSTĘP Szybki rozwój przemysłu, a w szczególności sektorów

Bardziej szczegółowo

Koncepcja pomiaru i wyrównania przestrzennych ciągów tachimetrycznych w zastosowaniach geodezji zintegrowanej

Koncepcja pomiaru i wyrównania przestrzennych ciągów tachimetrycznych w zastosowaniach geodezji zintegrowanej Koncepcja pomiaru i wyrównania przestrzennych ciągów tachimetrycznych w zastosowaniach geodezji zintegrowanej Krzysztof Karsznia Leica Geosystems Polska XX Jesienna Szkoła Geodezji im Jacka Rejmana, Polanica

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 42 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ. Wprowadzenie teoretyczne.

Ćwiczenie 42 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ. Wprowadzenie teoretyczne. Ćwiczenie 4 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ Wprowadzenie teoretyczne. Soczewka jest obiektem izycznym wykonanym z materiału przezroczystego o zadanym kształcie i symetrii obrotowej. Interesować

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI KATEDRA AUTOMATYKI. Robot do pokrycia powierzchni terenu

WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI KATEDRA AUTOMATYKI. Robot do pokrycia powierzchni terenu WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI KATEDRA AUTOMATYKI Robot do pokrycia powierzchni terenu Zadania robota Zadanie całkowitego pokrycia powierzchni na podstawie danych sensorycznych Zadanie unikania przeszkód

Bardziej szczegółowo

Rysowanie precyzyjne. Polecenie:

Rysowanie precyzyjne. Polecenie: 7 Rysowanie precyzyjne W ćwiczeniu tym pokazane zostaną różne techniki bardzo dokładnego rysowania obiektów w programie AutoCAD 2010, między innymi wykorzystanie punktów charakterystycznych. Z uwagi na

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych Centralna Komisja Egzaminacyjna Materiał współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki listopad 009 Klucz odpowiedzi do

Bardziej szczegółowo

Definicja obrotu: Definicja elementów obrotu:

Definicja obrotu: Definicja elementów obrotu: 5. Obroty i kłady Definicja obrotu: Obrotem punktu A dookoła prostej l nazywamy ruch punktu A po okręgu k zawartym w płaszczyźnie prostopadłej do prostej l w kierunku zgodnym lub przeciwnym do ruchu wskazówek

Bardziej szczegółowo

Zadanie 21. Stok narciarski

Zadanie 21. Stok narciarski KLUCZ DO ZADAŃ ARKUSZA II Jeżeli zdający rozwiąże zadanie inną, merytorycznie poprawną metodą otrzymuje maksymalną liczbę punktów Numer zadania Zadanie. Stok narciarski Numer polecenia i poprawna odpowiedź.

Bardziej szczegółowo

KGGiBM GRAFIKA INŻYNIERSKA Rok III, sem. VI, sem IV SN WILiŚ Rok akademicki 2011/2012

KGGiBM GRAFIKA INŻYNIERSKA Rok III, sem. VI, sem IV SN WILiŚ Rok akademicki 2011/2012 Rysowanie precyzyjne 7 W ćwiczeniu tym pokazane zostaną wybrane techniki bardzo dokładnego rysowania obiektów w programie AutoCAD 2012, między innymi wykorzystanie punktów charakterystycznych. Narysować

Bardziej szczegółowo

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź.

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź. ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska Zad.1. (5 pkt) Sprawdź, czy funkcja określona wzorem x( x 1)( x ) x 3x dla x 1 i x dla x 1 f ( x) 1 3 dla

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia: równanie soczewki, ogniskowa soczewki, powiększenie, geometryczna konstrukcja obrazu, działanie prostych przyrządów optycznych.

Zagadnienia: równanie soczewki, ogniskowa soczewki, powiększenie, geometryczna konstrukcja obrazu, działanie prostych przyrządów optycznych. msg O 7 - - Temat: Badanie soczewek, wyznaczanie odległości ogniskowej. Zagadnienia: równanie soczewki, ogniskowa soczewki, powiększenie, geometryczna konstrukcja obrazu, działanie prostych przyrządów

Bardziej szczegółowo

Algorytm SAT. Marek Zając 2012. Zabrania się rozpowszechniania całości lub fragmentów niniejszego tekstu bez podania nazwiska jego autora.

Algorytm SAT. Marek Zając 2012. Zabrania się rozpowszechniania całości lub fragmentów niniejszego tekstu bez podania nazwiska jego autora. Marek Zając 2012 Zabrania się rozpowszechniania całości lub fragmentów niniejszego tekstu bez podania nazwiska jego autora. Spis treści 1. Wprowadzenie... 3 1.1 Czym jest SAT?... 3 1.2 Figury wypukłe...

Bardziej szczegółowo

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych zad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 odp A C C C A A B B C B D A 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C C A B A D C B

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 014/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ DLA OSÓB SŁABOSŁYSZĄCYCH (A3) W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z zestawu wzorów matematycznych,

Bardziej szczegółowo

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY 1. FUNKCJA KWADRATOWA rysuje wykres funkcji i podaje jej własności sprawdza algebraicznie, czy dany punkt należy

Bardziej szczegółowo

Politechnika Poznańska Instytut Technologii Mechanicznej. Laboratorium MASZYN I URZĄDZEŃ TECHNOLOGICZNYCH. Nr 2

Politechnika Poznańska Instytut Technologii Mechanicznej. Laboratorium MASZYN I URZĄDZEŃ TECHNOLOGICZNYCH. Nr 2 Politechnika Poznańska Instytut Technologii Mechanicznej Laboratorium MASZYN I URZĄDZEŃ TECHNOLOGICZNYCH Nr 2 POMIAR I KASOWANIE LUZU W STOLE OBROTOWYM NC Poznań 2008 1. CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczenia jest

Bardziej szczegółowo

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013 Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 013 3.4.1 Inwersja względem okręgu. Inwersja względem okręgu jest przekształceniem płaszczyzny

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

WYBÓR PUNKTÓW POMIAROWYCH

WYBÓR PUNKTÓW POMIAROWYCH Scientific Bulletin of Che lm Section of Technical Sciences No. 1/2008 WYBÓR PUNKTÓW POMIAROWYCH WE WSPÓŁRZĘDNOŚCIOWEJ TECHNICE POMIAROWEJ MAREK MAGDZIAK Katedra Technik Wytwarzania i Automatyzacji, Politechnika

Bardziej szczegółowo

9. Podstawowe narzędzia matematyczne analiz przestrzennych

9. Podstawowe narzędzia matematyczne analiz przestrzennych Waldemar Izdebski - Wykłady z przedmiotu SIT 75 9. odstawowe narzędzia matematyczne analiz przestrzennych Niniejszy rozdział służy ogólnemu przedstawieniu metod matematycznych wykorzystywanych w zagadnieniu

Bardziej szczegółowo

SPOSOBY POMIARU KĄTÓW W PROGRAMIE AutoCAD

SPOSOBY POMIARU KĄTÓW W PROGRAMIE AutoCAD Dr inż. Jacek WARCHULSKI Dr inż. Marcin WARCHULSKI Mgr inż. Witold BUŻANTOWICZ Wojskowa Akademia Techniczna SPOSOBY POMIARU KĄTÓW W PROGRAMIE AutoCAD Streszczenie: W referacie przedstawiono możliwości

Bardziej szczegółowo

Pomiar ogniskowych soczewek metodą Bessela

Pomiar ogniskowych soczewek metodą Bessela Ćwiczenie O4 Pomiar ogniskowych soczewek metodą Bessela O4.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest wyznaczenie ogniskowych soczewek skupiających oraz rozpraszających z zastosowaniem o metody Bessela. O4.2.

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie z fizyki Doświadczalne wyznaczanie ogniskowej soczewki oraz współczynnika załamania światła

Ćwiczenie z fizyki Doświadczalne wyznaczanie ogniskowej soczewki oraz współczynnika załamania światła Ćwiczenie z fizyki Doświadczalne wyznaczanie ogniskowej soczewki oraz współczynnika załamania światła Michał Łasica klasa IIId nr 13 22 grudnia 2006 1 1 Doświadczalne wyznaczanie ogniskowej soczewki 1.1

Bardziej szczegółowo

8. Analiza danych przestrzennych

8. Analiza danych przestrzennych 8. naliza danych przestrzennych Treścią niniejszego rozdziału będą analizy danych przestrzennych. naliza, ogólnie mówiąc, jest procesem poszukiwania (wydobywania) informacji ukrytej w zbiorze danych. Najprostszym

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r.

Ćwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r. Waldemar ompe echy przystawania trójkątów 1. unkt leży na przekątnej kwadratu (rys. 1). unkty i R są rzutami prostokątnymi punktu odpowiednio na proste i. Wykazać, że = R. R 2. any jest trójkąt ostrokątny,

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI poziom rozszerzony

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI poziom rozszerzony Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony 1 PRÓNY EGZMIN MTURLNY Z MTEMTYKI poziom rozszerzony ZNI ZMKNIĘTE W każdym z zadań 1.. wybierz i zaznacz jedną poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (0

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE ALGORYTMÓW ICP I SIFT W LOKALIZACJI ROBOTÓW MOBILNYCH

ZASTOSOWANIE ALGORYTMÓW ICP I SIFT W LOKALIZACJI ROBOTÓW MOBILNYCH mgr Arkadiusz Zychewicz dr Barbara Siemi tkowska Instytut Podstawowych Problemów Techniki PAN ZASTOSOWANIE ALGORYTMÓW ICP I SIFT W LOKALIZACJI ROBOTÓW MOBILNYCH W pracy zaprezentowano zastosowanie algorytmów

Bardziej szczegółowo

Ć w i c z e n i e K 3

Ć w i c z e n i e K 3 Akademia Górniczo Hutnicza Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji Nazwisko i Imię: Nazwisko i Imię: Wydział Górnictwa i Geoinżynierii Grupa

Bardziej szczegółowo

MATERIAŁ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI

MATERIAŁ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI Materiał ćwiczeniowy zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia diagnozy. Materiał ćwiczeniowy chroniony jest prawem autorskim. Materiału nie należy powielać ani udostępniać w żadnej innej

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY Rozwiązania zadań Arkusz maturalny z matematyki nr POZIOM PODSTAWOWY Zadanie (pkt) Sposób I Skoro liczba jest środkiem przedziału, więc odległość punktu x od zapisujemy przy pomocy wartości bezwzględnej.

Bardziej szczegółowo

Prof. Eugeniusz RATAJCZYK. Makrogemetria Pomiary odchyłek kształtu i połoŝenia

Prof. Eugeniusz RATAJCZYK. Makrogemetria Pomiary odchyłek kształtu i połoŝenia Prof. Eugeniusz RATAJCZYK Makrogemetria Pomiary odchyłek kształtu i połoŝenia Rodzaje odchyłek - symbole Odchyłki kształtu okrągłości prostoliniowości walcowości płaskości przekroju wzdłuŝnego Odchyłki

Bardziej szczegółowo

Dopasowanie prostej do wyników pomiarów.

Dopasowanie prostej do wyników pomiarów. Dopasowanie prostej do wyników pomiarów. Graficzna analiza zależności liniowej Założenie: każdy z pomiarów obarczony jest taką samą niepewnością pomiarową (takiej samej wielkości prostokąty niepewności).

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2013 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2013 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM ELEKTROTECHNIKI POMIAR PRZESUNIĘCIA FAZOWEGO

LABORATORIUM ELEKTROTECHNIKI POMIAR PRZESUNIĘCIA FAZOWEGO POLITECHNIKA ŚLĄSKA WYDZIAŁ TRANSPORTU KATEDRA LOGISTYKI I TRANSPORTU PRZEMYSŁOWEGO NR 1 POMIAR PRZESUNIĘCIA FAZOWEGO Katowice, październik 5r. CEL ĆWICZENIA Poznanie zjawiska przesunięcia fazowego. ZESTAW

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................

Bardziej szczegółowo

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA 1 3. 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA Analizując płaski stan naprężenia posługujemy się składowymi tensora naprężenia w postaci wektora {,,y } (3.1) Za dodatnie

Bardziej szczegółowo

METODY OBLICZENIOWE. Projekt nr 3.4. Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03

METODY OBLICZENIOWE. Projekt nr 3.4. Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03 METODY OBLICZENIOWE Projekt nr 3.4 Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03 Zadanie Nasze zadanie składało się z dwóch części: 1. Sformułowanie, przy użyciu metody Lagrange a II rodzaju, równania różniczkowego

Bardziej szczegółowo

(54) Sposób pomiaru cech geometrycznych obrzeża koła pojazdu szynowego i urządzenie do

(54) Sposób pomiaru cech geometrycznych obrzeża koła pojazdu szynowego i urządzenie do RZECZPOSPOLITA POLSKA (12) OPIS PATENTOWY (19)PL (11)167818 (13) B1 Urząd Patentowy Rzeczypospolitej Polskiej (21) Numer zgłoszenia: 2 9 3 7 2 5 (22) Data zgłoszenia: 0 6.0 3.1 9 9 2 (51) Intcl6: B61K9/12

Bardziej szczegółowo

pt.: KOMPUTEROWE WSPOMAGANIE PROCESÓW OBRÓBKI PLASTYCZNEJ

pt.: KOMPUTEROWE WSPOMAGANIE PROCESÓW OBRÓBKI PLASTYCZNEJ Ćwiczenie audytoryjne pt.: KOMPUTEROWE WSPOMAGANIE PROCESÓW OBRÓBKI PLASTYCZNEJ Autor: dr inż. Radosław Łyszkowski Warszawa, 2013r. Metoda elementów skończonych MES FEM - Finite Element Method przybliżona

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 200 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM FIZYKI PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ W NYSIE. Ćwiczenie nr 3 Temat: Wyznaczenie ogniskowej soczewek za pomocą ławy optycznej.

LABORATORIUM FIZYKI PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ W NYSIE. Ćwiczenie nr 3 Temat: Wyznaczenie ogniskowej soczewek za pomocą ławy optycznej. LABORATORIUM FIZYKI PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ W NYSIE Ćwiczenie nr 3 Temat: Wyznaczenie ogniskowej soczewek za pomocą ławy optycznej.. Wprowadzenie Soczewką nazywamy ciało przezroczyste ograniczone

Bardziej szczegółowo

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4) Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego

Bardziej szczegółowo

Równania miłości. autor: Tomasz Grębski

Równania miłości. autor: Tomasz Grębski Równania miłości autor: Tomasz Grębski Tytuł pewnie trochę dziwnie brzmi, bo czy miłość da się opisać równaniem? Symbolem miłości jest niewątpliwie Serce, a zatem spróbujmy opisać kształt serca równaniem

Bardziej szczegółowo

Podstawowe pojęcia geometryczne

Podstawowe pojęcia geometryczne PLANIMETRIA Podstawowe pojęcia geometryczne Geometria (słowo to pochodzi z języka greckiego i oznacza mierzenie ziemi) jest jednym z działów matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur geometrycznych

Bardziej szczegółowo

Geometryczne podstawy obróbki CNC. Układy współrzędnych, punkty zerowe i referencyjne. Korekcja narzędzi

Geometryczne podstawy obróbki CNC. Układy współrzędnych, punkty zerowe i referencyjne. Korekcja narzędzi Geometryczne podstawy obróbki CNC. Układy współrzędnych, punkty zerowe i referencyjne. Korekcja narzędzi 1 Geometryczne podstawy obróbki CNC 1.1. Układy współrzędnych. Układy współrzędnych umożliwiają

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur

Bardziej szczegółowo

Reprezentacja i analiza obszarów

Reprezentacja i analiza obszarów Cechy kształtu Topologiczne Geometryczne spójność liczba otworów liczba Eulera szkielet obwód pole powierzchni środek cięŝkości ułoŝenie przestrzenne momenty wyŝszych rzędów promienie max-min centryczność

Bardziej szczegółowo

PRO/ENGINEER. ĆW. Nr. MODELOWANIE SPRĘŻYN

PRO/ENGINEER. ĆW. Nr. MODELOWANIE SPRĘŻYN PRO/ENGINEER ĆW. Nr. MODELOWANIE SPRĘŻYN 1. Śruba walcowa o stałym skoku W programie Pro/Engineer modelowanie elementów typu sprężyny można realizować poleceniem Insert/Helical Sweep/Protrusin. Dla prawozwojnej

Bardziej szczegółowo

OMÓWIENIE TECHNOLOGII NAZIEMNEGO SKANINGU SKANING LASEROWY LASEROWGO ORAZ PRAKTYCZNYCH ASPEKTÓW ZASTOSOWANIA TEJ TECHNOLOGII W POLSKICH WARUNKACH Jacek Uchański Piotr Falkowski PLAN REFERATU 1. Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Nazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 53: Soczewki

Nazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr 53: Soczewki Nazwisko i imię: Zespół: Data: Ćwiczenie nr : Soczewki Cel ćwiczenia: Wyznaczenie ogniskowych soczewki skupiającej i układu soczewek (skupiającej i rozpraszającej) oraz ogniskowej soczewki rozpraszającej

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie deflektometrii do pomiarów kształtu 3D. Katarzyna Goplańska

Zastosowanie deflektometrii do pomiarów kształtu 3D. Katarzyna Goplańska Zastosowanie deflektometrii do pomiarów kształtu 3D Plan prezentacji Metody pomiaru kształtu Deflektometria Zasada działania Stereo-deflektometria Kalibracja Zalety Zastosowania Przykład Podsumowanie Metody

Bardziej szczegółowo

K. Rochowicz, M. Sadowska, G. Karwasz i inni, Toruński poręcznik do fizyki Gimnazjum I klasa Całość: http://dydaktyka.fizyka.umk.

K. Rochowicz, M. Sadowska, G. Karwasz i inni, Toruński poręcznik do fizyki Gimnazjum I klasa Całość: http://dydaktyka.fizyka.umk. 3.2 Ruch prostoliniowy jednostajny Kiedy obserwujemy ruch samochodu po drodze między dwoma tunelami, albo ruch bąbelka powietrza ku górze w szklance wody mineralnej, jest to ruch po linii prostej. W przypadku

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

System mapy numerycznej GEO-MAP

System mapy numerycznej GEO-MAP mgr inż. Waldemar Izdebski GEO-SYSTEM Sp. z o.o. ul. Szaserów 120B m 14 04-349 Warszawa, tel. 610-36-54 System mapy numerycznej GEO-MAP System GEO-MAP jest wygodnym i prostym w obsłudze narzędziem możliwym

Bardziej szczegółowo

Osiągnięcia przedmiotowe

Osiągnięcia przedmiotowe 1. Zbieranie, porządkowanie i prezentowanie danych przedstawione w tabelach przedstawione na przedstawiać dane w tabelach przedstawiać dane na przedstawione w tabelach przedstawione na porównywać informacje

Bardziej szczegółowo

Projekt rejestratora obiektów trójwymiarowych na bazie frezarki CNC. The project of the scanner for three-dimensional objects based on the CNC

Projekt rejestratora obiektów trójwymiarowych na bazie frezarki CNC. The project of the scanner for three-dimensional objects based on the CNC Dr inż. Henryk Bąkowski, e-mail: henryk.bakowski@polsl.pl Politechnika Śląska, Wydział Transportu Mateusz Kuś, e-mail: kus.mate@gmail.com Jakub Siuta, e-mail: siuta.jakub@gmail.com Andrzej Kubik, e-mail:

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

Wykresy statystyczne w PyroSim, jako narzędzie do prezentacji i weryfikacji symulacji scenariuszy pożarowych

Wykresy statystyczne w PyroSim, jako narzędzie do prezentacji i weryfikacji symulacji scenariuszy pożarowych Wykresy statystyczne w PyroSim, jako narzędzie do prezentacji i weryfikacji symulacji scenariuszy pożarowych 1. Wstęp: Program PyroSim posiada wiele narzędzi służących do prezentacji i weryfikacji wyników

Bardziej szczegółowo

Zastosowania Robotów Mobilnych

Zastosowania Robotów Mobilnych Zastosowania Robotów Mobilnych Temat: Zapoznanie ze środowiskiem Microsoft Robotics Developer Studio na przykładzie prostych problemów nawigacji. 1) Wstęp: Microsoft Robotics Developer Studio jest popularnym

Bardziej szczegółowo

Problematyka budowy skanera 3D doświadczenia własne

Problematyka budowy skanera 3D doświadczenia własne Problematyka budowy skanera 3D doświadczenia własne dr inż. Ireneusz Wróbel ATH Bielsko-Biała, Evatronix S.A. iwrobel@ath.bielsko.pl mgr inż. Paweł Harężlak mgr inż. Michał Bogusz Evatronix S.A. Plan wykładu

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji

Bardziej szczegółowo

1 Tworzenie brył obrotowych

1 Tworzenie brył obrotowych 1 Tworzenie brył obrotowych Do tworzenia brył obrotowych w programie Blender służą dwa narzędzia: Spin i SpinDup. Idea tworzenia brył obrotowych jest prosta i polega na narysowania połowy przekroju poprzecznego

Bardziej szczegółowo

LASERY I ICH ZASTOSOWANIE

LASERY I ICH ZASTOSOWANIE LASERY I ICH ZASTOSOWANIE Laboratorium Instrukcja do ćwiczenia nr 5 Temat: Interferometr Michelsona 7.. Cel i zakres ćwiczenia 7 INTERFEROMETR MICHELSONA Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z budową i

Bardziej szczegółowo

Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Celujący

Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Celujący Liczby i wyrażenia zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej zna pojęcie liczby niewymiernej, rzeczywistej zna sposób zaokrąglania liczb umie zapisać i odczytać liczby naturalne dodatnie w systemie

Bardziej szczegółowo

Komputerowe przetwarzanie obrazu Laboratorium 5

Komputerowe przetwarzanie obrazu Laboratorium 5 Komputerowe przetwarzanie obrazu Laboratorium 5 Przykład 1 Histogram obrazu a dobór progu binaryzacji. Na podstawie charakterystyki histogramu wybrano dwa różne progi binaryzacji (120 oraz 180). Proszę

Bardziej szczegółowo

TUTORIAL: wyciągni. gnięcia po wielosegmentowej ście. cieżce ~ 1 ~

TUTORIAL: wyciągni. gnięcia po wielosegmentowej ście. cieżce ~ 1 ~ ~ 1 ~ TUTORIAL: Sprężyna skrętna w SolidWorks jako wyciągni gnięcia po wielosegmentowej ście cieżce ce przykład Sprężyny występują powszechnie w maszynach, pojazdach, meblach, sprzęcie AGD i wielu innych

Bardziej szczegółowo

Auto CAD 14 5-1. Punkt przecięcia się obiektów

Auto CAD 14 5-1. Punkt przecięcia się obiektów Auto CAD 14 5-1 5. Punkty charakterystyczne obiektów. 5.1 Wstęp Obiekty AutoCAD-a mają punkty charakterystyczne. Rodzaj punktów charakterystycznych zależy od typu obiektu. Przykładowo punktami charakterystycznymi

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI 5 MAJA 2015 POZIOM PODSTAWOWY. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI 5 MAJA 2015 POZIOM PODSTAWOWY. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 0 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej

Bardziej szczegółowo

Politechnika Warszawska Wydział Mechatroniki Instytut Automatyki i Robotyki

Politechnika Warszawska Wydział Mechatroniki Instytut Automatyki i Robotyki Politechnika Warszawska Wydział Mechatroniki Instytut Automatyki i Robotyki Ćwiczenie laboratoryjne 2 Temat: Modelowanie powierzchni swobodnych 3D przy użyciu programu Autodesk Inventor Spis treści 1.

Bardziej szczegółowo

Z a p r o s z e n i e n a W a r s z t a t y

Z a p r o s z e n i e n a W a r s z t a t y Carl Zeiss Sp. z o.o. Metrologia Przemysłowa Z a p r o s z e n i e n a W a r s z t a t y 09-1 3. 0 5. 2 0 1 6 - M i k o ł ó w 16-2 0. 0 5. 2 0 1 6 - W a r s z a w a Temat: AUKOM Level 1 Zapraszamy wszystkich

Bardziej szczegółowo

O czym należy pamiętać?

O czym należy pamiętać? O czym należy pamiętać? Podczas pracy na płaszczyźnie możliwe jest wprowadzanie współrzędnych punktów w następujących układach: - układ współrzędnych kartezjańskich: x, y służy do rysowania odcinków o

Bardziej szczegółowo

METODYKA BADAŃ DOKŁADNOŚCI I POWTARZALNOŚCI ODWZOROWANIA TRAJEKTORII ROBOTA PRZEMYSŁOWEGO FANUC M-16iB

METODYKA BADAŃ DOKŁADNOŚCI I POWTARZALNOŚCI ODWZOROWANIA TRAJEKTORII ROBOTA PRZEMYSŁOWEGO FANUC M-16iB METODYKA BADAŃ DOKŁADNOŚCI I POWTARZALNOŚCI ODWZOROWANIA TRAJEKTORII ROBOTA PRZEMYSŁOWEGO FANUC M-16iB Marcin WIŚNIEWSKI Jan ŻUREK Olaf CISZAK Streszczenie W pracy omówiono szczegółowo metodykę pomiaru

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 2 CZERWCA 2015. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 2 CZERWCA 2015. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 013 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA UŻYTKOWANIA PROGRAMU MEB EDYTOR 1. Dane podstawowe Program MEB edytor oblicza zadania potencjalne Metodą Elementów Brzegowych oraz umożliwia ich pre- i post-processing. Rozwiązywane zadanie

Bardziej szczegółowo

MICRON3D skaner do zastosowań specjalnych. MICRON3D scanner for special applications

MICRON3D skaner do zastosowań specjalnych. MICRON3D scanner for special applications Mgr inż. Dariusz Jasiński dj@smarttech3d.com SMARTTECH Sp. z o.o. MICRON3D skaner do zastosowań specjalnych W niniejszym artykule zaprezentowany został nowy skaner 3D firmy Smarttech, w którym do pomiaru

Bardziej szczegółowo

Grafika komputerowa Wykład 6 Krzywe, powierzchnie, bryły

Grafika komputerowa Wykład 6 Krzywe, powierzchnie, bryły Grafika komputerowa Wykład 6 Krzywe, powierzchnie, bryły Instytut Informatyki i Automatyki Państwowa Wyższa Szkoła Informatyki i Przedsiębiorczości w Łomży 2 0 0 9 Spis treści Spis treści 1 2 obiektów

Bardziej szczegółowo

Micro Geo-Information. Pozycjonowanie w budynkach Indoor positioning

Micro Geo-Information. Pozycjonowanie w budynkach Indoor positioning Micro Geo-Information Pozycjonowanie w budynkach Indoor positioning Spotykane metody rozpoznawanie siły sygnałów pochodzącego od nadajników GSM i porównywane z mapą natężeń wprowadzoną do systemu, wyszukiwanie

Bardziej szczegółowo

Pytania do spr / Własności figur (płaskich i przestrzennych) (waga: 0,5 lub 0,3)

Pytania do spr / Własności figur (płaskich i przestrzennych) (waga: 0,5 lub 0,3) Pytania zamknięte / TEST : Wybierz 1 odp prawidłową. 1. Punkt: A) jest aksjomatem in. pewnikiem; B) nie jest aksjomatem, bo można go zdefiniować. 2. Prosta: A) to zbiór punktów; B) to zbiór punktów współliniowych.

Bardziej szczegółowo

MATURA 2012. Powtórka do matury z matematyki. Część VIII: Geometria analityczna ODPOWIEDZI. Organizatorzy: MatmaNa6.pl, naszemiasto.

MATURA 2012. Powtórka do matury z matematyki. Część VIII: Geometria analityczna ODPOWIEDZI. Organizatorzy: MatmaNa6.pl, naszemiasto. MATURA 2012 Powtórka do matury z matematyki Część VIII: Geometria analityczna ODPOWIEDZI Organizatorzy: MatmaNa6.pl, naszemiasto.pl Witaj, otrzymałeś już ósmą z dziesięciu części materiałów powtórkowych

Bardziej szczegółowo

TELEDETEKCJA Z ELEMENTAMI FOTOGRAMETRII WYKŁAD 10

TELEDETEKCJA Z ELEMENTAMI FOTOGRAMETRII WYKŁAD 10 TELEDETEKCJA Z ELEMENTAMI FOTOGRAMETRII WYKŁAD 10 Fotogrametria to technika pomiarowa oparta na obrazach fotograficznych. Wykorzystywana jest ona do opracowywani map oraz do różnego rodzaju zadań pomiarowych.

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM OPTYKI GEOMETRYCZNEJ

LABORATORIUM OPTYKI GEOMETRYCZNEJ LABORATORIUM OPTYKI GEOMETRYCZNEJ POMIAR OGNISKOWYCH SOCZEWEK CIENKICH 1. Cel dwiczenia Zapoznanie z niektórymi metodami badania ogniskowych soczewek cienkich. 2. Zakres wymaganych zagadnieo: Prawa odbicia

Bardziej szczegółowo

Pojazdy przeciążone zagrożeniem dla trwałości nawierzchni drogowych: metody przeciwdziałania

Pojazdy przeciążone zagrożeniem dla trwałości nawierzchni drogowych: metody przeciwdziałania Pojazdy przeciążone zagrożeniem dla trwałości nawierzchni drogowych: metody przeciwdziałania Prof. dr hab. inż. Leszek Rafalski Mgr inż. Michał Karkowski II WARMIŃSKO-MAZURSKIE FORUM DROGOWE LIDZBARK WARMIŃSKI

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 1 Planowanie trasy robota mobilnego w siatce kwadratów pól - Algorytm A

Ćwiczenie 1 Planowanie trasy robota mobilnego w siatce kwadratów pól - Algorytm A Ćwiczenie 1 Planowanie trasy robota mobilnego w siatce kwadratów pól - Algorytm A Zadanie do wykonania 1) Utwórz na pulpicie katalog w formacie Imię nazwisko, w którym umieść wszystkie pliki związane z

Bardziej szczegółowo

Informatyk i matematyk: dwa spojrzenia na jedno zadanie (studium przypadku) Krzysztof Ciebiera, Krzysztof Diks, Paweł Strzelecki

Informatyk i matematyk: dwa spojrzenia na jedno zadanie (studium przypadku) Krzysztof Ciebiera, Krzysztof Diks, Paweł Strzelecki Informatyk i matematyk: dwa spojrzenia na jedno zadanie (studium przypadku) Krzysztof Ciebiera, Krzysztof Diks, Paweł Strzelecki Zadanie (matura z informatyki, 2009) Dane: dodatnia liczba całkowita R.

Bardziej szczegółowo

Ć W I C Z E N I E N R O-3

Ć W I C Z E N I E N R O-3 INSTYTUT FIZYKI WYDZIAŁ INŻYNIERII PRODUKCJI I TECHNOLOGII MATERIAŁÓW POLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKA PRACOWNIA OPTYKI Ć W I C Z E N I E N R O-3 WYZNACZANIE OGNISKOWYCH SOCZEWEK ZA POMOCĄ METODY BESSELA I.

Bardziej szczegółowo

TOLERANCJE WYMIAROWE SAPA

TOLERANCJE WYMIAROWE SAPA TOLERANCJE WYMIAROWE SAPA Tolerancje wymiarowe SAPA zapewniają powtarzalność wymiarów w normalnych warunkach produkcyjnych. Obowiązują one dla wymiarów, dla których nie poczyniono innych ustaleń w trakcie

Bardziej szczegółowo

Lokalizacja robota Lego Mindstorms NXT przy użyciu odometrii

Lokalizacja robota Lego Mindstorms NXT przy użyciu odometrii Uniwersytet Zielonogórski Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Laoratorium Sterowania Rootów Lokalizacja roota Lego Mindstorms NXT przy użyciu odometrii Uwagi wstępne 1. Wszystkie przykłady i

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum - nie potrafi konstrukcyjnie podzielić odcinka - nie potrafi konstruować figur jednokładnych - nie zna pojęcia skali - nie rozpoznaje figur jednokładnych

Bardziej szczegółowo

ANALIZA SEMANTYCZNA OBRAZU I DŹWIĘKU

ANALIZA SEMANTYCZNA OBRAZU I DŹWIĘKU ANALIZA SEMANTYCZNA OBRAZU I DŹWIĘKU obraz dr inż. Jacek Naruniec Analiza Składowych Niezależnych (ICA) Independent Component Analysis Dąży do wyznaczenia zmiennych niezależnych z obserwacji Problem opiera

Bardziej szczegółowo

Podstawy OpenCL część 2

Podstawy OpenCL część 2 Podstawy OpenCL część 2 1. Napisz program dokonujący mnożenia dwóch macierzy w wersji sekwencyjnej oraz OpenCL. Porównaj czasy działania obu wersji dla różnych wielkości macierzy, np. 16 16, 128 128, 1024

Bardziej szczegółowo