ADAPTACYJNE PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW LABORATORIUM. Ćwiczenie 2. Badanie algorytmów adaptacyjnych LMS i RLS

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "ADAPTACYJNE PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW LABORATORIUM. Ćwiczenie 2. Badanie algorytmów adaptacyjnych LMS i RLS"

Transkrypt

1 ADAPTACYJNE PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW LABORATORIUM Ćwiczenie 2 Badanie algorytmów adaptacyjnych LMS i RLS 1. CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczenia jest samodzielna implementacja przez studentów dwóch podstawowych algorytmów adaptacyjnych, LMS (Least Mean Square) i RLS (Recursive Least Squares), oraz zbadanie ich podstawowych właściwości, takich jak: stabilność, szybkość zbieżności, niedopasowanie, a także zdolność do śledzenia liniowych systemów niestacjonarnych. 2. ZAKRES BADAŃ Badania eksperymentalne algorytmów LMS i RLS obejmują: samodzielną implementację algorytmów LMS i RLS w języku MATLAB badanie stabilności algorytmu LMS w zależności od rzędu filtru adaptacyjnego, kroku adaptacji α oraz typu sygnału wejściowego określenie parametrów filtru adaptacyjnego i właściwości sygnału wejściowego mających wpływ na niedopasowanie algorytmów LMS i RLS w stanie ustalonym analizę porównawczą szybkości zbieżności dwóch badanych w ćwiczeniu algorytmów w układzie adaptacyjnej identyfikacji liniowego systemu stacjonarnego ocenę zdolności śledzenia przez filtry adaptacyjne LMS i RLS niestacjonarności identyfikowanego systemu 3. PODSTAWY TEORETYCZNE Algorytmy LMS i RLS są podstawowymi algorytmami adaptacyjnymi, z których wywodzi się cały szereg ich najrozmaitszych modyfikacji. Celem tych modyfikacji jest poprawa właściwości algorytmów pierwotnych. Głównie dąży się do zwiększenia szybkości zbieżności algorytmu LMS oraz do redukcji złożoności obliczeniowej osiągającego świetne wyniki algorytmu RLS. Bardzo często inspiracją do tworzenia nowych algorytmów adaptacyjnych są wymagania konkretnej aplikacji, w której wykorzystano technikę filtracji adaptacyjnej. Z wybranymi nowymi podejściami do syntezy algorytmów adaptacyjnych oraz specyficznymi aplikacjami, w których znajdują one zastosowanie, studenci zapoznają się podczas realizacji swoich zadań projektowych. Ze względu na fakt, że szczegółowe wyprowadzenia algorytmów LMS i RLS przedstawiono na wykładzie, jak również można je znaleźć w literaturze poświęconej tematyce filtracji 1

2 adaptacyjnej, w niniejszym punkcie instrukcji przytoczymy jedynie rekursje obydwu algorytmów oraz przedstawimy podstawowe zależności opisujące ich właściwości. 3.1 Algorytm LMS i jego właściwości Wprowadźmy na początek wspólne dla wszystkich algorytmów adaptacyjnych oznaczenia. Przez x n = [x(n), x(n 1),..., x(n L + 1)] T oznaczać będziemy wektor danych wejściowych filtru adaptacyjnego, zaś przez f n = [f n (0), f n (1),..., f n (L 1)] T wektor jego współczynników w chwili n, przy czym L jest tu rzędem filtru. Rekursje algorytmu LMS wraz z warunkami początkowymi zamieszczono w tablicy 1. Tablica 1 Algorytm LMS Warunki początkowe: f 0 = 0 Dla kolejnych chwil czasu n obliczamy: e(n) = d(n) f T nx n f n+1 = f n + αe(n)x n Sygnały x(n), d(n) i e(n) to odpowiednio sygnał wejściowy, sygnał odniesienia oraz sygnał błędu. Stała α, nazywana również krokiem adaptacji, jest stałą heurystyczną dobieraną doświadczalnie w zależności od konkretnego zastosowania algorytmu. Aby algorytm pracował stabilnie musi ona spełniać warunek [4, 1, 3]: 0 < α < 2 λ max, (1) gdzie λ max jest największą wartością własną macierzy autokorelacji R sygnału wejściowego x(n). W praktyce jednak do oszacowania górnej granicy wartości jakie może przyjmować stała α wykorzystuje się warunek nie wymagający znajomości wartości własnych macierzy autokorelacyjnej: 2 0 < α < L E[x 2 (n)], (2) z którego wynika, że kres górny wartości, jakie może przyjmować stała α jest okreslony przez rząd filtru i moc sygnału wejściowego. Wektor współczynników obliczany za pomocą algorytmu LMS ma charakter losowy i nie ma gwarancji, że jest on zbieżny do optymalnego rozwiązania wienerowskiego f. Przy pewnych mocnych założeniach odnośnie sygnałów x(n) i d(n) dowodzi się [3], że wektor współczynników f n filtru adaptacyjnego LMS jest średnio zbieżny do tego rozwiązania, tzn. lim E[f n n] f. (3) Warunek (3) nie oznacza jednak zbieżności błędu średniokwadratowego J(n) = E[e 2 (n)] rozwiązań generowanych przez algorytm LMS do minimalnego błędu średniokwadratowego J min optymalnego rozwiązania MMSE. W rzeczywistości błąd średniokwadratowy zbiega do pewnej ustalonej wartości, którą oznaczymy przez J. Wynika to z faktu, że wartości współczynników f n filtru, podlegają po osiągnięciu stanu ustalonego pewnym fluktuacjom wokół rozwiązania optymalnego f. Różnica między wartością błędu średniokwadratowego 2

3 uzyskaną przez algorytm w stanie ustalonym, a minimalną wartością tego błędu nazywana jest błędem ekscesu i oznaczana przez J ex = J J min. Stosunek błędu ekscesu do minimalnego błędu średniokwadratowego, będący miarą stopnia odchylenia rozwiązań generowanych przez algorytm od optymalnego rozwiązania wienerowskiego, jest określany jako niedopasowanie M (ang. misadjustment): M = J ex J min = J J min J min. (4) Niedopasowanie algorytmu LMS, przy założeniu stacjonarności sygnałów x(n) i d(n), określa wzór: M LMS = αtr(r), (5) gdzie tr(r) jest śladem macierzy autokorelacji sygnału wejściowego. Dla algorytmów adaptacyjnych określa się ponadto parametr zwany stałą zbieżności algorytmu τ, który jest zdefiniowany jako czas, po którym błąd estymacji najwolniej zbieżnego współczynnika filtru adaptacyjnego maleje e-krotnie [4, 1]. Dla algorytmu LMS stałą zbieżności określa wzór: τ LMS = 1 αλ min, (6) gdzie λ min jest najmniejszą wartością własną macierzy autokorelacji R. Wracając do kroku adaptacji α, możemy, po przyjrzeniu się wzorom (5) i (6), łatwo stwierdzić, że dobór tego parametru wiąże się z kompromisem między szybkością zbieżności algorytmu a jego niedopasowaniem. Wraz ze wzrostem wartości kroku adaptacji, rośnie szybkość zbieżności, ale towarzyszy temu również wzrost niedopasowania. 3.2 Algorytm RLS i jego właściwości Drugim z badanych w niniejszym ćwiczeniu algorytmów adaptacyjnych jest algorytm RLS. Otrzymujemy go w wyniku minimalizacji funkcji kosztu określonej wzorem: n J(n) = λ n i e 2 (i), (7) i=1 gdzie λ jest stałą zapominania, przyjmującą wartości z przedziału (0, 1]. Wprowadzenie tego parametru powoduje wykładnicze oknowanie sygnału błędu e(n), tzn. działanie polegające na tym, że starsze próbki sygnału błędu estymacji są brane do sumarycznej miary błędu J(n) z odpowiednio mniejszą wagą. Za miarę pamięci algorytmu RLS można przyjąć odwrotność dopełnienia współczynnika λ do jedności, tj. 1/(1 λ). W przypadku podstawowej wersji algorytmu RLS, stosowanej z reguły dla sygnałów stacjonarnych, przyjmuje się λ = 1. Dostajemy wtedy rekursywne rozwiązanie klasycznego, dobrze znanego zagadnienia najmniejszych kwadratów, a pamięć algorytmu jest wtedy nieskończona. Przyjmując λ 1, otrzymujemy tzw. algorytm RLS z wykładniczą stałą zapominania. Algorytm ten zamieszczono w tablicy 2. 3

4 Tablica 2 Warunki początkowe: P 0 = γi γ 1 f 0 = 0 Algorytm RLS Dla kolejnych chwil czasu n obliczamy: e(n n 1) = d(n) f T n 1x n P n 1 x n k n = λ + x T np n 1 x n f n = f n 1 + k n e(n n 1) P n = 1 [ ] P n 1 k n x T λ np n 1 Występująca w rekursjach algorytmu RLS macierz P n o wymiarze dim(p n ) = L L jest estymatą w chwili n macierzy R 1, odwrotnej do macierzy autokorelacji sygnału wejściowego x(n) filtru adaptacyjnego. Symbol e(n n 1) oznacza tu błąd estymacji a priori, w odróżnieniu do wykorzystanego w kryterium minimalizacji (7) błędu a posteriori e(n). Błąd estymacji a posteriori oblicza się wykorzystując aktualny wektor współczynników filtru f n, zaś błąd a priori - korzystając z wektora współczynników filtru f n 1 z chwili poprzedniej. Wektor k n nazywany jest wektorem wzmocnienia algorytmu lub wektorem wzmocnienia kalmanowskiego. Druga z przytoczonych nazw wektora k n wynika z faktu, że algorytm RLS może być rozpatrywany jako szczególny przypadek filtru Kalmana. Niedopasowanie algorytmu RLS w przypadku stacjonarności sygnałów x(n) i d(n) opisuje następująca formuła [2]: M RLS = 1 λ L. (8) 1 + λ Ze wzoru (8) wynika, że błąd średniokwadratowy rozwiązań generowanych przez algorytm RLS z nieskończoną pamięcią (λ = 1) w przypadku, gdy sygnały x(n) i d(n) są stacjonarne, jest zbieżny do minimalnego błędu średniokwadratowego J min. To z kolei oznacza, że algorytm RLS pracujący w określonych wyżej warunkach, jest w stanie zapewnić w stanie ustalonym optymalne rozwiązanie problemu liniowej estymacji średniokwadratowej sygnałów. 3.3 Identyfikacja systemu liniowego za pomocą filtru adaptacyjnego Część badań eksperymentalnych przeprowadzanych przez studentów podczas niniejszego ćwiczenia, a dokładniej analiza porównawcza szybkości zbieżności algorytmów LMS i RLS oraz ocena zdolności śledzenia systemów niestacjonarnych przez te algorytmy, przeprowadzona zostanie z wykorzystaniem filtru adaptacyjnego w systemie adaptacyjnej identyfikacji nieznanego liniowego, w ogólności niestacjonarnego układu. Schemat takiego systemu przedstawiono na rys. 1. Zadaniem filtru adaptacyjnego jest tu takie przetworzenie sygnału x(n), aby błąd estymacji e(n) był minimalny w sensie pewnego kryterium, które jest zależne od zastosowanego algorytmu. Po osiągnięciu zbieżności, filtr adaptacyjny modeluje z pewną dokładnością nieznany system, z którym równolegle przetwarza sygnał wejściowy x(n). Stopień naszej niewiedzy o identyfikowanym systemie może być różny. 4

5 x( n) y( n) hn + s( n) + d( n) y ^ ( n) - f n + e( n) Rys. 1: Schemat adaptacyjnego systemu identyfikacji nieznanego liniowego układu niestacjonarnego W pierwszym podejściu możemy przyjąć, że nic nie wiemy ani o strukturze modelu ani o właściwościach identyfikowanego systemu. W kolejnych przybliżeniach możemy zakładać, że system jest liniowy, dalej stacjonarny, aż po przyjęcie, że jest modelowany filtrem SOI o znanym rzędzie. I takie, dość mocne założenia przyjmiemy w naszych badaniach. W ostatnim eksperymencie ćwiczenia, w którym poddamy ocenie zdolność śledzenia fitrów adaptacyjnych, z oczywistych względów odejdziemy od założenia o stacjonarności identyfikowanego systemu. Stosowaną w symulacjach miarę dokładności estymacji odpowiedzi impulsowej identyfikowanego systemu będzie względny błąd estymacji określony wzorem: δ(n) = 10 log h n f n 2 h n 2, (9) gdzie h n jest odpowiedzią impulsową systemu niestacjonarnego w chwili n. Dla przypadku stacjonarnego przyjmować będziemy, że h n = h. 4. IMPLEMENTACJA ALGORYTMÓW LMS I RLS (zadanie domowe) Przed przystąpieniem do badań eksperymentalnych, zadaniem studentów jest samodzielne zaimplementowanie algorytmów LMS i RLS jako funkcji pakietu MATLAB. Implementacje te należy zrealizować przyjmując następujące prototypy tychże funkcji: 1. dla algorytmu LMS [e, F] = lms(x, d, L, alfa) 2. dla algorytmu RLS [e, F] = rls(x, d, L, lambda) W trakcie implementacji przyjąć, że stała γ o dużej wartości, występująca w określonych dla algorytmu RLS warunkach początkowych, wynosi 100. Sygnały oznaczone literami x, d, e oraz parametry alfa i lambda korespondują w sposób oczywisty z sygnałami i parametrami, które pojawiają się w równaniach algorytmów LMS i RLS zamieszczonych w tabelach 1 i 2, zaś L jest liczbą określającą rząd filtru adaptacyjnego. Wyjaśnienia wymaga natomiast macierz oznaczona przez F. Jest to macierz współczynników filtru adaptacyjnego w kolejnych chwilach przetwarzania. Ma ona wymiar 5

6 dim(f) = L M, gdzie M oznacza długość (liczbę próbek) realizacji sygnałów x(n) i d(n). Macierz F jest potrzebna do wyznaczania względnego błędu estymacji δ(n) odpowiedzi impulsowej identyfikowanego systemu w kolejnych chwilach czasu n. 5. BADANIA EKSPERYMENTALNE (zadania laboratoryjne) 5.1 Badanie stabilności algorytmu LMS 1. Wygenerować 1000 próbek realizacji następujących sygnałów wejściowych: x 1 (n) szumem białym o rozkładzie równomiernym w przedziale [-1, 1]; x 2 (n) szumem białym gaussowskim o zerowej średniej i jednostkowej wariancji; x 3 (n) sygnałem cosinusoidalnym o pulsacji π/5 i zerowej fazie. Dla każdego typu danych oraz dla rzędów filtrów L = 5 i L = 50 w pierwszej kolejności oszacować górną granice kroku adaptacji α g, zapewniającą stabilną pracę algorytmu, a następnie wyznaczyć eksperymentalnie maksymalną graniczną wartość tegoż parametru. Jako kryterium stabilności przyjąć wartości sygnału błędu. Duże i niemalejące dla kolejnych chwil czasu n błędy świadczą o niestabilnym zachowaniu algorytmu adaptacyjnego. We wszystkich przypadkach przyjąć, że sygnał odniesienia d(n) jest tym samym sygnałem, co sygnał wejściowy. Skomentować uzyskane rezultaty. 2. Wygenerować dwa nieskorelowane ciągi 1000 próbek szumu białego o rozkładzie równomiernym w przedziale [-1, 1]. Obejrzeć przebieg sygnału błędu przyjmując jako sygnał d(n) pierwszy ciąg, a jako sygnał x(n) drugi ciąg próbek. Rząd filtru ustalić na L = 50, zaś krok adaptacji zmieniać w zakresie od α g (wyznaczonego wcześniej dla tego typu danych i filtru o 50 współczynnikach) do wartości bliskiej 0. Porównać przebiegi sygnałów błędu e(n) otrzymane w tym i w poprzednim doświadczeniu. 5.2 Wpływ stałych algorytmu oraz właściwości sygnału wejściowego na szybkość zbieżności i niedopasowanie filtrów adaptacyjnych W tym punkcie badań eksperymentalnych, jako sygnały wejściowe wykorzystamy M = 2000 próbkowe realizacje szumu gaussowskiego x 1 (n) o zerowej średniej i jednostkowej wariancji (rozrzut wartości własnych macierzy autokorelacji χ(r) = 1) oraz sygnału x 2 (n) będącego realizacją procesu autoregresyjnego AR(1) o współczynnikach a = [1-0,8] T oraz o rozrzucie wartości własnych macierzy autokorelacji χ(r) = 9. Znormalizować wariancję sygnału x 2 (n) poprzez wykonanie następującej operacji: x2 = 0.6 * x2;. W celu uzyskania sygnałów odniesienia d 1 (n) oraz d 2 (n) określone sygnały wejściowe należy poddać filtracji za pomocą filtru SOI o odpowiedzi impulsowej h = [1,0000 0,9000 0,3000-0,5500-0,4850 0,1424 0,4107 0,1056-0,2347-0,1913] T. 1. Dla algorytmu LMS przyjąć rząd filtru L = 10. Dokonać filtracji sygnałów wejściowych x 1 (n) i x 2 (n) dla dwóch wartości kroków adaptacji: α 1 = 0, 05 i α 2 = 0, 005. Na jednym rysunku wykreślić wszystkie cztery trajektorie sygnału błędu podniesionego do kwadratu, wykorzystując do tego celu funkcję semilogy. Co można powiedzieć 6

7 o wpływie wartości kroku adaptacji oraz rozrzutu wartości własnych macierzy autokorelacji sygnału wejściowego na szybkość zbieżności filtru adaptacyjnego strojonego za pomocą algorytmu LMS? 2. Dla algorytmu RLS przyjąć rząd filtru L = 10. Dokonać filtracji sygnałów wejściowych x 1 (n) i x 2 (n) dla dwóch wartości stałych zapominania: λ 1 = 0, 9 i λ 2 = 0, 999. Na jednym rysunku wykreślić wszystkie cztery trajektorie sygnału błędu podniesionego do kwadratu, tak jak to miało miejsce w przypadku algorytmu LMS. Co można powiedzieć o wpływie wartości stałej zapominania i typu sygnału wejściowego na niedopasowanie oraz szybkość zbieżności algorytmu adaptacyjnego RLS? 5.3 Porównanie szybkości zbieżności algorytmów LMS i RLS Badania przeprowadzone w punkcie 5.2 dały nam już pewien pogląd na szybkość zbieżności algorytmów LMS i RLS. W tym punkcie ćwiczenia dokonamy analizy porównawczej szybkości zbieżności tych algorytmów w układzie adaptacyjnej identyfikacji systemu stacjonarnego. Miarą, którą wykorzystamy w eksperymencie będzie względny błąd estymacji δ(n) odpowiedzi impulsowej systemu w kolejnych chwilach czasu, wyznaczony dla filtrów LMS i RLS pobudzanych różnymi sygnałami wejściowymi. Sposób postępowania przy realizacji doświadczenia symulacyjnego ujęto w kolejnych punktach. 1. Wygenerować M = 3000 próbek realizacji szumu gaussowskiego x 1 (n) o zerowej średniej i jednostkowej wariancji oraz sygnału x 2 (n) będącego realizacją procesu AR(4) o współczynnikach a = [1 0,3 0,9 0,4 0,7] T (χ(r) 630). Trzecim sygnałem, który zostanie wykorzystany będzie rzeczywisty sygnał mowy. Odpowiednia ilość próbek takiego sygnału x m (n) jest zapisana jako wektor xm w pliku fraza.mat. 2. Wczytać dane z pliku h.mat. Wektor h stanowi odpowiedź impulsową h identyfikowanego systemu stacjonarnego. Wykorzystując znajomość charakterystyki systemu wygenerować sygnały odniesienia d 1 (n), d 2 (n) oraz d m (n). Przyjąć, że szum zakłócający s(n) = Dokonać identyfikacji odpowiedzi impulsowej nieznanego systemu za pomocą algorytmów LMS i RLS, wykorzystując wszystkie trzy rodzaje sygnałów wejściowych. Po każdorazowym wyznaczeniu macierzy F zawierającej estymaty odpowiedzi impulsowej systemu dla kolejnych chwil czasu n obliczyć względny błąd estymacji δ(n) tejże odpowiedzi, wykorzystując funkcję delta.m. W celu uniknięcia zapełnienia pamięci komputera, w kolejnych eksperymentach nadpisywać macierz F. W pamięci przechowywać jedynie przebiegi błędu δ(n), które zostaną porównane w końcowej fazie badań. W przypadku algorytmu LMS zastosować następujące wartości kroku adaptacji: α 1 = 0, 030, α 2 = 0, 003 i α m = 0, 050. Są to wyznaczone doświadczalnie maksymalne wartości tego parametru dla każdego typu sygnału wejściowego. Dla algorytmu RLS we wszystkich trzech przypadkach przyjąć, że λ = 0, 980. Rząd filtrów L = Wykreślić trzy rysunki. Na pierwszym i drugim przedstawić przebiegi względnego błędu estymacji δ(n) wyznaczone odpowiednio przy zastosowaniu algorytmu LMS (pierwszy rysunek) oraz algorytmu RLS (rysunek drugi). Na trzecim wykresie zamieścić dwa przebiegi błędu δ(n): uzyskany w przypadku wykorzystania w procesie identyfikacji filtru LMS pobudzanego sygnałem x 1 (n) oraz otrzymany z użyciem filtru RLS pracującego z sygnałem x m (n) jako sygnałem wejściowym. 7

8 Przeanalizować otrzymane wyniki. Skomentować zależność szybkości zbieżności algorytmów LMS i RLS od rodzaju sygnału wejściowego. Dokonać analizy porównawczej badanych algorytmów pod kątem szybkości zbieżności. 5.4 Badanie zdolności śledzenia przez filtry adaptacyjne LMS i RLS niestacjonarności identyfikowanego systemu Ostatnie zadanie laboratoryjne poświęcone jest bardzo istotnej, z punktu widzenia praktycznych zastosowań, cesze algorytmów adaptacyjnych, jaką jest zdolność do śledzenia niestacjonarności sygnałów bądź systemów. Cecha ta jest poniekąd podstawowym powodem wielkiej popularności i atrakcyjności tego narzędzia przetwarzania sygnałów. To zmiany widma estymowanych sygnałów, fluktuacje odpowiedzi impulsowej identyfikowanych systemów czy wahania wyrównywanej charakterystyki częstotliwościowej kanału transmisyjnego powodują, że w aplikacjach charakteryzujących się tego typu problemami, nieodzownym staje się zastosowanie filtrów adaptacyjnych, które są w stanie owe zmiany śledzić. Eksperyment wykonywany przez studentów w tym punkcie polega na identyfikacji przy użyciu filtrów typu LMS i RLS, zmieniającej się w czasie odpowiedzi impulsowej h n systemu niestacjonarnego (rys. 1). W celu dokonania oceny zdolności filtrów LMS i RLS do śledzenia niestacjonarności systemu, należy wykonać niżej opisane badania symulacyjne. 1. Wygenerować M = 6000 próbek sygnału AR(5) o współczynnikach a = [1-0,65 0,70-0,22 0,31-0,18] T, będącego sygnałem wejściowym x(n). Uruchomić skrypt hn.m generujący macierz Hn o wymiarach dim(hn)= , której kolejne kolumny stanowią odpowiedzi impulsowe identyfikowanego systemu niestacjonarnego. Za pomocą funkcji gain.m zobrazować jak zmienia się maksymalne wzmocnienie systemu o odpowiedzi h n dla kolejnych chwil czasu n. Wytworzyć sygnał wyjściowy y(n) systemu niestacjonarnego przy użyciu funkcji nsfilter.m. Wyznaczyć sygnał odniesienia d(n) = y(n) + s(n) przyjmując, że zakłócenia s(n) są modelowane białym szumem gaussowskim o standardowym odchyleniu σ s = 0, Dokonać identyfikacji systemu niestacjonarnego za pomocą algorytmu LMS. Przyjąć następujące parametry: L = 100, α = 0, 003. Następnie powtórzyć jeszcze dwukrotnie ten proces, stosując algorytm RLS i przyjmując następujące wartości stałych: L = 100, λ 1 = 0, 985 dla pierwszego przypadku i λ 2 = 0, 999 dla drugiego przypadku. Po każdorazowym zakończeniu procesu identyfikacji wyznaczyć za pomocą funkcji delta.m przebieg względnego błędu estymacji δ(n). 3. Na jednym ekranie wykreślić dwa wykresy. Na pierwszym z nich zamieścić przebiegi błędu δ(n) wyznaczone przy wykorzystaniu algorytmu LMS oraz RLS ze stałą λ 1 = 0, 985. Na drugim, ponownie przebieg błędu uzyskany z użyciem algorytmu LMS oraz wykres δ(n) uzyskany przy zastosowaniu filtru RLS ze stałą zapominania λ 2 = 0, 999. Na podstawie analizy wykreślonych krzywych sformułować odpowiednie wnioski dotyczące zdolności śledzenia systemów niestacjonarnych przez algorytmy adaptacyjne. 8

9 LITERATURA [1] Clarkson P. M.: Optimal and Adaptive Signal Processing. CRC Press, [2] Eleftheriou E. and Falconer D. D.: Tracking properties and steady-state performance of RLS adaptive filter algorithms. IEEE Trans. on Acoustic, Speech, and Signal Processing, vol. ASSP-34, no. 2, October 1986, pp [3] Haykin S.: Adaptive Filter Theory. Englewood Cliffs, New York: Prentice-Hall, [4] Widrow B. and Stearns S. D.: Adaptive Signal Processing. Prentice-Hall, Englewood Cliffs,

Praca dyplomowa magisterska

Praca dyplomowa magisterska Praca dyplomowa magisterska Implementacja algorytmów filtracji adaptacyjnej o strukturze transwersalnej na platformie CUDA Dyplomant: Jakub Kołakowski Opiekun pracy: dr inż. Michał Meller Plan prezentacji

Bardziej szczegółowo

Narzędzia matematyczne zastosowane w systemie biomonitoringu wody

Narzędzia matematyczne zastosowane w systemie biomonitoringu wody Narzędzia matematyczne zastosowane w systemie biomonitoringu wody Piotr Przymus Krzysztof Rykaczewski Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika Toruń 1 of 24 18 marca 2009 Cel referatu

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys. jp.

K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys. jp. Sprawdzian 2. Zadanie 1. Za pomocą KMNK oszacowano następującą funkcję produkcji: Gdzie: P wartość produkcji, w tys. jp (jednostek pieniężnych) K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys.

Bardziej szczegółowo

Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3

Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3 Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3 21.06.2005 r. 4. Planowanie eksperymentów symulacyjnych Podczas tego etapu ważne jest określenie typu rozkładu badanej charakterystyki. Dzięki tej informacji

Bardziej szczegółowo

Implementacja algorytmów filtracji adaptacyjnej o strukturze transwersalnej na platformie CUDA.

Implementacja algorytmów filtracji adaptacyjnej o strukturze transwersalnej na platformie CUDA. Politechnika Gdańska Wydział Elektroniki, Telekomunikacji i Informatyki Automatyka i Robotyka Praca magisterska Implementacja algorytmów filtracji adaptacyjnej o strukturze transwersalnej na platformie

Bardziej szczegółowo

Egzamin / zaliczenie na ocenę*

Egzamin / zaliczenie na ocenę* WYDZIAŁ PODSTAWOWYCH PROBLEMÓW TECHNIKI Zał. nr 4 do ZW 33/01 KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim CYFROWE PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW Nazwa w języku angielskim DIGITAL SIGNAL PROCESSING Kierunek studiów

Bardziej szczegółowo

Egzamin / zaliczenie na ocenę*

Egzamin / zaliczenie na ocenę* Zał. nr do ZW /01 WYDZIAŁ / STUDIUM KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim Identyfikacja systemów Nazwa w języku angielskim System identification Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Inżynieria Systemów

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący

Bardziej szczegółowo

Analiza Statystyczna

Analiza Statystyczna Lekcja 5. Strona 1 z 12 Analiza Statystyczna Do analizy statystycznej wykorzystać można wbudowany w MS Excel pakiet Analysis Toolpak. Jest on instalowany w programie Excel jako pakiet dodatkowy. Oznacza

Bardziej szczegółowo

Wydział Elektryczny. Katedra Telekomunikacji i Aparatury Elektronicznej. Konstrukcje i Technologie w Aparaturze Elektronicznej.

Wydział Elektryczny. Katedra Telekomunikacji i Aparatury Elektronicznej. Konstrukcje i Technologie w Aparaturze Elektronicznej. Politechnika Białostocka Wydział Elektryczny Katedra Telekomunikacji i Aparatury Elektronicznej Konstrukcje i Technologie w Aparaturze Elektronicznej Ćwiczenie nr 5 Temat: Przetwarzanie A/C. Implementacja

Bardziej szczegółowo

KARTA INFORMACYJNA PRZEDMIOTU

KARTA INFORMACYJNA PRZEDMIOTU Uniwersytet Rzeszowski WYDZIAŁ KIERUNEK Matematyczno-Przyrodniczy Fizyka techniczna SPECJALNOŚĆ RODZAJ STUDIÓW stacjonarne, studia pierwszego stopnia KARTA INFORMACYJNA PRZEDMIOTU NAZWA PRZEDMIOTU WG PLANU

Bardziej szczegółowo

Systemy. Krzysztof Patan

Systemy. Krzysztof Patan Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej

Bardziej szczegółowo

Podstawy elektroniki i miernictwa

Podstawy elektroniki i miernictwa Podstawy elektroniki i miernictwa Kod modułu: ELE Rodzaj przedmiotu: podstawowy; obowiązkowy Wydział: Informatyki Kierunek: Informatyka Poziom studiów: pierwszego stopnia Profil studiów: ogólnoakademicki

Bardziej szczegółowo

PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO

PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO ĆWICZENIE 53 PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO Cel ćwiczenia: wyznaczenie wartości indukcyjności cewek i pojemności kondensatorów przy wykorzystaniu prawa Ohma dla prądu przemiennego; sprawdzenie prawa

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: PODSTAWY MODELOWANIA PROCESÓW WYTWARZANIA Fundamentals of manufacturing processes modeling Kierunek: Mechanika i Budowa Maszyn Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy na specjalności APWiR Rodzaj

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie równań liniowych. Transmitancja. Charakterystyki częstotliwościowe

Rozwiązywanie równań liniowych. Transmitancja. Charakterystyki częstotliwościowe Zał. nr do ZW 33/01 WYDZIAŁ Informatyki i Zarządzania / STUDIUM KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim Modele systemów dynamicznych Nazwa w języku angielskim Dynamic Systems Models. Kierunek studiów (jeśli

Bardziej szczegółowo

REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH

REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2012/2013 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Pojęcie

Bardziej szczegółowo

SYNTEZA UKŁADU DWUPOŁOŻENIOWEJ REGULACJI POZIOMU CIECZY W ZBIORNIKU

SYNTEZA UKŁADU DWUPOŁOŻENIOWEJ REGULACJI POZIOMU CIECZY W ZBIORNIKU Ćwiczenie SYNTEZA UKŁADU DWUPOŁOŻENIOWEJ REGULACJI POZIOMU CIECZY W ZBIORNIKU 1. CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczenia jest zapoznanie studentów z pracą układu dwupołożeniowej regulacji poziomu cieczy w zbiorniku.

Bardziej szczegółowo

Ekonometria_FIRJK Arkusz1

Ekonometria_FIRJK Arkusz1 Rok akademicki: Grupa przedmiotów Numer katalogowy: Nazwa przedmiotu 1) : łumaczenie nazwy na jęz. angielski 3) : Kierunek studiów 4) : Ekonometria Econometrics Ekonomia ECS 2) Koordynator przedmiotu 5)

Bardziej szczegółowo

Podstawy OpenCL część 2

Podstawy OpenCL część 2 Podstawy OpenCL część 2 1. Napisz program dokonujący mnożenia dwóch macierzy w wersji sekwencyjnej oraz OpenCL. Porównaj czasy działania obu wersji dla różnych wielkości macierzy, np. 16 16, 128 128, 1024

Bardziej szczegółowo

Modyfikacja algorytmów retransmisji protokołu TCP.

Modyfikacja algorytmów retransmisji protokołu TCP. Modyfikacja algorytmów retransmisji protokołu TCP. Student Adam Markowski Promotor dr hab. Michał Grabowski Cel pracy Celem pracy było przetestowanie i sprawdzenie przydatności modyfikacji klasycznego

Bardziej szczegółowo

Stabilność. Krzysztof Patan

Stabilność. Krzysztof Patan Stabilność Krzysztof Patan Pojęcie stabilności systemu Rozważmy obiekt znajdujący się w punkcie równowagi Po przyłożeniu do obiektu siły F zostanie on wypchnięty ze stanu równowagi Jeżeli po upłynięciu

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur

Bardziej szczegółowo

Sympozjum Trwałość Budowli

Sympozjum Trwałość Budowli Sympozjum Trwałość Budowli Andrzej ownuk ROJEKTOWANIE UKŁADÓW Z NIEEWNYMI ARAMETRAMI Zakład Mechaniki Teoretycznej olitechnika Śląska pownuk@zeus.polsl.gliwice.pl URL: http://zeus.polsl.gliwice.pl/~pownuk

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE nr 3. Badanie podstawowych parametrów metrologicznych przetworników analogowo-cyfrowych

ĆWICZENIE nr 3. Badanie podstawowych parametrów metrologicznych przetworników analogowo-cyfrowych Politechnika Łódzka Katedra Przyrządów Półprzewodnikowych i Optoelektronicznych WWW.DSOD.PL LABORATORIUM METROLOGII ELEKTRONICZNEJ ĆWICZENIE nr 3 Badanie podstawowych parametrów metrologicznych przetworników

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie minimalnej odważki jako element kwalifikacji operacyjnej procesu walidacji dla wagi analitycznej.

Wyznaczanie minimalnej odważki jako element kwalifikacji operacyjnej procesu walidacji dla wagi analitycznej. Wyznaczanie minimalnej odważki jako element kwalifikacji operacyjnej procesu walidacji dla wagi analitycznej. Andrzej Hantz Dyrektor Centrum Metrologii RADWAG Wagi Elektroniczne Pomiary w laboratorium

Bardziej szczegółowo

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej 7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach

Bardziej szczegółowo

Transmisja przewodowa

Transmisja przewodowa Warszawa, 2.04.20 Transmisja przewodowa TRP Ćwiczenie laboratoryjne nr 3. Jakość transmisji optycznej Autorzy: Ł. Maksymiuk, G. Stępniak, E. Łukowiak . Teoria Do podstawowych metod oceny transmisji sygnałów

Bardziej szczegółowo

Co trzeba wiedzieć korzystając z modelu ARIMA i które parametry są kluczowe?

Co trzeba wiedzieć korzystając z modelu ARIMA i które parametry są kluczowe? Prognozowanie Co trzeba wiedzieć korzystając z modelu ARIMA Marta Płonka Predictive Solutions W trzecim już artykule dotyczącym szeregów czasowych przyjrzymy się modelom ARIMA. Dzisiaj skupimy się na metodzie

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Kierunek: ENERGETYKA Rodzaj przedmiotu: kierunkowy ogólny Rodzaj zajęć: wykład, laboratorium I KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE C1. Zapoznanie studentów z własnościami

Bardziej szczegółowo

Badanie rozkładu pola magnetycznego przewodników z prądem

Badanie rozkładu pola magnetycznego przewodników z prądem Ćwiczenie E7 Badanie rozkładu pola magnetycznego przewodników z prądem E7.1. Cel ćwiczenia Prąd elektryczny płynący przez przewodnik wytwarza wokół niego pole magnetyczne. Ćwiczenie polega na pomiarze

Bardziej szczegółowo

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA

WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA LABORATORIUM CYFROWE PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW Stopień, imię i nazwisko prowadzącego Imię oraz nazwisko słuchacza Grupa szkoleniowa Data wykonania ćwiczenia dr inż. Andrzej Wiśniewski

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 1 Podstawy opisu i analizy obwodów w programie SPICE

Ćwiczenie 1 Podstawy opisu i analizy obwodów w programie SPICE Ćwiczenie 1 Podstawy opisu i analizy obwodów w programie SPICE Cel: Zapoznanie ze składnią języka SPICE, wykorzystanie elementów RCLEFD oraz instrukcji analiz:.dc,.ac,.tran,.tf, korzystanie z bibliotek

Bardziej szczegółowo

Politechnika Warszawska

Politechnika Warszawska Politechnika Warszawska Wydział Elektryczny Laboratorium Teletechniki Skrypt do ćwiczenia T.02. Woltomierz RMS oraz Analizator Widma 1. Woltomierz RMS oraz Analizator Widma Ćwiczenie to ma na celu poznanie

Bardziej szczegółowo

Instytut Politechniczny Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa. Diagnostyka i niezawodność robotów

Instytut Politechniczny Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa. Diagnostyka i niezawodność robotów Instytut Politechniczny Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa Diagnostyka i niezawodność robotów Laboratorium nr 3 Generacja realizacji zmiennych losowych Prowadzący: mgr inż. Marcel Luzar Cele ćwiczenia: Generowanie

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM AKUSTYKI MUZYCZNEJ. Ćw. nr 12. Analiza falkowa dźwięków instrumentów muzycznych. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE ANALIZY FALKOWEJ.

LABORATORIUM AKUSTYKI MUZYCZNEJ. Ćw. nr 12. Analiza falkowa dźwięków instrumentów muzycznych. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE ANALIZY FALKOWEJ. LABORATORIUM AKUSTYKI MUZYCZNEJ. Ćw. nr 1. Analiza falkowa dźwięków instrumentów muzycznych. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE ANALIZY FALKOWEJ. Transformacja falkowa (ang. wavelet falka) przeznaczona jest do analizy

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24)

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Podstawy Automatyki wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak Politechnika Wrocławska Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Laboratorium Podstaw Automatyzacji (L6) 105/2 B1 Sprawy organizacyjne

Bardziej szczegółowo

Tematy prac dyplomowych w Katedrze Awioniki i Sterowania Studia II stopnia (magisterskie)

Tematy prac dyplomowych w Katedrze Awioniki i Sterowania Studia II stopnia (magisterskie) Tematy prac dyplomowych w Katedrze Awioniki i Sterowania Studia II stopnia (magisterskie) Temat: Analiza właściwości pilotażowych samolotu Specjalność: Pilotaż lub Awionika 1. Analiza stosowanych kryteriów

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie Excela w obliczeniach inżynierskich.

Zastosowanie Excela w obliczeniach inżynierskich. Zastosowanie Excela w obliczeniach inżynierskich. Część I Różniczkowanie numeryczne. Cel ćwiczenia: Zapoznanie się z ilorazami różnicowymi do obliczania wartości pochodnych. Pochodna jest miarą szybkości

Bardziej szczegółowo

Porównanie generatorów liczb losowych wykorzystywanych w arkuszach kalkulacyjnych

Porównanie generatorów liczb losowych wykorzystywanych w arkuszach kalkulacyjnych dr Piotr Sulewski POMORSKA AKADEMIA PEDAGOGICZNA W SŁUPSKU KATEDRA INFORMATYKI I STATYSTYKI Porównanie generatorów liczb losowych wykorzystywanych w arkuszach kalkulacyjnych Wprowadzenie Obecnie bardzo

Bardziej szczegółowo

Podczas zajęć będziemy zajmować się głownie procesami ergodycznymi zdefiniowanymi na przestrzeniach ciągłych.

Podczas zajęć będziemy zajmować się głownie procesami ergodycznymi zdefiniowanymi na przestrzeniach ciągłych. Trochę teorii W celu przeprowadzenia rygorystycznej ekonometrycznej analizy szeregu finansowego będziemy traktowali obserwowany ciąg danych (x 1, x 2,..., x T ) jako realizację pewnego procesu stochastycznego.

Bardziej szczegółowo

Recenzja rozprawy doktorskiej mgr Ziemowita Klimondy

Recenzja rozprawy doktorskiej mgr Ziemowita Klimondy Warszawa, dnia 29 kwietnia 2013r. dr hab. inż. Krzysztof Kałużyński, prof.nzw. PW Instytut Metrologii i Inżynierii Biomedycznej PW ul.boboli 8, 02-525 Warszawa Recenzja rozprawy doktorskiej mgr Ziemowita

Bardziej szczegółowo

Ć W I C Z E N I E N R M-2

Ć W I C Z E N I E N R M-2 INSYU FIZYKI WYDZIAŁ INŻYNIERII PRODUKCJI I ECHNOLOGII MAERIAŁÓW POLIECHNIKA CZĘSOCHOWSKA PRACOWNIA MECHANIKI Ć W I C Z E N I E N R M- ZALEŻNOŚĆ OKRESU DRGAŃ WAHADŁA OD AMPLIUDY Ćwiczenie M-: Zależność

Bardziej szczegółowo

Klasyfikator. ˆp(k x) = 1 K. I(ρ(x,x i ) ρ(x,x (K) ))I(y i =k),k =1,...,L,

Klasyfikator. ˆp(k x) = 1 K. I(ρ(x,x i ) ρ(x,x (K) ))I(y i =k),k =1,...,L, Klasyfikator Jedną z najistotniejszych nieparametrycznych metod klasyfikacji jest metoda K-najbliższych sąsiadów, oznaczana przez K-NN. W metodzie tej zaliczamy rozpoznawany obiekt do tej klasy, do której

Bardziej szczegółowo

ANALIZA SEMANTYCZNA OBRAZU I DŹWIĘKU

ANALIZA SEMANTYCZNA OBRAZU I DŹWIĘKU ANALIZA SEMANTYCZNA OBRAZU I DŹWIĘKU obraz dr inż. Jacek Naruniec Analiza Składowych Niezależnych (ICA) Independent Component Analysis Dąży do wyznaczenia zmiennych niezależnych z obserwacji Problem opiera

Bardziej szczegółowo

Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -1-

Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -1- Cyfrowe przetwarzanie sygnałów Jacek Rezmer -1- Filtry cyfrowe cz. Zastosowanie funkcji okien do projektowania filtrów SOI Nierównomierności charakterystyki amplitudowej filtru cyfrowego typu SOI można

Bardziej szczegółowo

METODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski

METODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski METODA SYMPLEKS Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP Algorytm Sympleks najpotężniejsza metoda rozwiązywania programów liniowych Metoda generuje ciąg dopuszczalnych rozwiązań x k w taki sposób,

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM 4: Algorytmy ewolucyjne cz. 2 wpływ operatorów krzyżowania i mutacji na skuteczność poszukiwań AE

LABORATORIUM 4: Algorytmy ewolucyjne cz. 2 wpływ operatorów krzyżowania i mutacji na skuteczność poszukiwań AE Instytut Mechaniki i Inżynierii Obliczeniowej Wydział Mechaniczny Technologiczny, Politechnika Śląska www.imio.polsl.pl METODY HEURYSTYCZNE LABORATORIUM 4: Algorytmy ewolucyjne cz. 2 wpływ operatorów krzyżowania

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Przetwarzanie analogowo-cyfrowe (A C)

Rozdział 5. Przetwarzanie analogowo-cyfrowe (A C) 5. 0. W p r ow adzen ie 1 2 1 Rozdział 5 Przetwarzanie analogowo-cyfrowe (A C) sygnał przetwarzanie A/C sygnał analogowy cyfrowy ciągły dyskretny próbkowanie: zamiana sygnału ciągłego na dyskretny konwersja

Bardziej szczegółowo

Przedmowa Wykaz oznaczeń Wykaz skrótów 1. Sygnały i ich parametry 1 1.1. Pojęcia podstawowe 1 1.2. Klasyfikacja sygnałów 2 1.3.

Przedmowa Wykaz oznaczeń Wykaz skrótów 1. Sygnały i ich parametry 1 1.1. Pojęcia podstawowe 1 1.2. Klasyfikacja sygnałów 2 1.3. Przedmowa Wykaz oznaczeń Wykaz skrótów 1. Sygnały i ich parametry 1 1.1. Pojęcia podstawowe 1 1.2. Klasyfikacja sygnałów 2 1.3. Sygnały deterministyczne 4 1.3.1. Parametry 4 1.3.2. Przykłady 7 1.3.3. Sygnały

Bardziej szczegółowo

Filtracja optymalna i adaptacyjna

Filtracja optymalna i adaptacyjna Wydział Elektryczny ZMAiPC LABORAORIUM CYFROWEGO PRZEWARZANIA SYGNAŁÓW Ćwiczenie 6 Filtracja optymalna i adaptacyjna 1. Cel ćwiczenia Zapoznanie się z projektowaniem filtrów optymalnych metodą minimalizacji

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1. tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Kierunek: Mechatronika Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy Rodzaj zajęć: wykład, laboratorium I KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE C1. Zapoznanie studentów z inteligentnymi

Bardziej szczegółowo

Systemy Wbudowane. Założenia i cele przedmiotu: Określenie przedmiotów wprowadzających wraz z wymaganiami wstępnymi: Opis form zajęć

Systemy Wbudowane. Założenia i cele przedmiotu: Określenie przedmiotów wprowadzających wraz z wymaganiami wstępnymi: Opis form zajęć Systemy Wbudowane Kod przedmiotu: SW Rodzaj przedmiotu: kierunkowy ; obowiązkowy Wydział: Informatyki Kierunek: Informatyka Specjalność (specjalizacja): - Poziom studiów: pierwszego stopnia Profil studiów:

Bardziej szczegółowo

Wojny Coli - czyli siła reklamy na rynku oligopolicznym

Wojny Coli - czyli siła reklamy na rynku oligopolicznym Wojny Coli (Cola wars) - czyli siła reklamy na rynku oligopolicznym Maja Włoszczowska Promotor: Dr Rafał Weron Wydział Podstawowych Problemów Techniki Politechnika Wrocławska Wrocław, 26 stycznia 2008

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji

Bardziej szczegółowo

R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych

R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych Przykłady: Błąd pomiarowy Wzrost, wydajność Temperatura ciała Zawartość różnych składników we

Bardziej szczegółowo

Tematyka egzaminu z Podstaw sterowania

Tematyka egzaminu z Podstaw sterowania Tematyka egzaminu z Podstaw sterowania Rafał Trójniak 6 września 2009 Spis treści 1 Rozwiązane tematy 1 1.1 Napisać równanie różniczkowe dla zbiornika z odpływem grawitacyjnym...............................

Bardziej szczegółowo

NOWY PROGRAM STUDIÓW 2016/2017 SYLABUS PRZEDMIOTU AUTORSKIEGO: Wprowadzenie do teorii ekonometrii. Część A

NOWY PROGRAM STUDIÓW 2016/2017 SYLABUS PRZEDMIOTU AUTORSKIEGO: Wprowadzenie do teorii ekonometrii. Część A NOWY PROGRAM STUDIÓW 2016/2017 SYLABUS PRZEDMIOTU AUTORSKIEGO: Autor: 1. Dobromił Serwa 2. Tytuł przedmiotu Sygnatura (będzie nadana, po akceptacji przez Senacką Komisję Programową) Wprowadzenie do teorii

Bardziej szczegółowo

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com Analiza korelacji i regresji KORELACJA zależność liniowa Obserwujemy parę cech ilościowych (X,Y). Doświadczenie jest tak pomyślane, aby obserwowane pary cech X i Y (tzn i ta para x i i y i dla różnych

Bardziej szczegółowo

Tom 6 Opis oprogramowania Część 8 Narzędzie do kontroli danych elementarnych, danych wynikowych oraz kontroli obmiaru do celów fakturowania

Tom 6 Opis oprogramowania Część 8 Narzędzie do kontroli danych elementarnych, danych wynikowych oraz kontroli obmiaru do celów fakturowania Część 8 Narzędzie do kontroli danych elementarnych, danych wynikowych oraz kontroli Diagnostyka stanu nawierzchni - DSN Generalna Dyrekcja Dróg Krajowych i Autostrad Warszawa, 21 maja 2012 Historia dokumentu

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 12. Metody eksploracji danych

Ćwiczenie 12. Metody eksploracji danych Ćwiczenie 12. Metody eksploracji danych Modelowanie regresji (Regression modeling) 1. Zadanie regresji Modelowanie regresji jest metodą szacowania wartości ciągłej zmiennej celu. Do najczęściej stosowanych

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Modele regresji wielorakiej - dobór zmiennych, szacowanie. Paweł Cibis pawel@cibis.pl. 1 kwietnia 2007

Ekonometria. Modele regresji wielorakiej - dobór zmiennych, szacowanie. Paweł Cibis pawel@cibis.pl. 1 kwietnia 2007 Modele regresji wielorakiej - dobór zmiennych, szacowanie Paweł Cibis pawel@cibis.pl 1 kwietnia 2007 1 Współczynnik zmienności Współczynnik zmienności wzory Współczynnik zmienności funkcje 2 Korelacja

Bardziej szczegółowo

Testowanie modeli predykcyjnych

Testowanie modeli predykcyjnych Testowanie modeli predykcyjnych Wstęp Podczas budowy modelu, którego celem jest przewidywanie pewnych wartości na podstawie zbioru danych uczących poważnym problemem jest ocena jakości uczenia i zdolności

Bardziej szczegółowo

8. Analiza widmowa metodą szybkiej transformaty Fouriera (FFT)

8. Analiza widmowa metodą szybkiej transformaty Fouriera (FFT) 8. Analiza widmowa metodą szybkiej transformaty Fouriera (FFT) Ćwiczenie polega na wykonaniu analizy widmowej zadanych sygnałów metodą FFT, a następnie określeniu amplitud i częstotliwości głównych składowych

Bardziej szczegółowo

METODY CHEMOMETRYCZNE W IDENTYFIKACJI ŹRÓDEŁ POCHODZENIA

METODY CHEMOMETRYCZNE W IDENTYFIKACJI ŹRÓDEŁ POCHODZENIA METODY CHEMOMETRYCZNE W IDENTYFIKACJI ŹRÓDEŁ POCHODZENIA AMFETAMINY Waldemar S. Krawczyk Centralne Laboratorium Kryminalistyczne Komendy Głównej Policji, Warszawa (praca obroniona na Wydziale Chemii Uniwersytetu

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1)

ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1) ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL 1. Problem Rozważmy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi (x 1, x 2 ): 1 x1 sin x2 x2 cos x1 (1) Nie jest

Bardziej szczegółowo

Wydział Elektryczny Katedra Telekomunikacji i Aparatury Elektronicznej. Instrukcja do zajęć laboratoryjnych z przedmiotu:

Wydział Elektryczny Katedra Telekomunikacji i Aparatury Elektronicznej. Instrukcja do zajęć laboratoryjnych z przedmiotu: Politechnika Białostocka Wydział Elektryczny Katedra Telekomunikacji i Aparatury Elektronicznej Instrukcja do zajęć laboratoryjnych z przedmiotu: Architektura i Programowanie Procesorów Sygnałowych Numer

Bardziej szczegółowo

Raport: Wycena opcji metodą Quasi Monte Carlo

Raport: Wycena opcji metodą Quasi Monte Carlo Raport: Wycena opcji metodą Quasi Monte Carlo Autor: Dominik Winnicki Spis treści Opis problemu... 2 Wstęp teoretyczny... 2 Liczby Haltona... 4 Liczby Sobol a... 4 Ocena uzyskanych ciągów Haltona i Sobol

Bardziej szczegółowo

Dobór parametrów regulatora - symulacja komputerowa. Najprostszy układ automatycznej regulacji można przedstawić za pomocą

Dobór parametrów regulatora - symulacja komputerowa. Najprostszy układ automatycznej regulacji można przedstawić za pomocą Politechnika Świętokrzyska Wydział Mechatroniki i Budowy Maszyn Centrum Laserowych Technologii Metali PŚk i PAN Zakład Informatyki i Robotyki Przedmiot:Podstawy Automatyzacji - laboratorium, rok I, sem.

Bardziej szczegółowo

1. Ubezpieczenia życiowe

1. Ubezpieczenia życiowe 1. Ubezpieczenia życiowe Przy ubezpieczeniach życiowych mamy do czynienia z jednorazową wypłatą sumy ubezpieczenia. Moment jej wypłaty i wielkość wypłaty może być funkcją zmiennej losowej T a więc czas

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Kierunek: Energetyka Rodzaj przedmiotu: kierunkowy ogólny Rodzaj zajęć: wykład, laboratorium I KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE C1. Uzyskanie podstawowej wiedzy

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 1 Planowanie trasy robota mobilnego w siatce kwadratów pól - Algorytm A

Ćwiczenie 1 Planowanie trasy robota mobilnego w siatce kwadratów pól - Algorytm A Ćwiczenie 1 Planowanie trasy robota mobilnego w siatce kwadratów pól - Algorytm A Zadanie do wykonania 1) Utwórz na pulpicie katalog w formacie Imię nazwisko, w którym umieść wszystkie pliki związane z

Bardziej szczegółowo

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych dr inż. Adam Kisiel kisiel@if.pw.edu.pl pokój 117b (12b) 1 Materiały do wykładu Transparencje do wykładów: http://www.if.pw.edu.pl/~kisiel/kadd/kadd.html Literatura

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ LABORATORIUM EKONOMIKA W ELEKTROTECHNICE INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA 6 Analiza decyzji

Bardziej szczegółowo

1. Opis tabelaryczny. 2. Graficzna prezentacja wyników. Do technik statystyki opisowej można zaliczyć:

1. Opis tabelaryczny. 2. Graficzna prezentacja wyników. Do technik statystyki opisowej można zaliczyć: Wprowadzenie Statystyka opisowa to dział statystyki zajmujący się metodami opisu danych statystycznych (np. środowiskowych) uzyskanych podczas badania statystycznego (np. badań terenowych, laboratoryjnych).

Bardziej szczegółowo

P R Z E T W A R Z A N I E S Y G N A Ł Ó W B I O M E T R Y C Z N Y C H

P R Z E T W A R Z A N I E S Y G N A Ł Ó W B I O M E T R Y C Z N Y C H W O J S K O W A A K A D E M I A T E C H N I C Z N A W Y D Z I A Ł E L E K T R O N I K I Drukować dwustronnie P R Z E T W A R Z A N I E S Y G N A Ł Ó W B I O M E T R Y C Z N Y C H Grupa... Data wykonania

Bardziej szczegółowo

MIKROFALOWEJ I OPTOFALOWEJ

MIKROFALOWEJ I OPTOFALOWEJ E-LAB: LABORATORIUM TECHNIKI MIKROFALOWEJ I OPTOFALOWEJ Krzysztof MADZIAR Grzegorz KĘDZIERSKI, Jerzy PIOTROWSKI, Jerzy SKULSKI, Agnieszka SZYMAŃSKA, Piotr WITOŃSKI, Bogdan GALWAS Instytut Mikroelektroniki

Bardziej szczegółowo

POMIARY WIELKOŚCI NIEELEKTRYCZNYCH

POMIARY WIELKOŚCI NIEELEKTRYCZNYCH POMIARY WIELKOŚCI NIEELEKTRYCZNYCH Dr inż. Eligiusz PAWŁOWSKI Politechnika Lubelska Wydział Elektrotechniki i Informatyki Prezentacja do wykładu dla EMST Semestr letni Wykład nr 2 Prawo autorskie Niniejsze

Bardziej szczegółowo

Niepewność pomiaru masy w praktyce

Niepewność pomiaru masy w praktyce Niepewność pomiaru masy w praktyce RADWAG Wagi Elektroniczne Z wszystkimi pomiarami nierozłącznie jest związana Niepewność jest nierozerwalnie związana z wynimiarów niepewność ich wyników. Podając wyniki

Bardziej szczegółowo

Laboratorium technik optymalizacji

Laboratorium technik optymalizacji Laboratorium technik optymalizacji Marek Kubiak 1 Opis zajęć Zakres zajęć laboratoryjnych jest podzielony na 2 części: realizację algorytmu przeszukiwania lokalnego i wizualizacji jego działania dla zadanego

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Kierunek: MECHANIKA I BUDOWA MASZYN Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy na kierunku Rodzaj zajęć: wykład, laboratorium ROBOTYKA Robotics Forma studiów: stacjonarne Poziom przedmiotu: I stopnia

Bardziej szczegółowo

Ekonometria ćwiczenia 3. Prowadzący: Sebastian Czarnota

Ekonometria ćwiczenia 3. Prowadzący: Sebastian Czarnota Ekonometria ćwiczenia 3 Prowadzący: Sebastian Czarnota Strona - niezbędnik http://sebastianczarnota.com/sgh/ Normalność rozkładu składnika losowego Brak normalności rozkładu nie odbija się na jakości otrzymywanych

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE POLSKIEJ GOSPODARKI Z PAKIETEM R Michał Rubaszek

MODELOWANIE POLSKIEJ GOSPODARKI Z PAKIETEM R Michał Rubaszek Tytuł: Autor: MODELOWANIE POLSKIEJ GOSPODARKI Z PAKIETEM R Michał Rubaszek Wstęp Książka "Modelowanie polskiej gospodarki z pakietem R" powstała na bazie materiałów, które wykorzystywałem przez ostatnie

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 3: Analiza struktury zbiorowości statystycznej. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 3: Analiza struktury zbiorowości statystycznej. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin. Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 3: Analiza struktury zbiorowości statystycznej dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Zadania analityczne (1) Analiza przewiduje badanie podobieństw

Bardziej szczegółowo

Zasady wykonania walidacji metody analitycznej

Zasady wykonania walidacji metody analitycznej Zasady wykonania walidacji metody analitycznej Walidacja metod badań zasady postępowania w LOTOS Lab 1. Metody badań stosowane w LOTOS Lab należą do następujących grup: 1.1. Metody zgodne z uznanymi normami

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

Zakład Metrologii i Systemów Pomiarowych Laboratorium Metrologii I. Grupa. Nr ćwicz.

Zakład Metrologii i Systemów Pomiarowych Laboratorium Metrologii I. Grupa. Nr ćwicz. Laboratorium Metrologii I Politechnika zeszowska akład Metrologii i Systemów Pomiarowych Laboratorium Metrologii I Mostki niezrównoważone prądu stałego I Grupa Nr ćwicz. 12 1... kierownik 2... 3... 4...

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie: "Mierniki cyfrowe"

Ćwiczenie: Mierniki cyfrowe Ćwiczenie: "Mierniki cyfrowe" Opracowane w ramach projektu: "Informatyka mój sposób na poznanie i opisanie świata realizowanego przez Warszawską Wyższą Szkołę Informatyki. Zakres ćwiczenia: Próbkowanie

Bardziej szczegółowo

Badania operacyjne: Wykład Zastosowanie kolorowania grafów w planowaniu produkcji typu no-idle

Badania operacyjne: Wykład Zastosowanie kolorowania grafów w planowaniu produkcji typu no-idle Badania operacyjne: Wykład Zastosowanie kolorowania grafów w planowaniu produkcji typu no-idle Paweł Szołtysek 12 czerwca 2008 Streszczenie Planowanie produkcji jest jednym z problemów optymalizacji dyskretnej,

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA Statistics. Inżynieria Środowiska. II stopień ogólnoakademicki

STATYSTYKA Statistics. Inżynieria Środowiska. II stopień ogólnoakademicki Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr../12 z dnia.... 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/13 STATYSTYKA

Bardziej szczegółowo

Statystyczne sterowanie procesem

Statystyczne sterowanie procesem Statystyczne sterowanie procesem SPC (ang. Statistical Process Control) Trzy filary SPC: 1. sporządzenie dokładnego diagramu procesu produkcji; 2. pobieranie losowych próbek (w regularnych odstępach czasu

Bardziej szczegółowo

Analiza korespondencji

Analiza korespondencji Analiza korespondencji Kiedy stosujemy? 2 W wielu badaniach mamy do czynienia ze zmiennymi jakościowymi (nominalne i porządkowe) typu np.: płeć, wykształcenie, status palenia. Punktem wyjścia do analizy

Bardziej szczegółowo

Niezawodność i Diagnostyka

Niezawodność i Diagnostyka Katedra Metrologii i Optoelektroniki Wydział Elektroniki Telekomunikacji i Informatyki Politechnika Gdańska Niezawodność i Diagnostyka Ćwiczenie laboratoryjne nr 3 Struktury niezawodnościowe 1. Struktury

Bardziej szczegółowo

Informatyka II stopień (I stopień / II stopień) ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny) kierunkowy (podstawowy / kierunkowy / inny HES)

Informatyka II stopień (I stopień / II stopień) ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny) kierunkowy (podstawowy / kierunkowy / inny HES) KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013 Badania Operacyjne w Informatyce Operations Research in Computer Science

Bardziej szczegółowo