Związki miarowe w trójkątach o kątach 30, 60, 90 oraz 45, 45, 90

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Związki miarowe w trójkątach o kątach 30, 60, 90 oraz 45, 45, 90"

Transkrypt

1 Związki miarowe w trójkątach o kątach 30, 60, 90 oraz 45, 45, 90 Przedmowa Związki miarowe w trójkącie prostokątnym to jeden z kilku najważniejszych a może nawet i najważniejszy dział w gimnazjum. Wymaga on znajomości rozwiązywania równań, działań na pierwiastkach oraz wyuczenia się na pamięć kilku wzorów z zakresu geometrii. Od tego działu, zależy kilka działów następnych. Po prostu trzeba się go nauczyć, o ile chce się mieć na świadectwie ocenę satysfakcjonującą. Dział ten sam w sobie nie jest trudny, ale wymaga bardzo dobrej znajomości podstaw geometrii. W związku z tym nim przejdę do jego omawiania, postaram się co nieco z niej powtórzyć. Spis tematów 1. Przypomnienie podstaw geometrii oraz arytmetyki.... trójkąt prostokątny oraz twierdzenie Pitagorasa... kąt oraz miara kąta... zgodność oznaczeń we wzorze z wykonanym rysunkiem... 3 kwadrat... 3 trójkąt równoboczny... 4 pierwiastki arytmetyczne stopnia drugiego... 5 rozwiązywanie równań stopnia pierwszego z jedną niewiadomą o współczynnikach rzeczywistych Związki miarowe w trójkącie o kątach: 90, 45, Związki miarowe w trójkącie o katach: 30, 60, Wersja z dnia Związki miarowe w trójkącie prostokątnym strona 1

2 Temat: Przypomnienie podstaw geometrii oraz arytmetyki. Trójkąt prostokątny oraz twierdzenie Pitagorasa Na początek zacznijmy od przypomnienia sobie jak nazywają się boki w trójkącie prostokątnym i które to są. Jak widzisz z rysunku obok, najdłuższy bok w trójkącie prostokątnym nazywa się przeciwprostokątną bo leży naprzeciw kąta prostego, zaś każdy z dwóch pozostałych boków nazywa się przyprostokątną bo leży przy kącie prostym. Twierdzenie Pitagorasa mówi, że jeśli długość jednej z przyprostokątnych podniesiesz do kwadratu (do potęgi drugiej) i dodasz do tego długość drugiej przyprostokątnej podniesioną do kwadratu, to zawsze otrzymasz długość przeciwprostokątnej podniesioną także do kwadratu. Korzystając z oznaczeń z powyższego rysunku, możesz zapisać: lub w odwrotnej kolejności: + = = + W podręcznikach szkolnych tw. Pitagorasa najczęściej jest zapisane przy użyciu niewiadomych:,, : lub rzadziej: + = = + Ja polecam przyzwyczajać się do zapisu który jest w ramce, bo znacznie on zmniejsza prawdopodobieństwo pomylenia się przy jego układaniu, a niewiadome w nim użyte, przywołują skojarzenia: to długość najdłuższego boku tego trójkąta, to długość krótszej przyprostokątnej, to długość dłuższej przyprostokątnej. Kąt oraz miara kąta Kąt część płaszczyzny zawarta między dwiema półprostymi o wspólnym początku, razem z tymi półprostymi. [Błędem jest wskazywanie palcem obszaru leżącego blisko wierzchołka i mówienie, że to kąt.] Ramiona kąta półproste które wyznaczają kąt. Miara kąta Kąty równe liczba mianowana wyrażająca rozpiętość między ramionami kąta. Mianem, czyli jednostką są najczęściej stopnie lub radiany, rzadziej grady (gradusy). Czasami zamiast sformułowania miara kąta można spotkać sformułowanie rozwartość kąta. przynajmniej dwa kąty o tej samej mierze (mające tyle samo np. stopni). Kąt prosty kąt o mierze 90. Wersja z dnia Związki miarowe w trójkącie prostokątnym strona

3 Zgodność oznaczeń we wzorze z rysunkiem Kolejna rzecz o której musisz pamiętać zwłaszcza w geometrii, to zgodność oznaczeń zastosowanych we wzorze z wykonanym rysunkiem. Jeśli robisz rysunek na przykład kwadratu i długość jego boku oznaczysz literką, to pisząc wzór na pole tego kwadratu musisz napisać: = a na obwód:. = 4. Nie możesz w takim przypadku pisać, że =, bo długość boku kwadratu została oznaczona literką. Jeśli nie wiesz jakiej literki użyć we wzorze żeby była zgodność z rysunkiem, możesz posłużyć się oznaczeniami wierzchołków danej figury. Zamiast pisać, że odcinek o końcach w punktach A i B ma długość, możesz napisać: lub. Zapisów takich użyję w poniższym podtemacie o kwadracie. Ten drugi zapis długości odcinka AB jest bardziej precyzyjny od pierwszego, gdyż dodatkowo daje Ci informację o tym, że masz na myśli odcinek prostej, a nie odcinek krzywej. Ponieważ w teorii matematycznej prosta jest szczególnym przypadkiem krzywej (fachowo mówimy, że prosta to zdegenerowana krzywa), więc dla prostej oba te zapisy są poprawne. Dla krzywej zaś, poprawny jest tylko zapis pierwszy. Kwadrat Kwadrat czworokąt mający wszystkie boki i kąty równe. Ponieważ suma kątów w każdym czworokącie wynosi 360, więc kąty w kwadracie mają miarę po 90.. = 4 = = = ; = = ; = = ; = Własności kwadratu (dawniej właściwości): przekątne przecinają się w połowie przekątne przecinają się pod kątem prostym przekątna kwadratu dzieli kąt przy jego wierzchołku na połowy, czyli na dwa kąty po 45 wszystkie boki kwadratu mają taką samą długość (są równe) wszystkie kąty kwadratu mają po 90 (są proste) przekątne kwadratu dzielą go na 4 trójkąty prostokątne równoramienne. Wersja z dnia Związki miarowe w trójkącie prostokątnym strona 3

4 Trójkąt równoboczny Trójkąt równoboczny figura geometryczna mająca dokładnie 3 boki o tej samej długości. Własności trójkąta równobocznego: ma 3 boki o tej samej długości: = = ma 3 wysokości i wszystkie one mają tę samą długość: = = każdy jego kąt ma miarę 60 : = = = 60 miara kąta między wysokością a bokiem na który jest opuszczona wynosi zawsze 90 wysokość tego trójkąta dzieli bok na który jest opuszczona na połowy =, =, = wszystkie jego wysokości przecinają się w jednym punkcie (punkt S) wszystkie dwusieczne jego kątów przecinają się w jednym punkcie Na powyższym rysunku jest to punkt S. wszystkie symetralne jego boków przecinają się w jednym punkcie Na powyższym rysunku jest to punkt S. wysokości tego trójkąta, jego dwusieczne oraz symetralne przecinają się w tym samym punkcie punkt o którym mowa wyżej jest także środkiem okręgu opisanego i wpisanego w ten trójkąt. Okrąg przechodzący przez wszystkie wierzchołki trójkąta ABC nazywamy okręgiem opisanym 1 na trójkącie ABC. Okrąg styczny do wszystkich boków trójkąta ABC nazywamy okręgiem wpisanym w ten trójkąt. Na powyższym rysunku przechodzi on przez punkty: D, E, F. Jeśli w trójkącie równobocznym zastosujesz oznaczenia zgodne z powyższym rysunkiem: h wysokość trójkąta równobocznego ABC długość boku trójkąta ABC długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt ABC długość promienia okręgu opisanego na trójkącie ABC punkt przecięcia wysokości w trójkącie ABC pole powierzchni trójkąta ABC. to będą zachodzić zależności, które trzeba wyuczyć się na pamięć: h = + = = = h = = =. = 3 Do powyższych wzorów w których występuje 3 można dojść stosując twierdzenie Pitagorasa. Łatwiej jednak nauczyć się ich na pamięć. Wyjaśnienie skąd się one biorą, znajdziesz w opracowaniu: W opracowaniu tym, bardzo często będzie zachodzić potrzeba szybkiego naszkicowania sobie trójkąta równobocznego. Warto więc wiedzieć, jak w oparciu o kratki zeszytowe móc szybko to zrobić. Wykorzystując twierdzenie Pitagorasa możesz obliczyć, że w tak narysowanym trójkącie ramiona są dłuższe od podstawy mniej więcej o 0,3 mm. Oznacza to, że przedstawiony obok trójkąt nie jest równoboczny lecz równoramienny. Różnica między długością ramienia a długością podstawy jest jednak tak mała, że w szkicach do zadań można taki trójkąt traktować jak równoboczny. 1 Aby znaleźć środek okręgu opisanego na trójkącie, należy wykreślić przynajmniej dwie symetralne boków tego trójkąta. Aby znaleźć środek okręgu wpisanego w trójkąt, należy wykreślić przynajmniej dwie dwusieczne kątów tego trójkąta. Wersja z dnia Związki miarowe w trójkącie prostokątnym strona 4

5 Pierwiastki arytmetyczne stopnia drugiego Jeśli wiesz, że: 5 = 5 5 = 5, to 5 = 5 13 = = 169, to 169 = 13 = =, to = =. Widzisz zatem, że pierwiastek z wyniku (kolor jasnozielony) daje liczbę która była potęgowana (kolor czerwony). Wiedz jednak, że nie dotyczy to potęgowania liczb ujemnych: 5 = 5 5 = 5, ale 5 = 5, a nie 5. Dodatkowo pamiętaj o tym, że: 3 cm cm = cm Zwróć uwagę na zapis centymetrów. = = Przed symbolem pierwiastka, symbolu mnożenia na ogół się nie pisze. Bardzo ważne jest to, aby zwracać uwagę dokąd sięga daszek pierwiastka. = = =, jeśli 0 To co jest napisane wyżej kolorem szarym, powinno być obliczone w myślach. Jeśli pod symbolem pierwiastka stopnia parzystego znajduje się liczba ujemna (lub wyrażenie o wartości ujemnej), to wartość takiego pierwiastka nie istnieje w zbiorze liczb rzeczywistych podobnie jest przy dzieleniu liczby różnej od zera przez zero. Szybciej jest nauczyć się gotowego wzoru na pamięć: =, jeśli 0 Przykład: 5 7 = 5 7 = 5 7 = 175 =, 0 Przykłady: = ; = 0, = Przykłady: 5 3 = 15; 9 5 = 45 1,16384 Pamiętaj. Zapis z użyciem symbolu pierwiastka, jest zapisem dokładnym. Zaokrąglanie go do podanego rzędu robi się tylko wtedy gdy bezpośrednio wskazuje na to treść zadania lub gdy chcesz wartość taką zaznaczyć np. na osi liczbowej lub w układzie współrzędnych. Dość często gdy liczba pod pierwiastkiem jest parzysta oraz sporadycznie gdy jest ona nieparzysta, można taki pierwiastek zapisać za pomocą iloczynu (mnożenia) przynajmniej dwóch pierwiastków z których przynajmniej jeden da się precyzyjnie obliczyć. Zobaczmy: 48 = 16 3 = 16 3 = = 9 5 = 9 5 = 3 5 Wykonywanie działania odwrotnego do powyższego jest banalne. Wystarczy liczbę która nie jest spierwiastkowania (w poniższym przykładzie jest to liczba 5) podnieść do tej potęgi co stopień pierwiastka i przemnożyć przez liczbę która jest pod pierwiastkiem. Zobacz: 5 = 5 = 5 = 50 7,07 3 = = 307,3 Bardziej zrozumiale i szczegółowo omówione pierwiastkowanie znajdziesz w oddzielnym opracowaniu. Wersja z dnia Związki miarowe w trójkącie prostokątnym strona 5

6 Rozwiązywanie równań stopnia pierwszego z jedną niewiadomą o współczynnikach rzeczywistych Oprócz skrótowo przypomnianego pierwiastkowania, trzeba także umieć biegle rozwiązywać równania z jedną niewiadomą. Metody rozwiązywania takich równań zostały omówione w osobnym opracowaniu. Jeden przykład przedstawiam poniżej. + 6 = 8 + = / 6 + = Mnożę obie strony równania przez najmniejszy wspólny mianownik. Wykonuję skrócenie liczby 6 która jest w liczniku, z liczbą w mianowniku = 48 / 38 Od obu stron równania odejmuję 38 by po lewej stronie został tylko jednomian z = 10 / 3 = Zauważam, że jest za symbolem pierwiastka i żeby przez przypadek nie potraktować go jakby był pod symbolem pierwiastka, piszę go przed pierwiastkiem. Mnożę obie strony równania przez 3, by później nie było potrzeby usuwania niewymierności z mianownika ułamka = = 10 3 /: 9 Dzielę obie strony równania przez liczbę stojącą przy, czyli w tym przypadku przez 9. = Prześledź teraz rozwiązane 3 typy równań z którymi najczęściej będzie można się spotkać w tym opracowaniu. = 5 3 / = 5 6 /: = = 4 7 / 3 = 8 7 / 3 3 = 8 1 /: = 0 / 4 3 = 80 / 3 3 = 80 3 /: 3 = = / = = ,1 1, 6, = Wersja z dnia Związki miarowe w trójkącie prostokątnym strona 6

7 Temat: Związki miarowe w trójkącie o kątach: 90, 45, 45. Nim zacznę omawiać szczegółowo trójkąt o kątach 45, 45, 90 przyjrzyj się dokładnie kwadratowi z narysowaną w nim jedną przekątną 3. Zauważ, że przekątna kwadratu dzieli go na dwa przystające (identyczne) trójkąty o kątach 45, 45, 90 oraz, że na podstawie twierdzenia Pitagorasa jej długość: = Zatem aby obliczyć długość przekątnej kwadratu, należy długość jego boku pomnożyć przez. Aby obliczyć przybliżoną długość przekątnej kwadratu, należy długość jego boku pomnożyć przez zaokrąglenie do podanego rzędu. Najczęściej przyjmuje się, że 1,41. Bok kwadratu ma długość 7 cm. Jaką długość ma jego przekątna? [Odp. 7 cm.] Bok kwadratu ma długość 0,4 cm. Jaką długość ma jego przekątna? [Odp. 0,4 cm.] Bok kwadratu ma długość 11 cm. Jaką długość ma jego przekątna? [Odp. 11 cm.] Bok kwadratu ma długość 4, cm. Ile milimetrów ma długość jego przekątnej? [Odp. 4 mm.] Bok kwadratu ma długość 5,6 m. Ile milimetrów ma długość jego przekątnej? [Odp mm.] Przekształcając powyższy wzór: =, dostajesz kolejny wzór: = który oznacza, że: długość boku kwadratu można obliczyć mnożąc długość jego przekątnej przez ułamek. Przekątna kwadratu ma długość 14 cm. Jaką długość ma bok tego kwadratu? [Odp. 14 cm.] Przekątna kwadratu ma długość 5,7 cm. Jaką długość ma bok tego kwadratu? [Odp. 5,7 cm.] Przekątna kwadratu ma długość 8 m. Jaką długość ma bok tego kwadratu? [Odp. 8 m.] Przekątna kwadratu ma długość 10 cm. Jaką długość ma bok tego kwadratu? [Odp. 5 cm.] Przekątna kwadratu ma długość 6,8 cm. Jaką długość ma bok tego kwadratu? [Odp. 3,4 cm.] Przekątna kwadratu ma długość 1 mm. Jaką długość ma bok tego kwadratu? [Odp. 0,5 mm.] Przekątna kwadratu ma długość 0,01 mm. Jaką długość ma bok tego kwadratu? [Podpowiedź. Zamień liczbę 0,01 na 0,010. Odp. 0,005 mm.] Przekątna kwadratu ma długość 0 7 cm. Jaką długość ma bok tego kwadratu? [Odp cm.] Przekątna kwadratu ma długość 6 7 cm. Jaką długość ma bok tego kwadratu? [Odp cm.] Przekątna kwadratu ma długość 4 13 cm. Jaką długość ma bok tego kwadratu? [Odp. 1 6 cm.] Zauważ teraz, że wzór o którym mowa wyżej, można zapisać także w postaci: = co oznacza, że długość boku kwadratu wylicza się mnożąc połowę długości przekątnej przez. 3 Przekątna odcinek w wielokącie łączący dwa wierzchołki nie sąsiadujące ze sobą. Wersja z dnia Związki miarowe w trójkącie prostokątnym strona 7

8 Jeśli odcinek o długości oznaczysz literką np. (połowa długości przekątnej), to powyższy wzór zmieni się w taki: = Zatem, aby obliczyć długość boku kwadratu, znając połowę długości przekątnej, wystarczy tylko pomnożyć ją przez. Dlaczego tak się dzieje pokazuje rysunek obok odcinek AB to przekątna kwadratu ALBS. Skoro kwadrat ALBS ma bok o długości, to jego przekątna, w myśl wzoru który został napisany na początku tego tematu musi mieć długość. To jeszcze nie wszystko co widać z tego rysunku. Przyjrzyj się, że pole trójkąta ABC jest równe połowie pola kwadratu: a jego obwód:. = + = 1 Odcinek łączący środek kwadratu z jego wierzchołkiem ma długość 3 cm. Jaką długość ma bok tego kwadratu? [Odp. 3 cm.] W trójkącie prostokątnym równoramiennym ABC, opuszczono wysokość na najdłuższy bok. Jakie długości mają boki tego trójkąta, jeśli wysokość ta ma długość 9 cm? [Odp. 9 cm, 9 cm, 18 cm.] No dobrze. Już coś wiesz, ale mieliśmy mówić o jakichś związkach miarowych, a do tej pory nawet o nich nie wspomniałem. Nie było to przypadkowe. W związkach miarowych w trójkącie prostokątnym o kątach 45, 45, 90 chodzi o to, żeby w oparciu o długość jednego boku takiego trójkąta i znajomość jednego kąta ostrego, wyliczyć długości dwóch pozostałych boków, bez stosowania twierdzenia Pitagorasa. Wyliczenia o których mowa robi się bardzo łatwo, jeśli najpierw dopatrzysz się tego, że ów trójkąt to połowa kwadratu i w myślach dorysujesz w sposób poprawny odcinki, które dadzą Ci poszukiwany kwadrat. Zadanie: Dany jest trójkąt prostokątny ABC o kącie ostrym 45. Jaką długość ma jego przeciwprostokątna, jeśli jedna z przyprostokątnych ma długość 8 cm? Obliczenia wykonaj bez stosowania tw. Pitagorasa. 1. Zauważasz, że trójkąt ten to połowa kwadratu.. Dorysowujesz jego lustrzane 4 odbicie zawsze względem najdłuższego boku w taki sposób by powstał kwadrat. Na rysunku obok, odbicie to zaznaczyłem przerywaną linią. 3. Długość boku powstałego kwadratu oznaczasz przez a. Jest to jednocześnie długość przyprostokątnej AB (oraz BC), która w myśl treści zadania ma długość 8 cm. 4. Zauważasz, że przeciwprostokątna trójkąta ABC (najdłuższy bok tego trójkąta, czyli bok AC), to przekątna otrzymanego kwadratu. 5. Długość przekątnej kwadratu oznaczasz przez. 6. Wykorzystujesz wzór na długość przekątnej kwadratu: =. 7. Ponieważ z treści zadania = 8 cm, więc = 8 cm. Odpowiedź. Przeciwprostokątna tego trójkąta ma długość 8 cm. Więcej było mojego komentarza w tym zadaniu niż obliczeń. Zauważ, że obliczenia zajęły tylko 1 linijkę i polegały wyłącznie na napisaniu liczby 8 zamiast literki. 4 Pisząc o lustrzanym odbiciu mam na myśli symetrię względem prostej zawierającej najdłuższy bok tego trójkąta. Więcej o symetriach przeczytasz w oddzielnym opracowaniu. Wersja z dnia Związki miarowe w trójkącie prostokątnym strona 8

9 W trójkącie prostokątnym równoramiennym, krótsze boki mają długość po 4 cm. Jaką długość ma najdłuższy bok tego trójkąta? [Odp. 4 cm.] W trójkącie prostokątnym o kątach ostrych po 45, najkrótsze boki mają długość po 8 cm. Jaką długość ma najdłuższy bok tego trójkąta? [Odp. 8 cm.] W trójkącie o kątach 90, 45, 45 boki leżące przy kącie prostym mają długość po 3, cm. Jaką długość ma bok leżący naprzeciw kąta prostego? [Odp. 3, cm.] W trójkącie prostokątnym o kącie ostrym 45, jedna z przyprostokątnych ma długość 57 mm. Ile centymetrów ma długość przeciwprostokątnej? [Odp. 5,7 cm.] W trójkącie prostokątnym równoramiennym, wysokość opuszczona na przyprostokątną ma długość 15 cm. Jaką długość ma przeciwprostokątna tego trójkąta? [Odp. 15 cm.] Zadanie: Dany jest trójkąt prostokątny ABC o kącie ostrym 45. Jakie długości mają przyprostokątne tego trójkąta, jeśli przeciwprostokątna ma długość 8 cm? Obliczenia wykonaj bez stosowania tw. Pitagorasa. 1. Zauważasz, że trójkąt ten to połowa kwadratu.. Dorysowujesz jego lustrzane odbicie zawsze względem najdłuższego boku, tak by powstał kwadrat. Na powyższym rysunku, odbicie to zaznaczyłem przerywanymi liniami. 3. Długość boku powstałego kwadratu oznaczasz przez a. Jest to jednocześnie poszukiwana długość przyprostokątnej trójkąta ABC. 4. Zauważasz, że przeciwprostokątna trójkąta ABC (najdłuższy bok tego trójkąta), to przekątna AC otrzymanego kwadratu. 5. Długość przekątnej kwadratu oznaczasz przez. 6. Z treści zadania wiesz, że = 8 cm. 7. Stosujesz wzór na długość przekątnej kwadratu: = pisząc zamiast liczbę 8 (patrz punkt 6). Zatem: 8 = / 8 = /: 4 = 8. Spostrzegasz, że obie przyprostokątne są bokami kwadratu, więc mają tą samą długość. 9. Udzielasz odpowiedź, gdyż w treści zadania było zadane pytanie. Odpowiedź. Przyprostokątne tego trójkąta mają długości po 4 cm. W powyższym zadaniu, poszukiwaną długość boku można było od razu wyliczyć wykorzystując wzór: = W trójkącie prostokątnym równoramiennym długość najdłuższego boku wynosi 16 cm. Jakie są długości dwóch pozostałych boków? [Odp. 8 cm] W trójkącie prostokątnym równoramiennym, długość przeciwprostokątnej wynosi 14 cm. Jakie długości mają przyprostokątne tego trójkąta? [Odp. 7 cm, 7 cm] W trójkącie prostokątnym o kątach ostrych po 45 bok leżący naprzeciw kąta prostego ma długość 8 cm. Jakie długości mają pozostałe boki tego trójkąta? 4 cm Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym równoramiennym wynosi 5 cm. Jakie długości mają boki tego trójkąta? [Podpowiedź. Środek okręgu opisanego na dowolnym trójkącie prostokątnym leży zawsze w połowie przeciwprostokątnej. Odp. 5 cm, 5 cm, 10 cm.] Wersja z dnia Związki miarowe w trójkącie prostokątnym strona 9

10 W trójkącie prostokątnym ABC o kącie ostrym 45 opuszczono wysokość na przeciwprostokątną. Jakie są długości boków trójkąta ABC, jeśli długość tej wysokości wynosi 5 13 cm? [Odp. 5 6 cm, 5 6 cm, cm] Ile wynosi pole i obwód trójkąta prostokątnego równoramiennego w którym najdłuższy bok ma długość 9 cm? [P = 0,5 cm, Obw. = cm.] Trójkąt równoramienny ABC, gdzie A = 90 przekształcono przez jednokładność w skali k = 4 względem wierzchołka A na trójkąt AEF. Oblicz pole i obwód trójkąta ABC, jeśli odległość między punktami E i F wynosi 1 cm. [P =,5 cm, Obw. = cm.] Droga wznosi się pod kątem 45. O ile metrów wzniesie się kierowca jadący tą drogą po przejechaniu 11 m? Wynik zaokrąglij do rzędu części setnych. [Odp. 79,0 m] Jaką odległość pokonał kierowca jadący drogą wznoszącą się pod kątem 45, jeśli wzniósł się o 1 m? Wynik zaokrąglij do rzędu części dziesiątych. [Odp. 17,0 m.] W pewnym miejscu spadek terenu wynosi 45. Jaka jest długość tego spadku, jeśli jego wysokość ma 3 m? Wynik zaokrąglij do rzędu jedności. [Odp. 33 m.] Zadanie: Przekrój poprzeczny nasypu jest trapezem o kątach ostrych po 45. Jaka jest długość podstawy dolnej tego trapezu, jeśli długości jego ramion wynoszą po m, a długość krótszej podstawy wynosi 1 m? Wynik zaokrąglij do rzędu części setnych. Rozwiązanie: Z górnych wierzchołków trapezu prowadzę dwie wysokości: DE i CF. Dzięki temu widzę, że: = = 1 m oraz, że trójkąty AED i BFC to połówki kwadratów. Zatem ze wzoru na długość przekątnej kwadratu: = m = / m = /: Ponieważ = więc: = m = + + = m = 1 + m 3,884 m 3,83 m m = Można też było wykorzystać wzór: = co dałoby ten sam wynik, ale znacznie szybciej. Odpowiedź. Długość podstawy dolnej tego trapezu wynosi około 3,83 m. Uwaga. Jeśli wynik działania wychodzi z użyciem znaku + lub, i chcesz do niego dopisać jednostki, np. metry, to cały wynik należy ująć w nawias. Innymi słowy należy pisać: 1 m + m lub 1 + m. Wersja z dnia Związki miarowe w trójkącie prostokątnym strona 10

11 Uwaga. Jeśli w zadaniu trzeba zaokrąglić 5 wynik, to zawsze chodzi o wynik końcowy zadania. Nie wolno zaokrąglać wyników otrzymywanych w trakcie obliczeń. Uwaga. Jeśli w treści zadania jest powiedziane, że obliczony wynik należy zaokrąglić, to najpierw należy go precyzyjnie obliczyć np. przy pomocy kalkulatora i dopiero wówczas dokonać żądanego zaokrąglenia. Nie wolno robić czegoś takiego, że najpierw zaokrąglamy część otrzymanego wyniku końcowego np. sam a dopiero potem mnożymy go przez jakąś liczbę. Zobaczmy, że gdybyśmy w zadaniu powyższym najpierw zaokrąglili do rzędu części setnych, to otrzymalibyśmy, że: 1 + 1,41 m 3,8 m, a nie 3,83 m. Uwaga. Zaokrąglanie części wyniku końcowego, jak pokazuje to powyższa uwaga, można robić tylko wtedy, gdy w treści zadania jest napisane żeby przyjąć zamiast liczbę np. 1,41. Przekrój poprzeczny koryta rzeki jest trapezem o kątach ostrych po 45. Jaka jest wysokość tego koryta, jeśli długość jego boku wynosi 4 m? Wynik zaokrąglij do rzędu części dziesiątych. [Odp.,8 m.] Oblicz obwód trapezu prostokątnego w którym kąt ostry ma miarę 45, dłuższa podstawa ma długość 13 cm, a krótsza 7 cm. [Odp cm.] W trapezie prostokątnym o kącie ostrym 45, długość wysokości wynosi 3 cm, a krótsza podstawa ma długość 6 cm. Oblicz długości pozostałych boków tego trapezu. [Odp. 3 cm, 9 cm.] W trapezie prostokątnym o kącie ostrym 45, obwód jest równy cm, a podstawa dolna jest 3,5 razy dłuższa od podstawy górnej. Oblicz długości boków tego trapezu. [Podpowiedź. Uzależnij długości wszystkich boków od długości krótszej podstawy. Odp. cm, 5 cm, 7 cm, 5 cm.] W trapezie prostokątnym o kącie ostrym 45, obwód jest równy cm, a stosunek podstawy dolnej do górnej wynosi 11 : 9. Oblicz długości boków tego trapezu. [Podpowiedź. Uzależnij długości wszystkich boków od jednej zmiennej. Odp. 10 cm, 9 10 cm, cm, 4 5 cm.] W trapezie prostokątnym ABCD kąty przy wierzchołkach A, C, D są proste. Jakie długości mają boki tego trapezu, jeśli wiadomo, że jedna z przekątnych jest nachylona do podstawy pod kątem 45 i ma długość 5 cm? [Odp. 4,5 cm.] W trapezie równoramiennym kąt rozwarty ma 135. Jedna z jego podstaw ma długość 16 cm, a druga jest od niej dłuższa o 15%. Oblicz obwód i pole tego trapezu. [Odp.. = 34,4 +,4 cm, = 0,64 cm.] Zadanie: Przez środki okręgów o promieniach cm i 6 cm poprowadzono prostą, która przecina styczną do tych okręgów pod kątem 45 w punkcie leżącym między tymi okręgami. Ile wynosi odległość między środkami tych okręgów? Rozwiązanie Przyjmując oznaczenia jak na rysunku, mam, że BSD = ASC = 45 (kąty wierzchołkowe). Wiedząc, że kąt między promieniem poprowadzonym do punktu styczności, a styczną zawsze wynosi 90, otrzymujesz, że trójkąt ASC ma kąty o miarach: 45, 45, 90. Analogicznie z trójkątem SBD. Oznacza to, że: Zatem: Odpowiedź. Odległość między środkami tych okręgów wynosi 8 cm. = = cm = = 6 cm = + = + 6 cm = 8 cm 5 O zaokrąglaniu liczb możesz przeczytać w oddzielnym opracowaniu. Wersja z dnia Związki miarowe w trójkącie prostokątnym strona 11

12 W okręgu o promieniu 0,5 cm poprowadzono dwie średnice: AC i BD przecinające się pod kątem 90. Oblicz pole i obwód czworokąta ABCD. [Odp.. = cm, = 0,5 cm.] Prosta łącząca środki dwóch okręgów o promieniach r = 5 cm i R = 40 cm przecina się ze styczną do tych okręgów pod kątem 45. Oblicz jaka jest odległość między środkami tych okręgów. Rozpatrz dwa przypadki tj. gdy punkt przecięcia tych prostych leży poza tymi okręgami oraz między nimi. [Podpowiedź. W jednym z przypadków dopatrz się jednokładnych kwadratów i od długości przekątnej większego z nich odejmij długość przekątnej mniejszego z nich. Odp. 35 cm. W drugim przypadku wykorzystaj wiedzę o kątach wierzchołkowych i o kącie między promieniem okręgu a punktem styczności. Odp. 45 cm.] Wersja z dnia Związki miarowe w trójkącie prostokątnym strona 1

13 Temat: Związki miarowe w trójkącie o kątach: 30, 60, 90. W związkach miarowych o których mowa w tym temacie, podobnie jak przy trójkącie o kątach 45, 45, 90 chodzi o to, by znając długość jednego z boków takiego trójkąta i miarę jednego kąta ostrego, wyliczyć długości dwóch pozostałych boków, także bez stosowania twierdzenia Pitagorasa. Nim zacznę szczegółowo omawiać trójkąt o kątach 30, 60, 90 przyjrzyj się dokładnie poniższemu trójkątowi równobocznemu. Zauważ, że narysowana w nim wysokość podzieliła dany trójkąt równoboczny na dwa przystające (identyczne) trójkąty, z których każdy ma kąty o miarach: 30, 60, 90. Zatem, mówiąc o związkach miarowych w trójkącie o takich kątach, będziesz za każdym razem doszukiwać się trójkąta równobocznego, a nie kwadratu jak to było w poprzednim temacie. Tym razem jednak, lustrzane odbicie będziesz wykonywać po tej stronie, po której występuje kąt prosty, czyli symetrycznie względem dłuższej przyprostokątnej. Zadanie: Dany jest trójkąt prostokątny ABC w którym kąt przy wierzchołku B ma miarę 60, a krótsza jego przyprostokątna ma długość 5 cm. Jakie długości mają dwa pozostałe boki tego trójkąta? 1. Zauważasz, że trójkąt ABC ten to połowa trójkąta równobocznego DBC.. Dorysowujesz jego lustrzane odbicie zawsze względem dłuższej przyprostokątnej. 3. Długość boku powstałego trójkąta równobocznego oznaczasz przez. = Jest to jednocześnie długość przeciwprostokątnej trójkąta ABC, czyli najdłuższego jego boku. 4. Zauważasz, że krótsza przyprostokątna trójkąta ABC, to połowa boku trójkąta równobocznego DBC. Zatem: = 1 5 cm = 1 / = 10 cm 5. Spostrzegasz, że dłuższa przyprostokątna trójkąta ABC, to wysokość h trójkąta równobocznego DBC. W oparciu o wzór: wyliczasz, że: h = 3 h = 10 3 h = 5 3 cm 6. Udzielasz odpowiedź, gdyż w treści zadania było zadane pytanie. Odpowiedź. Dwa pozostałe boki tego trójkąta mają długość 10 cm i 5 3 cm. Wersja z dnia Związki miarowe w trójkącie prostokątnym strona 13

14 Zadanie: Dany jest trójkąt prostokątny ABC w którym kąt przy wierzchołku B ma miarę 90, a dłuższa jego przyprostokątna ma długość 8 cm. Jakie długości mają dwa pozostałe boki tego trójkąta? 1. Zauważasz, że trójkąt ABC to połowa trójkąta równobocznego ADC.. Dorysowujesz jego lustrzane odbicie zawsze względem dłuższej przyprostokątnej. 3. Długość boku powstałego trójkąta równobocznego ADC oznaczasz przez. = Jest to jednocześnie długość przeciwprostokątnej trójkąta ABC, czyli najdłuższego jego boku. 4. Zauważasz, że dłuższa przyprostokątna trójkąta ABC, jest jednocześnie wysokością trójkąta równobocznego ADC i z treści zadania ma ona długość 8 cm. 5. Wykorzystując wzór na wysokość trójkąta równobocznego: oraz to, że h = 8 cm, masz, że: h = 3 8 = 3 / 16 = 3 / = 3 /: Spostrzegasz, że krótsza przyprostokątna trójkąta ABC, to połowa boku trójkąta równobocznego ADC. = =. = 8 = 4 cm Odp.: Przeciwprostokątna tego trójkąta ma długość cm, zaś krótsza jego przyprostokątna ma długość 4 cm. Zadanie: Dany jest trójkąt prostokątny ABC w którym kąt przy wierzchołku B ma miarę 30, a dłuższa jego przyprostokątna ma długość 4 5 cm. Jakie długości mają dwa pozostałe boki tego trójkąta? 1. Zauważasz, że trójkąt ABC to połowa trójkąta równobocznego CDB.. Dorysowujesz jego lustrzane odbicie zawsze względem dłuższej przyprostokątnej. 3. Długość boku powstałego trójkąta równobocznego oznaczasz przez. = Jest to jednocześnie długość przeciwprostokątnej trójkąta ABC, czyli najdłuższego jego boku. 4. Zauważasz, że dłuższa przyprostokątna trójkąta ABC, to wysokość h trójkąta równobocznego DBC i w myśl treści zadania ma ona długość 4 5 cm. Zatem ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego, masz, że: Wersja z dnia Związki miarowe w trójkącie prostokątnym strona 14

15 h = = 3 / 8 5 = 3 / = 3 /: = 5. Ponieważ = 1 więc: Odpowiedź: Pozostałe boki tego trójkąta mają długości: = = cm i Zobacz teraz jak krótkie jest rozwiązywanie tego typu zadań bez komentarza słownego. cm. Zadanie: Kąt nachylenia wydmy piaskowej na pustyni wynosi 30. Jaka jest wysokość tej wydmy, jeśli długość jej zbocza wynosi 40 m? Rozwiązanie = 1 = 1 40 m = 10 m Odpowiedź: Po przejechaniu 40 m, kierowca wzniesie się o 10 m. Zadanie: Skarpa jest nachylona pod kątem 60 do podłoża. Jaka jest wysokość tej skarpy, jeśli długość jej zbocza wynosi 40 m? Wynik zaokrąglij do rzędu jedności, przyjmując, że 3 1,73. Rozwiązanie = 3 = 3 40 m = 10 3, m 10 1, m Odpowiedź: Po przejechaniu 40 m, kierowca wzniesie się mniej więcej o 363 metry. Wersja z dnia Związki miarowe w trójkącie prostokątnym strona 15

16 Uwaga. Należy zwracać uwagę na to, czy w treści zadania jest podane zaokrąglenie pierwiastka, czy nie. Jeśli nie, to najpierw trzeba zapisać wynik z symbolem pierwiastka i np. za pomocą kalkulatora podać jego przybliżenie. Jeśli zaś w treści zadania jest podane przybliżenie pierwiastka, to po otrzymaniu wyniku końcowego, trzeba dany pierwiastek zastąpić liczbą która jest w treści zadania, a nie jej odpowiednikiem z kalkulatora. Wnioski z tego tematu: Jeśli w trójkącie o kątach 30, 60, 90 długość najkrótszego boku oznaczymy przez, to długość najdłuższego z nich będzie wynosić, zaś trzeciego 3. Jeśli w trójkącie o kątach 30, 60, 90 długość najdłuższego boku oznaczymy przez, to długość najkrótszego z nich będzie wynosić, zaś trzeciego. Dany jest trójkąt równoboczny ADC w którym AC = 8 cm. Jaką długość ma wysokość CB tego trójkąta? [Odp. 4 3 cm] Dany jest trójkąt równoboczny ADC w którym AC = 3,6 cm. Jaką długość ma wysokość CB tego trójkąta? [Odp. 1,8 3 cm] Dany jest trójkąt równoboczny ADC w którym AC = 3 cm. Jaką długość ma wysokość CB tego trójkąta? [Odp. 1,5 cm] Dany jest trójkąt równoboczny ADC w którym AC = cm. Jaką długość ma wysokość CB tego trójkąta? [Odp. cm] Wysokość CB trójkąta równobocznego ADC wynosi 8 cm. Jaką długość ma bok tego trójkąta? Jaką długość ma odcinek AB? [Odp. cm] Wysokość CB trójkąta równobocznego ADC wynosi 3,6 cm. Jaką długość ma bok tego trójkąta? Jaką długość ma odcinek AB? [Odp.,4 3 cm] Wysokość CB trójkąta równobocznego ADC wynosi 3 cm. Jaką długość ma bok tego trójkąta? Jaką długość ma odcinek AB? [Odp. cm] Wysokość CB trójkąta równobocznego ADC wynosi cm. Jaką długość ma bok tego trójkąta? Jaką długość ma odcinek AB? Wynik zaokrąglij do rzędu części dziesiątych, przyjmując, że 3 1,73. [Odp. 0,5 cm; 0, cm] W trójkącie równobocznym ADC, połowa długości podstawy wynosi 6 cm. Jaką długość ma wysokość CB tego trójkąta? [Odp. 6 3 cm] W trójkącie równobocznym ADC, połowa długości podstawy wynosi 4,8 cm. Jaką długość ma wysokość CB tego trójkąta? [Odp. 4,8 3 cm] W trójkącie równobocznym ADC, połowa długości podstawy wynosi cm. Jaką długość ma wysokość CB tego trójkąta? Wynik zaokrąglij do rzędu części setnych, przyjmując, że 3 1,73. [Odp. 0,79 cm] W trójkącie o kątach 30, 60, 90 najdłuższy bok ma długość 1 cm. Jakie długości mają pozostałe boki tego trójkąta? [Podpowiedź. Dorysuj do niego w drugi identyczny trójkąt w taki sposób, by powstał trójkąt równoboczny. Odp. 6 cm, 6 3 cm] Jeden z kątów ostrych trójkąta prostokątnego ABC wynosi 30. Ile wynosi obwód tego trójkąta, jeśli długość jego przeciwprostokątnej jest równa 0 cm? [Odp cm] Jeden z kątów ostrych trójkąta prostokątnego ABC wynosi 60. Ile wynosi obwód tego trójkąta, jeśli długość jego przeciwprostokątnej jest równa 4 5 cm? [Podpowiedź. 5 3 = 15. Odp cm] Jeden z kątów ostrych trójkąta prostokątnego ABC wynosi 60. Ile wynosi obwód tego trójkąta, jeśli długość jego przeciwprostokątnej jest równa 5 3 cm? [7,5 + 7,5 3 cm] Wersja z dnia Związki miarowe w trójkącie prostokątnym strona 16

17 W trójkącie o kątach 30, 60, 90 najkrótszy bok ma długość 4 cm. Jakie długości mają pozostałe boki tego trójkąta? [Podpowiedź. Dorysuj do niego w drugi identyczny trójkąt w taki sposób, by powstał trójkąt równoboczny. Odp. 4 3 cm, 8 cm] W trójkącie ABC, kąt przy wierzchołku A wynosi 90, a przy wierzchołku B jest równy 30. Jaką długość ma odcinek AB, jeśli AC = 17 cm? [Odp. 8,5 3 cm] W trójkącie ABC, kąt przy wierzchołku A wynosi 90, a przy wierzchołku B jest równy 30. Jaką długość ma odcinek AB, jeśli AC = 5 6 cm? [Podpowiedź. 6 3 = 18 = 9 = 3. Odp. 5 cm] W trójkącie o kątach 90, 30, 60 krótsza przyprostokątna ma długość 7 cm. Ile wynosi obwód tego trójkąta? [Odp cm] W trójkącie prostokątnym o kącie ostrym 60, wysokość opuszczona na krótszą przyprostokątną ma długość 6 cm. Jakie długości mają boki tego trójkąta? [Odp. 4 3 cm; 3 cm; 6 cm] W trójkącie prostokątnym o kącie ostrym 60, wysokość opuszczona na krótszą przyprostokątną ma długość 6 11 cm. Jakie długości mają boki tego trójkąta? [Odp cm, 4 33 cm, 33 cm] W trójkącie prostokątnym o kącie ostrym 60, wysokość opuszczona na dłuższą przyprostokątną ma długość 18 cm. Jakie długości mają boki tego trójkąta? [Odp. 18 cm, 1 3 cm, 6 3 cm] W trójkącie prostokątnym o kącie ostrym 60, wysokość opuszczona na dłuższą przyprostokątną ma długość 7 13 cm. Jakie długości mają boki tego trójkąta? [Odp cm, cm] cm, W trójkącie o kątach 30, 60, 90 bok leżący naprzeciw kąta 60 ma długość 10 cm. Jakie długości mają pozostałe boki tego trójkąta? [Odp. 10 cm, cm] cm, W trójkącie o kątach 30, 60, 90 bok leżący naprzeciw kąta 30 ma długość 10 cm. Jakie długości mają pozostałe boki tego trójkąta? [Odp. 10 cm, 0 cm, 10 3 cm] Zadanie: W trójkącie równoramiennym kąt rozwarty ma miarę 10. Ile wynosi pole i obwód tego trójkąta, jeśli wiadomo, że długość ramienia wynosi 1 cm? Rozwiązanie = 1 = 1 = 1 cm = 1 3 cm 1 cm = 3 4 cm 0,43 cm = 3 = 1 3 cm = = 1 3 cm = 3 cm = 3 cm = 0,5 3 cm. = +. = 3 cm + 1 cm = 3 + cm 3,73 cm. = + 3 cm Odpowiedź. Pole tego trójkąta wynosi 0,5 3 cm a obwód + 3 cm. Wersja z dnia Związki miarowe w trójkącie prostokątnym strona 17

18 Uwaga. Zadanie można było rozwiązać bez konieczności wyliczania długości odcinka CD. Jeśli zauważysz, że pole dwóch trójkątów o kątach 30, 60, 90 jest równe polu trójkąta równobocznego o boku, to do wyliczenia pola można było skorzystać ze wzoru: =. Aby zaś obliczyć długość odcinka DB w celu wyliczenia obwodu, można było wykorzystać wzór: =. W trójkącie o kątach 10, 30, 30 najdłuższy bok ma długość 9 cm. Ile wynosi pole i obwód tego trójkąta? [Podpowiedź. Narysuj w tym trójkącie wysokość opuszczoną na najdłuższy bok. Jakie kąty mają powstałe trójkąty? Odp.. = cm, = 6,75 3 cm.] W trójkącie równoramiennym kąt między ramionami wynosi 10. Ile wynosi pole i obwód tego trójkąta, jeśli dwusieczna kąta rozwartego dzieli przeciwległy bok na odcinki po 3 5 cm? [Podpowiedź. 5 3 = 15. Odp.. = cm, = 3,75 3 cm.] Dany jest sześciokąt mający przy każdym wierzchołku kąt 10. Jakie jest pole tego sześciokąta, jeśli długość promienia okręgu opisanego na nim wynosi 7 cm? [Podpowiedź. Połącz wszystkie przeciwległe wierzchołki. Jakie kąty mają powstałe trójkąty? Odp. = 73,5 3 cm.] Dany jest sześciokąt mający przy każdym wierzchołku kąt 10. Jakie jest pole tego sześciokąta, jeśli długość promienia okręgu wpisanego w niego wynosi 7 cm? [Podpowiedź. Połącz wszystkie przeciwległe wierzchołki. Jakie kąty mają powstałe trójkąty? Odp. = 98 3 cm ] Kąt ABC = 10. Ile wynosi odległość między punktami A i C jeśli AB = BC = 15 cm? [Odp. 7,5 3 cm] Kąt ABC = 10. Ile wynosi odległość między punktami A i C jeśli AB = BC = 11 7 cm? [Odp. 5,5 1 cm] Kąt ABC = 10. Ile wynosi odległość od punktu B do prostej AC, jeśli AB = BC = 13 cm? [Odp. 6,5 3 cm] Kąt ABC = 10. Ile wynosi odległość od punktu B do prostej AC, jeśli AB = BC = 8 10 cm? [Odp cm] Trójkąt równoramienny ABC w którym kąt przy wierzchołku C wynosi 10, przekształcono jednokładnie względem wierzchołka C na trójkąt DEC. Ile wynosi pole i obwód trójkąta ABC, jeśli skala jednokładności = 3, a DE = 1 cm? [ = cm,. = 4 + cm] Trójkąt równoramienny ABC w którym kąt przy wierzchołku C wynosi 10, przekształcono jednokładnie względem wierzchołka C na trójkąt DEC. Ile wynosi pole i obwód trójkąta ABC, jeśli skala jednokładności = 3, a CD = 3 cm? [Podpowiedź. =. Odp. = 0,5 3 cm,. = + 3 cm] Trójkąt równoramienny ABC w którym kąt przy wierzchołku C wynosi 10, przekształcono jednokładnie względem wierzchołka C na trójkąt DEC. Ile wynosi pole i obwód trójkąta ABC, jeśli skala jednokładności = 3, a AD = 6 cm? [Podpowiedź. =. Odp. =,5 3 cm,. = cm] Zadanie: W trójkącie rozwartokątnym ABC, kąt przy wierzchołku C ma miarę 10, AC = 5 cm, BC = 7 cm. Oblicz pole i obwód tego trójkąta. [Podpowiedź. Przedłuż bok AC w taki sposób by móc opuścić na niego wysokość z wierzchołka B. Jakie kąty ma dorysowany trójkąt? Ile wynosi jego pole? Do wyliczenia najdłuższego boku trójkąta ABC wykorzystaj twierdzenie Pitagorasa.] Rozwiązanie = = 1 = 7 cm = 3 = 7 3 cm Wersja z dnia Związki miarowe w trójkącie prostokątnym strona 18

19 = + = 5 cm + 7 cm = 10 cm + 7 cm = 17 cm = 1 = 1 17 cm cm = 8 = 3 4 = cm = cm cm = cm cm = cm cm = cm,73 cm = + = 17 3 cm cm = cm cm = = cm cm = = + + cm. = 1014 cm + 7 cm + 5 cm = cm 7,9 cm Odpowiedź. Pole tego trójkąta wynosi cm a obwód 1 + cm. Zadanie: Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym o kątach ostrych 30 i 60 wynosi 5 cm. Jakie długości mają boki tego trójkąta? [Podpowiedź. Środek okręgu opisanego na dowolnym trójkącie prostokątnym leży zawsze w połowie przeciwprostokątnej.] Rozwiązanie = = 10 cm = 1 = 5 cm = 3 = 5 3 cm Odpowiedź. Długości boków tego trójkąta to: 10 cm, 5 cm, 5 3 cm. W zadaniu powyższym długość odcinka AB można było szybciej wyliczyć gdyby zawczasu zauważyć, że trójkąt SAB jest równoboczny CAS jest równoramienny, więc SCA = CAS = 30. Zatem SAB = CAB CAS = 60 lub równoważnie: AS = SB i SBA = 60, więc SAB = 60 oraz ASB = 60 co oznacza że ABS jest równoboczny. Wersja z dnia Związki miarowe w trójkącie prostokątnym strona 19

20 Ile wynosi pole i obwód trójkąta prostokątnego o kącie ostrym 30 jeśli najkrótszy bok ma długość 9 cm? [ = 81 3 cm,. = cm] Ile wynosi pole i obwód trójkąta prostokątnego o kącie ostrym 30 jeśli najdłuższy bok ma długość 9 cm? [ = 0,5 3 cm,. = 13,5 + 4,5 3 cm] Trójkąt ABC, gdzie A = 90, B = 30 przekształcono przez jednokładność w skali k = 4 względem wierzchołka A na trójkąt AEF. Oblicz pole i obwód trójkąta ABC, jeśli odległość między punktami E i F wynosi 1 cm. [ =,5 3 cm,. = 4,5 + 1,5 3 cm] Jaką odległość pokonał kierowca jadący drogą wznoszącą się pod kątem 30, jeśli wzniósł się o 1 m? Wynik zaokrąglij do rzędu części dziesiątych. [Odp. 4,0 m] Jaką odległość pokonał kierowca jadący drogą wznoszącą się pod kątem 60, jeśli wzniósł się o 8 m? Wynik zaokrąglij do rzędu części dziesiątych. [Odp. 9, m] W pewnym miejscu spadek terenu wynosi 30. Jaka jest długość tego spadku, jeśli jego wysokość ma 3 m? Wynik zaokrąglij do rzędu jedności. [Odp. 6 m] W pewnym miejscu spadek terenu wynosi 60. Jaka jest długość tego spadku, jeśli jego wysokość ma 10 m? Wynik zaokrąglij do rzędu jedności. [Odp. 1 m] Zadanie: Przekrój poprzeczny nasypu jest trapezem o kątach ostrych 30 i 60. Jaka jest długość podstawy dolnej tego trapezu, jeśli jego wysokość wynosi m a długość krótszej podstawy wynosi 3 m? Wynik zaokrąglij do rzędu części setnych. Z wierzchołków D i C opuszczam wysokości DE i CF na najdłuższą podstawę. Spostrzegam, że trójkąty AGD i CHB są równoboczne. Rozwiązanie = = 3 m = 3 m = 3 / 3 3 m = 3 /: m = = 3 3 = = m = 3 = 3 m = m + 3 m + 3 m = 3 m m m = m 7,6 m 3 Odpowiedź. Długość podstawy dolnej tego trapezu wynosi około 7,6 m. Wersja z dnia Związki miarowe w trójkącie prostokątnym strona 0

21 Przekrój poprzeczny nasypu jest trapezem o kątach ostrych po 30. Jaka jest długość podstawy dolnej tego trapezu, jeśli długości jego ramion wynoszą po m, a długość krótszej podstawy wynosi 1 m? Wynik zaokrąglij do rzędu części setnych. [Odp. 4,46 m] Przekrój poprzeczny nasypu jest trapezem o kątach ostrych po 60. Jaka jest długość podstawy dolnej tego trapezu, jeśli długości jego ramion wynoszą po m, a długość krótszej podstawy wynosi 1 m? Wynik zaokrąglij do rzędu części dziesiętnych. [Odp. 3,0 m] Przekrój poprzeczny nasypu jest trapezem o kątach ostrych 30 i 60. Jaka jest długość podstawy dolnej tego trapezu, jeśli długości jego ramion mają wynoszą odpowiednio m i 3 m, a długość krótszej podstawy wynosi 1 m? Wynik zaokrąglij do rzędu części dziesiątych. [Odp. 4, m.] Przekrój poprzeczny nasypu jest trapezem o kątach ostrych 30 i 60. Jaka jest długość podstawy dolnej tego trapezu, jeśli jego wysokość wynosi,5 m a długość krótszej podstawy wynosi 3,5 m? Wynik zaokrąglij do rzędu części setnych. [Odp. 9,7 m] Przekrój poprzeczny koryta rzeki jest trapezem równoramiennym o kątach ostrych po 60. Ile wynosi wysokość tego koryta, jeśli długość jego boku wynosi 4 m? Wynik zaokrąglij do rzędu części dziesiątych. [Odp. 3,5 m] Oblicz obwód i pole trapezu prostokątnego w którym kąt ostry ma miarę 60, dłuższa podstawa ma długość 13 cm, a krótsza 7 cm. [Odp. Obw. = 44 cm, P = 60 3 cm.] Oblicz obwód i pole trapezu prostokątnego w którym kąt ostry ma miarę 30, dłuższa podstawa ma długość 13 cm, a krótsza 7 cm. [Odp. Obw. = cm, P = 0 3 cm.] W trapezie prostokątnym o kącie ostrym 30, długość wysokości wynosi 3 cm, a dłuższa podstawa ma długość 6 cm. Oblicz długości pozostałych boków tego trapezu oraz podaj zaokrągloną do rzędu części setnych długość krótszej podstawy. [Odp. 6 cm, ,80 cm] W trapezie prostokątnym o kącie ostrym 60, długość wysokości wynosi 3 cm, a krótsza podstawa ma długość 6 cm. Oblicz długości pozostałych boków tego trapezu. Ile wynosi obwód tego trapezu, jeśli przyjmiemy, że 3 1,73? [Odp cm, 3 cm,. 0,19 cm] W trapezie prostokątnym o kącie ostrym 30, obwód jest równy cm, a podstawa dolna jest 4 razy dłuższa od podstawy górnej. Oblicz długości boków tego trapezu. [Podpowiedź. Uzależnij długości wszystkich boków od długości krótszej podstawy. Odp. 3 cm, 1 cm, cm, cm.] W trapezie prostokątnym o kącie ostrym 60, obwód jest równy cm, a podstawa dolna jest 4 razy dłuższa od podstawy górnej. Oblicz długości boków tego trapezu. [Podpowiedź. Uzależnij długości wszystkich boków od długości krótszej podstawy. Odp. 3 cm, 1 cm, 9 3 cm, 18 cm.] W trapezie prostokątnym o kącie ostrym 30, obwód jest równy cm, a stosunek podstawy dolnej do górnej wynosi 5 : 3. Oblicz długości boków tego trapezu. [Podpowiedź. Uzależnij długości wszystkich boków od jednej zmiennej. Odp. 18 cm, 30 cm, 4 3 cm, 8 3 cm.] W trapezie prostokątnym o kącie ostrym 60, obwód jest równy cm, a stosunek podstawy dolnej do górnej wynosi 5 : 3. Oblicz długości boków tego trapezu. [Podpowiedź. Uzależnij długości wszystkich boków od jednej zmiennej. Odp. 18 cm, 30 cm, 4 cm, 1 3 cm.] W trapezie prostokątnym ABCD kąty przy wierzchołkach A, C, D są proste. Jakie długości mają boki tego trapezu, jeśli wiadomo, że jedna z przekątnych jest nachylona do podstawy pod kątem 30 i ma długość 5 cm? [Odp.,5 3 i,5 cm.] W trapezie prostokątnym ABCD kąty przy wierzchołkach A, C, D są proste. Jakie długości mają boki tego trapezu, jeśli wiadomo, że jedna z przekątnych jest nachylona do podstawy pod kątem 60 i ma długość 5 cm? [Odp.,5 3 i,5 cm.] W trapezie równoramiennym kąt rozwarty ma 150. Jedna z jego podstaw ma długość 0 cm, a druga jest od niej dłuższa o 15%. Oblicz obwód i pole tego trapezu. [ = 10,75 3 cm,. = cm] W trapezie równoramiennym kąt rozwarty ma 150. Jedna z jego podstaw ma długość 0 cm, a druga jest od niej krótsza o 15%. Oblicz obwód i pole tego trapezu. [ = 9,5 3 cm,. = cm] Wersja z dnia Związki miarowe w trójkącie prostokątnym strona 1

22 Zadanie: W okręgu o promieniu 0,5 cm poprowadzono dwie średnice: AC i BD przecinające się pod kątem 60. Oblicz pole i obwód czworokąta ABCD. [Podpowiedź. Jakie kąty ma trójkąt ABD?] Rozwiązanie Ponieważ kąty przy wierzchołkach: A, B, C, D opierają się na średnicy okręgu, więc mają po 90. Zatem czworokąt ABCD to prostokąt, a średnice AC i BD to jego przekątne. Ponieważ odcinki SA i SB są równe (promienie okręgu), więc trójkąt ASD jest równoramienny. Skoro kąt między ramionami tego trójkąta wynosi 60, więc kąty przy podstawie AD muszą być równe i wynosić po 60. Zatem trójkąt ASD jest równoboczny. Z tego, że kąt ADS wynosi 60 i kąt DAB jest równy 90 wynika, że kąt ABD ma miarę 30. Zatem trójkąt ABD to połowa trójkąta równobocznego DEB. = = 0,5 cm. = 0,5 = 3 cm = 0,5 3 cm = = 0,5 cm 0,5 3 cm = 0,5 3 cm 0,43 cm cm + 0,5. = + 3 cm = 1 cm + 3 cm = cm Odpowiedź. Pole tego czworokąta wynosi 0,5 3 cm, a jego obwód cm. Prosta łącząca środki dwóch okręgów o promieniach r = 5 cm i R = 40 cm przecina się ze styczną do tych okręgów pod kątem 30. Oblicz jaka jest odległość między środkami tych okręgów. Rozpatrz dwa przypadki tj. gdy punkt przecięcia tych prostych leży poza tymi okręgami oraz między nimi. [Podpowiedź. Dopatrz się jednokładnych trójkątów równobocznych. Odp. 70 cm lub cm.] Ze środka dolnej podstawy trapezu równoramiennego zakreślono okrąg przechodzący przez wszystkie jego wierzchołki. Ile wynosi obwód i pole tego trapezu w zaokrągleniu do rzędu jedności, jeśli średnica tego okręgu wynosi 31 cm, a kąt ostry trapezu jest równy 60? [Podpowiedź. Połącz wszystkie wierzchołki tego trapezu ze środkiem okręgu i poszukaj trójkątów równoramiennych. Jakie kąty mają powstałe trójkąty? Odp. Obw. = 77,5 cm, P 31 cm.] Krótsza przekątna deltoidu o długości 10 cm, podzieliła go na dwa trójkąty, z których jeden ma wszystkie kąty po 60, a drugi ma dwa kąty po 45. Ile wynosi obwód tego deltoidu? [Odp cm] Rozwiązując jakiekolwiek zadania z zakresu geometrii, może zdarzyć się również tak, że autor zadania wykona rysunek wraz z oznaczeniami i na jego podstawie trzeba będzie coś policzyć. Może też precyzyjnie opisać jak ma wyglądać taki rysunek i jakie ma mieć oznaczenia. Haczyk tkwi w tym, że może on narzucić inne oznaczenia np. długości odcinków niż te do których jesteśmy przyzwyczajeni. Może np. oznaczyć długość boku kwadratu np. literką, promień okręgu literką przypuśćmy, a długość wysokości np. trójkąta równobocznego literką. W takim przypadku przykładowe wzory dla tych figur, będą wyglądać odpowiednio: =, =, = gdzie to długość boku trójkąta równobocznego. Bezmyślne stosowanie w takich zadaniach wzorów do których jesteśmy przyzwyczajeni da oczywiście błędne wyniki i 0 punktów za tak rozwiązane zadanie. Prześledźmy teraz zadanie, które wymusza na osobie go rozwiązującej zastosowanie wzoru dostosowanego do treści zadania, a nie takiego do którego się przywykło. Wersja z dnia Związki miarowe w trójkącie prostokątnym strona

23 Zadanie: Dany jest trójkąt ABC. Wiedząc, że naprzeciw wierzchołka A jest bok o długości a, naprzeciw B jest bok o długości b, zaś naprzeciw C jest c, uzupełnij tabelkę wykonując stosowne obliczenia. Rozwiązanie A B C a b c a) cm b) cm c) cm a) Odcinek AC (o długości ) jest wysokością trójkąta równobocznego ABD (o boku długości ). Zatem: = lub = 4 5 cm = 3 / 8 5 cm = 3 / cm = 3 /: 3 cm = Skoro =, więc = cm = cm b) Odcinek AB (o długości ) jest wysokością trójkąta równobocznego ADC (o boku długości ). Zatem: = lub = 5 cm = 3 / 10 cm = 3 / cm = 3 /: 3 cm = Skoro =, więc = cm = cm c) Odcinek AB (o długości ) jest przekątną kwadratu ADBC (o boku długości ). Zatem: = = 7 cm 5,9 cm = = 7 cm = 14 cm 7,48 cm Wersja z dnia Związki miarowe w trójkącie prostokątnym strona 3

Planimetria VII. Wymagania egzaminacyjne:

Planimetria VII. Wymagania egzaminacyjne: Wymagania egzaminacyjne: a) korzysta ze związków między kątem środkowym, kątem wpisanym i kątem między styczną a cięciwą okręgu, b) wykorzystuje własności figur podobnych w zadaniach, w tym umieszczonych

Bardziej szczegółowo

Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej.

Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej. C Trójkąty Zad. 0 W trójkącie ABC, AB=40, BC=23, wyznacz AC wiedząc że jest ono sześcianem liczby naturalnej. Zad. 1 Oblicz pole trójkąta o bokach 13 cm, 14 cm, 15cm. Zad. 2 W trójkącie ABC rys. 1 kąty

Bardziej szczegółowo

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2).

11. Znajdż równanie prostej prostopadłej do prostej k i przechodzącej przez punkt A = (2;2). 1. Narysuj poniższe figury: a), b), c) 2. Punkty A = (0;1) oraz B = (-1;0) należą do okręgu którego środek należy do prostej o równaniu x-2 = 0. Podaj równanie okręgu. 3. Znaleźć równanie okręgu przechodzącego

Bardziej szczegółowo

Klasa III technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień I. CIĄGI LICZBOWE 1. Pojęcie ciągu liczbowego. b) a n =

Klasa III technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień I. CIĄGI LICZBOWE 1. Pojęcie ciągu liczbowego. b) a n = /9 Narysuj wykres ciągu (a n ) o wyrazie ogólnym: I. CIĄGI LICZBOWE. Pojęcie ciągu liczbowego. a) a n =5n dla n

Bardziej szczegółowo

Matematyka podstawowa VII Planimetria Teoria

Matematyka podstawowa VII Planimetria Teoria Matematyka podstawowa VII Planimetria Teoria 1. Rodzaje kątów: a) Kąty wierzchołkowe; tworzą je dwie przecinające się proste, mają takie same miary. b) Kąty przyległe; mają wspólne jedno ramię, ich suma

Bardziej szczegółowo

Klasa 3. Trójkąty. 1. Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne p i q oraz przeciwprostokątną r. Z twierdzenia Pitagorasa wynika równość:

Klasa 3. Trójkąty. 1. Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne p i q oraz przeciwprostokątną r. Z twierdzenia Pitagorasa wynika równość: Klasa 3. Trójkąty. 1. Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne p i q oraz przeciwprostokątną r. Z twierdzenia Pitagorasa wynika równość: A. r 2 + q 2 = p 2 B. p 2 + r 2 = q 2 C. p 2 + q 2 = r 2 D. p + q

Bardziej szczegółowo

Planimetria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie

Planimetria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie Planimetria poziom podstawowy (opracowanie: Mirosława Gałdyś na bazie http://www.zadania.info/) 1. W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona na przeciwprostokątną ma długość 10 cm, a promień okręgu

Bardziej szczegółowo

2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia.

2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia. 1. Wykaż, że liczba 2 2 jest odwrotnością liczby 1 2. 2. Wykaż, że dla dowolnej wartości zmiennej x wartość liczbowa wyrażenia (x 6)(x + 8) 2(x 25) jest dodatnia. 3. Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej

Bardziej szczegółowo

Bukiety matematyczne dla gimnazjum

Bukiety matematyczne dla gimnazjum Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 5 IX rok 2003/2004 Bukiet 1 1. W trójkącie ABC prosta równoległa do boku AB przecina boki AC i BC odpowiednio w punktach D i E. Zauważ,

Bardziej szczegółowo

Zadanie PP-GP-1 Punkty A, B, C, D i E leżą na okręgu (zob. rysunek). Wiadomo, że DBE = 10

Zadanie PP-GP-1 Punkty A, B, C, D i E leżą na okręgu (zob. rysunek). Wiadomo, że DBE = 10 Zadanie PP-GP-1 Punkty A, B, C, D i E leżą na okręgu (zob. rysunek). Wiadomo, że DBE = 10, ACE = 60, ADB = 40 i BEC = 20. Oblicz miarę kąta CAD. B C A D E Typ szkoły: LO LP T Czy jesteś w klasie z rozszerzonym

Bardziej szczegółowo

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I A LO (Rok szkolny 2015/16)

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I A LO (Rok szkolny 2015/16) Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki dla klasy I A LO (Rok szkolny 05/6) Wykaz zakładanych osiągnięć ucznia klasy I liceum (osiągnięcia ucznia w zakresie podstawowym) I. Liczby rzeczywiste. Język

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia

Bardziej szczegółowo

Geometria. Zadanie 1. Liczba przekątnych pięciokąta foremnego jest równa A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

Geometria. Zadanie 1. Liczba przekątnych pięciokąta foremnego jest równa A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 Geometria Zadanie 1. Liczba przekątnych pięciokąta foremnego jest równa A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 W tym przypadku możemy wykonać szkic pięciokąta i policzyć przekątne: Zadanie. Promień okręgu opisanego na kwadracie

Bardziej szczegółowo

7. PLANIMETRIA.GEOMETRIA ANALITYCZNA

7. PLANIMETRIA.GEOMETRIA ANALITYCZNA 7. PLANIMETRIA.GEOMETRIA ANALITYCZNA ZADANIA ZAMKNIĘTE 1. Okrąg o równaniu : A) nie przecina osi, B) nie przecina osi, C) przechodzi przez początek układu współrzędnych, D) przechodzi przez punkt. 2. Stosunek

Bardziej szczegółowo

Mini tablice matematyczne. Figury geometryczne

Mini tablice matematyczne. Figury geometryczne Mini tablice matematyczne Figury geometryczne Spis treści Własności kwadratu Ciekawostka:Kwadrat magiczny Prostokąt Własności prostokąta Trapez Własności trapezu Równoległobok Własności równoległoboku

Bardziej szczegółowo

Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących

Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt dla ucznia Planimetria: 5.

Bardziej szczegółowo

Praca klasowa nr 2 - figury geometryczne (klasa 6)

Praca klasowa nr 2 - figury geometryczne (klasa 6) Praca klasowa nr 2 - figury geometryczne (klasa 6) MARIUSZ WRÓBLEWSKI IMIĘ I NAZWISKO: KLASA: GRUPA A 1. Dany jest równoległobok ABCD. Narysuj za pomocą linijki i ekierki odcinek BF prostopadły do odcinka

Bardziej szczegółowo

Dział I FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE

Dział I FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE MATEMATYKA ZAKRES PODSTAWOWY Rok szkolny 01/013 Klasa: III Nauczyciel: Mirosław Kołomyjski Dział I FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Lp. Zagadnienie Osiągnięcia ucznia. 1. Miara kąta. Sprawnie operuje pojęciami:

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM Na ocenę dopuszczającą uczeń umie : WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM stosować cztery podstawowe działania na liczbach wymiernych, zna kolejność wykonywania działań

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3 DEFINICJE PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3 Czworokąt to wielokąt o 4 bokach i 4 kątach. Przekątną czworokąta nazywamy odcinek łączący przeciwległe wierzchołki. Wysokością czworokąta nazywamy

Bardziej szczegółowo

9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie

9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie 9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie cosinusów, twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym, okrąg wpisany i opisany na wielokącie, wielokąty foremne (c.d).

Bardziej szczegółowo

Bukiety matematyczne dla gimnazjum

Bukiety matematyczne dla gimnazjum Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 1 X 2002 Bukiet I Dany jest prostokąt o bokach wymiernych a, b, którego obwód O i pole P są całkowite. 1. Sprawdź, że zachodzi równość

Bardziej szczegółowo

Wielokąty i Okręgi- zagadnienia

Wielokąty i Okręgi- zagadnienia Wielokąty i Okręgi- zagadnienia 1. Okrąg opisany na trójkącie. na każdym trójkącie można opisać okrąg, środkiem okręgu opisanego na trójkącie jest punkt przecięcia symetralnych boków tego trójkąta, jeżeli

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ

KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ TREŚCI KSZTAŁCENIA WYMAGANIA PODSTAWOWE WYMAGANIA PONADPODSTAWOWE Liczby wymierne i

Bardziej szczegółowo

Zadania na dowodzenie Opracowała: Ewa Ślubowska

Zadania na dowodzenie Opracowała: Ewa Ślubowska Egzamin Gimnazjalny Zadania na dowodzenie Opracowała: Ewa Ślubowska W nauczaniu matematyki ważne jest rozwijanie różnych aktywności umysłu. Ma temu służyć min. rozwiązywanie jednego zadania czy dowodzenie

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne rozpoznaje figury podobne zna własności figur podobnych rozpoznaje trójkąty prostokątne podobne Rozdział 6. Figury podobne zna cechy podobieństwa trójkątów prostokątnych podobnych podaje skalę podobieństwa

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. W trapezie ABCD poprowadzono przekątne, które podzieliły go na cztery trójkąty. Mając dane pole S 1

Zadanie 1. W trapezie ABCD poprowadzono przekątne, które podzieliły go na cztery trójkąty. Mając dane pole S 1 Zadanie. W trapezie ABCD poprowadzono przekątne, które podzieliły go na cztery trójkąty. Mając dane pole S i S 2 obliczyć pole trapezu ABCD. Zadanie 2. Mamy trapez, w którym suma kątów przy dłuższej podstawie

Bardziej szczegółowo

V Międzyszkolny Konkurs Matematyczny

V Międzyszkolny Konkurs Matematyczny V Międzyszkolny Konkurs Matematyczny im. Stefana Banacha dla uczniów szkół średnich Zespół Szkół Nr 1 im. Adama Mickiewicza w Lublińcu 42-700 Lubliniec, ul. Sobieskiego 22 18. kwiecień 2011 rok 1. W trapezie

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY Rozwiązania zadań Arkusz maturalny z matematyki nr POZIOM PODSTAWOWY Zadanie (pkt) Sposób I Skoro liczba jest środkiem przedziału, więc odległość punktu x od zapisujemy przy pomocy wartości bezwzględnej.

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE DRUGIEJ GIMNAZJUM. rok szkolny 2016/2017

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE DRUGIEJ GIMNAZJUM. rok szkolny 2016/2017 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MAYKI W KLASIE DRUGIEJ GIMNAZJUM rok szkolny 2016/2017 POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K konieczny - ocena dopuszczająca (2) P podstawowy - ocena dostateczna (3) R rozszerzający -

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania Wymagania na poszczególne oceny,,liczy się matematyka

Przedmiotowy system oceniania Wymagania na poszczególne oceny,,liczy się matematyka Przedmiotowy system oceniania Wymagania na poszczególne oceny,,liczy się matematyka I. Potęgi i pierwiastki. Klasa II 1. Zapisuje w postaci potęgi iloczyn tych samych czynników i odwrotnie. 2. Oblicza

Bardziej szczegółowo

KRZYŻÓWKA 2. 11. Może być np. równoboczny lub rozwartokątny. Jego pole to a b HASŁO:

KRZYŻÓWKA 2. 11. Może być np. równoboczny lub rozwartokątny. Jego pole to a b HASŁO: KRZYŻÓWKA.Wyznaczają ją dwa punkty.. Jego pole to π r² 3. Jego pole to a a 4.Figura przestrzenna, której podstawą jest dowolny wielokąt, a ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku. 5.Prosta mająca

Bardziej szczegółowo

PYTANIA TEORETYCZNE Z MATEMATYKI

PYTANIA TEORETYCZNE Z MATEMATYKI Zbiory liczbowe: 1. Wymień znane Ci zbiory liczbowe. 2. Co to są liczby rzeczywiste? 3. Co to są liczby naturalne? 4. Co to są liczby całkowite? 5. Co to są liczby wymierne? 6. Co to są liczby niewymierne?

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0, C. 0. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI. Do Nauczyciela Regulamin konkursu Zadania

SPIS TREŚCI. Do Nauczyciela Regulamin konkursu Zadania SPIS TREŚCI Do Nauczyciela... 6 Regulamin konkursu... 7 Zadania Liczby i działania... 9 Procenty... 14 Figury geometryczne... 19 Kąty w kole... 24 Wyrażenia algebraiczne... 29 Równania i nierówności...

Bardziej szczegółowo

ZADANIA MATURALNE PLANIMETRIA POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Danuta Brzezińska

ZADANIA MATURALNE PLANIMETRIA POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Danuta Brzezińska ZADANIA MATURALNE PLANIMETRIA POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Danuta Brzezińska Zad.1. ( 1pkt) Kąt środkowy i kąt wpisany są oparte na tym samym łuku. Suma ich miar jest równa. Jaka jest miara kąta środkowego?

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA 3, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0,3 C. 30. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY > Figury płaskie (1) KĄTY. Kąt składa się z ramion i wierzchołka. Jego wielkość jest mierzona w stopniach:

PODSTAWY > Figury płaskie (1) KĄTY. Kąt składa się z ramion i wierzchołka. Jego wielkość jest mierzona w stopniach: PODSTAWY > Figury płaskie (1) KĄTY Kąt składa się z ramion i wierzchołka. Jego wielkość jest mierzona w stopniach: Kąt możemy opisać wpisując w łuk jego miarę (gdy jest znana). Gdy nie znamy miary kąta,

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania

Przedmiotowy system oceniania Przedmiotowy system oceniania gimnazjum - matematyka Opracowała mgr Katarzyna Kukuła 1 MATEMATYKA KRYTERIA OCEN Kryteria oceniania zostały określone przez podanie listy umiejętności, którymi uczeń musi

Bardziej szczegółowo

Końcoworoczne kryteria oceniania dla klasy II z matematyki przygotowały mgr Magdalena Murawska i mgr Iwona Śliczner

Końcoworoczne kryteria oceniania dla klasy II z matematyki przygotowały mgr Magdalena Murawska i mgr Iwona Śliczner Końcoworoczne kryteria oceniania dla klasy II z matematyki przygotowały mgr Magdalena Murawska i mgr Iwona Śliczner Semestr I Rozdział: Potęgi i pierwiastki zapisuje w postaci potęgi iloczyn tych samych

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KL. II GIMNAZJUM

KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KL. II GIMNAZJUM KRYTERIA OCEN Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KL. II GIMNAZJUM POTĘGI I PIERWIASTKI - pojęcie potęgi o wykładniku naturalnym; - wzór na mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach; - wzór na potęgowanie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ W RUDKACH

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ W RUDKACH WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II W PUBLICZNYM GIMNAZJUM NR 2 W ZESPOLE SZKÓŁ W RUDKACH Marzena Zbrożyna DOPUSZCZAJĄCY: Uczeń potrafi: odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA I GIMNAZJUM Małgorzata Janik DOPUSZCZAJĄCY DOSTATECZNY DOBRY BARDZO DOBRY LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej. rozumie rozszerzenie

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA KLASA II GIMNAZJUM - wymagania edukacyjne. DZIAŁ Potęgi

MATEMATYKA KLASA II GIMNAZJUM - wymagania edukacyjne. DZIAŁ Potęgi MATEMATYKA KLASA II GIMNAZJUM - wymagania edukacyjne. (Przyjmuje się, że jednym z warunków koniecznych uzyskania danej oceny jest spełnienie wymagań na wszystkie oceny niższe.) DZIAŁ Potęgi DOPUSZCZAJĄCY

Bardziej szczegółowo

SPRAWDZIAN NR Zaznacz poprawne dokończenie zdania. 2. Narysuj dowolny kąt rozwarty ABC, a następnie przy pomocy dwusiecznych skonstruuj kąt o

SPRAWDZIAN NR Zaznacz poprawne dokończenie zdania. 2. Narysuj dowolny kąt rozwarty ABC, a następnie przy pomocy dwusiecznych skonstruuj kąt o SPRAWDZIAN NR 1 ANNA KLAUZA IMIĘ I NAZWISKO: KLASA: GRUPA A 1. Średnica koła jest o 4 cm dłuższa od promienia. Pole tego koła jest równe 2. Narysuj dowolny kąt rozwarty ABC, a następnie przy pomocy dwusiecznych

Bardziej szczegółowo

Szczegółowe wymagania edukacyjne na poszczególne oceny dla klasy I gimnazjum

Szczegółowe wymagania edukacyjne na poszczególne oceny dla klasy I gimnazjum Szczegółowe wymagania edukacyjne na poszczególne oceny dla klasy I gimnazjum POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K konieczny ocena dopuszczająca DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA pojęcie liczby naturalnej, całkowitej,

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA. WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I, II, III Bożena Tarnowiecka, Arkadiusz Wolski. KLASA I Wymagania

MATEMATYKA. WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I, II, III Bożena Tarnowiecka, Arkadiusz Wolski. KLASA I Wymagania MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE KLASA I, II, III Bożena Tarnowiecka, Arkadiusz Wolski Treści zapisane kursywą (i oznaczone gwiazdką) wykraczają poza podstawę programową. Nauczyciel może je realizować,

Bardziej szczegółowo

1. FUNKCJE DZIAŁ Z PODRĘCZNIKA L.P. NaCoBeZu kryteria sukcesu w języku ucznia

1. FUNKCJE DZIAŁ Z PODRĘCZNIKA L.P. NaCoBeZu kryteria sukcesu w języku ucznia L.P. DZIAŁ Z PODRĘCZNIKA 1. FUNKCJE 2. POTĘGI I PIERWIASTKI NaCoBeZu kryteria sukcesu w języku ucznia 1. Wiem, co to jest układ współrzędnych, potrafię nazwać osie układu. 2. Rysuję układ współrzędnych

Bardziej szczegółowo

Wymagania z matematyki na poszczególne oceny II klasy gimnazjum

Wymagania z matematyki na poszczególne oceny II klasy gimnazjum Wymagania z matematyki na poszczególne oceny II klasy gimnazjum Opracowano na podstawie planu realizacji materiału nauczania matematyki Matematyka Podręcznik do gimnazjum Nowa wersja Praca zbiorowa pod

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r.

Ćwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r. Waldemar ompe echy przystawania trójkątów 1. unkt leży na przekątnej kwadratu (rys. 1). unkty i R są rzutami prostokątnymi punktu odpowiednio na proste i. Wykazać, że = R. R 2. any jest trójkąt ostrokątny,

Bardziej szczegółowo

Klasówka gr. A str. 1/3

Klasówka gr. A str. 1/3 Klasówka gr. A str. 1/3 1. Boki trójkąta ABC mają długości 9 cm, 7cm, 8 cm. Boki trójkąta podobnego A B C w skali 1 2 mają długości: A. 18 cm, 14 cm, 16 cm B. 4 1 2 cm, 3 1 2 cm, 4 cm C. 4 1 2 cm, 7 cm,

Bardziej szczegółowo

wymagania programowe z matematyki kl. II gimnazjum

wymagania programowe z matematyki kl. II gimnazjum wymagania programowe z matematyki kl. II gimnazjum Umie obliczyć potęgę liczby wymiernej o wykładniku naturalnym. 1. Arytmetyka występują potęgi o wykładniku naturalnym. Umie zapisać i porównać duże liczby

Bardziej szczegółowo

SZCZEGÓŁOWY OPIS OSIĄGNIĘĆ NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KLASA DRUGA

SZCZEGÓŁOWY OPIS OSIĄGNIĘĆ NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KLASA DRUGA SZCZEGÓŁOWY OPIS OSIĄGNIĘĆ NA POSZCZEGÓLNE OCENY MATEMATYKA KLASA DRUGA DZIAŁ I: POTĘGI I PIERWIASTKI zna i rozumie pojęcie potęgi o wykładniku naturalnym (2) umie zapisać potęgę w postaci iloczynu (2)

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie II gimnazjum w roku szkolnym 2016/2017 opracowane na podstawie programu Matematyka z plusem GWO

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie II gimnazjum w roku szkolnym 2016/2017 opracowane na podstawie programu Matematyka z plusem GWO Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie II gimnazjum w roku szkolnym 2016/2017 opracowane na podstawie programu Matematyka z plusem GWO POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca

Bardziej szczegółowo

Kryteria ocen z matematyki w Gimnazjum. Klasa I. Liczby i działania

Kryteria ocen z matematyki w Gimnazjum. Klasa I. Liczby i działania Kryteria ocen z matematyki w Gimnazjum Klasa I Liczby i działania obliczać wartości wyrażeń arytmetycznych, w których występują liczby wymierne skracać i rozszerzać ułamki zwykłe porównywać dwa ułamki

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY V

MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY V MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY V Na ocenę wyższą uczeń powinien opanować wiedzę i umiejętności na ocenę (oceny) niższą. Dział programowy: LICZBY NATURALNE podać przykład liczby naturalnej czytać

Bardziej szczegółowo

Międzyszkolne Zawody Matematyczne Klasa I LO i I Technikum - zakres podstawowy Etap wojewódzki 02.04.2005 rok Czas rozwiązywania zadań 150 minut

Międzyszkolne Zawody Matematyczne Klasa I LO i I Technikum - zakres podstawowy Etap wojewódzki 02.04.2005 rok Czas rozwiązywania zadań 150 minut Klasa I - zakres podstawowy Etap wojewódzki 17.04.004 rok Zad 1 ( 6 pkt) Znajdź wszystkie liczby czterocyfrowe podzielne przez 15, w których cyfrą tysięcy jest jeden, a cyfrą dziesiątek dwa. Odpowiedź

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA II GIMNAZJUM Małgorzata Janik

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA II GIMNAZJUM Małgorzata Janik WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA II GIMNAZJUM Małgorzata Janik DOPUSZCZAJĄCY DOSTATECZNY DOBRY BARDZO DOBRY Potęgi i pierwiastki Uczeń: Zna i rozumie pojęcie potęgi o wykładniku naturalnym Umie

Bardziej szczegółowo

Internetowe Kółko Matematyczne 2003/2004

Internetowe Kółko Matematyczne 2003/2004 Internetowe Kółko Matematyczne 003/004 http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ Zadania dla szkoły średniej Zestaw I (5 IX) Zadanie 1. Które liczby całkowite można przedstawić w postaci różnicy kwadratów dwóch

Bardziej szczegółowo

SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA II 2016/2017

SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA II 2016/2017 SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA II 2016/2017 Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: (Symetrie) zna pojęcie punktów symetrycznych względem prostej, umie rozpoznawać figury

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA PROGRAMOWE Z MATEMATYKI KLASA II

WYMAGANIA PROGRAMOWE Z MATEMATYKI KLASA II WYMAGANIA PROGRAMOWE Z MATEMATYKI KLASA II POTĘGI zna pojęcie potęgi o wykładniku naturalnym rozumie pojęcie potęgi o wykładniku naturalnym umie zapisać potęgę w postaci iloczynu umie zapisać iloczyn jednakowych

Bardziej szczegółowo

Podstawowe pojęcia geometryczne

Podstawowe pojęcia geometryczne PLANIMETRIA Podstawowe pojęcia geometryczne Geometria (słowo to pochodzi z języka greckiego i oznacza mierzenie ziemi) jest jednym z działów matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur geometrycznych

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY PO KLASIE II GIMNAZJUM

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY PO KLASIE II GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY PO KLASIE II GIMNAZJUM POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca (2) P - podstawowy ocena dostateczna (3) R - rozszerzający ocena dobra (4) D - dopełniający

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki

Wymagania edukacyjne z matematyki Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa I - program Matematyka z plusem" Dział: LICZBY I DZIAŁANIA Poziom konieczny - ocena dopuszczająca porównywać liczby wymierne, zaznaczać liczby wymierne na osi liczbowej,

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny w klasie II gimnazjum do programu nauczania MATEMATYKA NA CZASIE

Wymagania na poszczególne oceny w klasie II gimnazjum do programu nauczania MATEMATYKA NA CZASIE Wymagania na poszczególne oceny w klasie II gimnazjum do programu nauczania MATEMATYKA NA CZASIE Wymagania konieczne K dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, powinien je

Bardziej szczegółowo

I. LICZBY RZECZYWISTE I/1 1 Liczby naturalne, całkowite, wymierne i niewymierne.

I. LICZBY RZECZYWISTE I/1 1 Liczby naturalne, całkowite, wymierne i niewymierne. Dział/l.p. Ilość godz. Typ szkoły: TECHNIKUM Zawód: TECHNIK USŁUG FRYZJERSKICH Rok szkolny 2016/2017 Przedmiot: MATEMATYKA Klasa: I 80 godzin numer programu T5/O/5/12 Rozkład materiału nauczania Temat

Bardziej szczegółowo

Pytania do spr / Własności figur (płaskich i przestrzennych) (waga: 0,5 lub 0,3)

Pytania do spr / Własności figur (płaskich i przestrzennych) (waga: 0,5 lub 0,3) Pytania zamknięte / TEST : Wybierz 1 odp prawidłową. 1. Punkt: A) jest aksjomatem in. pewnikiem; B) nie jest aksjomatem, bo można go zdefiniować. 2. Prosta: A) to zbiór punktów; B) to zbiór punktów współliniowych.

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KLASA I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KLASA I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KLASA I GIMNAZJUM na rok szkolny 2014/2015 Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny: (na każdą wyższą ocenę obowiązują również wiadomości na oceny niższe oraz wiadomości

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie zaznaczać liczbę

Bardziej szczegółowo

Międzyszkolne Zawody Matematyczne Klasa I LO i I Technikum - zakres podstawowy Etap rejonowy rok Czas rozwiązywania zadań 150 minut

Międzyszkolne Zawody Matematyczne Klasa I LO i I Technikum - zakres podstawowy Etap rejonowy rok Czas rozwiązywania zadań 150 minut Międzyszkolne Zawody Matematyczne Klasa I LO i I Technikum - zakres podstawowy Etap rejonowy 0..005 rok Czas rozwiązywania zadań 50 minut Zadanie ( pkt) a b a Wiedząc, że dla b 0. Oblicz b a b Zadanie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM OCENA ŚRÓDROCZNA: NIEDOSTATECZNY ocenę niedostateczny otrzymuje uczeń, który

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki dla kl. 2 Gimnazjum Publicznego im. Jana Pawła II w Żarnowcu w roku szkolnym 2016/2017

Wymagania edukacyjne z matematyki dla kl. 2 Gimnazjum Publicznego im. Jana Pawła II w Żarnowcu w roku szkolnym 2016/2017 NAUCZYCIEL: edukacyjne z matematyki dla kl. 2 Gimnazjum Publicznego im. Jana Pawła II w Żarnowcu w roku szkolnym 2016/2017 mgr Dorota Maj PODRĘCZNIK: Liczy się matematyka WYD. WSiP Na lekcjach matematyki

Bardziej szczegółowo

Plan realizacji materiału nauczania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych

Plan realizacji materiału nauczania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Plan realizacji materiału nauczania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Poziomy wymagań edukacyjnych: K konieczny ocena dopuszczająca (2) P podstawowy ocena dostateczna (3) R rozszerzający ocena dobra

Bardziej szczegółowo

Potęga o wykładniku naturalnym. Iloczyn i iloraz potęg o jednakowych podstawach. Potęgowanie potęgi. Potęgowanie iloczynu i ilorazu.

Potęga o wykładniku naturalnym. Iloczyn i iloraz potęg o jednakowych podstawach. Potęgowanie potęgi. Potęgowanie iloczynu i ilorazu. Klasa II: DZIAŁ 1. POTĘGI Lekcja organizacyjna. Potęga o wykładniku naturalnym. Iloczyn i iloraz potęg o jednakowych podstawach. Potęgowanie potęgi. Potęgowanie iloczynu i ilorazu. Działania na potęgach.

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ GIMNAZJUM Opracowane do programu Matematyka na czasie, Wydawnictwo Nowa Era

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ GIMNAZJUM Opracowane do programu Matematyka na czasie, Wydawnictwo Nowa Era WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ GIMNAZJUM Opracowane do programu Matematyka na czasie, Wydawnictwo Nowa Era POTĘGI I PIERWIASTKI POTĘGI Na ocenę dopuszczającą uczeń: zna i rozumie pojęcie

Bardziej szczegółowo

Semestr Pierwszy Potęgi

Semestr Pierwszy Potęgi MATEMATYKA KL. II 1 Semestr Pierwszy Potęgi zna i rozumie pojęcie potęgi o wykładniku naturalnym, umie zapisać potęgę w postaci iloczynu, umie zapisać iloczyn jednakowych czynników w postaci potęgi, umie

Bardziej szczegółowo

Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów rok szkolny 2014/2015 Etap II - rejonowy

Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów rok szkolny 2014/2015 Etap II - rejonowy Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów rok szkolny 2014/2015 Etap II - rejonowy W kluczu przedstawiono przykładowe rozwiązania oraz prawidłowe odpowiedzi. Za każdą inną poprawną metodę rozwiązania

Bardziej szczegółowo

Internetowe Kółko Matematyczne 2003/2004

Internetowe Kółko Matematyczne 2003/2004 Internetowe Kółko Matematyczne 2003/2004 http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ Zadania dla gimnazjum Zestaw I (12 IX) Zadanie 1. Znajdź cyfry A, B, C, spełniające równość: a) AB A = BCB, b) AB A = CCB. Zadanie

Bardziej szczegółowo

Wymagania eduka cyjne z matematyki

Wymagania eduka cyjne z matematyki Wymagania eduka cyjne z matematyki Klasa I - program Matematyka z plusem" Dział: LICZ B Y I DZIAŁANIA porównywać liczby wymierne, zaznaczać liczby wymierne na osi liczbowej, zamieniać ułamki zwykłe na

Bardziej szczegółowo

SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA I 2015/2016

SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA I 2015/2016 SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA I 2015/2016 Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: (Liczby i działania) zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II gimnazjum wg programu Matematyka z plusem

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II gimnazjum wg programu Matematyka z plusem Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II gimnazjum wg programu Matematyka z plusem Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który umie: 1.zapisywać potęgi w postaci iloczynów 2. zapisywać iloczyny jednakowych

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA I GIMNAZJUM

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA I GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA I GIMNAZJUM OCENA DOPUSZCZAJĄCA pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej, pojęcia: rozwinięcie dziesiętne skończone, nieskończone, okres, algorytm zaokrąglania

Bardziej szczegółowo

Kryteria ocen z matematyki w klasie II gimnazjum

Kryteria ocen z matematyki w klasie II gimnazjum Kryteria ocen z matematyki w klasie II gimnazjum Na ocenę dopuszczającą uczeń: zna podręcznik i zeszyt ćwiczeń, z których będzie korzystał w ciągu roku szkolnego na lekcjach matematyki zna i rozumie pojęcie

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i przykładowe rozwiązania zadań otwartych Centralna Komisja Egzaminacyjna Materiał współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Próbny egzamin maturalny z matematyki listopad 009 Klucz odpowiedzi do

Bardziej szczegółowo

Wymagania programowe na poszczególne oceny. Klasa 2. Potęgi o wykładnikach naturalnych i całkowitych. Poziom wymagań edukacyjnych:

Wymagania programowe na poszczególne oceny. Klasa 2. Potęgi o wykładnikach naturalnych i całkowitych. Poziom wymagań edukacyjnych: Wymagania programowe na poszczególne oceny Poziom wymagań edukacyjnych: K konieczny (ocena dopuszczająca) P podstawowy (ocena dostateczna) R rozszerzający (ocena dobra) D dopełniający (ocena bardzo dobra)

Bardziej szczegółowo

KLASA 3 Wiedza i umiejętności ucznia na poszczególne oceny

KLASA 3 Wiedza i umiejętności ucznia na poszczególne oceny Kryteria oceniania z matematyki KLASA 3 Wiedza i umiejętności ucznia na poszczególne oceny Arytmetyka: Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który potrafi : - określić pojęcie liczby naturalnej, całkowitej,

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA I 2010/2011

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA I 2010/2011 WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA I 2010/2011 Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE III GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE III GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE III GIMNAZJUM OCENA ŚRÓDROCZNA: NIEDOSTATECZNY ocenę niedostateczny otrzymuje uczeń, który

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA I KLASY GIMNAZJUM

WYMAGANIA Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA I KLASY GIMNAZJUM WYMAGANIA Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA I KLASY GIMNAZJUM OPRACOWANO NA PODSTAWIE PLANU REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI Matematyka 1 Podręcznik do gimnazjum Nowa wersja, praca zbiorowa

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM NA OCENĘ DOPUSZCZJĄCĄ UCZEN: zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zad. 1 (2 pkt) Rozwiąż równanie Zad.2 (2 pkt) 2 3x 1 = 1 2x 2 Rozwiąż układ równań x +3y =5 2x y = 3 Zad.3 (2 pkt) 2 Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0 Zad.4 (2 pkt) 3 2

Bardziej szczegółowo

KLASA II WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE MATEMATYKA. Wymagania edukacyjne. dostosowane są do programu MATEMATYKA Z PLUSEM DZIAŁ I

KLASA II WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE MATEMATYKA. Wymagania edukacyjne. dostosowane są do programu MATEMATYKA Z PLUSEM DZIAŁ I WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE MATEMATYKA Wymagania edukacyjne dostosowane są do programu MATEMATYKA Z PLUSEM KLASA II DZIAŁ I POTĘGI I PIERWIASTKI Poziomy wymagań edukacyjnych: K - konieczny

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II gimnazjum wg programu Matematyka z plusem

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II gimnazjum wg programu Matematyka z plusem Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II gimnazjum wg programu Matematyka z plusem pojęcie potęgi o wykładniku naturalnym wzór na mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach wzór na potęgowanie

Bardziej szczegółowo

Skrypt 33. Powtórzenie do matury:

Skrypt 33. Powtórzenie do matury: Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 33 Powtórzenie do matury:

Bardziej szczegółowo

Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii

Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii Wielokąty na płaszczyźnie obliczenia z zastosowaniem trygonometrii Obliczenia geometryczne z zastosowaniem własności funkcji trygonometrycznych w wielokątach wypukłych Wielokąt - figura płaską będąca sumą

Bardziej szczegółowo

Końcoworoczne kryteria oceniania dla klasy II z matematyki Rok szkolny 2015/2016 przygotowała mgr inż. Iwona Śliczner

Końcoworoczne kryteria oceniania dla klasy II z matematyki Rok szkolny 2015/2016 przygotowała mgr inż. Iwona Śliczner Końcoworoczne kryteria oceniania dla klasy II z matematyki Rok szkolny 2015/2016 przygotowała mgr inż. Iwona Śliczner Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: definiuje pojęcie potęgi o wykładniku naturalnym,

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 200 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA KONIECZNE - OCENA DOPUSZCZAJĄCA:

WYMAGANIA KONIECZNE - OCENA DOPUSZCZAJĄCA: WYMAGANIA KONIECZNE - OCENA DOPUSZCZAJĄCA: zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie zaznaczać liczbę wymierną na osi liczbowej umie

Bardziej szczegółowo