Koherentne miary ryzyka

Transkrypt

1 Politechnika Wrocławska Wydział Podstawowych Problemów Techniki Instytut Matematyki Koherentne miary ryzyka Autor: Piotr Uniejewski Promotor: dr Rafał Weron Wrocław, 2004

2 2

3 Spis treści Wstęp 5 1 Miary ryzyka Komu potrzebne są miary ryzyka Koherentne miary ryzyka Definicja Interpretacja aksjomatów Artznera et al Wartość zagrożona Value at Risk Definicja VaR Czy VaR jest dobrą miarą ryzyka? Expected Shortfall Definicja Zalety Mierzenie ryzyka portfela inwestycyjnego Metoda kowariacyjna Metoda symulacji historycznej Metoda symulacji Monte Carlo Modele wyceny opcji Model Blacka Scholesa Podstawowe założenia Równanie różniczkowe Blacka Scholesa Wzór Blacka Scholesa Greckie wskaźniki Interpretacja wzoru Blacka Scholesa Podsumowanie Model Hestona Modele ze stochastyczną zmiennością Model Hestona wprowadzenie Równanie różniczkowe ceny opcji w modelu Hestona Warunek początkowy i warunki brzegowe

4 4 SPIS TREŚCI Wyprowadzenie formuły Hestona Greckie Wskaźniki Podsumowanie Obliczenia empiryczne Wycena opcji na index DAX w modelu Hestona Dane Opis metody kalibracji modelu Otrzymane rezultaty ES i VaR dla portfela złożonego z opcji na DAX Zwroty Otrzymane wyniki Podsumowanie 59 A Podstawowe pojęcia i definicje 61 Bibliografia 65

5 Wstęp Zarządzanie ryzykiem rynkowym to proces złożony i skomplikowany. Jego część stanowi zarówno dobieranie odpowiedniego składu portfela inwestycyjnego w celu minimalizacji ryzyka, jak również metody pomiaru tego ryzyka. W niniejszej pracy odnosimy się do obu tych zagadnień. W rozdziale pierwszym opisujemy miary ryzyka i ich zastosowanie do portfeli zawierających opcje. Myślą przewodnią tej części pracy było zderzenie najbardziej popularnej miary ryzyka tzw. wartości zagrożonej (VaR) z Expected Shortfall miary nieco bardziej skomplikowanej, ale mającej dużo lepsze własności. Expected Shortfall jest przykładem koherentnej miary ryzyka. Pojęcie koherentnej miary ryzyka wywodzi się z pracy Artznera i in. [4]. Zaproponowali oni aksjomaty, które powinna spełniać dobra miara ryzyka. Przytoczone w naszej pracy przykłady pokazują, że VaR, rekomendowana przez najważniejszą na świecie instytucję regulującą zasady zarządzania ryzykiem Komitet Bazylejski, nie jest dobrą miarą ryzyka. Druga część pracy skupia się na modelach wyceny opcji. Opcje to pochodne instrumenty finansowe, które ze względu na niesymetryczne profile wypłaty idealnie nadają się do zarządzania ryzykiem. Od początku lat 90 trwa nieprzerwanie rozwój rynku opcji. Od września ubiegłego wprowadzono pierwsze opcje na Giełdę Papierów Wartościowych w Warszawie. Niniejsza praca ma na celu zaprezentowanie metod wyceny tych instrumentów. W rozdziale drugim przedstawiamy modele ze stochastyczną zmiennością, w których zarówno cena instrumentu bazowego jak jego zmienność opisane są przez proces stochastyczny. W szczególności przedstawiamy modele Hulla i White a [19], Steina i Steina [28] oraz Hestona [18]. W podrozdziale przedstawiamy wyprowadzenie formuły Hestona na cenę europejskiej opcji kupna z uwzględnieniem szczegółów wywodu pominiętych w oryginalnej pracy. Zaletą tego modelu jest istnienie analitycznego rozwiązania. Dla kompletności w podrozdziale 2.1 zamieszczamy równie szczegółowo wyprowadzony klasyczny model Blacka Scholesa. Rozdział trzeci to praktyczne przetestowanie teorii opisywanej w rozdziale pierwszym i drugim. Zawiera on wyniki przeprowadzonych na potrzeby ni- 5

6 6 SPIS TREŚCI niejszej pracy symulacji komputerowych, w oparciu o rzeczywiste dane giełdowe. Porównanie możliwości wyceny opcji przy pomocy modelu Blacka Scholesa i Hestona jest tematem pierwszej części. Otrzymane rezultaty potwierdzają bardzo dobre własności modelu Hestona i jego wyższość nad powszechnie stosowanym modelem Blacka Scholesa. Część druga łączy modele wyceny opcji i miary ryzyka. Prezentujemy w niej wyniki pomiaru ryzyka dla portfela inwestycyjnego złożonego z opcji. Otrzymane rezultaty pokazują, jak ważną część procesu mierzenia ryzyka stanowi sposób wyceny instrumentów pochodnych. Ponadto w efekcie przeprowadzonych symulacji potwierdzamy tezę o większej korzyści płynącej ze stosowania Expected Shortfall jako miary ryzyka. Dla zwiększenia przejrzystości pracy w dodatku A zamieszczamy słowniczek podstawowych pojęć finansowych wykorzystywanych w pracy, a także, w celu uniknięcia nieporozumień związanych z oznaczeniami, niektóre definicje pojęć matematycznych.

7 Rozdział 1 Miary ryzyka 1.1 Komu potrzebne są miary ryzyka Instytucje finansowe i przedsiębiorstwa. W latach 90-tych ubiegłego stulecia przez światowe rynki finansowe przetoczyła się fala spektakularnych bankructw. Wspomnę choćby bankructwo jednego z najstarszych w Anglii banków Banku Barings w 1995 roku lub amerykańskiego hrabstwa O- range (Orange County) w Wydarzenia te odbiły się szerokim echem na świecie, zwłaszcza, że zdaniem wielu ekspertów można było ich uniknąć, gdyby tylko skutecznie monitorowano ryzyko w tych instytucjach. Efektem tych przykrych doświadczeń był lawinowy wzrost zainteresowania zarządzania ryzykiem, a w konsekwencji poszukiwanie skutecznej metody mierzenia ryzyka. Największą popularność zdobył system RiskMetrics zaproponowany przez J.P Morgan, opierający się na metodologii Wartości zagrożonej (Value at Risk - VaR) 1. Obecnie zarządzanie ryzykiem rynkowym w instytucjach finansowych jest już integralną częścią procesu zarządzania. W ostatnich latach obserwujemy wzrost zainteresowania innymi aspektami ryzyka, takimi jak np. ryzyko operacyjne. Również przedsiębiorstwa niefinansowe coraz częściej interesują się mierzeniem a dzięki temu możliwym ograniczeniem ryzyka prowadzenia działalności. Dlaczego tak się dzieje? Odpowiedź jest prosta: skuteczne zarządzanie ryzykiem prowadzi do stabilizacji zysków i minimalizuje możliwość bankructwa. Regulatorzy. Świadomość ponoszonego ryzyka jest z pewnością bardzo ważna przy podejmowaniu decyzji na rynku finansowym. Czasem jednak warto podjąć ryzyko, ponieważ, jak powszechnie wiadomo, im większe ryzyko, 1 Patrz podrozdział

8 8 ROZDZIAŁ 1. MIARY RYZYKA tym większy potencjalny zysk (niestety strata również). Możliwość osiągnięcia ponad przeciętnego zysku stanowi dla niektórych instytucji finansowych na tyle dużą pokusę, że decydują się je podjąć, narażając na straty nie tylko siebie, ale także osoby trzecie, które powierzyły im swoje pieniądze. Dlatego na rynku funkcjonują instytucje nadzoru regulatorzy, których celem jest troska o bezpieczeństwo środków powierzonych instytucjom finansowym. Stanowią oni prawo o charakterze lokalnym (krajowym) lub międzynarodowym. W Polsce tego typu regulatorem jest Generalna Inspekcja Nadzoru Bankowego (GINB), zaś najważniejszym organem o zasięgu międzynarodowym jest utworzony w 1974 r. Bazylejski Komitet Nadzoru Bankowego. Uregulowania Komitetu są wprowadzane do prawa krajów grupy G10 2 i obowiązują wszystkie banki prowadzące działalność na terenie tych krajów. Polska również stosuje się do zaleceń Komitetu. Najważniejszym dokumentem jest niewątpliwie tzw. Bazylejska Ugoda Kapitałowa z 1988, do której w 1996 opublikowano poprawkę uwzględniającą ryzyko rynkowe. Obecnie bliskie końca są prace nad tzw. Nową Bazylejską Ugodą Kapitałową (zacznie ona obowiązywać banki w Polsce od 2007 r.). Oba dokumenty, przedstawiają szereg limitów i ograniczeń na ryzyko podejmowane przez banki. Dlatego bardzo ważne jest, aby sposób mierzenia ryzyka przez te instytucje był zunifikowany. Zarówno Stara, jak i Nowa Ugoda rekomendują jako miarę ryzyka rynkowego VaR. W podrozdziałach i wskażemy, jakie są mankamenty stosowania VaR jako miary ryzyka. 1.2 Koherentne miary ryzyka Ponieważ miara jest pojęciem matematycznym, więc mierzenie ryzyka wzbudziło też zainteresowanie matematyków. Badanie pewnych własności ryzyka i najpopularniejszej miary czyli VaR, doprowadziło do sformułowania wniosku, że w sensie matematycznym VaR nie jest miarą. Przełom stanowiła praca Artznera i in. [4], którzy nie tylko zanegowali przydatność VaR, ale zaproponowali cztery aksjomaty, które musi spełniać dobra miara ryzyka. Dodatkowo podali przykład takiej miary. Artzner i in. określili miarę spełniającą ich postulaty mianem koherentnej 3 miary ryzyka i taka nazwa przyjęła się w literaturze. 2 W skład Grupy G10 wchodzą następujące państwa: Belgia, Francja, Holandia, Japonia, Kanada, Luksemburg, RFN, USA, Szwajcaria, Szwecja, Wielka Brytania oraz Włochy 3 Koherencja spoistość, spójność; zgodność (myśli, sądów; częstotliwości i długości fal). łac. cohaerentia związek; styczność. [23]

9 1.2. KOHERENTNE MIARY RYZYKA Definicja Niech V będzie zbiorem zmiennych losowych przyjmujących wartości rzeczywiste, określonym na przestrzeni probabilistycznej (Ω, A, P). Ponieważ praca ta traktuje o ryzyku rynkowym, więc zmienne losowe ze zbioru V będą oznaczały portfele inwestycji generujące losową stratę. Mierzenie ryzyka jest równoważne określeniu zależności pomiędzy zbiorem V, a nieujemną liczbą rzeczywistą: ρ: V R +. Dzięki temu, że wartości przyjmowane przez miarę ρ są rzeczywiste, można w łatwy sposób porządkować i porównywać inwestycje pod względem ryzyka. Oczywistym jest, że ρ nie może być dowolną funkcją, tylko musi spełniać pewne dodatkowe warunki. Używanie jako miary ryzyka funkcji, niespełniającej odpowiednich założeń może prowadzić do niekonsekwencji w ocenie ryzyka. Poniższe aksjomaty, określające dobrą miarę ryzyka, zostały zaproponowane przez Artznera i in. [4]. Aksjomat (subaddytywność) Dla każdego X 1 i X 2 V, ρ(x 1 + X 2 ) ρ(x 1 ) + ρ(x 2 ). Aksjomat (dodatnia jednorodność) Dla każdego λ 0 i każdego X V, ρ(λx) = λρ(x). Aksjomat (monotoniczność) Dla każdego X i Y V, jeśli tylko X Y, to ρ(x) ρ(y ). Aksjomat (niezmienniczość ze względu na translację) Dla każdego X V i dla każdego α R, zachodzi ρ(x + α r) = ρ(x) α, gdzie r oznacza stopę procentową. Miarę ryzyka, która spełnia powyższe aksjomaty nazywamy koherentną miarą ryzyka. Następujący lemat pozwala zastąpić implikację przedstawioną w Aksjomacie przez inną, łatwiejszą do wykazania przy badaniu, czy miara jest koherentna. Lemat [31] Przy założeniu, że miara ρ spełnia Aksjomat (subaddytywność) oraz Aksjomat (dodatnia jednorodność), Aksjomat (monotoniczność) można sformułować w następujący równoważny sposób: (X Y ρ(x) ρ(y )) (X 0 ρ(x) 0).

10 10 ROZDZIAŁ 1. MIARY RYZYKA Dowód. Niech Y 0 wówczas z Aksjomatu ρ(0) = 0. Zatem teza wynika bezpośrednio z założeń. Niech X 0 ρ(x) 0 oraz X Y. Wówczas istnieje Z 0 (z założenia ρ(z) 0) takie, że Y = X + Z. Korzystając z Aksjomatu możemy zapisać nierówność: ρ(y ) = ρ(x + Z) ρ(x) + ρ(z), która prowadzi do ρ(y ) ρ(x) Interpretacja aksjomatów Artznera et al. Aksjomaty zaproponowane przez Artznera et al. nie są oderwane od rzeczywistości i każdy z nich ma interpretację ekonomiczną. Subbaddytywność oznacza, że zaagregowane ryzyka pojedynczych inwestycji nie przekraczają całkowitego ryzyka inwestycji. Subaddytywność jest cechą niezwykle pożądaną zarówno z punktu widzenia regulatora, jak i jednostki zarządzającej ryzykiem w firmie: Jeśli miara ryzyka jest subaddytywana, to suma ryzyk poszczególnych jednostek raportujących da nam oszacowanie z góry łącznego ryzyka. Dzięki temu osoba nadzorująca ryzyko w firmie może używać sumy ryzyk wyliczonych przez poszczególne działy jako globalnej miary dla całej instytucji. Gdyby jednak miara ryzyka nie była subaddytywna wówczas suma poszczególnych ryzyk szacuje łączne ryzyko z dołu, dając informację bezwartościową z punktu widzenia zarządzania ryzykiem. Jeżeli regulatorzy używają nie-subaddytywnej miary ryzyka przy ustalaniu wymagań kapitałowych, wówczas instytucja finansowa może podzielić się, aby zmniejszyć te wymagania, ponieważ suma wymagań mniejszych jednostek, będzie mniejsza niż wymagania kapitałowe dla firmy jako całości. Używanie miary ryzyka, która nie jest subaddytywna, może zachęcić maklerów handlujących na zorganizowanym rynku do dzielenia swoich rachunków. Łączne ryzyko podejmowane przy takim podziale może być

11 1.2. KOHERENTNE MIARY RYZYKA 11 mniejsze, od ryzyka wszystkich pozycji ujętych na jednym rachunku. Może to spowodować, że depozyty zabezpieczające dla poszczególnych rachunków nie pokryją łącznej ekspozycji na ryzyko. Dodatnia jednorodność jest po części konsekwencją subaddytywności. Mianowicie, subaddytywność implikuje, że ρ(λy ) λρ(y ), dla λ > 1. Zatem aksjomat w rzeczywistości wnosi tylko odwrotną nierówność: ρ(λy ) λρ(y ). Nierówność tę można wyjaśnić w następujący sposób: inwestycja λx dla λ > 1 jest mniej płynna a przez to może być bardziej ryzykowna niż liczba λ mniejszych inwestycji X. Analogiczne rozumowanie można przeprowadzić dla λ < 1, wówczas subaddytywność implikuje nierówność ρ(λy ) λρ(y ), a inwestycja λx jest bardziej płynna niż cała inwestycja X. Aksjomat monotoniczności jest dosyć naturalny: jeśli potencjalny zysk, lub strata X jest mniejsza niż zysk, lub strata Y, to zależność ta zachowana jest także pomiędzy ryzykami ρ(x) i ρ(y ). Wątpliwości może jedynie wzbudzać porównywanie zmiennych losowych, czyli co dokładnie oznacza relacja dla zmiennych losowych. Aby to uściślić, przytoczmy następujące definicje: Definicja (Dystrybuanta n-tego rzędu) Niech F X ( ) będzie dystrybuantą rozkładu zmiennej losowej X. Dystrybuantą n tego rzędu F (n) X ( ) tego rozkładu nazywamy funkcję spełniającą następującą rekurencyjną zależność: { (1) F X (x) = F X (x), x R (x) = x (t)dt. F (n) X F (n 1) X Definicja (Dominacja stochastyczna n-tego rzędu) Niech F X ( ), F Y ( ) będą dystrybuantami rozkładów zmiennych losowych X i Y, a F (n) X ( ) i F (n) Y ( ) dystrybuantami n-tego rzędu tych rozkładów. Mówimy, że zmienna losowa X dominuje zmienną losową Y w sensie dominacji stochastycznej n-tego rzędu (X DS(n) Y ) wtedy i tylko wtedy, gdy x R F (n) X (x) F (n) Y (x). Ostatnim z aksjomatów jest niezmienniczość ze względu na translację. Aksjomat 1.2.4, mówi, że jeśli dodamy pewien deterministyczny zysk αr do losowego zwrotu X, wówczas ryzyko zmniejszy się o α. Analogicznie, jeśli zamiast zysku dodajemy deterministyczną stratę następuje zwiększenie ryzyka.

12 12 ROZDZIAŁ 1. MIARY RYZYKA Inną ważną cechą koherentnych miar ryzyka wynikająca bezpośrednio z aksjomatów i jest wypukłość.wypukłość ma szczególne znaczenie w teorii optymalizacji portfela inwestycyjnego. Aby można było w numeryczny sposób szukać minimów ryzyka, minima lokalne powinny odpowiadać minimom globalnym, a taką własność mają jedynie funkcje wypukłe. Lemat Miara ryzyka spełniająca aksjomaty i jest wypukłą miarą ryzyka. Dowód. Niech λ (0, 1), X 1, X 2 V. ρ(λx 1 + (1 λ)x 2 ) (1.2.1) ρ(λx 1 ) + ρ((1 λ)x 2 ) (1.2.2) = λρ(x 1 ) + (1 λ)ρ(x 2 ) 1.3 Wartość zagrożona Value at Risk W poprzednim rozdziale wprowadziliśmy pojęcie koherentnej miary ryzyka. Ten rozdział poświęcony jest wartości zagrożonej (VaR) mierze najpopularniejszej zarówno wśród praktyków jak i naukowców. Zanim przejdziemy do formalnego określenia VaR, przytoczymy kilka niezbędnych definicji Definicja VaR Definicja (kwantyl rzędu α) Kwantylem rzędu α (0, 1) rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej X o dystrybuancie F X ( ) nazywamy każdą liczbę q R spełniającą zależność P(X < q) α P(X q) (1.1) Ponieważ powyższa definicja nie określa kwantyla w sposób jednoznaczny, a nawet dopuszcza istnienie continuum kwantyli, dlatego wprowadzimy dodatkowe definicje obiektów o własnościach kwantyla, ale jednoznacznie określonych: Definicja (kwantyl górny rzędu α) Górnym kwantylem rzędu α (0, 1) rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej X o dystrybuancie F X ( ) nazywamy liczbę Q X α = inf {x R: F X (x) > α} Definicja (kwantyl dolny rzędu α) Dolnym kwantylem rzędu α (0, 1) rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej X o dystrybuancie F X ( ) nazywamy liczbę q X α = inf {x R: F X (x) α}

13 1.3. WARTOŚĆ ZAGROŻONA VALUE AT RISK 13 Jak widać kwantyl górny i kwantyl dolny rzędu α to w istocie odpowiednio supremum i infimum zbioru kwantyli tegoż rzędu. Przytoczmy jeszcze własności kwantyla górnego, które będą przydatne w dalszej części pracy. Lemat Dla dowolnej zmiennej losowej X i dowolnego α (0, 1) prawdziwe są następujące równości: (i) Q ax α = aq X α, α (0, ) (ii) Q a+x α = a + Q X α, a R Dowód. (i) (ii) Q ax α = inf {x R: F ax (x) > α} = = inf {x R: P(aX x) > α} = = inf {x R: P(X x / a ) > α} = = inf {ay R: P(X y) > α} = = inf {ay R: F X (y) > α} = = a inf {y R: F X (y) > α} = = aq X α Q a+x α = inf {x R: F a+x (x) > α} = = inf {x R: P(a + X x) > α} = = inf {x R: P(X x a) > α} = = inf {a + y R: P(X y) > α} = = inf {a + y R: F X (y) > α} = = a + inf {y R: F X (y) > α} = = a + Q X α Definicja (Wartość zagrożona) Niech X będzie zmienną losową z przestrzeni probabilistycznej (Ω, A, P). Przez X rozumiemy portfel inwestycji generujący losowy zysk/stratę na zadanym horyzoncie czasowym. VaR na poziomie istotności 1 α dla portfela X nazywamy liczbę VaR X α = Q X α = q X 1 α.

14 14 ROZDZIAŁ 1. MIARY RYZYKA W potocznym rozumieniu VaR na poziomie ufności α oznacza maksymalną wartość straty jaką można ponieść z badanego portfela, przy zadanym horyzoncie czasowym w α przypadków. Najczęściej VaR rozpatruje się w jednodniowym horyzoncie czasowym, choć np. Komitet Bazylejski wymaga raportowania 10-cio dniowego VaR. Najczęściej przyjmowanym poziomem istotności jest 0,95 lub 0, Czy VaR jest dobrą miarą ryzyka? Nie ulega wątpliwości, że VaR jest najbardziej popularną i najczęściej stosowaną miarą ryzyka. Popularność VaR nie jest dziełem przypadku. VaR jako narzędzie do mierzenia ryzyka ma liczne zalety. Po pierwsze, VaR daje możliwość porównywania ryzyka między różnymi rodzajami aktywów finansowych i różnymi portfelami inwestycyjnymi. Po wtóre, dzięki prostej formie (pojedyncza liczba), VaR pozwala osobom zajmującym się operacjami rynkowymi na udzielenie jasnej odpowiedzi na pytania zarządu typu: Ile możemy stracić w ciągu najbliższych n dni? Jak duże jest ryzyko związane z naszym portfelem?. Dalej, podstawowa idea VaR (oraz jego interpretacja) jest zrozumiała nawet dla osób niewiele wiedzących o modelowaniu ekonomicznym i statystyce. Ponadto, VaR uwzględnia korelacje między czynnikami ryzyka, tzn. że zmniejsza się, gdy w portfelu są pozycje ujemnie skorelowane (straty poniesione na jednej pozycji pokrywane są przez zyski osiągane z drugiej pozycji), a rośnie, gdy pozycje są, skorelowane dodatnio (strata na jednej pozycji oznacza również stratę na drugiej pozycji). Definicja VaR opiera się na definicji kwantyla i nie zależy od wybranego rozkładu prawdopodobieństwa strat, dzięki temu możliwe jest rozszerzanie metodologii VaR np. w oparciu o rozkłady gruboogonowe [34]. Systemy oparte na VaR są wykorzystywane do oceny ryzyka innego rodzaju, niż ryzyko rynkowe, np. do ryzyka kredytowego, operacyjnego i płynności. Dzięki temu możliwe jest całościowe spojrzenie na ryzyko w firmie. Pomimo szeregu wymienionych powyżej zalet, z VaR wiążą się też istotne wady i ograniczenia. VaR mówi nam tylko ile najwięcej możemy stracić, jeśli nie wystąpią zdarzenia ekstremalne (np. klęski żywiołowe, które mogą wywołać lawinowy spadek cen akcji firm ubezpieczeniowych). Mówi tylko, ile możemy stracić w 95% przypadków, ale nie mówi nic, ile możemy stracić w pozostałych 5%. Jeśli wystąpi jakieś katastrofalne wydarzenie, możemy spodziewać się straty znacznie przekraczającej VaR, ale wartość VaR nie mówi ile to może być. Może to prowadzić do tragicznych konsekwencji. Traderzy mogą otwierać pozycje generujące w większości przypadków niewielkie zyski, a okazjonalnie olbrzymie straty. Jeśli prawdopodobieństwo wystąpienia tych strat będzie wystarczająco małe, inwestycja taka będzie miała

15 1.3. WARTOŚĆ ZAGROŻONA VALUE AT RISK 15 małą liczbę VaR i będzie uważana za mało ryzykowną. W rzeczywistości firma będzie narażona na bardzo dużą stratę. Pojedyncza wartość VaR może dostarczać błędnego przekonania o braku ryzyka: załóżmy, że posiadamy dwie pozycje z jednakową VaR na ustalonym poziomie ufności i zadanym horyzoncie czasowym i niech jedna z pozycji ma znacznie grubsze ogony od drugiej. Wówczas VaR błędnie informuje nas, że pozycje te są jednakowo ryzykowne. Aby uniknąć zagrożenia związanego z tą cechą, wartość narażoną na ryzyko należy rozpatrywać nie tylko jako pojedynczą liczbę, ale jako funkcję zależną od poziomu ufności. VaR może w niektórych sytuacjach promować portfele jednorodne, a karać zdywersyfikowane. Pokazuje to poniższy przykład : Przykład [6] Przypuśćmy, że natura może w przyszłości przyjąć 100 różnych stanów, każdy z jednakowym prawdopodobieństwem. Załóżmy, że na świecie handluje się 100 różnymi aktywami, każdy z nich pozwala zarobić pewną kwotę w 99 przypadkach, ale generuje dużą stratę w jednym. Dla każdego aktywa strata powstaje w innym przypadku. Mamy więc pewność, że jeden z nich przyniesie dużą stratę. Jeśli zainwestujemy tylko w jeden z tych aktywów, to VaR na poziomie istotności 95% będzie ujemny, ponieważ prawdopodobieństwo straty jest 0,01. Jeśli jednak zdywersyfikujemy portfel maksymalnie, kupując wszystkie aktywa, wówczas mamy pewność, że poniesiemy dużą stratę. VaR dla zdywersyfikowanego portfela będzie znacznie większa, niż dla portfela jednorodnego. VaR nie spełnia aksjomatu 1.2.1, czyli nie jest subaddytywna. Oznacza to, że VaR nie jest koherentną miarą ryzyka. Następujący kontrprzykład pokazuje brak subaddytywności VaR: Przykład [14] Załóżmy, że posiadamy portfel zawierający dwie krótkie pozycje w opcjach binarnych 4. Niech każda z tych opcji z prawdopodobieństwem 0,04 wypłaca nam 100 PLN, a z prawdopodobieństwem 0,96 wypłata wynosi 0. Instrumenty bazowe dla tych opcji są niezależnymi zmiennymi losowymi, więc wypłata z jednej opcji jest niezależna od wypłaty z drugiej. Jeśli policzymy teraz VaR na poziomie istotności 95% dla horyzontu czasowego równego terminowi wygaśnięcia opcji, wówczas każda z pozycji ma VaR=0 na poziomie 95%. Jeśli jednak policzymy VaR na takim samym poziomie dla całego portfela, wówczas prawdopodobieństwo zerowej wypłaty spadnie poniżej 0,95 i VaR będzie dodatnia (dokładnie wyniesie 100 PLN). Zatem VaR: dla całego portfela jest większa niż VaR dla pojedynczych pozycji: VaR nie jest subaddytywna. 4 Patrz opcja binarna s. 62.

16 16 ROZDZIAŁ 1. MIARY RYZYKA Dodatkowy przykład braku subaddytywności VaRw przypadku, gdy straty mają rozkład ciągły, można znaleźć w [30] (Przykład 2.4). VaR nie jest wypukłą miarą ryzyka w ogólnym przypadku. Może to powodować trudności z wykorzystaniem jej do budowy algorytmów numerycznych optymalizacji portfela inwestycyjnego. 1.4 Expected Shortfall Definicja Rozważania, które doprowadziły do zdefiniowania Expected Shortfall (ES), mają swój początek w poszukiwaniu odpowiedzi na pytanie: Jaka jest wartość oczekiwana straty, którą możemy ponieść w α najgorszych przypadków dla naszego portfela?. Acerbi i Tasche [3] wyszli od pojęcia ES próbkowego ES n α określonego w definicji 1.4.1, który jest naturalnym estymatorem dla oczekiwanej straty z portfela w α najgorszych przypadkach. Następnie udało im się uogólnić definicję ES dla przypadku dowolnego rozkładu zysku/straty z portfela 5. Definicja (Expected Shortfall próbkowy) Niech {X i } n i=1, będzie skończonym ciągiem realizacji zmiennej losowej X. Określmy statystykę porządkową X 1: n... X n: n, jako posortowane wartości z n-wymiarowej próby (X 1,..., X n ). Niech w = [nα] = max{m m nα, m N}, będzie oszacowaniem liczby α elementów z próbki. Wówczas Expected Shortfall próbkowy definiujemy w następujący sposób: wi=1 ESα(X) n X i:n =. (1.2) w Definicja (Expected Shortfall) Niech X będzie zmienną losową określającą przyszły zysk/stratę z portfela na ustalonym horyzoncie czasowym i niech α (0, 1) będzie pewnym poziomem ufności. Expected Shortfall (ES) portfela określamy jako: ES X α = 1 α ( E[X1{X Q X α }] Q X α (P[X Q X α ] α) ). (1.3) Zanim przejdziemy do przedstawienia kluczowego dla ES twierdzenia przytoczmy za [2] następujący lemat przydatny do dowodzenia pewnych cech ES. 5 Patrz [3], s. 6, wzór (10).

17 1.4. EXPECTED SHORTFALL 17 Lemat [2] Przy założeniach jak w definicji prawdziwa jest następująca tożsamość: ES X α = 1 α α 0 q X u du. (1.4) Dowód. Patrz dowód Propozycji 3.2 w [2] Najważniejszą własnością ES jest z pewnością jego koherentność. Mówi o tym następujące twierdzenie: Twierdzenie (Koherentność ES) [2] Niech α (0, 1) będzie ustalone. Rozważmy zbiór zmiennych losowych, przyjmujących wartości rzeczywiste V, określony w pewnej przestrzeni probabilistycznej (Ω, A, P). Niech E[X ] < dla każdego X V. Wówczas ESα X jest koherentną miarą ryzyka, tzn. spełnia aksjomaty Dowód. Dla uproszczenia zapisu wprowadźmy oznaczenie: ρ(x) = ES X α. W poniższych rachunkach korzystamy z własności kwantyla górnego (Lemat 1.3.1) oraz z następującej własności dystrybuanty rozkładu ( ) x n F tx+n (x) = F X. (1.5) t (i) Subaddytywność: Ze względu na obszerność dowodu i konieczność dowodzenia kilku lematów, pomijamy dowód w naszej pracy. Kompletny dowód można znaleźć w Dodatku A w [2]. (ii) Jednorodność: ρ(tx) = 1 ( ) E[tX1 α {tx Q tx α }] Q tx α (F tx (Q tx α ) α) = = 1 ( te[x1 α {tx tq X α }] tq X α (F X ( t ) t QX α ) α) = = t ( ) E[X1 α {X Q X α }] Q X α (F X (Q X α ) α) = = tρ(x) (iii) Monotoniczność: Niech X DS(2) Z, gdzie Z jest zmienną losową t.ż. P(Z = 0) = 1. Na mocy Lematu wystarczy pokazać, że ρ(x) 0. Dystrybuanta drugiego rzędu zmiennej Z jest postaci F (2) Z (x) = x F ( Zt)dt = x 1 [0, ) (t)dt = x1 [0, ) (x).

18 18 ROZDZIAŁ 1. MIARY RYZYKA Z Definicji (dominacja stochastyczna) otrzymujemy nierówność która implikuje x R x F X (t)dt x1 [0, ) (x), x (,0) F X (x) = 0, co oznacza, że P(X < 0) = 0. Dla zmiennej losowej X, która z prawdopodobieństwem jeden przyjmuje wartości nieujemne oczywiste jest, że qα X 0. Następstwem powyższych rachunków oraz Lematu jest teza ρ(x) = 1 α α 0 q X u du 0. (iv) Niezmienniczość ze względu na translację: ρ(x + n) = 1 ( E[(X + n)1 α {X+n Q X+n α } ] ) Q X+n α (F X+n (Q X+n α ) α) = = 1 ( E[(X + n)1 α {X+n Q X α +n}] ) (Q X α + n)(f X (Q X α + n n) α) = = 1 ( E[(X + n)1 α {X Q X α }] ) (Q X α + n)(f X (Q X α ) α) = = 1 ( ) E[X1 α {X Q X α }] Q X α (F X (Q X α ) α) 1 ( ) E[n1 α {X Q X α }] n(f X (Q X α ) α) = = ρ(x) n ( ) F X (Q X α ) F X (Q X α ) + α = α Zalety = ρ(x) n Przewaga ES nad VaR jest oczywista, jeśli uwzględnimy poniższe zalety ES jako miary ryzyka:

19 1.5. MIERZENIE RYZYKA PORTFELA INWESTYCYJNEGO 19 ze względu na Twierdzenie oraz Lemat ES jest wypukłą miarą ryzyka i dlatego z powodzeniem może być stosowana w teorii optymalizacji portfela inwestycyjnego; ES w przeciwieństwie do VaR uwzględnia informacje o grubości ogonów rozkładu; dzięki temu w pełni informuje nas o charakterze ponoszonego ryzyka; ES jest koherentną miarą ryzyka, a w konsekwencji jest subaddytywna; dzięki temu jest świetnym narzędziem do zarządzania ryzykiem i nie daje możliwości obchodzenia wymagań nakładanych przez regulatorów; dodatkową zaletą ES jest to, że bardzo dobre własności ma także jego estymator Mierzenie ryzyka portfela inwestycyjnego Mierzenie ryzyka portfela inwestycyjnego jest zagadnieniem skomplikowanym i złożonym. W podrozdziale tym przedstawimy jedynie podstawowe założenia i metody mierzenia ryzyka z wykorzystaniem ES i VaR. Pierwszym etapem pomiaru ryzyka jest dekompozycja instrumentów finansowych wchodzących w skład portfela na instrumenty proste - takie jak akcje, obligacje. 7 Dzięki dekompozycji łatwiej będzie określić jakie są czynniki ryzyka danego portfela. Przez czynniki ryzyka rozumiemy pewien podzbiór wszystkich parametrów występujących na rynku, które właściwie odwzorowują ryzyko, na które narażony jest nasz portfel. Nie ma uniwersalnych czynników ryzyka dla wszystkich portfeli. Dla przykładu dla portfela złożonego z różnych papierów dłużnych (np. obligacji, bonów skarbowych) cena jednej obligacji może być wystarczającym czynnikiem ryzyka. Dla portfela bardzo złożonego czynników ryzyka będzie więcej. Dla portfela zawierające opcje zmienność ceny instrumentu bazowego powinna być uwzględniona jako czynnik ryzyka. Najprostszy charakter ma zależność portfela złożonego z akcji od cen akcji. Mamy tu do czynienia z zależnością liniową. Inaczej jest w przypadku opcji. Ich cena nie zależy od ceny ceny akcji w sposób liniowy i dlatego trudniej jest mierzyć ryzyko portfeli złożonych z opcji. Określenie zależności cen instrumentów wchodzących w skład portfela od czynników ryzyka jest drugim etapem procesu pomiaru ryzyka. Ostatnim etapem jest przyjęcie metody obliczania ES (VaR). [33]. 6 Więcej na temat własności estymatora ES można znaleźć w [31]. 7 Szczegóły dotyczące dekompozycji instrumentów finansowych można znaleźć m. in. w

20 20 ROZDZIAŁ 1. MIARY RYZYKA Metoda kowariacyjna Metoda kowariacyjna (variance-covariance method) opiera się na założeniu, że przyrost wartości wszystkich czynników ryzyka ma rozkład gaussowski. Z punktu widzenia obliczeń rozkład gaussowski ma zasadniczą zaletę: funkcja liniowa zmiennych gaussowskich pozostaje zmienną gaussowską. Znając odchylenie standardowe i korelacje (kowariancje) pomiędzy różnymi czynnikami ryzyka oraz zakładając liniową zależność, można obliczyć odchylenie standardowe zmiany wartości całego portfela. W sytuacji kiedy ceny wszystkich instrumentów z portfela zależą w sposób liniowy od czynników ryzyka, obliczenie ES (VaR) sprowadza się do algebry macierzy. Jeśli w portfelu są opcje, czyli elementy w nieliniowy sposób zależne od czynników ryzyka, stosujemy rozwinięcie w szereg Taylora do pierwszego wyrazu: lub do drugiego wyrazu: df(x) f dx = dx, (1.6) X df(x) f X dx f 2 X 2 (dx)2 = dx + Γ 2 (dx)2, (1.7) gdzie f(x) oznacza cenę opcji na instrument bazowy X. i Γ to tradycyjne oznaczenie odpowiednio pierwszej i drugiej pochodnej z ceny opcji względem ceny instrumentu bazowego. 8 Metody wyceny opcji są tematem kolejnego rozdziału i tamże przedstawimy analityczne wzory na cenę opcji oraz na współczynniki i Γ. Metoda obliczania zmiany wartości portfela przy użyciu (1.6) nazywana jest metodą Delta normal, a przy wykorzystaniu (1.7) metodą Delta gamma. Dużą wadą zarówno wspomnianych metod jest to, że nie uwzględniają one zmienności instrumentu bazowego jako czynnika ryzyka dla opcji. 9 Przy założeniu normalności przyrostu czynników ryzyka; 8 Oprócz i Γ do analizy wrażliwości ceny opcji stosuje się współczynniki Θ, ρ i V (vega) będące odpowiednio pochodnymi cząstkowymi z ceny opcji po czasie, stopie procentowej i zmienności. Ponieważ współczynniki oznacza się literami greckiego alfabetu, przyjęło się nazywać je greckimi współczynnikami (greeks). 9 Jak duży jest wpływ zmienności na wartość opcji wykażemy w dalszej części pracy. W rozdziale 2.2, w którym przedstawimy model wyceny opcji ze stochastyczną zmiennością oraz w podrozdziale gdzie zaprezentujemy wyniki badań wskazujące, że model ten jest dużo skuteczniejszy od modelu Blacka Scholesa.