Koherentne miary ryzyka

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Koherentne miary ryzyka"

Transkrypt

1 Politechnika Wrocławska Wydział Podstawowych Problemów Techniki Instytut Matematyki Koherentne miary ryzyka Autor: Piotr Uniejewski Promotor: dr Rafał Weron Wrocław, 2004

2 2

3 Spis treści Wstęp 5 1 Miary ryzyka Komu potrzebne są miary ryzyka Koherentne miary ryzyka Definicja Interpretacja aksjomatów Artznera et al Wartość zagrożona Value at Risk Definicja VaR Czy VaR jest dobrą miarą ryzyka? Expected Shortfall Definicja Zalety Mierzenie ryzyka portfela inwestycyjnego Metoda kowariacyjna Metoda symulacji historycznej Metoda symulacji Monte Carlo Modele wyceny opcji Model Blacka Scholesa Podstawowe założenia Równanie różniczkowe Blacka Scholesa Wzór Blacka Scholesa Greckie wskaźniki Interpretacja wzoru Blacka Scholesa Podsumowanie Model Hestona Modele ze stochastyczną zmiennością Model Hestona wprowadzenie Równanie różniczkowe ceny opcji w modelu Hestona Warunek początkowy i warunki brzegowe

4 4 SPIS TREŚCI Wyprowadzenie formuły Hestona Greckie Wskaźniki Podsumowanie Obliczenia empiryczne Wycena opcji na index DAX w modelu Hestona Dane Opis metody kalibracji modelu Otrzymane rezultaty ES i VaR dla portfela złożonego z opcji na DAX Zwroty Otrzymane wyniki Podsumowanie 59 A Podstawowe pojęcia i definicje 61 Bibliografia 65

5 Wstęp Zarządzanie ryzykiem rynkowym to proces złożony i skomplikowany. Jego część stanowi zarówno dobieranie odpowiedniego składu portfela inwestycyjnego w celu minimalizacji ryzyka, jak również metody pomiaru tego ryzyka. W niniejszej pracy odnosimy się do obu tych zagadnień. W rozdziale pierwszym opisujemy miary ryzyka i ich zastosowanie do portfeli zawierających opcje. Myślą przewodnią tej części pracy było zderzenie najbardziej popularnej miary ryzyka tzw. wartości zagrożonej (VaR) z Expected Shortfall miary nieco bardziej skomplikowanej, ale mającej dużo lepsze własności. Expected Shortfall jest przykładem koherentnej miary ryzyka. Pojęcie koherentnej miary ryzyka wywodzi się z pracy Artznera i in. [4]. Zaproponowali oni aksjomaty, które powinna spełniać dobra miara ryzyka. Przytoczone w naszej pracy przykłady pokazują, że VaR, rekomendowana przez najważniejszą na świecie instytucję regulującą zasady zarządzania ryzykiem Komitet Bazylejski, nie jest dobrą miarą ryzyka. Druga część pracy skupia się na modelach wyceny opcji. Opcje to pochodne instrumenty finansowe, które ze względu na niesymetryczne profile wypłaty idealnie nadają się do zarządzania ryzykiem. Od początku lat 90 trwa nieprzerwanie rozwój rynku opcji. Od września ubiegłego wprowadzono pierwsze opcje na Giełdę Papierów Wartościowych w Warszawie. Niniejsza praca ma na celu zaprezentowanie metod wyceny tych instrumentów. W rozdziale drugim przedstawiamy modele ze stochastyczną zmiennością, w których zarówno cena instrumentu bazowego jak jego zmienność opisane są przez proces stochastyczny. W szczególności przedstawiamy modele Hulla i White a [19], Steina i Steina [28] oraz Hestona [18]. W podrozdziale przedstawiamy wyprowadzenie formuły Hestona na cenę europejskiej opcji kupna z uwzględnieniem szczegółów wywodu pominiętych w oryginalnej pracy. Zaletą tego modelu jest istnienie analitycznego rozwiązania. Dla kompletności w podrozdziale 2.1 zamieszczamy równie szczegółowo wyprowadzony klasyczny model Blacka Scholesa. Rozdział trzeci to praktyczne przetestowanie teorii opisywanej w rozdziale pierwszym i drugim. Zawiera on wyniki przeprowadzonych na potrzeby ni- 5

6 6 SPIS TREŚCI niejszej pracy symulacji komputerowych, w oparciu o rzeczywiste dane giełdowe. Porównanie możliwości wyceny opcji przy pomocy modelu Blacka Scholesa i Hestona jest tematem pierwszej części. Otrzymane rezultaty potwierdzają bardzo dobre własności modelu Hestona i jego wyższość nad powszechnie stosowanym modelem Blacka Scholesa. Część druga łączy modele wyceny opcji i miary ryzyka. Prezentujemy w niej wyniki pomiaru ryzyka dla portfela inwestycyjnego złożonego z opcji. Otrzymane rezultaty pokazują, jak ważną część procesu mierzenia ryzyka stanowi sposób wyceny instrumentów pochodnych. Ponadto w efekcie przeprowadzonych symulacji potwierdzamy tezę o większej korzyści płynącej ze stosowania Expected Shortfall jako miary ryzyka. Dla zwiększenia przejrzystości pracy w dodatku A zamieszczamy słowniczek podstawowych pojęć finansowych wykorzystywanych w pracy, a także, w celu uniknięcia nieporozumień związanych z oznaczeniami, niektóre definicje pojęć matematycznych.

7 Rozdział 1 Miary ryzyka 1.1 Komu potrzebne są miary ryzyka Instytucje finansowe i przedsiębiorstwa. W latach 90-tych ubiegłego stulecia przez światowe rynki finansowe przetoczyła się fala spektakularnych bankructw. Wspomnę choćby bankructwo jednego z najstarszych w Anglii banków Banku Barings w 1995 roku lub amerykańskiego hrabstwa O- range (Orange County) w Wydarzenia te odbiły się szerokim echem na świecie, zwłaszcza, że zdaniem wielu ekspertów można było ich uniknąć, gdyby tylko skutecznie monitorowano ryzyko w tych instytucjach. Efektem tych przykrych doświadczeń był lawinowy wzrost zainteresowania zarządzania ryzykiem, a w konsekwencji poszukiwanie skutecznej metody mierzenia ryzyka. Największą popularność zdobył system RiskMetrics zaproponowany przez J.P Morgan, opierający się na metodologii Wartości zagrożonej (Value at Risk - VaR) 1. Obecnie zarządzanie ryzykiem rynkowym w instytucjach finansowych jest już integralną częścią procesu zarządzania. W ostatnich latach obserwujemy wzrost zainteresowania innymi aspektami ryzyka, takimi jak np. ryzyko operacyjne. Również przedsiębiorstwa niefinansowe coraz częściej interesują się mierzeniem a dzięki temu możliwym ograniczeniem ryzyka prowadzenia działalności. Dlaczego tak się dzieje? Odpowiedź jest prosta: skuteczne zarządzanie ryzykiem prowadzi do stabilizacji zysków i minimalizuje możliwość bankructwa. Regulatorzy. Świadomość ponoszonego ryzyka jest z pewnością bardzo ważna przy podejmowaniu decyzji na rynku finansowym. Czasem jednak warto podjąć ryzyko, ponieważ, jak powszechnie wiadomo, im większe ryzyko, 1 Patrz podrozdział

8 8 ROZDZIAŁ 1. MIARY RYZYKA tym większy potencjalny zysk (niestety strata również). Możliwość osiągnięcia ponad przeciętnego zysku stanowi dla niektórych instytucji finansowych na tyle dużą pokusę, że decydują się je podjąć, narażając na straty nie tylko siebie, ale także osoby trzecie, które powierzyły im swoje pieniądze. Dlatego na rynku funkcjonują instytucje nadzoru regulatorzy, których celem jest troska o bezpieczeństwo środków powierzonych instytucjom finansowym. Stanowią oni prawo o charakterze lokalnym (krajowym) lub międzynarodowym. W Polsce tego typu regulatorem jest Generalna Inspekcja Nadzoru Bankowego (GINB), zaś najważniejszym organem o zasięgu międzynarodowym jest utworzony w 1974 r. Bazylejski Komitet Nadzoru Bankowego. Uregulowania Komitetu są wprowadzane do prawa krajów grupy G10 2 i obowiązują wszystkie banki prowadzące działalność na terenie tych krajów. Polska również stosuje się do zaleceń Komitetu. Najważniejszym dokumentem jest niewątpliwie tzw. Bazylejska Ugoda Kapitałowa z 1988, do której w 1996 opublikowano poprawkę uwzględniającą ryzyko rynkowe. Obecnie bliskie końca są prace nad tzw. Nową Bazylejską Ugodą Kapitałową (zacznie ona obowiązywać banki w Polsce od 2007 r.). Oba dokumenty, przedstawiają szereg limitów i ograniczeń na ryzyko podejmowane przez banki. Dlatego bardzo ważne jest, aby sposób mierzenia ryzyka przez te instytucje był zunifikowany. Zarówno Stara, jak i Nowa Ugoda rekomendują jako miarę ryzyka rynkowego VaR. W podrozdziałach i wskażemy, jakie są mankamenty stosowania VaR jako miary ryzyka. 1.2 Koherentne miary ryzyka Ponieważ miara jest pojęciem matematycznym, więc mierzenie ryzyka wzbudziło też zainteresowanie matematyków. Badanie pewnych własności ryzyka i najpopularniejszej miary czyli VaR, doprowadziło do sformułowania wniosku, że w sensie matematycznym VaR nie jest miarą. Przełom stanowiła praca Artznera i in. [4], którzy nie tylko zanegowali przydatność VaR, ale zaproponowali cztery aksjomaty, które musi spełniać dobra miara ryzyka. Dodatkowo podali przykład takiej miary. Artzner i in. określili miarę spełniającą ich postulaty mianem koherentnej 3 miary ryzyka i taka nazwa przyjęła się w literaturze. 2 W skład Grupy G10 wchodzą następujące państwa: Belgia, Francja, Holandia, Japonia, Kanada, Luksemburg, RFN, USA, Szwajcaria, Szwecja, Wielka Brytania oraz Włochy 3 Koherencja spoistość, spójność; zgodność (myśli, sądów; częstotliwości i długości fal). łac. cohaerentia związek; styczność. [23]

9 1.2. KOHERENTNE MIARY RYZYKA Definicja Niech V będzie zbiorem zmiennych losowych przyjmujących wartości rzeczywiste, określonym na przestrzeni probabilistycznej (Ω, A, P). Ponieważ praca ta traktuje o ryzyku rynkowym, więc zmienne losowe ze zbioru V będą oznaczały portfele inwestycji generujące losową stratę. Mierzenie ryzyka jest równoważne określeniu zależności pomiędzy zbiorem V, a nieujemną liczbą rzeczywistą: ρ: V R +. Dzięki temu, że wartości przyjmowane przez miarę ρ są rzeczywiste, można w łatwy sposób porządkować i porównywać inwestycje pod względem ryzyka. Oczywistym jest, że ρ nie może być dowolną funkcją, tylko musi spełniać pewne dodatkowe warunki. Używanie jako miary ryzyka funkcji, niespełniającej odpowiednich założeń może prowadzić do niekonsekwencji w ocenie ryzyka. Poniższe aksjomaty, określające dobrą miarę ryzyka, zostały zaproponowane przez Artznera i in. [4]. Aksjomat (subaddytywność) Dla każdego X 1 i X 2 V, ρ(x 1 + X 2 ) ρ(x 1 ) + ρ(x 2 ). Aksjomat (dodatnia jednorodność) Dla każdego λ 0 i każdego X V, ρ(λx) = λρ(x). Aksjomat (monotoniczność) Dla każdego X i Y V, jeśli tylko X Y, to ρ(x) ρ(y ). Aksjomat (niezmienniczość ze względu na translację) Dla każdego X V i dla każdego α R, zachodzi ρ(x + α r) = ρ(x) α, gdzie r oznacza stopę procentową. Miarę ryzyka, która spełnia powyższe aksjomaty nazywamy koherentną miarą ryzyka. Następujący lemat pozwala zastąpić implikację przedstawioną w Aksjomacie przez inną, łatwiejszą do wykazania przy badaniu, czy miara jest koherentna. Lemat [31] Przy założeniu, że miara ρ spełnia Aksjomat (subaddytywność) oraz Aksjomat (dodatnia jednorodność), Aksjomat (monotoniczność) można sformułować w następujący równoważny sposób: (X Y ρ(x) ρ(y )) (X 0 ρ(x) 0).

10 10 ROZDZIAŁ 1. MIARY RYZYKA Dowód. Niech Y 0 wówczas z Aksjomatu ρ(0) = 0. Zatem teza wynika bezpośrednio z założeń. Niech X 0 ρ(x) 0 oraz X Y. Wówczas istnieje Z 0 (z założenia ρ(z) 0) takie, że Y = X + Z. Korzystając z Aksjomatu możemy zapisać nierówność: ρ(y ) = ρ(x + Z) ρ(x) + ρ(z), która prowadzi do ρ(y ) ρ(x) Interpretacja aksjomatów Artznera et al. Aksjomaty zaproponowane przez Artznera et al. nie są oderwane od rzeczywistości i każdy z nich ma interpretację ekonomiczną. Subbaddytywność oznacza, że zaagregowane ryzyka pojedynczych inwestycji nie przekraczają całkowitego ryzyka inwestycji. Subaddytywność jest cechą niezwykle pożądaną zarówno z punktu widzenia regulatora, jak i jednostki zarządzającej ryzykiem w firmie: Jeśli miara ryzyka jest subaddytywana, to suma ryzyk poszczególnych jednostek raportujących da nam oszacowanie z góry łącznego ryzyka. Dzięki temu osoba nadzorująca ryzyko w firmie może używać sumy ryzyk wyliczonych przez poszczególne działy jako globalnej miary dla całej instytucji. Gdyby jednak miara ryzyka nie była subaddytywna wówczas suma poszczególnych ryzyk szacuje łączne ryzyko z dołu, dając informację bezwartościową z punktu widzenia zarządzania ryzykiem. Jeżeli regulatorzy używają nie-subaddytywnej miary ryzyka przy ustalaniu wymagań kapitałowych, wówczas instytucja finansowa może podzielić się, aby zmniejszyć te wymagania, ponieważ suma wymagań mniejszych jednostek, będzie mniejsza niż wymagania kapitałowe dla firmy jako całości. Używanie miary ryzyka, która nie jest subaddytywna, może zachęcić maklerów handlujących na zorganizowanym rynku do dzielenia swoich rachunków. Łączne ryzyko podejmowane przy takim podziale może być

11 1.2. KOHERENTNE MIARY RYZYKA 11 mniejsze, od ryzyka wszystkich pozycji ujętych na jednym rachunku. Może to spowodować, że depozyty zabezpieczające dla poszczególnych rachunków nie pokryją łącznej ekspozycji na ryzyko. Dodatnia jednorodność jest po części konsekwencją subaddytywności. Mianowicie, subaddytywność implikuje, że ρ(λy ) λρ(y ), dla λ > 1. Zatem aksjomat w rzeczywistości wnosi tylko odwrotną nierówność: ρ(λy ) λρ(y ). Nierówność tę można wyjaśnić w następujący sposób: inwestycja λx dla λ > 1 jest mniej płynna a przez to może być bardziej ryzykowna niż liczba λ mniejszych inwestycji X. Analogiczne rozumowanie można przeprowadzić dla λ < 1, wówczas subaddytywność implikuje nierówność ρ(λy ) λρ(y ), a inwestycja λx jest bardziej płynna niż cała inwestycja X. Aksjomat monotoniczności jest dosyć naturalny: jeśli potencjalny zysk, lub strata X jest mniejsza niż zysk, lub strata Y, to zależność ta zachowana jest także pomiędzy ryzykami ρ(x) i ρ(y ). Wątpliwości może jedynie wzbudzać porównywanie zmiennych losowych, czyli co dokładnie oznacza relacja dla zmiennych losowych. Aby to uściślić, przytoczmy następujące definicje: Definicja (Dystrybuanta n-tego rzędu) Niech F X ( ) będzie dystrybuantą rozkładu zmiennej losowej X. Dystrybuantą n tego rzędu F (n) X ( ) tego rozkładu nazywamy funkcję spełniającą następującą rekurencyjną zależność: { (1) F X (x) = F X (x), x R (x) = x (t)dt. F (n) X F (n 1) X Definicja (Dominacja stochastyczna n-tego rzędu) Niech F X ( ), F Y ( ) będą dystrybuantami rozkładów zmiennych losowych X i Y, a F (n) X ( ) i F (n) Y ( ) dystrybuantami n-tego rzędu tych rozkładów. Mówimy, że zmienna losowa X dominuje zmienną losową Y w sensie dominacji stochastycznej n-tego rzędu (X DS(n) Y ) wtedy i tylko wtedy, gdy x R F (n) X (x) F (n) Y (x). Ostatnim z aksjomatów jest niezmienniczość ze względu na translację. Aksjomat 1.2.4, mówi, że jeśli dodamy pewien deterministyczny zysk αr do losowego zwrotu X, wówczas ryzyko zmniejszy się o α. Analogicznie, jeśli zamiast zysku dodajemy deterministyczną stratę następuje zwiększenie ryzyka.

12 12 ROZDZIAŁ 1. MIARY RYZYKA Inną ważną cechą koherentnych miar ryzyka wynikająca bezpośrednio z aksjomatów i jest wypukłość.wypukłość ma szczególne znaczenie w teorii optymalizacji portfela inwestycyjnego. Aby można było w numeryczny sposób szukać minimów ryzyka, minima lokalne powinny odpowiadać minimom globalnym, a taką własność mają jedynie funkcje wypukłe. Lemat Miara ryzyka spełniająca aksjomaty i jest wypukłą miarą ryzyka. Dowód. Niech λ (0, 1), X 1, X 2 V. ρ(λx 1 + (1 λ)x 2 ) (1.2.1) ρ(λx 1 ) + ρ((1 λ)x 2 ) (1.2.2) = λρ(x 1 ) + (1 λ)ρ(x 2 ) 1.3 Wartość zagrożona Value at Risk W poprzednim rozdziale wprowadziliśmy pojęcie koherentnej miary ryzyka. Ten rozdział poświęcony jest wartości zagrożonej (VaR) mierze najpopularniejszej zarówno wśród praktyków jak i naukowców. Zanim przejdziemy do formalnego określenia VaR, przytoczymy kilka niezbędnych definicji Definicja VaR Definicja (kwantyl rzędu α) Kwantylem rzędu α (0, 1) rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej X o dystrybuancie F X ( ) nazywamy każdą liczbę q R spełniającą zależność P(X < q) α P(X q) (1.1) Ponieważ powyższa definicja nie określa kwantyla w sposób jednoznaczny, a nawet dopuszcza istnienie continuum kwantyli, dlatego wprowadzimy dodatkowe definicje obiektów o własnościach kwantyla, ale jednoznacznie określonych: Definicja (kwantyl górny rzędu α) Górnym kwantylem rzędu α (0, 1) rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej X o dystrybuancie F X ( ) nazywamy liczbę Q X α = inf {x R: F X (x) > α} Definicja (kwantyl dolny rzędu α) Dolnym kwantylem rzędu α (0, 1) rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej X o dystrybuancie F X ( ) nazywamy liczbę q X α = inf {x R: F X (x) α}

13 1.3. WARTOŚĆ ZAGROŻONA VALUE AT RISK 13 Jak widać kwantyl górny i kwantyl dolny rzędu α to w istocie odpowiednio supremum i infimum zbioru kwantyli tegoż rzędu. Przytoczmy jeszcze własności kwantyla górnego, które będą przydatne w dalszej części pracy. Lemat Dla dowolnej zmiennej losowej X i dowolnego α (0, 1) prawdziwe są następujące równości: (i) Q ax α = aq X α, α (0, ) (ii) Q a+x α = a + Q X α, a R Dowód. (i) (ii) Q ax α = inf {x R: F ax (x) > α} = = inf {x R: P(aX x) > α} = = inf {x R: P(X x / a ) > α} = = inf {ay R: P(X y) > α} = = inf {ay R: F X (y) > α} = = a inf {y R: F X (y) > α} = = aq X α Q a+x α = inf {x R: F a+x (x) > α} = = inf {x R: P(a + X x) > α} = = inf {x R: P(X x a) > α} = = inf {a + y R: P(X y) > α} = = inf {a + y R: F X (y) > α} = = a + inf {y R: F X (y) > α} = = a + Q X α Definicja (Wartość zagrożona) Niech X będzie zmienną losową z przestrzeni probabilistycznej (Ω, A, P). Przez X rozumiemy portfel inwestycji generujący losowy zysk/stratę na zadanym horyzoncie czasowym. VaR na poziomie istotności 1 α dla portfela X nazywamy liczbę VaR X α = Q X α = q X 1 α.

14 14 ROZDZIAŁ 1. MIARY RYZYKA W potocznym rozumieniu VaR na poziomie ufności α oznacza maksymalną wartość straty jaką można ponieść z badanego portfela, przy zadanym horyzoncie czasowym w α przypadków. Najczęściej VaR rozpatruje się w jednodniowym horyzoncie czasowym, choć np. Komitet Bazylejski wymaga raportowania 10-cio dniowego VaR. Najczęściej przyjmowanym poziomem istotności jest 0,95 lub 0, Czy VaR jest dobrą miarą ryzyka? Nie ulega wątpliwości, że VaR jest najbardziej popularną i najczęściej stosowaną miarą ryzyka. Popularność VaR nie jest dziełem przypadku. VaR jako narzędzie do mierzenia ryzyka ma liczne zalety. Po pierwsze, VaR daje możliwość porównywania ryzyka między różnymi rodzajami aktywów finansowych i różnymi portfelami inwestycyjnymi. Po wtóre, dzięki prostej formie (pojedyncza liczba), VaR pozwala osobom zajmującym się operacjami rynkowymi na udzielenie jasnej odpowiedzi na pytania zarządu typu: Ile możemy stracić w ciągu najbliższych n dni? Jak duże jest ryzyko związane z naszym portfelem?. Dalej, podstawowa idea VaR (oraz jego interpretacja) jest zrozumiała nawet dla osób niewiele wiedzących o modelowaniu ekonomicznym i statystyce. Ponadto, VaR uwzględnia korelacje między czynnikami ryzyka, tzn. że zmniejsza się, gdy w portfelu są pozycje ujemnie skorelowane (straty poniesione na jednej pozycji pokrywane są przez zyski osiągane z drugiej pozycji), a rośnie, gdy pozycje są, skorelowane dodatnio (strata na jednej pozycji oznacza również stratę na drugiej pozycji). Definicja VaR opiera się na definicji kwantyla i nie zależy od wybranego rozkładu prawdopodobieństwa strat, dzięki temu możliwe jest rozszerzanie metodologii VaR np. w oparciu o rozkłady gruboogonowe [34]. Systemy oparte na VaR są wykorzystywane do oceny ryzyka innego rodzaju, niż ryzyko rynkowe, np. do ryzyka kredytowego, operacyjnego i płynności. Dzięki temu możliwe jest całościowe spojrzenie na ryzyko w firmie. Pomimo szeregu wymienionych powyżej zalet, z VaR wiążą się też istotne wady i ograniczenia. VaR mówi nam tylko ile najwięcej możemy stracić, jeśli nie wystąpią zdarzenia ekstremalne (np. klęski żywiołowe, które mogą wywołać lawinowy spadek cen akcji firm ubezpieczeniowych). Mówi tylko, ile możemy stracić w 95% przypadków, ale nie mówi nic, ile możemy stracić w pozostałych 5%. Jeśli wystąpi jakieś katastrofalne wydarzenie, możemy spodziewać się straty znacznie przekraczającej VaR, ale wartość VaR nie mówi ile to może być. Może to prowadzić do tragicznych konsekwencji. Traderzy mogą otwierać pozycje generujące w większości przypadków niewielkie zyski, a okazjonalnie olbrzymie straty. Jeśli prawdopodobieństwo wystąpienia tych strat będzie wystarczająco małe, inwestycja taka będzie miała

15 1.3. WARTOŚĆ ZAGROŻONA VALUE AT RISK 15 małą liczbę VaR i będzie uważana za mało ryzykowną. W rzeczywistości firma będzie narażona na bardzo dużą stratę. Pojedyncza wartość VaR może dostarczać błędnego przekonania o braku ryzyka: załóżmy, że posiadamy dwie pozycje z jednakową VaR na ustalonym poziomie ufności i zadanym horyzoncie czasowym i niech jedna z pozycji ma znacznie grubsze ogony od drugiej. Wówczas VaR błędnie informuje nas, że pozycje te są jednakowo ryzykowne. Aby uniknąć zagrożenia związanego z tą cechą, wartość narażoną na ryzyko należy rozpatrywać nie tylko jako pojedynczą liczbę, ale jako funkcję zależną od poziomu ufności. VaR może w niektórych sytuacjach promować portfele jednorodne, a karać zdywersyfikowane. Pokazuje to poniższy przykład : Przykład [6] Przypuśćmy, że natura może w przyszłości przyjąć 100 różnych stanów, każdy z jednakowym prawdopodobieństwem. Załóżmy, że na świecie handluje się 100 różnymi aktywami, każdy z nich pozwala zarobić pewną kwotę w 99 przypadkach, ale generuje dużą stratę w jednym. Dla każdego aktywa strata powstaje w innym przypadku. Mamy więc pewność, że jeden z nich przyniesie dużą stratę. Jeśli zainwestujemy tylko w jeden z tych aktywów, to VaR na poziomie istotności 95% będzie ujemny, ponieważ prawdopodobieństwo straty jest 0,01. Jeśli jednak zdywersyfikujemy portfel maksymalnie, kupując wszystkie aktywa, wówczas mamy pewność, że poniesiemy dużą stratę. VaR dla zdywersyfikowanego portfela będzie znacznie większa, niż dla portfela jednorodnego. VaR nie spełnia aksjomatu 1.2.1, czyli nie jest subaddytywna. Oznacza to, że VaR nie jest koherentną miarą ryzyka. Następujący kontrprzykład pokazuje brak subaddytywności VaR: Przykład [14] Załóżmy, że posiadamy portfel zawierający dwie krótkie pozycje w opcjach binarnych 4. Niech każda z tych opcji z prawdopodobieństwem 0,04 wypłaca nam 100 PLN, a z prawdopodobieństwem 0,96 wypłata wynosi 0. Instrumenty bazowe dla tych opcji są niezależnymi zmiennymi losowymi, więc wypłata z jednej opcji jest niezależna od wypłaty z drugiej. Jeśli policzymy teraz VaR na poziomie istotności 95% dla horyzontu czasowego równego terminowi wygaśnięcia opcji, wówczas każda z pozycji ma VaR=0 na poziomie 95%. Jeśli jednak policzymy VaR na takim samym poziomie dla całego portfela, wówczas prawdopodobieństwo zerowej wypłaty spadnie poniżej 0,95 i VaR będzie dodatnia (dokładnie wyniesie 100 PLN). Zatem VaR: dla całego portfela jest większa niż VaR dla pojedynczych pozycji: VaR nie jest subaddytywna. 4 Patrz opcja binarna s. 62.

16 16 ROZDZIAŁ 1. MIARY RYZYKA Dodatkowy przykład braku subaddytywności VaRw przypadku, gdy straty mają rozkład ciągły, można znaleźć w [30] (Przykład 2.4). VaR nie jest wypukłą miarą ryzyka w ogólnym przypadku. Może to powodować trudności z wykorzystaniem jej do budowy algorytmów numerycznych optymalizacji portfela inwestycyjnego. 1.4 Expected Shortfall Definicja Rozważania, które doprowadziły do zdefiniowania Expected Shortfall (ES), mają swój początek w poszukiwaniu odpowiedzi na pytanie: Jaka jest wartość oczekiwana straty, którą możemy ponieść w α najgorszych przypadków dla naszego portfela?. Acerbi i Tasche [3] wyszli od pojęcia ES próbkowego ES n α określonego w definicji 1.4.1, który jest naturalnym estymatorem dla oczekiwanej straty z portfela w α najgorszych przypadkach. Następnie udało im się uogólnić definicję ES dla przypadku dowolnego rozkładu zysku/straty z portfela 5. Definicja (Expected Shortfall próbkowy) Niech {X i } n i=1, będzie skończonym ciągiem realizacji zmiennej losowej X. Określmy statystykę porządkową X 1: n... X n: n, jako posortowane wartości z n-wymiarowej próby (X 1,..., X n ). Niech w = [nα] = max{m m nα, m N}, będzie oszacowaniem liczby α elementów z próbki. Wówczas Expected Shortfall próbkowy definiujemy w następujący sposób: wi=1 ESα(X) n X i:n =. (1.2) w Definicja (Expected Shortfall) Niech X będzie zmienną losową określającą przyszły zysk/stratę z portfela na ustalonym horyzoncie czasowym i niech α (0, 1) będzie pewnym poziomem ufności. Expected Shortfall (ES) portfela określamy jako: ES X α = 1 α ( E[X1{X Q X α }] Q X α (P[X Q X α ] α) ). (1.3) Zanim przejdziemy do przedstawienia kluczowego dla ES twierdzenia przytoczmy za [2] następujący lemat przydatny do dowodzenia pewnych cech ES. 5 Patrz [3], s. 6, wzór (10).

17 1.4. EXPECTED SHORTFALL 17 Lemat [2] Przy założeniach jak w definicji prawdziwa jest następująca tożsamość: ES X α = 1 α α 0 q X u du. (1.4) Dowód. Patrz dowód Propozycji 3.2 w [2] Najważniejszą własnością ES jest z pewnością jego koherentność. Mówi o tym następujące twierdzenie: Twierdzenie (Koherentność ES) [2] Niech α (0, 1) będzie ustalone. Rozważmy zbiór zmiennych losowych, przyjmujących wartości rzeczywiste V, określony w pewnej przestrzeni probabilistycznej (Ω, A, P). Niech E[X ] < dla każdego X V. Wówczas ESα X jest koherentną miarą ryzyka, tzn. spełnia aksjomaty Dowód. Dla uproszczenia zapisu wprowadźmy oznaczenie: ρ(x) = ES X α. W poniższych rachunkach korzystamy z własności kwantyla górnego (Lemat 1.3.1) oraz z następującej własności dystrybuanty rozkładu ( ) x n F tx+n (x) = F X. (1.5) t (i) Subaddytywność: Ze względu na obszerność dowodu i konieczność dowodzenia kilku lematów, pomijamy dowód w naszej pracy. Kompletny dowód można znaleźć w Dodatku A w [2]. (ii) Jednorodność: ρ(tx) = 1 ( ) E[tX1 α {tx Q tx α }] Q tx α (F tx (Q tx α ) α) = = 1 ( te[x1 α {tx tq X α }] tq X α (F X ( t ) t QX α ) α) = = t ( ) E[X1 α {X Q X α }] Q X α (F X (Q X α ) α) = = tρ(x) (iii) Monotoniczność: Niech X DS(2) Z, gdzie Z jest zmienną losową t.ż. P(Z = 0) = 1. Na mocy Lematu wystarczy pokazać, że ρ(x) 0. Dystrybuanta drugiego rzędu zmiennej Z jest postaci F (2) Z (x) = x F ( Zt)dt = x 1 [0, ) (t)dt = x1 [0, ) (x).

18 18 ROZDZIAŁ 1. MIARY RYZYKA Z Definicji (dominacja stochastyczna) otrzymujemy nierówność która implikuje x R x F X (t)dt x1 [0, ) (x), x (,0) F X (x) = 0, co oznacza, że P(X < 0) = 0. Dla zmiennej losowej X, która z prawdopodobieństwem jeden przyjmuje wartości nieujemne oczywiste jest, że qα X 0. Następstwem powyższych rachunków oraz Lematu jest teza ρ(x) = 1 α α 0 q X u du 0. (iv) Niezmienniczość ze względu na translację: ρ(x + n) = 1 ( E[(X + n)1 α {X+n Q X+n α } ] ) Q X+n α (F X+n (Q X+n α ) α) = = 1 ( E[(X + n)1 α {X+n Q X α +n}] ) (Q X α + n)(f X (Q X α + n n) α) = = 1 ( E[(X + n)1 α {X Q X α }] ) (Q X α + n)(f X (Q X α ) α) = = 1 ( ) E[X1 α {X Q X α }] Q X α (F X (Q X α ) α) 1 ( ) E[n1 α {X Q X α }] n(f X (Q X α ) α) = = ρ(x) n ( ) F X (Q X α ) F X (Q X α ) + α = α Zalety = ρ(x) n Przewaga ES nad VaR jest oczywista, jeśli uwzględnimy poniższe zalety ES jako miary ryzyka:

19 1.5. MIERZENIE RYZYKA PORTFELA INWESTYCYJNEGO 19 ze względu na Twierdzenie oraz Lemat ES jest wypukłą miarą ryzyka i dlatego z powodzeniem może być stosowana w teorii optymalizacji portfela inwestycyjnego; ES w przeciwieństwie do VaR uwzględnia informacje o grubości ogonów rozkładu; dzięki temu w pełni informuje nas o charakterze ponoszonego ryzyka; ES jest koherentną miarą ryzyka, a w konsekwencji jest subaddytywna; dzięki temu jest świetnym narzędziem do zarządzania ryzykiem i nie daje możliwości obchodzenia wymagań nakładanych przez regulatorów; dodatkową zaletą ES jest to, że bardzo dobre własności ma także jego estymator Mierzenie ryzyka portfela inwestycyjnego Mierzenie ryzyka portfela inwestycyjnego jest zagadnieniem skomplikowanym i złożonym. W podrozdziale tym przedstawimy jedynie podstawowe założenia i metody mierzenia ryzyka z wykorzystaniem ES i VaR. Pierwszym etapem pomiaru ryzyka jest dekompozycja instrumentów finansowych wchodzących w skład portfela na instrumenty proste - takie jak akcje, obligacje. 7 Dzięki dekompozycji łatwiej będzie określić jakie są czynniki ryzyka danego portfela. Przez czynniki ryzyka rozumiemy pewien podzbiór wszystkich parametrów występujących na rynku, które właściwie odwzorowują ryzyko, na które narażony jest nasz portfel. Nie ma uniwersalnych czynników ryzyka dla wszystkich portfeli. Dla przykładu dla portfela złożonego z różnych papierów dłużnych (np. obligacji, bonów skarbowych) cena jednej obligacji może być wystarczającym czynnikiem ryzyka. Dla portfela bardzo złożonego czynników ryzyka będzie więcej. Dla portfela zawierające opcje zmienność ceny instrumentu bazowego powinna być uwzględniona jako czynnik ryzyka. Najprostszy charakter ma zależność portfela złożonego z akcji od cen akcji. Mamy tu do czynienia z zależnością liniową. Inaczej jest w przypadku opcji. Ich cena nie zależy od ceny ceny akcji w sposób liniowy i dlatego trudniej jest mierzyć ryzyko portfeli złożonych z opcji. Określenie zależności cen instrumentów wchodzących w skład portfela od czynników ryzyka jest drugim etapem procesu pomiaru ryzyka. Ostatnim etapem jest przyjęcie metody obliczania ES (VaR). [33]. 6 Więcej na temat własności estymatora ES można znaleźć w [31]. 7 Szczegóły dotyczące dekompozycji instrumentów finansowych można znaleźć m. in. w

20 20 ROZDZIAŁ 1. MIARY RYZYKA Metoda kowariacyjna Metoda kowariacyjna (variance-covariance method) opiera się na założeniu, że przyrost wartości wszystkich czynników ryzyka ma rozkład gaussowski. Z punktu widzenia obliczeń rozkład gaussowski ma zasadniczą zaletę: funkcja liniowa zmiennych gaussowskich pozostaje zmienną gaussowską. Znając odchylenie standardowe i korelacje (kowariancje) pomiędzy różnymi czynnikami ryzyka oraz zakładając liniową zależność, można obliczyć odchylenie standardowe zmiany wartości całego portfela. W sytuacji kiedy ceny wszystkich instrumentów z portfela zależą w sposób liniowy od czynników ryzyka, obliczenie ES (VaR) sprowadza się do algebry macierzy. Jeśli w portfelu są opcje, czyli elementy w nieliniowy sposób zależne od czynników ryzyka, stosujemy rozwinięcie w szereg Taylora do pierwszego wyrazu: lub do drugiego wyrazu: df(x) f dx = dx, (1.6) X df(x) f X dx f 2 X 2 (dx)2 = dx + Γ 2 (dx)2, (1.7) gdzie f(x) oznacza cenę opcji na instrument bazowy X. i Γ to tradycyjne oznaczenie odpowiednio pierwszej i drugiej pochodnej z ceny opcji względem ceny instrumentu bazowego. 8 Metody wyceny opcji są tematem kolejnego rozdziału i tamże przedstawimy analityczne wzory na cenę opcji oraz na współczynniki i Γ. Metoda obliczania zmiany wartości portfela przy użyciu (1.6) nazywana jest metodą Delta normal, a przy wykorzystaniu (1.7) metodą Delta gamma. Dużą wadą zarówno wspomnianych metod jest to, że nie uwzględniają one zmienności instrumentu bazowego jako czynnika ryzyka dla opcji. 9 Przy założeniu normalności przyrostu czynników ryzyka; 8 Oprócz i Γ do analizy wrażliwości ceny opcji stosuje się współczynniki Θ, ρ i V (vega) będące odpowiednio pochodnymi cząstkowymi z ceny opcji po czasie, stopie procentowej i zmienności. Ponieważ współczynniki oznacza się literami greckiego alfabetu, przyjęło się nazywać je greckimi współczynnikami (greeks). 9 Jak duży jest wpływ zmienności na wartość opcji wykażemy w dalszej części pracy. W rozdziale 2.2, w którym przedstawimy model wyceny opcji ze stochastyczną zmiennością oraz w podrozdziale gdzie zaprezentujemy wyniki badań wskazujące, że model ten jest dużo skuteczniejszy od modelu Blacka Scholesa.

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Wykład 5. Wycena opcji modele dyskretne Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK Kurs letni dla studentów studiów zamawianych na kierunku Matematyka

Bardziej szczegółowo

Wycena opcji. Dr inż. Bożena Mielczarek

Wycena opcji. Dr inż. Bożena Mielczarek Wycena opcji Dr inż. Bożena Mielczarek Stock Price Wahania ceny akcji Cena jednostki podlega niewielkim wahaniom dziennym (miesięcznym) wykazując jednak stały trend wznoszący. Cena może się doraźnie obniżać,

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analitycznych i numerycznych metod wyceny opcji

Wstęp do analitycznych i numerycznych metod wyceny opcji Wstęp do analitycznych i numerycznych metod wyceny opcji Jan Palczewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 16 maja 2008 Jan Palczewski Wycena opcji Warszawa, 2008

Bardziej szczegółowo

Inwestycje finansowe. Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. Ryzyko.

Inwestycje finansowe. Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. Ryzyko. Inwestycje finansowe Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. yzyko. Inwestycje finansowe Instrumenty rynku pieniężnego (np. bony skarbowe). Instrumenty rynku walutowego. Obligacje. Akcje. Instrumenty pochodne.

Bardziej szczegółowo

Inwestor musi wybrać następujące parametry: instrument bazowy, rodzaj opcji (kupna lub sprzedaży, kurs wykonania i termin wygaśnięcia.

Inwestor musi wybrać następujące parametry: instrument bazowy, rodzaj opcji (kupna lub sprzedaży, kurs wykonania i termin wygaśnięcia. Opcje na GPW (II) Wbrew ogólnej opinii, inwestowanie w opcje nie musi być trudne. Na rynku tym można tworzyć strategie dla doświadczonych inwestorów, ale również dla początkujących. Najprostszym sposobem

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 03.10.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r.

Matematyka finansowa 03.10.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

Quantile hedging. czyli jak tanio i dobrze zabezpieczyć opcję. Michał Krawiec, Piotr Piestrzyński

Quantile hedging. czyli jak tanio i dobrze zabezpieczyć opcję. Michał Krawiec, Piotr Piestrzyński czyli jak tanio i dobrze zabezpieczyć opcję Michał Krawiec Piotr Piestrzyński Koło Naukowe Probabilistyki i Statystyki Matematycznej Uniwersytet Wrocławski Niedziela, 19 kwietnia 2015 Przykład (opis problemu)

Bardziej szczegółowo

Opcje na GPW (I) Możemy wyróżnić dwa rodzaje opcji: opcje kupna (ang. call options), opcje sprzedaży (ang. put options).

Opcje na GPW (I) Możemy wyróżnić dwa rodzaje opcji: opcje kupna (ang. call options), opcje sprzedaży (ang. put options). Opcje na GPW (I) Opcje (ang. options) to podobnie jak kontrakty terminowe bardzo popularny instrument notowany na rynkach giełdowych. Ich konstrukcja jest nieco bardziej złożona od kontraktów. Opcje można

Bardziej szczegółowo

OPCJE MIESIĘCZNE NA INDEKS WIG20

OPCJE MIESIĘCZNE NA INDEKS WIG20 OPCJE MIESIĘCZNE NA INDEKS WIG20 1 TROCHĘ HISTORII 1973 Fisher Black i Myron Scholes opracowują precyzyjną metodę obliczania wartości opcji słynny MODEL BLACK/SCHOLES 2 TROCHĘ HISTORII 26 kwietnia 1973

Bardziej szczegółowo

Struktura terminowa rynku obligacji

Struktura terminowa rynku obligacji Krzywa dochodowości pomaga w inwestowaniu w obligacje Struktura terminowa rynku obligacji Wskazuje, które obligacje są atrakcyjne a których unikać Obrazuje aktualną sytuację na rynku długu i zmiany w czasie

Bardziej szczegółowo

TRANSAKCJE ARBITRAŻOWE PODSTAWY TEORETYCZNE cz. 1

TRANSAKCJE ARBITRAŻOWE PODSTAWY TEORETYCZNE cz. 1 TRANSAKCJE ARBITRAŻOWE PODSTAWY TEORETYCZNE cz. 1 Podstawowym pojęciem dotyczącym transakcji arbitrażowych jest wartość teoretyczna kontraktu FV. Na powyższym diagramie przedstawiono wykres oraz wzór,

Bardziej szczegółowo

Wycena papierów wartościowych - instrumenty pochodne

Wycena papierów wartościowych - instrumenty pochodne Matematyka finansowa - 8 Wycena papierów wartościowych - instrumenty pochodne W ujęciu probabilistycznym cena akcji w momencie t jest zmienną losową P t o pewnym (zwykle nieznanym) rozkładzie prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Rozważmy

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 13.12.2010 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I

Matematyka finansowa 13.12.2010 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Pan

Bardziej szczegółowo

Wycena equity derivatives notowanych na GPW w obliczu wysokiego ryzyka dywidendy

Wycena equity derivatives notowanych na GPW w obliczu wysokiego ryzyka dywidendy Instrumenty pochodne 2014 Wycena equity derivatives notowanych na GPW w obliczu wysokiego ryzyka dywidendy Jerzy Dzieża, WMS, AGH Kraków 28 maja 2014 (Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives

Bardziej szczegółowo

Papiery wartościowe o stałym dochodzie

Papiery wartościowe o stałym dochodzie Papiery wartościowe o stałym dochodzie Inwestycje i teoria portfela Strona 1 z 42 1. Wartość pieniądza w czasie Złotówka dzisiaj (którą mamy w ręku) jest więcej warta niż (przyrzeczona) złotówka w przyszłości,

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Wykład 6. Wycena opcji modele ciągłe, metoda Monte Carlo Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK Kurs letni dla studentów studiów zamawianych na

Bardziej szczegółowo

Inne kryteria tworzenia portfela. Inne kryteria tworzenia portfela. Poziom bezpieczeństwa. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 3. Dr Katarzyna Kuziak

Inne kryteria tworzenia portfela. Inne kryteria tworzenia portfela. Poziom bezpieczeństwa. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 3. Dr Katarzyna Kuziak Inne kryteria tworzenia portfela Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 3 Dr Katarzyna Kuziak. Minimalizacja ryzyka przy zadanym dochodzie Portfel efektywny w rozumieniu Markowitza odchylenie standardowe

Bardziej szczegółowo

ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 689 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR 50 2012 ANALIZA WŁASNOŚCI OPCJI SUPERSHARE

ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 689 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR 50 2012 ANALIZA WŁASNOŚCI OPCJI SUPERSHARE ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 689 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR 5 212 EWA DZIAWGO ANALIZA WŁASNOŚCI OPCJI SUPERSHARE Wprowadzenie Proces globalizacji rynków finansowych stwarza

Bardziej szczegółowo

Współczynniki Greckie

Współczynniki Greckie Wojciech Antniak 05.0.008r. Wstęp Współczynniki greckie określają ryzyko opcji europejskiej na zmiany rynku. ażdy z nich określa w jaki sposób wpłynie zmiana jakiegoś czynnika na cenę akcji. W dalszej

Bardziej szczegółowo

Wykorzystanie funkcji powiązań do pomiaru ryzyka rynkowego. Katarzyna Kuziak

Wykorzystanie funkcji powiązań do pomiaru ryzyka rynkowego. Katarzyna Kuziak Wykorzystanie funkcji powiązań do pomiaru ryzyka rynkowego Katarzyna Kuziak Cel: łączenie różnych rodzajów ryzyka rynkowego za pomocą wielowymiarowej funkcji powiązań 2 Ryzyko rynkowe W pomiarze ryzyka

Bardziej szczegółowo

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe.

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Rachunek prawdopodobieństwa MAP3040 WPPT FT, rok akad. 2010/11, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Warunkowa wartość oczekiwana.

Bardziej szczegółowo

Czy opcje walutowe mogą być toksyczne?

Czy opcje walutowe mogą być toksyczne? Katedra Matematyki Finansowej Wydział Matematyki Stosowanej AGH 11 maja 2012 Kurs walutowy Kurs walutowy cena danej waluty wyrażona w innej walucie np. 1 USD = 3,21 PLN; USD/PLN = 3,21 Rodzaje kursów walutowych:

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

Opcje giełdowe i zabezpieczenie inwestycji. Filip Duszczyk Dział Rynku Terminowego

Opcje giełdowe i zabezpieczenie inwestycji. Filip Duszczyk Dział Rynku Terminowego Opcje giełdowe i zabezpieczenie inwestycji Filip Duszczyk Dział Rynku Terminowego Agenda: Analiza Portfela współczynnik Beta (β) Opcje giełdowe wprowadzenie Podstawowe strategie opcyjne Strategia Protective

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 04.04.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I

Matematyka finansowa 04.04.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 15.06.2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 15 czerwca 2015 r.

Matematyka finansowa 15.06.2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 15 czerwca 2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 czerwca 201 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Pracownik

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 08.01.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I

Matematyka finansowa 08.01.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 00 minut . Ile

Bardziej szczegółowo

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW ODRZUCANIE WYNIKÓW OJEDYNCZYCH OMIARÓW W praktyce pomiarowej zdarzają się sytuacje gdy jeden z pomiarów odstaje od pozostałych. Jeżeli wykorzystamy fakt, że wyniki pomiarów są zmienną losową opisywaną

Bardziej szczegółowo

Raport i dokumentacja Obliczanie Value-at-Risk portfela metodą Monte Carlo

Raport i dokumentacja Obliczanie Value-at-Risk portfela metodą Monte Carlo Raport i dokumentacja Obliczanie Value-at-Risk portfela metodą Monte Carlo 1. Opis problemu Celem pracy jest policzenie jednodniowej wartości narażonej na ryzyko (Value-at- Risk) portfela składającego

Bardziej szczegółowo

OBLICZANIE WYMOGU KAPITAŁOWEGO Z TYTUŁU RYZYKA CEN KAPITAŁOWYCH PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH

OBLICZANIE WYMOGU KAPITAŁOWEGO Z TYTUŁU RYZYKA CEN KAPITAŁOWYCH PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH DZIENNIK URZĘDOWY NBP NR 2-83 - poz. 3 Załącznik nr 8 do uchwały nr 1/2007 Komisji Nadzoru Bankowego z dnia 13 marca 2007 r. (poz. 3) OBLICZANIE WYMOGU KAPITAŁOWEGO Z TYTUŁU RYZYKA CEN KAPITAŁOWYCH PAPIERÓW

Bardziej szczegółowo

Ogłoszenie o zmianach statutu KBC OMEGA Funduszu Inwestycyjnego Zamkniętego z dnia 13 czerwca 2014 r.

Ogłoszenie o zmianach statutu KBC OMEGA Funduszu Inwestycyjnego Zamkniętego z dnia 13 czerwca 2014 r. Ogłoszenie o zmianach statutu KBC OMEGA Funduszu Inwestycyjnego Zamkniętego z dnia 13 czerwca 2014 r. KBC Towarzystwo Funduszy Inwestycyjnych S.A. działające jako organ KBC OMEGA Funduszu Inwestycyjnego

Bardziej szczegółowo

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej 7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach

Bardziej szczegółowo

Strategie inwestowania w opcje. Filip Duszczyk Dział Rynku Terminowego

Strategie inwestowania w opcje. Filip Duszczyk Dział Rynku Terminowego Strategie inwestowania w opcje Filip Duszczyk Dział Rynku Terminowego Agenda: Opcje giełdowe Zabezpieczenie portfela Spekulacja Strategie opcyjne 2 Opcje giełdowe 3 Co to jest opcja? OPCJA JAK POLISA Zabezpieczenie

Bardziej szczegółowo

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com Analiza korelacji i regresji KORELACJA zależność liniowa Obserwujemy parę cech ilościowych (X,Y). Doświadczenie jest tak pomyślane, aby obserwowane pary cech X i Y (tzn i ta para x i i y i dla różnych

Bardziej szczegółowo

Krzysztof Piontek MODELOWANIE I PROGNOZOWANIE ZMIENNOŚCI INSTRUMENTÓW FINANSOWYCH

Krzysztof Piontek MODELOWANIE I PROGNOZOWANIE ZMIENNOŚCI INSTRUMENTÓW FINANSOWYCH Akademia Ekonomiczna im. Oskara Langego we Wrocławiu Wydział Zarządzania i Informatyki Krzysztof Piontek MODELOWANIE I PROGNOZOWANIE ZMIENNOŚCI INSTRUMENTÓW FINANSOWYCH rozprawa doktorska Promotor: prof.

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r. Zadanie. W pewnej populacji każde ryzyko charakteryzuje się trzema parametrami q, b oraz v, o następującym znaczeniu: parametr q to prawdopodobieństwo, że do szkody dojdzie (może zajść co najwyżej jedna

Bardziej szczegółowo

ANALIZA OPCJI ANALIZA OPCJI - WYCENA. Krzysztof Jajuga Katedra Inwestycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu

ANALIZA OPCJI ANALIZA OPCJI - WYCENA. Krzysztof Jajuga Katedra Inwestycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu Krzysztof Jajuga Katedra Inwestycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu Podstawowe pojęcia Opcja: in-the-money (ITM call: wartość instrumentu podstawowego > cena wykonania

Bardziej szczegółowo

Matematyka bankowa 1 1 wykład

Matematyka bankowa 1 1 wykład Matematyka bankowa 1 1 wykład Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur

Bardziej szczegółowo

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

Prace magisterskie 1. Założenia pracy 2. Budowa portfela

Prace magisterskie 1. Założenia pracy 2. Budowa portfela 1. Założenia pracy 1 Założeniem niniejszej pracy jest stworzenie portfela inwestycyjnego przy pomocy modelu W.Sharpe a spełniającego następujące warunki: - wybór akcji 8 spółek + 2 papiery dłużne, - inwestycja

Bardziej szczegółowo

R NKI K I F I F N N NSOW OPCJE

R NKI K I F I F N N NSOW OPCJE RYNKI FINANSOWE OPCJE Wymagania dotyczące opcji Standard opcji Interpretacja nazw Sposoby ustalania ostatecznej ceny rozliczeniowej dla opcji na GPW OPCJE - definicja Kontrakt finansowy, w którym kupujący

Bardziej szczegółowo

Opcje koszykowe a lokaty strukturyzowane - wycena

Opcje koszykowe a lokaty strukturyzowane - wycena Opcje koszykowe a lokaty strukturyzowane - wycena Basket options and structured deposits - pricing Janusz Gajda Promotor: dr hab. inz. Rafał Weron Politechnika Wrocławska Plan prezentacji Cel pracy Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Forward Rate Agreement

Forward Rate Agreement Forward Rate Agreement Nowoczesne rynki finansowe oferują wiele instrumentów pochodnych. Należą do nich: opcje i warranty, kontrakty futures i forward, kontrakty FRA (Forward Rate Agreement) oraz swapy.

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA DYNAMICZNYCH LOKAT KAPITAŁOWYCH Krzysztof Gąsior Uniwersytet Rzeszowski Streszczenie Celem referatu jest zaprezentowanie praktycznego zastosowania

Bardziej szczegółowo

Bankowość Zajęcia nr 5 i 6

Bankowość Zajęcia nr 5 i 6 Motto zajęć: "za złoty dukat co w słońcu błyszczy" Bankowość Zajęcia nr 5 i 6 Ryzyko bankowe Ryzyko płynności Rola bilansu i cash flow; Metoda luki: Aktywa określonego rodzaju (AOR), Pasywa określonego

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących

Bardziej szczegółowo

OPCJE. Slide 1. This presentation or any of its parts cannot be used without prior written permission of Dom Inwestycyjny BRE Banku S..A.

OPCJE. Slide 1. This presentation or any of its parts cannot be used without prior written permission of Dom Inwestycyjny BRE Banku S..A. OPCJE Slide 1 Informacje ogólne definicje opcji: kupna (call)/sprzedaŝy (put) terminologia typy opcji krzywe zysk/strata Slide 2 Czym jest opcja KUPNA (CALL)? Opcja KUPNA (CALL) jest PRAWEM - nie zobowiązaniem

Bardziej szczegółowo

Budowa sztucznych sieci neuronowych do prognozowania. Przykład jednostek uczestnictwa otwartego funduszu inwestycyjnego

Budowa sztucznych sieci neuronowych do prognozowania. Przykład jednostek uczestnictwa otwartego funduszu inwestycyjnego Budowa sztucznych sieci neuronowych do prognozowania. Przykład jednostek uczestnictwa otwartego funduszu inwestycyjnego Dorota Witkowska Szkoła Główna Gospodarstwa Wiejskiego w Warszawie Wprowadzenie Sztuczne

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji

Bardziej szczegółowo

1. Ubezpieczenia życiowe

1. Ubezpieczenia życiowe 1. Ubezpieczenia życiowe Przy ubezpieczeniach życiowych mamy do czynienia z jednorazową wypłatą sumy ubezpieczenia. Moment jej wypłaty i wielkość wypłaty może być funkcją zmiennej losowej T a więc czas

Bardziej szczegółowo

Inżynieria finansowa Wykład II Stopy Procentowe

Inżynieria finansowa Wykład II Stopy Procentowe Inżynieria finansowa Wykład II Stopy Procentowe Wydział Matematyki Informatyki i Mechaniki UW 11 października 2011 1 Rynkowe stopy procentowe Rodzaje stóp rynkowych Reguły rachunku stóp 2 3 Definicje stóp

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

Zarządzanie ryzykiem. Opracował: Dr inŝ. Tomasz Zieliński

Zarządzanie ryzykiem. Opracował: Dr inŝ. Tomasz Zieliński Zarządzanie ryzykiem Opracował: Dr inŝ. Tomasz Zieliński I. OGÓLNE INFORMACJE O PRZEDMIOCIE Cel przedmiotu: Celem przedmiotu jest zaprezentowanie studentom podstawowych pojęć z zakresu ryzyka w działalności

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 26.05.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I

Matematyka finansowa 26.05.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Przyjmijmy

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 8.12.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część I

Matematyka finansowa 8.12.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Finanse behawioralne. Finanse 110630-1165

Finanse behawioralne. Finanse 110630-1165 behawioralne Plan wykładu klasyczne a behawioralne Kiedy są przydatne narzędzia finansów behawioralnych? Przykłady modeli finansów behawioralnych klasyczne a behawioralne klasyczne opierają się dwóch założeniach:

Bardziej szczegółowo

Opis subskrypcji Załącznik do Deklaracji Przystąpienia do Ubezpieczenia na życie i dożycie NORD GOLDEN edition

Opis subskrypcji Załącznik do Deklaracji Przystąpienia do Ubezpieczenia na życie i dożycie NORD GOLDEN edition Opis produktu Ubezpieczenie na życie i dożycie NORD GOLDEN edition to grupowe ubezpieczenie ze składką w PLN, płatną jednorazowo, w którym ochrony ubezpieczeniowej udziela MetLife Towarzystwo Ubezpieczeń

Bardziej szczegółowo

Wykorzystanie opcji w zarządzaniu ryzykiem finansowym

Wykorzystanie opcji w zarządzaniu ryzykiem finansowym Prof. UJ dr hab. Andrzej Szopa Instytut Spraw Publicznych Uniwersytet Jagielloński Wykorzystanie opcji w zarządzaniu ryzykiem finansowym Ryzyko finansowe rozumiane jest na ogół jako zjawisko rozmijania

Bardziej szczegółowo

Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3

Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3 Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3 21.06.2005 r. 4. Planowanie eksperymentów symulacyjnych Podczas tego etapu ważne jest określenie typu rozkładu badanej charakterystyki. Dzięki tej informacji

Bardziej szczegółowo

OGŁOSZENIE O ZMIANIE STATUTU UNIOBLIGACJE HIGH YIELD FUNDUSZU INWESTYCYJNEGO ZAMKNIĘTEGO Z DNIA 23 CZERWCA 2016 R.

OGŁOSZENIE O ZMIANIE STATUTU UNIOBLIGACJE HIGH YIELD FUNDUSZU INWESTYCYJNEGO ZAMKNIĘTEGO Z DNIA 23 CZERWCA 2016 R. OGŁOSZENIE O ZMIANIE STATUTU UNIOBLIGACJE HIGH YIELD FUNDUSZU INWESTYCYJNEGO ZAMKNIĘTEGO Z DNIA 23 CZERWCA 2016 R. Niniejszym, Union Investment Towarzystwo Funduszy Inwestycyjnych S.A. ogłasza o zmianie

Bardziej szczegółowo

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Rachunek prawdopodobieństwa MAP1181 Wydział PPT, MS, rok akad. 213/14, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów.

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Ze świata biznesu... 13. Przedmowa do wydania polskiego... 15. Wstęp... 19

Spis treści. Ze świata biznesu... 13. Przedmowa do wydania polskiego... 15. Wstęp... 19 Spis treści Ze świata biznesu............................................................ 13 Przedmowa do wydania polskiego.............................................. 15 Wstęp.......................................................................

Bardziej szczegółowo

Metodologia wyznaczania greckich współczynników dla opcji na WIG20

Metodologia wyznaczania greckich współczynników dla opcji na WIG20 Metodologia wyznaczania greckich współczynników dla opcji na WIG20 (1) Dane wejściowe. Greckie współczynniki kalkulowane są po zamknięciu sesji na podstawie następujących danych: S wartość indeksu WIG20

Bardziej szczegółowo

istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy

istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy MODEL REGRESJI LINIOWEJ. METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW Analiza regresji zajmuje się badaniem zależności pomiędzy interesującymi nas wielkościami (zmiennymi), mające na celu konstrukcję modelu, który dobrze

Bardziej szczegółowo

Opcje giełdowe. Wprowadzenie teoretyczne oraz zasady obrotu

Opcje giełdowe. Wprowadzenie teoretyczne oraz zasady obrotu Opcje giełdowe Wprowadzenie teoretyczne oraz zasady obrotu NAJWAŻNIEJSZE CECHY OPCJI Instrument pochodny (kontrakt opcyjny), Asymetryczny profil wypłaty, Możliwość budowania portfeli o różnych profilach

Bardziej szczegółowo

Analiza zdarzeń Event studies

Analiza zdarzeń Event studies Analiza zdarzeń Event studies Dobromił Serwa akson.sgh.waw.pl/~dserwa/ef.htm Leratura Campbell J., Lo A., MacKinlay A.C.(997) he Econometrics of Financial Markets. Princeton Universy Press, Rozdział 4.

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 11.10.2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r.

Matematyka finansowa 11.10.2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU Czas egzaminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

STOPA DYSKONTOWA 1+ =

STOPA DYSKONTOWA 1+ = Piotr Cegielski, MAI, MRICS, CCIM STOPA DYSKONTOWA (Wybrane fragmenty artykułu opublikowanego w C.H. Beck Nieruchomości, numer 10 z 2011 r. Całość dostępna pod adresem internetowym: www.nieruchomosci.beck.pl)

Bardziej szczegółowo

INSTRUMENTY POCHODNE OPCJE EUROPEJSKIE OPCJE AMERYKAŃSKIE OPCJE EGZOTYCZNE

INSTRUMENTY POCHODNE OPCJE EUROPEJSKIE OPCJE AMERYKAŃSKIE OPCJE EGZOTYCZNE INSTRUMENTY POCHODNE OPCJE EUROPEJSKIE OPCJE AMERYKAŃSKIE OPCJE EGZOTYCZNE OPCJE / DEFINICJA Opcja jest prawem do zakupu lub sprzedaży określonej ilości wyspecyfikowanego przedmiotu (tzw. instrumentu bazowego)

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 10.12.2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r.

Matematyka finansowa 10.12.2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie Excela w matematyce

Zastosowanie Excela w matematyce Zastosowanie Excela w matematyce Komputer w dzisiejszych czasach zajmuje bardzo znamienne miejsce. Trudno sobie wyobrazić jakąkolwiek firmę czy instytucję działającą bez tego urządzenia. W szkołach pierwsze

Bardziej szczegółowo

Opcje Giełdowe. Filip Duszczyk Dział Rynku Terminowego GPW

Opcje Giełdowe. Filip Duszczyk Dział Rynku Terminowego GPW Opcje Giełdowe Filip Duszczyk Dział Rynku Terminowego GPW Warszawa, 7 maja 2014 Czym są opcje indeksowe (1) Kupno opcji Koszt nabycia Zysk Strata Prawo, lecz nie obligacja, do kupna lub sprzedaży instrumentu

Bardziej szczegółowo

Finansowe szeregi czasowe

Finansowe szeregi czasowe 24 kwietnia 2009 Modelem szeregu czasowego jest proces stochastyczny (X t ) t Z, czyli rodzina zmiennych losowych, indeksowanych liczbami całkowitymi i zdefiniowanych na pewnej przestrzeni probabilistycznej

Bardziej szczegółowo

MATERIAŁ INFORMACYJNY

MATERIAŁ INFORMACYJNY MATERIAŁ INFORMACYJNY Strukturyzowane Certyfikaty Depozytowe Lokata inwestycyjna powiązana z rynkiem akcji ze 100% ochroną zainwestowanego kapitału w Dniu Wykupu Emitent Bank BPH SA Numer Serii Certyfikatów

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

Kontrakty terminowe na akcje

Kontrakty terminowe na akcje Kontrakty terminowe na akcje Zawartość prezentacji podstawowe informacje o kontraktach terminowych na akcje, zasady notowania, wysokość depozytów zabezpieczających, przykłady wykorzystania kontraktów,

Bardziej szczegółowo

STRATEGIE NA RYNKU OPCJI. KUPNO OPCJI KUPNA (Long Call)

STRATEGIE NA RYNKU OPCJI. KUPNO OPCJI KUPNA (Long Call) STRATEGIE NA RYNKU OPCJI KUPNO OPCJI KUPNA (Long Call) * * * Niniejsza broszura ma charakter jedynie edukacyjny i nie stanowi oferty kupna ani oferty sprzedaży żadnych instrumentów finansowych ani usług

Bardziej szczegółowo

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE Zarządzanie i Inżynieria Produkcji studia stacjonarne Konspekt do wykładu z Matematyki 1 1 Postać trygonometryczna liczby zespolonej zastosowania i przykłady 1 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Nazwy skrócone opcji notowanych na GPW tworzy się w następujący sposób: OXYZkrccc, gdzie:

Nazwy skrócone opcji notowanych na GPW tworzy się w następujący sposób: OXYZkrccc, gdzie: Opcje na GPW (III) Na warszawskiej Giełdzie Papierów Wartościowych notuje się opcje na WIG20 i akcje niektórych spółek o najwyższej płynności. Każdy rodzaj opcji notowany jest w kilku, czasem nawet kilkunastu

Bardziej szczegółowo

Ogłoszenie o zmianach w treści statutu PKO GLOBALNEJ MAKROEKONOMII fundusz inwestycyjny zamknięty (nr 9/2013)

Ogłoszenie o zmianach w treści statutu PKO GLOBALNEJ MAKROEKONOMII fundusz inwestycyjny zamknięty (nr 9/2013) Warszawa, dnia 13 czerwca 2013 roku Ogłoszenie o zmianach w treści statutu PKO GLOBALNEJ MAKROEKONOMII fundusz inwestycyjny zamknięty (nr 9/2013) 1. w artykule 3 ust. 7 otrzymuje następujące brzmienie:

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 30.09.2013 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r.

Matematyka finansowa 30.09.2013 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXV Egzamin dla Aktuariuszy z 30 września 2013 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

PLANOWANIE I OCENA PRZEDSIĘWZIĘĆ INWESTYCYJNYCH

PLANOWANIE I OCENA PRZEDSIĘWZIĘĆ INWESTYCYJNYCH Mariusz Próchniak Katedra Ekonomii II, SGH PLANOWANIE I OCENA PRZEDSIĘWZIĘĆ INWESTYCYJNYCH Ekonomia menedżerska 1 2 Wartość przyszła (FV future value) r roczna stopa procentowa B kwota pieniędzy, którą

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 16 maja 2005 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 16 maja 2005 r. Część I Matematyka finansowa Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 6 maja 005 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU A Czas egzaminu: 00 minut . Inwestorzy

Bardziej szczegółowo

Klasyfikacja w oparciu o metrykę budowaną poprzez dystrybuanty empiryczne na przestrzeni wzorców uczących

Klasyfikacja w oparciu o metrykę budowaną poprzez dystrybuanty empiryczne na przestrzeni wzorców uczących Klasyfikacja w oparciu o metrykę budowaną poprzez dystrybuanty empiryczne na przestrzeni wzorców uczących Cezary Dendek Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych PW Plan prezentacji Plan prezentacji Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1. tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 20.06.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r.

Matematyka finansowa 20.06.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

istota transakcji opcyjnych, rodzaje opcji, czynniki wpływające na wartość opcji (premii). Mała powtórka: instrumenty liniowe

istota transakcji opcyjnych, rodzaje opcji, czynniki wpływające na wartość opcji (premii). Mała powtórka: instrumenty liniowe Opcje istota transakcji opcyjnych, rodzaje opcji, czynniki wpływające na wartość opcji (premii). Mała powtórka: instrumenty liniowe Punkt odniesienia dla rozliczania transakcji terminowej forward: ustalony

Bardziej szczegółowo

Rozkłady dwóch zmiennych losowych

Rozkłady dwóch zmiennych losowych Rozkłady dwóch zmiennych losowych Uogólnienie pojęć na rozkład dwóch zmiennych Dystrybuanta i gęstość prawdopodobieństwa Rozkład brzegowy Prawdopodobieństwo warunkowe Wartości średnie i odchylenia standardowe

Bardziej szczegółowo

Strategie zabezpieczaj ce

Strategie zabezpieczaj ce 04062008 Plan prezentacji Model binarny Model Black Scholesa Bismut- Elworthy -Li formuła Model binarny i opcja call Niech cena akcji w chwili pocz tkowej wynosi S 0 = 21 Zaªó»my,»e ceny akcji po trzech

Bardziej szczegółowo

STRATEGIE NA RYNKU OPCJI. KUPNO OPCJI SPRZEDAŻY (Long Put)

STRATEGIE NA RYNKU OPCJI. KUPNO OPCJI SPRZEDAŻY (Long Put) STRATEGIE NA RYNKU OPCJI KUPNO OPCJI SPRZEDAŻY (Long Put) * * * Niniejsza broszura ma charakter jedynie edukacyjny i nie stanowi oferty kupna ani oferty sprzedaży żadnych instrumentów finansowych ani usług

Bardziej szczegółowo

Streszczenia referatów

Streszczenia referatów Streszczenia referatów mgr Marcin Krzywda Jak estymować zmienność na rynku akcji? Do praktycznego zastosowania modeli matematyki finansowej musimy potrafić wyznaczyć parametry zmiennych rynkowych. Jednym

Bardziej szczegółowo