Ryzyko na rynkach finansowych

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Ryzyko na rynkach finansowych"

Transkrypt

1 Ryzyko na rynkach finansowych dr Tomasz Chmielewski Szkoła Główna Handlowa Katedra Polityki Pieniężnej Semestr letni 2011/2012

2 Wstęp Plan wykładu Wprowadzenie do pomiaru ryzyka rynkowego Rozkłady stóp zwrotu z różnych aktywów Realizm normalności Grube ogony Wybrane aspekty modelowania rozkładów Przeglad wybranych rozkładów Modele GARCH/MGARCH Miary ryzyka Pożadane cechy miar ryzyka VaR jako (nieidealna) miara ryzyka rynkowego Inne miary ryzyka Rozszerzenia

3 Wstęp (Wybrana) literatura do drugiej części zajęć (1) T.G. Andersen, T. Bollerslev, F.X. Diebold, Parametric and Nonparametric Volatility Measurement, w: L.P. Hansen, Y. Ait-Sahalia (red.) Handbook of Financial Econometrics, North-Holland, Amsterdam T.G. Andersen, T. Bollerslev, P.F. Christoffersen, F.X. Diebold, Practical Volatility and Correlation Modeling for Financial Market Risk Management, w: M. Carey, R. Stultz (red.), Risks of Financial Institutions, University of Chicago Press for NBER, T.G. Andersen, T. Bollerslev, P.F. Christoffersen, F.X. Diebold, Volatility and Correlation Forecasting, w: G. Elliot, C.W.J. Granger, A. Timmermann, Handbook of Economic Forecasting, North-Holland, Amsterdam 2006.

4 Wstęp (Wybrana) literatura do drugiej części zajęć (2) J.Y. Campbell, A.W. Lo, A.C. MacKinlay, The Econometrics of Financial Markets, Princeton University Press, Princeton C. Alexander, Market Models. A Guide to Financial Data Analysis, John Wiley & Sons, Chichester K. Dowd, Measuring Market Risk (2 wyd.), John Wiley & Sons, Chichester BIS (2011), Messages from the academic literature on risk measurement for the trading book, BCBS Working Papers No 19

5 Stopy zwrotu Wprowadzenie Outline 1 Wstęp 2 Stopy zwrotu Wprowadzenie Proces generujacy stopy zwrotu Alternatywne rozkłady 3 Modele warunkowej zmienności Warunkowa zmienność wprowadzenie Jednowymiarowe modele GARCH Wielowymiarowe modele GARCH 4 Podstawowe miary ryzyka Spójne miary ryzyka VaR Expected shortfall 5 Spektralne miary ryzyka Definicja 6 Wybrane modele ryzyka kredytowego

6 Stopy zwrotu Wprowadzenie Stopy zwrotu dla porzadku Prosta stopa zwrotu: Logarytmiczna stopa zwrotu: r t ln(1 + R t ) = ln R t = P t P t 1 P t 1 = P t P t 1 1 P t P t 1 = ln(p t ) ln(p t 1 ) = p t p t 1 O ile nie zaznaczono inaczej, w tej prezentacji wykorzystywane sa dzienne logarytmiczne stopy zwrotu Addytywność Pewne ułatwienia w modelowaniu stóp zwrotu jako szeregów czasowych Ostrożnie z portfelami

7 Stopy zwrotu Wprowadzenie Dlaczego rozkłady stóp zwrotu? Zwykle wygodniej modelować stopy zwrotu niż poziomy cen Stopy zwrotu być może sa niezależne w czasie, ceny na pewno sa zależne Problemy z integracja szeregów wygodniej jest nie mieć trendów Zarz adzanie ryzykiem: o ile i z jakim prawdopodobieństwem może zmienić się wartość mojego portfela?

8 Stopy zwrotu Proces generujacy stopy zwrotu Outline 1 Wstęp 2 Stopy zwrotu Wprowadzenie Proces generujacy stopy zwrotu Alternatywne rozkłady 3 Modele warunkowej zmienności Warunkowa zmienność wprowadzenie Jednowymiarowe modele GARCH Wielowymiarowe modele GARCH 4 Podstawowe miary ryzyka Spójne miary ryzyka VaR Expected shortfall 5 Spektralne miary ryzyka Definicja 6 Wybrane modele ryzyka kredytowego

9 Stopy zwrotu Proces generujacy stopy zwrotu Grube ogony rozkładów Centralne twierdzenie graniczne daje nadzieję na korzystne własności statystyczne rozkładów Badania empiryczne potwierdzaja odchylenia od normalności Odchylenia te zwykle tym większe, im stopy zwrotu dla krótszego okresu Grube ogony istotne w modelowaniu ryzyka znaczna modyfikacja tej części rozkładu, która jest przedmiotem największego zainteresowania

10 Stopy zwrotu Proces generujacy stopy zwrotu Dlaczego obserwujemy grube ogony? W rzeczywistości rozkład inny niż normalny? Heteroskedastyczność i niewłaściwe ujęcie efektów GARCH? Stopy zwrotów w rzeczywistości pochodza z mieszaniny rozkładów normalnych? Wpływ nieefektywności rynków? Wpływ mikrostruktury rynków? Zmienność stochastyczna? Proces nieciagły (skoki)? Tak naprawdę wszystko jest normalne, tylko mamy zbyt mało obserwacji, żeby to stwierdzić?

11 Stopy zwrotu Alternatywne rozkłady Outline 1 Wstęp 2 Stopy zwrotu Wprowadzenie Proces generujacy stopy zwrotu Alternatywne rozkłady 3 Modele warunkowej zmienności Warunkowa zmienność wprowadzenie Jednowymiarowe modele GARCH Wielowymiarowe modele GARCH 4 Podstawowe miary ryzyka Spójne miary ryzyka VaR Expected shortfall 5 Spektralne miary ryzyka Definicja 6 Wybrane modele ryzyka kredytowego

12 Stopy zwrotu Alternatywne rozkłady Rozkłady stabilne Szukamy rozkładów, dla których szansa zdarzeń odległych od średniej byłaby większa niż dla rozkładu normalnego Wśród kandydatów: rodzina rozkładów stabilnych Suma zmiennych losowych z rozkładów stabilnych ma rozkład stabilny Rozkład normalny szczególnym przypadkiem Znane postaci analityczne funkcji gęstości dla rozkładu Cauchy ego i Bernoulliego

13 Stopy zwrotu Alternatywne rozkłady Problemy z niektórymi rozkładami stabilnymi Niewygodne w wyprowadzeniach Ogony tak grube, że nie istnieja drugie momenty Czyli brak odchylenia standardowego Czyli brak korelacji Problemy z funkcja użyteczności (poza najbardziej trywialnymi przypadkami wyższe momenty rozkładu też się przydaja) Implikuj a tak samo nienormalne rozkłady stóp zwrotu dla dłuższych okresów utrzymywania wbrew wynikom empirycznym

14 Stopy zwrotu Alternatywne rozkłady Rozkłady gruboogonowe z istniejacymi wyższymi momentami Rozkład t-studenta Mieszanina rozkładów normalnych (1 δ t )ε 1,t + δ t ε 2,t δ t zmienna binarna przełaczaj aca między rozkładami normalnymi o różnych wariancjach Procesy ze skokami

15 Stopy zwrotu Alternatywne rozkłady Przykład: Mieszanina rozkładów normalnych Dwie zmienne o rozkładzie normalnym ε i N(µ i, σ 2 i ), µ 1 = µ 2 = 0, σ 2 1 = 1, σ2 2 = 3 Z prawdopodobieństwem 95% losujemy z rozkładu ε 1, zaś z prawd. 5% z rozkładu ε 2 Generujemy szereg obserwacji W efekcie obserwowany rozkład bezwarunkowy będzie miał grube ogony

16 Stopy zwrotu Alternatywne rozkłady Mieszanina rozkładów normalnych

17 Stopy zwrotu Alternatywne rozkłady Mieszanina rozkładów normalnych

18 Stopy zwrotu Alternatywne rozkłady Mieszanina rozkładów normalnych Mieszanina Dopasowany rozkład normalny

19 Stopy zwrotu Alternatywne rozkłady Mieszanina rozkładów normalnych Dopasowany rozkład normalny Mieszanina

20 Wybrane rozkłady gruboogonowe Proces ze skokami Do typowego procesu generujacego stopy zwrotu dodajemy komponent odpowiedzialny za skoki nagłe, znaczne zmiany Możliwe jest wtedy uzyskanie niezerowej skośności rozkładu oraz efektu grubych ogonów r t = e t + et J e t N(0, σt 2) Zmienna et J jest suma N t zmiennych losowych J n, n = 1,..., N t N t jest zmienna losowa o rozkładzie Poissona ze średnia λ, gdzie λ jest liczba "skoków" w ciagu dnia J N N(µ J, σj 2)

21 Wybrane rozkłady gruboogonowe Proces ze skokami parametry Średnia: λµ J Wariancja: σ 2 + λ(µ 2 J + σ2 J ) Skośność: λµ J (µ 2 J + 3σ2 J ) Kurtoza: 3 + λ(µ 4 J + 6µ2 J σ2 J + 3σ4 J )

22 Wybrane rozkłady gruboogonowe GEV Teoria wartości ekstremalnych pozwala na wyprowadzenie rozkładu skrajnych realizacji zmiennych losowych przy dość ogólnych założeniach { exp[ (1 + ξ(x µ)/σ) H ξ,µ,σ = 1/ξ ], jeżeli ξ 0 exp[ exp( (x µ)/σ)], jeżeli ξ = 0 gdzie musi być spełniony warunek 1 + ξ(x µ)/σ > 0 Parametry położenia (µ) oraz skali (σ) nie moga być bezpośrednio utożsamiane ze średnia i odchyleniem standardowym

23 Wybrane rozkłady gruboogonowe GEV Parametr ξ decyduje o charakterze ogona rozkładu Dla ξ > 0 GEV daje rozkład Frécheta, co oznacza, że zmienna x ma rozkład gruboognowy Dla ξ = 0 otrzymujemy rozkład Gumbela z kurtoza taka, jak dla rozkładu normalnego (3) Dla ξ < 0 (rozkład Weibulla) mamy ogon cieńszy niż dla rozkładu normalnego Możliwe wyprowadzenie wielkości VaR; ξ > 0: VaR α = µ σ ξ [1 ( log(α)) ξ ] ξ = 0: VaR α = µ σ log[log(1/α)]

24 Wybrane rozkłady gruboogonowe POT uogólniony rozkład Pareto Niech X będzie zmienna losowa o dystrybuancie F(x), dla danego poziomu granicznego u można określić rozkład strat przekraczajacych u: F u (y) = P(X u y X > u) Dla dużych wartości u, rozkład F u (y) daży do uogólnionego rozkładu Pareto: G ξ,β = { 1 (1 + ξx/β) 1/ξ, jeżeli ξ 0 1 exp( x/β), jeżeli ξ = 0

25 Wybrane rozkłady gruboogonowe POT parametryzacja Rozkład zależy tylko od dwóch parametrów skali (β) oraz kształtu (ξ), decydujacym o charakterze ogona (tail index) Problem doboru granicznej wartości u wysoka wartość wymagana, żeby zadziałała asymptotyczna teoria, jednak to ogranicza liczbę obserwacji ekstremalnych Możliwe wyznaczenie { wartości VaR: [ } VaR α = u + β n ξ (1 α)] ξ Nu 1

26 Modele warunkowej zmienności Warunkowa zmienność wprowadzenie Outline 1 Wstęp 2 Stopy zwrotu Wprowadzenie Proces generujacy stopy zwrotu Alternatywne rozkłady 3 Modele warunkowej zmienności Warunkowa zmienność wprowadzenie Jednowymiarowe modele GARCH Wielowymiarowe modele GARCH 4 Podstawowe miary ryzyka Spójne miary ryzyka VaR Expected shortfall 5 Spektralne miary ryzyka Definicja 6 Wybrane modele ryzyka kredytowego

27 Modele warunkowej zmienności Warunkowa zmienność wprowadzenie Zmienność oszacowania czy zmienność parametru? okno22 okno60 okno250

28 Modele warunkowej zmienności Warunkowa zmienność wprowadzenie Modelowanie zmienności Zmienność jest zmienna w czasie Zmienność nie jest bezpośrednio obserwowalna Zmienność może być podstawa wyceny instrumentów finansowych Jaka jest wartość zmienności dzisiaj? Jaka będzie wartość zmienności jutro? Skad brać zmienność?

29 Modele warunkowej zmienności Warunkowa zmienność wprowadzenie Dlaczego modele warunkowej zmienności? Wycena opcji Realistyczne oszacowania ryzyka Szacowanie stóp zwrotu skorygowanych o ryzyko Wybór optymalnego portfela Zmienne w czasie β w CAPM

30 Modele warunkowej zmienności Warunkowa zmienność wprowadzenie Model wygładzania wykładniczego σ 2 t = λσ 2 t 1 + (1 λ)r 2 t 1 σt 2 = (1 λ)λ j rt 1 j 2 j=0 Podejście spopularyzowane przez RiskMetrics λ kalibrowana arbitralnie (zwykle 0,94 dla danych dziennych) Jak szybko model zapomina o historycznej zmienności

31 Modele warunkowej zmienności Jednowymiarowe modele GARCH Outline 1 Wstęp 2 Stopy zwrotu Wprowadzenie Proces generujacy stopy zwrotu Alternatywne rozkłady 3 Modele warunkowej zmienności Warunkowa zmienność wprowadzenie Jednowymiarowe modele GARCH Wielowymiarowe modele GARCH 4 Podstawowe miary ryzyka Spójne miary ryzyka VaR Expected shortfall 5 Spektralne miary ryzyka Definicja 6 Wybrane modele ryzyka kredytowego

32 Modele warunkowej zmienności Jednowymiarowe modele GARCH Model GARCH σt 2 = ω + αrt βσ2 t 1 ; ω, α, β 0; α + β 1 σ 2 t = ω 1 β + α β j 1 r 2 t j Możliwe uogólnienie na GARCH(m,n) Liczne wersje modelu GARCH (asymetryczne, zapadkowe, modyfikacje procesu r,...) Estymacja zwykle poprzez (quasi) MNW Model wygładzania wykładniczego jest szczególnym przypadkiem GARCH(1,1)

33 Modele warunkowej zmienności Jednowymiarowe modele GARCH Model GARCH σ 2 t = ω + αr 2 t 1 + βσ2 t 1 σ 2 ω 1 α β Zależność od wartości długookresowej: σ 2 t = σ 2 + α(r 2 t 1 σ2 ) + β(σ 2 t 1 σ2 ) Warunkowa prognoza zmienności: σ 2 t+k t = σ2 + (α + β) k 1 (σ 2 t+1 t σ2 )

34 Modele warunkowej zmienności Wielowymiarowe modele GARCH Outline 1 Wstęp 2 Stopy zwrotu Wprowadzenie Proces generujacy stopy zwrotu Alternatywne rozkłady 3 Modele warunkowej zmienności Warunkowa zmienność wprowadzenie Jednowymiarowe modele GARCH Wielowymiarowe modele GARCH 4 Podstawowe miary ryzyka Spójne miary ryzyka VaR Expected shortfall 5 Spektralne miary ryzyka Definicja 6 Wybrane modele ryzyka kredytowego

35 Modele warunkowej zmienności Wielowymiarowe modele GARCH Wielowymiarowe modele warunkowej zmienności (MGARCH) Zmienność na różnych rynkach może zależeć od wspólnych czynników Wzrost zmienności na jednym rynku może powodować zmianę zmienności na innym rynku Zależności (kowariancje/korelacje) między rynkami mog a być zmienne w czasie

36 Modele warunkowej zmienności Wielowymiarowe modele GARCH Ogólna specyfikacja modelu R t = Ω 1 2 t Z t E(Z t ) = 0 Z t i.i.d var(z t ) = I Ω to wielowymiarowa analogia wariancji W modelowaniu konieczne zapewnienie, by macierz Ω była nieujemnie określona Dla N aktywów w macierzy Ω mamy N(N + 1)/2 wolnych parametrów do oszacowania W praktyce konieczne nałożenie restrykcji w celu zmniejszenia wymiarowości problemu

37 Modele warunkowej zmienności Wielowymiarowe modele GARCH Wygładzanie wykładnicze Dla macierzy robimy to samo co wcześniej dla skalarów Ω t = λω t 1 + (1 λ)r t 1 R t 1 Podejście bardzo restrykcyjne implikowane założenie o takim samym stopniu wygładzania dla wszystkich parametrów Ale mamy gwarancję nieujemnej określoności macierzy Ω t

38 Modele warunkowej zmienności Wielowymiarowe modele GARCH Wielowymiarowy GARCH Wielowymiarowy odpowiednik modelu GARCH(1,1): vech(ω t ) = vech(c) + Bvech(Ω t 1 ) + Avech(R t 1 R t 1 ) Operator vech przekształca macierz symetryczna w wektor N(N + 1)/2 1 Macierze A oraz B maja wymiary N(N + 1)/2 N(N + 1)/2 W najbardziej ogólnej postaci w modelu trzeba oszacować O(N 4 ) parametrów Czyli dla N = 100 aktywów ponad 51mln parametrów do oszacowania!

39 Modele warunkowej zmienności Wielowymiarowe modele GARCH MGARCH vech(1,1) h 11t h 21t h 22t = c 1 c 2 c a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 b 11 b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 b 31 b 32 b 33 h 11,t 1 h 21,t 1 h 22,t 1 ɛ 2 1,t 1 ɛ 1,t 1 ɛ 2,t 1 ɛ 2 2,t 1

40 Modele warunkowej zmienności Wielowymiarowe modele GARCH Nakładamy restrykcje Musimy coś zrobić najlepiej z macierzami A oraz B Wersja najbardziej restrykcyjna: Ω t = C + βω t 1 + αr t 1 R t 1 Przekształcajac podobnie jak dla GARCH: Ω t = Ω + β(ω t 1 Ω) + α(r t 1 R t 1 Ω) Ponownie wersja nieco mniej restrykcyjna niż wygładzanie wykładnicze Szukamy czegoś bardziej ogólnego

41 Modele warunkowej zmienności Wielowymiarowe modele GARCH Model BEKK Reparametryzujemy specyfikację vech Zapewnienie nieujemnej określoności szacowanej macierzy wariancji-kowariancji Ω t = C C + B Ω t 1 B + A (R t 1 R t 1)A N(5N + 1)/2 parametrów do oszacowania Możemy nałożyć dodatkowe restrykcje na macierze A oraz B

42 Modele warunkowej zmienności Wielowymiarowe modele GARCH BEKK(1,1,1) [ ] [ ] [ ] h11t h 12t c11 0 c11 c = 21 + h 21t h 22t c 21 c 22 0 c 22 [ ] [ a11 a + 12 ɛ 2 ] [ ] 1,t 1 ɛ 1,t 1 ɛ 2,t 1 a11 a 12 a 21 a 22 ɛ 1,t 1 ɛ 2,t 1 ɛ 2 + 2,t 1 a 21 a 22 [ ] [ ] [ ] b11 b + 12 h11,t 1 h 12,t 1 b11 b 12 b 21 b 22 h 21,t 1 h 22,t 1 b 21 b 22

43 Modele warunkowej zmienności Wielowymiarowe modele GARCH DCC Dynamic Condition Correlation Korzystamy z dekompozycji macierzy wariancji-kowariancji: Ω t D t Γ t D t Γ t macierz korelacji D t diagonalna macierz odchyleń standardowych Możliwe jest indywidualne modelowanie warunkowej zmienności dla poszczególnych szeregów Zwykle dość restrykcyjna specyfikacja dla procesu zmian korelacji W wersji Γ t = Γ model stałych warunkowych korelacji (CCC) Ale takie założenie może być zbyt restrykcyjne

44 Modele warunkowej zmienności Wielowymiarowe modele GARCH Modele czynnikowe Być może stopy zwrotu danej klasy aktywów zależa od stosunkowo niewielkiej liczby (być może nieobserwowalnych) czynników Przykład wycena obligacji i modelowanie krzywej dochodowości Budujemy model MGARCH tylko dla czynników, a następnie odtwarzamy odpowiednie parametry dla rzeczywistych aktywów Powiazana klasa ortogonalne modele GARCH

45 Podstawowe miary ryzyka Spójne miary ryzyka Outline 1 Wstęp 2 Stopy zwrotu Wprowadzenie Proces generujacy stopy zwrotu Alternatywne rozkłady 3 Modele warunkowej zmienności Warunkowa zmienność wprowadzenie Jednowymiarowe modele GARCH Wielowymiarowe modele GARCH 4 Podstawowe miary ryzyka Spójne miary ryzyka VaR Expected shortfall 5 Spektralne miary ryzyka Definicja 6 Wybrane modele ryzyka kredytowego

46 Podstawowe miary ryzyka Spójne miary ryzyka Pożadane właściwości miar ryzyka Niech X oraz Y oznaczaja (nominalne) zwroty z dwóch portfeli Miarę ryzyka ρ nazywamy spójna, gdy spełnia: Y X ρ(y ) ρ(x) ρ(x + Y ) ρ(x) + ρ(y ) (subaddytywność) ρ(hx) = hρ(x) dla h > 0 Dla znanej (pozbawionej ryzyka) kwoty n: ρ(x + n) = ρ(x) n W praktyce najważniejsza jest subaddytywność Uwaga: miara ryzyka rozważana z punktu widzenia indywidualnego podmiotu/portfela, perspektywa np. ryzyka systemowego może być inna

47 Podstawowe miary ryzyka VaR Outline 1 Wstęp 2 Stopy zwrotu Wprowadzenie Proces generujacy stopy zwrotu Alternatywne rozkłady 3 Modele warunkowej zmienności Warunkowa zmienność wprowadzenie Jednowymiarowe modele GARCH Wielowymiarowe modele GARCH 4 Podstawowe miary ryzyka Spójne miary ryzyka VaR Expected shortfall 5 Spektralne miary ryzyka Definicja 6 Wybrane modele ryzyka kredytowego

48 Podstawowe miary ryzyka VaR Value at Risk (VaR) Wartość zagrożona Wartość narażona na ryzyko...ale nie VAR Vector AutoRegression! Popularna miara ryzyka Popularność wspierana regulacjami nadzorczymi...ale od strony teorii ma pewne wady Dla ogólnych rozkładów nie jest spójna miara ryzyka

49 Podstawowe miary ryzyka VaR Definicja VaR Oszacowanie, przy założonym poziomie prawdopodobieństwa, straty w danym horyzoncie czasowym Na przykład: szacujemy, że z prawdopodobieństwem 99% w ciagu kolejnych 10 dni roboczych nie stracimy więcej niż 10 mln PLN

50 Podstawowe miary ryzyka VaR VaR uwagi do definicji VaR nie jest maksymalna możliwa wielkościa straty VaR nie określa, jak dużo możemy stracić, jeśli strata przekroczy wartość VaR VaR zakłada typowe warunki rynkowe Oszacowana wartość VaR jest warunkowana modelem zachowania się stóp zwrotu Przekroczenia przez straty poziomu VaR jest normalne (byle nie za często)

51 Podstawowe miary ryzyka VaR Prawdopodobieństwo przekroczenia VaR (1 dzień, 99%) Liczba Prawdop. Prawdop. przekroczeń skumulowane 0 8,11% 8,11% 1 20,47% 28,58% 2 25,74% 54,32% 3 21,50% 75,81% 4 13,41% 89,22% 5 6,66% 95,88% 6 2,75% 98,63% 7 0,97% 99,60% 8 0,30% 99,89% 9 0,08% 99,98% 10 0,02% 100,00% 11 0,00% 100,00%

52 Podstawowe miary ryzyka VaR Niespójność VaR jako miary ryzyka Portfel dwóch obligacji (A i B) Wartość nominalna każdej wynosi 100 Prawdopobieństwo upadłości: 4%, upadłości niezależne Rozkład możliwych wartości portfela: P(W = 200) = 0,96 2 = 0,9216 P(W = 0) = 0,04 2 = 0,0016 P(W = 100) = 1 0,9216 0,0016 = 0,0768 VaR 95% (A) = VaR 95% (B) = 0 VaR 95% (A + B) = 100 > 0 = VaR 95% (A) + VaR 95% (B)

53 Podstawowe miary ryzyka VaR VaR sposoby wyznaczania Metoda wariancji-kowariancji Symulacja historyczna Symulacja Monte Carlo

54 Podstawowe miary ryzyka VaR Metoda wariancji-kowariancji Założenie: normalny rozkład wszystkich czynników ryzyka Portfel instrumentów liniowych względem czynników ryzyka Zmiany wartości portfela również rozkład normalny Wyprowadzamy wzór, podstawiamy zmienności i korelacje

55 Podstawowe miary ryzyka VaR Metoda wariancji-kowariancji Zalety: Względnie prosta do zrozumienia i wdrożenia Niewielkie zapotrzebowanie na zasoby Problemy: Niezbyt realistyczne założenia o rozkładach czynników ryzyka Nie można uwzględnić bardziej skomplikowanych instrumentów pochodnych Dla portfeli o dużej liczbie składników oszacowanie macierzy wariancji-kowariancji może być trudne

56 Podstawowe miary ryzyka VaR Symulacja historyczna Zbieramy dane o przeszłych wartościach czynników ryzyka Wyceniamy posiadany portfel dla takich wartości czynników ryzyka Sortujemy zmiany Bierzemy odpowiedni percentyl

57 Podstawowe miary ryzyka VaR Symulacja historyczna Zalety: (Prawie) żadnych założeń parametrycznych! prawie robi różnicę szczegóły za chwilę Łatwa do zrozumienia Problemy: Konieczne przechowywanie wielu danych Dane historyczne niedostępne dla części aktywów (np. nowe produkty) Co ze zmianami strukturalnymi na rynkach?

58 Podstawowe miary ryzyka VaR Symulacja Monte Carlo Sztuczne generowanie ścieżek czynników ryzyka Na tej podstawie wycena posiadanego portfela Sortujemy zmiany wartości Bierzemy odpowiedni percentyl

59 Podstawowe miary ryzyka VaR Symulacja Monte Carlo Zalety: Potencjalnie najbardziej elastyczne podejście Można wyceniać dowolne instrumenty Problemy Dużo zależy od założeń co do procesów generujacych dane Duża złożoność obliczeniowa Najtrudniejsza do implementacji Sztuczki numeryczne Przybliżenie delta-gamma (intuicja: podobnie jak duration i convexity dla obligacji) Metody redukowania zmienności estymatora

60 Podstawowe miary ryzyka Dekompozycja VaR Dekompozycja VaR Wkład poszczególnych ekspozycji do VaR portfela zwykle mniejszy niż VaR dla danej pozycji (efekt dywersyfikacji) W wielu przypadkach istotne jest określenie wielkości wpływu ekspozycji (lub jej zmiany) na VaR Budżetowanie ryzyka/kapitału Pomiar rentowności skorygowanej o ryzyko Ocena kapitałochłonności różnych potencjalnych inwestycji

61 Podstawowe miary ryzyka Dekompozycja VaR Horyzont czasowy VaR Co jeśli interesuje nas dłuższy okres utrzymywania pozycji? Prosto jeśli założymy i.i.d. procesu stóp zwrotu Promowane przez regulatorów: reguła pierwiastka czasu Problem jeśli chcemy uwzględnić efekty GARCH W metodzie MC możemy założyć dowolny proces Trzeba oszacować proces generujacy dane problem dużych portfeli Rośnie złożoność obliczeniowa Bardziej skomplikowane dla symulacji historycznej metoda przestaje być wolna od założeń! Co jeśli chcemy agregować VaR dla różnych horyzontów czasowych?

62 Podstawowe miary ryzyka Backtest VaR wybrane testy VaR jako statystyka Oszacowanie VaR jest percentylem rozkładu, możemy więc stosować wszystkie narzędzia statystyczne zwiazane z testowaniem hipotez dotyczacych parametrów Niepewność co do oszacowania wartości VaR jako wyniku szacowanego wcześniej modelu, problemy szczególnie duże dla VaR szacowanego dla wysokim poziomów ufności (mało obserwacji szeroki przedział ufności oszacowania parametru) Obok poziomu ufności VaR, należy wybrać poziom istotności dla testu W ogólności, przy testowaniu oszacowań miar ryzyka chcielibyśmy móc odnosić się do modeli dla całych rozkładów

63 Podstawowe miary ryzyka Backtest VaR wybrane testy Testy oparte na częstości ekstremalnych zwrotów Pytanie, czy częstość przekroczeń wartości VaR jest zgodna z przyjętym poziomem ufności dla VaR Założenie, że poszczególne realizacje (i ewentualne przekroczenia) sa zdarzeniami niezależnymi Możliwe wyniki dane rozkładem dwumianowym

64 Podstawowe miary ryzyka Backtest VaR wybrane testy Test częstości przekroczeń Test "wbudowany" w konstrukcję wymogu kapitałowego (Bazylea II) dla metody zaawansowanej ryzyka rynkowego Test może być nieefektywny (mieć słaba moc) przy wykrywaniu niewłaściwego modelu z uwagi na ignorowanie znacznej ilości informacji Wielkość przekroczenia Niezależność przekroczeń w wymiarze czasowym (ewentualna koncentracja) Wymagana znaczna wielkość próby szerokość przedziału ufności dla uzyskanej liczby przekroczeń Problem przy zwiększaniu horyzontu czasowego utrzymywania ekspozycji

65 Podstawowe miary ryzyka Backtest VaR wybrane testy Testy rozkładu warunkowego Porównujemy empiryczny rozkład strat przekraczajacych wielkość VaR z rozkładem teoretycznym wynikajacym ze stosowanego modelu Statystyczne testy różnicy rozkładów np. Kołmogorow-Smirnow Możliwe odrzucenie modelu w sytuacjach, gdy testy oparte na liczbie przekroczeń VaR nie dawałyby do tego podstawy (np. przekroczenia z przewidywana częstościa, ale znacznie większe niż implikowane przez model) Problem gdy nie mamy jawnie określonego modelu do porównań (metoda symulacji historycznej)

66 Podstawowe miary ryzyka Backtest VaR wybrane testy Testy zgodności rozkładów Postępowanie analogiczne jak dla testów rozkładu warunkowego, ale z uwzględnieniem całości rozkładu Może mieć uzasadnienie, jeśli model ryzyka wykorzystywany w procesie konstrukcji portfela lub oceny efektywności inwestycji Podstawowe (dyskusyjne) założenie: zgodność centrum porównywanych rozkładów daje informację o zgodności ich ogonów Przy nisko ustawionym progu testy zgodności dla całych rozkładów i rozkładów warunkowych "zbliżaja się" do siebie

67 Podstawowe miary ryzyka Expected shortfall Outline 1 Wstęp 2 Stopy zwrotu Wprowadzenie Proces generujacy stopy zwrotu Alternatywne rozkłady 3 Modele warunkowej zmienności Warunkowa zmienność wprowadzenie Jednowymiarowe modele GARCH Wielowymiarowe modele GARCH 4 Podstawowe miary ryzyka Spójne miary ryzyka VaR Expected shortfall 5 Spektralne miary ryzyka Definicja 6 Wybrane modele ryzyka kredytowego

68 Podstawowe miary ryzyka Expected shortfall Expected shortfall (ES) Inne pseudonimy: Expected (tail) loss Conditional VaR Wartość oczekiwana straty pod warunkiem, że strata przekracza VaR Różnica między ES a VaR tym większa, im rozkład bardziej gruboogonowy

69 Spektralne miary ryzyka Definicja Outline 1 Wstęp 2 Stopy zwrotu Wprowadzenie Proces generujacy stopy zwrotu Alternatywne rozkłady 3 Modele warunkowej zmienności Warunkowa zmienność wprowadzenie Jednowymiarowe modele GARCH Wielowymiarowe modele GARCH 4 Podstawowe miary ryzyka Spójne miary ryzyka VaR Expected shortfall 5 Spektralne miary ryzyka Definicja 6 Wybrane modele ryzyka kredytowego

70 Spektralne miary ryzyka Definicja Definicja miary ryzyka Rozważmy miarę ryzyka M φ : M φ = 1 0 φ(p)q p dp q p p-ty percentyl rozkładu strat φ(p) funkcja wag zdefiniowana dla p [0, 1] M φ jest miara ryzyka oparta na kwantylach rozkładu, zróżnicowanie w zależności od przyjętej funkcji wag Chcielibyśmy uzależnić φ(p) od stopnia awersji do ryzyka

71 Spektralne miary ryzyka Definicja Szczególne przypadki VaR α = q α funkcja wag skoncentrowana w jednym punkcie ES α = α α q pdp schodkowa funkcja wag Te specyfikacje nie sa zależne od stopnia awersji do ryzyka Gubimy znaczna część informacji o rozkładzie

72 Spektralne miary ryzyka Definicja Restrykcje dla φ(p) φ(p) φ(p)dp = 1 φ (p) 0 (w celu wyeliminowania neutralności względem ryzyka czasem warunek formułowany jako φ (p) > 0) Miara spełniajaca te warunki nazywana jest spektralna miara ryzyka Spełnia warunki spójnej miary ryzyka Do pełnego zdefiniowania spektralnej miary ryzyka konieczne jest również wskazanie postaci i parametryzacji funkcji użyteczności

73 Spektralne miary ryzyka Funkcje użyteczności Wykładnicza funkcja użyteczności Wykładnicza funkcja użyteczności: U(x) = e kx, k > 0 M φ = R A (x) = U (x) U (x) = k R R (x) = xu (x) U (x) = xk Możliwa funkcja wag: φ(p) = λe k(1 p) = ke k(1 p) 1 e k k 1 e k 1 e k(1 p) q p dp 0

74 Spektralne miary ryzyka Funkcje użyteczności Potęgowa funkcja użyteczności Potęgowa funkcja użyteczności, γ > 0: U(x) = x 1 γ 1 1 γ W przypadku granicznym, gdy γ = 1: U(x) = ln(x) R A (x) = U (x) U (x) = γ x R R (x) = xu (x) U (x) = γ Możliwa funkcja wag: φ(p) = λ (1 p)γ 1 1 γ M φ = 1 γ(1 p) γ 1 q p dp 0 = γ(1 p) γ 1

75 Spektralne miary ryzyka Funkcje użyteczności Modelowanie ryzyka na rynkach finansowych niektóre problemy Zmienność Jak ja mierzyć? Jak brać pod uwagę zmiany zmienności? Jaka ma być rola zmienności implikowanych? Pamięć oszacowań zmienności Kowariancje/korelacje Coraz istotniejsze dla wyceny strukturyzowanych produktów finansowych Problem wymiarów! Modelowanie ich zmian w czasie

76 Spektralne miary ryzyka Funkcje użyteczności Modelowanie ryzyka na rynkach finansowych niektóre problemy Jak uwzględniać strukturę terminowa zmienności? W symulacjach Monte Carlo różnice w modelach dla stóp procentowych i innych rodzajów aktywów Czy można lepiej modelować same ogony rozkładów? Modelowanie współwystępowania zdarzeń ekstremalnych

77 Wybrane modele ryzyka kredytowego CreditMetrics Podstawowe założenia Ekspozycjom można przypisać ratingi z powiazanymi prawdopodobieństwami upadłości Znane sa prawdopodobieństwa zmian przypisanych ratingów (macierz przejść) proces Markowa Znana jest struktura terminowa premii za ryzyko dla poszczególnych klas ratingowych (lub odpowiednie procesy stochastyczne) Na podstawie powyższych możliwe jest wyznaczenie rozkładu przyszłej wartości danej ekspozycji

78 Wybrane modele ryzyka kredytowego CreditMetrics Efekty dywersyfikacji w ramach portfela Prawdopodobieństwa upadłości nie sa niezależne problem określenia współzależności między nimi Możliwe rozwiazanie korelacja między wartościa aktywów firm (przybliżana przez rynkowa wartość akcji), w powiazaniu z uproszczonym modelem Mertona Wyznaczanie korelacji może być uproszczone w ramach analizy czynnikowej (problem wymiarów)

79 Wybrane modele ryzyka kredytowego CreditMetrics Problemy Macierz przejść through-the-cycle może nie być odpowiednia dla analiz w krótszym niż pełen cykl horyzoncie czasowym Losowość elementów macierzy przejść (moga być traktowane jako oszacowania nieznanych prawdziwych wartości parametrów) Założenie homogeniczności ekspozycji w ramach danej grupy ratingowej Uwzględnienie losowości w odniesieniu do stóp procentowych (zarówno wolnych od ryzyka, jak i komponentu premii za ryzyko) Ekspozycje musza mieć przypisane ratingi

80 Wybrane modele ryzyka kredytowego Model KMV Podstawowe założenia Rezygnacja z macierzy przejść na rzecz oparcia się na danych rynkowych, w powiazaniu z informacja o strukturze finansowania przedsiębiorstwa Prawdopodobieństwo upadłości określane na podstawie oszacowania zmienności wartości kapitału (distance-to-default) Teoretycznie możliwość lepszego ujęcia zależności między ekspozycjami w ramach portfela

81 Wybrane modele ryzyka kredytowego Model KMV Problemy Utrudnione (ale nie niemożliwe) stosowanie do firm niepublicznych Konieczność dodatkowego mapowania pomiędzy wyznaczonym bezpośrednio distance-to-default a faktycznym prawdopodobieństwem upadłości Nie dla wszystkich branż model działa równie dobrze (np. instytucje finansowe)

82 Wybrane modele ryzyka kredytowego CreditRisk+ Podstawowe założenia Podejście aktuarialne upadłość lub brak zmiany stanu Liczba upadłości w danym okresie dana rozkładem Poissona (λ) Brak bezpośrednio uwzględnionej korelacji między ekspozycjami Podejście względnie proste obliczeniowo

83 Wybrane modele ryzyka kredytowego CreditRisk+ Rozszerzenia Rozkład Poissona określony jednym parametrem zmienność implikowanej stopy upadłości może być zaniżona w stosunku do faktycznie obserwowanych wartości Ustochastycznienie parametru λ w tym uzależnienie od czynników zewnętrznych Ustochastycznienie stopy odzysku

Spis treści. Ze świata biznesu... 13. Przedmowa do wydania polskiego... 15. Wstęp... 19

Spis treści. Ze świata biznesu... 13. Przedmowa do wydania polskiego... 15. Wstęp... 19 Spis treści Ze świata biznesu............................................................ 13 Przedmowa do wydania polskiego.............................................. 15 Wstęp.......................................................................

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

Analiza zdarzeń Event studies

Analiza zdarzeń Event studies Analiza zdarzeń Event studies Dobromił Serwa akson.sgh.waw.pl/~dserwa/ef.htm Leratura Campbell J., Lo A., MacKinlay A.C.(997) he Econometrics of Financial Markets. Princeton Universy Press, Rozdział 4.

Bardziej szczegółowo

Zarządzanie ryzykiem. Opracował: Dr inŝ. Tomasz Zieliński

Zarządzanie ryzykiem. Opracował: Dr inŝ. Tomasz Zieliński Zarządzanie ryzykiem Opracował: Dr inŝ. Tomasz Zieliński I. OGÓLNE INFORMACJE O PRZEDMIOCIE Cel przedmiotu: Celem przedmiotu jest zaprezentowanie studentom podstawowych pojęć z zakresu ryzyka w działalności

Bardziej szczegółowo

SGH, Rynki Finansowe, 2015, Anna Chmielewska 1

SGH, Rynki Finansowe, 2015, Anna Chmielewska 1 Wykład 10 Instrumenty pochodne - obligacje KONTRAKTY TERMINOWE NA OBLIGACJE SGH, Rynki Finansowe, 2015, Anna Chmielewska 1 Pytanie do Napoleona: O czym wystarczy pamiętać, by wiedzieć jak funkcjonuje rynek

Bardziej szczegółowo

Zarządzanie portfelem kredytowym w banku w warunkach kryzysu. Dr Agnieszka Scianowska Akademia Humanistyczno-Ekonomiczna w Łodzi

Zarządzanie portfelem kredytowym w banku w warunkach kryzysu. Dr Agnieszka Scianowska Akademia Humanistyczno-Ekonomiczna w Łodzi Zarządzanie portfelem kredytowym w banku w warunkach kryzysu Dr Agnieszka Scianowska Akademia Humanistyczno-Ekonomiczna w Łodzi Założenia Umowy Kapitałowej Przyjętej w 1988r.(Bazylea I) podstawowym wyznacznikiem

Bardziej szczegółowo

Matematyczna filozofia IRB. Michał Motoczyński Departament Ryzyka Finansowego

Matematyczna filozofia IRB. Michał Motoczyński Departament Ryzyka Finansowego Matematyczna filozofia IRB Michał Motoczyński Departament Ryzyka Finansowego 2009-05-22 2009-05-28 Kluczowe założenia do modelu IRB:. Dwa rodzaje ryzyka mające wpływ na pojedynczą ekspozycję: ryzyko systematyczne

Bardziej szczegółowo

Wykorzystanie funkcji powiązań do pomiaru ryzyka rynkowego. Katarzyna Kuziak

Wykorzystanie funkcji powiązań do pomiaru ryzyka rynkowego. Katarzyna Kuziak Wykorzystanie funkcji powiązań do pomiaru ryzyka rynkowego Katarzyna Kuziak Cel: łączenie różnych rodzajów ryzyka rynkowego za pomocą wielowymiarowej funkcji powiązań 2 Ryzyko rynkowe W pomiarze ryzyka

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE POLSKIEJ GOSPODARKI Z PAKIETEM R Michał Rubaszek

MODELOWANIE POLSKIEJ GOSPODARKI Z PAKIETEM R Michał Rubaszek Tytuł: Autor: MODELOWANIE POLSKIEJ GOSPODARKI Z PAKIETEM R Michał Rubaszek Wstęp Książka "Modelowanie polskiej gospodarki z pakietem R" powstała na bazie materiałów, które wykorzystywałem przez ostatnie

Bardziej szczegółowo

R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych

R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych Przykłady: Błąd pomiarowy Wzrost, wydajność Temperatura ciała Zawartość różnych składników we

Bardziej szczegółowo

Analiza inwestycji i zarządzanie portfelem SPIS TREŚCI

Analiza inwestycji i zarządzanie portfelem SPIS TREŚCI Analiza inwestycji i zarządzanie portfelem Frank K. Reilly, Keith C. Brown SPIS TREŚCI TOM I Przedmowa do wydania polskiego Przedmowa do wydania amerykańskiego O autorach Ramy książki CZĘŚĆ I. INWESTYCJE

Bardziej szczegółowo

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej 7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach

Bardziej szczegółowo

Struktura terminowa rynku obligacji

Struktura terminowa rynku obligacji Krzywa dochodowości pomaga w inwestowaniu w obligacje Struktura terminowa rynku obligacji Wskazuje, które obligacje są atrakcyjne a których unikać Obrazuje aktualną sytuację na rynku długu i zmiany w czasie

Bardziej szczegółowo

Krzysztof Piontek MODELOWANIE I PROGNOZOWANIE ZMIENNOŚCI INSTRUMENTÓW FINANSOWYCH

Krzysztof Piontek MODELOWANIE I PROGNOZOWANIE ZMIENNOŚCI INSTRUMENTÓW FINANSOWYCH Akademia Ekonomiczna im. Oskara Langego we Wrocławiu Wydział Zarządzania i Informatyki Krzysztof Piontek MODELOWANIE I PROGNOZOWANIE ZMIENNOŚCI INSTRUMENTÓW FINANSOWYCH rozprawa doktorska Promotor: prof.

Bardziej szczegółowo

Inwestycje finansowe. Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. Ryzyko.

Inwestycje finansowe. Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. Ryzyko. Inwestycje finansowe Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. yzyko. Inwestycje finansowe Instrumenty rynku pieniężnego (np. bony skarbowe). Instrumenty rynku walutowego. Obligacje. Akcje. Instrumenty pochodne.

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

Metody oceny ryzyka operacyjnego

Metody oceny ryzyka operacyjnego Instytut Matematyki i Informatyki Wrocław, 10 VII 2009 Bazylejski Komitet Nadzoru Bankowego Umowa Kapitałowa - 1988 Opracowanie najlepszych praktyk rynkowych w zakresie zarządzania ryzykiem Nowa Umowa

Bardziej szczegółowo

Identyfikacja i pomiar ryzyka pierwszy krok w zarządzaniu ryzykiem.

Identyfikacja i pomiar ryzyka pierwszy krok w zarządzaniu ryzykiem. Identyfikacja i pomiar ryzyka pierwszy krok w zarządzaniu ryzykiem. Andrzej Podszywałow Własność przemysłowa w innowacyjnej gospodarce. Zarządzanie ryzykiem, strategia zarządzania własnością intelektualną

Bardziej szczegółowo

Narzędzia statystyczne i ekonometryczne. Wykład 1. dr Paweł Baranowski

Narzędzia statystyczne i ekonometryczne. Wykład 1. dr Paweł Baranowski Narzędzia statystyczne i ekonometryczne Wykład 1 dr Paweł Baranowski Informacje organizacyjne Wydział Ek-Soc, pok. B-109 pawel@baranowski.edu.pl Strona: baranowski.edu.pl (w tym materiały) Konsultacje:

Bardziej szczegółowo

ANALIZA STATYSTYCZNA WYNIKÓW BADAŃ

ANALIZA STATYSTYCZNA WYNIKÓW BADAŃ ANALIZA STATYSTYCZNA WYNIKÓW BADAŃ Dopasowanie rozkładów Dopasowanie rozkładów- ogólny cel Porównanie średnich dwóch zmiennych 2 zmienne posiadają rozkład normalny -> test parametryczny (t- studenta) 2

Bardziej szczegółowo

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW ODRZUCANIE WYNIKÓW OJEDYNCZYCH OMIARÓW W praktyce pomiarowej zdarzają się sytuacje gdy jeden z pomiarów odstaje od pozostałych. Jeżeli wykorzystamy fakt, że wyniki pomiarów są zmienną losową opisywaną

Bardziej szczegółowo

NOWY PROGRAM STUDIÓW 2016/2017 SYLABUS PRZEDMIOTU AUTORSKIEGO: Wprowadzenie do teorii ekonometrii. Część A

NOWY PROGRAM STUDIÓW 2016/2017 SYLABUS PRZEDMIOTU AUTORSKIEGO: Wprowadzenie do teorii ekonometrii. Część A NOWY PROGRAM STUDIÓW 2016/2017 SYLABUS PRZEDMIOTU AUTORSKIEGO: Autor: 1. Dobromił Serwa 2. Tytuł przedmiotu Sygnatura (będzie nadana, po akceptacji przez Senacką Komisję Programową) Wprowadzenie do teorii

Bardziej szczegółowo

Inne kryteria tworzenia portfela. Inne kryteria tworzenia portfela. Poziom bezpieczeństwa. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 3. Dr Katarzyna Kuziak

Inne kryteria tworzenia portfela. Inne kryteria tworzenia portfela. Poziom bezpieczeństwa. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 3. Dr Katarzyna Kuziak Inne kryteria tworzenia portfela Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 3 Dr Katarzyna Kuziak. Minimalizacja ryzyka przy zadanym dochodzie Portfel efektywny w rozumieniu Markowitza odchylenie standardowe

Bardziej szczegółowo

Oszacowanie i rozkład t

Oszacowanie i rozkład t Oszacowanie i rozkład t Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Oszacowanie i rozkład t 1 / 31 Oszacowanie 1 Na podstawie danych z próby szacuje się wiele wartości w populacji, np.: jakie jest poparcie

Bardziej szczegółowo

INWESTYCJE Instrumenty finansowe, ryzyko SPIS TREŚCI

INWESTYCJE Instrumenty finansowe, ryzyko SPIS TREŚCI INWESTYCJE Instrumenty finansowe, ryzyko Jajuga Krzysztof, Jajuga Teresa SPIS TREŚCI Przedmowa Wprowadzenie - badania w zakresie inwestycji i finansów Literatura Rozdział 1. Rynki i instrumenty finansowe

Bardziej szczegółowo

Spis treści Wstęp 1. Ryzyko a pojęcie cykliczności, procykliczności i antycykliczności zjawisk sfery realnej i systemu finansowego gospodarki

Spis treści Wstęp 1. Ryzyko a pojęcie cykliczności, procykliczności i antycykliczności zjawisk sfery realnej i systemu finansowego gospodarki Wstęp... 11 1. Ryzyko a pojęcie cykliczności, procykliczności i antycykliczności zjawisk sfery realnej i systemu finansowego gospodarki... 23 1.1. Wprowadzenie... 23 1.2. Definicje zjawiska cyklu koniukturalnego,

Bardziej szczegółowo

Analiza danych. http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU

Analiza danych. http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Analiza danych Wstęp Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Różne aspekty analizy danych Reprezentacja graficzna danych Metody statystyczne: estymacja parametrów

Bardziej szczegółowo

Wycena opcji. Dr inż. Bożena Mielczarek

Wycena opcji. Dr inż. Bożena Mielczarek Wycena opcji Dr inż. Bożena Mielczarek Stock Price Wahania ceny akcji Cena jednostki podlega niewielkim wahaniom dziennym (miesięcznym) wykazując jednak stały trend wznoszący. Cena może się doraźnie obniżać,

Bardziej szczegółowo

KURS DORADCY FINANSOWEGO

KURS DORADCY FINANSOWEGO KURS DORADCY FINANSOWEGO Przykładowy program szkolenia I. Wprowadzenie do planowania finansowego 1. Rola doradcy finansowego Definicja i cechy doradcy finansowego Oczekiwania klienta Obszary umiejętności

Bardziej szczegółowo

Raport i dokumentacja Obliczanie Value-at-Risk portfela metodą Monte Carlo

Raport i dokumentacja Obliczanie Value-at-Risk portfela metodą Monte Carlo Raport i dokumentacja Obliczanie Value-at-Risk portfela metodą Monte Carlo 1. Opis problemu Celem pracy jest policzenie jednodniowej wartości narażonej na ryzyko (Value-at- Risk) portfela składającego

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący

Bardziej szczegółowo

Wycena papierów wartościowych - instrumenty pochodne

Wycena papierów wartościowych - instrumenty pochodne Matematyka finansowa - 8 Wycena papierów wartościowych - instrumenty pochodne W ujęciu probabilistycznym cena akcji w momencie t jest zmienną losową P t o pewnym (zwykle nieznanym) rozkładzie prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE ZMIENNOŚCI I RYZYKA INWESTYCJI W ZŁOTO. Celina Otolińska

MODELOWANIE ZMIENNOŚCI I RYZYKA INWESTYCJI W ZŁOTO. Celina Otolińska MODELOWANIE ZMIENNOŚCI I RYZYKA INWESTYCJI W ZŁOTO Celina Otolińska PLAN: 1. Rynek złota-krótka informacja. 2. Wartość zagrożona i dlaczego ona. 3. Badany szereg czasowy oraz jego własności. 4. Modele

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 04.04.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I

Matematyka finansowa 04.04.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

5. Wprowadzenie do prawdopodobieństwa Wprowadzenie Wyniki i zdarzenia Różne podejścia do prawdopodobieństwa Zdarzenia wzajemnie wykluczające się i

5. Wprowadzenie do prawdopodobieństwa Wprowadzenie Wyniki i zdarzenia Różne podejścia do prawdopodobieństwa Zdarzenia wzajemnie wykluczające się i Spis treści Przedmowa do wydania polskiego - Tadeusz Tyszka Słowo wstępne - Lawrence D. Phillips Przedmowa 1. : rola i zastosowanie analizy decyzyjnej Decyzje złożone Rola analizy decyzyjnej Zastosowanie

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. a) Przeprowadzono test RESET. Czy model ma poprawną formę funkcyjną? 1

Zadanie 1. a) Przeprowadzono test RESET. Czy model ma poprawną formę funkcyjną? 1 Zadanie 1 a) Przeprowadzono test RESET. Czy model ma poprawną formę funkcyjną? 1 b) W naszym przypadku populacja są inżynierowie w Tajlandii. Czy można jednak przypuszczać, że na zarobki kobiet-inżynierów

Bardziej szczegółowo

Projekt zaliczeniowy z przedmiotu Statystyka i eksploracja danych (nr 3) Kamil Krzysztof Derkowski

Projekt zaliczeniowy z przedmiotu Statystyka i eksploracja danych (nr 3) Kamil Krzysztof Derkowski Projekt zaliczeniowy z przedmiotu Statystyka i eksploracja danych (nr 3) Kamil Krzysztof Derkowski Zadanie 1 Eksploracja (EXAMINE) Informacja o analizowanych danych Obserwacje Uwzględnione Wykluczone Ogółem

Bardziej szczegółowo

Podstawy statystyki dla psychologów. Podręcznik akademicki. Wydanie drugie poprawione. Wiesław Szymczak

Podstawy statystyki dla psychologów. Podręcznik akademicki. Wydanie drugie poprawione. Wiesław Szymczak Podstawy statystyki dla psychologów. Podręcznik akademicki. Wydanie drugie poprawione. Wiesław Szymczak Autor prezentuje spójny obraz najczęściej stosowanych metod statystycznych, dodatkowo omawiając takie

Bardziej szczegółowo

PYTANIA NA EGZAMIN MAGISTERSKI KIERUNEK: EKONOMIA STUDIA DRUGIEGO STOPNIA. CZĘŚĆ I dotyczy wszystkich studentów kierunku Ekonomia pytania podstawowe

PYTANIA NA EGZAMIN MAGISTERSKI KIERUNEK: EKONOMIA STUDIA DRUGIEGO STOPNIA. CZĘŚĆ I dotyczy wszystkich studentów kierunku Ekonomia pytania podstawowe PYTANIA NA EGZAMIN MAGISTERSKI KIERUNEK: EKONOMIA STUDIA DRUGIEGO STOPNIA CZĘŚĆ I dotyczy wszystkich studentów kierunku Ekonomia pytania podstawowe 1. Cele i przydatność ujęcia modelowego w ekonomii 2.

Bardziej szczegółowo

Analiza przeżycia. Wprowadzenie

Analiza przeżycia. Wprowadzenie Wprowadzenie Przedmiotem badania analizy przeżycia jest czas jaki upływa od początku obserwacji do wystąpienia określonego zdarzenia, które jednoznacznie kończy obserwację na danej jednostce. Analiza przeżycia

Bardziej szczegółowo

ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH

ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH 1 ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH WFAiS UJ, Informatyka Stosowana II stopień studiów 2 Wnioskowanie statystyczne dla zmiennych numerycznych Porównywanie dwóch średnich Boot-strapping Analiza

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA wykład 5-6

STATYSTYKA wykład 5-6 TATYTYKA wykład 5-6 Twierdzenia graniczne Rozkłady statystyk z próby Wanda Olech Twierdzenia graniczne Jeżeli rozpatrujemy ciąg zmiennych losowych {X ; X ;...; X n }, to zdarza się, że ich rozkłady przy

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 20.06.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r.

Matematyka finansowa 20.06.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład 2) Dariusz Gozdowski

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład 2) Dariusz Gozdowski Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład ) Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Weryfikacja (testowanie) hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 15.06.2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 15 czerwca 2015 r.

Matematyka finansowa 15.06.2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 15 czerwca 2015 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 czerwca 201 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Pracownik

Bardziej szczegółowo

1. Opis tabelaryczny. 2. Graficzna prezentacja wyników. Do technik statystyki opisowej można zaliczyć:

1. Opis tabelaryczny. 2. Graficzna prezentacja wyników. Do technik statystyki opisowej można zaliczyć: Wprowadzenie Statystyka opisowa to dział statystyki zajmujący się metodami opisu danych statystycznych (np. środowiskowych) uzyskanych podczas badania statystycznego (np. badań terenowych, laboratoryjnych).

Bardziej szczegółowo

Dodatek 2. Wielowymiarowe modele GARCH

Dodatek 2. Wielowymiarowe modele GARCH Dodatek 2. Wielowymiarowe modele GARCH MODELOWANIE POLSKIEJ GOSPODARKI z R MPGzR (dodatek 2) Modele MGARCH 1 / 15 Ogólna specykacja modelu MGARCH Ogólna posta dla N-wymiarowego procesu MGARCH {y t }: y

Bardziej szczegółowo

Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski. Zakres egzaminu magisterskiego. Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2

Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski. Zakres egzaminu magisterskiego. Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2 Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski Zakres egzaminu magisterskiego Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2 Pojęcia, fakty: Definicje i pojęcia: metryka, iloczyn skalarny, norma supremum,

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO. Wykład 2

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO. Wykład 2 STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład Parametry przedziałowe rozkładów ciągłych określane na podstawie próby (przedziały ufności) Przedział ufności dla średniej s X t( α;n 1),X + t( α;n 1) n s n t (α;

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych

Statystyczna analiza danych Statystyczna analiza danych Marek Ptak 21 października 2013 Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 1 / 70 Część I Wstęp Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 2 / 70 LITERATURA A. Łomnicki, Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Giełda. Podstawy inwestowania SPIS TREŚCI

Giełda. Podstawy inwestowania SPIS TREŚCI Giełda. Podstawy inwestowania SPIS TREŚCI Zaremba Adam Wprowadzenie Część I. Zanim zaczniesz inwestować Rozdział 1. Jak wybrać dom maklerski? Na co zwracać uwagę? Opłaty i prowizje Oferta kredytowa Oferta

Bardziej szczegółowo

Budowa sztucznych sieci neuronowych do prognozowania. Przykład jednostek uczestnictwa otwartego funduszu inwestycyjnego

Budowa sztucznych sieci neuronowych do prognozowania. Przykład jednostek uczestnictwa otwartego funduszu inwestycyjnego Budowa sztucznych sieci neuronowych do prognozowania. Przykład jednostek uczestnictwa otwartego funduszu inwestycyjnego Dorota Witkowska Szkoła Główna Gospodarstwa Wiejskiego w Warszawie Wprowadzenie Sztuczne

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 08.01.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I

Matematyka finansowa 08.01.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 00 minut . Ile

Bardziej szczegółowo

Ujawnienia informacji związanych z adekwatnością kapitałową Dom Maklerskiego Banku Ochrony Środowiska S.A. według stanu na 31.12.2010 r.

Ujawnienia informacji związanych z adekwatnością kapitałową Dom Maklerskiego Banku Ochrony Środowiska S.A. według stanu na 31.12.2010 r. Ujawnienia informacji związanych z adekwatnością kapitałową Dom Maklerskiego Banku Ochrony Środowiska S.A. według stanu na 31.12.2010 r. Warszawa, marzec 2011 r. Słownik Rozporządzenie DM BOŚ rozporządzenie

Bardziej szczegółowo

Studia podyplomowe. Ryzyko w finansach i ubezpieczeniach. - z programowaniem i analizą danych

Studia podyplomowe. Ryzyko w finansach i ubezpieczeniach. - z programowaniem i analizą danych Studia podyplomowe Ryzyko w finansach i ubezpieczeniach - z programowaniem i analizą danych Przedmioty Instrumenty finansowe (24 godziny) Notowania i wycena instrumentów finansowych (6 godzin) Metody probabilistyczne

Bardziej szczegółowo

Rozkłady zmiennych losowych

Rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych losowych Wprowadzenie Badamy pewną zbiorowość czyli populację pod względem występowania jakiejś cechy. Pobieramy próbę i na podstawie tej próby wyznaczamy pewne charakterystyki. Jeśli

Bardziej szczegółowo

Wycena equity derivatives notowanych na GPW w obliczu wysokiego ryzyka dywidendy

Wycena equity derivatives notowanych na GPW w obliczu wysokiego ryzyka dywidendy Instrumenty pochodne 2014 Wycena equity derivatives notowanych na GPW w obliczu wysokiego ryzyka dywidendy Jerzy Dzieża, WMS, AGH Kraków 28 maja 2014 (Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives

Bardziej szczegółowo

O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ

O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ Ryszard Zieliński XII Międzynarodowe Warsztaty dla Młodych Matematyków Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Kraków, 20 26 IX 2009 r. WYNIKI OBSERWACJI X 1, X 2,..., X n WYNIKI

Bardziej szczegółowo

Opcje koszykowe a lokaty strukturyzowane - wycena

Opcje koszykowe a lokaty strukturyzowane - wycena Opcje koszykowe a lokaty strukturyzowane - wycena Basket options and structured deposits - pricing Janusz Gajda Promotor: dr hab. inz. Rafał Weron Politechnika Wrocławska Plan prezentacji Cel pracy Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analitycznych i numerycznych metod wyceny opcji

Wstęp do analitycznych i numerycznych metod wyceny opcji Wstęp do analitycznych i numerycznych metod wyceny opcji Jan Palczewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 16 maja 2008 Jan Palczewski Wycena opcji Warszawa, 2008

Bardziej szczegółowo

Papiery wartościowe o stałym dochodzie

Papiery wartościowe o stałym dochodzie Papiery wartościowe o stałym dochodzie Inwestycje i teoria portfela Strona 1 z 42 1. Wartość pieniądza w czasie Złotówka dzisiaj (którą mamy w ręku) jest więcej warta niż (przyrzeczona) złotówka w przyszłości,

Bardziej szczegółowo

Tytuł: Zastosowanie metod ilościowych w finansach i ubezpieczeniach. Autorzy: Stefan Forlicz (red.)

Tytuł: Zastosowanie metod ilościowych w finansach i ubezpieczeniach. Autorzy: Stefan Forlicz (red.) Tytuł: Zastosowanie metod ilościowych w finansach i ubezpieczeniach. Autorzy: Stefan Forlicz (red.) Opis: Finanse i ubezpieczenia to te gałęzie nauk ekonomicznych, w których modele formalne stanowią w

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Rozważmy

Bardziej szczegółowo

Dlaczego stress-testy stresują?

Dlaczego stress-testy stresują? Autorzy dr Romana Kawiak i mgr Jadwiga Żarna autorki są członkami PRMIA Warszawa 45 Dlaczego stress-testy stresują? Testy warunków skrajnych są rodzajem analizy potencjalnego wpływu skrajnych zmian czynników

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1. tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r. Zadanie. W pewnej populacji każde ryzyko charakteryzuje się trzema parametrami q, b oraz v, o następującym znaczeniu: parametr q to prawdopodobieństwo, że do szkody dojdzie (może zajść co najwyżej jedna

Bardziej szczegółowo

Bankowość Zajęcia nr 5 i 6

Bankowość Zajęcia nr 5 i 6 Motto zajęć: "za złoty dukat co w słońcu błyszczy" Bankowość Zajęcia nr 5 i 6 Ryzyko bankowe Ryzyko płynności Rola bilansu i cash flow; Metoda luki: Aktywa określonego rodzaju (AOR), Pasywa określonego

Bardziej szczegółowo

Ryzyko na rynkach finansowych

Ryzyko na rynkach finansowych Ryzyko na rynkach finansowych dr Tomasz Chmielewski Szkoła Główna Handlowa Katedra Polityki Pieniężnej Semestr letni 2011/2012 Wstęp Informacje ogólne Plan wykładu Wybrane elementy teorii funkcjonowania

Bardziej szczegółowo

System bonus-malus z mechanizmem korekty składki

System bonus-malus z mechanizmem korekty składki System bonus-malus z mechanizmem korekty składki mgr Kamil Gala Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny dr hab. Wojciech Bijak, prof. SGH Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny, Szkoła Główna Handlowa Zagadnienia

Bardziej szczegółowo

II Etap egzaminu na Doradcę Inwestycyjnego Maj 2014. Zadanie 2

II Etap egzaminu na Doradcę Inwestycyjnego Maj 2014. Zadanie 2 II Etap egzaminu na Doradcę Inwestycyjnego Maj 2014 Zadanie 2 1/ Analizowane są dwie spółki Alfa i Gamma. Spółka Alfa finansuje swoją działalność nie korzystając z długu, natomiast spółka Gamma finansuje

Bardziej szczegółowo

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com Analiza korelacji i regresji KORELACJA zależność liniowa Obserwujemy parę cech ilościowych (X,Y). Doświadczenie jest tak pomyślane, aby obserwowane pary cech X i Y (tzn i ta para x i i y i dla różnych

Bardziej szczegółowo

Rok akademicki: 2013/2014 Kod: AMA-2-311-MN-s Punkty ECTS: 6. Kierunek: Matematyka Specjalność: Matematyka w naukach technicznych i przyrodniczych

Rok akademicki: 2013/2014 Kod: AMA-2-311-MN-s Punkty ECTS: 6. Kierunek: Matematyka Specjalność: Matematyka w naukach technicznych i przyrodniczych Nazwa modułu: teoria ryzyka Rok akademicki: 2013/2014 Kod: AMA-2-311-MN-s Punkty ECTS: 6 Wydział: Matematyki Stosowanej Kierunek: Matematyka Specjalność: Matematyka w naukach technicznych i przyrodniczych

Bardziej szczegółowo

Strategia identyfikacji, pomiaru, monitorowania i kontroli ryzyka w Domu Maklerskim Capital Partners SA

Strategia identyfikacji, pomiaru, monitorowania i kontroli ryzyka w Domu Maklerskim Capital Partners SA Strategia identyfikacji, pomiaru, monitorowania i kontroli ryzyka zatwierdzona przez Zarząd dnia 14 czerwca 2010 roku zmieniona przez Zarząd dnia 28 października 2010r. (Uchwała nr 3/X/2010) Tekst jednolity

Bardziej szczegółowo

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe.

Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Rachunek prawdopodobieństwa MAP3040 WPPT FT, rok akad. 2010/11, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Warunkowa wartość oczekiwana.

Bardziej szczegółowo

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych dr inż. Adam Kisiel kisiel@if.pw.edu.pl pokój 117b (12b) 1 Materiały do wykładu Transparencje do wykładów: http://www.if.pw.edu.pl/~kisiel/kadd/kadd.html Literatura

Bardziej szczegółowo

Finanse behawioralne. Finanse 110630-1165

Finanse behawioralne. Finanse 110630-1165 behawioralne Plan wykładu klasyczne a behawioralne Kiedy są przydatne narzędzia finansów behawioralnych? Przykłady modeli finansów behawioralnych klasyczne a behawioralne klasyczne opierają się dwóch założeniach:

Bardziej szczegółowo

Statystyczne sterowanie procesem

Statystyczne sterowanie procesem Statystyczne sterowanie procesem SPC (ang. Statistical Process Control) Trzy filary SPC: 1. sporządzenie dokładnego diagramu procesu produkcji; 2. pobieranie losowych próbek (w regularnych odstępach czasu

Bardziej szczegółowo

ZAKRES TEMATYCZNY EGZAMINU LICENCJACKIEGO

ZAKRES TEMATYCZNY EGZAMINU LICENCJACKIEGO Wydział Nauk Ekonomicznych i Zarządzania Kierunek Analityka Gospodarcza Studia stacjonarne I stopnia ZAKRES TEMATYCZNY EGZAMINU LICENCJACKIEGO Zagadnienia ogólnoekonomiczne 1. Aktualna sytuacja na europejskim

Bardziej szczegółowo

METODA WARTOŚCI ZAGROŻONEJ

METODA WARTOŚCI ZAGROŻONEJ DZIENNIK URZĘDOWY NBP NR 2-175 - poz. 3 Załącznik nr 19 do uchwały nr 1/2007 Komisji Nadzoru Bankowego z dnia 13 marca 2007 r. (poz. 3) METODA WARTOŚCI ZAGROŻONEJ Część I. Uwagi ogólne 1. Metoda wartości

Bardziej szczegółowo

Wybrane metody wyceny ryzyka kredytowego

Wybrane metody wyceny ryzyka kredytowego Wybrane metody wyceny ryzyka kredytowego Szkoła Letnia Matematyki Finansowej 09.05.2012 r. Spis treści Ryzyko i jego rodzaje. 1 Ryzyko i jego rodzaje. 2 3 4 Ryzyko i jego podział. Ryzyko: -zagrożenie nieosiągnięcia

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami:

Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami: Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami: Pr(X 1 = 0) = 6/10, Pr(X 1 = 1) = 1/10, i gęstością: f(x) = 3/10 na przedziale (0, 1). Wobec tego Pr(X 1 + X 2 5/3) wynosi:

Bardziej szczegółowo

PYTANIA NA EGZAMIN MAGISTERSKI KIERUNEK: FINANSE I RACHUNKOWOŚĆ STUDIA DRUGIEGO STOPNIA

PYTANIA NA EGZAMIN MAGISTERSKI KIERUNEK: FINANSE I RACHUNKOWOŚĆ STUDIA DRUGIEGO STOPNIA PYTANIA NA EGZAMIN MAGISTERSKI KIERUNEK: FINANSE I RACHUNKOWOŚĆ STUDIA DRUGIEGO STOPNIA CZĘŚĆ I dotyczy wszystkich studentów kierunku Finanse i Rachunkowość pytania podstawowe 1. Miernik dobrobytu alternatywne

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 8.12.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część I

Matematyka finansowa 8.12.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część I Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.

Bardziej szczegółowo

Jak naprawdę działają rynki. Fakty i mity SPIS TREŚCI

Jak naprawdę działają rynki. Fakty i mity SPIS TREŚCI Jak naprawdę działają rynki. Fakty i mity Jack D. Schwager SPIS TREŚCI Przedmowa Prolog Część I. RYNKI, STOPA ZWROTU I RYZYKO 1. Fachowa porada Starcie Comedy Central i CNBC Indeks elfów Płatne porady

Bardziej szczegółowo

Ekonometria ćwiczenia 3. Prowadzący: Sebastian Czarnota

Ekonometria ćwiczenia 3. Prowadzący: Sebastian Czarnota Ekonometria ćwiczenia 3 Prowadzący: Sebastian Czarnota Strona - niezbędnik http://sebastianczarnota.com/sgh/ Normalność rozkładu składnika losowego Brak normalności rozkładu nie odbija się na jakości otrzymywanych

Bardziej szczegółowo

Immunizacja ryzyka stopy procentowej ubezpieczycieli życiowych

Immunizacja ryzyka stopy procentowej ubezpieczycieli życiowych Immunizacja ryzyka stopy procentowej ubezpieczycieli życiowych Elżbieta Krajewska Instytut Matematyki Politechnika Łódzka Elżbieta Krajewska Immunizacja ubezpieczycieli życiowych 1/22 Plan prezentacji

Bardziej szczegółowo

Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3

Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3 Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3 21.06.2005 r. 4. Planowanie eksperymentów symulacyjnych Podczas tego etapu ważne jest określenie typu rozkładu badanej charakterystyki. Dzięki tej informacji

Bardziej szczegółowo

SYSTEM FINANSOWY Płynność instrumentów pochodnych w kontekście uwarunkowań regulacyjnych

SYSTEM FINANSOWY Płynność instrumentów pochodnych w kontekście uwarunkowań regulacyjnych SYSTEM FINANSOWY Płynność instrumentów pochodnych w kontekście uwarunkowań regulacyjnych dr Anna Chmielewska Plan Wieloaspektowa analiza rynków instrumentów pochodnych Ryzyko systemowe Kluczowe reformy

Bardziej szczegółowo

METODY STATYSTYCZNE W BIOLOGII

METODY STATYSTYCZNE W BIOLOGII METODY STATYSTYCZNE W BIOLOGII 1. Wykład wstępny 2. Populacje i próby danych 3. Testowanie hipotez i estymacja parametrów 4. Planowanie eksperymentów biologicznych 5. Najczęściej wykorzystywane testy statystyczne

Bardziej szczegółowo

Ryzyko operacyjne metoda zaawansowana. Wyzwania

Ryzyko operacyjne metoda zaawansowana. Wyzwania Ryzyko operacyjne metoda zaawansowana. Wyzwania dr Paweł Matkowski LUKAS BANK SA 1 Ryzyko operacyjne: up-date Dokumenty regulacyjne status: Dyrektywy europejskie: 2006/48/WE, 2006/49/WE Projekty uchwał

Bardziej szczegółowo

Inżynieria finansowa Wykład II Stopy Procentowe

Inżynieria finansowa Wykład II Stopy Procentowe Inżynieria finansowa Wykład II Stopy Procentowe Wydział Matematyki Informatyki i Mechaniki UW 11 października 2011 1 Rynkowe stopy procentowe Rodzaje stóp rynkowych Reguły rachunku stóp 2 3 Definicje stóp

Bardziej szczegółowo

WYKORZYSTANIE METODY VALUE AT RISK W ESTYMACJI RYZYKA INWESTYCYJNEGO W SPÓŁKI BRANŻY METALURGICZNEJ

WYKORZYSTANIE METODY VALUE AT RISK W ESTYMACJI RYZYKA INWESTYCYJNEGO W SPÓŁKI BRANŻY METALURGICZNEJ WYKORZYSTANIE METODY VALUE AT RISK W ESTYMACJI RYZYKA INWESTYCYJNEGO W SPÓŁKI BRANŻY METALURGICZNEJ Ewa Miłoś 1 Streszczenie Celem opracowania jest analiza zasadności wykorzystania metody Valua at Risk

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA Statistics. Inżynieria Środowiska. II stopień ogólnoakademicki

STATYSTYKA Statistics. Inżynieria Środowiska. II stopień ogólnoakademicki Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr../12 z dnia.... 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/13 STATYSTYKA

Bardziej szczegółowo

ANALIZA I ZARZADZANIE PORTFELEM. Specjalista ds. Analiz Giełdowych Łukasz Porębski

ANALIZA I ZARZADZANIE PORTFELEM. Specjalista ds. Analiz Giełdowych Łukasz Porębski ANALIZA I ZARZADZANIE PORTFELEM Specjalista ds. Analiz Giełdowych Łukasz Porębski PLAN PREZENTACJI 1) Efektywnośd rynków finansowych 2) Teoria portfela Markowitza (Nobel w 1990 r.) 3) Dywersyfikacja 4)

Bardziej szczegółowo

Wykład 8 Rynek akcji nisza inwestorów indywidualnych Rynek akcji Jeden z filarów rynku kapitałowego (ok 24% wartości i ok 90% PK globalnie) Źródło: http://www.marketwatch.com (dn. 2015-02-12) SGH, Rynki

Bardziej szczegółowo

Sposób wyliczania depozytów zabezpieczających oraz zasady wyceny instrumentów pochodnych i transakcji repo

Sposób wyliczania depozytów zabezpieczających oraz zasady wyceny instrumentów pochodnych i transakcji repo Sposób wyliczania depozytów zabezpieczających oraz zasady wyceny instrumentów pochodnych i transakcji repo 1 Wprowadzenie Dokument przedstawia zaimplementowane w systemie KDPW_CCP formuły wyceny instrumentów

Bardziej szczegółowo