Ryzyko na rynkach finansowych

Transkrypt

1 Ryzyko na rynkach finansowych dr Tomasz Chmielewski Szkoła Główna Handlowa Katedra Polityki Pieniężnej Semestr letni 2011/2012

2 Wstęp Plan wykładu Wprowadzenie do pomiaru ryzyka rynkowego Rozkłady stóp zwrotu z różnych aktywów Realizm normalności Grube ogony Wybrane aspekty modelowania rozkładów Przeglad wybranych rozkładów Modele GARCH/MGARCH Miary ryzyka Pożadane cechy miar ryzyka VaR jako (nieidealna) miara ryzyka rynkowego Inne miary ryzyka Rozszerzenia

3 Wstęp (Wybrana) literatura do drugiej części zajęć (1) T.G. Andersen, T. Bollerslev, F.X. Diebold, Parametric and Nonparametric Volatility Measurement, w: L.P. Hansen, Y. Ait-Sahalia (red.) Handbook of Financial Econometrics, North-Holland, Amsterdam T.G. Andersen, T. Bollerslev, P.F. Christoffersen, F.X. Diebold, Practical Volatility and Correlation Modeling for Financial Market Risk Management, w: M. Carey, R. Stultz (red.), Risks of Financial Institutions, University of Chicago Press for NBER, T.G. Andersen, T. Bollerslev, P.F. Christoffersen, F.X. Diebold, Volatility and Correlation Forecasting, w: G. Elliot, C.W.J. Granger, A. Timmermann, Handbook of Economic Forecasting, North-Holland, Amsterdam 2006.

4 Wstęp (Wybrana) literatura do drugiej części zajęć (2) J.Y. Campbell, A.W. Lo, A.C. MacKinlay, The Econometrics of Financial Markets, Princeton University Press, Princeton C. Alexander, Market Models. A Guide to Financial Data Analysis, John Wiley & Sons, Chichester K. Dowd, Measuring Market Risk (2 wyd.), John Wiley & Sons, Chichester BIS (2011), Messages from the academic literature on risk measurement for the trading book, BCBS Working Papers No 19

5 Stopy zwrotu Wprowadzenie Outline 1 Wstęp 2 Stopy zwrotu Wprowadzenie Proces generujacy stopy zwrotu Alternatywne rozkłady 3 Modele warunkowej zmienności Warunkowa zmienność wprowadzenie Jednowymiarowe modele GARCH Wielowymiarowe modele GARCH 4 Podstawowe miary ryzyka Spójne miary ryzyka VaR Expected shortfall 5 Spektralne miary ryzyka Definicja 6 Wybrane modele ryzyka kredytowego

6 Stopy zwrotu Wprowadzenie Stopy zwrotu dla porzadku Prosta stopa zwrotu: Logarytmiczna stopa zwrotu: r t ln(1 + R t ) = ln R t = P t P t 1 P t 1 = P t P t 1 1 P t P t 1 = ln(p t ) ln(p t 1 ) = p t p t 1 O ile nie zaznaczono inaczej, w tej prezentacji wykorzystywane sa dzienne logarytmiczne stopy zwrotu Addytywność Pewne ułatwienia w modelowaniu stóp zwrotu jako szeregów czasowych Ostrożnie z portfelami

7 Stopy zwrotu Wprowadzenie Dlaczego rozkłady stóp zwrotu? Zwykle wygodniej modelować stopy zwrotu niż poziomy cen Stopy zwrotu być może sa niezależne w czasie, ceny na pewno sa zależne Problemy z integracja szeregów wygodniej jest nie mieć trendów Zarz adzanie ryzykiem: o ile i z jakim prawdopodobieństwem może zmienić się wartość mojego portfela?

8 Stopy zwrotu Proces generujacy stopy zwrotu Outline 1 Wstęp 2 Stopy zwrotu Wprowadzenie Proces generujacy stopy zwrotu Alternatywne rozkłady 3 Modele warunkowej zmienności Warunkowa zmienność wprowadzenie Jednowymiarowe modele GARCH Wielowymiarowe modele GARCH 4 Podstawowe miary ryzyka Spójne miary ryzyka VaR Expected shortfall 5 Spektralne miary ryzyka Definicja 6 Wybrane modele ryzyka kredytowego

9 Stopy zwrotu Proces generujacy stopy zwrotu Grube ogony rozkładów Centralne twierdzenie graniczne daje nadzieję na korzystne własności statystyczne rozkładów Badania empiryczne potwierdzaja odchylenia od normalności Odchylenia te zwykle tym większe, im stopy zwrotu dla krótszego okresu Grube ogony istotne w modelowaniu ryzyka znaczna modyfikacja tej części rozkładu, która jest przedmiotem największego zainteresowania

10 Stopy zwrotu Proces generujacy stopy zwrotu Dlaczego obserwujemy grube ogony? W rzeczywistości rozkład inny niż normalny? Heteroskedastyczność i niewłaściwe ujęcie efektów GARCH? Stopy zwrotów w rzeczywistości pochodza z mieszaniny rozkładów normalnych? Wpływ nieefektywności rynków? Wpływ mikrostruktury rynków? Zmienność stochastyczna? Proces nieciagły (skoki)? Tak naprawdę wszystko jest normalne, tylko mamy zbyt mało obserwacji, żeby to stwierdzić?

11 Stopy zwrotu Alternatywne rozkłady Outline 1 Wstęp 2 Stopy zwrotu Wprowadzenie Proces generujacy stopy zwrotu Alternatywne rozkłady 3 Modele warunkowej zmienności Warunkowa zmienność wprowadzenie Jednowymiarowe modele GARCH Wielowymiarowe modele GARCH 4 Podstawowe miary ryzyka Spójne miary ryzyka VaR Expected shortfall 5 Spektralne miary ryzyka Definicja 6 Wybrane modele ryzyka kredytowego

12 Stopy zwrotu Alternatywne rozkłady Rozkłady stabilne Szukamy rozkładów, dla których szansa zdarzeń odległych od średniej byłaby większa niż dla rozkładu normalnego Wśród kandydatów: rodzina rozkładów stabilnych Suma zmiennych losowych z rozkładów stabilnych ma rozkład stabilny Rozkład normalny szczególnym przypadkiem Znane postaci analityczne funkcji gęstości dla rozkładu Cauchy ego i Bernoulliego

13 Stopy zwrotu Alternatywne rozkłady Problemy z niektórymi rozkładami stabilnymi Niewygodne w wyprowadzeniach Ogony tak grube, że nie istnieja drugie momenty Czyli brak odchylenia standardowego Czyli brak korelacji Problemy z funkcja użyteczności (poza najbardziej trywialnymi przypadkami wyższe momenty rozkładu też się przydaja) Implikuj a tak samo nienormalne rozkłady stóp zwrotu dla dłuższych okresów utrzymywania wbrew wynikom empirycznym

14 Stopy zwrotu Alternatywne rozkłady Rozkłady gruboogonowe z istniejacymi wyższymi momentami Rozkład t-studenta Mieszanina rozkładów normalnych (1 δ t )ε 1,t + δ t ε 2,t δ t zmienna binarna przełaczaj aca między rozkładami normalnymi o różnych wariancjach Procesy ze skokami

15 Stopy zwrotu Alternatywne rozkłady Przykład: Mieszanina rozkładów normalnych Dwie zmienne o rozkładzie normalnym ε i N(µ i, σ 2 i ), µ 1 = µ 2 = 0, σ 2 1 = 1, σ2 2 = 3 Z prawdopodobieństwem 95% losujemy z rozkładu ε 1, zaś z prawd. 5% z rozkładu ε 2 Generujemy szereg obserwacji W efekcie obserwowany rozkład bezwarunkowy będzie miał grube ogony

16 Stopy zwrotu Alternatywne rozkłady Mieszanina rozkładów normalnych

17 Stopy zwrotu Alternatywne rozkłady Mieszanina rozkładów normalnych

18 Stopy zwrotu Alternatywne rozkłady Mieszanina rozkładów normalnych Mieszanina Dopasowany rozkład normalny

19 Stopy zwrotu Alternatywne rozkłady Mieszanina rozkładów normalnych Dopasowany rozkład normalny Mieszanina

20 Wybrane rozkłady gruboogonowe Proces ze skokami Do typowego procesu generujacego stopy zwrotu dodajemy komponent odpowiedzialny za skoki nagłe, znaczne zmiany Możliwe jest wtedy uzyskanie niezerowej skośności rozkładu oraz efektu grubych ogonów r t = e t + et J e t N(0, σt 2) Zmienna et J jest suma N t zmiennych losowych J n, n = 1,..., N t N t jest zmienna losowa o rozkładzie Poissona ze średnia λ, gdzie λ jest liczba "skoków" w ciagu dnia J N N(µ J, σj 2)

21 Wybrane rozkłady gruboogonowe Proces ze skokami parametry Średnia: λµ J Wariancja: σ 2 + λ(µ 2 J + σ2 J ) Skośność: λµ J (µ 2 J + 3σ2 J ) Kurtoza: 3 + λ(µ 4 J + 6µ2 J σ2 J + 3σ4 J )

22 Wybrane rozkłady gruboogonowe GEV Teoria wartości ekstremalnych pozwala na wyprowadzenie rozkładu skrajnych realizacji zmiennych losowych przy dość ogólnych założeniach { exp[ (1 + ξ(x µ)/σ) H ξ,µ,σ = 1/ξ ], jeżeli ξ 0 exp[ exp( (x µ)/σ)], jeżeli ξ = 0 gdzie musi być spełniony warunek 1 + ξ(x µ)/σ > 0 Parametry położenia (µ) oraz skali (σ) nie moga być bezpośrednio utożsamiane ze średnia i odchyleniem standardowym

23 Wybrane rozkłady gruboogonowe GEV Parametr ξ decyduje o charakterze ogona rozkładu Dla ξ > 0 GEV daje rozkład Frécheta, co oznacza, że zmienna x ma rozkład gruboognowy Dla ξ = 0 otrzymujemy rozkład Gumbela z kurtoza taka, jak dla rozkładu normalnego (3) Dla ξ < 0 (rozkład Weibulla) mamy ogon cieńszy niż dla rozkładu normalnego Możliwe wyprowadzenie wielkości VaR; ξ > 0: VaR α = µ σ ξ [1 ( log(α)) ξ ] ξ = 0: VaR α = µ σ log[log(1/α)]

24 Wybrane rozkłady gruboogonowe POT uogólniony rozkład Pareto Niech X będzie zmienna losowa o dystrybuancie F(x), dla danego poziomu granicznego u można określić rozkład strat przekraczajacych u: F u (y) = P(X u y X > u) Dla dużych wartości u, rozkład F u (y) daży do uogólnionego rozkładu Pareto: G ξ,β = { 1 (1 + ξx/β) 1/ξ, jeżeli ξ 0 1 exp( x/β), jeżeli ξ = 0

25 Wybrane rozkłady gruboogonowe POT parametryzacja Rozkład zależy tylko od dwóch parametrów skali (β) oraz kształtu (ξ), decydujacym o charakterze ogona (tail index) Problem doboru granicznej wartości u wysoka wartość wymagana, żeby zadziałała asymptotyczna teoria, jednak to ogranicza liczbę obserwacji ekstremalnych Możliwe wyznaczenie { wartości VaR: [ } VaR α = u + β n ξ (1 α)] ξ Nu 1

26 Modele warunkowej zmienności Warunkowa zmienność wprowadzenie Outline 1 Wstęp 2 Stopy zwrotu Wprowadzenie Proces generujacy stopy zwrotu Alternatywne rozkłady 3 Modele warunkowej zmienności Warunkowa zmienność wprowadzenie Jednowymiarowe modele GARCH Wielowymiarowe modele GARCH 4 Podstawowe miary ryzyka Spójne miary ryzyka VaR Expected shortfall 5 Spektralne miary ryzyka Definicja 6 Wybrane modele ryzyka kredytowego

27 Modele warunkowej zmienności Warunkowa zmienność wprowadzenie Zmienność oszacowania czy zmienność parametru? okno22 okno60 okno250

28 Modele warunkowej zmienności Warunkowa zmienność wprowadzenie Modelowanie zmienności Zmienność jest zmienna w czasie Zmienność nie jest bezpośrednio obserwowalna Zmienność może być podstawa wyceny instrumentów finansowych Jaka jest wartość zmienności dzisiaj? Jaka będzie wartość zmienności jutro? Skad brać zmienność?

29 Modele warunkowej zmienności Warunkowa zmienność wprowadzenie Dlaczego modele warunkowej zmienności? Wycena opcji Realistyczne oszacowania ryzyka Szacowanie stóp zwrotu skorygowanych o ryzyko Wybór optymalnego portfela Zmienne w czasie β w CAPM

30 Modele warunkowej zmienności Warunkowa zmienność wprowadzenie Model wygładzania wykładniczego σ 2 t = λσ 2 t 1 + (1 λ)r 2 t 1 σt 2 = (1 λ)λ j rt 1 j 2 j=0 Podejście spopularyzowane przez RiskMetrics λ kalibrowana arbitralnie (zwykle 0,94 dla danych dziennych) Jak szybko model zapomina o historycznej zmienności

31 Modele warunkowej zmienności Jednowymiarowe modele GARCH Outline 1 Wstęp 2 Stopy zwrotu Wprowadzenie Proces generujacy stopy zwrotu Alternatywne rozkłady 3 Modele warunkowej zmienności Warunkowa zmienność wprowadzenie Jednowymiarowe modele GARCH Wielowymiarowe modele GARCH 4 Podstawowe miary ryzyka Spójne miary ryzyka VaR Expected shortfall 5 Spektralne miary ryzyka Definicja 6 Wybrane modele ryzyka kredytowego

32 Modele warunkowej zmienności Jednowymiarowe modele GARCH Model GARCH σt 2 = ω + αrt βσ2 t 1 ; ω, α, β 0; α + β 1 σ 2 t = ω 1 β + α β j 1 r 2 t j Możliwe uogólnienie na GARCH(m,n) Liczne wersje modelu GARCH (asymetryczne, zapadkowe, modyfikacje procesu r,...) Estymacja zwykle poprzez (quasi) MNW Model wygładzania wykładniczego jest szczególnym przypadkiem GARCH(1,1)

33 Modele warunkowej zmienności Jednowymiarowe modele GARCH Model GARCH σ 2 t = ω + αr 2 t 1 + βσ2 t 1 σ 2 ω 1 α β Zależność od wartości długookresowej: σ 2 t = σ 2 + α(r 2 t 1 σ2 ) + β(σ 2 t 1 σ2 ) Warunkowa prognoza zmienności: σ 2 t+k t = σ2 + (α + β) k 1 (σ 2 t+1 t σ2 )

34 Modele warunkowej zmienności Wielowymiarowe modele GARCH Outline 1 Wstęp 2 Stopy zwrotu Wprowadzenie Proces generujacy stopy zwrotu Alternatywne rozkłady 3 Modele warunkowej zmienności Warunkowa zmienność wprowadzenie Jednowymiarowe modele GARCH Wielowymiarowe modele GARCH 4 Podstawowe miary ryzyka Spójne miary ryzyka VaR Expected shortfall 5 Spektralne miary ryzyka Definicja 6 Wybrane modele ryzyka kredytowego

35 Modele warunkowej zmienności Wielowymiarowe modele GARCH Wielowymiarowe modele warunkowej zmienności (MGARCH) Zmienność na różnych rynkach może zależeć od wspólnych czynników Wzrost zmienności na jednym rynku może powodować zmianę zmienności na innym rynku Zależności (kowariancje/korelacje) między rynkami mog a być zmienne w czasie

36 Modele warunkowej zmienności Wielowymiarowe modele GARCH Ogólna specyfikacja modelu R t = Ω 1 2 t Z t E(Z t ) = 0 Z t i.i.d var(z t ) = I Ω to wielowymiarowa analogia wariancji W modelowaniu konieczne zapewnienie, by macierz Ω była nieujemnie określona Dla N aktywów w macierzy Ω mamy N(N + 1)/2 wolnych parametrów do oszacowania W praktyce konieczne nałożenie restrykcji w celu zmniejszenia wymiarowości problemu

37 Modele warunkowej zmienności Wielowymiarowe modele GARCH Wygładzanie wykładnicze Dla macierzy robimy to samo co wcześniej dla skalarów Ω t = λω t 1 + (1 λ)r t 1 R t 1 Podejście bardzo restrykcyjne implikowane założenie o takim samym stopniu wygładzania dla wszystkich parametrów Ale mamy gwarancję nieujemnej określoności macierzy Ω t

38 Modele warunkowej zmienności Wielowymiarowe modele GARCH Wielowymiarowy GARCH Wielowymiarowy odpowiednik modelu GARCH(1,1): vech(ω t ) = vech(c) + Bvech(Ω t 1 ) + Avech(R t 1 R t 1 ) Operator vech przekształca macierz symetryczna w wektor N(N + 1)/2 1 Macierze A oraz B maja wymiary N(N + 1)/2 N(N + 1)/2 W najbardziej ogólnej postaci w modelu trzeba oszacować O(N 4 ) parametrów Czyli dla N = 100 aktywów ponad 51mln parametrów do oszacowania!

39 Modele warunkowej zmienności Wielowymiarowe modele GARCH MGARCH vech(1,1) h 11t h 21t h 22t = c 1 c 2 c a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 b 11 b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 b 31 b 32 b 33 h 11,t 1 h 21,t 1 h 22,t 1 ɛ 2 1,t 1 ɛ 1,t 1 ɛ 2,t 1 ɛ 2 2,t 1

40 Modele warunkowej zmienności Wielowymiarowe modele GARCH Nakładamy restrykcje Musimy coś zrobić najlepiej z macierzami A oraz B Wersja najbardziej restrykcyjna: Ω t = C + βω t 1 + αr t 1 R t 1 Przekształcajac podobnie jak dla GARCH: Ω t = Ω + β(ω t 1 Ω) + α(r t 1 R t 1 Ω) Ponownie wersja nieco mniej restrykcyjna niż wygładzanie wykładnicze Szukamy czegoś bardziej ogólnego

41 Modele warunkowej zmienności Wielowymiarowe modele GARCH Model BEKK Reparametryzujemy specyfikację vech Zapewnienie nieujemnej określoności szacowanej macierzy wariancji-kowariancji Ω t = C C + B Ω t 1 B + A (R t 1 R t 1)A N(5N + 1)/2 parametrów do oszacowania Możemy nałożyć dodatkowe restrykcje na macierze A oraz B

42 Modele warunkowej zmienności Wielowymiarowe modele GARCH BEKK(1,1,1) [ ] [ ] [ ] h11t h 12t c11 0 c11 c = 21 + h 21t h 22t c 21 c 22 0 c 22 [ ] [ a11 a + 12 ɛ 2 ] [ ] 1,t 1 ɛ 1,t 1 ɛ 2,t 1 a11 a 12 a 21 a 22 ɛ 1,t 1 ɛ 2,t 1 ɛ 2 + 2,t 1 a 21 a 22 [ ] [ ] [ ] b11 b + 12 h11,t 1 h 12,t 1 b11 b 12 b 21 b 22 h 21,t 1 h 22,t 1 b 21 b 22

43 Modele warunkowej zmienności Wielowymiarowe modele GARCH DCC Dynamic Condition Correlation Korzystamy z dekompozycji macierzy wariancji-kowariancji: Ω t D t Γ t D t Γ t macierz korelacji D t diagonalna macierz odchyleń standardowych Możliwe jest indywidualne modelowanie warunkowej zmienności dla poszczególnych szeregów Zwykle dość restrykcyjna specyfikacja dla procesu zmian korelacji W wersji Γ t = Γ model stałych warunkowych korelacji (CCC) Ale takie założenie może być zbyt restrykcyjne

44 Modele warunkowej zmienności Wielowymiarowe modele GARCH Modele czynnikowe Być może stopy zwrotu danej klasy aktywów zależa od stosunkowo niewielkiej liczby (być może nieobserwowalnych) czynników Przykład wycena obligacji i modelowanie krzywej dochodowości Budujemy model MGARCH tylko dla czynników, a następnie odtwarzamy odpowiednie parametry dla rzeczywistych aktywów Powiazana klasa ortogonalne modele GARCH

45 Podstawowe miary ryzyka Spójne miary ryzyka Outline 1 Wstęp 2 Stopy zwrotu Wprowadzenie Proces generujacy stopy zwrotu Alternatywne rozkłady 3 Modele warunkowej zmienności Warunkowa zmienność wprowadzenie Jednowymiarowe modele GARCH Wielowymiarowe modele GARCH 4 Podstawowe miary ryzyka Spójne miary ryzyka VaR Expected shortfall 5 Spektralne miary ryzyka Definicja 6 Wybrane modele ryzyka kredytowego

46 Podstawowe miary ryzyka Spójne miary ryzyka Pożadane właściwości miar ryzyka Niech X oraz Y oznaczaja (nominalne) zwroty z dwóch portfeli Miarę ryzyka ρ nazywamy spójna, gdy spełnia: Y X ρ(y ) ρ(x) ρ(x + Y ) ρ(x) + ρ(y ) (subaddytywność) ρ(hx) = hρ(x) dla h > 0 Dla znanej (pozbawionej ryzyka) kwoty n: ρ(x + n) = ρ(x) n W praktyce najważniejsza jest subaddytywność Uwaga: miara ryzyka rozważana z punktu widzenia indywidualnego podmiotu/portfela, perspektywa np. ryzyka systemowego może być inna

47 Podstawowe miary ryzyka VaR Outline 1 Wstęp 2 Stopy zwrotu Wprowadzenie Proces generujacy stopy zwrotu Alternatywne rozkłady 3 Modele warunkowej zmienności Warunkowa zmienność wprowadzenie Jednowymiarowe modele GARCH Wielowymiarowe modele GARCH 4 Podstawowe miary ryzyka Spójne miary ryzyka VaR Expected shortfall 5 Spektralne miary ryzyka Definicja 6 Wybrane modele ryzyka kredytowego

48 Podstawowe miary ryzyka VaR Value at Risk (VaR) Wartość zagrożona Wartość narażona na ryzyko...ale nie VAR Vector AutoRegression! Popularna miara ryzyka Popularność wspierana regulacjami nadzorczymi...ale od strony teorii ma pewne wady Dla ogólnych rozkładów nie jest spójna miara ryzyka

49 Podstawowe miary ryzyka VaR Definicja VaR Oszacowanie, przy założonym poziomie prawdopodobieństwa, straty w danym horyzoncie czasowym Na przykład: szacujemy, że z prawdopodobieństwem 99% w ciagu kolejnych 10 dni roboczych nie stracimy więcej niż 10 mln PLN

50 Podstawowe miary ryzyka VaR VaR uwagi do definicji VaR nie jest maksymalna możliwa wielkościa straty VaR nie określa, jak dużo możemy stracić, jeśli strata przekroczy wartość VaR VaR zakłada typowe warunki rynkowe Oszacowana wartość VaR jest warunkowana modelem zachowania się stóp zwrotu Przekroczenia przez straty poziomu VaR jest normalne (byle nie za często)

51 Podstawowe miary ryzyka VaR Prawdopodobieństwo przekroczenia VaR (1 dzień, 99%) Liczba Prawdop. Prawdop. przekroczeń skumulowane 0 8,11% 8,11% 1 20,47% 28,58% 2 25,74% 54,32% 3 21,50% 75,81% 4 13,41% 89,22% 5 6,66% 95,88% 6 2,75% 98,63% 7 0,97% 99,60% 8 0,30% 99,89% 9 0,08% 99,98% 10 0,02% 100,00% 11 0,00% 100,00%

52 Podstawowe miary ryzyka VaR Niespójność VaR jako miary ryzyka Portfel dwóch obligacji (A i B) Wartość nominalna każdej wynosi 100 Prawdopobieństwo upadłości: 4%, upadłości niezależne Rozkład możliwych wartości portfela: P(W = 200) = 0,96 2 = 0,9216 P(W = 0) = 0,04 2 = 0,0016 P(W = 100) = 1 0,9216 0,0016 = 0,0768 VaR 95% (A) = VaR 95% (B) = 0 VaR 95% (A + B) = 100 > 0 = VaR 95% (A) + VaR 95% (B)

53 Podstawowe miary ryzyka VaR VaR sposoby wyznaczania Metoda wariancji-kowariancji Symulacja historyczna Symulacja Monte Carlo

54 Podstawowe miary ryzyka VaR Metoda wariancji-kowariancji Założenie: normalny rozkład wszystkich czynników ryzyka Portfel instrumentów liniowych względem czynników ryzyka Zmiany wartości portfela również rozkład normalny Wyprowadzamy wzór, podstawiamy zmienności i korelacje

55 Podstawowe miary ryzyka VaR Metoda wariancji-kowariancji Zalety: Względnie prosta do zrozumienia i wdrożenia Niewielkie zapotrzebowanie na zasoby Problemy: Niezbyt realistyczne założenia o rozkładach czynników ryzyka Nie można uwzględnić bardziej skomplikowanych instrumentów pochodnych Dla portfeli o dużej liczbie składników oszacowanie macierzy wariancji-kowariancji może być trudne

56 Podstawowe miary ryzyka VaR Symulacja historyczna Zbieramy dane o przeszłych wartościach czynników ryzyka Wyceniamy posiadany portfel dla takich wartości czynników ryzyka Sortujemy zmiany Bierzemy odpowiedni percentyl

57 Podstawowe miary ryzyka VaR Symulacja historyczna Zalety: (Prawie) żadnych założeń parametrycznych! prawie robi różnicę szczegóły za chwilę Łatwa do zrozumienia Problemy: Konieczne przechowywanie wielu danych Dane historyczne niedostępne dla części aktywów (np. nowe produkty) Co ze zmianami strukturalnymi na rynkach?

58 Podstawowe miary ryzyka VaR Symulacja Monte Carlo Sztuczne generowanie ścieżek czynników ryzyka Na tej podstawie wycena posiadanego portfela Sortujemy zmiany wartości Bierzemy odpowiedni percentyl

59 Podstawowe miary ryzyka VaR Symulacja Monte Carlo Zalety: Potencjalnie najbardziej elastyczne podejście Można wyceniać dowolne instrumenty Problemy Dużo zależy od założeń co do procesów generujacych dane Duża złożoność obliczeniowa Najtrudniejsza do implementacji Sztuczki numeryczne Przybliżenie delta-gamma (intuicja: podobnie jak duration i convexity dla obligacji) Metody redukowania zmienności estymatora

60 Podstawowe miary ryzyka Dekompozycja VaR Dekompozycja VaR Wkład poszczególnych ekspozycji do VaR portfela zwykle mniejszy niż VaR dla danej pozycji (efekt dywersyfikacji) W wielu przypadkach istotne jest określenie wielkości wpływu ekspozycji (lub jej zmiany) na VaR Budżetowanie ryzyka/kapitału Pomiar rentowności skorygowanej o ryzyko Ocena kapitałochłonności różnych potencjalnych inwestycji

61 Podstawowe miary ryzyka Dekompozycja VaR Horyzont czasowy VaR Co jeśli interesuje nas dłuższy okres utrzymywania pozycji? Prosto jeśli założymy i.i.d. procesu stóp zwrotu Promowane przez regulatorów: reguła pierwiastka czasu Problem jeśli chcemy uwzględnić efekty GARCH W metodzie MC możemy założyć dowolny proces Trzeba oszacować proces generujacy dane problem dużych portfeli Rośnie złożoność obliczeniowa Bardziej skomplikowane dla symulacji historycznej metoda przestaje być wolna od założeń! Co jeśli chcemy agregować VaR dla różnych horyzontów czasowych?

62 Podstawowe miary ryzyka Backtest VaR wybrane testy VaR jako statystyka Oszacowanie VaR jest percentylem rozkładu, możemy więc stosować wszystkie narzędzia statystyczne zwiazane z testowaniem hipotez dotyczacych parametrów Niepewność co do oszacowania wartości VaR jako wyniku szacowanego wcześniej modelu, problemy szczególnie duże dla VaR szacowanego dla wysokim poziomów ufności (mało obserwacji szeroki przedział ufności oszacowania parametru) Obok poziomu ufności VaR, należy wybrać poziom istotności dla testu W ogólności, przy testowaniu oszacowań miar ryzyka chcielibyśmy móc odnosić się do modeli dla całych rozkładów

63 Podstawowe miary ryzyka Backtest VaR wybrane testy Testy oparte na częstości ekstremalnych zwrotów Pytanie, czy częstość przekroczeń wartości VaR jest zgodna z przyjętym poziomem ufności dla VaR Założenie, że poszczególne realizacje (i ewentualne przekroczenia) sa zdarzeniami niezależnymi Możliwe wyniki dane rozkładem dwumianowym

64 Podstawowe miary ryzyka Backtest VaR wybrane testy Test częstości przekroczeń Test "wbudowany" w konstrukcję wymogu kapitałowego (Bazylea II) dla metody zaawansowanej ryzyka rynkowego Test może być nieefektywny (mieć słaba moc) przy wykrywaniu niewłaściwego modelu z uwagi na ignorowanie znacznej ilości informacji Wielkość przekroczenia Niezależność przekroczeń w wymiarze czasowym (ewentualna koncentracja) Wymagana znaczna wielkość próby szerokość przedziału ufności dla uzyskanej liczby przekroczeń Problem przy zwiększaniu horyzontu czasowego utrzymywania ekspozycji

65 Podstawowe miary ryzyka Backtest VaR wybrane testy Testy rozkładu warunkowego Porównujemy empiryczny rozkład strat przekraczajacych wielkość VaR z rozkładem teoretycznym wynikajacym ze stosowanego modelu Statystyczne testy różnicy rozkładów np. Kołmogorow-Smirnow Możliwe odrzucenie modelu w sytuacjach, gdy testy oparte na liczbie przekroczeń VaR nie dawałyby do tego podstawy (np. przekroczenia z przewidywana częstościa, ale znacznie większe niż implikowane przez model) Problem gdy nie mamy jawnie określonego modelu do porównań (metoda symulacji historycznej)

66 Podstawowe miary ryzyka Backtest VaR wybrane testy Testy zgodności rozkładów Postępowanie analogiczne jak dla testów rozkładu warunkowego, ale z uwzględnieniem całości rozkładu Może mieć uzasadnienie, jeśli model ryzyka wykorzystywany w procesie konstrukcji portfela lub oceny efektywności inwestycji Podstawowe (dyskusyjne) założenie: zgodność centrum porównywanych rozkładów daje informację o zgodności ich ogonów Przy nisko ustawionym progu testy zgodności dla całych rozkładów i rozkładów warunkowych "zbliżaja się" do siebie

67 Podstawowe miary ryzyka Expected shortfall Outline 1 Wstęp 2 Stopy zwrotu Wprowadzenie Proces generujacy stopy zwrotu Alternatywne rozkłady 3 Modele warunkowej zmienności Warunkowa zmienność wprowadzenie Jednowymiarowe modele GARCH Wielowymiarowe modele GARCH 4 Podstawowe miary ryzyka Spójne miary ryzyka VaR Expected shortfall 5 Spektralne miary ryzyka Definicja 6 Wybrane modele ryzyka kredytowego

68 Podstawowe miary ryzyka Expected shortfall Expected shortfall (ES) Inne pseudonimy: Expected (tail) loss Conditional VaR Wartość oczekiwana straty pod warunkiem, że strata przekracza VaR Różnica między ES a VaR tym większa, im rozkład bardziej gruboogonowy

69 Spektralne miary ryzyka Definicja Outline 1 Wstęp 2 Stopy zwrotu Wprowadzenie Proces generujacy stopy zwrotu Alternatywne rozkłady 3 Modele warunkowej zmienności Warunkowa zmienność wprowadzenie Jednowymiarowe modele GARCH Wielowymiarowe modele GARCH 4 Podstawowe miary ryzyka Spójne miary ryzyka VaR Expected shortfall 5 Spektralne miary ryzyka Definicja 6 Wybrane modele ryzyka kredytowego

70 Spektralne miary ryzyka Definicja Definicja miary ryzyka Rozważmy miarę ryzyka M φ : M φ = 1 0 φ(p)q p dp q p p-ty percentyl rozkładu strat φ(p) funkcja wag zdefiniowana dla p [0, 1] M φ jest miara ryzyka oparta na kwantylach rozkładu, zróżnicowanie w zależności od przyjętej funkcji wag Chcielibyśmy uzależnić φ(p) od stopnia awersji do ryzyka

71 Spektralne miary ryzyka Definicja Szczególne przypadki VaR α = q α funkcja wag skoncentrowana w jednym punkcie ES α = α α q pdp schodkowa funkcja wag Te specyfikacje nie sa zależne od stopnia awersji do ryzyka Gubimy znaczna część informacji o rozkładzie

72 Spektralne miary ryzyka Definicja Restrykcje dla φ(p) φ(p) φ(p)dp = 1 φ (p) 0 (w celu wyeliminowania neutralności względem ryzyka czasem warunek formułowany jako φ (p) > 0) Miara spełniajaca te warunki nazywana jest spektralna miara ryzyka Spełnia warunki spójnej miary ryzyka Do pełnego zdefiniowania spektralnej miary ryzyka konieczne jest również wskazanie postaci i parametryzacji funkcji użyteczności

73 Spektralne miary ryzyka Funkcje użyteczności Wykładnicza funkcja użyteczności Wykładnicza funkcja użyteczności: U(x) = e kx, k > 0 M φ = R A (x) = U (x) U (x) = k R R (x) = xu (x) U (x) = xk Możliwa funkcja wag: φ(p) = λe k(1 p) = ke k(1 p) 1 e k k 1 e k 1 e k(1 p) q p dp 0

74 Spektralne miary ryzyka Funkcje użyteczności Potęgowa funkcja użyteczności Potęgowa funkcja użyteczności, γ > 0: U(x) = x 1 γ 1 1 γ W przypadku granicznym, gdy γ = 1: U(x) = ln(x) R A (x) = U (x) U (x) = γ x R R (x) = xu (x) U (x) = γ Możliwa funkcja wag: φ(p) = λ (1 p)γ 1 1 γ M φ = 1 γ(1 p) γ 1 q p dp 0 = γ(1 p) γ 1

75 Spektralne miary ryzyka Funkcje użyteczności Modelowanie ryzyka na rynkach finansowych niektóre problemy Zmienność Jak ja mierzyć? Jak brać pod uwagę zmiany zmienności? Jaka ma być rola zmienności implikowanych? Pamięć oszacowań zmienności Kowariancje/korelacje Coraz istotniejsze dla wyceny strukturyzowanych produktów finansowych Problem wymiarów! Modelowanie ich zmian w czasie

76 Spektralne miary ryzyka Funkcje użyteczności Modelowanie ryzyka na rynkach finansowych niektóre problemy Jak uwzględniać strukturę terminowa zmienności? W symulacjach Monte Carlo różnice w modelach dla stóp procentowych i innych rodzajów aktywów Czy można lepiej modelować same ogony rozkładów? Modelowanie współwystępowania zdarzeń ekstremalnych

77 Wybrane modele ryzyka kredytowego CreditMetrics Podstawowe założenia Ekspozycjom można przypisać ratingi z powiazanymi prawdopodobieństwami upadłości Znane sa prawdopodobieństwa zmian przypisanych ratingów (macierz przejść) proces Markowa Znana jest struktura terminowa premii za ryzyko dla poszczególnych klas ratingowych (lub odpowiednie procesy stochastyczne) Na podstawie powyższych możliwe jest wyznaczenie rozkładu przyszłej wartości danej ekspozycji

78 Wybrane modele ryzyka kredytowego CreditMetrics Efekty dywersyfikacji w ramach portfela Prawdopodobieństwa upadłości nie sa niezależne problem określenia współzależności między nimi Możliwe rozwiazanie korelacja między wartościa aktywów firm (przybliżana przez rynkowa wartość akcji), w powiazaniu z uproszczonym modelem Mertona Wyznaczanie korelacji może być uproszczone w ramach analizy czynnikowej (problem wymiarów)

79 Wybrane modele ryzyka kredytowego CreditMetrics Problemy Macierz przejść through-the-cycle może nie być odpowiednia dla analiz w krótszym niż pełen cykl horyzoncie czasowym Losowość elementów macierzy przejść (moga być traktowane jako oszacowania nieznanych prawdziwych wartości parametrów) Założenie homogeniczności ekspozycji w ramach danej grupy ratingowej Uwzględnienie losowości w odniesieniu do stóp procentowych (zarówno wolnych od ryzyka, jak i komponentu premii za ryzyko) Ekspozycje musza mieć przypisane ratingi

80 Wybrane modele ryzyka kredytowego Model KMV Podstawowe założenia Rezygnacja z macierzy przejść na rzecz oparcia się na danych rynkowych, w powiazaniu z informacja o strukturze finansowania przedsiębiorstwa Prawdopodobieństwo upadłości określane na podstawie oszacowania zmienności wartości kapitału (distance-to-default) Teoretycznie możliwość lepszego ujęcia zależności między ekspozycjami w ramach portfela

81 Wybrane modele ryzyka kredytowego Model KMV Problemy Utrudnione (ale nie niemożliwe) stosowanie do firm niepublicznych Konieczność dodatkowego mapowania pomiędzy wyznaczonym bezpośrednio distance-to-default a faktycznym prawdopodobieństwem upadłości Nie dla wszystkich branż model działa równie dobrze (np. instytucje finansowe)

82 Wybrane modele ryzyka kredytowego CreditRisk+ Podstawowe założenia Podejście aktuarialne upadłość lub brak zmiany stanu Liczba upadłości w danym okresie dana rozkładem Poissona (λ) Brak bezpośrednio uwzględnionej korelacji między ekspozycjami Podejście względnie proste obliczeniowo

83 Wybrane modele ryzyka kredytowego CreditRisk+ Rozszerzenia Rozkład Poissona określony jednym parametrem zmienność implikowanej stopy upadłości może być zaniżona w stosunku do faktycznie obserwowanych wartości Ustochastycznienie parametru λ w tym uzależnienie od czynników zewnętrznych Ustochastycznienie stopy odzysku