S T A T Y S T Y K A W Y K Ł A D 1

Transkrypt

1 . Podsawowe pojęca saysyczne S T A T Y S T Y K A W Y K Ł A D Zborowość saysyczna lub populacja ogół obeków jednoznaczne wyodrębnonych charakeryzujących sę przynajmnej jedną cechą A przyjmującą róŝne warośc. Inaczej zbór elemenów róŝnych z punku wdzena badanej cechy. Np. zborowość dorosłych Polaków z cechą A= wykszałcene Jake wdzą pańswo przykłady nnych cech? Jednoska saysyczna dowolny elemen zborowośc saysycznej czyl populacj. Jednosk saysyczne nazywa sę częso danym saysycznym. Podzborowość saysyczna część populacj, czyl zborowośc saysycznej, wyodrębnona ze względu na nną, ne badaną cechę B w danej populacj, kóra ma jednak pewen wpływ na cechę A. Jeśl nną cechą B jes wek, o podzborowość populacj Polaków moŝemy określć jako ą część Polaków kórych wek przekracza 60 la, przy czym badaną cechą w populacj jes w dalszym cągu cecha A= wykszałcene. Jake wdzą pańswo przykłady nnych podzborowośc? Próbka losowo wybrana część zborowośc saysycznej. Aby uzyskane wynk badana próbk moŝna było odneść do całej zborowośc, próbka mus być reprezenaywna. Przykładem próbk reprezenaywnej moŝe być co 50-a osoba wychodząca z kna kórą zapyujemy o o czy podobał sę jej flm.. Formy prezenacj jednosek (danych) saysycznych określonych (a) w posac szeregu rozdzelczego dla cechy jakoścowej = nemerzalnej Przykład (wykszałcene) wykszałcene Odpowadająca lość obeków (jednosek saysycznych) podsawowe 0 szkoła zawodowa 50 echnkum/lceum 85 lcencja 40 suda mgr 4 MBA

2 Sere podsawowe szkoła zawodowa echnkum/lceum lcencja suda mgr MBA podsawowe szkoła zawodowa echnkum/lceum 85 lcencja suda mgr MBA 80 (b) w posac szeregu rozdzelczego punkowego dla cechy loścowej = merzalnej Przykład (współczesny model rodzny) Ilość dzec w lość rodzn z aką rodzne lczbą dzec Preferowane wykresy : punkowy (ponŝej), kolumnowy słupkowy (ponŝej).

3 % welodzeność % 4% 9% 0 dzec dzecko dzec 5% 8% dzec 4 dzec 5 dzec lość rodzn w zaleŝnośc od lośc dzec lość rodzn w zaleŝnośc od lośc dzec wyrywkowe dane n/ welodzenośc rodzn w Polsce 5 4 wyrywkowe dane n/ welodzenośc rodzn w Polsce (c) w posac szeregu rozdzelczego p r z e d z a ł o w e g o dla cechy loścowej = merzalnej Mając duŝo danych na jakś ema, np. zmerzone przez radar prędkośc pojazdów na obser- wowanym odcnku rasy, worzymy klasy jednosek saysycznych w posac przedzałów danych saysycznych (prędkośc w ym przypadku)o ych samych szerokoścach zlczamy (za pomocą funkcj CZĘSTOŚĆ w Excelu) le pomarów wpada do kaŝdej klasy, czyl kaŝdego przedzału, po czym wykonujemy grafczny obraz powyŝszych jednosek saysycz- nych zwany h s o g r a m e m.

4 4. Mary endencj cenralnej (A) Średna arymeyczna (a) dla danych n d y w d u a l n y c h x x + x xn () x = = n n Zaley: u w z g l ę d n a wszyske nformacje zaware w próbe losowej zborowośc saysycznej Wady: jes z b y c z u ł a (podana) na welkośc skrajne małe skrajne duŝe przez co zaburza rzeczywsy obraz syuacj główne wedy gdy ych danych jes newele. n = = Np. rozwaŝmy cąg jednosek saysycznych obrazujących wzros ucznów w klase mauralnej: 57; 58; 65; 67; 67; 67; 70; 7; 7; 7; 74; 74; 77; 77; 77; 79; 79; 8; 84; 84. Średn wzros wynos u 7,8 cm. Gdy zamenmy skrajne duŝe dane saysyczne, np. najwększą z nch 84 na np. 99, o orzymamy cąg danych saysycznych 57; 58; 65; 67; 67; 67; 70; 7; 7; 7; 74; 74; 77; 77; 77; 79; 79; 8; 99; 99 kórego średna wynosć będze 74,. Aby zobaczyć wększy efek ego zjawska, naleŝy zmnejszyć lość danych saysycznych do np. 0 oraz powększyć róŝnce mędzy danym. Ma o mejsce wedy gdy np. dane saysyczne reprezenują zarobk z róŝnych frm w skal mesąca: dla kórych średna wynos 457 zł. Zmenając jedyne najwyŝszy zarobek 900 zł na 700 zł(pensja dyrekora banku), zob. ponŝszy cąg danych saysycznych, orzymamy średną 67 zł kóra jes o 800 zł (9%) wyŝsza od poprzednej (b) dla s z e r e g u p u n k o w e g o (dane ndywdualne powarzają sę) = k = x n k x n + x n xn nk = () x = = = x w, wag n n = n w =, n gdze k = lczba wyróŝnonych klas; n = # wszyskch jednosek saysycznych; n = lczebność klasy, =,,, k (pamęajmy Ŝ klasa składa sę z denycznych danych sa. w lośc n ), zaś w = waga klasy dana wzorem powyŝej, =,,, k. Mówmy wówczas Ŝe

5 5 x jes średną waŝoną danych saysycznych. Uwaga: szereg punkowy jes szczególnym przypadkem cągu danych ndywdualnych w kórym wele jednosek sa. powarza sę, worząc w en sposób k l a s y denycznych lczb (danych saysycznych). Np. nech będze dany cąg jednosek saysycznych w kórym jak wdzmy lczba 4 wysępuje razy, lczba 0 wysępuje 5 razy, zaś lczba 00 ylko razy worząc w en sposób klasy. Średna arymeyczna lczona wg wzoru podanego w (a) wynos 46,. PokaŜemy Ŝ ak sam wynk orzymamy sosując wzór przed chwlą podany gdyŝ x x= n + x n x n n n k = == 46,. 0 Wynk musał wyjść en sam ponewaŝ powyŝszy cąg jednosek saysycznych był zarów- no cągem danych ndywdualnych, jak szeregem punkowym z ego powodu moglś- my sosować oba wzory z punków (a) (b). PonewaŜ wszyske podawane przez nas wzory są sensowne, muszą dawać e same rezulay. (c) dla s z e r e g u p r z e d z a ł o w e g o x = = k x n = k = ) = x n = -go p r z e d z a ł u, zaś n = lczebność przedzału. ) w, gdze x ) = środek Zadane. Oblcz średną arymeyczną dla przykładu (współczesny model rodzny), pokazując Ŝ średna a wynos,66. RozwąŜ nne wymyślone przez sebe przykłady. (B) Domnana = warość cechy kóra najczęścej wysępuje w badanej zborowośc sa. czyl a warość kóra d o m n u j e jeśl chodz o c z ę s o ś ć wysępowana. Jej defncja jes w pełn zrozumała w przypadku danych saysycznych zadanych w posac danych ndywdualnych szeregów punkowych omówonych w punkach (a) (b) częśc (A), zaś dla szeregów przedzałowych będze za chwlę odpowedno zmodyfkowana. Domnaną w przykładze jes lczba, co oznacza Ŝe w Polsce domnują rodzny z jednym dzeckem. Wady: () n e u w z g l ę d n a welu n f o r m a c j zawarych w losowej próbce zborowośc saysycznej; () jes całkowce neczuła na (gnoruje) welkośc małe duŝe.

6 6 Podamy eraz wzór na oblczene domnany dososowany do szeregów przedzałowych: n n D= x0 D + hd, gdze ) D D ( nd nd ) + ( nd nd+ x 0 D = dolna granca przedzału domnany, czyl akego przedzału = klasy w kórej znajduje sę najwększa lość jednosek (danych) saysycznych; nd = lczebność przedzału domnany; nd = lczebność przedzału poprzedzającego przedzał domnany; nd+ = lczebność przedzału nasępującego po przedzale domnany; h = rozpęość (szerokość) przedzału domnany. D Przykład. Frma przeprowadzła badana n/ długośc rozmów elefoncznych swych pracownków. Orzymane wynk przedsawono w posac szeregu przedzałowego. Na ch podsawe wyznacz domnanę. Czas rozmowy Ilość rozmów Czas rozmowy Ilość rozmów 0 mn mn 0 8 mn 0 mn 4 mn 4 mn 0 mn mn 0 4 mn 6 mn 55 mn 4 mn 8 6 mn 8 mn 66 4 mn 6 mn 9 Czas rozmowy Ilość rozmów Czas rozmowy Ilość rozmów 0 mn mn 0 8 mn 0 mn 65 mn 4 mn 0 mn mn 0 4 mn 6 mn 0 mn 4 mn 8 6 mn 8 mn 66 4 mn 6 mn 9 Jes o szereg przedzałowy o równych długoścach klas ( mn kaŝda). Od razu zauwaŝamy Ŝ [6 mn;8 mn] jes przedzałem (klasą) domnany z ego powodu Ŝe lość rozmów (66) jes najwększa. Zaem, dolna granca przedzału domnany x 0 D = 6; lczebność przedzału domnany n D = 66; nd = lczebność przedzału poprzedzającego przedzał domnany nd = 55; lczebność przedzału nasępującego po przedzale domnany nd+ = 4 wreszce szerokość przedzału domnany hd =. Zaem domnana równa jes D= 6 + = 6+ = 6 = 6 mn 9 sek (66 55) + (66 4) + 4 Przy czym ne ma u Ŝadnego znaczena czy jakakolwek rozmowa rwała w rzeczywsośc 6 mn 9 sek. RozwaŜmy szczególne przypadk:

7 7 Uwaga. Gdy = D domnany ( n D domnany ( D+ n n D+ (lczebność przedzału bezpośredno poprzedzającego przedzał ) jes równa lczebnośc przedzału nasępującego bezpośredno po przedzale n ), o wówczas n D nd = nd nd+ w zwązku z ym nd nd D= x0d + hd = x0d + hd, ( n n ) + ( n n ) D D D co oznacza Ŝe domnana jes wedy ulokowana dokładne w środku przedzału domnany ponewaŝ x 0 D jes dolną grancą przedzału domnany, zaś h D jes szerokoścą przedzału domnany, czyl odległoścą mędzy prawym a lewym końcem przedzału domnany. Uwaga a. Jeśl n D+ < n D np. 4 < 55, zn. lczebność przedzału nasępującego bezpośredno po przedzale domnany ( n D+ ) jes mnejsza (ak jak w przykładze ) od lczebnośc prze- dzału bezpośredno poprzedzającego en przedzał ( n D ), o wedy z uwag na o Ŝ n nd < n nd+ będzemy meć nd nd <, ( nd nd ) + ( nd nd+ ) co spowoduje Ŝ domnana znajdować sę będze blŝej lewego końca przedzału domnany nŝ prawego, zgodne z zasadą Ŝ będze znajdować sę blŝej bardzej lcznego sąsednego przedzału. Uwaga b. Jeśl n D+ > n D, zn. lczebność przedzału nasępującego bezpośredno po przedzale domnany ( n D+ ) jes wększa od lczebnośc przedzału bezpośredno poprzedzającego en przedzał ( n D ), o wedy z uwag na o Ŝ n nd > n nd+ będzemy meć nd nd >, ( nd nd ) + ( nd nd+ ) co spowoduje Ŝ domnana znajdować sę będze blŝej prawego końca przedzału domnany nŝ lewego, zgodne z zasadą Ŝ będze znajdować sę blŝej bardzej lcznego sąsednego przedzału. Przykład (lusrujący poprawność Uwag ). Frma przeprowadzła badana n/ długośc rozmów elefoncznych swych pracownków. Orzymane wynk przedsawono w posac szeregu przedzałowego. Na ch podsawe wyznacz domnanę, kóra zgodne z Uwagą pownna być równa 7 mn, czyl znajdując sę w środku przedzału domnany. D+ Czas rozmowy Ilość rozmów Czas rozmowy Ilość rozmów 0 mn mn 0 8 mn 0 mn 55 mn 4 mn 0 mn mn 0 4 mn 6 mn 55 mn 4 mn 8 6 mn 8 mn 66 4 mn 6 mn 9 (C) Medana = aka warość badanej cechy Ŝe 50% danych (jednosek) saysycznych ma mnejszą lub równą warość ej cechy, a pozosałe 50% ma warość wększą lub równą.

8 8 Zaley: () warośc skrajne ne mają na ną wpływu, przecwne jak w przypadku średnej arymeycznej; () jes o jedyna mara zw. endencj cenralnej kóra sosuje sę z powodzenem nawe do skrajne nesymerycznych rozkładów danych emprycznych. Medana zarobków bruo w Warszawe w 0 r. wynosła 5500 zł, podczas gdy w pozosałych masach była wyraźne nŝsza. () W Excelu za pomocą funkcj MEDIANA; () Zgodne z defncją. J a k w y z n a c z a ć m e d a n ę? Przykład. RozwaŜmy nasępujący rosnący cąg danych saysycznych, kóry oznaczać moŝe np. lość spóźneń do pracy 0 losowo wybranych pracownków fzycznych w cągu roku Oblcz medanę. Odp. Po krókej analze wdzmy Ŝe 9 jes medaną ponewaŝ lość danych saysycznych jes u neparzysa, co spowodowało Ŝe a sama lość jednosek saysycznych (4) jes mnej- szych od lczby 9 sojącej w samym środku ych danych saysycznych co jes wększych od 9. Przykład 4. RozwaŜmy nasępujący rosnący cąg danych saysycznych Oblcz medanę. Odp. Skoro w ym przypadku lość danych jes parzysa, o medanę wyznaczamy jako średną arymeyczną -óch lczb sojących na najbardzej środkowych pozycjach, czyl w ym przypadku na mejscach 5 6. Są o lczby 9. Średna arymeyczna ych -óch 9+ lczb jes równa 5,5=. Ten sam wynk podaje nam Excel po zasosowanu funkcj MEDIANA. Bardzej ogólnym zarazem bardzej uŝyecznym pojęcem nŝ medana, są kwanyle, naczej zwane percenylam. Jes ch 00, przy czym medana jes jednym z nch, a manowce 50- ym percenylem. (D) Percenyle dzelą całą populację lub próbę losową na 00 częśc w analogczny sposób jak proceny. Np. -y percenyl o aka warość badanej cechy Ŝe % danych saysycznych ma warość od ego -ego percenyla, naomas 99% ma warość od ego percenyla ; 8 y percenyl o

9 9 aka warość badanej cechy Ŝe 8% danych saysycznych ma warość od 8-ego percenyla naomas 9% ma od nego warość. medana jes zaem 50-ym percenylem; -y decyl jes o 0-y percenyl; - decyl jes o 0-y percenyl; 6-y decyl jes o 60-y percenyl; -y kwaryl jes o 5-y percenyl; - kwaryl jes o50-y percenyl, czyl medana; - kwaryl jes o 75-y percenyl. Przykłady z Ŝyca: -y kwaryl zarobków bruo w Warszawe wynos 600 zł (począek 0 r.), zaś - kwaryl 9000 zł. Jes o znaczne węcej nŝ w pozosałych masach. Wspólną nazwą dla percenyl, decyl kwaryl są k w a n y l e. J a k w y z n a c z a ć k w a n y l e? () W Excelu za pomocą funkcj PERCENTYL dla danych ndywdualnych szeregu punkowego; () Zgodne ze wzoram podanym ponŝej, zaleŝne od ego czy mamy do czynena z danym ndywdualnym czy ez z szeregem przedzałowym. Przykład 5. Dla danych ndywdualnych z przykładu 5, j oblcz percenyl; 9 percenyl; 45 decyl; 55 percenyl; 95 percenyl. Odp. PonewaŜ ne znamy jeszcze wzorów, skorzysamy z funkcj PERCENTYL, pamęając Ŝ -y percenyl jes percenylem o numerze 0, oznaczanym np. przez per 0,, zaś 9-y percenyl jes percenylem o numerze 0,9 oznaczanym przez per 0, 9, zaś 45 percenyl jes percenylem o numerze 0,45 oznaczanym przez per 0, 45, d. Odczyując z Excela orzymamy percenyle per 0, per 0, 9 per 0, 45 per 0, 55 per 0, 95 warość percenyla,6 5,8 9,65,5 8,4 Wyjaśnjmy eraz jak jes mechanzm wyznaczana percenyl. OóŜ, jeśl danych sa. jes, manowce ; ;, o odsępów pomędzy ym danym jes N-=. Zaem 00 percen- yl podzelmy na grupy po 00/=50 percenyl aby rozlokować (rozmeścć) kaŝdą z

10 0 ych grup r ó w n o m e r n e p o m ę d z y lczbam oraz. Przedzał [;] o długośc -=0 dzelmy węc na 50 równych częśc z kórych kaŝda wynos 0, orzymując perwszych 50 percenyl:,;,4 (- percenyl);,6 (- percenyl);,8(4-y percenyl), d. dochodząc w pewnym momence do 48-ego percenyla 0,6; 49-ego percenyla 0,8 oraz 50-ego percenyla. Nasępne przedzał [;] o długośc -=0 dzelmy na 50 równych częśc z kórych kaŝda wynos 0,4 orzymując kolejne 50 percenyl w r ó w n y c h odsępach, a węc : 5-y percenyl,4; 5- percenyl,8; d. aŝ wreszce dochodząc do 98-ego percenyla 0,; 99-ego percenyla 0,6 osanego 00-ego percenyla. Przykład 5 a Jeśl danych saysycznych jes N=, jak np. ponŝej o odsępów pomędzy danym jes N-= 0. W y z n a c z o s a n e 0 p e r c e n y l. PokaŜemy ponŝej jak o zrobć. 00 percenyl dzelmy na 0 równo- lcznych grup po 00/0=0 percenyl rozlokowanych r ó w n o m e r n e p o m ę d z y kaŝdym dwoma kolejnym danym saysycznym. W grupe -ej pomędzy lczbam będze węc 0 percenyl rozlokowanych w j e d n a k o w y c h odsępach, czyl co =(-)/0, a węc perwszym 0-ma percenylam, zn. percenylam rzędu 0,0; 0,0; 0,0; 0.09; 0,0 będą lczby ; ; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 0;. W grupe -ej pomędzy lczbam będze 0 percenyl rozlokowanych w jednakowych odsępach, czyl co =(-)/0, a węc percenylam rzędu 0,; 0,; 0,; 0.9; 0,0 będą lczby ; 5; 7; 9; ; ; 5; 7; 9. W grupe -ej pomędzy lczbam będze 0 percenyl rozlokowanych w jednakowych odsępach, czyl co 0=(-)/0, a węc percenylam rzędu 0,; 0,; 0,; 0.9; 0,0 będą lczby równe. W grupe 4-ej pomędzy lczbam 6 będze 0 percenyl rozlokowanych w jednakowych odsępach, czyl co =(6-)/0, a węc percenylam rzędu 0,; 0,; 0,; 0.9; 0,40 będą lczby 4; 7; 40; 4; 46; 49; 5; 55; W grupe 5-ej pomędzy lczbam 6 0 będze 0 percenyl rozlokowanych w jednakowych odsępach, czyl co 4=(0-6)/0, a węc percenylam rzędu 0,4; 0,4; 0.49; 0,50 będą lczby 65; 69; 7; 77; 8; 85; 89; 9; 97 0.

11 W grupe 6-ej pomędzy lczbam 0 06 będze 0 percenyl rozlokowanych w jednakowych odsępach, czyl co 0,5=(06-0)/0, a węc percenylam rzędu 0,5; 0,5; 0,5; 0.59; 0,60 będą lczby 0,5; 0; 0,5; 0; 0,5; 04; 04,5; 05; 05,5 06. W en sam sposób wyznaczamy pozosałe 40 percenyl. Zadane. RozwąŜmy przykład 5a za pomocą poznanego przed chwlą wzoru, czyl z pomnęcem Excela. PROCEDURA OBLICZANIA PERCENTYLI dla szeregu przedzałowego. Numer pozycj percenyla w szeregu przedzałowym jes określony wzorem n poz = n per N, gdze N = lość wszyskch jednosek saysycznych. Tak węc percenyl rzędu 0,0 so na pozycj 0,0*N; percenyl rzędu 0,0 so na pozycj 0,0*N; percenyl rzędu 0,50 so na pozycj 0,50*N. Jeśl N=00, o medana so na pozycj 0,50*00= 50, jeśl naomas danych saysycznych jes 99, o medana so na pozycj 0,5*0(99 = 49,5 Wzór kóry chcemy przedsawć dla percenyla 0,4 wygląda nasępująco: 0,4 N nskumulowana per0,4 = x0,4 + h0,4, gdze 0,4 N jes pozycja percenyla; N 0,4 nskumulowane 0,4 x = lewy konec przedzału w kórym znajduje sę per = percenyl 0,4; = lość wszyskch danych saysycznych w przedzałach poprzedzających prze- dzał w kórym znajduje sę neresujący nas percenyl ( per 0, 4 w ym przypadku); N 0,4 = lość danych saysycznych w przedzale w kórym znajduje sę per 0, 4 ; h0,4 = odległość pomędzy prawym a lewym końcem przedzału w kórym znajduje sę per 0,4, czyl szerokość przedzału w kórym znajduje sę 0, 4 0,4 per. Przykład 7. Oblczmy (a) 8-y percenyl; (b) 8 y percenyl; oraz (c) 8- percenyl dla nas. szeregu przedzałowego. Czas rozmowy Ilość rozmów Czas rozmowy Ilość rozmów 0 mn mn 0 0 mn mn 40 mn 5 mn 4 mn 5 mn 0 5 mn 8 mn 55 5 mn 6 mn 8 mn 0 mn 60 6 mn 0 mn 0 Odp. ZauwaŜmy od razu Ŝ N = 40 (sumując wszyske lośc rozmów). W przypadku (a) numer pozycj neresującego nas percenyla będze wynosł n = 0, , co 0,08 = oznacza Ŝe percenyl en będze znajdował sę medzy 9-ą a 0-ą jednoską saysyczną, czyl w -m przedzale, gdze znajdują sę jednosk saysyczne kóre moŝemy ponumerować lczbam od do 4. Lewy konec -go przedzału == x 0, 08. Ponado, n skumulowane = 0 oraz lość danych saysycznych w przedzale w kórym znajduje sę szukany percenyl wynos N 0,08 = 4, zaś odległość pomędzy prawym a lewym końcem przedzału w kórym znajduje sę per0, 08 wynos h0,08 = 5- =. Osaeczne

12 0,08 N nskumulowana 9, 0 per0,08 = x0,08 + h0,08 = + = +,5=,5 N 4 0,08 W przypadku (b) numer pozycj neresującego nas percenyla będze wynosł n = 0,8 (44 + ) 68,6. 0,8 = Wynka sąd Ŝ percenyl en znajduje sę w -ej klase (-m przedzale) ponewaŝ w w -ym -m przedzale znajduje sę łączne n = 4 jednosek saysycznych. W ej syuacj skumulowane lewy konec -go przedzału = 5= x 0, 8. Ponado lość danych saysycznych w przedzale w kórym znajduje sę szukany percenyl wynos N 0,8 = 60, zaś odległość pomędzy prawym a lewym końcem przedzału w kórym znajduje sę per0, 8 wynos h0,8 = 8-5 =. Osaeczne 0,8 N nskumulowana 68, 4 per0,8 = x0,8 + h0,8 = 5+ =5+,7= 6,7. N 60 0,8 W przypadku (c) n = 0, ,08, zaem percenyl en znajduje sę w 6-ym 0,8 = przedzale gdyŝ n skumulowane = 94, a suma danych saysycznych w 6 perwszych przedzałach wynos 89+0=9, a węc węcej nŝ 00,08. Lewy konec przedzału 6-ego zawerającego 8- percenyl równa sę ( x ), jego lczebność równa jes 0( N = 0); zaś 0,8 = szerokość równa jes h0,8 = 5- =. Osaeczne 0,8 N nskumulowana per,8 = x0,8 + h0,8 = + N 0 0 0,8 Mary zróŝncowana asymer W Y K Ł A D 0,8 =+0,6=,6. Mary rozproszena pokazują sopeń zróŝncowana jednosek zborowośc saysycznej z punku wdzena badanej cechy. Najbardzej popularne są: (a) dla danych ndywdualnych ( x x) (a) odchylene sandardowe na podsawe próbk σ = N ( x x) populacj σ = ; N Np. dla danych saysycznych ; na podsawe całej będących próbką losową z jakejś populacj, odchylene sandardowe wynos,5, co oblczamy poprzez funkcję ODCHYLENIE.STANDARDOWE w Excelu, zaś odch. sand. populacj 9,65, czyl mnej ponewaŝ w manownku wysępuje 0 zamas 9.

13 ( ) x x (a) warancja z próbk losowej Var = σ = N cenralnym; warancja na podsawe całej populacj Var = σ, zwana równeŝ -m momenem ( x x = N ) saysycznych Dla danych warancja z próbk losowej wynos 977, zaś warancja na podsawe całej populacj = 879. (b) dla szeregów punkowych, gdze dane ndywdualne są podane (uszeregowane) w grupy o denycznych waroścach w kaŝdej grupe ( x x) n (b) odchylene sand. na podsawe próbk losowej σ = ; N ( x x) n odchylene sand na podsawe całej populacj σ = ; N ( ) x x n (b) warancja z próbk losowej Var = σ = ; N ( x x) n Warancja na podsawe całej populacj Var = σ = N (c) dla szeregów przedzałowych ( ) (c) warancja z próbk losowej = = k ) x x n = σ gdze x ) = środek -go przedzału. W N ym przypadku ne mamy podanych konkrenych danych saysycznych, lecz przedzały w jakch znajdują sę e dane wraz z lczebnoścam n przedzałów; σ (d) współczynnk zmennośc V zm = 00% określa w %-ach jake jes średne (ypowe) x odchylene jednosk saysycznej od ch średnej warośc x ; Q Q (d) współczynnk zmennośc kwarylowej V Q = ; ponewaŝ znamy juŝ wzory na Q + Q wyznaczane dowolnych percenyl, bez rudu wyznaczymy kwarale Q, Q kóre z defncj są odpowedno równe per 0, 5, per 0, 75. Uwaga. Gdybyśmy zamas próbek mel dane z całej populacj, o w manownku wysępowałaby zawsze lczba N zamas N-. Typowy obszar (przedzał zmennośc): x σ xyp x+ σ określa e jednosk (dane) saysyczne kóre róŝną sę od średnej arymeycznej x ypowo, zn. ne węcej nŝ o odchylene sandardowe. Jeśl np. średn wzros sudena wynos 7 cm z odchylenem sandardowym 7 cm, o ypowym wzrosem dla sudenów jes wzros z przedzału [65; 79] cm.

14 4 Prawo σ mów Ŝ bardzo nelczne jednosk saysyczne róŝną sę od średnej arymeycznej o węcej nŝ odchylena sandardowe. A zaem, bardzo nelczn sudenc mają mnej nŝ 5 cm=7-*7 cm lub węcej nŝ 9 cm =7+*7. Sandaryzacja = jes o przekszałcene pokazujące o le odchyleń sandardowych odbega warość cechy danej jednosk saysycznej od średnej arymeycznej. Np. załóŝmy Ŝ Anon Komorowsk, naleŝąc do populacj gdze średn wzros wynos 7 cm a odchylene sandardowe σ = 7 ma 86 cm wzrosu. Sandaryzacja w ym przypadku polega na dzałanu 86 7 = z kórego wynka Ŝ wzros Anonego Komorowskego odbega od średnej 7 arymeycznej o odchylena sandardowe. Mary asymer słuŝą do pomaru kerunku sły asymer emprycznego rozkładu prawdopodobeńswa. Powemy Ŝe rozkład prawdopodobeńswa jes symeryczny jeśl D = M = x, zn. domnana pokrywa sę z medaną ze średną arymeyczną. Powemy Ŝe rozkład prawdopodobeńswa jes prawosronne asymeryczny jeśl D < M < x. Powemy Ŝe rozkład prawdopodobeńswa jes lewosronne asymeryczny jeśl D > M > x. Przedsawmy jeszcze raz grafczne dane z przykładu w posac, nazwjmy ją, abel ROZMOWY TELEFONICZNE Czas rozmowy Ilość rozmów Czas rozmowy Ilość rozmów 0 mn mn 0 8 mn 0 mn 4 mn 4 mn 0 mn mn 0 4 mn 6 mn 55 mn 4 mn 8 6 mn 8 mn 66 4 mn 6 mn 9 aby zobaczyć wykres ych danych pod kąem symerycznośc (prawosronnej, lewosronnej). W wykresu ego wdać Ŝ domnana leŝy na lewo od warośc średnej oraz Ŝe neco częścej badana cecha przyjmuje warośc skrajne duŝe nŝ skrajne małe. Zobaczmy eraz co zgodne z defncjam pownnśmy orzec na ema symerycznośc ego rozkładu.

15 Sere Przykład 8a. Porównajmy zaem domnanę, medanę oraz średną arymeyczną czasu rwana rozmów elefoncznych na baze abel aby rozsrzygnąć jakego ypu jes o rozkład pod kąem symerycznośc. Odp. Z przykładu wemy juŝ Ŝ domnana D = 6 mn 9 sek. Średną arymeyczną obl= k ) x n = k = ) czamy ze znanego nam wzoru x = = x w, gdze gdze x ) = środek -go n = przedzału. PonewaŜ n = 5, zaś n = 0; n = ; n = 55, d. (zob. kolumny 4 w osanej abel) oraz środk przedzałów (w ym przypadku kolejne lczby neparzyse) są zaznaczone na os X (rys. powyŝej), o = = k ) x n = x = = = 7,54 n 5 5 co oznacza Ŝe x = 7 mn sek. Oblczene medany polega na oblczenu 50 percenyla, co porafmy juŝ zrobć zgodne ze wzorem 0,50 N nskumulowana M = per0,50 = x0,50 + h0,50, gdze N x 0,50 = lewy konec przedzału w kórym znajduje sę medana = 0, 50 nskumulowane = N 0,50 h0,50 0,50 per ; lość wszyskch danych w przedzałach poprzedzających przedzał medany; = lość danych saysycznych w przedzale medany; = odległość pomędzy prawym a lewym końcem przedzału medany. Zacznjmy jak zawsze od wyznaczena numeru pozycj n = 0,50 (5+ ) 6, 5 meda- 0,50 = ny. Oznacza o Ŝe medana znajduje sę mędzy 6-ą a 7-ą jednoską saysyczną, a węc w 4-ym przedzale, kórego lewy konec x 6. Ponado, 0,50 = n = 86= ; N = 66; h = 8-6 =. skumulowane 6 86 Osaeczne medana M = 6 + = 6+,= 7,, czyl M = 7 mn sek. 66 0,50 0,08

16 6 Konkluzja : Rozkład prawdopodobeńswa jes prawosronne asymeryczny ponewaŝ D < M < x (6 mn 9 sek < 7 mn sek < 7 mn sek). Uwaga. Prawosronna skośność oznacza węc Ŝe dane saysyczne przyjmują częścej duŝe warośc nŝ małe w konsekwencj średna arymeyczna x na kórą najwększy wpływ mają skrajne warośc, przewyŝsza zarówno domnanę D jak medanę M. Uwaga. Lewosronna skośność oznacza Ŝe dane saysyczne przyjmują częścej eksremalne małe warośc cechy nŝ duŝe w porównanu z domnaną D czy medaną M, co mplkuje Ŝ ch średna arymeyczna x jes mnejsza nŝ D oraz M. Są jeszcze nne kryera orzekające o rodzaju symerycznośc rozkładu danych saysycznych. Asymera prawosronna wysępuje wedy gdy e 0 (abela ponŝej), zaś asymera lewosronna wedy gdy e 0. Naomas rozkład jes symeryczny gdy e 0. < > To czy asymera jes duŝa / mała pokazują równeŝ: sandaryzowany - momen cenralny γ ; współczynnk asymer Pearsona oraz współczynnk asymer wewnęrznych 50%. Mary asymer absolune relaywne klasyczne ( x x) n e e = jes o γ = jes o sandaryzowany N σ zw. - momen cenralny - momen cenralny k = ( x ) x) n = lub e = N pozycyjne W asym = x D jes o x D V asym = jes o wskaźnk wskaźnk asymer σ asymer Pearsona Q + Q M V asymwew = jes o Q Q współczynnk asymer wewnęrznych 50% Przykład 8b. Oblcz 4 powyŝsze mary asymer dla danych z przykładu 8a. Odp. Rozwązując przykład 8a, oblczylśmy juŝ Ŝ x = 7,54. Wemy eŝ Ŝe N = 5. Dzęk ym nformacjom oblczamy (w abel ponŝej) Ŝe rzec momen cenralny e = 856. x ) ( x ) ) x) ( x x) ( x ) x) n -6, , , ,54 0-9,476 9, =

17 7 5, , suma ( ) Zasosujemy eraz wzór = = k ) x x n = σ aby pokazać ze σ = 58 oraz σ = 9. N x ) ( x ) ) x) ( x x) ( x ) x) n -6, , , ,54 0 9,476 0,476 5, , suma Wynka sąd Ŝ σ = 5969 oraz Ŝe sandaryzowany - momen cenralny e 856 γ = = = 0, 4= 4%, σ 5969 a węc jes o newelka asymera prawosronna. Ławo eraz oblczyć wskaźnk asymer W = x D = 7 mn sek - 6 mn 9 sek = 5 sek.= 0,87 mn Wynka sąd Ŝ wskaźnk asym x D 0,87 asymer Pearsona V asym = = =,%, a węc jes nawe bardzo mały. σ 9 A N A L I Z A D Y N A M I K I Analza dynamk polega na porównywanu sanu zjawsk gospodarczych w kolejnych okresach lub momenach usalonego przedzału czasowego. Szereg czasowy okresów są o welkośc lczbowe badanego zjawska doyczące usalonego okresu czasu, np. kwarału, mesąca, ygodna, d. Przykładam są zysk kwaralne w frme, lość wypadków w górncwe w kolejnych okresach mesęcznych. Przecęny pozom danych saysycznych dla szeregu czasowego okresów oblczamy za pomocą średnej arymeycznej Y + Y + Y Yn x =. n Szereg czasowy momenów są o welkośc lczbowe badanego zjawska doyczące usalonego momenu czasu, np. syczna kaŝdego roku, grudna kaŝdego roku, ake jak np. dane z blansu na konec roku, kurs akcj na owarcu noowań gełdowych w ponedzałk, kurs akcj na zamknęcu noowań w pąk, zapasy owarów w magazyne na konec mesąca, p. Przecęny pozom danych saysycznych dla szeregu czasowego momenów oblczamy za pomocą średnej chronologcznej

18 8 x = Y + Y + Y Yn + Yn ( Y + Y ) + ( Y + Y ) +... ( Yn + Yn ) =. n n Klasyfkacja ndeksów ndywdualnych jednopodsawowy łańcuchowy przyros absoluny Y Y0 Y Y przyros względny Y Y (empo wzrosu) 0 wskaŝnk dynamk Y0 Y Y 0 Y Y Indeksy jednopunkowe moŝna zamenć na ndeksy łańcuchowe w nasępujący sposób Y Y Y = Y Indeksy łańcuchowe moŝna zamenć na ndeksy jednopunkowe wg wzoru Aby określć przecęne empo zman G badanego zjawska uŝywamy średnej geomerycznej G Y Y 0 : Y Y 0 Yn Y... = n Y Y 4 = n Y Y Y Y Y = Y Y Y Np. gdy mamy cąg danych 5; 8; 8; ; 0; ; ; 6; 7; 9 obrazujący pozom pewnego zjawska, o przecęne empo zman ego pozomu wynos 6% G = 9 = 9 =,8 =,6 = 0,6 6% = Oblczmy eraz przecęne empo zman dla cągu mnmalne róŝnącego sę od poprzednego, a manowce 5; 8; ; 0; ; ; 6; 7; 9, G = 8 = 8 =,8 =,8 8,% = Teraz oblczmy przecęne empo zman dla cągu 5; 8; ; 0; ; 6; 7; 9 kóry jes newelką modyfkacja poprzednego. Orzymamy G= 7 = 7 =,8 =, % =. Jake wnosk wynkają z ych oblczeń? Np. ak wnosek, Ŝe aby dojść od kwoy 5 zł lub 5 mln zł do kwoy 9 zł (odp. 9 mln zł) przez 9 la naleŝy urzymywać średne roczne empo 6%. Naomas osągnęce akego samego wynku (od 5 do 9) w przecągu 7 la wymaga średnego rocznego empa w wysokośc %. Co by sę sało gdybyśmy doszl od 5 zł do 9 zł w cągu np. 5 la dwoma róŝnym sposobam, akm jak np. (A) 5; ; 0; 6; 7; 9 (B) 5; 8; ; ; 6; 9. Y Y Y... Y n n Y Y Y

19 9 W przypadku (A) przecęne empo zman wynosć będze G = 5 = 5 =,8 =, = W przypadku (B) przecęne empo zman wynosć będze 0,6,% G = 5 = 5 =,8 =,06 0,6,% =. Jak wdać, przecęne empo zman zaleŝy ylko od -ego osanego elemenu saysycznego, a ne od ego co dzeje sę w mędzyczase! Zobaczmy eraz jak szybkego rocznego empa wzrosu wymaga przejśce od 5 do 9 a -óch krokach 5; x; 9, gdze x ne odgrywa Ŝadnej rol, co wdać w ponŝszym wzorze ponewaŝ x sę skraca x 9 9 G = = =,8 =,949 94,9,% 5 x 5 = Laa produkcja przyrosy absolune przyrosy względne wskaŝnk dynamk wśn Y jednopod- łańcu- jednopod- łańcu- jednopod- łańcu- od 0.0 sawowe chowe sawowe chowe sawowe chowe do. () = Y -Y 0 (4)= Y -Y ()/ Y 0 =()/970 (4)/ Y Y / Y 0 Y / Y % - 00% ,6% -9% 8% 8% ,% 8% 04% 8% ,% -% 9% 89% ,5% -,4% 7,5% 78,6% % -9% 4% 7% % -% % 98% % 68% 04% 68% PowyŜsze wzory mają zasosowane do oblczana cen realnych (po uwzględnenu nflacj). laa Cena wśn na pocz. roku nflacja w % od syczna do grudna () () wskaźnk wzrosu nflacj od syczna do grudna (4)=[00%+ ()] / 00 Skumulowany wskaźnk wzrosu nflacj lcząc od sycz. 000 (5) = loczyn poprz. lczb w kolumne (4) cena wśn XII w cenach z syczna 000 (6)=( ) + / 4 ) ( 000,97,4%,04,04,86/,04 =,9 00,86,9%,09,04.65/,04 =,78 00,65,5% 00,9,8%,08,099,7 004,5,4%,04,5, ,9%

20 0 006,,% 007,8,7%,07,40,49 008,85,0%,00,77,4 009,8,7%,07,4,6 00,6,0%,00,64 - A eraz zasosujemy wzory na przecęne empo zman, najperw dla nflacj, a poem dla cen wśn. Inflacja w okrese laa roczny wskaźnk wzrosu nflacj od syczna do grudna w roku ()=[00%+ nflacja]/00 () () = Y Y + / Y nch Z (5) 000,97 0,944 94,4% 0,944 94,4% 00,86 0,887 8,8% 0,95 9,5% 00,65,5 96,4% 0,988 98,8% 00,90 0,658 6,5% 4 0,89 89,% 004,5,600 0,5% 5,00 00,% 005,00,55 7,% 6,07 0,7% 006,, 4,% 7,05 05,% 007,80 0,66 9,9% 8 0,99 99,% 008,85 b.d. b.d. 9 b.d. skumulowany wskaźnk wzrosu nflacj od kolejny rok () (4)= loczyn poprzednch lczb w kolumne () (5) średne empo zman nflacj w cągu osanch la (6)= ( 4), 000 odpowada =, d. średne empo zman nflacj w cągu osanch la w % (7)=[(6)-] *00%; 000 odpowada =, d. () 000,04,04,04,40% 00,09,04,05,5% 00,05,070,07,7% 00,08,099 4,040,40% 004,04,6 5,040,40% 005,09,59 6,048,48% 006,0,96 7,058,58% 007,07,40 8,04,7% 008,0,77 9,05,75% laa cena wśn na począek roku wskaźnk zman cen ()= Z = Ceny wśn w okrese skumulowany średne empo wskaźnk zman zman cen cen od kolej wśn w 0.0. ny cągu 000 w rok osanch % () la (6)=per wasek sopna (5) z (4) średne empo zman cen wśn w cągu osanch la w % (7)=(6) w %-ach (4)= loczyn poprzed-

21 W Y K Ł A D Rozkład normalny sosuje sę do opsu wększośc danych saysycznych, akch jak np. waga meszkańców Nowego Jorku, Toruna czy pngwnów, jak równeŝ wysokość jakejkolwek kaegor so Ŝyjących. Innym przykładem moŝe być czas składana pudełka plasykowego przez wykwalfkowanego robonka w fabryce. Przykład. ZałóŜmy Ŝ czasy składana pudełka są realzacjam zmennej losowej o rozkładze normalnym, przy czym średn czas składana pudełka wynos 40 sek. zaś odchylene sandardowe σ = 6 sek. (a) oblcz prawdopodobeńswo Ŝe losowo wybrany pracownk fzyczny będze składał pudełko w czase krószym nŝ mn; (b) jaka część ych pudełek składana jes w czase od 45 sek do 60 sek? (c) le czasu zajmuje składane pudełka 5% najwększym maruderom, czyl ym kórzy porzebują najwęcej czasu na składane? Odp. (a) Aby rozwązać ake zadane, wywołajmy z Excela funkcję ROZKŁAD.NORMALNY. W -ym werszu kóry sę nam ukaŝe po wywołanu ej funkcj, wpsujemy 0, co oznacza mn. W -m werszu wpsujemy 40 (średną rozkładu prawdopodobeńswa), a w -m 6 (odchylene sandardowe). W osanm 4-ym werszu wpsujemy aby odczyać szukaną w punkce (a) warość prawdopodobeńswa; wynos ona 0,06 = 0,6%. Gdybyśmy w 4-ym werszu wpsal 0 (nne moŝlwośc ne wchodzą w rachubę) o uzyskalbyśmy warość funkcj gęsośc prawdopodobeńswa, on czym powemy węcej w przykładze. (b) wywołamy eraz razy funkcję ROZKŁAD.NORMALNY wpsując w werszu -ym za -ym razem 45, a -m razem 60, naomas w pozosałych werszach o samo co w punkce (a). Orzymamy odczyy 0,6 oraz 0,894, co oznacza Ŝe 6,% pudełek składane jes w czase krószym jak 45 sek, a 89,4% składane jes w czase krószym jak 60 sek Z ych -óch odczyów wynka naychmas odp. na pyane jaka część ych pudełek składana jes w czase od 45 sek do 60 sek. Jes o manowce 89,4% - 6,% = 7,%. (c) W ym pyanu chodz o oblczene 75 percenyla. PonewaŜ ne mamy u danych emprycznych, ylko rozkład eoreyczny normalny, porzebna nam będze funkcja ROZKŁAD.NORMALNY.ODW. Aby odczyać 75 percenyl, w -ym werszu naleŝy wpsać 0,75, a w nasępnych werszach średną (40) odchylene sandardowe (6). Orzymamy wedy 5 sek. Oznacza o Ŝe 5% najwększych maruderów porzebuje co najmnej 5 sek aby złoŝyć pudełko. Przykład. Oceny z Maemayk na egzamne mauralnym mają średną 5 pk orz odchylene sandardowe 8 pk. Obowązuje rozkład normalny. ZałóŜmy Ŝe ocenę bardzo dobrą orzymuje 0% ucznów. Ile w akm raze punków naleŝy uzyskać na egzamne aby kwalfkować sę do oceny bardzo dobrej.? Odp. NaleŜy znaleźć 90 percenyl. Wywołujemy węc z Excela funkcję ROZKŁAD.NORMALNY.ODW w -ym werszu pszemy 0,90, a w -m -m werszu odpowedno 5 8. Orzymujemy Ŝe naleŝy uzyskać co najmnej 75 pk.

22 Rozpocznjmy od zad.. Wysarczy w ym celu wywołać funkcję ROZKŁAD.NORMALNY zasosować ją np. 00 razy dla 00 argumenów (od 90 do 90) wypsanych w -ym werszu., orzymując 00 punków worzących prawe gładk wykres 0,080 0,040 0,000 0,060 0,00 0,0080 0,0040 0,0000 Funkcja gęsośc rozkładu normalnego N(40, 6 ) Wzór na funkcję gęsośc rozkładu normalnego jes nasępujący: exp[ ( x µ ) / σ ] p ( x) =. πσ Jak wdać, jes o skomplkowana funkcja kórej kszał zaleŝy wyraźne od średnej (naczej warośc oczekwanej) µ oraz od odchylena sandardowego σ. Przejdźmy eraz do przykładu gdze mamy do czynena z rozkładem N(5; 8 ) funkcja gęsośc 0,040 0,000 0,060 0,00 0,0080 0,0040 0, RozwąŜ nasępujące Zadane. Dochód na osobę w pewnym kraju rozwjającym sę wynos $00 z odchylenem sandardowym $40. Oblcz prawdopodobeńswo Ŝe losowo wybrany obywael ego kraju będze mał dochód (a) wyŝszy nŝ $00; (b) nŝszy nŝ $00; (c) równy $00; (d) wyŝszy nŝ $00; (e) wyŝszy nŝ $600. Przykład. Mejsk auobus przejeŝdŝa cała rasę średno w 80 mn z odchylenem sandardowym mn. Auobus pośpeszny przejeŝdŝa ę sama rasę w 7 mn z odchylenem sandardowym 0

23 mn. ZałóŜmy Ŝ zaleŝy nam na ym aby podróŝ ne rwała dłuŝej nŝ 8 mn. Kóry auobus pownnśmy wybrać? Odp. Wywołujemy funkcję ROZKŁAD.NORMALNY aby zasosować ją razy odczyać Ŝe perwszy z auobusów będze jechał krócej nŝ 8 mn z prawdopodobeńswem 84%, a drug będze jechał krócej nŝ 8 mn z ym samym prawdopodobeńswem 84%. Oznacza o Ŝe kaŝdy z ych -óch auobusów daje e same prawdopodobeńswo (równe 6%) przejechana rasy w czse > 8 mn Rozkład wykładnczy sosuje sę do opsu czasu oczekwana na obsługę u fryzjera, w warszace samochodowym, na przysanku ramwajowym, na posoju ax, na awarę sprzęu gospodarswa domowego, p. Funkcja gęsośc ne jes symeryczna jak poprzedno. Dana jes wzorem p( x) = λ exp[ λx], gdze λ =, E(X) = warość oczekwana zmennej losowej o rozkładze wykładnczym, E( X ) czyl średn czas oczekwana na obsługę u fryzjera, w warszace samochodowym, na przysanku ramwajowym, na posoju ax, na awarę sprzęu gospodarswa domowego, p. Przykład 4. Średn czas oczekwana na posoju ax wynos 8 mn. Jake jes prawdopodobeńswo Ŝ będzemy czekać (a) mnej nŝ mn? (b) mnej nŝ 7 mn? (c) węcej jak 8 mn? (d) mnej jak 4 mn a węcej jak mn? Odp. (a) Wysarczy wywołać funkcję ROZKŁAD.EXP wpsać w -ym werszu, zaś w - m werszu /,średn czas oczekwana, czyl 8. W -m werszu wpsujemy gdy chcemy znać prawdopodobeńswo oraz 0 gdy chcemy narysować funkcję gesośc daną wzorem powyŝej. Orzymamy wówczas 0, = %. (b)wykonując e same czynnośc orzymamy 0,58 = 58%, co oznacza Ŝ prawdopodobeńswo Ŝ będzemy czekać mnej nŝ 7 mn wynos 58%. (c) Najperw oblczmy Ŝe prawdopodobeńswo czekana mnej jak 8 mn wynos 0,6 = 6%, a nasępne oblczamy prawdopodobeńswo zdarzena przecwnego = -0,6 = 0,7 = 7%. (d) Najperw oblczmy Ŝe prawdopodobeńswo czekana mnej jak mn wynos 0, = %, a nasępne oblczamy Ŝe prawdopodobeńswo czekana mnej jak 4 mn wynos 0,9. Z ych danych wynka Ŝ odpowedź = 0,9 0, = 0,7 = 7%. Przykład 5. Średn czas oczekwana w kolejce w małym sklepe spoŝywczym wynos 5 mn. Jaka część klenów będze czekać ponad 0 mn? Odp. Funkcja ROZKŁAD.EXP powe nam jak część klenów będze oczekwać mnej nŝ m n, mnej nŝ mn, mnej nŝ mn, d.

24 4 0,5 Funkcja gęsośc rozkładu wykładnczego ze średną 5 mn 0, 0,5 0, funkcja gęsośc 0, Zadane. Czas bezawaryjnej pracy kompuera wynos 000 godz. Jake jes prawdopodobeńswo Ŝe zakupony kompuer będze pracował bezawaryjne (a) mnej nŝ 500 godz.? (b) węcej nŝ 500 godz.? Rozkład jednosajny sosuje sę do opsu losowych welkośc kóre z równym prawdopodobeńswem przyjmują warośc od pewnej lczby A do pewnej lczby B. Funkcja gęsośc akego rozkładu dana jes wzorem p( x) = gdy A < x < B oraz p ( x) = 0 gdy x [ A; B] B A Warość oczekwana ej zmennej losowej równa jes (A+B)/, warancja równa jes / kwadrau warośc oczekwanej, czyl σ = ( A+ B) /, zaś odchylene sandardowe σ = ( A+ B) /. Gdy A = 50 zaś B=80 jej wykres przedsawa ponŝszy rysunek funkcja gęsośc rozkładu jednosajnego na odcnku [50;80} 0,05 0,0 0,05 0,0 0,05 0,0 0, Przykład 6 Rzeczywse roczne zarobk średnej klasy menagerów w Angl mają w przyblŝenu rozkład jednosajny od 5,57 bryyjskch funów do 78,84 funów. Jaka część średnej klasy menagerów zaraba w Angl węcej nŝ 75,000 funów roczne? Odp. Prawdopodobeńswo Ŝ losowo wybrany menager zaraba węcej nŝ dowolna zadana lczba, np , równe jes jak we wszyskch nnych rozkładach prawdopodobeńswa, polu zawaremu pod krzywą gęsośc na prawo od zadanej lczby, w ym przypadku Jes ono równe

25 = 0,5 pola prosokąa Oznacza o Ŝ 5% angelskch menagerów zaraba węcej nŝ funów. funkcja gęsośc rozkładu jednosajnego na odcnku [557; 7884} 0, , , ,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0, Sere Zadane Roczne zarobk średnej klasy menagerów w Polsce mają rozkład jednosajny od 84 ys. zł do 0 ys. zł. Jaka część średnej klasy menagerów zaraba w Polsce węcej nŝ 00 ys. zł roczne? W N I O S K O W A N I E S T A T Y S T Y C Z N E Osano rozwaŝalśmy najwaŝnejsze rozkłady eoryczne, przyjmując Ŝ znamy dla całej populacj warość oczekwaną oraz odchylene sandardowe. W realnym Ŝycu ne znamy ych warośc dla całych populacj. Mając do czynena ylko z próbkam (samples) całych populacj, np. losowo wybraną grupą 000 osób z kórą ankeer przeprowadza rozmowę np. na ema ch mesęcznych wydaków na wyŝywene /odzeź / rozrywk kuluralne / zakup ksąŝek, lub (jes o nnego ypu badane) zaparywana polyczne pyając np. czy poperają określoną parę polyczną w nadchodzących wyborach do Sejmu, chcąc usalć odseek poparca dla ej par, jeseśmy w sane oblczyć ylko warość oczekwaną odchylene sandardowe dla próbek losowych. Z uzyskanych ą drogą odpowedz, w posac danych ndywdualnych, moŝna ławo wylczyć,uśrednoną odpowedź (średną arymeyczną X ) oraz odchylene sandardowe wg wzoru ( x X ) σ = ale ylko dla ej próbk, a ne całej populacj. ZałóŜmy Ŝe średna me- X N sęcznych zarobków w ej próbce (bo o o np. pyalśmy naszych respondenów) wynos X = 400 zł, zaś odchylene sandardowe oblczone na podsawe ej próbk równe jes σ = 40 X zł. Pojawają bardzo nauralne pyana: (a) Co na podsawe ych -óch welkośc oblczonych na podsawe fragmenarycznych odpowedz pochodzących z badanej próbk, a manowce X = 400 oraz σ = 40 X moŝna powedzeć (wywnoskować saysyczne) o średnej zarobków (µ ) odchylenu sandardowym (σ ) odnoszących sę do populacj w całej Polsce?

26 6 (b) Czy przebadalśmy wysarczająco duŝą lość osób aby meć np. 95%-y pozom ufnośc (95% pewnośc) co do prawdzwośc naszego wnoskowana saysycznego? Lub naczej, le wynos mnmalna lość osób do przebadana aby meć 95% pewnośc; co węcej, le wynos mnmalna lość osób do przebadana aby meć dowolne zadany pozom ufnośc? (c) Czy porzebna jes nam znajomość rozkładu prawdopodobeńswa kóremu podlegają uzyskwane przez naszych ankeerów losowe odpowedz aby móc wnoskować saysyczne? Na szczęśce odpowedź na pyane (c) brzm NIE. Zawdzęczamy o nasępującemu werdzenu znanemu jako cenralne werdzene granczne. Fak (cenralne werdzene granczne). JeŜel będzemy bral pod uwagę nezlczoną lość próbek losowych, wszyske rozmaru n, pochodzące z dowolnego rozkładu prawdopodobeńswa oraz oblczal dla nch średne n = = x próbkowe X = e średne rakowal jako jednosk (dane) saysyczne, o E( X ) =µ n σ oraz warancja próbkowa ( σ ) =. Co węcej, m wększe n, ym rozkład X n prawdopodobeń- swa ych średnch próbkowych X będze coraz bardzej podobny do σ rozkładu normalnego N( µ, ). n Cenralne werdzene granczne daje nam łąwy sposób oszacowana warancj σ dla całej populacj ze wzoru σ = n σ ) oraz oszacowana (zasąpena) warośc oczekwanej µ poprzez X gdyŝ E( X )=µ. ( X Uwaga. Fak en pokazuje jak waŝny jes rozkład normalny oraz Ŝe rozrzu wynków reprezenujących średne próbkowe jes coraz mnejszy (dąŝy do 0) gdy n dąŝy do neskończonośc. W prakyce oznacza o Ŝe jeśl oblczymy lub węcej razy średne na podsawe np. 00 (lub 000 odpowedz), o będą sę one od sebe bardzo neznaczne róŝnć, przy czym średne na podsawe 000 odpowedz będą mnej sę róŝnły od sebe nŝ średne wylczone na podsawe 00 odpowedz. Przykład 7. (Exercse. z Usng Sascs n Economcs, R L Thomas, McGraw-Hll, 005) W pewnym angelskm meśce ygodnowe wydak męŝczyzn na alkohol wynoszą µ =,4 funów, zaś odchylene sandardowe ych wydaków σ = 8,6 funów. Przebadano grupkę 0 męŝczyzn, oblczając średną próbkową X oraz jej warancję σ ). (a) Jakch warośc dla X oraz ( σ ) naleŝy sę spodzewać? (b) odpowedz na o samo pyane jeślby próbka X byłaby razy wększa; (c) odpowedz na o samo pyane jeślby odchylene sandardowe było razy mnejsze, a próbka wynosła ak jak na począku 0 osób. Odp. (a) Spodzewać sę naleŝy Ŝe średne próbkowe wydaków X µ =,4, zaś ch warancja ( σ ) 8,6, 4, czyl σ, 85, a węc rozrzu uśrednonych wydaków X 0 X ( X

27 7 jes w próbkach wyraźne mnejszy nŝ rozrzu wydaków w całej populacj gdze wynos σ = 8,6. (b) Wówczas ak jak poprzedno X µ =,4 zaś ( σ ) 8,6, 7, j. σ, 6, a X 40 X węc rozrzu uśrednonych wydaków jes jeszcze mnejszy nŝ poprzedno, co wynka z ego Ŝe uśrednalśmy 40 wydaków a ne 0; (c) Spodzewać sę naleŝałby Ŝe X µ =,4, zaś ( σ ) 4, 0, 85, czyl X 0 σ 0,9, a węc rozrzu uśrednonych wydaków będze najmnejszy ze wszyskch X doychczasowych przypadków. Przykład 8. Meszkańcy duŝego masa w Angl mają średn dochód roczny 4050 funów z odch. sand. 500 funów. Ne znamy rozkładu prawdopodobeńswa ego dochodu. Oblcz prawdopodobeńswo Ŝe średn dochód X w próbce 00 osób będze spełnał nerównośc: (a) X < 8000 ; (b) X < oraz 8000 < X < Odp. W ym przykładze danym saysycznym są średne z próbek 00-osobowych kóre mają rozkład prawdopodobeńswa zblŝony do rozkładu normalnego 500 N(4050, ) = N(4050; 5 0 ) 00 Wywołując -krone funkcję ROZKŁAD.NORMALNY oblczamy Ŝ prawdopodobeńswo ego Ŝ X < 8000 równe jes,6%, zaś Ŝe X < równe jes 4,%. Osaeczne, średne próbkowe X spełnają nerówność 8000 < X < z prawdopodobeńswem 8,5% = 4,%-,6%. Przykład 9 (Exercse.5 z Usng Sascs n Economcs, R. Thomas, 005) Grupa 70 dzec przechodz przez mos kóry wyrzymuje obcąŝene do 700 kg. Jake jes prawdopodobeńswo Ŝe mos sę zarwe jeśl średna waga dzecka wynos,5 kg zaś odchy lene sandardowe ych wag równe jes kg? Odp. Oznacza o Ŝe średne wag próbkowe X podlegają w przyblŝenu rozkładow normalnemu N(,5; / 70) = N,5; ), a węc odchylene sandardowe X równe jes ( 00 = 0,6 kg. Waga 70 dzec będze węc zmenną losową ze średną 70 razy wększą 00 równą 70,5= 645 kg odchylenem 70 razy wększym nŝ odchylene wag pojedyń- czego dzecka, j. 70 0, 6= 5, kg. Innym słowy, 70 X będze meć rozkład normalny N( 645; 5,). Wywołajmy zaem funkcję ROZKŁAD.NORMALNY, aby odczyać Ŝ prawdopodobeńswo ego Ŝe 70 X < 700 kg. równe jes 98,578%. Innym słowy, szansa na zawalene sę mosu wynos,4%, czyl z prakycznego punku wdzena jes zby duŝa. JuŜ choćby na podsawe powyŝszych zadań wdzmy Ŝ saysyka jes bardzo prakyczną nauką, dającą nam rozwązana welu waŝnych kwes (problemów). W przypadku przykładu 9 naleŝy posać sobe pyane co zrobć aby wyraźne zmnejszyć prawdopodobeńswo zawalena sę mosu. Jake są wasze posulay w ej kwes? W Y K Ł A D 4

28 8 P R Z E D Z I A Ł U F N O Ś C I dla średnej µ w populacj RozwaŜmy rozkład normalny sandardowy N(0; ) oblczmy percenyle rzędu 0,05 oraz 0,975. Zrobmy o wywołując funkcję ROZKŁAD.NORMALNY.ODW. Orzymamy -,96 oraz,96, co oznacza Ŝ prawdopodobeńswo ego Ŝe losowo wybrana lczba x podlegajaca rozkładow N(0; ) jes < -,96 wynos,5% yle samo wynos prawdopodobeńswo ego Ŝe losowo wybrana lczba podlegająca rozkładow N(0; ) jes >,96. Skróowo, Pr(x < -,96) =,5% oraz Pr(x >,96) =,5. Wynka sąd Ŝ Pr(-,96 < x <,96) = 95%. KaŜdą zm. los. o warośc oczekwanej µ odchylenu sandardowym σ (nekoneczne o rozkładze normalnym) moŝna sprowadzć do zm. los. o rozkladze N(0,). Taka zmenna losowa X moŝe reprezenować np. wydak mesęczne na środk czysośc w Polsce w 4- osobowej rodzne, gdze np. µ =50 zł, σ =45 zł. W ym celu na podsawe X określamy średną próbkową X kóra podlega juŝ rozkładow normalnemu N( µ, σ ), o le n >0, n zn. próbka lczy ponad 0 danych saysycznych. MoŜna pokazać Ŝe skoro X podlega rozkładow normalnemu N( µ, σ ), o zmenna n X µ losowa podlega rozkładow N(0; ), a zaem nerówność (#) przyjmuje posać: σ / n X µ Pr(-,96 < <,96) = 95%. σ / n Po przekszałcenach orzymujemy Pr( X,96 σ / n < µ < X +,96 σ / n ) = 95%, przy czym [ X,96 σ / n; X +,96 σ / n] nazywamy 95%-ym przedzałem ufnośc dla µ gdyŝ mamy 95% pewność Ŝ warość oczekwana µ dla całej populacj znajduje sę w ym przedzale. Jeśl np. X =000; σ =00, n=400, o lewy konec ego przedzału X,96 σ / n = 000-,96*00/0 = 000-9,8 = 990, zaś prawy konec X +,96 σ / n = 000+,96*00/0 =000+9,8=009,8. Zaem 95%-ym przedzałem ufnośc dla µ jes odcnek [990,; 009,8]. Innym słowy, jeśl średna próbkowa X =000, odchylene sandardowe σ =00 oraz próbka ma lczebność n = 400, o mamy 95% pewnośc Ŝ warość oczekwana µ dla całej populacj znajduje sę w przedzale [990,; 009,8]. Jes o nformacja kórej wcześnej ne melśmy. Gdyby naomas X =000, ale odchylene sandardowe byłoby 4 razy wększe wynosło σ =400, zaś lczebność próbk była aka sama wynosła n=400, o 95%-ym przedzałem ufnośc dla µ byłby odcnek 4 razy szerszy [960,8; 09,] gdyŝ 000-,96*400/0 = 000-9,= 960,8 oraz 000+,96*400/0 =000+9,=09,.

29 9 PonewaŜ zwykle ne znamy σ dla całej populacj, o w mejsce σ wsawamy próbkowe odchylene sandardowe s wylczane na podsawe dosepnej próbk, orzymując w przyblŝenu Pr( X,96 s / n < µ < X +,96 s / n ) = 95% przy czym przedzałem ufnośc dla µ jes odcnek = przedzał [ X,96 s / n; X +,96 s / n]. Przykład 9a (95 %-y przedzał ufnośc) Próbka 50 0-lench chłopców z krajów rozwjających sę ma średną wysokość 8 cm z odchylenem sandardowym (oblczonym na podsawe próbk) 0 cm. (a) Znajdź 95 %-y przedzał ufnośc dla średnej wysokośc µ akch chłopców w całej populacj wszyskch krajów rozwjających sę. (b) Jak lczna mus być próbka aby oszacować µ z dokładnoścą do cm? Odp. Zgodne z podanym nformacjam n = 50, X = 8, s = 0. (a) Na mocy wzoru (#), 95%-ym przedzałem ufnośc dla µ jes odcnek [ 8,96 0 / 50; 8+,96 0 / 50] = [ 5 ; 40 ]. Mamy węc 95% pewnośc (ufnośc) ze prawdzwa średna dla całej populacj (µ ) znajduje sę we wskazanym powyŝej przedzale. PowyŜsze oszacowane ma dokładność,5 cm ponewaŝ mów ono Ŝ µ =8±,5. Jeśl chcelbyśmy meć dokładność cm, o pownna zachodzć nerówność,96 0 / n. Rozwązując ą nerówność z jedną newadomą n,,96 0 orzymujemy Ŝ n = 9, 6, co mplkuje Ŝe n 84 oznacza Ŝ próbka pownna meć co najmnej 84 elemeny. Pyane. Jak wyglądałaby odpowedź na o samo pyane gdybyśmy chcel meć ylko 90% -ą ufność? Odp. RozwaŜając rozkład normalny N(0; ) oblczamy percenyle rzędu 0,05 oraz 0,95. poprzez wywołane funkcj ROZKŁAD.NORMALNY.ODW. Orzymamy -,64 oraz,64, czyl Pr(-,64 < x <,64) = 90%. Mamy węc 90% pewnośc (ufnośc) Ŝe powyŝsze nerównośc zachodzą wówczas przedzałem ufnośc dla µ będze odcnek = przedzał [ X,64 s / n; X +,64 s / n]. Przykład 9b (90 %-y przedzał ufnośc) RozwaŜmy ę samą próbkę 50 chłopców z krajów rozwjających sę kóra ma średną wysokość 8 cm z odchylenem 0 cm. (a) Znajdźmy 90 %-y przedzał ufnośc dla średnej wysokośc µ odnoszącej sę do całej populacj (b) Jak lczna mus być próbka aby oszacować µ z dokładnoścą do cm? Odp. (a) Na mocy osanego wzoru, przedzałem ufnośc jes odcnek [ 8,64 0 / 50; 8+,64 0 / 50] = [ 5,9; 40,], kórego środkem jes lczba 8. Mamy węc 90% pewnośc ze prawdzwa średna µ znajduje sę w ym przedzale. Jej oszacowane ma dokładność, cm. Jeśl nasze oszacowane ma meć dokładność cm, o pownna być spełnona nerówność,64 0 / n

30 0,64 0 Rozwązując, orzymamy n = 6, 4, co mplkuje Ŝe pownnśmy zbadać próbkę o lczebnośc n 7. Powerdza o nucyjny fak, Ŝe jeśl chcemy meć dokładnejsze oszacowane neresującego nas parameru µ, np. cm zamas, cm, o pownnśmy zbadać bardzej lczną próbkę (7 zamas 50). Zadane 5. RozwąŜ o samo zadane chcąc meć pewność (ufność) 98%. Przykład 0. (Exercse. z Usng Sascs n Economcs, Thomas, 005) Tygodnowe wydak na Ŝywność 4-osobowej rodzny w Angl w 00 r. wynosły średno borąc 64 funy z odchylenem sandardowym 8 funów. Aby oszacować wysokość wydaków na Ŝywność dla ej samej kaegor rodzn w 004 r, pracownk znanej frmy doradczej, kóry jes absolwenem POU, zasanawa sę jak duŝą próbkę pownen zbadać aby średna próbkowa wydaków ne róŝnła sę od prawdzwej średnej dla całej populacj o węcej nŝ funy z pozomem ufnośc 90%. Jak lczna pownna być a próbka? Ponado, wyznacz 90%-y przedzał ufnośc dla warośc oczekwanej µ w 004 r. dla całej populacj. Odp. W cągu la (od 00 r. do 004 r.) średna wydaków mogła zmenć sę, ale zróŝncowane ych wydaków prawe na pewno ne zmenło sę jeśl w ym okrese ne było zasadnczych zman usrojowych prowadzących do duŝych wahań w redysrybucj mająku narodowego. Zaem, moŝemy przyjąć Ŝ w 004 r. odchylene sandardowe σ = 8. Analogczne jak w przykładze 9b, aby średna próbkowa wydaków ne róŝnła sę od prawdzwej średnej dla całej populacj o węcej nŝ funy z pozomem ufnośc 90%, będze musała zachodzć równość,64 8 / n, kóra określa poszukwaną lczebność próbk nerównoścą n 57. Odpowadając na osane pyane, 90%-y przedzał ufnośc dla µ dany jes znanym nam wzorem [ X,64 s / n; X +,64 s / n], czyl w ym przypadku jes o przedzał [ 64,64 8 / 57; 64+,64 8 / 57] = [64-;64+] = [6;66]. Innym słowy, mamy 90% pewnośc Ŝe uśrednone ygodnowe wydak na Ŝywność 4- osobowej rodzny w Angl w 004 r. będą jakąś kwoą z przedzału [6;66] funów. P R Z E D Z I A Ł U F N O Ś C I dla proporcj w populacj Zdarzają sę w Ŝycu syuacje kedy ludze pyan są o wyraŝene aprobay lub dezaprobay na jakś ema. Np. (a) czy poperasz program par PJN = Polska Jes NajwaŜnejsza; albo (b) czy poperasz planowany w przyszłym ygodnu srajk w wojej frme; albo (c) czy jeseś wegeerannem, p. Odpowedź na ake pyana przybera formy: TAK lub NIE. Jeśl odpowedź jes TAK, o zmenna losowa X ~ oznaczająca odpowedź respondena przyjmuje warość (ak moŝemy przynajmnej przyjąć) z jakmś prawdopodobeńswem p oraz warość 0 z prawdopodobeńswem p gdy odpowedź jes NIE. Skróowo: ~ ~ Pr( X = ) = p Pr( X = 0) = p. Wynka sąd od razu Ŝe ~ ~ µ = E ( X ) = p + ( p) 0= p E ( X ) = p + ( p) 0 = p,