CYKL 2/6 W METODZIE SYMPLEKS

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "CYKL 2/6 W METODZIE SYMPLEKS"

Transkrypt

1 CYKL /6 W METODZIE SYMPLEKS SEBASTIAN SITARZ Uniwersytet l ski Streszczenie Celem niniejszej pracy jest przedstawienie i analiza zjawiska cykliczno ci wyst puj cego w zdegenerowanych zadaniach programowania liniowego na przykładzie cyklu typu /6. Podano posta ogóln zadania programowania liniowego, w którym wyst puje cykl /6 na podstawie pracy Halla i McKinnona [5]. Ponadto zaprezentowano przykład numeryczny ilustruj cy wyst powanie cyklu /6. Słowa kluczowe: programowanie liniowe, metoda sympleks, cykle.. Wprowadzenie Metoda sympleks słu ca do rozwi zywania zada programowania liniowego jest jedn z najbardziej znanych iteracyjnych metod optymalizacyjnych. Jednym z problemów wyst puj cych w metodzie sympleks jest powstawanie tzw. cyklu, polegaj cego na tym, e w pewnej iteracji wracamy do iteracji startowej. W 953 roku Hoffman [6] podał pierwszy przykład cyklu w metodzie sympleks, który miał zmiennych i 3 warunki ograniczaj ce. Przykład Hoffamana był skomplikowany, po 0 iteracji wracali my do postaci startowej. Okazuje si, e nie trzeba budowa skomplikowanych zada programowania liniowego, aby otrzyma cykl. W 004 roku Hall i McKinnon [5] podali charakteryzacj cykli w przypadku zadania z 6 zmiennymi i ograniczeniami (cykl nast puje po 6 iteracjach). Istnieje wiele metod pozwalaj cych zapobiec powstawaniu cykli, cho by prace Wolfe a [9] i Fletchera []. Natomiast praca Gasaa i Vinjamuri ego [] testuje popularne programy komputerowe (LINDO, C-Plex i Excel) pod wzgl dem rozwi zywania zada z cyklami. Warto odnotowa, e zadania zdegenerowane nie rozwa a si wył cznie jako potencjalne przykłady wyst powania cykli, otó zadania te wyst puj równie w wielokryterialnym programowaniu liniowym jako narz dzie słu ce testowaniu sprawno ci [8]. Niniejsza praca omawia wyniki uzyskane przez Halla i McKinnona, prezentuj c przykład numeryczny oraz twierdzenie charakteryzuj ce cykliczno typu /6. Twierdzenie zawarte w rozdziale 4 jest zgrabnym podsumowaniem obszernych i niespójnych faktów prezentowanych w ródłowej pracy, co pozwala na jasn prezentacj otrzymanej charakteryzacji, której brakowało w pracy Halla i McKinnona. Poza opracowaniem faktów z pracy Halla i McKinnona autor pracy przedstawia dokładn ilustracj numeryczn prezentowanej teorii oraz podaje zwi zki mi dzy parametrami zadania generuj cymi wyst powanie cyklu /6. Wykorzystano tu wyniki otrzymane w pracy magisterskiej Jurasz [7], która powstała pod opiek autora niniejszej pracy. Praca składa si z nast puj cych cz ci: sekcja zawiera podstawowe definicje i fakty. W sekcji 3 przedstawiony jest przykład cyklu /6. Sekcja 4 charakteryzuje ogóln posta zadania programowania liniowego, w którym wyst puje cykl /6. Ostatnia sekcja podsumowuje prac.

2 94 POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZ DZANIA WIEDZ Seria: Studia i Materiały, nr 3, 00. Metoda sympleks i cykle Sekcj t opracowano na podstawie monografii Grabowskiego [4] w celu wprowadzenia poj u ywanych w dalszej cz ci pracy. Rozwa amy zadanie programowania liniowego w postaci: Min cx (.) Mx = r (.) x 0 (.3) gdzie M jest macierz o wymiarach m n i rz dzie równym m, c wektorem o wymiarze n, r wektorem o wymiarze m, natomiast x wektorem o wymiarze n. Uwaga.. Macierz M =[m,, m m ] nazywamy baz, gdy jej kolumny s baz liniowej przestrzeni R m. Ponadto, dla zbioru B={j,, j m } przez M B oznaczamy podmacierz macierzy M zło on z kolumn o indeksach: j,, j m.. Definicja.. Zadanie Min dx (.4) Hx = h 0 (.5) x 0 (.6) gdzie d=z c, H=(M B ) - M, h 0 =(M B ) - r, z=c B H, nazywamy postaci bazow zadania (.) (.3) wzgl dem bazy M B. Uwaga.. Zadanie (.4) (.6) przedstawiamy w postaci nast puj cej tablicy sympleks: H h 0 d c B h 0 gdzie H, h 0, d oraz c B h 0 s odpowiednio macierzami o wymiarach m n, m, n oraz. Definicja.. Rozwi zanie dopuszczalne x nazywamy bazowym rozwi zaniem dopuszczalnym wzgl dem bazy M B i oznaczamy jako x B, je eli dla ka dego j B mamy x j =0. Metoda sympleks polega na stosowaniu poni ej opisanych punktów ( 5). Dla danej bazy B={j,, j m } wyznaczamy H, h 0.. Badamy, czy d 0. Je li tak, to x B jest rozwi zaniem optymalnym problemu (.) (.3). W przeciwnym wypadku przechodzimy do punktu.. Kryterium wej cia wyznaczamy najmniejszy element d k wektora d, czyli d k = min{d j : j B } 3. Badamy, czy h k = (M B ) - m k 0. Je li tak, to funkcja celu problemu (.) (.3) jest nieograniczona z dołu. W przeciwnym wypadku przechodzimy do punktu Kryterium wyj cia spo ród ilorazów elementów wektora h 0 przez dodatnie elementy wektora h k wybieramy iloraz najmniejszy h lo /h ik, czyli h lo /h ik = min{h io /h ik : h ik >0 } 5. Tworzymy zbiór indeksów nowej bazy B =B\{j l } {k} i wracamy do punktu. Uwaga.3. Je eli dla ka dego i=,,m mamy h i0 =0, to w kroku 4 wybieramy taki indeks k, e h lk = max{h ik : i=,,m} Uwaga.4. Stosuj c algorytm sympleks dla zadania maksymalizacji, post pujemy analogicznie z t ró nic, e bazowe rozwi zanie dopuszczalne x B wzgl dem bazy M B jest rozwi zaniem optymalnym, gdy d 0.

3 Sebastian Sitarz Cykl /6 w metodzie sympleks 95 Definicja.3. Bazowe rozwi zanie dopuszczalne x B nazywamy niezdegenerowanym, je eli dla ka dego j B mamy x j >0, czyli warto ci wszystkich zmiennych bazowych s dodatnie. Definicja.4. Problem programowania liniowego nazywamy niezdegenerowanym, je eli ka de jego bazowe rozwi zanie dopuszczalne jest niezdegenerowane. Twierdzenie.. [4]. W niezdegenerowanym problemie programowania liniowego metoda sympleks ko czy si w sko czonej liczbie iteracji. W przypadku degeneracji mo e wyst pi sytuacja, w której przy zastosowaniu metody sympleks otrzymamy tzw. cykl uniemo liwiaj cy rozwi zanie zadania. W pracy tej omówimy cykle p/q zdefiniowane poni ej. Definicja.5. Cyklem nazywamy sko czony ci g iteracji sympleksowych, w których warto ci funkcji celu nie zmieniaj si. Ponadto baza z ostatniej iteracji tego ci gu jest identyczna jak w iteracji pierwszej (z dokładno ci do kolejno ci indeksów bazowych). Definicja.6. Cyklem o długo ci p nazywamy cykl zło ony z p iteracji. Uwaga.5. Zauwa my, e cykl o długo ci p składa si z p+ macierzy H. Ponadto pierwsza i ostatnia z tych macierzy s identyczne. Uwaga.6. Mówimy, e macierze H = [ h,..., h ] oraz H = [ h,..., h ] s równowa ne n n sympleksowo, gdy ró ni si jedynie kolejno ci kolumn, tzn.:{ h,..., h }= { n h,..., h }. n Definicja.7. Cykl nazywamy p/q-cyklem, gdy jest cyklem o długo ci q i generuje p ró nych sympleksowo macierzy H. Uwaga.7. W opisanym wy ej algorytmie sympleks, przy wyborze zmiennej wchodz cej do bazy (punkt metody sympleks), podano kryterium Dantziga. Stosuje si równie inne kryteria, mi dzy innymi kryterium steepest-edge, [3]. Natomiast w tej pracy ograniczamy si wył cznie do kryterium Dantziga. 3. Przykład cyklu /6 W rozdziale tym przedstawimy zadanie programowania liniowego z czterema zmiennymi i dwoma ograniczeniami. Stosuj c algorytm sympleks z kryterium Dantziga otrzymamy /6-cykl. Ten problem znany jest jako zadanie hamck6e, [0]. Rozwa my zadanie o postaci: Min,3x,5x +3,55x 3 +0,4x 4 0,4x +0,x,4x 3 0,x 4 + x 5 = 0 7,8x,4x +7,8x 3 +0,4x 4 + x 6 = 0 x i 0, i=,.,6 Pierwsz tablic sympleks przedstawia tablica 3.. Tabela 3.. Tablica sympleks pocz tkowa 0,4 0, -,4-0, 0 0-7,8 -,4 7,8 0,4 0 0,3,5-3,55-0, Stosuj c metod sympleks z kryterium Dantziga otrzymujemy kolejno tablice

4 96 POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZ DZANIA WIEDZ Seria: Studia i Materiały, nr 3, 00 Tabela 3.. Tablica sympleks po pierwszej iteracji 0,5-3,5-0,5, ,5-9,5-3,5 9, ,5 0,75-5, Tabela 3.3. Tablica sympleks po drugiej iteracji 0 0,4 0, -,4-0, 0 0-7,8 -,4 7,8 0, ,3,5-3,55-0,4 0 Porównuj c tablic 3.3 i tablic 3. stwierdzamy, e macierze H 3 oraz H odpowiadaj ce tym tablicom s równowa ne sympleksowo. Tabela 3.4. Tablica sympleks po trzeciej iteracji,5 0 0,5-3,5-0,5 0 9,5 0,5-9,5-3,5 0-5, ,5 0,75 0 Tabela 3.5. Tablica sympleks po czwartej iteracji -,4-0, 0 0,4 0, 0 7,8 0,4 0-7,8 -,4 0-3,55-0,4 0 0,3,5 0 Je li porównamy tablic 3.5 z tablic 3., zauwa ymy, e macierze H 5 oraz H odpowiadaj ce tym tablicom s równowa ne sympleksowo. Tabela 3.6. Tablica sympleks po pi tej iteracji -3,5-0,5,5 0 0,5 0-9,5-3,5 9,5 0,5 0-5,5 0,75-5, Tabela 3.7. Tablica sympleks po szóstej iteracji 0,4 0, -,4-0, 0 0-7,8 -,4 7,8 0,4 0 0,3,5-3,55-0,

5 Sebastian Sitarz Cykl /6 w metodzie sympleks 97 Powró my teraz do wyj ciowej tablicy 3.. Zauwa my, e jest ona identyczna z otrzyman po wykonaniu sze ciu iteracji tablic 3.7. Otrzymali my zatem przykład cyklu o długo ci 6. Macierze odpowiadaj ce tablicom 3., 3.3 oraz 3.5 s równowa ne sympleksowo. Ponadto, macierze odpowiadaj ce tablicom 3., 3.4 oraz 3.6 s równie równowa ne sympleksowo. Zatem przykład ten generuje dwie ró ne sympleksowo macierze. Otrzymali my w ten sposób przykład cyklu /6. 4. Charakteryzacja cyklu /6 Podamy teraz posta zadania programowania liniowego, w którym wyst puje cykl /6. Warunki wyst powania tego cyklu zostały sformułowane w pracy Halla i McKinnona [5]. Tam te zostało udowodnione, e cykl /6 jest najmniejszym cyklem w ród cykli p/q jaki mo e wyst pi (uwzgl dniaj c zarówno wielko ci p oraz q). Poni ej zaprezentowano twierdzenie otrzymano na podstawie zebrania wielu rozł cznych faktów przedstawionych w pracy Halla i McKinnona [5]. Twierdzenie 4.. W zadaniu programowania liniowego postaci (.4) (.6) wyst pi /6 cykl wtedy i tylko wtedy, gdy zadanie to opisuje tablica sympleks 3.8 (z dokładno ci do permutacji kolumn i mno enia przez stał ) oraz 0 < A (4.) 0 < A < (4.) - < µ < -[A (A +)]/[A (A +)] (4.3) Tabela 3.8. Posta ogólna tablicy sympleks zwi zanej z cyklem /6 A A -(A +) -A 0 0 -(+A +A )/A -(A +) (+A +A )/A A µ [-µ(+a +A )/A ] - [(+A +A )/(A )] (A +) -µa Uwaga 4.. Kład c A =0,4, A =0, oraz µ=,5/,3 i mno c wektor d przez liczb,3 (co jest równowa ne pomno eniu przez,3 funkcji celu) otrzymujemy przykład podany w sekcji 3. Uwaga 4.. Cykle wyst puj równie w przypadku stosowania kryterium steepetst-edge, Hall i McKinnon [5]. Uwaga 4.3. Warunek (4.3) z twierdzenia 4. implikuje nast puj cy warunek: A < [A (A +)]/(A +) (4.4) Korzystaj c z uwagi 4.3, rysunek 4. przedstawia obszar liczb A, A dla których wyst puje cykl /6. Zatem liczby te spełniaj warunki (4.), (4.) i (4.4). Ponadto na rysunku zaznaczono punkt zwi zany z przykładem z sekcji 3 (porównaj z uwag 4.). 5. Podsumowanie W pracy przedstawili my zjawisko cykliczno ci wyst puj ce w zdegenerowanych zadaniach programowania liniowego na przykładzie cyklu typu /6. Podana została ogólna posta zadania programowania liniowego, w którym wyst puje cykl /6, wykorzystuj c wyniki uzyskane w pracy [5]. Ponadto zaprezentowano przykład numeryczny, ilustruj cy cykl /6.

6 98 POLSKIE STOWARZYSZENIE ZARZ DZANIA WIEDZ Seria: Studia i Materiały, nr 3, 00 ródło: [7]. Rys. 4.. Zbiór liczb A, A dla których wyst puje cykl /6 [] Fletcher, R.: Resolving degeneracy in quadratic programming. Annals of Operations Research, 47, pp , 993. [] Gass S. I., Virjamuri S.: Cycling in linear programming problems, Computers and Operations Research, 3, pp , 004. [3] Goldfarb D., Sit W. Y.: Worst case behavior of the steepest edge simplex method, Discrete Applied Mathematics,, pp , 979. [4] Grabowski W.: Programowanie matematyczne, PWE, Warszawa 980. [5] Hall J.A.J., McKinnon K.I.M.: The simplest examples where the simplex method cycles and conditions where EXPAND fails to prevent cycling, Mathematical Programming, Ser. B 00, pp , 004. [6] Hoffman A. J.: Cycling in the Simplex Algorithm, Report No. 974, National Bureau of Standards, Gaithersburg, MD, 953. [7] Jurasz D.: Cykle w algorytmie sympleks. Praca magisterska napisana pod kierunkiem S. Sitarza, Uniwersytet l ski, Instytut Matematyki, 009. [8] Sitarz S.: Postoptimal analysis in multicriteria linear programming, European Journal of Operational Research, 9, 008, pp [9] Wolfe P.: A technique for resolving degeneracy in linear programming. SIAM Journal of Applied Mathematics,, pp. 05, 963. [0]

7 Sebastian Sitarz Cykl /6 w metodzie sympleks 99 THE /6 CYCLE IN SIMPLEX METHOD Summary The paper presents the analysis of the /6 cycles in the simplex method. We demonstrate the general form of linear programming problem in which the cycle /6 appear. This fact is based on work by Hall and McKinnon [5]. Moreover we present a simple numerical example to illustrate the /6 cycle. Keywords: linear programming, simplex method, cycles. Sebastian Sitarz Instytut Matematyki Uniwersytet l ski w Katowicach ul. Bankowa 4, Katowice

Podstawowe działania w rachunku macierzowym

Podstawowe działania w rachunku macierzowym Podstawowe działania w rachunku macierzowym Marcin Detka Katedra Informatyki Stosowanej Kielce, Wrzesień 2004 1 MACIERZE 1 1 Macierze Macierz prostokątną A o wymiarach m n (m wierszy w n kolumnach) definiujemy:

Bardziej szczegółowo

Problemy optymalizacyjne - zastosowania

Problemy optymalizacyjne - zastosowania Problemy optymalizacyjne - zastosowania www.qed.pl/ai/nai2003 PLAN WYKŁADU Zło ono obliczeniowa - przypomnienie Problemy NP-zupełne klika jest NP-trudna inne problemy NP-trudne Inne zadania optymalizacyjne

Bardziej szczegółowo

Temat: Co to jest optymalizacja? Maksymalizacja objętości naczynia prostopadłościennego za pomocą arkusza kalkulacyjngo.

Temat: Co to jest optymalizacja? Maksymalizacja objętości naczynia prostopadłościennego za pomocą arkusza kalkulacyjngo. Konspekt lekcji Przedmiot: Informatyka Typ szkoły: Gimnazjum Klasa: II Nr programu nauczania: DKW-4014-87/99 Czas trwania zajęć: 90min Temat: Co to jest optymalizacja? Maksymalizacja objętości naczynia

Bardziej szczegółowo

14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe.

14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. Matematyka 4/ 4.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. I. Przypomnij sobie:. Wiadomości z poprzedniej lekcji... Że przy rozwiązywaniu zadań tekstowych wykorzystujących

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Interpolacja PWSZ Gªogów, 2009 Interpolacja Okre±lenie zale»no±ci pomi dzy interesuj cymi nas wielko±ciami, Umo»liwia uproszczenie skomplikowanych funkcji (np. wykorzystywana

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6. Pakowanie plecaka. 6.1 Postawienie problemu

Rozdział 6. Pakowanie plecaka. 6.1 Postawienie problemu Rozdział 6 Pakowanie plecaka 6.1 Postawienie problemu Jak zauważyliśmy, szyfry oparte na rachunku macierzowym nie są przerażająco trudne do złamania. Zdecydowanie trudniejszy jest kryptosystem oparty na

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY METROLOGII ĆWICZENIE 4 PRZETWORNIKI AC/CA Międzywydziałowa Szkoła Inżynierii Biomedycznej 2009/2010 SEMESTR 3

PODSTAWY METROLOGII ĆWICZENIE 4 PRZETWORNIKI AC/CA Międzywydziałowa Szkoła Inżynierii Biomedycznej 2009/2010 SEMESTR 3 PODSTAWY METROLOGII ĆWICZENIE 4 PRZETWORNIKI AC/CA Międzywydziałowa Szkoła Inżynierii Biomedycznej 29/2 SEMESTR 3 Rozwiązania zadań nie były w żaden sposób konsultowane z żadnym wiarygodnym źródłem informacji!!!

Bardziej szczegółowo

7. Symulacje komputerowe z wykorzystaniem opracowanych modeli

7. Symulacje komputerowe z wykorzystaniem opracowanych modeli Opracowane w ramach wykonanych bada modele sieci neuronowych pozwalaj na przeprowadzanie symulacji komputerowych, w tym dotycz cych m.in.: zmian twardo ci stali szybkotn cych w zale no ci od zmieniaj cej

Bardziej szczegółowo

Projektowanie bazy danych

Projektowanie bazy danych Projektowanie bazy danych Pierwszą fazą tworzenia projektu bazy danych jest postawienie definicji celu, założeo wstępnych i określenie podstawowych funkcji aplikacji. Każda baza danych jest projektowana

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Algorytm sympleks.

Wykład z modelowania matematycznego. Algorytm sympleks. Wykład z modelowania matematycznego. Algorytm sympleks. 1 Programowanie matematyczne jest to zbiór metod poszukiwania punktu optymalizującego (minimalizującego lub maksymalizującego) wartość funkcji rzeczywistej

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu.

MATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu. INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy na studia medyczne Rok szkolny 00/0 tel. 050 38 39 55 www.medicus.edu.pl MATEMATYKA 4 FUNKCJA KWADRATOWA Funkcją kwadratową lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję

Bardziej szczegółowo

TEMAT : Sprawdź sam siebie powtórzenie materiału (ewaluacja całoroczna)

TEMAT : Sprawdź sam siebie powtórzenie materiału (ewaluacja całoroczna) SCENARIUSZ ZAJĘĆ Z MATEMATYKI DLA KLASY III GIMNAZJUM AUTOR : HANNA MARCINKOWSKA TEMAT : Sprawdź sam siebie powtórzenie materiału (ewaluacja całoroczna) Szkoła z klasą 2.0 Zastosowanie technologii informacyjnej

Bardziej szczegółowo

METODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski

METODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski METODA SYMPLEKS Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP Algorytm Sympleks najpotężniejsza metoda rozwiązywania programów liniowych Metoda generuje ciąg dopuszczalnych rozwiązań x k w taki sposób,

Bardziej szczegółowo

PRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc

PRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc PRAWA ZACHOWANIA Podstawowe terminy Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc a) si wewn trznych - si dzia aj cych na dane cia o ze strony innych

Bardziej szczegółowo

7. OPRACOWYWANIE DANYCH I PROWADZENIE OBLICZEŃ powtórka

7. OPRACOWYWANIE DANYCH I PROWADZENIE OBLICZEŃ powtórka 7. OPRACOWYWANIE DANYCH I PROWADZENIE OBLICZEŃ powtórka Oczekiwane przygotowanie informatyczne absolwenta gimnazjum Zbieranie i opracowywanie danych za pomocą arkusza kalkulacyjnego Uczeń: wypełnia komórki

Bardziej szczegółowo

REGULAMIN REALIZACJI PROJEKTÓW EDUKACYJNYCH W GIMNAZJUM W MIEJSKIEJ GÓRCE. Ustalenia ogólne

REGULAMIN REALIZACJI PROJEKTÓW EDUKACYJNYCH W GIMNAZJUM W MIEJSKIEJ GÓRCE. Ustalenia ogólne REGULAMIN REALIZACJI PROJEKTÓW EDUKACYJNYCH W GIMNAZJUM W MIEJSKIEJ GÓRCE Ustalenia ogólne 1. Uczniowie gimnazjum realizują projekty edukacyjne na podstawie Rozporządzenia Ministra Edukacji Narodowej 10

Bardziej szczegółowo

Warszawska Giełda Towarowa S.A.

Warszawska Giełda Towarowa S.A. KONTRAKT FUTURES Poprzez kontrakt futures rozumiemy umowę zawartą pomiędzy dwoma stronami transakcji. Jedna z nich zobowiązuje się do kupna, a przeciwna do sprzedaży, w ściśle określonym terminie w przyszłości

Bardziej szczegółowo

1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1

1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1 Dzień Dziecka z Matematyką Tomasz Szymczyk Piotrków Trybunalski, 4 czerwca 013 r. Układy równań szkice rozwiązań 1. Rozwiązać układ równań { x = y 1 y = x 1. Wyznaczając z pierwszego równania zmienną y,

Bardziej szczegółowo

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Część III Funkcja wymierna, potęgowa, logarytmiczna i wykładnicza Magdalena Alama-Bućko Ewa Fabińska Alfred Witkowski Grażyna Zachwieja Uniwersytet Technologiczno

Bardziej szczegółowo

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe.

Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. 1 Zagadnienie transportowe zostało sformułowane w 1941 przez F.L.Hitchcocka. Metoda rozwiązania tego zagadnienia zwana algorytmem transportowymópracowana

Bardziej szczegółowo

I. POSTANOWIENIE OGÓLNE

I. POSTANOWIENIE OGÓLNE Załącznik do Zarządzenia Nr 26/2015 Rektora UKSW z dnia 1 lipca 2015 r. REGULAMIN ZWIĘKSZENIA STYPENDIUM DOKTORANCKIEGO Z DOTACJI PODMIOTOWEJ NA DOFINANSOWANIE ZADAŃ PROJAKOŚCIOWYCH NA UNIWERSYTETCIE KARDYNAŁA

Bardziej szczegółowo

Regulamin przyznawania stypendiów doktorskich pracownikom Centrum Medycznego Kształcenia Podyplomowego

Regulamin przyznawania stypendiów doktorskich pracownikom Centrum Medycznego Kształcenia Podyplomowego Regulamin przyznawania stypendiów doktorskich pracownikom Centrum Medycznego Kształcenia Podyplomowego 1 Niniejszy regulamin został wprowadzony w oparciu o 2 ust. 2 rozporządzenia Ministra Nauki i Szkolnictwa

Bardziej szczegółowo

Politechnika Warszawska Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych ul. Koszykowa 75, 00-662 Warszawa

Politechnika Warszawska Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych ul. Koszykowa 75, 00-662 Warszawa Zamawiający: Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej 00-662 Warszawa, ul. Koszykowa 75 Przedmiot zamówienia: Produkcja Interaktywnej gry matematycznej Nr postępowania: WMiNI-39/44/AM/13

Bardziej szczegółowo

OPIS PRZEDMIOTU. Podstawy edukacji matematycznej. Wydzia Pedagogiki i Psychologii

OPIS PRZEDMIOTU. Podstawy edukacji matematycznej. Wydzia Pedagogiki i Psychologii OPIS PRZEDMIOTU Nazwa przedmiotu Kod przedmiotu Wydzia Wydzia Pedagogiki i Psychologii Instytut/Katedra INSTYTUT PEDAGOGIKI, Zak ad Pedagogiki Wczesnoszkolnej i Edukacji Plastycznej Kierunek pedagogika,

Bardziej szczegółowo

ZAPYTANIE OFERTOWE. Nr sprawy 15/2016r.

ZAPYTANIE OFERTOWE. Nr sprawy 15/2016r. Załącznik nr 1/1... nazwa i adres wykonawcy... pieczęć zamawiającego...... ZAPYTANIE OFERTOWE Nr sprawy 15/2016r. 1. Towarzystwo Budownictwa Społecznego Sp. z o. o. ogłasza zapytanie ofertowe na wynajem

Bardziej szczegółowo

REGULAMIN dokonywania okresowych ocen kwalifikacyjnych pracowników samorządowych zatrudnionych w Miejskim Przedszkolu Nr 5 w Ciechanowie.

REGULAMIN dokonywania okresowych ocen kwalifikacyjnych pracowników samorządowych zatrudnionych w Miejskim Przedszkolu Nr 5 w Ciechanowie. REGULAMIN dokonywania okresowych ocen kwalifikacyjnych pracowników samorządowych zatrudnionych w Miejskim Przedszkolu Nr 5 w Ciechanowie. 1 1. Okresowym ocenom kwalifikacyjnym podlegają pracownicy zatrudnieni

Bardziej szczegółowo

P R O C E D U R Y - ZASADY

P R O C E D U R Y - ZASADY ZASADY REKRUTACJI DO PUBLICZNYCH PRZEDSZKOLI, ODDZIAŁÓW PRZEDSZKOLNYCH PRZY SZKOŁACH PODSTAWOWYCH DLA KTÓRYCH ORGANEM PROWADZĄCYM JEST MIASTO I GMINA POŁANIEC NA ROK SZKOLNY 2016/2017 P R O C E D U R Y

Bardziej szczegółowo

Kurs z matematyki - zadania

Kurs z matematyki - zadania Kurs z matematyki - zadania Miara łukowa kąta Zadanie Miary kątów wyrażone w stopniach zapisać w radianach: a) 0, b) 80, c) 90, d), e) 0, f) 0, g) 0, h), i) 0, j) 70, k), l) 80, m) 080, n), o) 0 Zadanie

Bardziej szczegółowo

Regulamin rekrutacji uczniów do klasy pierwszej Szkoły Podstawowej im. Maksymiliana Wilandta w Darzlubiu. Podstawa prawna: (Dz.U.2014 poz.

Regulamin rekrutacji uczniów do klasy pierwszej Szkoły Podstawowej im. Maksymiliana Wilandta w Darzlubiu. Podstawa prawna: (Dz.U.2014 poz. Regulamin rekrutacji uczniów do klasy pierwszej Szkoły Podstawowej im. Maksymiliana Wilandta w Darzlubiu Podstawa prawna: Ustawa z dnia 7 września 1991 r. o systemie o światy (Tekst jednolity Dz. U.z 2004

Bardziej szczegółowo

DZIAŁ ÓSMY. Uprawnienia pracowników związane z rodzicielstwem

DZIAŁ ÓSMY. Uprawnienia pracowników związane z rodzicielstwem DZIAŁ ÓSMY Uprawnienia pracowników związane z rodzicielstwem Art. 176. Nie wolno zatrudniać kobiet przy pracach szczególnie uciążliwych lub szkodliwych dla zdrowia. Rada Ministrów określi, w drodze rozporządzenia,

Bardziej szczegółowo

ZASADY REKRUTACJI KANDYDATÓW DO XVIII LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO IM. JANA ZAMOYSKIEGO NA ROK SZKOLNY 2016/2017

ZASADY REKRUTACJI KANDYDATÓW DO XVIII LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO IM. JANA ZAMOYSKIEGO NA ROK SZKOLNY 2016/2017 XVIIILO.4310.5.2016 XVIII LO im. Jana Zamoyskiego ZASADY REKRUTACJI KANDYDATÓW DO XVIII LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO IM. JANA ZAMOYSKIEGO NA ROK SZKOLNY 2016/2017 I. Podstawa prawna 1. Ustawa z dnia 7 września

Bardziej szczegółowo

EKONOMETRIA dr inż.. ALEKSANDRA ŁUCZAK Uniwersytet Przyrodniczy w Poznaniu Katedra Finansów w i Rachunkowości ci Zakład Metod Ilościowych Collegium Maximum,, pokój j 617 Tel. (61) 8466091 luczak@up.poznan.pl

Bardziej szczegółowo

USTAWA. z dnia 26 czerwca 1974 r. Kodeks pracy. 1) (tekst jednolity)

USTAWA. z dnia 26 czerwca 1974 r. Kodeks pracy. 1) (tekst jednolity) Dz.U.98.21.94 1998.09.01 zm. Dz.U.98.113.717 art. 5 1999.01.01 zm. Dz.U.98.106.668 art. 31 2000.01.01 zm. Dz.U.99.99.1152 art. 1 2000.04.06 zm. Dz.U.00.19.239 art. 2 2001.01.01 zm. Dz.U.00.43.489 art.

Bardziej szczegółowo

KLAUZULE ARBITRAŻOWE

KLAUZULE ARBITRAŻOWE KLAUZULE ARBITRAŻOWE KLAUZULE arbitrażowe ICC Zalecane jest, aby strony chcące w swych kontraktach zawrzeć odniesienie do arbitrażu ICC, skorzystały ze standardowych klauzul, wskazanych poniżej. Standardowa

Bardziej szczegółowo

2 Zarządzenie wchodzi w życie z dniem podpisania.

2 Zarządzenie wchodzi w życie z dniem podpisania. Zarządzenie nr 10/2014 z dnia 25 lutego 2014 roku Dyrektora Zespołu Szkół im. Lotników Polskich w Płocicznie Tartak w sprawie wprowadzenia zasad rekrutacji do klasy pierwszej Szkoły Podstawowej im. Lotników

Bardziej szczegółowo

U M O W A. zwanym w dalszej części umowy Wykonawcą

U M O W A. zwanym w dalszej części umowy Wykonawcą U M O W A zawarta w dniu pomiędzy: Miejskim Centrum Medycznym Śródmieście sp. z o.o. z siedzibą w Łodzi przy ul. Próchnika 11 reprezentowaną przez: zwanym dalej Zamawiający a zwanym w dalszej części umowy

Bardziej szczegółowo

2.Prawo zachowania masy

2.Prawo zachowania masy 2.Prawo zachowania masy Zdefiniujmy najpierw pewne podstawowe pojęcia: Układ - obszar przestrzeni o określonych granicach Ośrodek ciągły - obszar przestrzeni którego rozmiary charakterystyczne są wystarczająco

Bardziej szczegółowo

Strona Wersja zatwierdzona przez BŚ Wersja nowa 26 Dodano następujący pkt.: Usunięto zapis pokazany w sąsiedniej kolumnie

Strona Wersja zatwierdzona przez BŚ Wersja nowa 26 Dodano następujący pkt.: Usunięto zapis pokazany w sąsiedniej kolumnie Zmiany w Podręczniku Realizacji PIS (wersja z dnia 25 sierpnia 2008) (W odniesieniu do wersji z 11 lipca 2008 zatwierdzonej warunkowo przez Bank Światowy w dniu 21 lipca 2008) Strona Wersja zatwierdzona

Bardziej szczegółowo

1 Przedmiot Umowy 1. Przedmiotem umowy jest sukcesywna dostawa: publikacji książkowych i nutowych wydanych przez. (dalej zwanych: Publikacjami).

1 Przedmiot Umowy 1. Przedmiotem umowy jest sukcesywna dostawa: publikacji książkowych i nutowych wydanych przez. (dalej zwanych: Publikacjami). WZÓR UMOWY ANALOGICZNY dla CZĘŚCI 1-10 UMOWA o wykonanie zamówienia publicznego zawarta w dniu.. w Krakowie pomiędzy: Polskim Wydawnictwem Muzycznym z siedzibą w Krakowie 31-111, al. Krasińskiego 11a wpisanym

Bardziej szczegółowo

KONKURSY MATEMATYCZNE. Treść zadań

KONKURSY MATEMATYCZNE. Treść zadań KONKURSY MATEMATYCZNE Treść zadań Wskazówka: w każdym zadaniu należy wskazać JEDNĄ dobrą odpowiedź. Zadanie 1 Wlewamy 1000 litrów wody do rurki w najwyższym punkcie systemu rurek jak na rysunku. Zakładamy,

Bardziej szczegółowo

Szczegółowe Warunki Konkursu Ofert na wykonywanie usług kierowcy ambulansu ratownictwa medycznego

Szczegółowe Warunki Konkursu Ofert na wykonywanie usług kierowcy ambulansu ratownictwa medycznego Szczegółowe Warunki Konkursu Ofert na wykonywanie usług kierowcy ambulansu ratownictwa medycznego Spis treści: I. Charakterystyka przedmiotu konkursu II. Terminy III. Obowiązki oferenta i sposób przygotowania

Bardziej szczegółowo

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Politechnika Poznańska Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Joanna Józefowska POZNAŃ 1/11 Spis treści Rozdział 1. Zagadnienie transportowe................... 5 1.1.

Bardziej szczegółowo

Załącznik Nr 2 do Regulaminu Konkursu na działania informacyjno- promocyjne dla przedsiębiorców z terenu Gminy Boguchwała

Załącznik Nr 2 do Regulaminu Konkursu na działania informacyjno- promocyjne dla przedsiębiorców z terenu Gminy Boguchwała Załącznik Nr 2 do Regulaminu Konkursu na działania informacyjno- promocyjne dla przedsiębiorców z terenu Gminy Boguchwała WZÓR UMOWA O DOFINANSOWANIE PROJEKTU W RAMACH PROGRAMU DOTACYJNEGO DLA PRZEDSIĘBIORCÓW

Bardziej szczegółowo

KOMISJA NADZORU FINANSOWEGO

KOMISJA NADZORU FINANSOWEGO KOMISJA NADZORU FINANSOWEGO PLAC POWSTAŃ CÓW WARSZAWY 1, 00-950 WARSZAWA WNIOSEK O ZATWIERDZENIE ANEKSU DO PROSPEKTU EMISYJNEGO zatwierdzonego w dniu 6 marca 2008 r. decyzją nr DEM/410/4/26/08 (Na podstawie

Bardziej szczegółowo

- zapewnienie opieki i wychowania dzieciom przez organizowanie i prowadzenie placówek

- zapewnienie opieki i wychowania dzieciom przez organizowanie i prowadzenie placówek Starosta Radomski ogłasza otwarty konkurs ofert na realizację zadań publicznych w zakresie wspierania rodziny i systemu pieczy zastępczej w latach 2014-2018 Cel konkursu: Konkurs ma na celu wyłonienie

Bardziej szczegółowo

UMOWA NR... NA ŚWIADCZENIE USŁUG SZKOLENIOWO - DORADCZYCH

UMOWA NR... NA ŚWIADCZENIE USŁUG SZKOLENIOWO - DORADCZYCH UMOWA NR... NA ŚWIADCZENIE USŁUG SZKOLENIOWO - DORADCZYCH w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki 2007-2013 Priorytet VI Rynek pracy otwarty dla wszystkich Działanie 6.2 Wsparcie oraz promocja przedsiębiorczości

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI CZERWIEC 2011 POZIOM ROZSZERZONY WYBRANE: CZĘŚĆ I. Czas pracy: 90 minut. Liczba punktów do uzyskania: 20

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI CZERWIEC 2011 POZIOM ROZSZERZONY WYBRANE: CZĘŚĆ I. Czas pracy: 90 minut. Liczba punktów do uzyskania: 20 Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2010 KOD WISUJE ZDAJĄCY ESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY

Bardziej szczegółowo

RZECZPOSPOLITA POLSKA. Prezydent Miasta na Prawach Powiatu Zarząd Powiatu. wszystkie

RZECZPOSPOLITA POLSKA. Prezydent Miasta na Prawach Powiatu Zarząd Powiatu. wszystkie RZECZPOSPOLITA POLSKA Warszawa, dnia 11 lutego 2011 r. MINISTER FINANSÓW ST4-4820/109/2011 Prezydent Miasta na Prawach Powiatu Zarząd Powiatu wszystkie Zgodnie z art. 33 ust. 1 pkt 2 ustawy z dnia 13 listopada

Bardziej szczegółowo

Rolnik - Przedsiębiorca

Rolnik - Przedsiębiorca Rolnik - Przedsiębiorca Pojawiły się nowe zasady podlegania ubezpieczeniom społecznym i wymiaru składek w Kasie Rolniczego Ubezpieczenia Społecznego (KRUS) dotyczące rolników prowadzących dodatkową działalność

Bardziej szczegółowo

PRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA RÓWNA

PRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA RÓWNA PRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA RÓWNA Metody kolejnych przybli e Twierdzenie. (Bolzano Cauchy ego) Metody kolejnych przybli e Je eli funkcja F(x) jest ci g a w przedziale domkni tym [a,b] i F(a) F(b)

Bardziej szczegółowo

P 0max. P max. = P max = 0; 9 20 = 18 W. U 2 0max. U 0max = q P 0max = p 18 2 = 6 V. D = T = U 0 = D E ; = 6

P 0max. P max. = P max = 0; 9 20 = 18 W. U 2 0max. U 0max = q P 0max = p 18 2 = 6 V. D = T = U 0 = D E ; = 6 XL OLIMPIADA WIEDZY TECHNICZNEJ Zawody II stopnia Rozwi zania zada dla grupy elektryczno-elektronicznej Rozwi zanie zadania 1 Sprawno przekszta tnika jest r wna P 0ma a Maksymaln moc odbiornika mo na zatem

Bardziej szczegółowo

40. Międzynarodowa Olimpiada Fizyczna Meksyk, 12-19 lipca 2009 r. ZADANIE TEORETYCZNE 2 CHŁODZENIE LASEROWE I MELASA OPTYCZNA

40. Międzynarodowa Olimpiada Fizyczna Meksyk, 12-19 lipca 2009 r. ZADANIE TEORETYCZNE 2 CHŁODZENIE LASEROWE I MELASA OPTYCZNA ZADANIE TEORETYCZNE 2 CHŁODZENIE LASEROWE I MELASA OPTYCZNA Celem tego zadania jest podanie prostej teorii, która tłumaczy tak zwane chłodzenie laserowe i zjawisko melasy optycznej. Chodzi tu o chłodzenia

Bardziej szczegółowo

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Przedmiot: Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Nr ćwiczenia: 2 Temat: Problem transportowy Cel ćwiczenia: Nabycie umiejętności formułowania zagadnienia transportowego

Bardziej szczegółowo

Zasady przyznawania stypendiów doktoranckich na Wydziale Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego na rok akademicki 2016/2017

Zasady przyznawania stypendiów doktoranckich na Wydziale Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego na rok akademicki 2016/2017 Zasady przyznawania stypendiów doktoranckich na Wydziale Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego na rok akademicki 2016/2017 Postanowienia ogólne 1) Niniejsze Zasady dotyczą stypendiów doktoranckich wypłacanych

Bardziej szczegółowo

System Informatyczny CELAB. Przygotowanie programu do pracy - Ewidencja Czasu Pracy

System Informatyczny CELAB. Przygotowanie programu do pracy - Ewidencja Czasu Pracy Instrukcja obsługi programu 2.11. Przygotowanie programu do pracy - ECP Architektura inter/intranetowa System Informatyczny CELAB Przygotowanie programu do pracy - Ewidencja Czasu Pracy Spis treści 1.

Bardziej szczegółowo

Zapytanie ofertowe dotyczące wyboru wykonawcy (biegłego rewidenta) usługi polegającej na przeprowadzeniu kompleksowego badania sprawozdań finansowych

Zapytanie ofertowe dotyczące wyboru wykonawcy (biegłego rewidenta) usługi polegającej na przeprowadzeniu kompleksowego badania sprawozdań finansowych Zapytanie ofertowe dotyczące wyboru wykonawcy (biegłego rewidenta) usługi polegającej na przeprowadzeniu kompleksowego badania sprawozdań finansowych Data publikacji 2016-04-29 Rodzaj zamówienia Tryb zamówienia

Bardziej szczegółowo

Waldemar Szuchta Naczelnik Urzędu Skarbowego Wrocław Fabryczna we Wrocławiu

Waldemar Szuchta Naczelnik Urzędu Skarbowego Wrocław Fabryczna we Wrocławiu 1 P/08/139 LWR 41022-1/2008 Pan Wrocław, dnia 5 5 września 2008r. Waldemar Szuchta Naczelnik Urzędu Skarbowego Wrocław Fabryczna we Wrocławiu WYSTĄPIENIE POKONTROLNE Na podstawie art. 2 ust. 1 ustawy z

Bardziej szczegółowo

Jan Olek. Uniwersytet Stefana Kardynała Wyszyńskiego. Procesy z Opóźnieniem. J. Olek. Równanie logistyczne. Założenia

Jan Olek. Uniwersytet Stefana Kardynała Wyszyńskiego. Procesy z Opóźnieniem. J. Olek. Równanie logistyczne. Założenia Procesy z Procesy z Jan Olek Uniwersytet Stefana ardynała Wyszyńskiego 2013 Wzór równania logistycznego: Ṅ(t)=rN(t)(1- N ), gdzie Ṅ(t) - przyrost populacji w czasie t r - rozrodczość netto, (r > 0) N -

Bardziej szczegółowo

Regulamin szkolnego konkursu matematycznego dla uczniów klasy II i III: Mały Matematyk

Regulamin szkolnego konkursu matematycznego dla uczniów klasy II i III: Mały Matematyk Marzena Kococik Olga Kuśmierczyk Szkoła Podstawowa im. Marii Konopnickiej w Krzemieniewicach Regulamin szkolnego konkursu matematycznego dla uczniów klasy II i III: Mały Matematyk Konkursy wyzwalają aktywność

Bardziej szczegółowo

- 70% wg starych zasad i 30% wg nowych zasad dla osób, które. - 55% wg starych zasad i 45% wg nowych zasad dla osób, które

- 70% wg starych zasad i 30% wg nowych zasad dla osób, które. - 55% wg starych zasad i 45% wg nowych zasad dla osób, które Oddział Powiatowy ZNP w Gostyninie Uprawnienia emerytalne nauczycieli po 1 stycznia 2013r. W związku napływającymi pytaniami od nauczycieli do Oddziału Powiatowego ZNP w Gostyninie w sprawie uprawnień

Bardziej szczegółowo

III. Warunki i tryb przyjmowania uczniów do liceum ogólnokształcącego, technikum i zasadniczej szkoły zawodowej.

III. Warunki i tryb przyjmowania uczniów do liceum ogólnokształcącego, technikum i zasadniczej szkoły zawodowej. Regulamin rekrutacji do szkół w Zespole Szkół Ogólnokształcących i Zawodowych im. Jarosława Iwaszkiewicza w CIECHANOWCU na rok szkolny 2016/2017 I. Podstawa prawna - Ustawa z dnia 7 września 1991 r. o

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Typy zada«optymalizacyjnych Analiza pooptymalizacyjna SOLVER. 22 maja 2016. Karolina Konopczak. Instytut Rozwoju Gospodarczego

Ekonometria. Typy zada«optymalizacyjnych Analiza pooptymalizacyjna SOLVER. 22 maja 2016. Karolina Konopczak. Instytut Rozwoju Gospodarczego Ekonometria Typy zada«optymalizacyjnych Analiza pooptymalizacyjna SOLVER 22 maja 2016 Karolina Konopczak Instytut Rozwoju Gospodarczego Problem diety Aby ±niadanie byªo peªnowarto±ciowe powinno dostarczy

Bardziej szczegółowo

REGULAMIN przeprowadzania okresowych ocen pracowniczych w Urzędzie Miasta Mława ROZDZIAŁ I

REGULAMIN przeprowadzania okresowych ocen pracowniczych w Urzędzie Miasta Mława ROZDZIAŁ I Załącznik Nr 1 do zarządzenia Nr169/2011 Burmistrza Miasta Mława z dnia 2 listopada 2011 r. REGULAMIN przeprowadzania okresowych ocen pracowniczych w Urzędzie Miasta Mława Ilekroć w niniejszym regulaminie

Bardziej szczegółowo

Wniosek o ustalenie warunków zabudowy

Wniosek o ustalenie warunków zabudowy Wniosek o ustalenie warunków zabudowy Informacje ogólne Kiedy potrzebna jest decyzja Osoba, która składa wniosek o pozwolenie na budowę, nie musi mieć decyzji o warunkach zabudowy terenu, pod warunkiem

Bardziej szczegółowo

Opis programu do wizualizacji algorytmów z zakresu arytmetyki komputerowej

Opis programu do wizualizacji algorytmów z zakresu arytmetyki komputerowej Opis programu do wizualizacji algorytmów z zakresu arytmetyki komputerowej 3.1 Informacje ogólne Program WAAK 1.0 służy do wizualizacji algorytmów arytmetyki komputerowej. Oczywiście istnieje wiele narzędzi

Bardziej szczegółowo

Mnożenie macierzy. Systemy z pamięcią współdzieloną Systemy z pamięcią rozproszoną Efektywność

Mnożenie macierzy. Systemy z pamięcią współdzieloną Systemy z pamięcią rozproszoną Efektywność Mnożenie macierzy Systemy z pamięcią współdzieloną Systemy z pamięcią rozproszoną Efektywność Literatura: Introduction to Parallel Computing; Grama, Gupta, Karypis, Kumar; 1 Mnożenie macierzy dostęp do

Bardziej szczegółowo

1) TUnŻ WARTA S.A. i TUiR WARTA S.A. należą do tej samej grupy kapitałowej,

1) TUnŻ WARTA S.A. i TUiR WARTA S.A. należą do tej samej grupy kapitałowej, Zasady finansowania działalności kulturalno-oświatowej ze środków zakładowego funduszu świadczeń socjalnych w TUnŻ WARTA S.A. w okresie od 1 września 2015 roku do 31 grudnia 2015 roku 1. Świadczenia finansowane

Bardziej szczegółowo

ROZDZIAŁ I Postanowienia ogólne. Przedmiot Regulaminu

ROZDZIAŁ I Postanowienia ogólne. Przedmiot Regulaminu Załącznik do Zarządzenia Nr 60 /15 Wójta Gminy Dębowa Kłoda z dnia 18 sierpnia 2015 r. REGULAMIN przeprowadzania okresowych ocen pracowników samorządowych zatrudnionych na stanowiskach urzędniczych, w

Bardziej szczegółowo

OFERTA WYKŁADÓW, WARSZTATÓW I LABORATORIÓW DLA UCZNIÓW KLAS IV- VI SZKÓŁ PODSTAWOWYCH, GIMNAZJALNYCH I ŚREDNICH

OFERTA WYKŁADÓW, WARSZTATÓW I LABORATORIÓW DLA UCZNIÓW KLAS IV- VI SZKÓŁ PODSTAWOWYCH, GIMNAZJALNYCH I ŚREDNICH OFERTA WYKŁADÓW, WARSZTATÓW I LABORATORIÓW DLA UCZNIÓW KLAS IV- VI SZKÓŁ PODSTAWOWYCH, GIMNAZJALNYCH I ŚREDNICH Strona 1 z 9 SPIS ZAJĘĆ WRAZ Z NAZWISKAMI WYKŁADOWCÓW dr hab. Mieczysław Kula Poznaj swój

Bardziej szczegółowo

FORMULARZ OFERTY. Tel. -...; fax -...; NIP -...; REGON -...;

FORMULARZ OFERTY. Tel. -...; fax -...; NIP -...; REGON -...; SPW -3431/ 14/11 Załącznik nr 1 FORMULARZ OFERTY ZAMAWIAJĄCY Powiat Wołomiński, ul. Prądzyńskiego 3, 05 200 Wołomin; Jednostka prowadząca sprawę Wydział Gospodarki Nieruchomościami Starostwa Powiatowego

Bardziej szczegółowo

Kolegium Międzywydziałowych Indywidualnych Studiów Humanistycznych

Kolegium Międzywydziałowych Indywidualnych Studiów Humanistycznych Kolegium Międzywydziałowych Indywidualnych Studiów Humanistycznych Kierunek studiów: studia międzykierunkowe Rodzaj studiów: jednolite pięcioletnie studia magisterskie lub studia I stopnia (w zależności

Bardziej szczegółowo

Zarządzenie Nr 325/09 Burmistrza Miasta Bielsk Podlaski z dnia 29 czerwca 2009 r.

Zarządzenie Nr 325/09 Burmistrza Miasta Bielsk Podlaski z dnia 29 czerwca 2009 r. Zarządzenie Nr 325/09 Burmistrza Miasta Bielsk Podlaski z dnia 29 czerwca 2009 r. w sprawie wprowadzenia w Urzędzie Miasta Bielsk Podlaski regulaminu okresowej oceny pracowników Na podstawie art. 28 ustawy

Bardziej szczegółowo

REGULAMIN PRZEPROWADZANIA OCEN OKRESOWYCH PRACOWNIKÓW NIEBĘDĄCYCH NAUCZYCIELAMI AKADEMICKIMI SZKOŁY GŁÓWNEJ HANDLOWEJ W WARSZAWIE

REGULAMIN PRZEPROWADZANIA OCEN OKRESOWYCH PRACOWNIKÓW NIEBĘDĄCYCH NAUCZYCIELAMI AKADEMICKIMI SZKOŁY GŁÓWNEJ HANDLOWEJ W WARSZAWIE Załącznik do zarządzenia Rektora nr 36 z dnia 28 czerwca 2013 r. REGULAMIN PRZEPROWADZANIA OCEN OKRESOWYCH PRACOWNIKÓW NIEBĘDĄCYCH NAUCZYCIELAMI AKADEMICKIMI SZKOŁY GŁÓWNEJ HANDLOWEJ W WARSZAWIE 1 Zasady

Bardziej szczegółowo

DZIENNIK URZĘDOWY WOJEWÓDZTWA ŁÓDZKIEGO

DZIENNIK URZĘDOWY WOJEWÓDZTWA ŁÓDZKIEGO DZIENNIK URZĘDOWY WOJEWÓDZTWA ŁÓDZKIEGO Łódź, dnia 20 kwietnia 2016 r. Poz. 1809 UCHWAŁA NR XVIII/114/2016 RADY GMINY JEŻÓW z dnia 30 marca 2016 r. w sprawie zasad wynajmowania lokali wchodzących w skład

Bardziej szczegółowo

Uchwała Nr 72/2014/2015 Senatu Akademii Wychowania Fizycznego Józefa Piłsudskiego w Warszawie z dnia 14 lipca 2015 roku

Uchwała Nr 72/2014/2015 Senatu Akademii Wychowania Fizycznego Józefa Piłsudskiego w Warszawie z dnia 14 lipca 2015 roku Uchwała Nr 72/2014/2015 Senatu Akademii Wychowania Fizycznego Józefa Piłsudskiego w Warszawie z dnia 14 lipca 2015 roku w sprawie: zasad ustalania zakresu obowiązków nauczycieli akademickich, rodzaju zajęć

Bardziej szczegółowo

Formularz informacyjny dotyczący kredytu konsumenckiego

Formularz informacyjny dotyczący kredytu konsumenckiego Formularz informacyjny dotyczący kredytu konsumenckiego 1.Imię, nazwisko (nazwa) i adres (siedziba) kredytodawcy lub pośrednika kredytowego KREDYTODAWCA: POLI INVEST Spółka z ograniczoną odpowiedzialnością

Bardziej szczegółowo

UMOWA SPRZEDAŻY NR. 500 akcji stanowiących 36,85% kapitału zakładowego. AGENCJI ROZWOJU REGIONALNEGO ARES S.A. w Suwałkach

UMOWA SPRZEDAŻY NR. 500 akcji stanowiących 36,85% kapitału zakładowego. AGENCJI ROZWOJU REGIONALNEGO ARES S.A. w Suwałkach Załącznik do Uchwały Nr 110/1326/2016 Zarządu Województwa Podlaskiego z dnia 19 stycznia 2016 roku UMOWA SPRZEDAŻY NR 500 akcji stanowiących 36,85% kapitału zakładowego AGENCJI ROZWOJU REGIONALNEGO ARES

Bardziej szczegółowo

WZÓR UMOWY DLA PRZETARGU NIEOGRANICZONEGO na realizację szkoleń w ramach projektu Patrz przed siebie, mierz wysoko UMOWA NR.

WZÓR UMOWY DLA PRZETARGU NIEOGRANICZONEGO na realizację szkoleń w ramach projektu Patrz przed siebie, mierz wysoko UMOWA NR. Załącznik nr 6 do SIWZ WZÓR UMOWY DLA PRZETARGU NIEOGRANICZONEGO na realizację szkoleń w ramach projektu Patrz przed siebie, mierz wysoko UMOWA NR. Zawarta w dniu..... roku w. POMIĘDZY:. reprezentowaną

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA? /9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów

Bardziej szczegółowo

INFORMATYKA dla gimnazjum Opis założonych osiągnięć ucznia klasy trzeciej

INFORMATYKA dla gimnazjum Opis założonych osiągnięć ucznia klasy trzeciej INFORMATYKA dla gimnazjum Opis założonych osiągnięć ucznia klasy trzeciej W ROKU SZKOLNYM 2015/2016 1. Podstawa prawna do opracowania Przedmiotowego Systemu Oceniania. a) Rozporządzenie Ministra Edukacji

Bardziej szczegółowo

PAKIET MathCad - Część III

PAKIET MathCad - Część III Opracowanie: Anna Kluźniak / Jadwiga Matla Ćw3.mcd 1/12 Katedra Informatyki Stosowanej - Studium Podstaw Informatyki PAKIET MathCad - Część III RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ 1. Równania z jedną niewiadomą MathCad

Bardziej szczegółowo

Zarządzenie Nr 16/2016 Burmistrza Tyszowiec z dnia 07 marca 2016 roku

Zarządzenie Nr 16/2016 Burmistrza Tyszowiec z dnia 07 marca 2016 roku Zarządzenie Nr 16/2016 Burmistrza Tyszowiec z dnia 07 marca 2016 roku w sprawie ustalenia wytycznych do opracowania arkuszy organizacyjnych szkół i przedszkola samorządowego prowadzonych przez Gminę Tyszowce

Bardziej szczegółowo

Procedura nadawania uprawnień do potwierdzania Profili Zaufanych w Urzędzie Gminy w Ryjewie

Procedura nadawania uprawnień do potwierdzania Profili Zaufanych w Urzędzie Gminy w Ryjewie WÓJT GMINY RYJEWO Załącznik Nr 2 do Zarządzenia Nr 13/15 Wójta Gminy Ryjewo z dnia 20 lutego 2015 roku w sprawie zmiany treści zarządzenia Nr 45/14 Wójta Gminy Ryjewo z dnia 30 czerwca 2014 roku w sprawie

Bardziej szczegółowo

Zarządzenie Nr 0151/18/2006 Wójta Gminy Kornowac z dnia 12 czerwca 2006r.

Zarządzenie Nr 0151/18/2006 Wójta Gminy Kornowac z dnia 12 czerwca 2006r. Zarządzenie Nr 0151/18/2006 Wójta Gminy Kornowac z dnia 12 czerwca 2006r. w sprawie: ogłoszenia otwartego konkursu ofert na zadanie publiczne Gminy Kornowac w sprawie realizacji programu zdrowotnego: Ty

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny:

Zadanie 1. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny: Matematyka ubezpieczeń majątkowych 5.2.2008 r. Zadanie. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny: Pr ( N = k) = 0 dla k = 0,, K, 9. Liczby szkód w

Bardziej szczegółowo

Zasady rekrutacji, kryteria i warunki przyjęć do Przedszkola Samorządowego nr 25 w Kielcach

Zasady rekrutacji, kryteria i warunki przyjęć do Przedszkola Samorządowego nr 25 w Kielcach Zasady rekrutacji, kryteria i warunki przyjęć do Przedszkola Samorządowego nr 25 w Kielcach Załącznik nr 1 do Zarządzenia nr 3/2016 Dyrektora Przedszkola Samorządowego nr 25 w Kielcach z dnia 07.03. 2016

Bardziej szczegółowo

Polska-Warszawa: Usługi skanowania 2016/S 090-161398

Polska-Warszawa: Usługi skanowania 2016/S 090-161398 1 / 7 Niniejsze ogłoszenie w witrynie TED: http://ted.europa.eu/udl?uri=ted:notice:161398-2016:text:pl:html Polska-Warszawa: Usługi skanowania 2016/S 090-161398 Państwowy Instytut Geologiczny Państwowy

Bardziej szczegółowo

Dyrektor Szkoły w. Wniosek o dofinansowanie zakupu podręczników w roku szkolnym 2014/2015 w ramach programu Wyprawka szkolna

Dyrektor Szkoły w. Wniosek o dofinansowanie zakupu podręczników w roku szkolnym 2014/2015 w ramach programu Wyprawka szkolna Dyrektor Szkoły w. Wniosek o dofinansowanie zakupu podręczników w roku szkolnym 2014/2015 w ramach programu Wyprawka szkolna I. Dane wnioskodawcy: 1. Imię i nazwisko... 2. PESEL... 3. Adres zamieszkania...

Bardziej szczegółowo

ZP.271.1.71.2014 Obsługa bankowa budżetu Miasta Rzeszowa i jednostek organizacyjnych

ZP.271.1.71.2014 Obsługa bankowa budżetu Miasta Rzeszowa i jednostek organizacyjnych Załącznik nr 3 do SIWZ Istotne postanowienia, które zostaną wprowadzone do treści Umowy Prowadzenia obsługi bankowej budżetu miasta Rzeszowa i jednostek organizacyjnych miasta zawartej z Wykonawcą 1. Umowa

Bardziej szczegółowo

XIII KONKURS MATEMATYCZNY

XIII KONKURS MATEMATYCZNY XIII KONKURS MTMTYZNY L UZNIÓW SZKÓŁ POSTWOWYH organizowany przez XIII Liceum Ogólnokształcace w Szczecinie FINŁ - 19 lutego 2013 Test poniższy zawiera 25 zadań. Za poprawne rozwiązanie każdego zadania

Bardziej szczegółowo

Zarządzenie Nr 1469/2012

Zarządzenie Nr 1469/2012 Zarządzenie Nr 1469/2012 Prezydenta Miasta Płocka z dnia 01 marca 2012 w sprawie przyjęcia Regulaminu Płockiej Karty Familijnej 3+ w ramach Programu Płocka Karta Familijna 3+ Na podstawie art. 7 ust 1

Bardziej szczegółowo

Regulamin Obrad Walnego Zebrania Członków Stowarzyszenia Lokalna Grupa Działania Ziemia Bielska

Regulamin Obrad Walnego Zebrania Członków Stowarzyszenia Lokalna Grupa Działania Ziemia Bielska Załącznik nr 1 do Lokalnej Strategii Rozwoju na lata 2008-2015 Regulamin Obrad Walnego Zebrania Członków Stowarzyszenia Lokalna Grupa Działania Ziemia Bielska Przepisy ogólne 1 1. Walne Zebranie Członków

Bardziej szczegółowo

Bielsko-Biała, dn. 10.02.2015 r. Numer zapytania: R36.1.089.2015. WAWRZASZEK ISS Sp. z o.o. ul. Leszczyńska 22 43-300 Bielsko-Biała ZAPYTANIE OFERTOWE

Bielsko-Biała, dn. 10.02.2015 r. Numer zapytania: R36.1.089.2015. WAWRZASZEK ISS Sp. z o.o. ul. Leszczyńska 22 43-300 Bielsko-Biała ZAPYTANIE OFERTOWE Bielsko-Biała, dn. 10.02.2015 r. Numer zapytania: R36.1.089.2015 WAWRZASZEK ISS Sp. z o.o. ul. Leszczyńska 22 43-300 Bielsko-Biała ZAPYTANIE OFERTOWE W związku realizacją projektu badawczo-rozwojowego

Bardziej szczegółowo

Regulamin ustalania wysoko±ci, przyznawania i wypªacania stypendium za wyniki w nauce dla doktorantów MIMUW v4.3

Regulamin ustalania wysoko±ci, przyznawania i wypªacania stypendium za wyniki w nauce dla doktorantów MIMUW v4.3 Regulamin ustalania wysoko±ci, przyznawania i wypªacania stypendium za wyniki w nauce dla doktorantów MIMUW v4.3 1 grudnia 2007 Komentarze s pisane kursyw. 1. Doktoranci s dzieleni na kategorie pod wzgl

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Metod Optymalizacji

Laboratorium Metod Optymalizacji Laboratorium Metod Optymalizacji Grupa nr... Sekcja nr... Ćwiczenie nr 4 Temat: Programowanie liniowe (dwufazowa metoda sympleksu). Lp. 1 Nazwisko i imię Leszek Zaczyński Obecność ocena Sprawozdani e ocena

Bardziej szczegółowo

Zarządzanie Zasobami by CTI. Instrukcja

Zarządzanie Zasobami by CTI. Instrukcja Zarządzanie Zasobami by CTI Instrukcja Spis treści 1. Opis programu... 3 2. Konfiguracja... 4 3. Okno główne programu... 5 3.1. Narzędzia do zarządzania zasobami... 5 3.2. Oś czasu... 7 3.3. Wykres Gantta...

Bardziej szczegółowo

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku

Bardziej szczegółowo

KALKULACJA CZYNSZU DLA BUDYNKÓW MIESZKALNO-UśYTKOWYCH W PSZCZYNIE PRZY UL. KS. BISKUPA H. BEDNORZA 10,12, 14,16, 18 I 20

KALKULACJA CZYNSZU DLA BUDYNKÓW MIESZKALNO-UśYTKOWYCH W PSZCZYNIE PRZY UL. KS. BISKUPA H. BEDNORZA 10,12, 14,16, 18 I 20 ptbssp. z o.o. 43 200 Pszczyna ul. Jana Kilińskiego 5a KALKULACJA CZYNSZU DLA BUDYNKÓW MIESZKALNO-UśYTKOWYCH W PSZCZYNIE PRZY UL. KS. BISKUPA H. BEDNORZA 10,12, 14,16, 18 I 20 NA MOMENT ODDANIA BUDYNKÓW

Bardziej szczegółowo