Modelowanie strukturalne z programem AMOS

Transkrypt

1 ZIMOWE WARSZTATY ANALITYCZNE SWPS SPSS POLSKA WARSZAWA, 1-2 LUTEGO 2012 Modelowanie strukturalne z programem AMOS wybrane modele równań strukturalnych na przykładach z psychologii dr Karol Karasiewicz, Uniwersytet Gdański, dr Ryszard Makarowski, Uniwersytet Gdański 1

2 Spis treści 1 Wprowadzenie Kilka słów wstępu Pomiar motywacji do nauki statystyki Pytania badawcze i hipotezy Testowanie hipotez w AMOS Testowanie hipotezy o istotności korelacji Formułowanie hipotezy zerowej i alternatywnej Rysowanie modelu w AMOS Przeglądanie wyników analizy Testowanie hipotezy o równości wariancji Rysowanie modelu Przeglądanie wyników Interpretacja uzyskanych wyników CFA konfirmacyjna analiza czynnikowa Założenia kwestionariusza do badania motywacji uczenia się statystyki Eksploracyjna analiza czynnikowa w SPSS Eksploracyjna a konfirmacyjna analiza czynnikowa Zmienna latentna Rysowanie modelu CFA w AMOS Czytanie wyników analizy CFA Analiza regresji w AMOS Klasyczna analiza regresji w SPSS Budowanie modelu regresji w AMOS Przeglądanie i interpretacja wyników analizy Model strukturalny a model pomiarowy Budowanie modelu pomiarowego Przeglądanie wyników Analiza moderacji w AMOS Interakcja, czy moderacja Test interakcji w AMOS Interpretacja wyników analizy...65 Załączniki...67 Kwestionariusz STAT-M...67 Popularne wskaźniki dopasowania modelu do danych

3 1 Wprowadzenie 1.1 Kilka słów wstępu Niniejsze opracowanie jest bardzo podstawową lekturą, przeznaczoną dla Czytelników stawiających pierwsze kroki w analizach statystycznych z wykorzystaniem metody równań strukturalnych z programem AMOS. Stąd też zawiera ono wiele uproszczeń, wiele opisów i dygresji, które bardziej zaawansowanemu Czytelnikowi mogą wydać się przydługie i nużące. Nie ma tutaj szczegółów matematycznych i obliczeniowych, które leżą u podstaw prezentowanych przykładów. Należy podkreślić, że opracowanie to nie może stanowić pełnej i wyczerpującej lektury dotyczącej wykorzystania równań strukturalnych. Należy opracowanie to potraktować jako wstęp dla bardziej zaawansowanych i wyczerpujących pozycji z literatury, która została zasugerowana w dalszej części. Kolejna uwaga dotyczy przyjętej w niniejszym podręczniku metodyki, która opiera się na prezentowaniu konkretnych problemów statystycznych o dość szerokim zasięgu w oparciu o analizę konkretnego przykładu. Zdajemy sobie sprawę, że metoda ta ma swoich zwolenników i krytyków, bo posiada zarówno zalety, jak i wady. Przykłady konkretne pozwalają dobrze pokazać jedynie konkretne problemy. Przy próbie generalizacji uzyskanych rozwiązań i przeniesienia ich na inne przykłady Czytelnik może napotkać na pewne problemy w niniejszym opracowaniu nie opisane. Wydaje się jednak, że przy tak złożonym problemie, jakim są równania strukturalne przykłady są dobrą bazą do prowadzenia pierwszych samodzielnych analiz statystycznych. Modelowanie strukturalne zawsze rozpoczynamy od poznania teorii badanego zjawiska (tzw. teorii substantywnej), zwłaszcza tych jej obszarów, które mówią o jego zależnościach z innymi zjawiskami. Na podstawie teorii tworzymy model strukturalny. Model strukturalny musi być głęboko osadzony w teorii, gdyż w przeciwnym wypadku łatwo jest dać się ponieść danym i otrzymać model, który jest świetnie dopasowany do danych, ale w ogóle nie odpowiada rzeczywistości. 3

4 1.2 Pomiar motywacji do nauki statystyki Motywacja do uczenia się trudnych zagadnień statystycznych jest najprawdopodobniej jednym z najważniejszych czynników determinujących sukces w uczeniu się przez studentów tych zagadnień. Stąd też w Uniwersytecie Gdańskim przeprowadzono badania nad motywacją do uczenia się statystyki wśród studentów Psychologii. Wykorzystano w tym celu Kwestionariusz do pomiaru motywacji do nauki statystyki pod nazwą Skala STAT-M. Pomiar tym narzędziem ma za zadanie przewidywać wynik procentowy studenta na egzaminie końcowym ze statystyki po rocznym podstawowym kursie. Kwestionariusz ten zawiera 6 pozycji w postaci stwierdzeń opisujących różne wymagania i szereg sądów o potrzebie posiadania szczególnych kompetencji i uzdolnień do nauczenia się statystyki, wobec których respondent ustosunkowuje się posługując się 5-stopniową skalą typu Likerta. Zakłada się, że kwestionariusz ten pozwala mierzyć dwa aspekty motywacji do uczenia się statystyki a) przekonanie o konieczności posiadania szczególnych uzdolnień do nauczenia się statystyki oraz b) przekonanie o posiadaniu przez respondenta umiejętności i uzdolnień pozwalających nauczyć się statystyki. Każdy z tych czynników opisuje trzy szczególne zdolności i kompetencje potrzebne do nauczenia się statystyki a) predyspozycje poznawcze i osobowościowe, b) motywację i zaangażowanie oraz c) sprawność w posługiwaniu się wiedzą matematyczną. Strukturę kwestionariusza można przedstawić, jak na poniższej rycinie (patrz Ryc. 1). Przy czym sensownej interpretacji wydaje się poddawać jedynie dwa czynniki FAKTOR1 i FAKTOR2. Pytanie 1 Osobowość i typ umysłu Pytanie 2 FAKTOR1 Ogólne wymagania Motywacja i zaangażowanie Pytanie 3 Pytanie 4 Wiedza matematyczna Pytanie 5 FAKTOR2 Posiadane predyspozycje Pytanie 6 Ryc. 1 Stąd też w niniejszym podręczniku analizie poddano jedynie uproszczony model obejmujący jedynie dwa czynniki FAKTOR1 i FAKTOR2. 4

5 Ryc. 2 Kwestionariusz ten ma pozwalać na opis postaw i motywacji studenta do nauki statystyki i pozwalać na przewidywanie sukcesu na kursie wstępnym z tego przedmiotu. W celu oszacowania trafności i rzetelności kwestionariusza STAT-M zebrano odpowiedzi 523 studentów Psychologii UG w latach Jednocześnie wyniki kwestionariusza skorelowano z wynikami procentowymi uzyskanymi na egzaminie końcowym ze statystyki oraz trybem studiów (stacjonarne-niestacjonarne) i zapisano je w pliku DANE.XLS w postaci danych szczegółowych (w arkuszu DANE) oraz macierzy korelacji (w arkuszu MACIERZ). 1.3 Pytania badawcze i hipotezy Przedstawione zostały tutaj jedynie wybrane problemy badawcze i hipotezy przyjęte a priori w czasie analizy zebranych danych. W niniejszym podręczniku na podstawie przykładów można będzie odnaleźć sposoby rozwiązania i odpowiedzi na te pytania. 1. Czy dwa założone aspekty fenomenu motywacji do uczenia się statystyki postawa ogólna i przekonanie o własnych predyspozycjach trafnie i spójnie opisują motywację do uczenia się statystyki? 1.1. Istnieje istotna statystycznie korelacja między obu wymiarami motywacji wobec uczenia się statystyki 1.2. Zróżnicowanie obu aspektów motywacji wobec uczenia się statystyki jest zbliżone (wariancje obu aspektów są sobie równe) 2. Czy założona struktura czynnikowa kwestionariusza jest trafna s sensie trafności czynnikowej i rzetelna (w sensie spójna)? 2.1. Trzy pierwsze pozycje (zmienne od P1 do P3) w kwestionariuszu odzwierciedlają czynnik pierwszy (FACTOR1), natomiast trzy ostatnie (od P4 do P6) czynnik drugi (FACTOR2), 5

6 2.2. Istnieją dwa czynniki determinujące postawy wobec statystyki, jako przedmiotu na studiach: ogólna postawa wobec statystyki (FACTOR1) i osobiste przekonanie o własnych zdolnościach w tej dziedzinie (FACTOR2), 2.3. Można zakładać, że między obu czynnikami istnieje niewielka pozytywna korelacja (prawdopodobnie zerowa) 3. W jakim stopniu czynniki wyodrębnione w strukturze kwestionariusza pozwalają przewidywać wyniki ze statystyki (zmienna SCORE)? 3.1. Wpływ obu wymiarów motywacji do uczenai się statystyki na wyniki ze statystyki jest zbliżony co do siły i kierunku 3.2. Oba wymiary motywacji do uczenia się statystyki wchodzą we wzajemną interakcję, która pozwala przewidywać istotną część wariancji wyników ze statystyki. 4. Czy ten model przewidywań utrzymuje się niezależnie od trybu studiów (studia stacjonarne-niestacjonarne)? 4.1. Tryb studiów może być moderatorem zależności między motywacją do uczenia się statystyki i sukcesem w statystyce. 5. Czy motywacja do nauki statystyki jest mediatorem zależności między trybem studiów i osiągnięciami w podstawowym kursie statystyki? 6

7 2 Testowanie hipotez w AMOS Hipoteza w statystyce, to przypuszczenie o istnieniu jakiejś systematycznej zależności lub systematycznej różnicy w zbiorze danych. Np. zdanie Przypuszczalnie w populacji istnieje dodatnia korelacja między ekstrawersją a liczbą ryzykownych zachowań seksualnych jest hipotezą badawczą. W statystyce testowanie hipotezy polega na postawieniu hipotezy względem niej przeciwnej (tzw. hipoteza zerowa). W tym przykładzie brzmiałaby ona Przypuszczalnie w populacji korelacja między ekstrawersją a liczbą ryzykownych zachowań seksualnych jest ujemna lub zerowa (mniejsza lub równa zero). Po postawieniu hipotezy zerowej (H 0 ) możemy zweryfikować jej istotność na trzy sposoby: 1. Poprzez test statystyczny adekwatny do tej hipotezy (jeśli go znamy i jeśli spełnione są jego założenia w danych), 2. Poprzez oszacowanie przedziału ufności dla postawionej hipotezy zerowej (jeśli potrafimy go oszacować i jeśli spełnione są ku temu warunki), 3. Oszacowując różnice między trafnością (dobrocią dopasowania) modelu testującego hipotezę zerową i modelu testującego hipotezę alternatywną. Dla przykładu przeprowadźmy w AMOS test dwóch prostych hipotez: 1. Czy korelacja miedzy czynnikami FAKTO1 i FAKTOR2 (oznaczona symbolem C) jest istotnie różna od zera? Ryc Czy różnica wariancji czynnika FAKTOR1 i czynnika FAKTOR2 jest istotna statystycznie (różnica istotnie od zera różna)? Ryc. 4 Weryfikacja tych dwóch hipotez może stanowić odpowiedź na pytanie badawcze dotyczące struktury konstruktu motywacji do uczenia się statystyki, jako fenomenu składającego się z dwóch względnie niezależnych wymiarów opinii ogólnej i przekonaniu o własnych dyspozycjach. 7

8 2.1 Testowanie hipotezy o istotności korelacji Formułowanie hipotezy zerowej i alternatywnej Aby odpowiedzieć na pytanie pierwsze stawiamy hipotezę zerową: H 0 : korelacja wynosi 0 r = 0 i alternatywną wobec niej: H1: korelacja jest od zera różna r 0 Zbudujmy modele odzwierciedlające te założenia w AMOS z dostępnymi danymi zaczynając zupełnie od początku Rysowanie modelu w AMOS Z paska narzędzi wybieramy ikonę Wybierz zbiór danych (Select data file(s)) otwierającą menadżera kontroli zbioru danych. Ryc. 5 W otwartym oknie wybieramy przycisk Nazwa pliku (File Name) i wyszukujemy plik w oknie eksploratora 8

9 Ryc. 6 Warto zauważyć, że do AMOS można wczytać dane z plików o różnych formatach, w tym oczywiście w formacie SPSS, ale również Excel, SAS i inne. Wystarczy jedynie wybrać odpowiedni typ pliku w rozwijalnej liście Ryc. 7 Do naszego zadania wybieramy plik DANE.XLS, który jest zapisany w formacie Excel 8.0. Taki więc musimy wybrać typ pliku oraz sam plik. Ryc. 8 9

10 Gdy wybierzemy ten plik AMOS spyta, w którym arkuszu znajdują się dane wybierzmy dane w postaci szczegółowej (tzw. Row data) znajdujące się w arkuszu DANE. Po wczytaniu danych do AMOS można przystąpić do tworzenia modelu. Najłatwiej jest skorzystać z narzędzia do wprowadzania zmiennych wybierając ikonę Zmienne w zbiorze danych (Variables In dataset) Ryc. 9a znajdującą się w pasku zadań po prawej stronie, otworzy ona okno zawierające listę zmiennych (tzw. Manifest variables) w zbiorze danych. Ryc. 10 Teraz wystarczy jedynie przeciągnąć (trzymając przyciśnięty lewy klawisz myszy) zmienną z owego okna do obszaru roboczego w AMOS, 10

11 Ryc. 11 Poprawmy graficznie wymuśmy wyrównanie w poziomie i jednakowy kształt i wielkość obu zmiennych. AMOS posiada bardzo przydatne w tym zakresie narzędzie Przeciągnij właściwości z obiektu na obiekt (Drag properties from object to object). Ryc. 12 Po jego uruchomieniu pojawia się okno właściwości, które chcemy, aby jeden obiekt skopiował od innego. 11

12 Ryc. 13 Możemy kopiować wysokość i szerokość, rozmiar czcionki, kolor i inne własności. W naszym przypadku (i tak zapewne jest najczęściej) chcemy skopiować oba wymiary oraz współrzędną Y. Gdy zaznaczymy te właściwości i przeciągniemy od zmiennej FAKTOR1 do zmiennej FAKTOR2 jej rozmiar i pozycja zmienią się zgodnie z naszymi oczekiwaniami. Przemieszczać obiekty w polu roboczym możemy również używając do tego narzędzia Przenieś obiekty (Move objects), a zmieniać ich rozmiar za pomocą narzędzia Zmień kształt (Change shape of objects). Wybierając kliknięciem lewego klawisza jedno z tych narzędzi możemy przeciągać (w pierwszym przypadku) lub rozciągać (w drugim) wskazane myszą obiekty. Teraz musimy wskazać, że obie zmienne są wzajemnie skorelowane, służy do tego dwugłowa strzałka. Wybierając tę ikonę z paska narzędzi możemy rysować kowariancje (a kowariancja jest niewystandaryzowaną korelacją ) przeciągając myszą (z przyciśniętym lewym klawiszem) od jednej do drugiej zmiennej. 12

13 Ryc. 14 Należy pamiętać, że chcieliśmy zweryfikować hipotezę, że nasza korelacja jest niezerowa. Wymuszamy zatem na AMOS-ie, aby wyliczał korelacje i dokonał dwóch założeń: (a) że korelacja jest zerowa, co zakłada H0,oraz (b) że korelacje nie jest zerowa, co zakłada H1. Aby ustawić oczekiwane przez nas parametry, tzn. wymusić określone wartości (tzw. Constrains) kliknijmy prawym klawiszem na ten element, który chcemy ustalić i wybieramy polecenie Właściwości obiektu (Object properties). Np. klikamy na naszą dwugłową strzałkę. 13

14 Ryc. 15 W otwartym oknie wybieramy zakładkę Parametry (Parameters) i w pole kowariancja (Covariance) możemy wpisać dowolną wartość liczbową lub symbol. Wpisanie liczby (np. 0) będzie nakazywało programowi takie dopasowanie modelu, aby kowariancja miała właśnie taką wartość. Wpisanie symbolu innego niż liczba będzie mówiło programowi, aby szukał tego symbolu w innych ustawieniach i założeniach analizy. Jest to bardzo wygodne, ponieważ pozwala na wskazanie, aby program przetestował więcej niż jedną wartość tego parametru. W naszym przykładzie wpiszmy zatem literę C dla kowariancji. Chcemy bowiem, aby program policzył trafność modelu dla kowariancji równej 0 oraz kowariancji od zera różnej. Teraz z menu Analiza (Analyze) wybieramy Menadżera modeli (Manage models) i otwieramy okno pozwalające zdefiniować wiele testowanych modeli (tzw. Modeli zagnieżdżonych, nested models). 14

15 Ryc. 16 A więc w pierwszym modelu (będzie testował hipotezę zerową) chcemy, żeby kowariancja między zmiennymi (nazwaliśmy ją C) była równa zero. A więc w polu nazwa modelu wpiszmy przyjazną nam nazwę, np. Zerowa korelacja, natomiast w polu Parametry (Parameter constrains) wpiszmy, że C=0. Ryc. 17 Następnie kliknijmy przycisk Nowy (New) w dole okna i stwórzmy również model dla hipotezy alternatywnej. Hipoteza ta nie miała żadnych założeń możemy zatem nadać jedynie modelowi nazwę, nie musimy definiować żadnych parametrów. 15

16 INastępnie wskażmy parametry do analizy. Zazwyczaj domyślne ustawienia nie są wystarczające. Wybierzmy narzędzie Właściwości analizy (Analyse properties) i w otwartym oknie wybrać: W zakładce Estymacja (Estimation) jedną z metod oszacowania, zwykle jest to Największa wiarygodność (Maximum likelihood) lub Uogólnione najmniejsze kwadraty (Generalised Least Squares). W Amosie dostępnych jest 5 metod estymacji. Metoda Największej Wiarygodności, Uogólniona Metoda Najmniejszych Kwadratów, Nieważona Metoda Najmniejszych Kwadratów, Wolna od Skali Metoda Najmniejszych Kwadratów i metoda Asymptotycznie Wolna od Rozkładu. Najczęściej stosowana jest Metoda Największej Wiarygodności, która wymaga jednak spełnienia założenia o wielowymiarowym rozkładzie normalnym, którego dla zmiennych porządkowych, będących ocenami zwykle nie da się utrzymać, ze względu na skośność. Metoda Uogólnionych Najmniejszych Kwadratów jest drugą, co do popularności. Również wymaga wielowymiarowego rozkładu normalnego, ale jeśli wielkość próby jest dostatecznie duża (> 2500), estymatory mają pożądane własności. Z drugiej strony zawyża ona ocenę jakości modelu w przypadku złej jego specyfikacji, w stosunku do MNW. Pozostałe dwie metody oparte na MNK również zakładają rozkład normalny. Metoda Asymptotycznie Wolna od Rozkładu (AWR) nie wymaga żadnych założeń, co do rozkładu, jedynie dużych prób. Jeśli w danych są braki (puste obserwacje) wskażmy również opcję Oszacuj średnie i wariancje (Estimate means and intercepts), aby AMOS mógł przeprowadzić stabilną analizę (wówczas jedynie możliwa jest metoda największej wiarygodności, AMOS nie potrafi poradzić sobie z problemem braku danych przy innej metodzie estymacji. 16

17 Ryc. 18 W zakładce Numerycznie (Numerical) warto zmienić dopuszczalną liczbę iteracji na co najmniej 500, wówczas znacznie rzadziej zdarzy się sytuacja niewystarczającego oszacowania modelu, Czasem konieczne może okazać się zaznaczenie opcji Spróbuj dopasować model niedoidentyfikowany (try to fit unidentified models) oraz Zezwól na nie-dodatnie wyznaczniki macierzy kowariancji (Allow non-positive sample covariance matrices). Te opcje zmieniają postać równań i estymatorów, dzięki czemu możliwe jest zredukowanie problemu niedoidentyfikowania modelu (braku wystarczającej liczby zmiennych jawnych w stosunku do analizowanych zależności i innych parametrów) oraz problemu źle uwarunkowanych macierzy (wynikającego najczęściej ze zbyt małej liczebności próby). Czasem warto jest również rozpatrzeć wprowadzenie kilku (zazwyczaj mniej niż 25) iteracji Gausa-Newtona, które pozwalają zredukować nieliniowy szum w danych i przyspieszają znacznie oszacowanie typu największej wiarygodności. 17

18 Ryc. 19 W zakładce Raport (Output) możemy wybrać wskaźniki, które chcemy oszacować i interpretować. Często chcemy uwidocznić współczynniki standaryzowane (np. korelacje lub ładunki czynnikowe, czy wagi regresji, tzw. beta), bardzo przydatny jest Test normalności i obserwacji odstających (Test for normality and outliers), w szczególnych sytuacjach warto rozważyć również pozostałe wydruki. Ryc

19 W zakładce Bootstrap (Bootstrap) możemy wskazać, czy chcemy oszacować trafność naszego modelu i jego parametry w symulacjach typu bootstrap. Jeśli tak, zaznaczmy Przeprowadź test bootstrap (Perform bootstrap) i wskażmy liczbę powtórzeń bootstrap (domyślnie jest to 200, choć zwyczajowo jest to 1000, a nawet 10 tysięcy). Możemy jeszcze zażądać od AMOS oszacowania przedziałów ufności metodą percentylową i metodą typu bias-corrected interwal. Bootstrap jest metodą zalecaną dla oszacowania parametrów przy niewystarczająco licznych próbach oraz przy braku spełnienia niektórych kryteriów (np. normalności rozkładu zmiennych). Ryc. 21 Została zdefiniowana analiza wymuszająca na AMOS oszacowania dwóch modeli, w których testowana jest kowariancja między dwiema zmiennymi jawnymi, przy czym w modelu pierwszym kowariancja ta ma wynosić zero, w drugim powinna być od zera różna. Jako, że wolimy nasze dane interpretować w kategoriach korelacji, wymusiliśmy raportowanie wskaźników standaryzowanych oraz nie mając pewności co do spełnienia przez dane założeń wymusiliśmy serię eksperymentów typu bootstrap dla oszacowania przedziałów ufności. Pozostaje jedynie uruchomić analizę i przejrzeć wyniki. Zatem wybierzmy narzędzie do uruchomienia analizy klikając ikonę lewej. na pasku zadań po 19

20 Ryc Przeglądanie wyników analizy Gdy wyniki analizy są już gotowe, możemy przejść do przejrzenia jej wyników zacznijmy od obejrzenia Diagramu wynikowego (Output diagram), klikając na ikonę w lewej górnej części ekranu (jak wskazano na rycinie powyżej. Wówczas możemy zobaczyć wyniki wstępne naszej analizy 20

21 Ryc. 23 UWAGA nie pasuje to co jest na rysunki z treścią np. wariancje na rysunku i w treści Też kowariancja jak i korelacja, Wybierając model Skorelowane faktory testujący hipotezę alternatywną przy włączonej opcji Współczynniki niestandaryzowane możemy zobaczyć, że wariancja zmiennej FAKTOR1 wynosi 12,36, a zmiennej FAKTOR2 wynosi 9,78, natomiast ich kowariancja wynosi 1,80. Sprawdźmy, jaka to jest korelacja zmieńmy opcję widoku na Współczynniki standaryzowane. Wynik okaże się nieco odmienny. 21

22 Ryc. 24 Możemy zobaczyć, że współczynnik korelacji wynosi 0,16, natomiast nie są widoczne wariancje obu zmiennych, ponieważ w postaci standaryzowanej wariancje dowolnych zmiennych są zawsze równe 1. Kliknijmy zatem na model Zero korelacji testujący hipotezę zerową. Miał on zakładać, że między obu zmiennymi nie ma korelacji. Ryc

23 Widać, że kowariancja (a co za tym idzie i korelacja) jest równa 0, co jest zgodne z naszymi założeniami, gdy wybierzemy opcję Współczynniki niestandaryzowane możemy również obejrzeć wariancje obu czynników, które zostały oszacowane tak, jak przy poprzedniej korelacji na 12,36 dla FAKTOR1 i 9,78 dla FAKTOR2. Obejrzyjmy jednak szczegółowo oszacowane wyniki klikając ikonę (View text), aby otworzyć raport, Pokaż wyniki Ryc. 26 Wybierzmy zatem Informacje o grupie (Notes for group) ze spisu treści. Są tam ważne informacje o spełnieniu przez model kilku ważnych warunków, w tym liczebności oraz nierekursywności. Ryc. 27 Model rekursywny to taki, w którym zmienna może wpływać na samą siebie, tzn. idąc zgodnie z kierunkiem wyznaczanym przez strzałki łączące zmienne można wrócić od jednej lub więcej zmiennych do punktu wyjścia. Wydaje się, że to czasem może być 23

24 słuszne założenie (np. w małżeństwie mąż wpływa na żonę, ale ona na niego również, a więc poprzez niego wpływa na samą siebie ), niestety matematycznie bywa to bardzo skomplikowane i w zasadzie dopuszczalne jest jedynie w postaci kowariancji. W naszym przypadku tak właśnie jest. Przejdźmy zatem kontrolnie do podsumowania zmiennych, gdzie wypisane są wszystkie zmienne jawne, latentne, egzogeniczne i endogeniczne w naszym modelu. Ryc. 28 Zmienne jawne to zmienne, które wprowadzamy do AMOSA w postaci danych. Pojęcie zmiennej latentnej będzie omówiony później. Zmienne egzogeniczne można utożsamiać ze zmienną niezależną są one przyczyną w jakimś związku przyczynowo-skutkowym, natomiast zmienne endogeniczne są tymi, które w testowanym modelu nie pełnią (w ogóle lub wyłącznie) roli zmiennych niezależnych. Mogą być przyczyną w jednej lub większej liczbie relacji, natomiast w co najmniej jednej relacji są skutkiem (inna zmienna egzogeniczna lub endogeniczna jest przyczyną). Widzimy zatem, że w naszym modelu są wyłącznie zmienne obserwowane i egzogeniczne w liczbie 2. Zgodnie z założeniami. W tak prostym modelu wydaje się to trywialne ale w modelach bardziej złożonych lub tak złożonych, że nie dają się narysować, takie podsumowanie ma ważną funkcję kontrolną. AMOS sprawdza założenia normalności zmiennych skośność i kurtozę rozkładów oraz przeprowadza test istotności dla skośności i kurtozy. 24

25 Ryc. 29 C.R. (Critical Ratio) jest statystyką o rozkładzie zbliżonym do normalnego dla testu hipotezy, że skośność lub kurtoza (odpowiednio) są równe zero. Można zatem sądzić, że C.R>1,96 oznacza istotną statystycznie skośność lub kurtozę. Jednak ten test dla próby o liczebności ponad 100 osób wydaje się obciążony zbyt dużym błędem II rodzaju. Najczęściej za normalne uznajemy rozkłady zmiennych o skośności w przedziale -0,7 do +0,7 i kurtozie w przedziale -0,5 do +0,5. Ryc. 30 Warto przejrzeć również zakładkę Informacje dla modelu (Notes for model), aby zobaczyć, czy nasz model jest doidentyfikowany. Model doidentyfikowany to model, w którym jest (w uproszczeniu) mniej niewiadomych (parametrów do oszacowania) niż wiadomych (zmiennych jawnych). Model niedoidentyfikowany gdy parametrów do oszacowania jest więcej niż dostarczonych danych, co może skutkować więcej niż jednym poprawnym rozwiązaniem. W praktyce model doidentyfikowany to model, który ma dodatnią liczbę stopni swobody. Warto zwrócić uwagę, że podsumowanie to jest przedstawione oddzielnie dla każdego z testowanych modeli (u nas dwóch). 25

26 Ryc. 31 Jeden z naszych modeli (Faktory skorelowane) jest co najwyżej identyfikowalny (saturated lub just identified), tzn. ma zerową liczbę stopni swobody. Dla takiego modelu nie mogą być obliczone wszystkie wskaźniki, np. wskaźniki trafności, na szczęście te nie interesują nas w tej sytuacji. O wskaźnikach dopasowania w dalszej części tego przykładu. Tymczasem przejrzyjmy oceny parametrów oszacowanych w poszczególnych modelach. Wybierzmy Oszacowania (Estimates), w nich Skalary (Scalars). Na liście można wybrać kowariancje, korelacje i wariancje. W innych modelach, gdy będziemy zakładali zależności przyczynowo-skutkowe dostępne będą również współczynniki regresji. Koniecznie należy zwrócić uwagę, że oszacowania poszczególnych parametrów są odmienne dla różnych testowanych przez nas modeli. A więc, gdy wskażemy na model zakładający skorelowanie faktorów, to otrzymamy następujący wynik. 26

27 Ryc. 32 W tabeli kowariancji widzimy jedną zaledwie zależność (bo ta była jedynie testowana) między FAKTOR1 a FAKTOR2, oznaczoną dwukierunkową strzałką a więc jest to zależność o charakterze korelacyjnym. Kowariancja ta wynosi 1,276 z błędem standardowym 0,447, co w klasycznej statystyce gausowskiej oznacza współzależność istotną statystycznie z p<0,004. Warto jeszcze zwrócić uwagę na błąd standardowy owej kowariancji, który wynosi 0,447, co zostało obliczone przy klasycznych założeniach statystyki gausowskiej, które nie zawsze są w pełni spełnione w naszych danych. Stąd też warto czasem spojrzeć na wyniki oszacowań błędu standardowego i przedziały istotności oszacowań bootstrap. Wskażmy kowariancje na liście skalarów w spisie treści po prawej (bo błąd standardowy tego parametru chcemy ocenić metodą bootstrap) a następnie wskażmy błędy standardowe bootstrap. 27

28 Ryc. 33 Wynik jest bardzo zbliżony do wyniku uzyskanego w ocenie statystycznej, S.E.=0.401 jest bardzo zbliżone do S.E.=0,447 jednakże o około 10% niższe, a to może oznaczać, że prawdziwa istotność korelacji jest wyższa niż to wynika z klasycznej analizy statystycznej. Zerknijmy więc na oszacowania przedziałów ufności dla kowariancji (lub korelacji) pokazujących wielkość i istotność oszacowanej zależności. Ryc. 34 W niniejszym badaniu 95% przedział bootstrapowy dla korelacji mieści się od 0,064 do 0,221, a poziom istotności dla ocenianej zależności jest dwakroć większy niż to wynika z klasycznego testu istotności. 28

29 W przypadku, gdy dane nie mają rozkładu normalnego i/lub wielkość próby nie jest zadowalająca można posłużyć się bootstrapem. Bootstrap polega na wielokrotnym losowaniu ze zwracaniem prób wielkości próby wyjściowej z próby wyjściowej. Tzn., że wyniki analizy bootstrap zostały uzyskane za pomocą badania nie jednej, lecz wielu prób pochodzących z tej samej populacji o charakterystyce zgodnej z charakterystyką pierwotnej (badanej rzeczywiście) próby. Dzięki temu możemy (do pewnych granic) rozluźnić klasyczne założenia statystyki gausowskiej (np. rozluźnić założenie o normalności rozkładu, czy liczebności próby). Bootstrap jednak nie pozwala w pełni rozluźnić założenie o braku obserwacji odstających (tzw. outlierów), czy nieliniowym charakterze zależności. Przy okazji spójrzmy, że oszacowania bootstrap, czy jakiekolwiek oszacowania korelacji lub wariancji dla modelu zakładającego zerową korelację nie mają sensu, ponieważ sam estymator, jak i jego błędy standardowe zawsze wynoszą zero tak było to założone. I wreszcie najbardziej wyrafinowany z testów postawionej hipotezy o istotności korelacji między obu faktorami. Nie jest to w tym akurat konkretnie przykładzie test najbardziej konieczny, jednakże w bardziej złożonych modelach często jest niezbędny. Porównanie dopasowania modeli testujących hipotezę zerową i alternatywną można przeprowadzić za pomocą opcji Porównanie modeli (Model Comparison) w spisie treści. Jest to dość wyrafinowany sposób porównywania modeli zagnieżdżonych (nested models). Pozwala na porównywanie ze sobą dwóch lub więcej (jednakże wówczas porównywane są one parami) modeli, które mają zbliżoną strukturę (są zagnieżdżone w sobie), ale różnią się szczegółowymi założeniami. Modele zagnieżdżone to takie, które różnią się liczbą oszacowywanych parametrów. Najbardziej klasycznym przykładem modeli zagnieżdżonych są te, gdzie w jednym modelu zakłada się istnienie dowolnej zależności (np. korelacji) między analizowanymi zmiennymi, natomiast w drugim z nich przyjmuje się założenie co do konkretnej wielkości tych zależności. Innymi słowy, modele zagnieżdżone zawsze a) zawierają te same zmienne (jawne i latentne) oraz b) zawierają dodatkowe parametry albo nie zawierają jednego lub więcej parametru. Nie jest możliwe, aby modele zagnieżdżone posiadały inną pulę zmiennych lub nie jest możliwe jednoczesne dodawanie i odejmowanie parametrów. Przykłady modeli zagnieżdżonych i niezagnieżdżonych przedstawione na poniższej rycinie. 29

30 Ryc. 35 Model B jest zagnieżdżony w modelu A, ponieważ posiada dodatkowe parametry zależność między X1 i Y1 oraz X2 i Y2, które nie były widoczne w modelu A. Podobnie model D można również uznać za zagnieżdżony w modelu A, ponieważ posiada dodatkowy parametr kowariancję między zmiennymi X1 i X2, której nie było w modelu A. Natomiast model C nie jest zagnieżdżony w modelu A. Posiada on dodatkową kowariancję między zmiennymi X1 i X2, natomiast nie posiada zależności między X2 i Y1, która była obecna w modelu A. Jeden parametr został w nim dodany, a jeden usunięty. Jednocześnie bardzo interesujący jest model D. Można go uznać za zagnieżdżony w modelu A oraz C. posiada on dodatkowe względem obu tych modeli parametry, i można uznać go za zagnieżdżony w obu modelach A i C mimo, że modele A i C nie były w sobie zagnieżdżone. Przechodząc do wyników przeprowadzonej analizy testowanych modeli, to można je uznać za zagnieżdżone różnią się one jedynie jednym parametrem, tzn. w modelu z zerową korelacją (testującym hipotezę zerową) założona jest konkretna (wynosi zero) wartość tej kowariancji. 30

31 Ryc. 36 Wyniki porównania pokazują, że model z założonymi zerowymi korelacjami jest istotnie gorzej dopasowany do danych niż model z założeniem istnienia niezerowych korelacji między faktorami ( χ 2 =8,328; p<0,004). A ponadto różnica ta jest znaczna lub bardzo znaczna, na co wskazują wartości zmiany NFI i TFI większe od 0,7. Można więc powiedzieć, że korelacja między FAKTOR1 i FAKTOR2 jest statystycznie istotna i niezerowa. Podsumowując, w przytoczonym przykładzie przeprowadziliśmy na wiele sposobów test jednej hipotezy mówiącej, że korelacja między obu zmiennymi (FAKTOR1 i FAKTOR2) jest statystycznie istotna. Pierwszy test (podstawowy) wskazał, że w ujęciu klasycznej statystyki gaussowskiej współczynnik korelacji (de facto kowariancji) jest statystycznie różny od zera. W drugim teście oszacowaliśmy 95% przedział ufności dla współczynnika korelacji w estymacji typu bootstrap, a przedział ten nie zawierał wartości zero. W inny więc sposób udowodniono tę samą hipotezę o istotności (niezerowości) korelacji. I trzeci 31