PODSTAWY FIZYKI PÓŁPRZEWODNIKÓW

Transkrypt

1 PODSTAWY FIZYKI PÓŁPRZEWODNIKÓW Półprzewodnikami nazywamy materiały, które w temperaturze zera bezwzględnego mają całkowicie obsadzone pasmo walencyjne i całkowicie puste pasmo przewodnictwa, a szerokość pasma zabronionego nie przekracza ev. Pod wpływem wzbudzeń termicznyc część elektronów uzyskuje wystarczającą energię do pokonania przerwy energetycznej i przecodzi do pasma przewodnictwa, gdzie stają się swobodnymi nośnikami prądu. Jednocześnie w paśmie walencyjnym powstają dziury. W półprzewodnikac występują dwa rodzaje nośników: elektrony i dziury, stąd przy przepływie prądu mówimy o przewodnictwie elektronowym i dziurowym. Konduktywność półprzewodników zmienia się w przedziale od 10 8 do 10 6 (Ωcm) 1.

2 Wartość E g wzrasta w każdym okresie przy przejściu do pierwiastka o większej liczbie atomowej Z. Maleje natomiast w każdej grupie przy przejściu do pierwiastków o większym Z. Jest to uwarunkowane strukturą zewnętrznyc powłok elektronowyc atomów. Przecodząc w danej grupie z góry na dół spotykamy atomy, które mają wypełnione powłoki o większej wartości głównej liczby kwantowej n. Jednocześnie ze wzrostem n występuje większe oddziaływanie sąsiednic atomów, co w efekcie daje szerokie pasmo powstałe z rozszczepienia takiego poziomu. Odpowiada to mniejszej przerwie energetycznej. Grupa II III IV V VI VII Okres II B C III Si P S IV Ge As Se V Sn Sb Te J VI Rys Rozmieszczenie półprzewodników w układzie okresowym pierwiastków. Obok symbolu pierwiastka podano wartość przerwy energetycznej w ev.

3 Tabela 17.1 Wartości szerokości przerw energetycznyc niektóryc półprzewodników Półprzewodnik E g w 00 K (ev) Pierwiastki Si 1.1 Ge 0.67 Diament 5.0 α-sn 0.08 Związki A III B V GaAs GaP InAs InSb GaN CdS CdSe CdTe ZnTe Związki A II B VI Największe znaczenie jako materiał półprzewodnikowy ma krzem. Półprzewodnikami są także liczne związki cemiczne grupa A III B V ; np. GaAs, GaP, grupa A II B VI : CdS, ZnO, kryształy mieszane: np. Ge x Si 1 x czy Hg 1 x Cd x Te (x - skład molowy). Do półprzewodników należą także liczne związki organiczne. Ze względu na właściwości fizyczne półprzewodniki dzieli się na samoistne i domieszkowane.

4 17.1. Półprzewodniki samoistne W półprzewodnikac samoistnyc w warunkac równowagi termodynamicznej, elektrony w paśmie przewodnictwa pojawiają się wyłącznie wskutek wzbudzenia z pasma walencyjnego. Stąd koncentracje elektronów i dziur są jednakowe i równe koncentracji samoistnej n i n = p = (17.1) Idealny półprzewodnik samoistny carakteryzuje się doskonałą strukturą sieci krystalicznej, nie zawiera więc obcyc atomów (zanieczyszczeń i domieszek) ani też innyc defektów strukturalnyc. Dla większości półprzewodników koncentracja elektronów przewodnictwa jest mała w porównaniu z liczbą stanów w paśmie przewodnictwa i dlatego funkcja rozkładu Fermiego-Diraca f(e) [zob. wzór (15.8)] jest znacznie mniejsza od jedności. Możemy wówczas zapisać dla elektronów f e 1 E E exp kt F ( E) = exp F + 1 n i E E kt (17.) Funkcja rozkładu Fermiego-Diraca została zastąpiona przez funkcję rozkładu Boltzmana co oznacza, że gaz elektronowy w półprzewodnikac jest gazem niezwyrodniałym. Warunek (17.) będzie spełniony tylko wówczas, jeżeli (E E F ) jest znacznie większe od kt.

5 n = p = g E f E de Rys Scematyczne przedstawienie modelu półprzewodnika samoistnego. Pasmo walencyjne i pasmo przewodnictwa w 0 K (a) i T > 0 (b). Funkcje gęstości stanów (c), funkcje rozkładu (d) oraz koncentracja nośników (e).

6 Koncentracja elektronów w przedziale energii od E do E+dE dana jest zależnością (zob. pkt 15.5.) gdzie g e (E) jest gęstością stanów dla elektronów. ( E) f ( E)dE dn = g (17.) e Całkowitą liczbę elektronów w jednostce objętości otrzymamy całkując wyrażenie (17.) po całej szerokości pasma przewodnictwa e n = 4π 1 ( me ) ( E E ) E c c 1 exp E kt E F de (17.4) m jest masą efektywną elektronu. Podstawiając x [( E E ) kt ] 1 e gdzie sprowadzić do całki Wykonując proste przekształcenia otrzymujemy n = π e x dx = 0 Ec EF Ec EF ( m kt ) exp = N exp =, całkę (17.4) można π e c (17.5) kt kt c

7 Wielkość N c ( m kt ) nazywamy efektywną gęstością stanów w paśmie przewodnictwa. Podstawiając stałe występujące we wzorze (17.6) mamy: N c = = π e (17.6) m m m m π (17.7) 1 ( mk) e e T = T gdzie m oznacza masę elektronu swobodnego, a N c jest wyrażone w m.

8 Funkcja rozkładu dla dziur f (E) wyraża się wzorem Podobnie jak w przypadku elektronów f ( E) 1 f ( E) = 1 fe ( E) = (17.8) ( EF E) exp + 1 kt = exp ( E E) F 1 kt EF E = exp + kt 1 otrzymujemy wyrażenie na koncentrację dziur w paśmie walencyjnym (17.9) p = 0 g ( ) ( E) f ( E) de = ( E) 4π m 0 1 exp E F E kt de (17.10) gdzie m jest masą efektywną dziury. Od wierzcołka pasma walencyjnego w dół, energia przyjmuje wartości ujemne (rys. 17.). Postępując podobnie jak przy wyprowadzeniu wyrażenia (17.5), otrzymujemy: p E E ( m kt ) e F kt = N exp F = π v (17.11) kt

9 Wielkość N v jest efektywną gęstością stanów w paśmie walencyjnym. Liczbowo N v wynosi N v = m m m m 1 ( mk) T = T π [m ] (17.1) Mnożąc przez siebie wyrażenia na koncentrację elektronów (17.5) i dziur (17.11) mamy Ponieważ E c = E g E = c np Nv Nc exp kt Eg np = N Nc exp kt v (17.1) Iloczyn np jest taki sam dla półprzewodnika samoistnego jak i domieszkowanego. Ponieważ dla półprzewodnika samoistnego n = p = n i, więc z wzoru (17.1) otrzymujemy ostatecznie wyrażenie na koncentrację nośników w półprzewodniku samoistnym n i ( πkt ) Eg ( ) mem exp kt = 4 (17.14) W temperaturze pokojowej koncentracja nośników jest bardzo mała w porównaniu z koncentracją atomów. Np., w krzemie w T = 00 K na jeden swobodny nośnik przypada 10 1 atomów. Dla porównania, w metalac koncentracje swobodnyc elektronów i koncentracje atomów są porównywalne.

10 Tabela 17.. Podstawowe parametry niektóryc półprzewodników w T = 00 K Parametr Si Ge GaAs InSb Koncentracja atomów lub molekuł [m ] Stała sieci krystalicznej [nm] Gęstość [kg/m ] Temperatura topnienia [ C] Szerokość przerwy energetycznej [ev] Efektywna gęstość stanów: N c [m ] N v {m ] Koncentracja samoistna [m ] Rucliwość nośników półprzewodnika samoistnego [m /Vs]: elektronów dziur Względna przenikalność dielektryczna

11 Tabela 17.. Zależność koncentracji samoistnej od temperatury T [K] n i [m ] Si Ge GaAs Z porównania wzorów (17.5) i (17.11) możemy obliczyć położenie poziomu Fermiego E F = E g + 4 m kt ln m e (17.15) W temperaturze 0 K poziom Fermiego przypada dokładnie w środku przerwy energetycznej i nie zmienia się ze zmianą temperatury, o ile m e = m. Jeżeli natomiast masy efektywne są różne, to poziom Fermiego przesuwa się przy wzroście temperatury w kierunku pasma, któremu odpowiada mniejsza masa efektywna.

12 17.. Półprzewodniki domieszkowe Jeżeli pięciowartościowy atom As zastąpi w sieci atom Ge, to cztery z pięciu elektronów walencyjnyc biorą udział w wiązaniu (rys. 17.). Pozostały piąty elektron nie uczestniczy w wiązaniu i jest związany z dodatnim polem domieszki siłami kulombowskimi. Siły te są jednak bardzo osłabione wpływem przenikalności dielektrycznej ε (dla Ge ε = 16 i E j jest 56 razy mniejsza niż E j atomu swobodnego i wynosi setne części elektronowolta). Rys Półprzewodnik typu n. Część atomów Ge zostaje zastąpiona przez pięciowartościowe atomy domieszki As: (a) w 0 K atom domieszki jest niezjonizowany, piąty elektron nie biorący udziału w wiązaniu ma energię wiązania wynoszącą setne części elektronowolta, a promień odbity - kilkadziesiąt Å; (b) w T > 0K następuje jonizacja atomów domieszki i powstanie swobodnyc elektronów, (c) położenie poziomu donorowego E d.

13 Większe wartości energii jonizacji domieszek w krzemie są uwarunkowane mniejszą wartością przenikliwości dielektrycznej (ε = 11.7). Pewien wpływ na energię jonizacji mają również wartości mas efektywnyc. Tabela Energia jonizacji domieszek pięciowartościowyc w Si i Ge Domieszka Si E i [ev] Ge P As Sb Tabela Energia jonizacji domieszek trójwartościowyc w Si i Ge Domieszka Si E a [ev] B Al Ga Ge

14 Kiedy w sieci germanu znajduje się atom trójwartościowy, np. ind (rys. 17.4), jedno z wiązań pozostaje niewysycone, gdyż atom taki ma o jeden elektron mniej niż atom germanu. Wiązanie to może być uzupełnione dowolnym elektronem z innego germanu. Przejście takie wymaga bardzo małej ilości energii. Rys Półprzewodnik typu p. Część atomów germanu zostaje zastąpiona przez trójwartościowe atomy domieszki In: (a) w temperaturze 0 K atom domieszki ma czwarte wiązanie niewysycone; (b) w temperaturze T > 0 K następuje wysycenie wiązania atomu domieszki i jednoczesne pojawienie się dziury; (c) położenie poziomu akceptorowego E a.

15 Elektron, który wysyca wiązanie w atomie domieszki, zostawia jednocześnie dziurę w tym węźle. Miejsce to może zająć nowy elektron. W rezultacie takic procesów, dziura będzie przesuwać się w kierunku przeciwnym względem rucu elektronu. W ujęciu struktury pasmowej oznacza to pojawienie się dziury w paśmie walencyjnym. Jednocześnie elektrony związane z atomami domieszki tracą możliwość przemieszczania się. Domieszki tego typu nazywamy akceptorowymi, a wnoszone poziomy poziomami akceptorowymi. Typowe wartości koncentracji domieszek wynoszą m. E c E Niektóre domieszki w półprzewodnikac powodują powstawanie poziomów domieszkowyc położonyc daleko od granicy pasm energetycznyc. Poziomy takie noszą nazwę głębokic. E 0.67 ev 0.46 ev 0. ev 0.04 ev E 1 E v Rys Poziomy domieszkowe w germanie

16 17.4. Rucliwość nośników w półprzewodnikac Rucliwość nośników μ definiujemy jako stosunek prędkości unoszenia (dryfu) v d do natężenia zewnętrznego pola elektrycznego E v d μ = (17.4) E Elektrony doznają zderzeń z fononami i domieszkami sieci co powoduje ustalenie się pewnego stanu równowagi, który carakteryzuje się ustaloną prędkością unoszenia. Można wykazać, że e = m l μ (17.5) v gdzie m, <l> i <v> oznaczają odpowiednio oznaczono masę, średnią drogę swobodną i średnią prędkość nośników. Z prawa Oma Dla elektronów r j r = σe σ e = enμ e (17.51)

17 Podobnie dla dziur σ = epμ (17.5) Wartość średniej drogi swobodnej uwarunkowana jest mecanizmami rozpraszania. W półprzewodnikac o szerszej przerwie energetycznej dominują dwa mecanizmy rozpraszania: rozpraszanie na fononac: odgrywa decydującą rolę w temperaturac powyżej K, kiedy koncentracja fononów jest duża, rozpraszanie na zjonizowanyc domieszkac dominuje w temperaturac niskic. Dla rozpraszania na fononac Dla rozpraszania na domieszkac μ ~ T (17.57) μ ~ T (17.58) W półprzewodnikac niezwyrodniałyc ze wzrostem temperatury rucliwość wzrasta proporcjonalnie do T /, następnie przecodzi przez maksimum i zmniejsza się proporcjonalnie do T /.

18 100 μ~t -/ N=10 d m Rucliwość Rozpraszanie na domieszkac N d Rozpraszanie na fononac μ~t /, μ~t -/ N>N d d μ (m /Vs) Temperatura Rys Teoretyczna zależność rucliwości nośników od temperatury w półprzewodniku domieszkowym T (K) Rys Zależność rucliwości elektronów od temperatury w germanie przy różnyc koncentracjac domieszki donorowej. Ze wzrostem koncentracji domieszek rucliwość nośników maleje, a maksimum rucliwości przesuwa się w kierunku wyższyc temperatur.

19 10 v (10 m/s) 4 d x10 6 E (V/m) Rys Zależność prędkości dryfu elektronów (1) i dziur () w krzemie w zależności od natężenia pola elektrycznego. Jeżeli natężenie pola jest duże, nośniki uzyskują prędkości unoszenia porównywalne z prędkościami w rucu caotycznym. Wzrost prędkości nośników powoduje, że częściej występują zderzenia z defektami sieci, co w efekcie prowadzi do zmniejszenia prędkości dryfu.

20 Tabela 17.. Eksperymentalne wartości rucliwości elektronów i dziur. Półprzewodnik μ e (m /Vs) μ (m /Vs) n 77K 00K 77K 00K elektrony dziury GaAs Ge InSb Si Rucliwość elektronów jest na ogół większa niż rucliwość dziur, co jest spowodowane głównie większą masą efektywną dziur.

21 17.5. Przewodnictwo elektryczne półprzewodników Konduktywność wyraża się wzorem: ( nμ pμ ) σ e + = (17.59) e gdzie n, μ e, p, μ są odpowiednio koncentracjami i rucliwościami elektronów i dziur. Półprzewodniki samoistne W tym przypadku n = p = ni i konduktywność wynosi gdzie n i n i ( μ μ ) σ e + = (17.60) = 4 e g ( π kt ) ( memn ) exp kt Rucliwość nośników, z wyjątkiem temperatur bardzo niskic (<100K), jest w przybliżeniu proporcjonalna do T /. Dzięki temu zależność potęgowa od temperatury upraszcza się tak, że wzór (17.60) może być zapisany w postaci Eg = σ o exp kt gdzie σ o jest dla danego półprzewodnika wartością stałą. E σ (17.61)

22 Zależność (17.61) wygodnie jest przedstawić w skali półlogarytmicznej Eg lnσ = lnσ o (17.6) kt T (K) ( m) -1 σ Ω Si Ge /T (K ) Rys Zależność konduktywności od temperatury dla czystego germanu i krzemu.

23 Konduktywność półprzewodników bardzo szybko zmienia się z temperaturą, przy czym zmiany te są uwarunkowane zmianami koncentracji nośników. Jest to dość istotna różnica pomiędzy półprzewodnikami a metalami. W metalac koncentracja nośników jest stała, a temperaturowa zależność σ jest spowodowana tylko temperaturową zależnością rucliwości nośników. Konduktywnośc wybranyc półprzewodników w 00 K InSb PbS Ge Si E g [ev] σ [Ωm]

24 Półprzewodniki domieszkowe Również w półprzewodnikac domieszkowyc zależność konduktywności od temperatury jest uwarunkowana głównie zależnością koncentracji nośników od temperatury. Temperatury niskie Koncentracja nośników wzrasta z temperaturą zgodnie z zależnością (17.5) n = N d N c exp E j kt Jednocześnie w tym obszarze temperatury dominuje rozpraszanie na domieszkac i rucliwość / μ ~ T. Zaniedbując słabą zależność potęgową od temperatury, N c ~ T lub E j σ = σ o exp kt lnσ = lnσ o E j 1 k T

25 Na rys (a) obszarowi temu odpowiada odcinek ab. Nacylenie odcinka wynosi Ej/k. W tym obszarze, konduktywność bardzo szybko wzrasta z temperaturą na skutek termicznej jonizacji domieszek i jest uwarunkowana tylko nośnikami większościowymi. N '' d > N ' d N d ' Rys (a) Scematyczny przebieg zależności σ = σ(t); (b) zależność σ = σ(t) dla krzemu domieszkowanego fosforem.

26 Temperatury umiarkowane (obszar nasycenia) Koncentracja nośników większościowyc pozostaje praktycznie stała i równa koncentracji domieszki. Jednocześnie w tym obszarze temperatur o rucliwości decyduje już właściwie / rozproszenie na fononac i dlatego μ ~ T. Oznacza to, że konduktywność maleje ze wzrostem temperatury, coć zmiany te są stosunkowo niewielkie. Obszarowi temu na rys (a) odpowiada odcinek bc. Temperatury wysokie W temperaturac wysokic następuje jonizacja termiczna atomów materiału podstawowego, koncentracja nośników jest praktycznie taka jak w materiale samoistnym. Rucliwość nośników maleje z temperaturą proporcjonalnie do T /. Zatem konduktancja Eg σ = σ o exp kt Na rys (a) odpowiada to odcinkowi cd, tworzącemu z osią odciętyc kąt α taki, że tgα = E g /k. Im większa jest koncentracja domieszek, tym ic całkowita jonizacja następuje w wyższej temperaturze, jednocześnie w wyższej temperaturze następuje przejście w obszar samoistny. Dla półprzewodnika zwyrodniałego koncentracja nośników pozostaje stała, a temperaturowe zmiany konduktancji zależą tylko od zmian rucliwości. Na rys (b) przedstawiono zależność σ od T dla krzemu domieszkowanego fosforem, przy różnyc koncentracjac domieszki. Przebieg krzywyc doświadczalnyc potwierdza analizę teoretyczną.