ANALIZA CZASOWO-KOSZTOWA (CPM-COST). ALGORYTM A MODEL OPTYMALIZACYJNY
|
|
- Bronisław Dudek
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 D N I O P R C Y J N I D C Y Z J Nr 006 Helena GSPRS* NLIZ CZSOWO-KOSZTOW (CPM-COST). LGORYTM MODL OPTYMLIZCYJNY Za omocą rzkładowch sieci obrazującch realizację rzedsięwzięć inwestcjnch zilustrowano działanie algortmu oartego na metodzie ścieżki krtcznej w ujęciu kosztowm oraz rzedstawiono modele otmalizacjne wraz z kolejnmi iteracjami wgenerowanmi rzez komuter. Na odstawie rozbieżności międz otrzmanmi rozwiązaniami wkazano, iż algortm stosowan w analizie czasowo-kosztowej jest oart na nie do końca rawidłowo sformułowanch założeniach. Słowa kluczowe: CPM-COST, metoda ścieżki krtcznej, analiza czasowo-kosztowa, model otmalizacjn, czas graniczn, czas drektwn, liniowa i nieliniowa zależność omiędz czasem a kosztem, czas realizacji rzedsięwzięcia Wstę Już od onad ół wieku znana jest metoda ścieżki krtcznej (CPM Critical Path Method), owstała w koncernie du Pont de Nemours (US) jako efekt rac zesołu różnch secjalistów, którm zlecono oracowanie metod lanowania robót remontowch i rzeglądowch w dużm zakładzie rzemsłu chemicznego. W rzeciwieństwie do metod indeterministcznch, zakładającch działanie w warunkach nieewności, metoda ścieżki krtcznej należ do gru metod deterministcznch, czli takich, które zakładają działanie w warunkach ewności. CPM ozwala wróż- * Katedra adań Oeracjnch, kademia konomiczna w Poznaniu, al. Nieodległości 0, Poznań. helenagasars@oczta.onet.l Zob. htt:// Do najoularniejszch metod indeterministcznch (robabilistcznch, stochastcznch) należ metoda PRT (Program valuation and Review Technique). PRT traktuje czas trwania oszczególnch cznności jako zmienną losową. Z kolei CPM można stosować wówczas, gd czas te są dokładnie znane. Warto jednak zaznaczć, że metoda PRT, od względem struktur logicznej modelu sieciowego, jest zaliczana do metod analiz sieciowej tu DN (Deterministic nalsis Network), onieważ w trak-
2 6 H. GSPRS nić w sieci rzedstawiającej harmonogram realizacji rzedsięwzięcia tzw. ścieżki krtczne, które charakterzują się najdłuższm czasem trwania. Od niego z kolei zależ czas otrzebn na wkonanie całej zalanowanej inwestcji. Orócz analiz ilościowej równie ważnm zagadnieniem jest asekt ekonomiczn realizacji rojektu i możliwości modfikacji modelu rzez komresję sieci, wnikającą ze zbt długiego dla inwestora lub odbiorc okresu wkonwania tego rojektu [7, s. 65]. Potrzeba rzsieszenia realizacji rzedsięwzięcia rz jednoczesnm dążeniu do minimalizacji kosztów bezośrednich (związanch z konkretną cznnością) ociąga za sobą konieczność stosowania CPM-COST, czli metod ścieżki krtcznej w ujęciu kosztowm. W metodzie tej zakłada się, iż skróceniu czasu realizacji inwestcji towarzsz wzrost tchże kosztów. W analizie czasowo-kosztowej można rozatrwać nastęujące dwa rzadki [6, s ]: a) Decdent dąż do minimalizacji czasu realizacji rzedsięwzięcia (T), mając na względzie dostęne środki (K*), które może rzeznaczć na skracanie czasu trwania wbranch cznności: T min, () K K *. () b) Decdent dąż do realizacji inwestcji w czasie nie dłuższm niż zadan czas drektwn (T*), rz czm zamierza to ucznić jak najtaniej: K min, () T T *. () Jest rzeczą oczwistą, iż osiągnięcie jednego z owższch celów wmaga skrócenia czasu trwania cznności, znajdującch się na najdłuższej ścieżce w sieci. Należ jednocześnie amiętać o tm, ab ostateczn czas trwania danego działania bł rznajmniej równ jego czasowi granicznemu 5. cie realizacji rzedsięwzięcia wszstkie cznności rzedstawione w sieci są realizowane. W rzadku stochastcznej struktur logicznej tlko część cznności rzedstawiona w sieci, z określonm rawdoodobieństwem większm od zera, bierze udział w realizacji rzedsięwzięcia [7, s ]. Przez rzedsięwzięcie rozumie się zorganizowane działanie ludzkie zmierzające do osiągnięcia określonego celu, zawarte w skończonm rzedziale czasu z wróżnionm oczątkiem i końcem oraz zrealizowane rzez skończoną liczbę osób, środków technicznch, energii, materiałów, środków finansowch i informacji [7, s. 56]. Do kosztów bezośrednich należą koszt robocizn, materiałów oraz koszt skrócenia czasu realizacji danej cznności. Orócz kosztów bezośrednich wróżnia się koszt ośrednie, do którch można zaliczć m.in. koszt administracjne, odatki, kar umowne związane z niedotrzmaniem ustalonego terminu wkonania rac. Koszt ośrednie dotczą rzedsięwzięcia jako całości [, s. 5]. Zob. htt:// 5 Czas graniczn jest definiowan jako najkrótsz możliw ze względów technicznch i technologicznch czas na wkonanie danego działania [5, s. 8].
3 naliza czasowo-kosztowa... 7 W niniejszej rac rzomniane zostaną założenia algortmu ozwalającego osiągnąć zamierzone cele oraz modele deczjne, dzięki którm możliwe jest uzskanie rozwiązania otmalnego. Nastęnie autorka wkaże, że rozwiązania otrzmane odowiednio za omocą algortmu i modelu otmalizacjnego nie są w rzadku każdego analizowanego rojektu zbieżne. W rac będą brane od uwagę jednie koszt skracania czasu trwania cznności, które należą do kategorii kosztów bezośrednich 6.. Wkorzstanie algortmu CPM-COST do skrócenia czasu realizacji rzedsięwzięcia W analizie czasowo-kosztowej zakłada się, iż w celu rzsieszenia inwestcji oisanej siecią cznności należ wkonać nastęujące kroki:. Wznaczć odsieć krtczną, czli zbiór ścieżek, którch cznności charakterzują się zerowm całkowitm zaasem czasu 7.. Ustalić możliwe wariant (rzekroje) skrócenia czasu trwania wszstkich ścieżek krtcznch o jedną jednostkę. Poszczególne wariant mogą olegać na: a) skróceniu jednej cznności wsólnej dla wszstkich ścieżek krtcznch, b) skróceniu o jednej cznności na każdej najdłuższej ścieżce [, s. 0], c) kombinacji dwóch ierwszch wariantów 8.. Przisać wmienionm rzekrojom łączne koszt skrócenia. Jeżeli skrócenie czasu trwania danej cznności jest technicznie niemożliwe, rzjmuje się, iż koszt związan z jej skróceniem jest równ bardzo dużej liczbie. Zależność czas-koszt dla danej cznności może bć liniowa lub nieliniowa. Pierwsz t zależności wstęuje wówczas, gd koszt skrócenia czasu trwania cznności o każdą kolejną jednostkę jest stał. Koszt ten można wznaczć dzieląc różnicę omiędz kosztem granicznm 9 a kosztem normalnm rzez różnicę omiędz czasem normalnm a czasem granicznm 0. Wsomniana formuła ma sens, gd koszt graniczn jest nie niższ od kosztu normalnego. 6 Jeżeli rozatruje się zarówno koszt bezośrednie, jak i ośrednie, to ostęowanie otmalizacji układu: czas trwania rzedsięwzięcia całkowite koszt realizacji określa się niekied krtonimem MCX (Minimum-Cost editing) [5, s ]. 7 Całkowit zaas czasu cznności informuje, o ile maksmalnie można oóźnić moment jej rozoczęcia lub wdłużć jej czas trwania, ab czas realizacji całej inwestcji nie uległ zmianie. Jakiekolwiek wdłużenie czasu trwania cznności o zerowm całkowitm zaasie czasu (tzw. cznności krtcznej) owoduje zatem oóźnienie momentu zakończenia całego rzedsięwzięcia. 8 Jeżeli na rzkład sieć krtczna składa się z trzech ścieżek: I, II, III, to można skrócić cznność wsólną dla ścieżek I i III oraz jeszcze jedną cznność, która znajduje się tlko na ścieżce II. 9 Koszt graniczn to koszt, któr towarzsz czasowi granicznemu. 0 Zob. htt:// i or. [5, s. 87].
4 8 H. GSPRS. Wbrać najtańsz wariant i skrócić czas trwania wbranch cznności o jedną jednostkę. 5. Srawdzić, cz cel został osiągnięt. Jeżeli nie, rzejść do kroku Srawdzić, cz ojawiła się nowa ścieżka krtczna (bądź nowe ścieżki krtczne). a) Jeżeli tak, wznaczć nową odsieć krtczną i owrócić do kroku. b) Jeżeli nie, owrócić do kroku itd. Ois całego zarezentowanego algortmu komresji sieci można znaleźć m.in. w racach [], [, s. 5 55] i [7, s ]. utorz tchże rac roonują najierw zestawić cznności krtczne, odać ich gradient kosztów 5 oraz czas graniczne, weliminować z zestawienia te cznności krtczne, dla którch średni gradient kosztów nie istnieje (tzn. normaln czas trwania cznności jest równ czasowi granicznemu), a nastęnie roces skracania rozocząć od cznności krtcznej o najniższm gradiencie kosztów. utorz odkreślają, iż rz skracaniu czasu trwania danej cznności mogą wstąić dwa ograniczenia w ostaci czasu granicznego tej cznności bądź ojawienia się nowej ścieżki krtcznej na skutek całkowitego wkorzstania zaasu czasu cznności niekrtcznej. Zdaniem autorów, gd istnieją w sieci dwie ścieżki krtczne lub więcej, należ skracać czas o tę samą wielkość na wszstkich ścieżkach krtcznch [7, s.66]. Posłużm się rostm rzkładem w celu zilustrowania działania owższego algortmu. Przedsięwzięcie to wmaga wkonania sześciu cznności w kolejności odanej na rs.. Liter oznaczają oszczególne cznności, wartości ich normalne czas trwania (w dniach), a wartości w nawiasach kwadratowch koszt skrócenia danej cznności (w ts. zł) o każd kolejn dzień. Liczba wartości w nich zawartch jest jednocześnie liczbą dni, o którą maksmalnie można skrócić czas trwania rozatrwanej cznności. rak nawiasu kwadratowego rz danm działaniu oznacza, iż jego skrócenie jest technicznie niemożliwe. W nawiasach okrągłch rz węzłach Por. [, s. 5]: ędziem skracać iteracjnie te cznności krtczne, którch skrócenie wmaga najmniejszego kosztu dodatkowego na jednostkę czasu w orównaniu z innmi cznnościami krtcznmi oraz [, s. 5]: Skracając czas tch cznności krtcznch (lub odzbiorów cznności krtcznch), charakterzującch się najmniejszmi kosztami krańcowmi (lub najmniejszą sumą jeśli mam w grafie więcej niż jedną drogę krtczną). Celem może bć uzskanie rozwiązania otmalnego zadania () () lub () (). Por. [5, s. 8]: W trakcie tego ostęowania tworzą się zazwczaj nowe ścieżki krtczne, co może sowodować konieczność zbierania dalszch danch o zależności czas koszt oraz [, s. 50]: Takie ostęowanie ma charakter iteracjn, gdż w trakcie obliczeń mogą owstać w grafie nowe drogi krtczne. Wstąienie nowej ścieżki krtcznej jest bardzo rawdoodobne wówczas, gd rzed skróceniem w sieci znajdował się drogi odkrtczne, czli ciągi cznności niekrtcznch wkazujące nieznaczne zaas czasu. 5 utorz nazwają gradientem kosztu stosunek różnic omiędz kosztem granicznm a kosztem normalnm do różnic omiędz czasem normalnm a czasem granicznm [7, s. 65].
5 naliza czasowo-kosztowa... 9 odano najwcześniejsze możliwe i najóźniejsze douszczalne moment zajścia zdarzeń. Obliczone na odstawie momentów całkowite zaas czasu cznności rzedstawiono w nawiasach okrągłch obok łuków. (,) D [5] (0) [,] (0) C (0) (6,6) [,,6] (0) 5 (0) [,] 7 [7] (0) (7,7) Rs. Załóżm, że należ ustalić czas trwania oszczególnch cznności, kierując się oniższmi wtcznmi: K min, (5) T 8. (6) Dla normalnch czasów trwania cznności najkrótsz czas realizacji rzedsięwzięcia wnosi 0 dni, rz czm wszstkie ścieżki w sieci (-D-, -C-, -) są krtczne 6. b warunek (6) bł sełnion, sieć owinna zostać dwukrotnie skrócona o jednostkę. Sośród ięciu wariantów ozwalającch skrócić czas trwania każdej ścieżki: (koszt: 7 = 9), D C (koszt: 5 7 = ), C (koszt: 7 = ), D (koszt: 5 = 6), (koszt: = 5), należ wbrać ostatnią kombinację. Po skróceniu czasu trwania cznności i odowiednio do i dni, czas realizacji całego rzedsięwzięcia będzie wnosić 9 dni, a łączn koszt skrócenia będzie równ 5 ts. zł. W związku z faktem, iż rzsieszenie inwestcji nie rzczniło się do owstania nowej ścieżki krtcznej, lista możliwch kombinacji nie zmienia się. Zmianie ulegają jednie niektóre koszt: (koszt: 7 = 9), D C (koszt: 5 7 = ), C (koszt: 7 = ), 6 Został one na rsunku ogrubione.
6 0 H. GSPRS D (koszt: 5 = 7), (koszt: = 6). Okazuje się, że o raz drugi wariant ostatni jest najbardziej korzstn. Ostatecznie cznność trwać będzie dni, cznność dzień, a całe rzedsięwzięcie zostanie ukończone w ciągu 8 dni (rs. ). Całkowit koszt skrócenia ukształtuje się na oziomie ts. zł. Otrzmane rozwiązanie jest douszczalne, onieważ sełnia warunek (6). Zgodnie z założeniami rzedstawionego algortmu, jest ono również otmalne, gdż rz skracaniu czasu trwania rzedsięwzięcia wbierano zawsze ten wariant, z którm związane bł najniższe koszt. (,) D [5] (0) [,] (0) C (0) (6,6) [6] (8,8) (0) 5 (0) 7 [7] (0) (7,7) Rs. Przedstawion rzkład dotcz minimalizacji kosztu rz zadanm czasie drektwnm. Stosowanie algortmu w rzadku minimalizacji czasu rz zadanm koszcie rzebiega bardzo odobnie. Skracanie należ zakończć wówczas, gd kolejne rzsieszenie wiąże się z rzekroczeniem zadanego kosztu.. Wkorzstanie modelu otmalizacjnego do skrócenia czasu realizacji rzedsięwzięcia W rzadku bardziej rozbudowanch sieci lub/i konieczności rzerowadzenia większej liczb iteracji wgodniej jest osłużć się odowiednio sformułowanm zadaniem rogramowania liniowego. Model minimalizując czas rz zadanm koszcie rzjmuje nastęującą ostać: j min, (7) n... t P = P i, (8), (9)
7 naliza czasowo-kosztowa... m P = = = 0, (0) k K *, () i, j 0, () {0,}. () W rzadku minimalizacji kosztu rz zadanm czasie należałob rozwiązać zadanie () (0). m P = = k min, ()... P, (5) j t P =, (6) i = 0, (7) n T *, (8) i, j 0, (9) {0,}, (0) k gdzie: i ( j ) moment zaistnienia i-tego ( j-tego) zdarzenia, n liczba zdarzeń, zmienna rzjmie wartość, gd cznność zostanie skrócona o raz -t, P maksmalna liczba jednostek, o którą skrócenie czasu trwania cznności jest możliwe (różnica międz czasem normalnm a czasem granicznm), t czas trwania cznności, m liczba cznności, koszt skrócenia o raz -t cznności rozocznającej się i-tm zdarzeniem i kończącej się zdarzeniem j-tm, K* dostęne środki, T* czas drektwn.
8 H. GSPRS Model deczjn dla wcześniej omówionego rzkładu wgląda nastęująco: D D C min , () D D, () D D C, () = 0, () 5 8, (5) 0,,, 5, (6) {0,},...,,. (7) Otmalne wartości zmiennch będące rozwiązaniem zadania ( 7) są równe: =, = 7, =, 5 = 8, =, =, =, =. Pozostałe zmienne rzjęł zerowe wartości. Wartość zmiennej 5 sugeruje, iż warunek (6) zadania (5) (6) został sełnion. Po odstawieniu obliczonch wartości zmiennch do funkcji celu okazuje się, że jest ona równa 8 ts. zł. Obserwacja ta daje z jednej stron owód do nieokoju, onieważ otrzman wnik jest zuełnie inn od tego, któr uzskaliśm, stosując wcześniej omówion algortm dla metod ścieżki krtcznej. Z drugiej stron, wartość funkcji celu może decdenta ucieszć, gdż oznacza ona, iż skrócenie czasu realizacji inwestcji do 8 dni może kosztować nie, lecz 8 ts. zł, czli aż o ts. zł mniej! Wrowadzone rzez autorkę modele (7) () i () (0) mają zastosowanie wted, gd koszt skrócenia danej cznności nie są stałe, a zmian ich czasu trwania mają charakter dskretn. W rac [8, s. 7] można znaleźć odowiednie mo-
9 naliza czasowo-kosztowa... dele uroszczone wkorzstwane w stuacji, gd koszt skrócenia cznności o każdą jej kolejną jednostkę czasu jest taki sam. Wówczas każdej cznności rzisana jest tlko jedna zmienna, której końcowa wartość oznacza liczbę jednostek czasu, o jaką należ skrócić daną cznność. Znikają zatem warunki (8) i (5), a zmienne mogą rzjmować wartości naturalne nierzekraczające zadanego oziomu stanowiącego różnicę międz czasem normalnm a czasem granicznm.. naliza orównawcza algortmu i modelu otmalizacjnego Uzskanie różnch wników ociąga za sobą otrzebę wjaśnienia rzczn zaobserwowanej nierawidłowości. Przomnm, że w metodzie ścieżki krtcznej okazało się, iż w ierwszej i drugiej iteracji należało za każdm razem skrócić czas trwania dwóch tch samch cznności: oraz. Po ierwszm etaie koszt wniósł 5 ts. zł, a o drugim dodatkowe 6 ts. zł. Z kolei wniki wgenerowane rzez komuter na odstawie modelu otmalizacjnego sugerują, iż wstarczło dwukrotnie skrócić cznności i. Pierwsze skrócenie tej ar wiąże się z kosztem wnoszącm ts. zł, a drugie z dodatkowmi 5 ts. zł. Ptanie, jakie się nasuwa, jest oczwiste: Dlaczego algortm nie odsunął takich rozwiązań? Odowiedź brzmi: Ponieważ wariantu nie bło wśród rozatrwanch. Kombinacja jest bardzo interesującm sosobem skrócenia czasu realizacji inwestcji o jednostkę. W wniku skrócenia owższch cznności liczba ścieżek krtcznch zmaleje (rs. )! Pozostaną dwie najdłuższe ścieżki: -D- oraz -. Cznność C rzestanie bć krtczna, onieważ jej całkowit zaas czasu będzie równ. (,) D [5] (0) [] (0) C () (5,5) [,,6] (9,9) (0) 5 (0) [] 7 [7] (0) (7,7) Rs. Wariant nie został wcześniej wmienion, gdż zakłada on skrócenie czasu trwania każdej najdłuższej drogi niekoniecznie o dokładnie jedną jednostkę. Sośród kombinacji skracającch wszstkie ścieżki krtczne rznajmniej raz, wariant ten jest również jedną racjonalną kombinacją. Zauważm bowiem, że rzkładow wariant
10 H. GSPRS D C także ozwala rzsieszć czas trwania każdej najdłuższej ścieżki o co najmniej jedną jednostkę czasu, lecz zawiera cznność C, której skrócenie jest zbędne, onieważ akceleracja dwóch ozostałch cznności jest zuełnie wstarczająca. Chcąc skrócić rzedsięwzięcie o kolejn dzień, decdent owinien wbrać jeden z nastęującch wariantów: (koszt: 0), (koszt: 5), D (koszt: ), D (koszt: 7), (koszt: ), (koszt: 6). Wbór znów adnie na wariant (rs. ). (,) D [5] (0) (0) C () (,) [,,6] (8,8) (0) 5 (0) 7 [7] (0) (7,7) Rs. Oisan w rozdziale ierwszm algortm wgenerował mniej korzstne rozwiązanie aniżeli model otmalizacjn, onieważ ten ierwsz analizował jednie te wariant, które owodował skrócenie czasu trwania wszstkich ścieżek krtcznch o dokładnie jedną jednostkę. Tmczasem okazuje się, że do list kombinacji należ dołączć wariant, które ozwalają skrócić wszstkie ścieżki krtczne o rznajmniej jedną jednostkę!. Jeszcze jeden aradoks Na zakończenie rzjrzjm się jeszcze jednej stuacji. Załóżm, że lanowane rzedsięwzięcie zostanie zrealizowane o zakończeniu ięciu cznności (rs. 5). Tm razem koszt skrócenia są stałe, a czas graniczne wnoszą odowiednio,,,,. Najkrótsz czas realizacji rzedsięwzięcia rz normalnch czasach trwania cznności wnosi 0 jednostek (n. tgodni), rz czm sieć składa się z jednej ścieżki krtcznej -C-.
11 naliza czasowo-kosztowa... 5 (5,5) [] () 5 [] (0) C [] (0) (0) [] D 6 [] () (7,7) Rs. 5 Przjmm, iż celem decdenta jest znalezienie rozwiązania sełniającego warunki (8) (9): K min, (8) T 8. (9) Mając na uwadze wnioski wciągnięte w rozdziale, dołączm do list rozatrwanch wariantów ewentualne dodatkowe racjonalne kombinacje zaewniające rzsieszenie inwestcji, lecz niekoniecznie orzez skrócenie wszstkich najdłuższch ścieżek dokładnie raz. W ierwszej iteracji można rzsieszć cznności, C lub. Zgodnie z krokiem decdent wbierze cznność C (rs. 6). (5,5) [] (0) (9,9) 5 [] (0) C (0) (0) [] D 6 [] (0) (6,6) Rs. 6 Nastęnie ustali możliwe wariant skrócenia trzech najdłuższch ścieżek: D (koszt: 6), (koszt: ), C D (koszt: ), (koszt: 5), i skróci czas trwania cznności i (rs. 7).
12 6 H. GSPRS (,) [] (0) (8,8) [] (0) C () (0) [] D 6 [] (0) (6,6) Rs. 7 Czas realizacji rzedsięwzięcia wniesie wówczas 8 tgodni, a łączn koszt skrócenia będzie równ = 5 j.. W rzadku tego rzkładu moglibśm mieć ewność, że otrzmane rozwiązanie jest otmalne, onieważ lista wariantów do wboru została odowiednio rozszerzona. Rozwiązując jednak oniższe zadanie: min, (0) C D C D 5, () D C 0 0, () = 0, () 8, (), 0, (5),,, C, D, N (6)
13 naliza czasowo-kosztowa... 7 okazuje się, że wstarcz najierw skrócić cznność, a w drugiej iteracji cznność (lub odwrotnie), ab sełnić warunek (), rz czm całkowit koszt wniesie jednie = j.. (rs. 8). (,) [] (0) (8,8) [] (0) C [] (0) (0) [] D 6 [] (0) (6,6) Rs. 8. Po raz kolejn oisan algortm nie ozwolił nam wznaczć otmalnego rozwiązania. W rozdziale niniejszej rac zakwestionowano drugi krok oisanego algortmu. Na odstawie drugiego rzkładu można dojść do wniosku, iż krok staje się w ewnch stuacjach również zawodn. Wbór każdorazowo najtańszego wariantu nie musi rowadzić do otimum. Oczwiście, gdb decdentowi zależało na rzsieszeniu inwestcji tlko o jeden tdzień, rozwiązania wgenerowane dla tego rzkładu rzez algortm i model otmalizacjn błb zbieżne. W obu rzadkach należałob skrócić czas trwania cznności C. Podsumowanie. W racach [] [5], [7] rzjmuje się, że rzsieszenie inwestcji owinno nastąić orzez skracanie najdłuższch ścieżek o jedną jednostkę. W oracowaniach zamieszczanch na stronach internetowch rzez osob rowadzące zarówno wkład i ćwiczenia dla studentów z rzedmiotów otmalizacjnch, jak i szkolenia z zakresu zarządzania rojektem (Project Management) można znaleźć nastęujące sformułowania: Jeżeli wstęują dwie lub więcej ścieżek krtcznch w sieci, należ skracać czas o tę samą wielkość na wszstkich ścieżkach krtcznch 7. Okazuje się jednak, że nie dla każdej stuacji deczjnej założenia algortmu ozwalają otrzmać najlesze rozwiązanie. Krok oisanej metod oszukiwania otmalnego lanu należ zatem rzeformułować rzez dodanie jednego istotnego słowa: Ustalić 7 Zob. gnu.univ.gda.l/~jz oraz [, s. 5 55] i [7, s. 66].
14 8 H. GSPRS możliwe wariant skrócenia czasu trwania wszstkich ścieżek krtcznch o rznajmniej jedną jednostkę.. Niektóre oracowania ddaktczne są zaoatrzone w komentarz o nastęującej bądź zbliżonej treści: Należ zwrócić szczególną uwagę na ścieżkę krtczną i uewnić się, cz o rzsieszeniu inwestcji o jedną jednostkę rozatrwana ścieżka ozostanie krtczna 8. Wniosek ten stanowi niejako otwierdzenie konieczności wboru wariantu nie tlko sośród kombinacji zakładającch skrócenie ścieżek krtcznch o dokładnie jedną jednostkę. Jeżeli decdent ogranicz się jednie do tch ostatnich, rz skracaniu czasu realizacji rzedsięwzięcia o każdą kolejną jednostkę, liczba ścieżek krtcznch będzie co najwżej wzrastać, gdż raz ustalona ścieżka krtczna zachowa swoje zerowe całkowite zaas czasu w każdej iteracji. Jeżeli natomiast do list możliwch kombinacji dołączą wariant skracające najdłuższe ścieżki rznajmniej raz, okaże się, że niektóre drogi krtczne rzestaną bć najdłuższe, onieważ zostaną one skrócone w dwóch miejscach. Modfikacja kroku omówionego algortmu ociąga więc za sobą zmian również w kroku 6.. Przkład drugi omówion w rozdziale czwartm wraźnie okazuje, że krok sugerując wbór najtańszej kombinacji może również rzeszkodzić decdentowi w wznaczeniu lanu otmalnego. Niezwkle istotnm arametrem w zadaniu jest bowiem czas drektwn T*. Jeżeli decdentowi zależ tlko na jednokrotnm skróceniu czasu realizacji rzedsięwzięcia, może on jak najbardziej kierować się rz wborze odowiedniego wariantu krterium minimalizacji kosztu. Jeżeli natomiast decdent zamierza rzsieszć inwestcję o kilka jednostek, owinien on sojrzeć na roblem całościowo, co w rzadku bardzo rozbudowanch sieci może się okazać dość trudne. Owa trudność wnika z faktu, iż analiza czasowo-kosztowa osiada cech charakterstczne dla rogramowania dnamicznego.. Przerowadzone analiz wkazał, że zarówno rz nieliniowej jak i rz liniowej zależności międz czasem trwania danej cznności a kosztem związanm z jego skróceniem wniki generowane rzez algortm i model otmalizacjn niekied są różne, rz czm ten drugi zawsze zaewnia uzskanie rozwiązania otmalnego. 5. Zauważm, że sieci, na odstawie którch wkazano, iż stosowanie algortmu może bć zawodne, mają dość secficzną strukturę: zawierają ścieżkę krtczną (odkrtczną) osiadającą cznności wsólne arami z innmi ścieżkami krtcznmi (odkrtcznmi). Wkorzstane modele sieciowe, z uwagi na liczbę cznności i zależności międz nimi można jednak uznać za bardzo roste. W raktce natomiast struktura rzedsięwzięcia może się okazać znacznie bardziej złożona. Wówczas ustalenie wszstkich możliwch kombinacji zgodnie z założeniami algortmu zabiera więcej czasu. Zwiększa się również rzko rzeoczenia niektórch wariantów, w tm najbardziej ołacalnej kombinacji. Co więcej, stosowanie omówionego algortmu komlikuje się, gd różnica międz normalnm czasem realizacji rzedsięwzięcia 8 Zob. htt://
15 naliza czasowo-kosztowa... 9 a czasem drektwnm jest duża, onieważ o każdej iteracji należ na nowo ustalić odsieć krtczną wraz ze zbiorem kombinacji. Skoro algortm nie gwarantuje uzskania rozwiązania otmalnego, każdej kolejnej iteracji może więc towarzszć coraz większe odchlenie międz wnikiem otrzmanm a otmalnm! Duża złożoność czasowa metod, która na dodatek może nie dorowadzić do najleszego możliwego rozwiązania, tm bardziej ozwala autorce zakwestionować sens jej stosowania. 6. b można bło CPM-COST nazwać algortmem, metoda owinna mieć jasno określone krterium stou i osiągać rozwiązanie sełniające to krterium o skończonej liczbie kroków. Niedoskonałość zarezentowanego algortmu wnika z faktu, iż każdą kolejną iterację traktuje jako odrębne zadanie. Sreczowanie założeń oisanch w rozdziale ierwszm srawi, że staną się one uniwersalne. Możliwe będzie wówczas otrzmanie takich samch wników niezależnie od rzjętego sosobu rozwiązwania roblemu, a osob nadzorujące realizację rzedsięwzięcia inwestcjnego będą mogł wznaczć jeszcze mniej kosztown lan jego wcześniejszego zakończenia. ibliografia [] LDOWSKI S., Metod sieciowe w lanowaniu i organizacji rac, PW, Warszawa 970. [] GDYMIN O., Metod otmalizacji w lanowaniu sieciowm, PWN, Warszawa 97. [] GRUCZ., OGONK K., TROCKI M., Zarządzanie rojektami, PW, Warszawa 00. [] GUZIK. (red.), konometria i badania oeracjne, MD 5,, Poznań 999. [5] IDŹKIWICZ.Z., PRT. Metod analiz sieciowej, PWN, Warszawa 967. [6] IGNSIK., Teoria grafów i lanowanie sieciowe, PW, Warszawa 98. [7] JĘDRZJCZYK Z., KUKUŁ K., SKRZYPK J., WLKOSZ., adania oeracjne w rzkładach i zadaniach, PWN, Warszawa 996. [8] TRZSKLIK T., Wrowadzenie do badań oeracjnch z komuterem, PW, Warszawa 00. Time-cost analsis (CPM-COST). lgorithm versus otimization model The author of this aer analses eamles of network diagrams resenting different rojects. The target consists in comressing the roject schedule to a time desired and minimizing direct costs. On the basis of these case studies the author shows how both, i.e., ) the algorithm based on the critical ath method with a time-cost analsis and ) the otimization models, generate each iteration to finall determine the best solution. However, the results obtained are different. In this connection, the stes of the algorithm are demonstrated in order to roof that some of its assumtions are not entirel defined in a roer wa. It turns out that the roject accelerating ) b shortening each critical ath b eactl one unit and ) b selecting the cheaest combination of critical activities, ma not necessaril lead to the otimal solution. t the end of the aer two modified assumtions are roosed. Ke words: CPM-COST, critical ath method, time-cost analsis, otimization model, crash time, desirable time, linear and non-linear relationshi between time and cost, roject duration
Ćwiczenia laboratoryjne - 4. Projektowanie i harmonogramowanie produkcji metoda CPM-COST. Logistyka w Hutnictwie Ćw. L. 4
Ćwiczenia laboratoryjne - 4 Projektowanie i harmonogramowanie produkcji metoda CPM-COST Ćw. L. 4 Metody analizy sieciowej 1) Deterministyczne czasy trwania czynności są określane jednoznacznie (jedna liczba)
Bardziej szczegółowoWYBÓR FORMY OPODATKOWANIA PRZEDSIĘBIORSTW NIEPOSIADAJĄCYCH OSOBOWOŚCI PRAWNEJ
ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 667 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR 40 2011 ADAM ADAMCZYK Uniwersytet Szczeciński WYBÓR FORMY OPODATKOWANIA PRZEDSIĘBIORSTW NIEPOSIADAJĄCYCH OSOBOWOŚCI
Bardziej szczegółowoANALIZA CZASOWO-KOSZTOWA SIECI CPM-COST
ANALIZA CZASOWO-KOSZTOWA SIECI CPM-COST Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WPROWADZENIE W metodach CPM i PERT zwraca się uwagę jedynie na analizę ilościowa Równie ważne zagadnienie aspekt ekonomiczny
Bardziej szczegółowoAnaliza czasowo-kosztowa
Analiza czasowo-kosztowa Aspekt ekonomiczny: należy rozpatrzyć techniczne możliwości skrócenia terminu wykonania całego przedsięwzięcia, w taki sposób aby koszty związane z jego realizacją były jak najniższe.
Bardziej szczegółowot i L i T i
Planowanie oparte na budowaniu modelu struktury przedsięwzięcia za pomocą grafu nazywa sie planowaniem sieciowym. Stosuje się do planowania i kontroli realizacji założonych przedsięwzięć gospodarczych,
Bardziej szczegółowoPlanowanie przedsięwzięć
K.Pieńkosz Badania Operacyjne Planowanie przedsięwzięć 1 Planowanie przedsięwzięć Model przedsięwzięcia lista operacji relacje poprzedzania operacji modele operacji funkcja celu planowania K.Pieńkosz Badania
Bardziej szczegółowoProgramowanie nieliniowe optymalizacja funkcji wielu zmiennych
Ekonomia matematczna II Ekonomia matematczna II Prowadząc ćwiczenia Programowanie nieliniowe optmalizacja unkcji wielu zmiennch Modele programowania liniowego często okazują się niewstarczające w modelowaniu
Bardziej szczegółowoBADANIA OPERACYJNE. dr Adam Sojda Pokój A405
BADANIA OPERACYJNE dr Adam Sojda adam.sojda@polsl.pl http://dydaktyka.polsl.pl/roz6/asojda/default.aspx Pokój A405 Przedsięwzięcie - zorganizowanie działanie ludzkie zmierzające do osiągnięcia określonego
Bardziej szczegółowo2010 W. W. Norton & Company, Inc. Podaż firmy
2010 W. W. Norton & Coman, Inc. Podaż firm Podaż Firm Podaż firm zależ od technologii otoczenia rnkowego celów firm zachowania konkurencji 2010 W. W. Norton & Coman, Inc. 2 Podaż Firm Ograniczenie techniczne
Bardziej szczegółowoThis article is available in PDF-format, in coloured version, at: www.wydawnictwa.ipo.waw.pl/materialy-wysokoenergetyczne.html
Z. Surma, Z. Leciejewski, A. Dzik, M. Białek This article is available in PDF-format, in coloured version, at: www.wydawnictwa.io.waw.l/materialy-wysokoenergetyczne.html Materiały Wysokoenergetyczne /
Bardziej szczegółowoZ funkcji zdaniowej x + 3 = 7 można otrzymać zdania w dwojaki sposób:
Z funkcji zdaniowej + 3 = 7 można otrzmać zdania w dwojaki sposób: podstawiając w tej funkcji zdaniowej za stałe będące nazwami liczb np. 4 2 itp. poprzedzając tę funkcję zdaniową zwrotami: dla każdego
Bardziej szczegółowoWektory. P. F. Góra. rok akademicki
Wektor P. F. Góra rok akademicki 009-0 Wektor zwiazan. Wektorem zwiazanm nazwam parę punktów. Jeżeli parę tę stanowią punkt,, wektor przez nie utworzon oznaczm. Graficznie koniec wektora oznaczam strzałką.
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Autoatyki Katedra Inżynierii Systeów Sterowania Metody otyalizacji Metody rograowania nieliniowego II Materiały oocnicze do ćwiczeń laboratoryjnych T7 Oracowanie:
Bardziej szczegółowoEkstrema funkcji dwóch zmiennych
Wkład z matematki inżnierskiej Ekstrema funkcji dwóch zmiennch JJ, IMiF UTP 18 JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 1 / 47 Ekstrema lokalne DEFINICJA. Załóżm, że funkcja f (, ) jest określona w pewnm otoczeniu
Bardziej szczegółowo12. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH. z = x + y jest R 2, natomiast jej
1. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1.1. FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH Funkcją dwóch zmiennch określoną w zbiorze D R nazwam przporządkowanie każdej parze liczb () D dokładnie jednej liczb rzeczwistej z. Piszem prz tm
Bardziej szczegółowoCałkowanie przez podstawianie i dwa zadania
Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania Antoni Kościelski Funkcje dwóch zmiennch i podstawianie Dla funkcji dwóch zmiennch zachodzi następując wzór na całkowanie przez podstawianie: f(x(a, b), (a,
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 6
ozwiązwanie beek prostch i przegubowch wznaczanie reakcji i wkresów sił przekrojowch 6 Obciążenie beki mogą stanowić sił skupione, moment skupione oraz obciążenia ciągłe q rs. 6.. s. 6. rzed przstąpieniem
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3 Równania różniczkowe liniowe Metoda przewidwań Metoda przewidwań całkowania równania niejednorodnego ' p( x) opiera się na następującm twierdzeniu. Twierdzenie f ( x) Suma
Bardziej szczegółowoRuch po równi pochyłej
Sławomir Jemielit Ruch po równi pochłej Z równi pochłej o kącie nachlenia do poziomu α zsuwa się ciało o masie m. Jakie jest przspieszenie ciała, jeśli współcznnik tarcia ciała o równię wnosi f? W jakich
Bardziej szczegółowoMinimalizacja kosztów
Minimalizacja kosztów 1. (na wkładzie) Firma genealogiczna Korzenie produkuje dobro korzstając z jednego nakładu x użwając funkcji produkcji f(x) = x. (a) Ile jednostek x jest potrzebnch do wprodukowania
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie układu równań metodą przeciwnych współczynników
Rozwiązwanie układu równań metodą przeciwnch współcznników Sposob postępowania krok po kroku: I. przgotowanie równań. pozbwam się ułamków mnoŝąc kaŝd jednomian równania równań przez najmniejszą wspólną
Bardziej szczegółowoALGORYTM STRAŻAKA W WALCE Z ROZLEWAMI OLEJOWYMI
JOLANTA MAZUREK Akademia Morska w Gdyni Katedra Matematyki ALGORYTM STRAŻAKA W WALCE Z ROZLEWAMI OLEJOWYMI W artykule rzedstawiono model wykorzystujący narzędzia matematyczne do ustalenia reguł oraz rozwiązań,
Bardziej szczegółowoMATURA PRÓBNA 2 KLASA I LO
IMIE I NAZWISKO MATURA PRÓBNA KLASA I LO CZAS PRACY: 90 MIN. SUMA PUNKTÓW: 60 ZADANIE (5 PKT) Znajdź wszstkie funkcje liniowe określone na zbiorze ;, którch zbiorem wartości jest przedział ; 0. ZADANIE
Bardziej szczegółowoLaboratorium Metod i Algorytmów Sterowania Cyfrowego
Laboratorium Metod i Algorytmów Sterowania Cyfrowego Ćwiczenie 3 Dobór nastaw cyfrowych regulatorów rzemysłowych PID I. Cel ćwiczenia 1. Poznanie zasad doboru nastaw cyfrowych regulatorów rzemysłowych..
Bardziej szczegółowo( ) σ v. Adam Bodnar: Wytrzymałość Materiałów. Analiza płaskiego stanu naprężenia.
Adam Bdnar: Wtrzmałść Materiałów Analiza płaskieg stanu naprężenia 5 ANALIZA PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻENIA 5 Naprężenia na dwlnej płaszczźnie Jak pamiętam płaski stan naprężenia w punkcie cechuje t że wektr
Bardziej szczegółowoPrzykład: budowa placu zabaw (metoda ścieżki krytycznej)
Przykład: budowa placu zabaw (metoda ścieżki krytycznej) Firma budowlana Z&Z podjęła się zadania wystawienia placu zabaw dla dzieci w terminie nie przekraczającym 20 dni. Listę czynności do wykonania zawiera
Bardziej szczegółowoZarządzanie projektami
Dr Adam Kucharski Spis treści Podstawowe pojęcia Metoda CPM 3 3 Przykład analizy metodą CPM 5 Podstawowe pojęcia Przedsięwzięcia złożone z wielu czynności spotykane są na każdym kroku. Jako przykład może
Bardziej szczegółowoPROGRAMOWANIE SIECIOWE. METODA ŚCIEŻKI KRYTYCZNEJ
PROGRAMOWANIE SIECIOWE. METODA ŚCIEŻKI KRYTYCZNEJ Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WPROWADZENIE Metody programowania sieciowego wprowadzono pod koniec lat pięćdziesiatych Ze względu na strukturę
Bardziej szczegółowoScenariusz lekcji matematyki z wykorzystaniem komputera
Scenariusz lekcji matematki z wkorzstaniem komputera Temat: Wpłw współcznników a i b na położenie wkresu funkcji liniowej. (Rsowanie wkresów prz użciu arkusza kalkulacjnego EXCEL.) Czas zajęć: 9 min Cele:
Bardziej szczegółowoTwoje prawa jako landlorda Zgodnie z Ustawą o Umowach Najmu Lokali Mieszkaniowych z 2004 r. (Residential Tenencies Act) landlordowie mają prawo do:
Bycie dobrym landlordem Kim jest landlord? Landlord to właściciel nieruchomości, który dzier awi bądź wynajmuje ją innej osobie. Osoba, która najmuje nieruchomość to lokator, czyli tzw. tenant. Umowa omiędzy
Bardziej szczegółowoSKRYPT Z MATEMATYKI. Wstęp do matematyki. Rafał Filipów Piotr Szuca
Publikacja współfinansowana przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego SKRYPT Z MATEMATYKI Wstęp do matematki Rafał Filipów Piotr Szuca Publikacja współfinansowana przez Unię Europejską
Bardziej szczegółowoMetody prognozowania: Jakość prognoz Wprowadzenie (1) 6. Oszacowanie przypuszczalnej trafności prognozy
Metod prognozowania: Jakość prognoz Dr inż. Sebastian Skoczpiec ver. 03.2012 Wprowadzenie (1) 1. Sformułowanie zadania prognostcznego: 2. Określenie przesłanek prognostcznch: 3. Zebranie danch 4. Określenie
Bardziej szczegółowoWykład 4 Testy zgodności. dystrybuanta rozkładu populacji dystrybuanty rozkładów dwóch populacji rodzaj rozkładu wartości parametrów.
Wkład Test zgodności. Test zgodności służą do werikacji hipotez mówiącch, że a dstrbuanta rozkładu populacji ma określoną z gór postać unkcjną b dstrbuant rozkładów dwóch populacji nie różnią się w sposób
Bardziej szczegółowof x f y f, jest 4, mianowicie f = f xx f xy f yx
Zestaw 14 Pochodne wŝszch rzędów Niech będzie dana funkcja x f określona w pewnm obszarze D Przpuśćm Ŝe f x istnieją pochodne cząstkowe tej funkcji x x Pochodne cząstkowe tch pochodnch jeŝeli istnieją
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 8 MARCA 015 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Przbliżenie dziesiętne
Bardziej szczegółowoZADANIE 1 Poniżej znajduje się fragment wykresu funkcji y = f (x). ZADANIE 2 Na podstawie podanego wykresu funkcji f
IMIE I NAZWISKO ZADANIE Poniżej znajduje się fragment wkresu funkcji = f (). -7 -- - - 6 7 Dorsuj brakujac a część wkresu wiedzac, że dziedzina funkcji f jest przedział,, a wkres jest smetrczn względem
Bardziej szczegółowoInstrukcja do laboratorium z fizyki budowli. Ćwiczenie: Pomiar i ocena hałasu w pomieszczeniu
nstrukcja do laboratorium z fizyki budowli Ćwiczenie: Pomiar i ocena hałasu w omieszczeniu 1 1.Wrowadzenie. 1.1. Energia fali akustycznej. Podstawowym ojęciem jest moc akustyczna źródła, która jest miarą
Bardziej szczegółowo( n) Łańcuchy Markowa X 0, X 1,...
Łańcuchy Markowa Łańcuchy Markowa to rocesy dyskretne w czasie i o dyskretnym zbiorze stanów, "bez amięci". Zwykle będziemy zakładać, że zbiór stanów to odzbiór zbioru liczb całkowitych Z lub zbioru {,,,...}
Bardziej szczegółowoRysunek 1 Przykładowy graf stanów procesu z dyskretnymi położeniami.
Procesy Markowa Proces stochastyczny { X } t t nazywamy rocesem markowowskim, jeśli dla każdego momentu t 0 rawdoodobieństwo dowolnego ołożenia systemu w rzyszłości (t>t 0 ) zależy tylko od jego ołożenia
Bardziej szczegółowo19. Wybrane układy regulacji Korekcja nieliniowa układów. Przykład K s 2. Rys Schemat blokowy układu oryginalnego
19. Wbrane układ regulacji Przkład 19.1 19.1. Korekcja nieliniowa układów w K s 2 Rs. 19.1. Schemat blokow układu orginalnego 1 Zbadać możliwość stabilizacji układu za pomocą nieliniowego prędkościowego
Bardziej szczegółowoĆ w i c z e n i e K 2 a Wyznaczanie siły krytycznej pręta o przekroju prostokątnym posiadającego krzywiznę początkową.
Akademia Górniczo Hutnicza Wdział Inżnierii Mechanicznej i Robotki Katedra Wtrzmałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji Nazwisko i Imię: Nazwisko i Imię: Wdział Górnictwa i Geoinżnierii Grua nr: Ocena:
Bardziej szczegółowoHarmonogramowanie przedsięwzięć
Harmonogramowanie przedsięwzięć Mariusz Kaleta Instytut Automatyki i Informatyki Stosowanej Politechnika Warszawska luty 2014, Warszawa Politechnika Warszawska Harmonogramowanie przedsięwzięć 1 / 25 Wstęp
Bardziej szczegółowoPierwiastki kwadratowe z liczby zespolonej
Pierwiastki kwadratowe z liczb zespolonej Pierwiastkiem kwadratowm z liczb w C nazwam każdą liczbę zespoloną z C, dla której z = w. Zbiór wszstkich pierwiastków oznaczam smbolem w. Innmi słow w = {z C
Bardziej szczegółowoRealizacja funkcji przełączających
Realizacja funkcji przełączającch. Wprowadzenie teoretczne.. Podstawowe funkcje logiczne Funkcja logiczna NOT AND OR Zapis = x x = = x NAND NOR.2. Metoda minimalizacji funkcji metodą tablic Karnaugha Metoda
Bardziej szczegółowoWartości i wektory własne
Rozdział 7 Wartości i wektor własne Niech X będzie skończenie wmiarową przestrzenią liniową nad ciałem F = R lub F = C. Niech f : X X będzie endomorfizmem, tj. odwzorowaniem liniowm przekształającm przestrzeń
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 361 Badanie układu dwóch soczewek
Nazwisko... Data... Wdział... Imię... Dzień tg.... Godzina... Ćwiczenie 36 Badanie układu dwóch soczewek Wznaczenie ogniskowch soczewek metodą Bessela Odległość przedmiotu od ekranu (60 cm 0 cm) l Soczewka
Bardziej szczegółowoV JURAJSKI TURNIEJ MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM FINAŁ 14 maja 2005 r.
V JURAJSKI TURNIEJ MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM FINAŁ 4 maja 005 r. Przecztaj uważnie poniższą instrukcję: Test składa się z dwóch części. Pierwsza część zawiera 0 zadań wielokrotnego wboru. Tlko
Bardziej szczegółowoEGZAMIN GIMNAZJALNY W ROKU SZKOLNYM 2012/2013
EGZAMIN GIMNAZJALNY W ROKU SZKOLNYM 01/01 CZĘŚĆ MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZA MATEMATYKA ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA GM-M7-1 KWIECIEŃ 01 Liczba punktów za zadania zamknięte i otwarte: 9 Zadania
Bardziej szczegółowoEGZAMIN GIMNAZJALNY W ROKU SZKOLNYM 2011/2012
Centralna Komisja Egzaminacjna EGZAMIN GIMNAZJALNY W ROKU SZKOLNYM 2011/2012 CZĘŚĆ MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZA MATEMATYKA ODPOWIEDZI I PROPOZYCJE OCENIANIA PRZYKŁADOWEGO ZESTAWU ZADAŃ PAŹDZIERNIK 2011 Zadania
Bardziej szczegółowoPrzedziały ufności i testy parametrów. Przedziały ufności dla średniej odpowiedzi. Interwały prognoz (dla przyszłych obserwacji)
Wkład 1: Prosta regresja liniowa Statstczn model regresji liniowej Dane dla prostej regresji liniowej Przedział ufności i test parametrów Przedział ufności dla średniej odpowiedzi Interwał prognoz (dla
Bardziej szczegółowo25. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. y +y tgx=sinx
5. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU 5.1. Pojęcia wstępne. Klasfikacja równań i rozwiązań Rozróżniam dwa zasadnicze tp równań różniczkowch: równania różniczkowe zwczajne i równania różniczkowe cząstkowe.
Bardziej szczegółowoWarunki i tryb rekrutacji na studia w roku akademickim 2010/2011 w Akademii Morskiej w Szczecinie
Załącznik nr 1 do Uchwały nr 10/009 Senatu Akademii Morskiej w Szczecinie z dnia 7.05.009 r. Warunki i tryb rekrutacji na studia w roku akademickim 010/011 w Akademii Morskiej w Szczecinie Niniejsze zasady
Bardziej szczegółowoZarządzanie projektami. Tadeusz Trzaskalik
Zarządzanie projektami Tadeusz Trzaskalik 7.1. Wprowadzenie Słowa kluczowe Projekt Sieć czynności zynność bezpośrednio poprzedzająca Zdarzenie, zdarzenie początkowe, zdarzenie końcowe Właściwa numeracja
Bardziej szczegółowoRaport z analizy ankiet studentów. INSTYTUTU TECHNICZNEGO PWSZ w NOWYM SĄCZU. dot. warunków kształcenia w roku akademickim 2011/2012
Raport z analiz ankiet studentów INSTYTUTU TECHNICZNEGO PWSZ w NOWYM SĄCZU dot. warunków kształcenia w roku akademickim 2011/2012 Bada ankietowe przeprowadzono wśród studentów wszstkich kierunków II roku
Bardziej szczegółowoANALIZA SIECIOWA PROJEKTÓW REALIZACJI
WYKŁAD 5 ANALIZA SIECIOWA PROJEKTÓW REALIZACJI Podstawowe problemy rozwiązywane z wykorzystaniem programowania sieciowego: zagadnienia transportowe (rozdział zadań przewozowych, komiwojażer najkrótsza
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna II.1, kolokwium rozwiazania 9 stycznia 2015, godz. 16:15 19:15
Analiza Matematczna II., kolokwium rozwiazania 9 stcznia 05, godz. 6:5 9:5 0. Podać definicj e zbioru miar 0. Udowodnić, że jeśli A = {(x,, z) : (x )(x + + z ) = 0}, to l (A) = 0. Zbiorem miar zero jest
Bardziej szczegółowo138 Forum Bibl. Med. 2011 R. 4 nr 1 (7)
Dr Tomasz Milewicz, Barbara Latała, Iga Liińska, dr Tomasz Sacha, dr Ewa Stochmal, Dorota Pach, dr Danuta Galicka-Latała, rof. dr hab. Józef Krzysiek Kraków - CM UJ rola szkoleń w nabywaniu umiejętności
Bardziej szczegółowoAnaliza nośności pionowej pojedynczego pala
Poradnik Inżyniera Nr 13 Aktualizacja: 09/2016 Analiza nośności ionowej ojedynczego ala Program: Plik owiązany: Pal Demo_manual_13.gi Celem niniejszego rzewodnika jest rzedstawienie wykorzystania rogramu
Bardziej szczegółowoNAFTA-GAZ, ROK LXIX, Nr 8 / 2013
NAFTA-GAZ, ROK LXIX, Nr 8 / 2013 Robert Wojtowicz Instytut Nafty i Gazu Ocena gazu granicznego G21 od kątem jego rzydatności do określenia jakości salania gazów ziemnych wysokometanowych ochodzących z
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY MARCA 0 CZAS PRACY: 70 MINUT Zadania zamknięte ZADANIE ( PKT.) Stężenie roztworu poczatkowo wzrosło
Bardziej szczegółowoInterpolacja. Układ. x exp. = y 1. = y 2. = y n
MES 07 lokaln Interpolacja. Układ Interpolacja, wprowadzenie Interpolacja: po co nam to? Ptania MES polega na wznaczaniu interesującch nas parametrów w skończonej ilości punktów. A co leż pomiędz tmi punktami?
Bardziej szczegółowoVIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH
VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH ZADANIA ZAMKNIĘTE Zadanie. ( pkt) 0 90 Liczba 9 jest równa 0 B. 00 C. 0 9 D. 700 7 Zadanie. 8 ( pkt) Liczba 9 jest równa B. 9 C. D. 5 Zadanie. ( pkt) Liczba
Bardziej szczegółowoADAPTACYJNE PODEJŚCIE DO TWORZENIA STRATEGII INWESTYCYJNYCH NA RYNKACH KAPITAŁOWYCH WRAZ Z ZASTOSOWANIEM WAŻONEGO UŚREDNIANIA
STUDIA INFORMATICA 2012 Volume 33 Number 2A (105) Alina MOMOT Politechnika Śląska, Instytut Informatyki Michał MOMOT Instytut Techniki i Aaratury Medycznej ITAM ADAPTACYJNE PODEJŚCIE DO TWORZENIA STRATEGII
Bardziej szczegółowoMECHANIK NR 3/2015 59
MECHANIK NR 3/2015 59 Bogusław PYTLAK 1 toczenie, owierzchnia mimośrodowa, tablica krzywych, srzężenie osi turning, eccentric surface, curve table, axis couling TOCZENIE POWIERZCHNI MIMOŚRODOWYCH W racy
Bardziej szczegółowoPodejmowanie decyzji w warunkach niepełnej informacji. Tadeusz Trzaskalik
Podejmowanie deczji w warunkach niepełnej informacji Tadeusz Trzaskalik 5.. Wprowadzenie Słowa kluczowe Niepełna informacja Stan natur Macierz wpłat Podejmowanie deczji w warunkach rzka Podejmowanie deczji
Bardziej szczegółowoMotto. Czy to nie zabawne, że ci sami ludzie, którzy śmieją się z science fiction, słuchają prognoz pogody oraz ekonomistów? (K.
Motto Cz to nie zabawne, że ci sami ludzie, którz śmieją się z science fiction, słuchają prognoz pogod oraz ekonomistów? (K. Throop III) 1 Specfika szeregów czasowch Modele szeregów czasowch są alternatwą
Bardziej szczegółowoZasady budowania prognoz ekonometrycznych
Zasad budowania prognoz ekonometrcznch Klasczne założenia teorii predkcji 1. Znajomość modelu kształtowania się zmiennej prognozowanej Znajomość postaci analitcznej wstępującch zależności międz zmiennmi
Bardziej szczegółowoRoboty Przemysłowe. 1. Pozycjonowane zderzakowo manipulatory pneumatyczne wykorzystanie cyklogramu pracy do planowania cyklu pracy manipulatora
Roboty rzemysłowe. ozycjonowane zderzakowo maniulatory neumatyczne wykorzystanie cyklogramu racy do lanowania cyklu racy maniulatora Celem ćwiczenia jest raktyczne wykorzystanie cyklogramu racy maniulatora,
Bardziej szczegółowoKalorymetria paliw gazowych
Katedra Termodynamiki, Teorii Maszyn i Urządzeń Cielnych W9/K2 Miernictwo energetyczne laboratorium Kalorymetria aliw gazowych Instrukcja do ćwiczenia nr 7 Oracowała: dr inż. Elżbieta Wróblewska Wrocław,
Bardziej szczegółowoZARZĄDZANIE PROJEKTAMI METODA ŚCIEŻKI KRYTYCZNEJ HARMONOGRAM PROJEKTU
1 ZARZĄDZANIE PROJEKTAMI METODA ŚCIEŻKI KRYTYCZNEJ HARMONOGRAM PROJEKTU AUTOR: AGENDA LEKCJI 2 CPM wprowadzenie teoretyczne Przykład rozwiązania Zadanie do samodzielnego rozwiązania 3 Critical Path Method
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ NR 1. Czas pracy 150 minut
Miejsce na naklejkę z kodem szkoł OKE ŁÓDŹ CKE MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY MARZEC ROK 008 PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ NR Czas prac 0 minut Instrukcja dla zdającego. Sprawdź, cz arkusz egzaminacjn zawiera
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Zadanie 30 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1
W. uzicki Zadanie 0 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzon Zadanie 0. an jest sześcian (zobacz rsunek), którego krawędź ma długość 5. unkt i dzielą krawędzie i w stosunku :, to znacz, że 0. łaszczzna
Bardziej szczegółowoRozdział 7 ZARZĄDZANIE PROJEKTAMI
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 7 ZARZĄDZANIE PROJEKTAMI 7.2. Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 7.1 Wykorzystując
Bardziej szczegółowoODPOWIEDZI NA PYTANIA. Dotyczy przetargu nieograniczonego na zakup sterylizatora parowego w formie leasingu finansowego (znak sprawy 75/13)
ublin, dn. 6.08.0r. ODPOWIEDZI NA PYTANIA Dotyczy rzetargu nieograniczonego na zaku sterylizatora arowego w formie leasingu finansowego (znak srawy 75/) Działając zgodnie z art. 8 ust. ustawy Prawo zamówień
Bardziej szczegółowoII. BUDOWA EFEKTYWNEGO PORTFELA PROJEKTÓW INWESTYCYJNYCH
5 II. BUDOWA EFEKTYWEGO PORTFELA PROJEKTÓW IWESTYCYJYCH Ryzyko jest nieodłącznym elementem inwestowania. Zgodnie z określeniem inwestycji, dziś są onoszone nakłady, kosztem rezygnacji z bieżącej konsumcji,
Bardziej szczegółowoWYZNACZENIE OKRESU RÓWNOWAGI I STABILIZACJI DŁUGOOKRESOWEJ
Anna Janiga-Ćmiel WYZNACZENIE OKRESU RÓWNOWAGI I STABILIZACJI DŁUGOOKRESOWEJ Wrowadzenie W rozwoju każdego zjawiska niezależnie od tego, jak rozwój ten jest ukształtowany rzez trend i wahania, można wyznaczyć
Bardziej szczegółowoKONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM ETAP REJONOWY
pieczątka WKK Kod ucznia - - Dzień Miesiąc Rok DATA URODZENIA UCZNIA KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM ETAP REJONOWY Drogi Uczniu Witaj na II etapie konkursu matematcznego. Przecztaj uważnie instrukcję.
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 4. Wyznaczanie poziomów dźwięku na podstawie pomiaru skorygowanego poziomu A ciśnienia akustycznego
Ćwiczenie 4. Wyznaczanie oziomów dźwięku na odstawie omiaru skorygowanego oziomu A ciśnienia akustycznego Cel ćwiczenia Zaoznanie z metodą omiaru oziomów ciśnienia akustycznego, ocena orawności uzyskiwanych
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe
Równania różniczkowe I rzędu Andrzej Musielak Równania różniczkowe Równania różniczkowe I rzędu Równanie różniczkowe pierwszego rzędu to równanie w którm pojawia się zmienna x, funkcja tej zmiennej oraz
Bardziej szczegółowoPracownia elektryczna i elektroniczna
Pracownia elektryczna i elektroniczna Srawdzanie skuteczności ochrony rzeciworażeniowej 1.... 2.... 3.... Klasa: Grua: Data: Ocena: 1. Cel ćwiczenia: Celem ćwiczenia jest zaoznanie ze sosobami srawdzania
Bardziej szczegółowoWarsztat pracy matematyka
Warsztat prac matematka Izabela Bondecka-Krzkowska Marcin Borkowski Jęzk matematki Teoria Jednm z podstawowch pojęc matematki jest pojęcie zbioru. Teorię opisującą zbior nazwa sie teorią mnogości. Definicja
Bardziej szczegółowoMES polega na wyznaczaniu interesujących nas parametrów w skończonej ilości punktów. A co leży pomiędzy tymi punktami?
MES- 07 Interpolacja, wprowadzenie Interpolacja: po co nam to? Ptania MES polega na wznaczaniu interesującch nas parametrów w skończonej ilości punktów. A co leż pomiędz tmi punktami? Na razie rozpatrwaliśm
Bardziej szczegółowoANALIZA MOŻLIWOŚCI NORMALIZACJI WARTOŚCI SKŁADOWYCH TRÓJCHROMATYCZNYCH Z WYKORZYSTANIEM PRZEKSZTAŁCENIA NIELINIOWEGO
Wojciech MOĆKO Wojciech ŻAGAN ANALIZA MOŻLIWOŚCI NORMALIZACJI WARTOŚCI SKŁADOWYCH TRÓJCHROMATYCZNYCH Z WYKORZYSTANIEM PRZEKSZTAŁCENIA NIELINIOWEGO STRESZCZENIE W referacie przedstawiono koncepcję zastosowania
Bardziej szczegółowoWydział Elektryczny Katedra Elektrotechniki Teoretycznej i Metrologii. Instrukcja do zajęć laboratoryjnych z przedmiotu METROLOGIA
Politechnika Białostocka Wydział Elektryczny Katedra Elektrotechniki Teoretycznej i Metrologii Instrukcja do zajęć laboratoryjnych z rzedmiotu METOLOGIA Kod rzedmiotu: ESC 000 TSC 00008 Ćwiczenie t. MOSTEK
Bardziej szczegółowoMetody doświadczalne w hydraulice Ćwiczenia laboratoryjne. 1. Badanie przelewu o ostrej krawędzi
Metody doświadczalne w hydraulice Ćwiczenia laboratoryjne 1. adanie rzelewu o ostrej krawędzi Wrowadzenie Przelewem nazywana jest cześć rzegrody umiejscowionej w kanale, onad którą może nastąić rzeływ.
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 4 KRZ: A B A B A B A A METODA TABLIC ANALITYCZNYCH
ĆWICZENIE 4 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): metoda tablic analitycznych, system aksjomatyczny S (aksjomaty, reguła dowodzenia), dowód w systemie S z dodatkowym zbiorem założeń, tezy systemu S, wtórne reguły
Bardziej szczegółowox 1 x 2 x 3 x n w 1 w 2 Σ w 3 w n x 1 x 2 x 1 XOR x (x A, y A ) y A x A
Sieci neuronowe model konekcjonistczn Plan wkładu Perceptron - przpomnienie Uczenie nienadzorowane Sieci Hopfielda Perceptron w 3 Σ w n A Liniowo separowaln problem klasfikacji ( A, A ) Problem XOR 0 0
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 6 KWIETNIA 0 CZAS PRACY: 70 MINUT Zadania zamknięte ZADANIE ( PKT.) Liczbę 5 7 zaokr aglam do liczb,6.
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 17751 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Rozważm treść następujacego
Bardziej szczegółowoEGZAMIN PRÓBNY CZAS PRACY: 180 MIN. SUMA PUNKTÓW: 50 ZADANIE 1 (1 PKT) ZADANIE 2 (1 PKT) ZADANIE 3 (1 PKT) ZADANIE 4 (1 PKT) ZADANIE 5 (1 PKT)
IMIE I NAZWISKO EGZAMIN PRÓBNY CZAS PRACY: MIN. SUMA PUNKTÓW: 5 ZADANIE ( PKT) Dziedzina funkcji f (x) = x jest zbiór x 2 +x 6 A) R \ {, 2} B) (, 2) C) (, ) (2, + ) D) (, 2) (, + ) ZADANIE 2 ( PKT) W pewnej
Bardziej szczegółowoPROGRAMOWANIE SIECIOWE. METODY CPM i PERT
PROGRAMOWANIE SIECIOWE. METODY CPM i PERT Maciej Patan Programowanie sieciowe. 1 WPROWADZENIE Metody programowania sieciowego wprowadzono pod koniec lat pięćdziesiatych Ze względu na strukturę logiczna
Bardziej szczegółowoPrzykład 7.2. Belka złożona. Obciążenie poprzeczne rozłożone, trapezowe.
rzkład 7.. Beka złożona. Obciążenie orzeczne rozłożone, traezowe. a oniższej beki zaisać funkcje sił rzekrojowch i sorządzić ich wkres. α Rozwiązanie Oznaczam unkt charakterstczne, składowe reakcji i rzjmujem
Bardziej szczegółowoZjawisko Comptona opis pół relatywistyczny
FOTON 33, Lato 06 7 Zjawisko Comtona ois ół relatywistyczny Jerzy Ginter Wydział Fizyki UW Zderzenie fotonu ze soczywającym elektronem Przy omawianiu dualizmu koruskularno-falowego jako jeden z ięknych
Bardziej szczegółowoMacierze normalne. D : Dowolną macierz kwadratową można zapisać w postaci A = B + ic gdzie ( ) B = A + A B = A + A = ( A + A)
Macierze normalne Twierdzenie: Macierz można zdiagonalizować za pomocą unitarnej transformacji podobieństwa wted i tlko wted gd jest normalna (AA A A). ( ) D : Dowolną macierz kwadratową można zapisać
Bardziej szczegółowoWarunki i tryb rekrutacji na studia w roku akademickim 2014/2015 w Akademii Morskiej w Szczecinie
1. Zasady ogólne Załącznik do uchwały nr 09/013 Senatu Akadeii Morskiej w Szczecinie z dnia 9.05.013 r. Warunki i tryb rekrutacji na studia w roku akadeicki 014/015 w Akadeii Morskiej w Szczecinie 1.1.
Bardziej szczegółowo14. Grupy, pierścienie i ciała.
4. Grup, pierścienie i ciała. Definicja : Zbiór A nazwam grupą jeśli jest wposaŝon w działanie wewnętrzne łączne, jeśli to działanie posiada element neutraln i kaŝd element zbioru A posiada element odwrotn.
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie belek prostych i przegubowych wyznaczanie reakcji i wykresów sił przekrojowych 4-5
ozwiązwanie beek prostch i przegubowch wznaczanie reakcji i wkresów sił przekrojowch - Obciążenie beki mogą stanowić sił skupione, moment skupione oraz obciążenia ciągłe q rs... s.. rzed przstąpieniem
Bardziej szczegółowo[ ] 1. Zabezpieczenia instalacji ogrzewań wodnych systemu zamkniętego. 1. 2. Przeponowe naczynie wzbiorcze. ν dm [1.4] 1. 1. Zawory bezpieczeństwa
. Zabezieczenia instalacji ogrzewań wodnych systemu zamkniętego Zabezieczenia te wykonuje się zgodnie z PN - B - 0244 Zabezieczenie instalacji ogrzewań wodnych systemu zamkniętego z naczyniami wzbiorczymi
Bardziej szczegółowoOCENA JAKOŚCI PROCESU LOGISTYCZNEGO PRZEDSIĘBIORSTWA PRZEMYSŁOWEGO METODĄ UOGÓLNIONEGO PARAMETRU CZĘŚĆ I. 1. Wprowadzenie
B A D A N I A O P E R A C Y J N E I D E C Y Z J E Nr 2 2004 Anna DOBROWOLSKA* Jan MIKUŚ* OCENA JAKOŚCI PROCESU LOGISTYCZNEGO PRZEDSIĘBIORSTWA PRZEMYSŁOWEGO METODĄ UOGÓLNIONEGO PARAMETRU CZĘŚĆ I Przedstawiono
Bardziej szczegółowo