Statystyka opisowa. W szeregu tym prezentowana jest ilość wystąpień w próbie każdej wartości cechy.

Transkrypt

1 Statystyka osowa Statystyka osowa óż sę od statystyk matematyczej tym, że óby statystyczej dotyczącej daej cechy, e wykozystuje sę do woskowaa a temat oulacj, z któej óba ta została wylosowaa, a jedye aalzuje sę zależośc w óbe. W statystyce osowej e używa sę węc azędz wykształcoych zez achuek awdoodobeństwa używa sę atomast ezbyt skomlkowaych techk służących ozau óbkowych, ogólych własośc ozkładu daej cechy. W szczególośc, zedmotem zateesowaa statystyk osowej są zede wszystkm:. may ołożea (m.. tedecj cetalej):. śeda, domata (moda), kwatyle.. may dysesj (ozoszea, zóżcowaa):. waacja, odchylee stadadowe, odchylee zecęte.. may asymet (skośośc):. klasyczy/ozycyjy wsółczyk asymet. Wsomae may dzelmy a klasycze ozycyje. May klasycze, to take, któe wykozystują wszystke watośc cechy w óbe. Pzykładem takch ma są: momety zwykłe (m.. śeda aytmetycza), waacja, klasyczy wsółczyk zmeośc. May ozycyje wykozystują watośc tylko ektóych jedostek z óby są alteatywą dla ma klasyczych. Pzykładem ma ozycyjych jest domata kwatyle. Dae statystycze mogą być zaezetowae w óży sosób od tego sosobu zależeć też będze odzaj ch aalzy. Dajmy a to, że mamy wyk badaa wzostu w ewej dużye koszykówk: 88, 75, 99, 09, 88, 94, 95, 95, 0, 9, 0, 88, 0, 9, 97, 98, 85, 95, 94, 0. Powyższy sosób ezetacj daych, któy okazuje watość każdej obsewacj w óbe z osoba, to tzw. szeeg szczegółowy (dywdualy). Te same dae moża óweż zaezetować w szeegu ozdzelczym uktowym: x W szeegu tym ezetowaa jest lość wystąeń w óbe każdej watośc cechy. W końcu, te same dae moża zedstawć w szeegu ozdzelczym zedzałowym. Te sosób ezetacj daych okazuje le jest wystąeń watośc cechy ależących do daego zedzału klasowego.

2 Pzykładowo, w aszym zyadku, zyjmując ówej długośc zedzały klasowe, dae moża by zaezetować astęująco: x 0 x [75 85) [85 95) 8 [95 05) 0 [05 5) Isteją óże eguły ustalaa lczby zedzałów klasowych. Najczęścej wykozystywaym są:. k. k +, l( ). k 5l( ) W aktyce jedak eguły te e są zbyt często stosowae ostatecza lczba zedzałów ajczęścej zależy od zdowoozsądkowego odejśca statystyka do koketego zagadea. Wzoy: 0. Momety (wzoy zaezetowae dla szeegów ozdzelczych uktowych łatwo je zmodyfkować, żeby obejmowały szeeg szczegółowe lub ozdzelcze zedzałowe). a. momety zwykłe Wzó ogóly (momet zwykły zędu ): m ( x) x Pzykładowo, gdze to lość óżych watośc aalzowaej cechy. m ( ) x x b. momety cetale Wzó ogóly (momet cetaly zędu ): ( x) ( ) x x to o ostu śeda aytmetycza. Pzykładowo tzec momet cetaly cechy. ( ) x ( ) x x służy do ocey asymet ozkładu. May ołożea a. śeda aytmetycza:. szeeg szczegółowy: X x

3 .. szeeg ozdzelczy uktowy: cechy. szeeg ozdzelczy zedzałowy: X X x k, gdze ozacza lość óżych watośc O x klasowych, zaś x O jest śodkem -tego zedzału. b. domata (moda) ajczęścej wystęująca watość. szeeg ozdzelczy uktowy: ( : max( )). szeeg ozdzelczy zedzałowy: D( x) x ( ) d d D( x) x0d + hd ( d d ) + ( d d + ), gdze k ozacza lość zedzałów, gdze d, d d + to odowedo lczebośc zedzału domaty, zedzału ozedzającego domatę zedzału astęującego o domace, h d to ozętość zedzału domaty, zaś x 0d to dola gaca zedzału domaty. Pzedzał domaty to, oczywśce, ajlczej eezetoway zedzał. Domatę wyzacza sę wtedy, gdy ozkład cech jest tyowy. c. kwatyle Kwatyle to watośc cechy dzelące óbę w okeśloym stosuku. Na zykład medaa dzel óbę w stosuku : 50% obsewacj osada watość cechy e wększą ż medaa 50% obsewacj osada watość e mejszą ż oa. Ogóle kwatyl zędu b zasujemy Q ( ) b x, gdze b jest sosobem odzału óby zez day kwatyl. Na zykład Q ( x) Q ( x) to właśe medaa, ozaczaa też M ( x ). 4. szeeg ozdzelczy zedzałowy: Pozycja kwatyla: P Q b b Wzó a kwatyl: ( ) Q ( x) x + P sk b 0 Qb h sk gdze to lczebość skumulowaa zedzału ozedzającego zedzał kwatyla, h to ozętość zedzału kwatyla, - jego lczebość, zaś x 0 - dola gaca zedzału kwatyla.

4 Badzo często wyzaczaym kwatylam są tzw. kwatyle: Q ( x ), Q ( x) M ( x) 4 4 Q ( x ). Pzykładowo, tzec kwatyl, Q ( x ), dzel óbę a 75% obsewacj 4 4 osadających watość cechy e wększą ż tzec kwatyl oaz 5% osadających watość e mejszą ż o.. May zóżcowaa (ozoszea, dysesj) a. waacja: x X. szeeg szczegółowy: ( ). szeeg ozdzelczy uktowy: ( ). szeeg ozdzelczy zedzałowy: b. odchylee stadadowe: x X k O x X S( x) - mów o le jedostek watośc cechy zecęte óżą sę od jej śedej c. odchylee zecęte:. szeeg szczegółowy:.. szeeg ozdzelczy uktowy: szeeg ozdzelczy zedzałowy: d. klasyczy wsółczyk zmeośc: x X S( x) V ( x) lub alteatywe: V ( x) [0, ] X [0, ] X V ( x) 0,, to zyjęło sę, że: Poeważ [ ] V ( x) 0, ozacza słabe zóżcowae cechy, x X k O x X V ( x) ( 0,; 0, 67) ozacza umakowae zóżcowae cechy, zaś V ( x) 0,67 ozacza sle zóżcowae cechy. e. ozstę:. szeeg szczegółowy ozdzelczy uktowy: R( x) xmax xm. szeeg ozdzelczy zedzałowy: R( x) x k x0, gdze x 0 ozacza oczątek ewszego zedzału klasowego, zaś x k - koec ostatego.

5 f. odchylee ćwatkowe: Q ( x) Q ( x) Q( x) 4 4 g. ozycyjy wsółczyk zmeośc: Q( x) V ( x) - teetacja wyku jest taka sama, jak w zyadku klasyczego wsółczyka M ( x) [0, ] zmeośc.. May asymet (skośośc) a. absoluta maa asymet (tzec momet cetaly):. szeeg szczegółowy: ( ) x ( x ) X. szeeg ozdzelczy uktowy:. szeeg ozdzelczy zedzałowy: ( ) x ( ) x ( ) x X k O x X Jeśl: ( x) 0, to ozkład cechy jest symetyczy, ( x) 0 >, to ozkład cechy jest asymetyczy awostoe (awoskośy), ( x) 0 <, to ozkład cechy jest asymetyczy lewostoe (lewoskośy). b. klasyczy wsółczyk asymet: ( x) A( x) [, ] Na odzaj asymet wskazuje zak tzecego mometu cetalego (atz wyżej). Dodatkowo, zyjmuje sę, że: A( x) 0,7 ozacza słabą asymetę, A( x) ( 0,7;, 4) ozacza asymetę umakowaą, zaś A( x),4 ozacza asymetę slą. c. wsółczyk skośośc:

6 A ( x) s [, ] X D( x) S( x) Na odzaj asymet wskazuje zak lczka ( X D( x) > 0 śwadczy o asymet awostoej oszę sobe wyobazć tak zyadek go zeaalzować). Dodatkowo, zyjmuje sę, że: As ( x) 0, ozacza słabą asymetę, ( ) A ( x) 0,; 0, 67 ozacza asymetę umakowaą, zaś s As ( x) 0,67 ozacza asymetę slą. d. ozycyjy wsółczyk asymet: A ( x) [, ] Q ( x) M ( x) M ( x) Q ( x) 4 4 Q( x) Watość zak ozycyjego wsółczyka asymet teetujemy tak samo jak watość wsółczyka skośośc: A ( x) 0, ozacza słabą asymetę, ( ) A ( x) 0,; 0, 67 ozacza asymetę umakowaą, zaś A ( x) 0,67 ozacza asymetę slą. Wykes udełkowy (amkowy) Wykes te służy obazowau ozkładu aalzowaej cechy: Bzeg udełka to odowedo ewszy tzec kwatyl. La w śodku zedstawa medaę, zaś dodatkowy symbol (tutaj + ) ezetuje watość śedą. Zóżcowae cechy moża oceć o szeokośc udełka oaz o długośc tzw. wąsów, z któych lewy kończy sę w ukce ( x Q x Q x ), zaś awy w ukce m ( x, Q ( x) Q( x) ) max, ( ) ( ) m 4 max 4 +. W ektóych oacowaach, końcówk wąsów wyzacza sę boąc ółtoa odchylea ćwatkowego, zamast tzech (jak w owyższym wzoze). Jeszcze y sosób każe zyjmować koec lewego wąsa w x m, zaś awego w x max. Dodatkowo, z elacj omędzy kwatylam moża woskować o (a)symet ozkładu cechy (. medaa zesuęta w stoę ewszego kwatyla wskazuje a asymetę awostoą). O (a)symet

7 moża też woskować z długośc wąsów (. odowedo dłuższy lewy wąs śwadczy o ozcągętym lewym ameu ozkładu cechy). Watośc cechy wyadające oza wąsy, to tzw. watośc etyowe odbegające od ozkładu cechy.