PRACA DYPLOMOWA. Wydziaª Podstawowych Problemów Techniki. Metody Oceny Ryzyka Operacyjnego (Methods of Operational Risk Assessment) Katarzyna Smaga

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "PRACA DYPLOMOWA. Wydziaª Podstawowych Problemów Techniki. Metody Oceny Ryzyka Operacyjnego (Methods of Operational Risk Assessment) Katarzyna Smaga"

Transkrypt

1 Wydziaª Podstawowych Problemów Techniki PRACA DYPLOMOWA Metody Oceny Ryzyka Operacyjnego (Methods of Operational Risk Assessment) Katarzyna Smaga Promotor: dr hab. Rafaª Weron sªowa kluczowe: Ryzyko Operacyjne Umowa Bazylejska Teoria warto±ci ekstremalnych Extreme Value Theory (EVT) Warto± nara»ona na ryzyko Value at Risk (VaR) streszczenie: Praca dotyczy oceny ryzyka operacyjnego. Przedstawiono przegl d metod proponowanych przez Komitet Bazylejski oraz zaprezentowano metod modelowania rozkªadu strat operacyjnych z u»yciem teorii warto±ci ekstremalnych. Algorytmy zostaªy zaimplementowane w ±rodowisku MatLab. Przeprowadzono testy zgodno±ci oraz wyliczono warto±ci nara»one na ryzyko. Wrocªaw 2009

2

3 Spis treści Wstęp v Rozdział 1. Ryzyko operacyjne Definicja ryzyka operacyjnego Historyczne straty operacyjne Techniki szacowania ryzyka operacyjnego Rozdział 2. Dane Opis bazy danych Wizualizacja Statystyki opisowe Rozdział 3. Dobór rozkładu Rozkład wielkości szkody Rozdział 4. Wykorzystanie teorii wartości ekstremalnych (EVT) Wybór progu Mean Excess Plot Wykres estymatora parametru kształtu Wykres Gertensgarbe-Wernera Dopasowanie Modelu GPD Skalowanie rozkładu Dokładność doboru modelu Test KS porównujący rozkłady dwóch próbek Testy graficzne Test oparty na residuach Rozdział 5. VaR i badanie modelu Estymacja kwantyli wyższych rzędów Badanie dokładności estymacji kwantyli Test Kupca Rozdział 6. Modelowanie wielkości straty mieszaniną rozkładów Model dla strat poniżej progu Mieszanina rozkładów Weibulla Model wielkości straty Test Andersona-Darlinga Test Kupca Test Crnkovica-Drachmana Rozdział 7. Dobór rozkładu do częstości występowania strat Process Poissona dla rozkładu GPD wielkości szkody Niejednorodny proces Poissona jako proces liczący liczby strat Wybór odpowiedniej funkcji intensywności λ(t)

4 iv Spis treści Rozdział 8. Rozkład złożony Symulacja metodą Monte Carlo Test Andersona-Darlinga Test Kupca Test Crnkovica-Drachmana Rozdział 9. Zakończenie Dodatek A. Teoria wartości ekstremalnych Extreme Value Theory (EVT) Dodatek B. Proces Poissona B.1. Jednorodny proces Poissona (HPP) B.2. Niejednorodny proces Poissona (NPP) B.2.1. Symulowanie NPP - metoda rozcieńczania Bibliografia

5 Wstęp Ocena ryzyka operacyjnego stanowi ważny element zarządzania ryzykiem. Zgodnie z definicją, przyjętą przez Komitet Bazylejski, straty operacyjne wynikają głównie z błędów popełnianych przez ludzi, bądź są spowodowane czynnikami zewnętrznymi. Z tego powodu są one nieodłącznym elementem funkcjonowania przedsiębiorstw. Analiza historycznych przypadków prowadzi do wniosku, że wielkość strat tego typu może sięgać setek miliardów dolarów, dlatego monitorowanie ryzyka operacyjnego nie może być zaniedbywane. Bazylejski Komitet Nadzoru Bankowego w dokumencie zwanym Umową Kapitałową przedstawia podstawowe metody oceny ryzyka operacyjnego. Najdoskonalszą z nich jest tzw. Metoda Rozkładu Straty Loss Distribution Approach. Polega ona na dobraniu pewnych rozkładów prawdopodobieństwa do danych opisujących wielkość szkody oraz do danych o częstości występowania strat, a następnie na połączeniu ich w rozkład złożony. Główną częścią niniejszej pracy jest zaimplementowanie metody LDA. Rozkłady strat operacyjnych charakteryzują się grubymi ogonami, co oznacza, że z dodatnim prawdopodobieństwem mogą pojawiać się straty o nietypowych, ekstremalnie dużych wartościach. Z tego powodu potrzebne są modele dobrze opisujące obszar ogonowy rozkładu. Najbardziej powszechną metodą stosowaną do modelowania obszaru ogonowego rozkładu strat jest wykorzystanie Teorii Wartości Ekstremalnych (EVT Extreme Value Theory). W niniejszej pracy zastosowano jedną z metod EVT Peaks Over Treshold (POT). Model częstości występowania strat oparty został na niejednorodnym procesie Poissona. Na każdym etapie przeprowadzono szereg testów statystycznych sprawdzających zgodność modelu z danymi rzeczywistymi. Plan pracy: 1. Analiza historycznych przypadków strat operacyjnych 2. Przedstawienie metod oceny ryzyka operacyjnego zaproponowanych przez Komitet Bazylejski 3. Zastosowanie metody POT dobór modelu opartego na uogólnionym rozkładzie Pareto (GPD) do ogona rozkładu strat 4. Model dla całościowego rozkładu strat modelowanie mieszaniną rozkładów GPD i Weibulla 5. Model częstości występowania szkód 6. Model złożony

6

7 Rozdział 1 Ryzyko operacyjne 1.1. Definicja ryzyka operacyjnego Definicja ryzyka operacyjnego ewoluowała znacząco na przestrzeni ostatnich 12 lat. Od lat 50-tych zaczęto zauważać potrzebę kontrolowania rzadkich, ale katastrofalnych w skutkach wypadków. Termin ryzyko operacyjne został prawdopodobnie wspomniany po raz pierwszy po niechlubnym przypadku bankructwa banku Barringsa w 1995 roku. Jeden z maklerów - Nick Leeson, poprzez prowadzenie nielegalnych transakcji naraził bank na stratę 1.3 miliarda dolarów. To wydarzenie pokazało, że istnieją wcześniej ignorowane rodzaje ryzyka, które mogą w znaczący sposób odbić się na rynku finansowym. Ponieważ przypadki takie jak bank Barringsa nie mogły być zaklasyfikowane jako ryzyko kredytowe, ani rynkowe powstał termin ryzyka operacyjnego. Obecnie banki estymują, że ryzyko, które ponoszą dzieli się na ryzyko kredytowe (50%), ryzyko rynkowe i płynności (15%) oraz ryzyko operacyjne (35%) [7]. Formalnie definicja ryzyka operacyjnego została wprowadzona przez Bazylejski Komitet Nadzoru Bankowego, który opracował zespół najlepszych praktyk rynkowych w zakresie zarządzania ryzykiem finansowym w sektorze bankowym, bezpieczeństwa oraz poziomu kapitału koniecznego do utrzymywania przez banki. Pierwsza wersja dokumentu opublikowana w 1988 roku zwana jest Umową Kapitałową. Jej rozbudowana i uaktualniona wersja znana jest pod nazwą Basel II / Nowa Umowa Kapitałowa (NUK) [19]. Według NUK ryzyko operacyjne to ryzyko strat spowodowanych niewłaściwymi lub zawodnymi procesami wewnętrznymi, błędem ludzkim lub czynnikami natury zewnętrznej Historyczne straty operacyjne Analizując bazy danych strat operacyjnych możemy zauważyć występowanie przypadków o niskiej frekwencji, przy jednoczesnych ekstremalnych możliwych wartościach zaistniałej szkody. Poniżej przedstawiono kilka przykładów ekstemalnie dużych strat operacyjnych [6, 22]: 1. Orange Country W 1994 roku wzrost stóp procentowych spowodował bankructwo Orange Country, które straciło 1.7 miliarda dolarów. Było to wynikiem działania zarządcy finansowego, Boba Citrona, który zainwestował rezerwowe zasoby finansowe powiatu w instrumenty pochodne ściśle związane ze stopami procentowymi.

8 2 Rozdział 1. Ryzyko operacyjne 2. Daiwa W lipcu 1995 roku Toshihide Iguchi, makler japońskiego banku Daiwa ujawnił zarządowi banku stratę 1.1 miliarda dolarów. Była ona wynikiem nieautoryzowanych transakcji, których Iguchi dokonał na przestrzeni 11 lat. 3. NatWest W lutym 1997 roku bank inwestycyjny NatWest ogłosił stratę 150 milionów dolarów z powodu nieupoważnionych transakcji zawartych przez młodszego maklera, który użył własnych, przeszacowanych prognoz zmienności rynku przy wycenie opcji. 4. Nomura Securities W marcu 1997 roku Nomura Securities ogłosiło, że dwójka dyrektorów dokonała nieupoważnionych transakcji akcjami, a profity z nich przelała na konta klientów. W rezultacie cena akcji spadła o 16%, a strata wyniosła przynajmniej 413 milionów dolarów. 5. Long Term Capital Managmenent LTCM był funduszem hedgingowym. Wśród jego założycieli znajdowali się dwaj nobliści Myron Scholes i Robert Merton. Działalność funduszu opierała się na wyszukiwaniu możliwość arbitrażu na rynku i generowaniu zysków dzięki zastosowaniu strategii zabezpieczających. W 1998 roku LTCM stracił 4,6 mld dolarów w niecałe 4 miesiące, gdy jego pozycje zaczęły przynosić straty po rozpoczęciu kryzysu rosyjskiego Techniki szacowania ryzyka operacyjnego Do oceny obciążenia kapitału firmy z tytułu ryzyka operacyjnego Komitet Bazylejski proponuje 3 metody: 1. Metoda wskaźnika podstawowego Basic Indicator Approach (BIA) Jest to najprostsze z zaproponowanych rozwiązań. Polega na przemnożeniu średniego dochodu brutto z ostatnich 3 lat (GI) przez parametr α K op = αgi Współczynnik α jest ustalany przez Komitet i aktualnie wynosi 15% [12]. 2. Metoda standardowa Standardized Approach (SA) W przypadku tej metody wynik brutto banku zostaje rozbity na 8 linii biznesowych określonych przez Komitet Bazylejski. Każda z nich posiada własny zdefiniowany wskaźnik β (patrz tabela 1.1). Miernikiem wrażliwości na ryzyko operacyjne są średnie wyniki brutto w poszczególnych liniach biznesowych z ostatnich 3 lat (GI i ) i wskaźniki β i. 8 K op = β i GI i i=1 3. Metoda zaawansowanego pomiaru Advanced Measurement Approach (AMA) W podejściu zaawansowanym obliczenie wielkości kapitału regulacyjnego

9 1.3. Techniki szacowania ryzyka operacyjnego 3 Tabela 1.1. Podział na linie biznesowe i wartości współczynników w metodzie standardowej Linia biznesowa Współczynnik Bankowość korporacyjna 18% Bankowość inwestycyjna 18% Bankowość detaliczna 12% Bankowość komercyjna 15% Rozliczenia 18% Usługi pośrednictwa 15% Zarządzanie aktywami 12% Pośrednictwo brokerskie 12% jest efektem zastosowania wewnętrznych modeli pomiaru ryzyka operacyjnego, opartych na kryteriach ilościowych i jakościowych. Modelowanie w ramach tej metody wymaga akceptacji przyjętych w banku metodologii przez nadzór bankowy. Jedną z zaproponowanych przez Komitet metod jest metoda wewnętrznego pomiaru Internal Measurement Approach (IMA). Oprócz podziału na linie biznesowe rozpatruje się też podział na 7 typów strat/ryzyka (patrz tabela 1.2). Tabela 1.2. Podział na typy strat/ryzyka Typy strat/ryzyka Wewnętrzna defraudacja Zewnętrzna defraudacja Procedura zatrudnienia i bezpieczeństwo miejsca pracy Postępowania biznesowe z klientami Fizyczne zniszczenia Awarie systemowe i przerwy w interesach Zarządzanie procesami, wykonawstwem i dostawą Obciążenie kapitału oblicza się ze wzoru: 8 7 K op = γ ik ES ik, i=1 k=1 gdzie ES ik jest oczekiwaną zagregowaną szkodą z k-tego powodu w i-tej linii biznesowej, a γ ik jest czynnikiem skalującym. Najbardziej udoskonaloną metodą jest podejście Rozkładu Straty Loss Distribution Approach (LDA), które opiera się na modelowaniu rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej opisującej straty, które wystąpiły w zadanym okresie czasu. Implementacja tej metody będzie przedmiotem niniejszej pracy.

10

11 Rozdział 2 Dane Dane, którymi można posłużyć się przy ocenie ryzyka operacyjnego metodą LDA mogą pochodzić z trzech źródeł: Dane wewnętrzne Szereg czasowy złożony z historycznych przypadków strat operacyjnych, które wystąpiły w danej firmie jest prawdopodobnie najbardziej wiarygodnym źródłem danych do oceny ryzyka operacyjnego. Komitet Bazylejski wymaga od banków gromadzenia danych z przynajmniej 5 lat, aby mogły stosować jedną z metod zaawansowanego pomiaru. Należy jednak rozpatrzyć dwie kwestie: w danym momencie firma może jeszcze nie dysponować wystarczająco dużą bazą danych lub może okazać się, że okres 5 lat był za krótki, żeby mogły wystąpić szkody o niskiej frekwencji występowania, ale o dużej wielkości. Dla pełnej oceny ryzyka może okazać się konieczne połączenie wewnętrznej bazy danych z danymi zewnętrznymi. Dane zewnętrzne Istnieją firmy oferujące bazy strat operacyjnych, które mogą zostać użyte do modelowania rozkładów strat. Zaletą takich baz jest zazwyczaj duża liczba danych, pochodzących z wielu instytucji. Dane zewnętrzne powinny być w odpowiedni sposób połączone z danymi wewnętrznymi. Jeden ze sposobów mieszania danych przedstawiony jest w [13]. Estymacja ekspercka Trzecią możliwością zdobycia odpowiednich danych jest zaangażowanie ekspertów, którzy są w stanie oszacować potrzebne parametry. Oczywiście takie rozwiązanie będzie oparte na subiektywnej opinii i z tego powodu musi być nieustannie poddawane testom sprawdzającym jego adekwatność Opis bazy danych Wykorzystane w niniejszej pracy dane pochodzą z bazy IC 2 Operational Loss Database First udostępnionej przez IC 2 Zurich. Baza zawiera informacje o 2845 przypadkach, które zostały podane do wiadomości publicznej. Lata występowania szkód zawarte są w przedziale od 1950 do 2002 roku, jednak przeważająca większość przypadków wystąpiła po roku Dane zostały podzielone na 5 grup, ze względu na przyczynę wystąpienia straty: 1. Błędy ludzkie Human Do tej grupy zaliczane są straty powstałe w wyniku błędów ludzkich wewnątrz firmy (błędy pracowników) lub poza nią (np. wyłudzenia klientów).

12 6 Rozdział 2. Dane 2. Błędy procesowe Process Straty odzwierciedlające słabości w procedurach. Np. brak zgodności w wewnętrznych procesach lub w relacjach z klientami. 3. Zła organizacja pracy Relationship Ryzyko wynikające np. ze zmian w zarządzie, sposobów komunikacji w firmie. 4. Błędy technologiczne Technology Awarie sprzętowe, błędy w oprogramowaniu, awarie sieci lub innych technologii. Również luki w zabezpieczeniach systemów informatycznych. 5. Przyczyny zewnętrzne External Obszar ryzyka powodowanego zewnętrznymi przyczynami takimi jak postępowania sądowe lub katastrofy naturalne. W niektórych przypadkach zdiagnozowano więcej niż jedną przyczynę powstania szkody. Konieczne było usunięcie z bazy takich danych, ponieważ w modelu przyjmuje się założenie o niezależności zmiennych w poszczególnych grupach (zob. definicja 1 rozdział 3). Wielkości strat podane są w różnych walutach, większość (91%) w dolarach amerykańskich. Pozostałe dane zostały przewalutowane zgodnie ze średnimi rocznymi kursami walut. Zostały również uwzględnione współczynniki inflacji wyliczane na koniec każdego roku, przez które odpowiednio przemnożono dane Wizualizacja Na rysunku 2.1 przedstawiono wielkość straty w poszczególnych latach. Każdy punkt wykresu oznacza pojedynczą stratę. Już na tym etapie możemy zauważyc gruboogonowy charakter rozkładów. Widoczne są rzadkie, ale ekstremalnie wysokie straty. Na rysunku 2.2 przedstawiono liczbę strat w poszczególnych latach. Można zauważyć wyraźne rosnące trendy Statystyki opisowe Tabela 2.1 zawiera podstawowe statystyki opisowe rozkładów wielkości strat w poszczególnych grupach. Tabela 2.1. Podstawowe statystyki rozkładu wielkości strat rozkład Human Process Relationship Technology External minimum maksimum 6.75e e e e e11 średnia 3.25e9 4.47e9 1.99e9 1.69e9 2.02e9 wariancja 9.75e e e e e20 skośność kurtoza

13 2.3. Statystyki opisowe 7 (a) Human (b) Process (c) Relationship (d) Technology (e) External Rysunek 2.1. Wielkości strat w poszczególnych grupach Obserwując wartości minimum można zauważyć, że wszystkie wartości są dodatnie. Maksymalne wartości strat sięgają setek miliardów dolarów, co wpływa na wysoką wartość średniej. Ogromne wartości wariancji świadczą o dużym rozrzucie wśród danych. Dodatnia kurtoza oznacza grubszy ogon niż rozkładu normalnego. Dodatnia skośność świadczy o tym, że prawy ogon jest grubszy od lewego. Możemy wnioskować, że ekstremalne wartości strat są obserwacjami nietypowymi, a rozkład jest gruboogonowy.

14 8 Rozdział 2. Dane (a) Human (b) Process (c) Relationship (d) Technology (e) External Rysunek 2.2. Liczba strat w poszczególnych grupach

15 Rozdział 3 Dobór rozkładu Aby skutecznie móc prognozować przyszłe straty operacyjne potrzebny jest model strat. Do jego stworzenia zostanie użyta baza danych IC 2 Operational Loss Database First (patrz rozdział 2). Model będzie składał się z dwóch części: modelu wielkości straty i modelu frekwencji występowania szkód. Aby uzasadnić, że modelowanie osobno wielkości i liczby strat jest konieczne posłużmy się przykładem [7]. Załóżmy, że w celu uniknięcia ataku hakerów na stronę internetową firmy instalujemy zaporę sieciową (firewall). Na pewno wpłynie on na ilość skutecznych ataków hakerskich, jednak jeśli niepożądana osoba złamie zabezpieczenia, szkody jakie poniesie firma prawdopodobnie będą podobnie dotkliwe jak w przypadku, gdyby zapora nie była zainstalowana. Podobnie można znaleźć przykład działania, które ograniczny wielkość szkody, ale nie częstotliwość jej występowania. Przyjmujemy następującą definicję: Definicja 1. Model strat [3] 1. Proces wielkości straty: Zmienne (X k ) k N są dodatnie, niezależne i pochodzą z jednego rozkładu (iid). Opisują wielkość losowo występującej straty. 2. Proces frekwencji występowania szkody: N t jest losową liczbą strat, które wystąpiły w przedziale czasowym [0, t], gdzie t 0. Proces liczący (N t ) t 0 jest generowany przez sekwencję punktów (T n ) n 1 nieujemnych zmiennych losowych spełniających nierówność: 0 T 1 T 2... oraz N t = sup{n 1 : T n t}, t Procesy wielkości straty i frekwencji występowania strat są niezależne 4. Proces zagregowanej straty: N t S t = X i, t 0 i=1 W ubezpieczeniach taki model nosi nazwę modelu ryzyka kolektywnego. Dane podzielone są na 5 grup związanych z przyczyną powstania szkody. W związku z tym stworzone zostanie 5 modeli, po jednym dla każdej grupy ryzyka.

16 10 Rozdział 3. Dobór rozkładu 3.1. Rozkład wielkości szkody Pierwszą próbą dobrania modelu do wielkości straty będzie dobór pewnego rozkładu gruboogonowego przy użyciu metody największej wiarogodności [4]. Do estymacji parametrów użyte zostały algorytmy zaimplementowane w środowisku MatLab. Wybrano 4 rozkłady najlepiej dopasowujące się do danych, a następnie przy pomocy testu Kołmogorowa-Smirnowa (KS) porównano dystrybuanty empiryczne 1 z dystrybuantami rozkładów o wyestymowanych parametrach (wykresy dystrybuant zawiera rysunek 3.1). Tabela 3.1 przedstawia p-wartości testu KS. Tabela 3.1. Test Kołmogorowa-Smirnowa rozkład Human Process Relationship Technology External lognormalny weibulla 1.49e wykładniczy 1.71e e e e e-69 gamma 1.94e e e e-9 Jedynie rozkłady lognormalny i Weibulla mogą być uznane za dobrze opisujące wielkość szkody. Aby sprawdzić czy dopasowanie jest dobre w obszarze ogonowym rozkładu, przeprowadzimy test Andersona-Darlinga. Statystyka A dla próby X 1,..., X n ma następującą postać: S = n k=1 2k 1 n [log (F (X k )) + log (1 F (X n+1 k ))], A = n S, (3.1) gdzie F jest dystrybuantą rozkładu teoretycznego. Otrzymane wartości przedstawione są w tabeli 3.2. Tabela 3.2. Test Andersona-Darlinga rozkład Human Process Relationship Technology External lognormalny 1.22 (0.75) 0.78 (0.76) 1.48 (0.73) 0.76 (0.74) 1.60 (0.75) weibulla 7.72 (0.76) 1.71 (0.76) 3.52 (0.75) 0.90 (0.74) 2.22 (0.73) Wartości statystyki należy porównać z otrzymanymi metodą Monte Carlo wartościami krytycznymi, które podano w nawiasach. Wszystkie wartości w 1 Dystrybuantą empiryczną ciągu zmiennych losowych X 1,..., X n nazywamy ˆF X (x) = 1 n n i=1 1 {Xi<x}

17 3.1. Rozkład wielkości szkody 11 (a) Human (b) Process (c) Relationship (d) Technology (e) External Rysunek 3.1. Dystrybuanta empiryczna rozkładu wraz z dopasowanymi dystrybuantami teoretycznymi tabeli 3.2 są większe od odpowiednich wartości krytycznych, co oznacza, że żaden z rozkładów nie opisuje dobrze ogona rozkładu strat. Potrzebne będą modele lepiej opisujące ten rejon, ponieważ odpowiada on stratom, których wystąpienie jest mało prawdopodobne, jednak jeśli się pojawią, ich wartość będzie ekstremalna. To właśnie straty tego rodzaju powodują największe spustoszenia w finansach firm i przewidywanie ich będzie jednym z celów ninejszej pracy.

18

19 Rozdział 4 Wykorzystanie teorii wartości ekstremalnych (EVT) W tym rozdziale przedstawiona zostanie metoda doboru modelu GP D (uogólniony rozkład Pareto) do ogona rozkładu wielkości strat X z wykorzystaniem teorii wartości ekstremalnych (patrz dodatek A). Dystrybuanta rozkładu GP D przedstwia się następująco: 1 ( ) 1 + ξ x µ 1 ξ, jeśli ξ 0 GP D ξ,σ,µ (x) = σ 1 exp ( ) (4.1) x σ, jeśli ξ = 0 Używana będzie również dwuparametrowa wersja uogólnionego rozkładu Pareto: GP D ξ,σ, która jest równoważna GPD ξ,σ, Wybór progu Jak wspomniano w poprzednim rozdziale, część ogonowa rozkładu strat jest najbardziej istotna przy ocenie ryzyka operacyjnego. Straty z tego obszaru występują rzadko, ale charakteryzują się dużymi wartościami. Metoda wartości ekstremalnych polega na modelowaniu tylko ogona rozkładu. Kluczowy będzie odpowiedni wybór progu u. Wartości poniżej progu są ignorowane, a te powyżej modelowane jednym z rozkładów wartości ekstremalnych. W niniejszej pracy wykorzystany zostanie uogólniony rozkład Pareto (GPD), ponieważ jest on najczęściej używany do modelowania strat operacyjnych. Rysunek 4.1 przedstawia ideę podziału danych na dane poniżej i powyżej progu u. W kolejnych paragrafach zostaną przedstawione najpopularniejsze metody wyboru odpowiedniej wartości progu Mean Excess Plot Użytecznym narzędziem do oceny gruboogonowej natury rozkładu jest zastosowanie tzw. wykresu średniej nadwyżki ponad próg mean excess. Estymatorem funkcji e(u) = E(X u X > u) jest e n (u) = 1 #{1 i n : X i > u} n (X i u) + (4.2) i=1 Wykres mean excess dla rozkładów gruboogonowych jest liniowy i rosnący, rozkładów wykładniczych jest stały, natomiast rozkłady lekkoogonowe charakteryzują się wykresem malejącym do zera. Na rysunku 4.2 przedstawiono wykres estymatora (4.2) w zależności od progu u.

20 14 Rozdział 4. Wykorzystanie teorii wartości ekstremalnych (EVT) Rysunek 4.1. Straty ponad progiem u Metoda wyboru progu oparta na wykresie mean excess opiera się na wyborze miejsca, od którego wykres staje się liniowy. Ignorujemy prawą część wykresu, gdzie jego punkty charakteryzują się dużym rozrzutem, ponieważ wynika to z zastosowanej techniki - w końcowej fazie algorytmu średnia obliczana jest na podstawie tylko kilku wartości Wykres estymatora parametru kształtu Ta metoda polega na estymowaniu parametru kształtu w zależności od wyboru progu. Na rysunku 4.3 Przedstawiono wartości estymatora największej wiarogodności parametru ξ wraz z 95% przedziałami ufności. W idealnym przypadku wykresy powinny się stabilizować powyżej pewnej wartości progu. Powyższa analiza została przeprowadzona na podstawie [11] Wykres Gertensgarbe-Wernera Powyższe testy charakteryzują się małą dokładnością wyboru odpowiedniego progu, ponieważ pożądana wartość, którą trzeba odczytywać z wykresu, nie zawsze jest łatwo zauważalna. Metoda Gertensgarbe-Wernera jest pod tym względem o wiele bardziej jednoznaczna. Zgodnie z [5] należy przeprowadzić następującą procedurę: Obliczamy różnice i pomiędzy kolejnymi statystykami pozycyjnymi X [1], X [2],..., X [n] : i = X [i] X [i 1], i = 2, 3,..., n Ideą metody jest założenie, że zachowanie różnic odpowiadających wartościom ekstremalnym będzie inne, niż to odpowiadające wartościom nieekstremalnym. Miejsce zmiany zachowania będzie widoczne na wykresie wartości

21 4.1. Wybór progu 15 (a) Human (b) Process (c) Relationship (d) Technology (e) External Rysunek 4.2. Estymator warunkowej wartości oczekiwanej wielkości straty ponad progiem i, i = 2, 3,..., n. W celu zidentyfikowania tego punktu zastosujemy sekwencyjną wersję testu Manna-Kendalla. W tym teście znormalizowany szereg wartości U i zdefiniowany jest następująco [5]: U i = U i i(i 1) 4 i(i 1)(i+5) 72 gdzie Ui = i n k, a n k jest liczbą wartości 1,..., k mniejszych od k. k=1 Kolejna seria U p jest obliczana w oparciu o tą samą procedurę zastosowaną

22 16 Rozdział 4. Wykorzystanie teorii wartości ekstremalnych (EVT) (a) Human (b) Process (c) Relationship (d) Technology (e) External Rysunek 4.3. Wartości estymatora największej wiarogodności parametru kształtu w zależności od progu do szeregu różnic od końca do początku, n,..., 1, zamiast od początku do końca. Punkt przecięcia się obu wykresów odpowiada prawdopodobnemu punktowi zwrotnemu. Na rysunku 4.4 przedstawiono wykresy Gertensgarbe-Wernera dla każdej z grup ryzyka. Tabela 4.1 przedstawia pożądane wartości progu u, które odczytujemy jako wartość statystyki X k, gdzie k jest odciętą punktu przecięcia się wykresów.

23 4.2. Dopasowanie Modelu GPD 17 (a) Human (b) Process (c) Relationship (d) Technology (e) External Rysunek 4.4. Wykres Gertensgarbe-Wernera z zaznaczonym punktem przecięcia Tabela 4.1. Pożądana wartość progu Human Process Relationship Technology External u 9.90e7 5.01e8 1.38e8 9.40e7 1.59e Dopasowanie Modelu GPD Zgodnie z twierdzeniem Balkema i de Haana oraz Pickandsa, dane powyżej wybranego omawianymi w rozdziale 4.1 metodami progu u, powinny pochodzić z rozkładu uogólnionego Pareto. Niektóre źródła (takie jak [10]) proponują wybór takiego progu, aby ponad nim znalazło się jedynie 10% obserwacji. Tabela 4.2 przedstawia p-wartości testu Kołmogorowa-Smirnowa badającego zgodność rozkładu GPD, o wyestymowanych za pomocą metody ML współczynnikach, z empirycznym rozkładem strat X u. Źródła takie jak

24 18 Rozdział 4. Wykorzystanie teorii wartości ekstremalnych (EVT) [15, 16] polecają użycie estymatorów największej wiarogodności do estymacji parametrów modelu. Tabela 4.2. P-wartości testu KS próg Human Process Relationship Technology External u tab X 90% Testy przeprowadzono na poziomie istotności We wszystkich przypadkach możemy uznać modele za dobrze dopasowane do danych rzeczywistych, ponieważ p-wartości są wyższe od zadanego poziomu istotności. Widać jednocześnie, że wybór wyższego progu powoduje lepsze dopasowanie. Należy jednak pamiętać, że za wysoki próg spowoduje odrzucenie zbyt wielu danych. Może to spowodować istotne zaniżenie sumarycznej wielkości szkody w zadanym okresie czasowym Skalowanie rozkładu W rozdziale 4.2 dobrano rozkład do danych obciętych z dołu przez próg u. W celu uzyskania rozkładu całych (nieobciętych) danych chcemy przedstawić dystrybuantę F strat X poprzez dystrybuantę rozkładu GP D, dopasowaną do danych X u (ozn. F u ). Postępujemy zgodnie z [5] (patrz też [2]). Oznaczmy F = 1 F, wtedy F u (x) = P [X u x X > u] = F (u + x). F (u) Stąd i z aproksymacji rozkładem GP Dˆξ,ˆσ wartości ponad progiem u otrzymujemy: F (u + x) F (u) ( 1 GP Dˆξ,ˆσ (x) ) Jako estymatora F (u) można użyć dystrybuanty empirycznej w punkcie u otrzymując: F (u + x) = N ( u 1 GP n Dˆξ,ˆσ (x) ) gdzie N u oznacza liczbę obserwacji ponad progiem u, a n liczbę wszytskich obserwacji. Podsumowując możemy oszacować prawdopodobieństwo, że strata będzie większa niż y, gdzie y > u jako: F (y) = N ( u 1 GP n Dˆξ,ˆσ (y u) ) (4.3) Łatwo zauważyć, że F jest również dystrybuantą rozkładu GPD z parametrami: ξ = ˆξ ( σ = ˆσ 1 N u n )ˆξ µ = u ˆσˆξ ( 1, 1 N u n )ˆξ. (4.4)

25 4.4. Dokładność doboru modelu 19 Uwaga: Innymi słowy ogon rozkładu wielkości strat X X > u jest modelowany ogonem dystrybuanty F, czyli P (X > y) F (y), dla y > u (4.5) Uwaga: Wprowadzamy następujące notacje: Definicja 2. Poprzez GP D ξ,σ rozumieć będziemy warunkowy rozkład uogólniony Pareto dobrany do danych X u X > u Poprzez całościowy GP D (GP D ξ,σ,µ ) rozumieć będziemy rozkład przeskalowany zgodnie z wzorem (4.4) Dokładność doboru modelu W poprzednim paragrafie przedstawiono p-wartości testu KS porównującego wartość dystrybuanty empirycznej z dystrybuantą rozkładu GPD danych X u. Po przeskalowaniu modelu nie możemy już użyć tego testu, ponieważ dystrybuanta dobrana jest tylko do ogona rozkładu. W tym paragrafie omówione zostaną sposoby oceny dokładności doboru modelu do danych X opisujących wielkości strat Test KS porównujący rozkłady dwóch próbek Zgodnie ze wzorami (4.3) i (4.4) możemy wygenerować próbkę z rozkładu F (y) GP D ξ, σ, µ i porównać rozkład jej ogona (GP D ξ, σ, µ (y) dla y > u) z rozładem ogona strat X (F (y) dla y > u). Rozkłady obu próbek możemy porównać przy użyciu tesu Kołmogorowa-Smirnowa. Tabela 4.3 przedstawia średnie p-wartości zwracane przez test. Tabela 4.3. P-wartości testu KS próg Human Process Relationship Technology External u tab X 90% Notacja u tab. 4.1 oznacza, że jako próg u przyjęto wartość obliczoną na podstawie wykresu Gertensgarbe-Wernera. X 90% oznacza u równe kwantylowi próbkowemu zmiennej X na poziomie 90%. Wszytskie p-wartości są większe od zadanego poziomu istotności 0.05, dlatego w żadnym z przypadków nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy o zgodności rozkładu teoretycznego z rozkładem empirycznym Testy graficzne Na rysunku 4.5 przedstawiono graficzne porównanie obu dystrybuant. Jako próg przyjęto wartości wynikające z tabeli 4.1. Analogiczne porównanie dla ogona powyżej progu u = X 90% widoczne jest na rysunku 4.6. Testy graficzne nie są testami dokładnymi, jednak jesteśmy w stanie stwierdzić, że dopasowanie rozkładu w obszarze ogona jest dużo lepsze niż

26 20 Rozdział 4. Wykorzystanie teorii wartości ekstremalnych (EVT) (a) Human (b) Process (c) Relationship (d) Technology (e) External Rysunek 4.5. Porównanie ogonów dystrybuant empirycznej i teoretycznej rozkładu wielkości straty. Wielkość progu wynikająca z tabeli 4.1 dopasowanie przedstawione na rysunku 3.1. Na rysunku 4.5(a) widać rozbieżność od około 97%-towego kwantyla. Obserwacja tej samej części rysunku 4.6 pozwala stwierdzić, że użycie wyższego progu, niż ten wynikający z tabeli 4.1 da lepsze dopasowanie rozkładu GP D ξ, σ, µ do ogona rozkładu empirycznego zmiennej X. Ostatecznie zdecydowano się dla danych z grupy ryzyka Human wybrać próg u =

Metody oceny ryzyka operacyjnego

Metody oceny ryzyka operacyjnego Instytut Matematyki i Informatyki Wrocław, 10 VII 2009 Bazylejski Komitet Nadzoru Bankowego Umowa Kapitałowa - 1988 Opracowanie najlepszych praktyk rynkowych w zakresie zarządzania ryzykiem Nowa Umowa

Bardziej szczegółowo

Ryzyko operacyjne metoda zaawansowana. Wyzwania

Ryzyko operacyjne metoda zaawansowana. Wyzwania Ryzyko operacyjne metoda zaawansowana. Wyzwania dr Paweł Matkowski LUKAS BANK SA 1 Ryzyko operacyjne: up-date Dokumenty regulacyjne status: Dyrektywy europejskie: 2006/48/WE, 2006/49/WE Projekty uchwał

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej 7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r. Zadanie. W pewnej populacji każde ryzyko charakteryzuje się trzema parametrami q, b oraz v, o następującym znaczeniu: parametr q to prawdopodobieństwo, że do szkody dojdzie (może zajść co najwyżej jedna

Bardziej szczegółowo

ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH

ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH 1 ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH WFAiS UJ, Informatyka Stosowana II stopień studiów 2 Wnioskowanie statystyczne dla zmiennych numerycznych Porównywanie dwóch średnich Boot-strapping Analiza

Bardziej szczegółowo

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com Analiza korelacji i regresji KORELACJA zależność liniowa Obserwujemy parę cech ilościowych (X,Y). Doświadczenie jest tak pomyślane, aby obserwowane pary cech X i Y (tzn i ta para x i i y i dla różnych

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący

Bardziej szczegółowo

Projekt zaliczeniowy z przedmiotu Statystyka i eksploracja danych (nr 3) Kamil Krzysztof Derkowski

Projekt zaliczeniowy z przedmiotu Statystyka i eksploracja danych (nr 3) Kamil Krzysztof Derkowski Projekt zaliczeniowy z przedmiotu Statystyka i eksploracja danych (nr 3) Kamil Krzysztof Derkowski Zadanie 1 Eksploracja (EXAMINE) Informacja o analizowanych danych Obserwacje Uwzględnione Wykluczone Ogółem

Bardziej szczegółowo

Porównanie generatorów liczb losowych wykorzystywanych w arkuszach kalkulacyjnych

Porównanie generatorów liczb losowych wykorzystywanych w arkuszach kalkulacyjnych dr Piotr Sulewski POMORSKA AKADEMIA PEDAGOGICZNA W SŁUPSKU KATEDRA INFORMATYKI I STATYSTYKI Porównanie generatorów liczb losowych wykorzystywanych w arkuszach kalkulacyjnych Wprowadzenie Obecnie bardzo

Bardziej szczegółowo

Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3

Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3 Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3 21.06.2005 r. 4. Planowanie eksperymentów symulacyjnych Podczas tego etapu ważne jest określenie typu rozkładu badanej charakterystyki. Dzięki tej informacji

Bardziej szczegółowo

ANALIZA STATYSTYCZNA WYNIKÓW BADAŃ

ANALIZA STATYSTYCZNA WYNIKÓW BADAŃ ANALIZA STATYSTYCZNA WYNIKÓW BADAŃ Dopasowanie rozkładów Dopasowanie rozkładów- ogólny cel Porównanie średnich dwóch zmiennych 2 zmienne posiadają rozkład normalny -> test parametryczny (t- studenta) 2

Bardziej szczegółowo

Analiza danych. http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU

Analiza danych. http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Analiza danych Wstęp Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Różne aspekty analizy danych Reprezentacja graficzna danych Metody statystyczne: estymacja parametrów

Bardziej szczegółowo

Sposoby prezentacji problemów w statystyce

Sposoby prezentacji problemów w statystyce S t r o n a 1 Dr Anna Rybak Instytut Informatyki Uniwersytet w Białymstoku Sposoby prezentacji problemów w statystyce Wprowadzenie W artykule zostaną zaprezentowane podstawowe zagadnienia z zakresu statystyki

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego

Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego Przykład Cena metra kwadratowego (w tys. zł) z dla 14 losowo wybranych mieszkań w

Bardziej szczegółowo

Wykorzystanie funkcji powiązań do pomiaru ryzyka rynkowego. Katarzyna Kuziak

Wykorzystanie funkcji powiązań do pomiaru ryzyka rynkowego. Katarzyna Kuziak Wykorzystanie funkcji powiązań do pomiaru ryzyka rynkowego Katarzyna Kuziak Cel: łączenie różnych rodzajów ryzyka rynkowego za pomocą wielowymiarowej funkcji powiązań 2 Ryzyko rynkowe W pomiarze ryzyka

Bardziej szczegółowo

Niezawodność diagnostyka systemów laboratorium. Ćwiczenie 2

Niezawodność diagnostyka systemów laboratorium. Ćwiczenie 2 dr inż. Jacek Jarnicki doc. PWr Niezawodność diagnostyka systemów laboratorium Ćwiczenie 2 1. Treść ćwiczenia Generowanie realizacji zmiennych losowych i prezentacja graficzna wyników losowania. Symulacja

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Laboratorium III: Testy statystyczne. Inżynieria biomedyczna, I rok, semestr letni 2013/2014 Analiza danych pomiarowych

Spis treści. Laboratorium III: Testy statystyczne. Inżynieria biomedyczna, I rok, semestr letni 2013/2014 Analiza danych pomiarowych 1 Laboratorium III: Testy statystyczne Spis treści Laboratorium III: Testy statystyczne... 1 Wiadomości ogólne... 2 1. Krótkie przypomnienie wiadomości na temat testów statystycznych... 2 1.1. Weryfikacja

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami:

Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami: Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami: Pr(X 1 = 0) = 6/10, Pr(X 1 = 1) = 1/10, i gęstością: f(x) = 3/10 na przedziale (0, 1). Wobec tego Pr(X 1 + X 2 5/3) wynosi:

Bardziej szczegółowo

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW ODRZUCANIE WYNIKÓW OJEDYNCZYCH OMIARÓW W praktyce pomiarowej zdarzają się sytuacje gdy jeden z pomiarów odstaje od pozostałych. Jeżeli wykorzystamy fakt, że wyniki pomiarów są zmienną losową opisywaną

Bardziej szczegółowo

Instytut Politechniczny Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa. Diagnostyka i niezawodność robotów

Instytut Politechniczny Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa. Diagnostyka i niezawodność robotów Instytut Politechniczny Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa Diagnostyka i niezawodność robotów Laboratorium nr 3 Generacja realizacji zmiennych losowych Prowadzący: mgr inż. Marcel Luzar Cele ćwiczenia: Generowanie

Bardziej szczegółowo

Outlier to dana (punkt, obiekt, wartośd w zbiorze) znacznie odstająca od reszty. prezentacji punktów odstających jest rysunek poniżej.

Outlier to dana (punkt, obiekt, wartośd w zbiorze) znacznie odstająca od reszty. prezentacji punktów odstających jest rysunek poniżej. Temat: WYKRYWANIE ODCHYLEO W DANYCH Outlier to dana (punkt, obiekt, wartośd w zbiorze) znacznie odstająca od reszty. prezentacji punktów odstających jest rysunek poniżej. Przykładem Box Plot wygodną metodą

Bardziej szczegółowo

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii.

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii. Rozkład normalny Rozkład normalny jest niezwykle ważnym rozkładem prawdopodobieństwa w wielu dziedzinach. Nazywa się go także rozkładem Gaussa, w szczególności w fizyce i inżynierii. W zasadzie jest to

Bardziej szczegółowo

Analiza Statystyczna

Analiza Statystyczna Lekcja 5. Strona 1 z 12 Analiza Statystyczna Do analizy statystycznej wykorzystać można wbudowany w MS Excel pakiet Analysis Toolpak. Jest on instalowany w programie Excel jako pakiet dodatkowy. Oznacza

Bardziej szczegółowo

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie:

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie: ma postać y = ax + b Równanie regresji liniowej By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : xy b = a = b lub x Gdzie: xy = też a = x = ( b ) i to dane empiryczne, a ilość

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1. tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1

Bardziej szczegółowo

R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych

R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych Przykłady: Błąd pomiarowy Wzrost, wydajność Temperatura ciała Zawartość różnych składników we

Bardziej szczegółowo

Statystyki pozycyjne w procedurach estymacji i ich zastosowania w badaniach ekonomicznych

Statystyki pozycyjne w procedurach estymacji i ich zastosowania w badaniach ekonomicznych Statystyki pozycyjne w procedurach estymacji i ich zastosowania w badaniach ekonomicznych Dorota Pekasiewicz Statystyki pozycyjne w procedurach estymacji i ich zastosowania w badaniach ekonomicznych Dorota

Bardziej szczegółowo

SCENARIUSZ LEKCJI. TEMAT LEKCJI: Zastosowanie średnich w statystyce i matematyce. Podstawowe pojęcia statystyczne. Streszczenie.

SCENARIUSZ LEKCJI. TEMAT LEKCJI: Zastosowanie średnich w statystyce i matematyce. Podstawowe pojęcia statystyczne. Streszczenie. SCENARIUSZ LEKCJI OPRACOWANY W RAMACH PROJEKTU: INFORMATYKA MÓJ SPOSÓB NA POZNANIE I OPISANIE ŚWIATA. PROGRAM NAUCZANIA INFORMATYKI Z ELEMENTAMI PRZEDMIOTÓW MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZYCH Autorzy scenariusza:

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

Ekonometria ćwiczenia 3. Prowadzący: Sebastian Czarnota

Ekonometria ćwiczenia 3. Prowadzący: Sebastian Czarnota Ekonometria ćwiczenia 3 Prowadzący: Sebastian Czarnota Strona - niezbędnik http://sebastianczarnota.com/sgh/ Normalność rozkładu składnika losowego Brak normalności rozkładu nie odbija się na jakości otrzymywanych

Bardziej szczegółowo

Testy nieparametryczne

Testy nieparametryczne Testy nieparametryczne Testy nieparametryczne możemy stosować, gdy nie są spełnione założenia wymagane dla testów parametrycznych. Stosujemy je również, gdy dane można uporządkować według określonych kryteriów

Bardziej szczegółowo

Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski. Zakres egzaminu magisterskiego. Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2

Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski. Zakres egzaminu magisterskiego. Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2 Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski Zakres egzaminu magisterskiego Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2 Pojęcia, fakty: Definicje i pojęcia: metryka, iloczyn skalarny, norma supremum,

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6.04.2009 r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6.04.2009 r. Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6.04.009 r. Zadanie. Niech N oznacza liczbę szkód zaszłych w ciągu roku z pewnego ubezpieczenia z czego: M to liczba szkód zgłoszonych przed końcem tego roku K to liczba

Bardziej szczegółowo

Proces Poissona. Proces {N(t), t 0} nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t.

Proces Poissona. Proces {N(t), t 0} nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t. Procesy stochastyczne WYKŁAD 5 Proces Poissona. Proces {N(t), t } nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t. Proces zliczający musi

Bardziej szczegółowo

Seminarium Metody obliczania przepływów maksymalnych w zlewniach kontrolowanych i niekontrolowanych, RZGW, Kraków 30 IX 2013 r. Metody obliczania przepływów maksymalnych rocznych o określonym prawdopodobieństwie

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE ZMIENNOŚCI I RYZYKA INWESTYCJI W ZŁOTO. Celina Otolińska

MODELOWANIE ZMIENNOŚCI I RYZYKA INWESTYCJI W ZŁOTO. Celina Otolińska MODELOWANIE ZMIENNOŚCI I RYZYKA INWESTYCJI W ZŁOTO Celina Otolińska PLAN: 1. Rynek złota-krótka informacja. 2. Wartość zagrożona i dlaczego ona. 3. Badany szereg czasowy oraz jego własności. 4. Modele

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez. 1 Testowanie hipotez na temat średniej

Testowanie hipotez. 1 Testowanie hipotez na temat średniej Testowanie hipotez Poziom p Poziom p jest to najmniejszy poziom istotności α, przy którym możemy odrzucić hipotezę zerową dysponując otrzymaną wartością statystyki testowej. 1 Testowanie hipotez na temat

Bardziej szczegółowo

O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ

O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ Ryszard Zieliński XII Międzynarodowe Warsztaty dla Młodych Matematyków Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Kraków, 20 26 IX 2009 r. WYNIKI OBSERWACJI X 1, X 2,..., X n WYNIKI

Bardziej szczegółowo

Ujawnienia informacji związanych z adekwatnością kapitałową Dom Maklerskiego Banku Ochrony Środowiska S.A. według stanu na 31.12.2010 r.

Ujawnienia informacji związanych z adekwatnością kapitałową Dom Maklerskiego Banku Ochrony Środowiska S.A. według stanu na 31.12.2010 r. Ujawnienia informacji związanych z adekwatnością kapitałową Dom Maklerskiego Banku Ochrony Środowiska S.A. według stanu na 31.12.2010 r. Warszawa, marzec 2011 r. Słownik Rozporządzenie DM BOŚ rozporządzenie

Bardziej szczegółowo

Narzędzia statystyczne i ekonometryczne. Wykład 1. dr Paweł Baranowski

Narzędzia statystyczne i ekonometryczne. Wykład 1. dr Paweł Baranowski Narzędzia statystyczne i ekonometryczne Wykład 1 dr Paweł Baranowski Informacje organizacyjne Wydział Ek-Soc, pok. B-109 pawel@baranowski.edu.pl Strona: baranowski.edu.pl (w tym materiały) Konsultacje:

Bardziej szczegółowo

UWAGI O TESTACH JARQUE A-BERA

UWAGI O TESTACH JARQUE A-BERA PRZEGLĄD STATYSTYCZNY R. LVII ZESZYT 4 010 CZESŁAW DOMAŃSKI UWAGI O TESTACH JARQUE A-BERA 1. MIARY SKOŚNOŚCI I KURTOZY W literaturze statystycznej prezentuje się wiele miar skośności i spłaszczenia (kurtozy).

Bardziej szczegółowo

Klasyfikacja w oparciu o metrykę budowaną poprzez dystrybuanty empiryczne na przestrzeni wzorców uczących

Klasyfikacja w oparciu o metrykę budowaną poprzez dystrybuanty empiryczne na przestrzeni wzorców uczących Klasyfikacja w oparciu o metrykę budowaną poprzez dystrybuanty empiryczne na przestrzeni wzorców uczących Cezary Dendek Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych PW Plan prezentacji Plan prezentacji Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA wykład 5-6

STATYSTYKA wykład 5-6 TATYTYKA wykład 5-6 Twierdzenia graniczne Rozkłady statystyk z próby Wanda Olech Twierdzenia graniczne Jeżeli rozpatrujemy ciąg zmiennych losowych {X ; X ;...; X n }, to zdarza się, że ich rozkłady przy

Bardziej szczegółowo

Matematyka bankowa 1 1 wykład

Matematyka bankowa 1 1 wykład Matematyka bankowa 1 1 wykład Dorota Klim Department of Nonlinear Analysis, Faculty of Mathematics and Computer Science, University of Łódź, Banacha 22, 90-238 Łódź, Poland E-mail address: klimdr@math.uni.ldz.pl

Bardziej szczegółowo

Analiza wariancji. dr Janusz Górczyński

Analiza wariancji. dr Janusz Górczyński Analiza wariancji dr Janusz Górczyński Wprowadzenie Powiedzmy, że badamy pewną populację π, w której cecha Y ma rozkład N o średniej m i odchyleniu standardowym σ. Powiedzmy dalej, że istnieje pewien czynnik

Bardziej szczegółowo

POISSONOWSKA APROKSYMACJA W SYSTEMACH NIEZAWODNOŚCIOWYCH

POISSONOWSKA APROKSYMACJA W SYSTEMACH NIEZAWODNOŚCIOWYCH POISSONOWSKA APROKSYMACJA W SYSTEMACH NIEZAWODNOŚCIOWYCH Barbara Popowska bpopowsk@math.put.poznan.pl Politechnika Poznańska http://www.put.poznan.pl/ PROGRAM REFERATU 1. WPROWADZENIE 2. GRAF JAKO MODEL

Bardziej szczegółowo

Ujawnienia informacji związanych z adekwatnością kapitałową ERSTE Securities Polska S.A. według stanu na dzień 31.12.2011 r.

Ujawnienia informacji związanych z adekwatnością kapitałową ERSTE Securities Polska S.A. według stanu na dzień 31.12.2011 r. Ujawnienia informacji związanych z adekwatnością kapitałową ERSTE Securities Polska S.A. według stanu na dzień 31.12.2011 r. Niniejsze Sprawozdanie stanowi wykonanie Polityki Informacyjnej Domu Maklerskiego

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA WARSZAWSKA

POLITECHNIKA WARSZAWSKA POLITECHNIKA WARSZAWSKA WYDZIAŁ BUDOWNICTWA, MECHANIKI I PETROCHEMII INSTYTUT INŻYNIERII MECHANICZNEJ STATYSTYCZNA KONTROLA PROCESU (SPC) Ocena i weryfikacja statystyczna założeń przyjętych przy sporządzaniu

Bardziej szczegółowo

Przedmiot statystyki. Graficzne przedstawienie danych. Wykład-26.02.07. Przedmiot statystyki

Przedmiot statystyki. Graficzne przedstawienie danych. Wykład-26.02.07. Przedmiot statystyki Przedmiot statystyki. Graficzne przedstawienie danych. Wykład-26.02.07 Statystyka dzieli się na trzy części: Przedmiot statystyki -zbieranie danych; -opracowanie i kondensacja danych (analiza danych);

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

ALGORYTM RANDOM FOREST

ALGORYTM RANDOM FOREST SKRYPT PRZYGOTOWANY NA ZAJĘCIA INDUKOWANYCH REGUŁ DECYZYJNYCH PROWADZONYCH PRZEZ PANA PAWŁA WOJTKIEWICZA ALGORYTM RANDOM FOREST Katarzyna Graboś 56397 Aleksandra Mańko 56699 2015-01-26, Warszawa ALGORYTM

Bardziej szczegółowo

Analiza zdarzeń Event studies

Analiza zdarzeń Event studies Analiza zdarzeń Event studies Dobromił Serwa akson.sgh.waw.pl/~dserwa/ef.htm Leratura Campbell J., Lo A., MacKinlay A.C.(997) he Econometrics of Financial Markets. Princeton Universy Press, Rozdział 4.

Bardziej szczegółowo

NOWY PROGRAM STUDIÓW 2016/2017 SYLABUS PRZEDMIOTU AUTORSKIEGO: Wprowadzenie do teorii ekonometrii. Część A

NOWY PROGRAM STUDIÓW 2016/2017 SYLABUS PRZEDMIOTU AUTORSKIEGO: Wprowadzenie do teorii ekonometrii. Część A NOWY PROGRAM STUDIÓW 2016/2017 SYLABUS PRZEDMIOTU AUTORSKIEGO: Autor: 1. Dobromił Serwa 2. Tytuł przedmiotu Sygnatura (będzie nadana, po akceptacji przez Senacką Komisję Programową) Wprowadzenie do teorii

Bardziej szczegółowo

Środowisko R Założenie normalności metody nieparametryczne Wykład R4; 4.06.07 Weryfikacja założenia o normalności rozkładu populacji

Środowisko R Założenie normalności metody nieparametryczne Wykład R4; 4.06.07 Weryfikacja założenia o normalności rozkładu populacji Środowisko R Założenie normalności metody nieparametryczne Wykład R4; 4.06.07 Weryfikacja założenia o normalności rozkładu populacji Dane są obserwacje x 1, x 2,..., x n. Czy można założyć, że x 1, x 2,...,

Bardziej szczegółowo

Przedmiot statystyki. Graficzne przedstawienie danych.

Przedmiot statystyki. Graficzne przedstawienie danych. Przedmiot statystyki. Graficzne przedstawienie danych. dr Mariusz Grządziel 23 lutego 2009 Przedmiot statystyki Statystyka dzieli się na trzy części: -zbieranie danych; -opracowanie i kondensacja danych

Bardziej szczegółowo

Modele AMA wyliczania wymogu kapitałowego z tytułu ryzyka operacyjnego w banku

Modele AMA wyliczania wymogu kapitałowego z tytułu ryzyka operacyjnego w banku 50 KWARTALNIK NAUK O PRZEDSIĘBIORSTWIE 2014 / 2 Wincenty Kulpa, Lech Zaręba Modele AMA wyliczania wymogu kapitałowego z tytułu ryzyka operacyjnego w banku Głębokie przemiany w funkcjonowaniu banków zachodzące

Bardziej szczegółowo

Ujawnienia informacji związanych z adekwatnością kapitałową ERSTE Securities Polska S.A. według stanu na dzień 31.12.2010 r.

Ujawnienia informacji związanych z adekwatnością kapitałową ERSTE Securities Polska S.A. według stanu na dzień 31.12.2010 r. Ujawnienia informacji związanych z adekwatnością kapitałową ERSTE Securities Polska S.A. według stanu na dzień 31.12.2010 r. Niniejsze Sprawozdanie stanowi wykonanie Polityki Informacyjnej Domu Maklerskiego

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji

Bardziej szczegółowo

METODY CHEMOMETRYCZNE W IDENTYFIKACJI ŹRÓDEŁ POCHODZENIA

METODY CHEMOMETRYCZNE W IDENTYFIKACJI ŹRÓDEŁ POCHODZENIA METODY CHEMOMETRYCZNE W IDENTYFIKACJI ŹRÓDEŁ POCHODZENIA AMFETAMINY Waldemar S. Krawczyk Centralne Laboratorium Kryminalistyczne Komendy Głównej Policji, Warszawa (praca obroniona na Wydziale Chemii Uniwersytetu

Bardziej szczegółowo

Opcje koszykowe a lokaty strukturyzowane - wycena

Opcje koszykowe a lokaty strukturyzowane - wycena Opcje koszykowe a lokaty strukturyzowane - wycena Basket options and structured deposits - pricing Janusz Gajda Promotor: dr hab. inz. Rafał Weron Politechnika Wrocławska Plan prezentacji Cel pracy Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Ze świata biznesu... 13. Przedmowa do wydania polskiego... 15. Wstęp... 19

Spis treści. Ze świata biznesu... 13. Przedmowa do wydania polskiego... 15. Wstęp... 19 Spis treści Ze świata biznesu............................................................ 13 Przedmowa do wydania polskiego.............................................. 15 Wstęp.......................................................................

Bardziej szczegółowo

1 Funkcja użyteczności

1 Funkcja użyteczności 1 Funkcja użyteczności Funkcja użyteczności to funkcja, której wartościami są wartości użyteczności (satysfakcji, komfortu psychicznego). Można mówić o użyteczności różnych zjawisk. Użyteczność pieniądza

Bardziej szczegółowo

A.Światkowski. Wroclaw University of Economics. Working paper

A.Światkowski. Wroclaw University of Economics. Working paper A.Światkowski Wroclaw University of Economics Working paper 1 Planowanie sprzedaży na przykładzie przedsiębiorstwa z branży deweloperskiej Cel pracy: Zaplanowanie sprzedaży spółki na rok 2012 Słowa kluczowe:

Bardziej szczegółowo

Struktura terminowa rynku obligacji

Struktura terminowa rynku obligacji Krzywa dochodowości pomaga w inwestowaniu w obligacje Struktura terminowa rynku obligacji Wskazuje, które obligacje są atrakcyjne a których unikać Obrazuje aktualną sytuację na rynku długu i zmiany w czasie

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja parametrów w strategiach inwestycyjnych dla event-driven tradingu - metodologia badań

Optymalizacja parametrów w strategiach inwestycyjnych dla event-driven tradingu - metodologia badań Raport 1/2015 Optymalizacja parametrów w strategiach inwestycyjnych dla event-driven tradingu - metodologia badań autor: Michał Osmoła INIME Instytut nauk informatycznych i matematycznych z zastosowaniem

Bardziej szczegółowo

Analiza wpływu długości trwania strategii na proces optymalizacji parametrów dla strategii inwestycyjnych w handlu event-driven

Analiza wpływu długości trwania strategii na proces optymalizacji parametrów dla strategii inwestycyjnych w handlu event-driven Raport 8/2015 Analiza wpływu długości trwania strategii na proces optymalizacji parametrów dla strategii inwestycyjnych w handlu event-driven autor: Michał Osmoła INIME Instytut nauk informatycznych i

Bardziej szczegółowo

OGŁOSZENIE O ZMIANIE STATUTU UNIOBLIGACJE HIGH YIELD FUNDUSZU INWESTYCYJNEGO ZAMKNIĘTEGO Z DNIA 23 CZERWCA 2016 R.

OGŁOSZENIE O ZMIANIE STATUTU UNIOBLIGACJE HIGH YIELD FUNDUSZU INWESTYCYJNEGO ZAMKNIĘTEGO Z DNIA 23 CZERWCA 2016 R. OGŁOSZENIE O ZMIANIE STATUTU UNIOBLIGACJE HIGH YIELD FUNDUSZU INWESTYCYJNEGO ZAMKNIĘTEGO Z DNIA 23 CZERWCA 2016 R. Niniejszym, Union Investment Towarzystwo Funduszy Inwestycyjnych S.A. ogłasza o zmianie

Bardziej szczegółowo

K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys. jp.

K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys. jp. Sprawdzian 2. Zadanie 1. Za pomocą KMNK oszacowano następującą funkcję produkcji: Gdzie: P wartość produkcji, w tys. jp (jednostek pieniężnych) K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys.

Bardziej szczegółowo

Własności estymatora parametru lambda transformacji potęgowej. Janusz Górczyński, Andrzej Zieliński, Wojciech Zieliński

Własności estymatora parametru lambda transformacji potęgowej. Janusz Górczyński, Andrzej Zieliński, Wojciech Zieliński Własności estymatora parametru lambda transformacji potęgowej Janusz Górczyński, Andrzej Zieliński, Wojciech Zieliński 1. Wstęp Najczęstszym powodem transformowania zmiennej losowej jest jej normalizacja,

Bardziej szczegółowo

Rok akademicki: 2013/2014 Kod: AMA-2-311-MN-s Punkty ECTS: 6. Kierunek: Matematyka Specjalność: Matematyka w naukach technicznych i przyrodniczych

Rok akademicki: 2013/2014 Kod: AMA-2-311-MN-s Punkty ECTS: 6. Kierunek: Matematyka Specjalność: Matematyka w naukach technicznych i przyrodniczych Nazwa modułu: teoria ryzyka Rok akademicki: 2013/2014 Kod: AMA-2-311-MN-s Punkty ECTS: 6 Wydział: Matematyki Stosowanej Kierunek: Matematyka Specjalność: Matematyka w naukach technicznych i przyrodniczych

Bardziej szczegółowo

Często spotykany jest również asymetryczny rozkład gamma (Г), opisany za pomocą parametru skali θ i parametru kształtu k:

Często spotykany jest również asymetryczny rozkład gamma (Г), opisany za pomocą parametru skali θ i parametru kształtu k: Statystyczne opracowanie danych pomiarowych W praktyce pomiarowej często spotykamy się z pomiarami wielokrotnymi, gdy podczas pomiaru błędy pomiarowe (szumy miernika, czynniki zewnętrzne) są na tyle duże,

Bardziej szczegółowo

1. Opis tabelaryczny. 2. Graficzna prezentacja wyników. Do technik statystyki opisowej można zaliczyć:

1. Opis tabelaryczny. 2. Graficzna prezentacja wyników. Do technik statystyki opisowej można zaliczyć: Wprowadzenie Statystyka opisowa to dział statystyki zajmujący się metodami opisu danych statystycznych (np. środowiskowych) uzyskanych podczas badania statystycznego (np. badań terenowych, laboratoryjnych).

Bardziej szczegółowo

Rozkłady zmiennych losowych

Rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych losowych Wprowadzenie Badamy pewną zbiorowość czyli populację pod względem występowania jakiejś cechy. Pobieramy próbę i na podstawie tej próby wyznaczamy pewne charakterystyki. Jeśli

Bardziej szczegółowo

Zarządzanie Kapitałem

Zarządzanie Kapitałem Zarządzanie kapitałem kluczem do sukcesu W trakcie prac nad tworzeniem profesjonalnego systemu transakcyjnego niezbędne jest, aby uwzględnić w nim odpowiedni model zarządzania kapitałem (ang. money management).

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i bazy danych (wykład obowiązkowy dla wszystkich)

Algorytmy i bazy danych (wykład obowiązkowy dla wszystkich) MATEMATYKA I EKONOMIA PROGRAM STUDIÓW DLA II STOPNIA Data: 2010-11-07 Opracowali: Krzysztof Rykaczewski Paweł Umiński Streszczenie: Poniższe opracowanie przedstawia projekt planu studiów II stopnia na

Bardziej szczegółowo

Szkolenie Analiza przeżycia

Szkolenie Analiza przeżycia Analiza przeżycia program i cennik Łukasz Deryło Analizy statystyczne, szkolenia www.statystyka.c0.pl Analiza przeżycia - program i cennik Analiza przeżycia Co obejmuje? Analiza przeżycia (Survival analysis)

Bardziej szczegółowo

Analiza zależności liniowych

Analiza zależności liniowych Narzędzie do ustalenia, które zmienne są ważne dla Inwestora Analiza zależności liniowych Identyfikuje siłę i kierunek powiązania pomiędzy zmiennymi Umożliwia wybór zmiennych wpływających na giełdę Ustala

Bardziej szczegółowo

Analiza korespondencji

Analiza korespondencji Analiza korespondencji Kiedy stosujemy? 2 W wielu badaniach mamy do czynienia ze zmiennymi jakościowymi (nominalne i porządkowe) typu np.: płeć, wykształcenie, status palenia. Punktem wyjścia do analizy

Bardziej szczegółowo

TRANSAKCJE ARBITRAŻOWE PODSTAWY TEORETYCZNE cz. 1

TRANSAKCJE ARBITRAŻOWE PODSTAWY TEORETYCZNE cz. 1 TRANSAKCJE ARBITRAŻOWE PODSTAWY TEORETYCZNE cz. 1 Podstawowym pojęciem dotyczącym transakcji arbitrażowych jest wartość teoretyczna kontraktu FV. Na powyższym diagramie przedstawiono wykres oraz wzór,

Bardziej szczegółowo

Statystyczne metody analizy danych

Statystyczne metody analizy danych Statystyczne metody analizy danych Statystyka opisowa Wykład I-III Agnieszka Nowak - Brzezińska Definicje Statystyka (ang.statistics) - to nauka zajmująca się zbieraniem, prezentowaniem i analizowaniem

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie symulacji Monte Carlo do zarządzania ryzykiem przedsięwzięcia z wykorzystaniem metod sieciowych PERT i CPM

Zastosowanie symulacji Monte Carlo do zarządzania ryzykiem przedsięwzięcia z wykorzystaniem metod sieciowych PERT i CPM SZKOŁA GŁÓWNA HANDLOWA w Warszawie STUDIUM MAGISTERSKIE Kierunek: Metody ilościowe w ekonomii i systemy informacyjne Karol Walędzik Nr albumu: 26353 Zastosowanie symulacji Monte Carlo do zarządzania ryzykiem

Bardziej szczegółowo

DOPASOWANIE ROZKŁADU I EKSPERYMENT SYMULACYJNY NA PRZYKŁADZIE DANYCH O WYPADKACH DROGOWYCH

DOPASOWANIE ROZKŁADU I EKSPERYMENT SYMULACYJNY NA PRZYKŁADZIE DANYCH O WYPADKACH DROGOWYCH DOPASOWANIE ROZKŁADU I EKSPERYMENT SYMULACYJNY NA PRZYKŁADZIE DANYCH O WYPADKACH DROGOWYCH Krzysztof Suwada, StatSoft Polska Sp. z o.o. Często zdarza się, że nie satysfakcjonuje nas sama eksploracja danych,

Bardziej szczegółowo

istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy

istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy MODEL REGRESJI LINIOWEJ. METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW Analiza regresji zajmuje się badaniem zależności pomiędzy interesującymi nas wielkościami (zmiennymi), mające na celu konstrukcję modelu, który dobrze

Bardziej szczegółowo

Quantile hedging. czyli jak tanio i dobrze zabezpieczyć opcję. Michał Krawiec, Piotr Piestrzyński

Quantile hedging. czyli jak tanio i dobrze zabezpieczyć opcję. Michał Krawiec, Piotr Piestrzyński czyli jak tanio i dobrze zabezpieczyć opcję Michał Krawiec Piotr Piestrzyński Koło Naukowe Probabilistyki i Statystyki Matematycznej Uniwersytet Wrocławski Niedziela, 19 kwietnia 2015 Przykład (opis problemu)

Bardziej szczegółowo

Raport z zakresu adekwatności kapitałowej Podlasko-Mazurskiego Banku Spółdzielczego w Zabłudowie według stanu na dzień 31.12.

Raport z zakresu adekwatności kapitałowej Podlasko-Mazurskiego Banku Spółdzielczego w Zabłudowie według stanu na dzień 31.12. Załącznik do Uchwały Nr 49/2014 Zarządu Podlasko-Mazurskiego Banku Spółdzielczego w Zabłudowie z dnia 10.07.2014r. Raport z zakresu adekwatności kapitałowej Podlasko-Mazurskiego Banku Spółdzielczego w

Bardziej szczegółowo

Projektowanie systemu krok po kroku

Projektowanie systemu krok po kroku Rozdział jedenast y Projektowanie systemu krok po kroku Projektowanie systemu transakcyjnego jest ciągłym szeregiem wzajemnie powiązanych decyzji, z których każda oferuje pewien zysk i pewien koszt. Twórca

Bardziej szczegółowo

System bonus-malus z mechanizmem korekty składki

System bonus-malus z mechanizmem korekty składki System bonus-malus z mechanizmem korekty składki mgr Kamil Gala Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny dr hab. Wojciech Bijak, prof. SGH Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny, Szkoła Główna Handlowa Zagadnienia

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Wykład nr 12. Dr Piotr Fronczak

Metody numeryczne. Wykład nr 12. Dr Piotr Fronczak Metody numeryczne Wykład nr 1 Dr Piotr Fronczak Generowanie liczb losowych Metody Monte Carlo są oparte na probabilistyce działają dzięki generowaniu liczb losowych. W komputerach te liczby generowane

Bardziej szczegółowo

STATYSTYCZNE OPRACOWANIE WYNIKÓW KONTROLI JAKOŚCI ROBÓT ZIEMNYCH

STATYSTYCZNE OPRACOWANIE WYNIKÓW KONTROLI JAKOŚCI ROBÓT ZIEMNYCH Dane bibliograiczne o artykule: http://mieczyslaw_polonski.users.sggw.pl/mppublikacje STATYSTYCZNE OPRACOWANIE WYNIKÓW KONTROLI JAKOŚCI ROBÓT ZIEMNYCH Mieczysław Połoński 1 1. Metodyka statystycznego opracowania

Bardziej szczegółowo

Zmienność. Co z niej wynika?

Zmienność. Co z niej wynika? Zmienność. Co z niej wynika? Dla inwestora bardzo ważnym aspektem systemu inwestycyjnego jest moment wejścia na rynek (moment dokonania transakcji) oraz moment wyjścia z rynku (moment zamknięcia pozycji).

Bardziej szczegółowo

Etapy modelowania ekonometrycznego

Etapy modelowania ekonometrycznego Etapy modelowania ekonometrycznego jest podstawowym narzędziem badawczym, jakim posługuje się ekonometria. Stanowi on matematyczno-statystyczną formę zapisu prawidłowości statystycznej w zakresie rozkładu,

Bardziej szczegółowo

Zarządzanie ryzykiem. Opracował: Dr inŝ. Tomasz Zieliński

Zarządzanie ryzykiem. Opracował: Dr inŝ. Tomasz Zieliński Zarządzanie ryzykiem Opracował: Dr inŝ. Tomasz Zieliński I. OGÓLNE INFORMACJE O PRZEDMIOCIE Cel przedmiotu: Celem przedmiotu jest zaprezentowanie studentom podstawowych pojęć z zakresu ryzyka w działalności

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład 2) Dariusz Gozdowski

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład 2) Dariusz Gozdowski Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład ) Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Weryfikacja (testowanie) hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

Dlaczego stress-testy stresują?

Dlaczego stress-testy stresują? Autorzy dr Romana Kawiak i mgr Jadwiga Żarna autorki są członkami PRMIA Warszawa 45 Dlaczego stress-testy stresują? Testy warunków skrajnych są rodzajem analizy potencjalnego wpływu skrajnych zmian czynników

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Przykład. Producent pewnych detali twierdzi, że wadliwość jego produkcji nie przekracza 2%. Odbiorca pewnej partii tego produktu chce sprawdzić, czy może wierzyć producentowi.

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO. Wykład 2

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO. Wykład 2 STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład Parametry przedziałowe rozkładów ciągłych określane na podstawie próby (przedziały ufności) Przedział ufności dla średniej s X t( α;n 1),X + t( α;n 1) n s n t (α;

Bardziej szczegółowo