Implementacja bibliotek finansowych w systemie XploRe

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Implementacja bibliotek finansowych w systemie XploRe"

Transkrypt

1 Implementacja bibliotek finansowych w systemie XploRe Szymon Borak 4 grudnia 2003 roku

2 2

3 Spis treści 1 Wprowadzenie 5 2 Środowisko Xplore Praca w środowisku XploRe Język programowania Dokumentacja Grafika Biblioteki Rynek finansowy Indeksy giełdowe Rynki walutowe Własności danych finansowych Rozkłady stabilne i ich własności Własności Funkcja charakterystyczna Reprezentacja całkowa Generowanie zmiennych stabilnych Asymptotyka rozkładów α-stabilnych Estymacja Estymacja indeksu ogona Metoda McCullocha Metody próbkowej funkcji charakterystycznej Przykłady zastosowań w finansach 33 A Zaimplementowane quantlety 37 A.1 Gęstości i dystrybuanty A.2 Generownie zmiennych losowych A.3 Estymacja A.4 Przykłady Literatura 43 3

4 4 SPIS TREŚCI

5 Rozdział 1 Wprowadzenie Nie sposób wyobrazić sobie nowoczesną analizę statystyczną bez wsparcia ze strony komputerów zaopatrzonych w odpowiednie oprogramowanie. Większość statystycznych własności pozostałaby jedynie teoretycznym odkryciem, gdyby nie było narzędzi wspomagających złożone obliczenia. Wymagania dzisiejszych czasów przekraczają możliwości ludzkich zdolności rachunkowych. Dlatego rozwija się oprogramowanie wspomagające analizę statystyczną, przez co skomplikowane problemy stają się bardziej przystępne. Jednym z pakietów służących do zaawansowanych obliczeń jest XploRe. Zapewnia on możliwość analizowania zjawisk o bogatej strukturze. Zawiera wiele metod, które można wykorzystać efektywnie w wielu dziedzinach od biologii po ekonomię. Im więcej metod zaimplementowanych jest w takim środowisku tym większe są możliwości jego wykorzystania. Dzisiejsze rynki finansowe są niezwykle rozbudowaną strukturą i dlatego aby sprawnie poruszać się w świecie finansów, potrzeba narzędzia, które ułatwia analizę sporej ilości danych. Takim narzędziem może być XploRe, wspomagając podejmowanie niektórych decyzji bad z też wyznaczając liczbowe charakterystyki pewnych zjawisk. Do opisu skomplikowanej rzeczywistości rynkowej stosuje się elementy teorii prawdopodobieństwa, korzystając z wielu rozkładów. Dobór rozkładu może okazać się kluczowy przy podejmowaniu trafnych decyzji. Analiza danych finansowych nakazuje zwrócić uwagę na takie empiryczne własności jak skośność danych czy grube ogony. Wahania cen instrumentów finansowych nie zachowują się symetrycznie (skośność) oraz występuje stosunkowo wiele odległych obserwacji (grube ogony). Dlatego wydaje się być pożądane, aby biblioteki finansowe zawierały odpowiednie metody pozwalające uchwycić obie te cechy. Takimi metodami są procedury związane z rozkładami α-stabilnymi, które pozwalają modelować zarówno skośność, jak i grubość ogona. Celem niniejszej pracy jest implementacja procedur związanychz rozkładami stabilnymi w systemie XploRe. Mogą one zostać z powodzeniem wykorzystane do wspomagania różnego typu decyzji podejmowanych na rynkach finansowych. Środowisko zostało wzbogacone o nowe metody stając się przez to bardziej funk- 5

6 6 ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE cjonalne. Jako efekt niniejszej pracy powstały funkcje wyznaczające wartości dystrybuant i gęstości rozkładów stabilnych, generatory zmiennych losowych oraz wykorzystujące różne metody estymacji parametrów rozkładu stabilnego. Dodatkową część niniejszej pracy stanowi prezentacja niektórych własności rozkładów α-stabilnych i problemów związanych z estymacją parametrów. Rozdział 2 zawiera krótki opis systemu XploRe. Jego założeniem jest przybliżenie wyłącznie ogólnej struktury programu i jego niektórych możliwości. W celu jego głębszego poznania należy zajrzeć na stronę Rozdział 3 dotyczy rynków finansowych. Przedstawiono w nim dwa indeksy giełdowe, które będą podstawą pó zniejszej analizy, krótki opis rynku walutowego oraz motywację do próby opisania zjawisk związanych z rynkami poprzez rozkłady stabilne. W rozdziale 4 ukazano niektóre własności rozkładów stabilnych. Przedstawiono również metody generowania zmiennych α-stabilnych oraz estymowania parametrów rozkładu. Przedstawiona teoria zobrazowana jest przykładami stworzonymi w języku programowania XploRe, których wynik otrzymuje się przez wywołanie komend z plików XCSstab??.xpl.Symbol oznacza odnośnik do pliku zawierającego odpowiednie komendy. W rozdziale 5 rozważa się możliwość dopasowania rozkładów stabilnych do pewnych danych finansowych. Dopasowanie rozkładem stabilnym jest następnie porównywane z dopasowaniem rozkładem gaussowskim. Wszystkie obliczenia dotyczące rozkładów stabilnych wykonano przy użyciu zaprogramowanych metod. Końcowy dodatek zawiera opis powstałych funkcji i przykładów. Przedstawiono jakie metody zostały zaimplementowane oraz omówiono znaczenie parametrów funkcji.

7 Rozdział 2 Środowisko Xplore XploRe jest profesjonalnym narzędziem do analizy statystycznej, zaawansowanych obliczeń i interaktywnego nauczania. Dzięki sporej liczbie wbudowanych metod ułatwia skomplikowaną analizę statystyczną. Dysponuje językiem programowania pozwalającym użytkownikowi dostosowywać środowisko do własnych potrzeb. Rozbudowana dokumentacja ułatwia znalezienie potrzebnych funkcji. Interaktywna grafika umożliwia prostą prezentację danych nawet o dużym stopniu skomplikowania. Istnieje także możliwość wykorzystania procedur napisanych w innych językach programowania np. C++ lub Fortran skompilowanych do formatu dll. XploRe jest narzędziem pracującym na dowolnej platformie sprzętowej. Może być instalowany zarówno na pojedynczym komputerze PC, jak również w sieci. Serwer Xplore Quantlet Server (wersja sieciowa XploRe) zapewnia dostęp do szerokiej gamy metod dla wszystkich klientów. Wersja sieciowa daje możliwość rozpoczęcia pracy przy użyciu standardowej przeglądarki WWW. Dane importowane są do serwera, na którym dokonuje się odpowiednich obliczeń, po czym wynik przekazywany jest ponownie do komputera klienta. 2.1 Praca w środowisku XploRe Na początku pracy w standardowej wersji XploRe pojawiają się dwa podstawowe okna Output i Input. Okno Output służy do prezentacji otrzymanych wyników, natomiast okno Input do wprowadzania komend. Komendy można równie dobrze wpisywać w edytorze i wywoływać je poprzez kliknięcie polecenia Execute albo skrótem klawiaturowym ALT + E. Edytor służy także do zapisywania dłuższych ciągów instrukcji i oddzielnych funkcji. Wygląd standardowego środowiska XploRe przedstawiono na rys W trakcie pracy dostępnych jest dla użytkownika wiele funkcji i wcześniej zdefiniowanych obiektów. Aby sprawdzić ich własności należy wybrać z menu Main polecenie Functions bądź Objects w celu zobaczenia odpowiednio opisu funkcji lub obiektów. Pojawi się nowe okno prezentujące właściwe objaśnienie. 7

8 8 ROZDZIAŁ 2. ŚRODOWISKO XPLORE Rysunek 2.1: Okna środowiska XploRe. Z prawej strony znajduje się okno Output, z lewej u dołu okno Input a u góry okno edytora Wygląd wspomnianych okien przedstawiono na rys. 2.2 i rys XploRe dysponuje również szeroką gamą zmiennych środowiskowych. Opisują one regionalne ustawienia dotyczące np. miejsca wczytywania i wpisywania danych czy też pobierania i generowania dokumentacji [2]. Użytkownik może je w prosty sposób ustawić wedle własnego uznania. Aby sprawdzić jakie jest obecne ustawienie zmiennych środowiskowych należy z menu Main wybrać polecenie Info. Pojawi się wtedy okno prezentujące aktualne wartości zmiennych jak na rys Przy częstej pracy z systemem XploRe pomocny może być plik startup. Zawiera on zbiór komend, które wywoływane są na samym początku pracy systemu. Należy w nim umieścić wszelkie potrzebne danemu użytkownikowi ustawienia początkowe, aby móc szybciej przystępować do właściwej pracy. Wyczerpujący opis systemu można znaleźć w [5]. 2.2 Język programowania System XploRe zawiera w sobie proceduralny język programowania służący zarówno do efektywnej analizy statystycznej, jak i implementowania własnych metod. Zaprogramowane metody zapisane w plikach o rozszerzeniu.xpl noszą nazwę quantletów. Quantlety można podzielić na dwie grupy. Do pierwszej należy zaliczyć funkcje będące implemenacją określonych algorytmów. Druga grupa to skrypty wykonujące kolejno określone komendy. Quantlety implementujące konkretne algorytmy można grupować w biblio-

9 2.2. JĘZYK PROGRAMOWANIA 9 Rysunek 2.2: Prezentacja dostępnych funkcji Rysunek 2.3: Prezentacja istniejących w danej chwili obiektów

10 10 ROZDZIAŁ 2. ŚRODOWISKO XPLORE Rysunek 2.4: Ustawienie zmiennych środowiskowych teki tematyczne. Ich liczba i zakres określa granice użyteczności systemu. Im więcej quantletów tym większe są możliwości wykorzystania systemu XploRe. Nazwa procedury zwykle jest identyczna z nazwą pliku, choć nie jest to konieczne. Zaleca się również, aby w jednym pliku nie przechowywać kilku funkcji. Quantlety nie będące zapisem konkretnych procedur to najczęściej ciągi komend zebrane w celu szybkiego uruchomienia wielu instrukcji. Najczęściej używane są jako przykłady ilustrujące pewne statystyczne własności. Jako efekt ich działania uzyskuje się wyniki numeryczne lub graficzne w przeciwieństwie do quantletów z pierwszej grupy, gdzie znajduje się tylko zapis algorytmu, a wynik generowany jest przy ich zewnętrznym wywołaniu. Język Xplore jest językiem zorientowanym macierzowo. Nie wymaga deklaracji zmiennych, które dla wygody mogą być pogrupowane w różne struktury. Umożliwia zarówno proste operacje wektorowe, jak również dopasowanie wielowymiarowych modeli. Zapewnia bogatą prezentację otrzymanych wyników zarówno w postaci graficznej, jak i numerycznej. Daje także możliwość zapisu danych do pliku, jak i odczytu z plików o kilku możliwych typach. Szczegółowy opis języka można znaleźć w dokumentacji systemu lub w [5].

11 2.3. DOKUMENTACJA Dokumentacja XploRe posiada także pełną dokumentację (Auto Pilot Support System, APSS) stworzoną w formacie HTML. Zawiera ona opis dostępnych funkcji, własności systemu, jak również bogaty zbiór przykładów. Każda wersja systemu zaopatrzona jest w lokalną wersję APSS. Użytkownik może również wybrać wersję sieciową i korzystać z dokumentacji łącząc się z odpowiednią stroną internetową. APSS zawiera wiele przykładów zastosowania XploRe, które mogą być pomocne przy analizie danych. Bardzo często wystarcza drobna korekta istniejącego przykładu, aby otrzymać pożądany efekt. Metody pogrupowane są zarówno tematycznie, jak i alfabetycznie. Istnieje także szeroki spis słów kluczowych. Pewnym mankamentem może być brak wyszukiwarki ułatwiającej automatyczne znalezienie szukanej funkcji. W prosty sposób użytkownik może uzupełniać dokumentację o swoje funkcje, które mogą się stać integeralną częścią systemu. Poprzez wybór z menu Tools polecenia Insert APSS Template system generuje wzorzec do tworzenia dokumentacji, który należy tylko wypełnić wprowadzając opis parametrów i komentarze, a następnie poprzez odpowiednie komendy wygenerować plik dokumentacji i podłączyć do APSS. Dodatkowo dokumentacja systemu zawiera skrócony opis teorii odnoszącej się do zaimplementowanych funkcji. W sposób zwięzły przedstawia się podstawowe modele oraz możliwości ich wykorzystania. Czyni to z XploRe narzędzie przydatne nie tylko do analizy danych ale również do uczenia statystyki. Podobny charakter ma rozdział Grafika XploRe umożliwia graficzną prezentację danych zarówno dwóch jak i trzech wymiarach. Zawiera standardowe typy wizualizacji pomocne w analizie statystycznej jak np. histogram czy qq-plot. Poprzez umożliwienie efektywnego zarządzania kolorami, kształtami czy też grubością linii daje użytkownikowi swobodę w tworzeniu złożonych wykresów. Otrzymane rysunki mogą być zapisane w formacie.ps bad z.bmp. Mankamentem jest konieczność edycji rysunku z linii komend oraz brak możliwości powiększania wybranych fragmentów. 2.5 Biblioteki XploRe zawiera system bibliotek, w których znajdują się tematycznie pogrupowane funkcje. W celu uruchomienia quantletu należy wcześniej poinformować system w jakiej bibliotece się on znajduje. 1 Czyni to rozpoczynanie pracy z programem nieco uciążliwym. Szczegółowy opis bibliotek można znaleźć w [5]. 1 Wybierając z menu Main komendę Quantlets otrzymuje się podobne okienko, jak w przypadku funkcji i obiektów zawierające opis dostępnych w danej chwili quantletów.

12 12 ROZDZIAŁ 2. ŚRODOWISKO XPLORE Przykładem biblioteki w XploRe jest biblioteka finance. Zawiera funkcje dotyczące wyceny opcji, zabezpieczenia przed ryzykiem czy też symulacji procesów giełdowych. Zaprogramowane funkcje umożliwiają obliczenie ceny opcji europejskich jak i amerykańskich wieloma metodami, jak również wyznaczenie zmienności implikowanej. Niektóre funkcje mogą stać się przydatne przy zarządzaniu ryzykiem pozwalając np. na wyliczenie możliwości arbitrażu czy zwrotu z kontraktu zwanego spread byka. Jako uzupełnienie do wyliczeń finansowych biblioteka zawiera quantlety służące do symulacji procesów giełdowych zgodnie z modelem Blacka-Scholesa, jak również estymacji parametrów modelu z danych rzeczywistych. Ważnym składnikiem biblioteki finance są też metody do estymacji indeksu ogona, zwłaszcza quantlety wyznaczające estymator Hilla. Biblioteka stats zawiera kilka funkcji liczących wartości gęstości i dystrybuant rozkładu dwumianowego oraz Pareto. Znajdują się tam również generatory liczb losowych dla tych rozkładów oraz metody wyznaczające kwantyle. Dla kilku innych rozkładów (normalnego, jednostajnego lub beta) XploRe dysponuje wbudowanymi metodami wyznaczającymi gęstość, dystrybuantę bądź kwantyle. Biblioteka zawiera także wiele innych metod przydatnych w analizie statystycznej np. funkcję wyznaczającą współczynniki regresji liniowej czy też metodę realizującą technikę bootstrap. Na potrzeby niniejszej pracy zaimplementowane quantlety zostały umieszczone w jednej bibliotece stable. Jednakże równie dobrze mogłyby stać się częścią dwóch wspomnianych wyżej bibliotek. Funkcje liczące wartości gęstości i dystrybuant oraz generujące zmienne losowe odpowiadają charakterem funkcjom z biblioteki stats. Metody estymujące parametry mogą stanowić część biblioteki finance. Bibilioteka stable może być pomocna w modelowaniu zjawisk finansowych. Nie zawiera wprawdzie metod, które można zastosować wprost do danych rynkowych, ale jej funkcje pozwalają w prosty sposób takie metody konstruować w zależności od konkretnych potrzeb. Quantlety XCSstab??.xpl pokazują jak możnająwykorzystywać.

13 Rozdział 3 Rynek finansowy Postać dzisiejszych rynków finansowych jest efektem ewolucyjnego przeobrażenia średniowiecznych targowisk, na których początkowo handlowano przede wszystkim towarami i złotem [18]. W miarę upływu czasu zaczęto wprowadzać standaryzację, która legła u podstaw rynku giełdowego. Jako uzupełnienie obrotu towarowego rozwinął się obrót kapitałowy. Zaczęto handlować akcjami, wekslami a z biegiem lat coraz bardziej skomplikowanymi instrumentami finansowymi. Dzięki rewolucji technologicznej i informatycznej rynki pokonały barierę odległości, tworząc pajęczynę powiązań oplatającą obecnie cały glob. Na dzisiejszym rynku finansowym można wyodrębnić kilka segmentów. Rynek pieniężny to rynek, na którym zawierane są transakcje krótkoterminowe, zwyczajowo przyjmuje się termin realizacji nie dłuższy niż jeden rok. Instrumentami na tym rynku są aktywa o dużej płynności jak np.: bony skarbowe, czeki, weksle. Z rynkiem kapitałowym mamy do czynienia przy transakcjach długoterminowych. Za instrumenty tego rynku przyjmuje się głownie akcje i obligacje. Jego celem jest umożliwienie tworzenia kapitałów udziałowych lub pożyczkowych. Rynkiem walutowym nazywamy rynek obejmujący transakcje walutami różnych krajów. Reguluje on zobowiązania płatnicze w określonych walutach. Stosunkowo młodym segmentem jest rynek instrumentów pochodnych. Zapewnia on efektywne zarządzanie ryzykiem chroniąc uczestników przed niekorzystnymi zmianami na rynku podstawowym [1]. Do instrumentów tego rynku należy zaliczyć np. opcje czy też kontrakty futures. Wśród tak bogatej i skomplikowanej struktury można zaobserwować wiele ciekawych własności. Umiejętne wychwycenie kluczowych zależności pozwala na lepszą orientację w skomplikowanej rynkowej rzeczywistości. Dlatego też próbuje się pewne prawa wpleść w matematyczne formuły w nadziei na uzyskanie czytelnego obrazu otaczającego świata. 13

14 14 ROZDZIAŁ 3. RYNEK FINANSOWY DJIA Indeks t Rysunek 3.1: Wartość indeksu DJIA w okresie 6 lipca maja 1996 XCSfin Indeksy giełdowe Jedną z form obrotu na rynku finansowym, która usprawnia jego działanie, są giełdy papierów wartościowych. Organizują one handel instrumentami finansowymi, gdzie kupujący i sprzedający mogą swobodnie dokonywać transakcji i ustalać ceny [17]. Ze względu na zmieniające się warunki ekonomiczne, a może przede wszystkim ze względu na zmieniające się poglądy inwestorów odnośnie przyszłych wydarzeń, ceny ustalane na giełdzie podlegają ciągłym i trudnym do przewidzenia zmianom. Ponieważ na giełdach handluje się jednocześnie bardzo wieloma instrumentami a fluktuacja cen dla każdego aktywu może być inna, nie jest łatwe uchwycenie ogólnej tendencji rynkowej. Wygodną próbą oceny kierunku zmian rynku są indeksy giełdowe. Konstruuje się je jako różnego typu średnie ceny akcji pewnej liczby spółek, którymi handluje się na danej giełdzie. Reprezentatywny indeks powinien rosnąć wraz ze wzrostem cen akcji i maleć gdy większość cen spada. Powinien też zależeć od zmian cen a nie samych cen. Jednym z najbardziej znanych światowych indeksów jest Dow Jones Industrial Average (DJIA). W jego skład wchodzą ceny akcji 30 spółek z nowojorskiej giełdy New York Stock Exchange (NYSE). Jego początki sięgają roku 1884, gdy firma Dow Jones & Co. podała średnią cen 11. akcji giełdy nowojorskiej. Z bie-

15 3.1. INDEKSY GIEŁDOWE 15 DAX Indeks t Rysunek 3.2: Wartość indeksu DAX w okresie 2 stycznia grudnia 2002 XCSfin02 giem czasu indeks zwiększył się do 20 a następnie do 30 spółek. Nie jest on zwykłą średnią arytmetyczną, gdyż taka nie zachowałaby ciągłości indeksu przy zmianie spółek wchodzących w jego skład lub podziale akcji. Dlatego też sumę cen 30 akcji dzieli się przez wartość dzielnika, który wyznacza się oddzielnie. Zachowanie indeksu w okresie 6 lipca maja 1996 przedstawiono na rys Okres ten zawiera w sobie dzień największego krachu w historii NYSE - 19 października Innym przykładem indeksu jest indeks giełdy niemieckiej Duetsche Aktienindex (DAX). Jego wysokość zależy od 30 największych pod względem kapitalizacji i wolumenu spółek giełdowych. W przeciwieństwie do DJIA jest on indeksem kapitałowo-ważonym. Procent udziału spółki w indeksie zależy nie od ceny jej akcji ale od wartości rynkowej spółki. Na rysunku 3.2 pokazano zachowanie indeksu w okresie od 2 stycznia 1995 do 11 grudnia Indeksy giełdowe są prostym ilościowym opisem zjawisk zachodzących na rynku finansowym. Ich prostota i użyteczność uczyniła je ważnym elementem, do którego odnoszą się niemal wszyscy inwestorzy [3]. Dzięki swej popularności stały się również instrumentem podstawowym dla niektórych instrumentów pochodnych. Dlatego jako miary zachowania rynku - mające ponadto charakter pseudoinstrumentu finansowego - podlegają ścisłej analizie, której celem jest jeszcze dokładniejszy opis rynku finansowego.

16 16 ROZDZIAŁ 3. RYNEK FINANSOWY Kurs GBP/USD Kurs t Rysunek 3.3: Kurs funta brytyjskiego do dolara amerykańskiego w okresie 2 stycznia listopada 2000 XCSfin Rynki walutowe Wobec postępującej globalizacji i otwierania się rynków międzynarodowych, coraz większego znaczenia nabierają rynki walutowe. Odpowiedni kurs walutowy odgrywa istotną rolę dla gospodarki danego kraju, wpływając pośrednio na wiele istotnych wskaźników ekonomicznych. Również większość przedsiębiorstw zmuszona jest do szczegółowej analizy zmian zachodzących na rynkach walutowych [10]. Jednakże przewidywanie kierunku zmian kursów wydaje się niemal niemożliwe. Wpływ na zmianę wartości waluty uzależniony jest od bardzo wielu czynników, których zachowanie także trudno antycypować. Na rynku występują zarówno wielkie instytucje finansowe, jak i mniejsi inwestorzy. Każdy z nich ma inne cele i inaczej buduje swoją strategię. Utrudnia to skuteczną prognozę kursów. Uczestnicy rynku chcą jednak zabezpieczać się przed niekorzystnymi i trudnymi do przewidzenia zmianami cen. W tym celu konstruuje się odpowiednie instrumenty finansowe rynku walutowego oraz strategie zarządzania ryzykiem kursowym. Duża zmienność kursów może występować nawet między silnymi i stabilnymi gospodarkami jak gospodarki Wielkiej Brytanii i Stanów Zjednoczonych. Na rysunku 3.3 przedstawiono zachowanie kursu funta brytyjskiego w sto-

17 3.3. WŁASNOŚCI DANYCH FINANSOWYCH 17 sunku do dolara amerykańskiego w okresie 2 stycznia listopada Widać znaczne wahania i parokrotną zmianę trendu. Podkreśla to znaczenie opisu zjawisk rządzących tym rynkiem. 3.3 Własności danych finansowych Jak już zostało wspomniane powyżej w celu lepszego poruszania się po meandrach rynku finansowego, poszukuje się modeli ilościowych opisujących jego prawa. Wszelkie zmiany są zależne od niewyobrażalnie wielkiej liczby czynników w sposób, który trudno zbadać i przewidzieć. Dlatego opis probabilistyczny wydaje się w tym miejscu odpowiedni. Dane finansowe można traktować wtedy jako realizacje pewnych zmiennych losowych. Powstaje pytanie jaki rozkład należy przyjąć, by jak najlepiej uchwycić rzeczywistość zmian czynników finansowych. Standardowym opisem jest rozkład gaussowski. Przy odpowiednich założeniach może on być otrzymany jako graniczny rozkład sumy zmiennych losowych. Taka własność pomaga budować modele finansowe, gdzie każde zjawisko można interpretować jako efekt działania wielu czynników o mniejszej skali. Przykładowo zwroty z instrumentu finansowego w pewnym horyzoncie czasowym mogą być traktowane jako suma wielu zwrotów w krótszym horyzoncie czasowym. 1 Jednakże pewne empiryczne badania danych finansowych (zwrotów) nakazują patrzeć sceptycznie na możliwości jakie daje opis gaussowski. Daje się np. zaobserwować skośność danych. Rozkład zwrotów nie jest symetryczny wokół swojej średniej i więcej jest zwrotów dodatnich niż ujemnych. Fakt ten można tłumaczyć innym zachowaniem inwestorów w czasie hossy niż w czasie bessy. Problem stanowią także grube ogony rozkładów [18]. Prawdopodobieństwo P(Z t <z), gdzie Z t zwrot w chwili t, jest większe niż dla rozkładu normalnego. Zgodnie z modelem gaussowskim prawdopodobieństwo sporych spadków (wzrostów) jest małe i powinny one występować rzadziej niż na to wskazują dane empiryczne. Model zakłada bowiem zależność wykładniczą dla granicznego prawdopodobieństwa a należałoby raczej zakładać zależność potęgową. Wobec powyższych niedogodności rozkład normalny należałoby zastąpić innym rozkładem. Jedną z propozycji jest rozkład stabilny. Umożliwia on uchwycenie skośności danych, jak również pozwala na manipulację przy grubości ogona. Ponadto zachowuje pozytywną własność sumowania zmiennych losowych o tym samym rozkładzie. Niedogodnością jest nieskończona wariancja dla zmiennych stabilnych. 1 Zwrotem przyjęto nazywać wielkość Z t = St S t 1 gdzie S S t jest ceną instrumentu w t 1 chwili t. Można również mówić o zwrotach logarytmicznych, wtedy Z t =ln St. S t 1

18 18 ROZDZIAŁ 3. RYNEK FINANSOWY

19 Rozdział 4 Rozkłady stabilne i ich własności Rozkłady stabilne zostały zaproponowane przez Paula Levy ego [9] podczas badań nad sumami niezależnych zmiennych losowych. Należy zaznaczyć, że suma dwóch niezależnych zmiennych o rozkładzie α-stabilnym z parametrem α jest dalej zmienną α-stabilną z tym samym parametrem α. Szerzej można przyjąć definicję, że zmienna X ma rozkład α-stabilny wtedy i tylko wtedy gdy istnieją stałe c n > 0id n R takie że: X 1 + X X n = c n X + d n (4.1) i X 1,...X n są niezależnymi kopiami X. Ciągc n jest postaci n 1/α.Własnośćta nie zachowuje się dla różnych wartości α. Dwie niezależne zmienne losowe o różnym indeksie α nie muszą być wcale α-stabilne. Innym sposobem definiowania jest podanie funkcji charakterystycznej, gdyż poza trzema szczególnymi przypadkami rozkłady te nie mają jawnej postaci funkcji gęstości. Można ją jednak aproksymować różnymi metodami numerycznymi. 4.1 Własności Rozkłady α-stabilne wymagają czterech parametrów do pełnego opisu: indeksu stabilności α (0, 2], parametru skośności β [ 1, 1], skali σ>0 oraz położenia µ R. Parametr α określa grubość ogona, patrz rys Kiedy α =2,dostaje się rozkład normalny. Gdy α < 2 wariancja jest nieskończona. Gdy α > 1 średnia istnieje i wynosi µ. Ogólnie istnieje p-ty moment stabilnej zmiennej losowej wtedy i tylko wtedy gdy p < α. Jeśli parametr skośności β jest dodatni to rozkład jest skośny w prawo - prawy ogon jest cięższy, patrz rys Gdy mamy do czynienia z ujemnym parametrem skośności to otrzymuje się rozkład skośny w lewo, a jak β = 0 rozkład symetryczny wokół µ. W miarę jak α zbiega do 2, β traci na znaczeniu i przy rozkładzie gaussowskim nie ma żadnego wpływu. Dwa ostatnie parametry są standardowymi parametrami skali i położenia. 19

20 20 ROZDZIAŁ 4. ROZKŁADY STABILNE I ICH WŁASNOŚCI log(pdf(x)) x Rysunek 4.1: Funkcje gęstośći w skali półlogarytmicznej dla symetrycznych rozkładów stabilnych (β = µ =0,σ = 1). Wartości parametru α =2(cienki czarny), 1.8 (czerwony), 1.5 (cienki, przerywany niebieski) oraz 1 (przerywany zielony). Gęstość gaussowska tworzy parabolę i jest jedyną wśród α-stabilnych o wykładniczym ogonie XCSstab01 PDF(x) x Rysunek 4.2: Funckje gęstośći zmiennych α-stabilnych dla α = 1.2 i β = 0(cienki czarny), 0.5 (czerwony), 0.8 (cienki, przerywany niebieski) oraz 1 (przerywany, zielony) XCSstab02

21 4.2. FUNKCJA CHARAKTERYSTYCZNA 21 PDF(x) x Rysunek 4.3: Jawne wzory na postać funkcji gęstości są znane tylko dla trzech rozkładów stabilnych: normalnego (α = 2; cienki czarny), Cauchy ego (α = 1; czerwony) i Levy ego (α =0.5,β = 1; cienki, przerywany, niebieski). Rozkład Levy ego jest całkowicie skośny. Ogólnie gdy α<1iβ =1( 1) rozkład jest całkowicie skośny w prawo (lewo) XCSstab Funkcja charakterystyczna Z powodu braku jawnych wzorów na postać funkcji gęstości dla wszystkich przypadków oprócz trzech szczególnych (patrz rys. 4.3), najwygodniejszą formą opisu rozkładów stabilnych jest funkcja charakterystyczna φ(t), będąca odwrotną transformatą Fouriera funkcji gęstości. Powstało wiele różnych parametryzacji rozkładów stabilnych, co może prowadzić do drobnej konfuzji. Różnorodność opisu spowodowana jest wieloma historycznymi próbami analizy praw związanych z rozkładami stabilnymi. Konwencją przyjętą w niniejszym opracowaniu jest postać funkcji charakterystycznej zmiennej stabilnej X S α (σ, β, µ) zparametrami α, σ, β i µ użytą również przez Samorodnitsky ego i Taqqu [15] oraz Werona [20]. σ α t α {1 ıβsign(t)tan πα 2 } + ıµt, α 1, log φ(t) = (4.2) σ t {1+ıβsign(t) 2 π log t } + ıµt, α =1. Do celów numerycznych użyteczna jest często inna parametryzacja oznaczona w tekście jako S 0 α (σ, β, µ 0)[4]:

22 22 ROZDZIAŁ 4. ROZKŁADY STABILNE I ICH WŁASNOŚCI Parametryzacja S Parametryzacja S0 PDF(x) PDF(x) x x Rysunek 4.4: Porównanie parametryzacji S i S 0 : α-stabilna gęstośc dla β =0.5 i α =0.5 (cienki czarny), 0.75 (czerwony), 1 (cienki, przerywany niebieski), 1.25 (przerywany zielony) i 1.5 (cienki turkusowy) XCSstab04 σ α t α {1+ıβsign(t)tan πα 2 [(σ t )1 α 1]} + ıµ 0 t, α 1, log φ 0 (t) = σ t {1+ıβsign(t) 2 π log(σ t )} + ıµ 0t, α =1. (4.3) Parametryzacja Sα(σ, 0 β, µ 0 ) jest wariantem (M)-parametryzacji Zolotarieva [21], z funkcjami charakterystycznymi, gęstościami, jak również dystrybuantami ciągłymi w domenie wszystkich czterech parametrów, patrz rys Parametry skali powiązane są ze sobą w następujący sposób: µ = µ 0 βσ tan πα 2 dla α 1 oraz µ = µ 0 βσ 2 π log σ dla α = Reprezentacja całkowa Oprócz funkcji charakterystycznej istnieje opis zmiennych α-stabilnych korzystający z całkowej reprezentacji funkcji gęstości i dystrybuanty. Niech X będzie zmienną z rozkładu S 0 α(1,β,0). Niech ponadto f(x; α, β) oznacza gęstość zmiennej X a F (x; α, β) jej dystrybuantę. Przyjmijmy dodatkowo oznaczenia:

23 4.3. REPREZENTACJA CAŁKOWA 23 V (θ; α, β) = β tan πα 2, α 1, ζ = 0, α =1, θ 0 = 1 α arctan(tan πα 2 ), α 1, π 2, α =1, 1 π ( π 2 θ 0), α < 1, c 1 (α, β) = 0, α =1, (cos αθ 0 ) 1 1, α < 1, α 1 ( cos θ sin α(θ ) α cos(αθ0+(α 1)θ) α 1 0+θ) cos θ, α 1, 2 π ( π 2 +βθ cos θ )exp(1 β ( π 2 + βθ)tanθ), α =1,β 0. Wtedy gęstość f(x; α, β) zmiennej X można zapisać jako: gdy α 1ix>ζ f(x; α, β) = gdy α 1ix = ζ α(x ζ) 1 α 1 π α 1 π 2 V (θ; α, β)exp( (x ζ) α α 1 V (θ; α, β))dθ, θ 0 f(x; α, β) = Γ(1 + 1 α )cos(θ 0), π(1 + ζ 2 ) 1 2α gdy α 1ix<ζ f(x; α, β) =f( x; α, β), gdy α =1 f(x;1,β)= 1 2 β e πx 2β π 2 V (θ;1,β)exp( e πx π 2β V (θ;1,β))dθ, β 0, 2 1 π(1+x 2 ), β =0.

24 24 ROZDZIAŁ 4. ROZKŁADY STABILNE I ICH WŁASNOŚCI Analogicznie dystrybuantę F (x; α, β) zmiennej X wyznacza się jako: gdy α 1ix>ζ F (x; α, β) =c 1 (α, β)+ sign(1 α) π π 2 exp( (x ζ) α α 1 V (θ; α, β))dθ, θ 0 gdy α 1ix = ζ F (x; α, β) = 1 π (π 2 θ 0), gdy α 1ix<ζ gdy α =1 F (x;1,β)= F (x; α, β) =1 F ( x; α, β), 1 π π 2 exp( e πx π 2β V (θ;1,β))dθ, β > 0, π arctan x, β =0, 1 F ( x, 1, β), β < 0. Aby otrzymać wzór dla dowolnej zmiennej α-stabilnej należy mieć na względzie następującą własność: jeżeli X S 0 α(1,β,0) to σ(x β tan πα 2 )+µ 0, α 1, Y = σx + µ 0, α =1, jest z rozkładu X S 0 α(σ, β, µ 0 ). Przedstawione wzory są dość skomplikowane, więc częściej używa się funkcji charakterystycznej do reprezentacji rozkładów stabilnych. Jednakże mogą być pomocne przy numerycznym wyznaczaniu wartości gęstości i dystrybuanty [12]. 4.4 Generowanie zmiennych stabilnych Problem z generowaniem α-stabilnych zmiennych losowych wypływa z braku jawnych wzorów funkcji odwrotnej F 1 do dystrybuanty rozkładu. Pierwsze rozwiązanie tego problemu zostało przedstawione przez Kantera [6], który opisał metodę symulacji zmiennej S α (1, 1, 0) dla α<1. Okazało się, że metoda może być przystosowana do ogólnego przypadku. Algorytm konstrukcji zmiennej X S α (1,β,0), o reprezentacji (4.2), jest następujący [20]:

25 4.5. ASYMPTOTYKA ROZKŁADÓW α-stabilnych 25 wygeneruj zmienną losową V z rozkładu jednostajnego na ( π 2, π 2 )oraz niezależną zmienna losową z rozkładu wykładniczego W o średniej 1; dla α 1 policz: gdzie X = S α,β sin α(v + B α,β) {cos(v )} 1/α [ ] (1 α)/α cos V α(v + Bα,β ), (4.4) W dla α = 1 policz: X = 2 π B α,β = arctan(β tan πα 2 ), α { ( S α,β = 1+β 2 tan 2 πα )} 1/(2α) ; 2 { ( π ) ( π 2 + βv 2 tan V β log W cos V )} π 2 + βv. (4.5) Dzięki opisanej formule generowania standardowej α-stabilnej zmiennej losowej możemy otrzymywać zmienne dla wszystkich wartości parametrów α, σ, β i µ mając na względzie następującą własność: jeżeli X S α (1,β,0) to σx + µ, α 1, Y = (4.6) σx + 2 π βσ log σ + µ, α =1, jest z rozkładu S α (σ, β, µ). Pomimo wielu innych badań opisanych w literaturze powyższa metoda uznawana jest za najszybszą i najdokładniejszą. 4.5 Asymptotyka rozkładów α-stabilnych Levy [9] pokazał, że dla α<2 ogony rozkładu α-stabilnego asymptotycznie odpowiadają ogonowi rozkładu Pareto. W szczególności gdy X S α<2 (1,β,0) to dla x : P (X >x)=1 F (x) C α (1 + β)x α, P (X < x) =F ( x) C α (1 β)x α, (4.7)

26 26 ROZDZIAŁ 4. ROZKŁADY STABILNE I ICH WŁASNOŚCI Ogony stabilne log(1-cdf(x)) log(x) Rysunek 4.5: Prawe ogony dystrybuanty symetrycznego rozkładu α-stabilnego dla α = 2 (cienki czarny), 1.95 (czerwony), 1.8 (cienki, przerywany niebieski) i 1.5 (przerywany zielony) przedstawione w skali podwójnie logarytmicznej. Dla α<2 tworzą linię prostą o nachyleniu α XCSstab05 gdzie C α = ( 2 0 ) 1 x α sin xdx = 1 π Γ(α)sin πα 2. Zbieżność ogona do praw potęgowych zależy od wartości parametru α. Zależność ta przedstawiona jest na rys Zbieżność jest tym wolniejsza im większa jest wartość α. Ponadto można zaobserwować przejście z prawa potęgowego z wykładnikiem α>2 do prawa potęgowego właściwego wykładnika α. Efekt ten staje się widoczny szczególnie przy wartościach bliskich Estymacja Estymacja parametrów rozkładów stabilnych jest utrudniona poprzez brak jawnej postaci funkcji gęstości z wyjątkiem trzech konkretnych rozkładów. Wiele tradycyjnych metod łącznie z metodą największej wiarogodności nie może być w prosty sposób przeniesiona na przypadek stabilny. Istnieją jednak numeryczne algorytmy mogące być w tym miejscu pomocne. Zostaną one poniżej pokrótce

27 4.6. ESTYMACJA 27 przedstawione. Wszystkie z przedstawionych metod działają w miarę poprawnie przy założeniu, że próbka istotnie pochodzi z rozkładu α-stabilnego. Jednakże jeżeli dane pochodzą z innego rozkładu niniejsze procedury mogą być mylące bardzie niż estymator Hilla i metody bezpośredniej estymacji ogonów. Z powodu braku formalnych testów na potwierdzenie stabilności można zasugerować początkową wzrokową ocenę lub nieparametryczne testy w celu stwierdzenie czy empiryczna gęstość przypomina α-stabilną. Dla zadanej próbki x 1,..., x n z rozkładu S α (σ, β, µ), zostaną przedstawione wartości estymatorów ˆα, ˆσ, ˆβ iˆµ odpowiednio parametrów α, σ, β i µ Estymacja indeksu ogona Najprostszą metodą estymacji indeksu ogona jest graficzna obserwacja prawego ogona empirycznej dystrybuanty (1 F (x)) w skali podwójnie logarytmicznej, jaknarys.4.6.dodużychwartościlog(x) i odpowiadającym im wartościom log(1 F (x)) stosuje się regresję liniową, a z uzyskanej prostej estymuje się parametr α, poprzez relację α = nachylenie. Metoda jest bardzo wrażliwa na wielkość próby jak również na liczbę obserwacji użytych w regresji. Ponadto nachylenie około 3.7, co sugerować może brak stabilności, można uzyskać przy rozkładzie α-stabilnym z α 1.9. Aby zilustrować powyższy problem należy wygenerować dwie próbki o rozmiarach N =10 4 i10 6 ze standardowego symetrycznego (β = µ =0,σ =1)α-stabilnego rozkładu z α =1.9. Następnie w skali podwójnie logarytmicznej przedstawić prawy ogon empirycznej dystrybuanty. Wynik takiej procedury przedstawiono w tab. 4.1 oraz na rys Tabela 4.1: Estymacja indeksu α ogona rozkładu Wielkość próbki 10 6 obserwacji 10 4 obserwacji Nachylenie pierwotnego prawa potęgowego Nachylenie ogona XCSstab06 Właściwe zachowanie ogona (4.7) widoczne jest dopiero dla bardzo dużych (co do wartości bezwzględnej) obserwacji. Otrzymane wyestymowane wartości ciągle odbiegają od prawdziwych, co sugeruje, że potrzeba badać próbki nawet o większe liczbie obserwacji niż Na rysunku 4.6 zostało użyte 0.15% największych obserwacji w celu estymowania prawdziwego parametru α. Należy zaznaczyć, że wybór obserwacji do regresji jest subiektywny i może prowadzić do błędów w estymacji. Dobrze znaną metodą do estymowania indeksu ogona jest estymator Hilla. Jest on używany, w przypadku gdy ogon rozkładu można zapisać przy pomocy wzoru: 1 F (x) =Cx α. Podobnie jak metoda opisana powyżej, estymator Hilla

28 28 ROZDZIAŁ 4. ROZKŁADY STABILNE I ICH WŁASNOŚCI 10^6 10^4 log(1-f(x)) log(1-f(x)) log(x) log(x) Rysunek 4.6: Prawy ogon dystrybuanty empirycznej symetrycznego rozkładu 1.9-stabilnego dla próbek wielkości N =10 6 (lewy rysunek) i N =10 4 (prawy rysunek). Cienka czerwona linia otrzymana jest poprzez liniową regresję końcowych obserwacji. Dla mniej licznej próbki otrzymuje się wartość indeksu ogona ˆα =3.73. W przypadku większej próbki estymacja indeksu daje wynik ˆα =3.79 dla mniej skrajnych obserwacji, dopiero dla najbardziej odległych jest on zbliżony (ˆα = 1.93) do prawdziwej wartości α. XCSstab06 przeszacowuje wartość indeksu ogona dla rozkładów stabilnych jeśli α znajduje sięblisko2awielkośćpróbkijestniezbytduża,patrzrys.4.7. Powyższe przykłady pokazują, że prawdziwe zachowanie ogona rozkładu α- stabilnego widoczne jest wyłącznie dla bardzo dużych zbiorów danych. Oznacza to, iż gdy chcemy znale zć wartość α musimy w praktyce posłużyć się bardzo duża liczbą obserwacji (np. częste zwroty w długim horyzoncie czasowym) i ograniczyć się do najbardziej skrajnych. W przeciwnym razie uzyskana wyestymowana wartość α może być myląca a odrzucenie hipotezy o stabilności niewłaściwe Metoda McCullocha Niech x f będzie f tym kwantylem, tak iż S α (σ, β, µ)(x f )=f. Niech ponadto ˆx f będzie odpowiadającym mu kwantylem próbkowym, spełniającym F n (ˆx f )=f. McCulloch [11] analizował kwantyle rozkładów stabilnych i zaproponował zgodne estymatory wszystkich czterech parametrów, z ograniczeniem jednak do

29 4.6. ESTYMACJA 29 alfa ^4 alfa ^6 alfa ^ Statystyki pozycyjne Statystyki pozycyjne Statystyki pozycyjne Rysunek 4.7: Estymator Hilla grubości ogonów dla próbek z rozkładu 1, 8- stabilnego wielkości N =10 4 (lewy rysunek) i N =10 6 (środkowy i prawy rysunek). Pozioma czerwona linia przedstawia prawdziwą wartość α. Dla lepszego zobrazowania środkowy rysunek jest powiększeniem prawego dla małych wartości k.tylkodlak = 500,..., 1300 otrzymuje się bliskie oszacowanie wartości rzeczywistej (k <0.13% wielkości próbki). XCSstab7 α 0.6. Zdefiniujmy v α = x 0.95 x 0.05, x 0.75 x 0.25 niezależne od dwójki σ i µ. Gdyˆv α będzie odpowiadającą wartością próbkową otrzymamy zgodny estymator v α. Ustalmy podobnie v β = x x x 0.50, x 0.95 x 0.05 iniechˆv β będzie odpowiadającą wartością próbkową. v β również nie zależy ani od σ ani od µ. Jako funkcja zależna od α i β, v β ściśle rośnie dla β przy każdej wartości α. Statystykaˆv β jest zgodnym estymatorem v β. Statystyki v α i v β są funkcjami α i β. Relacje można łatwo odwrócić, tak iż parametry α i β mogą być traktowane jako funkcje zależne od wartości v α i v β α = ψ 1 (v α,v β ), β = ψ 2 (v α,v β ).

30 30 ROZDZIAŁ 4. ROZKŁADY STABILNE I ICH WŁASNOŚCI Zastępując v α i v β przez ich wartości próbkowe otrzymuje się estymatory ˆα i ˆβ. Wartościψ 1 (v α,v β )orazψ 2 (v α,v β ) zostały stablicowane przez McCullocha [11]. Dla oszacowania ˆα i ˆβ należy dodatkowo posłużyć się interpolacją liniową odpowiednich wartości z tablicy. Parametry skali σ i przesunięcia µ otrzymuje się podobnie Metody próbkowej funkcji charakterystycznej Mając próbkę niezależnych zmiennych losowych x 1,..., x n rozmiaru n można zdefiniować próbkową funkcję charakterystyczną jako ˆφ(t) = 1 n n e itxj. Dla dowolnego ustalonego t, ˆφ(t) jest średnią niezależnych zmiennych losowych exp(itx j ) o tym samym rozkładzie, których wszystkie momenty są skończone. Z prawa wielkich liczb wynika, że ˆφ(t) jest zgodnym estymatorem funkcji charakterystycznej φ(t). Press [13] zaproponował prostą metodę estymacji, zwaną metodą momentów, która bazuje na przekształceniach funkcji charakterystycznej. Z (4.2) otrzymujemy dla dowolnego α φ(t) =exp( σ α t α ). Stąd, log φ(t) = σ α t α. Zakładając teraz, że α 1, należy wybrać dwie niezerowe wartości t, takie aby t 1 t 2.Wtedy log φ(t k ) = σ α t k α, dla k =1, 2. Rozwiązując powyższe dwa równania ze względu na α i σ, oraz wstawiając ˆφ(t) zaφ(t) dostajesię j=1 oraz ˆα = log log ˆφ(t 1) log ˆφ(t 2) log t1 t 2, log ˆσ = log t 1 log( log ˆφ(t 2 ) ) log t 2 log( log ˆφ(t 1 ) ) log t1 t 2. W celu estymacji β i µ należy zastosować podobną procedurę w stosunku do Im(log φ(t)). Uzyskane estymatory są zgodne, gdyż pochodzą od zgodnych estymatorów φ(t), Imφ(t) i Reφ(t). Jednakże zbieżność do prawdziwych wartości zależy od subiektywnego wyboru t 1,..., t 4. Optymalny wybór tych wartości nie jest łatwy i pozostaje sprawą otwartą. Estymować parametry można także poprzez minimalizację pewnych funkcji zależnych od różnicy pomiędzy próbkową a faktyczną funkcją charakterystyczną. Koutrouvelis [8] przedstawił metodę posługującą się regresją. Startuje ona

31 4.6. ESTYMACJA 31 z początkowych wartości parametrów, które mogą być otrzymane innymi metodami, wykonując kilka iteracji aż do uzyskania zadanego kryterium zbieżności. Każda iteracja składa się z dwóch procedur regresji. Liczba punktów potrzebnych do regresji zależy od wielkości próby, jak również od początkowych wartości α. Zwykle potrzeba nie więcej niż dwóch lub trzech iteracji choć oczywiście szybkość zbieżności zależy od początkowych wartości i kryterium zakończenia iteracji. Metoda regresji oparta jest na poniższych obserwacjach dotyczących funkcji charakterystycznej φ(t). Po pierwsze z równania (4.2) można wyprowadzić oraz log( log φ(t) 2 )=log(2σ α )+α log t. (4.8) Część rzeczywista i urojona φ(t) dlaα 1 jest dana przez [ Re{φ(t)} =exp( σt α )cos µt + σt α βsign(t)tan πα 2 [ Im{φ(t)} =exp( σt α )sin µt + σt α βsign(t)tan πα 2 Dwa ostatnie równania prowadzą do ( ) Im{φ(t)} arctan = µt + βσ α tan πα Re{φ(t)} 2 sign(t) t α. (4.9) Równanie(4.8) zależy tylko od α i σ i umożliwia estymację tych parametrów przez regresję y = log( log φ n (t) 2 )iw =log t wmodelu ], ]. y k = m + αw k + ɛ k, k =1, 2,..., K, gdzie t k jest odpowiednim zbiorem wartości rzeczywistych, m =log(2σ α ), a ɛ k opisuje błąd. Koutrouvelis [8] proponował stosować t k = πk 25,k =1, 2,..., K; z K będącym liczbą naturalną z przedziału [9; 134] odpowiednio dobraną dla różnych wartości α i wielkości próbki. Gdy ˆα iˆσ są już wyznaczone wstawia się je za α i σ oraz przystępuje się do estymacji β i µ używając (4.9). Następnie regresja jest powtarzana w analogiczny sposób z ˆα, ˆσ, ˆβ iˆµ wziętymi jako wartości początkowe. Iteracje kontynuuje się aż do spełnienia zadanego kryterium zbieżności. Kogon i Willianms [7] wyeliminowali wielokrotne iteracje upraszczając przez to metodę Koutrouvelisa. Zrezygnowali z wielokrotnie powtarzanej regresji, gdyż jednokrotne jej użycie daje często zadawalające efekty. Zwiększyli przez to szybkość działania algorytmu. Użyli ponadto ustalonego zbioru 10 równo oddalonych punktów. W przeciwieństwie do pierwotnej metody regresji, gdzie wybór punktów zależał od uzyskanej wartości α, zalecili użyć konkretnego zbioru t = 0.1, 0.2,..., 0.9, 1. Jako parametry początkowe zastosowali wartości uzyskane

32 32 ROZDZIAŁ 4. ROZKŁADY STABILNE I ICH WŁASNOŚCI metodą McCullocha. Należy zaznaczyć, że metoda McCullocha ograniczona jest do wartości α 0.6, dlatego należy liczyć się z sytuacją, iż w pewnych przypadkach początkowe wartości mogą zawierać spory błąd. Istotną zmianą wobec pierwotnej wersji metody jest też przejście do ciągłej parametryzacji (4.3). Równanie (4.8), służące do znalezienia wartości α i σ pozostaje identyczne, natomiast równanie (4.9) przybiera nieco inną postać: arctan ( ) Im{φ(t)} = µ 0 t + βσ α tan πα Re{φ(t)} 2 sign(t) t α [(σ t ) 1 α 1] (4.10) Estymowana jest w tym przypadku wartość parametru µ 0 zamiast µ, więcnależy pamiętać o wzajemnym przeliczeniu obu tych wartości. Przejście do ciągłej parametryzacji powoduje, że dla α =1iβ 0 parametr położenia estymowany jest dokładniej. W innych przypadkach pierwotna metoda Koutrouvelisa daje przeważnie lepsze wyniki, choć nie są one istotnie lepsze.

33 Rozdział 5 Przykłady zastosowań w finansach Założenia odnośnie rozkładów zmiennych opisujących zjawiska finansowe mają istotne znaczenie, gdy podejmowane decyzje opierają się na oczekiwanym zwrocie bad z kalkulacji ryzyka alternatywnych inwestycji. Podejście do problemów typu wybór odpowiedniego portfela, wycena opcji czy zarządzanie ryzykiem zależy ściśle od przyjętego rozkładu w rozpatrywanym modelu. Wiele technik w nowoczesnych finansach opiera się na założeniu o gaussowskim rozkładzie zmiennych losowych podlegających analizie. Jednak obserwowane dane finansowe często nie potwierdzają tego założenia wykazując brak symetrii i ciężkie ogony. Nakazuje to podważyć słuszność założenia normalności. Finansowe zwroty często traktuje się jako wynik wielu czynników, o których informacja napływa prawie w sposób ciągły. Pamiętając dodatkowo o istnieniu zjawisk ekstremalnych, które mogą być modelowane przez grube ogony rozkładów, założenie o stabilności zdaje się być uprawnione. Inne ciężkoogonowe rozkłady, jak np. hiperboliczny, Weibulla czy t Studenta, które mogłyby być w tym przypadku pomocne, nie posiadają pożytecznej własności związanej centralnym twierdzeniem granicznym. Rozkłady stabilne mogą być z powodzeniem dopasowane do zwrotów giełdowych, zwrotów z rynków walutowych, towarowych czy też rynku nieruchomości [14]. Istnieją jednak pewne wątpliwości podważające możliwość użycia modelu stabilnego. Opierają się one na estymacji indeksu ogona. Znaleziona wartość α okazuje się istotnie większa od 2, czyli poza obrębem rozkładów stabilnych. Jednakże należy w tym miejscu zwrócić uwagę na fakty przedstawione w rozdziale Estymacja α dla próbek typowej wielkość używając obserwacji z ogona może być wielce myląca. Nawet spora wartość α nie jest wystarczającą przesłanką do odrzucenia stabilności. W tablicy 5.1 przedstawiono dopasowanie rozkładów stabilnego i gaussowskiego do zwrotów z kursu wymiany funta brytyjskiego do dolara amerykańskiego z okresu od 2 stycznia 1990 do 8 listopada Estymacji parametrów 33

34 34 ROZDZIAŁ 5. PRZYKŁADY ZASTOSOWAŃ W FINANSACH dokonano metodą regresji przedstawioną w p Porównano dopasowanie przy pomocy statystyki Kołmogorowa i Andersona-Darlinga 1. Z tabeli 5.1 widać, że rozkład 1.71-stabilny znacznie lepiej dopasowuje się do danych niż rozkład normalny. Tabela 5.1: α-stabilne i gaussowskie dopasowanie do zwrotów kursu wymiany GBP/USD z okresu 2 stycznia listopada XCSstab08 parametry α σ β µ α-stabilny gaussowski wartości testowe Anderson-Darling Kołmogorow α-stabilny gaussowski W tablicy 5.2 przedstawiono dopasowanie rozkładów stabilnego i gaussowskiego do zwrotów z indeksu DJIA z okresu 6 lipca maja Należy zwrócić uwagę że okres ten zawiera największy spadek cen akcji w historii Czarny Poniedziałek z 19 pa zdziernika Rozkład 1.67-stabilny zapewnia znacznie lepsze dopasowanie do zwrotów DJIA. Jego przewagę widać jeszcze dobitniej z rys Należy zwrócić uwagę szczególnie na różnice przy dopasowaniu ogonów. Tabela 5.2: α-stabilne i gaussowskie dopasowanie do zwrotów indeksu DJIA z okresu 6 lipca maja XCSstab09 parametry α σ β µ α-stabilny gaussowski wartości testowe Anderson-Darling Kołmogorow α-stabilny gaussowski Dla próby x 1 x 2... x n i dystrybuanty ciągłej F oznaczmy z i = F (x i ). Statystykę Kołmogorowa D wyznacza się wtedy jako: D = max(d +,D ), gdzie D + =max 1 i n [i/n z i ]; D =max 1 i n [z i (i 1)/n]. Statystyka Andersona-Darlinga może być traktowana jako ważona statystyka Kołmogorowa kładąca większe znaczenie na ogony rozkładu. Liczy się ją jako A 2 = { n i=1 (2i 1)[ln z i +ln(1 z n+1 i )]}/n n, patrz[16].

35 35 Zwroty z DJIA - dopasowanie Empiryczne, stabilne i gaussowskie lewe ogony CDF(x) log(cdf(x)) x log(x) Rysunek 5.1: Dopasowanie rozkładów gaussowskiego (przerywany czerwony) i 1.67-stabilnego (turkusowy) do empirycznej dystrybuanty zwrotów DJIA (czarne okręgi) z okresu 6 lipca maja Prawy rysunek przedstawia lewy ogon dopasowania stabilnego i gaussowkiego w skali podwójnie logarytmicnej. XCSstab09 W tablicy 5.3 ukazano dopasowanie dwóch rozkładów do zwrotów z indeksu DAX z okresu 2 stycznia grudnia Podobnie jak w dwóch poprzednich przykładach rozkład stabilny daje lepsze dopasowanie. We wszystkich trzech przypadkach rozkład gaussowski należałoby odrzucić opierając się na dwóch przedstawionych testach. Ponieważ nie są znane wartości krytyczne wspomnianych testów dla rozkładów stabilnych więc nie można podobnego typu decyzji podjąć dla rozkładu stabilnego. Należy jednak zauważyć, że wartości statystyk są znacznie mniejsze dla rozkładu stabilnego, co sugeruje jego znacznie lepsze dopasowanie. Tabela 5.3: α-stabilne i gaussowskie dopasowanie do zwrotów indeksu DAX z okresu 2 stycznia grudnia XCSstab10 parametry α σ β µ α-stabilny gaussowski wartości testowe Anderson-Darling Kołmogorow α-stabilny gaussowski

36 36 ROZDZIAŁ 5. PRZYKŁADY ZASTOSOWAŃ W FINANSACH Oczywiście żaden z zaprezentowanych faktów nie świadczy o tym, że analizowane próbki pochodzą istotnie z rozkładu stabilnego. Jak już zostało stwierdzone w p , sama estymacja indeksu ogona nie daje wystarczającej podstawy do odrzucenia stabilności. Jednocześnie otrzymanie α istotnie mniejszego od dwóch wcale nie wyklucza niestabilnego rozkładu z indeksem ogona α>2 [19]. Jednakże w przedstawionych przykładach widać, że rozkłady o ciężkich ogonach (jak rozkłady stabilne) lepiej modelują rzeczywistość rynku finansowego. Własności graniczne dla rozkładów stabilnych razem z dobrym opisem zjawisk ekstremalnych stanowią motywację do ich stosowania w finansach. Mogą być pomocne przy rozwiązywaniu problemów takich, jak optymalizacja portfela czy wycena opcji [14]. Wyjątkową rolę winny odegrać w wyliczeniach typu Valueat-Risk, gdzie estymacja dolnych kwantyli zwrotów z portfela jest szczególnie istotna.

37 Dodatek A Zaimplementowane quantlety Głównym celem niniejszej pracy była implementacja funkcji związanych z rozkładami stabilnymi. Do systemu XploRe zostały dołączone metody estymacji, symulacji oraz funkcje liczące wartości gęstości i dystrybuanty. Obok quantletów realizujących powyższe procedury napisano również przykłady, które obrazują w jaki sposób działają zaimplementowane funkcje, lecz przede wszystkim przedstawiają własności rozkładów stabilnych. Rysunki i tabele z rozdziałów 4 i 5 mogą zostać uzyskane poprzez wywołanie odpowiednich przykładów. Drobna zmiana pewnych parametrów pozwala użytkownikowi na eksperymenty z rozkładami stabilnymi, co może służyć lepszemu poznaniu ich własności. Quantlety będące realizacją procedur zostały umieszczone w bibliotece stable. Została ona stworzona wyłącznie na potrzeby niniejszej pracy. Praca powstała przy użyciu wersji 4.4, więc opis i implementacja zostały wykonane zgodnie z wymogami tej wersji. Pó zniejsze wersje systemu mogą rozmieścić wspomniane quantlety w innych bibliotekach wiec istnienie samej biblioteki stable będzie zbyteczne. Aby dostosować system XploRe do pracy z metodami stabilnymi należy zawartość kartoteki stable przenieść do kartoteki.../xplore/lib. Po wywołaniu komendy library("stable") wszystkie staną się widoczne dla systemu i można rozpocząć pracę z nimi. W celu wywołania przykładów obrazujących teorię dotyczącą rozkładów stabilnych wystarczy otworzyć potrzebny plik i wywołać wszystkie komendy z danego przykładu. Najwygodniej to zrobić poprzez komendę Execute lub skrót klawiaturowy ALT+E. Przykłady XCSstab08- XCSstab10 wymagają jeszcze dodatkowych czynności. Należy pliki z danymi z kartoteki dane umieścić w kartotece.../xplore/data oraz powiadomić XploRe o quantletach anddar oraz kstat. Można to zrobić poprzez uzupełnienie biblioteki stats dopisując odpowiednie komendy w pliku stats.lib albo przez szybkie uruchomienie kodu tych funkcji. Gdy quantlet jest widoczny dla systemu to jego nazwa w edytorze po- 37

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

Analiza danych. http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU

Analiza danych. http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Analiza danych Wstęp Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Różne aspekty analizy danych Reprezentacja graficzna danych Metody statystyczne: estymacja parametrów

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH

ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH 1 ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH WFAiS UJ, Informatyka Stosowana II stopień studiów 2 Wnioskowanie statystyczne dla zmiennych numerycznych Porównywanie dwóch średnich Boot-strapping Analiza

Bardziej szczegółowo

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej 7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach

Bardziej szczegółowo

R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych

R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych Przykłady: Błąd pomiarowy Wzrost, wydajność Temperatura ciała Zawartość różnych składników we

Bardziej szczegółowo

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW ODRZUCANIE WYNIKÓW OJEDYNCZYCH OMIARÓW W praktyce pomiarowej zdarzają się sytuacje gdy jeden z pomiarów odstaje od pozostałych. Jeżeli wykorzystamy fakt, że wyniki pomiarów są zmienną losową opisywaną

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji

Bardziej szczegółowo

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com Analiza korelacji i regresji KORELACJA zależność liniowa Obserwujemy parę cech ilościowych (X,Y). Doświadczenie jest tak pomyślane, aby obserwowane pary cech X i Y (tzn i ta para x i i y i dla różnych

Bardziej szczegółowo

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii.

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii. Rozkład normalny Rozkład normalny jest niezwykle ważnym rozkładem prawdopodobieństwa w wielu dziedzinach. Nazywa się go także rozkładem Gaussa, w szczególności w fizyce i inżynierii. W zasadzie jest to

Bardziej szczegółowo

SCENARIUSZ LEKCJI. TEMAT LEKCJI: Zastosowanie średnich w statystyce i matematyce. Podstawowe pojęcia statystyczne. Streszczenie.

SCENARIUSZ LEKCJI. TEMAT LEKCJI: Zastosowanie średnich w statystyce i matematyce. Podstawowe pojęcia statystyczne. Streszczenie. SCENARIUSZ LEKCJI OPRACOWANY W RAMACH PROJEKTU: INFORMATYKA MÓJ SPOSÓB NA POZNANIE I OPISANIE ŚWIATA. PROGRAM NAUCZANIA INFORMATYKI Z ELEMENTAMI PRZEDMIOTÓW MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZYCH Autorzy scenariusza:

Bardziej szczegółowo

Sposoby prezentacji problemów w statystyce

Sposoby prezentacji problemów w statystyce S t r o n a 1 Dr Anna Rybak Instytut Informatyki Uniwersytet w Białymstoku Sposoby prezentacji problemów w statystyce Wprowadzenie W artykule zostaną zaprezentowane podstawowe zagadnienia z zakresu statystyki

Bardziej szczegółowo

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie:

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie: ma postać y = ax + b Równanie regresji liniowej By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : xy b = a = b lub x Gdzie: xy = też a = x = ( b ) i to dane empiryczne, a ilość

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący

Bardziej szczegółowo

Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3

Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3 Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3 21.06.2005 r. 4. Planowanie eksperymentów symulacyjnych Podczas tego etapu ważne jest określenie typu rozkładu badanej charakterystyki. Dzięki tej informacji

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1. tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1

Bardziej szczegółowo

Struktura terminowa rynku obligacji

Struktura terminowa rynku obligacji Krzywa dochodowości pomaga w inwestowaniu w obligacje Struktura terminowa rynku obligacji Wskazuje, które obligacje są atrakcyjne a których unikać Obrazuje aktualną sytuację na rynku długu i zmiany w czasie

Bardziej szczegółowo

Porównanie generatorów liczb losowych wykorzystywanych w arkuszach kalkulacyjnych

Porównanie generatorów liczb losowych wykorzystywanych w arkuszach kalkulacyjnych dr Piotr Sulewski POMORSKA AKADEMIA PEDAGOGICZNA W SŁUPSKU KATEDRA INFORMATYKI I STATYSTYKI Porównanie generatorów liczb losowych wykorzystywanych w arkuszach kalkulacyjnych Wprowadzenie Obecnie bardzo

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja parametrów w strategiach inwestycyjnych dla event-driven tradingu dla odczytu Australia Employment Change

Optymalizacja parametrów w strategiach inwestycyjnych dla event-driven tradingu dla odczytu Australia Employment Change Raport 4/2015 Optymalizacja parametrów w strategiach inwestycyjnych dla event-driven tradingu dla odczytu Australia Employment Change autor: Michał Osmoła INIME Instytut nauk informatycznych i matematycznych

Bardziej szczegółowo

Studenckie Koło Naukowe Rynków Kapitałowych Zbieżność i rozbieżność średnich kroczących - MACD (Moving Average Convergence Divergence).

Studenckie Koło Naukowe Rynków Kapitałowych Zbieżność i rozbieżność średnich kroczących - MACD (Moving Average Convergence Divergence). Zbieżność i rozbieżność średnich kroczących - MACD (Moving Average Convergence Divergence). MACD (zbieżność i rozbieżność średnich kroczących) - jest jednym z najczęściej używanych wskaźników. Jego popularność

Bardziej szczegółowo

Wycena opcji. Dr inż. Bożena Mielczarek

Wycena opcji. Dr inż. Bożena Mielczarek Wycena opcji Dr inż. Bożena Mielczarek Stock Price Wahania ceny akcji Cena jednostki podlega niewielkim wahaniom dziennym (miesięcznym) wykazując jednak stały trend wznoszący. Cena może się doraźnie obniżać,

Bardziej szczegółowo

O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ

O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ Ryszard Zieliński XII Międzynarodowe Warsztaty dla Młodych Matematyków Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Kraków, 20 26 IX 2009 r. WYNIKI OBSERWACJI X 1, X 2,..., X n WYNIKI

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

Analiza korespondencji

Analiza korespondencji Analiza korespondencji Kiedy stosujemy? 2 W wielu badaniach mamy do czynienia ze zmiennymi jakościowymi (nominalne i porządkowe) typu np.: płeć, wykształcenie, status palenia. Punktem wyjścia do analizy

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1)

ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1) ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL 1. Problem Rozważmy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi (x 1, x 2 ): 1 x1 sin x2 x2 cos x1 (1) Nie jest

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Laboratorium III: Testy statystyczne. Inżynieria biomedyczna, I rok, semestr letni 2013/2014 Analiza danych pomiarowych

Spis treści. Laboratorium III: Testy statystyczne. Inżynieria biomedyczna, I rok, semestr letni 2013/2014 Analiza danych pomiarowych 1 Laboratorium III: Testy statystyczne Spis treści Laboratorium III: Testy statystyczne... 1 Wiadomości ogólne... 2 1. Krótkie przypomnienie wiadomości na temat testów statystycznych... 2 1.1. Weryfikacja

Bardziej szczegółowo

Analiza zależności liniowych

Analiza zależności liniowych Narzędzie do ustalenia, które zmienne są ważne dla Inwestora Analiza zależności liniowych Identyfikuje siłę i kierunek powiązania pomiędzy zmiennymi Umożliwia wybór zmiennych wpływających na giełdę Ustala

Bardziej szczegółowo

ANALIZA STATYSTYCZNA WYNIKÓW BADAŃ

ANALIZA STATYSTYCZNA WYNIKÓW BADAŃ ANALIZA STATYSTYCZNA WYNIKÓW BADAŃ Dopasowanie rozkładów Dopasowanie rozkładów- ogólny cel Porównanie średnich dwóch zmiennych 2 zmienne posiadają rozkład normalny -> test parametryczny (t- studenta) 2

Bardziej szczegółowo

Testy nieparametryczne

Testy nieparametryczne Testy nieparametryczne Testy nieparametryczne możemy stosować, gdy nie są spełnione założenia wymagane dla testów parametrycznych. Stosujemy je również, gdy dane można uporządkować według określonych kryteriów

Bardziej szczegółowo

Budowa sztucznych sieci neuronowych do prognozowania. Przykład jednostek uczestnictwa otwartego funduszu inwestycyjnego

Budowa sztucznych sieci neuronowych do prognozowania. Przykład jednostek uczestnictwa otwartego funduszu inwestycyjnego Budowa sztucznych sieci neuronowych do prognozowania. Przykład jednostek uczestnictwa otwartego funduszu inwestycyjnego Dorota Witkowska Szkoła Główna Gospodarstwa Wiejskiego w Warszawie Wprowadzenie Sztuczne

Bardziej szczegółowo

Analiza Statystyczna

Analiza Statystyczna Lekcja 5. Strona 1 z 12 Analiza Statystyczna Do analizy statystycznej wykorzystać można wbudowany w MS Excel pakiet Analysis Toolpak. Jest on instalowany w programie Excel jako pakiet dodatkowy. Oznacza

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA wykład 5-6

STATYSTYKA wykład 5-6 TATYTYKA wykład 5-6 Twierdzenia graniczne Rozkłady statystyk z próby Wanda Olech Twierdzenia graniczne Jeżeli rozpatrujemy ciąg zmiennych losowych {X ; X ;...; X n }, to zdarza się, że ich rozkłady przy

Bardziej szczegółowo

PODSTAWOWE ANALIZY I WIZUALIZACJA Z WYKORZYSTANIEM MAP W STATISTICA

PODSTAWOWE ANALIZY I WIZUALIZACJA Z WYKORZYSTANIEM MAP W STATISTICA PODSTAWOWE ANALIZY I WIZUALIZACJA Z WYKORZYSTANIEM MAP W STATISTICA Krzysztof Suwada, StatSoft Polska Sp. z o.o. Wstęp Wiele różnych analiz dotyczy danych opisujących wielkości charakterystyczne bądź silnie

Bardziej szczegółowo

Narzędzia statystyczne i ekonometryczne. Wykład 1. dr Paweł Baranowski

Narzędzia statystyczne i ekonometryczne. Wykład 1. dr Paweł Baranowski Narzędzia statystyczne i ekonometryczne Wykład 1 dr Paweł Baranowski Informacje organizacyjne Wydział Ek-Soc, pok. B-109 pawel@baranowski.edu.pl Strona: baranowski.edu.pl (w tym materiały) Konsultacje:

Bardziej szczegółowo

TYPY MODELOWYCH STRATEGII INWESTYCYJNYCH

TYPY MODELOWYCH STRATEGII INWESTYCYJNYCH ZAŁĄCZNIK NR 1 DO REGULAMINU TYPY MODELOWYCH STRATEGII INWESTYCYJNYCH W ramach Zarządzania, Towarzystwo oferuje następujące Modelowe Strategie Inwestycyjne: 1. Strategia Obligacji: Cel inwestycyjny: celem

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja parametrów w strategiach inwestycyjnych dla event-driven tradingu - metodologia badań

Optymalizacja parametrów w strategiach inwestycyjnych dla event-driven tradingu - metodologia badań Raport 1/2015 Optymalizacja parametrów w strategiach inwestycyjnych dla event-driven tradingu - metodologia badań autor: Michał Osmoła INIME Instytut nauk informatycznych i matematycznych z zastosowaniem

Bardziej szczegółowo

Rozdział ten zawiera informacje o sposobie konfiguracji i działania Modułu OPC.

Rozdział ten zawiera informacje o sposobie konfiguracji i działania Modułu OPC. 1 Moduł OPC Moduł OPC pozwala na komunikację z serwerami OPC pracującymi w oparciu o model DA (Data Access). Dzięki niemu można odczytać stan obiektów OPC (zmiennych zdefiniowanych w programie PLC), a

Bardziej szczegółowo

4.2. Ustawienia programu

4.2. Ustawienia programu 4.2. Ustawienia programu Zmiana wielkości dokumentu Pracując w programie MS Excel 2010 niejednokrotnie doświadczysz sytuacji, w której otwarty przez Ciebie arkusz nie będzie mieścił się na ekranie monitora.

Bardziej szczegółowo

INSTRUMENTY ZARZĄDZANIA RYZYKIEM NOTOWANE NA WARSZAWSKIEJ GIEŁDZIE PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH. Streszczenie

INSTRUMENTY ZARZĄDZANIA RYZYKIEM NOTOWANE NA WARSZAWSKIEJ GIEŁDZIE PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH. Streszczenie Karol Klimczak Studenckie Koło Naukowe Stosunków Międzynarodowych TIAL przy Katedrze Stosunków Międzynarodowych Wydziału Ekonomiczno-Socjologicznego Uniwersytetu Łódzkiego INSTRUMENTY ZARZĄDZANIA RYZYKIEM

Bardziej szczegółowo

znajdowały się różne instrukcje) to tak naprawdę definicja funkcji main.

znajdowały się różne instrukcje) to tak naprawdę definicja funkcji main. Część XVI C++ Funkcje Jeśli nasz program rozrósł się już do kilkudziesięciu linijek, warto pomyśleć o jego podziale na mniejsze części. Poznajmy więc funkcje. Szybko się przekonamy, że funkcja to bardzo

Bardziej szczegółowo

Analiza inwestycji i zarządzanie portfelem SPIS TREŚCI

Analiza inwestycji i zarządzanie portfelem SPIS TREŚCI Analiza inwestycji i zarządzanie portfelem Frank K. Reilly, Keith C. Brown SPIS TREŚCI TOM I Przedmowa do wydania polskiego Przedmowa do wydania amerykańskiego O autorach Ramy książki CZĘŚĆ I. INWESTYCJE

Bardziej szczegółowo

Podstawy inwestowania na rynku Forex, rynku towarowym oraz kontraktów CFD

Podstawy inwestowania na rynku Forex, rynku towarowym oraz kontraktów CFD Podstawy inwestowania na rynku Forex, rynku towarowym oraz Poradnik Inwestora Numer 12 Admiral Markets Sp. z o.o. ul. Aleje Jerozolimskie 133 lok.34 02-304 Warszawa e-mail: Info@admiralmarkets.pl Tel.

Bardziej szczegółowo

Dodatek Solver Teoria Dodatek Solver jest częścią zestawu poleceń czasami zwaną narzędziami analizy typu co-jśli (analiza typu co, jeśli?

Dodatek Solver Teoria Dodatek Solver jest częścią zestawu poleceń czasami zwaną narzędziami analizy typu co-jśli (analiza typu co, jeśli? Dodatek Solver Teoria Dodatek Solver jest częścią zestawu poleceń czasami zwaną narzędziami analizy typu co-jśli (analiza typu co, jeśli? : Proces zmieniania wartości w komórkach w celu sprawdzenia, jak

Bardziej szczegółowo

METODY STATYSTYCZNE W BIOLOGII

METODY STATYSTYCZNE W BIOLOGII METODY STATYSTYCZNE W BIOLOGII 1. Wykład wstępny 2. Populacje i próby danych 3. Testowanie hipotez i estymacja parametrów 4. Planowanie eksperymentów biologicznych 5. Najczęściej wykorzystywane testy statystyczne

Bardziej szczegółowo

Excel - użycie dodatku Solver

Excel - użycie dodatku Solver PWSZ w Głogowie Excel - użycie dodatku Solver Dodatek Solver jest narzędziem używanym do numerycznej optymalizacji nieliniowej (szukanie minimum funkcji) oraz rozwiązywania równań nieliniowych. Przed pierwszym

Bardziej szczegółowo

Projektowanie systemu krok po kroku

Projektowanie systemu krok po kroku Rozdział jedenast y Projektowanie systemu krok po kroku Projektowanie systemu transakcyjnego jest ciągłym szeregiem wzajemnie powiązanych decyzji, z których każda oferuje pewien zysk i pewien koszt. Twórca

Bardziej szczegółowo

Analiza wpływu długości trwania strategii na proces optymalizacji parametrów dla strategii inwestycyjnych w handlu event-driven

Analiza wpływu długości trwania strategii na proces optymalizacji parametrów dla strategii inwestycyjnych w handlu event-driven Raport 8/2015 Analiza wpływu długości trwania strategii na proces optymalizacji parametrów dla strategii inwestycyjnych w handlu event-driven autor: Michał Osmoła INIME Instytut nauk informatycznych i

Bardziej szczegółowo

Instytut Politechniczny Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa. Diagnostyka i niezawodność robotów

Instytut Politechniczny Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa. Diagnostyka i niezawodność robotów Instytut Politechniczny Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa Diagnostyka i niezawodność robotów Laboratorium nr 3 Generacja realizacji zmiennych losowych Prowadzący: mgr inż. Marcel Luzar Cele ćwiczenia: Generowanie

Bardziej szczegółowo

oferty kupujących oferty wytwórców

oferty kupujących oferty wytwórców Adam Bober Rybnik, styczeń Autor jest pracownikiem Wydziału Rozwoju Elektrowni Rybnik S.A. Artykuł stanowi wyłącznie własne poglądy autora. Jak praktycznie zwiększyć obrót na giełdzie? Giełda jako jedna

Bardziej szczegółowo

Poziom przedmiotu: II stopnia. Liczba godzin/tydzień: 2W E, 2L PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

Poziom przedmiotu: II stopnia. Liczba godzin/tydzień: 2W E, 2L PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: I KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE C1. Zapoznanie studentów z podstawowymi metodami i technikami analizy finansowej na podstawie nowoczesnych instrumentów finansowych

Bardziej szczegółowo

istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy

istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy MODEL REGRESJI LINIOWEJ. METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW Analiza regresji zajmuje się badaniem zależności pomiędzy interesującymi nas wielkościami (zmiennymi), mające na celu konstrukcję modelu, który dobrze

Bardziej szczegółowo

Transformacja współrzędnych geodezyjnych mapy w programie GEOPLAN

Transformacja współrzędnych geodezyjnych mapy w programie GEOPLAN Transformacja współrzędnych geodezyjnych mapy w programie GEOPLAN Program GEOPLAN umożliwia zmianę układu współrzędnych geodezyjnych mapy. Można tego dokonać przy udziale oprogramowania przeliczającego

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego

Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego Przykład Cena metra kwadratowego (w tys. zł) z dla 14 losowo wybranych mieszkań w

Bardziej szczegółowo

Oszacowanie i rozkład t

Oszacowanie i rozkład t Oszacowanie i rozkład t Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Oszacowanie i rozkład t 1 / 31 Oszacowanie 1 Na podstawie danych z próby szacuje się wiele wartości w populacji, np.: jakie jest poparcie

Bardziej szczegółowo

Rozdział 7 ZARZĄDZANIE PROJEKTAMI

Rozdział 7 ZARZĄDZANIE PROJEKTAMI Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 7 ZARZĄDZANIE PROJEKTAMI 7.2. Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 7.1 Wykorzystując

Bardziej szczegółowo

W tym celu korzystam z programu do grafiki wektorowej Inkscape 0.46.

W tym celu korzystam z programu do grafiki wektorowej Inkscape 0.46. 1. Wprowadzenie Priorytetem projektu jest zbadanie zależności pomiędzy wartościami średnich szybkości przemieszczeń terenu, a głębokością eksploatacji węgla kamiennego. Podstawowe dane potrzebne do wykonania

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur

Bardziej szczegółowo

Projekt zaliczeniowy z przedmiotu Statystyka i eksploracja danych (nr 3) Kamil Krzysztof Derkowski

Projekt zaliczeniowy z przedmiotu Statystyka i eksploracja danych (nr 3) Kamil Krzysztof Derkowski Projekt zaliczeniowy z przedmiotu Statystyka i eksploracja danych (nr 3) Kamil Krzysztof Derkowski Zadanie 1 Eksploracja (EXAMINE) Informacja o analizowanych danych Obserwacje Uwzględnione Wykluczone Ogółem

Bardziej szczegółowo

Często spotykany jest również asymetryczny rozkład gamma (Г), opisany za pomocą parametru skali θ i parametru kształtu k:

Często spotykany jest również asymetryczny rozkład gamma (Г), opisany za pomocą parametru skali θ i parametru kształtu k: Statystyczne opracowanie danych pomiarowych W praktyce pomiarowej często spotykamy się z pomiarami wielokrotnymi, gdy podczas pomiaru błędy pomiarowe (szumy miernika, czynniki zewnętrzne) są na tyle duże,

Bardziej szczegółowo

Analiza przeżycia. Wprowadzenie

Analiza przeżycia. Wprowadzenie Wprowadzenie Przedmiotem badania analizy przeżycia jest czas jaki upływa od początku obserwacji do wystąpienia określonego zdarzenia, które jednoznacznie kończy obserwację na danej jednostce. Analiza przeżycia

Bardziej szczegółowo

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI ROZKŁAD EMPIRYCZNY

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI ROZKŁAD EMPIRYCZNY WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI ROZKŁAD EMPIRYCZNY Liczebności i częstości Liczebność liczba osób/respondentów/badanych, którzy udzielili tej konkretnej odpowiedzi. Podawana w osobach. Częstość odsetek,

Bardziej szczegółowo

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE

dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE dr inż. Ryszard Rębowski 1 WPROWADZENIE Zarządzanie i Inżynieria Produkcji studia stacjonarne Konspekt do wykładu z Matematyki 1 1 Postać trygonometryczna liczby zespolonej zastosowania i przykłady 1 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych dr inż. Adam Kisiel kisiel@if.pw.edu.pl pokój 117b (12b) 1 Materiały do wykładu Transparencje do wykładów: http://www.if.pw.edu.pl/~kisiel/kadd/kadd.html Literatura

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analitycznych i numerycznych metod wyceny opcji

Wstęp do analitycznych i numerycznych metod wyceny opcji Wstęp do analitycznych i numerycznych metod wyceny opcji Jan Palczewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 16 maja 2008 Jan Palczewski Wycena opcji Warszawa, 2008

Bardziej szczegółowo

Webowy generator wykresów wykorzystujący program gnuplot

Webowy generator wykresów wykorzystujący program gnuplot Uniwersytet Mikołaja Kopernika Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej Marcin Nowak nr albumu: 254118 Praca inżynierska na kierunku informatyka stosowana Webowy generator wykresów wykorzystujący

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

System transakcyjny oparty na średnich ruchomych. ś h = + + + + gdzie, C cena danego okresu, n liczba okresów uwzględnianych przy kalkulacji.

System transakcyjny oparty na średnich ruchomych. ś h = + + + + gdzie, C cena danego okresu, n liczba okresów uwzględnianych przy kalkulacji. Średnie ruchome Do jednych z najbardziej znanych oraz powszechnie wykorzystywanych wskaźników analizy technicznej, umożliwiających analizę trendu zaliczyć należy średnie ruchome (ang. moving averages).

Bardziej szczegółowo

Wstęp 7 Rozdział 1. OpenOffice.ux.pl Writer środowisko pracy 9

Wstęp 7 Rozdział 1. OpenOffice.ux.pl Writer środowisko pracy 9 Wstęp 7 Rozdział 1. OpenOffice.ux.pl Writer środowisko pracy 9 Uruchamianie edytora OpenOffice.ux.pl Writer 9 Dostosowywanie środowiska pracy 11 Menu Widok 14 Ustawienia dokumentu 16 Rozdział 2. OpenOffice

Bardziej szczegółowo

Zajęcia: VBA TEMAT: VBA PROCEDURY NUMERYCZNE Metoda bisekcji i metoda trapezów

Zajęcia: VBA TEMAT: VBA PROCEDURY NUMERYCZNE Metoda bisekcji i metoda trapezów Zajęcia: VBA TEMAT: VBA PROCEDURY NUMERYCZNE Metoda bisekcji i metoda trapezów W ramach zajęć oprogramujemy jedną, wybraną metodę numeryczną: metodę bisekcji numerycznego rozwiązywania równania nieliniowego

Bardziej szczegółowo

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Opracował: Zbigniew Rudnicki Powtórka z poprzedniego wykładu 2 1 Dokument, regiony, klawisze: Dokument Mathcada realizuje

Bardziej szczegółowo

Klasyfikacja w oparciu o metrykę budowaną poprzez dystrybuanty empiryczne na przestrzeni wzorców uczących

Klasyfikacja w oparciu o metrykę budowaną poprzez dystrybuanty empiryczne na przestrzeni wzorców uczących Klasyfikacja w oparciu o metrykę budowaną poprzez dystrybuanty empiryczne na przestrzeni wzorców uczących Cezary Dendek Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych PW Plan prezentacji Plan prezentacji Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Zarządzanie ryzykiem. Opracował: Dr inŝ. Tomasz Zieliński

Zarządzanie ryzykiem. Opracował: Dr inŝ. Tomasz Zieliński Zarządzanie ryzykiem Opracował: Dr inŝ. Tomasz Zieliński I. OGÓLNE INFORMACJE O PRZEDMIOCIE Cel przedmiotu: Celem przedmiotu jest zaprezentowanie studentom podstawowych pojęć z zakresu ryzyka w działalności

Bardziej szczegółowo

3.1. Na dobry początek

3.1. Na dobry początek Klasa I 3.1. Na dobry początek Regulamin pracowni i przepisy BHP podczas pracy przy komputerze Wykorzystanie komputera we współczesnym świecie Zna regulamin pracowni i przestrzega go. Potrafi poprawnie

Bardziej szczegółowo

Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski. Zakres egzaminu magisterskiego. Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2

Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski. Zakres egzaminu magisterskiego. Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2 Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski Zakres egzaminu magisterskiego Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2 Pojęcia, fakty: Definicje i pojęcia: metryka, iloczyn skalarny, norma supremum,

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych

Testowanie hipotez statystycznych Testowanie hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną jest dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Prawdziwość tego przypuszczenia

Bardziej szczegółowo

NIEZAWODNE ROZWIĄZANIA SYSTEMÓW AUTOMATYKI. asix. Aktualizacja pakietu asix 4 do wersji 5 lub 6. Pomoc techniczna

NIEZAWODNE ROZWIĄZANIA SYSTEMÓW AUTOMATYKI. asix. Aktualizacja pakietu asix 4 do wersji 5 lub 6. Pomoc techniczna NIEZAWODNE ROZWIĄZANIA SYSTEMÓW AUTOMATYKI asix Aktualizacja pakietu asix 4 do wersji 5 lub 6 Pomoc techniczna Dok. Nr PLP0016 Wersja:08-12-2010 ASKOM i asix to zastrzeżony znak firmy ASKOM Sp. z o. o.,

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 1.10.2012 r. Zadanie. W pewnej populacji każde ryzyko charakteryzuje się trzema parametrami q, b oraz v, o następującym znaczeniu: parametr q to prawdopodobieństwo, że do szkody dojdzie (może zajść co najwyżej jedna

Bardziej szczegółowo

1 Funkcja użyteczności

1 Funkcja użyteczności 1 Funkcja użyteczności Funkcja użyteczności to funkcja, której wartościami są wartości użyteczności (satysfakcji, komfortu psychicznego). Można mówić o użyteczności różnych zjawisk. Użyteczność pieniądza

Bardziej szczegółowo

REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH

REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2012/2013 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Pojęcie

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 3: Analiza struktury zbiorowości statystycznej. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 3: Analiza struktury zbiorowości statystycznej. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin. Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 3: Analiza struktury zbiorowości statystycznej dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Zadania analityczne (1) Analiza przewiduje badanie podobieństw

Bardziej szczegółowo

Inwestycje finansowe. Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. Ryzyko.

Inwestycje finansowe. Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. Ryzyko. Inwestycje finansowe Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. yzyko. Inwestycje finansowe Instrumenty rynku pieniężnego (np. bony skarbowe). Instrumenty rynku walutowego. Obligacje. Akcje. Instrumenty pochodne.

Bardziej szczegółowo

Instrukcja zgłaszania błędu

Instrukcja zgłaszania błędu Instrukcja zgłaszania błędu 1 Kanały zgłaszania Do dyspozycji są trzy kanały zgłoszeń: A. AnswerTrack 2 aby skorzystać z tego kanału należy posiadać założone konto użytkowania AT2 (pkt.3), wypełnić formularz

Bardziej szczegółowo

OGŁOSZENIE O ZMIANIE STATUTU UNIOBLIGACJE HIGH YIELD FUNDUSZU INWESTYCYJNEGO ZAMKNIĘTEGO Z DNIA 23 CZERWCA 2016 R.

OGŁOSZENIE O ZMIANIE STATUTU UNIOBLIGACJE HIGH YIELD FUNDUSZU INWESTYCYJNEGO ZAMKNIĘTEGO Z DNIA 23 CZERWCA 2016 R. OGŁOSZENIE O ZMIANIE STATUTU UNIOBLIGACJE HIGH YIELD FUNDUSZU INWESTYCYJNEGO ZAMKNIĘTEGO Z DNIA 23 CZERWCA 2016 R. Niniejszym, Union Investment Towarzystwo Funduszy Inwestycyjnych S.A. ogłasza o zmianie

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z informatyki dla klasy szóstej szkoły podstawowej.

Wymagania edukacyjne z informatyki dla klasy szóstej szkoły podstawowej. Wymagania edukacyjne z informatyki dla klasy szóstej szkoły podstawowej. Dział Zagadnienia Wymagania podstawowe Wymagania ponadpodstawowe Arkusz kalkulacyjny (Microsoft Excel i OpenOffice) Uruchomienie

Bardziej szczegółowo

Przykład wykorzystania dodatku SOLVER 1 w arkuszu Excel do rozwiązywania zadań programowania matematycznego

Przykład wykorzystania dodatku SOLVER 1 w arkuszu Excel do rozwiązywania zadań programowania matematycznego Przykład wykorzystania dodatku SOLVER 1 w arkuszu Ecel do rozwiązywania zadań programowania matematycznego Firma produkująca samochody zaciągnęła kredyt inwestycyjny w wysokości mln zł na zainstalowanie

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 11.10.2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r.

Matematyka finansowa 11.10.2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r. Część I Matematyka finansowa Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... WERSJA TESTU Czas egzaminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

Analiza zdarzeń Event studies

Analiza zdarzeń Event studies Analiza zdarzeń Event studies Dobromił Serwa akson.sgh.waw.pl/~dserwa/ef.htm Leratura Campbell J., Lo A., MacKinlay A.C.(997) he Econometrics of Financial Markets. Princeton Universy Press, Rozdział 4.

Bardziej szczegółowo

ROZPOCZĘCIE PRACY Z PLATFORMĄ INFRONT

ROZPOCZĘCIE PRACY Z PLATFORMĄ INFRONT ROZPOCZĘCIE PRACY Z PLATFORMĄ INFRONT Pierwszym krokiem jest uzyskanie dostępu do danych rynkowych w celu pobrania aktualnych notowań spółek. Możesz to zrobić wybierając opcję Preferencje z menu Narzędzia.

Bardziej szczegółowo

Jak ustawić cele kampanii?

Jak ustawić cele kampanii? Jak ustawić cele kampanii? Czym są cele? Jest to funkcjonalność pozwalająca w łatwy sposób śledzić konwersje wygenerowane na Twojej stronie www poprzez wiadomości email wysłane z systemu GetResponse. Mierzenie

Bardziej szczegółowo

Algorytm. a programowanie -

Algorytm. a programowanie - Algorytm a programowanie - Program komputerowy: Program komputerowy można rozumieć jako: kod źródłowy - program komputerowy zapisany w pewnym języku programowania, zestaw poszczególnych instrukcji, plik

Bardziej szczegółowo

Informatyka Arkusz kalkulacyjny Excel 2010 dla WINDOWS cz.3

Informatyka Arkusz kalkulacyjny Excel 2010 dla WINDOWS cz.3 Wyższa Szkoła Ekologii i Zarządzania Informatyka Arkusz kalkulacyjny Excel 2010 dla WINDOWS cz.3 Slajd 1 Excel Slajd 2 Adresy względne i bezwzględne Jedną z najważniejszych spraw jest tzw. adresacja. Mówiliśmy

Bardziej szczegółowo

Przed rozpoczęciem pracy otwórz nowy plik (Ctrl +N) wykorzystując szablon acadiso.dwt

Przed rozpoczęciem pracy otwórz nowy plik (Ctrl +N) wykorzystując szablon acadiso.dwt Przed rozpoczęciem pracy otwórz nowy plik (Ctrl +N) wykorzystując szablon acadiso.dwt Zadanie: Utwórz szablon rysunkowy składający się z: - warstw - tabelki rysunkowej w postaci bloku (według wzoru poniżej)

Bardziej szczegółowo

MACD wskaźnik trendu

MACD wskaźnik trendu MACD wskaźnik trendu Opracowany przez Geralda Appela oscylator MACD (Moving Average Convergence/Divergence) to jeden z najpopularniejszych wskaźników analizy technicznej. Jest on połączeniem funkcji oscylatora

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

QUERY język zapytań do tworzenia raportów w AS/400

QUERY język zapytań do tworzenia raportów w AS/400 QUERY język zapytań do tworzenia raportów w AS/400 Dariusz Bober Katedra Informatyki Politechniki Lubelskiej Streszczenie: W artykule przedstawiony został język QUERY, standardowe narzędzie pracy administratora

Bardziej szczegółowo

Satysfakcja z życia rodziców dzieci niepełnosprawnych intelektualnie

Satysfakcja z życia rodziców dzieci niepełnosprawnych intelektualnie Satysfakcja z życia rodziców dzieci niepełnosprawnych intelektualnie Zadanie Zbadano satysfakcję z życia w skali 1 do 10 w dwóch grupach rodziców: a) Rodzice dzieci zdrowych oraz b) Rodzice dzieci z niepełnosprawnością

Bardziej szczegółowo

1. Opis tabelaryczny. 2. Graficzna prezentacja wyników. Do technik statystyki opisowej można zaliczyć:

1. Opis tabelaryczny. 2. Graficzna prezentacja wyników. Do technik statystyki opisowej można zaliczyć: Wprowadzenie Statystyka opisowa to dział statystyki zajmujący się metodami opisu danych statystycznych (np. środowiskowych) uzyskanych podczas badania statystycznego (np. badań terenowych, laboratoryjnych).

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez. 1 Testowanie hipotez na temat średniej

Testowanie hipotez. 1 Testowanie hipotez na temat średniej Testowanie hipotez Poziom p Poziom p jest to najmniejszy poziom istotności α, przy którym możemy odrzucić hipotezę zerową dysponując otrzymaną wartością statystyki testowej. 1 Testowanie hipotez na temat

Bardziej szczegółowo