Implementacja bibliotek finansowych w systemie XploRe

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Implementacja bibliotek finansowych w systemie XploRe"

Transkrypt

1 Implementacja bibliotek finansowych w systemie XploRe Szymon Borak 4 grudnia 2003 roku

2 2

3 Spis treści 1 Wprowadzenie 5 2 Środowisko Xplore Praca w środowisku XploRe Język programowania Dokumentacja Grafika Biblioteki Rynek finansowy Indeksy giełdowe Rynki walutowe Własności danych finansowych Rozkłady stabilne i ich własności Własności Funkcja charakterystyczna Reprezentacja całkowa Generowanie zmiennych stabilnych Asymptotyka rozkładów α-stabilnych Estymacja Estymacja indeksu ogona Metoda McCullocha Metody próbkowej funkcji charakterystycznej Przykłady zastosowań w finansach 33 A Zaimplementowane quantlety 37 A.1 Gęstości i dystrybuanty A.2 Generownie zmiennych losowych A.3 Estymacja A.4 Przykłady Literatura 43 3

4 4 SPIS TREŚCI

5 Rozdział 1 Wprowadzenie Nie sposób wyobrazić sobie nowoczesną analizę statystyczną bez wsparcia ze strony komputerów zaopatrzonych w odpowiednie oprogramowanie. Większość statystycznych własności pozostałaby jedynie teoretycznym odkryciem, gdyby nie było narzędzi wspomagających złożone obliczenia. Wymagania dzisiejszych czasów przekraczają możliwości ludzkich zdolności rachunkowych. Dlatego rozwija się oprogramowanie wspomagające analizę statystyczną, przez co skomplikowane problemy stają się bardziej przystępne. Jednym z pakietów służących do zaawansowanych obliczeń jest XploRe. Zapewnia on możliwość analizowania zjawisk o bogatej strukturze. Zawiera wiele metod, które można wykorzystać efektywnie w wielu dziedzinach od biologii po ekonomię. Im więcej metod zaimplementowanych jest w takim środowisku tym większe są możliwości jego wykorzystania. Dzisiejsze rynki finansowe są niezwykle rozbudowaną strukturą i dlatego aby sprawnie poruszać się w świecie finansów, potrzeba narzędzia, które ułatwia analizę sporej ilości danych. Takim narzędziem może być XploRe, wspomagając podejmowanie niektórych decyzji bad z też wyznaczając liczbowe charakterystyki pewnych zjawisk. Do opisu skomplikowanej rzeczywistości rynkowej stosuje się elementy teorii prawdopodobieństwa, korzystając z wielu rozkładów. Dobór rozkładu może okazać się kluczowy przy podejmowaniu trafnych decyzji. Analiza danych finansowych nakazuje zwrócić uwagę na takie empiryczne własności jak skośność danych czy grube ogony. Wahania cen instrumentów finansowych nie zachowują się symetrycznie (skośność) oraz występuje stosunkowo wiele odległych obserwacji (grube ogony). Dlatego wydaje się być pożądane, aby biblioteki finansowe zawierały odpowiednie metody pozwalające uchwycić obie te cechy. Takimi metodami są procedury związane z rozkładami α-stabilnymi, które pozwalają modelować zarówno skośność, jak i grubość ogona. Celem niniejszej pracy jest implementacja procedur związanychz rozkładami stabilnymi w systemie XploRe. Mogą one zostać z powodzeniem wykorzystane do wspomagania różnego typu decyzji podejmowanych na rynkach finansowych. Środowisko zostało wzbogacone o nowe metody stając się przez to bardziej funk- 5

6 6 ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE cjonalne. Jako efekt niniejszej pracy powstały funkcje wyznaczające wartości dystrybuant i gęstości rozkładów stabilnych, generatory zmiennych losowych oraz wykorzystujące różne metody estymacji parametrów rozkładu stabilnego. Dodatkową część niniejszej pracy stanowi prezentacja niektórych własności rozkładów α-stabilnych i problemów związanych z estymacją parametrów. Rozdział 2 zawiera krótki opis systemu XploRe. Jego założeniem jest przybliżenie wyłącznie ogólnej struktury programu i jego niektórych możliwości. W celu jego głębszego poznania należy zajrzeć na stronę Rozdział 3 dotyczy rynków finansowych. Przedstawiono w nim dwa indeksy giełdowe, które będą podstawą pó zniejszej analizy, krótki opis rynku walutowego oraz motywację do próby opisania zjawisk związanych z rynkami poprzez rozkłady stabilne. W rozdziale 4 ukazano niektóre własności rozkładów stabilnych. Przedstawiono również metody generowania zmiennych α-stabilnych oraz estymowania parametrów rozkładu. Przedstawiona teoria zobrazowana jest przykładami stworzonymi w języku programowania XploRe, których wynik otrzymuje się przez wywołanie komend z plików XCSstab??.xpl.Symbol oznacza odnośnik do pliku zawierającego odpowiednie komendy. W rozdziale 5 rozważa się możliwość dopasowania rozkładów stabilnych do pewnych danych finansowych. Dopasowanie rozkładem stabilnym jest następnie porównywane z dopasowaniem rozkładem gaussowskim. Wszystkie obliczenia dotyczące rozkładów stabilnych wykonano przy użyciu zaprogramowanych metod. Końcowy dodatek zawiera opis powstałych funkcji i przykładów. Przedstawiono jakie metody zostały zaimplementowane oraz omówiono znaczenie parametrów funkcji.

7 Rozdział 2 Środowisko Xplore XploRe jest profesjonalnym narzędziem do analizy statystycznej, zaawansowanych obliczeń i interaktywnego nauczania. Dzięki sporej liczbie wbudowanych metod ułatwia skomplikowaną analizę statystyczną. Dysponuje językiem programowania pozwalającym użytkownikowi dostosowywać środowisko do własnych potrzeb. Rozbudowana dokumentacja ułatwia znalezienie potrzebnych funkcji. Interaktywna grafika umożliwia prostą prezentację danych nawet o dużym stopniu skomplikowania. Istnieje także możliwość wykorzystania procedur napisanych w innych językach programowania np. C++ lub Fortran skompilowanych do formatu dll. XploRe jest narzędziem pracującym na dowolnej platformie sprzętowej. Może być instalowany zarówno na pojedynczym komputerze PC, jak również w sieci. Serwer Xplore Quantlet Server (wersja sieciowa XploRe) zapewnia dostęp do szerokiej gamy metod dla wszystkich klientów. Wersja sieciowa daje możliwość rozpoczęcia pracy przy użyciu standardowej przeglądarki WWW. Dane importowane są do serwera, na którym dokonuje się odpowiednich obliczeń, po czym wynik przekazywany jest ponownie do komputera klienta. 2.1 Praca w środowisku XploRe Na początku pracy w standardowej wersji XploRe pojawiają się dwa podstawowe okna Output i Input. Okno Output służy do prezentacji otrzymanych wyników, natomiast okno Input do wprowadzania komend. Komendy można równie dobrze wpisywać w edytorze i wywoływać je poprzez kliknięcie polecenia Execute albo skrótem klawiaturowym ALT + E. Edytor służy także do zapisywania dłuższych ciągów instrukcji i oddzielnych funkcji. Wygląd standardowego środowiska XploRe przedstawiono na rys W trakcie pracy dostępnych jest dla użytkownika wiele funkcji i wcześniej zdefiniowanych obiektów. Aby sprawdzić ich własności należy wybrać z menu Main polecenie Functions bądź Objects w celu zobaczenia odpowiednio opisu funkcji lub obiektów. Pojawi się nowe okno prezentujące właściwe objaśnienie. 7

8 8 ROZDZIAŁ 2. ŚRODOWISKO XPLORE Rysunek 2.1: Okna środowiska XploRe. Z prawej strony znajduje się okno Output, z lewej u dołu okno Input a u góry okno edytora Wygląd wspomnianych okien przedstawiono na rys. 2.2 i rys XploRe dysponuje również szeroką gamą zmiennych środowiskowych. Opisują one regionalne ustawienia dotyczące np. miejsca wczytywania i wpisywania danych czy też pobierania i generowania dokumentacji [2]. Użytkownik może je w prosty sposób ustawić wedle własnego uznania. Aby sprawdzić jakie jest obecne ustawienie zmiennych środowiskowych należy z menu Main wybrać polecenie Info. Pojawi się wtedy okno prezentujące aktualne wartości zmiennych jak na rys Przy częstej pracy z systemem XploRe pomocny może być plik startup. Zawiera on zbiór komend, które wywoływane są na samym początku pracy systemu. Należy w nim umieścić wszelkie potrzebne danemu użytkownikowi ustawienia początkowe, aby móc szybciej przystępować do właściwej pracy. Wyczerpujący opis systemu można znaleźć w [5]. 2.2 Język programowania System XploRe zawiera w sobie proceduralny język programowania służący zarówno do efektywnej analizy statystycznej, jak i implementowania własnych metod. Zaprogramowane metody zapisane w plikach o rozszerzeniu.xpl noszą nazwę quantletów. Quantlety można podzielić na dwie grupy. Do pierwszej należy zaliczyć funkcje będące implemenacją określonych algorytmów. Druga grupa to skrypty wykonujące kolejno określone komendy. Quantlety implementujące konkretne algorytmy można grupować w biblio-

9 2.2. JĘZYK PROGRAMOWANIA 9 Rysunek 2.2: Prezentacja dostępnych funkcji Rysunek 2.3: Prezentacja istniejących w danej chwili obiektów

10 10 ROZDZIAŁ 2. ŚRODOWISKO XPLORE Rysunek 2.4: Ustawienie zmiennych środowiskowych teki tematyczne. Ich liczba i zakres określa granice użyteczności systemu. Im więcej quantletów tym większe są możliwości wykorzystania systemu XploRe. Nazwa procedury zwykle jest identyczna z nazwą pliku, choć nie jest to konieczne. Zaleca się również, aby w jednym pliku nie przechowywać kilku funkcji. Quantlety nie będące zapisem konkretnych procedur to najczęściej ciągi komend zebrane w celu szybkiego uruchomienia wielu instrukcji. Najczęściej używane są jako przykłady ilustrujące pewne statystyczne własności. Jako efekt ich działania uzyskuje się wyniki numeryczne lub graficzne w przeciwieństwie do quantletów z pierwszej grupy, gdzie znajduje się tylko zapis algorytmu, a wynik generowany jest przy ich zewnętrznym wywołaniu. Język Xplore jest językiem zorientowanym macierzowo. Nie wymaga deklaracji zmiennych, które dla wygody mogą być pogrupowane w różne struktury. Umożliwia zarówno proste operacje wektorowe, jak również dopasowanie wielowymiarowych modeli. Zapewnia bogatą prezentację otrzymanych wyników zarówno w postaci graficznej, jak i numerycznej. Daje także możliwość zapisu danych do pliku, jak i odczytu z plików o kilku możliwych typach. Szczegółowy opis języka można znaleźć w dokumentacji systemu lub w [5].

11 2.3. DOKUMENTACJA Dokumentacja XploRe posiada także pełną dokumentację (Auto Pilot Support System, APSS) stworzoną w formacie HTML. Zawiera ona opis dostępnych funkcji, własności systemu, jak również bogaty zbiór przykładów. Każda wersja systemu zaopatrzona jest w lokalną wersję APSS. Użytkownik może również wybrać wersję sieciową i korzystać z dokumentacji łącząc się z odpowiednią stroną internetową. APSS zawiera wiele przykładów zastosowania XploRe, które mogą być pomocne przy analizie danych. Bardzo często wystarcza drobna korekta istniejącego przykładu, aby otrzymać pożądany efekt. Metody pogrupowane są zarówno tematycznie, jak i alfabetycznie. Istnieje także szeroki spis słów kluczowych. Pewnym mankamentem może być brak wyszukiwarki ułatwiającej automatyczne znalezienie szukanej funkcji. W prosty sposób użytkownik może uzupełniać dokumentację o swoje funkcje, które mogą się stać integeralną częścią systemu. Poprzez wybór z menu Tools polecenia Insert APSS Template system generuje wzorzec do tworzenia dokumentacji, który należy tylko wypełnić wprowadzając opis parametrów i komentarze, a następnie poprzez odpowiednie komendy wygenerować plik dokumentacji i podłączyć do APSS. Dodatkowo dokumentacja systemu zawiera skrócony opis teorii odnoszącej się do zaimplementowanych funkcji. W sposób zwięzły przedstawia się podstawowe modele oraz możliwości ich wykorzystania. Czyni to z XploRe narzędzie przydatne nie tylko do analizy danych ale również do uczenia statystyki. Podobny charakter ma rozdział Grafika XploRe umożliwia graficzną prezentację danych zarówno dwóch jak i trzech wymiarach. Zawiera standardowe typy wizualizacji pomocne w analizie statystycznej jak np. histogram czy qq-plot. Poprzez umożliwienie efektywnego zarządzania kolorami, kształtami czy też grubością linii daje użytkownikowi swobodę w tworzeniu złożonych wykresów. Otrzymane rysunki mogą być zapisane w formacie.ps bad z.bmp. Mankamentem jest konieczność edycji rysunku z linii komend oraz brak możliwości powiększania wybranych fragmentów. 2.5 Biblioteki XploRe zawiera system bibliotek, w których znajdują się tematycznie pogrupowane funkcje. W celu uruchomienia quantletu należy wcześniej poinformować system w jakiej bibliotece się on znajduje. 1 Czyni to rozpoczynanie pracy z programem nieco uciążliwym. Szczegółowy opis bibliotek można znaleźć w [5]. 1 Wybierając z menu Main komendę Quantlets otrzymuje się podobne okienko, jak w przypadku funkcji i obiektów zawierające opis dostępnych w danej chwili quantletów.

12 12 ROZDZIAŁ 2. ŚRODOWISKO XPLORE Przykładem biblioteki w XploRe jest biblioteka finance. Zawiera funkcje dotyczące wyceny opcji, zabezpieczenia przed ryzykiem czy też symulacji procesów giełdowych. Zaprogramowane funkcje umożliwiają obliczenie ceny opcji europejskich jak i amerykańskich wieloma metodami, jak również wyznaczenie zmienności implikowanej. Niektóre funkcje mogą stać się przydatne przy zarządzaniu ryzykiem pozwalając np. na wyliczenie możliwości arbitrażu czy zwrotu z kontraktu zwanego spread byka. Jako uzupełnienie do wyliczeń finansowych biblioteka zawiera quantlety służące do symulacji procesów giełdowych zgodnie z modelem Blacka-Scholesa, jak również estymacji parametrów modelu z danych rzeczywistych. Ważnym składnikiem biblioteki finance są też metody do estymacji indeksu ogona, zwłaszcza quantlety wyznaczające estymator Hilla. Biblioteka stats zawiera kilka funkcji liczących wartości gęstości i dystrybuant rozkładu dwumianowego oraz Pareto. Znajdują się tam również generatory liczb losowych dla tych rozkładów oraz metody wyznaczające kwantyle. Dla kilku innych rozkładów (normalnego, jednostajnego lub beta) XploRe dysponuje wbudowanymi metodami wyznaczającymi gęstość, dystrybuantę bądź kwantyle. Biblioteka zawiera także wiele innych metod przydatnych w analizie statystycznej np. funkcję wyznaczającą współczynniki regresji liniowej czy też metodę realizującą technikę bootstrap. Na potrzeby niniejszej pracy zaimplementowane quantlety zostały umieszczone w jednej bibliotece stable. Jednakże równie dobrze mogłyby stać się częścią dwóch wspomnianych wyżej bibliotek. Funkcje liczące wartości gęstości i dystrybuant oraz generujące zmienne losowe odpowiadają charakterem funkcjom z biblioteki stats. Metody estymujące parametry mogą stanowić część biblioteki finance. Bibilioteka stable może być pomocna w modelowaniu zjawisk finansowych. Nie zawiera wprawdzie metod, które można zastosować wprost do danych rynkowych, ale jej funkcje pozwalają w prosty sposób takie metody konstruować w zależności od konkretnych potrzeb. Quantlety XCSstab??.xpl pokazują jak możnająwykorzystywać.

13 Rozdział 3 Rynek finansowy Postać dzisiejszych rynków finansowych jest efektem ewolucyjnego przeobrażenia średniowiecznych targowisk, na których początkowo handlowano przede wszystkim towarami i złotem [18]. W miarę upływu czasu zaczęto wprowadzać standaryzację, która legła u podstaw rynku giełdowego. Jako uzupełnienie obrotu towarowego rozwinął się obrót kapitałowy. Zaczęto handlować akcjami, wekslami a z biegiem lat coraz bardziej skomplikowanymi instrumentami finansowymi. Dzięki rewolucji technologicznej i informatycznej rynki pokonały barierę odległości, tworząc pajęczynę powiązań oplatającą obecnie cały glob. Na dzisiejszym rynku finansowym można wyodrębnić kilka segmentów. Rynek pieniężny to rynek, na którym zawierane są transakcje krótkoterminowe, zwyczajowo przyjmuje się termin realizacji nie dłuższy niż jeden rok. Instrumentami na tym rynku są aktywa o dużej płynności jak np.: bony skarbowe, czeki, weksle. Z rynkiem kapitałowym mamy do czynienia przy transakcjach długoterminowych. Za instrumenty tego rynku przyjmuje się głownie akcje i obligacje. Jego celem jest umożliwienie tworzenia kapitałów udziałowych lub pożyczkowych. Rynkiem walutowym nazywamy rynek obejmujący transakcje walutami różnych krajów. Reguluje on zobowiązania płatnicze w określonych walutach. Stosunkowo młodym segmentem jest rynek instrumentów pochodnych. Zapewnia on efektywne zarządzanie ryzykiem chroniąc uczestników przed niekorzystnymi zmianami na rynku podstawowym [1]. Do instrumentów tego rynku należy zaliczyć np. opcje czy też kontrakty futures. Wśród tak bogatej i skomplikowanej struktury można zaobserwować wiele ciekawych własności. Umiejętne wychwycenie kluczowych zależności pozwala na lepszą orientację w skomplikowanej rynkowej rzeczywistości. Dlatego też próbuje się pewne prawa wpleść w matematyczne formuły w nadziei na uzyskanie czytelnego obrazu otaczającego świata. 13

14 14 ROZDZIAŁ 3. RYNEK FINANSOWY DJIA Indeks t Rysunek 3.1: Wartość indeksu DJIA w okresie 6 lipca maja 1996 XCSfin Indeksy giełdowe Jedną z form obrotu na rynku finansowym, która usprawnia jego działanie, są giełdy papierów wartościowych. Organizują one handel instrumentami finansowymi, gdzie kupujący i sprzedający mogą swobodnie dokonywać transakcji i ustalać ceny [17]. Ze względu na zmieniające się warunki ekonomiczne, a może przede wszystkim ze względu na zmieniające się poglądy inwestorów odnośnie przyszłych wydarzeń, ceny ustalane na giełdzie podlegają ciągłym i trudnym do przewidzenia zmianom. Ponieważ na giełdach handluje się jednocześnie bardzo wieloma instrumentami a fluktuacja cen dla każdego aktywu może być inna, nie jest łatwe uchwycenie ogólnej tendencji rynkowej. Wygodną próbą oceny kierunku zmian rynku są indeksy giełdowe. Konstruuje się je jako różnego typu średnie ceny akcji pewnej liczby spółek, którymi handluje się na danej giełdzie. Reprezentatywny indeks powinien rosnąć wraz ze wzrostem cen akcji i maleć gdy większość cen spada. Powinien też zależeć od zmian cen a nie samych cen. Jednym z najbardziej znanych światowych indeksów jest Dow Jones Industrial Average (DJIA). W jego skład wchodzą ceny akcji 30 spółek z nowojorskiej giełdy New York Stock Exchange (NYSE). Jego początki sięgają roku 1884, gdy firma Dow Jones & Co. podała średnią cen 11. akcji giełdy nowojorskiej. Z bie-

15 3.1. INDEKSY GIEŁDOWE 15 DAX Indeks t Rysunek 3.2: Wartość indeksu DAX w okresie 2 stycznia grudnia 2002 XCSfin02 giem czasu indeks zwiększył się do 20 a następnie do 30 spółek. Nie jest on zwykłą średnią arytmetyczną, gdyż taka nie zachowałaby ciągłości indeksu przy zmianie spółek wchodzących w jego skład lub podziale akcji. Dlatego też sumę cen 30 akcji dzieli się przez wartość dzielnika, który wyznacza się oddzielnie. Zachowanie indeksu w okresie 6 lipca maja 1996 przedstawiono na rys Okres ten zawiera w sobie dzień największego krachu w historii NYSE - 19 października Innym przykładem indeksu jest indeks giełdy niemieckiej Duetsche Aktienindex (DAX). Jego wysokość zależy od 30 największych pod względem kapitalizacji i wolumenu spółek giełdowych. W przeciwieństwie do DJIA jest on indeksem kapitałowo-ważonym. Procent udziału spółki w indeksie zależy nie od ceny jej akcji ale od wartości rynkowej spółki. Na rysunku 3.2 pokazano zachowanie indeksu w okresie od 2 stycznia 1995 do 11 grudnia Indeksy giełdowe są prostym ilościowym opisem zjawisk zachodzących na rynku finansowym. Ich prostota i użyteczność uczyniła je ważnym elementem, do którego odnoszą się niemal wszyscy inwestorzy [3]. Dzięki swej popularności stały się również instrumentem podstawowym dla niektórych instrumentów pochodnych. Dlatego jako miary zachowania rynku - mające ponadto charakter pseudoinstrumentu finansowego - podlegają ścisłej analizie, której celem jest jeszcze dokładniejszy opis rynku finansowego.

16 16 ROZDZIAŁ 3. RYNEK FINANSOWY Kurs GBP/USD Kurs t Rysunek 3.3: Kurs funta brytyjskiego do dolara amerykańskiego w okresie 2 stycznia listopada 2000 XCSfin Rynki walutowe Wobec postępującej globalizacji i otwierania się rynków międzynarodowych, coraz większego znaczenia nabierają rynki walutowe. Odpowiedni kurs walutowy odgrywa istotną rolę dla gospodarki danego kraju, wpływając pośrednio na wiele istotnych wskaźników ekonomicznych. Również większość przedsiębiorstw zmuszona jest do szczegółowej analizy zmian zachodzących na rynkach walutowych [10]. Jednakże przewidywanie kierunku zmian kursów wydaje się niemal niemożliwe. Wpływ na zmianę wartości waluty uzależniony jest od bardzo wielu czynników, których zachowanie także trudno antycypować. Na rynku występują zarówno wielkie instytucje finansowe, jak i mniejsi inwestorzy. Każdy z nich ma inne cele i inaczej buduje swoją strategię. Utrudnia to skuteczną prognozę kursów. Uczestnicy rynku chcą jednak zabezpieczać się przed niekorzystnymi i trudnymi do przewidzenia zmianami cen. W tym celu konstruuje się odpowiednie instrumenty finansowe rynku walutowego oraz strategie zarządzania ryzykiem kursowym. Duża zmienność kursów może występować nawet między silnymi i stabilnymi gospodarkami jak gospodarki Wielkiej Brytanii i Stanów Zjednoczonych. Na rysunku 3.3 przedstawiono zachowanie kursu funta brytyjskiego w sto-

17 3.3. WŁASNOŚCI DANYCH FINANSOWYCH 17 sunku do dolara amerykańskiego w okresie 2 stycznia listopada Widać znaczne wahania i parokrotną zmianę trendu. Podkreśla to znaczenie opisu zjawisk rządzących tym rynkiem. 3.3 Własności danych finansowych Jak już zostało wspomniane powyżej w celu lepszego poruszania się po meandrach rynku finansowego, poszukuje się modeli ilościowych opisujących jego prawa. Wszelkie zmiany są zależne od niewyobrażalnie wielkiej liczby czynników w sposób, który trudno zbadać i przewidzieć. Dlatego opis probabilistyczny wydaje się w tym miejscu odpowiedni. Dane finansowe można traktować wtedy jako realizacje pewnych zmiennych losowych. Powstaje pytanie jaki rozkład należy przyjąć, by jak najlepiej uchwycić rzeczywistość zmian czynników finansowych. Standardowym opisem jest rozkład gaussowski. Przy odpowiednich założeniach może on być otrzymany jako graniczny rozkład sumy zmiennych losowych. Taka własność pomaga budować modele finansowe, gdzie każde zjawisko można interpretować jako efekt działania wielu czynników o mniejszej skali. Przykładowo zwroty z instrumentu finansowego w pewnym horyzoncie czasowym mogą być traktowane jako suma wielu zwrotów w krótszym horyzoncie czasowym. 1 Jednakże pewne empiryczne badania danych finansowych (zwrotów) nakazują patrzeć sceptycznie na możliwości jakie daje opis gaussowski. Daje się np. zaobserwować skośność danych. Rozkład zwrotów nie jest symetryczny wokół swojej średniej i więcej jest zwrotów dodatnich niż ujemnych. Fakt ten można tłumaczyć innym zachowaniem inwestorów w czasie hossy niż w czasie bessy. Problem stanowią także grube ogony rozkładów [18]. Prawdopodobieństwo P(Z t <z), gdzie Z t zwrot w chwili t, jest większe niż dla rozkładu normalnego. Zgodnie z modelem gaussowskim prawdopodobieństwo sporych spadków (wzrostów) jest małe i powinny one występować rzadziej niż na to wskazują dane empiryczne. Model zakłada bowiem zależność wykładniczą dla granicznego prawdopodobieństwa a należałoby raczej zakładać zależność potęgową. Wobec powyższych niedogodności rozkład normalny należałoby zastąpić innym rozkładem. Jedną z propozycji jest rozkład stabilny. Umożliwia on uchwycenie skośności danych, jak również pozwala na manipulację przy grubości ogona. Ponadto zachowuje pozytywną własność sumowania zmiennych losowych o tym samym rozkładzie. Niedogodnością jest nieskończona wariancja dla zmiennych stabilnych. 1 Zwrotem przyjęto nazywać wielkość Z t = St S t 1 gdzie S S t jest ceną instrumentu w t 1 chwili t. Można również mówić o zwrotach logarytmicznych, wtedy Z t =ln St. S t 1

18 18 ROZDZIAŁ 3. RYNEK FINANSOWY

19 Rozdział 4 Rozkłady stabilne i ich własności Rozkłady stabilne zostały zaproponowane przez Paula Levy ego [9] podczas badań nad sumami niezależnych zmiennych losowych. Należy zaznaczyć, że suma dwóch niezależnych zmiennych o rozkładzie α-stabilnym z parametrem α jest dalej zmienną α-stabilną z tym samym parametrem α. Szerzej można przyjąć definicję, że zmienna X ma rozkład α-stabilny wtedy i tylko wtedy gdy istnieją stałe c n > 0id n R takie że: X 1 + X X n = c n X + d n (4.1) i X 1,...X n są niezależnymi kopiami X. Ciągc n jest postaci n 1/α.Własnośćta nie zachowuje się dla różnych wartości α. Dwie niezależne zmienne losowe o różnym indeksie α nie muszą być wcale α-stabilne. Innym sposobem definiowania jest podanie funkcji charakterystycznej, gdyż poza trzema szczególnymi przypadkami rozkłady te nie mają jawnej postaci funkcji gęstości. Można ją jednak aproksymować różnymi metodami numerycznymi. 4.1 Własności Rozkłady α-stabilne wymagają czterech parametrów do pełnego opisu: indeksu stabilności α (0, 2], parametru skośności β [ 1, 1], skali σ>0 oraz położenia µ R. Parametr α określa grubość ogona, patrz rys Kiedy α =2,dostaje się rozkład normalny. Gdy α < 2 wariancja jest nieskończona. Gdy α > 1 średnia istnieje i wynosi µ. Ogólnie istnieje p-ty moment stabilnej zmiennej losowej wtedy i tylko wtedy gdy p < α. Jeśli parametr skośności β jest dodatni to rozkład jest skośny w prawo - prawy ogon jest cięższy, patrz rys Gdy mamy do czynienia z ujemnym parametrem skośności to otrzymuje się rozkład skośny w lewo, a jak β = 0 rozkład symetryczny wokół µ. W miarę jak α zbiega do 2, β traci na znaczeniu i przy rozkładzie gaussowskim nie ma żadnego wpływu. Dwa ostatnie parametry są standardowymi parametrami skali i położenia. 19

20 20 ROZDZIAŁ 4. ROZKŁADY STABILNE I ICH WŁASNOŚCI log(pdf(x)) x Rysunek 4.1: Funkcje gęstośći w skali półlogarytmicznej dla symetrycznych rozkładów stabilnych (β = µ =0,σ = 1). Wartości parametru α =2(cienki czarny), 1.8 (czerwony), 1.5 (cienki, przerywany niebieski) oraz 1 (przerywany zielony). Gęstość gaussowska tworzy parabolę i jest jedyną wśród α-stabilnych o wykładniczym ogonie XCSstab01 PDF(x) x Rysunek 4.2: Funckje gęstośći zmiennych α-stabilnych dla α = 1.2 i β = 0(cienki czarny), 0.5 (czerwony), 0.8 (cienki, przerywany niebieski) oraz 1 (przerywany, zielony) XCSstab02

21 4.2. FUNKCJA CHARAKTERYSTYCZNA 21 PDF(x) x Rysunek 4.3: Jawne wzory na postać funkcji gęstości są znane tylko dla trzech rozkładów stabilnych: normalnego (α = 2; cienki czarny), Cauchy ego (α = 1; czerwony) i Levy ego (α =0.5,β = 1; cienki, przerywany, niebieski). Rozkład Levy ego jest całkowicie skośny. Ogólnie gdy α<1iβ =1( 1) rozkład jest całkowicie skośny w prawo (lewo) XCSstab Funkcja charakterystyczna Z powodu braku jawnych wzorów na postać funkcji gęstości dla wszystkich przypadków oprócz trzech szczególnych (patrz rys. 4.3), najwygodniejszą formą opisu rozkładów stabilnych jest funkcja charakterystyczna φ(t), będąca odwrotną transformatą Fouriera funkcji gęstości. Powstało wiele różnych parametryzacji rozkładów stabilnych, co może prowadzić do drobnej konfuzji. Różnorodność opisu spowodowana jest wieloma historycznymi próbami analizy praw związanych z rozkładami stabilnymi. Konwencją przyjętą w niniejszym opracowaniu jest postać funkcji charakterystycznej zmiennej stabilnej X S α (σ, β, µ) zparametrami α, σ, β i µ użytą również przez Samorodnitsky ego i Taqqu [15] oraz Werona [20]. σ α t α {1 ıβsign(t)tan πα 2 } + ıµt, α 1, log φ(t) = (4.2) σ t {1+ıβsign(t) 2 π log t } + ıµt, α =1. Do celów numerycznych użyteczna jest często inna parametryzacja oznaczona w tekście jako S 0 α (σ, β, µ 0)[4]:

22 22 ROZDZIAŁ 4. ROZKŁADY STABILNE I ICH WŁASNOŚCI Parametryzacja S Parametryzacja S0 PDF(x) PDF(x) x x Rysunek 4.4: Porównanie parametryzacji S i S 0 : α-stabilna gęstośc dla β =0.5 i α =0.5 (cienki czarny), 0.75 (czerwony), 1 (cienki, przerywany niebieski), 1.25 (przerywany zielony) i 1.5 (cienki turkusowy) XCSstab04 σ α t α {1+ıβsign(t)tan πα 2 [(σ t )1 α 1]} + ıµ 0 t, α 1, log φ 0 (t) = σ t {1+ıβsign(t) 2 π log(σ t )} + ıµ 0t, α =1. (4.3) Parametryzacja Sα(σ, 0 β, µ 0 ) jest wariantem (M)-parametryzacji Zolotarieva [21], z funkcjami charakterystycznymi, gęstościami, jak również dystrybuantami ciągłymi w domenie wszystkich czterech parametrów, patrz rys Parametry skali powiązane są ze sobą w następujący sposób: µ = µ 0 βσ tan πα 2 dla α 1 oraz µ = µ 0 βσ 2 π log σ dla α = Reprezentacja całkowa Oprócz funkcji charakterystycznej istnieje opis zmiennych α-stabilnych korzystający z całkowej reprezentacji funkcji gęstości i dystrybuanty. Niech X będzie zmienną z rozkładu S 0 α(1,β,0). Niech ponadto f(x; α, β) oznacza gęstość zmiennej X a F (x; α, β) jej dystrybuantę. Przyjmijmy dodatkowo oznaczenia:

23 4.3. REPREZENTACJA CAŁKOWA 23 V (θ; α, β) = β tan πα 2, α 1, ζ = 0, α =1, θ 0 = 1 α arctan(tan πα 2 ), α 1, π 2, α =1, 1 π ( π 2 θ 0), α < 1, c 1 (α, β) = 0, α =1, (cos αθ 0 ) 1 1, α < 1, α 1 ( cos θ sin α(θ ) α cos(αθ0+(α 1)θ) α 1 0+θ) cos θ, α 1, 2 π ( π 2 +βθ cos θ )exp(1 β ( π 2 + βθ)tanθ), α =1,β 0. Wtedy gęstość f(x; α, β) zmiennej X można zapisać jako: gdy α 1ix>ζ f(x; α, β) = gdy α 1ix = ζ α(x ζ) 1 α 1 π α 1 π 2 V (θ; α, β)exp( (x ζ) α α 1 V (θ; α, β))dθ, θ 0 f(x; α, β) = Γ(1 + 1 α )cos(θ 0), π(1 + ζ 2 ) 1 2α gdy α 1ix<ζ f(x; α, β) =f( x; α, β), gdy α =1 f(x;1,β)= 1 2 β e πx 2β π 2 V (θ;1,β)exp( e πx π 2β V (θ;1,β))dθ, β 0, 2 1 π(1+x 2 ), β =0.

24 24 ROZDZIAŁ 4. ROZKŁADY STABILNE I ICH WŁASNOŚCI Analogicznie dystrybuantę F (x; α, β) zmiennej X wyznacza się jako: gdy α 1ix>ζ F (x; α, β) =c 1 (α, β)+ sign(1 α) π π 2 exp( (x ζ) α α 1 V (θ; α, β))dθ, θ 0 gdy α 1ix = ζ F (x; α, β) = 1 π (π 2 θ 0), gdy α 1ix<ζ gdy α =1 F (x;1,β)= F (x; α, β) =1 F ( x; α, β), 1 π π 2 exp( e πx π 2β V (θ;1,β))dθ, β > 0, π arctan x, β =0, 1 F ( x, 1, β), β < 0. Aby otrzymać wzór dla dowolnej zmiennej α-stabilnej należy mieć na względzie następującą własność: jeżeli X S 0 α(1,β,0) to σ(x β tan πα 2 )+µ 0, α 1, Y = σx + µ 0, α =1, jest z rozkładu X S 0 α(σ, β, µ 0 ). Przedstawione wzory są dość skomplikowane, więc częściej używa się funkcji charakterystycznej do reprezentacji rozkładów stabilnych. Jednakże mogą być pomocne przy numerycznym wyznaczaniu wartości gęstości i dystrybuanty [12]. 4.4 Generowanie zmiennych stabilnych Problem z generowaniem α-stabilnych zmiennych losowych wypływa z braku jawnych wzorów funkcji odwrotnej F 1 do dystrybuanty rozkładu. Pierwsze rozwiązanie tego problemu zostało przedstawione przez Kantera [6], który opisał metodę symulacji zmiennej S α (1, 1, 0) dla α<1. Okazało się, że metoda może być przystosowana do ogólnego przypadku. Algorytm konstrukcji zmiennej X S α (1,β,0), o reprezentacji (4.2), jest następujący [20]:

25 4.5. ASYMPTOTYKA ROZKŁADÓW α-stabilnych 25 wygeneruj zmienną losową V z rozkładu jednostajnego na ( π 2, π 2 )oraz niezależną zmienna losową z rozkładu wykładniczego W o średniej 1; dla α 1 policz: gdzie X = S α,β sin α(v + B α,β) {cos(v )} 1/α [ ] (1 α)/α cos V α(v + Bα,β ), (4.4) W dla α = 1 policz: X = 2 π B α,β = arctan(β tan πα 2 ), α { ( S α,β = 1+β 2 tan 2 πα )} 1/(2α) ; 2 { ( π ) ( π 2 + βv 2 tan V β log W cos V )} π 2 + βv. (4.5) Dzięki opisanej formule generowania standardowej α-stabilnej zmiennej losowej możemy otrzymywać zmienne dla wszystkich wartości parametrów α, σ, β i µ mając na względzie następującą własność: jeżeli X S α (1,β,0) to σx + µ, α 1, Y = (4.6) σx + 2 π βσ log σ + µ, α =1, jest z rozkładu S α (σ, β, µ). Pomimo wielu innych badań opisanych w literaturze powyższa metoda uznawana jest za najszybszą i najdokładniejszą. 4.5 Asymptotyka rozkładów α-stabilnych Levy [9] pokazał, że dla α<2 ogony rozkładu α-stabilnego asymptotycznie odpowiadają ogonowi rozkładu Pareto. W szczególności gdy X S α<2 (1,β,0) to dla x : P (X >x)=1 F (x) C α (1 + β)x α, P (X < x) =F ( x) C α (1 β)x α, (4.7)

26 26 ROZDZIAŁ 4. ROZKŁADY STABILNE I ICH WŁASNOŚCI Ogony stabilne log(1-cdf(x)) log(x) Rysunek 4.5: Prawe ogony dystrybuanty symetrycznego rozkładu α-stabilnego dla α = 2 (cienki czarny), 1.95 (czerwony), 1.8 (cienki, przerywany niebieski) i 1.5 (przerywany zielony) przedstawione w skali podwójnie logarytmicznej. Dla α<2 tworzą linię prostą o nachyleniu α XCSstab05 gdzie C α = ( 2 0 ) 1 x α sin xdx = 1 π Γ(α)sin πα 2. Zbieżność ogona do praw potęgowych zależy od wartości parametru α. Zależność ta przedstawiona jest na rys Zbieżność jest tym wolniejsza im większa jest wartość α. Ponadto można zaobserwować przejście z prawa potęgowego z wykładnikiem α>2 do prawa potęgowego właściwego wykładnika α. Efekt ten staje się widoczny szczególnie przy wartościach bliskich Estymacja Estymacja parametrów rozkładów stabilnych jest utrudniona poprzez brak jawnej postaci funkcji gęstości z wyjątkiem trzech konkretnych rozkładów. Wiele tradycyjnych metod łącznie z metodą największej wiarogodności nie może być w prosty sposób przeniesiona na przypadek stabilny. Istnieją jednak numeryczne algorytmy mogące być w tym miejscu pomocne. Zostaną one poniżej pokrótce

27 4.6. ESTYMACJA 27 przedstawione. Wszystkie z przedstawionych metod działają w miarę poprawnie przy założeniu, że próbka istotnie pochodzi z rozkładu α-stabilnego. Jednakże jeżeli dane pochodzą z innego rozkładu niniejsze procedury mogą być mylące bardzie niż estymator Hilla i metody bezpośredniej estymacji ogonów. Z powodu braku formalnych testów na potwierdzenie stabilności można zasugerować początkową wzrokową ocenę lub nieparametryczne testy w celu stwierdzenie czy empiryczna gęstość przypomina α-stabilną. Dla zadanej próbki x 1,..., x n z rozkładu S α (σ, β, µ), zostaną przedstawione wartości estymatorów ˆα, ˆσ, ˆβ iˆµ odpowiednio parametrów α, σ, β i µ Estymacja indeksu ogona Najprostszą metodą estymacji indeksu ogona jest graficzna obserwacja prawego ogona empirycznej dystrybuanty (1 F (x)) w skali podwójnie logarytmicznej, jaknarys.4.6.dodużychwartościlog(x) i odpowiadającym im wartościom log(1 F (x)) stosuje się regresję liniową, a z uzyskanej prostej estymuje się parametr α, poprzez relację α = nachylenie. Metoda jest bardzo wrażliwa na wielkość próby jak również na liczbę obserwacji użytych w regresji. Ponadto nachylenie około 3.7, co sugerować może brak stabilności, można uzyskać przy rozkładzie α-stabilnym z α 1.9. Aby zilustrować powyższy problem należy wygenerować dwie próbki o rozmiarach N =10 4 i10 6 ze standardowego symetrycznego (β = µ =0,σ =1)α-stabilnego rozkładu z α =1.9. Następnie w skali podwójnie logarytmicznej przedstawić prawy ogon empirycznej dystrybuanty. Wynik takiej procedury przedstawiono w tab. 4.1 oraz na rys Tabela 4.1: Estymacja indeksu α ogona rozkładu Wielkość próbki 10 6 obserwacji 10 4 obserwacji Nachylenie pierwotnego prawa potęgowego Nachylenie ogona XCSstab06 Właściwe zachowanie ogona (4.7) widoczne jest dopiero dla bardzo dużych (co do wartości bezwzględnej) obserwacji. Otrzymane wyestymowane wartości ciągle odbiegają od prawdziwych, co sugeruje, że potrzeba badać próbki nawet o większe liczbie obserwacji niż Na rysunku 4.6 zostało użyte 0.15% największych obserwacji w celu estymowania prawdziwego parametru α. Należy zaznaczyć, że wybór obserwacji do regresji jest subiektywny i może prowadzić do błędów w estymacji. Dobrze znaną metodą do estymowania indeksu ogona jest estymator Hilla. Jest on używany, w przypadku gdy ogon rozkładu można zapisać przy pomocy wzoru: 1 F (x) =Cx α. Podobnie jak metoda opisana powyżej, estymator Hilla

28 28 ROZDZIAŁ 4. ROZKŁADY STABILNE I ICH WŁASNOŚCI 10^6 10^4 log(1-f(x)) log(1-f(x)) log(x) log(x) Rysunek 4.6: Prawy ogon dystrybuanty empirycznej symetrycznego rozkładu 1.9-stabilnego dla próbek wielkości N =10 6 (lewy rysunek) i N =10 4 (prawy rysunek). Cienka czerwona linia otrzymana jest poprzez liniową regresję końcowych obserwacji. Dla mniej licznej próbki otrzymuje się wartość indeksu ogona ˆα =3.73. W przypadku większej próbki estymacja indeksu daje wynik ˆα =3.79 dla mniej skrajnych obserwacji, dopiero dla najbardziej odległych jest on zbliżony (ˆα = 1.93) do prawdziwej wartości α. XCSstab06 przeszacowuje wartość indeksu ogona dla rozkładów stabilnych jeśli α znajduje sięblisko2awielkośćpróbkijestniezbytduża,patrzrys.4.7. Powyższe przykłady pokazują, że prawdziwe zachowanie ogona rozkładu α- stabilnego widoczne jest wyłącznie dla bardzo dużych zbiorów danych. Oznacza to, iż gdy chcemy znale zć wartość α musimy w praktyce posłużyć się bardzo duża liczbą obserwacji (np. częste zwroty w długim horyzoncie czasowym) i ograniczyć się do najbardziej skrajnych. W przeciwnym razie uzyskana wyestymowana wartość α może być myląca a odrzucenie hipotezy o stabilności niewłaściwe Metoda McCullocha Niech x f będzie f tym kwantylem, tak iż S α (σ, β, µ)(x f )=f. Niech ponadto ˆx f będzie odpowiadającym mu kwantylem próbkowym, spełniającym F n (ˆx f )=f. McCulloch [11] analizował kwantyle rozkładów stabilnych i zaproponował zgodne estymatory wszystkich czterech parametrów, z ograniczeniem jednak do

29 4.6. ESTYMACJA 29 alfa ^4 alfa ^6 alfa ^ Statystyki pozycyjne Statystyki pozycyjne Statystyki pozycyjne Rysunek 4.7: Estymator Hilla grubości ogonów dla próbek z rozkładu 1, 8- stabilnego wielkości N =10 4 (lewy rysunek) i N =10 6 (środkowy i prawy rysunek). Pozioma czerwona linia przedstawia prawdziwą wartość α. Dla lepszego zobrazowania środkowy rysunek jest powiększeniem prawego dla małych wartości k.tylkodlak = 500,..., 1300 otrzymuje się bliskie oszacowanie wartości rzeczywistej (k <0.13% wielkości próbki). XCSstab7 α 0.6. Zdefiniujmy v α = x 0.95 x 0.05, x 0.75 x 0.25 niezależne od dwójki σ i µ. Gdyˆv α będzie odpowiadającą wartością próbkową otrzymamy zgodny estymator v α. Ustalmy podobnie v β = x x x 0.50, x 0.95 x 0.05 iniechˆv β będzie odpowiadającą wartością próbkową. v β również nie zależy ani od σ ani od µ. Jako funkcja zależna od α i β, v β ściśle rośnie dla β przy każdej wartości α. Statystykaˆv β jest zgodnym estymatorem v β. Statystyki v α i v β są funkcjami α i β. Relacje można łatwo odwrócić, tak iż parametry α i β mogą być traktowane jako funkcje zależne od wartości v α i v β α = ψ 1 (v α,v β ), β = ψ 2 (v α,v β ).

30 30 ROZDZIAŁ 4. ROZKŁADY STABILNE I ICH WŁASNOŚCI Zastępując v α i v β przez ich wartości próbkowe otrzymuje się estymatory ˆα i ˆβ. Wartościψ 1 (v α,v β )orazψ 2 (v α,v β ) zostały stablicowane przez McCullocha [11]. Dla oszacowania ˆα i ˆβ należy dodatkowo posłużyć się interpolacją liniową odpowiednich wartości z tablicy. Parametry skali σ i przesunięcia µ otrzymuje się podobnie Metody próbkowej funkcji charakterystycznej Mając próbkę niezależnych zmiennych losowych x 1,..., x n rozmiaru n można zdefiniować próbkową funkcję charakterystyczną jako ˆφ(t) = 1 n n e itxj. Dla dowolnego ustalonego t, ˆφ(t) jest średnią niezależnych zmiennych losowych exp(itx j ) o tym samym rozkładzie, których wszystkie momenty są skończone. Z prawa wielkich liczb wynika, że ˆφ(t) jest zgodnym estymatorem funkcji charakterystycznej φ(t). Press [13] zaproponował prostą metodę estymacji, zwaną metodą momentów, która bazuje na przekształceniach funkcji charakterystycznej. Z (4.2) otrzymujemy dla dowolnego α φ(t) =exp( σ α t α ). Stąd, log φ(t) = σ α t α. Zakładając teraz, że α 1, należy wybrać dwie niezerowe wartości t, takie aby t 1 t 2.Wtedy log φ(t k ) = σ α t k α, dla k =1, 2. Rozwiązując powyższe dwa równania ze względu na α i σ, oraz wstawiając ˆφ(t) zaφ(t) dostajesię j=1 oraz ˆα = log log ˆφ(t 1) log ˆφ(t 2) log t1 t 2, log ˆσ = log t 1 log( log ˆφ(t 2 ) ) log t 2 log( log ˆφ(t 1 ) ) log t1 t 2. W celu estymacji β i µ należy zastosować podobną procedurę w stosunku do Im(log φ(t)). Uzyskane estymatory są zgodne, gdyż pochodzą od zgodnych estymatorów φ(t), Imφ(t) i Reφ(t). Jednakże zbieżność do prawdziwych wartości zależy od subiektywnego wyboru t 1,..., t 4. Optymalny wybór tych wartości nie jest łatwy i pozostaje sprawą otwartą. Estymować parametry można także poprzez minimalizację pewnych funkcji zależnych od różnicy pomiędzy próbkową a faktyczną funkcją charakterystyczną. Koutrouvelis [8] przedstawił metodę posługującą się regresją. Startuje ona

31 4.6. ESTYMACJA 31 z początkowych wartości parametrów, które mogą być otrzymane innymi metodami, wykonując kilka iteracji aż do uzyskania zadanego kryterium zbieżności. Każda iteracja składa się z dwóch procedur regresji. Liczba punktów potrzebnych do regresji zależy od wielkości próby, jak również od początkowych wartości α. Zwykle potrzeba nie więcej niż dwóch lub trzech iteracji choć oczywiście szybkość zbieżności zależy od początkowych wartości i kryterium zakończenia iteracji. Metoda regresji oparta jest na poniższych obserwacjach dotyczących funkcji charakterystycznej φ(t). Po pierwsze z równania (4.2) można wyprowadzić oraz log( log φ(t) 2 )=log(2σ α )+α log t. (4.8) Część rzeczywista i urojona φ(t) dlaα 1 jest dana przez [ Re{φ(t)} =exp( σt α )cos µt + σt α βsign(t)tan πα 2 [ Im{φ(t)} =exp( σt α )sin µt + σt α βsign(t)tan πα 2 Dwa ostatnie równania prowadzą do ( ) Im{φ(t)} arctan = µt + βσ α tan πα Re{φ(t)} 2 sign(t) t α. (4.9) Równanie(4.8) zależy tylko od α i σ i umożliwia estymację tych parametrów przez regresję y = log( log φ n (t) 2 )iw =log t wmodelu ], ]. y k = m + αw k + ɛ k, k =1, 2,..., K, gdzie t k jest odpowiednim zbiorem wartości rzeczywistych, m =log(2σ α ), a ɛ k opisuje błąd. Koutrouvelis [8] proponował stosować t k = πk 25,k =1, 2,..., K; z K będącym liczbą naturalną z przedziału [9; 134] odpowiednio dobraną dla różnych wartości α i wielkości próbki. Gdy ˆα iˆσ są już wyznaczone wstawia się je za α i σ oraz przystępuje się do estymacji β i µ używając (4.9). Następnie regresja jest powtarzana w analogiczny sposób z ˆα, ˆσ, ˆβ iˆµ wziętymi jako wartości początkowe. Iteracje kontynuuje się aż do spełnienia zadanego kryterium zbieżności. Kogon i Willianms [7] wyeliminowali wielokrotne iteracje upraszczając przez to metodę Koutrouvelisa. Zrezygnowali z wielokrotnie powtarzanej regresji, gdyż jednokrotne jej użycie daje często zadawalające efekty. Zwiększyli przez to szybkość działania algorytmu. Użyli ponadto ustalonego zbioru 10 równo oddalonych punktów. W przeciwieństwie do pierwotnej metody regresji, gdzie wybór punktów zależał od uzyskanej wartości α, zalecili użyć konkretnego zbioru t = 0.1, 0.2,..., 0.9, 1. Jako parametry początkowe zastosowali wartości uzyskane

32 32 ROZDZIAŁ 4. ROZKŁADY STABILNE I ICH WŁASNOŚCI metodą McCullocha. Należy zaznaczyć, że metoda McCullocha ograniczona jest do wartości α 0.6, dlatego należy liczyć się z sytuacją, iż w pewnych przypadkach początkowe wartości mogą zawierać spory błąd. Istotną zmianą wobec pierwotnej wersji metody jest też przejście do ciągłej parametryzacji (4.3). Równanie (4.8), służące do znalezienia wartości α i σ pozostaje identyczne, natomiast równanie (4.9) przybiera nieco inną postać: arctan ( ) Im{φ(t)} = µ 0 t + βσ α tan πα Re{φ(t)} 2 sign(t) t α [(σ t ) 1 α 1] (4.10) Estymowana jest w tym przypadku wartość parametru µ 0 zamiast µ, więcnależy pamiętać o wzajemnym przeliczeniu obu tych wartości. Przejście do ciągłej parametryzacji powoduje, że dla α =1iβ 0 parametr położenia estymowany jest dokładniej. W innych przypadkach pierwotna metoda Koutrouvelisa daje przeważnie lepsze wyniki, choć nie są one istotnie lepsze.

33 Rozdział 5 Przykłady zastosowań w finansach Założenia odnośnie rozkładów zmiennych opisujących zjawiska finansowe mają istotne znaczenie, gdy podejmowane decyzje opierają się na oczekiwanym zwrocie bad z kalkulacji ryzyka alternatywnych inwestycji. Podejście do problemów typu wybór odpowiedniego portfela, wycena opcji czy zarządzanie ryzykiem zależy ściśle od przyjętego rozkładu w rozpatrywanym modelu. Wiele technik w nowoczesnych finansach opiera się na założeniu o gaussowskim rozkładzie zmiennych losowych podlegających analizie. Jednak obserwowane dane finansowe często nie potwierdzają tego założenia wykazując brak symetrii i ciężkie ogony. Nakazuje to podważyć słuszność założenia normalności. Finansowe zwroty często traktuje się jako wynik wielu czynników, o których informacja napływa prawie w sposób ciągły. Pamiętając dodatkowo o istnieniu zjawisk ekstremalnych, które mogą być modelowane przez grube ogony rozkładów, założenie o stabilności zdaje się być uprawnione. Inne ciężkoogonowe rozkłady, jak np. hiperboliczny, Weibulla czy t Studenta, które mogłyby być w tym przypadku pomocne, nie posiadają pożytecznej własności związanej centralnym twierdzeniem granicznym. Rozkłady stabilne mogą być z powodzeniem dopasowane do zwrotów giełdowych, zwrotów z rynków walutowych, towarowych czy też rynku nieruchomości [14]. Istnieją jednak pewne wątpliwości podważające możliwość użycia modelu stabilnego. Opierają się one na estymacji indeksu ogona. Znaleziona wartość α okazuje się istotnie większa od 2, czyli poza obrębem rozkładów stabilnych. Jednakże należy w tym miejscu zwrócić uwagę na fakty przedstawione w rozdziale Estymacja α dla próbek typowej wielkość używając obserwacji z ogona może być wielce myląca. Nawet spora wartość α nie jest wystarczającą przesłanką do odrzucenia stabilności. W tablicy 5.1 przedstawiono dopasowanie rozkładów stabilnego i gaussowskiego do zwrotów z kursu wymiany funta brytyjskiego do dolara amerykańskiego z okresu od 2 stycznia 1990 do 8 listopada Estymacji parametrów 33

34 34 ROZDZIAŁ 5. PRZYKŁADY ZASTOSOWAŃ W FINANSACH dokonano metodą regresji przedstawioną w p Porównano dopasowanie przy pomocy statystyki Kołmogorowa i Andersona-Darlinga 1. Z tabeli 5.1 widać, że rozkład 1.71-stabilny znacznie lepiej dopasowuje się do danych niż rozkład normalny. Tabela 5.1: α-stabilne i gaussowskie dopasowanie do zwrotów kursu wymiany GBP/USD z okresu 2 stycznia listopada XCSstab08 parametry α σ β µ α-stabilny gaussowski wartości testowe Anderson-Darling Kołmogorow α-stabilny gaussowski W tablicy 5.2 przedstawiono dopasowanie rozkładów stabilnego i gaussowskiego do zwrotów z indeksu DJIA z okresu 6 lipca maja Należy zwrócić uwagę że okres ten zawiera największy spadek cen akcji w historii Czarny Poniedziałek z 19 pa zdziernika Rozkład 1.67-stabilny zapewnia znacznie lepsze dopasowanie do zwrotów DJIA. Jego przewagę widać jeszcze dobitniej z rys Należy zwrócić uwagę szczególnie na różnice przy dopasowaniu ogonów. Tabela 5.2: α-stabilne i gaussowskie dopasowanie do zwrotów indeksu DJIA z okresu 6 lipca maja XCSstab09 parametry α σ β µ α-stabilny gaussowski wartości testowe Anderson-Darling Kołmogorow α-stabilny gaussowski Dla próby x 1 x 2... x n i dystrybuanty ciągłej F oznaczmy z i = F (x i ). Statystykę Kołmogorowa D wyznacza się wtedy jako: D = max(d +,D ), gdzie D + =max 1 i n [i/n z i ]; D =max 1 i n [z i (i 1)/n]. Statystyka Andersona-Darlinga może być traktowana jako ważona statystyka Kołmogorowa kładąca większe znaczenie na ogony rozkładu. Liczy się ją jako A 2 = { n i=1 (2i 1)[ln z i +ln(1 z n+1 i )]}/n n, patrz[16].

35 35 Zwroty z DJIA - dopasowanie Empiryczne, stabilne i gaussowskie lewe ogony CDF(x) log(cdf(x)) x log(x) Rysunek 5.1: Dopasowanie rozkładów gaussowskiego (przerywany czerwony) i 1.67-stabilnego (turkusowy) do empirycznej dystrybuanty zwrotów DJIA (czarne okręgi) z okresu 6 lipca maja Prawy rysunek przedstawia lewy ogon dopasowania stabilnego i gaussowkiego w skali podwójnie logarytmicnej. XCSstab09 W tablicy 5.3 ukazano dopasowanie dwóch rozkładów do zwrotów z indeksu DAX z okresu 2 stycznia grudnia Podobnie jak w dwóch poprzednich przykładach rozkład stabilny daje lepsze dopasowanie. We wszystkich trzech przypadkach rozkład gaussowski należałoby odrzucić opierając się na dwóch przedstawionych testach. Ponieważ nie są znane wartości krytyczne wspomnianych testów dla rozkładów stabilnych więc nie można podobnego typu decyzji podjąć dla rozkładu stabilnego. Należy jednak zauważyć, że wartości statystyk są znacznie mniejsze dla rozkładu stabilnego, co sugeruje jego znacznie lepsze dopasowanie. Tabela 5.3: α-stabilne i gaussowskie dopasowanie do zwrotów indeksu DAX z okresu 2 stycznia grudnia XCSstab10 parametry α σ β µ α-stabilny gaussowski wartości testowe Anderson-Darling Kołmogorow α-stabilny gaussowski

36 36 ROZDZIAŁ 5. PRZYKŁADY ZASTOSOWAŃ W FINANSACH Oczywiście żaden z zaprezentowanych faktów nie świadczy o tym, że analizowane próbki pochodzą istotnie z rozkładu stabilnego. Jak już zostało stwierdzone w p , sama estymacja indeksu ogona nie daje wystarczającej podstawy do odrzucenia stabilności. Jednocześnie otrzymanie α istotnie mniejszego od dwóch wcale nie wyklucza niestabilnego rozkładu z indeksem ogona α>2 [19]. Jednakże w przedstawionych przykładach widać, że rozkłady o ciężkich ogonach (jak rozkłady stabilne) lepiej modelują rzeczywistość rynku finansowego. Własności graniczne dla rozkładów stabilnych razem z dobrym opisem zjawisk ekstremalnych stanowią motywację do ich stosowania w finansach. Mogą być pomocne przy rozwiązywaniu problemów takich, jak optymalizacja portfela czy wycena opcji [14]. Wyjątkową rolę winny odegrać w wyliczeniach typu Valueat-Risk, gdzie estymacja dolnych kwantyli zwrotów z portfela jest szczególnie istotna.

37 Dodatek A Zaimplementowane quantlety Głównym celem niniejszej pracy była implementacja funkcji związanych z rozkładami stabilnymi. Do systemu XploRe zostały dołączone metody estymacji, symulacji oraz funkcje liczące wartości gęstości i dystrybuanty. Obok quantletów realizujących powyższe procedury napisano również przykłady, które obrazują w jaki sposób działają zaimplementowane funkcje, lecz przede wszystkim przedstawiają własności rozkładów stabilnych. Rysunki i tabele z rozdziałów 4 i 5 mogą zostać uzyskane poprzez wywołanie odpowiednich przykładów. Drobna zmiana pewnych parametrów pozwala użytkownikowi na eksperymenty z rozkładami stabilnymi, co może służyć lepszemu poznaniu ich własności. Quantlety będące realizacją procedur zostały umieszczone w bibliotece stable. Została ona stworzona wyłącznie na potrzeby niniejszej pracy. Praca powstała przy użyciu wersji 4.4, więc opis i implementacja zostały wykonane zgodnie z wymogami tej wersji. Pó zniejsze wersje systemu mogą rozmieścić wspomniane quantlety w innych bibliotekach wiec istnienie samej biblioteki stable będzie zbyteczne. Aby dostosować system XploRe do pracy z metodami stabilnymi należy zawartość kartoteki stable przenieść do kartoteki.../xplore/lib. Po wywołaniu komendy library("stable") wszystkie staną się widoczne dla systemu i można rozpocząć pracę z nimi. W celu wywołania przykładów obrazujących teorię dotyczącą rozkładów stabilnych wystarczy otworzyć potrzebny plik i wywołać wszystkie komendy z danego przykładu. Najwygodniej to zrobić poprzez komendę Execute lub skrót klawiaturowy ALT+E. Przykłady XCSstab08- XCSstab10 wymagają jeszcze dodatkowych czynności. Należy pliki z danymi z kartoteki dane umieścić w kartotece.../xplore/data oraz powiadomić XploRe o quantletach anddar oraz kstat. Można to zrobić poprzez uzupełnienie biblioteki stats dopisując odpowiednie komendy w pliku stats.lib albo przez szybkie uruchomienie kodu tych funkcji. Gdy quantlet jest widoczny dla systemu to jego nazwa w edytorze po- 37

166 Wstęp do statystyki matematycznej

166 Wstęp do statystyki matematycznej 166 Wstęp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwiązać nasz zasadniczy problem związany z identyfikacją cechy populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Książka jest nowoczesnym podręcznikiem przeznaczonym dla studentów uczelni i wydziałów ekonomicznych. Wykład podzielono na cztery części. W pierwszej

Bardziej szczegółowo

AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA

AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA AKADEMIA GÓRNICZO-HUTNICZA Wydział Matematyki Stosowanej KATEDRA MATEMATYKI TEMAT PRACY: ROZKŁAD NORMALNY ROZKŁAD GAUSSA AUTOR: BARBARA MARDOSZ Kraków, styczeń 2008 Spis treści 1 Wprowadzenie 2 2 Definicja

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyk z próby

Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny

Bardziej szczegółowo

Zakładamy, że są niezależnymi zmiennymi podlegającymi (dowolnemu) rozkładowi o skończonej wartości oczekiwanej i wariancji.

Zakładamy, że są niezależnymi zmiennymi podlegającymi (dowolnemu) rozkładowi o skończonej wartości oczekiwanej i wariancji. Wnioskowanie_Statystyczne_-_wykład Spis treści 1 Centralne Twierdzenie Graniczne 1.1 Twierdzenie Lindeberga Levy'ego 1.2 Dowód 1.2.1 funkcja tworząca sumy zmiennych niezależnych 1.2.2 pochodna funkcji

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna dla leśników

Statystyka matematyczna dla leśników Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 03/04 Wykład 5 Testy statystyczne Ogólne zasady testowania hipotez statystycznych, rodzaje

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących

Bardziej szczegółowo

ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH

ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH 1 ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH WFAiS UJ, Informatyka Stosowana II stopień studiów 2 Wnioskowanie statystyczne dla zmiennych numerycznych Porównywanie dwóch średnich Boot-strapping Analiza

Bardziej szczegółowo

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej 7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach

Bardziej szczegółowo

OBLICZENIE PRZEPŁYWÓW MAKSYMALNYCH ROCZNYCH O OKREŚLONYM PRAWDOPODOBIEŃSTWIE PRZEWYŻSZENIA. z wykorzystaniem programu obliczeniowego Q maxp

OBLICZENIE PRZEPŁYWÓW MAKSYMALNYCH ROCZNYCH O OKREŚLONYM PRAWDOPODOBIEŃSTWIE PRZEWYŻSZENIA. z wykorzystaniem programu obliczeniowego Q maxp tel.: +48 662 635 712 Liczba stron: 15 Data: 20.07.2010r OBLICZENIE PRZEPŁYWÓW MAKSYMALNYCH ROCZNYCH O OKREŚLONYM PRAWDOPODOBIEŃSTWIE PRZEWYŻSZENIA z wykorzystaniem programu obliczeniowego Q maxp DŁUGIE

Bardziej szczegółowo

R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych

R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych R ozkład norm alny Bardzo często używany do modelowania symetrycznych rozkładów zmiennych losowych ciągłych Przykłady: Błąd pomiarowy Wzrost, wydajność Temperatura ciała Zawartość różnych składników we

Bardziej szczegółowo

Analiza danych. http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU

Analiza danych. http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Analiza danych Wstęp Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Różne aspekty analizy danych Reprezentacja graficzna danych Metody statystyczne: estymacja parametrów

Bardziej szczegółowo

Spis treści 3 SPIS TREŚCI

Spis treści 3 SPIS TREŚCI Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe

Bardziej szczegółowo

Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych)

Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Funkcja uwikłana (równanie nieliniowe) jest to funkcja, która nie jest przedstawiona jawnym przepisem, wzorem wyrażającym zależność wartości

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne Testowanie hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Hipotezy

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby

Bardziej szczegółowo

Zawartość. Wstęp. Moduł Rozbiórki. Wstęp Instalacja Konfiguracja Uruchomienie i praca z raportem... 6

Zawartość. Wstęp. Moduł Rozbiórki. Wstęp Instalacja Konfiguracja Uruchomienie i praca z raportem... 6 Zawartość Wstęp... 1 Instalacja... 2 Konfiguracja... 2 Uruchomienie i praca z raportem... 6 Wstęp Rozwiązanie przygotowane z myślą o użytkownikach którzy potrzebują narzędzie do podziału, rozkładu, rozbiórki

Bardziej szczegółowo

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW ODRZUCANIE WYNIKÓW OJEDYNCZYCH OMIARÓW W praktyce pomiarowej zdarzają się sytuacje gdy jeden z pomiarów odstaje od pozostałych. Jeżeli wykorzystamy fakt, że wyniki pomiarów są zmienną losową opisywaną

Bardziej szczegółowo

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com Analiza korelacji i regresji KORELACJA zależność liniowa Obserwujemy parę cech ilościowych (X,Y). Doświadczenie jest tak pomyślane, aby obserwowane pary cech X i Y (tzn i ta para x i i y i dla różnych

Bardziej szczegółowo

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii.

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii. Rozkład normalny Rozkład normalny jest niezwykle ważnym rozkładem prawdopodobieństwa w wielu dziedzinach. Nazywa się go także rozkładem Gaussa, w szczególności w fizyce i inżynierii. W zasadzie jest to

Bardziej szczegółowo

Gdy n jest duże, statystyka ta (zwana statystyką chikwadrat), przy założeniu prawdziwości hipotezy H 0, ma w przybliżeniu rozkład χ 2 (k 1).

Gdy n jest duże, statystyka ta (zwana statystyką chikwadrat), przy założeniu prawdziwości hipotezy H 0, ma w przybliżeniu rozkład χ 2 (k 1). PRZYKŁADY TESTÓW NIEPARAMETRYCZNYCH. Test zgodności χ 2. Ten test służy testowaniu hipotezy, czy rozważana zmienna ma pewien ustalony rozkład, czy też jej rozkład różni się od tego ustalonego. Tym testem

Bardziej szczegółowo

Inteligentna analiza danych

Inteligentna analiza danych Numer indeksu 150946 Michał Moroz Imię i nazwisko Numer indeksu 150875 Grzegorz Graczyk Imię i nazwisko kierunek: Informatyka rok akademicki: 2010/2011 Inteligentna analiza danych Ćwiczenie I Wskaźniki

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji

Bardziej szczegółowo

parametrów strukturalnych modelu = Y zmienna objaśniana, X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających,

parametrów strukturalnych modelu = Y zmienna objaśniana, X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających, 诲 瞴瞶 瞶 ƭ0 ƭ 瞰 parametrów strukturalnych modelu Y zmienna objaśniana, = + + + + + X 1,X 2,,X k zmienne objaśniające, k zmiennych objaśniających, α 0, α 1, α 2,,α k parametry strukturalne modelu, k+1 parametrów

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4.

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4. Testowanie hipotez Niech X = (X 1... X n ) będzie próbą losową na przestrzeni X zaś P = {P θ θ Θ} rodziną rozkładów prawdopodobieństwa określonych na przestrzeni próby X. Definicja 1. Hipotezą zerową Θ

Bardziej szczegółowo

Studenckie Koło Naukowe Rynków Kapitałowych Zbieżność i rozbieżność średnich kroczących - MACD (Moving Average Convergence Divergence).

Studenckie Koło Naukowe Rynków Kapitałowych Zbieżność i rozbieżność średnich kroczących - MACD (Moving Average Convergence Divergence). Zbieżność i rozbieżność średnich kroczących - MACD (Moving Average Convergence Divergence). MACD (zbieżność i rozbieżność średnich kroczących) - jest jednym z najczęściej używanych wskaźników. Jego popularność

Bardziej szczegółowo

Wykład 4: Statystyki opisowe (część 1)

Wykład 4: Statystyki opisowe (część 1) Wykład 4: Statystyki opisowe (część 1) Wprowadzenie W przypadku danych mających charakter liczbowy do ich charakterystyki można wykorzystać tak zwane STATYSTYKI OPISOWE. Za pomocą statystyk opisowych można

Bardziej szczegółowo

SCENARIUSZ LEKCJI. TEMAT LEKCJI: Zastosowanie średnich w statystyce i matematyce. Podstawowe pojęcia statystyczne. Streszczenie.

SCENARIUSZ LEKCJI. TEMAT LEKCJI: Zastosowanie średnich w statystyce i matematyce. Podstawowe pojęcia statystyczne. Streszczenie. SCENARIUSZ LEKCJI OPRACOWANY W RAMACH PROJEKTU: INFORMATYKA MÓJ SPOSÓB NA POZNANIE I OPISANIE ŚWIATA. PROGRAM NAUCZANIA INFORMATYKI Z ELEMENTAMI PRZEDMIOTÓW MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZYCH Autorzy scenariusza:

Bardziej szczegółowo

Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3

Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3 Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3 21.06.2005 r. 4. Planowanie eksperymentów symulacyjnych Podczas tego etapu ważne jest określenie typu rozkładu badanej charakterystyki. Dzięki tej informacji

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów Wrocław, 18.03.2016r Plan wykładu: 1. Testowanie hipotez 2. Etapy testowania hipotez 3. Błędy 4. Testowanie wielokrotne 5. Estymacja parametrów

Bardziej szczegółowo

Dopasowywanie modelu do danych

Dopasowywanie modelu do danych Tematyka wykładu dopasowanie modelu trendu do danych; wybrane rodzaje modeli trendu i ich właściwości; dopasowanie modeli do danych za pomocą narzędzi wykresów liniowych (wykresów rozrzutu) programu STATISTICA;

Bardziej szczegółowo

Sposoby prezentacji problemów w statystyce

Sposoby prezentacji problemów w statystyce S t r o n a 1 Dr Anna Rybak Instytut Informatyki Uniwersytet w Białymstoku Sposoby prezentacji problemów w statystyce Wprowadzenie W artykule zostaną zaprezentowane podstawowe zagadnienia z zakresu statystyki

Bardziej szczegółowo

3. Modele tendencji czasowej w prognozowaniu

3. Modele tendencji czasowej w prognozowaniu II Modele tendencji czasowej w prognozowaniu 1 Składniki szeregu czasowego W teorii szeregów czasowych wyróżnia się zwykle następujące składowe szeregu czasowego: a) składowa systematyczna; b) składowa

Bardziej szczegółowo

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie:

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie: ma postać y = ax + b Równanie regresji liniowej By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : xy b = a = b lub x Gdzie: xy = też a = x = ( b ) i to dane empiryczne, a ilość

Bardziej szczegółowo

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas: ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań

Bardziej szczegółowo

Wycena opcji. Dr inż. Bożena Mielczarek

Wycena opcji. Dr inż. Bożena Mielczarek Wycena opcji Dr inż. Bożena Mielczarek Stock Price Wahania ceny akcji Cena jednostki podlega niewielkim wahaniom dziennym (miesięcznym) wykazując jednak stały trend wznoszący. Cena może się doraźnie obniżać,

Bardziej szczegółowo

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją

Bardziej szczegółowo

Porównanie generatorów liczb losowych wykorzystywanych w arkuszach kalkulacyjnych

Porównanie generatorów liczb losowych wykorzystywanych w arkuszach kalkulacyjnych dr Piotr Sulewski POMORSKA AKADEMIA PEDAGOGICZNA W SŁUPSKU KATEDRA INFORMATYKI I STATYSTYKI Porównanie generatorów liczb losowych wykorzystywanych w arkuszach kalkulacyjnych Wprowadzenie Obecnie bardzo

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1. tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja parametrów w strategiach inwestycyjnych dla event-driven tradingu dla odczytu Australia Employment Change

Optymalizacja parametrów w strategiach inwestycyjnych dla event-driven tradingu dla odczytu Australia Employment Change Raport 4/2015 Optymalizacja parametrów w strategiach inwestycyjnych dla event-driven tradingu dla odczytu Australia Employment Change autor: Michał Osmoła INIME Instytut nauk informatycznych i matematycznych

Bardziej szczegółowo

Następnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień.

Następnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień. Zadanie Należy zacząć od sprawdzenia, co studenci pamiętają ze szkoły średniej na temat funkcji jednej zmiennej. Na początek można narysować kilka krzywych na tle układu współrzędnych (funkcja gładka,

Bardziej szczegółowo

Wykład 4: Wnioskowanie statystyczne. Podstawowe informacje oraz implementacja przykładowego testu w programie STATISTICA

Wykład 4: Wnioskowanie statystyczne. Podstawowe informacje oraz implementacja przykładowego testu w programie STATISTICA Wykład 4: Wnioskowanie statystyczne Podstawowe informacje oraz implementacja przykładowego testu w programie STATISTICA Idea wnioskowania statystycznego Celem analizy statystycznej nie jest zwykle tylko

Bardziej szczegółowo

O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ

O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ O ŚREDNIEJ STATYSTYCZNEJ Ryszard Zieliński XII Międzynarodowe Warsztaty dla Młodych Matematyków Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Kraków, 20 26 IX 2009 r. WYNIKI OBSERWACJI X 1, X 2,..., X n WYNIKI

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1)

ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1) ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL 1. Problem Rozważmy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi (x 1, x 2 ): 1 x1 sin x2 x2 cos x1 (1) Nie jest

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

Struktura terminowa rynku obligacji

Struktura terminowa rynku obligacji Krzywa dochodowości pomaga w inwestowaniu w obligacje Struktura terminowa rynku obligacji Wskazuje, które obligacje są atrakcyjne a których unikać Obrazuje aktualną sytuację na rynku długu i zmiany w czasie

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 9 Wrocław, 5 grudnia 2011 Temat. Test zgodności χ 2 Pearsona. Statystyka χ 2 Pearsona Rozpatrzmy ciąg niezależnych zmiennych losowych X 1,..., X n o jednakowym dyskretnym rozkładzie

Bardziej szczegółowo

Analiza korespondencji

Analiza korespondencji Analiza korespondencji Kiedy stosujemy? 2 W wielu badaniach mamy do czynienia ze zmiennymi jakościowymi (nominalne i porządkowe) typu np.: płeć, wykształcenie, status palenia. Punktem wyjścia do analizy

Bardziej szczegółowo

Instrukcja obsługi programu SWWS autorstwa Michała Krzemińskiego

Instrukcja obsługi programu SWWS autorstwa Michała Krzemińskiego Instrukcja obsługi programu SWWS autorstwa Michała Krzemińskiego Krótkie informacje o programie można znaleźć zarówno w pliku readme.txt zamieszczonym w podkatalogu DANE jak i w zakładce O programie znajdującej

Bardziej szczegółowo

Metody statystyczne kontroli jakości i niezawodności Lekcja II: Karty kontrolne.

Metody statystyczne kontroli jakości i niezawodności Lekcja II: Karty kontrolne. Metody statystyczne kontroli jakości i niezawodności Lekcja II: Karty kontrolne. Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej Karty kontroli jakości: przypomnienie Załóżmy, że chcemy mierzyć pewną charakterystykę.

Bardziej szczegółowo

Makropolecenia w Excelu

Makropolecenia w Excelu Makropolecenia w Excelu Trochę teorii Makropolecenie w skrócie nazywane makro ma za zadanie automatyczne wykonanie powtarzających się po sobie określonych czynności. Na przykładzie arkusza kalkulacyjnego

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA wykład 5-6

STATYSTYKA wykład 5-6 TATYTYKA wykład 5-6 Twierdzenia graniczne Rozkłady statystyk z próby Wanda Olech Twierdzenia graniczne Jeżeli rozpatrujemy ciąg zmiennych losowych {X ; X ;...; X n }, to zdarza się, że ich rozkłady przy

Bardziej szczegółowo

ANALIZA STATYSTYCZNA WYNIKÓW BADAŃ

ANALIZA STATYSTYCZNA WYNIKÓW BADAŃ ANALIZA STATYSTYCZNA WYNIKÓW BADAŃ Dopasowanie rozkładów Dopasowanie rozkładów- ogólny cel Porównanie średnich dwóch zmiennych 2 zmienne posiadają rozkład normalny -> test parametryczny (t- studenta) 2

Bardziej szczegółowo

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład

Bardziej szczegółowo

TYPY MODELOWYCH STRATEGII INWESTYCYJNYCH

TYPY MODELOWYCH STRATEGII INWESTYCYJNYCH ZAŁĄCZNIK NR 1 DO REGULAMINU TYPY MODELOWYCH STRATEGII INWESTYCYJNYCH W ramach Zarządzania, Towarzystwo oferuje następujące Modelowe Strategie Inwestycyjne: 1. Strategia Obligacji: Cel inwestycyjny: celem

Bardziej szczegółowo

Analiza Statystyczna

Analiza Statystyczna Lekcja 5. Strona 1 z 12 Analiza Statystyczna Do analizy statystycznej wykorzystać można wbudowany w MS Excel pakiet Analysis Toolpak. Jest on instalowany w programie Excel jako pakiet dodatkowy. Oznacza

Bardziej szczegółowo

PODSTAWOWE ANALIZY I WIZUALIZACJA Z WYKORZYSTANIEM MAP W STATISTICA

PODSTAWOWE ANALIZY I WIZUALIZACJA Z WYKORZYSTANIEM MAP W STATISTICA PODSTAWOWE ANALIZY I WIZUALIZACJA Z WYKORZYSTANIEM MAP W STATISTICA Krzysztof Suwada, StatSoft Polska Sp. z o.o. Wstęp Wiele różnych analiz dotyczy danych opisujących wielkości charakterystyczne bądź silnie

Bardziej szczegółowo

Narzędzia statystyczne i ekonometryczne. Wykład 1. dr Paweł Baranowski

Narzędzia statystyczne i ekonometryczne. Wykład 1. dr Paweł Baranowski Narzędzia statystyczne i ekonometryczne Wykład 1 dr Paweł Baranowski Informacje organizacyjne Wydział Ek-Soc, pok. B-109 pawel@baranowski.edu.pl Strona: baranowski.edu.pl (w tym materiały) Konsultacje:

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Laboratorium III: Testy statystyczne. Inżynieria biomedyczna, I rok, semestr letni 2013/2014 Analiza danych pomiarowych

Spis treści. Laboratorium III: Testy statystyczne. Inżynieria biomedyczna, I rok, semestr letni 2013/2014 Analiza danych pomiarowych 1 Laboratorium III: Testy statystyczne Spis treści Laboratorium III: Testy statystyczne... 1 Wiadomości ogólne... 2 1. Krótkie przypomnienie wiadomości na temat testów statystycznych... 2 1.1. Weryfikacja

Bardziej szczegółowo

Analiza zależności liniowych

Analiza zależności liniowych Narzędzie do ustalenia, które zmienne są ważne dla Inwestora Analiza zależności liniowych Identyfikuje siłę i kierunek powiązania pomiędzy zmiennymi Umożliwia wybór zmiennych wpływających na giełdę Ustala

Bardziej szczegółowo

SPIS TEŚCI CZĘŚĆ I RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

SPIS TEŚCI CZĘŚĆ I RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA SPIS TEŚCI PRZEDMOWA...13 CZĘŚĆ I RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. ZDARZENIA LOSOWE I PRAWDOPODOBIEŃSTWO...17 1.1. UWAGI WSTĘPNE... 17 1.2. ZDARZENIA LOSOWE... 17 1.3. RELACJE MIĘDZY ZDARZENIAMI... 18 1.4.

Bardziej szczegółowo

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0. 5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,

Bardziej szczegółowo

4.2. Ustawienia programu

4.2. Ustawienia programu 4.2. Ustawienia programu Zmiana wielkości dokumentu Pracując w programie MS Excel 2010 niejednokrotnie doświadczysz sytuacji, w której otwarty przez Ciebie arkusz nie będzie mieścił się na ekranie monitora.

Bardziej szczegółowo

RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH

RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH Piotr Konieczka Katedra Chemii Analitycznej Wydział Chemiczny Politechnika Gdańska Równoważność metod??? 2 Zgodność wyników analitycznych otrzymanych z wykorzystaniem porównywanych

Bardziej szczegółowo

ROC Rate of Charge. gdzie ROC wskaźnik szybkości zmiany w okresie n, x n - cena akcji na n-tej sesji,

ROC Rate of Charge. gdzie ROC wskaźnik szybkości zmiany w okresie n, x n - cena akcji na n-tej sesji, ROC Rate of Charge Analityk techniczny, który w swej analizie opierałby się wyłącznie na wykresach uzyskiwałby obraz możliwości inwestycyjnych obarczony sporym ryzykiem. Wnioskowanie z wykresów bazuje

Bardziej szczegółowo

Podstawy inwestowania na rynku Forex, rynku towarowym oraz kontraktów CFD

Podstawy inwestowania na rynku Forex, rynku towarowym oraz kontraktów CFD Podstawy inwestowania na rynku Forex, rynku towarowym oraz Poradnik Inwestora Numer 12 Admiral Markets Sp. z o.o. ul. Aleje Jerozolimskie 133 lok.34 02-304 Warszawa e-mail: Info@admiralmarkets.pl Tel.

Bardziej szczegółowo

Modelowanie komputerowe

Modelowanie komputerowe Modelowanie komputerowe wykład 1- Generatory liczb losowych i ich wykorzystanie dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Akademia im. Jana Długosza w Częstochowie 5,12 października 2016 r.

Bardziej szczegółowo

Metoda Karnaugh. B A BC A

Metoda Karnaugh. B A BC A Metoda Karnaugh. Powszechnie uważa się, iż układ o mniejszej liczbie elementów jest tańszy i bardziej niezawodny, a spośród dwóch układów o takiej samej liczbie elementów logicznych lepszy jest ten, który

Bardziej szczegółowo

oferty kupujących oferty wytwórców

oferty kupujących oferty wytwórców Adam Bober Rybnik, styczeń Autor jest pracownikiem Wydziału Rozwoju Elektrowni Rybnik S.A. Artykuł stanowi wyłącznie własne poglądy autora. Jak praktycznie zwiększyć obrót na giełdzie? Giełda jako jedna

Bardziej szczegółowo

Sposoby opisu i modelowania zakłóceń kanałowych

Sposoby opisu i modelowania zakłóceń kanałowych INSTYTUT TELEKOMUNIKACJI ZAKŁAD RADIOKOMUNIKACJI Instrukcja laboratoryjna z przedmiotu Podstawy Telekomunikacji Sposoby opisu i modelowania zakłóceń kanałowych Warszawa 2010r. 1. Cel ćwiczeń: Celem ćwiczeń

Bardziej szczegółowo

Testy nieparametryczne

Testy nieparametryczne Testy nieparametryczne Testy nieparametryczne możemy stosować, gdy nie są spełnione założenia wymagane dla testów parametrycznych. Stosujemy je również, gdy dane można uporządkować według określonych kryteriów

Bardziej szczegółowo

Monte Carlo, bootstrap, jacknife

Monte Carlo, bootstrap, jacknife Monte Carlo, bootstrap, jacknife Literatura Bruce Hansen (2012 +) Econometrics, ze strony internetowej: http://www.ssc.wisc.edu/~bhansen/econometrics/ Monte Carlo: rozdział 8.8, 8.9 Bootstrap: rozdział

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM Z FIZYKI

LABORATORIUM Z FIZYKI LABORATORIUM Z FIZYKI LABORATORIUM Z FIZYKI I PRACOWNIA FIZYCZNA C w Gliwicach Gliwice, ul. Konarskiego 22, pokoje 52-54 Regulamin pracowni i organizacja zajęć Sprawozdanie (strona tytułowa, karta pomiarowa)

Bardziej szczegółowo

INSTRUMENTY ZARZĄDZANIA RYZYKIEM NOTOWANE NA WARSZAWSKIEJ GIEŁDZIE PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH. Streszczenie

INSTRUMENTY ZARZĄDZANIA RYZYKIEM NOTOWANE NA WARSZAWSKIEJ GIEŁDZIE PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH. Streszczenie Karol Klimczak Studenckie Koło Naukowe Stosunków Międzynarodowych TIAL przy Katedrze Stosunków Międzynarodowych Wydziału Ekonomiczno-Socjologicznego Uniwersytetu Łódzkiego INSTRUMENTY ZARZĄDZANIA RYZYKIEM

Bardziej szczegółowo

Transformacja współrzędnych geodezyjnych mapy w programie GEOPLAN

Transformacja współrzędnych geodezyjnych mapy w programie GEOPLAN Transformacja współrzędnych geodezyjnych mapy w programie GEOPLAN Program GEOPLAN umożliwia zmianę układu współrzędnych geodezyjnych mapy. Można tego dokonać przy udziale oprogramowania przeliczającego

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja parametrów w strategiach inwestycyjnych dla event-driven tradingu - metodologia badań

Optymalizacja parametrów w strategiach inwestycyjnych dla event-driven tradingu - metodologia badań Raport 1/2015 Optymalizacja parametrów w strategiach inwestycyjnych dla event-driven tradingu - metodologia badań autor: Michał Osmoła INIME Instytut nauk informatycznych i matematycznych z zastosowaniem

Bardziej szczegółowo

Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych. Wykład tutora na bazie wykładu prof. Marka Stankiewicza

Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych. Wykład tutora na bazie wykładu prof. Marka Stankiewicza Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych Wykład tutora na bazie wykładu prof. Marka Stankiewicza Po co zajęcia w I Pracowni Fizycznej? 1. Obserwacja zjawisk i

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI

WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI WYKŁAD 8 ANALIZA REGRESJI Regresja 1. Metoda najmniejszych kwadratów-regresja prostoliniowa 2. Regresja krzywoliniowa 3. Estymacja liniowej funkcji regresji 4. Testy istotności współczynnika regresji liniowej

Bardziej szczegółowo

Budowa sztucznych sieci neuronowych do prognozowania. Przykład jednostek uczestnictwa otwartego funduszu inwestycyjnego

Budowa sztucznych sieci neuronowych do prognozowania. Przykład jednostek uczestnictwa otwartego funduszu inwestycyjnego Budowa sztucznych sieci neuronowych do prognozowania. Przykład jednostek uczestnictwa otwartego funduszu inwestycyjnego Dorota Witkowska Szkoła Główna Gospodarstwa Wiejskiego w Warszawie Wprowadzenie Sztuczne

Bardziej szczegółowo

Instrukcja użytkownika programu

Instrukcja użytkownika programu Instrukcja użytkownika programu Autorem części wzorów (metody przybliżone dla trendu wykładniczego i potęgowego) jest prof. zw. dr hab. inż. Jan Purczyński z Katedry Metod Ilościowych Uniwersytetu Szczecińskiego.

Bardziej szczegółowo

Ruch jednostajnie przyspieszony wyznaczenie przyspieszenia

Ruch jednostajnie przyspieszony wyznaczenie przyspieszenia Doświadczenie: Ruch jednostajnie przyspieszony wyznaczenie przyspieszenia Cele doświadczenia Celem doświadczenia jest zbadanie zależności drogi przebytej w ruchu przyspieszonym od czasu dla kuli bilardowej

Bardziej szczegółowo

znajdowały się różne instrukcje) to tak naprawdę definicja funkcji main.

znajdowały się różne instrukcje) to tak naprawdę definicja funkcji main. Część XVI C++ Funkcje Jeśli nasz program rozrósł się już do kilkudziesięciu linijek, warto pomyśleć o jego podziale na mniejsze części. Poznajmy więc funkcje. Szybko się przekonamy, że funkcja to bardzo

Bardziej szczegółowo

Wykład 2: Grupowanie danych (szeregi statystyczne) + porady dotyczące analizy danych w programie STATISTICA

Wykład 2: Grupowanie danych (szeregi statystyczne) + porady dotyczące analizy danych w programie STATISTICA Wykład 2: Grupowanie danych (szeregi statystyczne) + porady dotyczące analizy danych w programie STATISTICA Dobór metody prezentacji danych Dobór metody prezentacji danych zależy od: charakteru danych

Bardziej szczegółowo

istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy

istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy MODEL REGRESJI LINIOWEJ. METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW Analiza regresji zajmuje się badaniem zależności pomiędzy interesującymi nas wielkościami (zmiennymi), mające na celu konstrukcję modelu, który dobrze

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Historia. Definicja

Logarytmy. Historia. Definicja Logarytmy Historia Logarytmy po raz pierwszy pojawiły się w książce szkockiego matematyka - Johna Nepera "Opis zadziwiających tablic logarytmów" z 1614 roku. Szwajcarski astronom i matematyk Jost Burgi

Bardziej szczegółowo

Analiza inwestycji i zarządzanie portfelem SPIS TREŚCI

Analiza inwestycji i zarządzanie portfelem SPIS TREŚCI Analiza inwestycji i zarządzanie portfelem Frank K. Reilly, Keith C. Brown SPIS TREŚCI TOM I Przedmowa do wydania polskiego Przedmowa do wydania amerykańskiego O autorach Ramy książki CZĘŚĆ I. INWESTYCJE

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna i ekonometria

Statystyka matematyczna i ekonometria Statystyka matematyczna i ekonometria prof. dr hab. inż. Jacek Mercik B4 pok. 55 jacek.mercik@pwr.wroc.pl (tylko z konta studenckiego z serwera PWr) Konsultacje, kontakt itp. Strona WWW Elementy wykładu.

Bardziej szczegółowo

Instytut Politechniczny Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa. Diagnostyka i niezawodność robotów

Instytut Politechniczny Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa. Diagnostyka i niezawodność robotów Instytut Politechniczny Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa Diagnostyka i niezawodność robotów Laboratorium nr 3 Generacja realizacji zmiennych losowych Prowadzący: mgr inż. Marcel Luzar Cele ćwiczenia: Generowanie

Bardziej szczegółowo

Rozdział ten zawiera informacje o sposobie konfiguracji i działania Modułu OPC.

Rozdział ten zawiera informacje o sposobie konfiguracji i działania Modułu OPC. 1 Moduł OPC Moduł OPC pozwala na komunikację z serwerami OPC pracującymi w oparciu o model DA (Data Access). Dzięki niemu można odczytać stan obiektów OPC (zmiennych zdefiniowanych w programie PLC), a

Bardziej szczegółowo

1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba)

1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) 1. Liczby wymierne. - wartość bezwzględna liczby. dla 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) - dla < 0 ( wartością bezwzględną liczby ujemnej jest liczba do niej przeciwna) W interpretacji

Bardziej szczegółowo

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Funkcje zespolone Complex functions Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Matematyka Poziom kwalifikacji: I stopnia Liczba

Bardziej szczegółowo

Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby

Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby Przypomnijmy Populacja Próba Wielkość N n Średnia Wariancja Odchylenie standardowe 4.2 Rozkład statystyki Mówimy, że rozkład statystyki (1) jest dokładny,

Bardziej szczegółowo

O ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ I MEDIANIE

O ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ I MEDIANIE Ryszard Zieliński, IMPAN Warszawa O ŚREDNIEJ ARYTMETYCZNEJ I MEDIANIE XXXIX Ogólnopolska Konferencja Zastosowań Matematyki Zakopane-Kościelisko 7-14 września 2010 r Model statystyczny pomiaru: wynik pomiaru

Bardziej szczegółowo