Przemysław Pawełczyk. Twierdzenia matematyczne

Transkrypt

1 Przemysław Pawełczyk Twierdzeia matematycze

2 2 Spis treści Spis treści 1. Ozaczeia Nierówości fukcyje Nierówość Jesea Uogólioa ierówość Jesea Nierówość Hardy ego-littlewooda-pólya i Nierówości klasycze Nierówość Beroulliego Nierówość Cauchy ego Nierówość Cauchy ego-schwarza Nierówości Czebyszewa Uogólioe ierówości Czebyszewa Nierówość Höldera Nierówość Maclauria Nierówość Mikowskiego Nierówość Radoa Tożsamości dla ciągów Tożsamość Abela Tożsamość Czebyszewa Tożsamość Lagrage a Tożsamości teorioliczbowe Tożsamość Hermite a Wzór Dirichleta Wzór sumacyjy a sumę dzielików liczby aturalej Twierdzeia dotyczące ciągów i fukcji Twierdzeie (o dzieleiu z resztą Twierdzeie (o krotości pierwiastka Twierdzeie Bèzouta Kryterium Eisesteia ierozkładalości wielomiaów Wzory Viète a Zadadicze twierdzeie algebry Twierdzeie Stolza Twierdzeie Bolzao-Cauchy ego Twierdzeie Catora Twierdzeie Weierstrassa Twierdzeie Fermata Twierdzeie Darboux I Twierdzeie Darboux II Twierdzeie Rolle a Twierdzeie Lagrage a (twierdzeie o wartości średiej Twierdzeie Cauchy ego (uogólioe twierdzeie o wartości średiej Twierdzeia geometrycze Czwarta cecha przystawaia trójkątów Twierdzeia Carota Twierdzeie Cevy Twierdzeie Cevy - wersja trygoometrycza Twierdzeie Cramera Twierdzeie Eulera (o wielościaie Uogólioe twierdzeie Eulera (o -wymiarowym wielościaie Schläfliego Twierdzeie Helly ego Twierdzeie Helly ego-radoa

3 Spis treści Twierdzeie Newtoa Twierdzeia Simsoa Twierdzeia Stewarta Twierdzeia Va Aubela Twierdzeia teorioliczbowe Twierdzeie (zależość między NWD a NWW Zasadicze twierdzeie arytmetyki Twierdzeie (o przedstawieiu liczby w postaci iloczyu liczb pierwszych Twierdzeie (o istieiu formy liiowej dla NWD Twierdzeie (o implikacji kogruecji Twierdzeie (o liczbie dzielików Twierdzeie (o sumie dzielików Twierdzeie (o liczbie dzielików względie pierwszych z Twierdzeie Eulera I Twierdzeie Eulera II Małe twierdzeie Fermata Twierdzeie Lagrage a Twierdzeie Leibiza Twierdzeie Wilsoa Uogólieie twierdzeń Leibiza i Wilsoa Literatura

4 4 Spis treści

5 1. Ozaczeia Ozaczeie R 0+ P Θ( ϕ( σ( [x] a b (mod d a b xi1... x ik Zaczeie R \ R zbiór liczb pierwszych liczba dzielików liczba dzielików miejszych od i względie pierwszych z suma dzielików część całkowita liczby x d a b x i1... x ik 1 i 1 <...<i k a a 1 < a 2 <... < a a a 1 a 2... a a a 1 > a 2 >... > a a a 1 a 2... a a a 1 = a 2 =... = a a p NWD(a, p = 1 f ( (x -ta pochoda fukcji f(x ( 1 m 2 a (mod p a c p = m N 1 m 2 a (mod p m N a i, b i R, a, b, (a 1, a 2,..., a (b 1, b 2,..., b d i a k i b k, i {1,..., 1} k=1 k=1 a k = k=1 b k k=1 a Jest to tzw. kogruecja. Mówimy, że a przystaje do b modulo d. b Jest to tzw. k-ty elemetary wielomia symetryczy zmieych (zway też k-tą formą symetryczą. c Jest to tzw. symbol Legedre a. d Mówimy, że ciąg/wektor (a 1, a 2,..., a majoryzuje ciąg/wektor (b 1, b 2,..., b. 5

6 6 3. Nierówości klasycze 2. Nierówości fukcyje 2.1. Nierówość Jesea f : X R, x i X, p i R 0+, p i = 1 f( p i x i p i f(x i f( p i x i p i f(x i f - wypukła f - wklęsła Dowód: [5] str Uogólioa ierówość Jesea f : R d R, X i R d, p i R 0+, p i = 1 f( p i X i p i f(x i f( p i X i p i f(x i f - wypukła f - wklęsła Dowód: [5] str Nierówość Hardy ego-littlewooda-pólya i f : R R wypukła, (a 1, a 2,..., a (b 1, b 2,..., b f(a i f(b i Dowód: [6] rozdział 2.24, twierdzeia 1 i 2 3. Nierówości klasycze 3.1. Nierówość Beroulliego, x R, x > 1, x 0, 0, 1 (1 + x < 1 + x (0, 1 (1 + x > 1 + x (, 0 (1, + Dowód: z ierówości Jesea (f(x = l x, x 1 = 1 + x, x 2 = 1, p 1 = 1, p 2 = Nierówość Cauchy ego a i R 0+ a i a i = a Dowód: z ierówości Jesea (f(x = e x, x i = l a i, p i = 1

7 3.3. Nierówość Cauchy ego-schwarza Nierówość Cauchy ego-schwarza a i, b i R = t R i {1,...,} a i = tb i a i b i a 2 i b 2 i Dowód: z ierówości Jesea (f(x = x 2, x i = a i b i, p i = b2 i b 2 k k= Nierówości Czebyszewa a i, b i R = a b ( ( a i b i ( ( a i b i a i b i a i b i 3.5. Uogólioe ierówości Czebyszewa a i, b i R +, k N a k k i b k k i (a i b i k k a k k i b k k i (a i b i k k = a b a b a b a b a b a b a b a b a b 3.6. Nierówość Höldera 1 a i, b i R +, p, q > 1, + 1 = 1 p q a i b i p a p i q b q i Dowód: z ierówości Jesea (f(x = x p, x i = a i b 1 q i, p i = bq i 3.7. Nierówość Maclauria b q k k=1 x i R 0+ 1 ( m k (x 1,..., x = k xi1... x ik k m 1 (x 1,..., x m 2 (x 1,..., x... m (x 1,..., x = a Dowód: [5] str. 97

8 8 5. Tożsamości teorioliczbowe 3.8. Nierówość Mikowskiego a i, b i R +, k N \ {1} k (a i + b i k k a k i + k b k i Dowód: z ierówości Jesea (f(x = l(1 + e x, x i = l a i b i, p i =? 3.9. Nierówość Radoa a i, b i, p R + a p+1 i b p i ( p+1 a i ( p b i 4. Tożsamości dla ciągów 4.1. Tożsamość Abela a i, b i R ( 1 i a i b i = (a i a i+1 b k + a b i k= Tożsamość Czebyszewa a i, b i R ( ( 1 a i b i = a i b i 4.3. Tożsamość Lagrage a a i, b i R 5. Tożsamości teorioliczbowe 1 i<j (a i a j (b i b j ( 1 2 ( ( a i b i = a 2 i b 2 i (a i b j a j b j 2 1 i<j 5.1. Tożsamość Hermite a m N, x R Dowód: [9] str Wzór Dirichleta x R + \ (0, 1 Dowód: [9] str. 126 [x] m 1 k=1 [ x + k m ] = [mx] [ x] [ ] x Θ(i = 2 [ ] 2 x =1

9 5.3. Wzór sumacyjy a sumę dzielików liczby aturalej Wzór sumacyjy a sumę dzielików liczby aturalej x R + \ (0, 1 [x] σ(i = 1 [ x] [ ([ ] x x =1 ] [ ] 2 ([ ] x x Twierdzeia dotyczące ciągów i fukcji 6.1. Twierdzeie (o dzieleiu z resztą Dla dowolych wielomiaów P (x i W (x, gdzie W (x 0, istieje dokładie jeda para wielomiaów Q(x i R(x takich, że P (x Q(xW (x + R(x st R(x < st W (x st R(x Twierdzeie (o krotości pierwiastka Liczba a jest -krotym pierwiastkiem wielomiau P (x wtedy i tylko wtedy gdy P (k (a = 0 P ( (a 0 Dowód: [8] str Twierdzeie Bèzouta k {0,1,..., 1} Reszta z dzieleia wielomiau P (x przez dwumia x a wyosi P (a Kryterium Eisesteia ierozkładalości wielomiaów Jeżeli współczyiki wielomiau P (x = a x + a 1 x a 1 x + a 0 są całkowite i jeżeli istieje taka liczba pierwsza p, że współczyiki a 0, a 1,..., a 1 są podziele przez p, a ie jest podziele przez p oraz a 0 ie jest podziele przez p 2, to wielomia P (x jest ierozkładaly w zbiorze liczb wymierych Wzory Viète a Liczby x 1, x 2,..., x są pierwiastkami wielomiau a x + a 1 x a 1 x + a 0 (gdzie a 0, wtedy i tylko wtedy, gdy spełioe są rówości: 6.6. Zadadicze twierdzeie algebry x i = a 1 a a xi x j = 2 a. xi1 x i2... x ik = ( 1 k a k a. x i = ( 1 a0 a Każdy wielomia dodatiego stopia ma pierwiastek zespoloy.

10 10 6. Twierdzeia dotyczące ciągów i fukcji 6.7. Twierdzeie Stolza Jeżeli x, y + i N >N y +1 > y to x x x 1 lim = lim y y y 1 o ile istieje graica po prawej stroie (skończoa lub ieskończoa. Dowód: [2] str Twierdzeie Bolzao-Cauchy ego Jeżeli fukcja f : [a, b] R jest ciągła oraz f(a f(b < 0, to Dowód: [2] str Twierdzeie Catora c (a,b f(c = 0 Jeżeli fukcja f : [a, b] R jest ciągła, to jest rówież jedostajie ciągła w [a, b]. Dowód: [2] str Twierdzeie Weierstrassa Jeżeli fukcja f : [a, b] R jest ciągła, to jest ograiczoa a przedziale [a, b] oraz x 1,x 2 [a,b] Dowód: [2] str Twierdzeie Fermata f(x 1 = if{f(x; x [a, b]} f(x 2 = sup{f(x; x [a, b]} Jeżeli fukcja f : X R, gdzie X R jest przedziałem, osiąga w pewym pukcie wewętrzym x 0 tego przedziału wartość ajwiększą lub wartość ajmiejszą oraz istieje f (x 0, to Dowód: [2] str Twierdzeie Darboux I f (x 0 = 0 Jeżeli fukcja f : [a, b] R jest ciągła oraz f(a f(b, to Twierdzeie Darboux II y (f(a,f(b c (a,b f(c = y Jeżeli fukcja f : [a, b] R jest różiczkowala oraz f (a f (b, to Dowód: [2] str. 194 y (f (a,f (b c (a,b f (c = y

11 6.14. Twierdzeie Rolle a Twierdzeie Rolle a Jeżeli fukcja f : [a, b] R jest ciągła oraz różiczkowala (co ajmiej w przedziale otwartym (a, b i f(a = f(b, to f (c = 0 Dowód: [2] str. 195 c (a,b Twierdzeie Lagrage a (twierdzeie o wartości średiej Jeżeli fukcja f : [a, b] R jest ciągła oraz różiczkowala (co ajmiej w przedziale otwartym (a, b, to f f(b f(a (c = b a Dowód: [2] str. 196 c (a,b Twierdzeie Cauchy ego (uogólioe twierdzeie o wartości średiej Jeżeli fukcje f : [a, b] R, g : [a, b] R są ciągłe oraz różiczkowale (co ajmiej w przedziale otwartym (a, b i g (x 0 w przedziale (a, b, to Dowód: [2] str. 199 c (a,b f (c g (c = f(b f(a g(b g(a 7. Twierdzeia geometrycze 7.1. Czwarta cecha przystawaia trójkątów Jeżeli dwa boki jedego trójkąta są odpowiedio rówe dwóm bokom drugiego trójkąta i jeżeli kąty trójkątów leżące aprzeciw większych z owych boków są rówe, to trójkąty są przystające. Dowód: [10] str Twierdzeia Carota 1. Jeżeli prosta przecia boki A 1 A 2, A 2 A 3,..., A A 1 wielokąta płaskiego A 1 A 2... A lub ich przedłużeia odpowiedio w puktach M 1, M 2,..., M, to: 2. Jeżeli płaszczyza przecia boki A 1 A 2, A 2 A 3,..., A A 1 wieloboku przestrzeego A 1 A 2... A lub ich przedłużeia odpowiedio w puktach M 1, M 2,..., M, to: 7.3. Twierdzeie Cevy A 1 M 1 M 1 A 2 A2M 2 M 2 A 3... AM M A 1 = 1 Jeżeli proste AS, BS, CS przeciają odpowiedio boki BC, CA, AB trójkąta ABC lub ich przedłużeia w puktach N, P, M, przy czym pukt S ie leży a żadej z prostych AB, BC, CA, to AM MB BN NC CP P A = 1

12 12 7. Twierdzeia geometrycze 7.4. Twierdzeie Cevy - wersja trygoometrycza Jeżeli proste AS, BS, CS przeciają odpowiedio boki BC, CA, AB trójkąta ABC lub ich przedłużeia w puktach M, N, P, przy czym pukt S ie leży a żadej z prostych AB, BC, CA, to si MAB si NBC si P CA si CAM si ABC si BCP = Twierdzeie Cramera Spośród wszystkich wielokątów o daych bokach a 1, a 2,..., a (gdzie 3 ajwiększe pole ma wielokąt wpisay w koło Twierdzeie Eulera (o wielościaie Jeżeli wielościa jest wypukły, lub moża go w sposób ciągły przekształcić a wypukły, to w + s = k + 2 gdzie w to liczba wierzchołków wielościau, s - liczba ścia, k - liczba krawędzi. Dowód: [12] str Uogólioe twierdzeie Eulera (o -wymiarowym wielościaie Schläfliego Jeżeli przez N k ozaczymy liczbę komórek k-wymiarowych w -wymiarowym wielościaie (k < to: 7.8. Twierdzeie Helly ego 1 i=0 ( 1 i N i = 1 ( 1 Jeżeli a płaszczyźie daa jest pewa iepusta rodzia zbiorów wypukłych taka, że każde trzy zbiory tej rodziy mają pukt wspóly, to istieje pukt ależący do wszystkich zbiorów tej rodziy. Dowód: [4] str Twierdzeie Helly ego-radoa Jeżeli figury wypukłe F 1, F 2,..., F ( k + 1 są położoe w przestrzei k-wymiarowej w taki sposób, że każde k + 1 z ich mają (co ajmiej jede pukt wspóly, to wszystkie figury mają (co ajmiej jede pukt wspóly Twierdzeie Newtoa W czworokącie opisaym a kole odciki łączące pukty styczości boków przeciwległych z kołem przechodzą przez pukt przecięcia przekątych czworokąta. Dowód: [10] str Twierdzeia Simsoa Czworokąt wypukły ABCD moża wpisać w okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy rzuty prostokąte wierzchołka D a proste AB, BC, CA leżą a jedej prostej.

13 7.12. Twierdzeia Stewarta Twierdzeia Stewarta Jeżeli pukt D ależy do boku AB trójkąta ABC, to Twierdzeia Va Aubela CD AD CD BD = AC AB AC AD + BC AB BC BD 1 Jeżeli proste AS, BS, CS przeciają odpowiedio boki BC, CA, AB trójkąta ABC lub ich przedłużeia w puktach P, Q, R, przy czym pukt S ie leży a żadej z prostych AB, BC, CA, to AS SP = AR RB + AQ QC 8. Twierdzeia teorioliczbowe 8.1. Twierdzeie (zależość między NWD a NWW Jeżeli a, b N to a b = NWD(a, b NWW(a, b Dowód: [9] str Zasadicze twierdzeie arytmetyki Liczba dzieląca iloczy dwóch liczb i pierwsza względem jedego z czyików jest dzielikiem drugiego czyika. Dowód: [9] str Twierdzeie (o przedstawieiu liczby w postaci iloczyu liczb pierwszych Każda liczba całkowita > 1, która ie jest liczbą pierwszą, daje się przedstawić jako iloczy samych tylko czyików pierwszych i to tylko w jede sposób. Dowód: [9] str Twierdzeie (o istieiu formy liiowej dla NWD NWD(a, b = aξ + bη Dowód: [9] str. 27 a,b Z ξ,η Z a 0 b Twierdzeie (o implikacji kogruecji Jeśli P (x jest wielomiaem całkowitym o współczyikach całkowitych oraz zachodzi kogruecja a b (mod m to implikuje oa kogruecję Dowód: [9] str. 47 P (a P (b (mod m

14 14 8. Twierdzeia teorioliczbowe 8.6. Twierdzeie (o liczbie dzielików Jeżeli przedstawimy jako p α 1 1 p α p α k k Dowód: [9] str Twierdzeie (o sumie dzielików Jeżeli przedstawimy jako p α 1 1 p α p α k k Dowód: [9] str. 115 gdzie p i P, a α i N 0 to k Θ( = (α i + 1 σ( = gdzie p i P, a α i N 0 to k p α i+1 i 1 p i Twierdzeie (o liczbie dzielików względie pierwszych z Jeżeli > 1 jest liczbą aturalą oraz = p α 1 1 p α p α k k iloczyu różych potęg liczb pierwszych, to k ϕ( = (1 1pi jest jej przedstawieiem w postaci 8.9. Twierdzeie Eulera I Jeżeli a Z, p P i p a to a p 1 2 ( a p (mod p Twierdzeie Eulera II Jeżeli a, N i a to Małe twierdzeie Fermata Jeżeli a Z, p P i p a to a ϕ( 1 a p 1 1 (mod p Twierdzeie Lagrage a Liczba pierwsza p występuje w rozkładzie liczby! a czyiki pierwsze w potędze o wykładiku [ ] m α = p m < p m+1 p i Dowód: [5] str Twierdzeie Leibiza Na to, by liczba p > 1 była pierwsza, potrzeba i wystarcza, żeby zachodziła kogruecja (p 2! 1 (mod p

15 8.14. Twierdzeie Wilsoa Twierdzeie Wilsoa Jeżeli p P, to Dowód: [9] str. 57 p (p 1! Uogólieie twierdzeń Leibiza i Wilsoa Na to, by liczba całkowita p > 1 była pierwsza, potrzeba i wystarcza, żeby (p 1!! + ( 1 0 (mod p {0,1,...,p 1}

16 16 Literatura Literatura [1] J. Browki, J. Rempała, S. Straszewicz, 25 lat olimpiady matematyczej, WSiP, Warszawa 1975 [2] G. M. Fichteholz, Rachuek różiczkowy i całkowy, Tom I, PWN, Warszawa 1976 [3] J. Góricki, Okruchy matematyki, PWN, Warszawa 1995 [4] I. M. Jagłom, W. G. Boltański, Figury wypukłe, PWN, 1955 [5] M. E. Kuczma, Olimpiady matematycze, Tom VIII, WSiP, Warszawa 2000 [6] D. S. Mitrović, Aalytic iequalities, Berli-Heidelberg-New York, 1970 [7] H. Pawłowski, Kółko matematycze dla olimpijczyków, Turpress, Toruń 1994 [8] H. Pawłowski, Zadaia z olimpiad matematyczych z całego świata, Tutor, Toruń 1997 [9] W. Sierpiński, Teoria Liczb, PWN, Warszawa-Wrocław 1950 [10] Sprawozdaie Komitetu Główego, V Olimpiada Matematycza, Olimpiada Matematycza, Warszawa 1955 [11] Sprawozdaie Komitetu Główego, LII Olimpiada Matematycza, Olimpiada Matematycza, Warszawa 2002 [12] J. Zydler, Geometria, Prószyński i S-ka, Warszawa 1997