Koherentna struktura wirów punktowych w zewnętrznym przepływie rozciągającym

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Koherentna struktura wirów punktowych w zewnętrznym przepływie rozciągającym"

Transkrypt

1 Koherentna struktura wirów punktowych w zewnętrznym przepływie rozciągającym Marcin Kurowski Warszawa, sierpień 2003 Promotor: dr Konrad Bajer Uniwersytet Warszawski, Wydział Fizyki, Instytut Geofizyki

2 Streszczenie W pracy został opisany problem oddziaływania struktury koherentnej, tworzonej przez wiry punktowe, z zewnętrznym przepływem rozciągającym. Eliptyczna chmura wirów pod nieobecność przepływu obraca się ze stałą prędkością kątową. Dodanie przepływu zaburza trwałość struktury, która może zostać rozerwana przez przepływ. niewielkich wartości natężenia przepływu chmura ewoluuje spokojnie. Dla Pojawiają się niewielkie oscylacje półosi elipsy, a jej prędkość kątowa ulega zmniejszeniu. Wzrost natężenia przepływu zewnętrznego zwiększa amplitudę oscylacji półosi oraz powiększa różnice pomiędzy minimalną, a maksymalną prędkością kątową elipsy. Pojawiają się efekty związane ze zbliżaniem się wirów w okolicę głównych punktów stagnacji: zwiększa się szansa na oderwanie się wiru od chmury oraz następuje zmiana kształtu eliptycznego na spiralny. Zwiększają się fluktuacje gęstości wirów w chmurze. Proces wyciekania wirowości powoduje zmniejszanie się obszaru stabilnego, wskutek czego następne wiry dostają się w obszar wymywania. Może odbywać się to gwałtownie (mamy wtedy natychmiastowe rozerwanie chmury przez przepływ), lub bardzo powoli (chmura traci małe ilości wirów w długim czasie). Dla krytycznej wartości natężenia przepływu elipsa ustawia się w okolicy kąta 4 1 π i ulegając spłaszczeniu zaczyna tracić wiry. W czasie tego procesu elipsa znajduje się na pograniczu dwóch przepływów o przeciwnych kierunkach, co jest przyczyną powstania niestabilności Kelvina-Helmholtza. Zaburzenia propagują się, powodując że duże fragmenty chmury zostają zabrane przez przepływ. Chmura rozpada się na ścieżkę mniejszych struktur wirowych.

3 Abstract A numerical analysis of the motion of elliptic region created by a group of identical point vortices in a uniform straining flow is given. The cloud of vortices rotates around its center of vorticity and axis ratio is being changed. The stronger strainig flow increases the amplitude of oscillations. Density of vortices becomes non-uniform. Fluctuations can be the reason of loosing a little groups of vortices. It can start the decay of the cloud. The process can go slowly (single vortices are being scrapped by the flow) or rapidly (vortices leave the structure, and the flow can penetrate the cloud deeper to pull out more vortices). The eliptic shape of the cloud can change into a spiral. At the critical value of the strain axis are rotated by angle of 4 1 π and two little streaks of vortices flow out from the cloud. As a consequence of the Kelvin-Helmholtz instability the cloud comes apart and a big structure becomes the vortex street.

4 Spis treści 1 Wstęp 5 2 Dynamika wirów punktowych Wir punktowy Równania ruchu Metoda wirów punktowych Wiry w zewnętrznym przepływie rozciagaj acym Para wirów w zewnętrznym przepływie rozciągającym Duża liczba wirów w zewnętrznym przepływie rozciągającym Analiza numeryczna Właściwości schematu Wyniki symulacji Mała struktura koherentna Duża struktura koherentna Podsumowanie 43 4

5 1 Wstęp Ewolucja wirowości, a zatem także ruch wirów, są obecne w każdym przepływie rzeczywistym. Z tej przyczyny dynamika wirów ma duże znaczenie praktyczne. Temat doczekał się bogatej literatury, niejednokrotnie przesyconej wyrafinowaną matematyką, a zakres badań jest zdumiewająco szeroki. Niniejsza praca porusza problem oddziaływania dużej struktury koherentnej, tworzonej przez wiry punktowe, z zewnętrznym przepływem rozciągającym. Twierdzenie Helmholtza mówi o tym, że w obszarze jednospójnym każde pole wektorowe (w naszym przypadku pole prędkości) można rozłożyć na sumę dwóch pól: u Φ Ψ (1) Pierwszy człon to część bezwirowa (w której mieści się cała dywergencja pola u), zaś drugi to część bezdywergencyjna (w której zawarta jest cała informacja o wirowości pola u). Dynamika drugiego członu tego równania odpowiada za zjawiska związane z ewolucją wirowości i właśnie ten człon jest dla nas najważniejszy. Równanie opisujące ewolucję pola wirowości dla przepływu nielepkiego i nieściśliwego ma postać: gdzie wirowość ω t ω u. u ω ω u (2) Równanie (2) posiada pewną bardzo użyteczną cechę. Dla przypadku dwuwymiarowego przejście ze zmiennych opisujących pole prędkości u x y do zmiennych opisujących pole wirowości ω 0 0 ω daje nam wygodny, jednoparametrowy opis zachowania się badanego pola. Dodatkowym atutem takiego podejścia jest naturalny podział obszaru przepływu na rejony unoszące wirowość bądź jej pozbawione, a co za tym idzie - rozdzielenie obszarów o różnych własnościach fizycznych. 5

6 2 Dynamika wirów punktowych 2.1 Wir punktowy Najprostszym modelem dwuwymiarowego przepływu wirowego jest wir punktowy. Definiują go w pełni dwie wielkości: tzw. siła wiru (czyli jego cyrkulacja) oraz położenie na płaszczyźnie. Można tu zauważyć pewną analogię do ładunku bądź masy punktowej, z tą subtelną różnicą, że wir pozbawiony jest namacalnej, fizycznej obecności jaką daje posiadanie masy. Konsekwencją tej cechy, co zobaczymy za chwilę, jest specyficzna postać równań ruchu. Jedyny sposób na wykrycie obecności wiru to obserwacja skutków jego oddziaływania na przepływ. Pole prędkości wiru punktowego wyrażone we współrzędnych biegunowych przybiera postać: u r ϕ k e ϕ (3) 2π r r 0 gdzie k jest cyrkulacją wiru, r 0 jego położeniem. Rotacja pola u jest równa zero w każdym punkcie płaszczyzny za wyjątkiem centrum wiru. Całka z rotacji po dowolnej powierzchni zawierającej środek wiru daje wynik różny od zera: u ds u dl k (4) S Zatem wirowość pola wynosi zero wszędzie poza jego centrum x 0 y 0, w którym jest nieskończona: ω k y 2 0 S δ x x 0 δ y y 0 e z (5) 2π x 2 0 Owa punktowa wirowość, tzw. rdzeń wiru, przybiera tutaj zdegenerowaną formę, niemniej każdy wir rzeczywisty posiada wokół centrum charakterystyczny obszar wirowości. Dla porównania rdzeń wiru Burgersa jest dwuwymiarową funkcją Gaussa z maksimum w centrum wiru. Warto wspomnieć, że wir punktowy nie jest jedynie tworem matematycznym. Takie wiry zostały zaobserwowane w nadciekłym helu (S.K. Niemirowski i W. Fiszdon 1995). 2.2 Równania ruchu Rozważamy dwuwymiarowy przepływ płynu nielepkiego i nieściśliwego. Pole prędkości w centrum każdego wiru jest superpozycją pól pozostałych wirów (wir nie oddziałuje sam ze sobą). Podobnie dzieje się w przypadku dynamiki mas punktowych, z tą różnicą, że cyrkulacja w odróżnieniu od masy może przybierać dowolny znak. Dodatkowo problem wirów punktowych, w odróżnieniu od problemu mas punktowych, 6

7 ograniczony jest do dwóch wymiarów. Dla przepływu w płaszczyźnie XY ogólna postać potencjału wektorowego: Ψ 0 0 Ψ (jest to konsekwencja równania (1)). Składowe pola prędkości wyglądają następująco: u dx dt gdzie Ψ jest funkcją prądu. Ψ y v dy dt Ψ x Wir nie posiadając masy podróżuje unoszony przez zewnętrzne pole prędkości, pochodzące od innych wirow. W swoim ruchu zachowuje się dokładnie tak samo jak pasywne elementy płynu unoszone przez przepływ, będąc jednocześnie źródłem zaburzającym pole, w którym poruszają się inne cząstki płynu (wiry). Równanie ruchu i - tego wiru wygląda następująco: dr i dt N j i (6) k j 2πr i j e ϕi j (7) gdzie e ϕi j jest wersorem prostopadłym do wektora łączącego centra pary wirow i j: e ϕi j e z r i r j r i r j Daje to układ 2N równań różniczkowych cząstkowych pierwszego rzędu, w pełni opisujących ruch N wirów: ẋ i ẏ i N j i N j i k j 2πr 2 i j k j 2πr 2 i j y i y j (8) x i x j (9) Dzięki swojej specyficznej postaci równania (8) i (9) dają się sprowadzić do układu równań kanonicznych: gdzie hamiltonian układu: H y i (10) k i ẏ i H x i (11) k i ẋ i H 1 4π k i k j ln r i j (12) i j Zmiennymi kanonicznymi układu są k i x i y i lub równoważnie x i k i y i, gdzie k i x i (lub x i ) na mocy (10) są położeniami uogólnionymi i odpowiednio y i (lub k i y i ) na mocy (11) 7

8 pędami uogólnionymi. Wypelnioną wirami płaszczyznę XY wyobrażać sobie można jako poglądowy obraz przestrzeni fazowej (2N-wymiarowej), w której oś OX jest kierunkiem położeń uogólnionych (odłożone są na niej wartości położeń uogólnionych każdego wiru), a oś OY kierunkiem pędów uogólnionych. Ponieważ układ posiada N położeń uogólnionych, ma także N stopni swobody. Innym możliwym podejściem jest potraktowanie płaszczyzny przepływu jako płaszczyzny zespolonej. Wówczas hamiltonian: H 1 2π k 1 i i k j ln z i z j (13) j N Istnienie hamiltonianu dla tego układu niesie ze sobą pewne konsekwencje. Ponieważ nie zależy on explicite od czasu, jest zatem całką ruchu. Nie zmienia się także przy translacji (jednorodność przestrzeni) i obrocie (izotropowość przestrzeni), co implikuje istnienie dodatkowych niezmienników: k i x i const (14) i i k i y i const (15) k i x 2 i i y 2 i const (16) Równanie (15) jest odpowiednikiem zasady zachowania pędu, zaś równanie (16) zasady zachowania momentu pędu. Środek wirowości (odpowiednik środka masy) takiego układu zdefiniowany jest jako: X Y 1 i k i i k i x i k i y i i (17) Równania ruchu (8) i (9) są całkowalne dla N 2 i 3. Dwa wiry poruszają się po okręgach o środku w centrum wirowości, który leży na prostej przechodzącej przez środki wirów i może znajdować się pomiędzy nimi (w przypadku jednakowych znaków cyrkulacji - mamy wtedy ruch planetarny), bądź poza nimi (przeciwne znaki cyrkulacji - ruch dipola po okręgu lub linii prostej). Odległość między wirami jest stałą ruchu. Układ trzech wirów jest minimalnym przypadkiem, dla którego pojawia się możliwość osiągnięcia nowych skal ruchu. W zależności od cyrkulacji i położeń początkowych może on ewoluować w rozmaity sposób. Odległości między wirami nie muszą być zachowane, a trójkąt którego są wierzchołkami może zmieniać swoją powierzchnię, obracać się wokół środka wirowości, rozszerzać do nieskończoności, a nawet w skończonym czasie zwinąć do punktu (wiry poruszają się wówczas po spiralach logarytmicznych), powodując scalenie trójki wirów (H. Aref 1979). Układ czterech i więcej wirów nie jest już całkowalny, 8

9 czego efektem jest chaotyczny ruch elementów, które go tworzą (H. Aref i N. Pomphrey 1982, H. Aref 1983, B. Eckhardt i H. Aref 1988). 2.3 Metoda wirów punktowych W 1858 roku Helmholtz wyprowadził podstawowe prawa rządzące dynamiką wirów, proponując po raz pierwszy model wiru punktowego. Do przedstawienia ruchu wirów najwygodniej używać opisu Lagrange owskiego, będąc w układzie podążającym za elementem płynu. Dla dwuwymiarowego przepływu nieściśliwego i nielepkiego wirowość każdego elementu płynu jest zachowana w czasie. Może być ona co najwyżej unoszona przez pole prędkości. Idąc dalej - w uproszczonej analizie przepływu rozważać można skończoną liczbę elementów płynu obdarzonych wirowością. Takimi elementami są wiry punktowe. Zatem wir rzeczywisty, charakteryzujący się ciągłym rozkładem wirowości, w pierwszym przybliżeniu zastępujemy chmurą wirów punktowych. Przy dużej liczbie wirów pojawia się problem chaotyczności układu. Gdy jednak wyróżnimy strukturę koherentną, skupiającą wiry o podobnych własnościach (ten sam znak cyrkulacji), możemy zredukować liczbę stopni swobody (tzw. zanik wewnętrznych stopni swobody), odwołując się do współrzędnych środka wirowości całej struktury i traktować ją jako jeden obiekt. Metoda znana jest pod nazwą metody wirów punktowych. Jej stosowalność z racji dużych uproszczeń (zaniedbanie lepkości) jest mocno ograniczona. Zaletą metody jest niewątpliwie fakt, że potrafi ona skomplikowany układ uczynić łatwiejszym, czy wręcz możliwym do przeanalizowania. 9

10 3 Wiry w zewnętrznym przepływie rozciągającym W dalszej części pracy będziemy rozważać wiry w zewnętrznym przepływie, którego funkcja prądu ma postać: Ψ Cxy (18) Zatem pole prędkości: u x y Cxe x Cye y (19) Od tej chwili ustalamy C 0. Rysunek 1: Linie pradu przepływu rozciagaj acego (19). Umieszczenie w takim przepływie wiru punktowego spowoduje, że wokół wiru pojawi się zamknięty obszar przepływu (lokalna dominacja pola prędkości). Jeśli wir zostanie umieszczony w punkcie stagnacji, kształt owego obszaru będzie przypominał kocie oko, a modyfikacja pola będzie trwała (ewentualnie w swoim położeniu początkowym wir może znajdować się na osi OY, wtedy nieskończenie długo będzie zmierzał w kierunku punktu stagnacji). W przeciwnym wypadku przepływ uniesie go wzdłuż osi OX do lub. Przeciwległe końce kociego oka są dwoma nowymi punktami stagnacji. Leżą one na prostej y x (dla dodatniej cyrkulacji wiru), lub y x (dla cyrkulacji ujemnej). Odległość punktów stagnacji od środka: R k 2πC (20) 10

11 Rysunek 2: Linie pradu dla przepływu z wirem punktowym umieszczonym w poczatku układu współrzędnych. Obszar w środku to tzw. kocie oko z dwoma punktami stagnacji na prostej y x. Kolorem niebieskim została oznaczona separatrysa. Odległość między punktami stagnacji wynosi 2k πc. 3.1 Para wirów w zewnętrznym przepływie rozciągającym W przepływie rozciągającym (19) umieszczamy parę wirów o jednoimiennych cyrkulacjach. Przy braku przepływu zewnętrznego rozwiązanie równań ruchu względem środka wirowości wygląda następująco: x 1 t r 12 k 2 k 1 k 2 cos Ωt y 1 t r 12 k 2 k 1 k 2 sin Ωt (21) x 2 t r 12 k 1 k 1 k 2 cos Ωt y 2 t r 12 k 1 k 1 k 2 sin Ωt (22) gdzie Ω k 1 k 2. r

12 W obecności przepływu równania ruchu wyglądają tak: x 1 k 2 y 1 y r 2 Cx (23) y 1 k 2 x 1 x r 2 Cy (24) x 2 k 1 y 2 y r 1 Cx (25) y 2 k 1 x 2 x 1 Cy 2 (26) Odległość między wirami r 12 nie jest już stałą ruchu. r 2 12 Zastanówmy się jak zmienia się położenie punktów stagnacji w zależności od odległości między wirami oraz ich ustawienia względem układu współrzędnych. Dla ustalenia uwagi weźmy parę wirów o jednakowych cyrkulacjach dodatnich k. Jeśli rozsuwamy je wzdłuż prostej y x, odległość punktów stagnacji zmienia się zgodnie ze wzorem: R d gdzie 2d jest odległością między wirami. k d πc 2 (27) Dla d 0 mamy przypadek jednego wiru o cyrkulacji rówej sumie cyrkulacji wirów, które go tworzą. Rozsunięcie wirów wzdłuż prostej wyznaczonej przez punkty stagnacji powoduje zwiększenie odległości między punktami, a tym samym powiększenie rozmiarów kociego oka. W sytuacji, gdy rozsuniemy wiry wzdłuż prostej prostopadłej do wyznaczonej przez punkty stagnacji, odległość między owymi punktami zmaleje: R d k πc d 2 (28) Spróbujmy teraz znaleźć ruch pary wirów punktowych umieszczonych w zewnętrznym przepływie. Policzmy najpierw jak zachowują się współrzędne środka wirowości (17): Ẋ 1 i k i i ẋ i 1 i k i i Cx i CX (29) Ẏ 1 i k i i ẏ i 1 i k i i Cy i CY (30) Prędkość środka wirowości jest taka sama jak prędkość przepływu zewnętrznego (19). Będzie on więc unoszony przez pole prędkości, czyli: X t X o e Ct (31) Y t Y o e Ct (32) Rozseparowanie ruchu układu na ruch środka wirowości i ruch wirów względem niego nie prowadzi do uproszczenia sytuacji. Dzieje się tak dlatego, że pole, w którym poruszają 12

13 się wiry, zależy od położenia środka wirowości (w przypadku braku przepływu sposób ten prowadzi do rozwiązania). Możemy jednak założyć, że szukamy tylko rozwiązań stacjonarnych (w sensie braku przemieszczeń środka wirowości), czyli żądamy aby środek wirowości pokrywał się z punktem stagnacji przepływu zewnętrznego. Mamy wówczas sytuację pewnej symetrii przepływu, która nie występuje w żadnym innym położeniu środka wirowości. Wtedy: Odległość między wirami: k 1 x 1 k 2 x 2 0 (33) k 1 y 1 k 2 y 2 0 (34) r 12 t x 1 t x 2 t 2 y 1 t y 2 t 2 (35) Po wykorzystaniu równań (33) i (34) r 12 jest postaci: lub równoważnie: r 12 t 1 k 1 k 2 x 1 t 2 y 1 t 2 (36) r 12 t 1 k 2 k 1 Równania ruchu można uprościć w ten sam sposób, otrzymując: x 2 t 2 y 2 t 2 (37) i podobnie: 1 k 1 k 2 x 2 1 ẋ 1 k 2 y 1 y k 1 k 2 x 2 1 ẏ 1 k 2 x 1 y 2 1 Cx 1 (38) Cy 1 (39) 1 k 2 k 1 x 2 2 ẋ 2 k 1 y 2 y k 2 k 1 x 2 2 ẏ 2 k 1 x 2 y 2 2 Cx 2 (40) Cy 2 (41) Pod nieobecność przepływu zewnętrznego (C 0), gdy r 12 jest stałe, zróżniczkowanie na przykład równania (38) z następnym podstawieniem za ẏ 1 równania (39) daje równanie oscylatora. Obecny przypadek jest bardziej skomplikowany, dostajemy dwa uwikłane równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu. Mnożąc drugie z nich (39) przez i i dodając (38) i (39) do siebie (lub równoważnie (40) i (41)) otrzymujemy: ż ia Cz (42) z 13

14 gdzie a k 2 2 k 1 k 2 dla równań (38) i (39), lub a k 2 1 k 1 k 2 dla równań (40) i (41). Ponieważ analitycznego rozwiązania nie widać, przeanalizujmy te równania numerycznie. Najpierw zastanówmy się nad tym ilu parametrowa jest rodzina rozwiązań badanego układu. Mamy do dyspozycji trzy parametry: C 1 s, k m 2 s i d m. Możemy z tych wielkości stworzyć dwie niezależne skale długości: d (rzędu odległości początkowej między wirami) lub k C (rzędu odległości między punktami stagnacji) i dwie niezależne skale czasowe: 1 C (charakterystyczny czas pobytu cząstki w pobliżu dowolnego, ale stałego R) lub d2 k (czas rzędu okresu obiegu pary wokół centrum wirowości). Podzielenie przez siebie tych skal daje tę samą bezwymiarową liczbę, co sugeruje że rodzina rozwiązań jest jednoparametrowa. Aby się o tym przekonać, weźmy równanie (42) i ustalając jednostki dokonajmy jego ubezwymiarowienia. Wymiary wielkości występujących w równaniu są następujące: ż m s, a m 2 s, z m Dokonujemy przeskalowania tych wielkości na ich bezwymiarowe odpowiedniki: ż dcż k ż d a ka z k d z C z Po podstawieniu do równania (42) dostajemy równanie (42) w postaci bezwymiarowej: ż ia z Cd 2 k z (43) Jedynym parametrem, od którego zależy równanie (43), jest wyrażenie stojące przy z w ostatnim wyrazie. Zdefiniujmy je na potrzeby pracy jako liczbę B: B k Cd 2 (44) Transformacja wielkości opisujących układ, która nie zmienia wartości liczby B, nie wpływa na postać równań ruchu. Dopiero zmiana B daje możliwość uzyskania nowych rozwiązań. W hydrodynamice pojawia się wiele analogicznych liczb (Reynoldsa, Prandtla etc.), ale rola ich jest zawsze ta sama: parametryzują rodzinę rozwiązań danego układu. Wiedząc że rodzina rozwiązań jest jednoparametrowa, możemy dokończyć numeryczną analizę równania (42). Poza zależnością od liczby B, wyniki zależą także od warunku 14

15 początkowego, czyli od ustawienia pary wirów względem osi układu współrzędnych. Gdy ustalimy dowolne dwie spośród trzech wielkości tworzących liczbę B, zmienność trzeciej daje nam możliwość wyznaczenia zakresu stabilności układu. Niech więc k oraz d będą ustalone, zaś natężenie przepływu zewnętrznego C będzie parametrem zmiennym. W chwili początkowej wiry leżą na prostej y x. Spodziewać się można, że dla dużych wartości B (C 0) para wirów istnieje w stanie związanym, natomiast dla małych B (C ) układ będzie rozrywany. Wyniki przedstawione są na rysunkach (3) i (4). Rysunek 3: Trajektoria jednego z wirów w układzie pary wirów o jednakowych cyrkulacjach dla różnych liczb B. Warunek poczatkowy jednakowy dla wszystkich przypadków. Numerycznie znaleziona krytyczna wartość B wynosi około Dla dużych wartości B (słaby przepływ), mamy parę wirów rotującą wokół środka wirowości po trajektoriach przypominających elipsy (gdy B orbity stają się kołowe). Im mniejsza wartość B (wzrost wartości natężenia przepływu zewnętrznego) tym większe różnice między minimum i maksimum r 12. Nieintuicyjnie zachowuje się częstość kołowa rotującej pary. Gdy B maleje, częstość najpierw nieznacznie rośnie, a dopiero przy pewnych wartościach Bk zaczyna ona maleć. Gdy B osiąga wartość krytyczną, wiry umieszczone na prostej y x pozostają w bezruchu (znajdując się wtedy dokładnie 15

16 R(t) B=125.7 B=50.3 B=12.7 B=6.3 B=4.2 B=3.4 B= t Rysunek 4: Odległość między wirami w układzie pary wirów o jednakowych cyrkulacjach dla różnych sił przepływu zewnętrznego. B jest powyżej wartości krytycznej, która wynosi około Na osi czasu odłożone sa okresy obrotu pary wirów dla C 0. w punktach stagnacji) - dla rozpatrywanego przypadku numerycznie wyliczone B kryt Zmniejszenie wartości B powoduje rozerwanie pary i wiry wędrują razem z przepływem: jeden do, drugi do. Dalsze zmniejszanie B zwiększa jedynie prędkość unoszenia wirów do nieskończoności. Charakterystycznym zjawiskiem są niewielkie oscylacje położenia punktów stagnacji. Gdy wiry ustawiają się na prostej y x, kocie oko jest najbardziej wydłużone i jednocześnie najwęższe. Dalszy obrót pary o π 2 ustawia wiry w położeniu, w którym punkty stagnacji są najbliżej siebie. Oko jest wtedy najbardziej pękate. Z powyższych analiz wynika, że istnieją rozwiązania, pozwalające parze wirów w obecności przepływu zewnętrznego utrzymać stan związany. Obliczenia numeryczne wskazują na to, że rozwiązania te są stabilne. Spróbujmy przeanalizować teraz przypadek bardziej złożony. 16

17 3.2 Duża liczba wirów w zewnętrznym przepływie rozciągającym Dla wirów umieszczonych w przepływie (19) równania ruchu wyglądają następująco: ẋ i ẏ i N j i N j i k j 2πr 2 i j k j 2πr 2 i j y i y j Cx i (45) x i x j Cy i (46) Równania te można sprowadzić do postaci kanonicznej (patrz równania (10) i (11)), przy czym, podobnie jak w przypadku nieobecności przepływu zewnętrznego, współrzędne przestrzenne są jednocześnie współrzędnymi kanonicznymi (położeniami i pędami uogólnionym). Hamiltonian przybiera postać: H k i k j i ln r i j 4π j k i C x i x 0 y i y 0 (47) i gdzie x 0 y 0 jest położeniem środka symetrii przepływu zewnętrznego. Ponieważ wirowością obdarzone są jedynie centra wirów, jej ewolucja wygląda następująco: ω i 2π x 2 i k i y 2 i gdzie x i y i jest położeniem i-tego wiru. δ x x i t δ y y i t (48) Powstaje naturalne pytanie, czy w tym przypadku obowiązują nadal prawa zachowania (14), (15) i (16). Aby to stwierdzić, trzeba odnieść się do założeń, na których opierają się pierwotne wyliczenia. Pierwsze dwie całki ruchu wyprowadzone były przy założeniu jednorodności przestrzeni. Wówczas translacja układu o dowolny wektor nie zmieniała własności układu (δh 0). W tym przypadku jest nieco inaczej, dlatego że w hamiltonianie (13) występuje człon związany z przepływem zewnętrznym. O ile pierwszy człon zawiera tylko wzajemne odległości między wirami i jest nieczuły na zmiany układu odniesienia, o tyle drugi zależy od konkretnego położenia wirów w przestrzeni. Obrót układu o dowolny kąt także nie zachowuje stałości hamiltonianu, nie możemy więc wyprowadzić dodatkowych zasad zachowania. Zasady zachowania (14), (15) i (16) ewoluują w obecności przepływu w następujący sposób: d i k i x i dt d i k i y i dt 17 C k i x i (49) i C k i x i (50) i

18 d i k i x 2 i k i y 2 i dt 2C k i x 2 i y 2 i (51) i Wszystkie trzy wielkości (14) (15) i (16) są stałe gdy C 0 lub gdy wiry są skupione w początku układu współrzędnych (przypadek trywialny - jeden wir umieszczony w punkcie stagnacji). Rozważmy teraz przypadek wielu wirów posiadających ten sam znak cyrkulacji. Mówiąc inaczej wyróżnijmy pewną strukturę koherentną. Wiadomo że ruch N 3 wirów w ogólności jest chaotyczny (H. Aref 1982) (H. Aref 1985). W tej sytuacji da się jednak powiedzieć coś więcej na temat ich zachowania. Z równania (16) wynika, że gdy C 0, skoncentrowana grupa wirów o takim samym znaku cyrkulacji nie może rozproszyć się po całej przestrzeni. Jest to silne ograniczenie, będące przyczyną trwałości takiej struktury. Całość można więc potraktować jako jeden obiekt, wewnątrz którego zachodzi chaotyczny ruch elementów składowych. Struktura ta nie ma jednak przypadkowego kształtu, ewoluującego w nieprzewidywalny sposób. Przyglądając się jej w najmniejszych skalach długości obserwujemy chaotyczny ruch wirów, ale razem ze zwiększaniem się skali długości zanikają wewnętrzne stopnie swobody, a wraz z nimi chaos. Ruch środka wirowości całej struktury jest już dobrze zdefiniowany (patrz równania (31) i (32)). Numeryczna analiza pokazuje, że ewolucja kształtu chmury wirów o jednoimiennych cyrkulacjach prowadzi do wygładzenia początkowych chropowatości (zaokrąglenie rogów). To wygładzenie nie dzieje się bynajmniej za sprawą lepkości, ktora jak pamiętamy jest zerowa. Jest to wyłącznie efekt kinematyczny. W dalszej ewolucji kształt obiektu zmienia się dość regularnie, choć wiry punktowe, z których jest on zbudowany, mogą wewnątrz obiektu dowolnie migrować. Poza przypadkiem trzech wirów, które mogą połączyć się w jeden, wiry nie mogą na siebie wpadać (wyklucza to profil prędkości wiru). Zastanówmy się zatem jaką zmianę wprowadza do układu zadany przez nas przepływ zewnętrzny. Z dotychczasowych rozważań wynika, że bardzo silnie modyfikuje on własności struktury koherentnej. Najistotniejszym efektem dodania przepływu jest zniesienie ograniczenia na położenie wirów w przestrzeni. Oznacza to, że trwała do tej pory struktura może rozpaść się na mniejsze, bądź w ogóle przestać istnieć (w przypadku rozseparowania wirów). Aby nadać naszym rozważaniom bardziej fizyczną wymowę, przepływ (19) modeluje w pierwszym przybliżeniu wpływ odległych wirów na jeden wyróżniony, znajdujący się w pobliżu punktu 0 0, który z kolei modelujemy za pomocą chmury wirów punktowych. Zatem prezentowane podejście można rozumieć jako uproszczony model interakcji między wirami. Gdy dwa wiry zostają rozsunięte na pewną odległość, pole prędkości w ich pobliżu jest zaburzone, ale daleko od nich, w pierwszym przybliżeniu, nadal zachowuje się jak pole od wiru punktowego. Podobnie dzieje się w przypadku dużej liczby wirów. Z dala od 18

19 nich pole prędkości mało różni się od pola wiru punktowego umieszczonego w centrum wirowości, mającego sumaryczną cyrkulację wszystkich wirów. W pobliżu i wewnątrz chmury wirów charakter pola jest bardzo nieregularny. Spodziewać się można, że odległość głównych punktów stagnacji od początku układu współrzędnych będzie miała podobną zależność jak w przypadku pojedyńczego wiru, czyli przez rozkład przestrzenny wirów. k i C, modyfikowaną Rysunek 5: Przykładowy profil prędkości (wartości bezwzględnej) wzdłuż wybranej półprostej wychodzacej ze środka wirowości. Charakterystyczne piki to zaburzenia pochodzace od bliskich wirów punktowych. Linia czerwona narysowane jest pole od wiru punktowego o sumarycznej cyrkulacji wirów tworzacych chmurę. Przypadek bez przepływu zewnętrznego. Kida (S. Kida 1981) badał zachowanie się eliptycznej łaty o stałej wirowości, umieszczonej w zewnętrznym przepływie rozciągającym, również obdarzonym stałą wirowością. Rozważając przepływ dwuwymiarowy, nieściśliwy i nielepki poszukiwał rozwiązań niestacjonarnych, uzupełniając uzyskane przez Moora i Saffmana rozwiązanie stacjonarne. Warunkiem początkowym było umieszczenie elipsy w centrum układu współrzędnych tak, aby jej półosie pokrywały się z osiami układu. Rozwiązaniem stacjonarnym jest ustawienie się elipsy pod kątem π 4 bez zmiany kształtu. Kida uzupełnił rozwiązanie o nowe możliwości zachowania się owej elipsy. Dla pewnej granicznej wartości przepływu, czego się można było spodziewać, elipsa jest rozrywana przez przepływ. Ciekawe wydają się rezultaty pośrednie. Istnieją rozwiązania pokazujące, że elipsa będzie obracać się z pewną prędkością kątową i zmieniać swój kształt (stosunek półosi), zachowując przy tym powierzchnię (powierzchnia jest stałą ruchu). Innym rozwiązaniem są nutacje elipsy, w których kąt między dużą półosią, a osią OX oscyluje między π 4 a π 4. Dalsza część 19

20 Rysunek 6: Moduł prędkości dla struktury koherentnej wirów o dodatnich cyrkulacjach, umieszczonych w zewnętrznym przepływie rozciagaj acym (19). niniejszej pracy dotyczy numerycznego badania własności struktury koherentnej, tworzonej przez dużą liczbę wirów punktowych, umieszczonych w zewnętrznym przepływie rozciągającym. Artykuł Kidy będzie dla nas ważnym punktem odniesienia, wszelako należy pamiętać że przepływ w którym umieszczamy strukturę wirów nie jest obdarzony wirowością. 4 Analiza numeryczna 4.1 Właściwości schematu Analiza ruchu układu złożonego z dużej liczby wirów jest możliwa do przeprowadzenia jedynie na drodze numerycznej. Istnieje wiele schematów numerycznych o różnej dokładności. My zastosujemy skrajnie prostą i efektywną zwyczajną metodę Eulera pierwszego rzędu. Według tego schematu wszystkie pochodne cząstkowe po czasie należy zastąpić wyrażeniami: ḟ f t δt f t δt (52) 20

21 Naturalnie im mniejsze δt tym bliżej jesteśmy prawdy o wartości pochodnej w danym punkcie. Jeśli n będzie indeksem kolejnych kroków czasowych, mamy: ḟ f n 1 f n δt Podstawiając powyższe do równań ruchu i dokonując przekształceń ze względu na n, otrzymujemy wartości funkcji w chwili n 1: x n 1 i y n 1 i x n i y n i δt N δt j i N j i k j y n i y n j 2πr 2 i j k j x n i x n j 2πr 2 i j (53) Cx n i (54) Cy n i (55) Przyjrzyjmy się dokładniej własnościom powyższego schematu. Dla zagadnień posiadających symetrię osiową, w których elementy poruszają się po trajektoriach kołowych, schemat generuje systematyczny błąd. Prześledzimy to na przykładzie wirów punktowych. Wyznaczenie położenia wiru w kolejnym kroku czasowym wymaga znalezienia dla niego wektora przemieszczenia, a nastepnie dokonania translacji obecnego położenia o tenże wektor. Kiedy wir porusza się po z grubsza kołowej trajektorii, jego odległość od centrum obrotu stale się zwiększa. Rysunek (7) przedstawia omawianą sytuację. Przeciwprostokątna każdego trójkąta jest przyprostokątną następnego. Traktujemy środek Rysunek 7: Numeryczny efekt będacy przyczyna zwiększania odległości wiru od centrum. obrotu jak źródło pola, zatem każde przemieszczenie odbywa się pod kątem prostym do promienia. Kąt obrotu w kolejnych krokach czasowych maleje, bowiem za każdym razem dokonujemy translacji o tę samą wartość dr. Dla wiru poruszającego się po orbicie kołowej odległość od centrum wyrażona rekurencyjnie: r n 1 dr 2 r 2 n (56) 21

22 Dla dużego n będzie to więc: r 2 n ndr 2 r 2 1 (57) Znamy zatem wartość odległości od centrum po n-tym kroku czasowym. Możemy dla uproszczenia szacunków założyć stałość kąta obrotu. Traktując dr jako infinitezymalne przesunięcie mamy: dϕ dr r 1. Kąt o jaki przemieści się wir po n krokach czasowych: ϕ n n dr r 1 Ilość kroków czasowych potrzebnych na obrót o 2π: n 2πr 1 dr Odległość wiru od centrum po jednym pełnym obrocie będzie więc: r 2 n 2πr 1 dr r 2 1 (58) Dokładność numerycznego schematu opisuje pierwszy wyraz sumy. Mamy pełną kontrolę nad błędem: zmniejszanie dr w prosty sposób zwiększa dokładność. Ograniczeniem dolnym na dr jest ilość kroków czasowych, która jest odwrotnie proporcjonalna do tej wielkości. W przypadku chmury wirów, kiedy mamy dużą zależność pola prędkości od położenia wiru w chmurze, trudniej jest precyzyjnie oszacować błędy numeryczne. Wykorzystajmy tu całkę ruchu (16), sprawdzając jej zachowanie w użytym schemacie. W dalszej części pracy będziemy nazywać ją dyspersją, utożsamiając tę wielkość z przestrzennym rozmyciem chmury. Program liczący ruch wirów daje nam możliwość zadania precyzji obliczeń, co oznacza że znamy maksymalne możliwe przemieszczenie dr. To że wir może być obecny w dowolnym miejscu chmury jest korzystne z punktu widzenia schematu, dlatego że błędy związane z każdym wirem uśrednią się. Wykorzystując (57) dostajemy maksymalną wartość dyspersji po n-tym kroku czasowym: S max Nndr 2 i r io 2 rin 2 (59) i gdzie S-dyspersja układu, N-liczba wirów, n-liczba kroków czasowych, r i -odległość i-tego wiru od centrum wirowości. Dochodzimy do wniosku, że dyspersja maksymalna jest liniową funkcją kroku czasowego. K-krotne zwiększenie dokładności (zmniejszenie dr) daje około K-krotne zmniejszenie wartości zaburzenia wprowadzanego przez schemat. Rosnąca dyspersja oznacza rozrastanie się chmury, zatem schemat numeryczny (53) narusza prawo zachowania (16). 22

3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas

3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas 3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas oddziaływanie między ciałami, ani też rola, jaką to

Bardziej szczegółowo

Wektory, układ współrzędnych

Wektory, układ współrzędnych Wektory, układ współrzędnych Wielkości występujące w przyrodzie możemy podzielić na: Skalarne, to jest takie wielkości, które potrafimy opisać przy pomocy jednej liczby (skalara), np. masa, czy temperatura.

Bardziej szczegółowo

Wstęp. Ruch po okręgu w kartezjańskim układzie współrzędnych

Wstęp. Ruch po okręgu w kartezjańskim układzie współrzędnych Wstęp Ruch po okręgu jest najprostszym przypadkiem płaskich ruchów krzywoliniowych. W ogólnym przypadku ruch po okręgu opisujemy równaniami: gdzie: dowolna funkcja czasu. Ruch odbywa się po okręgu o środku

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie 2: Własności pola wskazujące na istnienie orbit

Twierdzenie 2: Własności pola wskazujące na istnienie orbit Cykle graniczne Dotychczas zajmowaliśmy się głównie znajdowaniem i badaniem stabilności punktów stacjonarnych. Wiele ciekawych procesów ma naturę cykliczną. Umiemy już sobie poradzić z cyklicznością występującą

Bardziej szczegółowo

Potencjał pola elektrycznego

Potencjał pola elektrycznego Potencjał pola elektrycznego Pole elektryczne jest polem zachowawczym, czyli praca wykonana przy przesunięciu ładunku pomiędzy dwoma punktami nie zależy od tego po jakiej drodze przesuwamy ładunek. Spróbujemy

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 4 Obszar określoności równania Jeżeli występująca w równaniu y' f ( x, y) funkcja f jest ciągła, to równanie posiada rozwiązanie. Jeżeli f jest nieokreślona w punkcie (x 0,

Bardziej szczegółowo

J. Szantyr Wyklad nr 6 Przepływy laminarne i turbulentne

J. Szantyr Wyklad nr 6 Przepływy laminarne i turbulentne J. Szantyr Wyklad nr 6 Przepływy laminarne i turbulentne Zjawisko występowania dwóch różnych rodzajów przepływów, czyli laminarnego i turbulentnego, odkrył Osborne Reynolds (1842 1912) w swoim znanym eksperymencie

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

METODY OBLICZENIOWE. Projekt nr 3.4. Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03

METODY OBLICZENIOWE. Projekt nr 3.4. Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03 METODY OBLICZENIOWE Projekt nr 3.4 Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03 Zadanie Nasze zadanie składało się z dwóch części: 1. Sformułowanie, przy użyciu metody Lagrange a II rodzaju, równania różniczkowego

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy - całka oznaczona

Rachunek całkowy - całka oznaczona SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej

Bardziej szczegółowo

Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli

Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli napisał Michał Wierzbicki Pole magnetyczne magnesu w kształcie kuli Rozważmy kulę o promieniu R, wykonaną z materiału ferromagnetycznego o stałej magnetyzacji M = const, skierowanej wzdłuż osi z. Gęstość

Bardziej szczegółowo

Bąk wirujący wokół pionowej osi jest w równowadze. Momenty działających sił są równe zero (zarówno względem środka masy S jak i punktu podparcia O).

Bąk wirujący wokół pionowej osi jest w równowadze. Momenty działających sił są równe zero (zarówno względem środka masy S jak i punktu podparcia O). Bryła sztywna (2) Bąk Równowaga Rozważmy bąk podparty wirujący do okoła pionowej osi. Z zasady zachowania mementu pędu wynika, że jeśli zapewnimy znikanie momentów sił to kierunek momentu pędu pozostanie

Bardziej szczegółowo

Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych)

Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Funkcja uwikłana (równanie nieliniowe) jest to funkcja, która nie jest przedstawiona jawnym przepisem, wzorem wyrażającym zależność wartości

Bardziej szczegółowo

Badanie rozkładu pola elektrycznego

Badanie rozkładu pola elektrycznego Ćwiczenie 8 Badanie rozkładu pola elektrycznego 8.1. Zasada ćwiczenia W wannie elektrolitycznej umieszcza się dwie metalowe elektrody, połączone ze źródłem zmiennego napięcia. Kształt przekrojów powierzchni

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Krzywe stożkowe. 2.1 Elipsa. Krzywe stożkowe są zadane ogólnym równaniem kwadratowym na płaszczyźnie

Rozdział 2. Krzywe stożkowe. 2.1 Elipsa. Krzywe stożkowe są zadane ogólnym równaniem kwadratowym na płaszczyźnie Rozdział Krzywe stożkowe Krzywe stożkowe są zadane ogólnym równaniem kwadratowym na płaszczyźnie x + By + Cxy + Dx + Ey + F = 0. (.) W zależności od relacji pomiędzy współczynnikami otrzymujemy elipsę,

Bardziej szczegółowo

Kinematyka płynów - zadania

Kinematyka płynów - zadania Zadanie 1 Zadane jest prawo ruchu w zmiennych Lagrange a x = Xe y = Ye t 0 gdzie, X, Y oznaczają współrzędne materialne dla t = 0. Wyznaczyć opis ruchu w zmiennych Eulera. Znaleźć linię prądu. Pokazać,

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia

Bardziej szczegółowo

Ładunki elektryczne i siły ich wzajemnego oddziaływania. Pole elektryczne. Copyright by pleciuga@ o2.pl

Ładunki elektryczne i siły ich wzajemnego oddziaływania. Pole elektryczne. Copyright by pleciuga@ o2.pl Ładunki elektryczne i siły ich wzajemnego oddziaływania Pole elektryczne Copyright by pleciuga@ o2.pl Ładunek punktowy Ładunek punktowy (q) jest to wyidealizowany model, który zastępuje rzeczywiste naelektryzowane

Bardziej szczegółowo

Fizyka 1 Wróbel Wojciech. w poprzednim odcinku

Fizyka 1 Wróbel Wojciech. w poprzednim odcinku w poprzednim odcinku 1 Wzorce sekunda Aktualnie niepewność pomiaru czasu to 1s na 70mln lat!!! 2 Modele w fizyce Uproszczenie problemów Tworzenie prostych modeli, pojęć i operowanie nimi 3 Opis ruchu Opis

Bardziej szczegółowo

Krzywe stożkowe Lekcja II: Okrąg i jego opis w różnych układach współrzędnych

Krzywe stożkowe Lekcja II: Okrąg i jego opis w różnych układach współrzędnych Krzywe stożkowe Lekcja II: Okrąg i jego opis w różnych układach współrzędnych Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej Okrąg Okrąg jest szczególną krzywą stożkową. Wyznacza nam koło, które jest podstawą

Bardziej szczegółowo

Notacja Denavita-Hartenberga

Notacja Denavita-Hartenberga Notacja DenavitaHartenberga Materiały do ćwiczeń z Podstaw Robotyki Artur Gmerek Umiejętność rozwiązywania prostego zagadnienia kinematycznego jest najbardziej bazową umiejętność zakresu Robotyki. Wyznaczyć

Bardziej szczegółowo

Zwój nad przewodzącą płytą METODA ROZDZIELENIA ZMIENNYCH

Zwój nad przewodzącą płytą METODA ROZDZIELENIA ZMIENNYCH METODA ROZDZIELENIA ZMIENNYCH (2) (3) (10) (11) Modelowanie i symulacje obiektów w polu elektromagnetycznym 1 Rozwiązania równań (10-11) mają ogólną postać: (12) (13) Modelowanie i symulacje obiektów w

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest

Bardziej szczegółowo

Elektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM

Elektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM Elektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas Spis treści 1 Literatura 3 2 Elektrostatyka 4 2.1 Pole elektryczne....................

Bardziej szczegółowo

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Zagadnienie dane jest następująco: znaleźć funkcje własne i wartości własne operatora energii dla cząstki umieszczonej w nieskończonej studni potencjału,

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Wykład 2. Kinematyka. Podstawowe wielkości opisujące ruch. W tekście tym przedstawię podstawowe pojecia niezbędne do opiosu ruchu:

Wykład 2. Kinematyka. Podstawowe wielkości opisujące ruch. W tekście tym przedstawię podstawowe pojecia niezbędne do opiosu ruchu: Wykład 2. Kinematyka. Aby prześledzić tok tego wykładu MUSISZ rozumieć pojęcie wektora, jego składowych w układzie kartezjańskim oraz w trakcie wykładu zrozumieć intuicyjnie pojęcie pochodnej funkcji jednej

Bardziej szczegółowo

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Mechanika klasyczna Tadeusz Lesiak Wykład nr 4 Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Energia i praca T. Lesiak Mechanika klasyczna 2 Praca Praca (W) wykonana przez stałą

Bardziej szczegółowo

Efekt motyla i dziwne atraktory

Efekt motyla i dziwne atraktory O układzie Lorenza Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja kopernika Toruń, 3 grudnia 2009 Spis treści 1 Wprowadzenie Wyjaśnienie pojęć 2 O dziwnych atraktorach 3 Wyjaśnienie pojęć Dowolny

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA I. 5. Energia, praca, moc. http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I. 5. Energia, praca, moc. http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Wykład FIZYKA I 5. Energia, praca, moc Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html ENERGIA, PRACA, MOC Siła to wielkość

Bardziej szczegółowo

Zadanie. Oczywiście masa sklejonych ciał jest sumą poszczególnych mas. Zasada zachowania pędu: pozwala obliczyć prędkość po zderzeniu

Zadanie. Oczywiście masa sklejonych ciał jest sumą poszczególnych mas. Zasada zachowania pędu: pozwala obliczyć prędkość po zderzeniu Zderzenie centralne idealnie niesprężyste (ciała zlepiają się i po zderzeniu poruszają się razem). Jedno z ciał przed zderzeniem jest w spoczynku. Oczywiście masa sklejonych ciał jest sumą poszczególnych

Bardziej szczegółowo

Wymiana ciepła. Ładunek jest skwantowany. q=n. e gdzie n = ±1, ±2, ±3 [1C = 6, e] e=1, C

Wymiana ciepła. Ładunek jest skwantowany. q=n. e gdzie n = ±1, ±2, ±3 [1C = 6, e] e=1, C Wymiana ciepła Ładunek jest skwantowany ładunek elementarny ładunek pojedynczego elektronu (e). Każdy ładunek q (dodatni lub ujemny) jest całkowitą wielokrotnością jego bezwzględnej wartości. q=n. e gdzie

Bardziej szczegółowo

Sztuczny satelita Ziemi. Ruch w polu grawitacyjnym

Sztuczny satelita Ziemi. Ruch w polu grawitacyjnym Sztuczny satelita Ziemi Ruch w polu grawitacyjnym Sztuczny satelita Ziemi Jest to obiekt, któremu na pewnej wysokości nad powierzchnią Ziemi nadano prędkość wystarczającą do uzyskania przez niego ruchu

Bardziej szczegółowo

PF11- Dynamika bryły sztywnej.

PF11- Dynamika bryły sztywnej. Instytut Fizyki im. Mariana Smoluchowskiego Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej Uniwersytetu Jagiellońskiego Zajęcia laboratoryjne w I Pracowni Fizycznej dla uczniów szkół ponadgimnazjalych

Bardziej szczegółowo

KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury

KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury Funkcje wektorowe Jeśli wektor a jest określony dla parametru t (t należy do przedziału t (, t k )

Bardziej szczegółowo

Następnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień.

Następnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień. Zadanie Należy zacząć od sprawdzenia, co studenci pamiętają ze szkoły średniej na temat funkcji jednej zmiennej. Na początek można narysować kilka krzywych na tle układu współrzędnych (funkcja gładka,

Bardziej szczegółowo

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie

Bardziej szczegółowo

Przykład Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. D A

Przykład Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. D A Przykład 1.4. Łuk ze ściągiem, obciążenie styczne. Rysunek przedstawia łuk trójprzegubowy, kołowy, ze ściągiem. Łuk obciążony jest obciążeniem stycznym do łuku, o stałej gęstości na jednostkę długości

Bardziej szczegółowo

22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA

22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA CAŁA RZYWOLINIOWA SIEROWANA Niech łuk o równaniach parametrycznych: x x(t), y y(t), a < t < b, będzie łukiem regularnym skierowanym, tzn łukiem w którym przyjęto punkt A(x(a), y(a)) za początek łuku, zaś

Bardziej szczegółowo

O 2 O 1. Temat: Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego

O 2 O 1. Temat: Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego msg M 7-1 - Temat: Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Zagadnienia: prawa dynamiki Newtona, moment sił, moment bezwładności, dynamiczne równania ruchu wahadła fizycznego,

Bardziej szczegółowo

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013 Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 013 3.4.1 Inwersja względem okręgu. Inwersja względem okręgu jest przekształceniem płaszczyzny

Bardziej szczegółowo

Sprawozdanie z zad. nr 4 Wahadło Matematyczne z Fizyki Komputerowej. Szymon Wawrzyniak / Artur Angiel / Gr. 5 / Poniedziałek 12:15

Sprawozdanie z zad. nr 4 Wahadło Matematyczne z Fizyki Komputerowej. Szymon Wawrzyniak / Artur Angiel / Gr. 5 / Poniedziałek 12:15 Sprawozdanie z zad. nr 4 Wahadło Matematyczne z Fizyki Komputerowej Szymon Wawrzyniak / Artur Angiel / Gr. 5 / Poniedziałek 12:15 =============================================== =========================

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

3 Podstawy teorii drgań układów o skupionych masach

3 Podstawy teorii drgań układów o skupionych masach 3 Podstawy teorii drgań układów o skupionych masach 3.1 Drgania układu o jednym stopniu swobody Rozpatrzmy elementarny układ drgający, nazywany też oscylatorem harmonicznym, składający się ze sprężyny

Bardziej szczegółowo

Definicja obrotu: Definicja elementów obrotu:

Definicja obrotu: Definicja elementów obrotu: 5. Obroty i kłady Definicja obrotu: Obrotem punktu A dookoła prostej l nazywamy ruch punktu A po okręgu k zawartym w płaszczyźnie prostopadłej do prostej l w kierunku zgodnym lub przeciwnym do ruchu wskazówek

Bardziej szczegółowo

I. PROMIENIOWANIE CIEPLNE

I. PROMIENIOWANIE CIEPLNE I. PROMIENIOWANIE CIEPLNE - lata '90 XIX wieku WSTĘP Widmo promieniowania elektromagnetycznego zakres "pokrycia" różnymi rodzajami fal elektromagnetycznych promieniowania zawartego w danej wiązce. rys.i.1.

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM FIZYKI PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ W NYSIE. Ćwiczenie nr 3 Temat: Wyznaczenie ogniskowej soczewek za pomocą ławy optycznej.

LABORATORIUM FIZYKI PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ W NYSIE. Ćwiczenie nr 3 Temat: Wyznaczenie ogniskowej soczewek za pomocą ławy optycznej. LABORATORIUM FIZYKI PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ W NYSIE Ćwiczenie nr 3 Temat: Wyznaczenie ogniskowej soczewek za pomocą ławy optycznej.. Wprowadzenie Soczewką nazywamy ciało przezroczyste ograniczone

Bardziej szczegółowo

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych

Pochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją

Bardziej szczegółowo

Pochodną funkcji w punkcie (ozn. ) nazywamy granicę ilorazu różnicowego:

Pochodną funkcji w punkcie (ozn. ) nazywamy granicę ilorazu różnicowego: Podstawowe definicje Iloraz różnicowy funkcji Def. Niech funkcja będzie określona w pewnym przedziale otwartym zawierającym punkt. Ilorazem różnicowym funkcji w punkcie dla przyrostu nazywamy funkcję Pochodna

Bardziej szczegółowo

Mechanika ogólna. Kinematyka. Równania ruchu punktu materialnego. Podstawowe pojęcia. Równanie ruchu po torze (równanie drogi)

Mechanika ogólna. Kinematyka. Równania ruchu punktu materialnego. Podstawowe pojęcia. Równanie ruchu po torze (równanie drogi) Kinematyka Mechanika ogólna Wykład nr 7 Elementy kinematyki Dział mechaniki zajmujący się matematycznym opisem układów mechanicznych oraz badaniem geometrycznych właściwości ich ruchu, bez wnikania w związek

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA SKIEROWANEGO

TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA SKIEROWANEGO TRYGONOMETRIA Trygonometria to dział matematyki, którego przedmiotem badań są związki między bokami i kątami trójkątów oraz tzw. funkcje trygonometryczne. Trygonometria powstała i rozwinęła się głównie

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

Potencjalne pole elektrostatyczne. Przypomnienie

Potencjalne pole elektrostatyczne. Przypomnienie Potencjalne pole elektrostatyczne Wszystkie rysunki i animacje zaczerpnięto ze strony http://webmitedu/802t/www/802teal3d/visualizations/electrostatics/indexhtm Tekst jest wolnym tłumaczeniem pliku guide03pdf

Bardziej szczegółowo

2. Charakterystyki geometryczne przekroju

2. Charakterystyki geometryczne przekroju . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 1.. Charakterystyki geometryczne przekroju.1 Podstawowe definicje Z przekrojem pręta związane są trzy wielkości fizyczne nazywane charakterystykami geometrycznymi

Bardziej szczegółowo

PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO

PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO ĆWICZENIE 53 PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO Cel ćwiczenia: wyznaczenie wartości indukcyjności cewek i pojemności kondensatorów przy wykorzystaniu prawa Ohma dla prądu przemiennego; sprawdzenie prawa

Bardziej szczegółowo

Metoda elementów skończonych

Metoda elementów skończonych Metoda elementów skończonych Wraz z rozwojem elektronicznych maszyn obliczeniowych jakimi są komputery zaczęły pojawiać się różne numeryczne metody do obliczeń wytrzymałości różnych konstrukcji. Jedną

Bardziej szczegółowo

Wektor położenia. Zajęcia uzupełniające. Mgr Kamila Rudź, Podstawy Fizyki. http://kepler.am.gdynia.pl/~karudz

Wektor położenia. Zajęcia uzupełniające. Mgr Kamila Rudź, Podstawy Fizyki. http://kepler.am.gdynia.pl/~karudz Kartezjański układ współrzędnych: Wersory osi: e x x i e y y j e z z k r - wektor o współrzędnych [ x 0, y 0, z 0 ] Wektor położenia: r t =[ x t, y t,z t ] każda współrzędna zmienia się w czasie. r t =

Bardziej szczegółowo

Rozkład normalny, niepewność standardowa typu A

Rozkład normalny, niepewność standardowa typu A Podstawy Metrologii i Technik Eksperymentu Laboratorium Rozkład normalny, niepewność standardowa typu A Instrukcja do ćwiczenia nr 1 Zakład Miernictwa i Ochrony Atmosfery Wrocław, listopad 2010 r. Podstawy

Bardziej szczegółowo

Strumień pola elektrycznego i prawo Gaussa

Strumień pola elektrycznego i prawo Gaussa Strumień pola elektrycznego i prawo Gaussa Ryszard J. Barczyński, 2010 2015 Politechnika Gdańska, Wydział FTiMS, Katedra Fizyki Ciała Stałego Materiały dydaktyczne do użytku wewnętrznego Strumień pola

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys.

Ćwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys. Ćwiczenie M- Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego. Cel ćwiczenia: pomiar przyśpieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła fizycznego.. Przyrządy: wahadło rewersyjne, elektroniczny

Bardziej szczegółowo

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE Do opisu członów i układów automatyki stosuje się, oprócz transmitancji operatorowej (), tzw. transmitancję widmową. Transmitancję widmową () wyznaczyć można na podstawie

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ LABORATORIUM FIZYCZNE

WYDZIAŁ LABORATORIUM FIZYCZNE 1 W S E i Z W WARSZAWIE WYDZIAŁ LABORATORIUM FIZYCZNE Ćwiczenie Nr 3 Temat: WYZNACZNIE WSPÓŁCZYNNIKA LEPKOŚCI METODĄ STOKESA Warszawa 2009 2 1. Podstawy fizyczne Zarówno przy przepływach płynów (ciecze

Bardziej szczegółowo

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

Funkcje trygonometryczne

Funkcje trygonometryczne Funkcje trygonometryczne Piotr Rzonsowski Teoria Definicja. Sinusem kąta ostrego nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej sin = b c. Cosinusem kąta ostrego nazywamy

Bardziej szczegółowo

V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej

V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej V Konkurs Matematyczny Politechniki iałostockiej Rozwiązania - klasy pierwsze 27 kwietnia 2013 r. 1. ane są cztery liczby dodatnie a b c d. Wykazać że przynajmniej jedna z liczb a + b + c d b + c + d a

Bardziej szczegółowo

Różniczkowe prawo Gaussa i co z niego wynika...

Różniczkowe prawo Gaussa i co z niego wynika... Różniczkowe prawo Gaussa i co z niego wynika... Niech ładunek będzie rozłożony w objętości V z ciągłą gęstością ρ(x,y,z). Wytworzone przez ten ładunek pole elektryczne będzie również zmieniać się w przestrzeni

Bardziej szczegółowo

Podstawy fizyki wykład 4

Podstawy fizyki wykład 4 Podstawy fizyki wykład 4 Dr Piotr Sitarek Instytut Fizyki, Politechnika Wrocławska Dynamika Obroty wielkości liniowe a kątowe energia kinetyczna w ruchu obrotowym moment bezwładności moment siły II zasada

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika

Bardziej szczegółowo

POMIAR TEMPERATURY CURIE FERROMAGNETYKÓW

POMIAR TEMPERATURY CURIE FERROMAGNETYKÓW Ćwiczenie 65 POMIAR TEMPERATURY CURIE FERROMAGNETYKÓW 65.1. Wiadomości ogólne Pole magnetyczne można opisać za pomocą wektora indukcji magnetycznej B lub natężenia pola magnetycznego H. W jednorodnym ośrodku

Bardziej szczegółowo

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź.

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź. ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska Zad.1. (5 pkt) Sprawdź, czy funkcja określona wzorem x( x 1)( x ) x 3x dla x 1 i x dla x 1 f ( x) 1 3 dla

Bardziej szczegółowo

Dielektryki. właściwości makroskopowe. Ryszard J. Barczyński, 2016 Materiały dydaktyczne do użytku wewnętrznego

Dielektryki. właściwości makroskopowe. Ryszard J. Barczyński, 2016 Materiały dydaktyczne do użytku wewnętrznego Dielektryki właściwości makroskopowe Ryszard J. Barczyński, 2016 Materiały dydaktyczne do użytku wewnętrznego Przewodniki i izolatory Przewodniki i izolatory Pojemność i kondensatory Podatność dielektryczna

Bardziej szczegółowo

PRZEKROJE RYSUNKOWE CZ.1 PRZEKROJE PROSTE. Opracował : Robert Urbanik Zespół Szkół Mechanicznych w Opolu

PRZEKROJE RYSUNKOWE CZ.1 PRZEKROJE PROSTE. Opracował : Robert Urbanik Zespół Szkół Mechanicznych w Opolu PRZEKROJE RYSUNKOWE CZ.1 PRZEKROJE PROSTE Opracował : Robert Urbanik Zespół Szkół Mechanicznych w Opolu IDEA PRZEKROJU stosujemy, aby odzwierciedlić wewnętrzne, niewidoczne z zewnątrz, kształty przedmiotu.

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA 3, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0,3 C. 30. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba

Bardziej szczegółowo

Uniwersyteckie Koło Matematyczne - Tajemnicza liczba e.

Uniwersyteckie Koło Matematyczne - Tajemnicza liczba e. Uniwersyteckie Koło Matematyczne - Tajemnicza liczba e. Filip Piękniewski Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Mikołaja Kopernika http://www.mat.umk.pl/ philip 17 grudnia 2009 Filip Piękniewski,

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA METODĄ STRZAŁKI UGIĘCIA

WYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA METODĄ STRZAŁKI UGIĘCIA Ćwiczenie 58 WYZNACZANIE MODUŁU YOUNGA METODĄ STRZAŁKI UGIĘCIA 58.1. Wiadomości ogólne Pod działaniem sił zewnętrznych ciała stałe ulegają odkształceniom, czyli zmieniają kształt. Zmianę odległości między

Bardziej szczegółowo

MiBM sem. III Zakres materiału wykładu z fizyki

MiBM sem. III Zakres materiału wykładu z fizyki MiBM sem. III Zakres materiału wykładu z fizyki 1. Dynamika układów punktów materialnych 2. Elementy mechaniki relatywistycznej 3. Podstawowe prawa elektrodynamiki i magnetyzmu 4. Zasady optyki geometrycznej

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie prędkości dźwięku w powietrzu

Wyznaczanie prędkości dźwięku w powietrzu Imię i Nazwisko... Wyznaczanie prędkości dźwięku w powietrzu Opracowanie: Piotr Wróbel 1. Cel ćwiczenia. Celem ćwiczenia jest wyznaczenie prędkości dźwięku w powietrzu, metodą różnicy czasu przelotu. Drgania

Bardziej szczegółowo

Podstawy działań na wektorach - dodawanie

Podstawy działań na wektorach - dodawanie Podstawy działań na wektorach - dodawanie Metody dodawania wektorów można podzielić na graficzne i analityczne (rachunkowe). 1. Graficzne (rysunkowe) dodawanie dwóch wektorów. Założenia: dane są dwa wektory

Bardziej szczegółowo

Energia potencjalna pola elektrostatycznego ładunku punktowego

Energia potencjalna pola elektrostatycznego ładunku punktowego Energia potencjalna pola elektrostatycznego ładunku punktowego Wszystkie rysunki i animacje zaczerpnięto ze strony http://web.mit.edu/8.02t/www/802teal3d/visualizations/electrostatics/index.htm. Tekst

Bardziej szczegółowo

3. Macierze i Układy Równań Liniowych

3. Macierze i Układy Równań Liniowych 3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x

Bardziej szczegółowo

Źródło: Komitet Główny Olimpiady Fizycznej A. Wysmołek; Fizyka w Szkole nr 1, Andrzej Wysmołek Komitet Główny Olimpiady Fizycznej, IFD UW.

Źródło: Komitet Główny Olimpiady Fizycznej A. Wysmołek; Fizyka w Szkole nr 1, Andrzej Wysmołek Komitet Główny Olimpiady Fizycznej, IFD UW. XLVIII OLIMPIADA FIZYCZNA (1998/1999). Stopień III, zadanie doświadczalne D Źródło: Komitet Główny Olimpiady Fizycznej A. Wysmołek; Fizyka w Szkole nr 1, 2000. Autor: Nazwa zadania: Działy: Słowa kluczowe:

Bardziej szczegółowo

Opis ćwiczenia. Cel ćwiczenia Poznanie budowy i zrozumienie istoty pomiaru przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Henry ego Katera.

Opis ćwiczenia. Cel ćwiczenia Poznanie budowy i zrozumienie istoty pomiaru przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Henry ego Katera. ĆWICZENIE WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO ZA POMOCĄ WAHADŁA REWERSYJNEGO Opis ćwiczenia Cel ćwiczenia Poznanie budowy i zrozumienie istoty pomiaru przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego

Bardziej szczegółowo

Geometria Struny Kosmicznej

Geometria Struny Kosmicznej Spis treści 1 Wstęp 2 Struny kosmiczne geneza 3 Czasoprzestrzeń struny kosmicznej 4 Metryka czasoprzestrzeni struny kosmicznej 5 Wyznaczanie geodezyjnych 6 Wykresy geodezyjnych 7 Wnioski 8 Pytania Wstęp

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby

Bardziej szczegółowo

BADANIE ELEKTRYCZNEGO OBWODU REZONANSOWEGO RLC

BADANIE ELEKTRYCZNEGO OBWODU REZONANSOWEGO RLC Ćwiczenie 45 BADANE EEKTYZNEGO OBWOD EZONANSOWEGO 45.. Wiadomości ogólne Szeregowy obwód rezonansowy składa się z oporu, indukcyjności i pojemności połączonych szeregowo i dołączonych do źródła napięcia

Bardziej szczegółowo

Q t lub precyzyjniej w postaci różniczkowej. dq dt Jednostką natężenia prądu jest amper oznaczany przez A.

Q t lub precyzyjniej w postaci różniczkowej. dq dt Jednostką natężenia prądu jest amper oznaczany przez A. Prąd elektryczny Dotychczas zajmowaliśmy się zjawiskami związanymi z ładunkami spoczywającymi. Obecnie zajmiemy się zjawiskami zachodzącymi podczas uporządkowanego ruchu ładunków, który często nazywamy

Bardziej szczegółowo

Przestrzenne układy oporników

Przestrzenne układy oporników Przestrzenne układy oporników Bartosz Marchlewicz Tomasz Sokołowski Mateusz Zych Pod opieką prof. dr. hab. Janusza Kempy Liceum Ogólnokształcące im. marsz. S. Małachowskiego w Płocku 2 Wstęp Do podjęcia

Bardziej szczegółowo

Zakładamy, że są niezależnymi zmiennymi podlegającymi (dowolnemu) rozkładowi o skończonej wartości oczekiwanej i wariancji.

Zakładamy, że są niezależnymi zmiennymi podlegającymi (dowolnemu) rozkładowi o skończonej wartości oczekiwanej i wariancji. Wnioskowanie_Statystyczne_-_wykład Spis treści 1 Centralne Twierdzenie Graniczne 1.1 Twierdzenie Lindeberga Levy'ego 1.2 Dowód 1.2.1 funkcja tworząca sumy zmiennych niezależnych 1.2.2 pochodna funkcji

Bardziej szczegółowo

Krzywa uniwersalna Sierpińskiego

Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Małgorzata Blaszke Karol Grzyb Streszczenie W niniejszej pracy omówimy krzywą uniwersalną Sierpińskiego, zwaną również dywanem Sierpińskiego. Pokażemy klasyczną metodę

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE

PRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0, C. 0. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba

Bardziej szczegółowo

1. Podstawy matematyki

1. Podstawy matematyki 1. Podstawy matematyki 1.1. Pola Pole wiąże wielkość fizyczną z położeniem punktu w przestrzeni W przypadku, gdy pole jest zależne od czasu, możemy je zapisać jako. Najprostszym przykładem pola jest pole

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH

MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH Dowodzenie twierdzeń przy pomocy kartki. Część II Na rysunku przedstawiony jest obszar pewnego miasta wraz z zaznaczonymi szkołami podstawowymi. Wyobraźmy sobie, że mamy przydzielić

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 42 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ. Wprowadzenie teoretyczne.

Ćwiczenie 42 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ. Wprowadzenie teoretyczne. Ćwiczenie 4 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ Wprowadzenie teoretyczne. Soczewka jest obiektem izycznym wykonanym z materiału przezroczystego o zadanym kształcie i symetrii obrotowej. Interesować

Bardziej szczegółowo