Koherentna struktura wirów punktowych w zewnętrznym przepływie rozciągającym

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Koherentna struktura wirów punktowych w zewnętrznym przepływie rozciągającym"

Transkrypt

1 Koherentna struktura wirów punktowych w zewnętrznym przepływie rozciągającym Marcin Kurowski Warszawa, sierpień 2003 Promotor: dr Konrad Bajer Uniwersytet Warszawski, Wydział Fizyki, Instytut Geofizyki

2 Streszczenie W pracy został opisany problem oddziaływania struktury koherentnej, tworzonej przez wiry punktowe, z zewnętrznym przepływem rozciągającym. Eliptyczna chmura wirów pod nieobecność przepływu obraca się ze stałą prędkością kątową. Dodanie przepływu zaburza trwałość struktury, która może zostać rozerwana przez przepływ. niewielkich wartości natężenia przepływu chmura ewoluuje spokojnie. Dla Pojawiają się niewielkie oscylacje półosi elipsy, a jej prędkość kątowa ulega zmniejszeniu. Wzrost natężenia przepływu zewnętrznego zwiększa amplitudę oscylacji półosi oraz powiększa różnice pomiędzy minimalną, a maksymalną prędkością kątową elipsy. Pojawiają się efekty związane ze zbliżaniem się wirów w okolicę głównych punktów stagnacji: zwiększa się szansa na oderwanie się wiru od chmury oraz następuje zmiana kształtu eliptycznego na spiralny. Zwiększają się fluktuacje gęstości wirów w chmurze. Proces wyciekania wirowości powoduje zmniejszanie się obszaru stabilnego, wskutek czego następne wiry dostają się w obszar wymywania. Może odbywać się to gwałtownie (mamy wtedy natychmiastowe rozerwanie chmury przez przepływ), lub bardzo powoli (chmura traci małe ilości wirów w długim czasie). Dla krytycznej wartości natężenia przepływu elipsa ustawia się w okolicy kąta 4 1 π i ulegając spłaszczeniu zaczyna tracić wiry. W czasie tego procesu elipsa znajduje się na pograniczu dwóch przepływów o przeciwnych kierunkach, co jest przyczyną powstania niestabilności Kelvina-Helmholtza. Zaburzenia propagują się, powodując że duże fragmenty chmury zostają zabrane przez przepływ. Chmura rozpada się na ścieżkę mniejszych struktur wirowych.

3 Abstract A numerical analysis of the motion of elliptic region created by a group of identical point vortices in a uniform straining flow is given. The cloud of vortices rotates around its center of vorticity and axis ratio is being changed. The stronger strainig flow increases the amplitude of oscillations. Density of vortices becomes non-uniform. Fluctuations can be the reason of loosing a little groups of vortices. It can start the decay of the cloud. The process can go slowly (single vortices are being scrapped by the flow) or rapidly (vortices leave the structure, and the flow can penetrate the cloud deeper to pull out more vortices). The eliptic shape of the cloud can change into a spiral. At the critical value of the strain axis are rotated by angle of 4 1 π and two little streaks of vortices flow out from the cloud. As a consequence of the Kelvin-Helmholtz instability the cloud comes apart and a big structure becomes the vortex street.

4 Spis treści 1 Wstęp 5 2 Dynamika wirów punktowych Wir punktowy Równania ruchu Metoda wirów punktowych Wiry w zewnętrznym przepływie rozciagaj acym Para wirów w zewnętrznym przepływie rozciągającym Duża liczba wirów w zewnętrznym przepływie rozciągającym Analiza numeryczna Właściwości schematu Wyniki symulacji Mała struktura koherentna Duża struktura koherentna Podsumowanie 43 4

5 1 Wstęp Ewolucja wirowości, a zatem także ruch wirów, są obecne w każdym przepływie rzeczywistym. Z tej przyczyny dynamika wirów ma duże znaczenie praktyczne. Temat doczekał się bogatej literatury, niejednokrotnie przesyconej wyrafinowaną matematyką, a zakres badań jest zdumiewająco szeroki. Niniejsza praca porusza problem oddziaływania dużej struktury koherentnej, tworzonej przez wiry punktowe, z zewnętrznym przepływem rozciągającym. Twierdzenie Helmholtza mówi o tym, że w obszarze jednospójnym każde pole wektorowe (w naszym przypadku pole prędkości) można rozłożyć na sumę dwóch pól: u Φ Ψ (1) Pierwszy człon to część bezwirowa (w której mieści się cała dywergencja pola u), zaś drugi to część bezdywergencyjna (w której zawarta jest cała informacja o wirowości pola u). Dynamika drugiego członu tego równania odpowiada za zjawiska związane z ewolucją wirowości i właśnie ten człon jest dla nas najważniejszy. Równanie opisujące ewolucję pola wirowości dla przepływu nielepkiego i nieściśliwego ma postać: gdzie wirowość ω t ω u. u ω ω u (2) Równanie (2) posiada pewną bardzo użyteczną cechę. Dla przypadku dwuwymiarowego przejście ze zmiennych opisujących pole prędkości u x y do zmiennych opisujących pole wirowości ω 0 0 ω daje nam wygodny, jednoparametrowy opis zachowania się badanego pola. Dodatkowym atutem takiego podejścia jest naturalny podział obszaru przepływu na rejony unoszące wirowość bądź jej pozbawione, a co za tym idzie - rozdzielenie obszarów o różnych własnościach fizycznych. 5

6 2 Dynamika wirów punktowych 2.1 Wir punktowy Najprostszym modelem dwuwymiarowego przepływu wirowego jest wir punktowy. Definiują go w pełni dwie wielkości: tzw. siła wiru (czyli jego cyrkulacja) oraz położenie na płaszczyźnie. Można tu zauważyć pewną analogię do ładunku bądź masy punktowej, z tą subtelną różnicą, że wir pozbawiony jest namacalnej, fizycznej obecności jaką daje posiadanie masy. Konsekwencją tej cechy, co zobaczymy za chwilę, jest specyficzna postać równań ruchu. Jedyny sposób na wykrycie obecności wiru to obserwacja skutków jego oddziaływania na przepływ. Pole prędkości wiru punktowego wyrażone we współrzędnych biegunowych przybiera postać: u r ϕ k e ϕ (3) 2π r r 0 gdzie k jest cyrkulacją wiru, r 0 jego położeniem. Rotacja pola u jest równa zero w każdym punkcie płaszczyzny za wyjątkiem centrum wiru. Całka z rotacji po dowolnej powierzchni zawierającej środek wiru daje wynik różny od zera: u ds u dl k (4) S Zatem wirowość pola wynosi zero wszędzie poza jego centrum x 0 y 0, w którym jest nieskończona: ω k y 2 0 S δ x x 0 δ y y 0 e z (5) 2π x 2 0 Owa punktowa wirowość, tzw. rdzeń wiru, przybiera tutaj zdegenerowaną formę, niemniej każdy wir rzeczywisty posiada wokół centrum charakterystyczny obszar wirowości. Dla porównania rdzeń wiru Burgersa jest dwuwymiarową funkcją Gaussa z maksimum w centrum wiru. Warto wspomnieć, że wir punktowy nie jest jedynie tworem matematycznym. Takie wiry zostały zaobserwowane w nadciekłym helu (S.K. Niemirowski i W. Fiszdon 1995). 2.2 Równania ruchu Rozważamy dwuwymiarowy przepływ płynu nielepkiego i nieściśliwego. Pole prędkości w centrum każdego wiru jest superpozycją pól pozostałych wirów (wir nie oddziałuje sam ze sobą). Podobnie dzieje się w przypadku dynamiki mas punktowych, z tą różnicą, że cyrkulacja w odróżnieniu od masy może przybierać dowolny znak. Dodatkowo problem wirów punktowych, w odróżnieniu od problemu mas punktowych, 6

7 ograniczony jest do dwóch wymiarów. Dla przepływu w płaszczyźnie XY ogólna postać potencjału wektorowego: Ψ 0 0 Ψ (jest to konsekwencja równania (1)). Składowe pola prędkości wyglądają następująco: u dx dt gdzie Ψ jest funkcją prądu. Ψ y v dy dt Ψ x Wir nie posiadając masy podróżuje unoszony przez zewnętrzne pole prędkości, pochodzące od innych wirow. W swoim ruchu zachowuje się dokładnie tak samo jak pasywne elementy płynu unoszone przez przepływ, będąc jednocześnie źródłem zaburzającym pole, w którym poruszają się inne cząstki płynu (wiry). Równanie ruchu i - tego wiru wygląda następująco: dr i dt N j i (6) k j 2πr i j e ϕi j (7) gdzie e ϕi j jest wersorem prostopadłym do wektora łączącego centra pary wirow i j: e ϕi j e z r i r j r i r j Daje to układ 2N równań różniczkowych cząstkowych pierwszego rzędu, w pełni opisujących ruch N wirów: ẋ i ẏ i N j i N j i k j 2πr 2 i j k j 2πr 2 i j y i y j (8) x i x j (9) Dzięki swojej specyficznej postaci równania (8) i (9) dają się sprowadzić do układu równań kanonicznych: gdzie hamiltonian układu: H y i (10) k i ẏ i H x i (11) k i ẋ i H 1 4π k i k j ln r i j (12) i j Zmiennymi kanonicznymi układu są k i x i y i lub równoważnie x i k i y i, gdzie k i x i (lub x i ) na mocy (10) są położeniami uogólnionymi i odpowiednio y i (lub k i y i ) na mocy (11) 7

8 pędami uogólnionymi. Wypelnioną wirami płaszczyznę XY wyobrażać sobie można jako poglądowy obraz przestrzeni fazowej (2N-wymiarowej), w której oś OX jest kierunkiem położeń uogólnionych (odłożone są na niej wartości położeń uogólnionych każdego wiru), a oś OY kierunkiem pędów uogólnionych. Ponieważ układ posiada N położeń uogólnionych, ma także N stopni swobody. Innym możliwym podejściem jest potraktowanie płaszczyzny przepływu jako płaszczyzny zespolonej. Wówczas hamiltonian: H 1 2π k 1 i i k j ln z i z j (13) j N Istnienie hamiltonianu dla tego układu niesie ze sobą pewne konsekwencje. Ponieważ nie zależy on explicite od czasu, jest zatem całką ruchu. Nie zmienia się także przy translacji (jednorodność przestrzeni) i obrocie (izotropowość przestrzeni), co implikuje istnienie dodatkowych niezmienników: k i x i const (14) i i k i y i const (15) k i x 2 i i y 2 i const (16) Równanie (15) jest odpowiednikiem zasady zachowania pędu, zaś równanie (16) zasady zachowania momentu pędu. Środek wirowości (odpowiednik środka masy) takiego układu zdefiniowany jest jako: X Y 1 i k i i k i x i k i y i i (17) Równania ruchu (8) i (9) są całkowalne dla N 2 i 3. Dwa wiry poruszają się po okręgach o środku w centrum wirowości, który leży na prostej przechodzącej przez środki wirów i może znajdować się pomiędzy nimi (w przypadku jednakowych znaków cyrkulacji - mamy wtedy ruch planetarny), bądź poza nimi (przeciwne znaki cyrkulacji - ruch dipola po okręgu lub linii prostej). Odległość między wirami jest stałą ruchu. Układ trzech wirów jest minimalnym przypadkiem, dla którego pojawia się możliwość osiągnięcia nowych skal ruchu. W zależności od cyrkulacji i położeń początkowych może on ewoluować w rozmaity sposób. Odległości między wirami nie muszą być zachowane, a trójkąt którego są wierzchołkami może zmieniać swoją powierzchnię, obracać się wokół środka wirowości, rozszerzać do nieskończoności, a nawet w skończonym czasie zwinąć do punktu (wiry poruszają się wówczas po spiralach logarytmicznych), powodując scalenie trójki wirów (H. Aref 1979). Układ czterech i więcej wirów nie jest już całkowalny, 8

9 czego efektem jest chaotyczny ruch elementów, które go tworzą (H. Aref i N. Pomphrey 1982, H. Aref 1983, B. Eckhardt i H. Aref 1988). 2.3 Metoda wirów punktowych W 1858 roku Helmholtz wyprowadził podstawowe prawa rządzące dynamiką wirów, proponując po raz pierwszy model wiru punktowego. Do przedstawienia ruchu wirów najwygodniej używać opisu Lagrange owskiego, będąc w układzie podążającym za elementem płynu. Dla dwuwymiarowego przepływu nieściśliwego i nielepkiego wirowość każdego elementu płynu jest zachowana w czasie. Może być ona co najwyżej unoszona przez pole prędkości. Idąc dalej - w uproszczonej analizie przepływu rozważać można skończoną liczbę elementów płynu obdarzonych wirowością. Takimi elementami są wiry punktowe. Zatem wir rzeczywisty, charakteryzujący się ciągłym rozkładem wirowości, w pierwszym przybliżeniu zastępujemy chmurą wirów punktowych. Przy dużej liczbie wirów pojawia się problem chaotyczności układu. Gdy jednak wyróżnimy strukturę koherentną, skupiającą wiry o podobnych własnościach (ten sam znak cyrkulacji), możemy zredukować liczbę stopni swobody (tzw. zanik wewnętrznych stopni swobody), odwołując się do współrzędnych środka wirowości całej struktury i traktować ją jako jeden obiekt. Metoda znana jest pod nazwą metody wirów punktowych. Jej stosowalność z racji dużych uproszczeń (zaniedbanie lepkości) jest mocno ograniczona. Zaletą metody jest niewątpliwie fakt, że potrafi ona skomplikowany układ uczynić łatwiejszym, czy wręcz możliwym do przeanalizowania. 9

10 3 Wiry w zewnętrznym przepływie rozciągającym W dalszej części pracy będziemy rozważać wiry w zewnętrznym przepływie, którego funkcja prądu ma postać: Ψ Cxy (18) Zatem pole prędkości: u x y Cxe x Cye y (19) Od tej chwili ustalamy C 0. Rysunek 1: Linie pradu przepływu rozciagaj acego (19). Umieszczenie w takim przepływie wiru punktowego spowoduje, że wokół wiru pojawi się zamknięty obszar przepływu (lokalna dominacja pola prędkości). Jeśli wir zostanie umieszczony w punkcie stagnacji, kształt owego obszaru będzie przypominał kocie oko, a modyfikacja pola będzie trwała (ewentualnie w swoim położeniu początkowym wir może znajdować się na osi OY, wtedy nieskończenie długo będzie zmierzał w kierunku punktu stagnacji). W przeciwnym wypadku przepływ uniesie go wzdłuż osi OX do lub. Przeciwległe końce kociego oka są dwoma nowymi punktami stagnacji. Leżą one na prostej y x (dla dodatniej cyrkulacji wiru), lub y x (dla cyrkulacji ujemnej). Odległość punktów stagnacji od środka: R k 2πC (20) 10

11 Rysunek 2: Linie pradu dla przepływu z wirem punktowym umieszczonym w poczatku układu współrzędnych. Obszar w środku to tzw. kocie oko z dwoma punktami stagnacji na prostej y x. Kolorem niebieskim została oznaczona separatrysa. Odległość między punktami stagnacji wynosi 2k πc. 3.1 Para wirów w zewnętrznym przepływie rozciągającym W przepływie rozciągającym (19) umieszczamy parę wirów o jednoimiennych cyrkulacjach. Przy braku przepływu zewnętrznego rozwiązanie równań ruchu względem środka wirowości wygląda następująco: x 1 t r 12 k 2 k 1 k 2 cos Ωt y 1 t r 12 k 2 k 1 k 2 sin Ωt (21) x 2 t r 12 k 1 k 1 k 2 cos Ωt y 2 t r 12 k 1 k 1 k 2 sin Ωt (22) gdzie Ω k 1 k 2. r

12 W obecności przepływu równania ruchu wyglądają tak: x 1 k 2 y 1 y r 2 Cx (23) y 1 k 2 x 1 x r 2 Cy (24) x 2 k 1 y 2 y r 1 Cx (25) y 2 k 1 x 2 x 1 Cy 2 (26) Odległość między wirami r 12 nie jest już stałą ruchu. r 2 12 Zastanówmy się jak zmienia się położenie punktów stagnacji w zależności od odległości między wirami oraz ich ustawienia względem układu współrzędnych. Dla ustalenia uwagi weźmy parę wirów o jednakowych cyrkulacjach dodatnich k. Jeśli rozsuwamy je wzdłuż prostej y x, odległość punktów stagnacji zmienia się zgodnie ze wzorem: R d gdzie 2d jest odległością między wirami. k d πc 2 (27) Dla d 0 mamy przypadek jednego wiru o cyrkulacji rówej sumie cyrkulacji wirów, które go tworzą. Rozsunięcie wirów wzdłuż prostej wyznaczonej przez punkty stagnacji powoduje zwiększenie odległości między punktami, a tym samym powiększenie rozmiarów kociego oka. W sytuacji, gdy rozsuniemy wiry wzdłuż prostej prostopadłej do wyznaczonej przez punkty stagnacji, odległość między owymi punktami zmaleje: R d k πc d 2 (28) Spróbujmy teraz znaleźć ruch pary wirów punktowych umieszczonych w zewnętrznym przepływie. Policzmy najpierw jak zachowują się współrzędne środka wirowości (17): Ẋ 1 i k i i ẋ i 1 i k i i Cx i CX (29) Ẏ 1 i k i i ẏ i 1 i k i i Cy i CY (30) Prędkość środka wirowości jest taka sama jak prędkość przepływu zewnętrznego (19). Będzie on więc unoszony przez pole prędkości, czyli: X t X o e Ct (31) Y t Y o e Ct (32) Rozseparowanie ruchu układu na ruch środka wirowości i ruch wirów względem niego nie prowadzi do uproszczenia sytuacji. Dzieje się tak dlatego, że pole, w którym poruszają 12

13 się wiry, zależy od położenia środka wirowości (w przypadku braku przepływu sposób ten prowadzi do rozwiązania). Możemy jednak założyć, że szukamy tylko rozwiązań stacjonarnych (w sensie braku przemieszczeń środka wirowości), czyli żądamy aby środek wirowości pokrywał się z punktem stagnacji przepływu zewnętrznego. Mamy wówczas sytuację pewnej symetrii przepływu, która nie występuje w żadnym innym położeniu środka wirowości. Wtedy: Odległość między wirami: k 1 x 1 k 2 x 2 0 (33) k 1 y 1 k 2 y 2 0 (34) r 12 t x 1 t x 2 t 2 y 1 t y 2 t 2 (35) Po wykorzystaniu równań (33) i (34) r 12 jest postaci: lub równoważnie: r 12 t 1 k 1 k 2 x 1 t 2 y 1 t 2 (36) r 12 t 1 k 2 k 1 Równania ruchu można uprościć w ten sam sposób, otrzymując: x 2 t 2 y 2 t 2 (37) i podobnie: 1 k 1 k 2 x 2 1 ẋ 1 k 2 y 1 y k 1 k 2 x 2 1 ẏ 1 k 2 x 1 y 2 1 Cx 1 (38) Cy 1 (39) 1 k 2 k 1 x 2 2 ẋ 2 k 1 y 2 y k 2 k 1 x 2 2 ẏ 2 k 1 x 2 y 2 2 Cx 2 (40) Cy 2 (41) Pod nieobecność przepływu zewnętrznego (C 0), gdy r 12 jest stałe, zróżniczkowanie na przykład równania (38) z następnym podstawieniem za ẏ 1 równania (39) daje równanie oscylatora. Obecny przypadek jest bardziej skomplikowany, dostajemy dwa uwikłane równania różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu. Mnożąc drugie z nich (39) przez i i dodając (38) i (39) do siebie (lub równoważnie (40) i (41)) otrzymujemy: ż ia Cz (42) z 13

14 gdzie a k 2 2 k 1 k 2 dla równań (38) i (39), lub a k 2 1 k 1 k 2 dla równań (40) i (41). Ponieważ analitycznego rozwiązania nie widać, przeanalizujmy te równania numerycznie. Najpierw zastanówmy się nad tym ilu parametrowa jest rodzina rozwiązań badanego układu. Mamy do dyspozycji trzy parametry: C 1 s, k m 2 s i d m. Możemy z tych wielkości stworzyć dwie niezależne skale długości: d (rzędu odległości początkowej między wirami) lub k C (rzędu odległości między punktami stagnacji) i dwie niezależne skale czasowe: 1 C (charakterystyczny czas pobytu cząstki w pobliżu dowolnego, ale stałego R) lub d2 k (czas rzędu okresu obiegu pary wokół centrum wirowości). Podzielenie przez siebie tych skal daje tę samą bezwymiarową liczbę, co sugeruje że rodzina rozwiązań jest jednoparametrowa. Aby się o tym przekonać, weźmy równanie (42) i ustalając jednostki dokonajmy jego ubezwymiarowienia. Wymiary wielkości występujących w równaniu są następujące: ż m s, a m 2 s, z m Dokonujemy przeskalowania tych wielkości na ich bezwymiarowe odpowiedniki: ż dcż k ż d a ka z k d z C z Po podstawieniu do równania (42) dostajemy równanie (42) w postaci bezwymiarowej: ż ia z Cd 2 k z (43) Jedynym parametrem, od którego zależy równanie (43), jest wyrażenie stojące przy z w ostatnim wyrazie. Zdefiniujmy je na potrzeby pracy jako liczbę B: B k Cd 2 (44) Transformacja wielkości opisujących układ, która nie zmienia wartości liczby B, nie wpływa na postać równań ruchu. Dopiero zmiana B daje możliwość uzyskania nowych rozwiązań. W hydrodynamice pojawia się wiele analogicznych liczb (Reynoldsa, Prandtla etc.), ale rola ich jest zawsze ta sama: parametryzują rodzinę rozwiązań danego układu. Wiedząc że rodzina rozwiązań jest jednoparametrowa, możemy dokończyć numeryczną analizę równania (42). Poza zależnością od liczby B, wyniki zależą także od warunku 14

15 początkowego, czyli od ustawienia pary wirów względem osi układu współrzędnych. Gdy ustalimy dowolne dwie spośród trzech wielkości tworzących liczbę B, zmienność trzeciej daje nam możliwość wyznaczenia zakresu stabilności układu. Niech więc k oraz d będą ustalone, zaś natężenie przepływu zewnętrznego C będzie parametrem zmiennym. W chwili początkowej wiry leżą na prostej y x. Spodziewać się można, że dla dużych wartości B (C 0) para wirów istnieje w stanie związanym, natomiast dla małych B (C ) układ będzie rozrywany. Wyniki przedstawione są na rysunkach (3) i (4). Rysunek 3: Trajektoria jednego z wirów w układzie pary wirów o jednakowych cyrkulacjach dla różnych liczb B. Warunek poczatkowy jednakowy dla wszystkich przypadków. Numerycznie znaleziona krytyczna wartość B wynosi około Dla dużych wartości B (słaby przepływ), mamy parę wirów rotującą wokół środka wirowości po trajektoriach przypominających elipsy (gdy B orbity stają się kołowe). Im mniejsza wartość B (wzrost wartości natężenia przepływu zewnętrznego) tym większe różnice między minimum i maksimum r 12. Nieintuicyjnie zachowuje się częstość kołowa rotującej pary. Gdy B maleje, częstość najpierw nieznacznie rośnie, a dopiero przy pewnych wartościach Bk zaczyna ona maleć. Gdy B osiąga wartość krytyczną, wiry umieszczone na prostej y x pozostają w bezruchu (znajdując się wtedy dokładnie 15

16 R(t) B=125.7 B=50.3 B=12.7 B=6.3 B=4.2 B=3.4 B= t Rysunek 4: Odległość między wirami w układzie pary wirów o jednakowych cyrkulacjach dla różnych sił przepływu zewnętrznego. B jest powyżej wartości krytycznej, która wynosi około Na osi czasu odłożone sa okresy obrotu pary wirów dla C 0. w punktach stagnacji) - dla rozpatrywanego przypadku numerycznie wyliczone B kryt Zmniejszenie wartości B powoduje rozerwanie pary i wiry wędrują razem z przepływem: jeden do, drugi do. Dalsze zmniejszanie B zwiększa jedynie prędkość unoszenia wirów do nieskończoności. Charakterystycznym zjawiskiem są niewielkie oscylacje położenia punktów stagnacji. Gdy wiry ustawiają się na prostej y x, kocie oko jest najbardziej wydłużone i jednocześnie najwęższe. Dalszy obrót pary o π 2 ustawia wiry w położeniu, w którym punkty stagnacji są najbliżej siebie. Oko jest wtedy najbardziej pękate. Z powyższych analiz wynika, że istnieją rozwiązania, pozwalające parze wirów w obecności przepływu zewnętrznego utrzymać stan związany. Obliczenia numeryczne wskazują na to, że rozwiązania te są stabilne. Spróbujmy przeanalizować teraz przypadek bardziej złożony. 16

17 3.2 Duża liczba wirów w zewnętrznym przepływie rozciągającym Dla wirów umieszczonych w przepływie (19) równania ruchu wyglądają następująco: ẋ i ẏ i N j i N j i k j 2πr 2 i j k j 2πr 2 i j y i y j Cx i (45) x i x j Cy i (46) Równania te można sprowadzić do postaci kanonicznej (patrz równania (10) i (11)), przy czym, podobnie jak w przypadku nieobecności przepływu zewnętrznego, współrzędne przestrzenne są jednocześnie współrzędnymi kanonicznymi (położeniami i pędami uogólnionym). Hamiltonian przybiera postać: H k i k j i ln r i j 4π j k i C x i x 0 y i y 0 (47) i gdzie x 0 y 0 jest położeniem środka symetrii przepływu zewnętrznego. Ponieważ wirowością obdarzone są jedynie centra wirów, jej ewolucja wygląda następująco: ω i 2π x 2 i k i y 2 i gdzie x i y i jest położeniem i-tego wiru. δ x x i t δ y y i t (48) Powstaje naturalne pytanie, czy w tym przypadku obowiązują nadal prawa zachowania (14), (15) i (16). Aby to stwierdzić, trzeba odnieść się do założeń, na których opierają się pierwotne wyliczenia. Pierwsze dwie całki ruchu wyprowadzone były przy założeniu jednorodności przestrzeni. Wówczas translacja układu o dowolny wektor nie zmieniała własności układu (δh 0). W tym przypadku jest nieco inaczej, dlatego że w hamiltonianie (13) występuje człon związany z przepływem zewnętrznym. O ile pierwszy człon zawiera tylko wzajemne odległości między wirami i jest nieczuły na zmiany układu odniesienia, o tyle drugi zależy od konkretnego położenia wirów w przestrzeni. Obrót układu o dowolny kąt także nie zachowuje stałości hamiltonianu, nie możemy więc wyprowadzić dodatkowych zasad zachowania. Zasady zachowania (14), (15) i (16) ewoluują w obecności przepływu w następujący sposób: d i k i x i dt d i k i y i dt 17 C k i x i (49) i C k i x i (50) i

18 d i k i x 2 i k i y 2 i dt 2C k i x 2 i y 2 i (51) i Wszystkie trzy wielkości (14) (15) i (16) są stałe gdy C 0 lub gdy wiry są skupione w początku układu współrzędnych (przypadek trywialny - jeden wir umieszczony w punkcie stagnacji). Rozważmy teraz przypadek wielu wirów posiadających ten sam znak cyrkulacji. Mówiąc inaczej wyróżnijmy pewną strukturę koherentną. Wiadomo że ruch N 3 wirów w ogólności jest chaotyczny (H. Aref 1982) (H. Aref 1985). W tej sytuacji da się jednak powiedzieć coś więcej na temat ich zachowania. Z równania (16) wynika, że gdy C 0, skoncentrowana grupa wirów o takim samym znaku cyrkulacji nie może rozproszyć się po całej przestrzeni. Jest to silne ograniczenie, będące przyczyną trwałości takiej struktury. Całość można więc potraktować jako jeden obiekt, wewnątrz którego zachodzi chaotyczny ruch elementów składowych. Struktura ta nie ma jednak przypadkowego kształtu, ewoluującego w nieprzewidywalny sposób. Przyglądając się jej w najmniejszych skalach długości obserwujemy chaotyczny ruch wirów, ale razem ze zwiększaniem się skali długości zanikają wewnętrzne stopnie swobody, a wraz z nimi chaos. Ruch środka wirowości całej struktury jest już dobrze zdefiniowany (patrz równania (31) i (32)). Numeryczna analiza pokazuje, że ewolucja kształtu chmury wirów o jednoimiennych cyrkulacjach prowadzi do wygładzenia początkowych chropowatości (zaokrąglenie rogów). To wygładzenie nie dzieje się bynajmniej za sprawą lepkości, ktora jak pamiętamy jest zerowa. Jest to wyłącznie efekt kinematyczny. W dalszej ewolucji kształt obiektu zmienia się dość regularnie, choć wiry punktowe, z których jest on zbudowany, mogą wewnątrz obiektu dowolnie migrować. Poza przypadkiem trzech wirów, które mogą połączyć się w jeden, wiry nie mogą na siebie wpadać (wyklucza to profil prędkości wiru). Zastanówmy się zatem jaką zmianę wprowadza do układu zadany przez nas przepływ zewnętrzny. Z dotychczasowych rozważań wynika, że bardzo silnie modyfikuje on własności struktury koherentnej. Najistotniejszym efektem dodania przepływu jest zniesienie ograniczenia na położenie wirów w przestrzeni. Oznacza to, że trwała do tej pory struktura może rozpaść się na mniejsze, bądź w ogóle przestać istnieć (w przypadku rozseparowania wirów). Aby nadać naszym rozważaniom bardziej fizyczną wymowę, przepływ (19) modeluje w pierwszym przybliżeniu wpływ odległych wirów na jeden wyróżniony, znajdujący się w pobliżu punktu 0 0, który z kolei modelujemy za pomocą chmury wirów punktowych. Zatem prezentowane podejście można rozumieć jako uproszczony model interakcji między wirami. Gdy dwa wiry zostają rozsunięte na pewną odległość, pole prędkości w ich pobliżu jest zaburzone, ale daleko od nich, w pierwszym przybliżeniu, nadal zachowuje się jak pole od wiru punktowego. Podobnie dzieje się w przypadku dużej liczby wirów. Z dala od 18

19 nich pole prędkości mało różni się od pola wiru punktowego umieszczonego w centrum wirowości, mającego sumaryczną cyrkulację wszystkich wirów. W pobliżu i wewnątrz chmury wirów charakter pola jest bardzo nieregularny. Spodziewać się można, że odległość głównych punktów stagnacji od początku układu współrzędnych będzie miała podobną zależność jak w przypadku pojedyńczego wiru, czyli przez rozkład przestrzenny wirów. k i C, modyfikowaną Rysunek 5: Przykładowy profil prędkości (wartości bezwzględnej) wzdłuż wybranej półprostej wychodzacej ze środka wirowości. Charakterystyczne piki to zaburzenia pochodzace od bliskich wirów punktowych. Linia czerwona narysowane jest pole od wiru punktowego o sumarycznej cyrkulacji wirów tworzacych chmurę. Przypadek bez przepływu zewnętrznego. Kida (S. Kida 1981) badał zachowanie się eliptycznej łaty o stałej wirowości, umieszczonej w zewnętrznym przepływie rozciągającym, również obdarzonym stałą wirowością. Rozważając przepływ dwuwymiarowy, nieściśliwy i nielepki poszukiwał rozwiązań niestacjonarnych, uzupełniając uzyskane przez Moora i Saffmana rozwiązanie stacjonarne. Warunkiem początkowym było umieszczenie elipsy w centrum układu współrzędnych tak, aby jej półosie pokrywały się z osiami układu. Rozwiązaniem stacjonarnym jest ustawienie się elipsy pod kątem π 4 bez zmiany kształtu. Kida uzupełnił rozwiązanie o nowe możliwości zachowania się owej elipsy. Dla pewnej granicznej wartości przepływu, czego się można było spodziewać, elipsa jest rozrywana przez przepływ. Ciekawe wydają się rezultaty pośrednie. Istnieją rozwiązania pokazujące, że elipsa będzie obracać się z pewną prędkością kątową i zmieniać swój kształt (stosunek półosi), zachowując przy tym powierzchnię (powierzchnia jest stałą ruchu). Innym rozwiązaniem są nutacje elipsy, w których kąt między dużą półosią, a osią OX oscyluje między π 4 a π 4. Dalsza część 19

20 Rysunek 6: Moduł prędkości dla struktury koherentnej wirów o dodatnich cyrkulacjach, umieszczonych w zewnętrznym przepływie rozciagaj acym (19). niniejszej pracy dotyczy numerycznego badania własności struktury koherentnej, tworzonej przez dużą liczbę wirów punktowych, umieszczonych w zewnętrznym przepływie rozciągającym. Artykuł Kidy będzie dla nas ważnym punktem odniesienia, wszelako należy pamiętać że przepływ w którym umieszczamy strukturę wirów nie jest obdarzony wirowością. 4 Analiza numeryczna 4.1 Właściwości schematu Analiza ruchu układu złożonego z dużej liczby wirów jest możliwa do przeprowadzenia jedynie na drodze numerycznej. Istnieje wiele schematów numerycznych o różnej dokładności. My zastosujemy skrajnie prostą i efektywną zwyczajną metodę Eulera pierwszego rzędu. Według tego schematu wszystkie pochodne cząstkowe po czasie należy zastąpić wyrażeniami: ḟ f t δt f t δt (52) 20

21 Naturalnie im mniejsze δt tym bliżej jesteśmy prawdy o wartości pochodnej w danym punkcie. Jeśli n będzie indeksem kolejnych kroków czasowych, mamy: ḟ f n 1 f n δt Podstawiając powyższe do równań ruchu i dokonując przekształceń ze względu na n, otrzymujemy wartości funkcji w chwili n 1: x n 1 i y n 1 i x n i y n i δt N δt j i N j i k j y n i y n j 2πr 2 i j k j x n i x n j 2πr 2 i j (53) Cx n i (54) Cy n i (55) Przyjrzyjmy się dokładniej własnościom powyższego schematu. Dla zagadnień posiadających symetrię osiową, w których elementy poruszają się po trajektoriach kołowych, schemat generuje systematyczny błąd. Prześledzimy to na przykładzie wirów punktowych. Wyznaczenie położenia wiru w kolejnym kroku czasowym wymaga znalezienia dla niego wektora przemieszczenia, a nastepnie dokonania translacji obecnego położenia o tenże wektor. Kiedy wir porusza się po z grubsza kołowej trajektorii, jego odległość od centrum obrotu stale się zwiększa. Rysunek (7) przedstawia omawianą sytuację. Przeciwprostokątna każdego trójkąta jest przyprostokątną następnego. Traktujemy środek Rysunek 7: Numeryczny efekt będacy przyczyna zwiększania odległości wiru od centrum. obrotu jak źródło pola, zatem każde przemieszczenie odbywa się pod kątem prostym do promienia. Kąt obrotu w kolejnych krokach czasowych maleje, bowiem za każdym razem dokonujemy translacji o tę samą wartość dr. Dla wiru poruszającego się po orbicie kołowej odległość od centrum wyrażona rekurencyjnie: r n 1 dr 2 r 2 n (56) 21

22 Dla dużego n będzie to więc: r 2 n ndr 2 r 2 1 (57) Znamy zatem wartość odległości od centrum po n-tym kroku czasowym. Możemy dla uproszczenia szacunków założyć stałość kąta obrotu. Traktując dr jako infinitezymalne przesunięcie mamy: dϕ dr r 1. Kąt o jaki przemieści się wir po n krokach czasowych: ϕ n n dr r 1 Ilość kroków czasowych potrzebnych na obrót o 2π: n 2πr 1 dr Odległość wiru od centrum po jednym pełnym obrocie będzie więc: r 2 n 2πr 1 dr r 2 1 (58) Dokładność numerycznego schematu opisuje pierwszy wyraz sumy. Mamy pełną kontrolę nad błędem: zmniejszanie dr w prosty sposób zwiększa dokładność. Ograniczeniem dolnym na dr jest ilość kroków czasowych, która jest odwrotnie proporcjonalna do tej wielkości. W przypadku chmury wirów, kiedy mamy dużą zależność pola prędkości od położenia wiru w chmurze, trudniej jest precyzyjnie oszacować błędy numeryczne. Wykorzystajmy tu całkę ruchu (16), sprawdzając jej zachowanie w użytym schemacie. W dalszej części pracy będziemy nazywać ją dyspersją, utożsamiając tę wielkość z przestrzennym rozmyciem chmury. Program liczący ruch wirów daje nam możliwość zadania precyzji obliczeń, co oznacza że znamy maksymalne możliwe przemieszczenie dr. To że wir może być obecny w dowolnym miejscu chmury jest korzystne z punktu widzenia schematu, dlatego że błędy związane z każdym wirem uśrednią się. Wykorzystując (57) dostajemy maksymalną wartość dyspersji po n-tym kroku czasowym: S max Nndr 2 i r io 2 rin 2 (59) i gdzie S-dyspersja układu, N-liczba wirów, n-liczba kroków czasowych, r i -odległość i-tego wiru od centrum wirowości. Dochodzimy do wniosku, że dyspersja maksymalna jest liniową funkcją kroku czasowego. K-krotne zwiększenie dokładności (zmniejszenie dr) daje około K-krotne zmniejszenie wartości zaburzenia wprowadzanego przez schemat. Rosnąca dyspersja oznacza rozrastanie się chmury, zatem schemat numeryczny (53) narusza prawo zachowania (16). 22

Potencjał pola elektrycznego

Potencjał pola elektrycznego Potencjał pola elektrycznego Pole elektryczne jest polem zachowawczym, czyli praca wykonana przy przesunięciu ładunku pomiędzy dwoma punktami nie zależy od tego po jakiej drodze przesuwamy ładunek. Spróbujemy

Bardziej szczegółowo

METODY OBLICZENIOWE. Projekt nr 3.4. Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03

METODY OBLICZENIOWE. Projekt nr 3.4. Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03 METODY OBLICZENIOWE Projekt nr 3.4 Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03 Zadanie Nasze zadanie składało się z dwóch części: 1. Sformułowanie, przy użyciu metody Lagrange a II rodzaju, równania różniczkowego

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia

Bardziej szczegółowo

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Mechanika klasyczna Tadeusz Lesiak Wykład nr 4 Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Energia i praca T. Lesiak Mechanika klasyczna 2 Praca Praca (W) wykonana przez stałą

Bardziej szczegółowo

Ładunki elektryczne i siły ich wzajemnego oddziaływania. Pole elektryczne. Copyright by pleciuga@ o2.pl

Ładunki elektryczne i siły ich wzajemnego oddziaływania. Pole elektryczne. Copyright by pleciuga@ o2.pl Ładunki elektryczne i siły ich wzajemnego oddziaływania Pole elektryczne Copyright by pleciuga@ o2.pl Ładunek punktowy Ładunek punktowy (q) jest to wyidealizowany model, który zastępuje rzeczywiste naelektryzowane

Bardziej szczegółowo

Zwój nad przewodzącą płytą METODA ROZDZIELENIA ZMIENNYCH

Zwój nad przewodzącą płytą METODA ROZDZIELENIA ZMIENNYCH METODA ROZDZIELENIA ZMIENNYCH (2) (3) (10) (11) Modelowanie i symulacje obiektów w polu elektromagnetycznym 1 Rozwiązania równań (10-11) mają ogólną postać: (12) (13) Modelowanie i symulacje obiektów w

Bardziej szczegółowo

Notacja Denavita-Hartenberga

Notacja Denavita-Hartenberga Notacja DenavitaHartenberga Materiały do ćwiczeń z Podstaw Robotyki Artur Gmerek Umiejętność rozwiązywania prostego zagadnienia kinematycznego jest najbardziej bazową umiejętność zakresu Robotyki. Wyznaczyć

Bardziej szczegółowo

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Zagadnienie dane jest następująco: znaleźć funkcje własne i wartości własne operatora energii dla cząstki umieszczonej w nieskończonej studni potencjału,

Bardziej szczegółowo

Efekt motyla i dziwne atraktory

Efekt motyla i dziwne atraktory O układzie Lorenza Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja kopernika Toruń, 3 grudnia 2009 Spis treści 1 Wprowadzenie Wyjaśnienie pojęć 2 O dziwnych atraktorach 3 Wyjaśnienie pojęć Dowolny

Bardziej szczegółowo

Sztuczny satelita Ziemi. Ruch w polu grawitacyjnym

Sztuczny satelita Ziemi. Ruch w polu grawitacyjnym Sztuczny satelita Ziemi Ruch w polu grawitacyjnym Sztuczny satelita Ziemi Jest to obiekt, któremu na pewnej wysokości nad powierzchnią Ziemi nadano prędkość wystarczającą do uzyskania przez niego ruchu

Bardziej szczegółowo

PF11- Dynamika bryły sztywnej.

PF11- Dynamika bryły sztywnej. Instytut Fizyki im. Mariana Smoluchowskiego Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej Uniwersytetu Jagiellońskiego Zajęcia laboratoryjne w I Pracowni Fizycznej dla uczniów szkół ponadgimnazjalych

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA I. 5. Energia, praca, moc. http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I. 5. Energia, praca, moc. http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Wykład FIZYKA I 5. Energia, praca, moc Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html ENERGIA, PRACA, MOC Siła to wielkość

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów. 7. Całkowanie numeryczne Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 7. Całkowanie numeryczne 7.1. Całkowanie numeryczne 7.2. Metoda trapezów 7.3. Metoda Simpsona 7.4. Metoda 3/8 Newtona 7.5. Ogólna postać wzorów kwadratur

Bardziej szczegółowo

Definicja obrotu: Definicja elementów obrotu:

Definicja obrotu: Definicja elementów obrotu: 5. Obroty i kłady Definicja obrotu: Obrotem punktu A dookoła prostej l nazywamy ruch punktu A po okręgu k zawartym w płaszczyźnie prostopadłej do prostej l w kierunku zgodnym lub przeciwnym do ruchu wskazówek

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM FIZYKI PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ W NYSIE. Ćwiczenie nr 3 Temat: Wyznaczenie ogniskowej soczewek za pomocą ławy optycznej.

LABORATORIUM FIZYKI PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ W NYSIE. Ćwiczenie nr 3 Temat: Wyznaczenie ogniskowej soczewek za pomocą ławy optycznej. LABORATORIUM FIZYKI PAŃSTWOWEJ WYŻSZEJ SZKOŁY ZAWODOWEJ W NYSIE Ćwiczenie nr 3 Temat: Wyznaczenie ogniskowej soczewek za pomocą ławy optycznej.. Wprowadzenie Soczewką nazywamy ciało przezroczyste ograniczone

Bardziej szczegółowo

Wektor położenia. Zajęcia uzupełniające. Mgr Kamila Rudź, Podstawy Fizyki. http://kepler.am.gdynia.pl/~karudz

Wektor położenia. Zajęcia uzupełniające. Mgr Kamila Rudź, Podstawy Fizyki. http://kepler.am.gdynia.pl/~karudz Kartezjański układ współrzędnych: Wersory osi: e x x i e y y j e z z k r - wektor o współrzędnych [ x 0, y 0, z 0 ] Wektor położenia: r t =[ x t, y t,z t ] każda współrzędna zmienia się w czasie. r t =

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013 Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 013 3.4.1 Inwersja względem okręgu. Inwersja względem okręgu jest przekształceniem płaszczyzny

Bardziej szczegółowo

Metoda elementów skończonych

Metoda elementów skończonych Metoda elementów skończonych Wraz z rozwojem elektronicznych maszyn obliczeniowych jakimi są komputery zaczęły pojawiać się różne numeryczne metody do obliczeń wytrzymałości różnych konstrukcji. Jedną

Bardziej szczegółowo

PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO

PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO ĆWICZENIE 53 PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO Cel ćwiczenia: wyznaczenie wartości indukcyjności cewek i pojemności kondensatorów przy wykorzystaniu prawa Ohma dla prądu przemiennego; sprawdzenie prawa

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ LABORATORIUM FIZYCZNE

WYDZIAŁ LABORATORIUM FIZYCZNE 1 W S E i Z W WARSZAWIE WYDZIAŁ LABORATORIUM FIZYCZNE Ćwiczenie Nr 3 Temat: WYZNACZNIE WSPÓŁCZYNNIKA LEPKOŚCI METODĄ STOKESA Warszawa 2009 2 1. Podstawy fizyczne Zarówno przy przepływach płynów (ciecze

Bardziej szczegółowo

V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej

V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej V Konkurs Matematyczny Politechniki iałostockiej Rozwiązania - klasy pierwsze 27 kwietnia 2013 r. 1. ane są cztery liczby dodatnie a b c d. Wykazać że przynajmniej jedna z liczb a + b + c d b + c + d a

Bardziej szczegółowo

Energia potencjalna pola elektrostatycznego ładunku punktowego

Energia potencjalna pola elektrostatycznego ładunku punktowego Energia potencjalna pola elektrostatycznego ładunku punktowego Wszystkie rysunki i animacje zaczerpnięto ze strony http://web.mit.edu/8.02t/www/802teal3d/visualizations/electrostatics/index.htm. Tekst

Bardziej szczegółowo

Strumień pola elektrycznego i prawo Gaussa

Strumień pola elektrycznego i prawo Gaussa Strumień pola elektrycznego i prawo Gaussa Ryszard J. Barczyński, 2010 2015 Politechnika Gdańska, Wydział FTiMS, Katedra Fizyki Ciała Stałego Materiały dydaktyczne do użytku wewnętrznego Strumień pola

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami

Bardziej szczegółowo

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź.

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź. ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska Zad.1. (5 pkt) Sprawdź, czy funkcja określona wzorem x( x 1)( x ) x 3x dla x 1 i x dla x 1 f ( x) 1 3 dla

Bardziej szczegółowo

PRZEKROJE RYSUNKOWE CZ.1 PRZEKROJE PROSTE. Opracował : Robert Urbanik Zespół Szkół Mechanicznych w Opolu

PRZEKROJE RYSUNKOWE CZ.1 PRZEKROJE PROSTE. Opracował : Robert Urbanik Zespół Szkół Mechanicznych w Opolu PRZEKROJE RYSUNKOWE CZ.1 PRZEKROJE PROSTE Opracował : Robert Urbanik Zespół Szkół Mechanicznych w Opolu IDEA PRZEKROJU stosujemy, aby odzwierciedlić wewnętrzne, niewidoczne z zewnątrz, kształty przedmiotu.

Bardziej szczegółowo

Podstawy działań na wektorach - dodawanie

Podstawy działań na wektorach - dodawanie Podstawy działań na wektorach - dodawanie Metody dodawania wektorów można podzielić na graficzne i analityczne (rachunkowe). 1. Graficzne (rysunkowe) dodawanie dwóch wektorów. Założenia: dane są dwa wektory

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 42 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ. Wprowadzenie teoretyczne.

Ćwiczenie 42 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ. Wprowadzenie teoretyczne. Ćwiczenie 4 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ Wprowadzenie teoretyczne. Soczewka jest obiektem izycznym wykonanym z materiału przezroczystego o zadanym kształcie i symetrii obrotowej. Interesować

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

MAGNETYZM, INDUKCJA ELEKTROMAGNETYCZNA. Zadania MODUŁ 11 FIZYKA ZAKRES ROZSZERZONY

MAGNETYZM, INDUKCJA ELEKTROMAGNETYCZNA. Zadania MODUŁ 11 FIZYKA ZAKRES ROZSZERZONY MODUŁ MAGNETYZM, INDUKCJA ELEKTROMAGNETYCZNA OPRACOWANE W RAMACH PROJEKTU: FIZYKA ZAKRES ROZSZERZONY WIRTUALNE LABORATORIA FIZYCZNE NOWOCZESNĄ METODĄ NAUCZANIA. PROGRAM NAUCZANIA FIZYKI Z ELEMENTAMI TECHNOLOGII

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

K. Rochowicz, M. Sadowska, G. Karwasz i inni, Toruński poręcznik do fizyki Gimnazjum I klasa Całość: http://dydaktyka.fizyka.umk.

K. Rochowicz, M. Sadowska, G. Karwasz i inni, Toruński poręcznik do fizyki Gimnazjum I klasa Całość: http://dydaktyka.fizyka.umk. 3.2 Ruch prostoliniowy jednostajny Kiedy obserwujemy ruch samochodu po drodze między dwoma tunelami, albo ruch bąbelka powietrza ku górze w szklance wody mineralnej, jest to ruch po linii prostej. W przypadku

Bardziej szczegółowo

Q t lub precyzyjniej w postaci różniczkowej. dq dt Jednostką natężenia prądu jest amper oznaczany przez A.

Q t lub precyzyjniej w postaci różniczkowej. dq dt Jednostką natężenia prądu jest amper oznaczany przez A. Prąd elektryczny Dotychczas zajmowaliśmy się zjawiskami związanymi z ładunkami spoczywającymi. Obecnie zajmiemy się zjawiskami zachodzącymi podczas uporządkowanego ruchu ładunków, który często nazywamy

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH

MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH MATEMATYKA DLA CIEKAWSKICH Dowodzenie twierdzeń przy pomocy kartki. Część II Na rysunku przedstawiony jest obszar pewnego miasta wraz z zaznaczonymi szkołami podstawowymi. Wyobraźmy sobie, że mamy przydzielić

Bardziej szczegółowo

1. Podstawy matematyki

1. Podstawy matematyki 1. Podstawy matematyki 1.1. Pola Pole wiąże wielkość fizyczną z położeniem punktu w przestrzeni W przypadku, gdy pole jest zależne od czasu, możemy je zapisać jako. Najprostszym przykładem pola jest pole

Bardziej szczegółowo

Przestrzenne układy oporników

Przestrzenne układy oporników Przestrzenne układy oporników Bartosz Marchlewicz Tomasz Sokołowski Mateusz Zych Pod opieką prof. dr. hab. Janusza Kempy Liceum Ogólnokształcące im. marsz. S. Małachowskiego w Płocku 2 Wstęp Do podjęcia

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji

Bardziej szczegółowo

W NACZYNIU WIRUJĄCYM WOKÓŁ OSI PIONOWEJ

W NACZYNIU WIRUJĄCYM WOKÓŁ OSI PIONOWEJ POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska Instrukcja do zajęć laboratoryjnych Temat ćwiczenia: POWIERZCHNIA SWOBODNA CIECZY W NACZYNIU WIRUJĄCYM WOKÓŁ OSI PIONOWEJ Ćwiczenie

Bardziej szczegółowo

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4) Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego

Bardziej szczegółowo

Zasady dynamiki Newtona. Ilość ruchu, stan ruchu danego ciała opisuje pęd

Zasady dynamiki Newtona. Ilość ruchu, stan ruchu danego ciała opisuje pęd Zasady dynamiki Newtona Ilość ruchu, stan ruchu danego ciała opisuje pęd Siły - wektory Ilość ruchu, stan ruchu danego ciała opisuje pęd Zasady dynamiki Newtona I Każde ciało trwa w stanie spoczynku lub

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM ELEKTROTECHNIKI POMIAR PRZESUNIĘCIA FAZOWEGO

LABORATORIUM ELEKTROTECHNIKI POMIAR PRZESUNIĘCIA FAZOWEGO POLITECHNIKA ŚLĄSKA WYDZIAŁ TRANSPORTU KATEDRA LOGISTYKI I TRANSPORTU PRZEMYSŁOWEGO NR 1 POMIAR PRZESUNIĘCIA FAZOWEGO Katowice, październik 5r. CEL ĆWICZENIA Poznanie zjawiska przesunięcia fazowego. ZESTAW

Bardziej szczegółowo

Czym jest prąd elektryczny

Czym jest prąd elektryczny Prąd elektryczny Ruch elektronów w przewodniku Wektor gęstości prądu Przewodność elektryczna Prawo Ohma Klasyczny model przewodnictwa w metalach Zależność przewodności/oporności od temperatury dla metali,

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie momentu magnetycznego obwodu w polu magnetycznym

Wyznaczanie momentu magnetycznego obwodu w polu magnetycznym Ćwiczenie E6 Wyznaczanie momentu magnetycznego obwodu w polu magnetycznym E6.1. Cel ćwiczenia Na zamkniętą pętlę przewodnika z prądem, umieszczoną w jednorodnym polu magnetycznym, działa skręcający moment

Bardziej szczegółowo

Pytania do spr / Własności figur (płaskich i przestrzennych) (waga: 0,5 lub 0,3)

Pytania do spr / Własności figur (płaskich i przestrzennych) (waga: 0,5 lub 0,3) Pytania zamknięte / TEST : Wybierz 1 odp prawidłową. 1. Punkt: A) jest aksjomatem in. pewnikiem; B) nie jest aksjomatem, bo można go zdefiniować. 2. Prosta: A) to zbiór punktów; B) to zbiór punktów współliniowych.

Bardziej szczegółowo

REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH

REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2012/2013 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Pojęcie

Bardziej szczegółowo

Dopasowanie prostej do wyników pomiarów.

Dopasowanie prostej do wyników pomiarów. Dopasowanie prostej do wyników pomiarów. Graficzna analiza zależności liniowej Założenie: każdy z pomiarów obarczony jest taką samą niepewnością pomiarową (takiej samej wielkości prostokąty niepewności).

Bardziej szczegółowo

POLE MAGNETYCZNE. Magnetyczna siła Lorentza Prawo Ampere a

POLE MAGNETYCZNE. Magnetyczna siła Lorentza Prawo Ampere a POLE MAGNETYCZNE Magnetyczna siła Lorentza Prawo Ampere a 1 Doświadczenie Oersteda W 18 r. Hans C. Oersted odkrywa niezwykle interesujące zjawisko. Przepuszczając prąd elektryczny nad igiełką magnetyczną,

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej

Bardziej szczegółowo

17. 17. Modele materiałów

17. 17. Modele materiałów 7. MODELE MATERIAŁÓW 7. 7. Modele materiałów 7.. Wprowadzenie Podstawowym modelem w mechanice jest model ośrodka ciągłego. Przyjmuje się, że materia wypełnia przestrzeń w sposób ciągły. Możliwe jest wyznaczenie

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ.. LABORATORIUM FIZYCZNE

WYDZIAŁ.. LABORATORIUM FIZYCZNE W S E i Z W WASZAWE WYDZAŁ.. LABOATOUM FZYCZNE Ćwiczenie Nr 10 Temat: POMA OPOU METODĄ TECHNCZNĄ. PAWO OHMA Warszawa 2009 Prawo Ohma POMA OPOU METODĄ TECHNCZNĄ Uporządkowany ruch elektronów nazywa się

Bardziej szczegółowo

Ruch drgający i falowy

Ruch drgający i falowy Ruch drgający i falowy 1. Ruch harmoniczny 1.1. Pojęcie ruchu harmonicznego Jednym z najbardziej rozpowszechnionych ruchów w mechanice jest ruch ciała drgającego. Przykładem takiego ruchu może być ruch

Bardziej szczegółowo

Ć W I C Z E N I E N R E-15

Ć W I C Z E N I E N R E-15 NSTYTUT FZYK WYDZAŁ NŻYNER PRODUKCJ TECNOLOG MATERAŁÓW POLTECNKA CZĘSTOCOWSKA PRACOWNA ELEKTRYCZNOŚC MAGNETYZMU Ć W C Z E N E N R E-15 WYZNACZANE SKŁADOWEJ POZOMEJ NATĘŻENA POLA MAGNETYCZNEGO ZEM METODĄ

Bardziej szczegółowo

Modele cyklu ekonomicznego

Modele cyklu ekonomicznego Prezentacja licencjacka pod kierunkiem dr Sławomira Michalika 03/06/2013 Obserwacje rozwiniętych gospodarek wolnorynkowych wykazują, że nie występują w nich stany stacjonarne, typowe są natomiast pewne

Bardziej szczegółowo

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA

3. PŁASKI STAN NAPRĘŻENIA I ODKSZTAŁCENIA 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA 1 3. 3. PŁASKI STAN NAPRĘŻNIA I ODKSZTAŁCNIA Analizując płaski stan naprężenia posługujemy się składowymi tensora naprężenia w postaci wektora {,,y } (3.1) Za dodatnie

Bardziej szczegółowo

KGGiBM GRAFIKA INŻYNIERSKA Rok III, sem. VI, sem IV SN WILiŚ Rok akademicki 2011/2012

KGGiBM GRAFIKA INŻYNIERSKA Rok III, sem. VI, sem IV SN WILiŚ Rok akademicki 2011/2012 Rysowanie precyzyjne 7 W ćwiczeniu tym pokazane zostaną wybrane techniki bardzo dokładnego rysowania obiektów w programie AutoCAD 2012, między innymi wykorzystanie punktów charakterystycznych. Narysować

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

KRZYŻÓWKA 2. 11. Może być np. równoboczny lub rozwartokątny. Jego pole to a b HASŁO:

KRZYŻÓWKA 2. 11. Może być np. równoboczny lub rozwartokątny. Jego pole to a b HASŁO: KRZYŻÓWKA.Wyznaczają ją dwa punkty.. Jego pole to π r² 3. Jego pole to a a 4.Figura przestrzenna, której podstawą jest dowolny wielokąt, a ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku. 5.Prosta mająca

Bardziej szczegółowo

Równania miłości. autor: Tomasz Grębski

Równania miłości. autor: Tomasz Grębski Równania miłości autor: Tomasz Grębski Tytuł pewnie trochę dziwnie brzmi, bo czy miłość da się opisać równaniem? Symbolem miłości jest niewątpliwie Serce, a zatem spróbujmy opisać kształt serca równaniem

Bardziej szczegółowo

Mgr inż. Wojciech Chajec Pracownia Kompozytów, CNT Mgr inż. Adam Dziubiński Pracownia Aerodynamiki Numerycznej i Mechaniki Lotu, CNT SMIL

Mgr inż. Wojciech Chajec Pracownia Kompozytów, CNT Mgr inż. Adam Dziubiński Pracownia Aerodynamiki Numerycznej i Mechaniki Lotu, CNT SMIL Mgr inż. Wojciech Chajec Pracownia Kompozytów, CNT Mgr inż. Adam Dziubiński Pracownia Aerodynamiki Numerycznej i Mechaniki Lotu, CNT SMIL We wstępnej analizie przyjęto następujące założenia: Dwuwymiarowość

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie nr 2 - Rysowanie precyzyjne

Ćwiczenie nr 2 - Rysowanie precyzyjne Ćwiczenie nr 2 - Rysowanie precyzyjne Materiały do kursu Skrypt CAD AutoCAD 2D strony: 37-46. Wprowadzenie Projektowanie wymaga budowania modelu geometrycznego zgodnie z określonymi wymiarami, a to narzuca

Bardziej szczegółowo

KOOF Szczecin: www.of.szc.pl

KOOF Szczecin: www.of.szc.pl Źródło: LI OLIMPIADA FIZYCZNA (1/2). Stopień III, zadanie doświadczalne - D Nazwa zadania: Działy: Słowa kluczowe: Komitet Główny Olimpiady Fizycznej; Andrzej Wysmołek, kierownik ds. zadań dośw. plik;

Bardziej szczegółowo

Oddziaływanie wirnika

Oddziaływanie wirnika Oddziaływanie wirnika W każdej maszynie prądu stałego, pracującej jako prądnica lub silnik, może wystąpić taki szczególny stan pracy, że prąd wirnika jest równy zeru. Jedynym przepływem jest wówczas przepływ

Bardziej szczegółowo

PRO/ENGINEER. ĆW. Nr. MODELOWANIE SPRĘŻYN

PRO/ENGINEER. ĆW. Nr. MODELOWANIE SPRĘŻYN PRO/ENGINEER ĆW. Nr. MODELOWANIE SPRĘŻYN 1. Śruba walcowa o stałym skoku W programie Pro/Engineer modelowanie elementów typu sprężyny można realizować poleceniem Insert/Helical Sweep/Protrusin. Dla prawozwojnej

Bardziej szczegółowo

2. Charakterystyki geometryczne przekroju

2. Charakterystyki geometryczne przekroju . CHRKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE PRZEKROJU 1.. Charakterystyki geometryczne przekroju.1 Podstawowe definicje Z przekrojem pręta związane są trzy wielkości fizyczne nazywane charakterystykami geometrycznymi

Bardziej szczegółowo

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe W rezultacie kształcenia matematycznego uczeń potrafi: Osiągnięcia ponadprzedmiotowe Umiejętności konieczne i podstawowe czytać teksty w stylu matematycznym wykorzystywać słownictwo wprowadzane przy okazji

Bardziej szczegółowo

Zad. 2 Jaka jest częstotliwość drgań fali elektromagnetycznej o długości λ = 300 m.

Zad. 2 Jaka jest częstotliwość drgań fali elektromagnetycznej o długości λ = 300 m. Segment B.XIV Prądy zmienne Przygotowała: dr Anna Zawadzka Zad. 1 Obwód drgający składa się z pojemności C = 4 nf oraz samoindukcji L = 90 µh. Jaki jest okres, częstotliwość, częstość kątowa drgań oraz

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

Algorytm SAT. Marek Zając 2012. Zabrania się rozpowszechniania całości lub fragmentów niniejszego tekstu bez podania nazwiska jego autora.

Algorytm SAT. Marek Zając 2012. Zabrania się rozpowszechniania całości lub fragmentów niniejszego tekstu bez podania nazwiska jego autora. Marek Zając 2012 Zabrania się rozpowszechniania całości lub fragmentów niniejszego tekstu bez podania nazwiska jego autora. Spis treści 1. Wprowadzenie... 3 1.1 Czym jest SAT?... 3 1.2 Figury wypukłe...

Bardziej szczegółowo

Podstawowe pojęcia geometryczne

Podstawowe pojęcia geometryczne PLANIMETRIA Podstawowe pojęcia geometryczne Geometria (słowo to pochodzi z języka greckiego i oznacza mierzenie ziemi) jest jednym z działów matematyki, którego przedmiotem jest badanie figur geometrycznych

Bardziej szczegółowo

Zajęcia: VBA TEMAT: VBA PROCEDURY NUMERYCZNE Metoda bisekcji i metoda trapezów

Zajęcia: VBA TEMAT: VBA PROCEDURY NUMERYCZNE Metoda bisekcji i metoda trapezów Zajęcia: VBA TEMAT: VBA PROCEDURY NUMERYCZNE Metoda bisekcji i metoda trapezów W ramach zajęć oprogramujemy jedną, wybraną metodę numeryczną: metodę bisekcji numerycznego rozwiązywania równania nieliniowego

Bardziej szczegółowo

Opis postępowania przy eksportowaniu geometrii z systemu Unigraphics NX do pakietu PANUKL (ver. A)

Opis postępowania przy eksportowaniu geometrii z systemu Unigraphics NX do pakietu PANUKL (ver. A) 1 Opis postępowania przy eksportowaniu geometrii z systemu Unigraphics NX do pakietu PANUKL (ver. A) Przedstawiony poniżej schemat przygotowania geometrii w systemie Unigraphics NX na potrzeby programu

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do rysowania w 3D. Praca w środowisku 3D

Wprowadzenie do rysowania w 3D. Praca w środowisku 3D Wprowadzenie do rysowania w 3D 13 Praca w środowisku 3D Pierwszym krokiem niezbędnym do rozpoczęcia pracy w środowisku 3D programu AutoCad 2010 jest wybór odpowiedniego obszaru roboczego. Można tego dokonać

Bardziej szczegółowo

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt

Bardziej szczegółowo

k + l 0 + k 2 k 2m 1 . (3) ) 2 v 1 = 2g (h h 0 ). (5) v 1 = m 1 m 1 + m 2 2g (h h0 ). (6) . (7) (m 1 + m 2 ) 2 h m ( 2 h h 0 k (m 1 + m 2 ) ω =

k + l 0 + k 2 k 2m 1 . (3) ) 2 v 1 = 2g (h h 0 ). (5) v 1 = m 1 m 1 + m 2 2g (h h0 ). (6) . (7) (m 1 + m 2 ) 2 h m ( 2 h h 0 k (m 1 + m 2 ) ω = Rozwiazanie zadania 1 1. Dolna płyta podskoczy, jeśli działająca na nią siła naciągu sprężyny będzie większa od siły ciężkości. W chwili oderwania oznacza to, że k(z 0 l 0 ) = m g, (1) gdzie z 0 jest wysokością

Bardziej szczegółowo

Tadeusz Lesiak. Podstawy mechaniki Newtona Kinematyka punktu materialnego

Tadeusz Lesiak. Podstawy mechaniki Newtona Kinematyka punktu materialnego Mechanika klasyczna Tadeusz Lesiak Wykład nr 2 Podstawy mechaniki Newtona Kinematyka punktu materialnego Kinematyka punktu materialnego Kinematyka: zajmuje się matematycznym opisem ruchów układów mechanicznych

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 4. Wartości własne i wektory własne 4.1. Podstawowe definicje, własności i twierdzenia 4.2. Lokalizacja wartości własnych 4.3. Metoda potęgowa znajdowania

Bardziej szczegółowo

PODSTAWOWE KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE

PODSTAWOWE KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE PODSTAWOWE KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE Dane będę rysował na czarno. Różne etapy konstrukcji kolorami: (w kolejności) niebieskim, zielonym, czerwonym i ewentualnie pomarańczowym i jasnozielonym. 1. Prosta

Bardziej szczegółowo

Technika świetlna. Przegląd rozwiązań i wymagań dla tablic rejestracyjnych. Dokumentacja zdjęciowa

Technika świetlna. Przegląd rozwiązań i wymagań dla tablic rejestracyjnych. Dokumentacja zdjęciowa Technika świetlna Przegląd rozwiązań i wymagań dla tablic rejestracyjnych. Dokumentacja zdjęciowa Wykonał: Borek Łukasz Tablica rejestracyjna tablica zawierająca unikatowy numer (kombinację liter i cyfr),

Bardziej szczegółowo

Ć W I C Z E N I E N R M-2

Ć W I C Z E N I E N R M-2 INSYU FIZYKI WYDZIAŁ INŻYNIERII PRODUKCJI I ECHNOLOGII MAERIAŁÓW POLIECHNIKA CZĘSOCHOWSKA PRACOWNIA MECHANIKI Ć W I C Z E N I E N R M- ZALEŻNOŚĆ OKRESU DRGAŃ WAHADŁA OD AMPLIUDY Ćwiczenie M-: Zależność

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład

Bardziej szczegółowo

Rysowanie precyzyjne. Polecenie:

Rysowanie precyzyjne. Polecenie: 7 Rysowanie precyzyjne W ćwiczeniu tym pokazane zostaną różne techniki bardzo dokładnego rysowania obiektów w programie AutoCAD 2010, między innymi wykorzystanie punktów charakterystycznych. Z uwagi na

Bardziej szczegółowo

Czytanie wykresów to ważna umiejętność, jeden wykres zawiera więcej informacji, niż strona tekstu. Dlatego musisz umieć to robić.

Czytanie wykresów to ważna umiejętność, jeden wykres zawiera więcej informacji, niż strona tekstu. Dlatego musisz umieć to robić. Analiza i czytanie wykresów Czytanie wykresów to ważna umiejętność, jeden wykres zawiera więcej informacji, niż strona tekstu. Dlatego musisz umieć to robić. Aby dobrze odczytać wykres zaczynamy od opisu

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3 DEFINICJE PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3 Czworokąt to wielokąt o 4 bokach i 4 kątach. Przekątną czworokąta nazywamy odcinek łączący przeciwległe wierzchołki. Wysokością czworokąta nazywamy

Bardziej szczegółowo

Systemy. Krzysztof Patan

Systemy. Krzysztof Patan Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej

Bardziej szczegółowo

Zadanie 3. Na prostej o równaniu y = 2x 3 znajdź punkt P, którego odległość od punktu A = ( 2, -1 ) jest najmniejsza. Oblicz AP

Zadanie 3. Na prostej o równaniu y = 2x 3 znajdź punkt P, którego odległość od punktu A = ( 2, -1 ) jest najmniejsza. Oblicz AP Zadania do samodzielnego rozwiązania: II dział Funkcja liniowa, własności funkcji Zadanie. Liczba x = - 7 jest miejscem zerowym funkcji liniowej f ( x) ( a) x 7 dla A. a = - 7 B. a = C. a = D. a = - 1

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA DYNAMICZNYCH LOKAT KAPITAŁOWYCH Krzysztof Gąsior Uniwersytet Rzeszowski Streszczenie Celem referatu jest zaprezentowanie praktycznego zastosowania

Bardziej szczegółowo

TWIERDZENIE TALESA W PRZESTRZENI

TWIERDZENIE TALESA W PRZESTRZENI TWIERDZENIE TALESA W PRZESTRZENI PRACA BADAWCZA autor Agnieszka Duszeńko Uniwersytet Wrocławski Wydział Matematyki i Informatyki 2005 Na płaszczyźnie: Najpopularniejsza, powszechnie znana wersja twierdzenia

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE NUMERYCZNE POLA PRZEPŁYWU WOKÓŁ BUDYNKÓW

MODELOWANIE NUMERYCZNE POLA PRZEPŁYWU WOKÓŁ BUDYNKÓW 1. WSTĘP MODELOWANIE NUMERYCZNE POLA PRZEPŁYWU WOKÓŁ BUDYNKÓW mgr inż. Michał FOLUSIAK Instytut Lotnictwa W artykule przedstawiono wyniki dwu- i trójwymiarowych symulacji numerycznych opływu budynków wykonanych

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

KOOF Szczecin: www.of.szc.pl

KOOF Szczecin: www.of.szc.pl 3OF_III_D KOOF Szczecin: www.of.szc.pl XXXII OLIMPIADA FIZYCZNA (198/1983). Stopień III, zadanie doświadczalne D Źródło: Nazwa zadania: Działy: Słowa kluczowe: Komitet Główny Olimpiady Fizycznej; Waldemar

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1)

ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1) ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL 1. Problem Rozważmy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi (x 1, x 2 ): 1 x1 sin x2 x2 cos x1 (1) Nie jest

Bardziej szczegółowo

Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy

Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy Wariant nr (klasa I 4 godz., klasa II godz., klasa III godz.) Klasa I 7 tygodni 4 godziny = 48 godzin Lp. Tematyka zajęć

Bardziej szczegółowo

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 3 szkice rozwiązań zadań 1. Plansza do gry składa się z 15 ustawionych w rzędzie kwadratów. Pierwszy z graczy

Bardziej szczegółowo

Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego

Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Obowiązkowa znajomość zagadnień Charakterystyka drgań gasnących i niegasnących, ruch harmoniczny. Wahadło fizyczne, długość zredukowana

Bardziej szczegółowo

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:

Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu: Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

Opis matematyczny odbicia światła od zwierciadła kulistego i przejścia światła przez soczewki.

Opis matematyczny odbicia światła od zwierciadła kulistego i przejścia światła przez soczewki. Opis matematyczny odbicia światła od zwierciadła kulistego i przejścia światła przez soczewki. 1. Równanie soczewki i zwierciadła kulistego. Z podobieństwa trójkątów ABF i LFD (patrz rysunek powyżej) wynika,

Bardziej szczegółowo