6. TEORIA STANU ODKSZTAŁCENIA

Transkrypt

1 dam odnar: Wtrzmałość Materiałów. Teoria stanu odkształcenia. 6. TEORI STNU OKSTŁENI 6.. Wektor przemieszczenia liniowego. Odkształcenia liniowe i kątowe. Kilkakrotnie już bło powiedziane, że przedmiotem naszch rozważań jest ciało odkształcalne, tzn. takie, które pod działaniem sił obciążającch lub innch cznników (np. cieplnowilgotnościowch) zmienia swoje kształt i wmiar. Oznacza to, że punkt tego ciała mogą zmieniają swoje położenie w przestrzeni, prz czm, co wraźnie należ podkreślić, będzie nas interesować zmiana położenia punktów ciała powstała w wniku jego deformacji, a nie na skutek jego ruchu jako brł sztwnej. konfiguracja początkowa u v konfiguracja aktualna w Wektor mając początek w punkcie ciała nie zdeformowanego (w konfiguracji początkowej), a koniec w tm samm punkcie po deformacji (w konfiguracji aktualnej) nazwać będziem wektorem przemieszczenia liniowego w tm punkcie. Na rs. 6. jest to wektor ' u v w. Ponieważ, w ogólności wektor przemieszczenia liniowego w różnch punktach są różne to możem powiedzieć, że przłożone obciążenia generują w brle odkształcalnej wektorowe pole przemieszczeń, którego współrzędne są funkcjami położenia punktu w konfiguracji początkowej u u(,, z), v v,, z w w,, z.taki opis deformacji ( ), ( ) Rs. 6. brł nazwam materialnm a współrzędne, współrzędnmi Lagrange a. o ocen wielkości zmian kształtów i wmiarów brł wgodnie jest zdefiniować pewne ich miar - miar deformacji. konfiguracja początkowa l 0 l l 0 konfiguracja aktualna Rs. 6. O O W tm celu rozważm zachowanie się dwóch punktów i które w konfiguracji początkowej odległe bł o l 0, a po przłożeniu obciążenia długość łączącego ich włókna (linii materialnej) zwiększła się o l (rs. 6.). Odkształceniem liniowm w punkcie w kierunku punktu nazwać będziem: l lim (6.) l l Możem więc powiedzieć, że odkształceniem liniowm w punkcie w wbranm kierunku nazwam względn przrost długości włókna w tm punkcie na skutek przłożonch obciążeń. Odkształcenie liniowe, które odpowiada wdłużeniu włókna uważam za dodatnie. Odkształcenie liniowe nazwane też są odkształceniami podłużnmi. 49

2 dam odnar: Wtrzmałość Materiałów. Teoria stanu odkształcenia. Jeżeli rozważm dwa prostopadłe włókna przechodzące przez wspóln punkt O w konfiguracji początkowej (rs. 6.) to ich odkształcenie kątowe definiujem jako: O O i O ' ' ' ( Ô Ô ) lim. (6.) atem odkształceniem kątowm nazwać będziem kąt o jaki zmieni się w wniku przłożonch obciążeń kąt prost międz dwoma włóknami przechodzącmi w konfiguracji początkowej przez wspóln punkt. Odkształcenie kątowe któremu odpowiada zmniejszenie się kąta prostego uważam za dodatnie. Odkształcenie kątowe nazwane też są odkształceniami postaciowmi. 6.. Stan odkształcenia w punkcie Stan odkształcenia w punkcie to nieskończon zbiór odkształceń liniowch i kątowch wszstkich włókien przechodzącch przez ten punkt. Można wróżnić trz rodzaje stanu odkształcenia w punkcie: jednoosiow, płaski i przestrzenn. Są one związane z wmiarowością modelu ciała, któr został przjęt do rozważań i stąd jednoosiow stan odkształcenia nie znajduje teoretcznch i praktcznch zastosowań. W tm miejscu warto podkreślić zasadnicze różnice międz pojęciami, które wstępują w teorii stanu odkształcenia i naprężenia. W definicji odkształceń wstępuje punkt i określone co do kierunku włókno przez niego przechodzące, a w definicji naprężenia wstępuje punkt i płaszczzna o określonej normalnej przechodząca przez ten punkt. latego, mimo, że jak się później okaże identcznego matematcznego formalizmu w obliczeniach, nie wszstkie cech obu tch stanów mogą bć identcznie interpretowane i traktowane. Mówim, że znam stan odkształcenia w analizowanej konstrukcji, jeśli znam stan odkształcenia w każdm jej punkcie Macierz odkształceń. Graficzn obraz macierz odkształceń W dowolnie wbranm punkcie brł możem definiować odkształcenia liniowe i kątowe w dowolnch kierunkach, również w kierunkach osi układu odniesienia. Odkształcenia liniowe i kątowe w danm punkcie w kierunkach osi układu zapiszem w postaci macierz, którą nazwać będziem macierzą odkształceń: z T z (6.3) z z z Tak więc: macierz odkształceń w punkcie to uporządkowan zbiór odkształceń liniowch i kątowch trzech włókien przechodzącch przez ten punkt i równoległch do osi układu odniesienia. Macierz uporządkowana jest w ten sposób, że na przekątnej wstępują odkształcenia liniowe a poza przekątną połówki odkształceń kątowch. ztelna jest też wmowa indeksów prz odkształceniach. I tak np. z to odkształcenie liniowe włókna równoległego do osi, a to odkształcenie kątowe włókien równoległch do osi i. definicji elementów macierz odkształceń wnika jej smetria: 50

3 dam odnar: Wtrzmałość Materiałów. Teoria stanu odkształcenia., z z, z z (6.4) Jak się wkrótce przekonam macierz odkształceń w punkcie będzie podstawą określenia w nim stanu odkształcenia. Graficzn obraz macierz odkształceń w punkcie można przedstawić w postaci deformacji przechodzącch przez ten punkt trzech wzajemnie do siebie prostopadłch włókien o dowolnie małch długościach d d dz, które są równoległe do osi układu współrzędnch (rs. 6.3). Wsztkie pokazane na rs. 6.3 odkształcenia są dodatnie. dz d d d d dz z d z d z z d dz dz d z Rs Tensor odkształceń. Odkształcenia liniowe i kątowe dowolnie zorientowanch włókien Można dowieść, że macierz odkształceń jest tensorem drugiego rzędu (patrz np. S.Piechnik: Wtrzmałość Materiałów. PWN 978) co oznacza, że jej element transformują się prz zmianie układu odniesienia w pewien ściśle określon sposób zwan prawem transformacji v l, m, n otrzmam tensora, oraz, że w wniku mnożenia jej przez jednostkow wersor ( ) pewien wektor e v ( e,e, e ) zależnościami: e v T v v e e e v v vz v vz, któr możem nazwać wektorem odkształcenia określon z z z z z l m n. (6.5) J.Więckowski: Wtrzmałość Materiałów. Wdawnictwo Politechniki Gdańskiej, Gdańsk

4 dam odnar: Wtrzmałość Materiałów. Teoria stanu odkształcenia. I co więcej, znajomość macierz odkształceń w dowolnm punkcie O (tzn. znajomość odkształceń liniowch i kątowch trzech wzajemnie prostopadłch włókien O, O i O pokazanch przkładowo na rs. 6.4) wstarcza do określenia odkształceń liniowch i kątowch dowolnch włókien przechodzącch przez ten punkt, bo własności tensora pozwalają napisać poniższe zależności: ξ v O η Rs. 6.4 v ( l, m, n) z z z l z m, (6.6) n z v ξ v η z l z m, (6.7) n z z z ( l, m, n ) z l z m (6.8) n z z z ( l, m, n ) w którch: v, v ξ, v η to odkształcenia liniowe i kątowe trzech wzajemnie prostopadłch włókien równoległch do dowolnej ale ortogonalnej trójki wersorów v ( l, m, n), ξ ( l,m, n ) η ( l,m, ). n alsze rozważania przeprowadzim dla płaskiej tarcz leżącej w płaszczźnie (, ) w której panuje płaski stan odkształcenia. Wbierzm w niej pokazane na rs. 6.5 dwa prostopadłe włókna i przechodzące przez wspóln, dowolnie wbran punkt w którm znana jest macierz odkształceń: T Kierunki tch włókien są równoległe do dwójki η m,l nachlonch pod wersorów ( l,m) ξ i ( ) 5 η π α ξ Rs. 6.5 α

5 dam odnar: Wtrzmałość Materiałów. Teoria stanu odkształcenia. dowolnm kątem α do osi układu (, ). Odkształcenie liniowe α nachlonego pod kątem α do osi włókna, jak i odkształcenia kątowe α włókien wznaczm korzstając ze wzorów (6.6) i (6.7): l ( l,m) α l m l l σ m m l m lm, m l ( m,l) l m ( m) l σ m l α m ( ) lm ( l m ). Jeśli w powższch związkach uwzględnim, że l cosα, m sinα oraz zależności trgonometrczne: sin α sinα cosα, cos α cos α cos α sin α, ( cos α ), sin α ( cos α ), to odkształcenia liniowe i kątowe dowolnie zorientowanch włokien wrażone poprzez współrzęne macierz odkształceń przedstawiają się następująco: α cos α sin α, (6.0) α sin α cos α. (6.) ależności te pokazują, że macierz odkształceń w punkcie określa w nim stan odkształcenia, gdż pozwala na wznaczenie odkształceń liniowch i kątowch dowolnch włókien przechodzącch przez ten punkt. równania (6.0) łatwo można zobaczć, że: α o α 90 co dowodzi twierdzenia, że suma odkształceń liniowch dwóch prostopadłch włókien przechodzącch przez dowoln punkt jest wielkością stałą, tzn. nie zależ od układu odniesienia. ardziej formalnie możem powiedzieć, że suma odkształceń na przekątnej głównej macierz odkształceń jest niezmiennikiem. Twierdzenie to jest również prawdziwe w przpadku przestrzennego stanu odkształcenia Ekstremalne odkształcenia liniowe i kątowe Pozostaniem prz analizie stanu odkształcenia płaskiej tarcz. ależności (6.0) i (6.) pokazują, że znajomość macierz odkształceń w dowolnm jej punkcie pozwala wznaczć wartości odkształceń liniowch i kątowch dowolnie zorientowanch włókien przezeń przechodzącch. W tej stuacji naturalne jest postawienie dwóch ważnch zagadnień: wznaczć włókna którch odkształcenia liniowe są ekstremalne i wliczć wartości tch odkształceń liniowch, wznaczć włókna którch odkształcenia kątowe są ekstremalne i wliczć wartości tch odkształceń kątowch. 53

6 dam odnar: Wtrzmałość Materiałów. Teoria stanu odkształcenia. Prz rozwiązaniu tch zagadnień wkorzstam formalną analogię wzorów (5.3) i (5.4) w płaskim stanie naprężenia oraz wzorów (6.0) i (6.) w płaskim stanie odkształcenia: σ v α, τ v α, σ, σ, τ. Korzstając z tej analogii możem powiedzieć, że: w każdm punkcie ciała w którm panuje płaski stan odkształcenia można wróżnić dwa do siebie prostopadłe włókna którch odkształcenia kątowe są równe zero a odkształcenia liniowe są ekstremalne. Kierunki tch włókien nazwam kierunkami odkształceń głównch. atem: odkształcenia główne w danm punkcie to ekstremalne wartości odkształceń liniowch w nim wstępującch. Są to odkształcenia liniowe dwóch do siebie prostopadłch włókien którch odkształcenia kątowe są równe zero. Wartości odkształceń głównch i ich kierunki określają wzor: ma (6.) tgα ma tgα, tgα tgα (6.3) ( ) ( ) ma Ekstremalne odkształcenia kątowe wnoszą: ma ma, (6.4) ma, a kierunki włókien które ich doznają połowią kąt międz kierunkami odkształceń głównch. Włókna którch odkształcenia kątowe są ekstremalne połowią kąt międz włóknami odkształceń głównch. Koła Mohra dla stanu odkształcenia są analogiczne jak dla stanu naprężenia (rs. 6.6). α R ma O O α ma α α K ma 54 Rs. 6.6

7 dam odnar: Wtrzmałość Materiałów. Teoria stanu odkształcenia. Na koniec powiem, że w przpadku przestrzennch stanów odkształcenia są trz wzajemnie prostopadłe włókna którch odkształcenia kątowe się zerują a odkształcenia liniowe są ekstremalne (odkształcenia główne). Włókna którch odkształcenia kątowe są ekstremalne połowią kąt międz włóknami odkształceń głównch Równania geometrczne Jest rzeczą oczwistą, że międz przemieszczeniami i odkształceniami muszą istnieć zależności, nazwiem je równaniami geometrcznmi. W celu ich wprowadzenia rozważm w brle w konfiguracji poczatkowej trz dowolnie małe, wzajemnie protopadłe i równoległe do osi układu włókna przechodzące przez dowolnie wbran punkt (rs. 6.7). u u d dz d d Rs. 6.7 Rozważm wpierw deformacje włókien leżącch w płaszczżnie (, ). Jeśli przjmiem, że współrzędne wektora przemieszczenia punktu są u i v, to - jak pokazano na rs współrzędne wektorów dowolnie bliskich mu punktów będą powiekszone o człon zawierające jednie pierwsze ich pochodne jeśli poięte będą człon zawierające wielkości dowolnie małe wższch rzędów. atem odkształcenia liniowe włókien równoległch do osi układu, zgodnie z ich definicją, przjmą postać: u u d u d lim lim u d 0 d d 0 d v v d v d lim lim v d 0 d d 0 d π Przejdźm do wznaczenia odkształceń kątowch. założenia małch przemieszczeń wnika, że tg α α oraz tg β β, a stąd zgodnie z definicją odkształceń kątowch: v v d d d u v β u u d α v v d 55

8 dam odnar: Wtrzmałość Materiałów. Teoria stanu odkształcenia. lim d O i d O ( α β ) lim d O i d O v v d v d u u d u u d v Prowadząc analogiczne rozważania w pozostałch dwóch płaszczznach ostatecznie otrzmam związki wiążące odkształcenia z przemieszczeniami w postaci: u, v, w z, z z z u v v w z w u z (6.5) Widzim więc, że znajomość pola przemieszczeń konstrukcji, tj. znajomość funkcji u (, z) v (, z), w(,, z),,, pozwala poprzez proste różniczkownie wznaczć macierz odkształceń w dowolnm jej punkcie. I odwrotnie - znajomość odkształceń, poprzez całkowanie, pozwala wznaczć pole przemieszczeń, prz czm w tm przpadku muszą bć jeszcze określone kinematczne warunki brzegowe nałożone na analizowaną konstrukcję. Równania geometrczne (6.9) nazwam również równaniami auch ego. Są one słuszne prz założeniu, że przemieszczenia punktów analizowanch konstrukcji są małe (co już założliśm przjmując zasadę zesztwnienia) i małe są również ich pierwsze pochodne. To drugie ograniczenie w ogólnie wstępującch konstrukcjach inżnierskich jest powszechnie spełnione co pokazuje poniższ przkład belki. Polska Norma udowlana PN-90/-0300 ogranicza maksmalne ugięcie głównej belki stropowej do wielkości l/350. Stąd największa wartość pochodnej linii ugięcia wniesie w przbliżeniu: l w l ma 350 w l l Rs Równania nierozdzielności odkształceń Łatwo można zauważć z równań geometrcznch, że trz odkształcenia w płaskim stanie odkształcenia: u v,, u v wrażają się poprzez dwie współrzędne wektora przemieszczenia co wskazuje, że odkształcenia są związane jakąś zależnością. b ją wznaczć zróżniczkujm każde z nich dwukrotnie z tm, że pierwsze względem, drugie względem, trzecie względem i a następnie dodajm stronami otrzmując w wniku równanie: 56

9 dam odnar: Wtrzmałość Materiałów. Teoria stanu odkształcenia. (6.6) które nazwiem równaniem nierozdzielności odkształceń. Jego intepretację fizczną obrazuje rs geometrcznej reprezentacji macierz odkształceń wnika, że w każdm punkcie płaskiej tarcz określa ona deformacje dowolnie małego jednostkowego kwadratu. Jeśli odkształcenia zadane zostaną zupełnie dowolnie to nie będzie zachowanej ciągłości tarcz w konfiguracji początkowej i zdeformowanej jak to obrazuje przpadek a na rs Odkształcenia spełniające równania nierozdzielności odkształceń dają konfigurację po deformacji zachowującą ciągłość tarcz jak pokazuje przpadek b. konfiguracja początkowa a b Rs. 6.9 Można więc powiedzieć, że równania nierozdzielności stanowią warunki konieczne, które muszą spełniać funkcje ab mogł bć współrzednmi przemieszczeń. W przestrzennm stanie odkształcenia jest sześć równań nierozdzielności odkształceń Względna zmiana objętości w punkcie Rozważm przestrzenn stan odkształcenia w punkcie, określon poprzez odkształcenia główne. atem macierz odkształceń będzie miała postać: 0 0 T 0 0, a jej graficzn obraz pokazuje rsunek obok. Objętość dowolnie małego sześcianu reprezentującego rozważan punkt w konfiguracji początkowej, przedstawia się następująco : 3( 3 ) V. o 3 Jego objętość po deformacji wnosi: ( ) ( ) ( ) V 3 3 ( ) ( ) Względną zmianę objętości w punkcie wznacza granica: 57

10 dam odnar: Wtrzmałość Materiałów. Teoria stanu odkształcenia. lim V V V 0 V o o o ( )( )( 3 ) Po poięciu ilocznów odkształceń jako małch wższego rzędu otrzmam: 3 a ponieważ suma odkształceń liniowch jest niezmiennikiem to względna zmiana objętości w punkcie wnosi: (6.9) z Wielkość często nazwana jest dlatacją Przkład Przkład Wznaczć odkształcenia główne i ich kierunki w punkcie płaskiej tarcz w którm wznaczono prz pomoc tensometrów elektrooporowch odkształcenia liniowe,, ξ w trzech kierunkach pokazanch na rs. ξ o 45 Rozwiązanie b zastosować wzor (6.) i (6.3) potrzebujem znać kątowe, wkorzstując znane odkształcenie liniowe włokna pod kątem 45 o o o cos( * 45 ) sin( * 45 ) 45 ξ α ξ ξ ( ). Wznaczm to odkształcenie ma ξ, ξ, tgα ma ξ ( ) ( ) ma, tgα ξ ( ) ( ) Układ czujników tensometrcznch do pomiaru odkształceń liniowch w ustalonch kierunkach nazwam rozetami. Przkład owieść, że możliw jest stan odkształcenia w płaskiej tarcz gd element macierz odkształceń określają zależności k( ); k ; k. 58

11 dam odnar: Wtrzmałość Materiałów. Teoria stanu odkształcenia. 59 Rozwiązanie Sprawdzam równanie nierozdzielności, które stanowią warunki konieczne na to ab dane funkcje mogł określać odkształcenia. k k 0 Równanie nierozdzielności jest spełnione i możliw jest stan odkształcenia określon powższmi funkcjami. Przkład Sprawdzić cz poniższe funkcje, mogą bć funkcjami odkształceń ; ); ( Rozwiązanie Równanie nierozdzielności odkształceń w tm przpadku daje: 0 0 co dowodzi, że powższe funkcje nie mogą bć funkcjami odkształceń.