O podzielności liczb

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "O podzielności liczb"

Transkrypt

1 Spis treści: I. Rys historyczy... 2 II. Podzielość liczb całkowitych Podzielość Dzieleie liczb całkowitych Największy wspóly dzielik i ajmiejsza wspóla wielokrotość dwóch liczb całkowitych Algorytm Euklidesa obliczaie ajwiększego wspólego dzielika dwóch liczb aturalych Liczby względie pierwsze Liczby pierwsze Sito Eratosteesa i ie sposoby odszukiwaia liczb pierwszych Kogruecje liczbowe Kryterium podzielości liczb aturalych Cechy podzielości przez 10,2,5,100,4,25,1000, Cechy podzielości przez 9,3,7,11, III. Propozycje tematów zajęć pozalekcyjych związaych z podzielością i przykłady zadań Wykaz literatury

2 I. Rys historyczy Zaiteresowaie ludzi liczbami aturalymi jest tak stare jak cywilizacja. Niezwykłe własości liczb itrygowały starożytych Greków, Hidusów i Chińczyków. Grecy zali metodę wyzaczaia ajwiększego wspólego dzielika (algorytm Euklidesa), Chińczycy (w związku z obliczeiami kaledarzowymi) metodę szukaia liczby aturalej dającej przy dzieleiu przez zadae liczby zadae reszty. Euklides zał prawo jedozaczości rozkładu liczb a czyiki pierwsze. W jego Elemetach zajdujemy defiicję liczby pierwszej i przykład rozumowaia matematyczego dowód ie wprost, że istieje ieskończeie wiele liczb pierwszych. Matematyka starożyta ma jeszcze jedo sławe osiągięcie w dziedziie liczb pierwszych. Jest im sito Eratosteesa, które podaje sposób wyszukiwaia liczb pierwszych aż do daej liczby. Itesywy rozwój teorii liczb w czasach owożytych zapoczątkował matematyk fracuski Pierre de Fermat ( ). Małe twierdzeie Fermata mówi, że liczba p dzieli a p a dla każdego całkowitego a, ie, że liczby pierwsze postaci 4k+1 są przedstawiale jako suma dwóch kwadratów liczb aturalych. Obie własości udowodił późiej Euler ( ). Fermat badał liczby postaci F = , = 0, 1, 2,... i wyraził przypuszczeie, że wszystkie są pierwsze. Euler wykazał, że już piąta liczba Fermata jest złożoa jest podziela przez 641. Liczby pierwsze Fermata mają iteresujący związek z klasyczym problemem kostrukcji kątów foremych za pomocą cyrkla i liijki. 2

3 W roku leti C. F. Gauss udowodił, że takakostrukcjajest możliwa wtedy i tylko wtedy, gdy ieparzyste dzieliki pierwsze są liczbami Fermata. Współczesy Fermatowi Mari Mersee rozpatrywał liczby postaci M =2-1, =0,1,2,...Jeśli liczba Mersee a M jest pierwsza, to jest rówież liczbą pierwszą, lecz ie a odwrót. Na przykład dla p=2, 3, 5, 7, 13, 17, 19 liczby M p są pierwsze, a dla p=11, 23, 29 są złożoe. Liczby pierwsze Mersee a wiążą się z klasyczym problemem liczb doskoałych. Liczba aturala azywa się doskoałą, jeśli jest rówa sumie wszystkich dzielików różych od siebie. Euler wykazał, że wszystkie liczby doskoałe parzyste są postaci =2 p 1 (2 p -1), gdzie M p =2 p 1 jest liczbą pierwszą Mersee a. Dodziś ie wiadomo, czy liczb pierwszych Fermata i liczb pierwszych Merse a jest ieskończeie wiele. Twórczość aukowa iemieckiego matematyka Carla Friedricha Gaussa ( ) wyzaczyła owe kieruki badań w teorii liczb. W wieku19latgauss opracował teorię kogruecji. Zakomici matematycy XIX i XX w. Rozwijali róże działy teorii liczb, rówież powstaje wiele prac z zakresu liczb pierwszych (Dirichlet, Czebyszew, Riema). 3

4 II. Podzielość liczb całkowitych. 1. Podzielość Mówimy, że liczba całkowita jest a podziela przez liczbę całkowitą b, przyczymb 0, jeżeli istieje liczba całkowita c taka, że a=b c Piszemy wówczas b a i czytamy: b dzieli a. Liczbę b azywamy dzielikiem liczby a, atomiast liczbę a wielokrotością liczby b. Wprost z określeia wyikają astępujące własości podzielości: Tw. 1.1 a) Jeżeli m a i m b, tom a+b i m a b. b) Jeżeli m a i a, to m. c) Jeżeli m a i b C, to m ab. d) Jeżeli a b oraz b 0, to a b. e) Jeżeli a b oraz b a, to b=a lub b=-a. Dowód: a) Zzałożeia mamy a=a 1 m. b=b 1 m, gdzie a 1, b 1 C więc a+b=(a 1 +b) m. Stąd m a+b. b) Zzałożeia mamy a=a 1 m = 1 a, gdzie a 1, 1 C wówczas = 1 (a 1 m)=m ( 1 a 1 ). Stąd m. c) Z założeia mamy m a, poadto a ab, więc amocyb)otrzymujemym ab. d) Zauważmy, że za b wyika całkowitość liczby a b, 4

5 b a zatem wobec b O, otrzymujemy 1, więc b a. a e) Zzałożeia i tw.d) mamy a b i b a, więc a = b. Stąd a=b lub a=-b. Tw. 1.2 Jeżeli jede składik sumy a+b jest podziely przez m, To suma a+b jest podziela przez m wtedy i tylko wtedy, gdy Drugi składik tej sumy jest podziely przez m. Dowód. Niech m a. Jeżeli m b, to a mocy tw. 1.1 a) m a+b. Odwrotie: jeżeli m a+b i m a, to a podstawie tw. 1.1 a) m (a+b)-a, czyli m b. 2. Dzieleie liczb całkowitych. Tw. 2.1 Jeżeli a C ib N, to istieje dokładie jeda para liczb całkowitych q i r, taka, że a =bq+r, 0 r<b. Dowód. Przyjmijmy q= a b oraz r=a-bq. a b a b Wówczas wobec < + 1 q a b a b < q + 1 bq a < bq + b 0 a bq < b, azatem0 r<b. Jeśli mamy a=bq 1 +r 1 =bq 2 +r 2, 0 r 1,r 2 <b, 5

6 to r 2 -r 1 =b(q 1 -q 2 ), zatem b r 2 -r 1. Gdybyśmy mieli r 1 r 2, to a mocy tw.1.1 d) zachodziłoby b r 2 -r 1 <b co jest iemożliwe. Zatem r 1 =r 2, awięc q 1 =q 2. Liczbę r azywamy resztą z dzieleia a przez b, a liczbę q ilorazem. Tw. 2.2 (o dzieleiu z resztą) Jeżeli a,b C ib 0, to istieje dokładie jeda para liczb całkowitych q, r spełiająca waruki a=bq+r, 0 r< b. 3. Największy wspóly dzielik i ajmiejsza wspóla wielokrotość dwóch liczb całkowitych. Niech a i b będą liczbami całkowitymi, z których co ajmiej jeda jest róża od zera. Największym wspólym dzielikiem liczb a i b azywamy ajwiększą liczbę aturalą, która jest dzielikiem liczb a i b. Największy wspóly dzielik liczb a i b ozaczać będziemy symbolem NWD(a,b). Najmiejszą wspólą wielokrotością liczb całkowitych a i b różych od zera azywamy ajmiejszą liczbę aturalą podzielą przez a i przez b. Najmiejszą wspólą wielokrotość liczb a i b ozaczamy symbolem NWW(a,b). Tw. 3.1 Każdy wspóly dzielik dwóch liczb całkowitych, z których co ajmiej jeda jest róża od zera, dzieli ich ajwiększy wspóly dzielik. Tw. 3.2 Najmiejsza wspóla wielokrotość dwóch liczb całkowitych różych od zera dzieli każdą ich wspólą wielokrotość. 6

7 Tw. 3.3 Dla dowolych dwóch liczb aturalych a i b jest: Dowód. a b=nwd(a,b) NWW(a,b). Ozaczmy NWD(a,b)=d i NWW(a,b)=w. Najpierw wykażemy, że aturalych a i b. a b d Moża to odczytać z rówości zarówo d b Zatem a b d = jak i c w a b d jest wspólą wielokrotością liczb = a b d a są liczbami aturalymi. d w b,gdziec jest liczbą aturalą. = b a d, poieważ Z rówości a= ( c d ), ( ) b = c d moża odczytać, że c d jest wspólym dzielikiem liczb a i b poieważ w b i w a są liczbami aturalymi. w a Z ierówości c d d otrzymujemy c=1 (c i d są liczbami aturalymi). Stąd a b d = w, czyli a b=d w. 4. Algorytm Euklidesa obliczaie ajwiększego wspólego dzielika dwóch liczb aturalych. Weźmy pod uwagę dwie dowole liczby aturale a i b. Jeżeli a=b, to NWD(a,b)=a=b. 7

8 Niech będzie a>b. Może się okazać, że b a, tz. istieje liczba aturala q>1, taka, że a=q b. Wówczas NWD(a,b)=b. Jeśli jedak b ie jest dzielikiem a, to istieją takie dwie liczby aturale q 1 i r 1, że a=q 1 b+r 1. Na mocy tw. 1.2 każdy wspóly dzielik liczb a i b jest dzielikiem liczby r 1 i każdy wspóly dzielik liczb b i r 1 jest dzielikiem liczby a, czyli NWD(a,b)=NWD(b,r 1 ). Ale b<a i zgodie z tw. 2.1 r 1 <b, więc obliczeie ajwiększego wspólego dzielika liczb a i b sprowadza się do obliczeia ajwiększego wspólego dzielika pary liczb aturalych b i r 1, odpowiedio miejszych iż poprzedio. Może się okazać, że r 1 b. Wtedy NWD(a,b)=NWD(b,r 1 )=r 1. Jeśli jedak r 1 ie jest dzielikiem b, tob=q 2 r 1 +r 2, q 2,r 2 są liczbami aturalymi, przy czym r 2 <r 1. Jak poprzedio wszystkie wspóle dzieliki liczb b i r 1 są rówocześie wspólymi dzielikami liczb r 1 i r 2 i odwrotie, Więc NWD(b,r 1 )=NWD(r 1, r 2 ). Jeśli r 2 r 1, to NWD(b,r 1 )=NWD(r 1, r 2 ). Jeśli r 2 ie jest dzielikiem r 1 postępujemy dalej poprzedio. Poieważ b>r 1 >r 2 >... i b, r 1, r 2,... są liczbami aturalymi, więc postępowaie asze może mieć ajwyżej b-1 takich działań jak poprzedio. W końcu otrzymamy r k r k-1, gdzie k b-1 i NWD(a,b)=NWD(b,r 1 )=...=NWD(r k-1,r k )=r k, gdzie r k jest ostatią resztą różą od zera. Takie postępowaie azywa się algorytmem Euklidesa. Np. Weźmy a=385 i b=105, a>b 385= , r 1 =70 105= , r 2 =35 70=2 35+0, r 3 =0 Poieważ r 3 =0, więc NWD(385,105)=35. 8

9 5. Liczby względie pierwsze. Jeżeli dwie liczby całkowite a, b spełiają waruek NWD(a,b)=1, a więc iemajążadego aturalego wspólego dzielika oprócz 1, to takie liczby azywamy liczbami względie pierwszymi. Tw. 5.1 Najmiejsza wspóla wielokrotość dwóch liczb aturalych a i b względie pierwszych jest rówa iloczyowi tych liczb. Dowód. Na mocy tw. 3.3 mamy a b=nwd(a,b) NWW(a,b). Zzałożeia mamy NWD(a,b)=1. Stąd a b=nww(a,b). Tw. 5.2 Jeżeli a i b są liczbami względie pierwszymi i liczba aturala c spełia waruek a bc, to a c. Dowód. Zzałożeia mamy NWD(a,b)=1, więc NWW(a,b)=a b i a bc. Ale b bc, więc okazuje się, że b c jest wspólą wielokrotością liczb a i b i a mocy tw. 3.2 ajmiejsza wspóla wielokrotość liczb a i b tz. a b dzieli wspólą wielokrotość b c. Otrzymaliśmy więc, że ab bc, czyli istieje taka liczba aturala q, że bc=abq, astąd c=aq,czyli a c. Nasze tw. moża sformułować astępująco: Jeżeli liczba jest dzielikiem iloczyu dwóch liczb i jest pierwsza względem jedego z czyików, to jest dzielikiem drugiego czyika. Tw. 5.3 Jeżeli a, b, c są liczbami aturalymi takimi, że NWD(a,c)=1 i NWD(b,c)=1, to NWD(ab,c)=1. 9

10 Dowód. Niech NWD(ab,c)=d, to d ab i d c. Ale skoro d c i z założeia NWD(a,c)=1, to NWD(a,d)=1. Gdyby bowiem a i d ie były liczbami względie pierwszymi, to istiałaby Liczba aturala d'>1 taka, że NWD(a,d)=d'. Wtedy mielibyśmy d' a i d' d, ale poieważ d c, więc d' c, co przeczy warukowi NWD(a,c)=1, czyli musi być d'=1. Z waruków NWD(a,d)=1 i d ab wyika, że d b. Z waruków d b i d c wypływa, że d jest wspólym dzielikiem liczb b i c. Ale z założeia b i c są liczbami względie pierwszymi, więc d=1. Tw. 5.3 daje się uogólić a dowolą skończoą liczbę czyików. Jeżeli NWD(a 1,c)=NWD(a 2,c)=...=NWD(a, c)=1, to NWD(a 1 a 2...a,c)=1. Tw. 5.4 Jeżeli b 1 a, b 2 a,...,b a ikażde dwie spośród liczb b 1,b 2,...,b są liczbami względie pierwszymi i a jest liczbą aturalą, tob 1 b 2...b a. Dowód. Z waruków b 1 a, b 2 a,... b a wyika, że a=q 1 b 1 =q 2 b 2 =...q 2 b, Gdzie q 1,q 2,...,q są liczbami aturalymi. Z a=q 1 b 1 ib 2 a otrzymujemy b 2 q 1 b 1. Poieważ b 1 i b 2 są liczbami względie pierwszymi, więc amocytw.5.2 jest b 2 q 1 czyli q 1 =q'b 2,astąd otrzymujemya=q'b 1 b 2. Podobie a=q''b 1 b 2 b 3 a=q'''b 1 b 2 b 3 b 4 i po wyczerpaiu b 1,b 2,...,b jest a=q -1 b 1 b 2...b. Stąd b 1 b 2...b a. 10

11 Np. Każda z liczb 2, 5, 7, 9 jest dzielikiem liczby 1260 i każde dwie spośród ich są liczbami względie pierwszymi, więc iloczy tych liczb tj. 630 jest dzielikiem liczby Liczby pierwsze. Liczbę aturalą p>1 azywamy liczbą pierwszą, jeśli ma tylko dwa dzieliki aturale, miaowicie 1 i p. Liczbę aturalą większą od 1, która ie jest liczbą pierwszą azywamy liczbą złożoą. Tw. 6.1 Liczb pierwszych jest ieskończeie wiele. Dowód (Euklides). Przypuśćmy, że tak ie jest, tz. że skończoy ciąg p 1,p 2,...,p zawiera już wszystkie liczby pierwsze. Ale liczba p=p 1 p 2...p +1 jest większa od każdej z wyżej apisaych i iepodziela przez żadą z ich bo z dzieleia przez każdą zich daje resztę 1. Liczba p ie jest też podziela przez żadą liczbę złożoą, gdyż każda taka liczba jest iloczyem pewych liczb spośród p 1,p 2,...,p, a wtedy liczba p musiałaby dzielić się przez którąś zich. Zatem i liczba p jest pierwsza. Z aszego założeia wyika zatem jego zaprzeczeia to zaczy, że założeie było fałszywe. Liczb pierwszych jest ieskończeie wiele. Tw. 6.2 Każda liczba aturala a>1 ma przyajmiej jede dzielik, który jest liczbą pierwszą. Dowód. Jeżeli a jest liczbą pierwszą, to jedyym dzielikiem pierwszym jest a, tj. a a. 11

12 Jeżeli a ie jest liczbą pierwsza, więc jest liczbą złożoą i ma przyajmiej jede dzielik d taki, że 1<d<a. Najmiejszy dzielik p spośród dzielików liczby a jest liczbą pierwszą. Gdyby bowiem dzielik ów ie był liczbą pierwszą, to istiałaby liczba aturala d 1 taka, że 1<d 1 <p i d 1 p oraz d 1 a, aletozajść ie może, gdyż p jest ajmiejszym dzielikiem liczby. Tw. 6.3 Każdą liczbę złożoą moża przedstawić w postaci iloczyu liczb pierwszych tylko w jede sposób, jeśli pomiiemy porządek czyików. Dowód. Jeśli a jest liczbą złożoą, towmyśl tw. 6.2 ajmiejszym dzielikiem liczby a jest liczba pierwsza p 1.Jestwięc a=q 1 p 1, gdzie q 1 jest liczbą aturalą. Może się okazać, że p 1 q 1 tj. q 1 =q 1 'p 1, wówczas a=q 1 'p 1 2. α 1 Niech p α będzie ajwyższą potęgą aturalą taką, że p 1 a, 1 podobie iech p α a,..., p α a 2 2, gdzie α 2 1,α 2,...,α są liczbami aturalymi i p 1,p 2,...,p są liczbami pierwszymi, przy czym są to α i wszystkie liczby pierwsze, będące dzielikami liczby a, gdzie p i jest ajwyższą potęgą liczby p i,taką, że α p i a i α 1 α 2 α Poieważ p p p,,..., są liczbami względie pierwszymi i każda 1 2 z ich jest dzielikiem liczby a, więc wmyśl tw.5.4jest a = b p α 1 1 p α gdzie b jest liczbą aturalą różą od p 1,p 2,...,p. p Jeśli b jest liczbą pierwszą i b a, to b jest jedą z liczb p 1,p 2,...p, p. b=p k,gdzie1 k. Lecz wtedy α,. α k p + 1 α k k wbrew założeiu, że p k jest ajwyższą potęgą liczby p k będącą dzielikiem liczby a. a 12

13 Zatem b ie może być liczbą ie może być liczbą pierwszą. Jeżeli b jest liczbą złożoą, to ajmiejszym dzielikiem liczby b większym od 1 jest liczba pierwsza. Owa liczba byłaby dzielikiem liczby a, a więc rówałaby się jedej z liczb p 1,p 2,...,p, co jak wyżej wykazaliśmy ie może zachodzić. Skoro b jest liczbą aturalą, ale ie jest ai liczbą pierwszą, ai złożoą, tomusibyć b=1. W te sposób wykazaliśmy, że liczba a>1 daje się przedstawić iloczyu liczb pierwszych α 1 α 2 * =... p,przyczymp 1 <p 2 <...<p, α i N, a p 1 p 2 α wzór * azywa się rozwiięciem lub rozkładem liczby aturalej różej od 1 a czyiki pierwsze. Wykażemy teraz, że rozkład * liczby a a czyiki pierwsze jest jedyym rozkładem. Przypuśćmy, że a rozkłada się rówież astępująco: β β β 1 2 a q q qk k =,przyczymq 1 <q 2 <...<q k, β j N. Przypuśćmy, że q 1 jest liczbą pierwszą różą od każdej liczby p i, 1 i. Poieważ każde dwie róże liczby pierwsze są względie pierwsze, więc NWD(q 1,p i )=1, zaś wmyśl tw. 5.3 jest NWD(a,q 1 )=1, lecz to jest sprzecze z tym, że q 1 a. Stąd wioskujemy, że istieje i 0, takie, że q p i 0 1 =,przyczym1 i 0. Aalogiczie każda z liczb q 2,q 3,...,q k jest rówa jedej z liczb p i i odwrotie każda z liczb p 1,p 2,...,p jest rówa jedej z liczb q j. Z tego wyika, że =k i p i =q i dla 1 i czyli a α 1 α 2 α β β β 1 2 = p p... p = p p... p Trzeba jeszcze wykazać, że α 1 =β 1, α 2 =β 2,...,α =β. 13

14 Gdyby jeda z liczb p występowała w jedym rozwiięciu liczby a w potędze α i, w drugim w potędze β i oraz α i <β i, to byłoby α i p i a a i β i p i a α i β = k p = i l p i i,,astąd gdzie ai liczba k, ai liczba l ie ma dzielika p i. α i Poieważ α i <β i, więc dzieląc obie stroy przez p i mamy k = l p i β i α i astąd p i k, więc otrzymaliśmy sprzeczość. Tak samo wykazalibyśmy, że iemoże być α i >β i. Wioskujemy stąd, że α i =β i dla 1 i. Dowiedliśmy więc, że liczba a rozwija się tylko w jede sposób a iloczy potęg liczb pierwszych. Przy pomocy rozkładu liczb a czyiki pierwsze moża zaleźć NWD i NWW dwóch lub kilku liczb. Niech dwie róże liczby aturale mają astępujące rozkłady: a b = = p q α 1 1 β 1 1 p q α β q p α k k β l l Rozwiięcie a czyiki pierwsze NWD(a,b) zawiera jedyie te czyiki p, któresą wspóle w rozwiięciu liczby a i rozwiięciu liczby b, przy czym każdy czyik p jest w potędze, której wykładik jest jedą z miejszych liczb α lub β. Rozwiięcie a czyiki pierwsze NWW(a,b) zawiera wszystkie czyiki, które ależą tylko do rozwiięcia b. Wykładik potęgi czyika wspólego p jest rówy większej liczbie spośród dwóch liczb α i β. 14

15 Tw. 6.4 Jeżeli liczba aturala >1 ie dzieli się przez żadą liczbę pierwszą ie większą od Dowód.,to jest liczbą pierwszą. Jeżeli liczba jest liczbą złożoą, to istieje liczba p, która jest ajmiejszym dzielikiem, czyli=qp, gdziep< i q p. Stąd =qp p 2, czyli p. Przez kotrapozycję otrzymujemy asze twierdzeie. Tw. 6.5 Istieją dowolie długie przedziały pozbawioe liczb pierwszych. Dowód. Niech m będzie dowolie ustaloą liczbą aturalą. Wykażemy, że istieją dwie koleje liczby pierwsze p i q takie, że q-p>m. Niech p będzie ajwiększą liczbą pierwszą miejszą od (m+1)!+2, tj. *p<(m+1)!+2. Żada z liczb (m+1)!+k, dla k=2,3,...,m+1 ie jest pierwsza, gdyż jest podziela przez k>1. Wobec tego ** q (m+1)!+m+2 Zierówości * i ** wyika, że a to mieliśmy wykazać. q-p>((m+1)!+m+2)-((m+1)!+2)=m, 7. Sito Erastoteesa i ie sposoby odszukiwaia liczb pierwszych. Istieje metoda wyzaczaia wszystkich liczb pierwszych ie większych od daej liczby zwaa sitem Eratostaesa. Wypisujemypo kolei wszystkie liczby aturale od 2 do wybraej liczby p.100. Pierwszą liczbę, awięc 2 podkreślamy, a wszystkie jej wielokrotości 15

16 tz. liczby parzyste wykreślamy. Pierwszą ie wykreśloą liczbę, którą jest liczba 3 podkreślamy i wykreślamy jej wielokrotości. Zauważmy przy tym, że pierwszą liczbą, którą ależy wykreślić będzie 6, która już została wykreśloa, bo jest liczbą parzystą, a astępą będzie9itak dalej. W astępym etapie podkreślamy 5, a wykreślamy wszystkie jej wielokrotości. Proces te kotyuujemy aż do wyczerpaia całego wypisaego a początku ciągu. Liczby ie wykreśloe (czyli te podkreśloe) są liczbami pierwszymi. Nazwa sito pochodzi od sposobu w jaki Eratostees zrealizował swój pomysł: a arkuszu papirusu umocowaym do odpowiediej ramy, wypisał koleje liczby, a astępie przekłuwał papirus w miejscach liczb złożoych. W rezultacie powstało coś w rodzaju sita, przez które wyciekły wszystkie liczby złożoe. Najwięksi matematycy wszystkich czasów poświęcali wiele pracy, aby zaleźć ogóly wzór do odszukiwaia liczb pierwszych. Legedre odkrył, że wyrażeie daje liczby pierwsze dla od 0 do 16, atomiast wyrażeie daje liczby pierwsze dla od 0 do 28. Euler odkrył, że wzór daje liczby pierwsze dla od0do39. Amerykai Escott zastąpił we wzorze Eulera przez -40 i otrzymał wyrażeie , które daje liczby pierwsze dla od0do79, wiele wartości się jedak powtarza. m 1 Na zakończeie jeszcze jede wzór: N m = Jeżeli w miejsce m będziemy podstawiali kolejo liczby pierwsze, oprócz 2, to wzór da am a razie liczby pierwsze: N 3 =3, N 5 =11, N 7 +43, N 11 =683,N 13 =2731, N 17 =43691, N 19 =174763, N 23 = , N 29 = , N 31 = , 16

17 Ale już przy m=37 wzór zawodzi, gdyż daje liczbę złożoą. Od dłuższego czasu koleje liczby pierwsze zajdujemy wśród tak zwaych liczb Merse'a. Są to liczby postaci M p =2 p -1, gdzie p jest liczbą pierwszą. Ich pierwszy badacz, Mari Mersee (1644r.) zdołał obliczyć, że M p jest pierwsza dla p=2,3,5,7,13,17,19. Fermat, a późiej Euler wykazali, że dzieliki liczb Merse'a są jedocześie postaci 2kp+1 i 8 ± 1, k,-liczby aturale, p-pierwsza. To odkrycie zaczie redukuje liczbę ewetualych dzielików liczb Mersee'a i Euler był w staie obliczyć, że M 31 = jest liczbą pierwszą. 8. Kogruecje liczbowe. Def. 1. Liczba całkowita a przystaje do liczby całkowitej b według modułu m jeżeli przy dzieleiu przez moduł daje tę samą samą resztę, co zapisujemy a b(mod m), gdzie m jest liczbą aturalą. Np. 7 13(mod2)bo7:2=3r1 13 : 2=6 r 1 Rówoważa defiicja: Def. 2.Liczba całkowita a przystaje do liczby całkowitej b według modułu m jeżeli różica a-b dzieli się przez m, Co zapisujemy *a b(mod m), gdzie m jest liczbą aturalą. Wzór * azywamy kogruecją. Dlawyrażeia, że liczbaa przystaje do liczby b według modułu m zakowaie * wprowadził C.F.Gauss, co czytamy: a przystaje do b modulo m. Np (mod 2), bo W zbiorze liczb całkowitych C określiliśmy relację zwaą kogruecją. 17

18 Liczbę m azywamy modułem kogruecji. Tw. 8.1 Relacja przystawaia (kogruecja) jest relacją rówoważości: a) zwrotość Dla każdej liczby całkowitej a i dla każdego aturalego m a a(mod m) b) symetria Jeżeli a b(mod m), to b a(mod m) c) przechodiość Jeżeli a b(mod m) i b c(mod m), to a c(mod m). Dowód. a) a a(mod m) poieważ dowola liczba aturala m jest dzielikiem a-a=0 b) Wystarczy zauważyć, że dwie liczby a-b oraz b-a są zawsze jedocześie podziele lub jedocześie iepodziele przez m. c) Mamy tożsamość: a-c=(a-b)+(b-c). Jeżeli m a-b i m b-c, to m a-c. Tw. 8.2 Jeżeli a b(mod m) i c jest liczbą całkowitą, to Dowód. a+c b+c(mod m) a-c b-c(mod m) a c b c(mod m) Korzystając ztożsamości: (a+c)-(b+c)=a-b (a-c)-(b-c)=a-b a c - b c=(a - b) c i założeia, żę m a-b mamy m [(a=c)-(b+c)] m [(a-c)-(b-c)] m (a c - b c), co kończy dowód. 18

19 Tw. 8.3 Jeżeli a b(mod m) i d jest aturalym dzielikiem a, b i m, to a b b d Dowód. (mod d m ). Jeżeli a b(mod m) id jest aturalym dzielikiem a, b i m, to istieje taka liczba p, że Tw. 8.4 a b m a b = p m oraz = p. d d d a b m (mod b d d Skąd mamy ). Jeżeli a b(mod m) id m, gdzied jest liczbą aturalą, toa b(mod d). Dowód. Jeżeli m a-b i d m, to poieważ dzielik dzielika daej liczby jest dzielikiem tejże liczby wyika, że d a-b, czyli a b(mod d). Tw. 8.5 Jeżeli a b(mod m) ic d(mod m), to Dowód. Korzystając ztożsamości: a+c b+d(mod m) a-c b-d(mod m) a c b d(mod m). (a+c)-(b+d)=(a-b)+(c-d) (a-c)-(b-d)=(a-b)-(c-d) a c-b d=(a-b) c+(c-d) b. i z założeia, że m a-b, m c-d mamy Tw. 8.6 m [(a+c)-(b+d)] m [(a-c)-(b-d)] m (a c-b d), co kończy dowód. Jeżeli a b(mod m), toa b (mod m), gdzie jest liczbą aturalą. 19

20 Dowód. Twierdzeie to jest uogólieiem tw. 8.5 a skończoą liczbę kogruecji. Tw. 8.7 Jeżeli a b(mod m) if(x)=c x +c -1 x c 1 x+c 0 Jest wielomiaem zmieej x o współczyikach całkowitych, to f(a) f(b)(mod m). Dowód. Z kogruecji a b(mod m) a podst. tw. 8.6 jest a b (mod m) i a podst. tw. 8.2 otrzymujemy Aalogiczie: c a c b (mod m). c -1 a -1 c -1 b -1 (mod m) c 1 a c 1 b(mod m) c 0 c 0 (mod m). Po dodaiu stroami tych kogruecji otrzymamy a podst. tw. 8.2 c a +c -1 a c 1 a+c 0 c b +c -1 b c 1 b+c 0 (mod m). Ale lewa stroa tej kogruecji jest wartością wielomiau f(x), gdy zamiast x podstawimy a, atomiast prawa stroa, gdy za x podstawimy b. Otrzymujemy f(a) f(b)(mod m). Weźmy pod uwagę kogruecję f(x) 0 (modm), gdzie m jest daą 1 liczbą aturalą, zaś f ( x) = c x + c 1x + c1x c0 wielomiaem stopia o + współczyikach całkowitych c,c -1,...,c 0. Pierwiastkiem kogruecji f(x) 0 (mod m) azywamy każdą liczbę całkowitą x, dla której jest oa prawdziwa. Z tw. 8.7 wyika, że jeżeli a jest pierwiastkiem kogruecji f(x) 0 (mod m), to każde liczba przystająca do a według modułu m jest rówież 20

21 pierwiastkiem tej kogruecji. Całą tę klasę liczb do siebie przystających według modułu m i spełiających daą kogruecję będziemy uważali za jede pierwiastek. Każda liczba całkowita przystaje według modułu m do jedej i tylko jedej liczby ciągu: 0,1,2,...,m-1, poieważ przystaje do swej reszty z dzieleia przez m. Przy pomocy kogruecji możemy wyrazić małe tw. Fermata. Tw. 8.8 Dla każdej liczby pierwszej p oraz każdej liczby całkowitej a zachodzi kogruecja Wiosek 8.9 a p a(mod p) Jeżeli p jest liczbą pierwszą, zaś a liczbą całkowitą iepodzielą przez p, to a p-1 1(mod p) Z małego tw. Fermata wyika, że jeżeli p jest liczbą pierwszą, to kogruecja x p-1 1(mod p) ma p-1 pierwiastków, którymi są liczby 1,2,...,p-1 oraz wszystkie liczby całkowite przystające do którejkolwiek z ich według modułu p, tz. wszystkie liczby całkowite iepodziele przez p. Przez ϕ() ozaczamy ilość liczb aturalych ie większych od. Tw (Eulera) Jeżeli a i są liczbami aturalymi i NWD(a,)=1, to a ϕ() -1 0 (mod) 9. Kryterium podzielości liczb aturalych. Każdą liczbę aturalą N w układzie pozycyjym dziesiątkowym zapisujemy astępująco: 21

22 N=c 10 +c c 1 10+c , gdzie każda z liczb c,c -1,...,c 1,c 0 jest jedą z liczb 0,1,2,..., 9. Np = Tę samą liczbę możemy rówież apisać tak: = = Wprowadzimy astępujące ozaczeie: liczbę 348 apisaą w układzie pozycyjym dziesiątkowym apiszemy tak: (348) 10 i ogólie: N=c 10 +c c 1 10+c 0 =(c c -1...c 1 c 0 ) 10, gdzie c c -1...c 1 c 0 ie jest oczywiście iloczyem. Np =(05) (60) (84) =(178) (690) 10 Ogóliej: N=c 10 +c c 1 10+c N=(c c -1 ) (c -2 c -3 ) w przypadku, gdy 2 ie jest dzielikiem. 2 N=(0c ) w przypadku, gdy 2. Podobie: 3 N=(c c -1 c -2 ) w przypadku, gdy 3-2, 2 2 +(c -1 c -2 ) (c 3 c 2 ) (c 1 c 0 ) (c 3 c 2 ) (c 1 c 0 ) (c 5 c 4 c 3 ) (c 2 c 1 c 0 ) 10 3 N=(0c c -1 ) (c 5 c 4 c 3 ) (c 2 c 1 c 0 ) 10 w przypadku, gdy 3-1, 3 N=(00c ) (c 5 c 4 c 3 ) (c 2 c 1 c 0 ) 10 w przypadku, gdy 3. Szczególy przypadek tw. 8.7 otrzymamy, gdy do f(x) podstawimyx=10 lub x=100 lub x=1000 itd. 22

23 Wtedy jest f(10)=c 10 +c c 1 10+c 0 =N f(100)=...+(c 5 c 4 ) (c 3 c 2 ) (c 1 c 0 ) 10 =N f(1000)=...+(c 8 c 7 c 6 ) (c 5 c 4 c 3 ) (c 2 c 1 c 0 ) 10 =N... Jeżeli więc 10 b(mod m), to f(10) f(b) (modm), czyli (*) m N-f(b). Poieważ zachodzi (*), więc aby m było podzielikiem liczby N, potrzeba i wystarcza, by m było podzielikiem liczby f(b) (a mocy tw. 1.2). Aalogiczie w przypadku x=100, x=1000 itd. Mamy więc astępujące kryterium podzielości liczby aturalej N przez liczbę aturalą m: Aby liczba aturala m była podzielikiem liczby aturalej N, potrzeba i wystarcza, by m było podzielikiem liczby f(b), przy czym f(b) spełia waruek f(10 ) f(b) (mod m), gdzie m jest liczbą aturalą. 10. Cechy podzielości przez 10,2,5,100,4,25,1000,125. Cechy podzielości przez wymieioe liczby moża podzielić a trzy grupy według sposobu wyprowadzaia. I grupa cech podzielości przez 10,2,5. Z kogruecji 10 0 (mod 10) wyika 10 N-f(0), czyli 10 N-c 0 Poieważ różica N-c 0 jest podziela przez 10, więc amocytw.1.2a to by 10 było dzielikiem liczby N, potrzeba i wystarcza, aby 10 c 0,co może astąpić jedyie wtedy, gdy c 0 =0. <<Aby daa liczba aturala była podziela przez 10, potrzeba i wystarcza, by liczba wyrażoa cyfrą jedości daej liczby była zerem.>> Z kogruecji 23

24 wyika Z kogruecji 10 0 (mod2) 2 N-f(0), czyli 2 N-c 0,astąd wyika cecha podzielości przez (mod5) wyika 5 N-f(0), czyli 5 N-c 0,astąd wyika cecha podzielości przez 5. Mamy więc <<Aby daa liczba była podziela przez 2 lub przez 5, potrzeba i wystarcza, by liczba wyrażoa cyfrą jedości daej liczby była podziela przez 2 lub przez 5.>> II grupa cech podzielości przez 100,4,25. Liczbę aturalą N przedstawimy astępująco: N=f(100)=...+(c 5 c 4 ) (c 3 c 2 ) (c 1 c 0 ) 10, A wtedy f(0)=(c 1 c 0 ) 10 =c 1 10+c 0 Z kogruecji (mod 100) wyika 100 N-f(0), czyli 100 N-(c 1 10+c 0 ). Stąd wyika cecha podzielości przez 100. <<Aby daa liczba aturala była podziela przez 100, potrzeba i wystarcza, by liczba wyrażoa cyframi dziesiątek i jedości daej liczby była zerem.>> Z kogruecji (mod4) wyika 4 N-f(0), czyli 4 N-(c 1 10+c 0 ), astąd cecha podzielości przez 4. Z kogruecji (mod 25) wyika 25 N-f(0), czyli 25 N-(c 1 10+c 0 ), astąd cecha podzielości przez

25 <<Aby daa liczba aturala była podziela przez 4 lub przez 25, potrzeba i wystarcza, by liczba wyrażoa cyframi dziesiątek i jedości daej liczby była podziela przez 4 lub przez25.>> III grupa cech podzielości przez 1000,125. Liczbę aturalą N przedstawimy w postaci: N= f(1000)=...+(c 8 c 7 c 6 ) (c 5 c 4 c 3 ) (c 2 c 1 c 0 ) 10 Z kogruecji (mod 1000) wyika 1000 N-f(0), czyli 1000 N-(c c 1 10+c 0 ), astąd cecha podzielości przez <<Aby daa liczba aturala była podziela przez 1000, potrzeba i wystarcza, by liczba wyrażoa cyframi setek, dziesiątek i jedości była zerem.>> Z kogruecji (mod 125) wyika 125 N-f(0), czyli 125 N-(c c 1 10+c 0 ), astąd cecha podzielości przez 125. <<Aby daa liczba aturala była podziela przez 125, potrzeba i wystarcza, by liczba wyrażoa cyframi setek, dziesiątek i jedości była podziela przez 125.>> 11. Cechy podzielości przez 9,3,7,11,13. Cechy podzielości przez wymieioe liczby podzielimy a dwie grupy ze względu a sposób wyprowadzaia. I grupa cech podzielości przez 9,3. Z kogruecji 25

26 10 1 (mod9) wyika 9 N-f(1), czyli 9 N-(c +c c 1 +c 0 ), astąd cecha podzielości przez 9. Z kogruecji 10 1 (mod3) wyika 3 N-f(1), czyli 3 N-(c +c c 1 +c 0 ), astąd cecha podzielości przez 3. <<Aby daa liczba aturala była podziela przez 9 lub przez 3, potrzeba i wystarcza, by suma jej cyfr była podziela przez 9 lub przez 3.>> II grupa cech podzielości przez 7,11,13. Z kogruecji (mod 7) (mod 11) (mod 13) wyika odpowiedio 7 N-f(-1), 11 N-f(-1), 13 N-f(-1), wioskujemy, że Jeżeli 7 (-1), to 7 N. Jeżeli 11 (-1), to 11 N. Jeżeli 13 (-1), to 13 N. Ale N= f(1000)=...+(c 8 c 7 c 6 ) (c 5 c 4 c 3 ) (c 2 c 1 c 0 ) 10, więc f(-1)=...+(c 8 c 7 c 6 ) 10 -(c 5 c 4 c 3 ) 10 +(c 2 c 1 c 0 ) 10. Mamy więc cechę podzielości przez 7 lub przez 11, lub przez 13. <<Aby daa liczba aturala była podziela przez 7 lub przez 13, potrzeba i wystarcza, by suma algebraicza a-b+c-d+... była podziela 26

27 przez 7, 11, 13, przy czym a=c c 1 10+c 0, b=c c 4 10+c 3, c=c c 7 10+c 6 itd., gdzie c 0,c 1,c 2,... to cyfry daej liczby aturalej.>> Np. Zbadajmy, czy jest podziele przez 7 lub przez 11, lub przez 13. Suma algebraicza a-b+c= =-588 dzieli się przez 7, a ie dzieli się przez 11 i przez 13. Stąd , 11 ie jest dzielikiem , 13 ie jest dzielikiem Podzielość przez 7 moża zbadać w iy sposób. Rozpatrzmy kogruecje poszczególych potęg liczby 10 według modułu 7: (mod7) (mod7) (mod7) (mod7) (mod7) (mod7) Badając dalsze potęgi liczby 10 stwierdzamy, że ciąg liczb 1,3,2,6,4,5 będzie się powtarzał, p (mod7),10 7 3(mod7),...Teciąg azywamy ciągiem charakterystyczym dla dzielika 7. Zbadamy, czy liczba jest podziela przez 7. Obliczamy sumę iloczyów poszczególych cyfr badaej liczby przez cyfry ciągu charakterystyczego: = =70 Liczba 70 dzieli się przez 7, zatem i liczba dzieli się przez 7. W razie iepodzielości daej liczby przez 7 przy tym sposobie badaia wiemy jaka jest reszta. 27

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Zakres podstawowy. Nawi zanie do gimnazjum. n/m Rozwi zywanie zada Zadanie domowe Dodatkowe Komunikaty Bie ce materiały

Matematyka. Zakres podstawowy. Nawi zanie do gimnazjum. n/m Rozwi zywanie zada Zadanie domowe Dodatkowe Komunikaty Bie ce materiały Lekcja 1. Lekcja orgaizacyja kotrakt Podręczik: W. Babiański, L. Chańko, D. Poczek Mateatyka. Zakres podstawowy. Wyd. Nowa Era. Zakres ateriału: Liczby rzeczywiste Wyrażeia algebraicze Rówaia i ierówości

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna. Robert Rałowski

Analiza matematyczna. Robert Rałowski Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................

Bardziej szczegółowo

Internetowe Kółko Matematyczne 2004/2005

Internetowe Kółko Matematyczne 2004/2005 Iteretowe Kółko Matematycze 2004/2005 http://www.mat.ui.toru.pl/~kolka/ Zadaia dla szkoły średiej Zestaw I (20 IX) Zadaie 1. Daa jest liczba całkowita dodatia. Co jest większe:! czy 2 2? Zadaie 2. Udowodij,

Bardziej szczegółowo

3. Funkcje elementarne

3. Funkcje elementarne 3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących

Bardziej szczegółowo

Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =

Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i = Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi. Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe

Bardziej szczegółowo

Kongruencje Wykład 4. Kongruencje kwadratowe symbole Legendre a i Jac

Kongruencje Wykład 4. Kongruencje kwadratowe symbole Legendre a i Jac Kogruecje kwadratowe symbole Legedre a i Jacobiego Kogruecje Wykład 4 Defiicja 1 Kogruecję w ostaci x a (mod m), gdzie a m, azywamy kogruecją kwadratową; jej bardziej ogóla ostać ax + bx + c może zostać

Bardziej szczegółowo

Wykład 11. a, b G a b = b a,

Wykład 11. a, b G a b = b a, Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada

Bardziej szczegółowo

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic). Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic

Bardziej szczegółowo

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy

Bardziej szczegółowo

a n 7 a jest ciągiem arytmetycznym.

a n 7 a jest ciągiem arytmetycznym. ZADANIA MATURALNE - CIĄGI LICZBOWE - POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Dauta Brzezińska Zad.1. ( pkt) Ciąg a określoy jest wzorem 5.Wyzacz liczbę ujemych wyrazów tego ciągu. Zad.. ( 6 pkt) a Day jest ciąg

Bardziej szczegółowo

Podstawowe cechy podzielności liczb.

Podstawowe cechy podzielności liczb. Mariusz Kawecki, Notatki do lekcji Cechy podzielości liczb Podstawowe cechy podzielości liczb. Pamiętamy z gimazjum, że istieją reguły, przy pomocy których łatwo sprawdzić, czy kokreta liczba dzieli się

Bardziej szczegółowo

5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Notatki do lekcji, klasa matematycza Mariusz Kawecki, II LO w Chełmie 5. Zasada idukcji matematyczej. Dowody idukcyje. W rozdziale sformułowaliśmy dla liczb aturalych zasadę miimum. Bezpośredią kosekwecją

Bardziej szczegółowo

Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.

Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim. Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako

Bardziej szczegółowo

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,

Bardziej szczegółowo

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem 9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011 Egzami maturaly z matematyki CZERWIEC 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr

Bardziej szczegółowo

7 Liczby zespolone. 7.1 Działania na liczbach zespolonych. Liczby zespolone to liczby postaci. z = a + bi,

7 Liczby zespolone. 7.1 Działania na liczbach zespolonych. Liczby zespolone to liczby postaci. z = a + bi, 7 Liczby zespoloe Liczby zespoloe to liczby postaci z a + bi, gdzie a, b R. Liczbę i azywamy jedostką urojoą, spełia oa waruek i 2 1. Zbiór liczb zespoloych ozaczamy przez C: C {a + bi; a, b R}. Liczba

Bardziej szczegółowo

3. Wzory skróconego mnożenia, działania na wielomianach. Procenty. Elementy kombinatoryki: dwumian Newtona i trójkąt Pascala. (c.d.

3. Wzory skróconego mnożenia, działania na wielomianach. Procenty. Elementy kombinatoryki: dwumian Newtona i trójkąt Pascala. (c.d. Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących 009/10 3 Wzory skrócoego możeia działaia a wielomiaach Procety Elemety kombiatoryki: dwumia Newtoa i trójkąt Pascala (cd) paździerika 009 r 0 Skometować frgmet

Bardziej szczegółowo

Szereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:

Szereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3: Szereg geometryczy Zad : Suma wszystkich wyrazów ieskończoego ciągu geometryczego jest rówa 4, a suma trzech początkowych wyrazów wyosi a) Zbadaj mootoiczość ciągu sum częściowych tego ciągu geometryczego

Bardziej szczegółowo

I kolokwium z Analizy Matematycznej

I kolokwium z Analizy Matematycznej I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4

Bardziej szczegółowo

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:

Bardziej szczegółowo

1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba)

1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) 1. Liczby wymierne. - wartość bezwzględna liczby. dla 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) - dla < 0 ( wartością bezwzględną liczby ujemnej jest liczba do niej przeciwna) W interpretacji

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

3. Wzory skróconego mnożenia, działania na wielomianach. Procenty. Elementy kombinatoryki: dwumian Newtona i trójkąt

3. Wzory skróconego mnożenia, działania na wielomianach. Procenty. Elementy kombinatoryki: dwumian Newtona i trójkąt Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących 008/09 3. Wzory skrócoego możeia działaia a wielomiaach. Procety. Elemety kombiatoryki: dwumia Newtoa i trójkąt Pascala. 5 paździerika 008 r. 35. Uprościć wyrażeie

Bardziej szczegółowo

O trzech elementarnych nierównościach i ich zastosowaniach przy dowodzeniu innych nierówności

O trzech elementarnych nierównościach i ich zastosowaniach przy dowodzeniu innych nierówności Edward Stachowski O trzech elemetarych ierówościach i ich zastosowaiach przy dowodzeiu iych ierówości Przy dowodzeiu ierówości stosujemy elemetare przejścia rówoważe, przeprowadzamy rozumowaie typu: jeżeli

Bardziej szczegółowo

Materiał powtarzany w II etapie. II 4. Ciągi

Materiał powtarzany w II etapie. II 4. Ciągi Materiał powtarzay w II etapie II. Ciągi 3 1, dla parzystych 1. Wyzacz sześć początkowych wyrazów ciągu a = { +1, dla ieparzystych. Które wyrazy ciągu a = są rówe 1? 3. Pomiędzy liczby 7 i 5 wstaw 5 liczb

Bardziej szczegółowo

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia

Bardziej szczegółowo

Arytmetyka pierścienia liczb całkowitych (w tym podzielność)

Arytmetyka pierścienia liczb całkowitych (w tym podzielność) Arytmetyka pierścieia liczb całkowitych (w tym podzielość). Pojęcie pierścieia. Defiicja. Zbiór A z dwoma operacjami wewętrzymi o symbolach + i azywa się pierścieiem, jeżeli spełioe są waruki: ) A z operacją

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych

Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych V Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych Opracowanie Monika Fabijańczyk ROZDZIAŁ 1 Cechy podzielności Poniższe zadania zostały wybrane z różnych zbiorów zadań, opracowań, konkursów matematycznych.

Bardziej szczegółowo

V Międzyszkolny Konkurs Matematyczny

V Międzyszkolny Konkurs Matematyczny V Międzyszkolny Konkurs Matematyczny im. Stefana Banacha dla uczniów szkół średnich Zespół Szkół Nr 1 im. Adama Mickiewicza w Lublińcu 42-700 Lubliniec, ul. Sobieskiego 22 18. kwiecień 2011 rok 1. W trapezie

Bardziej szczegółowo

Kongruencje pierwsze kroki

Kongruencje pierwsze kroki Kongruencje wykład 1 Definicja Niech n będzie dodatnią liczbą całkowitą, natomiast a i b dowolnymi liczbami całkowitymi. Liczby a i b nazywamy przystającymi (kongruentnymi) modulo n i piszemy a b (mod

Bardziej szczegółowo

2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność.

2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. 2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. 11 października 2008 r. 19. Wskazać takie liczby naturalne m,

Bardziej szczegółowo

Moduł 4. Granica funkcji, asymptoty

Moduł 4. Granica funkcji, asymptoty Materiały pomocicze do e-learigu Matematyka Jausz Górczyński Moduł. Graica fukcji, asymptoty Wyższa Szkoła Zarządzaia i Marketigu Sochaczew Od Autora Treści zawarte w tym materiale były pierwotie opublikowae

Bardziej szczegółowo

ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE DRUGIEJ.

ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE DRUGIEJ. ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE DRUGIEJ I Fukcja kwadratowa ) PODAJ POSTAĆ KANONICZNĄ I ILOCZYNOWĄ (O ILE ISTNIEJE) FUNKCJI: a) f ( ) + b) f ( ) 6+ 9 c) f ( ) ) Narysuj wykresy fukcji f

Bardziej szczegółowo

Konspekt lekcji (Kółko matematyczne, kółko przedsiębiorczości)

Konspekt lekcji (Kółko matematyczne, kółko przedsiębiorczości) Kospekt lekcji (Kółko matematycze, kółko przedsiębiorczości) Łukasz Godzia Temat: Paradoks skąpej wdowy. O procecie składaym ogólie. Czas lekcji 45 miut Cele ogóle: Uczeń: Umie obliczyć procet składay

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturaly wraz ze schematem oceiaia dla klasy II Liceum Propozycja zadań maturalych sprawdzających opaowaie wiadomości i umiejętości matematyczych z zakresu

Bardziej szczegółowo

Teoria liczb. Zajmuje się własnościami liczb, wszystkim całkowitych

Teoria liczb. Zajmuje się własnościami liczb, wszystkim całkowitych Teoria liczb Zajmuje się własnościami liczb, przede wszystkim całkowitych Niepraktyczna? - kryptografia Dzielenie liczb całkowitych z resztą Niech b>0, wtedy dla każdej liczby całkowitej a istnieją jednoznacznie

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

Szeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne.

Szeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Szeregi iczbowe. Szeregi potęgowe i trygoometrycze. wykład z MATEMATYKI Automatyka i Robotyka sem. I, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Iformatyki Poitechika Białostocka Szeregi iczbowe Defiicja..

Bardziej szczegółowo

Szeregi liczbowe i ich własności. Kryteria zbieżności szeregów. Zbieżność bezwzględna i warunkowa. Mnożenie szeregów.

Szeregi liczbowe i ich własności. Kryteria zbieżności szeregów. Zbieżność bezwzględna i warunkowa. Mnożenie szeregów. Materiały dydaktyze Aaliza Matematyza (Wykład 3) Szeregi lizbowe i ih własośi. Kryteria zbieżośi szeregów. Zbieżość bezwzględa i warukowa. Możeie szeregów. Defiija. Nieh {a } N będzie iągiem lizbowym.

Bardziej szczegółowo

1. Powtórzenie: określenie i przykłady grup

1. Powtórzenie: określenie i przykłady grup 1. Powtórzeie: określeie i przykłady grup Defiicja 1. Zbiór G z określoym a im działaiem dwuargumetowym azywamy grupą, gdy: G1. x,y,z G (x y) z = x (y z); G2. e G x G e x = x e = x; G3. x G x 1 G x x 1

Bardziej szczegółowo

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012 Materiał ćwiczeiowy z matematyki Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad 3 5 6 7 8 9 0

Bardziej szczegółowo

2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. (c.d.

2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. (c.d. 2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. (c.d.) 10 października 2009 r. 20. Która liczba jest większa,

Bardziej szczegółowo

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa, test próbny www.omg.edu.pl (wrzesień 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o

Bardziej szczegółowo

Kongruencje oraz przykłady ich zastosowań

Kongruencje oraz przykłady ich zastosowań Strona 1 z 25 Kongruencje oraz przykłady ich zastosowań Andrzej Sładek, Instytut Matematyki UŚl sladek@ux2.math.us.edu.pl Spotkanie w LO im. Powstańców Śl w Bieruniu Starym 27 października 2005 Strona

Bardziej szczegółowo

Analiza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Aproksymacja funkcji

Analiza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Aproksymacja funkcji http://www.ii.ui.wroc.pl/ sle/teachig/a-apr.pdf Aaliza umerycza Staisław Lewaowicz Grudzień 007 r. Aproksymacja fukcji Pojęcia wstępe Defiicja. Przestrzeń liiową X (ad ciałem liczb rzeczywistych R) azywamy

Bardziej szczegółowo

VII MIĘDZYNARODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretyczne T3.

VII MIĘDZYNARODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretyczne T3. KOOF Szczeci: www.of.szc.pl VII MIĘDZYNAODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretycze T3. Źródło: Komitet Główy Olimpiady Fizyczej; Olimpiada Fizycza XXIII XXIV, WSiP Warszawa 1977 Autor: Waldemar Gorzkowski

Bardziej szczegółowo

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D. Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa

Estymacja przedziałowa Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze

Bardziej szczegółowo

Ku chwale nierówności. XXVII Ogólnopolski Sejmik Matematyków

Ku chwale nierówności. XXVII Ogólnopolski Sejmik Matematyków Ku chwale ierówości Sebastia Lisiewski 25 lutego 200 XXVII Ogólopolski Sejmik Matematyków VIII Liceum Ogólokształcące im. Marii Skłodowskiej- Curie w Katowicach ul. 3-go Maja 42 40-097 Katowice Opiekuowie

Bardziej szczegółowo

Kongruencje. Beata Łojan. Koło Naukowe Matematyków Uniwersytetu Śląskiego w Katowicach.

Kongruencje. Beata Łojan. Koło Naukowe Matematyków Uniwersytetu Śląskiego w Katowicach. Kongruencje Beata Łojan b.lojan@knm.katowice.pl Koło Naukowe Matematyków Uniwersytetu Śląskiego w Katowicach www.knm.katowice.pl III Liceum Ogólnokształcące im. Lucjana Szenwalda w Dąbrowie Górniczej Spis

Bardziej szczegółowo

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań MATURA 0 z WSiP Matematyka Poziom rozszerzoy Zasady oceiaia zadań Copyright by Wydawictwa Szkole i Pedagogicze sp z oo, Warszawa 0 Matematyka Poziom rozszerzoy Kartoteka testu Numer zadaia Sprawdzaa umiejętość

Bardziej szczegółowo

Liczby całkowite. Zadania do pierwszych dwóch lekcji

Liczby całkowite. Zadania do pierwszych dwóch lekcji Matematyka w klasie IE Zadania do zajęć w Marynce Jesień 2012 Liczby całkowite prof. W. Gajda Zagadka Pomyśl sobie jakąś dużą liczbę całkowitą. Dodaj do niej tę samą liczbę. Do uzyskanej sumy dodaj jeszcze

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica

Bardziej szczegółowo

Równania diofantyczne

Równania diofantyczne Równania diofantyczne Beata Łojan b.lojan@knm.katowice.pl Koło Naukowe Matematyków Uniwersytetu Śląskiego w Katowicach www.knm.katowice.pl III Liceum Ogólnokształcące im. Lucjana Szenwalda w Dąbrowie Górniczej

Bardziej szczegółowo

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna Zestaw 2

Matematyka Dyskretna Zestaw 2 Materiały dydaktyczne Matematyka Dyskretna (Zestaw ) Matematyka Dyskretna Zestaw 1. Wykazać, że nie istnieje liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 18 daje resztę 13, a przy dzieleniu przez 1 daje

Bardziej szczegółowo

Podzielność, cechy podzielności, liczby pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność.

Podzielność, cechy podzielności, liczby pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. Podzielność, cechy podzielności, liczby pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. W dniu 3 października 2013 r. omawiamy test kwalifikacyjny. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie

Bardziej szczegółowo

Zadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4

Zadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4 Zadaia z Matematyka - SIMR 00/009 - szeregi zadaia z rozwiązaiami. Zbadać zbieżość szeregu Rozwiązaie: 0 4 4 + 6 0 : Dla dostateczie dużych 0 wyrazy szeregu są ieujeme 0 a = 4 4 + 6 0 0 Stosujemy kryterium

Bardziej szczegółowo

Informatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!

Informatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce! Iformatyka Stosowaa-egzami z Aalizy Matematyczej Każde zadaie ależy rozwiązać a oddzielej, podpisaej kartce! y, Daa jest fukcja f (, + y, a) zbadać ciągłość tej fukcji f b) obliczyć (,) (, (, (,) c) zbadać,

Bardziej szczegółowo

co wskazuje, że ciąg (P n ) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy K 0 r. Pierwszy wyraz tego ciągu a więc P 1 z uwagi na wzór (3) ma postać P

co wskazuje, że ciąg (P n ) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy K 0 r. Pierwszy wyraz tego ciągu a więc P 1 z uwagi na wzór (3) ma postać P Wiadomości wstępe Odsetki powstają w wyiku odjęcia od kwoty teraźiejszej K kwoty początkowej K, zatem Z = K K. Z ekoomiczego puktu widzeia właściciel kapitału K otrzymuje odsetki jako zapłatę od baku za

Bardziej szczegółowo

LICZBY PIERWSZE. 14 marzec 2007. Jeśli matematyka jest królową nauk, to królową matematyki jest teoria liczb. C.F.

LICZBY PIERWSZE. 14 marzec 2007. Jeśli matematyka jest królową nauk, to królową matematyki jest teoria liczb. C.F. Jeśli matematyka jest królową nauk, to królową matematyki jest teoria liczb. C.F. Gauss (1777-1855) 14 marzec 2007 Zasadnicze twierdzenie teorii liczb Zasadnicze twierdzenie teorii liczb Ile jest liczb

Bardziej szczegółowo

Definicja interpolacji

Definicja interpolacji INTERPOLACJA Defiicja iterpolacji Defiicja iterpolacji 3 Daa jest fukcja y = f (x), x[x 0, x ]. Zamy tablice wartości tej fukcji, czyli: f ( x ) y 0 0 f ( x ) y 1 1 Defiicja iterpolacji Wyzaczamy fukcję

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy

Bardziej szczegółowo

Klasa II technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień 2013

Klasa II technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień 2013 /7 I. FUNKCJA KWADRATOWA. Fukcja kwadratowa w postaci kaoiczej i ogólej. Napisz wzór fukcji kwadratowej wiedząc, że wierzchołkiem paraboli będącej jej wykresem jest początek układu współrzędych oraz, że

Bardziej szczegółowo

Fundamentalna tabelka atomu. eureka! to odkryli. p R = nh -

Fundamentalna tabelka atomu. eureka! to odkryli. p R = nh - TEKST TRUDNY Postulat kwatowaia Bohra, czyli założoy ad hoc związek pomiędzy falą de Broglie a a geometryczymi własościami rozważaego problemu, pozwolił bez większych trudości teoretyczie przewidzieć rozmiary

Bardziej szczegółowo

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa Matematyka fiasowa 8.05.0 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy LX Egzami dla Aktuariuszy z 8 maja 0 r. Część I Matematyka fiasowa WERJA EU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut

Bardziej szczegółowo

Jeśli lubisz matematykę

Jeśli lubisz matematykę Witold Bednarek Jeśli lubisz matematykę Część 3 Opole 011 1 Wielokąt wypukły i kąty proste Pewien wielokąt wypukły ma cztery kąty proste. Czy wielokąt ten musi być prostokątem? Niech n oznacza liczbę wierzchołków

Bardziej szczegółowo

O kilku zastosowaniach grup i pierścieni grupowych

O kilku zastosowaniach grup i pierścieni grupowych O kilku zastosowaiach grup i pierściei grupowych Czesław BAGIŃSKI, Edmud R. PUCZYŁOWSKI, Białystok Warszawa Nierzadko zdarza się, że rozwiązaie elemetarie brzmiącego zadaia, wymaga iestadardowych pomysłów.

Bardziej szczegółowo

Bukiety matematyczne dla gimnazjum

Bukiety matematyczne dla gimnazjum Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 1 X 2002 Bukiet I Dany jest prostokąt o bokach wymiernych a, b, którego obwód O i pole P są całkowite. 1. Sprawdź, że zachodzi równość

Bardziej szczegółowo

1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia

1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia 1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia kwadratów i sześcianów przez małe liczby, cechy podzielności przez 2, 4, 8, 5, 25, 125, 3, 9. 26 września 2009 r. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie

Bardziej szczegółowo

Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice laboratorium

Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice laboratorium Marci Rociek Iformatyka, II rok Metody Obliczeiowe w Nauce i Techice laboratorium zestaw 1: iterpolacja Zadaie 1: Zaleźć wzór iterpolacyjy Lagrage a mając tablicę wartości: 3 5 6 y 1 3 5 6 Do rozwiązaia

Bardziej szczegółowo

8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych

8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych 8. Optymalizacja decyzji iwestycyjych 8. Wprowadzeie W wielu różych sytuacjach, w tym rówież w czasie wyboru iwestycji do realizacji, podejmujemy decyzje. Sytuacje takie azywae są sytuacjami decyzyjymi.

Bardziej szczegółowo

Krzysztof Rykaczewski. Analiza matematyczna I Zbiór zadań

Krzysztof Rykaczewski. Analiza matematyczna I Zbiór zadań Krzysztof Rykaczewski Aaliza matematycza I Zbiór zadań Motto: Powiedz mi a zapomę Pokaż mi a zapamiętam Pozwól mi zrobić a zrozumiem. Cofucius : Zbiór zadań z aalizy matematyczej Uiwersytet Mikołaja Koperika

Bardziej szczegółowo

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU Przedmiot: Iformatyka w logistyce Forma: Laboratorium Temat: Zadaie 2. Automatyzacja obsługi usług logistyczych z wykorzystaiem zaawasowaych fukcji oprogramowaia Excel. Miimalizacja pustych przebiegów

Bardziej szczegółowo

Przemysław Pawełczyk. Twierdzenia matematyczne

Przemysław Pawełczyk. Twierdzenia matematyczne Przemysław Pawełczyk Twierdzeia matematycze 2 Spis treści Spis treści 1. Ozaczeia.............................................. 5 2. Nierówości fukcyje....................................... 6 2.1. Nierówość

Bardziej szczegółowo

Liczba i Reszta czyli o zasadach podzielności

Liczba i Reszta czyli o zasadach podzielności Liczba i Reszta czyli o zasadach podzielności Klara Maria Zgliński Ogólnokształcąca Szkoła Muzyczna I stopnia im. Ignacego J. Paderewskiego w Krakowie 31-134 Kraków, ul. Basztowa 8 Klasa Vb Nauczyciel:

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW INSTYTUT MASZYN I URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Politechika Śląska w Gliwicach INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW BADANIE ODKSZTAŁCEŃ SPRĘŻYNY ŚRUBOWEJ Opracował: Dr iż. Grzegorz

Bardziej szczegółowo

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Z E S Z Y T M E T O D Y C Z N Y Miejski

Bardziej szczegółowo

Repetytorium z Matematyki Elementarnej Wersja Olimpijska

Repetytorium z Matematyki Elementarnej Wersja Olimpijska Repetytorium z Matematyi Elemetarej Wersja Olimpijsa Podae tutaj zadaia rozwiązywae były w jedej z grup ćwiczeiowych Są w więszości ieco trudiejsze od pozostałych zadań przygotowaych w ramach przedmiotu

Bardziej szczegółowo

Bukiety matematyczne dla gimnazjum

Bukiety matematyczne dla gimnazjum Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 5 IX rok 2003/2004 Bukiet 1 1. W trójkącie ABC prosta równoległa do boku AB przecina boki AC i BC odpowiednio w punktach D i E. Zauważ,

Bardziej szczegółowo

lim a n Cigi liczbowe i ich granice

lim a n Cigi liczbowe i ich granice Cigi liczbowe i ich graice Cigiem ieskoczoym azywamy dowol fukcj rzeczywist okrelo a zbiorze liczb aturalych. Dla wygody zapisu, zamiast a() bdziemy pisa a. Elemet a azywamy -tym wyrazem cigu. Cig (a )

Bardziej szczegółowo

1. Powtórka ze szkoły. Wykład: 4.10.2004 (4 godziny), ćwiczenia: 7.10.2004, kolokwium nr 1: 11.10.2004

1. Powtórka ze szkoły. Wykład: 4.10.2004 (4 godziny), ćwiczenia: 7.10.2004, kolokwium nr 1: 11.10.2004 ANALIZA MATEMATYCZNA A dla I roku, 2004/2005 1. Powtórka ze szkoły. Wykład: 4.10.2004 (4 godziny), ćwiczenia: 7.10.2004, kolokwium nr 1: 11.10.2004 Obliczyć sumy (postępów arytmetycznych i goemetrycznych):

Bardziej szczegółowo

Jak obliczać podstawowe wskaźniki statystyczne?

Jak obliczać podstawowe wskaźniki statystyczne? Jak obliczać podstawowe wskaźiki statystycze? Przeprowadzoe egzamiy zewętrze dostarczają iformacji o tym, jak ucziowie w poszczególych latach opaowali umiejętości i wiadomości określoe w stadardach wymagań

Bardziej szczegółowo

Bukiety matematyczne dla szkoły podstawowej http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/

Bukiety matematyczne dla szkoły podstawowej http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ Bukiety matematyczne dla szkoły podstawowej http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 12 IX rok 2003/2004 Bukiet 1 O pewnych liczbach A, B i C wiadomo, że: A + B = 32, B + C = 40, C + A = 26. 1. Ile wynosi A

Bardziej szczegółowo

Struktura czasowa stóp procentowych (term structure of interest rates)

Struktura czasowa stóp procentowych (term structure of interest rates) Struktura czasowa stóp procetowych (term structure of iterest rates) Wysokość rykowych stóp procetowych Na ryku istieje wiele różorodych stóp procetowych. Poziom rykowej stopy procetowej (lub omialej stopy,

Bardziej szczegółowo

Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/

Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Paweł Gładki Algebra http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Konsultacje: Środa, 14:00-15:00 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go o tym przed lub po zajęciach,

Bardziej szczegółowo

1. Określenie pierścienia

1. Określenie pierścienia 1. Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące

Bardziej szczegółowo

Zatem przyszła wartość kapitału po 1 okresie kapitalizacji wynosi

Zatem przyszła wartość kapitału po 1 okresie kapitalizacji wynosi Zatem rzyszła wartość kaitału o okresie kaitalizacji wyosi m k m* E Z E( m r) 2 Wielkość K iterretujemy jako umowa włatę, zastęującą w rówoważy sosób, w sesie kaitalizacji rostej, m włat w wysokości E

Bardziej szczegółowo

Bukiety matematyczne dla szkoły podstawowej

Bukiety matematyczne dla szkoły podstawowej Bukiety matematyczne dla szkoły podstawowej http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 8 X 2002 Bukiet 1 Dany jest sześciokąt ABCDEF, którego wszystkie kąty są równe 120. Proste AB i CD przecinają się w punkcie

Bardziej szczegółowo

LXV Olimpiada Matematyczna

LXV Olimpiada Matematyczna LXV Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 8 kwietnia 2014 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Dane są względnie pierwsze liczby całkowite k,n 1. Na tablicy

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA OPOLSKA

POLITECHNIKA OPOLSKA POLITCHIKA OPOLSKA ISTYTUT AUTOMATYKI I IFOMATYKI LABOATOIUM MTOLOII LKTOICZJ 7. KOMPSATOY U P U. KOMPSATOY APIĘCIA STAŁO.. Wstęp... Zasada pomiaru metodą kompesacyją. Metoda kompesacyja pomiaru apięcia

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n Maemayka ubezpieczeń mająkowych 9.0.006 r. Zadaie. Rozważamy proces adwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskreym posaci: U = u + c S = 0... S = W + W +... + W W W W gdzie zmiee... są iezależe i mają e sam

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod

Bardziej szczegółowo

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie III poziom rozszerzony

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie III poziom rozszerzony Wymagaia edukacyje a poszczególe ocey z matematyki w klasie III poziom rozszerzoy Na oceę dopuszczającą, uczeń: zazacza kąt w układzie współrzędych, wskazuje jego ramię początkowe i końcowe wyzacza wartości

Bardziej szczegółowo