1 Podstawowe wªasno±ci arytmetyczne liczb caªkowitych

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "1 Podstawowe wªasno±ci arytmetyczne liczb caªkowitych"

Transkrypt

1 1 Podstawowe wªasno±ci arytmetyczne liczb caªkowitych 1.1 Oznaczenia W caªym skrypcie b dziemy u»ywali nast puj cych oznacze«: N = {0, 1, 2,... } jest zbiorem liczb naturalnych (z zerem), Z jest zbiorem liczb caªkowitych. B dziemy zakªada,»e czytelnikowi znane s denicje i wªasno±ci podstawowych dziaªa«arytmetycznych (dodawanie, mno»enie) oraz porz dku w tych zbiorach. 1.2 Twierdzenie o dzieleniu z reszt Wszystkie wªasno±ci liczb caªkowitych omawiane w tym rozdziale s konsekwencj nast puj cego twierdzenia. Twierdzenie. Je»eli b jest liczb caªkowit ró»n od zera, to dla dowolnej liczby caªkowitej a istnieje jednoznacznie wyznaczona para liczb caªkowitych q i r takich,»e 1. a = bq + r, 2. 0 r < b. Liczb q nazywamy cz ±ciowym ilorazem liczby a przez b, a liczb r nazywamy reszt z dzielenia a przez b i oznaczamy symbolem a mod b. Dowód. Twierdzenie zawiera dwie tezy: istnienie pary (q, r) oraz jej jednoznaczno±. Udowodnimy najpierw istnienie takiej pary. Zaªó»my najpierw,»e b jest liczb naturaln. Poka»emy najpierw,»e dla dowolnej liczby naturalnej a istniej liczby q i r speªniaj ce warunki 1 i 2 twierdzenia. Je»eli liczba a speªnia nierówno± 0 a < b, to a = 0q + a jest» danym przedstawieniem. (Zauwa»my,»e z zaªo»enia b 0 wynika istnienie odpowiedniego przedstawienia co najmniej dla a = 0). Zaªó»my wi c indukcyjnie,»e dla pewnej liczby a istnieje odpowiednie przedstawienie a = bq + r. Poka»emy, jak znale¹ odpowiednie przedstawienie dla liczby a + 1. Mamy oczywi±cie a + 1 = bq + (r + 1) i je±li oka»e si,»e r + 1 < b, to jest to» dane przedstawienie. W przeciwnym wypadku mamy r + 1 = b i mamy a + 1 = bq + b = b(q + 1) + 0. Twierdzenie o indukcji gwarantuje nam wi c istnienie odpowiedniego przedstawienia dla dowolnej liczby naturalnej a. Zaªó»my teraz,»e liczba a jest ujemna. Wówczas liczba a jest liczb naturaln i z udowodnionej przed chwil wªasno±ci mamy przedstawienie a = bq+r, co daje a = b( q) + ( r). Przedstawienie to speªnia warunek 2 tylko wtedy, gdy r = 0. W przeciwnym wypadku nale»y przedstawienie poprawi, przestawiaj c"jedno b: a = b( q 1) + (b r). Pozostaje jeszcze rozpatrzy przypadek, gdy b < 0. Wówczas b jest liczb naturaln i z udowodnionych ju» wªasno±ci wiemy,»e dla dowolnej liczby a istnieje przedstawienie a = ( b)q + r, gdzie 0 r < b = b. Wówczas» danym przedstawieniem jest a = b( q) + r. Udowodnimy teraz jednoznaczno± przedstawienia. Zaªó»my wi c przeciwnie,»e dla pewnej pary liczb a i b mamy dwa przedstawienia: a = bq + r = bq + r, 1

2 przy czym 0 r, r < b. Przeksztaªcaj c powy»sz równo± arytmetycznie i bior c warto± bezwzgl dn obu stron, otrzymujemy b q q = r r. Na podstawie zaªo»e«o r i r mamy b < r r < b, wi c prawa strona równo±ci jest liczb naturaln mniejsz ni» b. Z kolei lewa strona jest naturaln wielokrotno±ci liczby b. Jedyn naturaln wielokrotno±ci liczby b mniejsz od b jest liczba 0. St d r r = 0 i q q = 0 (raz jeszcze wykorzystali±my zaªo»enie b 0), a wi c q = q i r = r. 1.3 Rozwini cie liczby przy danej podstawie Twierdzenie. Je»eli b jest liczb naturaln wi ksz od 1, to dowoln dodatni liczb naturaln a mo»e w sposób jednoznaczny przedstawi w postaci a = a 0 + a 1 b + a 2 b a s b s, gdzie 0 a i < b, i = 0, 1,... s, a s 0. (1) Przedstawienie liczby a w postaci (1) nazywa si rozwini ciem liczby a przy podstawie b, liczby a 0, a 1,...,a s nazywamy cyframi rozwini cia. W skrócie stosuje si zapis a = (a s a s 1... a 1 a 0 ) b, przy czym podstaw b pomija si, je±li b = 10. Przykªad. Tak wi c mamy = = = 51. Dowód. Znowu musimy wykaza istnienie odpowiedniego przedstawienia i jego jednoznaczno±. Aby udowodni istnienie przedstawienia, zastosujemy indukcj wzgl dem liczby a. Dla liczb a < b mamy oczywiste przedstawienie z s = 0 i a 0 = a. Zaªó»my wi c,»e a b i»e udowodnili±my ju» istnienie rozwini cia dla wszystkich liczb a mniejszych od pewnej liczby a. Podzielmy liczb a z reszt przez b: a = bq + r, gdzie 0 r < b. Iloraz cz ±ciowy q jest liczb naturaln dodatni (dlaczego?) przy czym zaªo-»enie b > 1 gwarantuje nam,»e q < a. Z zaªo»enia indukcyjnego mamy wi c przedstawienie q = a 0 + a 1 b + a 2b a s b s, gdzie s jest pewn liczb naturaln i 0 a i < b dla wszystkich i = 0, 1,..., s i a s 0. Wówczas a = r + bq = = r + b(a 0 + a 1 b + a 2b a s b s ) = = r + a 0 b + a 1 b a s b s+1, co daje» dane rozwini cie. Dla dowodu jednoznaczno±ci zauwa»my,»e wzór (1) mo»na przepisa w postaci a = b(a 1 + a 2 b + + a s b s 1 ) + a 0, 2

3 a poniewa» cyfra a 0 speªnia nierówno±ci 0 a 0 < b, wi c z twierdzenia o dzieleniu z reszt wynika,»e jest jednoznacznie wyznaczone jako reszta z dzielenia a przez B, a wyra»enie w nawiasie jest ilorazem cz ±ciowym. Dowód jednoznaczno±ci mo»na wi c znowu poprowadzi indukcyjnie wzgl dem a 1.4 Obecnie powszechnie u»ywamy systemu dziesi tkowego, ale z arytmetycznego punktu widzenia baza 10 nie jest w»aden sposób wyró»niona. Mo»na oczywi±cie przywoªa uzasadnienie anatomiczne: mamy przecie» 10 palców. Zwró my jednak uwag na to,»e równie dobr odpowiedzi na pytanie o liczb palców jest 5 (palców u jednej dªoni) i 20 (palców u r k i nóg razem). I rzeczywi±cie w pewnych j zykach europejskich i azjatyckich mamy ±lady podstawy 20. Na przykªad w j zyku francuskim 20 to vingt, 90 to quatrevingtdix czyli cztery dwudziestki i dziesi (podobny schemat obowi zuje w nazwach liczebników od 60 do 99). W pewnych j zykach afryka«skich mamy ±lady systemu pi tkowego. Mo»na te» jak niektórzy Indianie Ameryki Póªnocnej liczy nie palce, a przerwy mi dzy palcami, co daje podstaw osiem. Inni natomiast na tych samych dziesi ciu palcach potra liczy do 60 (zob. G. Ifrah, Dzieje liczby czyli Historia wielkiego wynalazku, Wrocªaw 1990). lady skomplikowanego dziesi tnosze± dziesi tkowego systemu sumeryjskobabilo«skiego mamy w podziale k ta i czasu (1 stopie«= 60 minut, 1 minuta = 60 sekund). Niektórzy dopatruj si reliktów systemu dwunastkowego w podziaªach pewnych jednostek na 12 mniejszych jednostek (np. 1 dzie«= 12 godzin, 1 stopa = 12 cali). Jednak od takiego podziaªu do konsekwentnego systemu dwunastkowego jeszcze daleko i nie wydaje si, aby taki system byª gdziekolwiek u»ywany. W elektronice i w technice komputerowej znalazª zastosowanie system dwójkowy i pomocniczo systemy ósemkowy i szesnastkowy (zobacz poni»ej). 1.5 Zauwa»my,»e dowód twierdzenia z punktu 1.3 daje nam efektywny algorytm rozwini cia danej liczby a przy podstawie b, a dokªadniej wypisania wszystkich cyfr tego rozwini cia: 1. zaczynamy od dzielenia z reszt liczby a przez podstaw b, 2. reszt wypisujemy jako zerow cyfr rozwini cia, 3. je±li iloraz q jest równy zero, to ko«czymy; w przeciwnym wypadku rozpoczynamy algorytm od punktu 1., zamieniaj c liczb a na liczb q. Poniewa» kolejne ilorazy utworz malej cy ci g liczb naturalnych, wi c w pewnym kroku oblicze«musimy uzyska iloraz zerowy i algorytm zatrzyma si. Przykªad. Rozwi«my liczb a = 2008 przy podstawie b = 8. Mamy po kolei 2008 = , 251 = , 31 = , 3 = , 3

4 czyli 2008 = Przy r cznych rachunkach wygodnie jest prowadzi zapis w postaci nast puj cej tabeli: Odwrotne zadanie przej±cia od systemu o danej podstawie b do systemu dziesi tnego wynika bezpo±rednio ze wzoru (1), ale warto tu zwróci uwag na pewien aspekt obliczeniowy tego rachunku. Wykonanie rachunku zgodnie z tym wzorem wymaga 2s 1 mno»e«: s 1 mno»e«do obliczenia kolejnych pot g b 2, b 3,..., b s oraz s mno»e«do obliczenia iloczynów a i b i. Tymczasem proste przeksztaªcenie wzoru daje wyra»enie a 0 + b(a 1 + b(a (a s 1 + ba s )... )). Taki sposób oblicze«nazywa si schematem Hornera. Wymaga on jedynie s mno»e«(i tak sam liczb dodawa«jak schemat naiwny). Je»eli mamy zamieni podstaw b na inn podstaw b, to najlepiej po±rednio posªu»y si podstaw 10. Jest jednak jeden wyj tek, w którym zamiana jednej podstawy na drug jest szczególnie ªatwa. Zaªó»my,»e podstawa B jest k-t pot g podstawy b i»e dysponujemy tabel rozwini przy podstawie b wszystkich liczb od 0 do B 1 (a wi c cyfr przy podstawie B). Wówczas proces zamiany jednej podstawy na drug mo»na wykona czysto mechanicznie bez jakichkolwiek rachunków. Podstaw tej metody jest nast puj ce rozwa»anie. Niech a = a 0 + a 1 B + a 2 B a s B s b dzie rozwini ciem przy podstawie B, czyli dla ka»dego i mamy 0 a i < B. Poniewa» B = b k, wi c ka»d z cyfr a i mo»emy jednoznacznie przedstawi w postaci a i = a i,0 + a i,1 b + + a i,k 1 b k 1, gdzie wszystkie liczby a i,j s cyframi dla podstawy b (jest to tak zwane kznakowe rozwini cie przy podstawie b czyli zwykªe rozwini cie przy podstawie b uzupeªnione tak liczb cyfr zerowych, aby otrzyma dokªadnie k znaków). Wówczas a = a 0 + a 1 B + a 2 B a s B s = = a 0,0 + a 0,1 b + + a 0,k 1 b k 1 + +(a 1,0 + a 1,1 b + + a 1,k 1 b k 1 )b k + + +(a s,0 + a s,1 b + + a s,k 1 b k 1 )b ks = = a 0,0 + a 0,1 b + + a 0,k 1 b k 1 + +a 1,0 b k + a 1,1 b k a 1,k 1 b 2k a s,0 b ks + a s,1 b ks a s,k 1 b k(s+1) 1 Ze wzgl du na jednoznaczno± rozwini cia ostatnie wyra»enie mo»e ró»ni si od rozwini cia a przy podstawie b jedynie o zb dne cyfry zerowe przy najwy»- szych pot gach b. Otrzymujmy wi c nast puj cy algorytm: aby z rozwini cia przy podstawie B otrzyma rozwini cie przy podstawie b, wystarczy zamieni 4

5 cyfry rozwini cia przy podstawie B ich kznakowymi rozwini ciami przy podstawie b i (ewentualnie) usun pocz tkowe zera. Przej±cie w drug stron jest odwróceniem tej procedury: maj c rozwini cie przy podstawie b, nale»y pogrupowa jego cyfry w bloki kcyfrowe poczynaj c od cyfr najmniej znacz cych, a nast pnie ka»dy blok zast pi odpowiedni cyfr dla podstawy B. Przykªad. Na styku czªowieka z maszyn cz sto zamiast systemu dwójkowego stosuje si system szesnastkowy. Cyframi przy podstawie 16 s liczby od 0 do 15, wi c dla jednoznaczno±ci zapisu przyj ªo si oznacza dodatkowe (wzgl dem systemu dziesi tnego) cyfry od 10 do 15 literami od A do F. Poniewa» 16 = 2 4, wi c dla sprawnego przechodzenia od ukªadu szesnastkowego do dwójkowego i odwrotnie przygotujmy tabel czterocyfrowych rozwini dwójkowych cyfr szesnastkowych: C D A 1010 E B 1011 F 1111 Je»eli mamy teraz na przykªad liczb szesnastkowa 5A4F 16 rozwin przy podstawie dwa, to wystarczy przepisa w odpowiedniej kolejno±ci rozwini cia dwójkowe: i pomin pocz tkowe zera, wi c 5A4F 16 = Relacja podzielno±ci liczb caªkowitych Powiemy,»e liczba caªkowita a dzieli liczb caªkowit b (ozn. a b), je±li istnieje liczba caªkowita c taka»e b = ac. Symbolicznie: a b c Z b = ac. (2) Nale»y podkre±li,»e wzór (refrelpodz) deniuje relacj w zbiorze liczb caªkowitych i zapisu a b nie nale»y myli z uªamkiem a. W szczególno±ci, w b odró»nieniu od wyra»enia 0 0, zapis 0 0 jest sensowny, co wi cej jest zdaniem prawdziwym. Je»eli a b, to liczb a b dziemy te» nazywa dzielnikiem liczby b. Podstawowe, ªatwe do udowodnienia wªasno±ci relacji podzielno±ci zostaªy zebrane w poni»szym stwierdzeniu. Stwierdzenie. Dla dowolnych a, b, c Z mamy 1. 1 a. 2. a a. 3. Je±li a b i b c, to a c. 4. Je±li a b i b a, to a = b. 5

6 5. Je±li a b, to ( a) b i a ( b). 6. Je±li a 0, to a b wtedy i tylko wtedy, gdy b mod a = Je±li a b i a c, to a b ± c. 8. Je±li a b, to a bc. Punkty implikuj,»e relacja podzielno±ci obci ta do zbioru liczb naturalnych jest w tym zbiorze cz ±ciowym porz dkiem. 1.7 Najwi kszy wspólny dzielnik Denicja. Najwi kszym wspólnym dzielnikiem liczb a, b Z nazywamy liczb caªkowit d tak,»e 1. d > 0, 2. d a i d b, 3. dla ka»dej liczby δ, je±li δ a i δ b, to δ d. Na powy»sz denicj mo»na spojrze w sposób nast puj cy: pierwsze dwa punkty mówi,»e deniowany obiekt jest pewnym dzielnikiem dodatnim wspólnym dla obu liczb a i b. Trzeci punkt mówi,»e jest on najwi kszy w zbiorze takich dzielników, ale nie w sensie zwykªego porz dku na liczbach naturalnych, a w sensie porz dku wyznaczonego przez relacj podzielno±ci. Zauwa»my,»e powy»sza denicja nie gwarantuje istnienia najwi kszego wspólnego dzielnika. I rzeczywi±cie, ªatwo zobaczy,»e je±li a = b = 0, to najwi kszy wspólny dzielnik pary (a, b) nie istnieje (ka»da liczba naturalna dodatnia speªnia pierwsze dwa warunki denicji i w zbiorze tym nie ma elementu najwi kszego). Naszym celem b dzie wykazanie,»e para (0, 0) jest jedynym wyj tkiem, w którym nie istnieje najwi kszy wspólny dzielnik. Stwierdzenie. Je»eli dla pewnej pary (a, b) istnieje najwi kszy wspólny dzielnik, to jest on wyznaczony jednoznacznie. Dowód. Zaªó»my,»e dla danej pary (a, b) mamy dwie liczby d i d speªniaj ce warunki denicji. Warunek 3. dla d mówi,»e ka»dy wspólny dzielnik δ liczb a i b jest te» dzielnikiem liczby d. Ale warunek 2. dla d gwarantuje,»e d jest wspólnym dzielnikiem a i b. St d d d. Symetrycznie otrzymujemy d d. W takiej sytuacji mamy d = d (pkt. 4. stwierdzenia 1.6). Jednak na mocy punktu 1. denicji obie liczby d i d s dodatnie, wi c d = d. Jednoznaczno± pozwala nam wprowadzi symbol dla najwi kszego wspólnego dzielnika: najwi kszy wspólny dzielnik liczb a i b b dziemy oznacza symbolem NWD(a, b). Stwierdzenie. Dla dowolnych a, b Z 1. NWD(a, b) = NWD(b, a), 2. NWD(a, b) = NWD( a, b ), 6

7 3. NWD(a, b) = NWD(a ± b, b), 4. je±li b 0, to NWD(a, b) = NWD(a mod b, b), przy czym wszystkie równo±ci nale»y rozumie w ten sposób,»e je±li istnieje liczba po jednej stronie równo±ci, to istnieje te» liczba po drugiej stronie i s sobie równe. Dowód. Punkt 1. wynika z symetrii warunków denicji wzgl dem a i b. Punkt 2. wynika z niewra»liwo±ci relacji podzielno±ci na znaki (pkt. 5 stwierdzenia 1.6). Udowodnimy punkt 3. Zaªó»my,»e istnieje d = NWD(a, b). Musimy sprawdzi,»e d speªnia warunki denicji NWD z argumentem a zamienionym na a ± b. Oczywi±cie d > 0, bo z zaªo»enia d jest najwi kszym wspólnym dzielnikiem a i b. Liczba d dzieli liczby a i b, wi c na podstawie pktu 7. stwierdzenia 1.6 dzieli te» a±b. Zostaje wi c do sprawdzenia ostatni warunek denicji. Niech δ b dzie wspólnym dzielnikiem a ± b i b. Wówczas a = (a ± b) b i znowu na podstawie stwierdzenia 1.6 otrzymujemy,»e δ jest wspólnym dzielnikiem a i b. Ale z zaªo»enia d = NWD(a, b), wi c δ dzieli d, co mieli±my wykaza. Dla dowodu ostatniego punktu zauwa»my,»e a mod b = a qb dla pewnej liczby caªkowitej q. Tez otrzymujemy wi c przez wielokrotne zastosowanie poprzedniego punktu dowodzonego stwierdzenia. 1.8 Algorytm Euklidesa Jest jeden przypadek, w którym dowód istnienia najwi kszego wspólnego dzielnika sprowadza si do ªatwego sprawdzenia warunków denicji. Stwierdzenie. Je»eli a 0, to NWD(a, 0) = a. Poka»emy, w jaki sposób ogólne zagadnienie obliczenia NWD(a, b) mo»na sprowadzi do przypadku opisanego w powy»szym stwierdzeniu. Na pocz tek zauwa»my,»e na podstawie punktów 1. i 2. stwierdzenia 1.7 obliczenie najwi kszego wspólnego dzielnika dwóch liczb a i b mo»emy zawsze sprowadzi do obliczenia wyra»enia NWD(a 1, a 2 ), gdzie a 1 a 2 0 (wystarczy przyj a 1 = max( a, b ) i a 2 = min( a, b ). Je±li a 2 = 0, to albo najwi kszy wspólny dzielnik nie istnieje (je±li równie» a 1 = 0), albo jest równy a 1. Wystarczy si wi c zaj przypadkiem a 2 0. W tym przypadku podzielimy a 1 z reszt przez a 2 : a 1 = q 1 a 2 + a 3, 0 a 3 < a 2. Na podstawie punktu 4. stwierdzenia 1.7 wiemy,»e NWD(a 1, a 2 ) = NWD(a 2, a 3 ) (o ile istnieje!). Je±li oka»e si,»e a 3 = 0, to wiemy,»e NWD(a 2, a 3 ) = a 2, co po pierwsze dowodzi istnienia NWD(a 1, a 2 ) i po drugie daje nam jego warto±. W przeciwnym przypadku mo»emy podzieli z reszt a 2 przez a 3 : a 2 = q 2 a 3 + a 4 0 a 4 < a 3. Proces dzielenia z reszt mo»emy kontynuowa, dopóki nie natkniemy si na zerow reszt. Ka»de dzielenie daje nast pny czªon w ci gu równo±ci: NWD(a 1, a 2 ) = NWD(a 2, a 3 ) = NWD(a 3, a 4 ) =..., 7

8 przy czym nale»y pami ta o warunkowym charakterze tych równo±ci: s one prawdziwe pod warunkiem,»e wyst puj ce w nich obiekty istniej, przy czym uzasadnienie istnienia cho by jednego z nich gwarantuje istnienie wszystkich pozostaªych. Takim warunkiem uprawomocniaj cym powy»szy ci g równo±ci jest natkni cie si na zerow reszt. Je±li bowiem reszta a i+1 z dzielenia a i 1 przez a i jest równa zero, to na podstawie warunku 4. stwierdzenia 1.7 wiemy,»e NWD(a i, a i+1 ) istnieje i równa si a i czyli ostatniej niezerowej reszcie w ci gu oblicze«. Powy»szy sposób obliczenia najwi kszego wspólnego dzielnika nazywa si algorytmem Euklidesa. Twierdzenie. Dla ka»dej pary liczb (a, b) ró»nej od pary (0.0) algorytm Euklidesa zatrzymuje si ; w szczególno±ci dla ka»dej pary (a, b) (0, 0) istnieje NWD(a, b). Dowód. Algorytm Euklidesa zatrzymuje si, gdy napotkamy reszt równ 0. Musimy wi c wykaza,»e dla dowolnej pary (a, b) (0, 0) w ci gu a 1, a 2, a 3,... skonstruowanym powy»ej pojawi si w ko«cu zero. Ci g ten jest ci giem liczb naturalnych i a 1 a 2 > a 3 > a 4 >.... Poniewa» ci g liczb naturalnych nie mo»e male w niesko«czono±, wi c proces obliczania reszt musi kiedy± przerwa si. 1.9 Zauwa»my,»e do obliczenia NWD za pomoc algorytmu Euklidesa nie musimy pami ta caªego ci gu a 1, a 2, a 3,.... Do obliczenia kolejnego wyrazu wystarcza znajomo± dwóch poprzednich, co pozwala przeprowadzi obliczenia w miejscu. Jest to szczególnie istotne, je»eli chcemy zaimplementowa ten algorytm. Tak wersj algorytmu przedstawia nast puj cy schemat. Algorytm 1.1: Algorytm Euklidesa DANE: liczby caªkowite a i b WYNIK: NWD(a, b) 1. a := a ; b := b ; 2. if (a < b) then zamie«a z b; 3. if (a = 0) then zgªo± bª d; 4. while (b 0) do 5. c := a mod b; 6. a := b; b := c; 7. zwró a jako wynik; 1.10 Zªo»ono± obliczeniowa algorytmu Euklidesa Zªo»ono± obliczeniowa algorytmu to miara pracochªonno±ci tego algorytmu w zale»no±ci od dªugo±ci danych wej±ciowych. Nie wdaj c si tu w dalsz dyskusj 8

9 (zob. uwaga poni»ej), b dziemy zakªada,»e dobr miar pracochªonno±ci algorytmu Euklidesa jest liczba operacji obliczenia reszty, które musimy wykona dla osi gni cia wyniku. Obliczaj c zaledwie kilku przykªadów, ªatwo przekona si,»e dªugo± oblicze«zale»y nie tyle od wielko±ci danych, ile od ich arytmetycznych wªa±ciwo±ci. St d b dziemy pyta nie o dokªadn liczb kroków, a o górne oszacowanie tej liczby w zale»no±ci od wielko±ci danych. Zaªó»my wi c,»e a b > 0. Pytamy o maksymaln liczb dziele«z reszt przy wykonaniu algorytmu dla danych a i b. Wygodniej jednak pytanie odwróci : dla jakich najmniejszych argumentów a i b algorytm zako«czy prac w stym kroku? Niech wi c a i b b d najmniejszymi mo»liwymi liczbami, dla których algorytm Euklidesa wymaga dokªadnie s kroków. Mo»emy zaªo»y,»e a > b 0. Przyjmuj c a 1 = a i a 2 = b, mamy ci g równo±ci a 1 = q 1 a 2 + a 3, 0 < a 3 < a 2, a 2 = q 2 a 3 + a 4, 0 < a 4 < a 3, a s 1 = q s 1 a s + a s+1, 0 < a s+1 < a s, a s = q s a s Liczba a s+1 jest wspólnym dzielnikiem liczb a 1, a 2,... a s. Gdyby a s+1 byªo wi ksze od 1, to dziel c wszystkie powy»sze równania przez t liczb i podstawiaj c a i = a i/a s+1, otrzymaliby±my zapis wykonania algorytmu dla pary liczb (a/a s+1, b/a s+1 ). Byªaby to para argumentów mniejszych od a i b, dla których algorytm wymaga takiej samej liczby kroków. Dalej zauwa»my,»e z nierówno±ci dla liczb a i wynika,»e wszystkie ilorazy cz ±ciowe q i s dodatnie. Šatwo teraz wida,»e a 1 i a 2 przyjm najmniejsz warto±, je±li q 1 = q 2 = = q s = 1. Wówczas a s = a s+1 = 1 i a k 1 = a k + a k+1 dla k = 2, 3,..., s. Wygodniej ponumerowa ci g od ko«ca, przyjmuj c b i = a s+2 i, i = 1, 2,..., s + 1. Ze wzorów dla a i wynika,»e ci g b 1, b 2,..., b s+1 dany jest wzorem rekurencyjnym b 1 = b 2 = 1, b i+2 = b i+1 + b i dla i = 1, 2,..., s 1. Jest to ci g Fibonacciego, o którym b dziemy mówi dokªadniej w??. Mo»na pokaza,»e ( b i ) i 5, 5 2 a st d po uwzgl dnieniu,»e b s = a 2 = b, mamy s 1/2 log 5 + log b, log γ gdzie γ = , a za podstaw logarytmów mo»na przyj dowoln ustalon liczb. Zauwa»my,»e log 2 b jest w przybli»eniu równy ilo±ci cyfr liczby b w zapisie 9

10 dwójkowym, a wi c jest dobr miar dªugo±ci danej b. Powy»sze rozwa»ania mo»emy podsumowa w postaci nast puj cego twierdzenia. Twierdzenie. Istnieje staªa dodatnia C taka,»e dla dowolnych danych a > b > 0 algorytm Euklidesa wymaga nie wi cej ni» C log 2 b dziele«z reszt. Uwaga. W teorii zªo»ono±ci miar pracochªonno±ci algorytmu jest liczba tzw. operacji binarnych pewnej abstrakcyjnej maszyny modeluj cej prac komputera. Sensowno± takiej miary ªatwo zrozumie, je±li spróbujemy zaimplementowa algorytm Euklidesa dla naprawd du»ych argumentów: tak du»ych,»e nie da si ich zapisa jako warto±ci pojedynczych zmiennych typu integer w standardowych j zykach programowania. (Obliczenia NWD dla tak du»ych argumentów nie s niczym nadzwyczajnym: spotykamy je na przykªad w kryptograi i zapewne wielokrotnie zlecaªe± wykonanie takich rachunków swojemu komputerowi przy okazji otwierania stron internetowych za pomoc tzw. bezpiecznego protokoªu internetowego https). Aby reprezentowa pojedyncz du» dan w komputerze, musimy u»y caªego ci gu zmiennych. Wykonanie pojedynczej operacji arytmetycznej np. dodawania du»ych liczb nale»y wówczas zaimplementowa jako ci g operacji wykonywanych na standardowych zmiennych i liczba tych operacji b dzie zale»aªa od liczby zmiennych u»ytych do zapisu danych. Szacuj c wi c zªo»ono± algorytmu Euklidesa, nie wystarczy jedynie oszacowa liczb dziele«, ale trzeba jeszcze uwzgl dni rozmiar argumentów, na których operacji tych dokonujemy. Okazuje si,»e ilo± operacji binarnych potrzebnych do wykonania algorytmu Euklidesa na danych a i b mo»na oszacowa za pomoc wyra»enia zale»nego wielomianowo od warto±ci log 2 a i log 2 b. St d mówi si,»e algorytm Euklidesa jest algorytmem wielomianowym Rozszerzony algorytm Euklidesa Twierdzenie. Dla ka»dej pary liczb caªkowitych (a, b) (0, 0) istniej liczby caªkowite α i β takie»e NWD(a, b) = αa + βb. Dowód. Zaªó»my,»e a b 0 i zapiszmy rachunki, jakie wykonujemy, obliczaj c NWD(a, b) za pomoc algorytmu Euklidesa. Mamy a 1 = a, a 2 = b oraz a 1 = q 1 a 2 + a 3, (R 1 ) a 2 = q 2 a 3 + a 4, (R 2 ) a i = q i a i+1 + a i+2, (R i ) a s 2 = q s 2 a s 1 + a s, (R s 2 ) a s 1 = q s 1 a s + a s+1, (R s 1 ) a s = q s a s (R s ) Wówczas NWD(a, b) = a s+1 i warto± t mo»emy wyrazi jako caªkowitoliczbow kombinacj liniow liczb a s 1 oraz a s, korzystaj c z równo±ci (R s ): NWD(a, b) = 1 a s 1 + ( q s 1 ) a s. Poniewa» chwilowo nie b dzie nas interesowa warto± liczbowa wspóªczynników stoj cych przy a s 1 i a s, przepiszemy to w postaci NWD(a, b) = α s 1 a s 1 + β s 1 a s. 10

11 Korzystaj c z (R s 2 ), mamy a s = 1 a s 2 + +( q s 2 ) a s 1. Podstawiaj c obliczon warto± a s do poprzedniego wzoru dla NWD(a, b), otrzymujemy przedstawienie liczby NWD(a, b) w postaci kombinacji liniowej liczb a s 2 i a s 1 : NWD(a, b) = α s 2 a s 2 + β s 2 a s 1. Wykorzystuj c równo±ci o coraz ni»szych numerach i wykonuj c podobne przeksztaªcenia, otrzymamy wreszcie» dane przedstawienie liczby NWD(a, b). Algorytm Euklidesa wzbogacony o znalezienie wspóªczynników α i β nazywa si rozszerzonym algorytmem Euklidesa. Przykªad. Obliczy NWD(49, 18) i przedstawi wynik w postaci kombinacji caªkowitoliczbowej argumentów. Rozwi zanie. Rozpoczynamy od ci gu dziele«z reszt. 49 = = = = = = Ostatni niezerow reszt jest liczba 1, wi c poszukiwany najwi kszy wspólny dzielnik jest równy 1. Aby przedstawi 1 w postaci α 49 + β 18, zacznijmy od wyznaczenia z poprzednich równo±ci kolejnych reszt jako kombinacji dwóch poprzednich reszt. Dla odró»nienia reszt od wspóªczynników, reszty zostaªy podkre±lone. 13 = ( 2) 18 5 = ( 1) 13 3 = ( 2) 5 2 = ( 1) 3 1 = ( 1) 2 Rozpoczynamy teraz od ostatniej równo±ci i podstawiamy do niej po kolei otrzymane wyra»enia dla reszt, pami taj c przy tym,»e interesuje nas nie warto± 11

12 liczbowa, a wspóªczynniki: 1 = ( 1) 2 = = ( 1) [1 5 + ( 1) 3] = = ( 1) = = ( 1) [ ( 2) 5] = = ( 5) 5 = = ( 5) [ ( 1) 13] = = ( 5) = = ( 5) [ ( 2) 18] = = ( 19) 18. Uwaga. Dla ka»dego k caªkowitego mamy (α kb)a + (β + ka)b = αa + βb, a wi c liczby α i β, których istnienie wynika z twierdzenia, nie s wyznaczone jednoznacznie. Powy»sza równo± pokazuje,»e je±li b 0, to α mo»na wybra tak by byªo reszt z dzielenia przez b. Analogicznie, gdy a 0, to β mo»na wybra tak, aby byªo reszt z dzielenia przez a. Na ogól jednak nie mo»na zapewni obu warunków równocze±nie Opisana powy»ej metoda przedstawienia NWD(a, b) w postaci kombinacji liniowej liczb a i b, jakkolwiek dobrze pokazuje, sk d bior si wspóªczynniki α i β, to jest przy rachunkach r cznych do±»mudna. Je±li próbujemy zaimplementowa j, dochodz dodatkowe trudno±ci zwi zane z konieczno±ci pami tania a» do ko«ca rachunków wszystkich wyników po±rednich. Okazuje si,»e mo»na poprzednie rachunki przeorganizowa tak, aby wykona je w miejscu, bez potrzeby rezerwowania du»ej liczby zmiennych pomocniczych. Zaªó»my jak uprzednio,»e a b > 0 i oznaczmy a 1 = a, a 2 = b. Dla obliczenia NWD(a, b) algorytm Euklidesa ka»e nam oblicza kolejne reszty z dzielenia. Poszukiwana liczba jest ostatni niezerow reszt i wiemy z twierdzenia 1.11,»e daje si przedstawi w postaci kombinacji liniowej a i b. Mo»emy wi c spróbowa przedstawi wszystkie reszty jako kombinacje liniowe a i b. W tym celu zaczynamy od dwóch trywialnych równo±ci a 1 = 1 a + 0 b a 2 = 0 a + 1 b. Nast pn liczb w rachunkach jest a 3 = a 1 q 1 a 2, gdzie q 1 jest ilorazem cz - ±ciowym liczb a 1 i a 2. Istota pomysªu sprowadza si do tego, aby rachunek taki wykona nie tylko na liczbach, ale na caªych kombinacjach liniowych: przedstawienie a 3 w postaci kombinacji liniowej a i b mo»na otrzyma, odejmuj c od pierwszej równo±ci drug pomno»on przez q 1. Post powanie to mo»na iterowa : maj c przedstawienia dwóch kolejnych reszt a i 1 = α i 1 a + β i 1 b a i = α i a + β i b, 12

13 mo»emy otrzyma przedstawienie dla a i+1, odejmuj c od pierwszej równo±ci drug pomno»on przez reszt q i 1 z dzielenia a i 1 przez a i. Obliczenia r czne wygodnie zapisywa w nast puj cej tabelce. Ka»dy wiersz tabelki zawiera dane dotycz ce jednej reszty, czyli sam reszt a i oraz wspóªczynniki α i i β i. Wygodnie jest doda czwart kolumn, w której zapiszemy iloraz cz ±ciowy bie» cej reszty przez poprzedni. Pierwsze trzy kolumny (i + 1)szego wiersza powstaj przez odj cie od i 1szego wiersza itego wiersza przemno»onego przez iloraz. Przykªad. Oblicz NWD(206, 174) i przedstaw wynik jako kombinacj danych liczb. Rozwi zanie. Zaczynamy od dwóch pierwszych wierszy tabeli a α β Iloraz cz ±ciowy 206 przez 174 jest równy 1. Mo»emy zapisa go w dodatkowej kolumnie drugiego wiersza i obliczy trzeci wiersz jako ró»nice pierwszego i drugiego (pomno»onego przez iloraz). Post pujemy tak, a» do uzyskania w pierwszej kolumnie zera. Przedostatni wiersz daje rozwi zanie a α β q NWD(206, 174) = 2 = ( 38) Liczby wzgl dnie pierwsze Denicja. Mówimy,»e liczby a i b s wzgl dnie pierwsze wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(a, b) = 1. Stwierdzenie. Liczby a i b s wzgl dnie pierwsze wtedy i tylko wtedy, gdy istniej liczby α i β takie,»e αa + βb = 1. Dowód. Je±li NWD(a, b) = 1, to istnienie odpowiednich α i β wynika z twierdzenia Na odwrót zaªó»my,»e αa + βb = 1 i niech d = NWD(a, b). Wówczas d a i d b, wi c d αa + βb = 1. Ale jedynym dodatnim dzielnikiem jedynki jest liczba 1. St d d = 1, czyli a i b s wzgl dnie pierwsze. Prost ale bardzo wa»n ze wzgl du na zastosowania wªasno± liczb wzgl dnie pierwszych streszcza nast puj cy lemat. Lemat. Je»eli c ab i NWD(a, c) = 1, to c b. 13

14 Dowód. Na podstawie twierdzenia 1.11 i zaªo»enia o a i c wiemy,»e istniej liczby α i β, dla których α a + β c = 1. Mno» c t równo± stronami przez b, otrzymujemy α (ab) + (βb)c = b. Oba skªadniki po lewej stronie s podzielne przez c: pierwszy z zaªo»enia, drugi ze wzgl du na swoj posta. A wi c caªa suma jest podzielna przez c, czyli c b. 2 Liczby pierwsze 2.1 Denicja. Liczb pierwsz nazywamy liczb naturaln, która ma dokªadnie dwa dzielniki pierwsze. Powy»sza denicja mimo swej prostoty i zwi zªo±ci kryje pewne puªapki dla osób nieprzywi zuj cych wagi do precyzyjnego wysªawiania si. Zauwa»my,»e liczba 1 zgodnie z t denicj nie jest liczb pierwsz, gdy» ma tylko jeden dzielnik naturalny. Liczby naturalne wi ksze od 1, które nie s liczbami pierwszymi nazywa si liczbami zªo»onymi. Twierdzenie. Ka»da liczba naturalna n > 1 jest podzielna przez pewn liczb pierwsz. Dowód. Zastosujemy indukcj wzgl dem n. Je±li n = 2, to jest liczb pierwsz. Poniewa» ka»da liczba dzieli sam siebie, to twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich liczb pierwszych, a w szczególno±ci dla n = 2. Niech teraz n 0 b dzie pewn liczb naturaln wi ksz od 2 i zaªó»my,»e twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich liczb n speªniaj cych nierówno±ci 1 < n < n 0. Je»eli liczba n 0 jest pierwsza, to nasze twierdzenie jest prawdziwe dla n 0. W przeciwnym razie n 0 musi mie dzielnik naturalny d ró»ny od 1 i od n 0. Wówczas zachodzi nierówno± 1 < d < n 0, a wi c na mocy zaªo»enia istnieje liczba pierwsza p dziel ca d. Z przechodnio±ci relacji podzielno±ci liczba p jest te» dzielnikiem n Sito Eratostenesa Twierdzenie 2.1 stanowi podstaw prostego algorytmu znajdowania wszystkich liczb pierwszych nieprzekraczaj cych danej liczby n. Algorytm 2.1: Sito Eratostenesa DANE: Liczba n 2. WYNIK: Lista wszystkich liczb pierwszych p n. 14

15 1. Sporz d¹ list wszystkich liczb od 2 do n. 2. Je±li na li±cie brak niewykre±lonych liczb, zatrzymaj si. 3. Pierwsza niewykre±lona na li±cie liczba p jest liczb pierwsz. 4. Doª cz liczb p do listy wynikowej. 5. Wykre±l z listy co p-t liczb, poczynaj c od p. 6. Wró do punktu 2. Punkt 5. algorytmu cz sto formuªuje si troch inaczej: wykre±l wszystkie wielokrotno±ci p. Zauwa»my,»e tak postawione zadanie wymaga rozpoznania, które liczby s wielokrotno±ciami p. Jest to zadanie do± pracochªonne. W rzeczywisto±ci jednak wystarcza prosta arytmetyka na adresach. Uzasadnimy poprawno± tego algorytmu. Po pierwsze zauwa»my,»e algorytm zawsze zatrzyma si, gdy» pomi dzy dwoma kolejnymi sprawdzeniami w punkcie 2. z listy zostaje usuni ta co najmniej jedna liczba. Poniewa» na pocz tku na li±cie jest n 1 liczb, wi c po co najwy»ej n 1 przebiegach algorytm zatrzyma si. Musimy jeszcze uzasadni,»e na li±cie wynikowej znajd si tylko liczby pierwsze i»e ka»da liczba pierwsza z zadanego przedziaªu znajdzie si na li±cie, co pozostawiam jako wiczenie. 2.3 Sito Eratostenesa pozwala nam (przynajmniej w teorii) znajdowa wszystkie liczby pierwsze le» ce w z góry zadanym przedziale, ale nie daje informacji, czy liczb pierwszych jest sko«czenie czy niesko«czenie wiele. Twierdzenie. Liczb pierwszych jest niesko«czenie wiele. W historii matematyki podano wiele dowodów tego twierdzenia opartych na najró»niejszych pomysªach. Tutaj przytoczymy najstarszy dowód pochodz cy od Euklidesa (kilka ró»nych dowodów mo»na znale¹ w wartej polecenia ksi»ce P. Ribenboima Maªa ksi ga wielkich liczb pierwszych). Dowód. Zaªó»my przeciwnie,»e liczb pierwszych jest sko«czenie wiele i niech p 1, p 2,..., p s b d wszystkimi liczbami pierwszymi. Utwórzmy liczb N = p 1 p 2 p s + 1. Na podstawie twierdzenia 2.1 liczba ta jest podzielna przez pewn liczb pierwsz, ale z zaªo»enia nasza lista zawiera wszystkie liczby pierwsze, st d istnieje numer i, 1 i s, taki»e p i N. Oczywi±cie p i dzieli te» iloczyn p 1 p 2 p s, wi c p i dziel ró»nic N p 1 p 2 p s = 1. Otrzymana sprzeczno± dowodzi faªszywo±ci naszego zaªo»enia. 2.4 Zasadnicze twierdzenie arytmetyki Twierdzenie. Ka»d liczb caªkowit z 0 mo»na przedstawi w postaci z = ε p 1 p 2 p s, (3) gdzie ε = ±1 jest znakiem liczby, s jest pewn liczb naturaln, a p 1, p 2,...,p s pewnymi liczbami pierwszymi. Ka»de dwa takie przedstawienia ró»ni si co najwy»ej kolejno±ci czynników. Podkre±lmy,»e twierdzenie zawiera dwie równie wa»ne tezy: istnienie rozkªadu i jego odpowiednio rozumian jednoznaczno±. 15

16 Dowód. Istnienie: Indukcj wzgl dem z poka»emy,»e ka»da liczba naturalna z jest iloczynem pewnej ilo±ci liczb pierwszych. Je±li z = 1, to wystarczy przyj s = 0, Zaªó»my wi c,»e z > 1 i»e ka»da liczba naturalna n, 1 < n < z, jest iloczynem pewnej ilo±ci liczb pierwszych. Z twierdzenia 2.1 wiemy,»e z jest podzielne przez pewn liczb pierwsz p. Je±li z = p, to mamy» dane przedstawienie z s = 1. W przeciwnym wypadku liczba z/p jest liczb naturaln speªniaj c nierówno± 1 < z/p < z, a wi c z zaªo»enia indukcyjnego ma ona przedstawienie postaci z/p = p 1 p 2... p s. Wówczas z = p 1 p 2... p s p s+1, gdzie p s+1 = p. Jednoznaczno± : Zanim przejdziemy do dowodu jednoznaczno±ci rozkªadu, udowodnimy nast puj cy fakt pomocniczy: je±li liczba pierwsza p dzieli iloczyn liczb pierwszych q 1, q 2,...,q t, to p = q i dla pewnego i = 1, 2,..., t. Ten fakt mo»na ªatwo udowodni indukcj wzgl dem t. Je±li t = 1, to zaªo»enie mówi nam,»e liczba p jest dzielnikiem liczby pierwszej q 1, a wi c p = q 1. Zaªó»my wi c indukcyjnie,»e fakt jest prawdziwy dla liczby t i niech p dzieli iloczyn liczb pierwszych q 1, q 2,...,q t+1. Je±li p = q t+1, to nie ma czego dowodzi. W przeciwnym wypadku z pierwszo±ci liczb p i q t+1 wynika,»e NWD(p, q t+1 ) = 1. Lemat 2.1 implikuje wówczas p q 1 q 2 q t i» dany fakt wynika z zaªo»enia indukcyjnego. Mo»emy teraz wróci do dowodu jednoznaczno±ci. Na pocz tek zauwa»my,»e czynnik ε jest wyznaczony jednoznacznie jako znak liczby, wi c mo»emy ograniczy si do liczb naturalnych. Musimy pokaza,»e je±li p 1 p 2 p s = q 1 q 2 q t (4) dla pewnych naturalnych s i t oraz liczb pierwszych p 1, p 2,..., p s, q 1, q 2,..., q t, to s = t i z dokªadno±ci do porz dku liczby p 1, p 2,..., p s s równe liczbom q 1, q 2,..., q s. Mo»na to zrobi indukcj wzgl dem s. Je»eli s = 0, to iloczyn po lewej stronie równy jest 1. Gdyby zachodziªo t > 0, to iloczyn po prawej stronie byªby wi kszy od 1, co przeczyªoby równo±ci. St d s = t = 0. Zaªó»my wi c indukcyjnie,»e dla pewnego s zachodzi nast puj ca wªasno± : dla ka»dego t naturalnego i dla wszystkich liczb pierwszych p 1,...,p s, q 1,... q t, je±li p 1 p 2 p s = q 1 q 2 q t, to s = t i liczby p 1,...,p s s z dokªadno±ci do porz dku równe liczbom q 1,... q t. Niech p 1 p 2 p s p s+1 = q 1 q 2 q t. Wówczas p s+1 dzieli iloczyn po prawej stronie równo±ci i z udowodnionego faktu wynika,»e p s+1 = q i dla pewnego i. Obie strony równo±ci mo»emy teraz podzieli przez wspólny czynnik, otrzymuj c tak sytuacj, jak w zaªo»eniu indukcyjnym. 2.5 Zasadnicze twierdzenie arytmetyki stanowi podstaw poprawno±ci szkolnego algorytmu znajdowania najwi kszego wspólnego dzielnika. Sprowadza si on do tego, aby maj c dane liczby naturalne a i b, rozªo»y je najpierw na czynniki pierwsze a = p 1 p 2 p s, b = q 1 q 2 q t, a nast pnie obliczy NWD(a, b) jako iloczyn wspólnych czynników. Na pierwszy rzut oka mo»e on wyda si prostszy od algorytmu Euklidesa, ale tak nie jest. W ogólnym przypadku rozkªad liczby na czynniki pierwsze jest bowiem zagadnieniem znacznie 16

17 trudniejszym ni» obliczenie NWD za pomoc algorytmu Euklidesa. We¹my na przykªad a = 3127 i b = Prosz spróbowa obliczy NWD(a, b) za pomoc algorytmu szkolnego, nie zagl daj c do dalszej cz ±ci tekstu. Natomiast u»ycie algorytmu Euklidesa wymaga zaledwie czterech dziele«z reszt, daj c wynik NWD(a, b) = Wiemy ju»,»e liczby pierwsze tworz niesko«czony ci g p 1 = 2, p 2 = 3, p 3 = 5, p 4 = 7, p 5 = 11, p 6 = 13, p 7 = 17,.... Przyjrzyjmy si rozkªadowi tych liczb w ci gu wszystkich liczb naturalnych. Para p 1 = 2, p 2 = 3 jest jak ªatwo pokaza jedyn par liczb pierwszych, które ró»ni si o jeden. Wi cej jest par liczb pierwszych ró»ni cych si o dwa. Liczby takie nazywa si liczbami pierwszymi bli¹niaczymi. Matematycy znaj wiele przykªadów takich par, w tym przykªady bardzo du»ych liczb pierwszych bli¹niaczych (cho co mo»e wyda si pewnym zaskoczeniem do tej pory nie wiadomo, czy par takich jest sko«czenie, czy niesko«czenie wiele). Z drugiej strony mo»na ªatwo pokaza,»e dziury mi dzy dwoma kolejnymi liczbami pierwszymi mog by dowolnie du»e: dla dowolnej liczby naturalnej n 1 liczby (n + 1)! + 2, (n + 1)! + 3, (n + 1)! + 4,..., (n + 1)! + (n + 1) s ci giem n kolejnych liczb naturalnych, w±ród których nie ma liczby pierwszej (dlaczego?). Na pierwszy rzut oka wydaje si wi c,»e liczby pierwsze rozrzucone s w ci gu liczb naturalnych w sposób do± kapry±ny. Sytuacja ulega jednak zmianie, je±li przypatrze si dostatecznie du»ym przedziaªom liczb naturalnych. Fakt ten jako pierwszy zaobserwowaª na podstawie r cznych rachunków Carl Friedrich Gauss w roku Dla dowolnej liczby rzeczywistej x oznaczmy przez π(x) ilo± liczb pierwszych p nie wi kszych od x. Twierdzenie o g sto±ci liczb pierwszych (ang. Prime Number Theorem): lim x π(x) x/ ln(x) = 1. Twierdzenie to zostaªo udowodnione dopiero w roku Dowód znalazªo niezale»nie od siebie dwóch matematyków: Francuz Jacques Hadamard i Belg Charles de la Vallée Poussin. Ich prace s ukoronowaniem analitycznej teorii liczb w XIX w. (Analityczna teoria liczb bada liczby naturalne za pomoc metod analizy zespolonej). Okoªo roku 1948 tak zwany elementarny dowód twierdzenia zostaª znaleziony znowu niezale»nie przez Norwega Atle Selberga i W gra Paula Erd sa. Nale»y przy tym podkre±li,»e sªowo elementarny w tym kontek±cie nie oznacza ªatwy lecz niekorzystaj cy z teorii liczb zespolonych. Twierdzenie o g sto±ci mo»na interpretowa nast puj co: dla dostatecznie x du»ych x funkcja ln(x) jest dobrym przybli»eniem funkcji π(x). Daje to mo»- liwo± szybkiego oszacowania ilo±ci liczb pierwszych zawartych w dostatecznie dªugich odcinkach prostej rzeczywistej. 17

18 x x π(x) ln(x) Kongruencje 3.1 Niech m b dzie dodatni liczb caªkowit. Denicja. Powiemy,»e liczba a przystaje do liczby b modulo m wtedy i tylko wtedy, gdy m (a b). W skrócie b dziemy pisa a b (mod m). Przy ustalonym m przystawanie modulo m jest wi c pewn relacj na zbiorze liczb caªkowitych. Relacj t nazywa si te» kongruencj. Uwaga. Nie nale»y myli wprowadzonego w 1.2 symbolu a mod m na oznaczenie reszty z symbolem zdeniowanej wy»ej relacji a b (mod m). S to dwie ró»ne rzeczy, cho ±ci±le ze sob zwi zane (zobacz pkt 7. poni»szego stwierdzenia). Podstawowe wªasno±ci kongruencji zebrali±my w postaci stwierdzenia. Stwierdzenie. Dla dodatnich m i n oraz dowolnych a, b, c i d mamy: 1. a a (mod m); 2. je±li a b (mod m), to b a (mod m); 3. je±li a b (mod m) i b c (mod m), to a c (mod m); 4. je±li a b (mod m), to a + c b + c (mod m) oraz ac bc (mod m); 5. je±li a b (mod m) i c d (mod m), to je±li a + c b + d (mod m) oraz ac bd (mod m); 6. je±li a b (mod m), to an bn (mod mn); 7. a b (mod m) wtedy i tylko wtedy, gdy a mod m = b mod m. Wªasno±ci mówi,»e kongruencja przy ustalonym module jest relacj równowa»no±ci. Wªasno±ci mo»na podsumowa jako pewnego rodzaju zgodno±ci tej relacji z dziaªaniami arytmetycznymi. Zauwa»my,»e wszystkie wªasno±ci 1.5. przysªuguj te» równo±ci. Mo»emy wi c kongruencj rozpatrywa jako pewnego rodzaju uogólnienie równo±ci. 3.2 Osobne miejsce zajmuje dzielenie kongruencji przez wspólny czynnik. 18

19 Stwierdzenie. (a) Je±li ad bd (mod md) i d > 0, to a b (mod m). (b) Je±li ad bd (mod m) i NWD(m, d) = 1, to a b (mod m). Dowód. Cz ± (b) wynika z lematu Cechy podzielno±ci Jako przykªady zastosowania kongruencji podamy tzw. cechy podzielno±ci, czyli twierdzenia, które upraszczaj rozstrzyganie, czy dana, najcz ±ciej du»a liczba zapisana w systemie dziesi tnym dzieli si przez m (lub w szerszym sensie, uªatwiaj znalezienie reszty z dzielenia takiej liczby przez m). Ograniczymy si przy tym do kilku prototypowych przykªadów. Cecha podzielno±ci przez 2: s a i 10 i a 0 (mod 2), (5) i=0 lub sªownie: reszta z dzielenia liczby przez 2 jest taka sama jak reszta jej cyfry jedno±ci. Dowód. Mamy oczywi±cie 10 0 (mod 2). Mno» c przez siebie odpowiedni liczb razy t kongruencj, otrzymujemy 10 i 0 (mod 2) dla i 1. Po przemno»eniu i-tej kongruencji przez a i i dodaniu stronami, otrzymujemy s i=1 a i 10 i 0 (mod 2). Dodanie do obu stron kongruencji a 0 ko«czy dowód. Cecha podzielno±ci przez 3 i przez 9: Je±li m = 3 lub m = 9, to s a i 10 i i=0 s a i (mod m). (6) i=0 Dowód. Je±li m = 3 lub 9, to mamy 10 1 (mod m). Przemna»aj c t kongruencj stronami, otrzymujemy 10 i 1 (mod m) dla i 1. Ale analogiczna kongruencja zachodzi te» dla i = 0. Wymna»aj c i-t kongruencj przez cyfr a i i dodaj c wszystkie kongruencje, otrzymujemy (6). Cecha podzielno±ci przez 11: s s a i 10 i ( 1) i a i (mod 11). (7) i=0 i=0 Dowód. Dowód jest podobny do poprzedniego, z tym»e za punkt wyj±cia bierzemy kongruencj 10 1 (mod 11). Cecha podzielno±ci przez 7: (... a 5, a 4, a 3, a 2, a 1, a 0 ) 10 (a 2, a 1, a 0 ) 10 (a 5, a 4, a 3 ) 10 + (a 8, a 7, a 6 ) (mod 7). (8) 19

20 Dowód. Dowód wynika z kongruencji (mod 7). 3.4 Arytmetyczne sumy kontrolne Rozpowszechnienie technik komputerowych w ró»nych dziedzinach»ycia (gospodarka, administracja, ochrona zdrowia itd.) nasiliªo tendencj do identykowania najró»niejszych obiektów za pomoc pewnych z góry przydzielonych im kluczynumerów. Wystarczy wspomnie takie numery jak PESEL, NIP, REGON, numer dowodu rejestracyjnego pojazdu czy dowodu osobistego, numery rachunków bankowych i kart kredytowych. Numery te s cz sto przetwarzane przy udziale czªowieka lub takich urz dze«jak czytniki kodów kreskowych i skanery pisma. Z tej racji nara»one s na ró»nego rodzaju bª dy. Skutkom takich bª dów zapobiega pewien prosty, ale jak zobaczymy do± skuteczny mechanizm kontrolny: dopuszczalnym identykatorem mo»e by jedynie numer speªniaj cy pewien prosty do sprawdzenia warunek. Warunek ten nale»y dobra tak, aby cz sto pojawiaj ce si bª dy powodowaªy jego zakªócenie, co umo»liwia wykrycie bª du. Zacznijmy od kilku przykªadów Przykªad 1. EAN (European Article Number) jest numerem identykuj cy towary sprzedawane w supermarkietach. Skªada si z 13 cyfr, które oznaczymy przez (a 1, a 2,..., a 13 ). Cyfry te s drukowane za pomoc kodu kreskowego na opakowaniach jednostkowych. Pierwszych dwana±cie cyfr koduje m.in. kraj producenta, producenta towaru oraz towar. Ostatnia cyfra jest dobierana tak, aby 1 a a a a a a 13 0 (mod 10). Zauwa»my,»e nie ma dwóch ró»nych numerów EAN, które ró»ni si na dokªadnie jednym miejscu. Aby to zobaczy, zaªó»my»e (a 1, a 2,..., a i,..., a 13 ) oraz (a 1, a 2,..., a i,..., a 13) s dwoma dopuszczalnymi numerami EAN. Wóczas zachodz nast puj ce kongruencje: a 1 + 3a w i a i + + a 13 0 (mod 10) a 1 + 3a w i a i + + a 13 0 (mod 10), gdzie w 1 jest równe 1 lub 3 w zale»no±ci od parzysto±ci liczby i. Odejmuj c kongruencje stronami, otrzymujemy w i (a i a i) 0 (mod 10). Poniewa» w i jest wzgl dnie pierwsze z moduªem 10, mo»emy kongruencj stronami podzieli przez w i, co daje a i a i 0 (mod 10). Ale a i oraz a i s cyframi, wi c ich ró»nica zawiera si pomi dzy 9 i 9. Jedyn liczb podzieln przez 10 w tym przedziale jest liczba 0, co oznacza,»e a i = a i i rozpatrywane numery s identyczne. Udowodniona wªasno± gwarantuje nam,»e je±li przy przetwarzaniu numeru EAN pomylimy si na jednej pozycji, to 20

Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb

Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb 1. Podzielno± Przedmiotem bada«teorii liczb s wªasno±ci liczb caªkowitych. Zbiór liczb caªkowitych oznacza b dziemy symbolem Z. Zbiór liczb naturalnych

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

Metody dowodzenia twierdze«

Metody dowodzenia twierdze« Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku

Bardziej szczegółowo

Metodydowodzenia twierdzeń

Metodydowodzenia twierdzeń 1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych

Bardziej szczegółowo

A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.

A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy. Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta

Bardziej szczegółowo

Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.

Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X. Relacje 1 Relacj n-argumentow nazywamy podzbiór ϱ X 1 X 2... X n. Je±li ϱ X Y jest relacj dwuargumentow (binarn ), to zamiast (x, y) ϱ piszemy xϱy. Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór

Bardziej szczegółowo

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku

Bardziej szczegółowo

Bash i algorytmy. Elwira Wachowicz. 20 lutego

Bash i algorytmy. Elwira Wachowicz. 20 lutego Bash i algorytmy Elwira Wachowicz elwira@ifd.uni.wroc.pl 20 lutego 2012 Elwira Wachowicz (elwira@ifd.uni.wroc.pl) Bash i algorytmy 20 lutego 2012 1 / 16 Inne przydatne polecenia Polecenie Dziaªanie Przykªad

Bardziej szczegółowo

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6. Pakowanie plecaka. 6.1 Postawienie problemu

Rozdział 6. Pakowanie plecaka. 6.1 Postawienie problemu Rozdział 6 Pakowanie plecaka 6.1 Postawienie problemu Jak zauważyliśmy, szyfry oparte na rachunku macierzowym nie są przerażająco trudne do złamania. Zdecydowanie trudniejszy jest kryptosystem oparty na

Bardziej szczegółowo

1 Kodowanie i dekodowanie

1 Kodowanie i dekodowanie 1 Kodowanie i dekodowanie Teoria informacji zajmuje si sposobami gromadzenia, przechowywania oraz przesyªania informacji. W tym celu, a tak»e dla ochrony danych informacje kodujemy. Rozmowa telefoniczna,

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski

Twierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Twierdzenie Wainera Marek Czarnecki Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 3 lipca 2009 Motywacje Dla dowolnej

Bardziej szczegółowo

Matematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia 2011. Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej

Matematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia 2011. Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej Matematyka wykªad 1 Macierze (1) Andrzej Torój Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej 17 wrze±nia 2011 Plan wykªadu 1 2 3 4 5 Plan prezentacji 1 2 3 4 5 Kontakt moja strona internetowa:

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna 1. Podaj denicj liczby zespolonej. 2. Jak obliczy sum /iloczyn dwóch liczb zespolonych w postaci algebraicznej? 3. Co to jest liczba urojona?

Bardziej szczegółowo

2 Podstawowe obiekty kombinatoryczne

2 Podstawowe obiekty kombinatoryczne 2 Podstawowe obiety ombinatoryczne Oznaczenia: N {0, 1, 2,... } zbiór liczb naturalnych. Dla n N przyjmujemy [n] {1, 2,..., n}. W szczególno±ci [0] jest zbiorem pustym. Je±li A jest zbiorem so«czonym,

Bardziej szczegółowo

Wst p do informatyki. Systemy liczbowe. Piotr Fulma«ski. 21 pa¹dziernika 2010. Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska

Wst p do informatyki. Systemy liczbowe. Piotr Fulma«ski. 21 pa¹dziernika 2010. Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska Wst p do informatyki Systemy liczbowe Piotr Fulma«ski Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska 21 pa¹dziernika 2010 Spis tre±ci 1 Liczby i ich systemy 2 Rodzaje systemów liczbowych

Bardziej szczegółowo

Zbiory i odwzorowania

Zbiory i odwzorowania Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Wedderburna Witold Tomaszewski

Twierdzenie Wedderburna Witold Tomaszewski Twierdzenie Wedderburna Witold Tomaszewski Pier±cie«przemienny P nazywamy dziedzin caªkowito±ci (lub po prostu dziedzin ) je±li nie posiada nietrywialnych dzielników zera. Pier±cie«z jedynk nazywamy pier±cieniem

Bardziej szczegółowo

CAŠKOWANIE METODAMI MONTE CARLO Janusz Adamowski

CAŠKOWANIE METODAMI MONTE CARLO Janusz Adamowski III. CAŠKOWAIE METODAMI MOTE CARLO Janusz Adamowski 1 1 azwa metody Podstawowym zastosowaniem w zyce metody Monte Carlo (MC) jest opis zªo-»onych ukªadów zycznych o du»ej liczbie stopni swobody. Opis zªo»onych

Bardziej szczegółowo

Lekcja 8 - ANIMACJA. 1 Polecenia. 2 Typy animacji. 3 Pierwsza animacja - Mrugaj ca twarz

Lekcja 8 - ANIMACJA. 1 Polecenia. 2 Typy animacji. 3 Pierwsza animacja - Mrugaj ca twarz Lekcja 8 - ANIMACJA 1 Polecenia Za pomoc Baltiego mo»emy tworzy animacj, tzn. sprawia by obraz na ekranie wygl daª jakby si poruszaª. Do animowania przedmiotów i tworzenia animacji posªu» nam polecenia

Bardziej szczegółowo

KLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE. ogólne - orzekaj co± o wszystkich desygnatach podmiotu szczegóªowe - orzekaj co± o niektórych desygnatach podmiotu

KLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE. ogólne - orzekaj co± o wszystkich desygnatach podmiotu szczegóªowe - orzekaj co± o niektórych desygnatach podmiotu ➏ Filozoa z elementami logiki Na podstawie wykªadów dra Mariusza Urba«skiego Sylogistyka Przypomnij sobie: stosunki mi dzy zakresami nazw KLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE Trzy znaczenia sªowa jest trzy rodzaje

Bardziej szczegółowo

Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE

Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE I STAŠE 1 Liczby losowe Czasami spotkamy si z tak sytuacj,»e b dziemy potrzebowa by program za nas wylosowaª jak ± liczb. U»yjemy do tego polecenia: - liczba losowa Sprawd¹my

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Wst p do metod numerycznych. Dawid Rasaªa. January 9, 2012. Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9

Metody numeryczne. Wst p do metod numerycznych. Dawid Rasaªa. January 9, 2012. Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9 Metody numeryczne Wst p do metod numerycznych Dawid Rasaªa January 9, 2012 Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9 Metody numeryczne Czym s metody numeryczne? Istota metod numerycznych Metody numeryczne s

Bardziej szczegółowo

Caªkowanie numeryczne - porównanie skuteczno±ci metody prostokatów, metody trapezów oraz metody Simpsona

Caªkowanie numeryczne - porównanie skuteczno±ci metody prostokatów, metody trapezów oraz metody Simpsona Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisªawa Staszica w Krakowie Wydziaª Fizyki i Informatyki Stosowanej Krzysztof Grz dziel kierunek studiów: informatyka stosowana Caªkowanie numeryczne - porównanie skuteczno±ci

Bardziej szczegółowo

Czy funkcja zadana wzorem f(x) = ex e x. 1 + e. = lim. e x + e x lim. lim. 2 dla x = 1 f(x) dla x (0, 1) e e 1 dla x = 1

Czy funkcja zadana wzorem f(x) = ex e x. 1 + e. = lim. e x + e x lim. lim. 2 dla x = 1 f(x) dla x (0, 1) e e 1 dla x = 1 II KOLOKWIUM Z AM M1 - GRUPA A - 170101r Ka»de zadanie jest po 5 punktów Ostatnie zadanie jest nieobowi zkowe, ale mo»e dostarczy dodatkowe 5 punktów pod warunkiem rozwi zania pozostaªych zada«zadanie

Bardziej szczegółowo

WST P DO KRYPTOGRAFII. Grzegorz Szkibiel. Jesie«2012/13

WST P DO KRYPTOGRAFII. Grzegorz Szkibiel. Jesie«2012/13 WST P DO KRYPTOGRAFII Grzegorz Szkibiel Jesie«2012/13 Spis tre±ci 1 Kryptograa a steganograa 5 1.1 Steganograa........................... 6 1.2 Szyfry przestawieniowe...................... 8 1.3 Systemy

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ALGEBR

ANALIZA MATEMATYCZNA Z ALGEBR ANALIZA MATEMATYCZNA Z ALGEBR WYKŠAD II Maªgorzata Murat MACIERZ A rzeczywist (zespolon ) o m wierszach i n kolumnach nazywamy przyporz dkowanie ka»dej uporz dkowanej parze liczb naturalnych (i, j), gdzie

Bardziej szczegółowo

Lekcja 12 - POMOCNICY

Lekcja 12 - POMOCNICY Lekcja 12 - POMOCNICY 1 Pomocnicy Pomocnicy, jak sama nazwa wskazuje, pomagaj Baltiemu w programach wykonuj c cz ± czynno±ci. S oni szczególnie pomocni, gdy chcemy ci g polece«wykona kilka razy w programie.

Bardziej szczegółowo

Wst p teoretyczny do wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki

Wst p teoretyczny do wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki Wst p teoretyczny do wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki 1 Zadania na wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki Zad. 1. Ile istnieje ró»nych liczb czterocyfrowych zakªadaj c,»e cyfry nie powtarzaj si a

Bardziej szczegółowo

ZADANIA. Maciej Zakarczemny

ZADANIA. Maciej Zakarczemny ZADANIA Maciej Zakarczemny 2 Spis tre±ci 1 Algebra 5 2 Analiza 7 2.1 Granice iterowane, granica podwójna funkcji dwóch zmiennych....... 7 2.2 Caªki powierzchniowe zorientowane...................... 8 2.2.1

Bardziej szczegółowo

Zastosowania matematyki

Zastosowania matematyki Zastosowania matematyki Monika Bartkiewicz 1 / 126 ...czy«cie dobrze i po»yczajcie niczego si nie spodziewaj c(šk. 6,34-35) Zagadnienie pobierania procentu jest tak stare jak gospodarka pieni»na. Procent

Bardziej szczegółowo

Zestaw 1 ZESTAWY A. a 1 a 2 + a 3 ± a n, gdzie skªadnik a n jest odejmowany, gdy n jest liczb parzyst oraz dodawany w przeciwnym.

Zestaw 1 ZESTAWY A. a 1 a 2 + a 3 ± a n, gdzie skªadnik a n jest odejmowany, gdy n jest liczb parzyst oraz dodawany w przeciwnym. ZESTAWY A Zestaw 1 Organizacja plików: Wszystkie pliki oddawane do sprawdzenia nale»y zapisa we wspólnym folderze o nazwie b d cej numerem indeksu, umieszczonym na pulpicie. Oddajemy tylko ¹ródªa programów

Bardziej szczegółowo

Opis programu do wizualizacji algorytmów z zakresu arytmetyki komputerowej

Opis programu do wizualizacji algorytmów z zakresu arytmetyki komputerowej Opis programu do wizualizacji algorytmów z zakresu arytmetyki komputerowej 3.1 Informacje ogólne Program WAAK 1.0 służy do wizualizacji algorytmów arytmetyki komputerowej. Oczywiście istnieje wiele narzędzi

Bardziej szczegółowo

MNIEJ I BARDZIEJ ZNANE PROBLEMY TEORII LICZB

MNIEJ I BARDZIEJ ZNANE PROBLEMY TEORII LICZB MNIEJ I BARDZIEJ ZNANE PROBLEMY TEORII LICZB PAWEŠ GŠADKI Teoria liczb, mogªoby si wydawa, jest gaª zi matematyki zajmuj c si histori i lozo poj cia liczby, jego rozwojem i uogólnieniami. W rzeczywisto±ci

Bardziej szczegółowo

ALGORYTMIKA Wprowadzenie do algorytmów

ALGORYTMIKA Wprowadzenie do algorytmów ALGORYTMIKA Wprowadzenie do algorytmów Popularne denicje algorytmu przepis opisuj cy krok po kroku rozwi zanie problemu lub osi gni cie jakiego± celu. (M. Sysªo, Algorytmy, ±ci±lejszej denicji w ksi»ce

Bardziej szczegółowo

Mierzalne liczby kardynalne

Mierzalne liczby kardynalne czyli o miarach mierz cych wszystko Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Grzegorzewice, 26 stycznia 2007 Ogólny problem miary Pytanie Czy na pewnym zbiorze X istnieje σ-addytywna miara probabilistyczna,

Bardziej szczegółowo

Baza danych - Access. 2 Budowa bazy danych

Baza danych - Access. 2 Budowa bazy danych Baza danych - Access 1 Baza danych Jest to zbiór danych zapisanych zgodnie z okre±lonymi reguªami. W w»szym znaczeniu obejmuje dane cyfrowe gromadzone zgodnie z zasadami przyj tymi dla danego programu

Bardziej szczegółowo

Liczby zmiennopozycyjne. Kody Hamminga.

Liczby zmiennopozycyjne. Kody Hamminga. Liczby zmiennopozycyjne. Kody Hamminga. 1 Liczby zmiennopozycyjne 1.1 Wprowadzenie Najprostszym sposobem reprezentowania liczb rzeczywistych byªaby reprezentacja staªopozycyjna: zakªadamy,»e mamy n bitów

Bardziej szczegółowo

Paweª Gªadki. Uªamki ªa«cuchowe 1

Paweª Gªadki. Uªamki ªa«cuchowe 1 Paweª Gªadki Uªamki ªa«cuchowe Wst p W numerze /989 miesi cznika "Mªody Technik"w dziale "ROzmaito±ci MAtematyczne" Michaª Szurek zaprezentowaª nast puj ce zadanie z egzaminów wst pnych do szkóª ±rednich:

Bardziej szczegółowo

1. Wprowadzenie do C/C++

1. Wprowadzenie do C/C++ Podstawy Programowania :: Roman Grundkiewicz :: 014 Zaj cia 1 1 rodowisko Dev-C++ 1. Wprowadzenie do C/C++ Uruchomienie ±rodowiska: Start Programs Developments Dev-C++. Nowy projekt: File New Project lub

Bardziej szczegółowo

Lekcja 9 Liczby losowe, zmienne, staªe

Lekcja 9 Liczby losowe, zmienne, staªe Lekcja 9 Liczby losowe, zmienne, staªe Akademia im. Jana Dªugosza w Cz stochowie Liczby losowe Czasami potrzebujemy by program za nas wylosowaª liczb. U»yjemy do tego polecenia liczba losowa: Liczby losowe

Bardziej szczegółowo

1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d

1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d Poj cia pomocnicze Otoczeniem punktu x nazywamy dowolny zbiór otwarty zawieraj cy punkt x. Najcz ±ciej rozwa»amy otoczenia kuliste, tj. kule o danym promieniu ε i ±rodku x. S siedztwem punktu x nazywamy

Bardziej szczegółowo

Hotel Hilberta. Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci. Marcin Kysiak. Festiwal Nauki, 20.09.2011. Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego

Hotel Hilberta. Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci. Marcin Kysiak. Festiwal Nauki, 20.09.2011. Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Festiwal Nauki, 20.09.2011 Nasze do±wiadczenia hotelowe Fakt oczywisty Hotel nie przyjmie nowych go±ci, je»eli wszystkie

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie teorii liczb w kryptografii na przykładzie szyfru RSA

Zastosowanie teorii liczb w kryptografii na przykładzie szyfru RSA Zastosowanie teorii liczb w kryptografii na przykładzie szyfru RSA Grzegorz Bobiński Uniwersytet Mikołaja Kopernika Toruń, 22.05.2010 Kodowanie a szyfrowanie kodowanie sposoby przesyłania danych tak, aby

Bardziej szczegółowo

Podstawy Ekonomii Matematycznej. Aktualizacja: 9 czerwca 2011

Podstawy Ekonomii Matematycznej. Aktualizacja: 9 czerwca 2011 Podstawy Ekonomii Matematycznej Aktualizacja: 9 czerwca 2011 Spis tre±ci I Elementy matematyki nansowej. 5 1 Procent, stopa procentowa, kapitalizacja. 6 2 Procent prosty. 8 2.1 Zasada oprocentowania prostego,

Bardziej szczegółowo

Optyka geometryczna. Soczewki. Marcin S. Ma kowicz. rok szk. 2009/2010. Zespóª Szkóª Ponadgimnazjalnych Nr 2 w Brzesku

Optyka geometryczna. Soczewki. Marcin S. Ma kowicz. rok szk. 2009/2010. Zespóª Szkóª Ponadgimnazjalnych Nr 2 w Brzesku skupiaj ce rozpraszaj ce Optyka geometryczna Zespóª Szkóª Ponadgimnazjalnych Nr 2 w Brzesku rok szk. 2009/2010 skupiaj ce rozpraszaj ce Spis tre±ci 1 Wprowadzenie 2 Ciekawostki 3 skupiaj ce Konstrukcja

Bardziej szczegółowo

2 Arytmetyka. d r 2 r + d r 1 2 r 1...d d 0 2 0,

2 Arytmetyka. d r 2 r + d r 1 2 r 1...d d 0 2 0, 2 Arytmetyka Niech b = d r d r 1 d 1 d 0 będzie zapisem liczby w systemie dwójkowym Zamiana zapisu liczby b na system dziesiętny odbywa się poprzez wykonanie dodawania d r 2 r + d r 1 2 r 1 d 1 2 1 + d

Bardziej szczegółowo

Wykªady z analizy matematycznej dla studentów informatyki Politechniki Lubelskiej. A. Bobrowski

Wykªady z analizy matematycznej dla studentów informatyki Politechniki Lubelskiej. A. Bobrowski Wykªady z analizy matematycznej dla studentów informatyki Politechniki Lubelskiej A. Bobrowski Spis tre±ci Teoria zbie»no±ci ci gów liczbowych strona 6. Gªówne zagadnienia 6.2 Granice sko«czone i niesko«czone

Bardziej szczegółowo

W zadaniach na procenty wyró»niamy trzy typy czynno±ci: obliczanie, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba,

W zadaniach na procenty wyró»niamy trzy typy czynno±ci: obliczanie, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba, 2 Procenty W tej lekcji przypomnimy sobie poj cie procentu i zwi zane z nim podstawowe typy zada«. Prosimy o zapoznanie si z regulaminem na ostatniej stronie. 2.1 Poj cie procentu Procent jest to jedna

Bardziej szczegółowo

Kod U2 Opracował: Andrzej Nowak

Kod U2 Opracował: Andrzej Nowak PODSTAWY TEORII UKŁADÓW CYFROWYCH Kod U2 Opracował: Andrzej Nowak Bibliografia: Urządzenia techniki komputerowej, K. Wojtuszkiewicz http://pl.wikipedia.org/ System zapisu liczb ze znakiem opisany w poprzednim

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

1259 (10) = 1 * * * * 100 = 1 * * * *1

1259 (10) = 1 * * * * 100 = 1 * * * *1 Zamiana liczba zapisanych w dowolnym systemie na system dziesiętny: W systemie pozycyjnym o podstawie 10 wartości kolejnych cyfr odpowiadają kolejnym potęgom liczby 10 licząc od strony prawej i numerując

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna - ZSTA LMO

Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Statystyka matematyczna - ZSTA LMO Šukasz Smaga Wydziaª Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu Wykªad 4 Šukasz Smaga (WMI UAM) ZSTA LMO Wykªad 4 1 / 18 Wykªad 4 - zagadnienia

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY METROLOGII ĆWICZENIE 4 PRZETWORNIKI AC/CA Międzywydziałowa Szkoła Inżynierii Biomedycznej 2009/2010 SEMESTR 3

PODSTAWY METROLOGII ĆWICZENIE 4 PRZETWORNIKI AC/CA Międzywydziałowa Szkoła Inżynierii Biomedycznej 2009/2010 SEMESTR 3 PODSTAWY METROLOGII ĆWICZENIE 4 PRZETWORNIKI AC/CA Międzywydziałowa Szkoła Inżynierii Biomedycznej 29/2 SEMESTR 3 Rozwiązania zadań nie były w żaden sposób konsultowane z żadnym wiarygodnym źródłem informacji!!!

Bardziej szczegółowo

1 Granice funkcji wielu zmiennych.

1 Granice funkcji wielu zmiennych. AM WNE 008/009. Odpowiedzi do zada«przygotowawczych do czwartego kolokwium. Granice funkcji wielu zmiennych. Zadanie. Zadanie. Pochodne. (a) 0, Granica nie istnieje, (c) Granica nie istnieje, (d) Granica

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Interpolacja PWSZ Gªogów, 2009 Interpolacja Okre±lenie zale»no±ci pomi dzy interesuj cymi nas wielko±ciami, Umo»liwia uproszczenie skomplikowanych funkcji (np. wykorzystywana

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Wprowadzenie PWSZ Gªogów, 2009 Plan wykªadów Wprowadzenie, podanie zagadnie«, poj cie metody numerycznej i algorytmu numerycznego, obszar zainteresowa«i stosowalno±ci

Bardziej szczegółowo

SYSTEMY LICZBOWE. Zapis w systemie dziesiętnym

SYSTEMY LICZBOWE. Zapis w systemie dziesiętnym SYSTEMY LICZBOWE 1. Systemy liczbowe Najpopularniejszym systemem liczenia jest system dziesiętny, który doskonale sprawdza się w życiu codziennym. Jednak jego praktyczna realizacja w elektronice cyfrowej

Bardziej szczegółowo

14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe.

14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. Matematyka 4/ 4.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. I. Przypomnij sobie:. Wiadomości z poprzedniej lekcji... Że przy rozwiązywaniu zadań tekstowych wykorzystujących

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejk z kodem szko y dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 007 Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny

Bardziej szczegółowo

Wykªad 05 (granice c.d., przykªady) Rozpoczniemy od podania kilku przykªadów obliczania granic ci gów. n an = + dla a > 1. (5.1) lim.

Wykªad 05 (granice c.d., przykªady) Rozpoczniemy od podania kilku przykªadów obliczania granic ci gów. n an = + dla a > 1. (5.1) lim. Wykªad 05 graice cd, przykªady Rozpocziemy od podaia kilku przykªadów obliczaia graic ci gów Niech a > Ozaczmy a = c > 0 Mamy Poiewa» c = +, wi c tak»e a = + c + c c a = + dla a > 5 Poadto, zauwa»amy,»e

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA BINARNA. Dziesiątkowy system pozycyjny nie jest jedynym sposobem kodowania liczb z jakim mamy na co dzień do czynienia.

ARYTMETYKA BINARNA. Dziesiątkowy system pozycyjny nie jest jedynym sposobem kodowania liczb z jakim mamy na co dzień do czynienia. ARYTMETYKA BINARNA ROZWINIĘCIE DWÓJKOWE Jednym z najlepiej znanych sposobów kodowania informacji zawartej w liczbach jest kodowanie w dziesiątkowym systemie pozycyjnym, w którym dla przedstawienia liczb

Bardziej szczegółowo

1. Wprowadzenie do C/C++

1. Wprowadzenie do C/C++ Podstawy Programowania - Roman Grundkiewicz - 013Z Zaj cia 1 1 rodowisko Dev-C++ 1. Wprowadzenie do C/C++ Uruchomienie ±rodowiska: Start Programs Developments Dev-C++. Nowy projekt: File New Project lub

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. wiczenia 13 Metoda ±cie»ki krytycznej. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej

Ekonometria. wiczenia 13 Metoda ±cie»ki krytycznej. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej wiczenia 13 Metoda ±cie»ki krytycznej Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej Plan wicze«1 Przykªad: ubieranie choinki 2 3 Programowanie liniowe w analizie czasowej i czasowo-kosztowej projektu

Bardziej szczegółowo

Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.

Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.

Bardziej szczegółowo

Programowanie funkcyjne. Wykªad 13

Programowanie funkcyjne. Wykªad 13 Programowanie funkcyjne. Wykªad 13 Siªa wyrazu rachunku lambda Zdzisªaw Spªawski Zdzisªaw Spªawski: Programowanie funkcyjne. Wykªad 13, Siªa wyrazu rachunku lambda 1 Wst p Warto±ci logiczne Liczby naturalne

Bardziej szczegółowo

Niezbyt formalny i niezbyt intuicyjny wst p do algebry abstrakcyjnej

Niezbyt formalny i niezbyt intuicyjny wst p do algebry abstrakcyjnej Niezbyt formalny i niezbyt intuicyjny wst p do algebry abstracyjnej 1. Nawiasami [[]] oznacza b d omentarze. 2. Denicja 0.1 Grup z [[jaim± abstracyjnym]] dziaªaniem nazywamy zbiór G speªniaj cy waruni

Bardziej szczegółowo

przewidywania zapotrzebowania na moc elektryczn

przewidywania zapotrzebowania na moc elektryczn do Wykorzystanie do na moc elektryczn Instytut Techniki Cieplnej Politechnika Warszawska Slide 1 of 20 do Coraz bardziej popularne staj si zagadnienia zwi zane z prac ¹ródªa energii elektrycznej (i cieplnej)

Bardziej szczegółowo

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Część III Funkcja wymierna, potęgowa, logarytmiczna i wykładnicza Magdalena Alama-Bućko Ewa Fabińska Alfred Witkowski Grażyna Zachwieja Uniwersytet Technologiczno

Bardziej szczegółowo

f(x) f(x 0 ) i f +(x 0 ) := lim = f(x 0 + x) f(x 0 ) wynika ci gªo± funkcji w punkcie x 0. W ka»dym przypadku zachodzi:

f(x) f(x 0 ) i f +(x 0 ) := lim = f(x 0 + x) f(x 0 ) wynika ci gªo± funkcji w punkcie x 0. W ka»dym przypadku zachodzi: Pochodna funkcji Def 1 Pochodn wªa±ciw funkcji f w punkcie x 0 nazywamy granic f (x 0 ) := lim o ile granica ta istnieje i jest wªa±ciwa Funkcj f nazywamy wtedy ró»niczkowaln Przy zaªo»eniu,»e f jest ci

Bardziej szczegółowo

Wiedza niepewna i wnioskowanie (c.d.)

Wiedza niepewna i wnioskowanie (c.d.) Wiedza niepewna i wnioskowanie (c.d.) Dariusz Banasiak Katedra Informatyki Technicznej Wydział Elektroniki Wnioskowanie przybliżone Wnioskowanie w logice tradycyjnej (dwuwartościowej) polega na stwierdzeniu

Bardziej szczegółowo

Programowanie i struktury danych 1 / 44

Programowanie i struktury danych 1 / 44 Programowanie i struktury danych 1 / 44 Lista dwukierunkowa Lista dwukierunkowa to liniowa struktura danych skªadaj ca si z ci gu elementów, z których ka»dy pami ta swojego nast pnika i poprzednika. Operacje

Bardziej szczegółowo

WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14

WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14 WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2013/14 Spis tre±ci 1 Kodowanie i dekodowanie 4 1.1 Kodowanie a szyfrowanie..................... 4 1.2 Podstawowe poj cia........................

Bardziej szczegółowo

1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1

1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1 Dzień Dziecka z Matematyką Tomasz Szymczyk Piotrków Trybunalski, 4 czerwca 013 r. Układy równań szkice rozwiązań 1. Rozwiązać układ równań { x = y 1 y = x 1. Wyznaczając z pierwszego równania zmienną y,

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna Zestaw 2

Matematyka Dyskretna Zestaw 2 Materiały dydaktyczne Matematyka Dyskretna (Zestaw ) Matematyka Dyskretna Zestaw 1. Wykazać, że nie istnieje liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 18 daje resztę 13, a przy dzieleniu przez 1 daje

Bardziej szczegółowo

Teoria liczb. Zajmuje się własnościami liczb, wszystkim całkowitych

Teoria liczb. Zajmuje się własnościami liczb, wszystkim całkowitych Teoria liczb Zajmuje się własnościami liczb, przede wszystkim całkowitych Niepraktyczna? - kryptografia Dzielenie liczb całkowitych z resztą Niech b>0, wtedy dla każdej liczby całkowitej a istnieją jednoznacznie

Bardziej szczegółowo

Problemy optymalizacyjne - zastosowania

Problemy optymalizacyjne - zastosowania Problemy optymalizacyjne - zastosowania www.qed.pl/ai/nai2003 PLAN WYKŁADU Zło ono obliczeniowa - przypomnienie Problemy NP-zupełne klika jest NP-trudna inne problemy NP-trudne Inne zadania optymalizacyjne

Bardziej szczegółowo

LICZBY PIERWSZE. 14 marzec 2007. Jeśli matematyka jest królową nauk, to królową matematyki jest teoria liczb. C.F.

LICZBY PIERWSZE. 14 marzec 2007. Jeśli matematyka jest królową nauk, to królową matematyki jest teoria liczb. C.F. Jeśli matematyka jest królową nauk, to królową matematyki jest teoria liczb. C.F. Gauss (1777-1855) 14 marzec 2007 Zasadnicze twierdzenie teorii liczb Zasadnicze twierdzenie teorii liczb Ile jest liczb

Bardziej szczegółowo

Arytmetyka komputera. Na podstawie podręcznika Urządzenia techniki komputerowej Tomasza Marciniuka. Opracował: Kamil Kowalski klasa III TI

Arytmetyka komputera. Na podstawie podręcznika Urządzenia techniki komputerowej Tomasza Marciniuka. Opracował: Kamil Kowalski klasa III TI Arytmetyka komputera Na podstawie podręcznika Urządzenia techniki komputerowej Tomasza Marciniuka Opracował: Kamil Kowalski klasa III TI Spis treści 1. Jednostki informacyjne 2. Systemy liczbowe 2.1. System

Bardziej szczegółowo

Podstawowe działania w rachunku macierzowym

Podstawowe działania w rachunku macierzowym Podstawowe działania w rachunku macierzowym Marcin Detka Katedra Informatyki Stosowanej Kielce, Wrzesień 2004 1 MACIERZE 1 1 Macierze Macierz prostokątną A o wymiarach m n (m wierszy w n kolumnach) definiujemy:

Bardziej szczegółowo

CAŠKA NIEOZNACZONA. Politechnika Lubelska. Z.Šagodowski. 18 lutego 2016

CAŠKA NIEOZNACZONA. Politechnika Lubelska. Z.Šagodowski. 18 lutego 2016 WYKŠAD CAŠKA NIEOZNACZONA Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 8 lutego 06 Denicja CAŠKA NIEOZNACZONA Funkcja F jest funkcja pierwotn funkcji f na przedziale A, je»eli Zauwa»my,ze F (x) = f (x), dla ka»dego

Bardziej szczegółowo

Arytmetyka liczb binarnych

Arytmetyka liczb binarnych Wartość dwójkowej liczby stałoprzecinkowej Wartość dziesiętna stałoprzecinkowej liczby binarnej Arytmetyka liczb binarnych b n-1...b 1 b 0,b -1 b -2...b -m = b n-1 2 n-1 +... + b 1 2 1 + b 0 2 0 + b -1

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Ukªady równa«liniowych PWSZ Gªogów, 2009 Motywacje Zagadnienie kluczowe dla przetwarzania numerycznego Wiele innych zada«redukuje si do problemu rozwi zania ukªadu

Bardziej szczegółowo

Mikro II: Krzywe kosztów, Poda» rmy i Poda» gaª zi.

Mikro II: Krzywe kosztów, Poda» rmy i Poda» gaª zi. Mikro II: Krzywe kosztów, Poda» rmy i Poda» gaª zi. Krzysztof Makarski 22 Krzywe kosztów Wst p Celem jest wyprowadzenie funkcji poda»y i jej wªasno±ci. Funkcj poda»y wyprowadzamy z decyzji maksymalizuj

Bardziej szczegółowo

Strategia czy intuicja?

Strategia czy intuicja? Strategia czy intuicja czyli o grach niesko«czonych Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Grzegorzewice, 29 sierpnia 2009 Denicja gry Najprostszy przypadek: A - zbiór (na ogóª co najwy»ej przeliczalny),

Bardziej szczegółowo

Macierz A: macierz problemów liniowych (IIII); Macierz rozszerzona problemów liniowych (IIII): a 11 a 1m b 1 B = a n1 a nm b n

Macierz A: macierz problemów liniowych (IIII); Macierz rozszerzona problemów liniowych (IIII): a 11 a 1m b 1 B = a n1 a nm b n Plan Spis tre±ci 1 Problemy liniowe 1 2 Zadania I 3 3 Formy biliniowe 3 3.1 Odwzorowania wieloliniowe..................... 3 3.2 Formy biliniowe............................ 4 4 Formy kwadratowe 4 1 Problemy

Bardziej szczegółowo

Zastosowania arytmetyki modularnej. Zastosowania arytmetyki modularnej

Zastosowania arytmetyki modularnej. Zastosowania arytmetyki modularnej Obliczenia w systemach resztowych [Song Y. Yan] Przykład: obliczanie z = x + y = 123684 + 413456 na komputerze przyjmującym słowa o długości 100 Obliczamy kongruencje: x 33 (mod 99), y 32 (mod 99), x 8

Bardziej szczegółowo

Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych

Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych I. Malinowska, Z. Šagodowski Politechnika Lubelska 8 czerwca 2015 Caªka iterowana podwójna Denicja Je»eli funkcja f jest ci gªa na prostok cie P = {(x, y) : a x

Bardziej szczegółowo

Automorzmy modeli i twierdzenie EhrenfeuchtaMostowskiego

Automorzmy modeli i twierdzenie EhrenfeuchtaMostowskiego Automorzmy modeli i twierdzenie EhrenfeuchtaMostowskiego Krzysztof Kapulkin IX Warsztaty Logiczne 5 12 lipca 2008 1 Wst p W referacie tym przedstawiamy wyniki uzyskane przez Andrzeja Ehrenfeuchta i Andrzeja

Bardziej szczegółowo

Przeksztaªcenia liniowe

Przeksztaªcenia liniowe Przeksztaªcenia liniowe Przykªady Pokaza,»e przeksztaªcenie T : R 2 R 2, postaci T (x, y) = (x + y, x 6y) jest przeksztaªceniem liniowym Sprawdzimy najpierw addytywno± przeksztaªcenia T Niech v = (x, y

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Justyna Winnicka. rok akademicki 2016/2017. Szkoªa Gªówna Handlowa

Matematyka. Justyna Winnicka. rok akademicki 2016/2017. Szkoªa Gªówna Handlowa Matematyka Justyna Winnicka Szkoªa Gªówna Handlowa rok akademicki 2016/2017 kontakt, konsultacje, koordynator mail: justa_kowalska@yahoo.com, jkowal4@sgh.waw.pl, justyna.winnicka@sgh.waw.pl konsultacje:

Bardziej szczegółowo

Zaawansowana adresacja IPv4

Zaawansowana adresacja IPv4 Zaawansowana adresacja IPv4 LAN LAN... MAN... LAN Internet Zagadnienia: podział sieci na równe podsieci (RFC 950, 1985 r.) technologia VLSM (RFC 1009, 1987 r.) technologia CIDR (RFC 1517-1520, 1993 r.)

Bardziej szczegółowo

MADE IN CHINA czyli SYSTEM RESZTOWY

MADE IN CHINA czyli SYSTEM RESZTOWY MADE IN CHINA czyli SYSTEM RESZTOWY System ten oznaczmy skrótem RNS (residue number system czyli po prostu resztowy system liczbowy). Wartość liczby w tym systemie reprezentuje wektor (zbiór) reszt z dzielenia

Bardziej szczegółowo

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl System dziesiętny 7 * 10 4 + 3 * 10 3 + 0 * 10 2 + 5 *10 1 + 1 * 10 0 = 73051 Liczba 10 w tym zapisie nazywa się podstawą systemu liczenia. Jeśli liczba 73051 byłaby zapisana w systemie ósemkowym, co powinniśmy

Bardziej szczegółowo

Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu.

Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. Uk ad graficzny CKE 2010 KOD WPISUJE ZDAJ CY PESEL Miejsce na naklejk z kodem EGZAMIN MATURALNY

Bardziej szczegółowo

wiczenie 1 Podstawy j zyka Java. Instrukcje warunkowe

wiczenie 1 Podstawy j zyka Java. Instrukcje warunkowe wiczenie 1 Podstawy j zyka Java. Instrukcje warunkowe 1 Wprowadzenie 1.1 rodowisko programistyczne NetBeans https://netbeans.org/ 1.2 Dokumentacja j zyka Java https://docs.oracle.com/javase/8/docs/api/

Bardziej szczegółowo

Maksymalna liczba punktów do zdobycia: 80. Zadanie 1: a) 6 punktów, b) 3 punkty, Zadanie 2: a) 6 punktów, b) 4 punkty,

Maksymalna liczba punktów do zdobycia: 80. Zadanie 1: a) 6 punktów, b) 3 punkty, Zadanie 2: a) 6 punktów, b) 4 punkty, VII Wojewódzki Konkurs Matematyczny "W ±wiecie Matematyki" im. Prof. Wªodzimierza Krysickiego Etap drugi - 17 lutego 2015 r. Maksymalna liczba punktów do zdobycia: 80. 1. Drugi etap Konkursu skªada si

Bardziej szczegółowo

1. Podstawy budowania wyra e regularnych (Regex)

1. Podstawy budowania wyra e regularnych (Regex) Dla wi kszo ci prostych gramatyk mo na w atwy sposób napisa wyra enie regularne które b dzie s u y o do sprawdzania poprawno ci zda z t gramatyk. Celem niniejszego laboratorium b dzie zapoznanie si z wyra

Bardziej szczegółowo