1 Podstawowe wªasno±ci arytmetyczne liczb caªkowitych

Transkrypt

1 1 Podstawowe wªasno±ci arytmetyczne liczb caªkowitych 1.1 Oznaczenia W caªym skrypcie b dziemy u»ywali nast puj cych oznacze«: N = {0, 1, 2,... } jest zbiorem liczb naturalnych (z zerem), Z jest zbiorem liczb caªkowitych. B dziemy zakªada,»e czytelnikowi znane s denicje i wªasno±ci podstawowych dziaªa«arytmetycznych (dodawanie, mno»enie) oraz porz dku w tych zbiorach. 1.2 Twierdzenie o dzieleniu z reszt Wszystkie wªasno±ci liczb caªkowitych omawiane w tym rozdziale s konsekwencj nast puj cego twierdzenia. Twierdzenie. Je»eli b jest liczb caªkowit ró»n od zera, to dla dowolnej liczby caªkowitej a istnieje jednoznacznie wyznaczona para liczb caªkowitych q i r takich,»e 1. a = bq + r, 2. 0 r < b. Liczb q nazywamy cz ±ciowym ilorazem liczby a przez b, a liczb r nazywamy reszt z dzielenia a przez b i oznaczamy symbolem a mod b. Dowód. Twierdzenie zawiera dwie tezy: istnienie pary (q, r) oraz jej jednoznaczno±. Udowodnimy najpierw istnienie takiej pary. Zaªó»my najpierw,»e b jest liczb naturaln. Poka»emy najpierw,»e dla dowolnej liczby naturalnej a istniej liczby q i r speªniaj ce warunki 1 i 2 twierdzenia. Je»eli liczba a speªnia nierówno± 0 a < b, to a = 0q + a jest» danym przedstawieniem. (Zauwa»my,»e z zaªo»enia b 0 wynika istnienie odpowiedniego przedstawienia co najmniej dla a = 0). Zaªó»my wi c indukcyjnie,»e dla pewnej liczby a istnieje odpowiednie przedstawienie a = bq + r. Poka»emy, jak znale¹ odpowiednie przedstawienie dla liczby a + 1. Mamy oczywi±cie a + 1 = bq + (r + 1) i je±li oka»e si,»e r + 1 < b, to jest to» dane przedstawienie. W przeciwnym wypadku mamy r + 1 = b i mamy a + 1 = bq + b = b(q + 1) + 0. Twierdzenie o indukcji gwarantuje nam wi c istnienie odpowiedniego przedstawienia dla dowolnej liczby naturalnej a. Zaªó»my teraz,»e liczba a jest ujemna. Wówczas liczba a jest liczb naturaln i z udowodnionej przed chwil wªasno±ci mamy przedstawienie a = bq+r, co daje a = b( q) + ( r). Przedstawienie to speªnia warunek 2 tylko wtedy, gdy r = 0. W przeciwnym wypadku nale»y przedstawienie poprawi, przestawiaj c"jedno b: a = b( q 1) + (b r). Pozostaje jeszcze rozpatrzy przypadek, gdy b < 0. Wówczas b jest liczb naturaln i z udowodnionych ju» wªasno±ci wiemy,»e dla dowolnej liczby a istnieje przedstawienie a = ( b)q + r, gdzie 0 r < b = b. Wówczas» danym przedstawieniem jest a = b( q) + r. Udowodnimy teraz jednoznaczno± przedstawienia. Zaªó»my wi c przeciwnie,»e dla pewnej pary liczb a i b mamy dwa przedstawienia: a = bq + r = bq + r, 1

2 przy czym 0 r, r < b. Przeksztaªcaj c powy»sz równo± arytmetycznie i bior c warto± bezwzgl dn obu stron, otrzymujemy b q q = r r. Na podstawie zaªo»e«o r i r mamy b < r r < b, wi c prawa strona równo±ci jest liczb naturaln mniejsz ni» b. Z kolei lewa strona jest naturaln wielokrotno±ci liczby b. Jedyn naturaln wielokrotno±ci liczby b mniejsz od b jest liczba 0. St d r r = 0 i q q = 0 (raz jeszcze wykorzystali±my zaªo»enie b 0), a wi c q = q i r = r. 1.3 Rozwini cie liczby przy danej podstawie Twierdzenie. Je»eli b jest liczb naturaln wi ksz od 1, to dowoln dodatni liczb naturaln a mo»e w sposób jednoznaczny przedstawi w postaci a = a 0 + a 1 b + a 2 b a s b s, gdzie 0 a i < b, i = 0, 1,... s, a s 0. (1) Przedstawienie liczby a w postaci (1) nazywa si rozwini ciem liczby a przy podstawie b, liczby a 0, a 1,...,a s nazywamy cyframi rozwini cia. W skrócie stosuje si zapis a = (a s a s 1... a 1 a 0 ) b, przy czym podstaw b pomija si, je±li b = 10. Przykªad. Tak wi c mamy = = = 51. Dowód. Znowu musimy wykaza istnienie odpowiedniego przedstawienia i jego jednoznaczno±. Aby udowodni istnienie przedstawienia, zastosujemy indukcj wzgl dem liczby a. Dla liczb a < b mamy oczywiste przedstawienie z s = 0 i a 0 = a. Zaªó»my wi c,»e a b i»e udowodnili±my ju» istnienie rozwini cia dla wszystkich liczb a mniejszych od pewnej liczby a. Podzielmy liczb a z reszt przez b: a = bq + r, gdzie 0 r < b. Iloraz cz ±ciowy q jest liczb naturaln dodatni (dlaczego?) przy czym zaªo-»enie b > 1 gwarantuje nam,»e q < a. Z zaªo»enia indukcyjnego mamy wi c przedstawienie q = a 0 + a 1 b + a 2b a s b s, gdzie s jest pewn liczb naturaln i 0 a i < b dla wszystkich i = 0, 1,..., s i a s 0. Wówczas a = r + bq = = r + b(a 0 + a 1 b + a 2b a s b s ) = = r + a 0 b + a 1 b a s b s+1, co daje» dane rozwini cie. Dla dowodu jednoznaczno±ci zauwa»my,»e wzór (1) mo»na przepisa w postaci a = b(a 1 + a 2 b + + a s b s 1 ) + a 0, 2

3 a poniewa» cyfra a 0 speªnia nierówno±ci 0 a 0 < b, wi c z twierdzenia o dzieleniu z reszt wynika,»e jest jednoznacznie wyznaczone jako reszta z dzielenia a przez B, a wyra»enie w nawiasie jest ilorazem cz ±ciowym. Dowód jednoznaczno±ci mo»na wi c znowu poprowadzi indukcyjnie wzgl dem a 1.4 Obecnie powszechnie u»ywamy systemu dziesi tkowego, ale z arytmetycznego punktu widzenia baza 10 nie jest w»aden sposób wyró»niona. Mo»na oczywi±cie przywoªa uzasadnienie anatomiczne: mamy przecie» 10 palców. Zwró my jednak uwag na to,»e równie dobr odpowiedzi na pytanie o liczb palców jest 5 (palców u jednej dªoni) i 20 (palców u r k i nóg razem). I rzeczywi±cie w pewnych j zykach europejskich i azjatyckich mamy ±lady podstawy 20. Na przykªad w j zyku francuskim 20 to vingt, 90 to quatrevingtdix czyli cztery dwudziestki i dziesi (podobny schemat obowi zuje w nazwach liczebników od 60 do 99). W pewnych j zykach afryka«skich mamy ±lady systemu pi tkowego. Mo»na te» jak niektórzy Indianie Ameryki Póªnocnej liczy nie palce, a przerwy mi dzy palcami, co daje podstaw osiem. Inni natomiast na tych samych dziesi ciu palcach potra liczy do 60 (zob. G. Ifrah, Dzieje liczby czyli Historia wielkiego wynalazku, Wrocªaw 1990). lady skomplikowanego dziesi tnosze± dziesi tkowego systemu sumeryjskobabilo«skiego mamy w podziale k ta i czasu (1 stopie«= 60 minut, 1 minuta = 60 sekund). Niektórzy dopatruj si reliktów systemu dwunastkowego w podziaªach pewnych jednostek na 12 mniejszych jednostek (np. 1 dzie«= 12 godzin, 1 stopa = 12 cali). Jednak od takiego podziaªu do konsekwentnego systemu dwunastkowego jeszcze daleko i nie wydaje si, aby taki system byª gdziekolwiek u»ywany. W elektronice i w technice komputerowej znalazª zastosowanie system dwójkowy i pomocniczo systemy ósemkowy i szesnastkowy (zobacz poni»ej). 1.5 Zauwa»my,»e dowód twierdzenia z punktu 1.3 daje nam efektywny algorytm rozwini cia danej liczby a przy podstawie b, a dokªadniej wypisania wszystkich cyfr tego rozwini cia: 1. zaczynamy od dzielenia z reszt liczby a przez podstaw b, 2. reszt wypisujemy jako zerow cyfr rozwini cia, 3. je±li iloraz q jest równy zero, to ko«czymy; w przeciwnym wypadku rozpoczynamy algorytm od punktu 1., zamieniaj c liczb a na liczb q. Poniewa» kolejne ilorazy utworz malej cy ci g liczb naturalnych, wi c w pewnym kroku oblicze«musimy uzyska iloraz zerowy i algorytm zatrzyma si. Przykªad. Rozwi«my liczb a = 2008 przy podstawie b = 8. Mamy po kolei 2008 = , 251 = , 31 = , 3 = , 3

4 czyli 2008 = Przy r cznych rachunkach wygodnie jest prowadzi zapis w postaci nast puj cej tabeli: Odwrotne zadanie przej±cia od systemu o danej podstawie b do systemu dziesi tnego wynika bezpo±rednio ze wzoru (1), ale warto tu zwróci uwag na pewien aspekt obliczeniowy tego rachunku. Wykonanie rachunku zgodnie z tym wzorem wymaga 2s 1 mno»e«: s 1 mno»e«do obliczenia kolejnych pot g b 2, b 3,..., b s oraz s mno»e«do obliczenia iloczynów a i b i. Tymczasem proste przeksztaªcenie wzoru daje wyra»enie a 0 + b(a 1 + b(a (a s 1 + ba s )... )). Taki sposób oblicze«nazywa si schematem Hornera. Wymaga on jedynie s mno»e«(i tak sam liczb dodawa«jak schemat naiwny). Je»eli mamy zamieni podstaw b na inn podstaw b, to najlepiej po±rednio posªu»y si podstaw 10. Jest jednak jeden wyj tek, w którym zamiana jednej podstawy na drug jest szczególnie ªatwa. Zaªó»my,»e podstawa B jest k-t pot g podstawy b i»e dysponujemy tabel rozwini przy podstawie b wszystkich liczb od 0 do B 1 (a wi c cyfr przy podstawie B). Wówczas proces zamiany jednej podstawy na drug mo»na wykona czysto mechanicznie bez jakichkolwiek rachunków. Podstaw tej metody jest nast puj ce rozwa»anie. Niech a = a 0 + a 1 B + a 2 B a s B s b dzie rozwini ciem przy podstawie B, czyli dla ka»dego i mamy 0 a i < B. Poniewa» B = b k, wi c ka»d z cyfr a i mo»emy jednoznacznie przedstawi w postaci a i = a i,0 + a i,1 b + + a i,k 1 b k 1, gdzie wszystkie liczby a i,j s cyframi dla podstawy b (jest to tak zwane kznakowe rozwini cie przy podstawie b czyli zwykªe rozwini cie przy podstawie b uzupeªnione tak liczb cyfr zerowych, aby otrzyma dokªadnie k znaków). Wówczas a = a 0 + a 1 B + a 2 B a s B s = = a 0,0 + a 0,1 b + + a 0,k 1 b k 1 + +(a 1,0 + a 1,1 b + + a 1,k 1 b k 1 )b k + + +(a s,0 + a s,1 b + + a s,k 1 b k 1 )b ks = = a 0,0 + a 0,1 b + + a 0,k 1 b k 1 + +a 1,0 b k + a 1,1 b k a 1,k 1 b 2k a s,0 b ks + a s,1 b ks a s,k 1 b k(s+1) 1 Ze wzgl du na jednoznaczno± rozwini cia ostatnie wyra»enie mo»e ró»ni si od rozwini cia a przy podstawie b jedynie o zb dne cyfry zerowe przy najwy»- szych pot gach b. Otrzymujmy wi c nast puj cy algorytm: aby z rozwini cia przy podstawie B otrzyma rozwini cie przy podstawie b, wystarczy zamieni 4

5 cyfry rozwini cia przy podstawie B ich kznakowymi rozwini ciami przy podstawie b i (ewentualnie) usun pocz tkowe zera. Przej±cie w drug stron jest odwróceniem tej procedury: maj c rozwini cie przy podstawie b, nale»y pogrupowa jego cyfry w bloki kcyfrowe poczynaj c od cyfr najmniej znacz cych, a nast pnie ka»dy blok zast pi odpowiedni cyfr dla podstawy B. Przykªad. Na styku czªowieka z maszyn cz sto zamiast systemu dwójkowego stosuje si system szesnastkowy. Cyframi przy podstawie 16 s liczby od 0 do 15, wi c dla jednoznaczno±ci zapisu przyj ªo si oznacza dodatkowe (wzgl dem systemu dziesi tnego) cyfry od 10 do 15 literami od A do F. Poniewa» 16 = 2 4, wi c dla sprawnego przechodzenia od ukªadu szesnastkowego do dwójkowego i odwrotnie przygotujmy tabel czterocyfrowych rozwini dwójkowych cyfr szesnastkowych: C D A 1010 E B 1011 F 1111 Je»eli mamy teraz na przykªad liczb szesnastkowa 5A4F 16 rozwin przy podstawie dwa, to wystarczy przepisa w odpowiedniej kolejno±ci rozwini cia dwójkowe: i pomin pocz tkowe zera, wi c 5A4F 16 = Relacja podzielno±ci liczb caªkowitych Powiemy,»e liczba caªkowita a dzieli liczb caªkowit b (ozn. a b), je±li istnieje liczba caªkowita c taka»e b = ac. Symbolicznie: a b c Z b = ac. (2) Nale»y podkre±li,»e wzór (refrelpodz) deniuje relacj w zbiorze liczb caªkowitych i zapisu a b nie nale»y myli z uªamkiem a. W szczególno±ci, w b odró»nieniu od wyra»enia 0 0, zapis 0 0 jest sensowny, co wi cej jest zdaniem prawdziwym. Je»eli a b, to liczb a b dziemy te» nazywa dzielnikiem liczby b. Podstawowe, ªatwe do udowodnienia wªasno±ci relacji podzielno±ci zostaªy zebrane w poni»szym stwierdzeniu. Stwierdzenie. Dla dowolnych a, b, c Z mamy 1. 1 a. 2. a a. 3. Je±li a b i b c, to a c. 4. Je±li a b i b a, to a = b. 5

6 5. Je±li a b, to ( a) b i a ( b). 6. Je±li a 0, to a b wtedy i tylko wtedy, gdy b mod a = Je±li a b i a c, to a b ± c. 8. Je±li a b, to a bc. Punkty implikuj,»e relacja podzielno±ci obci ta do zbioru liczb naturalnych jest w tym zbiorze cz ±ciowym porz dkiem. 1.7 Najwi kszy wspólny dzielnik Denicja. Najwi kszym wspólnym dzielnikiem liczb a, b Z nazywamy liczb caªkowit d tak,»e 1. d > 0, 2. d a i d b, 3. dla ka»dej liczby δ, je±li δ a i δ b, to δ d. Na powy»sz denicj mo»na spojrze w sposób nast puj cy: pierwsze dwa punkty mówi,»e deniowany obiekt jest pewnym dzielnikiem dodatnim wspólnym dla obu liczb a i b. Trzeci punkt mówi,»e jest on najwi kszy w zbiorze takich dzielników, ale nie w sensie zwykªego porz dku na liczbach naturalnych, a w sensie porz dku wyznaczonego przez relacj podzielno±ci. Zauwa»my,»e powy»sza denicja nie gwarantuje istnienia najwi kszego wspólnego dzielnika. I rzeczywi±cie, ªatwo zobaczy,»e je±li a = b = 0, to najwi kszy wspólny dzielnik pary (a, b) nie istnieje (ka»da liczba naturalna dodatnia speªnia pierwsze dwa warunki denicji i w zbiorze tym nie ma elementu najwi kszego). Naszym celem b dzie wykazanie,»e para (0, 0) jest jedynym wyj tkiem, w którym nie istnieje najwi kszy wspólny dzielnik. Stwierdzenie. Je»eli dla pewnej pary (a, b) istnieje najwi kszy wspólny dzielnik, to jest on wyznaczony jednoznacznie. Dowód. Zaªó»my,»e dla danej pary (a, b) mamy dwie liczby d i d speªniaj ce warunki denicji. Warunek 3. dla d mówi,»e ka»dy wspólny dzielnik δ liczb a i b jest te» dzielnikiem liczby d. Ale warunek 2. dla d gwarantuje,»e d jest wspólnym dzielnikiem a i b. St d d d. Symetrycznie otrzymujemy d d. W takiej sytuacji mamy d = d (pkt. 4. stwierdzenia 1.6). Jednak na mocy punktu 1. denicji obie liczby d i d s dodatnie, wi c d = d. Jednoznaczno± pozwala nam wprowadzi symbol dla najwi kszego wspólnego dzielnika: najwi kszy wspólny dzielnik liczb a i b b dziemy oznacza symbolem NWD(a, b). Stwierdzenie. Dla dowolnych a, b Z 1. NWD(a, b) = NWD(b, a), 2. NWD(a, b) = NWD( a, b ), 6

7 3. NWD(a, b) = NWD(a ± b, b), 4. je±li b 0, to NWD(a, b) = NWD(a mod b, b), przy czym wszystkie równo±ci nale»y rozumie w ten sposób,»e je±li istnieje liczba po jednej stronie równo±ci, to istnieje te» liczba po drugiej stronie i s sobie równe. Dowód. Punkt 1. wynika z symetrii warunków denicji wzgl dem a i b. Punkt 2. wynika z niewra»liwo±ci relacji podzielno±ci na znaki (pkt. 5 stwierdzenia 1.6). Udowodnimy punkt 3. Zaªó»my,»e istnieje d = NWD(a, b). Musimy sprawdzi,»e d speªnia warunki denicji NWD z argumentem a zamienionym na a ± b. Oczywi±cie d > 0, bo z zaªo»enia d jest najwi kszym wspólnym dzielnikiem a i b. Liczba d dzieli liczby a i b, wi c na podstawie pktu 7. stwierdzenia 1.6 dzieli te» a±b. Zostaje wi c do sprawdzenia ostatni warunek denicji. Niech δ b dzie wspólnym dzielnikiem a ± b i b. Wówczas a = (a ± b) b i znowu na podstawie stwierdzenia 1.6 otrzymujemy,»e δ jest wspólnym dzielnikiem a i b. Ale z zaªo»enia d = NWD(a, b), wi c δ dzieli d, co mieli±my wykaza. Dla dowodu ostatniego punktu zauwa»my,»e a mod b = a qb dla pewnej liczby caªkowitej q. Tez otrzymujemy wi c przez wielokrotne zastosowanie poprzedniego punktu dowodzonego stwierdzenia. 1.8 Algorytm Euklidesa Jest jeden przypadek, w którym dowód istnienia najwi kszego wspólnego dzielnika sprowadza si do ªatwego sprawdzenia warunków denicji. Stwierdzenie. Je»eli a 0, to NWD(a, 0) = a. Poka»emy, w jaki sposób ogólne zagadnienie obliczenia NWD(a, b) mo»na sprowadzi do przypadku opisanego w powy»szym stwierdzeniu. Na pocz tek zauwa»my,»e na podstawie punktów 1. i 2. stwierdzenia 1.7 obliczenie najwi kszego wspólnego dzielnika dwóch liczb a i b mo»emy zawsze sprowadzi do obliczenia wyra»enia NWD(a 1, a 2 ), gdzie a 1 a 2 0 (wystarczy przyj a 1 = max( a, b ) i a 2 = min( a, b ). Je±li a 2 = 0, to albo najwi kszy wspólny dzielnik nie istnieje (je±li równie» a 1 = 0), albo jest równy a 1. Wystarczy si wi c zaj przypadkiem a 2 0. W tym przypadku podzielimy a 1 z reszt przez a 2 : a 1 = q 1 a 2 + a 3, 0 a 3 < a 2. Na podstawie punktu 4. stwierdzenia 1.7 wiemy,»e NWD(a 1, a 2 ) = NWD(a 2, a 3 ) (o ile istnieje!). Je±li oka»e si,»e a 3 = 0, to wiemy,»e NWD(a 2, a 3 ) = a 2, co po pierwsze dowodzi istnienia NWD(a 1, a 2 ) i po drugie daje nam jego warto±. W przeciwnym przypadku mo»emy podzieli z reszt a 2 przez a 3 : a 2 = q 2 a 3 + a 4 0 a 4 < a 3. Proces dzielenia z reszt mo»emy kontynuowa, dopóki nie natkniemy si na zerow reszt. Ka»de dzielenie daje nast pny czªon w ci gu równo±ci: NWD(a 1, a 2 ) = NWD(a 2, a 3 ) = NWD(a 3, a 4 ) =..., 7

8 przy czym nale»y pami ta o warunkowym charakterze tych równo±ci: s one prawdziwe pod warunkiem,»e wyst puj ce w nich obiekty istniej, przy czym uzasadnienie istnienia cho by jednego z nich gwarantuje istnienie wszystkich pozostaªych. Takim warunkiem uprawomocniaj cym powy»szy ci g równo±ci jest natkni cie si na zerow reszt. Je±li bowiem reszta a i+1 z dzielenia a i 1 przez a i jest równa zero, to na podstawie warunku 4. stwierdzenia 1.7 wiemy,»e NWD(a i, a i+1 ) istnieje i równa si a i czyli ostatniej niezerowej reszcie w ci gu oblicze«. Powy»szy sposób obliczenia najwi kszego wspólnego dzielnika nazywa si algorytmem Euklidesa. Twierdzenie. Dla ka»dej pary liczb (a, b) ró»nej od pary (0.0) algorytm Euklidesa zatrzymuje si ; w szczególno±ci dla ka»dej pary (a, b) (0, 0) istnieje NWD(a, b). Dowód. Algorytm Euklidesa zatrzymuje si, gdy napotkamy reszt równ 0. Musimy wi c wykaza,»e dla dowolnej pary (a, b) (0, 0) w ci gu a 1, a 2, a 3,... skonstruowanym powy»ej pojawi si w ko«cu zero. Ci g ten jest ci giem liczb naturalnych i a 1 a 2 > a 3 > a 4 >.... Poniewa» ci g liczb naturalnych nie mo»e male w niesko«czono±, wi c proces obliczania reszt musi kiedy± przerwa si. 1.9 Zauwa»my,»e do obliczenia NWD za pomoc algorytmu Euklidesa nie musimy pami ta caªego ci gu a 1, a 2, a 3,.... Do obliczenia kolejnego wyrazu wystarcza znajomo± dwóch poprzednich, co pozwala przeprowadzi obliczenia w miejscu. Jest to szczególnie istotne, je»eli chcemy zaimplementowa ten algorytm. Tak wersj algorytmu przedstawia nast puj cy schemat. Algorytm 1.1: Algorytm Euklidesa DANE: liczby caªkowite a i b WYNIK: NWD(a, b) 1. a := a ; b := b ; 2. if (a < b) then zamie«a z b; 3. if (a = 0) then zgªo± bª d; 4. while (b 0) do 5. c := a mod b; 6. a := b; b := c; 7. zwró a jako wynik; 1.10 Zªo»ono± obliczeniowa algorytmu Euklidesa Zªo»ono± obliczeniowa algorytmu to miara pracochªonno±ci tego algorytmu w zale»no±ci od dªugo±ci danych wej±ciowych. Nie wdaj c si tu w dalsz dyskusj 8

9 (zob. uwaga poni»ej), b dziemy zakªada,»e dobr miar pracochªonno±ci algorytmu Euklidesa jest liczba operacji obliczenia reszty, które musimy wykona dla osi gni cia wyniku. Obliczaj c zaledwie kilku przykªadów, ªatwo przekona si,»e dªugo± oblicze«zale»y nie tyle od wielko±ci danych, ile od ich arytmetycznych wªa±ciwo±ci. St d b dziemy pyta nie o dokªadn liczb kroków, a o górne oszacowanie tej liczby w zale»no±ci od wielko±ci danych. Zaªó»my wi c,»e a b > 0. Pytamy o maksymaln liczb dziele«z reszt przy wykonaniu algorytmu dla danych a i b. Wygodniej jednak pytanie odwróci : dla jakich najmniejszych argumentów a i b algorytm zako«czy prac w stym kroku? Niech wi c a i b b d najmniejszymi mo»liwymi liczbami, dla których algorytm Euklidesa wymaga dokªadnie s kroków. Mo»emy zaªo»y,»e a > b 0. Przyjmuj c a 1 = a i a 2 = b, mamy ci g równo±ci a 1 = q 1 a 2 + a 3, 0 < a 3 < a 2, a 2 = q 2 a 3 + a 4, 0 < a 4 < a 3, a s 1 = q s 1 a s + a s+1, 0 < a s+1 < a s, a s = q s a s Liczba a s+1 jest wspólnym dzielnikiem liczb a 1, a 2,... a s. Gdyby a s+1 byªo wi ksze od 1, to dziel c wszystkie powy»sze równania przez t liczb i podstawiaj c a i = a i/a s+1, otrzymaliby±my zapis wykonania algorytmu dla pary liczb (a/a s+1, b/a s+1 ). Byªaby to para argumentów mniejszych od a i b, dla których algorytm wymaga takiej samej liczby kroków. Dalej zauwa»my,»e z nierówno±ci dla liczb a i wynika,»e wszystkie ilorazy cz ±ciowe q i s dodatnie. Šatwo teraz wida,»e a 1 i a 2 przyjm najmniejsz warto±, je±li q 1 = q 2 = = q s = 1. Wówczas a s = a s+1 = 1 i a k 1 = a k + a k+1 dla k = 2, 3,..., s. Wygodniej ponumerowa ci g od ko«ca, przyjmuj c b i = a s+2 i, i = 1, 2,..., s + 1. Ze wzorów dla a i wynika,»e ci g b 1, b 2,..., b s+1 dany jest wzorem rekurencyjnym b 1 = b 2 = 1, b i+2 = b i+1 + b i dla i = 1, 2,..., s 1. Jest to ci g Fibonacciego, o którym b dziemy mówi dokªadniej w??. Mo»na pokaza,»e ( b i ) i 5, 5 2 a st d po uwzgl dnieniu,»e b s = a 2 = b, mamy s 1/2 log 5 + log b, log γ gdzie γ = , a za podstaw logarytmów mo»na przyj dowoln ustalon liczb. Zauwa»my,»e log 2 b jest w przybli»eniu równy ilo±ci cyfr liczby b w zapisie 9

10 dwójkowym, a wi c jest dobr miar dªugo±ci danej b. Powy»sze rozwa»ania mo»emy podsumowa w postaci nast puj cego twierdzenia. Twierdzenie. Istnieje staªa dodatnia C taka,»e dla dowolnych danych a > b > 0 algorytm Euklidesa wymaga nie wi cej ni» C log 2 b dziele«z reszt. Uwaga. W teorii zªo»ono±ci miar pracochªonno±ci algorytmu jest liczba tzw. operacji binarnych pewnej abstrakcyjnej maszyny modeluj cej prac komputera. Sensowno± takiej miary ªatwo zrozumie, je±li spróbujemy zaimplementowa algorytm Euklidesa dla naprawd du»ych argumentów: tak du»ych,»e nie da si ich zapisa jako warto±ci pojedynczych zmiennych typu integer w standardowych j zykach programowania. (Obliczenia NWD dla tak du»ych argumentów nie s niczym nadzwyczajnym: spotykamy je na przykªad w kryptograi i zapewne wielokrotnie zlecaªe± wykonanie takich rachunków swojemu komputerowi przy okazji otwierania stron internetowych za pomoc tzw. bezpiecznego protokoªu internetowego https). Aby reprezentowa pojedyncz du» dan w komputerze, musimy u»y caªego ci gu zmiennych. Wykonanie pojedynczej operacji arytmetycznej np. dodawania du»ych liczb nale»y wówczas zaimplementowa jako ci g operacji wykonywanych na standardowych zmiennych i liczba tych operacji b dzie zale»aªa od liczby zmiennych u»ytych do zapisu danych. Szacuj c wi c zªo»ono± algorytmu Euklidesa, nie wystarczy jedynie oszacowa liczb dziele«, ale trzeba jeszcze uwzgl dni rozmiar argumentów, na których operacji tych dokonujemy. Okazuje si,»e ilo± operacji binarnych potrzebnych do wykonania algorytmu Euklidesa na danych a i b mo»na oszacowa za pomoc wyra»enia zale»nego wielomianowo od warto±ci log 2 a i log 2 b. St d mówi si,»e algorytm Euklidesa jest algorytmem wielomianowym Rozszerzony algorytm Euklidesa Twierdzenie. Dla ka»dej pary liczb caªkowitych (a, b) (0, 0) istniej liczby caªkowite α i β takie»e NWD(a, b) = αa + βb. Dowód. Zaªó»my,»e a b 0 i zapiszmy rachunki, jakie wykonujemy, obliczaj c NWD(a, b) za pomoc algorytmu Euklidesa. Mamy a 1 = a, a 2 = b oraz a 1 = q 1 a 2 + a 3, (R 1 ) a 2 = q 2 a 3 + a 4, (R 2 ) a i = q i a i+1 + a i+2, (R i ) a s 2 = q s 2 a s 1 + a s, (R s 2 ) a s 1 = q s 1 a s + a s+1, (R s 1 ) a s = q s a s (R s ) Wówczas NWD(a, b) = a s+1 i warto± t mo»emy wyrazi jako caªkowitoliczbow kombinacj liniow liczb a s 1 oraz a s, korzystaj c z równo±ci (R s ): NWD(a, b) = 1 a s 1 + ( q s 1 ) a s. Poniewa» chwilowo nie b dzie nas interesowa warto± liczbowa wspóªczynników stoj cych przy a s 1 i a s, przepiszemy to w postaci NWD(a, b) = α s 1 a s 1 + β s 1 a s. 10

11 Korzystaj c z (R s 2 ), mamy a s = 1 a s 2 + +( q s 2 ) a s 1. Podstawiaj c obliczon warto± a s do poprzedniego wzoru dla NWD(a, b), otrzymujemy przedstawienie liczby NWD(a, b) w postaci kombinacji liniowej liczb a s 2 i a s 1 : NWD(a, b) = α s 2 a s 2 + β s 2 a s 1. Wykorzystuj c równo±ci o coraz ni»szych numerach i wykonuj c podobne przeksztaªcenia, otrzymamy wreszcie» dane przedstawienie liczby NWD(a, b). Algorytm Euklidesa wzbogacony o znalezienie wspóªczynników α i β nazywa si rozszerzonym algorytmem Euklidesa. Przykªad. Obliczy NWD(49, 18) i przedstawi wynik w postaci kombinacji caªkowitoliczbowej argumentów. Rozwi zanie. Rozpoczynamy od ci gu dziele«z reszt. 49 = = = = = = Ostatni niezerow reszt jest liczba 1, wi c poszukiwany najwi kszy wspólny dzielnik jest równy 1. Aby przedstawi 1 w postaci α 49 + β 18, zacznijmy od wyznaczenia z poprzednich równo±ci kolejnych reszt jako kombinacji dwóch poprzednich reszt. Dla odró»nienia reszt od wspóªczynników, reszty zostaªy podkre±lone. 13 = ( 2) 18 5 = ( 1) 13 3 = ( 2) 5 2 = ( 1) 3 1 = ( 1) 2 Rozpoczynamy teraz od ostatniej równo±ci i podstawiamy do niej po kolei otrzymane wyra»enia dla reszt, pami taj c przy tym,»e interesuje nas nie warto± 11

12 liczbowa, a wspóªczynniki: 1 = ( 1) 2 = = ( 1) [1 5 + ( 1) 3] = = ( 1) = = ( 1) [ ( 2) 5] = = ( 5) 5 = = ( 5) [ ( 1) 13] = = ( 5) = = ( 5) [ ( 2) 18] = = ( 19) 18. Uwaga. Dla ka»dego k caªkowitego mamy (α kb)a + (β + ka)b = αa + βb, a wi c liczby α i β, których istnienie wynika z twierdzenia, nie s wyznaczone jednoznacznie. Powy»sza równo± pokazuje,»e je±li b 0, to α mo»na wybra tak by byªo reszt z dzielenia przez b. Analogicznie, gdy a 0, to β mo»na wybra tak, aby byªo reszt z dzielenia przez a. Na ogól jednak nie mo»na zapewni obu warunków równocze±nie Opisana powy»ej metoda przedstawienia NWD(a, b) w postaci kombinacji liniowej liczb a i b, jakkolwiek dobrze pokazuje, sk d bior si wspóªczynniki α i β, to jest przy rachunkach r cznych do±»mudna. Je±li próbujemy zaimplementowa j, dochodz dodatkowe trudno±ci zwi zane z konieczno±ci pami tania a» do ko«ca rachunków wszystkich wyników po±rednich. Okazuje si,»e mo»na poprzednie rachunki przeorganizowa tak, aby wykona je w miejscu, bez potrzeby rezerwowania du»ej liczby zmiennych pomocniczych. Zaªó»my jak uprzednio,»e a b > 0 i oznaczmy a 1 = a, a 2 = b. Dla obliczenia NWD(a, b) algorytm Euklidesa ka»e nam oblicza kolejne reszty z dzielenia. Poszukiwana liczba jest ostatni niezerow reszt i wiemy z twierdzenia 1.11,»e daje si przedstawi w postaci kombinacji liniowej a i b. Mo»emy wi c spróbowa przedstawi wszystkie reszty jako kombinacje liniowe a i b. W tym celu zaczynamy od dwóch trywialnych równo±ci a 1 = 1 a + 0 b a 2 = 0 a + 1 b. Nast pn liczb w rachunkach jest a 3 = a 1 q 1 a 2, gdzie q 1 jest ilorazem cz - ±ciowym liczb a 1 i a 2. Istota pomysªu sprowadza si do tego, aby rachunek taki wykona nie tylko na liczbach, ale na caªych kombinacjach liniowych: przedstawienie a 3 w postaci kombinacji liniowej a i b mo»na otrzyma, odejmuj c od pierwszej równo±ci drug pomno»on przez q 1. Post powanie to mo»na iterowa : maj c przedstawienia dwóch kolejnych reszt a i 1 = α i 1 a + β i 1 b a i = α i a + β i b, 12

13 mo»emy otrzyma przedstawienie dla a i+1, odejmuj c od pierwszej równo±ci drug pomno»on przez reszt q i 1 z dzielenia a i 1 przez a i. Obliczenia r czne wygodnie zapisywa w nast puj cej tabelce. Ka»dy wiersz tabelki zawiera dane dotycz ce jednej reszty, czyli sam reszt a i oraz wspóªczynniki α i i β i. Wygodnie jest doda czwart kolumn, w której zapiszemy iloraz cz ±ciowy bie» cej reszty przez poprzedni. Pierwsze trzy kolumny (i + 1)szego wiersza powstaj przez odj cie od i 1szego wiersza itego wiersza przemno»onego przez iloraz. Przykªad. Oblicz NWD(206, 174) i przedstaw wynik jako kombinacj danych liczb. Rozwi zanie. Zaczynamy od dwóch pierwszych wierszy tabeli a α β Iloraz cz ±ciowy 206 przez 174 jest równy 1. Mo»emy zapisa go w dodatkowej kolumnie drugiego wiersza i obliczy trzeci wiersz jako ró»nice pierwszego i drugiego (pomno»onego przez iloraz). Post pujemy tak, a» do uzyskania w pierwszej kolumnie zera. Przedostatni wiersz daje rozwi zanie a α β q NWD(206, 174) = 2 = ( 38) Liczby wzgl dnie pierwsze Denicja. Mówimy,»e liczby a i b s wzgl dnie pierwsze wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(a, b) = 1. Stwierdzenie. Liczby a i b s wzgl dnie pierwsze wtedy i tylko wtedy, gdy istniej liczby α i β takie,»e αa + βb = 1. Dowód. Je±li NWD(a, b) = 1, to istnienie odpowiednich α i β wynika z twierdzenia Na odwrót zaªó»my,»e αa + βb = 1 i niech d = NWD(a, b). Wówczas d a i d b, wi c d αa + βb = 1. Ale jedynym dodatnim dzielnikiem jedynki jest liczba 1. St d d = 1, czyli a i b s wzgl dnie pierwsze. Prost ale bardzo wa»n ze wzgl du na zastosowania wªasno± liczb wzgl dnie pierwszych streszcza nast puj cy lemat. Lemat. Je»eli c ab i NWD(a, c) = 1, to c b. 13

14 Dowód. Na podstawie twierdzenia 1.11 i zaªo»enia o a i c wiemy,»e istniej liczby α i β, dla których α a + β c = 1. Mno» c t równo± stronami przez b, otrzymujemy α (ab) + (βb)c = b. Oba skªadniki po lewej stronie s podzielne przez c: pierwszy z zaªo»enia, drugi ze wzgl du na swoj posta. A wi c caªa suma jest podzielna przez c, czyli c b. 2 Liczby pierwsze 2.1 Denicja. Liczb pierwsz nazywamy liczb naturaln, która ma dokªadnie dwa dzielniki pierwsze. Powy»sza denicja mimo swej prostoty i zwi zªo±ci kryje pewne puªapki dla osób nieprzywi zuj cych wagi do precyzyjnego wysªawiania si. Zauwa»my,»e liczba 1 zgodnie z t denicj nie jest liczb pierwsz, gdy» ma tylko jeden dzielnik naturalny. Liczby naturalne wi ksze od 1, które nie s liczbami pierwszymi nazywa si liczbami zªo»onymi. Twierdzenie. Ka»da liczba naturalna n > 1 jest podzielna przez pewn liczb pierwsz. Dowód. Zastosujemy indukcj wzgl dem n. Je±li n = 2, to jest liczb pierwsz. Poniewa» ka»da liczba dzieli sam siebie, to twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich liczb pierwszych, a w szczególno±ci dla n = 2. Niech teraz n 0 b dzie pewn liczb naturaln wi ksz od 2 i zaªó»my,»e twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich liczb n speªniaj cych nierówno±ci 1 < n < n 0. Je»eli liczba n 0 jest pierwsza, to nasze twierdzenie jest prawdziwe dla n 0. W przeciwnym razie n 0 musi mie dzielnik naturalny d ró»ny od 1 i od n 0. Wówczas zachodzi nierówno± 1 < d < n 0, a wi c na mocy zaªo»enia istnieje liczba pierwsza p dziel ca d. Z przechodnio±ci relacji podzielno±ci liczba p jest te» dzielnikiem n Sito Eratostenesa Twierdzenie 2.1 stanowi podstaw prostego algorytmu znajdowania wszystkich liczb pierwszych nieprzekraczaj cych danej liczby n. Algorytm 2.1: Sito Eratostenesa DANE: Liczba n 2. WYNIK: Lista wszystkich liczb pierwszych p n. 14

15 1. Sporz d¹ list wszystkich liczb od 2 do n. 2. Je±li na li±cie brak niewykre±lonych liczb, zatrzymaj si. 3. Pierwsza niewykre±lona na li±cie liczba p jest liczb pierwsz. 4. Doª cz liczb p do listy wynikowej. 5. Wykre±l z listy co p-t liczb, poczynaj c od p. 6. Wró do punktu 2. Punkt 5. algorytmu cz sto formuªuje si troch inaczej: wykre±l wszystkie wielokrotno±ci p. Zauwa»my,»e tak postawione zadanie wymaga rozpoznania, które liczby s wielokrotno±ciami p. Jest to zadanie do± pracochªonne. W rzeczywisto±ci jednak wystarcza prosta arytmetyka na adresach. Uzasadnimy poprawno± tego algorytmu. Po pierwsze zauwa»my,»e algorytm zawsze zatrzyma si, gdy» pomi dzy dwoma kolejnymi sprawdzeniami w punkcie 2. z listy zostaje usuni ta co najmniej jedna liczba. Poniewa» na pocz tku na li±cie jest n 1 liczb, wi c po co najwy»ej n 1 przebiegach algorytm zatrzyma si. Musimy jeszcze uzasadni,»e na li±cie wynikowej znajd si tylko liczby pierwsze i»e ka»da liczba pierwsza z zadanego przedziaªu znajdzie si na li±cie, co pozostawiam jako wiczenie. 2.3 Sito Eratostenesa pozwala nam (przynajmniej w teorii) znajdowa wszystkie liczby pierwsze le» ce w z góry zadanym przedziale, ale nie daje informacji, czy liczb pierwszych jest sko«czenie czy niesko«czenie wiele. Twierdzenie. Liczb pierwszych jest niesko«czenie wiele. W historii matematyki podano wiele dowodów tego twierdzenia opartych na najró»niejszych pomysªach. Tutaj przytoczymy najstarszy dowód pochodz cy od Euklidesa (kilka ró»nych dowodów mo»na znale¹ w wartej polecenia ksi»ce P. Ribenboima Maªa ksi ga wielkich liczb pierwszych). Dowód. Zaªó»my przeciwnie,»e liczb pierwszych jest sko«czenie wiele i niech p 1, p 2,..., p s b d wszystkimi liczbami pierwszymi. Utwórzmy liczb N = p 1 p 2 p s + 1. Na podstawie twierdzenia 2.1 liczba ta jest podzielna przez pewn liczb pierwsz, ale z zaªo»enia nasza lista zawiera wszystkie liczby pierwsze, st d istnieje numer i, 1 i s, taki»e p i N. Oczywi±cie p i dzieli te» iloczyn p 1 p 2 p s, wi c p i dziel ró»nic N p 1 p 2 p s = 1. Otrzymana sprzeczno± dowodzi faªszywo±ci naszego zaªo»enia. 2.4 Zasadnicze twierdzenie arytmetyki Twierdzenie. Ka»d liczb caªkowit z 0 mo»na przedstawi w postaci z = ε p 1 p 2 p s, (3) gdzie ε = ±1 jest znakiem liczby, s jest pewn liczb naturaln, a p 1, p 2,...,p s pewnymi liczbami pierwszymi. Ka»de dwa takie przedstawienia ró»ni si co najwy»ej kolejno±ci czynników. Podkre±lmy,»e twierdzenie zawiera dwie równie wa»ne tezy: istnienie rozkªadu i jego odpowiednio rozumian jednoznaczno±. 15

16 Dowód. Istnienie: Indukcj wzgl dem z poka»emy,»e ka»da liczba naturalna z jest iloczynem pewnej ilo±ci liczb pierwszych. Je±li z = 1, to wystarczy przyj s = 0, Zaªó»my wi c,»e z > 1 i»e ka»da liczba naturalna n, 1 < n < z, jest iloczynem pewnej ilo±ci liczb pierwszych. Z twierdzenia 2.1 wiemy,»e z jest podzielne przez pewn liczb pierwsz p. Je±li z = p, to mamy» dane przedstawienie z s = 1. W przeciwnym wypadku liczba z/p jest liczb naturaln speªniaj c nierówno± 1 < z/p < z, a wi c z zaªo»enia indukcyjnego ma ona przedstawienie postaci z/p = p 1 p 2... p s. Wówczas z = p 1 p 2... p s p s+1, gdzie p s+1 = p. Jednoznaczno± : Zanim przejdziemy do dowodu jednoznaczno±ci rozkªadu, udowodnimy nast puj cy fakt pomocniczy: je±li liczba pierwsza p dzieli iloczyn liczb pierwszych q 1, q 2,...,q t, to p = q i dla pewnego i = 1, 2,..., t. Ten fakt mo»na ªatwo udowodni indukcj wzgl dem t. Je±li t = 1, to zaªo»enie mówi nam,»e liczba p jest dzielnikiem liczby pierwszej q 1, a wi c p = q 1. Zaªó»my wi c indukcyjnie,»e fakt jest prawdziwy dla liczby t i niech p dzieli iloczyn liczb pierwszych q 1, q 2,...,q t+1. Je±li p = q t+1, to nie ma czego dowodzi. W przeciwnym wypadku z pierwszo±ci liczb p i q t+1 wynika,»e NWD(p, q t+1 ) = 1. Lemat 2.1 implikuje wówczas p q 1 q 2 q t i» dany fakt wynika z zaªo»enia indukcyjnego. Mo»emy teraz wróci do dowodu jednoznaczno±ci. Na pocz tek zauwa»my,»e czynnik ε jest wyznaczony jednoznacznie jako znak liczby, wi c mo»emy ograniczy si do liczb naturalnych. Musimy pokaza,»e je±li p 1 p 2 p s = q 1 q 2 q t (4) dla pewnych naturalnych s i t oraz liczb pierwszych p 1, p 2,..., p s, q 1, q 2,..., q t, to s = t i z dokªadno±ci do porz dku liczby p 1, p 2,..., p s s równe liczbom q 1, q 2,..., q s. Mo»na to zrobi indukcj wzgl dem s. Je»eli s = 0, to iloczyn po lewej stronie równy jest 1. Gdyby zachodziªo t > 0, to iloczyn po prawej stronie byªby wi kszy od 1, co przeczyªoby równo±ci. St d s = t = 0. Zaªó»my wi c indukcyjnie,»e dla pewnego s zachodzi nast puj ca wªasno± : dla ka»dego t naturalnego i dla wszystkich liczb pierwszych p 1,...,p s, q 1,... q t, je±li p 1 p 2 p s = q 1 q 2 q t, to s = t i liczby p 1,...,p s s z dokªadno±ci do porz dku równe liczbom q 1,... q t. Niech p 1 p 2 p s p s+1 = q 1 q 2 q t. Wówczas p s+1 dzieli iloczyn po prawej stronie równo±ci i z udowodnionego faktu wynika,»e p s+1 = q i dla pewnego i. Obie strony równo±ci mo»emy teraz podzieli przez wspólny czynnik, otrzymuj c tak sytuacj, jak w zaªo»eniu indukcyjnym. 2.5 Zasadnicze twierdzenie arytmetyki stanowi podstaw poprawno±ci szkolnego algorytmu znajdowania najwi kszego wspólnego dzielnika. Sprowadza si on do tego, aby maj c dane liczby naturalne a i b, rozªo»y je najpierw na czynniki pierwsze a = p 1 p 2 p s, b = q 1 q 2 q t, a nast pnie obliczy NWD(a, b) jako iloczyn wspólnych czynników. Na pierwszy rzut oka mo»e on wyda si prostszy od algorytmu Euklidesa, ale tak nie jest. W ogólnym przypadku rozkªad liczby na czynniki pierwsze jest bowiem zagadnieniem znacznie 16

17 trudniejszym ni» obliczenie NWD za pomoc algorytmu Euklidesa. We¹my na przykªad a = 3127 i b = Prosz spróbowa obliczy NWD(a, b) za pomoc algorytmu szkolnego, nie zagl daj c do dalszej cz ±ci tekstu. Natomiast u»ycie algorytmu Euklidesa wymaga zaledwie czterech dziele«z reszt, daj c wynik NWD(a, b) = Wiemy ju»,»e liczby pierwsze tworz niesko«czony ci g p 1 = 2, p 2 = 3, p 3 = 5, p 4 = 7, p 5 = 11, p 6 = 13, p 7 = 17,.... Przyjrzyjmy si rozkªadowi tych liczb w ci gu wszystkich liczb naturalnych. Para p 1 = 2, p 2 = 3 jest jak ªatwo pokaza jedyn par liczb pierwszych, które ró»ni si o jeden. Wi cej jest par liczb pierwszych ró»ni cych si o dwa. Liczby takie nazywa si liczbami pierwszymi bli¹niaczymi. Matematycy znaj wiele przykªadów takich par, w tym przykªady bardzo du»ych liczb pierwszych bli¹niaczych (cho co mo»e wyda si pewnym zaskoczeniem do tej pory nie wiadomo, czy par takich jest sko«czenie, czy niesko«czenie wiele). Z drugiej strony mo»na ªatwo pokaza,»e dziury mi dzy dwoma kolejnymi liczbami pierwszymi mog by dowolnie du»e: dla dowolnej liczby naturalnej n 1 liczby (n + 1)! + 2, (n + 1)! + 3, (n + 1)! + 4,..., (n + 1)! + (n + 1) s ci giem n kolejnych liczb naturalnych, w±ród których nie ma liczby pierwszej (dlaczego?). Na pierwszy rzut oka wydaje si wi c,»e liczby pierwsze rozrzucone s w ci gu liczb naturalnych w sposób do± kapry±ny. Sytuacja ulega jednak zmianie, je±li przypatrze si dostatecznie du»ym przedziaªom liczb naturalnych. Fakt ten jako pierwszy zaobserwowaª na podstawie r cznych rachunków Carl Friedrich Gauss w roku Dla dowolnej liczby rzeczywistej x oznaczmy przez π(x) ilo± liczb pierwszych p nie wi kszych od x. Twierdzenie o g sto±ci liczb pierwszych (ang. Prime Number Theorem): lim x π(x) x/ ln(x) = 1. Twierdzenie to zostaªo udowodnione dopiero w roku Dowód znalazªo niezale»nie od siebie dwóch matematyków: Francuz Jacques Hadamard i Belg Charles de la Vallée Poussin. Ich prace s ukoronowaniem analitycznej teorii liczb w XIX w. (Analityczna teoria liczb bada liczby naturalne za pomoc metod analizy zespolonej). Okoªo roku 1948 tak zwany elementarny dowód twierdzenia zostaª znaleziony znowu niezale»nie przez Norwega Atle Selberga i W gra Paula Erd sa. Nale»y przy tym podkre±li,»e sªowo elementarny w tym kontek±cie nie oznacza ªatwy lecz niekorzystaj cy z teorii liczb zespolonych. Twierdzenie o g sto±ci mo»na interpretowa nast puj co: dla dostatecznie x du»ych x funkcja ln(x) jest dobrym przybli»eniem funkcji π(x). Daje to mo»- liwo± szybkiego oszacowania ilo±ci liczb pierwszych zawartych w dostatecznie dªugich odcinkach prostej rzeczywistej. 17

18 x x π(x) ln(x) Kongruencje 3.1 Niech m b dzie dodatni liczb caªkowit. Denicja. Powiemy,»e liczba a przystaje do liczby b modulo m wtedy i tylko wtedy, gdy m (a b). W skrócie b dziemy pisa a b (mod m). Przy ustalonym m przystawanie modulo m jest wi c pewn relacj na zbiorze liczb caªkowitych. Relacj t nazywa si te» kongruencj. Uwaga. Nie nale»y myli wprowadzonego w 1.2 symbolu a mod m na oznaczenie reszty z symbolem zdeniowanej wy»ej relacji a b (mod m). S to dwie ró»ne rzeczy, cho ±ci±le ze sob zwi zane (zobacz pkt 7. poni»szego stwierdzenia). Podstawowe wªasno±ci kongruencji zebrali±my w postaci stwierdzenia. Stwierdzenie. Dla dodatnich m i n oraz dowolnych a, b, c i d mamy: 1. a a (mod m); 2. je±li a b (mod m), to b a (mod m); 3. je±li a b (mod m) i b c (mod m), to a c (mod m); 4. je±li a b (mod m), to a + c b + c (mod m) oraz ac bc (mod m); 5. je±li a b (mod m) i c d (mod m), to je±li a + c b + d (mod m) oraz ac bd (mod m); 6. je±li a b (mod m), to an bn (mod mn); 7. a b (mod m) wtedy i tylko wtedy, gdy a mod m = b mod m. Wªasno±ci mówi,»e kongruencja przy ustalonym module jest relacj równowa»no±ci. Wªasno±ci mo»na podsumowa jako pewnego rodzaju zgodno±ci tej relacji z dziaªaniami arytmetycznymi. Zauwa»my,»e wszystkie wªasno±ci 1.5. przysªuguj te» równo±ci. Mo»emy wi c kongruencj rozpatrywa jako pewnego rodzaju uogólnienie równo±ci. 3.2 Osobne miejsce zajmuje dzielenie kongruencji przez wspólny czynnik. 18

19 Stwierdzenie. (a) Je±li ad bd (mod md) i d > 0, to a b (mod m). (b) Je±li ad bd (mod m) i NWD(m, d) = 1, to a b (mod m). Dowód. Cz ± (b) wynika z lematu Cechy podzielno±ci Jako przykªady zastosowania kongruencji podamy tzw. cechy podzielno±ci, czyli twierdzenia, które upraszczaj rozstrzyganie, czy dana, najcz ±ciej du»a liczba zapisana w systemie dziesi tnym dzieli si przez m (lub w szerszym sensie, uªatwiaj znalezienie reszty z dzielenia takiej liczby przez m). Ograniczymy si przy tym do kilku prototypowych przykªadów. Cecha podzielno±ci przez 2: s a i 10 i a 0 (mod 2), (5) i=0 lub sªownie: reszta z dzielenia liczby przez 2 jest taka sama jak reszta jej cyfry jedno±ci. Dowód. Mamy oczywi±cie 10 0 (mod 2). Mno» c przez siebie odpowiedni liczb razy t kongruencj, otrzymujemy 10 i 0 (mod 2) dla i 1. Po przemno»eniu i-tej kongruencji przez a i i dodaniu stronami, otrzymujemy s i=1 a i 10 i 0 (mod 2). Dodanie do obu stron kongruencji a 0 ko«czy dowód. Cecha podzielno±ci przez 3 i przez 9: Je±li m = 3 lub m = 9, to s a i 10 i i=0 s a i (mod m). (6) i=0 Dowód. Je±li m = 3 lub 9, to mamy 10 1 (mod m). Przemna»aj c t kongruencj stronami, otrzymujemy 10 i 1 (mod m) dla i 1. Ale analogiczna kongruencja zachodzi te» dla i = 0. Wymna»aj c i-t kongruencj przez cyfr a i i dodaj c wszystkie kongruencje, otrzymujemy (6). Cecha podzielno±ci przez 11: s s a i 10 i ( 1) i a i (mod 11). (7) i=0 i=0 Dowód. Dowód jest podobny do poprzedniego, z tym»e za punkt wyj±cia bierzemy kongruencj 10 1 (mod 11). Cecha podzielno±ci przez 7: (... a 5, a 4, a 3, a 2, a 1, a 0 ) 10 (a 2, a 1, a 0 ) 10 (a 5, a 4, a 3 ) 10 + (a 8, a 7, a 6 ) (mod 7). (8) 19

20 Dowód. Dowód wynika z kongruencji (mod 7). 3.4 Arytmetyczne sumy kontrolne Rozpowszechnienie technik komputerowych w ró»nych dziedzinach»ycia (gospodarka, administracja, ochrona zdrowia itd.) nasiliªo tendencj do identykowania najró»niejszych obiektów za pomoc pewnych z góry przydzielonych im kluczynumerów. Wystarczy wspomnie takie numery jak PESEL, NIP, REGON, numer dowodu rejestracyjnego pojazdu czy dowodu osobistego, numery rachunków bankowych i kart kredytowych. Numery te s cz sto przetwarzane przy udziale czªowieka lub takich urz dze«jak czytniki kodów kreskowych i skanery pisma. Z tej racji nara»one s na ró»nego rodzaju bª dy. Skutkom takich bª dów zapobiega pewien prosty, ale jak zobaczymy do± skuteczny mechanizm kontrolny: dopuszczalnym identykatorem mo»e by jedynie numer speªniaj cy pewien prosty do sprawdzenia warunek. Warunek ten nale»y dobra tak, aby cz sto pojawiaj ce si bª dy powodowaªy jego zakªócenie, co umo»liwia wykrycie bª du. Zacznijmy od kilku przykªadów Przykªad 1. EAN (European Article Number) jest numerem identykuj cy towary sprzedawane w supermarkietach. Skªada si z 13 cyfr, które oznaczymy przez (a 1, a 2,..., a 13 ). Cyfry te s drukowane za pomoc kodu kreskowego na opakowaniach jednostkowych. Pierwszych dwana±cie cyfr koduje m.in. kraj producenta, producenta towaru oraz towar. Ostatnia cyfra jest dobierana tak, aby 1 a a a a a a 13 0 (mod 10). Zauwa»my,»e nie ma dwóch ró»nych numerów EAN, które ró»ni si na dokªadnie jednym miejscu. Aby to zobaczy, zaªó»my»e (a 1, a 2,..., a i,..., a 13 ) oraz (a 1, a 2,..., a i,..., a 13) s dwoma dopuszczalnymi numerami EAN. Wóczas zachodz nast puj ce kongruencje: a 1 + 3a w i a i + + a 13 0 (mod 10) a 1 + 3a w i a i + + a 13 0 (mod 10), gdzie w 1 jest równe 1 lub 3 w zale»no±ci od parzysto±ci liczby i. Odejmuj c kongruencje stronami, otrzymujemy w i (a i a i) 0 (mod 10). Poniewa» w i jest wzgl dnie pierwsze z moduªem 10, mo»emy kongruencj stronami podzieli przez w i, co daje a i a i 0 (mod 10). Ale a i oraz a i s cyframi, wi c ich ró»nica zawiera si pomi dzy 9 i 9. Jedyn liczb podzieln przez 10 w tym przedziale jest liczba 0, co oznacza,»e a i = a i i rozpatrywane numery s identyczne. Udowodniona wªasno± gwarantuje nam,»e je±li przy przetwarzaniu numeru EAN pomylimy si na jednej pozycji, to 20