TEORIA LICZB. Niech a i b EGOLF]EDPLFDáNRZLW\PLa, b =).

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "TEORIA LICZB. Niech a i b EGOLF]EDPLFDáNRZLW\PLa, b =)."

Transkrypt

1 TEORIA LICZB Niech a i b EGOLF]EDPLFDáNRZLW\PLa, b =). 0yZL VL *H a dzieli b (a jest dzielnikiem b, a jest czynnikiem b), MH*HOL LVWQLHMH WDND OLF]ED FDáNRZLWD c *H b = ac FR R]QDF]D VL symbolem a b. Dla wszystkich a, b, c = zachodzi: a a a b b c a c a b a c x, y = : a (bx + cy) a b b a a = ± b -H*HOLa, b =, a ponadto b 1, to zwyczajne dzielenie a przez b, oznaczane jako a / b, daje w rezultacie iloraz q oraz UHV]WUWDNLH*H a = qb + r, gdzie 0 r < b, SRQDGWR]Dq i rvz\]qdf]rqhmhgqr]qdf]qlh :SURZDG]DVLR]QDF]HQLDr = a mod b oraz q = a div b. a, b = b 0 a div b = a / b a mod b = a - b a / b a, b, c = c a c b c jest wspólnym dzielnikiem a i b 1DMZLNV]\PZVSyOQ\PG]LHOQLNLHPJUHDWHVWFRPPRQGLYLVRUliczb FDáNRZLW\FKa i bmhvwqlhxmhpqdolf]edfdánrzlwdd = gcd(a, b) taka, *H d jest wspólnym dzielnikiem a i b c a c b c d SU]\MPXMHVL*Hgcd(0, 0) = 0 ).

2 1DMPQLHMV]ZVSyOQZLHORNURWQRFLOHDVWFRPPRQPXOWLSOHliczb FDáNRZLW\FKa i bmhvwqlhxmhpqdolf]edfdánrzlwdd = lcm(a, b) taka, *H a d b d a c b c d c a > 0 b > 0 lcm(a, b) = ab / gcd(a, b) gcd(a, b) = 1 a i bv Z]JOGQLH SLHUZV]H UHODWLYHO\ prime, coprime) -H*HOL MHG\Q\PL GRGDWQLPL G]LHOQLNDPL OLF]E\ FDáNRZLWHM p 2 V liczby 1 i p, to liczba p jest OLF]E SLHUZV] SULPH QXPEHU. W przeciwnym przypadku liczba p jest OLF]E ]ár*rq FRPSRVLWH number). p MHVWOLF]ESLHUZV] p ab p a p b Twierdzenie o liczbach pierwszych: Niech π ( x ) R]QDF]DOLF]EOLF]ESLHUZV]\FK x. Wtedy prawdziwa π MHVW]DOH*QRü lim ( x ) = 1 x x/lnx Dla x 17: x π ( x) > lnx Dla x > 1: x π ( x) < lnx

3 Podstawowe twierdzenie arytmetyki:.d*gd OLF]ED FDáNRZLWD n 2 PR*H E\ü SU]HGVWDZLRQD MDNR LORF]\Q GRGDWQLFKFDáNRZLW\FKSRWJOLF]ESLHUZV]\FK n = p 1 e1 p 2 e2... p k ek, gdzie p i V Uy*Q\PL liczbami pierwszymi. Ponadto takie przedstawienie (faktoryzacja) jest jedyne RSUyF]PR*OLZRFL]PLDQ\ NROHMQRFLF]\QQLNyZ -H*HOLa = p 1 e1 p 2 e2... p k ek i b = p 1 f1 p 2 f2... p k fk, gdzie e i 0 i f i 0, to: gcd (a, b) = p 1 min(e1, f1) p 2 min(e2, f2)... p k min(ek, fk) i lcm (a, b) = p 1 max(e1, f1) p 2 max(e2, f2)... p k max(ek, fk) (funkcja min (x, y) PDZDUWRüUyZQPQLHMV]HM]SDU\OLF]E(x, y)]d funkcja max (x, y) PDZDUWRüUyZQZLNV]HM]SDU\OLF]E(x, y)) 3U]\NáDG Niech a = 4864 = i b = 3458 = Wtedy: p 1 = 2 e 1 = 8 f 1 = 1 p 2 = 7 e 2 = 0 f 2 = 1 p 3 = 13 e 3 = 0 f 3 = 1 p 4 = 19 e 4 = 1 f 4 = 1 gcd(4864, 3458) = = 38 lcm(4864, 3458) = =

4 Funkcja Eulera φ: Dla danej liczby naturalnej n Ν funkcja Eulera φ ( n ) RNUHORQD jest MDNR OLF]ED OLF]E QDWXUDOQ\FK QLH ZLNV]\FK RG n LZ]JOGQLH pierwszych z n. 3U]\NáDG\ φ (1) = 1 (!!!) φ (4) = 2 φ (7) = 6 φ (13) = 12 :ádvqrflixqnfml(xohudφ: -HOLp i qvolf]edplslhuzv]\plwr φ ( p) = p - 1 φ ( p a) = p a - 1 (p - 1), gdzie a Ν. φ ( pq ) = (p - 1)(q - 1) -H*HOLa i bvz]jogqlh pierwsze to φ ( ab) = φ ( a) φ ( b). -H*HOL n = p 1 e1 p 2 e2... p k ek MHVW UR]NáDGHP OLF]E\ n na czynniki pierwsze (IDNWRU\]DFM), to: 'ODOLF]EFDáNRZLW\Fh n 5: φ( n) = n p1 p2 pk n φ( n) > 6 lnln n a i b VOLF]EDPLQDWXUDOQ\PL a > b gcd (a, b) = gcd (b, a mod b)

5 Algorytm Euklidesa do wyznaczania gcd(a, b): =DáR*HQLH a i b VFDáNRZLW\PLOLF]EDPLQLHXMHPQ\PLSRQDGWRa b. Pseudokod algorytmu: while (b 0) do { r : = a mod b; a : = b; b : = r; } return (a) 3U]\NáDG Obliczenie gcd(4864, 3458): krok 1: a = 4864 b = 3458 r = 1406 krok 2: a = 3458 b = 1406 r = 646 krok 3: a = 1406 b = 646 r = 114 krok 4: a = 646 b = 114 r = 76 krok 5: a = 114 b = 76 r = 38 krok 6: a = 76 b = 38 r = 0 (krok 7): a = 38 b = 0 gcd (4864, 3458) = 38 Algorytm Euklidesa w wersji rekurencyjnej: Euclid(a, b) { if (b = 0) then return (a); else return Euclid(b, a mod b); }

6 Rozszerzony algorytm Euklidesa XPR*OLZLD REOLF]DQLH FDáNRZLWR- OLF]ERZ\FKZVSyáF]\QQLNyZx i y, WDNLFK*H d = gcd (a, b) = ax + by. Pseudokod rozszerzonego algorytmu Euklidesa: Ext_Euclid (a, b) { if (b = 0) then return (a, 1, 0); (d, x, y ) : = Ext_Euclid (b, a mod b); (d, x, y) : = (d, y, x - a / b y ); return (d, x, y); } KONGRUENCJE Niech a, b i n EGOLF]EDPLFDáNRZLW\PLa, b, n =) oraz n > 0. Notacja: a b (mod n) R]QDF]D *H a i b SU]\VWDM GR VLHELH ZHGáXJ PRGXáX n V kongruentne modulo n)luyzqrzd*qdmhvwwhpx*hn (a - b). Relacja QRVLQD]Zkongruencji. 3U]\NáDG\ 19 7 (mod 12) 42-9 (mod 17) (mod 4)

7 1LHNWyUHZáDFLZRFLUHODFMLNRQJUXHQFML a b (mod n) a mod n = b mod n a a (mod n) a b (mod n) b a (mod n) a b (mod n) b c (mod n) a c (mod n) a b (mod n) c d (mod n) a ± c b ± d (mod n) a c b d (mod n) a b (mod n) r n a b (mod r) a b (mod n) a b (mod m) gcd(m, n) = 1 a b (mod mn) d a d b d n ( a b (mod n) a / d b / d (mod n / d )) =ELyU ZV]\VWNLFK OLF]E FDáNRZLW\FK NRQJUXHQWQ\FK GR a modulo n QD]\ZDVLNODVUyZQRZD*QRFLOLF]E\D Dla ustalonego n zbiór = MHVW SRG]LHORQ\ SU]H] UHODFM NRQJUXHQFML modulo n na (ro]áf]qhnodv\uyzqrzd*qrfl a = qn + r 0 r < n a r (mod n) Wniosek:.D*GD OLF]ED FDáNRZLWD a jest kongruentna modulo n do unikalnej OLF]E\FDáNRZLWHM]]DNUHVXRG0 do (n - 1), zwanej QDMPQLHMV]UHV]W a modulo n ; a i r QDOH* GR WHM VDPHM NODV\ UyZQRZD*QRFL NWyUD PR*HE\üUHSUH]HQWRZDQDSU]H]WUHV]W Zbiór = n, zwany ]ELRUHPOLF]EFDáNRZLW\FKPRGXORQ, jest zbiorem liczb { 0, 1, 2,..., n-1 }. W zbiorze tym dodawanie, odejmowanie i PQR*HQLHZ\NRQ\ZDQHVPRGXORn. 3U]\NáDG W zbiorze = 21 : = = = 0 /LF]ED FDáNRZLWD x = n jest (multiplikatywnym) elementem odwrotnym GROLF]E\FDáNRZLWHMa = n ax 1 (mod n).

8 Dla elementu odwrotnego do azsurzdg]dvlr]qdf]hqlha -1. -H*HOL LVWQLHMH HOHPHQW RGZURWQ\ WR MHVW RQ XQLNDOQ\ W]QRNUHORQ\ jednoznacznie), a ponadto: a a -1 (mod n) = 1 -H*HOLb = n jest odwracalne, to wynik operacji dzielenia a przez b modulo n MHVWRNUHORQ\SU]H]LORF]\Qa b -1 (mod n). a = n jest odwracalne gcd (a, n) = 1 5R]V]HU]RQ\ DOJRU\WP (XNOLGHVD XPR*OLZLD REOLF]DQLH HOHPHQWX odwrotnego w zbiorze = n. :W\PFHOXZ\VWDUF]\]DXZD*\ü*HMHOLa i b VZ]JOGQLHSLHUZV]H to : d = gcd (a, b) = ax + by = 1 (*) d, x i y V ]ZUDFDQH SU]H] IXQNFM Ext_Euclid Z\ZRáDQ ] parametrami a i b. Równanie (*)MHVWUyZQRZD*QHUyZQDQLX (ax + by) 1 (mod b) (**) DSRQLHZD*y MHVWOLF]EFDáNRZLWZLF (by) 0 (mod b) DVWG ax 1 (mod b) czyli: x a -1 (mod b)

9 Niech d = gcd (a, n). Równanie ax b (mod n) PDUR]ZL]DQLHDx = n d b. SRQDGWRUR]ZL]DW\FKMHVWGRNáDGQLHd]DZV]\VWNLHUR]ZL]DQLD VNRQJUXHQWQHPRGXOR(n / d)) 3U]\NáDG 3x 2 (mod 5) 3. 0 (mod 5) = (mod 5) = (mod 5) = 6 (mod 5) = (mod 5) = 9 (mod 5) = (mod 5) = 12 (mod 5) = 2 d = gcd (3, 5) = MHGQRUR]ZL]DQLH: x = (mod 5) = 2. 2 (mod 5) = 4 3U]\NáDG 3x 5 (mod 6) d = gcd (3, 6) = 3 QLHSUDZGD*H 3 5 EUDNUR]ZL]D 3. 0 (mod 6) = (mod 6) = (mod 6) = 6 (mod 6) = (mod 6) = 9 (mod 6) = (mod 6) = 12 (mod 6) = (mod 6) = 15 (mod 6) = 3 3U]\NáDG 3x 3 (mod 6) d = gcd (3, 6) = WU]\UR]ZL]DQLD: x 1 = 1, x 2 = 3, x 3 = 5 n / d = 2 x 1 x 2 x 3 (mod 2)

10 &KLVNLHWZLHUG]HQLHRUHV]WDFK&KLQHVHUHPDLQGHUWKHRUHP-CRT): -H*HOLOLF]E\FDáNRZLWHn 1, n 2,..., n k VSDUDPLZ]JOGQLHSLHUZV]HWR XNáDGUyZQD x a 1 (mod n 1 ) x a 2 (mod n 2 )... x a k (mod n k ) PDMHGQR]QDF]QHUR]ZL]DQLHZ]ELRU]H= n, gdzie n = n 1 n 2... n k. Algorytm Gaussa jest jednym ze skutecznych algorytmów UR]ZL]\ZDQLDSRZ\*V]HJRXNáDGXUyZQD = k i = 1 x anm i i imod n gdzie: N i = n / n i i M i = N -1 i mod n i ]D]áR*RQRüREOLF]HQLRZD algorytmu: O (( log 2 n) 2 ). 3U]\NáDG x 3 (mod 7) x 7 (mod 13) 5R]ZL]DQLHZJDOJRU\WPX*DXVVD n 1 = 7 n 2 = 13 n = = 91 N 1 = 91 / 7 = 13 N 2 = 91 / 13 = 7 M 1 = 13-1 mod 7 = 6-1 mod 7 = 6 NODVDUyZQRZD*QRFL M 2 = 7-1 mod 13 = 2 x = ( ) mod 91 = ( ) mod 91 = 332 mod 91 = 59 mod 91 = 59

11 :D*Q\ZQLRVHNZ\QLNDMF\]&57 -H*HOLgcd (n 1, n 2 ) = 1, to para kongruencji: x a (mod n 1 ) x a (mod n 2 ) PDMHGQR]QDF]QHUR]ZL]DQLH x a (mod n 1 n 2 ) *UXSPXOWLSOLNDW\ZQ= n jest zbiór: = n = { a = n : gcd (a, n) = 1 }. :V]F]HJyOQRFLJG\n MHVWOLF]ESLHUZV] = n = { a = n : 1 a n - 1 }. 5]GHm = n jest liczba elementów tego zbioru, czyli = n. 3UDZG]LZDMHVW]DOH*QRü_= n = φ ( n ). Twierdzenie Eulera: n 2 a = * n a φ ( n ) 1 (mod n) (n MHVWLORF]\QHPGZyFKUy*Q\FKOLF]ESLHUZV]\FK r s(mod φ(n)) a r a s (mod n) Wniosek: :\NáDGQLNL SRWJ PRJ E\ü Z WDNLP SU]\SDGNX redukowane mod φ(n).

12 Ä0DáH WZLHUG]HQLH)HUPDWD Niech peg]lholf]eslhuzv]zwhg\ a = * p : a p (mod p) :QLRVNL]ÄPDáHJR WZLHUG]HQLD)HUPDWD a p a (mod p) n m (mod p - 1) a n a m (mod p) 3U]\NáDG]DVWRVRZDQLD =QDOH(ü RVWDWQL F\IU OLF]E\ w systemie zapisu liczb FDáNRZLW\FKRSRGVWDZLH7. p = 7 p - 1 = (mod 6) (24 = 16) 2(mod 7) D ]DWHP RVWDWQL F\IU UHSUH]HQWDFML OLczby w systemie zapisu o podstawie 7 jest cyfra 2. àf]qlhredwzlhug]hqldv]qdqhmdnrtwierdzenie Fermata-Eulera, ]DMHGQ]LFKNRQVHNZHQFMLMHVW]DOH*QRü a -1 a φ (n)-1 (mod n) 5]GHPOLF]E\D = * n jest najmniejsza liczba naturalna t = ord(a) WDND*H a t 1 (mod n) :D*QD]DOH*QRü ord(a) φ (n) Wynika ona z implikacji: a s 1 (mod n) ord(a) s

13 3U]\NáDG Niech n = 15. Wtedy =15 = { 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14 }. =15 = φ (15) = φ (3) φ (5) = 2. 4 = 8 a 1 a 2 a 3 a 4 ord(a) U]\NáDG Niech n = 7. Wtedy =7 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }. =7 = φ (7) = 6 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 ord(a) Niech a =n. ord(a) = φ (n) a jest generatorem (generator, primitive element) grupy multiplikatywnej =n =n ma generator =n jestpxowlsolndw\zqjuxsf\nolf]q

14 :ádflzrfljhqhudwruyz= * n : = * n ma generator n = 2, 4, p k lub 2p k, gdzie pmhvwqlhsdu]\vw OLF]ESLHUZV]]Dk 1 p MHVWOLF]ESLHUZV] = * p ma generator a jest generatorem = * n = * n = { a i mod n : 0 i φ (n) - 1} a jest generatorem = * n (b = a i mod n jest generatorem = * n gcd( i, φ (n)) = 1) ]WHJRZ\QLNDWDN*H*HOLF]EDJHQHUDWRUyZ= * n wynosi Φ (Φ (n))) a jest generatorem = * n a φ (n) / p 1 (mod n) GODND*GHMOLF]E\ pierwszej pegfhmg]lhoqlnlhpφ (n) Niech b =n. x = n : x 2 b (mod n) b jest UHV]WNZDGUDWRZPRGXORQ (quadratic residue modulo n), albo inaczej: kwadratem modulo n (square modulo n). -H*HOLWDNLHx nie istnieje b jest QLHUHV]WNZDGUDWRZPRGXORQ Q n Q n - zbiór wszystkich reszt kwadratowych modulo n - zbiór wszystkich niereszt kwadratowych modulo n 3RQLHZD*0 =* n ZLF0 Q n oraz 0 Q n p - nieparzysta liczba pierwsza, a - generator =* p. (b MHVW UHV]W NZDGUDWRZ modulo p b = a i mod p, gdzie i MHVW QLHXMHPQ SDU]\VWOLF]EFDáNRZLW). Z SRZ\*V]HJRZ\QLND Q p = (p - 1) / 2 oraz Q p = (p - 1) / 2

15 3U]\NáDG a = 3 jest generatorem =7. a 0 a 1 a 2 a 3 a 4 a Q p = { 1, 2, 4 } Q p Sprawdzenie: = { 3, 5, 6 } (mod 7) (mod 7) (mod 7) (mod 7) (mod 7) (mod 7) (n = pq) (p i q - liczby pierwsze) (b = NZDGUDWRZ modulo n (b Q p ) (b Q q )) n MHVWUHV]W =SRZ\*V]HJRZ\QLND Q n = Q p. Q q = (p - 1)(q - 1) / 4 oraz Q n = 3 (p - 1)(q - 1) / 4 Niech b Q n. x = n VSHáQLD]DOH*QRüx 2 b (mod n) x jest pierwiastkiem kwadratowym z b modulo n (square root). Liczba pierwiastków kwadratowych: (p MHVWQLHSDU]\VWOLF]ESLHUZV]) (b Q p ) b PDGRNáDGQLH dwa pierwiastki kwadratowe modulo p Niech n = p 1 e1 p 2 e2... p k ek, gdzie p i VUy*Q\PL QLHSDU]\VW\PL OLF]EDPLSLHUZV]\PL]De i 1. Wtedy reszta kwadratowa b Q n PDGRNáDGQLH2 k Uy*Q\FKSLHUZLDVWNyZNZDGUDWRZ\FKmodulo n.

16 3U]\NáDG Q p = { 1, 2, 4 } jest zbiorem reszt kwadratowych dla =* 7 : Pierwiastkami kwadratowymi z 4 modulo 7 VOLF]E\2 i 5. 3U]\NáDG Niech n = p 1 p 2 = 3. 5 = 15. =3 = { 1, 2 }. =3 = φ (3) = 2. a 1 a 2 ord(a) Jedynym generatorem =3 jest liczba Q 3 = { 1 } jest zbiorem reszt kwadratowych dla =* 3. =5 = { 1, 2, 3, 4 }. =5 = φ (5) = 4. a 1 a 2 a 3 a 4 ord(a) Generatorami =5 VOLF]E\2 i Q 5 = { 1, 4 } jest zbiorem reszt kwadratowych dla =* 5.

17 (UWAGA: 1 4 (mod 3) - a zatem jako element tej samej klasy UyZQRZD*QRFL4 Q 3 ) =15 Q 15 = Q 3. Q 5 = 1. 2 = 2 = { 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14 } (mod 15) (mod 15) (mod 15) (mod 15) (mod 15) (mod 15) (mod 15) (mod 15) Q 15 = { 1, 4 } jest zbiorem reszt kwadratowych dla =* 15. Liczba 1 ma cztery pierwiastki kwadratowe modulo 15: 1, 4, 11 i 14. Liczba 4 ma cztery pierwiastki kwadratowe modulo 15: 2, 7, 8 i 13. Niech p EG]LH QLHSDU]\VW OLF]ESLHUZV] ]D a OLF]E FDáNRZLW Symbol Legendre a MHVWRNUHORQ\QDVWSXMFR: 0, gdy pa a = 1, gdy a Q p 1, gdya Q :ádflzrflv\perox/hjhqguh D Niech p EG]LHQLHSDU]\VWOLF]ESLHUZV]]Da, b =. p p :V]F]HJyOQRFL :\QLNDVWG*H 1 = 1 p a p a ( p 1)/ 2 (mod p) 1 p = ( 1) ( )/ p 1 2 p 1 (mod 4) -1 Q p oraz p 3 (mod 4) -1 Q p

18 :\QLNDVWG*H a =p 2 a p ab p a b = p p = 1 a b (mod p) a b = p p 2 p = ( ) ( )/ p :\QLNDVWG*H p 1 (mod 8) p 7 (mod 8) oraz p 3 (mod 8) p 5 (mod 8) 2 = 1 p 2 = 1 p q MHVWQLHSDU]\VWOLF]ESLHUZV]Uy*Q od p :\QLNDVWG*H p 3 (mod 4) q 3 (mod 4) p q = q ( 1) p ( p 1)( q 1)/ 4 p q = q p w przeciwnym przypadku p q = q p

19 Uogólnieniem symbolu Legendre a dla nieparzystych liczb FDáNRZLW\FKnNWyUHQLHPXV]E\üOLF]bami pierwszymi, jest symbol Jacobiego. Niech n 3 EG]LHOLF]EQLHSDU]\VWSRVWDFLn = p 1 e1 p 2 e2... p k ek, gdzie p i VUy*Q\PL liczbami pierwszymi. :DUWRüsymbolu Jacobiego: a n = e1 :ádflzrflv\perox-dfrelhjr Niech m 3 i n 3 EG QLHSDU]\VW\PL OLF]EDPL FDáNRZLW\PL D ponadto a, b =. a n e2 a a a p p... p 1 2 { 1,0, 1 } k ek :V]F]HJyOQRFL a n = 0 JFGDQ ab n a b = n n :\QLNDVWG*H a =n 2 a n = 1 a a a = mn m n a b (mod n) a b n = n

20 1 1 n = :\QLNDVWG*H 1 n = ( 1) ( )/ n 1 n 1 (mod 4) = 1 oraz n 3 (mod 4) n = 1 n :\QLNDVWG*H n 1 (mod 8) n 7 (mod 8) oraz 2 n n = ( ) ( )/ n 3 (mod 8) n 5 (mod 8) m n = n ( 1) m 2 1 n = 2 1 n = ( m 1)( n 1)/ 4 :\QLNDVWG*H n 3 (mod 4) m 3 (mod 4) m n = n m w przeciwnym przypadku m n = n m

21 UWAGA dla symbolu Legendre a: a a Qn n = 1 a dla symbolu Jacobiego: a Qn n = 1 Niech n 3 EG]LHFDáNRZLWOLF]EQLHSDU]\VW 2]QDF]DMF]ELyU a Jn = a n n { = : = 1 } RNUHODVL]ELyUpseudokwadratów (pseudosquares) modulo n: ~ Q n = J n - Q n ~ (n = pq) (p i q - liczby pierwsze) Q n = Q n = (p-1)(q-1)/4 Wniosek: 3RáRZD HOHPHQWyZ ]ELRUX J n WR UHV]W\ NZDGUDWRZH ]D GUXJDSRáRZD- pseudokwadraty. 3U]\NáDG 5R]ZD*P\SRQRZQLHJUXSPXOWLSOLNDW\ZQ=15. a = a 2 mod n a a a Q 15 = { 1, 4 } J 15 = { 1, 2, 4, 8 }

22 /LF]E%OXPDjest liczba postaci n = pq, gdzie p i q VUy*Q\PL liczbami pierwszymi, a ponadto: p 3 (mod 4) i q 3 (mod 4). (n = pq - liczba Bluma) (a Q n ) a ma GRNáDGQLH 4 pierwiastki kwadratowe modulo ndsrqdgwrgrnádgqlhmhghq]qlfkqdoh*\gr Q n i MHVWRQRNUHODQ\MDNRJáyZQ\SLHUZLDVWHNNZDGUDWRZ\z a modulo n (principal square root of a modulo n). 3U]\NáDG p = 3 q = 7 n = 21 (liczba Bluma) Q 21 = { 1, 4, 16 } J 21 = { 1, 4, 5, 16, 17, 20 } Pierwiastkami kwadratowymi z liczby 4 modulo 21 V2, 5, 16 i 19, przy czym liczba 16 MHVWSLHUZLDVWNLHPJáyZQ\P n = pq - liczba Bluma funkcja f : Q n Q n, RNUHORQD]DOH*QRFL f (x) = x 2 mod n MHVW SHUPXWDFM ]D MHM SHUPXWDFM RGZURWQMHVW funkcja: f -1 (x) = x ((p-1)(q-1)+4) / 8 mod n 3U]\NáDG 5R]ZD*P\JUXSPXOWLSOLNDW\ZQ=21. =21 = { 1, 2, 4, 5, 8, 10, 11, 13, 16, 17, 19, 20 } a a 2 mod21 Q 21 = { 1, 4, 16 } f (x) = x 2 mod 21 f -1 (x) = x ((3-1)(7-1)+4) / 8 mod 21 = x 2 mod 21 = f(x) (inwolucja!!!) x f(x)

23 =à2)212û$/*25<70ï::= n.d*g OLF]E FDáNRZLW a = n PR*QD SU]HGVWDZLü Z SRVWDFL reprezentacji binarnej: t i a = 2, gdzie k i { 0, 1 } k i i= 0 Ä'áXJRü UHSUH]HQWDFMLELQDUQHMt PR*QDRV]DFRZDüSU]H]log 2 n. :\QLNDVWG]áR*RQRüRSHUDFMLdodawania i odejmowania w = n : (a ± b) mod n = O ( log 2 n ) Operacja PQR*HQLD PR*H E\ü ]UHDOL]RZDQD SU]H] ]Z\F]DMQH PQR*HQLHGZyFKOLF]EFDáNRZLW\FKDQDVWSQLHZ\]QDF]HQLHUHV]W\] dzielenia iloczynu przez n VWG (a. b) mod n = O (( log 2 n ) 2 ) 0R*QDZ\ND]Dü*Hwyznaczanie elementu odwrotnego a -1 (mod n) zgodnie z rozszerzonym algorytmem Euklidesa prowadzi do oszacowania: a -1 mod n = O (( log 2 n ) 2 ) 2EOLF]DQLH SRWJL FDáNRZLWHM D k mod n, gdzie n > k 0 PR*QD ]UHDOL]RZDüQDSRGVWDZLHQDVWSXMFHJRVSRVWU]H*HQLD k = t k i i= 0 2 i, gdzie k i { 0, 1 } t k k k 2 2 k k a = a i = a a a i= 0 i t t

24 3VHXGRNRGDOJRU\WPXSRWJRZDQLD Power (a, k, n) { b : = 1; if (k = 0) then return (b); x : = a; if (k 0 = 1) then b : = a; for i : = 1 until t do { x : = x 2 mod n; if (k i = 1) then b : = x. b mod n; } return (b); } 3U]\NáDG 1DOH*\REOLF]\ü3 8 mod 7. n = 7 a = 3 k = 8 = URNLZVWSQH b = 1 k 0 x = 3 k 0 1 Kolejne iteracje: i = 1 x = 3 2 mod 7 = 9 mod 7 = 2 k 1 = 0 i = 2 x = 2 2 mod 7 = 4 mod 7 = 4 k 2 = 0 i = 3 x = 4 2 mod 7 = 16 mod 7 = 2 k 3 = 1 b = 2. 1 mod 7 = 2 2GSRZLHG( 3 8 mod 7 = 2 =ár*rqrüsrz\*v]hjrdojru\wpxsrwjrzdqld a k mod n = O (( log 2 n ) 3 )

25 Do REOLF]DQLD ZDUWRFL V\PEROX -DFRELHJR Z\NRU]\VWDü PR*QD QDVWSXMFZáDFLZRü (n jest nieparzyste) (a = 2 e a 1 ) (a 1 jest nieparzyste) e a a n a a n = n 2 n = n n 1 2 mod 1 ( 1 1 1)( 1)/ 4 ( ) a1 :\QLND VWG UHNXUHQF\MQ\ DOJRU\WP QLH Z\PDJDMF\ IDNWRU\]DFML liczby n R]áR*RQRFLELWRZHMO (( log 2 n ) 2 ): 3VHXGRNRGDOJRU\WPXREOLF]DQLDZDUWRFLV\PEROX-DFRELHJR LV\PEROX/HJHQGUH DJG\QMHVWQLHSDU]\VWOLF]ESLHUZV] Jacobi (a, n) { if (a = 0) then return (0); if (a = 1) then return (1); ; przedstaw a w postaci 2 e a 1, gdzie a 1 jest nieparzyste if ( e jest parzyste ) then ( s : = 1 ); else if (( n 1 (mod 8 )) ( n 7 (mod 8 ))) then ( s : = 1 ); else if (( n 3 (mod 8 )) ( n 5 (mod 8 ))) then ( s : = -1 ); if (( n 3 (mod 4 )) (a 1 3 (mod 4 ))) then ( s : = -s ); n 1 : = n mod a 1 ; return ( s. Jacobi (n 1, a 1 ); } UWAGA: 0LPRL*GODOLF]E\SLHUZV]HMp ZLDGRPR*HOLF]EDniereszt kwadratowych Z\QRVL GRNáDGQLH (p-1)/2, to nie istnieje deterministyczny algorytm wielomianowy Z\]QDF]DMF\ WDN OLF]E QDOH*FGR=p, która jest QLHUHV]WNZDGUDWRZ Natomiast istnieje randomizowany algorytmsrohjdmf\qdnrohmq\fk losowych wyborach elementów z = plreolf]dqlxgodqlfkzduwrfl V\PEROX -DFRELHJR MH*HOL ZDUWRü WD Z\QRVL -1, to niereszta kwadratowa ]RVWDáDZ\]QDF]RQD2F]HNLZDQDOLF]EDLWHUDFMLGODWHJR algorytmu wynosi 2. e

26 LOGARYTM DYSKRETNY (INDEKS) Niech G EG]LH VNRF]RQ JUXS F\NOLF]Q U]GX n ]D a - generatorem grupy G. Logarytmem dyskretnym (indeksem) z b przy podstawie a jest MHGQR]QDF]QLHRNUHORQDOLF]EDFDáNRZLWD0 x n - 1WDND*H b = a x Logarytm dyskretny oznaczany jest jako log a b. :ádflzrflorjdu\wpxg\vnuhwqhjr Niech a EG]LHJHQHUDWRUHPF\NOLF]QHMJUXS\G U]GXn. Wtedy: b, c G s = log a (bc) = (log a b+log a c) mod n log a (b s ) = slog a b mod n 3U]\NáDG Niech G = =* p ]Da generatorem =* p. Niech ponadto p EG]LHOLF]ESLHUZV]5]GJUXS\Z\QRVLp-1. Dowolny element b =* p PR*QDSU]HGVWDZLüMHGQR]QDF]QLHMDNR b = a i mod p, gdzie 0 i p-2 VWGindeks). b = 1 i = 0 (log a 1 = 0) b = a i = 1 (log a a = 1) (b = a i mod p) (c = a j mod p) bc = (a i + j mod p) bc = a k mod p a k = a i + j mod p k = (i + j) mod φ(p) k = (i + j) mod (p - 1) (na podstawie tw.fermata-eulera) log a (bc) = (log a b+log a c) mod (p - 1) log a (b s ) = (log a b+log a b+...+ log a b) mod (p - 1) = (s log a b) mod (p - 1) s razy

o partnerstwie publiczno-prywatnym.

o partnerstwie publiczno-prywatnym. SENAT RZECZYPOSPOLITEJ POLSKIEJ V KADENCJA Warszawa, dnia 20 czerwca 2005 r. Druk nr 984 0$56=$à(. 6(-08 RZECZYPOSPOLITEJ POLSKIEJ Pan Longin PASTUSIAK 0$56=$à(. 6(1$78 RZECZYPOSPOLITEJ POLSKIEJ =JRGQLH

Bardziej szczegółowo

Zastosowania arytmetyki modularnej. Zastosowania arytmetyki modularnej

Zastosowania arytmetyki modularnej. Zastosowania arytmetyki modularnej Obliczenia w systemach resztowych [Song Y. Yan] Przykład: obliczanie z = x + y = 123684 + 413456 na komputerze przyjmującym słowa o długości 100 Obliczamy kongruencje: x 33 (mod 99), y 32 (mod 99), x 8

Bardziej szczegółowo

Jan Bień. Modelowanie obiektów mostowych w procesie ich eksploatacji

Jan Bień. Modelowanie obiektów mostowych w procesie ich eksploatacji Jan Bień Modelowanie obiektów mostowych w procesie ich eksploatacji Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej Wrocław 2002 63,675(&, 1. SYSTEMOWE WSPOMAGANIE EKSPLOATACJI OBIEKTÓW MOSTOWYCH... 7 1.1.

Bardziej szczegółowo

Piotr 7U\EDáD. Leasing 3RUDGQLN3U]HGVLELRU \

Piotr 7U\EDáD. Leasing 3RUDGQLN3U]HGVLELRU \ Piotr 7U\EDáD Leasing 3RUDGQLN3U]HGVLELRU \ Autor Piotr 7U\EDáD Redakcja i korekta Ewa Skrzypkowska Copyright by 3ROVND $JHQFMD 5R]ZRMX 3U]HGVLELRUF]RFL Projekt serii Tadeusz Korobkow 3URMHNW RNáDGNL Andrzej

Bardziej szczegółowo

Kongruencje oraz przykłady ich zastosowań

Kongruencje oraz przykłady ich zastosowań Strona 1 z 25 Kongruencje oraz przykłady ich zastosowań Andrzej Sładek, Instytut Matematyki UŚl sladek@ux2.math.us.edu.pl Spotkanie w LO im. Powstańców Śl w Bieruniu Starym 27 października 2005 Strona

Bardziej szczegółowo

1. PARAMETRY TECHNICZNE WAG NAJAZDOWYCH.

1. PARAMETRY TECHNICZNE WAG NAJAZDOWYCH. .ZLHFLH 2 1. PARAMETRY TECHNICZNE WAG NAJAZDOWYCH. Typ wagi 2EFL*HQLH maksymalne Max [kg] WPT/4N 400H WPT/4N 800H WPT/4N 1500H 400 800 1500 2EFL*HQLH PLQLPDOQH Min [kg] 4 10 10 'RNáDGQRü RGF]\WX d [g]

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 9: Grupy skończone Gniewomir Sarbicki Grupy cykliczne Definicja: Jeżeli każdy element grupy G jest postaci a n dla pewnego a G, to mówimy, że grupa G jest grupą cykliczną o

Bardziej szczegółowo

Zapis stenograficzny (1653) 27. posiedzenie Komisji Spraw Unii Europejskiej w dniu 25 lutego 2005 r.

Zapis stenograficzny (1653) 27. posiedzenie Komisji Spraw Unii Europejskiej w dniu 25 lutego 2005 r. ISSN 1643-2851 SENAT RZECZYPOSPOLITEJ POLSKIEJ Zapis stenograficzny (1653) 27. posiedzenie Komisji Spraw Unii Europejskiej w dniu 25 lutego 2005 r. V kadencja Zapis stenograficzny jest tekstem nieautoryzowanym.

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Zadania. 1.1 Liczby pierwsze. 1. Wykorzystując sito Eratostenesa wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze mniejsze niż 200.

Rozdział 1. Zadania. 1.1 Liczby pierwsze. 1. Wykorzystując sito Eratostenesa wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze mniejsze niż 200. Rozdział 1 Zadania 1.1 Liczby pierwsze 1. Wykorzystując sito Eratostenesa wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze mniejsze niż 200. 2. Wyliczyć największy wspólny dzielnik d liczb n i m oraz znaleźć liczby

Bardziej szczegółowo

Zapis stenograficzny (1532) 187. posiedzenie.rplvml3rolw\nl6sráhf]qhml=gurzld w dniu 25 listopada 2004 r.

Zapis stenograficzny (1532) 187. posiedzenie.rplvml3rolw\nl6sráhf]qhml=gurzld w dniu 25 listopada 2004 r. ISSN 1643-2851 SENAT RZECZYPOSPOLITEJ POLSKIEJ Zapis stenograficzny (1532) 187. posiedzenie.rplvml3rolw\nl6sráhf]qhml=gurzld w dniu 25 listopada 2004 r. V kadencja 3RU]GHN REUDG 1. Rozpatrzenie ustawy

Bardziej szczegółowo

Algorytm. a programowanie -

Algorytm. a programowanie - Algorytm a programowanie - Program komputerowy: Program komputerowy można rozumieć jako: kod źródłowy - program komputerowy zapisany w pewnym języku programowania, zestaw poszczególnych instrukcji, plik

Bardziej szczegółowo

Spis treœci :VWS... 5. Poziom podstawowy... 9. Poziom rozszerzony... 61. 5R]ZL]DQLD... 95 6áRZQLF]HN... 125 Literatura... 127

Spis treœci :VWS... 5. Poziom podstawowy... 9. Poziom rozszerzony... 61. 5R]ZL]DQLD... 95 6áRZQLF]HN... 125 Literatura... 127 Spis treœci Twoja matura Geografia :VWS... 5 Poziom podstawowy... 9 I. 3RGVWDZ\ NRU]\VWDQLD ] Uy*QRURGQ\FK (UyGHá LQIRUPDFML JHRJUaficznej... 9 II. Funkcjonowanie systemu przyrodniczego Ziemi... 16 III.

Bardziej szczegółowo

Zapis stenograficzny (1537) 188. posiedzenie.rplvml3rolw\nl6sráhf]qhml=gurzld w dniu 30 listopada 2004 r.

Zapis stenograficzny (1537) 188. posiedzenie.rplvml3rolw\nl6sráhf]qhml=gurzld w dniu 30 listopada 2004 r. ISSN 1643-2851 SENAT RZECZYPOSPOLITEJ POLSKIEJ Zapis stenograficzny (1537) 188. posiedzenie.rplvml3rolw\nl6sráhf]qhml=gurzld w dniu 30 listopada 2004 r. V kadencja 3RU]GHN REUDG,QIRUPDFMD QD WHPDW SUREOHPX

Bardziej szczegółowo

Zapis stenograficzny (1530) 162. posiedzenie.rplvml6dpru]gx7hu\wruldoqhjr i AdmiQLVWUDFML3DVWZRZHM w dniu 25 listopada 2004 r.

Zapis stenograficzny (1530) 162. posiedzenie.rplvml6dpru]gx7hu\wruldoqhjr i AdmiQLVWUDFML3DVWZRZHM w dniu 25 listopada 2004 r. ISSN 1643-2851 SENAT RZECZYPOSPOLITEJ POLSKIEJ Zapis stenograficzny (1530) 162. posiedzenie.rplvml6dpru]gx7hu\wruldoqhjr i AdmiQLVWUDFML3DVWZRZHM w dniu 25 listopada 2004 r. V kadencja 3RU]GHN REUDG 5R]SDWU]HQLH

Bardziej szczegółowo

Proste programy w C++ zadania

Proste programy w C++ zadania Proste programy w C++ zadania Zbiór zadao do samodzielnego rozwiązania stanowiący powtórzenie materiału. Podstawy C++ Budowa programu w C++ Dyrektywy preprocesora Usunięcie dublujących się nazw Częśd główna

Bardziej szczegółowo

Liczby rzeczywiste, wyrażenia algebraiczne, równania i nierówności, statystyka, prawdopodobieństwo.

Liczby rzeczywiste, wyrażenia algebraiczne, równania i nierówności, statystyka, prawdopodobieństwo. Liczby rzeczywiste, wyrażenia algebraiczne, równania i nierówności, statystyka, prawdopodobieństwo. Zagadnienia szczegółowe: obliczanie wartości wyrażeń arytmetycznych; działania na pierwiastkach i potęgach;

Bardziej szczegółowo

SENAT RZECZYPOSPOLITEJ POLSKIEJ V KADENCJA. Warszawa, dnia 3 sierpnia 2005 r. Druk nr 1074

SENAT RZECZYPOSPOLITEJ POLSKIEJ V KADENCJA. Warszawa, dnia 3 sierpnia 2005 r. Druk nr 1074 SENAT RZECZYPOSPOLITEJ POLSKIEJ V KADENCJA Warszawa, dnia 3 sierpnia 2005 r. Druk nr 1074 PREZES RADY MINISTRÓW Marek BELKA Pan Longin PASTUSIAK 0$56=$à(. 6(1$78 RZECZYPOSPOLITEJ POLSKIEJ 6]DQRZQ\ 3DQLH

Bardziej szczegółowo

Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/

Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Paweł Gładki Algebra http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Konsultacje: Środa, 14:00-15:00 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go o tym przed lub po zajęciach,

Bardziej szczegółowo

Parametry systemów klucza publicznego

Parametry systemów klucza publicznego Parametry systemów klucza publicznego Andrzej Chmielowiec Instytut Podstawowych Problemów Techniki Polskiej Akademii Nauk 24 marca 2010 Algorytmy klucza publicznego Zastosowania algorytmów klucza publicznego

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i język C++

Algorytmy i język C++ Wykład 6 Wskaźniki Wskaźnik nie przechowuje wartości zmiennej ale, podobnie jak tablica, wskazuje miejsce w pamięci, w którym znajduje się zmienna danego typu. W poniższym przykładzie symbol * pomiędzy

Bardziej szczegółowo

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl System dziesiętny 7 * 10 4 + 3 * 10 3 + 0 * 10 2 + 5 *10 1 + 1 * 10 0 = 73051 Liczba 10 w tym zapisie nazywa się podstawą systemu liczenia. Jeśli liczba 73051 byłaby zapisana w systemie ósemkowym, co powinniśmy

Bardziej szczegółowo

STACJE ELEKTROENERGETYCZNE

STACJE ELEKTROENERGETYCZNE :$/'(0$5'2à *$ STACJE ELEKTROENERGETYCZNE 2),&

Bardziej szczegółowo

Podstawy systemów kryptograficznych z kluczem jawnym RSA

Podstawy systemów kryptograficznych z kluczem jawnym RSA Podstawy systemów kryptograficznych z kluczem jawnym RSA RSA nazwa pochodząca od nazwisk twórców systemu (Rivest, Shamir, Adleman) Systemów z kluczem jawnym można używać do szyfrowania operacji przesyłanych

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA OBSŁUGI I INSTALOWANIA ZMYWARKI DO NACZYŃ MODEL: STX2C

INSTRUKCJA OBSŁUGI I INSTALOWANIA ZMYWARKI DO NACZYŃ MODEL: STX2C INSTRUKCJA OBSŁUGI I INSTALOWANIA ZMYWARKI DO NACZYŃ MODEL: STX2C Wyłączny Przedstawiciel na Polskę: DOM BANCO Sp. z o.o., al. Krakowska 5, 05-090 Raszyn k/warszawy Tel.: 0 22 720 11 99, fax: 0 22 720

Bardziej szczegółowo

Irena Zubel..V]WDáWRZDQLHVWUXNWXUSU]HVWU]HQQ\FK w krzemie PHWRGWUDZLHQLDDQL]RWURSRZHJR GR]DVWRVRZDZPLNURHOHNWUonice

Irena Zubel..V]WDáWRZDQLHVWUXNWXUSU]HVWU]HQQ\FK w krzemie PHWRGWUDZLHQLDDQL]RWURSRZHJR GR]DVWRVRZDZPLNURHOHNWUonice Irena Zubel.V]WDáWRZDQLHVWUXNWXUSU]HVWU]HQQ\FK w krzemie PHWRGWUDZLHQLDDQL]RWURSRZHJR GR]DVWRVRZDZPLNURHOHNWUonice Oficyna Wydawnicza Politechniki WURFáDZVNLHM WURFáDZ 2004 Recenzenci Keshra Sangwal Jerzy

Bardziej szczegółowo

Teoria liczb. x 3 + 3y 3 + 9z 3 9xyz = 0. x 2 + 3y 2 = 1998x.

Teoria liczb. x 3 + 3y 3 + 9z 3 9xyz = 0. x 2 + 3y 2 = 1998x. Teoria liczb grupa starsza poniedziałek, 27 września 2004 Równania teorioliczbowe.. Rozwiazać w liczbach całkowitych x, y, z. x 3 + 3y 3 + 9z 3 9xyz = 0. 2. Rozwiazać w liczbach całkowitych dodatnich x,

Bardziej szczegółowo

LICZBY PIERWSZE. 14 marzec 2007. Jeśli matematyka jest królową nauk, to królową matematyki jest teoria liczb. C.F.

LICZBY PIERWSZE. 14 marzec 2007. Jeśli matematyka jest królową nauk, to królową matematyki jest teoria liczb. C.F. Jeśli matematyka jest królową nauk, to królową matematyki jest teoria liczb. C.F. Gauss (1777-1855) 14 marzec 2007 Zasadnicze twierdzenie teorii liczb Zasadnicze twierdzenie teorii liczb Ile jest liczb

Bardziej szczegółowo

Wstęp do programowania

Wstęp do programowania Wstęp do programowania Podstawowe konstrukcje programistyczne Paweł Daniluk Wydział Fizyki Jesień 2013 P. Daniluk (Wydział Fizyki) WP w. II Jesień 2013 1 / 34 Przypomnienie Programowanie imperatywne Program

Bardziej szczegółowo

-]\NPRGHORZDQLDGDQ\FK80/ {ewag@ipipan.waw.pl, ewag@pjwstk.waw.pl} Ewa Stemposz. Instytut Podstaw Informatyki PAN

-]\NPRGHORZDQLDGDQ\FK80/ {ewag@ipipan.waw.pl, ewag@pjwstk.waw.pl} Ewa Stemposz. Instytut Podstaw Informatyki PAN -]\NPRGHORZDQLDGDQ\FK80/ Ewa Stemposz {ewag@ipipan.waw.pl, ewag@pjwstk.waw.pl} Instytut Podstaw Informatyki PAN Polsko--DSRVND:\*V]D6]NRáD7HFKQLN.RPSXWHURZ\FK Zagadnienia Krótka charakterystyka UML Diagramy

Bardziej szczegółowo

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa, test próbny www.omg.edu.pl (wrzesień 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o

Bardziej szczegółowo

LICZBY PIERWSZE. Jan Ciurej Radosław Żak

LICZBY PIERWSZE. Jan Ciurej Radosław Żak LICZBY PIERWSZE Jan Ciurej Radosław Żak klasa IV a Katolicka Szkoła Podstawowa im. Świętej Rodziny z Nazaretu w Krakowie ul. Pędzichów 13, 31-152 Kraków opiekun - mgr Urszula Zacharska konsultacja informatyczna

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

1. Powtórka ze szkoły. Wykład: 4.10.2004 (4 godziny), ćwiczenia: 7.10.2004, kolokwium nr 1: 11.10.2004

1. Powtórka ze szkoły. Wykład: 4.10.2004 (4 godziny), ćwiczenia: 7.10.2004, kolokwium nr 1: 11.10.2004 ANALIZA MATEMATYCZNA A dla I roku, 2004/2005 1. Powtórka ze szkoły. Wykład: 4.10.2004 (4 godziny), ćwiczenia: 7.10.2004, kolokwium nr 1: 11.10.2004 Obliczyć sumy (postępów arytmetycznych i goemetrycznych):

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna Zestaw 2

Matematyka Dyskretna Zestaw 2 Materiały dydaktyczne Matematyka Dyskretna (Zestaw ) Matematyka Dyskretna Zestaw 1. Wykazać, że nie istnieje liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 18 daje resztę 13, a przy dzieleniu przez 1 daje

Bardziej szczegółowo

Podzielność liczb. Podzielność liczb

Podzielność liczb. Podzielność liczb Euclides i kwestie podzielności liczb Definicja Niech a, b Z. Mówimy, że liczba a > 0 dzieli liczbę b, albo a b, jeżeli istnieje taka całkowita liczba c, że b = ac. Definicja a b a > 0 i b = ac, c całkowite.

Bardziej szczegółowo

Gimnazjum w Tęgoborzy - Algorytmika Strona 1 z 22 mgr Zofia Czech

Gimnazjum w Tęgoborzy - Algorytmika Strona 1 z 22 mgr Zofia Czech ALGORYMY Algorytm to przepis; zestawienie kolejnych kroków prowadzących do wykonania określonego zadania; to uporządkowany sposób postępowania przy rozwiązywaniu zadania, problemu, z uwzględnieniem opisu

Bardziej szczegółowo

Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb

Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb 1. Podzielno± Przedmiotem bada«teorii liczb s wªasno±ci liczb caªkowitych. Zbiór liczb caªkowitych oznacza b dziemy symbolem Z. Zbiór liczb naturalnych

Bardziej szczegółowo

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji I LO im. F. Ceynowy w Świeciu Radosław Rudnicki joix@mat.uni.torun.pl 17.03.2009 r. Typeset by FoilTEX Streszczenie Celem wykładu jest wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

a[1] a[2] a[3] a[4] a[5] a[6] a[7] a[8] a[9] a[10] 3-2 5 8 12-4 -26 12 45-76

a[1] a[2] a[3] a[4] a[5] a[6] a[7] a[8] a[9] a[10] 3-2 5 8 12-4 -26 12 45-76 . p. 1 Algorytmem nazywa się poddający się interpretacji skończony zbiór instrukcji wykonania zadania mającego określony stan końcowy dla każdego zestawu danych wejściowych W algorytmach mogą występować

Bardziej szczegółowo

PROGRAMOWANIE W C++ ZADANIA

PROGRAMOWANIE W C++ ZADANIA PROGRAMOWANIE W C++ ZADANIA Włodzimierz Gajda Rozdział 7 PĘTLE 7.1 PĘTLA FOR: rysowanie wzorków. ZADANIE 7.1.1 Napisz program drukujący na ekranie 19 gwiazdek: ******************* ZADANIE 7.1.2 Napisz

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Liczby pierwsze Mersenne a i Fermata. Liczby pierwsze Mersenne a i Fermata

Liczby pierwsze Mersenne a i Fermata. Liczby pierwsze Mersenne a i Fermata Liczby dwumianowe N = a n ± b n Tak zwane liczby dwumianowe N = a n ± b n łatwo poddają się faktoryzacji. Wynika to z wzorów (polecam sprawdzenie!) a n b n = (a b) ( a n 1 + a n 2 b +... + ab n 2 + b n

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Spis treœci WSTÊP... 3 KLUCZ ODPOWIEDZI... 138 BIBLIOGRAFIA... 210

Spis treœci WSTÊP... 3 KLUCZ ODPOWIEDZI... 138 BIBLIOGRAFIA... 210 Spis treœci WSTÊP... 3 I. 8NáDG NU*HQLD L XNáDG RGSRUQRFLRZ\ F]áRZLHND poziom podstawowy... 9 II. 8NáDG NU*HQLD L XNáDG RGSRUQRFLRZ\ F]áRZLeka poziom rozszerzony... 14 III. 8NáDG QHUZRZ\ F]áRZLHND poziom

Bardziej szczegółowo

2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. (c.d.

2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. (c.d. 2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. (c.d.) 10 października 2009 r. 20. Która liczba jest większa,

Bardziej szczegółowo

Programowanie Delphi obliczenia, schematy blokowe

Programowanie Delphi obliczenia, schematy blokowe Informatyka II MPZI2 ćw.2 Programowanie Delphi obliczenia, schematy blokowe Zastosowania obliczeń numerycznych Wyrażenia arytmetyczne służą do zapisu wykonywania operacji obliczeniowych w trakcie przebiegu

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład

Bardziej szczegółowo

LXIII Olimpiada Matematyczna

LXIII Olimpiada Matematyczna 1 Zadanie 1. LXIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 17 lutego 2012 r. (pierwszy dzień zawodów) Rozwiązać w liczbach rzeczywistych a, b, c, d układ równań a

Bardziej szczegółowo

Informatyka kwantowa. Zaproszenie do fizyki. Zakład Optyki Nieliniowej. wykład z cyklu. Ryszard Tanaś. mailto:tanas@kielich.amu.edu.

Informatyka kwantowa. Zaproszenie do fizyki. Zakład Optyki Nieliniowej. wykład z cyklu. Ryszard Tanaś. mailto:tanas@kielich.amu.edu. Zakład Optyki Nieliniowej http://zon8.physd.amu.edu.pl 1/35 Informatyka kwantowa wykład z cyklu Zaproszenie do fizyki Ryszard Tanaś Umultowska 85, 61-614 Poznań mailto:tanas@kielich.amu.edu.pl Spis treści

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1 Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powielanie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przypadku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INORMACJE RAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZOCZĘCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z INORMATYKI MIN-R1_1-092 MAJ ROK 2009 OZIOM ROZSZERZONY CZĘŚĆ I Czas pracy 90 minut Instrukcja

Bardziej szczegółowo

... (środowisko) ... ... 60 minut

... (środowisko) ... ... 60 minut EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 INFORMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ARKUSZ I PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ DLA OSÓB Z AUTYZMEM, W TYM Z ZESPOŁEM ASPERGERA (A2) WYBRANE:... (środowisko)... (kompilator)...

Bardziej szczegółowo

Wojewódzki Przedmiotowy Konkurs z informatyki dla uczniów szkół gimnazjalnych ETAP REJONOWY 2008/2009 TEST

Wojewódzki Przedmiotowy Konkurs z informatyki dla uczniów szkół gimnazjalnych ETAP REJONOWY 2008/2009 TEST TEST. Test składa się z 35 zadań. Na jego rozwiązanie masz 90 minut. W kaŝdym zadaniu wybierz jedną, najlepszą według Ciebie odpowiedź i zaznacz na karcie odpowiedzi znakiem x. Do dyspozycji masz wszystkie

Bardziej szczegółowo

Matematyka Podręcznik dla liceum. Rafał Kołodziej, Ireneusz Szubarczyk

Matematyka Podręcznik dla liceum. Rafał Kołodziej, Ireneusz Szubarczyk Matematyka Podręcznik dla liceum Rafał Kołodziej, Ireneusz Szubarczyk Spis treści 1 Wstęp 2 2 Działania na liczbach 6 2.1 Zadania.............................. 11 2.2 Rozwiązania zadań działania na liczbach............

Bardziej szczegółowo

Podstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych

Podstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych 1 Podstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych 1. Podstawowe operacje logiczne dla cyfr binarnych Jeśli cyfry 0 i 1 potraktujemy tak, jak wartości logiczne fałsz i prawda, to działanie

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

Podstawy programowania funkcjonalnego

Podstawy programowania funkcjonalnego Podstawy programowania funkcjonalnego haskell.mariuszrozycki.pl Mariusz Różycki Churchill College, University of Cambridge rev. 2014.03.27.1 Wprowadzenie Materiały haskell.mariuszrozycki.pl Slajdy (w tym

Bardziej szczegółowo

--- --- --- --- (c) Oba działania mają elementy neutralne (0 dla dodawania i 1 dla mnożenia). (d) (a c b c) ab c ---

--- --- --- --- (c) Oba działania mają elementy neutralne (0 dla dodawania i 1 dla mnożenia). (d) (a c b c) ab c --- (d) 27x 25(mod 256) -I- I Kongruencje II Małe twierdzenie Fermata III Podzielność IV Operacje binarne V Reprezentacje liczb VI Największy wspólny dzielnik VII Faktoryzacja VIIIWłasności działań 2 3 x 16

Bardziej szczegółowo

Internetowe Kółko Matematyczne

Internetowe Kółko Matematyczne Internetowe Kółko Matematyczne http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ Zadania dla szkoły średniej Zestaw I ( X 2002) Zadanie. Niech n będzie dowolną liczbą naturalną. Udowodnij, że suma + 4 + 4 2 + 4 3 +...

Bardziej szczegółowo

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Z E S Z Y T M E T O D Y C Z N Y Miejski

Bardziej szczegółowo

Matematyka dla odwa nych

Matematyka dla odwa nych Jan Kowolik, Tomasz Szwed Matematyka dla odwa nych Zbiór zadañ konkursowych dla uczniów uzdolnionych matematycznie Szko³a ponadgimnazjalna i nie tylko Opole 010 1 Spis treœci Wstêp...5 Rozdzia³ I. W³asnoœci

Bardziej szczegółowo

Lista zadań nr 15 TERMIN ODDANIA ROZWIĄZANYCH ZADAŃ 9 marca 2015

Lista zadań nr 15 TERMIN ODDANIA ROZWIĄZANYCH ZADAŃ 9 marca 2015 Lista zadań nr 5 TERMIN ODDANIA ROZWIĄZANYCH ZADAŃ 9 marca 05 Liczby rzeczywiste a) planuję i wykonuję obliczenia na liczbach rzeczywistych; w szczególności obliczam pierwiastki, w tym pierwiastki nieparzystego

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MIN 2015 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI POZIOM ROZSZERZONY CZĘŚĆ I DATA: 19

Bardziej szczegółowo

Znajdowanie największego i najmniejszego elementu w zbiorze n liczb całkowitych

Znajdowanie największego i najmniejszego elementu w zbiorze n liczb całkowitych 1/12 Opracowała Kozłowska Ewa ekozbelferek@poczta.onet.pl nauczyciel przedmiotów informatycznych Zespół Szkół Technicznych Mielec, ul. Jagiellończyka 3 Znajdowanie największego i najmniejszego elementu

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA BINARNA. Dziesiątkowy system pozycyjny nie jest jedynym sposobem kodowania liczb z jakim mamy na co dzień do czynienia.

ARYTMETYKA BINARNA. Dziesiątkowy system pozycyjny nie jest jedynym sposobem kodowania liczb z jakim mamy na co dzień do czynienia. ARYTMETYKA BINARNA ROZWINIĘCIE DWÓJKOWE Jednym z najlepiej znanych sposobów kodowania informacji zawartej w liczbach jest kodowanie w dziesiątkowym systemie pozycyjnym, w którym dla przedstawienia liczb

Bardziej szczegółowo

WIOLETTA NAWROCKA nauczyciel matematyki w Zespole Szkół w Choczewie IDĘ DO GIMNAZJUM ZADANIA TESTOWE Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KL. VI.

WIOLETTA NAWROCKA nauczyciel matematyki w Zespole Szkół w Choczewie IDĘ DO GIMNAZJUM ZADANIA TESTOWE Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KL. VI. WIOLETTA NAWROCKA nauczyciel matematyki w Zespole Szkół w Choczewie IDĘ DO GIMNAZJUM ZADANIA TESTOWE Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KL. VI. Przeczytaj uważnie pytanie. Chwilę zastanów się. Masz do wyboru cztery

Bardziej szczegółowo

Generacja liczb pseudolosowych

Generacja liczb pseudolosowych Generacja liczb pseudolosowych Zapis liczb w komputerze Generatory liczb pseudolosowych Liniowe kongruentne Liniowe mutiplikatywne kongruentne Jakość generatorów Test widmowy Generowanie liczb losowych

Bardziej szczegółowo

Język C część 2. Podejmowanie decyzji w programie. if else. switch

Język C część 2. Podejmowanie decyzji w programie. if else. switch Język C część 2 Podejmowanie decyzji w programie if else Instrukcja warunkowa umożliwia wykonanie pewnej instrukcji w zależności od wartości wyrażenia. Wszystkie wartości różne od 0, są w języku C traktowane

Bardziej szczegółowo

Opis systemu. BillNet S.A. 1

Opis systemu. BillNet S.A. 1 Opis systemu BillNet S.A. 1 6SLVWUHFL 1. OPIS SYSTEMU BILLNET...3 1.1 U)

Bardziej szczegółowo

Kurs Start plus - matematyka poziom podstawowy, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.

Kurs Start plus - matematyka poziom podstawowy, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1. Projekt Fizyka Plus nr POKL.04.0.0-00-034/ współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Kurs Start plus - matematyka

Bardziej szczegółowo

Szkoła Podstawowa. Uczymy się dowodzić. Opracowała: Ewa Ślubowska. ewa.slubowska@wp.pl

Szkoła Podstawowa. Uczymy się dowodzić. Opracowała: Ewa Ślubowska. ewa.slubowska@wp.pl Szkoła Podstawowa Uczymy się dowodzić Opracowała: Ewa Ślubowska ewa.slubowska@wp.pl PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA II etap edukacyjny: klasy IV VI I. Sprawność rachunkowa. Uczeń wykonuje proste

Bardziej szczegółowo

Opole, dn. 17 grudnia 2006 Politechnika Opolska Wydział Elektrotechniki, Automatyki i Informatyki Kierunek: Informatyka. Metody Komputerowe w Technice

Opole, dn. 17 grudnia 2006 Politechnika Opolska Wydział Elektrotechniki, Automatyki i Informatyki Kierunek: Informatyka. Metody Komputerowe w Technice Opole, dn. 17 grudnia 2006 Politechnika Opolska Wydział Elektrotechniki, Automatyki i Informatyki Kierunek: Informatyka Metody Komputerowe w Technice Temat: Generatory liczb losowych algorytmy z wykorzystaniem

Bardziej szczegółowo

Grupy i cia la, liczby zespolone

Grupy i cia la, liczby zespolone Rozdzia l 1 Grupy i cia la, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, b edziemy używać nast epuj acych oznaczeń: N = { 1, 2, 3,... } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2,... } - liczby ca lkowite, W = { m n

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY /

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY / WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY / Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem powinny być opanowane przez każdego ucznia. Wymagania

Bardziej szczegółowo

,1)<1,(56.,(%$=<'$1<&+'/$0$à<&+35=('6, %,2567: ENGINEERING DATA BASES FOR SMALL ENTERPRISES

,1)<1,(56.,(%$=<'$1<&+'/$0$à<&+35=('6, %,2567: ENGINEERING DATA BASES FOR SMALL ENTERPRISES 53 M>D J. Wróbel Institute of Machine Design Fundamentals, Warsaw University of Technology, Poland,1)

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 80 minut Instrukcja dla zdaj¹cego. SprawdŸ, czy arkusz egzaminacyjny zawiera stron (zadania 0). Ewentualny brak zg³oœ przewodnicz¹cemu

Bardziej szczegółowo

do instrukcja while (wyrażenie);

do instrukcja while (wyrażenie); Instrukcje pętli -ćwiczenia Instrukcja while Pętla while (póki) powoduje powtarzanie zawartej w niej sekwencji instrukcji tak długo, jak długo zaczynające pętlę wyrażenie pozostaje prawdziwe. while ( wyrażenie

Bardziej szczegółowo

ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI DLA KLASY II GIMNAZJUM W ZAKRESIE WYMAGAŃ KONIECZNYCH I PODSTAWOWYCH

ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI DLA KLASY II GIMNAZJUM W ZAKRESIE WYMAGAŃ KONIECZNYCH I PODSTAWOWYCH ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI DLA KLASY II GIMNAZJUM W ZAKRESIE WYMAGAŃ KONIECZNYCH I PODSTAWOWYCH Opracowała: nauczyciel matematyki mgr Małgorzata Drejka Legionowo 007 SPIS TREŚCI ALGEBRA potęgi i pierwiastki

Bardziej szczegółowo

SENAT RZECZYPOSPOLITEJ POLSKIEJ V KADENCJA. Warszawa, dnia 9 stycznia 2004 r. SPRAWOZDANIE KOMISJI GOSPODARKI I FINANSÓW PUBLICZNYCH

SENAT RZECZYPOSPOLITEJ POLSKIEJ V KADENCJA. Warszawa, dnia 9 stycznia 2004 r. SPRAWOZDANIE KOMISJI GOSPODARKI I FINANSÓW PUBLICZNYCH SENAT RZECZYPOSPOLITEJ POLSKIEJ V KADENCJA Warszawa, dnia 9 stycznia 2004 r. Druk nr 565 Z SPRAWOZDANIE KOMISJI GOSPODARKI I FINANSÓW PUBLICZNYCH (wraz z zestawieniem wniosków) Komisja QD SRVLHG]HQLX Z

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

Algorytm 2.1. Rys. 2.1.1. Czy zupa jest słona? Przygotuj. Gotowe danie START. Przepis... STOP NIE TAK

Algorytm 2.1. Rys. 2.1.1. Czy zupa jest słona? Przygotuj. Gotowe danie START. Przepis... STOP NIE TAK 2 Algorytmy decyzyjne Algorytmy decyzyjne charakteryzują się tym, że w pewnym momencie w sytuacji problemowej następuje ich zatrzymanie i wybór właściwej drogi. Algorytmy rozgałęziające się dają ogromne

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi. Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

Dzień pierwszy- grupa młodsza

Dzień pierwszy- grupa młodsza Dzień pierwszy- grupa młodsza 1.TomekmaTlat.Tylesamolatliczysobiewsumietrójkajegodzieci.NlattemuwiekTomkarówny był dwukrotności sumy lat swoich dzieci. Wyznacz T/N. 2.Niechk=2012 2 +2 2012.Ilewynosicyfrajednościliczbyk

Bardziej szczegółowo

3 D. Wymagania ogólne II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych.

3 D. Wymagania ogólne II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Zdający używa prostych, dobrze znanych obiektów matematycznych. Przykładowe zadania z rozwiązaniami: poziom podstawowy. Przykładowe zadania z matematyki na poziomie podstawowym wraz z rozwiązaniami Zadanie. (0 ) Liczba 8 9 jest równa A. B. 9 C. D. 5. Zdający oblicza

Bardziej szczegółowo

Informatyk i matematyk: dwa spojrzenia na jedno zadanie (studium przypadku) Krzysztof Ciebiera, Krzysztof Diks, Paweł Strzelecki

Informatyk i matematyk: dwa spojrzenia na jedno zadanie (studium przypadku) Krzysztof Ciebiera, Krzysztof Diks, Paweł Strzelecki Informatyk i matematyk: dwa spojrzenia na jedno zadanie (studium przypadku) Krzysztof Ciebiera, Krzysztof Diks, Paweł Strzelecki Zadanie (matura z informatyki, 2009) Dane: dodatnia liczba całkowita R.

Bardziej szczegółowo

Wojewódzki Przedmiotowy Konkurs z informatyki dla uczniów szkół gimnazjalnych ETAP REJONOWY 2010/2011 TEST

Wojewódzki Przedmiotowy Konkurs z informatyki dla uczniów szkół gimnazjalnych ETAP REJONOWY 2010/2011 TEST TEST. Test składa się z 35 zadań. Na jego rozwiązanie masz 90 minut. W każdym zadaniu wybierz jedną, najlepszą według Ciebie odpowiedź i zaznacz na karcie odpowiedzi znakiem x. Do dyspozycji masz wszystkie

Bardziej szczegółowo

Rekurencja (rekursja)

Rekurencja (rekursja) Rekurencja (rekursja) Rekurencja wywołanie funkcji przez nią samą wewnątrz ciała funkcji. Rekurencja może być pośrednia funkcja jest wywoływana przez inną funkcję, wywołaną (pośrednio lub bezpośrednio)

Bardziej szczegółowo

PRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA RÓWNA

PRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA RÓWNA PRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA RÓWNA Metody kolejnych przybli e Twierdzenie. (Bolzano Cauchy ego) Metody kolejnych przybli e Je eli funkcja F(x) jest ci g a w przedziale domkni tym [a,b] i F(a) F(b)

Bardziej szczegółowo

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1 LICZBY ZESPOLONE 1. Wiadomości ogólne DEFINICJA 1. Liczba zespolona z nazywamy liczbę taką, że a, b R oraz i jest jednostka urojona, definiowaną następująco: z = a + bi (1 i = 1 lub i = 1 Powyższą postać

Bardziej szczegółowo

Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna

Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna Rozdział 9 Funkcja pierwotna 9. Funkcja pierwotna Definicja funkcji pierwotnej. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale P. Mówimy, że funkcja F : P R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej

Bardziej szczegółowo

III Powiatowy Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjum organizowany przez II LO im. Marii Skłodowskiej-Curie w Końskich

III Powiatowy Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjum organizowany przez II LO im. Marii Skłodowskiej-Curie w Końskich III Powiatowy Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjum organizowany przez II LO im. Marii Skłodowskiej-Curie w Końskich Rozwiązania zadań konkursowych 01 czerwca 2014 r. Zadanie 1. Uzasadnij nierówność

Bardziej szczegółowo

Algorytmy komputerowe. dr inŝ. Jarosław Forenc

Algorytmy komputerowe. dr inŝ. Jarosław Forenc Rok akademicki 2009/2010, Wykład nr 8 2/24 Plan wykładu nr 8 Informatyka 1 Politechnika Białostocka - Wydział Elektryczny Elektrotechnika, semestr II, studia niestacjonarne I stopnia Rok akademicki 2009/2010

Bardziej szczegółowo

Instrukcje sterujące mgr Tomasz Xięski, Instytut Informatyki, Uniwersytet Śląski Katowice, 2012

Instrukcje sterujące mgr Tomasz Xięski, Instytut Informatyki, Uniwersytet Śląski Katowice, 2012 Instrukcje sterujące mgr Tomasz Xięski, Instytut Informatyki, Uniwersytet Śląski Katowice, 2012 if (warunek) instrukcja1; if (warunek) instrukcja1; else instrukcja2; if (warunek) instrukcja1; else if (warunek2)

Bardziej szczegółowo