TEORIA LICZB. Niech a i b EGOLF]EDPLFDáNRZLW\PLa, b =).

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "TEORIA LICZB. Niech a i b EGOLF]EDPLFDáNRZLW\PLa, b =)."

Transkrypt

1 TEORIA LICZB Niech a i b EGOLF]EDPLFDáNRZLW\PLa, b =). 0yZL VL *H a dzieli b (a jest dzielnikiem b, a jest czynnikiem b), MH*HOL LVWQLHMH WDND OLF]ED FDáNRZLWD c *H b = ac FR R]QDF]D VL symbolem a b. Dla wszystkich a, b, c = zachodzi: a a a b b c a c a b a c x, y = : a (bx + cy) a b b a a = ± b -H*HOLa, b =, a ponadto b 1, to zwyczajne dzielenie a przez b, oznaczane jako a / b, daje w rezultacie iloraz q oraz UHV]WUWDNLH*H a = qb + r, gdzie 0 r < b, SRQDGWR]Dq i rvz\]qdf]rqhmhgqr]qdf]qlh :SURZDG]DVLR]QDF]HQLDr = a mod b oraz q = a div b. a, b = b 0 a div b = a / b a mod b = a - b a / b a, b, c = c a c b c jest wspólnym dzielnikiem a i b 1DMZLNV]\PZVSyOQ\PG]LHOQLNLHPJUHDWHVWFRPPRQGLYLVRUliczb FDáNRZLW\FKa i bmhvwqlhxmhpqdolf]edfdánrzlwdd = gcd(a, b) taka, *H d jest wspólnym dzielnikiem a i b c a c b c d SU]\MPXMHVL*Hgcd(0, 0) = 0 ).

2 1DMPQLHMV]ZVSyOQZLHORNURWQRFLOHDVWFRPPRQPXOWLSOHliczb FDáNRZLW\FKa i bmhvwqlhxmhpqdolf]edfdánrzlwdd = lcm(a, b) taka, *H a d b d a c b c d c a > 0 b > 0 lcm(a, b) = ab / gcd(a, b) gcd(a, b) = 1 a i bv Z]JOGQLH SLHUZV]H UHODWLYHO\ prime, coprime) -H*HOL MHG\Q\PL GRGDWQLPL G]LHOQLNDPL OLF]E\ FDáNRZLWHM p 2 V liczby 1 i p, to liczba p jest OLF]E SLHUZV] SULPH QXPEHU. W przeciwnym przypadku liczba p jest OLF]E ]ár*rq FRPSRVLWH number). p MHVWOLF]ESLHUZV] p ab p a p b Twierdzenie o liczbach pierwszych: Niech π ( x ) R]QDF]DOLF]EOLF]ESLHUZV]\FK x. Wtedy prawdziwa π MHVW]DOH*QRü lim ( x ) = 1 x x/lnx Dla x 17: x π ( x) > lnx Dla x > 1: x π ( x) < lnx

3 Podstawowe twierdzenie arytmetyki:.d*gd OLF]ED FDáNRZLWD n 2 PR*H E\ü SU]HGVWDZLRQD MDNR LORF]\Q GRGDWQLFKFDáNRZLW\FKSRWJOLF]ESLHUZV]\FK n = p 1 e1 p 2 e2... p k ek, gdzie p i V Uy*Q\PL liczbami pierwszymi. Ponadto takie przedstawienie (faktoryzacja) jest jedyne RSUyF]PR*OLZRFL]PLDQ\ NROHMQRFLF]\QQLNyZ -H*HOLa = p 1 e1 p 2 e2... p k ek i b = p 1 f1 p 2 f2... p k fk, gdzie e i 0 i f i 0, to: gcd (a, b) = p 1 min(e1, f1) p 2 min(e2, f2)... p k min(ek, fk) i lcm (a, b) = p 1 max(e1, f1) p 2 max(e2, f2)... p k max(ek, fk) (funkcja min (x, y) PDZDUWRüUyZQPQLHMV]HM]SDU\OLF]E(x, y)]d funkcja max (x, y) PDZDUWRüUyZQZLNV]HM]SDU\OLF]E(x, y)) 3U]\NáDG Niech a = 4864 = i b = 3458 = Wtedy: p 1 = 2 e 1 = 8 f 1 = 1 p 2 = 7 e 2 = 0 f 2 = 1 p 3 = 13 e 3 = 0 f 3 = 1 p 4 = 19 e 4 = 1 f 4 = 1 gcd(4864, 3458) = = 38 lcm(4864, 3458) = =

4 Funkcja Eulera φ: Dla danej liczby naturalnej n Ν funkcja Eulera φ ( n ) RNUHORQD jest MDNR OLF]ED OLF]E QDWXUDOQ\FK QLH ZLNV]\FK RG n LZ]JOGQLH pierwszych z n. 3U]\NáDG\ φ (1) = 1 (!!!) φ (4) = 2 φ (7) = 6 φ (13) = 12 :ádvqrflixqnfml(xohudφ: -HOLp i qvolf]edplslhuzv]\plwr φ ( p) = p - 1 φ ( p a) = p a - 1 (p - 1), gdzie a Ν. φ ( pq ) = (p - 1)(q - 1) -H*HOLa i bvz]jogqlh pierwsze to φ ( ab) = φ ( a) φ ( b). -H*HOL n = p 1 e1 p 2 e2... p k ek MHVW UR]NáDGHP OLF]E\ n na czynniki pierwsze (IDNWRU\]DFM), to: 'ODOLF]EFDáNRZLW\Fh n 5: φ( n) = n p1 p2 pk n φ( n) > 6 lnln n a i b VOLF]EDPLQDWXUDOQ\PL a > b gcd (a, b) = gcd (b, a mod b)

5 Algorytm Euklidesa do wyznaczania gcd(a, b): =DáR*HQLH a i b VFDáNRZLW\PLOLF]EDPLQLHXMHPQ\PLSRQDGWRa b. Pseudokod algorytmu: while (b 0) do { r : = a mod b; a : = b; b : = r; } return (a) 3U]\NáDG Obliczenie gcd(4864, 3458): krok 1: a = 4864 b = 3458 r = 1406 krok 2: a = 3458 b = 1406 r = 646 krok 3: a = 1406 b = 646 r = 114 krok 4: a = 646 b = 114 r = 76 krok 5: a = 114 b = 76 r = 38 krok 6: a = 76 b = 38 r = 0 (krok 7): a = 38 b = 0 gcd (4864, 3458) = 38 Algorytm Euklidesa w wersji rekurencyjnej: Euclid(a, b) { if (b = 0) then return (a); else return Euclid(b, a mod b); }

6 Rozszerzony algorytm Euklidesa XPR*OLZLD REOLF]DQLH FDáNRZLWR- OLF]ERZ\FKZVSyáF]\QQLNyZx i y, WDNLFK*H d = gcd (a, b) = ax + by. Pseudokod rozszerzonego algorytmu Euklidesa: Ext_Euclid (a, b) { if (b = 0) then return (a, 1, 0); (d, x, y ) : = Ext_Euclid (b, a mod b); (d, x, y) : = (d, y, x - a / b y ); return (d, x, y); } KONGRUENCJE Niech a, b i n EGOLF]EDPLFDáNRZLW\PLa, b, n =) oraz n > 0. Notacja: a b (mod n) R]QDF]D *H a i b SU]\VWDM GR VLHELH ZHGáXJ PRGXáX n V kongruentne modulo n)luyzqrzd*qdmhvwwhpx*hn (a - b). Relacja QRVLQD]Zkongruencji. 3U]\NáDG\ 19 7 (mod 12) 42-9 (mod 17) (mod 4)

7 1LHNWyUHZáDFLZRFLUHODFMLNRQJUXHQFML a b (mod n) a mod n = b mod n a a (mod n) a b (mod n) b a (mod n) a b (mod n) b c (mod n) a c (mod n) a b (mod n) c d (mod n) a ± c b ± d (mod n) a c b d (mod n) a b (mod n) r n a b (mod r) a b (mod n) a b (mod m) gcd(m, n) = 1 a b (mod mn) d a d b d n ( a b (mod n) a / d b / d (mod n / d )) =ELyU ZV]\VWNLFK OLF]E FDáNRZLW\FK NRQJUXHQWQ\FK GR a modulo n QD]\ZDVLNODVUyZQRZD*QRFLOLF]E\D Dla ustalonego n zbiór = MHVW SRG]LHORQ\ SU]H] UHODFM NRQJUXHQFML modulo n na (ro]áf]qhnodv\uyzqrzd*qrfl a = qn + r 0 r < n a r (mod n) Wniosek:.D*GD OLF]ED FDáNRZLWD a jest kongruentna modulo n do unikalnej OLF]E\FDáNRZLWHM]]DNUHVXRG0 do (n - 1), zwanej QDMPQLHMV]UHV]W a modulo n ; a i r QDOH* GR WHM VDPHM NODV\ UyZQRZD*QRFL NWyUD PR*HE\üUHSUH]HQWRZDQDSU]H]WUHV]W Zbiór = n, zwany ]ELRUHPOLF]EFDáNRZLW\FKPRGXORQ, jest zbiorem liczb { 0, 1, 2,..., n-1 }. W zbiorze tym dodawanie, odejmowanie i PQR*HQLHZ\NRQ\ZDQHVPRGXORn. 3U]\NáDG W zbiorze = 21 : = = = 0 /LF]ED FDáNRZLWD x = n jest (multiplikatywnym) elementem odwrotnym GROLF]E\FDáNRZLWHMa = n ax 1 (mod n).

8 Dla elementu odwrotnego do azsurzdg]dvlr]qdf]hqlha -1. -H*HOL LVWQLHMH HOHPHQW RGZURWQ\ WR MHVW RQ XQLNDOQ\ W]QRNUHORQ\ jednoznacznie), a ponadto: a a -1 (mod n) = 1 -H*HOLb = n jest odwracalne, to wynik operacji dzielenia a przez b modulo n MHVWRNUHORQ\SU]H]LORF]\Qa b -1 (mod n). a = n jest odwracalne gcd (a, n) = 1 5R]V]HU]RQ\ DOJRU\WP (XNOLGHVD XPR*OLZLD REOLF]DQLH HOHPHQWX odwrotnego w zbiorze = n. :W\PFHOXZ\VWDUF]\]DXZD*\ü*HMHOLa i b VZ]JOGQLHSLHUZV]H to : d = gcd (a, b) = ax + by = 1 (*) d, x i y V ]ZUDFDQH SU]H] IXQNFM Ext_Euclid Z\ZRáDQ ] parametrami a i b. Równanie (*)MHVWUyZQRZD*QHUyZQDQLX (ax + by) 1 (mod b) (**) DSRQLHZD*y MHVWOLF]EFDáNRZLWZLF (by) 0 (mod b) DVWG ax 1 (mod b) czyli: x a -1 (mod b)

9 Niech d = gcd (a, n). Równanie ax b (mod n) PDUR]ZL]DQLHDx = n d b. SRQDGWRUR]ZL]DW\FKMHVWGRNáDGQLHd]DZV]\VWNLHUR]ZL]DQLD VNRQJUXHQWQHPRGXOR(n / d)) 3U]\NáDG 3x 2 (mod 5) 3. 0 (mod 5) = (mod 5) = (mod 5) = 6 (mod 5) = (mod 5) = 9 (mod 5) = (mod 5) = 12 (mod 5) = 2 d = gcd (3, 5) = MHGQRUR]ZL]DQLH: x = (mod 5) = 2. 2 (mod 5) = 4 3U]\NáDG 3x 5 (mod 6) d = gcd (3, 6) = 3 QLHSUDZGD*H 3 5 EUDNUR]ZL]D 3. 0 (mod 6) = (mod 6) = (mod 6) = 6 (mod 6) = (mod 6) = 9 (mod 6) = (mod 6) = 12 (mod 6) = (mod 6) = 15 (mod 6) = 3 3U]\NáDG 3x 3 (mod 6) d = gcd (3, 6) = WU]\UR]ZL]DQLD: x 1 = 1, x 2 = 3, x 3 = 5 n / d = 2 x 1 x 2 x 3 (mod 2)

10 &KLVNLHWZLHUG]HQLHRUHV]WDFK&KLQHVHUHPDLQGHUWKHRUHP-CRT): -H*HOLOLF]E\FDáNRZLWHn 1, n 2,..., n k VSDUDPLZ]JOGQLHSLHUZV]HWR XNáDGUyZQD x a 1 (mod n 1 ) x a 2 (mod n 2 )... x a k (mod n k ) PDMHGQR]QDF]QHUR]ZL]DQLHZ]ELRU]H= n, gdzie n = n 1 n 2... n k. Algorytm Gaussa jest jednym ze skutecznych algorytmów UR]ZL]\ZDQLDSRZ\*V]HJRXNáDGXUyZQD = k i = 1 x anm i i imod n gdzie: N i = n / n i i M i = N -1 i mod n i ]D]áR*RQRüREOLF]HQLRZD algorytmu: O (( log 2 n) 2 ). 3U]\NáDG x 3 (mod 7) x 7 (mod 13) 5R]ZL]DQLHZJDOJRU\WPX*DXVVD n 1 = 7 n 2 = 13 n = = 91 N 1 = 91 / 7 = 13 N 2 = 91 / 13 = 7 M 1 = 13-1 mod 7 = 6-1 mod 7 = 6 NODVDUyZQRZD*QRFL M 2 = 7-1 mod 13 = 2 x = ( ) mod 91 = ( ) mod 91 = 332 mod 91 = 59 mod 91 = 59

11 :D*Q\ZQLRVHNZ\QLNDMF\]&57 -H*HOLgcd (n 1, n 2 ) = 1, to para kongruencji: x a (mod n 1 ) x a (mod n 2 ) PDMHGQR]QDF]QHUR]ZL]DQLH x a (mod n 1 n 2 ) *UXSPXOWLSOLNDW\ZQ= n jest zbiór: = n = { a = n : gcd (a, n) = 1 }. :V]F]HJyOQRFLJG\n MHVWOLF]ESLHUZV] = n = { a = n : 1 a n - 1 }. 5]GHm = n jest liczba elementów tego zbioru, czyli = n. 3UDZG]LZDMHVW]DOH*QRü_= n = φ ( n ). Twierdzenie Eulera: n 2 a = * n a φ ( n ) 1 (mod n) (n MHVWLORF]\QHPGZyFKUy*Q\FKOLF]ESLHUZV]\FK r s(mod φ(n)) a r a s (mod n) Wniosek: :\NáDGQLNL SRWJ PRJ E\ü Z WDNLP SU]\SDGNX redukowane mod φ(n).

12 Ä0DáH WZLHUG]HQLH)HUPDWD Niech peg]lholf]eslhuzv]zwhg\ a = * p : a p (mod p) :QLRVNL]ÄPDáHJR WZLHUG]HQLD)HUPDWD a p a (mod p) n m (mod p - 1) a n a m (mod p) 3U]\NáDG]DVWRVRZDQLD =QDOH(ü RVWDWQL F\IU OLF]E\ w systemie zapisu liczb FDáNRZLW\FKRSRGVWDZLH7. p = 7 p - 1 = (mod 6) (24 = 16) 2(mod 7) D ]DWHP RVWDWQL F\IU UHSUH]HQWDFML OLczby w systemie zapisu o podstawie 7 jest cyfra 2. àf]qlhredwzlhug]hqldv]qdqhmdnrtwierdzenie Fermata-Eulera, ]DMHGQ]LFKNRQVHNZHQFMLMHVW]DOH*QRü a -1 a φ (n)-1 (mod n) 5]GHPOLF]E\D = * n jest najmniejsza liczba naturalna t = ord(a) WDND*H a t 1 (mod n) :D*QD]DOH*QRü ord(a) φ (n) Wynika ona z implikacji: a s 1 (mod n) ord(a) s

13 3U]\NáDG Niech n = 15. Wtedy =15 = { 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14 }. =15 = φ (15) = φ (3) φ (5) = 2. 4 = 8 a 1 a 2 a 3 a 4 ord(a) U]\NáDG Niech n = 7. Wtedy =7 = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }. =7 = φ (7) = 6 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 ord(a) Niech a =n. ord(a) = φ (n) a jest generatorem (generator, primitive element) grupy multiplikatywnej =n =n ma generator =n jestpxowlsolndw\zqjuxsf\nolf]q

14 :ádflzrfljhqhudwruyz= * n : = * n ma generator n = 2, 4, p k lub 2p k, gdzie pmhvwqlhsdu]\vw OLF]ESLHUZV]]Dk 1 p MHVWOLF]ESLHUZV] = * p ma generator a jest generatorem = * n = * n = { a i mod n : 0 i φ (n) - 1} a jest generatorem = * n (b = a i mod n jest generatorem = * n gcd( i, φ (n)) = 1) ]WHJRZ\QLNDWDN*H*HOLF]EDJHQHUDWRUyZ= * n wynosi Φ (Φ (n))) a jest generatorem = * n a φ (n) / p 1 (mod n) GODND*GHMOLF]E\ pierwszej pegfhmg]lhoqlnlhpφ (n) Niech b =n. x = n : x 2 b (mod n) b jest UHV]WNZDGUDWRZPRGXORQ (quadratic residue modulo n), albo inaczej: kwadratem modulo n (square modulo n). -H*HOLWDNLHx nie istnieje b jest QLHUHV]WNZDGUDWRZPRGXORQ Q n Q n - zbiór wszystkich reszt kwadratowych modulo n - zbiór wszystkich niereszt kwadratowych modulo n 3RQLHZD*0 =* n ZLF0 Q n oraz 0 Q n p - nieparzysta liczba pierwsza, a - generator =* p. (b MHVW UHV]W NZDGUDWRZ modulo p b = a i mod p, gdzie i MHVW QLHXMHPQ SDU]\VWOLF]EFDáNRZLW). Z SRZ\*V]HJRZ\QLND Q p = (p - 1) / 2 oraz Q p = (p - 1) / 2

15 3U]\NáDG a = 3 jest generatorem =7. a 0 a 1 a 2 a 3 a 4 a Q p = { 1, 2, 4 } Q p Sprawdzenie: = { 3, 5, 6 } (mod 7) (mod 7) (mod 7) (mod 7) (mod 7) (mod 7) (n = pq) (p i q - liczby pierwsze) (b = NZDGUDWRZ modulo n (b Q p ) (b Q q )) n MHVWUHV]W =SRZ\*V]HJRZ\QLND Q n = Q p. Q q = (p - 1)(q - 1) / 4 oraz Q n = 3 (p - 1)(q - 1) / 4 Niech b Q n. x = n VSHáQLD]DOH*QRüx 2 b (mod n) x jest pierwiastkiem kwadratowym z b modulo n (square root). Liczba pierwiastków kwadratowych: (p MHVWQLHSDU]\VWOLF]ESLHUZV]) (b Q p ) b PDGRNáDGQLH dwa pierwiastki kwadratowe modulo p Niech n = p 1 e1 p 2 e2... p k ek, gdzie p i VUy*Q\PL QLHSDU]\VW\PL OLF]EDPLSLHUZV]\PL]De i 1. Wtedy reszta kwadratowa b Q n PDGRNáDGQLH2 k Uy*Q\FKSLHUZLDVWNyZNZDGUDWRZ\FKmodulo n.

16 3U]\NáDG Q p = { 1, 2, 4 } jest zbiorem reszt kwadratowych dla =* 7 : Pierwiastkami kwadratowymi z 4 modulo 7 VOLF]E\2 i 5. 3U]\NáDG Niech n = p 1 p 2 = 3. 5 = 15. =3 = { 1, 2 }. =3 = φ (3) = 2. a 1 a 2 ord(a) Jedynym generatorem =3 jest liczba Q 3 = { 1 } jest zbiorem reszt kwadratowych dla =* 3. =5 = { 1, 2, 3, 4 }. =5 = φ (5) = 4. a 1 a 2 a 3 a 4 ord(a) Generatorami =5 VOLF]E\2 i Q 5 = { 1, 4 } jest zbiorem reszt kwadratowych dla =* 5.

17 (UWAGA: 1 4 (mod 3) - a zatem jako element tej samej klasy UyZQRZD*QRFL4 Q 3 ) =15 Q 15 = Q 3. Q 5 = 1. 2 = 2 = { 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14 } (mod 15) (mod 15) (mod 15) (mod 15) (mod 15) (mod 15) (mod 15) (mod 15) Q 15 = { 1, 4 } jest zbiorem reszt kwadratowych dla =* 15. Liczba 1 ma cztery pierwiastki kwadratowe modulo 15: 1, 4, 11 i 14. Liczba 4 ma cztery pierwiastki kwadratowe modulo 15: 2, 7, 8 i 13. Niech p EG]LH QLHSDU]\VW OLF]ESLHUZV] ]D a OLF]E FDáNRZLW Symbol Legendre a MHVWRNUHORQ\QDVWSXMFR: 0, gdy pa a = 1, gdy a Q p 1, gdya Q :ádflzrflv\perox/hjhqguh D Niech p EG]LHQLHSDU]\VWOLF]ESLHUZV]]Da, b =. p p :V]F]HJyOQRFL :\QLNDVWG*H 1 = 1 p a p a ( p 1)/ 2 (mod p) 1 p = ( 1) ( )/ p 1 2 p 1 (mod 4) -1 Q p oraz p 3 (mod 4) -1 Q p

18 :\QLNDVWG*H a =p 2 a p ab p a b = p p = 1 a b (mod p) a b = p p 2 p = ( ) ( )/ p :\QLNDVWG*H p 1 (mod 8) p 7 (mod 8) oraz p 3 (mod 8) p 5 (mod 8) 2 = 1 p 2 = 1 p q MHVWQLHSDU]\VWOLF]ESLHUZV]Uy*Q od p :\QLNDVWG*H p 3 (mod 4) q 3 (mod 4) p q = q ( 1) p ( p 1)( q 1)/ 4 p q = q p w przeciwnym przypadku p q = q p

19 Uogólnieniem symbolu Legendre a dla nieparzystych liczb FDáNRZLW\FKnNWyUHQLHPXV]E\üOLF]bami pierwszymi, jest symbol Jacobiego. Niech n 3 EG]LHOLF]EQLHSDU]\VWSRVWDFLn = p 1 e1 p 2 e2... p k ek, gdzie p i VUy*Q\PL liczbami pierwszymi. :DUWRüsymbolu Jacobiego: a n = e1 :ádflzrflv\perox-dfrelhjr Niech m 3 i n 3 EG QLHSDU]\VW\PL OLF]EDPL FDáNRZLW\PL D ponadto a, b =. a n e2 a a a p p... p 1 2 { 1,0, 1 } k ek :V]F]HJyOQRFL a n = 0 JFGDQ ab n a b = n n :\QLNDVWG*H a =n 2 a n = 1 a a a = mn m n a b (mod n) a b n = n

20 1 1 n = :\QLNDVWG*H 1 n = ( 1) ( )/ n 1 n 1 (mod 4) = 1 oraz n 3 (mod 4) n = 1 n :\QLNDVWG*H n 1 (mod 8) n 7 (mod 8) oraz 2 n n = ( ) ( )/ n 3 (mod 8) n 5 (mod 8) m n = n ( 1) m 2 1 n = 2 1 n = ( m 1)( n 1)/ 4 :\QLNDVWG*H n 3 (mod 4) m 3 (mod 4) m n = n m w przeciwnym przypadku m n = n m

21 UWAGA dla symbolu Legendre a: a a Qn n = 1 a dla symbolu Jacobiego: a Qn n = 1 Niech n 3 EG]LHFDáNRZLWOLF]EQLHSDU]\VW 2]QDF]DMF]ELyU a Jn = a n n { = : = 1 } RNUHODVL]ELyUpseudokwadratów (pseudosquares) modulo n: ~ Q n = J n - Q n ~ (n = pq) (p i q - liczby pierwsze) Q n = Q n = (p-1)(q-1)/4 Wniosek: 3RáRZD HOHPHQWyZ ]ELRUX J n WR UHV]W\ NZDGUDWRZH ]D GUXJDSRáRZD- pseudokwadraty. 3U]\NáDG 5R]ZD*P\SRQRZQLHJUXSPXOWLSOLNDW\ZQ=15. a = a 2 mod n a a a Q 15 = { 1, 4 } J 15 = { 1, 2, 4, 8 }

22 /LF]E%OXPDjest liczba postaci n = pq, gdzie p i q VUy*Q\PL liczbami pierwszymi, a ponadto: p 3 (mod 4) i q 3 (mod 4). (n = pq - liczba Bluma) (a Q n ) a ma GRNáDGQLH 4 pierwiastki kwadratowe modulo ndsrqdgwrgrnádgqlhmhghq]qlfkqdoh*\gr Q n i MHVWRQRNUHODQ\MDNRJáyZQ\SLHUZLDVWHNNZDGUDWRZ\z a modulo n (principal square root of a modulo n). 3U]\NáDG p = 3 q = 7 n = 21 (liczba Bluma) Q 21 = { 1, 4, 16 } J 21 = { 1, 4, 5, 16, 17, 20 } Pierwiastkami kwadratowymi z liczby 4 modulo 21 V2, 5, 16 i 19, przy czym liczba 16 MHVWSLHUZLDVWNLHPJáyZQ\P n = pq - liczba Bluma funkcja f : Q n Q n, RNUHORQD]DOH*QRFL f (x) = x 2 mod n MHVW SHUPXWDFM ]D MHM SHUPXWDFM RGZURWQMHVW funkcja: f -1 (x) = x ((p-1)(q-1)+4) / 8 mod n 3U]\NáDG 5R]ZD*P\JUXSPXOWLSOLNDW\ZQ=21. =21 = { 1, 2, 4, 5, 8, 10, 11, 13, 16, 17, 19, 20 } a a 2 mod21 Q 21 = { 1, 4, 16 } f (x) = x 2 mod 21 f -1 (x) = x ((3-1)(7-1)+4) / 8 mod 21 = x 2 mod 21 = f(x) (inwolucja!!!) x f(x)

23 =à2)212û$/*25<70ï::= n.d*g OLF]E FDáNRZLW a = n PR*QD SU]HGVWDZLü Z SRVWDFL reprezentacji binarnej: t i a = 2, gdzie k i { 0, 1 } k i i= 0 Ä'áXJRü UHSUH]HQWDFMLELQDUQHMt PR*QDRV]DFRZDüSU]H]log 2 n. :\QLNDVWG]áR*RQRüRSHUDFMLdodawania i odejmowania w = n : (a ± b) mod n = O ( log 2 n ) Operacja PQR*HQLD PR*H E\ü ]UHDOL]RZDQD SU]H] ]Z\F]DMQH PQR*HQLHGZyFKOLF]EFDáNRZLW\FKDQDVWSQLHZ\]QDF]HQLHUHV]W\] dzielenia iloczynu przez n VWG (a. b) mod n = O (( log 2 n ) 2 ) 0R*QDZ\ND]Dü*Hwyznaczanie elementu odwrotnego a -1 (mod n) zgodnie z rozszerzonym algorytmem Euklidesa prowadzi do oszacowania: a -1 mod n = O (( log 2 n ) 2 ) 2EOLF]DQLH SRWJL FDáNRZLWHM D k mod n, gdzie n > k 0 PR*QD ]UHDOL]RZDüQDSRGVWDZLHQDVWSXMFHJRVSRVWU]H*HQLD k = t k i i= 0 2 i, gdzie k i { 0, 1 } t k k k 2 2 k k a = a i = a a a i= 0 i t t

24 3VHXGRNRGDOJRU\WPXSRWJRZDQLD Power (a, k, n) { b : = 1; if (k = 0) then return (b); x : = a; if (k 0 = 1) then b : = a; for i : = 1 until t do { x : = x 2 mod n; if (k i = 1) then b : = x. b mod n; } return (b); } 3U]\NáDG 1DOH*\REOLF]\ü3 8 mod 7. n = 7 a = 3 k = 8 = URNLZVWSQH b = 1 k 0 x = 3 k 0 1 Kolejne iteracje: i = 1 x = 3 2 mod 7 = 9 mod 7 = 2 k 1 = 0 i = 2 x = 2 2 mod 7 = 4 mod 7 = 4 k 2 = 0 i = 3 x = 4 2 mod 7 = 16 mod 7 = 2 k 3 = 1 b = 2. 1 mod 7 = 2 2GSRZLHG( 3 8 mod 7 = 2 =ár*rqrüsrz\*v]hjrdojru\wpxsrwjrzdqld a k mod n = O (( log 2 n ) 3 )

25 Do REOLF]DQLD ZDUWRFL V\PEROX -DFRELHJR Z\NRU]\VWDü PR*QD QDVWSXMFZáDFLZRü (n jest nieparzyste) (a = 2 e a 1 ) (a 1 jest nieparzyste) e a a n a a n = n 2 n = n n 1 2 mod 1 ( 1 1 1)( 1)/ 4 ( ) a1 :\QLND VWG UHNXUHQF\MQ\ DOJRU\WP QLH Z\PDJDMF\ IDNWRU\]DFML liczby n R]áR*RQRFLELWRZHMO (( log 2 n ) 2 ): 3VHXGRNRGDOJRU\WPXREOLF]DQLDZDUWRFLV\PEROX-DFRELHJR LV\PEROX/HJHQGUH DJG\QMHVWQLHSDU]\VWOLF]ESLHUZV] Jacobi (a, n) { if (a = 0) then return (0); if (a = 1) then return (1); ; przedstaw a w postaci 2 e a 1, gdzie a 1 jest nieparzyste if ( e jest parzyste ) then ( s : = 1 ); else if (( n 1 (mod 8 )) ( n 7 (mod 8 ))) then ( s : = 1 ); else if (( n 3 (mod 8 )) ( n 5 (mod 8 ))) then ( s : = -1 ); if (( n 3 (mod 4 )) (a 1 3 (mod 4 ))) then ( s : = -s ); n 1 : = n mod a 1 ; return ( s. Jacobi (n 1, a 1 ); } UWAGA: 0LPRL*GODOLF]E\SLHUZV]HMp ZLDGRPR*HOLF]EDniereszt kwadratowych Z\QRVL GRNáDGQLH (p-1)/2, to nie istnieje deterministyczny algorytm wielomianowy Z\]QDF]DMF\ WDN OLF]E QDOH*FGR=p, która jest QLHUHV]WNZDGUDWRZ Natomiast istnieje randomizowany algorytmsrohjdmf\qdnrohmq\fk losowych wyborach elementów z = plreolf]dqlxgodqlfkzduwrfl V\PEROX -DFRELHJR MH*HOL ZDUWRü WD Z\QRVL -1, to niereszta kwadratowa ]RVWDáDZ\]QDF]RQD2F]HNLZDQDOLF]EDLWHUDFMLGODWHJR algorytmu wynosi 2. e

26 LOGARYTM DYSKRETNY (INDEKS) Niech G EG]LH VNRF]RQ JUXS F\NOLF]Q U]GX n ]D a - generatorem grupy G. Logarytmem dyskretnym (indeksem) z b przy podstawie a jest MHGQR]QDF]QLHRNUHORQDOLF]EDFDáNRZLWD0 x n - 1WDND*H b = a x Logarytm dyskretny oznaczany jest jako log a b. :ádflzrflorjdu\wpxg\vnuhwqhjr Niech a EG]LHJHQHUDWRUHPF\NOLF]QHMJUXS\G U]GXn. Wtedy: b, c G s = log a (bc) = (log a b+log a c) mod n log a (b s ) = slog a b mod n 3U]\NáDG Niech G = =* p ]Da generatorem =* p. Niech ponadto p EG]LHOLF]ESLHUZV]5]GJUXS\Z\QRVLp-1. Dowolny element b =* p PR*QDSU]HGVWDZLüMHGQR]QDF]QLHMDNR b = a i mod p, gdzie 0 i p-2 VWGindeks). b = 1 i = 0 (log a 1 = 0) b = a i = 1 (log a a = 1) (b = a i mod p) (c = a j mod p) bc = (a i + j mod p) bc = a k mod p a k = a i + j mod p k = (i + j) mod φ(p) k = (i + j) mod (p - 1) (na podstawie tw.fermata-eulera) log a (bc) = (log a b+log a c) mod (p - 1) log a (b s ) = (log a b+log a b+...+ log a b) mod (p - 1) = (s log a b) mod (p - 1) s razy

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod

Bardziej szczegółowo

o partnerstwie publiczno-prywatnym.

o partnerstwie publiczno-prywatnym. SENAT RZECZYPOSPOLITEJ POLSKIEJ V KADENCJA Warszawa, dnia 20 czerwca 2005 r. Druk nr 984 0$56=$à(. 6(-08 RZECZYPOSPOLITEJ POLSKIEJ Pan Longin PASTUSIAK 0$56=$à(. 6(1$78 RZECZYPOSPOLITEJ POLSKIEJ =JRGQLH

Bardziej szczegółowo

Zastosowania arytmetyki modularnej. Zastosowania arytmetyki modularnej

Zastosowania arytmetyki modularnej. Zastosowania arytmetyki modularnej Obliczenia w systemach resztowych [Song Y. Yan] Przykład: obliczanie z = x + y = 123684 + 413456 na komputerze przyjmującym słowa o długości 100 Obliczamy kongruencje: x 33 (mod 99), y 32 (mod 99), x 8

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 10: Algorytmy teorii liczb Gniewomir Sarbicki Literatura A. Chrzęszczyk Algorytmy teorii liczb i kryptografii w przykładach Wydawnictwo BTC 2010 N. Koblitz Wykład z teorii liczb

Bardziej szczegółowo

Jan Bień. Modelowanie obiektów mostowych w procesie ich eksploatacji

Jan Bień. Modelowanie obiektów mostowych w procesie ich eksploatacji Jan Bień Modelowanie obiektów mostowych w procesie ich eksploatacji Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej Wrocław 2002 63,675(&, 1. SYSTEMOWE WSPOMAGANIE EKSPLOATACJI OBIEKTÓW MOSTOWYCH... 7 1.1.

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Zielonogórski Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych. Algorytmy i struktury danych Laboratorium Nr 10.

Uniwersytet Zielonogórski Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych. Algorytmy i struktury danych Laboratorium Nr 10. Uniwersytet Zielonogórski Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Algorytmy i struktury danych Laboratorium Nr 10 Teoria liczb 1 Cel ćwiczenia Algorytmy teorioliczbowe znajdują szerokie zastosowanie

Bardziej szczegółowo

Piotr 7U\EDáD. Leasing 3RUDGQLN3U]HGVLELRU \

Piotr 7U\EDáD. Leasing 3RUDGQLN3U]HGVLELRU \ Piotr 7U\EDáD Leasing 3RUDGQLN3U]HGVLELRU \ Autor Piotr 7U\EDáD Redakcja i korekta Ewa Skrzypkowska Copyright by 3ROVND $JHQFMD 5R]ZRMX 3U]HGVLELRUF]RFL Projekt serii Tadeusz Korobkow 3URMHNW RNáDGNL Andrzej

Bardziej szczegółowo

Kongruencje oraz przykłady ich zastosowań

Kongruencje oraz przykłady ich zastosowań Strona 1 z 25 Kongruencje oraz przykłady ich zastosowań Andrzej Sładek, Instytut Matematyki UŚl sladek@ux2.math.us.edu.pl Spotkanie w LO im. Powstańców Śl w Bieruniu Starym 27 października 2005 Strona

Bardziej szczegółowo

1. PARAMETRY TECHNICZNE WAG NAJAZDOWYCH.

1. PARAMETRY TECHNICZNE WAG NAJAZDOWYCH. .ZLHFLH 2 1. PARAMETRY TECHNICZNE WAG NAJAZDOWYCH. Typ wagi 2EFL*HQLH maksymalne Max [kg] WPT/4N 400H WPT/4N 800H WPT/4N 1500H 400 800 1500 2EFL*HQLH PLQLPDOQH Min [kg] 4 10 10 'RNáDGQRü RGF]\WX d [g]

Bardziej szczegółowo

Analiza kongruencji. Kongruencje Wykład 3. Analiza kongruencji

Analiza kongruencji. Kongruencje Wykład 3. Analiza kongruencji Kongruencje Wykład 3 Kongruencje algebraiczne Kongruencje jak już podkreślaliśmy mają własności analogiczne do równań algebraicznych. Zajmijmy się więc problemem znajdowania pierwiastka równania algebraicznego

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 9: Grupy skończone Gniewomir Sarbicki Grupy cykliczne Definicja: Jeżeli każdy element grupy G jest postaci a n dla pewnego a G, to mówimy, że grupa G jest grupą cykliczną o

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Zadania. 1.1 Liczby pierwsze. 1. Wykorzystując sito Eratostenesa wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze mniejsze niż 200.

Rozdział 1. Zadania. 1.1 Liczby pierwsze. 1. Wykorzystując sito Eratostenesa wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze mniejsze niż 200. Rozdział 1 Zadania 1.1 Liczby pierwsze 1. Wykorzystując sito Eratostenesa wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze mniejsze niż 200. 2. Wyliczyć największy wspólny dzielnik d liczb n i m oraz znaleźć liczby

Bardziej szczegółowo

Zapis stenograficzny (1653) 27. posiedzenie Komisji Spraw Unii Europejskiej w dniu 25 lutego 2005 r.

Zapis stenograficzny (1653) 27. posiedzenie Komisji Spraw Unii Europejskiej w dniu 25 lutego 2005 r. ISSN 1643-2851 SENAT RZECZYPOSPOLITEJ POLSKIEJ Zapis stenograficzny (1653) 27. posiedzenie Komisji Spraw Unii Europejskiej w dniu 25 lutego 2005 r. V kadencja Zapis stenograficzny jest tekstem nieautoryzowanym.

Bardziej szczegółowo

Spis treœci :VWS... 5. Poziom podstawowy... 9. Poziom rozszerzony... 61. 5R]ZL]DQLD... 95 6áRZQLF]HN... 125 Literatura... 127

Spis treœci :VWS... 5. Poziom podstawowy... 9. Poziom rozszerzony... 61. 5R]ZL]DQLD... 95 6áRZQLF]HN... 125 Literatura... 127 Spis treœci Twoja matura Geografia :VWS... 5 Poziom podstawowy... 9 I. 3RGVWDZ\ NRU]\VWDQLD ] Uy*QRURGQ\FK (UyGHá LQIRUPDFML JHRJUaficznej... 9 II. Funkcjonowanie systemu przyrodniczego Ziemi... 16 III.

Bardziej szczegółowo

Algorytm. a programowanie -

Algorytm. a programowanie - Algorytm a programowanie - Program komputerowy: Program komputerowy można rozumieć jako: kod źródłowy - program komputerowy zapisany w pewnym języku programowania, zestaw poszczególnych instrukcji, plik

Bardziej szczegółowo

Zapis stenograficzny (1537) 188. posiedzenie.rplvml3rolw\nl6sráhf]qhml=gurzld w dniu 30 listopada 2004 r.

Zapis stenograficzny (1537) 188. posiedzenie.rplvml3rolw\nl6sráhf]qhml=gurzld w dniu 30 listopada 2004 r. ISSN 1643-2851 SENAT RZECZYPOSPOLITEJ POLSKIEJ Zapis stenograficzny (1537) 188. posiedzenie.rplvml3rolw\nl6sráhf]qhml=gurzld w dniu 30 listopada 2004 r. V kadencja 3RU]GHN REUDG,QIRUPDFMD QD WHPDW SUREOHPX

Bardziej szczegółowo

Zapis stenograficzny (1532) 187. posiedzenie.rplvml3rolw\nl6sráhf]qhml=gurzld w dniu 25 listopada 2004 r.

Zapis stenograficzny (1532) 187. posiedzenie.rplvml3rolw\nl6sráhf]qhml=gurzld w dniu 25 listopada 2004 r. ISSN 1643-2851 SENAT RZECZYPOSPOLITEJ POLSKIEJ Zapis stenograficzny (1532) 187. posiedzenie.rplvml3rolw\nl6sráhf]qhml=gurzld w dniu 25 listopada 2004 r. V kadencja 3RU]GHN REUDG 1. Rozpatrzenie ustawy

Bardziej szczegółowo

Zapis stenograficzny (1530) 162. posiedzenie.rplvml6dpru]gx7hu\wruldoqhjr i AdmiQLVWUDFML3DVWZRZHM w dniu 25 listopada 2004 r.

Zapis stenograficzny (1530) 162. posiedzenie.rplvml6dpru]gx7hu\wruldoqhjr i AdmiQLVWUDFML3DVWZRZHM w dniu 25 listopada 2004 r. ISSN 1643-2851 SENAT RZECZYPOSPOLITEJ POLSKIEJ Zapis stenograficzny (1530) 162. posiedzenie.rplvml6dpru]gx7hu\wruldoqhjr i AdmiQLVWUDFML3DVWZRZHM w dniu 25 listopada 2004 r. V kadencja 3RU]GHN REUDG 5R]SDWU]HQLH

Bardziej szczegółowo

Proste programy w C++ zadania

Proste programy w C++ zadania Proste programy w C++ zadania Zbiór zadao do samodzielnego rozwiązania stanowiący powtórzenie materiału. Podstawy C++ Budowa programu w C++ Dyrektywy preprocesora Usunięcie dublujących się nazw Częśd główna

Bardziej szczegółowo

Copyright by K. Trybicka-Francik 1

Copyright by K. Trybicka-Francik 1 Bezpieczeństwo systemów komputerowych Algorytmy kryptograficzne (2) mgr Katarzyna Trybicka-Francik kasiat@zeus.polsl.gliwice.pl pok. 503 Szyfry wykładnicze Pohlig i Hellman 1978 r. Rivest, Shamir i Adleman

Bardziej szczegółowo

Parametry systemów klucza publicznego

Parametry systemów klucza publicznego Parametry systemów klucza publicznego Andrzej Chmielowiec Instytut Podstawowych Problemów Techniki Polskiej Akademii Nauk 24 marca 2010 Algorytmy klucza publicznego Zastosowania algorytmów klucza publicznego

Bardziej szczegółowo

SENAT RZECZYPOSPOLITEJ POLSKIEJ V KADENCJA. Warszawa, dnia 3 sierpnia 2005 r. Druk nr 1074

SENAT RZECZYPOSPOLITEJ POLSKIEJ V KADENCJA. Warszawa, dnia 3 sierpnia 2005 r. Druk nr 1074 SENAT RZECZYPOSPOLITEJ POLSKIEJ V KADENCJA Warszawa, dnia 3 sierpnia 2005 r. Druk nr 1074 PREZES RADY MINISTRÓW Marek BELKA Pan Longin PASTUSIAK 0$56=$à(. 6(1$78 RZECZYPOSPOLITEJ POLSKIEJ 6]DQRZQ\ 3DQLH

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i język C++

Algorytmy i język C++ Wykład 6 Wskaźniki Wskaźnik nie przechowuje wartości zmiennej ale, podobnie jak tablica, wskazuje miejsce w pamięci, w którym znajduje się zmienna danego typu. W poniższym przykładzie symbol * pomiędzy

Bardziej szczegółowo

Liczby rzeczywiste, wyrażenia algebraiczne, równania i nierówności, statystyka, prawdopodobieństwo.

Liczby rzeczywiste, wyrażenia algebraiczne, równania i nierówności, statystyka, prawdopodobieństwo. Liczby rzeczywiste, wyrażenia algebraiczne, równania i nierówności, statystyka, prawdopodobieństwo. Zagadnienia szczegółowe: obliczanie wartości wyrażeń arytmetycznych; działania na pierwiastkach i potęgach;

Bardziej szczegółowo

Podstawy systemów kryptograficznych z kluczem jawnym RSA

Podstawy systemów kryptograficznych z kluczem jawnym RSA Podstawy systemów kryptograficznych z kluczem jawnym RSA RSA nazwa pochodząca od nazwisk twórców systemu (Rivest, Shamir, Adleman) Systemów z kluczem jawnym można używać do szyfrowania operacji przesyłanych

Bardziej szczegółowo

Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/

Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Paweł Gładki Algebra http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Konsultacje: Środa, 14:00-15:00 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go o tym przed lub po zajęciach,

Bardziej szczegółowo

Teoria liczb. x 3 + 3y 3 + 9z 3 9xyz = 0. x 2 + 3y 2 = 1998x.

Teoria liczb. x 3 + 3y 3 + 9z 3 9xyz = 0. x 2 + 3y 2 = 1998x. Teoria liczb grupa starsza poniedziałek, 27 września 2004 Równania teorioliczbowe.. Rozwiazać w liczbach całkowitych x, y, z. x 3 + 3y 3 + 9z 3 9xyz = 0. 2. Rozwiazać w liczbach całkowitych dodatnich x,

Bardziej szczegółowo

STACJE ELEKTROENERGETYCZNE

STACJE ELEKTROENERGETYCZNE :$/'(0$5'2à *$ STACJE ELEKTROENERGETYCZNE 2),&

Bardziej szczegółowo

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl System dziesiętny 7 * 10 4 + 3 * 10 3 + 0 * 10 2 + 5 *10 1 + 1 * 10 0 = 73051 Liczba 10 w tym zapisie nazywa się podstawą systemu liczenia. Jeśli liczba 73051 byłaby zapisana w systemie ósemkowym, co powinniśmy

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA OBSŁUGI I INSTALOWANIA ZMYWARKI DO NACZYŃ MODEL: STX2C

INSTRUKCJA OBSŁUGI I INSTALOWANIA ZMYWARKI DO NACZYŃ MODEL: STX2C INSTRUKCJA OBSŁUGI I INSTALOWANIA ZMYWARKI DO NACZYŃ MODEL: STX2C Wyłączny Przedstawiciel na Polskę: DOM BANCO Sp. z o.o., al. Krakowska 5, 05-090 Raszyn k/warszawy Tel.: 0 22 720 11 99, fax: 0 22 720

Bardziej szczegółowo

Wykład IV Algorytmy metody prezentacji i zapisu Rzut oka na język PASCAL

Wykład IV Algorytmy metody prezentacji i zapisu Rzut oka na język PASCAL Studia Podyplomowe INFORMATYKA Podstawy Informatyki Wykład IV Algorytmy metody prezentacji i zapisu Rzut oka na język PASCAL 1 Część 1 Pojęcie algorytmu 2 I. Pojęcie algorytmu Trochę historii Pierwsze

Bardziej szczegółowo

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa, test próbny www.omg.edu.pl (wrzesień 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o

Bardziej szczegółowo

Wstęp do programowania

Wstęp do programowania Wstęp do programowania Podstawowe konstrukcje programistyczne Paweł Daniluk Wydział Fizyki Jesień 2013 P. Daniluk (Wydział Fizyki) WP w. II Jesień 2013 1 / 34 Przypomnienie Programowanie imperatywne Program

Bardziej szczegółowo

LICZBY PIERWSZE. 14 marzec 2007. Jeśli matematyka jest królową nauk, to królową matematyki jest teoria liczb. C.F.

LICZBY PIERWSZE. 14 marzec 2007. Jeśli matematyka jest królową nauk, to królową matematyki jest teoria liczb. C.F. Jeśli matematyka jest królową nauk, to królową matematyki jest teoria liczb. C.F. Gauss (1777-1855) 14 marzec 2007 Zasadnicze twierdzenie teorii liczb Zasadnicze twierdzenie teorii liczb Ile jest liczb

Bardziej szczegółowo

LICZBY PIERWSZE. Jan Ciurej Radosław Żak

LICZBY PIERWSZE. Jan Ciurej Radosław Żak LICZBY PIERWSZE Jan Ciurej Radosław Żak klasa IV a Katolicka Szkoła Podstawowa im. Świętej Rodziny z Nazaretu w Krakowie ul. Pędzichów 13, 31-152 Kraków opiekun - mgr Urszula Zacharska konsultacja informatyczna

Bardziej szczegółowo

Irena Zubel..V]WDáWRZDQLHVWUXNWXUSU]HVWU]HQQ\FK w krzemie PHWRGWUDZLHQLDDQL]RWURSRZHJR GR]DVWRVRZDZPLNURHOHNWUonice

Irena Zubel..V]WDáWRZDQLHVWUXNWXUSU]HVWU]HQQ\FK w krzemie PHWRGWUDZLHQLDDQL]RWURSRZHJR GR]DVWRVRZDZPLNURHOHNWUonice Irena Zubel.V]WDáWRZDQLHVWUXNWXUSU]HVWU]HQQ\FK w krzemie PHWRGWUDZLHQLDDQL]RWURSRZHJR GR]DVWRVRZDZPLNURHOHNWUonice Oficyna Wydawnicza Politechniki WURFáDZVNLHM WURFáDZ 2004 Recenzenci Keshra Sangwal Jerzy

Bardziej szczegółowo

-]\NPRGHORZDQLDGDQ\FK80/ {ewag@ipipan.waw.pl, ewag@pjwstk.waw.pl} Ewa Stemposz. Instytut Podstaw Informatyki PAN

-]\NPRGHORZDQLDGDQ\FK80/ {ewag@ipipan.waw.pl, ewag@pjwstk.waw.pl} Ewa Stemposz. Instytut Podstaw Informatyki PAN -]\NPRGHORZDQLDGDQ\FK80/ Ewa Stemposz {ewag@ipipan.waw.pl, ewag@pjwstk.waw.pl} Instytut Podstaw Informatyki PAN Polsko--DSRVND:\*V]D6]NRáD7HFKQLN.RPSXWHURZ\FK Zagadnienia Krótka charakterystyka UML Diagramy

Bardziej szczegółowo

1. Powtórka ze szkoły. Wykład: 4.10.2004 (4 godziny), ćwiczenia: 7.10.2004, kolokwium nr 1: 11.10.2004

1. Powtórka ze szkoły. Wykład: 4.10.2004 (4 godziny), ćwiczenia: 7.10.2004, kolokwium nr 1: 11.10.2004 ANALIZA MATEMATYCZNA A dla I roku, 2004/2005 1. Powtórka ze szkoły. Wykład: 4.10.2004 (4 godziny), ćwiczenia: 7.10.2004, kolokwium nr 1: 11.10.2004 Obliczyć sumy (postępów arytmetycznych i goemetrycznych):

Bardziej szczegółowo

Podzielność liczb. Podzielność liczb

Podzielność liczb. Podzielność liczb Euclides i kwestie podzielności liczb Definicja Niech a, b Z. Mówimy, że liczba a > 0 dzieli liczbę b, albo a b, jeżeli istnieje taka całkowita liczba c, że b = ac. Definicja a b a > 0 i b = ac, c całkowite.

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna Zestaw 2

Matematyka Dyskretna Zestaw 2 Materiały dydaktyczne Matematyka Dyskretna (Zestaw ) Matematyka Dyskretna Zestaw 1. Wykazać, że nie istnieje liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 18 daje resztę 13, a przy dzieleniu przez 1 daje

Bardziej szczegółowo

2 Arytmetyka. d r 2 r + d r 1 2 r 1...d d 0 2 0,

2 Arytmetyka. d r 2 r + d r 1 2 r 1...d d 0 2 0, 2 Arytmetyka Niech b = d r d r 1 d 1 d 0 będzie zapisem liczby w systemie dwójkowym Zamiana zapisu liczby b na system dziesiętny odbywa się poprzez wykonanie dodawania d r 2 r + d r 1 2 r 1 d 1 2 1 + d

Bardziej szczegółowo

Wiadomości wstępne Środowisko programistyczne Najważniejsze różnice C/C++ vs Java

Wiadomości wstępne Środowisko programistyczne Najważniejsze różnice C/C++ vs Java Wiadomości wstępne Środowisko programistyczne Najważniejsze różnice C/C++ vs Java Cechy C++ Język ogólnego przeznaczenia Można programować obiektowo i strukturalnie Bardzo wysoka wydajność kodu wynikowego

Bardziej szczegółowo

Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb

Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb 1. Podzielno± Przedmiotem bada«teorii liczb s wªasno±ci liczb caªkowitych. Zbiór liczb caªkowitych oznacza b dziemy symbolem Z. Zbiór liczb naturalnych

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KOD PESEL PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Marzec 2016 POZIOM ROZSZERZONY 1. Rozwiązania zadań i odpowiedzi wpisuj

Bardziej szczegółowo

PROGRAMOWANIE W C++ ZADANIA

PROGRAMOWANIE W C++ ZADANIA PROGRAMOWANIE W C++ ZADANIA Włodzimierz Gajda Rozdział 7 PĘTLE 7.1 PĘTLA FOR: rysowanie wzorków. ZADANIE 7.1.1 Napisz program drukujący na ekranie 19 gwiazdek: ******************* ZADANIE 7.1.2 Napisz

Bardziej szczegółowo

Szyfrowanie RSA. Liczba pierwsza jest liczbą naturalną posiadającą dokładnie dwa różne podzielniki - 1 oraz samą siebie.

Szyfrowanie RSA. Liczba pierwsza jest liczbą naturalną posiadającą dokładnie dwa różne podzielniki - 1 oraz samą siebie. Szyfrowanie RSA Liczby pierwsze Na początek przypomnijmy sobie parę użytecznych wiadomości o liczbach pierwszych. Są one znane od starożytności a ich znaczenie jest ogromne w matematyce i tym bardziej

Bardziej szczegółowo

Liczby pierwsze Mersenne a i Fermata. Liczby pierwsze Mersenne a i Fermata

Liczby pierwsze Mersenne a i Fermata. Liczby pierwsze Mersenne a i Fermata Liczby dwumianowe N = a n ± b n Tak zwane liczby dwumianowe N = a n ± b n łatwo poddają się faktoryzacji. Wynika to z wzorów (polecam sprawdzenie!) a n b n = (a b) ( a n 1 + a n 2 b +... + ab n 2 + b n

Bardziej szczegółowo

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2011-2014 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY 1. wykorzystania

Bardziej szczegółowo

Rozdział 7. Elementy teorii liczb. 7.1 Podstawowe własności liczb

Rozdział 7. Elementy teorii liczb. 7.1 Podstawowe własności liczb Rozdział 7 Elementy teorii liczb 7.1 Podstawowe własności liczb Zakres teorii liczb to zbiór liczb całkowitych. Tak więc nie będziemy wychodzić poza ten zbiór, a jeśli się pojawi pojęcie,,liczba, oznaczać

Bardziej szczegółowo

Zdający posiada umiejętności w zakresie: 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny i formułuje uzyskane wyniki

Zdający posiada umiejętności w zakresie: 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny i formułuje uzyskane wyniki Standardy wymagań na egzaminie maturalnym z matematyki mają dwie części. Pierwsza część opisuje pięć podstawowych obszarów umiejętności matematycznych. Druga część podaje listę szczegółowych umiejętności.

Bardziej szczegółowo

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010

Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010 Standardy wymagań maturalnych z matematyki - matura 2010 STANDARDY WYMAGAŃ BĘDĄCE PODSTAWĄ PRZEPROWADZANIA EGZAMINU MATURALNEGO Standardy można pobrać (plik pdf) wybierając ten link: STANDARDY 2010 lub

Bardziej szczegółowo

Algorytmy. Programowanie Proceduralne 1

Algorytmy. Programowanie Proceduralne 1 Algorytmy Programowanie Proceduralne 1 Przepis Warzenie piwa Brunświckiego Programowanie Proceduralne 2 Przepis Warzenie piwa Brunświckiego składniki (dane wejściowe): woda, słód, itd. wynik: beczka piwa

Bardziej szczegółowo

a[1] a[2] a[3] a[4] a[5] a[6] a[7] a[8] a[9] a[10] 3-2 5 8 12-4 -26 12 45-76

a[1] a[2] a[3] a[4] a[5] a[6] a[7] a[8] a[9] a[10] 3-2 5 8 12-4 -26 12 45-76 . p. 1 Algorytmem nazywa się poddający się interpretacji skończony zbiór instrukcji wykonania zadania mającego określony stan końcowy dla każdego zestawu danych wejściowych W algorytmach mogą występować

Bardziej szczegółowo

Gimnazjum w Tęgoborzy - Algorytmika Strona 1 z 22 mgr Zofia Czech

Gimnazjum w Tęgoborzy - Algorytmika Strona 1 z 22 mgr Zofia Czech ALGORYMY Algorytm to przepis; zestawienie kolejnych kroków prowadzących do wykonania określonego zadania; to uporządkowany sposób postępowania przy rozwiązywaniu zadania, problemu, z uwzględnieniem opisu

Bardziej szczegółowo

Bash i algorytmy. Elwira Wachowicz. 20 lutego

Bash i algorytmy. Elwira Wachowicz. 20 lutego Bash i algorytmy Elwira Wachowicz elwira@ifd.uni.wroc.pl 20 lutego 2012 Elwira Wachowicz (elwira@ifd.uni.wroc.pl) Bash i algorytmy 20 lutego 2012 1 / 16 Inne przydatne polecenia Polecenie Dziaªanie Przykªad

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Wielkopolskie Mecze Matematyczne

Wielkopolskie Mecze Matematyczne Wielkopolskie Mecze Matematyczne edycja druga 3 kwietnia 2015r. W okresie renesansu we Włoszech matematycy stworzyli ciekawą formę rywalizacji intelektualnej. Wymieniali się zadaniami, a po kilku tygodniach

Bardziej szczegółowo

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji I LO im. F. Ceynowy w Świeciu Radosław Rudnicki joix@mat.uni.torun.pl 17.03.2009 r. Typeset by FoilTEX Streszczenie Celem wykładu jest wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Programowanie Delphi obliczenia, schematy blokowe

Programowanie Delphi obliczenia, schematy blokowe Informatyka II MPZI2 ćw.2 Programowanie Delphi obliczenia, schematy blokowe Zastosowania obliczeń numerycznych Wyrażenia arytmetyczne służą do zapisu wykonywania operacji obliczeniowych w trakcie przebiegu

Bardziej szczegółowo

2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. (c.d.

2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. (c.d. 2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. (c.d.) 10 października 2009 r. 20. Która liczba jest większa,

Bardziej szczegółowo

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymagań egzaminacyjnych Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny

Bardziej szczegółowo

Liczby rzeczywiste. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych. Robert Malenkowski 1

Liczby rzeczywiste. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych. Robert Malenkowski 1 Robert Malenkowski 1 Liczby rzeczywiste. 1 Liczby naturalne. N {0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8...} Liczby naturalne to liczby używane powszechnie do liczenia i ustalania kolejności. Liczby naturalne można ustawić

Bardziej szczegółowo

Projekty standardów wymagań egzaminacyjnych z matematyki (materiał do konsultacji)

Projekty standardów wymagań egzaminacyjnych z matematyki (materiał do konsultacji) Projekty standardów wymagań egzaminacyjnych z matematyki (materiał do konsultacji) Od roku 2010 matematyka będzie obowiązkowo zdawana przez wszystkich maturzystów. W ślad za tą decyzją podjęto prace nad

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo

WIELOMIANY SUPER TRUDNE

WIELOMIANY SUPER TRUDNE IMIE I NAZWISKO WIELOMIANY SUPER TRUDNE 27 LUTEGO 2011 CZAS PRACY: 210 MIN. SUMA PUNKTÓW: 200 ZADANIE 1 (5 PKT) Dany jest wielomian W(x) = x 3 + 4x + p, gdzie p > 0 jest liczba pierwsza. Znajdź p wiedzac,

Bardziej szczegółowo

Wzory skróconego mnożenia w zadaniach olimpijskich

Wzory skróconego mnożenia w zadaniach olimpijskich Wzory skróconego mnożenia w zadaniach olimpijskich Jacek Dymel 17.10.008 Bardzo często uczniowie wyrażają taką opinię, że do rozwiązywania zadań olimpijskich niezbędna jest znajomość wielu skomplikowanych

Bardziej szczegółowo

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu 1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie

Bardziej szczegółowo

Informatyka kwantowa. Zaproszenie do fizyki. Zakład Optyki Nieliniowej. wykład z cyklu. Ryszard Tanaś. mailto:tanas@kielich.amu.edu.

Informatyka kwantowa. Zaproszenie do fizyki. Zakład Optyki Nieliniowej. wykład z cyklu. Ryszard Tanaś. mailto:tanas@kielich.amu.edu. Zakład Optyki Nieliniowej http://zon8.physd.amu.edu.pl 1/35 Informatyka kwantowa wykład z cyklu Zaproszenie do fizyki Ryszard Tanaś Umultowska 85, 61-614 Poznań mailto:tanas@kielich.amu.edu.pl Spis treści

Bardziej szczegółowo

Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej algorytmy

Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej algorytmy Rozdział 15 Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej algorytmy 15.1 Algorytm dzielenia Definicja 15.1 Niech dany będzie niezerowy wielomian f K[x] (K jest ciałem) f = a 0 x m + a 1 x m 1 +... + a m, gdzie

Bardziej szczegółowo

... (środowisko) ... ... 60 minut

... (środowisko) ... ... 60 minut EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 INFORMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ARKUSZ I PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ DLA OSÓB Z AUTYZMEM, W TYM Z ZESPOŁEM ASPERGERA (A2) WYBRANE:... (środowisko)... (kompilator)...

Bardziej szczegółowo

Wykład IV. Kryptografia Kierunek Informatyka - semestr V. dr inż. Janusz Słupik. Gliwice, Wydział Matematyki Stosowanej Politechniki Śląskiej

Wykład IV. Kryptografia Kierunek Informatyka - semestr V. dr inż. Janusz Słupik. Gliwice, Wydział Matematyki Stosowanej Politechniki Śląskiej Wykład IV Kierunek Informatyka - semestr V Wydział Matematyki Stosowanej Politechniki Śląskiej Gliwice, 2014 c Copyright 2014 Janusz Słupik Systemy z kluczem publicznym Klasyczne systemy kryptograficzne

Bardziej szczegółowo

Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h)

Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony. Klasa I (90 h) Propozycja szczegółowego rozkładu materiału dla 4-letniego technikum, zakres podstawowy i rozszerzony (według podręczników z serii MATeMAtyka) Klasa I (90 h) Temat Liczba godzin 1. Liczby rzeczywiste 15

Bardziej szczegółowo

Wojewódzki Przedmiotowy Konkurs z informatyki dla uczniów szkół gimnazjalnych ETAP REJONOWY 2008/2009 TEST

Wojewódzki Przedmiotowy Konkurs z informatyki dla uczniów szkół gimnazjalnych ETAP REJONOWY 2008/2009 TEST TEST. Test składa się z 35 zadań. Na jego rozwiązanie masz 90 minut. W kaŝdym zadaniu wybierz jedną, najlepszą według Ciebie odpowiedź i zaznacz na karcie odpowiedzi znakiem x. Do dyspozycji masz wszystkie

Bardziej szczegółowo

LXIII Olimpiada Matematyczna

LXIII Olimpiada Matematyczna 1 Zadanie 1. LXIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 17 lutego 2012 r. (pierwszy dzień zawodów) Rozwiązać w liczbach rzeczywistych a, b, c, d układ równań a

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Definicja 1. Mówimy że: liczba m Z jest dzielnikiem liczby n Z gdy istnieje l Z takie że n = l m. Zapisujemy to symbolem m n; liczba m Z jest wspólnym

Bardziej szczegółowo

Matematyka Podręcznik dla liceum. Rafał Kołodziej, Ireneusz Szubarczyk

Matematyka Podręcznik dla liceum. Rafał Kołodziej, Ireneusz Szubarczyk Matematyka Podręcznik dla liceum Rafał Kołodziej, Ireneusz Szubarczyk Spis treści 1 Wstęp 2 2 Działania na liczbach 6 2.1 Zadania.............................. 11 2.2 Rozwiązania zadań działania na liczbach............

Bardziej szczegółowo

Spis treœci WSTÊP... 3 KLUCZ ODPOWIEDZI... 138 BIBLIOGRAFIA... 210

Spis treœci WSTÊP... 3 KLUCZ ODPOWIEDZI... 138 BIBLIOGRAFIA... 210 Spis treœci WSTÊP... 3 I. 8NáDG NU*HQLD L XNáDG RGSRUQRFLRZ\ F]áRZLHND poziom podstawowy... 9 II. 8NáDG NU*HQLD L XNáDG RGSRUQRFLRZ\ F]áRZLeka poziom rozszerzony... 14 III. 8NáDG QHUZRZ\ F]áRZLHND poziom

Bardziej szczegółowo

ARCHITEKTURA SYSTEMÓW KOMPUTEROWYCH

ARCHITEKTURA SYSTEMÓW KOMPUTEROWYCH ARCHITEKTURA SYSTEMÓW KOMPUTEROWYCH reprezentacja danych ASK.RD.01 c Dr inż. Ignacy Pardyka UNIWERSYTET JANA KOCHANOWSKIEGO w Kielcach Rok akad. 2011/2012 c Dr inż. Ignacy Pardyka (Inf.UJK) ASK.RD.01 Rok

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład

Bardziej szczegółowo

Kongruencje Wykład 4. Kongruencje kwadratowe symbole Legendre a i Jac

Kongruencje Wykład 4. Kongruencje kwadratowe symbole Legendre a i Jac Kogruecje kwadratowe symbole Legedre a i Jacobiego Kogruecje Wykład 4 Defiicja 1 Kogruecję w ostaci x a (mod m), gdzie a m, azywamy kogruecją kwadratową; jej bardziej ogóla ostać ax + bx + c może zostać

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1 Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powielanie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przypadku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INORMACJE RAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZOCZĘCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkę EGZAMIN MATURALNY Z INORMATYKI MIN-R1_1-092 MAJ ROK 2009 OZIOM ROZSZERZONY CZĘŚĆ I Czas pracy 90 minut Instrukcja

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe

Bardziej szczegółowo

Podstawy programowania funkcjonalnego

Podstawy programowania funkcjonalnego Podstawy programowania funkcjonalnego haskell.mariuszrozycki.pl Mariusz Różycki Churchill College, University of Cambridge rev. 2014.03.27.1 Wprowadzenie Materiały haskell.mariuszrozycki.pl Slajdy (w tym

Bardziej szczegółowo

WPROWADZENIE DO ALGORYTMÓW Zadania

WPROWADZENIE DO ALGORYTMÓW Zadania WPROWADZENIE DO ALGORYTMÓW Zadania mgr Zofia Makara 11 maja 2004 1 Algorytmy liniowe Napisz algorytm, przedstaw go przy użyciu schematu blokowego i zaimplementuj w dowolnym języku programowania (np. w

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +

Bardziej szczegółowo

Internetowe Kółko Matematyczne

Internetowe Kółko Matematyczne Internetowe Kółko Matematyczne http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ Zadania dla szkoły średniej Zestaw I ( X 2002) Zadanie. Niech n będzie dowolną liczbą naturalną. Udowodnij, że suma + 4 + 4 2 + 4 3 +...

Bardziej szczegółowo

--- --- --- --- (c) Oba działania mają elementy neutralne (0 dla dodawania i 1 dla mnożenia). (d) (a c b c) ab c ---

--- --- --- --- (c) Oba działania mają elementy neutralne (0 dla dodawania i 1 dla mnożenia). (d) (a c b c) ab c --- (d) 27x 25(mod 256) -I- I Kongruencje II Małe twierdzenie Fermata III Podzielność IV Operacje binarne V Reprezentacje liczb VI Największy wspólny dzielnik VII Faktoryzacja VIIIWłasności działań 2 3 x 16

Bardziej szczegółowo

1. Napisz program, który wyświetli Twoje dane jako napis Witaj, Imię Nazwisko. 2. Napisz program, który wyświetli wizytówkę postaci:

1. Napisz program, który wyświetli Twoje dane jako napis Witaj, Imię Nazwisko. 2. Napisz program, który wyświetli wizytówkę postaci: 1. Napisz program, który wyświetli Twoje dane jako napis Witaj, Imię Nazwisko. 2. Napisz program, który wyświetli wizytówkę postaci: * Jan Kowalski * * ul. Zana 31 * 3. Zadeklaruj zmienne przechowujące

Bardziej szczegółowo

Podstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych

Podstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych 1 Podstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych 1. Podstawowe operacje logiczne dla cyfr binarnych Jeśli cyfry 0 i 1 potraktujemy tak, jak wartości logiczne fałsz i prawda, to działanie

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA BINARNA. Dziesiątkowy system pozycyjny nie jest jedynym sposobem kodowania liczb z jakim mamy na co dzień do czynienia.

ARYTMETYKA BINARNA. Dziesiątkowy system pozycyjny nie jest jedynym sposobem kodowania liczb z jakim mamy na co dzień do czynienia. ARYTMETYKA BINARNA ROZWINIĘCIE DWÓJKOWE Jednym z najlepiej znanych sposobów kodowania informacji zawartej w liczbach jest kodowanie w dziesiątkowym systemie pozycyjnym, w którym dla przedstawienia liczb

Bardziej szczegółowo

Elżbieta Świda, Marcin Kurczab. Nowy typ zadań maturalnych z matematyki na poziomie rozszerzonym

Elżbieta Świda, Marcin Kurczab. Nowy typ zadań maturalnych z matematyki na poziomie rozszerzonym Elżbieta Świda, Marcin Kurczab Nowy typ zadań maturalnych z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadanie (matura maj 009) Ciąg ( 3, + 3, 6 +, ) jest nieskończonym ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich.

Bardziej szczegółowo

Język C część 2. Podejmowanie decyzji w programie. if else. switch

Język C część 2. Podejmowanie decyzji w programie. if else. switch Język C część 2 Podejmowanie decyzji w programie if else Instrukcja warunkowa umożliwia wykonanie pewnej instrukcji w zależności od wartości wyrażenia. Wszystkie wartości różne od 0, są w języku C traktowane

Bardziej szczegółowo

2. LICZBY RZECZYWISTE Własności liczb całkowitych Liczby rzeczywiste Procenty... 24

2. LICZBY RZECZYWISTE Własności liczb całkowitych Liczby rzeczywiste Procenty... 24 SPIS TREŚCI WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI ALGEBRAICZNE 7 Wyrażenia algebraiczne 0 Równania i nierówności algebraiczne LICZBY RZECZYWISTE 4 Własności liczb całkowitych 8 Liczby rzeczywiste

Bardziej szczegółowo

PROBLEM. Znaleźć rozkład liczby p > 1. na iloczyn czynników pierwszych.

PROBLEM. Znaleźć rozkład liczby p > 1. na iloczyn czynników pierwszych. PROBLEM Znaleźć rozkład liczby p > 1. na iloczyn czynników pierwszych. Postawiony problem posiada bardzo duże znaczenie w wielu dziedzinach informatyki szczególnie w kryptografii. Na dzień dzisiejszy nie

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo