Spis treści STANDARD IEEE 754 PRZETWARZANIE LICZB ZMIENNOPRZECINKOWYCH PI05. Instrukcja do zajęć Podstawy informatyki pracownia specjalistyczna

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Spis treści STANDARD IEEE 754 PRZETWARZANIE LICZB ZMIENNOPRZECINKOWYCH PI05. Instrukcja do zajęć Podstawy informatyki pracownia specjalistyczna"

Transkrypt

1 Politechnika Białostocka Wydział Elektryczny Katedra Elektrotechniki Teoretycznej i Metrologii Instrukcja do zajęć Podstawy informatyki pracownia specjalistyczna Tytuł ćwiczenia STANDARD IEEE 754 PRZETWARZANIE LICZB ZMIENNOPRZECINKOWCH Numer ćwiczenia PI5 Autor: Bogusław Butryło Spis treści. Wstęp...3. Ogólna postać zapisu liczb zmiennoprzecinkowych Dwójkowy zapis zmiennoprzecinkowy Dziesiętny zapis zmiennoprzecinkowy Dostępne formaty reprezentacji liczb Informacje o binarnym kodowaniu liczb Zakres reprezentowanych wartości Zakres i precyzja reprezentacji liczb Sygnalizowane błędy Błędy obliczeń zmiennoprzecinkowych Błąd obliczania sumy i róŝnicy Błąd obliczania iloczynu i ilorazu Zadania do wykonania Liczby rzeczywiste i liczby maszynowe Określenie sposobu kodowania danych Obliczenia przebiegu funkcji Operacje na liczbach małych i duŝych Obliczenia wielomianów Obliczenia iloczynu skalarnego Informacje o dostępnych programach Przykładowe zagadnienia na zaliczenie...8. Literatura...9. Wymagania BHP...3 Materiały dydaktyczne przeznaczone dla studentów Wydziału Elektrycznego PB. Wydział Elektryczny, Politechnika Białostocka, Białystok Wszelkie prawa zastrzeŝone. śadna część tej publikacji nie moŝe być kopiowana i odtwarzana w jakiejkolwiek formie i przy uŝyciu jakichkolwiek środków bez zgody posiadacza praw autorskich.

2 . Wstęp Zasady komputerowej reprezentacji i przetwarzania liczb zmiennoprzecinkowych zostały sprecyzowane w standardzie IEEE 754. Jego pierwsza wersja (IEEE ) została opublikowana w roku 985. Modyfikację i rozszerzenie standardu przedstawiono w roku 8. Standard IEEE 754.8, opracowany przez IEEE (ang. Institute of Electrical and Electronics Engineers) został potwierdzony w specyfikacji standardu ISO 6559: podanej przez International Standard Organization. W ramach standardu IEEE określone są m.in.: zasady zapisu liczb zmiennoprzecinkowych przy uwzględnieniu, Ŝe tworzony zapis bazuje na reprezentacji dwójkowej lub dziesiętnej; zasady zapisu liczb w postaci znormalizowanej oraz zdenormalizowanej; dostępne formaty reprezentacji danych zmiennoprzecinkowych; zasady reprezentacji binarnej (niskopoziomowej) liczb; sposoby zapisu / sygnalizacji podstawowych błędów związanych z obliczeniami zmiennoprzecinkowymi; zasady realizacji podstawowych operacji matematycznych na liczbach zmiennoprzecinkowych, w tym reguły zaokrąglania liczb maszynowych.. Ogólna postać zapisu liczb zmiennoprzecinkowych Liczby rzeczywiste, wprowadzane do komputera w zapisie dziesiętnym, podlegają automatycznemu przetworzeniu do jednej z postaci przewidzianych w standardzie IEEE Ogólna postać zapisu liczb zmiennoprzecinkowych to wpisana liczba S WB ( ) = ( ) M B fl IEEE 754 B B, () gdzie B to baza systemu (ang. radix), zaś fl(b) oznacza wartość liczby w zapisie zmiennoprzecinkowym, która wynika z ograniczeń zapisu komputerowego. W ramach standardu podano specyfikacje dwóch form zapisu: 3 dwójkowej reprezentacji zmiennoprzecinkowej (BFP, ang. binary floating-point), w której wpisana liczba jest przetwarzana na zapis dwójkowy (baza systemu B=) S W ( ) = ( ) M IEEE 754 wpisana liczba fl, () dziesiętnej reprezentacji zmiennoprzecinkowej (DFP, ang. decimal floating point) w której bazą B systemu jest liczba S W ( ) = ( ) M IEEE 754 wpisana liczba fl. (3) Obecnie podstawowym sposobem wewnętrznej reprezentacji liczb zmiennoprzecinkowych w komputerach jest zapis BFP, z bazą B=. Dominująca liczba programów wykorzystuje zmiennoprzecinkową arytmetykę binarną. Dziesiętny zapis zmiennoprzecinkowy (DFP) został wprowadzony do standardu w roku 8. Pozwala on rozszerzyć zakres reprezentowanych liczb. Precyzja reprezentacji, podobnie jak w zapisie dwójkowym, jest ograniczona. Wynika ona z dostępnej liczby cyfr znaczących mantysy, czyli z długości reprezentacji komputerowej liczb (liczby bajtów potrzebnych na zapis całej liczby). Zapis dziesiętny eliminuje błędy związane z transformacją liczb dziesiętnych na system dwójkowy. W dalszej kolejności moŝliwe jest w ten sposób ograniczenie błędów powstających przy późniejszych obliczeniach. Nie przekłada się to jednak na przyspieszenie obliczeń. Zgodnie z wzorami () i (3), niezaleŝnie od bazy systemu, liczby zmiennoprzecinkowe są pamiętane w postaci 3 liczb całkowitych: S - znak liczby (ang. sign bit); M - mantysa liczby (ang. significand), w zapisie dwójkowym M lub dziesiętnym M; W - wykładnik liczby (ang. exponent) określany przy uwzględnieniu dwójkowej (W) lub dziesiętnej (W) bazy systemu. 4

3 .. Dwójkowy zapis zmiennoprzecinkowy Zasadnicza część standardu, określona w wersji z roku 985, dotyczy dwójkowej reprezentacji liczb zmiennoprzecinkowych (BFP). W tej formie reprezentacji, zarówno mantysa jak teŝ wykładnik są najpierw przetwarzane na liczby w zapisie binarnym (B=) i następnie kodowane. WyróŜnia się przy tym: postać znormalizowaną, stosowaną dla zdecydowanej większości liczb, postać zdenormalizowaną, przewidzianą do zapisu bardzo małych liczb, dla których wykładnik W osiągnął najmniejszą dopuszczalną wartość. W dalszym opisie pominięto dyskusję tego przypadku. Normalizacji podlega binarna postać liczby. Polega to na przesunięciu przecinka tak, aby przed nim znalazła się jedna (wiodąca) jedynka. Efektem tej operacji jest równieŝ obliczenie wykładnika, który wskazuje rzeczywiste połoŝenie przecinka w dwójkowym zapisie liczby. Przykłady liczb przed i po normalizacji przedstawiono w tabeli. Wpisana liczba Tabela. Przykłady binarnego zapisu liczb zmiennoprzecinkowych. ZałoŜono, Ŝe mantysa M składa się z co najwyŝej 7 bitów. Zapis binarny Wartości kolejnych pól () przed normalizacją po normalizacji fl() S M W 9,, +, 3 3 5,5, +, 4 4-5,5 -, -, -3,5 -, -, 6 6,65, +, - - -,785 -, -, ,3 -, -, 3 3 () W celu uproszczenia zapisu wartości W podano w zapisie dziesiętnym. W rzeczywistości pola wykładnika W podlegają kodowaniu binarnemu, z uŝyciem kodu Excess o dobranym przesunięciu. Pola binarne mantysy ograniczono do 7 bitów. W dostępnych formatach zapis mantysy składa się z większej liczby bitów (tabela 6). Po wykonaniu normalizacji, na bitach mantysy jest pamiętana jedynie część, która znalazła się za przecinkiem (ułamek). Ewentualne wolne bity części ułamkowej po prawej stronie są uzupełniane zerami. Wiodąca jedynka (przed przecinkiem) i przecinek są pomijane (tzw. zapis z pominiętą / zapomnianą jedynką). W tabeli kolorem Ŝółtym zaznaczono usuwane elementy zapisu liczb. Zapomniana jedynka i przecinek są oczywiście odtwarzane w rejestrach jednostki zmiennoprzecinkowej, przed wykonaniem obliczeń... Dziesiętny zapis zmiennoprzecinkowy Przy stosowaniu DFP normalizacji podlega liczba w zapisie dziesiętnym. Jej postać jest modyfikowana tak, aby znaczące cyfry zajęły wszystkie dostępne pola mantysy M (bez wiodących zer z lewej strony). Rzeczywiste połoŝenie przecinka jest odzwierciedlone w wartości wykładnika W. W tabeli przedstawiono przykłady zapisu liczb z bazą B=. Tabela. Przykłady dziesiętnego zapisu liczb zmiennoprzecinkowych (B=), przy załoŝeniu Ŝe mantysa M składa się z siedmiu cyfr znaczących. Wpisana liczba Zapis DFP Wartości kolejnych pól () fl() S M W 9, , , , , , , , () W celu uproszczenia zapisu wartości M i W podano w zapisie dziesiętnym. W rzeczywistości pola mantysy M i wykładnika W podlegają kodowaniu binarnemu, z uŝyciem wybranych kodów. 5 6

4 W przypadku liczb ułamkowych i małych co do modułu, normalizacja wiąŝe się z przesuwaniem przecinka w prawo, tak aby zapis liczby przyjął postać liczby całkowitej. Oczywiście ulega przy tym zmianie wartość wykładnika. Liczby, w których jest mało cyfr znaczących nie podlegają normalizacji. Zgodnie ze standardem mogą one mieć róŝne formy zapisu (np. liczby 9 oraz 5,5 w tabeli ). Tabela 4. Dodatkowe, połówkowe formaty reprezentacji zmiennoprzecinkowej. Nazwa binary6 Typowa nazwa połówkowa precyzja ang. half precision Baza zapisu B Wielkość zapisu liczby NL B decimal3 4 B 3. Dostępne formaty reprezentacji liczb W ramach standardu określono podstawowe, dostępne formaty zapisu BFP (dwójkowego) i DFP (dziesiętnego) (tabela 3). Nazwa binary3 binary64 binary8 Tabela 3. Podstawowe formaty reprezentacji zmiennoprzecinkowej. Typowa nazwa pojedyncza precyzja ang. single precision podwójna precyzja ang. double precision poczwórna precyzja ang. quadruple precision Baza zapisu B Wielkość zapisu liczby NL 4 B 8 B 6 B decimal64 8 B decimal8 6 B Dopuszczono równieŝ dwa formaty skrócone, połówkowe (tabela 4). Nie są to formaty podstawowe, do powszechnego uŝycia. Mogą być stosowane do zapisu (przechowania) wartości liczbowych. Ich przyjęcie pozwala wprowadzić skróconą reprezentację w wybranych aplikacjach (np. ekonomicznych, bankowych), w których wystarcza zapamiętanie -4 cyfr po przecinku. Dwójkowy format połówkowy (tzw. binary6) jest stosowany przy przetwarzaniu w niektórych procesorach graficznych. Ze względów historycznych występuje jeszcze tzw. precyzja rozszerzona (tabela 5). W ramach standardu dopuszczono jej stosowanie. Rozszerzona reprezentacja liczb zmiennoprzecinkowych jest dostępna jedynie na wybranych platformach sprzętowych i przy stosowaniu wybranych kompilatorów. Tabela 5. Inne dopuszczone formaty reprezentacji zmiennoprzecinkowej. Nazwa extended Typowa nazwa rozszerzona precyzja ang. extended precision Baza zapisu B 4. Informacje o binarnym kodowaniu liczb Wielkość zapisu liczby NL B Specyfikacja standardu określa równieŝ techniczne szczegóły kodowania pól mantysy i wykładnika w zapisie BFP (M i W) oraz DFP (M, W). Wskazany opis jest istotny dla zrozumienia pojęcia liczba maszynowa, określenia precyzji i zakresu reprezentowanych liczb. Szczegóły binarnego zapisu liczb nie mają znaczenia przy programowaniu w językach wysokiego poziomu, czy teŝ korzystaniu ze standardowych bibliotek zawierających procedury do obliczeń zmiennoprzecinkowych (np. dla układów FPGA, procesorów sygnałowych). W tabeli 6 zestawiono główne parametry charakteryzujące omawiane formaty zapisu zmiennoprzecinkowego. Przyjęto następujące oznaczenia: NL NS liczba bajtów, na których jest zapisywana liczba w danej reprezentacji; liczba bitów na zapis znaku liczby (S); 7 8

5 NW NM max W P liczba bitów na zapis wykładnika (W); liczba bitów na zapis mantysy (M); maksymalny wykładnik w systemie dziesiętnym, który moŝna zapisać; precyzja zapisu, wyraŝona jako liczba cyfr w dziesiętnym zapisie liczby, które zostaną zachowane bez błędu. JeŜeli liczba dziesiętna złoŝona z P znaczących cyfr zostanie zamieniona z zapisu rzeczywistego na numeryczny zmiennoprzecinkowy i następnie z powrotem na rzeczywisty, to co najmniej P cyfr pozostanie niezmienionych. Tabela 6. Wybrane parametry zmiennoprzecinkowych reprezentacji liczb. Nazwa NL NS NW NM max W P binary6 B b 5 b b +5 3 binary3 4 B b 8 b 3 b binary64 8 B b b 5 b binary8 6 B b 5 b b extended B b 5 b 64 b decimal3 () 4 B b 6 b b decimal64 () 8 B b 8 b 5 b decimal8 () 6 B b b b () W zapisie wyróŝniono jeszcze 5 bitów kodujących róŝne formy reprezentacji wykładnika i mantysy. Ze względu na sposób kodowania liczb wyróŝnia się: format dla reprezentacji BFP, uwzględniający zapis liczb znormalizowanych i bez normalizacji (bardzo małych); formaty dla reprezentacji DFP, w tym: o zapis binarny mantysy M jako liczby całkowitej (ang. binary integer significand field), czyli zapis mantysy w typowym kodzie wagowym BCN; o zapis binarny, w którym poszczególne cyfry mantysy M są kodowane osobno. W kodowaniu cyfr mantysy wykorzystuje się kod DPD (ang. densely packed decimal significand field), który jest skompresowaną formą kodu BCD. 9 Wewnętrzna reprezentacja liczby w formatach DFP nie ma wpływu na zakres i precyzję zapisu. Oczywiście, w końcowej formie, zarówno przy dwójkowym jak teŝ dziesiętnym zapisie zmiennoprzecinkowym, wszystkie pola są kodowane binarnie. W ramach zmiennoprzecinkowego zapisu liczb nie ma Ŝadnych metod kontroli i weryfikacji poprawności zapisu / odczytu danych. Nie jest to powaŝny problem przy przetwarzaniu w ramach danego urządzenia. Ze względu na moŝliwe zakłócenia przy przesyłaniu tego typu danych na znaczne odległości, do kontroli poprawności moŝliwe, a czasami niezbędne, jest stosowanie róŝnych zewnętrznych metod kontroli, m.in. wprowadzenie słowa kontrolnego, sygnatury pakietu danych, itp. Techniczne zasady kodowania liczb w formacie BFP oraz zapisach dostępnych dla DFP przedstawiono na rys.. (a) (b) S NS= S NS= W NW W NW Dodatkowe bity kodujące postać W i M M bez wiodącej jedynki i przecinka NM M w formacie binary integer significand lub formacie densely packed decimal significand Rys.. Ogólna idea reprezentacji liczb w zmiennoprzecinkowym zapisie: (a) dwójkowym BFP (B=), (b) dziesiętnym DFP (B=). Jedynie kodowanie bitu znaku S jest jednakowe w BFP i DFP. Bit znaku liczby (S) znajduje się na początku i przyjmuje wartość dla liczb dodatnich oraz wartość dla liczb ujemnych (taką formę kodowania uwzględniono w tabelach i ). NM

6 Wykładnik W (w zapisie BFP) jest kodowany jako liczba całkowita, z wykorzystaniem kodu z przesunięciem (tzw. kod Excess). Podobnie jest w reprezentacji DFP, przy czym szczegóły kodowania i wartość przesunięcia są inne. Odpowiednia kombinacja bitów kodujących mantysę i wykładnik określa sposób ich interpretacji. 5. Zakres reprezentowanych wartości 5.. Zakres i precyzja reprezentacji liczb W porównaniu z kodami stałopozycyjnymi, stosowanymi do zapisu liczb całkowitych, format zmiennoprzecinkowy znacznie zwiększa zakres dostępnych liczb. Na osi liczbowej, niezaleŝnie od formy zapisu (BFP lub DFP) wyróŝnić moŝna trzy zakresy reprezentowalnych, dostępnych liczb: zakres liczb ujemnych, zero oraz zakres liczb dodatnich (rys. ). Krańce pasma reprezentowalnych liczb max są określone przez liczbę bitów NW przewidzianych na wykładnik. Wartości NW oraz maksymalne moŝliwe do zapisania wartości wykładnika zestawiono w tabeli 6. Dolne granice min równieŝ wynikają z liczby pól bitowych wykładnika. Zapis bardzo małych liczb, których rzeczywisty wykładnik nie mieści się na polach wykładnika, jest zaokrąglany do. Bit znaku S zachowuje przy tym znak przybliŝenia, z tego powodu w ramach standardu IEEE 754.8, rzeczywista wartość, ma dwie reprezentacje: + (zero plus) i - (zero minus). nadmiar - niedomiar - zapis + i - niedomiar + dostępne liczby - dostępne liczby + nadmiar + W zapisie zmiennoprzecinkowym nie jest moŝliwe przedstawienie kaŝdej liczby nawet w przedziale liczb teoretycznie moŝliwych do zapisu. Dotyczy to zarówno liczb bardzo małych, liczba duŝych, jak teŝ liczb zawierających duŝo cyfr znaczących (np. ułamków okresowych). NiemoŜliwe jest precyzyjne odwzorowanie liczb, których zapis binarny (BFP) lub zapis dziesiętny (DFP) wykracza poza dostępne pola mantysy. Główne przyczyny braku reprezentacji części liczb, które teoretycznie mieszczą się w zakresie -max, -min oraz min, max to: skończona długość mantysy (bitów przewidzianych na zapis mantysy); zapis ułamków okresowych, liczb niewymiernych; sposób reprezentacji liczb dziesiętnych po zmianie reprezentacji na system dwójkowy (w ramach formatu BFP). Ze względu na zmianę podstawy systemu liczbowego z na, niektóre liczby które w zapisie dziesiętnym mają skończoną, dokładną reprezentację, w systemie dwójkowym nie wykazują tej właściwości. Z tego względu wprowadza się pojęcie tzw. liczby maszynowej, oznaczonej juŝ wcześniej symbolem fl(). Jest to liczba reprezentowana w ramach danego formatu IEEE 754-8, która jest odwzorowaniem rzeczywistej wpisanej liczby. RóŜnica między i fl() jest podstawową przyczyną błędów obliczeń numerycznych (rozdz. 6). Długość zapisu mantysy przesądza zatem o precyzji arytmetyki ε (dokładności zapisu liczb). W zapisach dwójkowych precyzja arytmetyki wyraŝa się wzorem ε, (4) M = N BFP natomiast w zapisach dziesiętnych P ε =. (5) DFP -max -min min max Rys.. Poglądowe zestawienie zakresów dostępnych liczb oraz błędów sygnalizowanych w ramach standardu IEEE Błąd dx zapisu zmiennoprzecinkowego liczby ( ) relacją fl = + d jest określony d ε. (6)

7 5.. Sygnalizowane błędy W ramach standardu przewidziano równieŝ kodowanie informacji o błędach. Informacje o błędzie są kodowane w ramach pola znaku S, pola wykładnika W oraz mantysy M. WyróŜnia się błędy krytyczne, które powinny powodować przerwanie obliczeń jak teŝ niekrytyczne. Ich wystąpienie jest sygnalizowane, jednak algorytm moŝe być dalej realizowany. Zgodnie z rys., błędem niekrytycznym jest wystąpienie niedomiaru + lub niedomiaru -. Brak moŝliwości zapisu liczb bardzo małych prowadzi do ich przybliŝenia do wartości + lub -. Pozostałe błędy to: nadmiar dodatni lub nadmiar ujemny, pojawiający się przy przekroczeniu zakresu reprezentowalnych liczb i sygnalizowany symbolem INF+ lub INF-; NaN (ang. not a number), który ma miejsce gdy odczytana kombinacja binarna nie moŝe być zidentyfikowana jako poprawny zapis zmiennoprzecinkowy lub wywoływana funkcja nie moŝe być policzona dla danych wartości zmiennych. W standardzie IEEE wyróŝniono błąd NaN sygnalizowany (ang. NaN signaling) oraz niesygnalizowany (ang. NaN quiet). 6. Błędy obliczeń zmiennoprzecinkowych Liczby wpisywane przez uŝytkownika, podlegają przetworzeniu do liczby maszynowej w ramach przyjętego w programie (na danej platformie sprzętowej) formatu zapisu binarnego BFP lub dziesiętnego DFP. Rzeczywiste wartości liczb są zatem w ogólnym przypadku odwzorowane z błędami. Błędy reprezentacji liczb przekładają się na błędy wyników wykonywanych operacji matematycznych. Liczba wykonywanych operacji ma zatem wpływ na wielkość błędów. PoniŜej przedstawiono wyprowadzenia zaleŝności określających wartość błędu przy obliczaniu sumy oraz iloczynu dwóch liczb zmiennoprzecinkowych. Wyprowadzone wzory mają charakter ogólny. W rzeczywistości błąd obliczeń jest z zasady mniejszy. Wynika to z konstrukcji jednostek do obliczeń zmiennoprzecinkowych. W celu poprawy dokładności obliczeń zawierają one 3 rozszerzone rejestry do przechowywania wyników obliczeń. Dopiero uzyskany rezultat, opisany na większej liczbie bitów, podlega ograniczeniu zgodnemu ze standardem IEEE IEEE 754 fl IEEE 754 fl 4 ( ) ( ) gdzie oznacza dowolną operację arytmetyczną. 6.. Błąd obliczania sumy i róŝnicy fl wynik IEEE 754 ( ) fl( y) S fl( S ), (7) ZałóŜmy, Ŝe dane są dwie liczby i, które zostały przetworzone na wartości maszynowe ( ) d ( ) d fl = +, (8) fl = +. (9) Błąd obliczeń sumy moŝna oszacować na podstawie zaleŝności ( ) fl( ) W S = fl +, () S ( + ) ds W = + d + + d +, () przy czym maksymalny błąd określenia wyniku wyraŝa się wzorem d = d + d. () S Względny błąd wyniku oblicza się jako iloraz błędu bezwzględnego i wartości dokładnej ds d + d δ S = =. (3) + + Po przekształceniach d d d d δ S = + = +, (4)

8 otrzymuje się zaleŝność δ = δ + δ. () I δ = δ w + δ w, (5) S przy czym d δ =, (6) d δ =, (7) to względne błędy zapisu liczb i, zaś w = /( + ), w ( + ) = / to współczynniki określające udział danej liczby w sumie. Interpretacja wzoru (5) prowadzi do wniosku, Ŝe przy dodawaniu (odejmowaniu) zmiennoprzecinkowym błędy zapisu liczb fl() i fl() podlegają propagacji. 6.. Błąd obliczania iloczynu i ilorazu Przetwarzane są dwie liczby opisane wzorami (8) i (9). Wynik iloczynu (ilorazu) tych liczb w zapisie zmiennoprzecinkowym wynosi W I W I fl( ) fl( ) ( + d ) ( + d ) =, (8) = + d + d + d d =. Przy pominięciu ostatniego czynnika, dd, maksymalny błąd obliczeń wynosi d = d d. () I + Względna wartość błędu wyraŝa się wzorem di d + d d d δ I = = = +. () (9) Obliczanie iloczynu (ilorazu) prowadzi do kumulacji względnych błędów czynników. 7. Zadania do wykonania 7.. Liczby rzeczywiste i liczby maszynowe W pierwszym punkcie moŝliwe jest ustalenie, jaka jest rzeczywista reprezentacja wpisywanych liczb zmiennoprzecinkowych i precyzja arytmetyki, przy stosowaniu formatów BFP dostępnych w programach komputerowych.. Uruchomić program ieee754_.exe (szczegóły w rozdz. 8). Liczba wpisana w systemie dziesiętnym w górnym oknie programu podlega dwukrotnemu przetworzeniu (rys. 3). Wpisana liczba IEEE-754 binary3() IEEE-754 [binary3()] IEEE-754 binary64() IEEE-754 [binary64()] IEEE-754 extended() IEEE-754 [extended()] Rys. 3. Sposób przetwarzania liczby w ramach programu ieee754_.exe. śółte pola wskazują wartości pokazywane w oknie programu. W programie moŝliwe jest równieŝ ustawienie sposobu reprezentacji liczby (rys. 4). W celu analizy wyników przetwarzania liczb naleŝy zwrócić szczególną uwagę na ustawienie pól Liczba znaków oraz Liczba cyfr po przecinku. Uwzględniając wzory (6)-(7) otrzymuje się zaleŝność 5 6

9 Rys. 4. Ogólny widok okna programu ieee754_.exe.. Wykonać próby zapisu i porównać otrzymane reprezentacje róŝnych liczb (tabela 7), m.in.: liczb bardzo małych; skończonych ułamków dziesiętnych, np.,;,;,5;,3;,4;,45;,5;,55;,7;,75; itp.; liczb będących kombinacją liczby całkowitej i ułamka, np. 3,; 3,4; 3,4; 4,; 4,5; 4,5; 4,55; 7,8; itp.; liczb całkowitych, np.,,, -6, 4, ; liczb niewymiernych; liczb całkowitych duŝych co do modułu, z małą liczbą cyfr znaczących, np. 34; 34; 34; liczb całkowitych duŝych co do modułu, z duŝą liczbą cyfr znaczących, np ; typowych wartości rezystancji i pojemności stosowanych w układach elektronicznych (występujących w typoszeregach dostępnych rezystorów oraz kondensatorów). 7 8 stała Plancka h Tabela 7. Wybrane stałe liczbowe przydatne do testów. Nazwa, opis masa spoczynkowa elektronu me jednostka masy atomowej u ładunek elektronu e przenikalność elektryczna powietrza ε przenikalność magnetyczna próŝni µ definicja ampera: siła działająca na przewody przy I=A Wartość 6,666957(9) -34 Js 9,9389(4) -9 g,665389(73) -4 g -,676565(35) -9 C 8, F/m, H/m -7 N, względna przenikalność elektryczna polietylenu εr,5 względna przenikalność elektryczna polistyrenu εr,7 e (podstawa logarytmu naturalnego) π, , przyspieszenie ziemskie normalne g 9,8665 ms - przyspieszenie ziemskie w Krakowie 9,85 ms - przyspieszenie ziemskie w Warszawie 9,83 ms - przelicznik cali na milimetry =5,3995 mm temperatura zera bezwzględnego -73,5 ºC rok gwiazdowy rezystancja falowa próŝni średni promień równika przelicznik kwh na Joule: 365,4 dnia 376, Ω 6378,45 km kwh = 36 5 J definicja metra, liczba okresów drgań kryptonu 86 Kr 65763,73 definicja sekundy, liczba okresów drgań atomu cezu 33 Cs terrabajt bajtów objętość Ziemi,83 km 3 petabajt 5 bajtów eksabajt 8 bajtów zettabajt bajtów liczba Avogadra 6,49(7) 3 mol - jottabajt 4 bajtów

10 3. Sprawdzić, czy moŝliwe jest wykrycie występowania błędu niedomiaru lub nadmiaru. 4. Sprawdzić zakres reprezentacji liczb w kaŝdym z dostępnych formatów. Na podstawie wykonanych prób sformułować odpowiedzi na następujące pytania. Dlaczego liczby zmiennoprzecinkowe nie są pamiętane dokładnie? Na której pozycji pojawiają się przekłamania w zapisie liczb? Co to jest precyzja zapisu P? Jakimi kryteriami naleŝy się kierować przy wyborze sposobu reprezentacji liczb zmiennoprzecinkowych? Które reprezentacje liczb naleŝy wybierać? 7.. Określenie sposobu kodowania danych. Zaproponować testy, które umoŝliwią sprawdzenie wewnętrznej reprezentacji liczb zmiennoprzecinkowych w stosowanych programach, np.: arkuszach kalkulacyjnych Microsoft Excel, Open Office Calc, itp.; kalkulatorach dostępnych w systemie operacyjnym; pakietach matematycznych Matlab, Octave, MathCad, itp.; pakiecie PSpice; innych programach, w których są przetwarzane liczby.. Zaproponować test, który pozwoli sprawdzić czy testowane programy sygnalizują (jak działają) po wystąpieniu błędu nadmiaru oraz błędu NaN. Na podstawie wykonanych prób: wskazać, który format/formaty są stosowane w ramach programu; określić precyzję zapisu liczb (P) i zakres sygnalizacji błędów (niedomiar-, niedomiar+, nadmiar-, nadmiar+, NaN); podać zasady, które umoŝliwią poprawne korzystanie z testowanych programów Obliczenia przebiegu funkcji Dane są dwa wyraŝenia y = x +, (3) x y =. (4) x + + Kolejne wartości zmiennej x, dla której są liczone wartości y oraz y tworzą ciąg geometryczny x p = a, (5) przy czym w przygotowanym programie (rys. 5) moŝliwe jest ustawienie wartości stałej a oraz zakresu zmian wykładnika potęgi p p,p. (6). Uruchom program ieee754_.exe (szczegóły w rozdz. 8, rys. 5).. Wykonaj obliczenia dla wybranych wartości liczby a. Wyjaśnij przebieg charakterystyk i omów uzyskane wyniki. Porównaj wyniki obliczeń wykonywanych przy róŝnej reprezentacji przetwarzanych liczb (binary3, binary64). WskaŜ, które wyraŝenie, y czy y, jest liczone i prezentowane jako funkcja (a) oraz funkcja (b). 3. Wyjaśnij obserwowane rozbieŝności w obliczeniach. Oblicz liczbę wykonywanych operacji dodawania/odejmowania oraz mnoŝenia/dzielenia. 4. Określ przyczyny powstawania błędów obliczeń w obu wyraŝeniach. WskaŜ, które wyraŝenie jest liczone z większą precyzją. 5. Wyjaśnij techniki stosowane w celu ograniczenia powstawania tego typu błędów. 6. Sprawdź jak podane funkcje będą liczone przy stosowaniu arkusza kalkulacyjnego lub pakietu matematycznego. 7. Dla wybranych wartości sprawdź jak podane funkcje będą liczone w kalkulatorze (sprzętowym, nie programowym dostępnym w komputerze).

11 Rys. 5. Widok okna programu ieee754_.exe Operacje na liczbach małych i duŝych W proponowanym przykładzie jest liczona wartość funkcji sinus, przy zadanych wartościach amplitudy, składowej stałej, częstotliwości, fazy początkowej. Wartości funkcji trygonometrycznej są liczone dwoma sposobami: dla zadanego kąta φ, przy uwzględnieniu zmian funkcji w pierwszym okresie, ( π +ϕ) u = A + Asin ft, (7) korzystając z okresowości funkcji sinus, dla zadanego kąta fazowego φ w wybranym N-tym okresie sinusa, ustawianym za pomocą pokrętła ( π f ( t + ) +ϕ) u = A + Asin NT. (8) Rys. 6. Widok okna programu ieee754_3.exe.. Uruchom program ieee754_3.exe (szczegóły w rozdz. 8).. Za pomocą suwaków ustaw amplitudę, częstotliwość i fazę początkową sinusa (rys. 6). Składową stałą moŝna pozostawić bez zmian ().. Porównaj wyniki otrzymane przy obliczaniu funkcji sinus w pierwszym okresie i w kolejnych wybranych okresach. Zmiany wartości N wykonaj w zakresie sięgającym co najmniej. Zanotuj uzyskiwane wyniki (wystarczy ok. punktów). 3. Wykonaj charakterystykę wartości funkcji sinus w zaleŝności od liczby N. Oś wartości N wyskaluj uŝywając skali logarytmicznej. 4. Określ źródło powstawania błędów. Sformułuj zasady, które naleŝy uwzględnić przy obliczaniu wartości funkcji okresowych. 5. Zadania z punktów i 3 powtórz dla innego kąta fazowego. Czy otrzymana charakterystyka ma inny przebieg?

12 7.5. Obliczenia wielomianów Dane są trzy równowaŝne pod względem matematycznym formy zapisu wielomianu zmiennej rzeczywistej x: metoda A: zapis z uŝyciem wzorów skróconego mnoŝenia (dwumianu Newtona) ( x ) w y = +, (9) A x p metoda B: zapis z uwzględnieniem rozwinięcia dwumianu Newtona w = w = w = w = w = w = w = w = N M M M M M M M Rys. 7. Trójkąt Pascala (wartości symbolu Newtona). O y B = w w w i i x xp = i= i i= = a w w x w + a x w w a + a w i w x x w i w = + K+ ax + a x, (3) metoda C: zapis z rekurencyjnym wyłączeniem przed nawias kolejnych potęg argumentu x y ( (( awx + aw ) x + aw ) x + L+ a ) x a L. (3) C = + Współczynniki a w-i wyraŝają się wzorem w i aw i = xp. (3) i Wartość xp w równaniach (9)-(3) odpowiada miejscu zerowemu wielomianu. Na w w! rys. 7 podano wartości symbolu Newtona = dla kolejnych potęg w. i i!( w i)! Przykład. Dla wielomianu rzędu 7 wskazane formy zapisu przyjmują postać y = ( x ) 7 A, (33) y B = x 7x + x 35x + 35x x + 7x, (34) ((((( ( x 7) x + ) x 35) x + 35) x ) x + 7) y C = x. (35) 3 Rys. 8. Widok okna programu ieee754_4.exe.. Uruchom program ieee754_4.exe (szczegóły w rozdz. 8), w którym moŝna obserwować przebiegi wielomianów liczonych metodami A oraz B (rys. 8). 4

13 . Wykonaj obliczenia wielomianu wybranego rzędu (maksymalny rząd wynosi 8), przy xp=. Wpisz właściwe współczynniki. MoŜna zawęzić przedział obserwacji (np. x=,9, x=,) oraz ustawić krok zmiany wartości x (np. dx=e-5). 3. Wyjaśnij przyczyny obserwowanych rozbieŝności. Oblicz liczbę operacji dodawania/odejmowania oraz mnoŝenia/dzielenia. Określ szerokość przedziału nieufności przy obliczeniach wykonywanych na liczbach pojedynczej precyzji (binary3) oraz podwójnej precyzji (binary64). 4. Z uŝyciem programu ieee754_4.exe lub innego, wykonaj obliczenia zakładając, Ŝe xp (np.,). W tym celu oblicz właściwe współczynniki rozwinięcia zapisu. 5. Wykonaj testy przy zmianie rzędu wielomianu. W kaŝdym z przypadków określ przedział nieufności rozwiązania przy stosowaniu formatu binary3 oraz binary Scharakteryzuj techniki, które pozwalają ograniczyć wartości obserwowanych błędów. 7. Wykonaj obliczenia przyjętego wielomianu i wykonaj wykresy, korzystając z arkusza kalkulacyjnego (np. Excel) lub pakietu matematycznego (np. Matlab). W porównaniu wykresów uwzględnij równieŝ wariant C.. Zgodnie z opisem operacji w skoroszycie (rys. 9): w komórkach od E3 do E7 oblicz składowe wektora w[i] = a[i]b[i], wykonując przy tym klasyczne operacje na komórkach; w komórce H oblicz sumę wyrazów wektora w, dodając kolejno wyrazy od pierwszego do ostatniego; w komórce H oblicz sumę wyrazów wektora w, dodając kolejno wyrazy od ostatniego do pierwszego; w komórce H3 oblicz sumę wyrazów wektora w wykorzystując przy tym standardową funkcję obliczania sumy z wybranego zakresu komórek; w komórce H4 oblicz sumę pięciu wyrazów wektora w według samodzielnie przyjętej kolejności losowej Obliczenia iloczynu skalarnego Dane są dwa wektory a oraz b, złoŝone z pięciu liczb a=[,788e+ -3,459E+,44E+ 5,776E- 3,3E- ], (36) b=[,4865e+3 8,78367E+5 -,3749E+ 4,7737E+6,8549E-4 ]. (37) Reprezentacja liczb w systemie dziesiętnym jest skończona, z dokładnością do pięciu cyfr po przecinku. Przyjęte liczby mieszczą się w zakresie precyzji przewidzianej zarówno dla standardu binary3 jak teŝ decimal64.. Otwórz przygotowany skoroszyt arkusza kalkulacyjnego, zapisany w pliku ieee754_5.xls. Rys. 9. Widok okna arkusza kalkulacyjnego do obliczania sumy wyrazów z iloczynu skalarnego dwóch wektorów (plik ieee754_5.xls). 3. Podaj przyczyny obserwowanych efektów. Która wartość jest liczona dokładniej i dlaczego? Co naleŝy robić, aby uniknąć tego typu błędów? 5 6

14 8. Informacje o dostępnych programach Dostępne w trakcie ćwiczenia programy ieee754_.exe, ieee754_.exe, ieee754_3.exe oraz ieee754_4.exe zostały przygotowane z uŝyciem języka G, w ramach środowiska LabView TM, firmy National Instruments. Programy w wersji skompilowanej, wykonywalnej są dostępne m.in. na stronach internetowych Ich uruchomienie jest moŝliwe na dowolnym komputerze, równieŝ bez zainstalowanego pakietu NI LabView TM. Niezbędnym warunkiem działania programów jest zainstalowanie platformy uruchomieniowej NI LabView TM, tzw. LabVIEW Run-Time Engine. Oryginalny pakiet instalacyjny (LVRTEf3std.exe) jest dostępny legalnie, bezpłatnie na stronach producenta oprogramowania, m.in. Przed uzyskaniem dostępu do pakietu instalacyjnego wymagane jest podanie danych w celach marketingowych. 9. Przykładowe zagadnienia na zaliczenie. Scharakteryzuj formaty zapisu zmiennoprzecinkowego dostępne w ramach standardu IEEE Wyjaśnij sposób zapisu liczb w formacie BFP w standardzie IEEE Wyjaśnij sposób zapisu liczb w formacie DFP w standardzie IEEE Podaj jakie są standardowe formaty reprezentacji zmiennoprzecinkowej oraz inne, dopuszczone w ramach standardu IEEE Podaj główne cechy tych formatów, które mają znaczenie przy programowaniu i wykonywaniu obliczeń. 5. Wyjaśnij, od czego zaleŝy zakres reprezentowanych liczb a od czego ich precyzja reprezentacji. 6. Wyjaśnij jak rozumiesz termin liczba maszynowa. Jaka jest róŝnica między liczbą maszynową a liczbą rzeczywistą. 7. Co to jest precyzja zapisu P? 8. Jakie są krytyczne i niekrytyczne błędy w ramach standardu IEEE Czy kaŝdą liczbę z zakresu przewidzianego w standardzie IEEE moŝna przedstawić w zapisie zmiennoprzecinkowym. Odpowiedź uzasadnij.. Wyjaśnij na czym polega kumulacja lub propagacja błędów w obliczeniach zmiennoprzecinkowych.. W oparciu o wzory wyjaśnij, co się dzieje z błędem względnym wyniku przy obliczaniu sumy dwóch wyrazów.. W oparciu o wzory wyjaśnij, co się dzieje z błędem względnym wyniku przy obliczaniu iloczynu dwóch wyrazów. 3. Omów metody ograniczania błędów numerycznych. 4. Dlaczego binarny zapis zmiennoprzecinkowy (BFP) jest powszechnie wykorzystywany w programach, zaś dziesiętny zapis zmiennoprzecinkowy (DFP) w niewielkim (znikomym) stopniu? 5. Na czym polega zaokrąglanie liczby w zapisie zmiennoprzecinkowym a na czym obcięcie. 7 8

15 . Literatura [] J. M. Jankowscy: Przegląd metod i algorytmów numerycznych. WNT, Warszawa, 9. [] D. Kincaid, W. Cheney: Analiza numeryczna. PWN, Warszawa, 8. [3] Z. Fortuna, B. Macukow, J. Wasowski: Metody numeryczne. WNT, Warszawa, 6. [4] S. Gryś: Arytmetyka komputerów. Wydawnictwa Naukowe PWN, Warszawa, 7. [5] J. Ogrodzki: Wstęp do systemów komputerowych. Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa, 5. [6] B. Pochopień: Arytmetyka w systemach cyfrowych. Akademicka Oficyna Wydawnicza Exit, Warszawa, 4. [7] IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic. DOI.9/IEEESTD , 8. [8] IEEE Standard for Binary Floating-Point Arithmetic. DOI.9/IEEESTD , Wymagania BHP Warunkiem przystąpienia do praktycznej realizacji ćwiczenia jest zapoznanie się z instrukcją BHP i instrukcją przeciw poŝarową oraz przestrzeganie zasad w nich zawartych. W trakcie zajęć laboratoryjnych naleŝy przestrzegać następujących zasad. Sprawdzić, czy urządzenia dostępne na stanowisku laboratoryjnym są w stanie kompletnym, nie wskazującym na fizyczne uszkodzenie. JeŜeli istnieje taka moŝliwość, naleŝy dostosować warunki stanowiska do własnych potrzeb, ze względu na ergonomię. Monitor komputera ustawić w sposób zapewniający stałą i wygodną obserwację dla wszystkich członków zespołu. Sprawdzić prawidłowość połączeń urządzeń. Załączenie komputera moŝe nastąpić po wyraŝeniu zgody przez prowadzącego. W trakcie pracy z komputerem zabronione jest spoŝywanie posiłków i picie napojów. W przypadku zakończenia pracy naleŝy zakończyć sesję przez wydanie polecenia wylogowania. Zamknięcie systemu operacyjnego moŝe się odbywać tylko na wyraźne polecenie prowadzącego. Zabronione jest dokonywanie jakichkolwiek przełączeń oraz wymiana elementów składowych stanowiska. Zabroniona jest zmiana konfiguracji komputera, w tym systemu operacyjnego i programów uŝytkowych, która nie wynika z programu zajęć i nie jest wykonywana w porozumieniu z prowadzącym zajęcia. W przypadku zaniku napięcia zasilającego naleŝy niezwłocznie wyłączyć wszystkie urządzenia. Stwierdzone wszelkie braki w wyposaŝeniu stanowiska oraz nieprawidłowości w funkcjonowaniu sprzętu naleŝy przekazywać prowadzącemu zajęcia. Zabrania się samodzielnego włączania, manipulowania i korzystania z urządzeń nie naleŝących do danego ćwiczenia. W przypadku wystąpienia poraŝenia prądem elektrycznym naleŝy niezwłocznie wyłączyć zasilanie stanowiska. Przed odłączeniem napięcia nie dotykać poraŝonego. 3

Dane, informacja, programy. Kodowanie danych, kompresja stratna i bezstratna

Dane, informacja, programy. Kodowanie danych, kompresja stratna i bezstratna Dane, informacja, programy Kodowanie danych, kompresja stratna i bezstratna DANE Uporządkowane, zorganizowane fakty. Główne grupy danych: tekstowe (znaki alfanumeryczne, znaki specjalne) graficzne (ilustracje,

Bardziej szczegółowo

Spis treści KODOWANIE DANYCH I METODY WERYFIKACJI POPRAWNOŚCI KODOWANIA PI04. Instrukcja do zajęć Podstawy informatyki pracownia specjalistyczna

Spis treści KODOWANIE DANYCH I METODY WERYFIKACJI POPRAWNOŚCI KODOWANIA PI04. Instrukcja do zajęć Podstawy informatyki pracownia specjalistyczna Politechnika Białostocka Wydział Elektryczny Katedra Elektrotechniki Teoretycznej i Metrologii Instrukcja do zajęć Podstawy informatyki pracownia specjalistyczna Tytuł ćwiczenia KODOWANIE DANYCH I METODY

Bardziej szczegółowo

Informatyka 1. Wykład nr 5 (13.04.2008) Politechnika Białostocka. - Wydział Elektryczny. dr inŝ. Jarosław Forenc

Informatyka 1. Wykład nr 5 (13.04.2008) Politechnika Białostocka. - Wydział Elektryczny. dr inŝ. Jarosław Forenc Informatyka Politechnika Białostocka - Wydział Elektryczny Elektrotechnika, semestr II, studia niestacjonarne I stopnia (zaoczne) Rok akademicki 2007/2008 Wykład nr 5 (3.04.2008) Rok akademicki 2007/2008,

Bardziej szczegółowo

Naturalny kod binarny (NKB)

Naturalny kod binarny (NKB) SWB - Arytmetyka binarna - wykład 6 asz 1 Naturalny kod binarny (NKB) pozycja 7 6 5 4 3 2 1 0 wartość 2 7 2 6 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 2 0 wartość 128 64 32 16 8 4 2 1 bity b 7 b 6 b 5 b 4 b 3 b 2 b 1 b 0 System

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA BINARNA. Dziesiątkowy system pozycyjny nie jest jedynym sposobem kodowania liczb z jakim mamy na co dzień do czynienia.

ARYTMETYKA BINARNA. Dziesiątkowy system pozycyjny nie jest jedynym sposobem kodowania liczb z jakim mamy na co dzień do czynienia. ARYTMETYKA BINARNA ROZWINIĘCIE DWÓJKOWE Jednym z najlepiej znanych sposobów kodowania informacji zawartej w liczbach jest kodowanie w dziesiątkowym systemie pozycyjnym, w którym dla przedstawienia liczb

Bardziej szczegółowo

3.3.1. Metoda znak-moduł (ZM)

3.3.1. Metoda znak-moduł (ZM) 3.3. Zapis liczb binarnych ze znakiem 1 0-1 0 1 : 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 reszta 0 0 0 0 0 0 0 1 3.3. Zapis liczb binarnych ze znakiem W systemie dziesiętnym liczby ujemne opatrzone są specjalnym

Bardziej szczegółowo

Spis treści JĘZYK C - INSTRUKCJA WARUNKOWA IF, OPERATORY RELACYJNE I LOGICZNE, WYRAŻENIA LOGICZNE. Informatyka 1

Spis treści JĘZYK C - INSTRUKCJA WARUNKOWA IF, OPERATORY RELACYJNE I LOGICZNE, WYRAŻENIA LOGICZNE. Informatyka 1 Politechnika Białostocka Wydział Elektryczny Katedra Elektrotechniki Teoretycznej i Metrologii Instrukcja do pracowni specjalistycznej z przedmiotu Informatyka 1 Kod przedmiotu: ES1C200 009 (studia stacjonarne)

Bardziej szczegółowo

LICZBY ZMIENNOPRZECINKOWE

LICZBY ZMIENNOPRZECINKOWE LICZBY ZMIENNOPRZECINKOWE Liczby zmiennoprzecinkowe są komputerową reprezentacją liczb rzeczywistych zapisanych w formie wykładniczej (naukowej). Aby uprościć arytmetykę na nich, przyjęto ograniczenia

Bardziej szczegółowo

Architektura komputerów Reprezentacja liczb. Kodowanie rozkazów.

Architektura komputerów Reprezentacja liczb. Kodowanie rozkazów. Architektura komputerów Reprezentacja liczb. Kodowanie rozkazów. Prezentacja jest współfinansowana przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego w projekcie pt. Innowacyjna dydaktyka

Bardziej szczegółowo

Podstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych

Podstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych 1 Podstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych 1. Podstawowe operacje logiczne dla cyfr binarnych Jeśli cyfry 0 i 1 potraktujemy tak, jak wartości logiczne fałsz i prawda, to działanie

Bardziej szczegółowo

ARCHITEKRURA KOMPUTERÓW Kodowanie liczb ze znakiem 27.10.2010

ARCHITEKRURA KOMPUTERÓW Kodowanie liczb ze znakiem 27.10.2010 ARCHITEKRURA KOMPUTERÓW Kodowanie liczb ze znakiem 27.10.2010 Do zapisu liczby ze znakiem mamy tylko 8 bitów, pierwszy od lewej bit to bit znakowy, a pozostałem 7 to bity na liczbę. bit znakowy 1 0 1 1

Bardziej szczegółowo

Arytmetyka komputera. Na podstawie podręcznika Urządzenia techniki komputerowej Tomasza Marciniuka. Opracował: Kamil Kowalski klasa III TI

Arytmetyka komputera. Na podstawie podręcznika Urządzenia techniki komputerowej Tomasza Marciniuka. Opracował: Kamil Kowalski klasa III TI Arytmetyka komputera Na podstawie podręcznika Urządzenia techniki komputerowej Tomasza Marciniuka Opracował: Kamil Kowalski klasa III TI Spis treści 1. Jednostki informacyjne 2. Systemy liczbowe 2.1. System

Bardziej szczegółowo

Spis treści JĘZYK C - INSTRUKCJA SWITCH, OPERATORY BITOWE. Informatyka 1. Instrukcja do pracowni specjalistycznej z przedmiotu. Numer ćwiczenia INF05

Spis treści JĘZYK C - INSTRUKCJA SWITCH, OPERATORY BITOWE. Informatyka 1. Instrukcja do pracowni specjalistycznej z przedmiotu. Numer ćwiczenia INF05 Politechnika Białostocka Wydział Elektryczny Katedra Elektrotechniki Teoretycznej i Metrologii Instrukcja do pracowni specjalistycznej z przedmiotu Informatyka 1 Kod przedmiotu: ES1C200 009 (studia stacjonarne)

Bardziej szczegółowo

REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH

REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH REPREZENTACJA LICZBY, BŁĘDY, ALGORYTMY W OBLICZENIACH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2012/2013 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Pojęcie

Bardziej szczegółowo

Zapis liczb binarnych ze znakiem

Zapis liczb binarnych ze znakiem Zapis liczb binarnych ze znakiem W tej prezentacji: Zapis Znak-Moduł (ZM) Zapis uzupełnień do 1 (U1) Zapis uzupełnień do 2 (U2) Zapis Znak-Moduł (ZM) Koncepcyjnie zapis znak - moduł (w skrócie ZM - ang.

Bardziej szczegółowo

System liczbowy jest zbiorem reguł określających jednolity sposób zapisu i nazewnictwa liczb.

System liczbowy jest zbiorem reguł określających jednolity sposób zapisu i nazewnictwa liczb. 2. Arytmetyka komputera. Systemy zapisu liczb: dziesietny, dwójkowy (binarny), ósemkowy, szesnatskowy. Podstawowe operacje arytmetyczne na liczbach binarnych. Zapis liczby binarnej ze znakiem. Reprezentacja

Bardziej szczegółowo

1.1. Pozycyjne systemy liczbowe

1.1. Pozycyjne systemy liczbowe 1.1. Pozycyjne systemy liczbowe Systemami liczenia nazywa się sposób tworzenia liczb ze znaków cyfrowych oraz zbiór reguł umożliwiających wykonywanie operacji arytmetycznych na liczbach. Dla dowolnego

Bardziej szczegółowo

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl System dziesiętny 7 * 10 4 + 3 * 10 3 + 0 * 10 2 + 5 *10 1 + 1 * 10 0 = 73051 Liczba 10 w tym zapisie nazywa się podstawą systemu liczenia. Jeśli liczba 73051 byłaby zapisana w systemie ósemkowym, co powinniśmy

Bardziej szczegółowo

Metodyki i Techniki Programowania 1 1 1. MECHANIZM POWSTAWANIA PROGRAMU W JĘZYKU C PODSTAWOWE POJĘCIA

Metodyki i Techniki Programowania 1 1 1. MECHANIZM POWSTAWANIA PROGRAMU W JĘZYKU C PODSTAWOWE POJĘCIA Metodyki i Techniki Programowania 1 1 ZAJ CIA 3. 1. MECHANIZM POWSTAWANIA PROGRAMU W JĘZYKU C PODSTAWOWE POJĘCIA IDE zintegrowane środowisko programistyczne, zawierające kompilator, edytor tekstu i linker,

Bardziej szczegółowo

Pracownia Komputerowa wyk ad IV

Pracownia Komputerowa wyk ad IV Pracownia Komputerowa wykad IV dr Magdalena Posiadaa-Zezula Magdalena.Posiadala@fuw.edu.pl http://www.fuw.edu.pl/~mposiada Magdalena.Posiadala@fuw.edu.pl 1 Reprezentacje liczb i znaków Liczby: Reprezentacja

Bardziej szczegółowo

Języki i metodyka programowania. Reprezentacja danych w systemach komputerowych

Języki i metodyka programowania. Reprezentacja danych w systemach komputerowych Reprezentacja danych w systemach komputerowych Kod (łac. codex - spis), ciąg składników sygnału (kombinacji sygnałów elementarnych, np. kropek i kresek, impulsów prądu, symboli) oraz reguła ich przyporządkowania

Bardziej szczegółowo

Dział programowy: Liczby i działania ( 1 )

Dział programowy: Liczby i działania ( 1 ) 1 S t r o n a Dział programowy: Liczby i działania ( 1 ) 14-20 Liczby. Rozwinięcia liczb dziesiętne liczb wymiernych. Zaokrąglanie liczb. Szacowanie wyników. Dodawanie i odejmowanie liczb dodatnich. MnoŜenie

Bardziej szczegółowo

4 Standardy reprezentacji znaków. 5 Przechowywanie danych w pamięci. 6 Literatura

4 Standardy reprezentacji znaków. 5 Przechowywanie danych w pamięci. 6 Literatura ARCHITEKTURA SYSTEMÓW KOMPUTEROWYCH reprezentacja danych ASK.RD.01 c Dr inż. Ignacy Pardyka UNIWERSYTET JANA KOCHANOWSKIEGO w Kielcach Rok akad. 2011/2012 1 2 Standardy reprezentacji wartości całkowitoliczbowych

Bardziej szczegółowo

WyŜsza Szkoła Zarządzania Ochroną Pracy MS EXCEL CZ.2

WyŜsza Szkoła Zarządzania Ochroną Pracy MS EXCEL CZ.2 - 1 - MS EXCEL CZ.2 FUNKCJE Program Excel zawiera ok. 200 funkcji, będących predefiniowanymi formułami, słuŝącymi do wykonywania określonych obliczeń. KaŜda funkcja składa się z nazwy funkcji, która określa

Bardziej szczegółowo

Kolumna Zeszyt Komórka Wiersz Tabela arkusza Zakładki arkuszy

Kolumna Zeszyt Komórka Wiersz Tabela arkusza Zakładki arkuszy 1 Podstawowym przeznaczeniem arkusza kalkulacyjnego jest najczęściej opracowanie danych liczbowych i prezentowanie ich formie graficznej. Ale formuła arkusza kalkulacyjnego jest na tyle elastyczna, że

Bardziej szczegółowo

Informatyka, Ćwiczenie 1. 1. Uruchomienie Microsoft Visual C++ Politechnika Rzeszowska, Wojciech Szydełko. I. ZałoŜenie nowego projektu

Informatyka, Ćwiczenie 1. 1. Uruchomienie Microsoft Visual C++ Politechnika Rzeszowska, Wojciech Szydełko. I. ZałoŜenie nowego projektu Informatyka, Ćwiczenie 1 1. Uruchomienie Microsoft Visual C++ I. ZałoŜenie nowego projektu Wybieramy menu: File>New>Files jak na rys. poniŝej Zapisujemy projekt pod nazwą LAN, w katalogu d:\temp\lab typu

Bardziej szczegółowo

PREZENTACJE MULTIMEDIALNE cz.2

PREZENTACJE MULTIMEDIALNE cz.2 Wydział Elektryczny Katedra Elektrotechniki Teoretycznej i Metrologii Instrukcja do pracowni z przedmiotu Podstawy Informatyki Kod przedmiotu: TS1C 100 003 Ćwiczenie pt. PREZENTACJE MULTIMEDIALNE cz.2

Bardziej szczegółowo

Techniki multimedialne

Techniki multimedialne Techniki multimedialne Digitalizacja podstawą rozwoju systemów multimedialnych. Digitalizacja czyli obróbka cyfrowa oznacza przetwarzanie wszystkich typów informacji - słów, dźwięków, ilustracji, wideo

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne. Hasło z podstawy programowej 1. Liczby naturalne 1 Liczby naturalne, cechy podzielności. Liczba godzin

Wymagania edukacyjne. Hasło z podstawy programowej 1. Liczby naturalne 1 Liczby naturalne, cechy podzielności. Liczba godzin . Liczby rzeczywiste (3 h) PRZEDMIOT: Matematyka KLASA: I zasadnicza szkoła zawodowa Dział programowy Temat Wymagania edukacyjne Liczba godzin Hasło z podstawy programowej. Liczby naturalne Liczby naturalne,

Bardziej szczegółowo

Adresowanie obiektów. Adresowanie bitów. Adresowanie bajtów i słów. Adresowanie bajtów i słów. Adresowanie timerów i liczników. Adresowanie timerów

Adresowanie obiektów. Adresowanie bitów. Adresowanie bajtów i słów. Adresowanie bajtów i słów. Adresowanie timerów i liczników. Adresowanie timerów Adresowanie obiektów Bit - stan pojedynczego sygnału - wejście lub wyjście dyskretne, bit pamięci Bajt - 8 bitów - wartość od -128 do +127 Słowo - 16 bitów - wartość od -32768 do 32767 -wejście lub wyjście

Bardziej szczegółowo

KONSMETAL Zamek elektroniczny NT C496-L250 (RAPTOR)

KONSMETAL Zamek elektroniczny NT C496-L250 (RAPTOR) KONSMETAL Zamek elektroniczny NT C496-L250 (RAPTOR) Instrukcja obsługi Podstawowe cechy zamka: 1 kod główny (Master) moŝliwość zdefiniowania do 8 kodów uŝytkowników długość kodu otwarcia: 6 cyfr długość

Bardziej szczegółowo

PLAN PRACY ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI W KLASIE I LO

PLAN PRACY ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI W KLASIE I LO Poziomy wymagań edukacyjnych: K konieczny ocena dopuszczający (2) P podstawowy ocena dostateczna (3) Projekt nr WND-POKL.09.01.02-10-104/09 tytuł Z dysleksją bez barier PLAN PRACY ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z

Bardziej szczegółowo

Wykład I: Kodowanie liczb w systemach binarnych. Studia Podyplomowe INFORMATYKA Podstawy Informatyki

Wykład I: Kodowanie liczb w systemach binarnych. Studia Podyplomowe INFORMATYKA Podstawy Informatyki Studia Podyplomowe INFORMATYKA Podstawy Informatyki Wykład I: Kodowanie liczb w systemach binarnych 1 Część 1 Dlaczego system binarny? 2 I. Dlaczego system binarny? Pojęcie bitu Bit jednostka informacji

Bardziej szczegółowo

Jak napisać program obliczający pola powierzchni różnych figur płaskich?

Jak napisać program obliczający pola powierzchni różnych figur płaskich? Część IX C++ Jak napisać program obliczający pola powierzchni różnych figur płaskich? Na początku, przed stworzeniem właściwego kodu programu zaprojektujemy naszą aplikację i stworzymy schemat blokowy

Bardziej szczegółowo

Organizacja pamięci VRAM monitora znakowego. 1. Tryb pracy automatycznej

Organizacja pamięci VRAM monitora znakowego. 1. Tryb pracy automatycznej Struktura stanowiska laboratoryjnego Na rysunku 1.1 pokazano strukturę stanowiska laboratoryjnego Z80 z interfejsem częstościomierza- czasomierz PFL 21/22. Rys.1.1. Struktura stanowiska. Interfejs częstościomierza

Bardziej szczegółowo

KARTA INFORMACYJNA PRZEDMIOTU

KARTA INFORMACYJNA PRZEDMIOTU Uniwersytet Rzeszowski WYDZIAŁ KIERUNEK Matematyczno-Przyrodniczy Fizyka techniczna SPECJALNOŚĆ RODZAJ STUDIÓW stacjonarne, studia pierwszego stopnia KARTA INFORMACYJNA PRZEDMIOTU NAZWA PRZEDMIOTU WG PLANU

Bardziej szczegółowo

SCENARIUSZ LEKCJI. TEMAT LEKCJI: O czym mówią współczynniki funkcji liniowej? - wykorzystanie arkusza kalkulacyjnego na lekcjach matematyki

SCENARIUSZ LEKCJI. TEMAT LEKCJI: O czym mówią współczynniki funkcji liniowej? - wykorzystanie arkusza kalkulacyjnego na lekcjach matematyki SCENARIUSZ LEKCJI OPRACOWANY w RAMACH PROJEKTU: INFORMATYKA MÓJ SPOSÓB NA POZNANIE i OPISANIE ŚWIATA. PROGRAM NAUCZANIA INFORMATYKI Z ELEMENTAMI PRZEDMIOTÓW MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZYCH Autorzy scenariusza:

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................

Bardziej szczegółowo

APLIKACJA COMMAND POSITIONING Z WYKORZYSTANIEM KOMUNIKACJI SIECIOWEJ Z PROTOKOŁEM USS W PRZETWORNICACH MDS/FDS 5000

APLIKACJA COMMAND POSITIONING Z WYKORZYSTANIEM KOMUNIKACJI SIECIOWEJ Z PROTOKOŁEM USS W PRZETWORNICACH MDS/FDS 5000 APLIKACJA COMMAND POSITIONING Z WYKORZYSTANIEM KOMUNIKACJI SIECIOWEJ Z PROTOKOŁEM USS W PRZETWORNICACH MDS/FDS 5000 1. Wstęp...3 2. Pierwsze uruchomienie....3 3. Wybór aplikacji i komunikacji...4 4. Sterowanie...6

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia Skopiować do swojego folderu plik cwiczenia-kl.ii.xls, a następnie zmienić jego nazwę na imię i nazwisko ucznia

Ćwiczenia Skopiować do swojego folderu plik cwiczenia-kl.ii.xls, a następnie zmienić jego nazwę na imię i nazwisko ucznia Temat 23 : Poznajemy podstawy pracy w programie Excel. 1. Arkusz kalkulacyjny to: program przeznaczony do wykonywania różnego rodzaju obliczeń oraz prezentowania i analizowania ich wyników, utworzony (w

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład

Bardziej szczegółowo

Typ szkoły: ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA Rok szkolny 2015/2016 Zawód: FRYZJER, CUKIERNIK, PIEKARZ, SPRZEDAWCA, FOTOGRAF i inne zawody.

Typ szkoły: ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA Rok szkolny 2015/2016 Zawód: FRYZJER, CUKIERNIK, PIEKARZ, SPRZEDAWCA, FOTOGRAF i inne zawody. Typ szkoły: ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA Rok szkolny 05/06 Zawód: FRYZJER, CUKIERNIK, PIEKARZ, SPRZEDAWCA, FOTOGRAF i inne zawody Przedmiot: MATEMATYKA Klasa I (60 godz) Rozdział. Liczby rzeczywiste Numer

Bardziej szczegółowo

INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI POLITECHNIKI ŁÓDZKIEJ BADANIE PRZETWORNIKÓW POMIAROWYCH

INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI POLITECHNIKI ŁÓDZKIEJ BADANIE PRZETWORNIKÓW POMIAROWYCH INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI POLITECHNIKI ŁÓDZKIEJ ZAKŁAD ELEKTROWNI LABORATORIUM POMIARÓW I AUTOMATYKI W ELEKTROWNIACH BADANIE PRZETWORNIKÓW POMIAROWYCH Instrukcja do ćwiczenia Łódź 1996 1. CEL ĆWICZENIA

Bardziej szczegółowo

Znaki w tym systemie odpowiadają następującym liczbom: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000

Znaki w tym systemie odpowiadają następującym liczbom: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000 SYSTEMY LICZBOWE I. PODZIAŁ SYSTEMÓW LICZBOWYCH: systemy liczbowe: pozycyjne (wartośd cyfry zależy od tego jaką pozycję zajmuje ona w liczbie): niepozycyjne (addytywne) (wartośd liczby jest sumą wartości

Bardziej szczegółowo

Lista zadań. Babilońska wiedza matematyczna

Lista zadań. Babilońska wiedza matematyczna Lista zadań Babilońska wiedza matematyczna Zad. 1 Babilończycy korzystali z tablicy dodawania - utwórz w arkuszu kalkulacyjnym EXCEL tablicę dodawania liczb w układzie sześćdziesiątkowym, dla liczb ze

Bardziej szczegółowo

Obliczenia inżynierskie. Liczby, Programy CAS, Arkusz kalkulacyjny

Obliczenia inżynierskie. Liczby, Programy CAS, Arkusz kalkulacyjny Obliczenia inżynierskie Liczby, Programy CAS, Arkusz kalkulacyjny Reprezentacja liczb w komputerze 2 Pozycyjne systemy liczbowe System dziesiętny ( decymalny, arabski) podstawą kolejnych potęg jest 10

Bardziej szczegółowo

Moduł 2 Zastosowanie systemów liczbowych w informacji cyfrowej

Moduł 2 Zastosowanie systemów liczbowych w informacji cyfrowej Moduł 2 Zastosowanie systemów liczbowych w informacji cyfrowej 1. Pozycyjne systemy liczbowe 2. Zasady zapisu liczb w pozycyjnych systemach liczbowych 3. Podstawowe działania na liczbach binarnych 4. Liczby

Bardziej szczegółowo

Lista zadań nr 15 TERMIN ODDANIA ROZWIĄZANYCH ZADAŃ 9 marca 2015

Lista zadań nr 15 TERMIN ODDANIA ROZWIĄZANYCH ZADAŃ 9 marca 2015 Lista zadań nr 5 TERMIN ODDANIA ROZWIĄZANYCH ZADAŃ 9 marca 05 Liczby rzeczywiste a) planuję i wykonuję obliczenia na liczbach rzeczywistych; w szczególności obliczam pierwiastki, w tym pierwiastki nieparzystego

Bardziej szczegółowo

Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy

Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy Wariant nr (klasa I 4 godz., klasa II godz., klasa III godz.) Klasa I 7 tygodni 4 godziny = 48 godzin Lp. Tematyka zajęć

Bardziej szczegółowo

Wydział Elektryczny. Katedra Automatyki i Elektroniki. Instrukcja. do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: SYSTEMY CYFROWE 1.

Wydział Elektryczny. Katedra Automatyki i Elektroniki. Instrukcja. do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: SYSTEMY CYFROWE 1. Politechnika Białostocka Wydział Elektryczny Katedra Automatyki i Elektroniki Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: SYSTEMY CYFROWE 1 PAMIĘCI SZEREGOWE EEPROM Ćwiczenie 3 Opracował: dr inŝ.

Bardziej szczegółowo

Matematyka z plusem dla szkoły ponadgimnazjalnej

Matematyka z plusem dla szkoły ponadgimnazjalnej 1 ZAŁOśENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE II ( zakres podstawowy) Program nauczania: Matematyka z plusem, numer dopuszczenia DKW-4015-37/01. Liczba godzin nauki w tygodniu:

Bardziej szczegółowo

Struktura i działanie jednostki centralnej

Struktura i działanie jednostki centralnej Struktura i działanie jednostki centralnej ALU Jednostka sterująca Rejestry Zadania procesora: Pobieranie rozkazów; Interpretowanie rozkazów; Pobieranie danych Przetwarzanie danych Zapisywanie danych magistrala

Bardziej szczegółowo

Narzędzie informatyczne wspomagające dokonywanie ocen pracowniczych w służbie cywilnej

Narzędzie informatyczne wspomagające dokonywanie ocen pracowniczych w służbie cywilnej Narzędzie informatyczne wspomagające dokonywanie ocen pracowniczych w służbie cywilnej elektroniczne formularze arkuszy ocen okresowych i pierwszej oceny Instrukcja użytkownika Wersja 1.0 DSC KPRM 2015

Bardziej szczegółowo

2. Arytmetyka procesorów 16-bitowych stałoprzecinkowych

2. Arytmetyka procesorów 16-bitowych stałoprzecinkowych 4. Arytmetyka procesorów 16-bitowych stałoprzecinkowych Liczby stałoprzecinkowe Podstawowym zastosowaniem procesora sygnałowego jest przetwarzanie, w czasie rzeczywistym, ciągu próbek wejściowych w ciąg

Bardziej szczegółowo

Temat: SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

Temat: SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH Temat: SZCOWNIE NIEPEWNOŚCI POMIROWYCH - Jak oszacować niepewność pomiarów bezpośrednich? - Jak oszacować niepewność pomiarów pośrednich? - Jak oszacować niepewność przeciętną i standardową? - Jak zapisywać

Bardziej szczegółowo

Konfiguracja parametrów pozycjonowania GPS 09.05.2008 1/5

Konfiguracja parametrów pozycjonowania GPS 09.05.2008 1/5 Konfiguracja parametrów pozycjonowania GPS 09.05.2008 1/5 Format złożonego polecenia konfigurującego system pozycjonowania GPS SPY-DOG SAT ProSafe-Flota -KGPS A a B b C c D d E e F f G g H h I i J j K

Bardziej szczegółowo

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje

Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Opracował: Zbigniew Rudnicki Powtórka z poprzedniego wykładu 2 1 Dokument, regiony, klawisze: Dokument Mathcada realizuje

Bardziej szczegółowo

MenadŜer haseł Instrukcja uŝytkownika

MenadŜer haseł Instrukcja uŝytkownika MenadŜer haseł Instrukcja uŝytkownika Spis treści 1. Uruchamianie programu.... 3 2. Minimalne wymagania systemu... 3 3. Środowisko pracy... 3 4. Opis programu MenadŜer haseł... 3 4.1 Logowanie... 4 4.2

Bardziej szczegółowo

Technologia informacyjna

Technologia informacyjna Technologia informacyjna Pracownia nr 9 (studia stacjonarne) - 05.12.2008 - Rok akademicki 2008/2009 2/16 Bazy danych - Plan zajęć Podstawowe pojęcia: baza danych, system zarządzania bazą danych tabela,

Bardziej szczegółowo

A B. Modelowanie reakcji chemicznych: numeryczne rozwiązywanie równań na szybkość reakcji chemicznych B: 1. da dt. A v. v t

A B. Modelowanie reakcji chemicznych: numeryczne rozwiązywanie równań na szybkość reakcji chemicznych B: 1. da dt. A v. v t B: 1 Modelowanie reakcji chemicznych: numeryczne rozwiązywanie równań na szybkość reakcji chemicznych 1. ZałóŜmy, Ŝe zmienna A oznacza stęŝenie substratu, a zmienna B stęŝenie produktu reakcji chemicznej

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny z matematyki w klasie 1ab w roku szkolnym 2011/2012

Wymagania na poszczególne oceny z matematyki w klasie 1ab w roku szkolnym 2011/2012 Wymagania ocen z matematyki klasa 1 gimnazjum Wymagania na poszczególne oceny z matematyki w klasie 1ab w roku szkolnym 2011/2012 POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca (2) P -

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej

Bardziej szczegółowo

Transformacja współrzędnych geodezyjnych mapy w programie GEOPLAN

Transformacja współrzędnych geodezyjnych mapy w programie GEOPLAN Transformacja współrzędnych geodezyjnych mapy w programie GEOPLAN Program GEOPLAN umożliwia zmianę układu współrzędnych geodezyjnych mapy. Można tego dokonać przy udziale oprogramowania przeliczającego

Bardziej szczegółowo

Obliczenia inżynierskie. Liczby Programy CAS Arkusz kalkulacyjny

Obliczenia inżynierskie. Liczby Programy CAS Arkusz kalkulacyjny Obliczenia inżynierskie Liczby Programy CAS Arkusz kalkulacyjny 2 3 Pozycyjne systemy liczbowe System dziesiętny ( decymalny, arabski) podstawą kolejnych potęg jest 10 do zapisu potrzebnych 10 cyfr: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do programowania w języku Visual Basic. Podstawowe instrukcje języka

Wprowadzenie do programowania w języku Visual Basic. Podstawowe instrukcje języka Wprowadzenie do programowania w języku Visual Basic. Podstawowe instrukcje języka 1. Kompilacja aplikacji konsolowych w środowisku programistycznym Microsoft Visual Basic. Odszukaj w menu startowym systemu

Bardziej szczegółowo

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie:

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie: ma postać y = ax + b Równanie regresji liniowej By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : xy b = a = b lub x Gdzie: xy = też a = x = ( b ) i to dane empiryczne, a ilość

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 1 Przybliżenia

Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 1 Przybliżenia Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 1 Przybliżenia Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Katedra Informatyki Stosowanej Spis treści Spis treści 1 Poprawność obliczeń komputerowych 2

Bardziej szczegółowo

Trik 1 Autorejestrowanie zmian dokonanych w obliczeniach

Trik 1 Autorejestrowanie zmian dokonanych w obliczeniach :: Trik 1. Autorejestrowanie zmian dokonanych w obliczeniach :: Trik 2. Czytelne formatowanie walutowe :: Trik 3. Optymalny układ wykresu punktowego :: Trik 4. Szybkie oznaczenie wszystkich komórek z formułami

Bardziej szczegółowo

Widoczność zmiennych Czy wartości każdej zmiennej można zmieniać w dowolnym miejscu kodu? Czy można zadeklarować dwie zmienne o takich samych nazwach?

Widoczność zmiennych Czy wartości każdej zmiennej można zmieniać w dowolnym miejscu kodu? Czy można zadeklarować dwie zmienne o takich samych nazwach? Część XVIII C++ Funkcje Widoczność zmiennych Czy wartości każdej zmiennej można zmieniać w dowolnym miejscu kodu? Czy można zadeklarować dwie zmienne o takich samych nazwach? Umiemy już podzielić nasz

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne klasa trzecia.

Wymagania edukacyjne klasa trzecia. TEMAT Wymagania edukacyjne klasa trzecia. WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Lekcja organizacyjna System dziesiątkowy System rzymski Liczby wymierne i niewymierne

Bardziej szczegółowo

Scenariusz lekcyjny Zadania typu maturalnego: procenty, przedziały, wartość bezwzględna, błędy przybliżeń, logarytmy. Scenariusz lekcyjny

Scenariusz lekcyjny Zadania typu maturalnego: procenty, przedziały, wartość bezwzględna, błędy przybliżeń, logarytmy. Scenariusz lekcyjny Scenariusz lekcyjny Data: 20 listopad 2012 rok. Klasa: I c liceum ogólnokształcące (profil bezpieczeństwo wewnętrzne). Czas trwania zajęć: 45 minut. Nauczany przedmiot: matematyka. Program nauczania: program

Bardziej szczegółowo

Podstawy obsługi pakietu GNU octave.

Podstawy obsługi pakietu GNU octave. Podstawy obsługi pakietu GNU octave. (wspomaganie obliczeń inżynierskich) Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z obsługą pakietu GNU octave. W ćwiczeniu wprowadzono opis podstawowych komend

Bardziej szczegółowo

Klasa I szkoły ponadgimnazjalnej matematyka

Klasa I szkoły ponadgimnazjalnej matematyka Klasa I szkoły ponadgimnazjalnej matematyka. Informacje ogólne Badanie osiągnięć uczniów I klas odbyło się 7 września 2009 r. Wyniki badań nadesłało 2 szkół. Analizie poddano wyniki 992 uczniów z 4 klas

Bardziej szczegółowo

WYKRESY FUNKCJI LINIOWEJ

WYKRESY FUNKCJI LINIOWEJ GIMNAZJUM NR 2 W KAMIENNEJ GÓRZE WYKRESY FUNKCJI LINIOWEJ Oprcowała Wiesława Kurnyta Kamienna Góra, 2006 Oto wypisy z Podstawy programowej o nauczaniu matematyki w gimnazjum Cele edukacyjne 1. E Przyswajanie

Bardziej szczegółowo

Ćw. 0 Wprowadzenie do programu MultiSIM

Ćw. 0 Wprowadzenie do programu MultiSIM Ćw. 0 Wprowadzenie do programu MultiSIM 1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z programem MultiSIM słuŝącym do symulacji działania układów elektronicznych. Jednocześnie zbadane zostaną podstawowe

Bardziej szczegółowo

SYLABUS PRZEDMIOTU MATEMATYKA W RAMACH ZAJ

SYLABUS PRZEDMIOTU MATEMATYKA W RAMACH ZAJ SYLABUS PRZEDMIOTU MATEMATYKA W RAMACH ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU BUDOWNICTWA WNT UWM W ROKU AKADEMICKIM 2012/2013 Nazwa przedmiotu: Zajęcia wyrównawcze z matematyki Rodzaj studiów:

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do programowania w języku Visual Basic. Podstawowe instrukcje języka

Wprowadzenie do programowania w języku Visual Basic. Podstawowe instrukcje języka Wprowadzenie do programowania w języku Visual Basic. Podstawowe instrukcje języka 1. Kompilacja aplikacji konsolowych w środowisku programistycznym Microsoft Visual Basic. Odszukaj w menu startowym systemu

Bardziej szczegółowo

Programowanie komputerów

Programowanie komputerów Programowanie komputerów Wykład 1-2. Podstawowe pojęcia Plan wykładu Omówienie programu wykładów, laboratoriów oraz egzaminu Etapy rozwiązywania problemów dr Helena Dudycz Katedra Technologii Informacyjnych

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne Laboratorium 2

Metody numeryczne Laboratorium 2 Metody numeryczne Laboratorium 2 1. Tworzenie i uruchamianie skryptów Środowisko MATLAB/GNU Octave daje nam możliwość tworzenia skryptów czyli zapisywania grup poleceń czy funkcji w osobnym pliku i uruchamiania

Bardziej szczegółowo

Runda 5: zmiana planszy: < < i 6 rzutów.

Runda 5: zmiana planszy: < < i 6 rzutów. 1. Gry dotyczące systemu dziesiętnego Pomoce: kostka dziesięciościenna i/albo karty z cyframi. KaŜdy rywalizuje z kaŝdym. KaŜdy gracz rysuje planszę: Prowadzący rzuca dziesięciościenną kostką albo losuje

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: ARCHITEKTURA SYSTEMÓW KOMPUTEROWYCH Kierunek: Informatyka Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy w ramach treści kierunkowych, moduł kierunkowy ogólny Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia I KARTA

Bardziej szczegółowo

ZAŁOŻENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE II ( zakres podstawowy)

ZAŁOŻENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE II ( zakres podstawowy) 1 ZAŁOŻENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE II ( zakres podstawowy) Program nauczania: Matematyka z plusem Liczba godzin nauki w tygodniu: 3 Planowana liczba godzin w ciągu roku:

Bardziej szczegółowo

Trik 1 Formatowanie przenoszone z wykresu na wykres

Trik 1 Formatowanie przenoszone z wykresu na wykres :: Trik 1. Formatowanie przenoszone z wykresu na wykres :: Trik 2. Dostosowanie kolejności danych w tabeli przestawnej :: Trik 3. Wyznaczanie najmniejszej wartości z pominięciem liczb ujemnych :: Trik

Bardziej szczegółowo

Spis treści TRYB GRAFICZNY SYSTEMU WINDOWS - PODSTAWY OBSŁUGI WYBRANEGO ŚRODOWISKA PROGRAMISTYCZNEGO. Informatyka 2

Spis treści TRYB GRAFICZNY SYSTEMU WINDOWS - PODSTAWY OBSŁUGI WYBRANEGO ŚRODOWISKA PROGRAMISTYCZNEGO. Informatyka 2 Politechnika Białostocka Wydział Elektryczny Katedra Elektrotechniki Teoretycznej i Metrologii Instrukcja do pracowni specjalistycznej z przedmiotu Informatyka 2 Kod przedmiotu: ES1C300 016 (studia stacjonarne)

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do informatyki ćwiczenia

Wprowadzenie do informatyki ćwiczenia Podstawowe działania na liczbach binarnych dr inż. Izabela Szczęch WSNHiD 2010/2011 Ćwiczenia z wprowadzenia do informatyki Dodawanie Odejmowanie Mnoż enie Dzielenie Plan zajęć 2 Izabela Szczęch 1 Dodawanie

Bardziej szczegółowo

Trik 1 Edycja wykresu bezpośrednio w dokumencie Worda

Trik 1 Edycja wykresu bezpośrednio w dokumencie Worda :: Trik 1. Edycja wykresu bezpośrednio w dokumencie Worda :: Trik 2. Automatyczne usuwanie nadanych nazw zakresów :: Trik 3. Warunki przy określaniu jednostek miary :: Trik 4. Najszybszy sposób podświetlenia

Bardziej szczegółowo

I. KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU

I. KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU I. KARTA PRZEDMIOTU 1. Nazwa przedmiotu: TECHNOLOGIA INFORMACYJNA 2. Kod przedmiotu: Ot 3. Jednostka prowadząca: Wydział Mechaniczno-Elektryczny 4. Kierunek: Automatyka i Robotyka 5. Specjalność: Informatyka

Bardziej szczegółowo

SCENARIUSZ LEKCJI. Streszczenie. Czas realizacji. Podstawa programowa

SCENARIUSZ LEKCJI. Streszczenie. Czas realizacji. Podstawa programowa SCENARIUSZ LEKCJI OPRACOWANY W RAMACH PROJEKTU: INFORMATYKA MÓJ SPOSÓB NA POZNANIE I OPISANIE ŚWIATA. PROGRAM NAUCZANIA INFORMATYKI Z ELEMENTAMI PRZEDMIOTÓW MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZYCH Autorzy scenariusza:

Bardziej szczegółowo

WSTĘP. Budowę umiejętności w: zarządzaniu plikami; procesowaniu tekstu i tworzeniu arkuszy; uŝywaniu przeglądarek internetowych oraz World Wide Web;

WSTĘP. Budowę umiejętności w: zarządzaniu plikami; procesowaniu tekstu i tworzeniu arkuszy; uŝywaniu przeglądarek internetowych oraz World Wide Web; WSTĘP Kurs podstaw komputera dla dorosłych to kompletny kurs przewidziany dla dorosłych uczniów, w szczególności dla starszych pracowników, tak aby mogli osiągnąć/poprawić umiejętności w zakresie obsługi

Bardziej szczegółowo

Rozdział ten zawiera informacje na temat zarządzania Modułem Modbus TCP oraz jego konfiguracji.

Rozdział ten zawiera informacje na temat zarządzania Modułem Modbus TCP oraz jego konfiguracji. 1 Moduł Modbus TCP Moduł Modbus TCP daje użytkownikowi Systemu Vision możliwość zapisu oraz odczytu rejestrów urządzeń, które obsługują protokół Modbus TCP. Zapewnia on odwzorowanie rejestrów urządzeń

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA KONIECZNE - OCENA DOPUSZCZAJĄCA:

WYMAGANIA KONIECZNE - OCENA DOPUSZCZAJĄCA: WYMAGANIA KONIECZNE - OCENA DOPUSZCZAJĄCA: zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie zaznaczać liczbę wymierną na osi liczbowej umie

Bardziej szczegółowo

Kalibracja kamery. Kalibracja kamery

Kalibracja kamery. Kalibracja kamery Cel kalibracji Celem kalibracji jest wyznaczenie parametrów określających zaleŝności między układem podstawowym a układem związanym z kamerą, które występują łącznie z transformacją perspektywy oraz parametrów

Bardziej szczegółowo

Programowanie Strukturalne i Obiektowe Słownik podstawowych pojęć 1 z 5 Opracował Jan T. Biernat

Programowanie Strukturalne i Obiektowe Słownik podstawowych pojęć 1 z 5 Opracował Jan T. Biernat Programowanie Strukturalne i Obiektowe Słownik podstawowych pojęć 1 z 5 Program, to lista poleceń zapisana w jednym języku programowania zgodnie z obowiązującymi w nim zasadami. Celem programu jest przetwarzanie

Bardziej szczegółowo

PRZYKŁADOWY TEST EGZAMINACYJNY

PRZYKŁADOWY TEST EGZAMINACYJNY European Computer Competence Certificate PRZYKŁADOWY TEST EGZAMINACYJNY Europejskiego Certyfikatu Kompetencji Informatycznych ECCC Moduł: IT M3 Arkusze kalkulacyjne Poziom: B Średniozaawansowany FUNDACJA

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie nr 71: Dyfrakcja światła na szczelinie pojedynczej i podwójnej

Ćwiczenie nr 71: Dyfrakcja światła na szczelinie pojedynczej i podwójnej Wydział Imię i nazwisko 1. 2. Rok Grupa Zespół PRACOWNIA Temat: Nr ćwiczenia FIZYCZNA WFiIS AGH Data wykonania Data oddania Zwrot do popr. Data oddania Data zaliczenia OCENA Ćwiczenie nr 71: Dyfrakcja

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie zaznaczać liczbę

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA OBSŁUGI PROGRAMU DO ODCZYTU PAMIĘCI FISKALNEJ DATECS OPF

INSTRUKCJA OBSŁUGI PROGRAMU DO ODCZYTU PAMIĘCI FISKALNEJ DATECS OPF INSTRUKCJA OBSŁUGI PROGRAMU DO ODCZYTU PAMIĘCI FISKALNEJ DATECS OPF Wersja: 0.0.0.3 Październik 2012 SPIS TREŚCI: 1. Wstęp 2. Wymagania sprzętowe, instalacja. 3. Opis współpracy komputera z kasą 4. Konfiguracja

Bardziej szczegółowo

5. Administracja kontami uŝytkowników

5. Administracja kontami uŝytkowników 5. Administracja kontami uŝytkowników Windows XP, w porównaniu do systemów Windows 9x, znacznie poprawia bezpieczeństwo oraz zwiększa moŝliwości konfiguracji uprawnień poszczególnych uŝytkowników. Natomiast

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY /

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY / WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY / Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem powinny być opanowane przez każdego ucznia. Wymagania

Bardziej szczegółowo