TYLKO OSZLIFOWANY DIAMENT ŚWIECI

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "TYLKO OSZLIFOWANY DIAMENT ŚWIECI"

Transkrypt

1 TYLKO OSZLIFOWANY DIAMENT ŚWIECI MATERIAŁY POMOCNICZE DO REALIZACJI PROGRAMU ZAJĘĆ POZASZKOLNYCH Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW ZDOLNYCH SZKÓŁ PONADGIMNAZJALNYCH ALEKSANDER RYBSKI NOWY SĄCZ Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

2 METODA PROJEKTU W NAUCZANIU Powiesz zapomnę, pokażesz zapamiętam, przeżyję, doświadczę zrozumiem. Metoda projektu jest interdyscyplinarną metodą nauczania matematyki, uczy poszukiwania informacji i autoprezentacji. Odwołuje się do zainteresowań ucznia i pozwala na poszerzenie jego wiedzy. Projekt uczy samodzielności i współdziałania w sposób planowy i konsekwentny, wyrabia nawyki samokształceniowe rozwija samodzielne myślenie i kreatywność uczniów. Odwołuje się do zainteresowań ucznia i pozwala na poszerzenie jego wiedzy. Ma charakter odkrywczy. Wymusza realizację pełnego procesu badawczego: planowanie przebiegu badań przez zdobywanie informacji, stosowanie rozmaitych strategii rozwiązywania problemu, opracowanie wniosków, stawianie dobrych pytań. Uczy jak radzić sobie z nadmiarem informacji jak je gromadzić, selekcjonować, odrzucać, uczy umiejętności dokonywania stosownych wyborów. Jako aktywna metoda uczenia pozwala tak organizować proces nauczania, że uczeń z biernego odbioru wiedzy staje się aktywnym poszukiwaczem. To wyzwala odwagę, uczy przedsiębiorczości, zaradności i samodzielności. Najważniejszymi cechami metody projektu są: samodzielne planowanie i przeprowadzanie pracy przez uczniów, zerwanie z zasadą dominacji nauczyciela, uczenie się poprzez rozwiązywanie problemów, zdobywanie wiedzy z jednoczesnym jej wykorzystaniem w praktyce, korzystanie z różnych źródeł informacji, 2

3 stwarzanie sytuacji sprzyjających przeżywaniu i doświadczaniu życia, wspieranie rozwoju charakteru, efektywne współdziałanie w zespole, poszukiwanie i porządkowanie informacji, rozwijanie osobistych zainteresowań, rozwijanie dociekliwości poznawczej, ocenianie własnej nauki. Realizując projekt prowadzący pozostawia dużą swobodę uczniom głównie w sposobie rozwiązania problemu. Jednocześnie należy czuwać nad prawidłową realizacją programu projektu. 3

4 ZAŁOŻENIA DYDAKTYCZNE I WYCHOWAWCZE KONCEPCJI PROJEKTU Rozwiązanie nietypowych zadań proponowanych przez uczniów, Rozwijanie emocjonalne, intelektualne, światopoglądowe i praktyczne uczniów, Rozwijanie motywacyjne sprzyjające aktywnemu uczestnictwu w działaniu i podejmowaniu decyzji przez uczniów, Kształtowanie elementarnych zasad wnioskowania, Rozwiązywanie problemów w sposób twórczy, Kształtowanie umiejętności i postaw pozwalających na funkcjonowanie w świecie stale dokonujących się zmian wymagających permanentnego doskonalenia się, Wyrabianie umiejętności takich, jak: planowanie, organizowanie, ocenianie własne, kształcenie i branie za nie odpowiedzialności, Prezentowanie własnego punktu widzenia, uwzględnianie poglądów innych ludzi i porozumiewanie się w różnych sytuacjach, Współdziałanie w zespole, podejmowanie decyzji i zachowanie obowiązujących norm, Poszukiwanie, porządkowanie i wykorzystanie informacji z różnych źródeł oraz posługiwanie się wszelkimi środkami multimedialnymi, Stosowanie w praktyce przyswojonej wiedzy oraz wyrabianie odpowiednich nawyków, Rozwijanie sprawności intelektualnych i zainteresowań, Przejmowanie odpowiedzialności za własne życie i rozwój osobowy, Stwarzanie sytuacji do odkrywania pojęć i stosowania metod wyzwalających aktywność uczniów, 4

5 Dostrzeganie problemów w środowisku, w którym przebywają uczniowie. Ujęcie i interpretowanie ich w pewnym modelu matematycznym, Wyciąganie odpowiednich wniosków, Dochodzenie do rozumienia przekazywanych treści, Rozwijanie zdolności dostrzegania związków i zależności, Kształtowanie umiejętności w sprawnym operowaniu pojęciami matematycznymi, biegłym rozwiązywaniu zadań o zwiększonym stopniu trudności, Rozszerzenie wiadomości z matematyki (nie objętych) programem szkoły średniej, Nabycie umiejętności samodzielnego zdobywania wiedzy, korzystania z różnych źródeł, Uporządkowanie i uzupełnienie wiadomości i umiejętności dotyczących materiału objętego programem nauczania, Rozwijanie myślenia analitycznego i syntetycznego. Szczegółowe cele edukacyjne kształcenia i wychowania Nadrzędnym celem pracy edukacyjnej każdego nauczyciela jest dążenie do wszechstronnego rozwoju ucznia oraz przygotowanie go do rozumienia współczesnego świata i aktywnego uczestnictwa w życiu oraz do wyrabiania nawyku samodzielnego zdobywania wiedzy na dalszych etapach edukacji. Zgodnie z podstawą programową uczniowie kształcą swoje umiejętności w celu wykorzystania zdobytej wiedzy we współczesnym świecie, a nauczyciele tworzą uczniom warunki do nabywania następujących umiejętności: 5

6 - rozwijania logicznego myślenia i konstruowania własnych strategii postępowania, kształcenia postawy samodzielności, dociekliwości i krytycyzmu w stosunku do swoich działań, - planowania, organizowania i właściwego interpretowania zebranych informacji oraz oceniania własnej nauki, przyjmowania za nią odpowiedzialności oraz kształcenia nawyku dobrej organizacji pracy, - skutecznego porozumiewania się w różnych sytuacjach, prezentacji własnego punktu widzenia i uwzględniania poglądów innych ludzi, poprawnego posługiwania się językiem ojczystym, przygotowania do publicznych wystąpień, - efektywnego współdziałania w zespole, budowania więzi międzyludzkich, podejmowania indywidualnych i wspólnych decyzji, skutecznego działania na gruncie obowiązujących norm, kształcenia postawy otwartości i szacunku dla pomysłów i poglądów innych uczestników projektu, prowadzenia dyskusji, prezentowania wyników własnej pracy, tolerancji i szacunku dla poglądu innych, dzielenie się w grupie rolami i zadaniami, - poszukiwania kompromisu, - planowania, układanie harmonogramu działań, poszukiwanie sojuszników, którzy wsparliby realizację planowanych działań, - rozwiązywania problemów w sposób twórczy, stawiania pytań i dochodzenia do wniosków, - przygotowania do dostrzegania różnych problemów i zjawisk społecznych, ekonomicznych, przyrodniczych, fizycznych, elektronicznych, astronomicznych i technicznych, analizowania ich i opisywania z wykorzystaniem wiedzy matematycznej i języka matematyki, - poszukiwania, porządkowania i wykorzystywania informacji z różnych źródeł, projektowania obliczeń i ich wykonywania; budowania modeli matematycznych i ich wykorzystania do rozwiązywania problemów praktycznych; efektywnego posługiwania się technologiami informatycznymi i komunikacyjnymi, - odnoszenia do praktyki zdobytej wiedzy oraz tworzenia potrzebnych doświadczeń i nawyków; odbioru i interpretacji tekstu matematycznego; odczytywania, gromadzenia, interpretacji danych; logicznego wnioskowania i uzasadniania, 6

7 - rozwijania sprawności umysłowych oraz osobistych zainteresowań poprzez kształcenie wyobraźni przestrzennej; sprawnego posługiwania się regułami wnioskowania i algorytmami oraz językiem matematycznym, - przyswajania metod i technik negocjacyjnego rozwiązywania konfliktów i problemów społecznych, - zapoznania uczniów z zagadnieniami wychodzącymi poza program szkoły średniej, a wymaganymi na studiach. Treści nauczania matematyki Zamieszczone w tym projekcie treści nauczania matematyki oparte są na obowiązującej podstawie programowej realizującej program nauczania matematyki na poziomie rozszerzonym oraz uwzględniają treści nauczania obowiązujące na pierwszych latach studiów na kierunkach związanych z matematyką. Przedstawiony poniżej podział treści nauczania jest tylko propozycją, a ostateczna decyzja co do rozkładu treści należy do nauczyciela prowadzącego dany moduł. Kolejność realizowania modułów jest dowolny wybór należy do nauczyciela prowadzącego projekt. Uczniowie wykonują zadania obejmujące pewną partię materiału przez samodzielne sformułowanie tematu i samodzielne poszukiwanie rozwiązania pod niezauważalną opieką nauczyciela. Projekt wymaga wykorzystania wiedzy z różnych przedmiotów nauczania fizyki, biologii, astronomii, ekonomii, geografii, polityki itp. Metoda projektu rozwija kreatywność uczniów i samodzielne myślenie. Prowadzący projekt musi pozostawić dużą swobodę uczniom głównie w sposobie rozwiązywania problemu, a jednocześnie musi czuwać nad prawidłową realizacją przyjętego programu nauczania. 7

8 I MODUŁ PROJEKTOWY Zastosowania twierdzeń matematycznych 1) Wprowadzenie do modułu: Najciekawszą częścią matematyki są twierdzenia i konstrukcje geometryczne. Twierdzenia mogą być łatwe i trudne, takie do których udowodnienia trzeba najpierw udowodnić twierdzenia pomocnicze tzw. lematy. Wiele twierdzeń czekało wieki na ich udowodnienie a ci, którzy uczynili to pierwsi,zostali na stałe wpisani do historii matematyki. Nie wszystkie problemy matematyczne,znalazły pozytywne rozstrzygnięcie, jak np. kwadratura koła, to znaczy konstrukcja kwadratu, którego pole jest równe polu danego koła. Zadanie to sprowadza się w istocie do konstrukcji odcinka długości Dopiero w XIX wieku wykazano niemożliwość tej konstrukcji a dokonali tego Pierre Wantzel oraz Ferdinand Lindemann. Był to jeden z trzech głównych problemów starożytnej matematyki greckiej, obok trysekcji kąta tzn. podziału kąta na trzy równe części oraz podwojenia sześcianu, czyli zbudowaniu sześcianu o objętości dwa razy większej od danego sześcianu. Dawno w programie matematyki szkoły ponadgimnazjalnej zostały wykreślone treści związane z klasycznymi konstrukcjami geometrycznymi tzn. tylko przy użyciu cyrkla i linijki. Są to bardzo ciekawe konstrukcje,jak chociażby złoty podział odcinka, których poprawność należy wykazać, poznając przy okazji wiele ciekawych twierdzeń geometrii i algebry. Większość twierdzeń ma zapis zgodny z logiką, dlatego też ich dowody opieramy na zasadach logicznych. Bo czymże jest reguła wnioskowania, jak nie prawem przechodniości implikacji, albo dowód nie wprost kontrapozycją, połączoną z prawem przechodniości implikacji. Reguła wnioskowania niestety nie zdaje egzaminu w twierdzeniach i wzorach określanych dla dowolnej liczby naturalnej, bo co prawdziwe jest dla skończonej ilości nawet bardzo wielkiej, może okazać się nieprawdziwe w nieskończoności, stąd konieczny jest dowód indukcyjny. Chyba najciekawszym sposobem dowodzenia twierdzeń dotyczących własności w zbiorze liczb naturalnych jest zasada szufladkowa Dirichleta. W oparciu o zasadę możliwe jest wykazanie, że w Warszawie mieszkają przynajmniej dwie osoby, które mają taką samą ilość włosów na głowie. (Dorosły człowiek ma ich nie więcej niż ). 8

9 2) Cele operacyjne modułu uwzględniające cele we wszystkich projektach: Treści nauczania 1.Elementy logiki: alternatywa, koniunkcja, implikacja, równoważność, kontrapozycja, reguła odrywania. Prawa rachunku zdań. 2.Hipoteza i twierdzenie. Kontrprzykład. Budowa twierdzenia, rodzaje twierdzeń. Kwadrat logiczny i zamknięty układ twierdzeń. Twierdzenie proste i odwrotne oraz twierdzenie przeciwne i przeciwstawne. Dowody twierdzeń: wprost i nie wprost. 3.Dowód indukcyjny. 4.Zasada szufladkowa Dirichleta. 5.Dwody dedukcyjne. Główne rodzaje schematów wnioskowań. Schematy wnioskowania a twierdzenia logiczne. Schematy wnioskowania a reguły wnioskowania. Metody logicznego wnioskowania (wnioskowanie wstecz i wnioskowanie wprzód). 6.Dowody poprawności konstrukcji geometrycznych w oparciu o twierdzenia geometrii euklidesowej. Cele operacyjne modułu Uczeń potrafi: -odczytywać zdania zapisane z użyciem symboli matematycznych -posługiwać się symboliką logiczną: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz form zdaniowych -stosować do zapisu zdań symbole logiki matematycznej -stosować prawa logiczne -odnaleźć regułę modus ponens (reguła odrywania), modus tollens (modus tollendo tollens, łac. sposób zaprzeczający przy pomocy zaprzeczenia), modus tollendo ponens (łac. sposób potwierdzający przez zaprzeczenie) w tautologii rachunku zdań -zastosować prosty schemat wnioskowania dedukcyjnego -podać kontrprzykład pokazujący fałszywość danej hipotezy -podać budowę twierdzenia -wskazać założenie i tezę twierdzenia -uzasadnić na czym polega dowód matematyczny -rozpoznać twierdzenia, które należy 9

10 dowodzić nie wprost -odnaleźć dowód Euklidesa na istnienie nieskończenie wielu liczb pierwszych -odnaleźć różne dowody niewymierności -wykonać klasyczne konstrukcje geometryczne przy pomocy cyrkla i linijki, wraz z dowodem poprawności konstrukcji -przeprowadzić dowód twierdzenia wprost i nie wprost -zastosować własności twierdzeń -wskazać warunek konieczny i wystarczający -rozróżniać twierdzenia -zapisywać twierdzenia przy pomocy symboli matematycznych -wyszukać twierdzenia w algebrze, geometrii, trygonometrii i w kombinatoryce -wyjaśnić pojęcie zasady indukcji matematycznej -stosować indukcję matematyczną w prowadzeniu rozumowań, w szczególności w dowodzeniu twierdzeń -zauważyć które twierdzenia dowodzić za pomocą zasady szufladkowej Dirichleta -przeprowadzić dowód wykorzystując zasadę szufladkową Dirichleta -opisać językiem matematyki twierdzenia w 10

11 innych dziedzinach niekoniecznie w matematyce 3) PROJEKT 1: Jakie mają zastosowania twierdzenia logiczne w matematyce? Materiały pomocnicze do tematu projektu: a) szczegółowe pytania problemowe do tematu projektu: - Jaka jest budowa twierdzenia? - Jakie są sposoby zapisywania twierdzeń? - Jakie znasz rodzaje twierdzeń w logice? - Jaka jest różnica w dowodach twierdzeń w logice, algebrze, geometrii i trygonometrii? - Jaki związek ma twierdzenie wprost z kontrapozycją i dowodem nie wprost? - Jak konstruujemy twierdzenie odwrotne do danego? - W jaki sposób dowodzimy równoważność w logice, a jak w innych dziedzinach matematyki? - Jakie potrafisz znaleźć reguły logiczne, które można zastosować w innych dziedzinach? 11

12 b) przykładowe zadania : Zadanie 1. Znajdź prawa rachunku zdań w Internecie i przeprowadź dowody ważniejszych praw rachunku zdań, np.: prawo kontrapozycji prawo odrywania (jeżeli z jednego zdania wynika drugie i pierwsze jest prawdziwe, to drugie należy uznać za prawdziwe) prawo to jest odpowiednikiem arystotelesowskiej reguły wnioskowania modus ponendo ponens (łac. sposób potwierdzający przy pomocy potwierdzenia) prawo eliminacji implikacji prawo zaprzeczenia implikacji prawo redukcji do absurdu (reductio ad absurdum) prawo Fregego 12

13 Zadanie 2. Reguły wnioskowania na podstawie poniższego tekstu, znajdź problemy związane z życiem codziennym, w których możemy zastosować opisane tu reguły: Reguła odrywania oparta na prawie rachunku zdań modus ponens reguła przekształcania jednych formuł zdaniowych w inne formuły zdaniowe przyjmowana na gruncie rachunku zdań. W pierwotnej formie sformułowana w logice stoików. Część autorów termin reguła odrywania rozumie szerszej, mianowicie regułę odrywania dla równoważności o analogicznej do reguły odrywania (dla implikacji) postaci. Modus ponens (reguła odrywania), wnioskowanie logiczne, to reguła logiki mówiąca że jeśli zaakceptujemy że z x wynika y, oraz x (jest prawdziwe), to musimy zaakceptować też y. prawo pustego spełniania: 0 q ; nie ma co wtedy martwić się nieprawdą; stąd zał. zał., że prawdą są wszystkie! przesłanki w dowodach założeniowych ; kończąc dowód tezy udowadniamy tautologię. Modus tollens (modus tollendo tollens, łac. sposób zaprzeczający przy pomocy zaprzeczenia) wnioskowanie logiczne, reguła logiki mówiąca, że jeśli zaakceptujemy że z X wynika Y, oraz że Y jest fałszywe, to musimy zaakceptować też fałszywość X. "Modus tollendo tollens tryb obalający [...] przez obalenie [...]. Jest to inna postać "sylogizmu kategoryczno-hipotetycznego". Zastosowania: Jeżeli nie ma śladów uderzeń na 13

14 zwłokach, a przy tym gdyby zmarły był bity przed śmiercią, to by były ślady uderzeń na zwłokach, tedy nieprawda, że zmarły był bity przed śmiercią." Modus tollendo ponens (łac. sposób potwierdzający przez zaprzeczenie) tautologia rachunku zdań i analogiczny schemat wnioskowania dedukcyjnego. Tautologia rachunku zdań mówi, że jeśli uznajemy alternatywę i fałszywość jednego z jej członów, musimy uznać prawdziwość drugiego członu: Analogiczny schemat wnioskowania dedukcyjnego ma postać: p lub q, nie p. Zatem: q. Modus ponendo tollens (łac. sposób zaprzeczający przez potwierdzenie) Jest to tautologia rachunku zdań mówiąca o właściwościach dysjunkcji na podstawie prawdziwości jednego ze zdań składowych prawdziwej dysjunkcji można orzekać o fałszywości drugiego. Analogiczny schemat wnioskowania dedukcyjnego ma postać Jeżeli: bądź p bądź q, i p. Zatem: nieprawda, że q. 14

15 Zadanie 3. Na podstawie wybranych rodzajów reguł wnioskowania i podanych poniżej przykładów sporządź uproszczony schemat algorytmu działania maszyny wnioskującej wprzód i wstecz. 1) Reguła odrywania oparta na prawie "modus ponens" zgodnie z którym jeśli uznany (prawdziwy) jest okres warunkowy (implikacja) i jego poprzednik, wolno zawsze uznać (za prawdziwy) jego następnik. "Modus ponens" polega na wnioskowaniu w przód, tzn. z przyczyny wnioskujemy o skutkach. Przykład z życia maturzystki: przesłanka 1: Maturzystka otrzymała w teście 20 punktów. przesłanka 2: Jeżeli maturzystka otrzymała 20 punktów to maturzystka zaliczyła przedmiot. wniosek: Maturzystka zaliczyła przedmiot. 2) Reguła oparta na prawie "modus tollens" polegającego także na wnioskowaniu wprzód. Przykłady z życia maturzystki: a) przesłanka 1: Jeżeli maturzystka otrzymała w teście ponad 20 punktów to maturzystka zaliczyła przedmiot. przesłanka 2: Maturzystka nie zaliczyła przedmiotu. wniosek: Maturzystka nie otrzymała na teście ponad 20 punktów. b) przesłanka1: Jeżeli rodzice maturzystki wysłali na jej konto 500 zł to maturzystka kupi sobie skórzane buty. przesłanka 2: Maturzystka nie kupiła sobie skórzanych butów. wniosek: Rodzice maturzystki nie wysłali na jej konto 500 zł. Wnioskowanie wprzód 15

16 Na podstawie dostępnych reguł i faktów należy generować nowe fakty tak długo, aż wśród wygenerowanych faktów znajdzie się postawiona hipoteza. Zadanie 4. Sporządź algorytm poniższego wnioskowania wprzód: Krok 1:(START) Weź hipotezę ze szczytu zadań. Krok2: Jeśli w bazie wiedzy na liście faktów jest odpowiedź na postawioną hipotezę przejdź do Krok-u 3, w przeciwnym wypadku przejdź do Krok-u 4 Krok3: Sformułuj odpowiedz (STOP) Krok4 :Określ reguły, których przesłanki znajdują się na liście faktów Krok5: Wybierz regułę, stosując strategię wnioskowania Krok6: Jeśli nie istnieje reguła, którą można uaktywnić przejdź do Krok-u 3, w przeciwnym wypadku przejdź do Krok-u 7 Krok7: Uaktywnij wybraną regułę Krok8: Dopisz nowe fakty do listy faktów Krok9: Zaznacz użycie uaktywnionej reguły Krok10: Wróć do Krok-u 2 Zadanie 5. Wnioskowanie wstecz Polega na wykazaniu prawdziwości hipotezy głównej na podstawie prawdziwości przesłanek. Sporządź algorytm poniższego wnioskowania wstecz: 16

17 Poszczególne kroki algorytmu działania maszyny wnioskującej wstecz Krok1: (START) Załaduj bazę wiedzy Krok2: Sprawdź składnię bazy wiedzy Krok3: Zwolnij struktury danych, które reprezentowały bazę wiedzy w poprzednim wnioskowaniu Krok4: Utwórz listę reguł przez odczytywanie bazy wiedzy i utworzenie odpowiednich struktur Krok5: Utwórz listę faktów na podstawie listy reguł według określonych zadań Krok6: Postaw hipotezę przez odczytanie jej z bazy wiedzy lub wyprowadź nową hipotezę Krok7: Szukaj odpowiedzi na postawioną hipotezę Krok8: Jeśli jest następna hipoteza, przejdź do Krok-u 3, w przeciwnym razie przejdź do Krok-u 10 Krok10: Jeżeli chcesz załadować następną bazę przejdź do Krok-u 1, w przeciwnym wypadku zakończ działanie (STOP) Zadanie 6. Istnieje więcej reguł wnioskowania znajdź je w Internecie. Zadanie 7. Wiemy, że nie istnieje problem kwadratury koła. Rozwiąż kwadraturę trójkąta tzn. skonstruuj kwadrat o polu równym polu trójkąta równobocznego o danym boku a. 17

18 Zadanie 8. Spróbuj ustalić, czy zasada złotego podziału może być traktowana jako matryca nie tylko dla świata materialnego, ale również dla świata duchowego? (Czy złota proporcja odnosi się tylko do ilości, czy także do idei?) - złoty podział odcinka, dowód konstrukcji trójkąt wpisany w kwadrat. Jeżeli kwadrat o boku 1 wpisze się trójkąt o podstawie równej 1 i wysokości h= 1, to styczna poprowadzona do koła wpisanego w ten trójkąt i równoległa do podstawy, podzieli 2 boki kwadratu w złotym podziale a utworzony prostokąt będzie złotym prostokątem. Jeżeli w ten sam kwadrat wpisze się trójkąt o podstawie 1 i wysokości h =, to styczna poprowadzona do koła wpisanego w te trójkąt i równoległa do podstawy, podzieli boki kwadratu w srebrnym stosunku a utworzony prostokąt będzie srebrnym prostokątem. 18

19 Zadanie 9. Geometria Greków odszukaj stosowanie złotego podziału w architekturze np.: Partenon, katedra Notre Dame, gmach ONZ itp., czy sztuce: Pierro della Francesca, Leonardo da Vinci, Velazquez, Dali itp. Zadanie 10. Czy ciąg Fibonacciego pozwolił na odkrywanie złotych zależności w naturze, szczególnie zaś w biologii, fizyce, astronomii, czy nawet ekonomii? 4) PROJEKT 2: Znajdź twierdzenia z różnych dziedzin, które nie można udowodnić wprost? Materiały pomocnicze do tematu projektu: a) szczegółowe pytania problemowe do tematu projektu: - na czym polega dowód nie wprost? - z jakimi twierdzeniami w logice kojarzymy dowód nie wprost? - czy dowód wprost można zastąpić dowodem nie wprost? - jakie są sposoby dowodu niewymierności liczby? - jak udowodnić niewymierność liczby π? - jaki jest dowód na istnienie nieskończenie wielu liczb pierwszych? - w jakich działach matematyki stosowane są dowody nie wprost? 19

20 - jak udowodnić przestępność liczby π oraz e? b) przykładowe zadania : Zadanie 1. Znajdź dowód niewymierności liczby e podany przez J.Fouriera i przez Eulera. Wskazówka: Dowód niewymierności liczby e; używający szeregu ( odszukaj jakiego? ), który został najprawdopodobniej podany przez J. Fouriera, a więc jest o około sto lat późniejszy od naszkicowanego dowodu podanego przez Eulera. Jest on następujący: niech e = p/q; gdzie p i q są liczbami naturalnymi. Mnożąc szereg przez q! otrzymamy jawną sprzeczność (książka Eli Maora). Zadanie 2. Przeprowadź dowód niewymierności liczby π. Zadanie 3. Liczba algebraiczna to taka, która jest pierwiastkiem niezerowego wielomianu o współczynnikach wymiernych. Liczba przestępna to liczba,która nie jest algebraiczna. Udowodnij przestępność liczby π. Zadanie 4. Znajdź średnią arytmetyczną, geometryczną i harmoniczną dla dowolnych dwóch liczb dodatnich i określ zależności między nimi : która z nich jest największa a która jest najmniejsza. Przeprowadź dowód nie wprost tej zależności. Czy możliwy jest dowód nie wprost średnich określonych dla skończonej ilości dodatnich liczb rzeczywistych? 20

21 5) PROJEKT 3: Jakie są metody dowodzenia twierdzeń określone dla zmiennej naturalnej, występujące w różnych dziedzinach? Materiały pomocnicze do tematu projektu: a) szczegółowe pytania problemowe do tematu projektu: - co to jest dedukcja? - jakie są etapy związane z indukcją matematyczną? - jaki jest związek indukcji matematycznej ze zbiorem liczb naturalnych a jaki z dominem? - do czego służy indukcja matematyczna? - na czym polega zasada szufladkowa Dirichleta? - czy dowód indukcyjny można zastąpić dowodem dedukcyjnym? - jakie jest zastosowanie indukcji matematycznej w teorii ciągów? - jakie są zastosowania indukcji matematycznej w geometrii? - co ma wspólnego podzielność liczb naturalnych z indukcją matematyczną? b) przykładowe zadania : Zadanie 1. Sprawdzając monotoniczność ciągu poprzez wyznaczenie skończonej ilości kolejnych jego wyrazów, można zauważyć, że ciąg jest malejący, co może okazać się nieprawdą dla całego ciągu. Wyznacz monotoniczność ciągu a n =n 3 -( )n n. 21

22 Zadanie 2. Udowodnij prawdziwość nierówności 2 n >n 2 dla każdej liczby naturalnej n 3. Zadanie 3. Udowodnij : liczba naturalna złożona z n jednakowych cyfr np = ⁷ ₉(10 n -1). Zadanie 4. indukcji? Udowodnij podzielność 6l n 3 - n.czy podzielność tą można wykazać bez użycia Zadanie 5. Odszukaj w literaturze matematycznej nierówność Bernoulli ego i udowodnij ją na podstawie indukcji. Zadanie 6. Korzystając z ciągu Fibonacciego określonego rekurencyjnie u 0 =0, u 1 =1, u n+2 =u n +u n+1 udowodnij równość u 2n =u 2 2 n + u n+1 Zadanie 7. go. Na ile rozłącznych figur n prostych podzieli płaszczyznę? Znajdź wzór i udowodnij Zadanie 8. Na podstawie Zasady szufladkowej Dirichleta przedstawionej poniżej, wykaż, że w Warszawie mieszkają dwie osoby mające te sama liczbę włosów na głowie. Sformułowanie: Mamy k szufladek i n królików, gdzie n > k. Jeżeli powsadzamy króliki do szufladek, to w przynajmniej jednej znajda sie przynajmniej dwa króliki. 22

23 Dowód: Jeżeli w każdej szufladce byłby co najwyżej jeden królik, to w sumie byłoby ich co najwyżej k - sprzeczność z założeniami. Sformułowanie w innym języku: Niech X będzie n - elementowym zbiorem. Zbiór X przedstawmy w postaci sumy k parami rozłącznych zbiorów (X = X 1[ X 2[...[ X k ). Jeśli n > k, to przynajmniej jeden ze zbiorów Xi ma co najmniej dwa elementy. Sformułowanie w jeszcze innym języku: Niech X i Y będą zbiorami mającymi odpowiednio n i k elementów. Jeśli n > k, to żadna funkcja f : X! Y nie jest różnowartościowa. Uogólniona wersja zasady szufladkowej: Jeśli mamy k szufladek i n > mk królików, to jeśli poupychamy króliki w szufladkach, to w przynajmniej jednej będzie przynajmniej m + 1 królików. Dowód: Jeśli byłoby inaczej, czyli w każdej szufladce byłoby co najwyżej m królików, to w sumie byłoby ich nie więcej niż mk - sprzeczność z założeniami. Zadanie: Na sali znajduje sie 47 osób. Udowodnić, ze na sali znajdzie sie 7 osób urodzonych tego samego dnia tygodnia. Dowód: Dni tygodnia to szufladki, osoby to króliki. Mamy 7 szufladek i 47 > 42 = 6 7 królików. Zatem z uogólnionej zasady szufladkowej, znajdzie sie przynajmniej 7 królików w przynajmniej jednej klatce, czyli przynajmniej 7 osób urodzonych tego samego dnia tygodnia. Wskazówka: Wygodnie tutaj jest spojrzeć na sytuacje przy użyciu funkcji. Niech X będzie zbiorem mieszkańców stolicy, a Y zbiorem liczb naturalnych od 0 do, powiedzmy, (grube oszacowanie górne możliwej liczby włosów na głowie). Niech f : X! Y będzie funkcja, która przypisuje obywatelowi liczbę jego włosów. Ponieważ X > Y, wiec f nie może być różnowartościowa a wiec przynajmniej jedna wartość jest przypisana co najmniej dwóm argumentom. Wracając do zwykłego języka: przynajmniej dwie osoby maja taka sama liczbę włosów na głowie. 23

24 Literatura i inne źródła informacji 1.Lev Kurlyandchik, Złote rybki w oceanie matematyki 2.Henryk Pawłowski, Kółko matematyczne dla olimpijczyków 3.The Pigeon Hole Principle 4.Matematyka Dyskretna dr Edyta Szymańska 5. Matematyka Dyskretna Uniwersytet Zielonogórski Tadeusz Kotarbiński, Elementy teorii poznania, logiki formalnej i metodologii nauk http://WWW.math.us.edu.pl/~pgladki/faq/node67.html 24

25 II MODUŁ PROJEKTOWY Zastosowania liczby e 1) Wprowadzenie do modułu: Niewątpliwie jedną z najciekawszych liczb w matematyce jest liczba e. Zwana także liczbą Napiera. Została wymyślona przez szkockiego matematyka i astronoma Johna Napiera (Nepera) w XVI wieku,który zastosował ją do logarytmów, układając tablice logarytmiczne na potrzeby astronomii. Oznaczenie liczby literą e wprowadził w 1736 roku Euler, porządkując stałe w matematyce. Liczbę e definiujemy jako granicę ciągu. W 1873 roku Charles Hermite wykazał przestępność liczby e. Liczba ta jest ponadto niewymierna i niealgebraiczna. Jej wartość z dokładnością do 10 miejsc po przecinku wynosi e=2, Można jej wartość obliczyć z dowolną dokładnością, gdyż daje się ona łatwo rozwinąć w szereg odwrotności silni kolejnych liczb naturalnych: e= korzystając z rozwinięcia funkcji wykładniczej e x w szereg Maclaurina. W informatyce stosujemy zapis e x = exp (x). Zastosowanie tej liczby jest wielkie, nie tylko jako podstawa logarytmu naturalnego, bo dzięki technice komputerowej powoli logarytmy odchodzą w niepamięć. Liczbę e spotykamy w bankowości, w przyrodzie, w społeczeństwie, gdzie przy jej pomocy określamy rozwój rośliny czy rozwój danej populacji. Stosuje się ją również w analizie zespolonej, do przedstawienia liczby zespolonej w postaci wykładniczej jak również w elektronice do określenia natężenia prądu zmiennego. 25

26 2) Cele operacyjne modułu uwzględnione we wszystkich projektach modułu Treści nauczania 1.Ciągi i szeregi liczbowe. Pojęcie ciągu, sposoby definiowania ciągów. Ciągi arytmetyczne i geometryczne. Sumy skończonej początkowej liczby wyrazów ciągu. Ciągi monotoniczne i ograniczone. Zbieżność ciągów. Granica ciągu w punkcie w nieskończoności. Granice ciągów wymiernych. Własności granic. Pojęcie szeregu i jego zbieżności. Szeregi geometryczne. Suma nieskończonego szeregu geometrycznego. 2.Funkcje odwrotne i odwracalne. 3.Funkcje wykładnicze. 4.Funkcje logarytmiczne. 5.Wykresy funkcji wykładniczej i logarytmicznej. 6.Skala wykładnicza i logarytmiczna. Cele operacyjne modułu Uczeń potrafi: -opisać ciąg różnymi sposobami -zbadać czy ciąg jest arytmetyczny czy geometryczny -obliczyć sumę n wyrazów ciągu arytmetycznego i geometrycznego -wyznaczać granicę ciągu -zastosować liczbę e do obliczania odsetek przy lokatach bankowych - narysować wykres funkcji exponens (czyli ) i odczytać własności na podst. wykresu -podać przybliżenie liczby -zastosować arkusz kalkulacyjny do podania przybliżenia liczby, korzystając ze wzoru - odnaleźć wzór 7.Funkje trygonometryczne. 8.Funkcje hiperboliczne. oraz zapisać go za pomocą -wyjaśnić pojęcie logarytmu naturalnego i jego 26

27 związku z liczbą -narysować wykres logarytmu naturalnego -zastosować skalę wykładniczą i logarytmiczną -odnaleźć różne zastosowania liczby -wyjaśnić które funkcje posiadają funkcje odwrotne -wskazać funkcje odwracalne -rysować wykresy danych funkcji i funkcji do nich odwrotnych -zauważyć związek funkcji hiperbolicznych i liczby -narysować wykresy funkcji hiperbolicznych -korzystać z wykresów funkcji do opisywania zagadnień matematycznych i zjawisk związanych z innymi dziedzinami nie matematycznymi znaleźć zastosowania liczby w różnych dziedzinach -zauważyć skąd się wzięła liczba -odnaleźć w jakich funkcjach algebraicznych występuje liczba 27

28 3) PROJEKT 1: Skąd się wzięła liczba e? Materiały pomocnicze do tematu projektu: a) szczegółowe pytania problemowe do tematu projektu: - jakie jest pochodzenie liczby e? - co łączy matematyków: Leonharda Eulera i Daniela Bernoulli ego? - co ma wspólnego liczba e z ciągami? - co ma wspólnego liczba e z szeregami? - co to znaczy ciąg zbieżny, a co to znaczy szereg zbieżny? - w jaki sposób obliczyć przybliżoną wartość liczby e? - czy istnieje związek między liczbami e oraz π? - czy można skonstruować odcinek długości e? b) przykładowe zadania : Zadanie 1. Zastosowanie arkusza kalkulacyjnego znajdź przybliżenie liczby e - utwórz arkusz podobny do poniższego i n 1 2,

29 11 2, , , , , , , , , , , , itd. e = 2, Zadanie 2. Uzupełnij zdanie: Oznaczenie liczby e wprowadził w 1736r. szwajcarski matematyk., a jej przybliżoną wartość obliczył w 1728r. szwajcarski matematyk... Zadanie 3. Poniżej przeprowadzono dowód twierdzenia. Na podstawie przedstawionego dowodu : 29

30 Wyjaśnij pojęcia: ciąg rosnący, ciąg ograniczony, ciąg zbieżny, szereg geometryczny Podaj pojęcie silnii i jego związku z liczbą e Wyjaśnij kolejne kroki przedstawionego dowodu Znajdź inny dowód na zbieżność ciągu Tw. Ciąg ( e n ) o wyrazie ogólnym jest zbieżny. Dowód. 1. Dla dowolnego n N + : e n+1 e n = czyli ciąg jest rosnący. 2. Dla dowolnego n N + zachodzi:, czyli. e n = Prawa strona tej nierówności jest sumą geometrycznego, w którym a 1 = 1 i q = liczby 1 i n-tej sumy częściowej ciągu, więc: 30

31 e n. Korzystając z tego i z tego, że: e 1 = i (e n ) jest rosnący mamy: dla dowolnego n N + zachodzi: 2 e n <3, czyli ciąg ( e n ) jest ograniczony. Ciąg ( e n ) jest ograniczony i rosnący, więc jest zbieżny. Granicę tego ciągu oznaczamy literą e. Zadanie 4. Znajdź dowód twierdzenia przedstawionego poniżej: Prawdziwe jest również twierdzenie: 4) PROJEKT 2: W jakich funkcjach algebraicznych występuje liczba e? Materiały pomocnicze do tematu projektu: a) szczegółowe pytania problemowe do tematu projektu: - jaką funkcję nazywamy wykładniczą a jaką logarytmiczną? - jaka jest różnica między funkcją odwrotną a odwracalną? - czy do każdej funkcji istnieje funkcja odwrotna? - jakie są sposoby wyznaczania funkcji odwrotnej do danej? 31

32 - jakie są wykresy funkcji y = e x oraz y = ln x? - czy istnieje związek między funkcjami wykładniczymi i potęgowymi? - funkcje hiperboliczne to funkcje algebraiczne czy trygonometryczne? - w jaki sposób obliczamy pochodną funkcji wykładniczych i logarytmicznych? - co to są funkcje polowe, jaki jest ich związek z funkcjami hiperbolicznymi? b) przykładowe zadania : Zadanie 1. Wyznacz wzory i wykresy funkcji odwrotnych do funkcji: f(x)=x 2 7x + 6 g(x)= 0,5exp(2x 1) h(x)= 2sin(0,5x π/2) 1 k(x)= x 3 x Zadanie 2. Poniższy rysunek przedstawia wykresy funkcji logarytmicznych. Który z nich to wykres y= ln(x)? Czy taki rysunek jest wystarczający do określenia wzorów funkcji,które są na nim przedstawione? 32

33 Zadanie 3. Narysuj wykresy funkcji hiperbolicznych. Funkcjami hiperbolicznymi nazywamy cztery funkcje: cosinus hiperboliczny, sinus hiperboliczny, tangens hiperboliczny i cotangens hiperboliczny, które są zdefiniowane poniżej. Jak widać, w definicjach tych występuje funkcja exponens (czyli ). 33

34 Zadanie 4. Odszukaj związek między rozwinięciem dwumianu Newtona:, a liczbą e. Zadanie 5. Znajdź zależność funkcji trygonometrycznych z funkcjami wykładniczymi. 5)PROJEKT 3: Jakie są zastosowania liczby e w różnych dziedzinach? Materiały pomocnicze do tematu projektu: a)szczegółowe pytania do tematu projektu: - w jaki sposób budujemy tablice logarytmiczne? - do czego służą tablice logarytmiczne? - co to jest skala wykładnicza a jaka jest logarytmiczna? - jakie jest zastosowanie skali logarytmicznej? - czy trzęsienie Ziemi można przewidzieć? 34

35 - co to jest procent składany? - co mają wspólnego odsetki od oszczędności z liczbą e? - jakie jest zastosowanie liczby e w zbiorze liczb zespolonych? - jaki związek mają funkcje trygonometryczne z funkcją wykładniczą y= e x? - jakie jest zastosowanie funkcji wykładniczej w elektronice? b) przykładowe zadania : Zadanie 1. Zbuduj tablice logarytmów naturalnych dla argumentów z przedziału [1;10] z krokiem 0,1. W jaki sposób można to zrobić? Zadanie 2. Skonstruuj skalę logarytmiczną. Znajdź przykłady stosowania tej skali. Zadanie 3. Stosując logarytmy oblicz wartość wyrażenia x : x = [ ( x )/( x )] x sin 7 58⁰17 Spróbuj obliczyć x przy pomocy kalkulatora. 35

36 Zadanie 4. Pewien bank daje za roczny depozyt 100% zysku. Odsetki mogą być doliczane do kwoty w różny sposób: a)na przykład odsetki mogą być doliczone na koniec roku. Wówczas inwestując 1 zł, na koniec roku będziemy mieć 2 zł. b)jeśli odsetki doliczane są co pół roku (są dwa okresy kapitalizacji), to na koniec roku będziemy mieć ( 1+ ) 2 = 2,25 [zł]. c)jeśli kapitalizacja odbywałaby się co kwartał, wówczas na koniec roku mielibyśmy ( 1+ ) 4 = 2,44 [zł]. d)jeśli kapitalizacja odbywałaby się co miesiąc, mielibyśmy ( 1+ ) 12 = 2,62 [zł], a jeśli codziennie : ( 1+ ) 365 = 2,71 [zł]. e)gdyby zaś kapitalizacja odbywała się w sposób ciągły ( czyli liczba okresów kapitalizacji dążyłaby do nieskończoności ), wówczas na koniec roku mielibyśmy [zł] Na podstawie wyżej podanego przykładu znajdź bank w Nowym Sączu, w którym jest najkorzystniej ulokować nasze oszczędności. 36

37 Zadanie 5. W którym z banków w Nowym Sączu wziąłbyś kredyt? Zadanie 6. Na podstawie danych w Internecie znajdź bank w Polsce, w którym podają najkorzystniejsze warunki oszczędzania i kredytowania. Zadanie 7. Znajdź zastosowanie liczby e w mechanice do czego służy wzór:? Literatura i inne źródła informacji 1.Krysicki W., Włodarski L. :Analiza matematyczna w zadaniach, cz.1, PWN, W-wa, 1994, 2.Minorski W.P. :Zbiór zadań z matematyki wyższej, WNT, W-wa, 1972, 3.Musielakowie H. i J.: Analiza matematyczna, t.i, cz.1 i 2., Wyd. Nauk. UAM, Poznań 1993, 4.Siwek E.: Analiza matematyczna, t.1,wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego, Katowice, 1976, 37

38 _logarytmiczne 5.Zaporożec G.I.: Metody rozwiązywania zadań z analizy matematycznej, WNT, W-wa,1976, 6. Liczba_e\Liczba e.mht 7.Miś B. Tajemnicza liczba e i inne sekrety matematyki, WNT, W-wa, 1989, 38

39 III MODUŁ PROJEKTOWY Układy równań i nierówności czy jest to dział algebry, a może geometrii czy trygonometrii? 1)Wprowadzenie do modułu: Układy równań i nierówności to podstawowe narzędzie matematyka i nie tylko matematyka do rozwiązywania wszelkich problemów począwszy od zadań tekstowych poprzez geometrię, trygonometrię, rachunek prawdopodobieństwa, analizę matematyczną aż do analizy zespolonej. Układy równań liniowych można rozwiązywać na różne sposoby: algebraiczne i geometryczne, stosując wyznaczniki i układy współrzędnych oraz wektory. Ciekawa jest interpretacja układów równań przy pomocy wektorów, jak również zapis macierzowy. Temu zagadnieniu poświęcony jest wielki dział algebry wyższej. W tym module zajmiemy się jedynie najciekawszymi metodami rozwiązywania układów równań, oraz ich zastosowaniami. Układy równań służą również do zapisu krzywych w postaci parametrycznej a układy nierówności do opisywania figur płaskich, lub przestrzennych. Ponieważ dział ten jest bardzo obszerny, prowadzący musi uważać, wybierając tylko niektóre zastosowania, by uczniowie byli w stanie ogarnąć istotę układów równań, układów nierówności a nie zajęli się samymi macierzami, czy obliczaniem powierzchni i objętości przy pomocy całek, bo na to mają jeszcze czas. 39

40 2)Cele operacyjne modułu uwzględniające cele we wszystkich projektach: Treści nauczania 1.Równania liniowe, kwadratowe, wykładnicze, logarytmiczne i trygonometryczne. Geometryczna interpretacja równań liniowych, kwadratowych, wykładniczych, logarytmicznych i trygonometrycznych. 2.Nierówności liniowe, kwadratowe, wykładnicze, logarytmiczne i trygonometryczne. Geometryczna interpretacja nierówności liniowych, kwadratowych, wykładniczych, logarytmicznych i trygonometrycznych. 3.Układy równań liniowych, kwadratowych, wykładniczych, logarytmicznych i trygonometrycznych. Geometryczna interpretacja układów równań liniowych, kwadratowych, wykładniczych, logarytmicznych i trygonometrycznych. 4.Geometria płaska, analityczna i przestrzenna. Cele operacyjne modułu Uczeń potrafi: -rozwiązać równania liniowe, kwadratowe, wykładnicze, logarytmiczne i trygonometryczne -podać geometryczną interpretację równań liniowych, kwadratowych, wykładniczych, logarytmicznych i trygonometrycznych -rozwiązać nierówności liniowe, kwadratowe, wykładnicze, logarytmiczne i trygonometryczne -podać geometryczną interpretację nierówności liniowych, kwadratowych, wykładniczych, logarytmicznych i trygonometrycznych -rozwiązać układy równań liniowych, kwadratowych, wykładniczych, logarytmicznych i trygonometrycznych -podać geometryczną interpretację układów równań liniowych, kwadratowych, wykładniczych, logarytmicznych i trygonometrycznych. -rozwiązać układ równań i nierówności liniowych, kwadratowych, wykładniczych, logarytmicznych i trygonometrycznych 40

41 różnymi sposobami -odnaleźć w jakich działach matematyki spotykamy układy równań i nierówności -opisać językiem matematycznym za pomocą równań i nierówności zależności z różnych dziedzin poza matematycznych zastosowania układów równań i nierówności w fizyce, chemii itp. -opisać figury geometrii płaskiej i przestrzennej za pomocą układów równań bądź nierówności 3) PROJEKT 1: W jakich działach matematyki spotykamy układy równań i nierówności? Materiały pomocnicze do tematu projektu: a) szczegółowe pytania problemowe do tematu projektu: - jaka jest różnica między wykresami funkcji jednej zmiennej a wykresami równań dwóch zmiennych? - jakie są wykresy funkcji występujących w szkole ponadgimnazjalnej? - jakie znasz sposoby rozwiązywania układów równań stopnia 1 z dwoma i z trzema niewiadomymi? - jaka jest różnica rozwiązywania układów nierówności od układów równań stopnia 1 z dwoma niewiadomymi? - czy możliwe jest graficzne rozwiązanie układu nierówności stopnia 1 z trzema niewiadomymi? 41

42 - co to jest równanie i nierówność przestępna? - jak rozwiązuje się układy równań i nierówności wykładniczych i logarytmicznych? - jak rozwiązać układy równań trygonometrycznych? - co to jest dziedzina układu równań i nierówności? b)przykładowe zadania: Zapoznaj się z poniższym tekstem matematycznym i na jego podstawie rozwiąż zad.1 i zad.2 : Układem równań nazywamy koniunkcję takich równań i oznaczamy : ax by c, dx ey f, gdzie gdzie a d 2 2 b e DEFINICJA: Rozwiązaniem układu dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi nazywamy każdą parę liczb (x, y), która spełnia jednocześnie oba równania układu. Rozwiązać układ dwóch równań pierwszego stopnia z dwoma niewiadomymi, to znaczy wyznaczyć wszystkie jego rozwiązania, albo stwierdzić, że zbiór rozwiązań jest pusty. Zauważmy, że układ równań liniowych określony jest jednoznacznie przez podanie jego współczynników. A zatem układ równań : ax by c dx ey f umiemy opisać w ten sposób, że podajemy jego współczynniki zapisane w prostokątnej a b c tablicy (zwanej macierzą):. d e f W praktyce okazuje się, że łatwiej posługiwać się macierzami kwadratowymi. W naszym przypadku będą one wyglądać następująco: 42

43 a d b c b a c,,. e f e d f Każdej macierzy kwadratowej przypisuje się pewną liczbę, która nazywa się wyznacznikiem. DEFINICJA: Wyznacznikiem macierzy a d b e nazywamy liczbę ae db, a b którą oznaczamy. d e a b Mamy więc ae db. d e Wróćmy do naszego układu równań : ax by c dx ey f i wprowadźmy następujące oznaczenia : WYZNACZNIK GŁÓWNY (charakterystyczny) UKŁADU W a d b e WYZNACZNIK ZE WZGLĘDU NA ZMIENNĄ x W x c f b e WYZNACZNIK ZE WZGLĘDU NA ZMIENNĄ y W y a d c f Jeśli znamy te trzy wyznaczniki, to możemy określić zbiór rozwiązań układu ax by c dx ey f. Mówi o tym następujące twierdzenie : TWIERDZENIE: Układ równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi ax by c, dx ey f, gdzie gdzie a d 2 2 b e

44 1. ma tylko jedno rozwiązanie Wx x W Wy y W, jeśli W ma nieskończenie wiele rozwiązań, jeśli W = W x = W y =0 3. nie ma rozwiązań, jeśli W = 0 i przynajmniej jeden z wyznaczników W x, W y jest różny od zera, co można zapisać następująco : W = 0 ( W x 0 W y 0 ). Metoda wyznacznikowa jest bardzo wygodna przy rozwiązywaniu układów równań z parametrem. Zadanie 1. Rozwiąż układ równań liniowych z niewiadomymi x, y x 3y 1 5x 2y 2 Zadanie 2. Rozwiąż układ równań liniowych z niewiadomymi x, y i przeprowadź dyskusję mx y 2 liczby rozwiązań układu ze względu na parametr m, jeśli :. x my m Zadanie 3. Rozwiąż układ równań zapisany przy użyciu macierzy x = 44

45 Zadanie 4. Sporządź schemat blokowy algorytmu rozwiązywania układów równań. Schemat blokowy algorytmu START W = 0 Nie Układ oznaczony Tak W x = 0 i W y = 0 Nie Układ równao sprzecznych Tak Układ nieoznaczony STOP 45

46 Zadanie 5. Twierdzenie. Jeżeli liczby p, q, r spełniają układ równań : to p, q, r są pierwiastkami równania x 3 ax 2 + bx c = 0 Korzystając z powyższego twierdzenia, rozwiąż układ równań: 4) PROJEKT 2: Jakie są zastosowania układów równań i nierówności w różnych dziedzinach? (np. w fizyce, chemii) Materiały pomocnicze do tematu projektu: a) szczegółowe pytania problemowe do tematu projektu: - w jaki sposób zapisać punkty kratowe układu współrzędnych w postaci układu równań? - jaki związek mają układy równań z macierzami? - jaki jest związek wektorów z układami równań? - co to jest metoda Kramera rozwiązywania układów równań? - w jaki sposób krzywe np. okrąg, parabola można przedstawić w postaci układu parametrycznego? - w jakich działach fizyki znajdziemy zastosowanie układów równań? - czy w biologii, chemii i geografii można spotkać układy równań? 46

47 b)przykładowe zadania: Zadanie 1. Punkt kratowy to taki punkt na płaszczyźnie kartezjańskiej, którego obie współrzędne są całkowite. Wyznacz wszystkie punkty kratowe, które są rozwiązaniem układu nierówności: Zadanie 2. Wyprowadź równanie okręgu a następnie przedstaw go w postaci układu parametrycznego. Zadanie 3. Jaką figurę na płaszczyźnie przedstawia układ równań: Gdzie t jest parametrem rzeczywistym? Zadanie 4. Przy pomocy Internetu wyszukaj zastosowania układów równań w dziedzinach niematematycznych. 47

48 Zadanie 5. Przeanalizuj rzut ukośny korzystając z układu równań: gdzie x i y oznaczają drogę w kierunku poziomym i pionowym, natomiast oraz prędkość w kierunku poziomym i pionowym. 48

49 5)PROJEKT 3: W jaki sposób opisać figury geometrii płaskiej i przestrzennej układami równań, bądź nierówności? Materiały pomocnicze do tematu projektu: a) szczegółowe pytania problemowe do tematu projektu: - jaki jest związek układów nierówności z płaskimi figurami geometrycznymi? - co jest wykresem równania z 3 niewiadomymi? - czy kulę można opisać układem nierówności a może równaniem? - jaki jest związek brył z układami nierówności? - co to jest łuk krzywej i jak go można opisać układem równań? - w jaki sposób w postaci układu równań opisać powierzchnie w przestrzeni np. sferę? b)przykładowe zadania: Zadanie 1. Opisz układami nierówności podstawowe figury geometrii płaskiej: koło, trójkąt równoboczny, kwadrat, romb, wielokąt foremny. Zadanie 2. Wyprowadź równanie płaszczyzny przechodzącej przez 3 różne punkty A(,, ), B,, ), C,, ). Wyznacz w postaci układu nierówności ostrosłup prawidłowy czworokątny, którego wszystkie krawędzie mają długość 6. Zadanie 3. 49

50 Czy łuk okręgu, elipsy, paraboli itp. można opisać równaniem a może układem równań? Przedstaw na wybranych przykładach. Zadanie 4. W jaki sposób przedstawić fragmenty brył np. odcinek kuli, czy wycinek kuli w postaci układu nierówności? Zadanie 5. Co jest wykresem zbioru : }. z {(x, y, z); x, y, z Є R; x 2 + y 2 r 2 i Spróbuj w podobny sposób określić inne bryły obrotowe. 50

51 Literatura i inne źródła informacji 1. Krysicki W., Włodarski L. :Analiza matematyczna w zadaniach, cz.1, PWN, W - wa, Zaporożec G.I.: Metody rozwiązywania zadań z analizy matematycznej, WNT, W - wa, A.Pardała, Wyobraźnia przestrzenna uczniów w warunkach nauczania szkolnej matematyki. Teoria problemy, propozycje, "Fosze", Rzeszów G. Polya, Jak to rozwiązać?, PWN, Warszawa G. Polya, Odkrycie matematyczne, WN-T, Warszawa Grzegorz Banaszak, Wojciech Gajda: Elementy algebry liniowej. Cz. 1. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Andrzej Herdegen: Wykłady z algebry liniowej i geometrii. Kraków: Discepto,

52 IV MODUŁ PROJEKTOWY Z miasta A do miasta B. Czy mechanika jest częścią fizyki czy matematyki? 1)wprowadzenie do modułu: Mechanika klasyczna a zwłaszcza kinematyka w wielu krajach świata jest działem matematyki a nie fizyki. Dlatego zadania związane zwłaszcza z ruchem, przeniknęły również i u nas do matematyki. Wielu uczniom spędzają sen z powiek zadania zaczynające się od słów z miasta A do miasta B. Problem zaczyna się gdy mamy wytłumaczyć pojęcia prędkości chwilowej, czy przyspieszenia chwilowego bez użycia pochodnej. Albo jak wyprowadzić równanie drogi w ruchu jednostajnie przyspieszonym bez pomocy całki. Jak wygląda droga w ruchu jednostajnym po okręgu? Wszystkie te wzory oparte na równaniach zmiennej t, można wyprowadzić w prosty logiczny sposób, oczywiście pod warunkiem, że poznamy podstawy rachunku różniczkowego i całkowego. Zadania te wielokrotnie prowadzą do układów równań, z których rozwiązaniem już nie powinno być problemu. Takie pojęcia jak styczna do wykresu funkcji,czy pole obszaru ograniczonego wykresem funkcji zmiennej t, to przecież nie tylko pojęcia matematyczne, ale również pojęcia kinematyki jak prędkość, przyspieszenie, droga. Natomiast ruch po okręgu ma olbrzymie zastosowanie w astronomii. Przecież nie potrafimy określić prędkości liniowej poruszającej się gwiazdy, stąd prędkość kątowa. Stajemy się mądrzejsi, gdy rozumiemy otaczający nas Świat a zrozumieć stosując prawa fizyki i matematyki. potrafimy wiele 52

53 2) Cele operacyjne modułu uwzględniające cele we wszystkich projektach: Treści nauczania 1.Rodzaje ruchów. Pojęcie drogi, prędkości i przyspieszenia w ruchu jednostajnym i niejednostajnym. Związek między drogą, prędkością i przyspieszeniem. 2.Prędkość średnia i chwilowa. 3.Przyspieszenie średnie i chwilowe. 4.Równanie ruchu. 5.Iloraz różnicowy funkcji. Interpretacja fizyczna ilorazu różnicowego. 6.Pochodna funkcji. Interpretacja fizyczna pochodnej. 7.Druga pochodna funkcji. Interpretacja fizyczna drugiej pochodnej. 8.Całka funkcji. Interpretacja fizyczna całki. 9.Rachunek różniczkowy i całkowy do wyznaczania wielkości fizycznych. 10.Ruch jednostajny i niejednostajny. Cele operacyjne modułu Uczeń potrafi: -podać rodzaje ruchów -wyznaczać i stosować wzory dotyczące drogi, prędkości i przyspieszenia w ruchu jednostajnym i niejednostajnym -rysować wykresy drogi, prędkości i przyspieszenia -podać interpretację wykresów drogi, prędkości i przyspieszenia -rozróżniać prędkość chwilową od prędkości średniej -rozróżniać przyspieszenie chwilowe od przyspieszenia średniego -stosować interpretację fizyczną ilorazu różnicowego jako prędkość średnią - obliczyć średnią harmoniczną -opisać zapis matematyczny i fizyczny -stosować interpretację fizyczną pochodnej jako prędkość chwilową -opisać językiem matematyki zagadnienia z fizyki i mechaniki -odnaleźć definicję przyspieszenia jako 53

54 pochodną prędkości po czasie (jest to miara zmienności prędkości), przyspieszenie jest wielkością równą wartości pochodnej prędkości względem czasu w danej chwili -znaleźć wzór i podać jego interpretację -odnaleźć zastosowanie pochodnej i całki w mechanice -wyprowadzić równanie drogi w ruchu jednostajnie przyspieszonym, a może jeszcze w innym ruchu -stosować metody informatyczne i wykorzystać Internet do pozyskiwania i rozwiązywania problemów fizycznych 54

55 3)PROJEKT 1:Jakie mogą być zastosowania funkcji zmiennej t w mechanice,a może jeszcze w innych działaniach fizyki? Materiały pomocnicze do tematu projektu: a)szczegółowe pytania problemowe do tematu projektu: - jakie wielkości fizyczne są przedstawione w postaci funkcji liniowej a jakie w postaci funkcji kwadratowej zmiennej t? - jaka jest różnica między prędkością średnią, chwilową, kątową? - czy ta sama funkcja zmiennej t np. kwadratowa może przedstawiać różne pojęcia kinematyki drogę, prędkość, przyspieszenie? - jaki jest geometryczny związek wykresu funkcji v(t )= at + v 0 w przedziale [t 0 ;t 1 ] z drogą w tym ruchu? - w jakim ruchu prędkość jest funkcją kwadratową zmiennej t? - jaka jest zależność energii kinetycznej od prędkości w danym ruchu? - jakie jest zastosowanie średniej harmonicznej z prędkością średnią? b)przykładowe zadania: Zadanie 1. Pociąg i balon wyruszają jednocześnie z tego samego punktu. Pociąg porusza się po linii prostej z prędkością 50 km/h, balon wznosi się pionowo do góry z prędkością 10 km/h. Z jaką prędkością oddalają się od siebie? 55

56 Zadanie 2. Ciało o masie 2 kg porusza się ruchem prostoliniowym określonym funkcją 1 s t t 2 t 1 gdzie s to droga w metrach, a t czas w sekundach. W której sekundzie 2 ruchu energia kinetyczna ciała będzie wynosiła 4 J? Energia kinetyczna energia, którą posiada każde poruszające się ciało. Wartość tej energii zależy od masy ciała i jego prędkości. Zadanie 3. Punkt M oddala się od nieruchomego punktu A po linii prostej tak, że odległość AM rośnie proporcjonalnie do kwadratu czasu. Po upływie 2 minut od chwili rozpoczęcia ruchu odległość AM wynosiła 12 m. Oblicz prędkość w 3 minucie ruchu. Zadanie 4. c są stałe. Ruch punktu opisują równania parametryczne a) Obliczyć składowe prędkości i przyspieszenia. x ct, 1 b) Wyznaczyć tor ruchu punktu przyjmując a 0, b g, c v0. 2 Zadanie 5. y 2 a bt, przy czym a, b, Dwa pociągi towarowe wyjechały z miast A i B oddalonych od siebie o 540 km. Pociąg jadący z miasta A do miasta B wyjechał o godzinę wcześniej niż pociąg jadący z miasta B do miasta A i jechał z prędkością o 9 km/h mniejszą. Pociągi te minęły się w połowie drogi. Oblicz, z jakimi prędkościami jechały te pociągi. 56

57 Zadanie 6. Odległość miedzy miejscowościami A i B wynosi 19 km. Z A do B wyjechał kolarz z pewną stałą prędkością.. W 15 minut po nim, w tym samym kierunku, wyjechał samochód i po 10 minutach jazdy dogonił kolarza. Samochód nie zatrzymując się, pojechał dalej do B i zaraz zawrócił. W drodze powrotnej, po upływie 50 minut od wyjazdu z A, spotkał ponownie kolarza. Wyznacz prędkość kolarza i samochodu. Zadanie 7. Pewien kierowca podzielił trasę, którą miał przejechać na trzy odcinki. Trzeci odcinek był dwa razy dłuższy od każdego z poprzednich. Pierwszy przejechał z prędkością 80 km/h, drugi z prędkością 60 km/h, a trzeci 90 km/h. Oblicz średnią prędkość z jaką kierowca pokonał trasę. Wynik podaj z dokładnością 0,01 km/h. Wskazówka: Możesz zastosować wzór na średnią harmoniczną czterech liczb. Zastanów się dlaczego to jest możliwe? Zadanie 8. Łyżwiarz 1/3 trasy jedzie z prędkością 12 km/h, połowę pozostałej trasy z prędkością 10 km/h, a resztę, aż do mety, z prędkością 6 km/h. Jaka jest jego średnia prędkość na tej trasie? Zadanie 9. Z miejscowości A do B jednocześnie wyjechały dwie ciężarówki. Pierwsza połowę czasu przeznaczonego na przebycie drogi jechała z prędkością 50 km/h, a drugą połowę czasu z prędkością 40 km/h. Natomiast druga ciężarówka połowę drogi jechała z prędkością 40 km/h, a pozostałą część z prędkością 50 km/h. Rozstrzygnij, która z ciężarówek była pierwsza w miejscowości B. 57

58 4)PROJEKT 2: Jakie jest zastosowanie pochodnej i całki w mechanice? Materiały pomocnicze do tematu projektu: a)szczegółowe pytania problemowe do tematu projektu: - jakie są definicje pochodnej funkcji w punkcie? - jakie są interpretacje pochodnej funkcji w punkcie? -jaka jest różnica między pochodną funkcji a pochodną funkcji w punkcie? - jaka jest definicja funkcji pierwotnej czyli całki nieoznaczonej? - jaka jest interpretacja całki nieoznaczonej? - co to jest całka oznaczona i jakie są jej zastosowania? -jakie są zastosowania fizyczne pochodnej? - jakie są zastosowania fizyczne całki? b)przykładowe zadania: 1. Podstawowe pojęcia z zakresu rachunku różniczkowego. 58

59 DEF 1. Jeżeli f jest funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej, określoną w pewnym otoczeniu punktu x 0, i jeśli istnieje skończona granica ilorazu różnicowego f ( x ) f ( x x x 0 0 ), przy x x0, to f nazywa się funkcją różniczkowalną w punkcie x 0, a wartość tej granicy nazywa się pochodną funkcji w punkcie x 0 i oznacza symbolem f ( x 0 ) : f ( x) f ( x0) f ( x0 h) f ( x0) f ( x0) lim lim ; x x0 x x h 0 h 0 x 0 punkt różniczkowalności funkcji f. DEF 2. Otoczeniem punktu x 0 nazywamy każdy przedział otwarty, do którego należy punkt x 0. DEF 3. Jeśli dziedziną X funkcji f jest przedział otwarty (lub ogólniej: suma pewnej liczby przedziałów otwartych) i jeśli f ma pochodną w wszystkich punktach, to f nazywa się funkcją różniczkowalną w zbiorze X, a funkcja X x f (x) nazywa się funkcją pochodną (lub krócej: pochodną) funkcji f w tym zbiorze. Tak więc pochodna funkcji w punkcie jest liczbą, a w zbiorze jest funkcją, oznaczoną symbolem f ; inne df oznaczenie:. dx Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji w punkcie. 59

60 Rys. 1. A 0 =(x 0, f(x 0 )) A 1 =(x 0 +h 1, f(x 0 +h 1 )) A 3 =(x 0 +h 3, f(x 0 +h 3 )) A 2 =(x 0 +h 2, f(x 0 +h 2 )) f ( x 0 f ( x 0 f ( x 0 h1 ) f ( x0 ) tg 1 a h 1 h2 ) f ( x0 ) tg 2 a h 2 h3 ) f ( x0 ) tg 3 a h Tym samym: f x ) a ( 0 tg Pochodna funkcji w punkcie x 0 równa się współczynnikowi kierunkowemu a prostej stycznej do wykresu w punkcie A o =(x 0, f(x 0 )). Tym samym równanie stycznej do krzywej w punkcie A 0 ma postać: y f x f x x 0 0 x0 DEF 4. Jeżeli funkcja f : X R jest różniczkowalna w zbiorze X oraz jej pochodna f : X R jest również różniczkowalna w zbiorze X, to mówimy, że funkcja f jest dwukrotnie różniczkowalna w zbiorze X. Funkcję f f nazywamy drugą pochodną funkcji X Y f(x) f`(x) f``(x) Created with an unregistered version of Advanced Grapher - / agrapher/ Rys. 2 60

61 3 Rysunek 2 przedstawia wykres funkcji f ( x) x 4x 1, jej pierwszej (f`) i drugiej (f``) pochodnej. 2. Różne interpretacje pochodnej Interpretacja geometryczna. Równanie stycznej Jeżeli funkcja f jest ciągła w punkcie x 0 i ma w tym punkcie pochodną f (x 0 ), to do wykresu tej funkcji istnieje w punkcie (x 0, f(x 0 )) styczna o równaniu y-f(x 0 )=f (x 0 )(x- x 0 ). Styczna ta jest granicą siecznych przechodzących przez punkty A(x 0, f(x 0 )) oraz B(x 0 +h, f(x 0 +h)) przy h zmierzającym do 0. Fakt ten ilustruje poniższy rysunek. y f(x 0 +h) B f sieczna f(x 0 ) α A α C x 0 x 0 +h Rys. 3 styczna x Długość odcinka BC jest równa przyrostowi wartości funkcji f odpowiadającego przyrostowi argumentu o h (długość odcinka AC). Iloraz różnicowy funkcji jest więc stosunkiem długości odcinków BC do AC. Jest on zatem równy tangensowi kąta α nachylenia siecznej AB do osi OX, co oznacza, że w sensie geometrycznym jest on równy współczynnikowi kierunkowemu siecznej AB. 61

62 Jeżeli przyrost argumentu h maleje do zera, to punkt B zbliża się do punktu A. Przy przejściu do granicy (czyli do pochodnej) punkt ten pokryje się z punktem A, a sieczna stanie się już styczną (im mniejszy przyrost argumentu h, tym bardziej sieczne zbliżają się do stycznej). Zatem pochodną w punkcie x 0 możemy interpretować geometrycznie jako współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji f w punkcie o współrzędnych (x 0, f(x 0 )). Interpretacją kinematyczną (fizyczną) pochodnej jest prędkość chwilowa w ruchu prostoliniowym. Przypuśćmy, że ciało porusza się po linii prostej, przebywając pewną drogę od punktu początkowego O. Prędkość średnia tego ciała w odstępie czasu znanego nam wzoru t wyliczmy z dobrze V śr s t s( t0 t) s( t0 ) t Ale jeśli byśmy chcieli znać dokładną wartość prędkości ciała w momencie t 0 musielibyśmy liczyć ją, gdy przyrost czasu t jest znikomy, tzn. gdy t 0, czyli V ( t0 ) lim t 0 s( t 0 t) s( t t 0 ) Oznacza to, że prędkość ciała w dowolnym momencie jest pochodną funkcji s(t), której wartość określa drogę przebytą w czasie t (zob. definicja pochodnej funkcji) 3. Zapis pochodnej w kinematyce, prędkość i przyspieszenie Mimo iż pojęcie pochodnej w matematyce i w fizyce niczym się nie różni, to forma zapisu w nauce zajmującej się własnościami i prawami materii nieco odbiega od tej, jaką stosujemy na matematyce w szkole średniej. Dla pokazania różnicy można przytoczyć prosty przykład ukazujący pochodną iloczynu stałej i funkcji: zapis od strony matematycznej (szkoła średnia): ( cf ) cf 62

63 zapis od strony fizycznej: d dx ( cf ) df c dx Poniżej ukazane są fizyczne zapisy najczęściej stosowanych twierdzeń dotyczących obliczania pochodnych: a) b) c) d) e) f) dx dx d dx 1 dx ax a dx d du dv u v x dx dx d m m 1 x mx, m C \ dx d 1 ln x, x 0 dx x d dv du uv u v dx dx dx 0 u, v funkcje różniczkowalne a parametr Prędkość. Prędkość jest zmianą odległości w jednostce czasu. Prędkość stała. Jeśli samochód porusza się ze stałą prędkością v, to odległość, jaką przebywa w czasie t jest równa x = vt. Jeśli w czasie t o znajdował się w punkcie x o, to 63

64 x x v t, o t o czyli: x xo v, t t 0 (stała prędkość, gdzie v jest stałą) t t o Ta zależność między x i t jest wykreślona na rysunku 3. Wielkość może być dodatnia albo ujemna, jej znak wskazuje kierunek ruchu. Jeśli v jest ujemne, to ruch odbywa się w stronę malejących x. x x 0 t 0 t Rys. 3 Wykres położenia samochodu w funkcji czasu dla samochodu poruszającego się ze stałą prędkością. Prędkość chwilowa. Jeżeli samochód przyspiesza lub zwalnia, to wskazania szybkościomierza nie zgadzają się z wynikiem, chyba, że użyjemy bardzo małych wartości x xo. Takie bardzo małe 64

65 wartości x xo będziemy oznaczać przez x, a bardzo małe odstępy czasu, w których samochód przebył drogę x, będziemy oznaczać jako t. DEF 1. Prędkość chwilowa jest granicą x t, gdy t dąży do zera, czyli v lim t 0 x t lim t 0 x t t x t 0 t 0 x` t 0 (Symbol oznacza jest zdefiniowany jako ). co zapisujemy jako: dx v x` t 0. dt Przyspieszenie. Wszyscy w jakościowy sposób rozumiemy, co to jest przyspieszenie. Możemy wywołać przyspieszenie samochodu naciskając pedał gazu. Im bardziej ten pedał wciskamy, tym jest większe przyspieszenie. Gdy trwa przyspieszenie prędkość rośnie. Naciśnięcie na pedał hamulca daje podobny efekt, tyle tylko, że teraz mamy przyspieszenie ujemne (zwane opóźnieniem). Przyspieszenie jest tempem zmian prędkości. Przyspieszenie jednostajne. Z definicji ciało porusza się z jednostajnym, czyli stałym przyspieszeniem, gdy jego prędkość rośnie jednostajnie z czasem. Przyspieszenie a jest stałe, gdy czyli: v v at, o 65

66 v vo a (stałe przyspieszenie), t gdzie v v o jest wzrostem prędkości w czasie t. Przyspieszenie chwilowe. Jeżeli przyspieszenie zmienia się z czasem, musimy wtedy zmierzyć zmianę prędkości w ciągu krótkiego odstępu czasu t. DEF 2. Przyspieszenie chwilowe jest granicą co zapisujemy jako: v t, gdy t dąży do zera, czyli v a lim, t 0 t a dv dt 2 d x 2 dt x ( t) 66

67 Zadanie 1. Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f(x)=3x 2-5 w punkcie A(1,-2). Ponieważ x 0 =1 i f(x 0 )=f(1)=-2. Aby skorzystać z podanego wzoru stycznej, brakuje nam tylko wartości f (1). W tym celu policzmy pochodną f (x)= 6x oraz f (1)= 6 1=6. Na podstawie podanego wzoru stycznej otrzymujemy y-(-2)=6(x-1) czyli równane stycznej do funkcji w punkcie A(1,-2) ma postać y=6x-8. Zadanie 2. Zbadaj monotoniczność funkcji f(x) = 4+3x 2 -x 3. Wskazówka: Funkcja ta jako funkcja wielomianowa jest różniczkowalna. Oblicz jej pochodną i wykorzystaj tekst matematyczny podany powyżej punkt 4/4. Zadanie 3. Zbadaj ekstrema funkcji f(x)=2x 3 +3x 2-36x+15 Wskazówka: Funkcja ta jako funkcja wielomianowa jest różniczkowalna. Oblicz jej pochodną i wykorzystaj tekst matematyczny podany powyżej punkt 4/5. Badamy teraz znak pochodnej. W tym celu narysujmy jej przybliżony wykres. y y = 6 (x 2 +x-6) x 67

68 Widzimy więc, że w punkcie x=-3 funkcja ma maksimum (znak pochodnej zmienia się z + na - ) równe f max (-3)=96, a punkcie x=2 funkcja ma minimum (znak pochodnej zmienia się z - na + ) równe f min (2)=-19. Zadanie 4. Zbadaj jaką najmniejszą i jaką największą wartość przyjmuje funkcja y = x 3-3x 2-9x+7 w przedziale [-2,1]. Zadanie 5. Zbadaj wypukłość i wyznacz punkty przegięcia wykresu funkcji f(x) = 2x 3 +3x 2-4x+10. Wskazówka: Policz pochodne (pierwszą i drugą), wykorzystaj tekst matematyczny podany powyżej punkt 4/6 : f (x) = 6x 2 +6x-4 f (x) = 12x+6 = 6 (2x+1) i narysuj przybliżony wykres drugiej pochodnej - 1 / Zatem widać, że wykres funkcji f jest wypukły w przedziale (-1/2, + ) (druga pochodna funkcji f jest dodatnia), natomiast w przedziale (-,-1/2) wklęsły (druga pochodna funkcji f jest ujemna). Ponieważ w punkcie x 0 =-1/2 druga pochodna zeruje się i zmienia w otoczeniu tego punkty znak, to punkt x 0 =-1/2 jest punktem przegięcia wykresy tej funkcji. 68

69 Zadanie 6. Wyznaczyć równanie stycznej do wykresu funkcji 2 x x f w punkcie 2, 4 P, Zadanie 7. Z prostokątnego kawałka blachy o szerokości 80 cm i długości 120 cm robi się opakowanie w ten sposób, że w rogach wycina się kwadraty, następnie zagina wystające brzegi i lutuje na krawędziach. Zbadać, jak wielkie należy wyciąć kwadraty, aby otrzymać opakowanie o możliwie największej pojemności. Zadanie 8. Jaki powinien być stosunek wymiarów puszki do konserw w kształcie walca, aby przy danej objętości zużyć na jej wyrób jak najmniej blachy? Zadanie 9. Wartość produkcji zakładu kształtuje się według funkcji x 50x 2x 2 1 f zł za x roboczogodzin. Znaleźć wydajność krańcową przy zatrudnieniu 5-ciu robotników. Zadanie 10. Prędkość w pewnym ruchu wyraża się wzorem v(t) = t 2 + 2t + 3. Wyznacz : a) przyspieszenie w chwili t 0 = 4 b)drogę, jaką przebył punkt materialny w czasie od t 0 = 4 do t 1 = 10 69

70 5)PROJEKT 3: W jaki sposób można wyprowadzić równanie drogi w ruchu jednostajnie przyśpieszonym, a może w jeszcze innym ruchu? Materiały pomocnicze do tematu projektu: a) szczegółowe pytania problemowe do tematu projektu: - jakie znasz rodzaje ruchów w fizyce? - w jaki sposób wyznaczamy prędkość w ruchu? - jak wyprowadzamy wzór na przyspieszenie? - w jaki sposób opisujemy drogę w ruchu po okręgu? - jak się wyznacza prędkość a jak przyspieszenie w ruchu po okręgu? - w jaki sposób z funkcji zmiennej t określającej przyspieszenie wyprowadzamy równanie prędkości? - jak z równania prędkości wyprowadzić wzór na równanie drogi? b)przykładowe zadania: Zadanie 1. Wiedząc, że droga w pewnym ruchu wyraża się wzorem s(t) = -2t 2 + 3t +4 wyprowadź wzór na prędkość i przyspieszenie w tym ruchu. Czy prędkość może być ujemna? Co oznacza ujemne przyspieszenie a co dodatnie? 70

71 Zadanie 2. Jaki ruch przedstawiają równania : Znajdź w podręczniku do fizyki te wzory i wyprowadź wzory na prędkość i przyspieszenie w tym ruchu. Zadanie 3. W ruchu niejednostajnie zmiennym po okręgu wyprowadź równanie drogi kątowej w zależności od prędkości kątowej i przyspieszenia kątowego w zależności od drogi kątowej. Zadanie 4. W jaki sposób określać ruch krzywoliniowy przestrzenny np. po linii śrubowej? Jak wyznaczyć w takim ruchu drogę, prędkość i przyspieszenie? 71

72 Literatura i inne źródła informacji J. Orear, Fizyka, Wydawnictwo Naukowo techniczne, Warszawa R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, Feynmana wykłady z fizyki, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa H. Pańkowska (red. nacz.), Encyklopedia szkolna. Matematyka, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa K. Cegiełka, J. Przyjemski, K. Szamański, Matematyka. Podręcznik dla klasy III liceum oraz klasy III technikum, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa A. Śnieżek, P. Tęcza, Zbiór zadań z matematyki dla szkół średnich. Część trzecia, Oddział Doskonalenia Nauczycieli w Rzeszowie, Rzeszów S. Ćwiok, M. Zwoliński, P. i M. Hensel, Zbiór zadań z fizyki dla trzeciej i czwartej klasy liceum ogólnokształcącego i technikum, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa D. Halliday, R. Resnick, Fizyka. Tom 2, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa J. Kalisz, M. Massalska, J.M. Massalski, Zbiór zadań z fizyki z rozwiązaniami. Część I, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa Advanced Grapher, (wykresy). A. Cewe, H. Nahorska, I. Pancer, Tablice matematyczne, Wydawnictwo Podkowa, Gdańsk

73 V MODUŁ PROJEKTOWY Krzywe stożkowe a może jeszcze inne krzywe wykres funkcji czy równania 1) Wprowadzenie do modułu: Krzywe jako wykresy równań algebraicznych mają bardzo szerokie zastosowanie, nie tylko w matematyce. Bo gdyby nie krzywe stożkowe, nie znalibyśmy pór roku, długości dnia, odległości Ziemi od Księżyca i wiele innych pojęć z astronomii. Skąd wiedzielibyśmy,czy kometa Halley a będzie znowu widoczna z Ziemi gołym okiem i kiedy to nastąpi, gdyby nie to, że jej torem jest elipsa. Gdyby torem komety była parabola lub hiperbola, jej pobyt w pobliżu Ziemi byłby pojedynczym incydentem w historii ludzkości. Anteny satelitarne są zbudowane na bazie krzywych stożkowych. Powstają one przez obrót krzywej dookoła osi symetrii, stąd antena satelitarna eliptyczna, paraboliczna czy hiperboliczna. Wiedza o tym gdzie krzywa stożkowa ma ognisko, pozwala na odbiór fal, dzięki którym możemy oglądać TV. Krzywe służą również do projektowania karoserii samochodu i wielu innych przedmiotów codziennego użytku, a nowoczesne budowle są oparte na bryłach obrotowych, powstałych przez obrót figur ograniczonych krzywymi stożkowymi i innymi krzywymi. To tylko niektóre zastosowania, ale wystarczą do tego, by zainteresować się krzywymi, nie tylko stożkowymi a ich przepiękny wygląd, może być źródłem inspiracji twórczych. 73

74 2) Cele operacyjne modułu uwzględniające cele we wszystkich projektach: Treści nauczania 1.Krzywe stopnia drugiego: okrąg, elipsa, parabola, hiperbola. 2.Funkcje elementarne i odwrotne do nich. 3.Krzywe wykładnicze i logarytmiczne. 4.Krzywe trygonometryczne. 5.Krzywe kołowe (cyklometryczne). 6.Krzywe hiperboliczne. 7.Ognisko, kierownice i osie krzywych. 8.Całka oznaczona. 9.Długość łuku krzywej. 10.Pole figury ograniczonej łukami krzywych. Cele operacyjne modułu Uczeń potrafi: -narysować krzywą stopnia drugiego: okrąg, elipsę, parabolę, hiperbolę -opisać krzywą równaniem lub układem parametrycznym -rozróżniać wykres równania od wykresu funkcji -odnaleźć zastosowania krzywych w astronomii i technice -narysować krzywą wykładniczą i logarytmiczną -narysować krzywą trygonometryczną, cyklometryczną i hiperboliczną -podać ogniska, kierownice i osie krzywych -stosować pojęcie całki oznaczonej -obliczać długość łuku krzywej -obliczać pole figury ograniczonej łukami krzywej -podać wytłumaczenie pojęć astronomicznych na gruncie matematyki -korzystać z technologii informatycznych do rozwiązywania problemów -opisać językiem matematycznym krzywe oraz zjawiska w otaczającym nas Świecie 74

75 zagadnienia z astronomii: dzień, noc, pory roku, rok przestępny -uzasadnić poprawność rozumowania używając fachowej terminologii -rejestrować, dokumentować i prezentować wyniki obserwacji, dotyczące obserwacji zjawisk w otaczającym nas Świecie 3) PROJEKT 1: Jak zmierzyć długość łuku krzywej? Materiały pomocnicze do tematu projektu: a) szczegółowe pytania problemowe: - skąd się wzięła nazwa krzywe stożkowe? - w jaki sposób powstają krzywe stożkowe? - ile jest różnych typów krzywych stożkowych? - co to są krzywe stożkowe niewłaściwe? - czy prosta jest krzywą stożkową? - dlaczego krzywe stożkowe nazywane są też krzywymi stopnia 2? - w jaki sposób definiujemy krzywe stożkowe? - jaki jest związek elipsy z okręgiem? - jakie elementy posiadają krzywe stożkowe? 75

76 - czy definicja krzywej stożkowej pozwala zbudować przyrząd do jej konstrukcji? - jak zmierzyć długość krzywej stożkowej lub jej fragment? b)przykładowe zadania: Zadanie 1. Wyjaśnij pojęcia: mimośród, ognisko, kierownica Rys.2 Rys.3 Zadanie 2. Dopasuj podpisy do podanych krzywych stożkowych(rys.1-6): rys.1 rys.2 rys.3 76

77 rys.4 rys.5 rys.6 Elipsa, Okrąg: płaszczyzna do osi stożka, Punkt: płaszczyzna przechodząca wyłącznie przez wierzchołek stożka, Parabola: płaszczyzna do boku stożka, Para przecinających się prostych, Pojedyncza prosta: płaszczyzna styczna do stożka, Zadanie 3. Kierownica paraboli to., z których parabolę widad pod kątem prostym. Kierownice to linie prostopadłe do osi dużej elipsy i hiperboli w odległości od ich środka. Używając terminów półosi dużej i mimośrodu ( ), kiedy poruszamy się od środka elipsy (hiperboli) wzdłuż osi dużej, otrzymujemy co następuje: Zadanie 4. ognisko jako odległośd.. od środka elipsy (hiperboli) wierzchołek jako odległośd.. od środka elipsy (hiperboli) kierownicę jako odległośd (.) od środka elipsy (hiperboli). Załóżmy, że przecinająca płaszczyzna tworzy kąt ostry α z osią stożka i niech kąt ostry między ścianą stożka a jego osią wynosi β (zobacz rys.5). 77

78 rys.5 Wtedy mamy (wpisz warunek): a. okrąg, jeśli.. b. elipsę, jeśli.. c. parabolę, jeśli.. d. hiperbolę, jeśli.. Zadanie 5. Równanie: przedstawia: a. okrąg, jeśli. (specjalne przypadki: wykresem jest punkt lub wykres nie istnieje) b. parabolę, jeśli równanie.. jest z jedną zmienną w drugiej potędze a z drugą w pierwszej c. elipsę, jeśli.. i. są albo dodatnie, albo ujemne (specjalny przypadek: pojedynczy punkt lub wykres nie istnieje) d. hiperbolę, jeśli.. i mają przeciwne znaki (specjalny przypadek: pojedynczy punkt albo wykres nie istnieje) e. prostą, jeśli. i.. są równe zero oraz i są różne od zera. 78

79 Zadanie 6. Nazwij krzywe stożkowe (rys.6): Krzywe stożkowe: A -., B -, C -.., D -.. Zadanie 7. W oparciu o definicję skonstruuj przyrząd do rysowania elipsy. Zadanie 8. Oblicz długości łuków określonych niżej: a) prosta y = 4 dzieli okrąg x 2 + y 2 = 36 na dwa łuki,jaka jest ich długość? b) jaka jest długość elipsy 9x y 2 = 144? c) jaka jest długość paraboli y = x 2 w przedziale [0 ; 2]? d) jaka jest długość hiperboli xy = 1 w przedziale [1 ; 10]? 79

80 4)PROJEKT 2:Jakie są zastosowania krzywych stożkowych w różnych dziedzinach? Materiały pomocnicze do tematu projektu: a) szczegółowe pytania problemowe: - jakie jest zastosowanie krzywych stożkowych w astronomii? - dlaczego dla ciał niebieskich, prędkość ich przemieszczania się określamy przy pomocy prędkości kątowej? - czy prędkość kątowa pozwala na wyznaczenie długości toru planety? Poszukaj przykłady. -w jaki sposób określamy pory roku? - jak wyznaczyć długość konkretnego dnia? - co to jest rok przestępny? - jak skonstruować antenę satelitarną paraboliczną, a jak hiperboliczną? - jakie są zastosowania krzywych stożkowych w innych dziedzinach? b)przykładowe zadania: Zadanie 1. Przeczytaj uważnie tekst Planety krążą dookoła Słońca po orbitach eliptycznych. 80

81 Słońce ulokowane jest w ognisku orbity eliptycznej a nie w środku orbity jak mogliśmy przypuszczać. Okazuje się, że jeśli orbita jest określona równaniem to wtedy punkty elipsy najdalsze i najbliższe słońcu występują na osi x, na lewo i na prawo od początku układu współrzędnych, odpowiednio (rys.1). Rys. 1 Najbliższy punkt nazywamy perygeum (punkt przysłoneczny) a najdalszy apogeum (punkt odsłoneczny). Teoretycznie, kometa może mieć eliptyczną, paraboliczną lub hiperboliczną orbitę poruszając się dookoła Słońca. Jeśli orbita jest paraboliczna lub hiperboliczna, wtedy możemy zobaczyć kometę maksymalnie dwukrotnie. Jednakże, jeśli orbita jest eliptyczna, wtedy kometa może pokazywać się okresowo. Najlepiej ilustrującym przykładem takiej komety jest kometa Halley a, która ma okres około 76 lat. Kometa Halley a pojawiła się ponownie w r. A jej perygeum wystąpiło 9 lutego 1986 r. Sztuczny satelita nie może mieć żadnej z trzech wymienionych wyżej orbit. Jest on umiejscawiany na orbicie kołowej. Jak określić kiedy może pojawić się kometa Halley a? 81

82 Zadanie 2. Algorytm pozwalający wyznaczyć dzień Wielkiej Nocy ułożony został przez Carla Friedricha Gaussa (żył 78 lat). Był to genialny matematyk (metoda przybliżonego całkowania, krzywa dzwonowa Gaussa - rozkład normalny, konstrukcja siedemnastokąta i wiele innych dokonań), astronom (wiekowe perturbacje planet), geodeta (odwzorowania kartograficzne) i fizyk (prawo Gaussa dla pola elektrycznego i dla pola magnetycznego, absolutny elektromagnetyczny układ jednostek, badania nad włoskowatością i wiele innych dokonań). Stawiany na równi z Archimedesem i Newtonem - znajdź algorytm, przy pomocy którego można wyznaczyć dzień w którym będzie w danym roku Wielkanoc, a w jakim "Tłusty Czwartek". Zadanie 3. W jaki sposób obliczyć długość toru po którym Ziemia obiega Słońce? Zadanie 4. Zaprojektuj antenę satelitarną paraboliczną lub hiperboliczną. Zadanie 5. Masz gotową antenę satelitarną (talerz) wyprowadź wzór krzywej stożkowej na bazie której powstała ta antena. 82

83 5)PROJEKT 3: Gdzie można znaleźć inne krzywe niż te, o których uczyłeś się na lekcjach matematyki i jak je zastosować? Materiały pomocnicze do tematu projektu: a) szczegółowe pytania problemowe: - co to są krzywe cyklometryczne? - jak definiujemy funkcje hiperboliczne? -jaki jest związek funkcji kołowych z kołem? - jaki jest związek funkcji hiperbolicznych z hiperbolą? - co to jest krzywa wykładnicza a co logarytmiczna? -w jaki sposób konstruuje się krzywe Lissajous? - skąd się wzięły krzywe Béziera i jakie jest ich zastosowanie? b)przykładowe zadania: Zadanie 1. Znajdź zastosowania krzywych cyklometrycznych. Zadanie 2. Jak wygląda krzywa łańcuchowa? Wykonaj wykresy funkcji hiperbolicznych i poszukaj ich zastosowanie np. w fizyce. 83

84 Zadanie 3. Znajdź zastosowanie krzywej wielomianowej Béziera (Pierre Bézier to francuski matematyk, pracownik firmy Renault. W ramach prac projektowych nad nowymi karoseriami samochodowymi opracował model opisu krzywych. Krzywe Béziera są parametrycznymi krzywymi trzeciego stopnia i znajdują szerokie zastosowanie w modelowaniu kształtu figur i powierzchni. Przykładem może tu być modelowanie kształtu nadwozi samochodów. Są one podstawą działania wszystkich poważniejszych programów do tworzenia i edycji rysunków wektorowych (Corel DRAW, Adobe Ilustrator).) Zadanie 4. Znajdź zastosowanie poniżej przedstawionych krzywych: Przykłady krzywych Lissajous o parametrach, a nieparzyste, b parzyste, a b = 1. a = 1, b = 2 a = 3, b = 2 a = 3, b = 4 a = 5, b = 4 a = 5, b = 6 a = 9, b = 8 Źródło Zadanie 5. Znajdź przykłady krzywych przestrzennych np. linia spiralna. 84

85 Literatura i inne źródła informacji 1.Krysicki W., Włodarski L. :Analiza matematyczna w zadaniach, cz.1, PWN, W-wa, 1994, 2.Minorski W.P. :Zbiór zadań z matematyki wyższej, WNT, W-wa, 1972, 3.Musielakowie H. i J.: Analiza matematyczna, t.i, cz.1 i 2., Wyd. Nauk. UAM, Poznań 1993, 4.Siwek E.: Analiza matematyczna, t.1,wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego, Katowice,1976, 5.Zaporożec G.I.: Metody rozwiązywania zadań z analizy matematycznej, WNT, W-wa, E.Kącicki, D.Sadowska, L.Siewierski Geometria analityczna w zadaniach WN PWN, W-wa, 1993,

86 VI MODUŁ PROJEKTOWY Wielomiany czy przydałyby się na giełdzie? 1)Wprowadzenie do modułu: Wielomiany to jedne z najciekawszych funkcji, nie tylko matematyki szkoły średniej ale również matematyki wyższej. Doczekały się wiele opracowań, a zajmowali się nimi tacy matematycy jak : Bezoute, Cardano,Fourier, Hermite, Horner, Kronecker, Lagrange, Laurent i wielu innych. Istnieje cały dział algebry zajmujący się wielomianami jednej i wielu zmiennych. Poszukiwanie pierwiastków wielomianów można porównać do szukania igły w stogu siana. Tylko niektóre specjalnie dobrane wielomiany mają pierwiastki,które dają się wyznaczyć albo poprzez wzory albo jeżeli są całkowite lub wymierne, to bez trudu je znajdziemy. Wzory na pierwiastki wielomianów kończą się na trzecim stopniu chyba, że wielomian wyższego stopnia poprzez podstawienie,da się sprowadzić do wielomianu stopnia co najwyżej trzeciego. Zastosowanie wielomianów jest bardzo szerokie, m.in. w rozwinięciu funkcji w szereg potęgowy mamy do czynienia z wielomianem stopnia nieskończonego, ale do zastosowań można ten stopień ograniczy do skończonego, bez straty dokładności przybliżenia. Ciekawym zastosowaniem wielomianu jest gra giełdowa. Gdybyśmy notowania pewnej spółki giełdowej wybrali z danego przedziału czasowego, to liczby te utworzyłyby wykres słupkowy. Końce tych słupków są punktami wykresu pewnego wielomianu. Znajomość wzoru wielomianu pozwoliłaby nam poznać własności tego wielomianu, takie jak monotoniczność czy ekstrema, co pozwoliłoby osiągać zyski na giełdzie. Wiedząc, że w analogicznym przedziale czasowym wielomian jest funkcją rosnącą, to kupujemy akcje gdy wielomian osiąga minimum a sprzedajemy gdy osiąga maksimum. Niestety nasza giełda jest zbyt młoda i mało przewidywalna, żeby można było zbyt szybko na niej się wzbogacić. 86

87 Niemniej warto poznać wielomiany, przybliżone metody poszukiwania pierwiastków i poznać ludzi, którzy zajmowali się wielomianami. 2)Cele operacyjne modułu uwzględniające cele we wszystkich projektach: Treści nauczania 1.Pojęcie wielomianu. Wykres wielomianu. Miejsca zerowe wielomianu. Monotoniczność i ekstrema wielomianu. Wykres wielomianu. 2.Pojęcie pochodnej. Pochodna funkcji wielomianowej. Własności wielomianu na podstawie wykresu. Wyznaczanie wzoru wielomianu na podstawie wykresu pochodnej. Monotoniczność i ekstrema wielomianu na podstawie pochodnej. 3.Interpolacja. Wielomian interpolacyjny Lagrangea. Cele operacyjne modułu Uczeń potrafi: -podać typy wielomianów -narysować wykres wielomianu -podać miejsca zerowe wielomianu -określić monotoniczność wielomianu na podstawie wykresu -podać ekstrema wielomianu na podstawie wykresu -określić własności funkcji wielomianowej na podstawie wykresu pochodnej -podać ekstrema wielomianu na podstawie wykresu pochodnej -określić monotoniczność wielomianu na podstawie wykresu pochodnej -wyznaczyć wzór wielomianu w oparciu o wykres -wyznaczyć wzór wielomianu przy pomocy danych giełdowych -wykorzystać własności wielomianów do gry giełdowej 87

88 -prześledzić notowania spółki giełdowej przez miesiąc -sporządzić wykres działania tej spółki giełdowej korzystając z wielomianu interpolacyjnego Lagrangea -określić na podstawie w/w wykresu i na podstawie monotoniczności wykresu określić kiedy warto kupić akcje, kiedy jest tendencja zwyżkowa i spadkowa spółki itp. -opisać językiem matematyki przy użyciu badania wielomianów zależności ekonomiczne 3)PROJEKT 1:Jakie są typy wielomianów i jak je rysować? Materiały pomocnicze do tematu projektu: a)szczegółowe pytania problemowe: - jakie są sposoby przedstawienia wielomianu? - jakie są metody poszukiwania dokładnych pierwiastków wielomianu? - czy istnieją wzory na pierwiastki wielomianów? - co to są metody przybliżone poszukiwania pierwiastków? - jak wykorzysta komputer do obliczania pierwiastków wielomianu? -jak rozkładać wielomian na czynniki? 88

89 - jakie jest zastosowanie rachunku pochodnej do określenia własności wielomianu? - czy na podstawie wykresu wielomianu można wyznaczyć jego wzór? b)przykładowe zadania: Zadanie 1. Rozłóż wielomian W(x) = x 4 + x 3 6x 2 4x + 8 na czynniki liniowe stosując różne sposoby rozkładu. Jak rozłożyć wielomiany P(x) = x 4 + x 2-1 oraz Q(x) = x 6 2x 4 + 4x 2-8 Zadanie 2. Wyznacz dokładną i przybliżoną wartość pierwiastka wielomianu W(x) = x 3 + x 1 i uzasadnij, że wielomian ten ma tylko jeden pierwiastek. Zadanie 3. Stosując metody przybliżonego wyznaczania pierwiastków wielomianu znajdź pierwiastek wielomianu W(x) = x 3 + 2x a) metodą średnich arytmetycznych, b) metodą siecznych, c) metodą stycznych, d) graficznie. Zadanie 4. Zbadaj przebieg zmienności funkcji i narysuj bardzo dokładnie wykres wielomianu W(x) = x 3-2x 2 4x + 8 Zadanie 5. 89

90 Spróbuj wykorzystując komputer, znaleźć przynajmniej jeden pierwiastek wielomianu W(x) = x 5 - x 4 x 3 + x 2 2x + 1 Zadanie 6. wzory. Na poniższych rysunkach podane są wykresy czterech wielomianów, znajdź ich 90

91 4)PROJEKT 2: Jakie zależności z różnych dziedzin, przedstawione graficznie, i nie tylko, można opisać wzorem wielomianowym? Materiały pomocnicze do realizacji tematu projektu: a)szczegółowe pytania problemowe: - jakie elementy potrzebne są do wyznaczenia wzoru wielomianu? - ile punktów wystarczy do wyznaczenia wzoru wielomianu, wiedząc którego stopnia jest wielomian? - w jakich zagadnieniach ekonomicznych występuje wielomian? - w jakich działach fizyki stosuje się wielomiany? - jakie przekształcenia geometryczne stosujemy do rysowania wielomianów? -jakie własności wielomianu są przydatne do zagadnień ekonomicznych? - jaki związek jest między wielomianem a funkcją wymierną? b)przykładowe zadania: Zadanie 1. Odszukaj zastosowania wielomianów Hermite a w fizyce. Zadanie 2. Jakie jest zastosowanie wielomianów Legendre a do przedstawienia potencjału elektrycznego. Zadanie 3. 91

92 Jak korzystając z wykresu wielomianu W(x) = x 3 x 2 2x narysować wykres wielomianu V(x) = (x-1) 3 (x-1) 2 2(x-1) 3 Zadanie 4. Korzystając z komputera porównaj wykresy funkcji f(x) = sin x oraz g(x) = x Co zaobserwowałeś, jaki jest związek między tymi funkcjami? Zadanie 5. Przy pomocy kalkulatora graficznego przedstaw wykres funkcji f(x) = x 3 + 2x 2 3x + 1 i spróbuj odczytać jego pierwiastki. 5)PROJEKT 3: Jak można wykorzystać wielomiany do gry giełdowej? Materiały pomocnicze do tematu projektu: a)szczegółowe pytania problemowe: - co to jest bessa, a co hossa? - na czym polega wzrost gospodarczy? - gdzie mamy do czynienia z popytem i podażą? - w jaki sposób analizując wydatki domowe można określić budżet domowy? - do czego służy wielomian interpolacyjny Lagrange a? - co to jest czułość i elastyczność funkcji? Gdzie znajdziemy ich zastosowanie? 92

93 b)przykładowe zadania: Zadanie 1. Jesteś Prezesem firmy DIAMENT. Jak poniższe notatki i przykłady pomogą Ci w zarządzaniu firmą? Dochód, a wzrost popytu, Funkcja kosztów Niech K(x) oznacza funkcje kosztów, tzn. oznacza koszt całkowity wyprodukowania x jednostek pewnego produktu. Wtedy iloraz różnicowy tej funkcji oznacza koszt przeciętny wytworzenia jednostki produktu, przy zwiększeniu produkcji od x 0 do x 0 +h. Natomiast iloraz K p (x) K(x) x jest kosztem przeciętnym przypadającym na jednostkę produkcji. krańcowych. Jeżeli funkcja K(x) posiada pochodną, to funkcję K (x) nazywamy funkcją kosztów Pochodna K (x 0 ) funkcji kosztów K(x) w punkcie x 0 nazywamy kosztami krańcowymi w punkcie x 0. Pochodną tę interpretujemy jako prędkość zmian kosztów przy poziomie produkcji x 0. Ponieważ to w szczególności przyjmując h=1 mamy K (x 0 +h)- K (x 0 ) K (x 0 ) h, K (x 0 +1)- K (x 0 ) K (x 0 ) co oznacza, że podniesienie produkcji o jedną jednostkę powoduje zwiększenie kosztów produkcji o K (x 0 ). Koszty krańcowe w punkcie x 0 są zatem równe w przybliżeniu wartości nakładów zużytych na wyprodukowanie dodatkowej jednostki produktu w stosunku do poziomu wyjściowego x 0. 93

94 Przykład. Koszt całkowity wytworzenia x jednostek pewnego produktu określony jest wzorem K(x)= x-0,01x 3. Wtedy funkcja kosztów krańcowych ma postać K (x)= 50-0,03x 2. Przy wysokości produkcji x=10 koszt krańcowy wynosi K (10)= 50-0,03 100= 47 jednostek pieniężnych, natomiast przy x=20 koszt ten jest równy K (x)= 50-0,03 400=38 jednostek pieniężnych. Tak więc przybliżony koszt wyprodukowania dodatkowej jednostki przy poziomie produkcji x=10 wynosi K (10)= 47, a przy poziomie produkcji x=20 wynosi K (20)= 38. jednostek. Można to zinterpretować, że produkcja 20 jednostek jest korzystniejsza niż 10 Elastyczność funkcji Jeżeli mamy daną funkcję f określoną dla x>0, przyjmującą tylko dodatnie wartości i różniczkowalną w dziedzinie, to liczbę określoną wzorem x f (x) f ' (x) nazywamy elastycznością funkcji f w punkcie x i oznaczamy symbolem E x f. Elastyczność funkcji f w punkcie x jest przybliżoną miarą procentowego przyrostu (wzrostu lub spadku) wartości funkcji odpowiadającemu przyrostowi argumentu x o 1%. Przy przyjętych założeniach x 0 >0 i f(x 0 )>0, czyli znak elastyczności zależy tylko od znaku pochodnej f (x 0 ). Stąd, elastyczność funkcji rosnącej w otoczeniu x 0 jest dodatnia w punkcie x 0, natomiast elastyczność funkcji malejącej w otoczeniu x 0 jest ujemna. 94

95 Przykład. Ustalono, Ze pomiędzy popytem y na pewne dobro a przeciętnymi dochodami miesięcznymi x ludności istnieje zależność funkcyjna 18x y x 27 Obliczmy elastyczność dochodową na dane dobro. Łatwo sprawdzić, że y ' x 27 2 Elastyczność dochodowa popytu na dane dobro wynosi więc E x f x x x x 27 x 27 Jeżeli np. x=3, to E 3 f = 27 / 30 =0,9. Zatem przy dochodzie miesięcznym równym 3 (np. 3 tysiące złotych) wzrost dochodu o 1% pociąga za sobą wzrost popytu na dane dobro o 0,9%. Zadanie Poniższa tabela przedstawia możliwości produkcyjne firmy DIAMENT. wielkość produkcji dobra X wielkość produkcji dobra Y Na podstawie tabeli wykreśl krzywą możliwości produkcyjnych firmy DIAMENT. 3. Jaki jest koszt alternatywny 4. drugiej jednostki dobra X czwartej jednostki dobra X dwóch jednostek dobra X czterech jednostek dobra X zwiększenia produkcji dobra X z poziomu 2 sztuk do 4 sztuk? 5. Oblicz i zinterpretuj krańcową stopę transformacji dobra X w dobro Y 6. Oblicz i zinterpretuj krańcową stopę transformacji dobra Y w dobro X 95

96 7. Firma DIAMENT wprowadziła technologię, dzięki której przy takich samych nakładach można wyprodukować o 40% więcej dobra X. Przedstaw powyższą sytuację na rysunku Ile wyniesie koszt alternatywny, jeżeli firma DIAMENT zdecyduje się produkować wyłącznie dobro X? Zadanie 3. Przeczytaj uważnie poniższy tekst, a następnie na podstawie zebranych danych, sporządź krzywą Englaco i odpowiedz na pytanie czy rodzice wśród których prowadziliście badania budżetów domowych żyją w luksusie? Krzywa Engla - to wykorzystywana w ekonomii zależność pomiędzy dochodem konsumenta a ilością konsumowanego przez niego dobra, przy założeniu stałych cen wszystkich towarów oraz innych zmiennych (ceteris paribus). Graficznie krzywą Engla zazwyczaj przedstawia się w układzie współrzędnych kartezjańskich z dochodem na osi odciętych i ilością konsumowanego dobra na osi rzędnych. Kształt krzywej Engla pozwala zilustrować graficznie dochodową elastyczność popytu danego dobra, a zatem określić czy jest ono podrzędne, normalne czy luksusowe. Nazwa krzywej pochodzi od nazwiska niemieckiego ekonomisty, Ernsta Engla. Średnie kroczące pełnią dwie funkcje: a) pokazują średnią wartość kursu, b) generują sygnały kupna i sprzedaży akcji. Jeśli średnia o mniejszym współczynniku k przetnie od dołu średnią o większym współczynniku k, oznacza to sygnał kupna. Przecięcie od góry oznacza sygnał sprzedaży. Także, jeśli wykres notowań przetnie średnią od dołu, jest to sygnał kupna, jeśli od góry sygnał sprzedaży. Dzięki temu inwestor może podjąć decyzję o zakupie akcji na początku trendu wzrostowego i wycofać się z inwestycji na początku trendu spadkowego. 96

97 Zadanie 4. Wejdź na stronę Wybierz jedną ze spółek i obserwuj jej notowania przez kwartał danego roku. Następnie wygeneruj te notowania do arkusza kalkulacyjnego. W arkuszu kalkulacyjnym: a) Wybierz ceny zamknięcia kursów. b) Oblicz prostą średnią kroczącą z 5 oraz z 15 kursów. c) Oblicz wykładniczą średnią kroczącą z 5 kursów. d) Narysuj wykres zawierający datę, kurs zamknięcia oraz średnie z podpunktów b) i c). Zadanie 5. Na podstawie danych oraz wykresów uzyskanych w zadaniu 1. wyciągnij wnioski dotyczące zachowania się notowań giełdowych wybranej spółki. Spróbuj porównać średnią prostą ze średnią wykładniczą. Zadanie 6. Seria zadań do samodzielnego wykonania: Zadanie a. Dana jest krzywa popytu: X D = 6 P. Na podstawie funkcji wypełnij tabelę oraz wykonaj wykres krzywej D oraz TR. P X TR = TE MR Zadanie b. Rysunek przedstawia krzywe popytu i podaży na rynku dobra X. Podpisz osie i wykresy. 97

98 Na podstawie rysunku podkreśl prawidłowe odpowiedzi w poniższym zdaniu: Popyt w punkcie równowagi jest słabo/silnie elastyczny, natomiast podaż charakteryzuje się współczynnikiem cenowej elastyczności mniejszym/większym od 1. Podniesienie w tej sytuacji ceny spowodowałoby wzrost/spadek całkowitych wydatków konsumentów na to dobro (przychodów przedsiębiorstw z tytułu sprzedaży tego dobra). Zadanie c. Wiedząc, że współczynnik dochodowej elastyczności popytu na dobro Ź wynosi Edi = 1,5 podkreśl prawidłowe odpowiedzi: Dobro Ź jest dobrem niższego rzędu/luksusowym/podstawowym, co oznacza, że procentowa zmiana popytu jest większa/mniejsza od procentowej zmiany dochodu. Gdyby w tej sytuacji dochód wzrósł o 1 % to popyt spadłby/wzrósłby o 5% / 2% / 1,5%. Zadanie d. Krzywe popytu i podaży dane są równaniami: P = 5 X i P = 1 + X. Krótko omów, jak wpłynęłoby na rynek ustalenie ceny administracyjnej na poziomie 4 jednostek pieniężnych. Zadanie e. Wiedząc, że krzywa możliwości produkcyjnych jest funkcją liniową oraz że firma jest w stanie wyprodukować maksymalnie 5 jednostek dobra A lub 10 jednostek dobra B, oblicz krańcową stopę transformacji dobra A w dobro B i krańcową stopę transformacji dobra B w dobro A. Wyniki zinterpretuj. Zadanie 7. a)na podstawie miesięcznej obserwacji pewnej wybranej spółki giełdowej, sporządź wykres jej działania korzystając z wielomianu interpolacyjnego Lagrangea. b) Podaj wzór wielomianu i na podstawie pochodnej określ jej monotoniczność i ekstrema. c)na podstawie zgromadzonych danych, odpowiedz na pytania: 98

99 - Kiedy warto kupić akcje tej spółki? - Kiedy jest tendencja zwyżkowa, a kiedy spadkowa tej spółki? 99

100 Literatura i inne źródła informacji 1.Krysicki W., Włodarski L. :Analiza matematyczna w zadaniach, cz.1, PWN, W-wa, 1994, 2.Minorski W.P. :Zbiór zadań z matematyki wyższej, WNT, W-wa, 1972, 3.Musielakowie H. i J.: Analiza matematyczna, t.i, cz.1 i 2., Wyd. Nauk. UAM, Poznań 1993, 4.Siwek E.: Analiza matematyczna, t.1,wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego, Katowice, 1976, 5.Zaporożec G.I.: Metody rozwiązywania zadań z analizy matematycznej, WNT, W-wa,1976, WNT, W-wa, J. Banaś, S. Wędrychowicz, Zbiór zadao z analizy matematycznej, Warszawa, WNT, B.P. Demidowicz, Zbiór zadao i dwiczeo z analizy matematycznej, M. Nauka, L.M. Drużkowski, Analiza matematyczna dla fizyków, t. 1, 2, WUJ, Kraków, G.M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. 1, 2, 3, Warszawa, PWN, W.Kaczor, M.Nowak, Zadania z analizy matematycznej, Warszawa, PWN, W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, Warszawa, PWN, W. Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, Warszawa, PWN,

101 VII MODUŁ PROJEKTOWY Co to znaczy zwinąć w szereg, a co to znaczy rozwinąć funkcję w szereg 1)Wprowadzenie do modułu: Szeregi to kolejny dział analizy matematycznej mający szerokie zastosowanie w różnych dziedzinach, nie tylko w matematyce. Stosowana w tym dziale symbolika wprowadza ucznia w świat matematyki wyższej i pozwala nie tylko operować tymi symbolami, ale daje poczucie własnej wartości. Uczeń nagle stwierdza, że matematyka wcale nie jest taka straszna. W szkole średniej przy okazji ciągu geometrycznego rozważa się szereg geometryczny i rozwiązuje się wiele zadań na zastosowanie tego szeregu. Ale przecież mamy nie tylko szereg geometryczny. Istnieją różne rodzaje szeregów. Oczywiście poznamy tylko te najważniejsze. Ponadto w szkole uczymy się działania jednostronnego, czyli obliczenia wartości sumy szeregu geometrycznego liczbowego lub funkcyjnego. Działanie to popularnie jest nazywane zwijaniem szeregu. Dla pełności wiedzy powinniśmy nauczyć się również rozwijania niektórych liczb, czy funkcji w szereg, co wydaje się o wiele ciekawsze. W każdym działaniu w matematyce powinno nam towarzyszyć sprzężenie zwrotne : masz funkcję, to rozwiń ją w szereg, masz szereg funkcyjny, to go zwiń w funkcję. Podobnie jak we wcześniejszym module: masz funkcję, to narysuj jej wykres, ale masz wykres funkcji, to wyznacz jej wzór. Rozwijanie niektórych funkcji w szereg pozwoli zrozumieć konstrukcje tablic logarytmicznych, trygonometrycznych, czy wreszcie obliczyć z dużą dokładnością stałe matematyczne takie jak liczby e i. 101

102 2)Cele operacyjne modułu uwzględniające cele we wszystkich projektach: Treści nauczania 1.Ciąg geometryczny. Granica ciągu. 2.Szereg geometryczny. Suma szeregu geometrycznego. 3.Szereg potęgowy. 4.Kryterium zbieżności szeregów. 7.Funkcje wykładnicze. Funkcja. 8.Funkcje trygonometryczne. 9.Funkcje kołowe (cyklometryczne). 10.Wzór Taylora i Mclaurina. 11.Pochodna funkcji. 12.Pochodne wyższych rzędów. Cele operacyjne modułu Uczeń potrafi: -rozpoznać ciąg geometryczny -rozpoznać kiedy ciąg geometryczny jest zbieżny -policzyć granicę ciągu geometrycznego -obliczyć pochodne wyższych rzędów -obliczyć sumę szeregu geometrycznego i niektórych szeregów potęgowych -wskazać funkcje cyklometryczne - odwrotne do funkcji trygonometrycznych -omówić własności funkcji cyklometrycznych -określić warunki zbieżności -określić kryteria zbieżności szeregu -zwinąć szereg trygonometryczny -określić warunki przy, których można zwinąć szereg trygonometryczny -rozwinąć każdą funkcję elementarną różniczkowalną w szereg (jeżeli jest to możliwe) -stosować pochodne wyższych rzędów do rozwijania funkcji 102

103 -rozwijać funkcje i arctgx w szereg -konstruować tablice wartości sinusa -stosować wzór Taylora i Mclaurina -wyznaczyć dokładną wartość liczby i liczby -stosować technologie informatyczne prowadzące do rozwiązania problemu 3) PROJEKT 1: Jaki szereg i przy jakich warunkach można zwinąć? Materiały pomocnicze do tematu projektu: a)szczegółowe pytania problemowe: - jakie znasz rodzaje ciągów? - które ciągi są związane z szeregami? - w jaki sposób zapisujemy szeregi? - jakie znasz rodzaje szeregów? - co oznaczają słowa szereg zbieżny? - czy każdy szereg można zwinąć? - jakie są kryteria zbieżności szeregów? - czy wiedząc, że szereg jest zbieżny, potrafimy wyznaczyć jego sumę? 103

104 b)przykładowe zadania: Zadanie 1. Obliczyć promień zbieżności szeregu i zbadać zbieżność na krańcach przedziałów zbieżności (1) n 1 n x (2) 1 n x n 1 n (3) 1 2 n 1 n n x (4) n 1 2n 3n 2 2n x n (5) n 1 x n nx (6) n n 1 n! n (7) 1 2 n n n x n (8) n 1 x n n (9) n x n 1 n 5 n (10) 3 n n 1 n 1 x n (11) n 1 3 n 2 n 4 n 1 x n (12) n 1 5 n n n x n n (13)! 1 10 n x n n (15) n n! x (16) n! x n 1 (2n )! (18) x 2x 5 n 1 5 n n n n n n (17) 2 x 1 n! n n Zadanie 2. Zbadać zbieżność szeregów (1) n x 2 n 1 n utworzonych z pochodnych wyrazów tego szeregu. (2) n 1 n x n oraz zbieżność szeregów Zadanie 3. Wyznaczyć dziedziny funkcji określonych w następujący sposób (1) nx e f ( x) (2) 2 g( x) ( x n 1 1 n n 1 2 x 6) n Zadanie 4. n 1 n Rozwiąż równanie (1 x )

105 4) PROJEKT 2:W jaki sposób można rozwinąć funkcję w szereg? Materiały pomocnicze do tematu projektu: a)szczegółowe pytania problemowe: - co oznacza rozwinięcie funkcji w szereg? - czy każdą funkcję można rozwinąć w szereg? - w jaki szereg można rozwinąć większość funkcji? - które funkcje można rozwinąć w szereg potęgowy? - do czego potrzebny jest wzór Taylora? - jak stosujemy wzór Maclaurina? - po co we wzorach Taylora i Maclaurina określa się reszty? - czy suma, różnica, iloczyn i iloraz funkcji, które dają się rozwinąć w szereg, też są funkcjami dającymi się rozwinąć w szereg? b)przykładowe zadania: Zadanie 1. Napisz wzór Taylora z resztą Lagrange a dla f(x)= f(x)= x, f(2)=2, x 1 1 f (x)=, f (2)=-1 2 ( x 1) x, a =2 i n=3. x 1 105

106 2 f (x)= 3 ( x 1) 6 f (x)= 4 ( x 1) f (2)=2, 6 f (c)= 4 ( c 1) ''' f '( x0) f ''( x0) 2 f ( c) f ( x) f ( x0) ( x x0) ( x x0) ( x x0) 1! 2! 3! ''' f '(2) f ''(2) 2 f ( c) 3 f (2) ( x 2) ( x 2) ( x 2) 1! 2! 3! ( x 2) 2 ( x 2) ( x 2) ( x 2) x 5x 8 ( c 1) ( c 1) 3 c jest pewną liczbą między 2 i x. Zadanie 2. Rozwiń w szereg potęgowy Maclaurina funkcję y = sin x. Oblicz pochodne i ich wartości w zerze. y ( 0) 0 y' cos x, y '(0) 1 y' ' sin x, y ''(0) 0 y' '' cos x, y '''(0) 1 y IV IV sin x, y ( 0) 0 y V V cos x, y ( 0) 1 y VI VI sin x, y ( 0) 0 y VII VII cos x, y ( 0) 1... Widać, że powtarzają się sekwencje liczb 0,1,0,-1, 0,1,0,-1,... W związku z tym mamy 106

107 sin x 0 1 1! x 0 2! x 2 1 3! x 3 0 4! x 4 1 5! x 5 0 6! x 6 1 7! x 7... n 0 n ( 1) x (2n 1)! Łatwo sprawdzić, że przedziałem zbieżności tego szeregu jest również cała oś liczbowa, więc dla każdego x rzeczywistego prawdziwy jest wzór sin ( 1) n 2n 1 x x. n 0 (2n 1)! 2n 1. Zadanie 3. Podobnie rozwijając w szereg potęgowy Maclaurina funkcję y=cosx otrzymamy n ( 1) 2n prawdziwy na całej osi liczbowej wzór cos x x. (2n)! n 0 Zadanie Rozwiń w szereg potęgowy Maclaurina funkcję y (1 x), x 1. 1 x Oblicz kolejne pochodne i ich wartości w zerze. y ( 0) 1 2 y ' (1 x), y '(0) 1 1! 3 y '' 2(1 x), y ''(0) 2 2! 4 y ''' 6(1 x), y '''(0) 6 3! 5 y IV IV 24(1 x), y ( 0) 24 4! 6 y V V 120(1 x), y ( 0) 120 5! 7 y VI VI 720(1 x), y ( 0) 720 6!... Mamy 1! 2! y 1 x x 1 x 1! 2! ! x 3! 4! x 4! 5! x 5!... 1 x x x x x... n 0 ( 1) n n x. 107

108 Sprawdzimy w jakim zbiorze jest prawdziwy powyższy wzór. W tym celu wyznaczymy n promień zbieżności. Policzmy lim 1 1, więc przedziałem zbieżności tego szeregu jest n n zbiór (-1,1). Łatwo można sprawdzić, że dla x=-1 i dla x=1 szereg potęgowy jest rozbieżny. Wobec tego wzór 1 1 x n 0 ( 1) n x n jest prawdziwy tylko dla x ( 1,1 ). Zadanie 5. 1 Aby rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję y 2 1 2x wykorzystaj zadanie 4. W szeregu n ostatecznie lim n n ( 1) n 2 1 n 0 n ( 1) n x zamiast x wstawimy 1 n n ( 1) 2 2 2x n 0 2, więc x 2 2, 2 2, czyli wzór 1 n ( 1) x n 0 x 2n 2 2x i dostaniemy 1 1 n 2 n ( 1) (2x ) 2 2x n 0.Obliczamy promień zbieżności powstałego szeregu : 1 r. Korzystając twierdzenia 5 dostajemy, że 2 n x 2n jest prawdziwy dla 1 x 2, więc x,. 2 2 i Czyli ( 1) n n x 2 x n 0 dla x ( 1,1 ). Zadanie 6. Aby rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję f(x)= x wykorzystaj rozwinięcie 3 x 1 1 x x 1 x 2 x... n 0 3 n x dla x <1 Zajmijmy się najpierw rozwinięciem x x 3(1 ) 3 1 (1 3 x x x n n 1 x n. 108

109 n n 1 n 1 A teraz f(x)= x x x x. Obliczamy promień zbieżności 3 x n 0 3 n 0 3 n 1 powstałego szeregu : lim n n 1 3 n 1 3, więc r=3. Czyli szereg n 1 1 n 1 n 0 3 x jest zbieżny dla x <3 Zadanie 7. Posługując się twierdzenia 9 rozwiniemy w szereg Maclaurina funkcję y=arctgx. 1 Zwrócić uwagę, że pochodna tej funkcji ( arctgx )' 2 1 x. Z poprzedniego przykładu wiemy, że ( 1) n n x 2 x n 0. Całkując obustronnie w obrębie przedziału zbieżności ( 1,1 ) dostajemy : arctgx 1 1 x ( 1) 2n 1 n n 2n n 2n n 2n 1 dx ( 1) x dx ( 1) x dx ( 1) x C. 2 n 0 n 0 n 0 2n 1 n 0 2n 1 x Podstawiając do obu stron równania ( 1) n 2n 1 arctgx x C x=0 dostajemy, że C=0. n 0 2n 1 Ostatecznie, więc arctgx n 0 n ( 1) x 2n 1 2n 1 w przedziale (-1,1), ponieważ przy całkowaniu promień zbieżności a tym samym przedział zbieżności nie zmienia się. 5)PROJEKT 3: Jak zastosować rozwinięcie funkcji w szereg? Materiały pomocnicze do tematu projektu: a)szczegółowe pytania problemowe: 109

110 - do czego są potrzebne rozwinięcia funkcji w szereg? - w jaki sposób obliczyć wartość liczby e z zadaną dokładnością? - jak wyznaczyć przybliżoną wartość liczby π z dokładnością np. do 0,000001? -jak zbudować tablice funkcji trygonometrycznych np. y = sin x? - w jaki sposób wykonać tablice funkcji y = ln x? - do czego są potrzebne reszty w szeregu? - co to jest promień zbieżności szeregu i do czego jest potrzebny? b)przykładowe zadania: Zadanie 1. Rozwiń w szereg Maclaurina funkcję funkcji jest tą samą funkcją, tzn. x y e. Pochodna dowolnego rzędu tej x ( n) x ( e ) e czyli funkcja jest gładka oraz e 0 1 wzór jest następujący: x n 1 n e 1 x x x... x... x. 1! 2! 3! n! n 0 n! Wyznaczymy promień zbieżności powstałego szeregu potęgowego., więc 1 ( n 1)! n! 1 Mamy lim lim lim 0, czyli r= i przedziałem zbieżności jest cała n 1 n ( n 1)! n n 1 n! oś liczbowa, więc funkcja liczbowej. x y e rozwija się w szereg potęgowy postaci n 0 n! W szczególności jeśli za x podstawimy 1 to otrzymamy wartość liczby e e n! n 0 1 x n na całej osi 110

111 a jeśli chcemy obliczyć wartość e z dokładnością do sumujemy wyrazy których wartość bezwzględna jest większa od Stąd e ponieważ < ! 3! 4! 5! 6! 7! 1 Aby policzyć wartość 2 e 2 1 e 1 1 ( 2) ( 2) 2! z dokładnością do 0,01 należy w rozwinięciu 2 1 ( 2) 3! 3 1 ( 2) 4! 4 1 ( 2) 5! 5 1 ( 2) 6! wystarczy dodać osiem kolejnych razów gdyż 1 ( 2) ! <0.01. x y e za x=-2, stąd 6 1 ( 2) 7! Zadanie 2. Korzystając z rozwinięcia funkcji f(x) = arctgx wyznacz przybliżoną wartość liczby π. Zadanie 3.. Rozwiń funkcję f(x) = w szereg a następnie oblicz przybliżoną wartość Zadanie 4. Wyznacz tablice wartości tangensów dla kątów z przedziału [0; ] z krokiem 0,1. Zadanie 5. Obliczyć: (1)sin 4 1 z dokładnością do 0,0001, (2)cos 4 1 z dokładnością do 0,00001 (3)1/e z dokładnością do 0,

112 posługując się rozwinięciem odpowiedniej funkcji w szereg potęgowy. Zadanie 6 Oszacuj dokładność podanych wzorów przybliżonych (1) e x 1 x 2 x 2 dla 0<x<0, x x (2) sin x x dla x (3) 2 x x 1 1 x 1 dla x

113 Literatura i inne źródła informacji 1.Krysicki W., Włodarski L. :Analiza matematyczna w zadaniach, cz.1, PWN, W-wa, 1994, 2.Minorski W.P. :Zbiór zadań z matematyki wyższej, WNT, W-wa, 1972, 3.Musielakowie H. i J.: Analiza matematyczna, t.i, cz.1 i 2., Wyd. Nauk. UAM, Poznań 1993, 4.Siwek E.: Analiza matematyczna, t.1,wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego, Katowice, 1976, 5.Zaporożec G.I.: Metody rozwiązywania zadań z analizy matematycznej, WNT, W-wa, J. Banaś, S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, Warszawa, WNT, B.P. Demidowicz, Zbiór zadań i ćwiczeń z analizy matematycznej, M. Nauka, L.M. Drużkowski, Analiza matematyczna dla fizyków, t. 1, 2, WUJ, Kraków, G.M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. 1, 2, 3, Warszawa, PWN, W.Kaczor, M.Nowak, Zadania z analizy matematycznej, Warszawa, PWN, W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, Warszawa, PWN, W. Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, Warszawa, PWN,

114 VIII MODUŁ PROJEKTOWY Budujemy osiedle mieszkaniowe czy budowle mogą mieć nietypowe kształty? 1)Wprowadzenie do modułu: Każdy w dzieciństwie lubił bawić się klockami, a jeżeli przy okazji powstawały ciekawe budowle, to radość była jeszcze większa. Mając do dyspozycji takie narzędzie jak geometria przestrzenna, możemy wykonywać projekty w sposób profesjonalny, przy okazji uczymy się ciekawych pojęć, związanych z architekturą i budownictwem. Wielką rolę odgrywają też : sprawność manualna, zdolności artystyczne, przewidywanie i chyba najtrudniejsza sprawność rachunkowa. Gdy staniemy nad makietą osiedla zaplanowanego w całości przez nas, złożonego z budynków i obiektów wykonanych własnoręcznie, radość jest jeszcze większa. A powodem do dumy będzie również umiejętność obliczenia kubatury, powierzchni elewacji czy powierzchni dachów, tych najbardziej wymyślnych w kształcie kopuł, hiperboloid itp. Przez pewien czas będziemy i dziećmi i architektami i budowniczymi czy wreszcie matematykami. Powodzenia! 114

115 2)Cele operacyjne modułu uwzględniające cele we wszystkich projektach: Treści nauczania 1.Wielościany. Graniastosłupy. Ostrosłupy. 2.Bryły obrotowe. Powierzchnia. Kubatura Audyt. 3.Elipsoida, paraboloida, hiperboloida. 4.Pole powierzchni brył. 5.Objętość brył 6.Całka oznaczona. 7.Zastosowanie całki oznaczonej. Cele operacyjne modułu Uczeń potrafi: -obliczać pole powierzchni i objętość graniastosłupów, ostrosłupów oraz brył obrotowych -podać określenia pojęć kubatura i audyt -konstruować modele brył -stosować całki do obliczania pola powierzchni i objętości brył obrotowych -opisywać językiem matematycznym technicznym zagadnienia związane z budownictwem -wyszukać bryły do budowy osiedla mieszkaniowego -uzasadnić do czego jest potrzebne pole powierzchni i objętość brył obrotowych z których zbudowano osiedle -zauważyć w jaki sposób obliczać pole powierzchni i objętość brył obrotowych -stosować całkę oznaczoną do obliczania pól powierzchni i objętości brył obrotowych -wykorzystać wiedzę matematyczną do zagadnień architektonicznych,ekonomicznych i inżynierskich 115

116 -utworzyć plan i makietę osiedla -stosować fachową terminologię do opisu otaczającego nas Świata -wykorzystać narzędzia matematyki i Internet do rozwiązywania problemu 3) PROJEKT 1: Jakie bryły można wykorzystać do budowy osiedla mieszkaniowego? Materiały pomocnicze do tematu projektu: a)szczegółowe pytania problemowe: - jaka jest różnica między bryłą a wielościanem? - jakie są rodzaje wielościanów? - co to są wielościany foremne i ile ich jest? -w jaki sposób powstają bryły obrotowe? - co to są przekroje brył? - kiedy bryła jest wpisana a kiedy opisana na innej bryle? - co powstaje z podziału bryły na części płaszczyzną albo powierzchnią przestrzenną? 116

117 - w jaki sposób powstają: odcinek kulisty, wycinek kulisty, warstwa kulista czy kąt kulisty? - czy każda bryła może być użyta do planowania budowli? - jakie bryły obrotowe otrzymamy wykonując obroty figur płaskich ograniczonych poznanymi wcześniej krzywymi? b)przykładowe zadania: Zadanie 1. Z jaką bryłą kojarzymy kulę ziemską czyli geoidę? Jakie są jej wymiary? 117

118 Zadanie 2. Z obrotu jakich figur płaskich powstają poniższe bryły? TORUS KAPSUŁA BECZKA STOŻEK ŚCIĘTY Zadanie 3. Planujemy domy mieszkalne do naszego osiedla DIAMENT. Każdy z uczniów wykonuje jeden model w skali 1 : 200. Zadanie 4. Planujemy szkołę, przedszkole, sklep MINIMARKET, kościół. Wszystkie modele w skali 1 : 200. Modele brył wykonują uczniowie dobierając się w grupy 2 lub 3 osobowe. Zadanie 5. Przygotowujemy w formie powierzchni wypukło-falistej teren pod budowę. Używamy do tego płyty pilśniowej w skali 1 : 200. Na tym terenie umieszczamy wykonane przez uczniów bryły budowli. 118

119 4)PROJEKT 2: Do czego jest nam potrzebne pole powierzchni i objętości brył z których zbudowano osiedle? Materiały pomocnicze do tematu projektu: a)szczegółowe pytania problemowe: - w jaki sposób obliczamy objętość wielościanów? - jak obliczamy pole powierzchni wielościanów? - co to jest kubatura budynku? - jak obliczamy powierzchnię fasad budynków? - jak obliczamy powierzchnię dachów? - w jaki sposób obliczamy pola przekrojów? - do czego są potrzebne bryły wpisane i opisane na innej bryle? - co to jest kosztorys i do czego służy w budownictwie? 119

120 b)przykładowe zadania: Zadanie 1. Oblicz kubaturę każdego budynku z osobna i wszystkich razem. Zadanie 2. Oblicz powierzchnię wszystkich elewacji. Zadanie 3. Oblicz powierzchnię wszystkich dachów i każdego osobno. Zadanie 4. Wykonaj kalkulację kosztów malowania elewacji wszystkich budynków. Należy odwiedzić sklep z farbami i przynieść cennik wraz z normami użycia farb to znaczy jakiej są wielkości pojemniki z farbą i ile się zużywa farby w przeliczenie na m 2. Zadanie 5. Wykonaj kalkulację kosztów pokrycia dachów różnymi materiałami : blacho dachówką lub dachówkami ceramicznymi. W tym celu należy postępować analogicznie, jak w przypadku malowania elewacji. 120

121 5)PROJEKT 3: W jaki sposób obliczamy pole powierzchni i objętości nietypowych brył np. obrotowych? Materiały pomocnicze do tematu projektu: a)szczegółowe pytania problemowe: - jak obliczamy długość łuku krzywej? - jak obliczamy objętość bryły obrotowej? - w jaki sposób obliczamy pole powierzchni bryły obrotowej? - jaki jest związek równania krzywej z postacią parametryczną w formie układu równań z parametrem? - który wzór jest korzystniejszy do obliczeń objętości i pola, czy w postaci ogólnej, czy w postaci układu parametrycznego? b)przykładowe zadania: Zadanie 1. Jak obliczyć pole powierzchni i objętość powyższych brył obrotowych? KAPSUŁA BECZKA STOŻEK ŚCIĘTY TORUS 121

122 Zadanie 2. Wyprowadź wzór na długość łuku krzywej, objętość i pole powierzchni kuli korzystając z całki oznaczonej. Aby wyznaczyć, przy pomocy całki, pole ograniczone przez daną krzywą. Obliczamy pole zawarte między sinusoidą y = sinx i osią x, w zakresie od 0 do π (zakreskowane na rysunku). P = π π sinx dx = (- cosx) = ( - cos π ) - ( - cos 0 ) = = Szukane pole równe jest 2. Takie wykorzystanie całki do obliczania pola to najprostsze z jej zastosowań. W innych przypadkach, niezależnie od rozwiązania samej całki, trzeba najpierw opisać zadanie odpowiednim równaniem. Aby obliczyć długość L krzywej będącej wykresem jakiejś funkcji y = f(x), w zakresie od x 1 do x 2 : L = x 2 dl x 1 (suma nieskończenie wielu nieskończenie małych elementów dl) Patrząc na rysunek obok, możemy zapisać (na podstawie twierdzenia Pitagorasa): (dl) 2 = (dx) 2 + (dy) 2, czyli (dl) 2 = (dx) 2 + (y'. dx) 2 = (dx) 2. [1 + (y') 2 ] dl = [ 1 + (y') 2 ] 1/2. dx 122

123 Aby znaleźć szukaną długość krzywej, trzeba będzie najpierw obliczyć pochodną y', a następnie całkę oznaczoną L = x 2 [ 1 + (y') 2 ] 1/2. dx x 1 Aby obliczyć objętość bryły: obliczamy objętość górnej połowy kuli z rysunku obok (dla z w zakresie od 0 do R, gdzie R = promień kuli). Dzielimy kulę na okrągłe "plasterki" prostopadłe do osi z i sumujemy ich objętości. Objętość takiego elementarnego "plasterka" to: dv = π r 2. dz ( dz możemy nazwać jego wysokością lub grubością ) Średnica i promień "plasterka" zależy od jego położenia na osi z (z twierdzenia Pitagorasa): r 2 = R 2 - z 2 Mamy więc: dv = π (R 2 - z 2 ) dz, a szukaną przez nas objętość połowy kuli możemy zapisać: R V = π (R 2 - z 2 ) dz 0 Rozwiązanie tej całki nie powinno sprawić trudności (pamiętamy, że stałe można wyłączyć przed znak całki, a całka sumy równa jest sumie całek): 123

124 R R R R 1 V = π R 2 dz - π z 2 dz = (π R 2. z) - (π.. z 3 ) Po podstawieniu z = R (wartości obydwu wyrażeń zerują się dla dolnej granicy całkowania z = 0) otrzymamy: V = π R π R 3 = 2 3. π R 3 czyli objętość całej bryły wynosi: 4 3. π R 3 Zadanie 3. Krzywa y =, -1 x 1, jest łukiem okręgu x 2 + y 2 = 4. Obliczyć pole powierzchni otrzymanej przez obrót tego łuku wokół osi x. Zadanie 4. Oblicz objętość bryły otrzymanej przez obrót obszaru ograniczonego krzywymi y = x 3, y = 8 oraz x = 0 wokół osi y. Zadanie 5. Oblicz objętośd odcinka kuli i jego pole powierzchni, jeżeli kulę o promieniu R przetniemy płaszczyzną odległą od środka kuli o a. 124

125 Zadanie 6. Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót figury ograniczonej elipsą b 2 x 2 + a 2 x 2 = a 2 b 2 dookoła a) osi 0x b) osi 0y Literatura i inne źródła informacji 1.Krysicki W., Włodarski L. :Analiza matematyczna w zadaniach, cz.1, PWN, W-wa, 1994, 2.Minorski W.P. :Zbiór zadao z matematyki wyższej, WNT, W-wa, 1972, 3.Musielakowie H. i J.: Analiza matematyczna, t.i, cz.1 i 2., Wyd. Nauk. UAM, Poznao 1993, 4.Siwek E.: Analiza matematyczna, t.1,wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego, Katowice, 1976, 5.Zaporożec G.I.: Metody rozwiązywania zadao z analizy matematycznej, WNT, W-wa, http://images.google.pl/images?hl=pl&source=hp&q=elipsoida&lr=&u m=1&ie=utf-8&ei=c3qts9_sdyp http://dzamik13.republika.pl/bryly/index.html

126 X MODUŁ PROJEKTOWY Statystyka prawda czy fałsz? 1) Wprowadzenie do modułu: Nikt sobie nie wyobraża funkcjonowania w obecnym Świecie bez statystyki i narzędzi, które zawarte są w chyba najnowszym dziale matematyki. Planujemy budżet domowy, planujemy budżety państw, porównujemy banki, uczelnie, szkoły, nawet przedszkola organizując różnego rodzaju rankingi. Nawet, gdy nauczyciel przygotowuje sprawdzian wiedzy z danego przedmiotu, to przygotowuje zadania, standaryzuje test, opracowuje skalę ocen i na końcu obrabia wyniki, by móc obliczyć średnią, porównać wyniki w klasach w których uczy, aby stwierdzić czy dobrze wykonuje swoją pracę. Potem te wyniki weryfikuje życie, gdy nasi uczniowie radzą sobie w szkołach wyższego typu, rozwijają się, osiągają sukces. Ale statystyka jest również na usługach polityki, te same dane można przedstawić w mniej lub bardziej korzystny sposób, stosując różne skale, czy biorąc pod uwagę inny punkt odniesienia. Można komuś pomóc ale można też zaszkodzić. Stąd tytuł modułu statystyka prawda czy fałsz? Spróbujmy trochę poznać prawdę, trochę pomanipulować, stosując narzędzia statystyczne bez których nie może się obejść ekonomista, czy nowoczesny polityk. 126

127 2)Cele operacyjne modułu uwzględniające cele we wszystkich projektach: Treści nauczania 1.Średnia arytmetyczna, średnia ważona, średnia harmoniczna, średnia geometryczna. 2.Moda i mediana. Stanina. 3.Wariancja i odchylenie standardowe. 4.Rodzaje diagramów. Diagram słupkowy i kołowy. 5.Zmienna losowa. 6.Wykresy funkcji. 7.Krzywa Gaussa. Cele operacyjne modułu Uczeń potrafi: -stosować pojęcia: średnia arytmetyczna, ważona, harmoniczna -obliczyć modę, medianę, wariancję i odchylenie standardowe -sporządzać diagramy słupkowe, kołowe, liniowe -wyszukać pojęcie Staniny -wykonać samodzielnie zadanie (zna wzory) -dokonać interpretacji wyników -interpretować obliczenia -wnioskować na podstawie otrzymanych wyników -przedstawić wyniki sposobem graficznym -rozróżniać średnie -zbierać i przetwarzać dane statystyczne -budować modele statystyczne -zbierać i przetwarzać dane prasowe dla potrzeb statystyki -odczytać i interpretować diagramy umieszczone w Internecie 127

128 -wykorzystać przetworzone dane w zagadnieniach ekonomicznych i bankowości -obrabiać przy pomocy narzędzi statystycznych zjawiska ekonomiczne i z życia wzięte -uzasadnić poprawność rozumowania używając fachowej terminologii 3)PROJEKT 1: Co to znaczy lepsza klasa z matematyki? W jaki sposób na podstawie analizy końcowych ocen z matematyki w dwóch wybranych klasach, można dokonać takiego wyboru? Materiały pomocnicze do tematu projektu: a)szczegółowe pytania problemowe: - jakie są średnie w matematyce i statystyce? - co to jest moda mediana? - czym się różni skala ocen szkolna i staninowa? - co to jest wariancja i odchylenie standardowe? - jakie są sposoby przedstawiania danych statystycznych? - na jakiej podstawie oceniamy, która klasa jest lepsza tzn. osiąga wyższe wyniki w nauce? - w jaki sposób porównać wyniki na maturze z tego samego przedmiotu w dwóch kolejnych latach? - co to jest przyrost wiedzy uczniów danej klasy i jak go zbadać? 128

129 b)przykładowe zadania: Zadanie 1. Dwóch nauczycieli oceniało aktywność pewnych uczniów na lekcji matematyki przydzielając uczniom punkty w skali od 3 do 15. Wyniki podane są w poniższej tabeli Uczeń Ola Roman Ada m Basi a Ani a Ew a Paweł Tome k Zuzi a Al a Kub a Liczba punktów przyznanyc h przez I nauczyciela Liczba punktów przyznanyc h przez II nauczyciela Który z uczniów oceniany jest jako najbardziej przeciętny ( oblicz medianę liczby punktów) i czy u obu nauczycieli jest to ten sam uczeń. Zadanie 2. Przeprowadź dogłębną analizę porównawczą w dwóch klasach np. drugich o podobnym profilu, ze wszystkich przedmiotów. Wykonaj diagramy słupkowe z każdego przedmiotu dla obu klas. Oblicz średnie, medianę i modę oraz odchylenie standardowe. Na podstawie otrzymanych wyników porównaj klasy globalnie, jak również z każdego przedmiotu osobno. 129

130 Zadanie 3. Przeanalizuj wyniki uczniów w przeciągu pobytu w szkole tzn. po pierwszej, po drugiej i po trzeciej klasie ze wszystkich przedmiotów. Wykonaj odpowiednie diagramy słupkowe, oblicz średnie i odchylenie standardowe i na tej podstawie porównaj wyniki za poszczególne lata nauki. Czy na tej podstawie można określić przyrost wiedzy klasy i poszczególnych uczniów z różnych przedmiotów i globalnie? 4)PROJEKT 2: Co to znaczy twarda waluta? Jak ocenić na podstawie notowań euro i dolara do złotego, w okresie np. kwartału, która z walut jest mocniejsza? Materiały pomocnicze do tematu projektu: a)szczegółowe pytania problemowe: - czy warto analizować kursy walut? -co jest bardziej opłacalne inwestowanie w waluty czy w surowce? - która z walut euro czy dolar ma większe znaczenie ekonomiczne? -wolałbyś aby Polska była w strefie euro czy dolara a może złoty powinien pozostać jako środek płatniczy? - czy elementy statystyki można stosowa na giełdzie? - czy porównywanie średnich notowań walut i notowań spółek giełdowych może by przydatne w przewidywaniu krachu finansowego poszczególnych państw? 130

131 b)przykładowe zadania: Zadanie 1. Na podstawie obserwacji (okres np. kwartał) notowań euro i dolara do złotego określ która z tych walut jest mocniejsza wykorzystanie metod statystycznych. Co to znaczy twarda waluta? Korzystając np. ze strony: Tab. nr 247/A/NBP/2009 z dn USD % EUR % Zadanie 2. Korzystając z Internetu przeanalizuj notowania złota, srebra i ropy naftowej w ciągu ostatnich dwóch lat. Wykonaj odpowiednie diagramy. Oblicz średnie, odchylenie standardowe i przyrost wartości. Który z tych surowców uznałbyś za twardą walutę. Czy mając do dyspozycji gotówkę wolałbyś zainwestować w dolary, euro czy w któryś z surowców? Zadanie 3. Zbierz odpowiednie dane z banków i na ich podstawie oceń co to znaczy bank wiarygodny. Czy narzędzia statystyczne pomogą nam w tej ocenie. 131

132 5)PROJEKT 3: W jaki sposób wyniki statystyczne opracowane przy użyciu średnich i odchylenia standardowego, można interpretować? Do czego służą diagramy? Materiały pomocnicze do tematu projektu: a)szczegółowe pytania problemowe: - jakie są diagramy przedstawiające dane statystyczne? - czy średnia arytmetyczna wystarcza do porównania wyników statystycznych? - do czego potrzebna jest wariancja i odchylenie standardowe? - co to jest zmienna losowa? - do czego służy rozkład zmiennej losowej? - co to jest krzywa Gaussa? - czy się różni rozkład punktowy od ciągłego? - jak stosować rozkład w badaniach statystycznych? b)przykładowe zadania: Zadanie 1. Na podstawie wyników matur 10-ciu klas oblicz średnią, wariancję i odchylenie standardowe z poszczególnych przedmiotów, sporządź wykres słupkowy i określ z jakiego przedmiotu klasy zdały maturę najlepiej. Porównaj wyniki ze Staninami podanymi na stronie CKE (zdawalność poszczególnych przedmiotów w skali standardowej dziewiątki) Stopień Opis stopnia skali 9 najwyższy 8 bardzo wysoki 7 wysoki 132

133 6 wyżej średniego 5 średni 4 niżej średni 3 niski 2 bardzo niski 1 najniższy Zadanie 2. Na podstawie wyników z matury np. z matematyki rozszerzonej w dwóch kolejnych latach, wykonaj diagramy kołowe i słupkowe, biorąc pod uwagę klasy z rozszerzonym programem matematyki. Oblicz średnie ocen w skali od 1 do 9. Wyznacz modę, medianę i wariancję wraz z odchyleniem standardowym. Na podstawie powyższych obliczeń oceń, który rocznik był lepszy. Literatura i inne źródła informacji 1.Krysicki W., Włodarski L. :Analiza matematyczna w zadaniach, cz.1, PWN, W-wa, 1994, 2.Minorski W.P. :Zbiór zadań z matematyki wyższej, WNT, W-wa, 1972, 3.Musielakowie H. i J.: Analiza matematyczna, t.i, cz.1 i 2., Wyd. Nauk. UAM, Poznań 1993, 4.A.Plucińska, E.Pluciński :Probabilistyka. Rachunek prawdopodobieństwa. Statystyka. Procesy stochastyczne. WNT, W-wa W.Krysicki,J.Bartos,W.Dyczka,K.Królikowska,M.Wasilewski: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach. Wydawnictwo Naukowe PWN W-wa

134 X MODUŁ PROJEKTOWY Gdy niemożliwe staje się możliwe liczby zespolone 1)Wprowadzenie do modułu: Są pojęcia w matematyce, które są jasne, logiczne zgodne z rzeczywistością, ale i takie które kłócą się ze zdrowym rozsądkiem. Wiemy z historii nauk ścisłych, że inność, nietypowe rozumowanie, nawet wbrew logice prowadziły do postępu wiedzy i odkryć nie tylko naukowych. Swoistą część rozwiązywanych zadań, czy określanych twierdzeń stanowią założenia. Założenia te często ograniczają zakres prawdziwości twierdzenia, a czasami są niezbędne by twierdzenie mogło funkcjonować jako twierdzenie prawdziwe. Zmiana założeń może prowadzić do sprzeczności, ale może też być motorem postępu. Niektóre założenia są tylko po to, by dane zagadnienie miało zastosowanie w innych dziedzinach. Założenia te określam założeniami z wygody. Bo przecież istnieje funkcja wykładnicza f(x) = (-2) x ale jej przydatność jest znikoma, stąd definiujemy funkcje wykładnicze o podstawie dodatniej i różnej od 1. Inaczej wygląda sytuacja z pierwiastkiem kwadratowym. W szkole definiujemy pierwiastek kwadratowy, tylko z liczby nieujemnej. Natomiast w matematyce wyższej łamiąc pewne zasady, wprowadzamy definicją = i czyli tzw. jednostkę urojoną i dzięki temu powstał olbrzymi dział matematyki analiza zespolona. W której podstawowym zbiorem liczbowym jest zbiór liczb zespolonych, będącym rozszerzeniem zbioru liczb rzeczywistych. Bez funkcji zmiennej zespolonej niemożliwy byłby postęp w elektronice a co za tym idzie we wszystkich dziedzinach w których potrzebny jest prąd. 134

135 2)Cele operacyjne modułu uwzględniające cele wszystkich projektów: Treści nauczania 1.Równania kwadratowe. 2.Definicja liczb zespolonych, pojęcie liczb zespolonych Bombelli, Gauss, Hamilton. 3.Interpretacja geometryczna liczb zespolonych. 4.Działania na liczbach zespolonych. 5.Postać trygonometryczna liczby zespolonej. 6.Wzór de Moivre a Potęga i pierwiastek liczby zespolonej. 7.Postać wykładnicza liczby zespolonej. Cele operacyjne modułu Uczeń potrafi: -rozwiązywać równania kwadratowe w zbiorze liczb rzeczywistych -odnaleźć ciekawostki historyczne dotyczące odkrycia liczb zespolonych -znaleźć jednostkę rzeczywistą i urojoną liczby zespolonej -wykonać działania dodawania, mnożenia i dzielenia na liczbach zespolonych -przedstawić w postaci trygonometrycznej liczbę zespoloną -obliczyć potęgę i pierwiastek z liczby zespolonej -rozwiązywać równania kwadratowe w zbiorze liczb zespolonych -przedstawić liczbę zespoloną w różnych postaciach -wykonać działania na liczbach zespolonych przedstawionych w różnych postaciach -przedstawia przekształcenie geometryczne w postaci funkcji zespolonej 135

136 -odnaleźć związek między funkcjami zespolonymi i przekształceniami geometrycznymi -odnaleźć związki geometrii i trygonometrii z liczbami zespolonymi -rozwijać matematyczne myślenie -dostrzegać prawidłowości matematyczne w otaczającym Świecie -korzystać z podręczników akademickich i Internetu 3)PROJEKT 1 : Jak rozwiązać równanie x 2 + px + q = 0? Materiały pomocnicze do tematu projektu: a)szczegółowe pytania problemowe: - co to jest równanie kwadratowe? - jakie są sposoby rozwiązywania równań kwadratowych? - wyprowadź wzory na pierwiastki równania kwadratowego? -czy równanie kwadratowe musi mieć pierwiastek? -czy przy pomocy wzorów Viete a można wyznaczyć pierwiastki trójmianu? - co to jest jednostka urojona a co liczba zespolona? - czy znając liczby zespolone można zawsze rozwiązać równanie kwadratowe? - jak rozwiązać równanie kwadratowe o współczynnikach zespolonych? 136

137 b)przykładowe zadania: Zadanie 1. Wyprowadź wzory na pierwiastki trójmianu kwadratowego y=ax 2 +bx+c oraz y= x 2 +px+q o współczynnikach rzeczywistych. Zadanie 2. Wiedząc, że Δ<0 w trójmianie o współczynnikach rzeczywistych, Wyprowadź wzory na pierwiastki zespolone. Zadanie 3. Rozwiąż równania: x 2 + 2x +5 = 0 oraz x 2 +ix +(i - ) = 0 Zadanie 4. Rozwiąż równanie x 3 + x + 1 = 0 w zbiorze liczb zespolonych. Zadanie 5. Udowodnij twierdzenie : założenie: ax 2 + bx +c = 0 ; a, b, c Є R; Δ<0 teza: pierwiastki równania są liczbami zespolonymi sprzężonymi. 137

138 4)PROJEKT 2 : Jak wykonać działania na liczbach zespolonych, przedstawionych w różnych postaciach? Materiały pomocnicze do tematu projektu: a)szczegółowe pytania problemowe: - jakie są sposoby przedstawienia liczby zespolonej? - co to jest płaszczyzna zespolona? - co to jest cześć rzeczywista i cześć urojona liczby zespolonej? - co to jest moduł a co argument liczby zespolonej? - co to znaczy że zbiór liczb zespolonych jest domknięty ze względu na podstawowe działania? - co to są wzory de Moivre a? - w jaki sposób podnosimy liczbę zespoloną do kwadratu? - jak wykonuje się pierwiastkowanie liczby zespolonej? - jaki jest związek zbioru liczb rzeczywistych ze zbiorem liczb zespolonych? b)przykładowe zadania: Liczby zespolone - liczby składające się z części rzeczywistej ( ) i części urojonej ( ) zapisywane w postaci a+bi gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi zaś liczbę nazywamy liczbą urojoną. Definicja liczby urojonej i = ; i 2 =-1 ;i 4 = 1 138

139 Liczby zespolone możemy interpretować geometrycznie jako punkty płaszczyzny. Płaszczyznę, na której umieszczamy liczby zespolone nazywamy płaszczyznę Gaussa. Liczbę zespoloną możemy przedstawić na płaszczyźnie Gaussa pamiętając, że (część rzeczywista) oraz (część urojona). Liczba zespolona przeciwna do liczby : Liczbę zespoloną sprzężoną do liczby zespolonej. Liczba zespolona. Jej sprzężenie. nazywamy liczbę w postaci Moduł liczby zespolonej to liczba w postaci. Moduł liczby zespolonej w interpretacji geometrycznej jest odległością liczby zespolonej środka płaszczyzny Gaussa. od Istnieje pewna zależność pomiędzy liczbą zespoloną a jej sprzężeniem: = z ponieważ: 139

140 Dzięki zależnością pomiędzy kątem modułem oraz wartościami a i b możemy wyznaczyć postać trygonometryczną liczby zespolonej. więc więc Postać trygonometryczna liczby zespolonej. Podstawowe działania na liczbach zespolonych: - dodawanie liczb zespolonych: - odejmowanie liczb zespolonych: - mnożenie liczb zespolonych: - dzielenie liczb zespolonych: 140

141 Zadanie 1. a\ Zaznacz w układzie współrzędnych następujące punkty: b\ spełniające zależność. Zadanie 2. Dane są następujące liczby zespolone: a=5+2i ; b=i+3; c=i ; d=2 Wykonaj działania: a +b=? b -c=? =? (a+c)(b-c) =? a 2 =? =? Zadanie 3. z 1 =3 3i Wyznacz moduły i argumenty liczb zespolonych : z 2 =1 + i z 3 = 2i Zadanie 4. Udowodnij, że następujące związki są prawdziwe: 141

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy

Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy Wariant nr (klasa I 4 godz., klasa II godz., klasa III godz.) Klasa I 7 tygodni 4 godziny = 48 godzin Lp. Tematyka zajęć

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe W rezultacie kształcenia matematycznego uczeń potrafi: Osiągnięcia ponadprzedmiotowe Umiejętności konieczne i podstawowe czytać teksty w stylu matematycznym wykorzystywać słownictwo wprowadzane przy okazji

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II A ROK SZKOLNY 2013/2014 - ZAKRES PODSTAWOWY 1. FUNKCJA KWADRATOWA rysuje wykres funkcji i podaje jej własności sprawdza algebraicznie, czy dany punkt należy

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych.

MATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. MATEMATYKA Z SENSEM Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Klasa I Zakres podstawowy i rozszerzony Wymagania konieczne (K)

Bardziej szczegółowo

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum - nie potrafi konstrukcyjnie podzielić odcinka - nie potrafi konstruować figur jednokładnych - nie zna pojęcia skali - nie rozpoznaje figur jednokładnych

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.)

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.) Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. godz. = 76 godz.) I. Funkcja i jej własności.4godz. II. Przekształcenia wykresów funkcji...9 godz. III. Funkcja

Bardziej szczegółowo

Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego 2013 r. Test matematyczno-przyrodniczy (matematyka) Test GM-M1-132

Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego 2013 r. Test matematyczno-przyrodniczy (matematyka) Test GM-M1-132 Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego 2013 r. Test matematyczno-przyrodniczy (matematyka) Test GM-M1-132 Zestaw zadań z zakresu matematyki posłużył w dniu 24 kwietnia 2013 roku do sprawdzenia u uczniów

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008 Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5

Bardziej szczegółowo

Otylia Pulit-Parszewska Metoda projektu w pracy z uczniem zdolnym

Otylia Pulit-Parszewska Metoda projektu w pracy z uczniem zdolnym Otylia Pulit-Parszewska Metoda projektu w pracy z uczniem zdolnym Metoda projektu pojawiła się w edukacji na początku XX wieku i miała na celu stworzenie uczniowi warunków, w których mógłby samodzielnie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM Na ocenę dopuszczającą uczeń umie : WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM stosować cztery podstawowe działania na liczbach wymiernych, zna kolejność wykonywania działań

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony

MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony MATEMATYKA KL II LO zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka cz.1. Zakres podstawowy

MATeMAtyka cz.1. Zakres podstawowy MATeMAtyka cz.1 Zakres podstawowy Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania (W). Wymienione

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16

Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16 Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16 PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające

Bardziej szczegółowo

Matematyka 2 wymagania edukacyjne

Matematyka 2 wymagania edukacyjne Matematyka wymagania edukacyjne Zakres podstawowy POZIOMY WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Z E S Z Y T M E T O D Y C Z N Y Miejski

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Poznać, zrozumieć. Zakres podstawowy Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Klasa 1

Matematyka. Poznać, zrozumieć. Zakres podstawowy Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Klasa 1 Matematyka. Poznać, zrozumieć. Zakres podstawowy Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Klasa 1 Matematyka Poznać, zrozumieć. Zakres podstawowy Klasa 1 Liceum i technikum Katalog

Bardziej szczegółowo

Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego

Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego 1. Liczby rzeczywiste P1.1. Przedstawianie liczb rzeczywistych w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego,

Bardziej szczegółowo

PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne

PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń używa języka matematycznego

Bardziej szczegółowo

Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.)

Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.) IV etap edukacyjny Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.01 r.) Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania

Przedmiotowy system oceniania Przedmiotowy system oceniania gimnazjum - matematyka Opracowała mgr Katarzyna Kukuła 1 MATEMATYKA KRYTERIA OCEN Kryteria oceniania zostały określone przez podanie listy umiejętności, którymi uczeń musi

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA KL I LO zakres podstawowy i rozszerzony

MATEMATYKA KL I LO zakres podstawowy i rozszerzony MATEMATYKA KL I LO zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania

Bardziej szczegółowo

Ułamki i działania 20 h

Ułamki i działania 20 h Propozycja rozkładu materiału Klasa I Razem h Ułamki i działania 0 h I. Ułamki zwykłe II. Ułamki dziesiętne III. Ułamki zwykłe i dziesiętne. Przypomnienie wiadomości o ułamkach zwykłych.. Dodawanie i odejmowanie

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć. Kształcenie w zakresie podstawowym.

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć. Kształcenie w zakresie podstawowym. Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego

Bardziej szczegółowo

Jolanta Widzińska Zespół Szkół Ogólnokształcących w Żorach

Jolanta Widzińska Zespół Szkół Ogólnokształcących w Żorach www.awans.net Publikacje nauczycieli Jolanta Widzińska Zespół Szkół Ogólnokształcących w Żorach Program nauczania matematyki dla 3 letniego liceum ogólnokształcącego dla dorosłych (po zasadniczej szkole

Bardziej szczegółowo

Wymagania eduka cyjne z matematyki

Wymagania eduka cyjne z matematyki Wymagania eduka cyjne z matematyki Klasa I - program Matematyka z plusem" Dział: LICZ B Y I DZIAŁANIA porównywać liczby wymierne, zaznaczać liczby wymierne na osi liczbowej, zamieniać ułamki zwykłe na

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki

Wymagania edukacyjne z matematyki Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa I - program Matematyka z plusem" Dział: LICZBY I DZIAŁANIA Poziom konieczny - ocena dopuszczająca porównywać liczby wymierne, zaznaczać liczby wymierne na osi liczbowej,

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami

Bardziej szczegółowo

klasa III technikum I. FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA Wiadomości i umiejętności

klasa III technikum I. FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA Wiadomości i umiejętności I. FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA - zna i rozumie pojęcia, zna własności figur: ogólne równanie prostej, kierunkowe równanie prostej okrąg, równanie okręgu - oblicza odległość dwóch punktów na płaszczyźnie -

Bardziej szczegółowo

PROPOZYCJA PLANU WYNIKOWEGOREALIZACJI PROGRAMU NAUCZANIA Matematyka przyjemna i pożyteczna W DRUGIEJ KLASIE SZKOŁY PONADGIMNAZJALNEJ

PROPOZYCJA PLANU WYNIKOWEGOREALIZACJI PROGRAMU NAUCZANIA Matematyka przyjemna i pożyteczna W DRUGIEJ KLASIE SZKOŁY PONADGIMNAZJALNEJ OOZYCJA LANU WYNIKOWEGOEALIZACJI OGAMU NAUCZANIA Matematyka przyjemna i pożyteczna W DUGIEJ KLASIE SZKOŁY ONADGIMNAZJALNEJ ZAKES OZSZEZONY DZIAŁ I: CIĄGI Tematyka jednostki lekcyjnej lub Liczba oziomy

Bardziej szczegółowo

Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Celujący

Dopuszczający Dostateczny Dobry Bardzo dobry Celujący Liczby i wyrażenia zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej zna pojęcie liczby niewymiernej, rzeczywistej zna sposób zaokrąglania liczb umie zapisać i odczytać liczby naturalne dodatnie w systemie

Bardziej szczegółowo

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA oprac. I. Gorgol Spis treści. Elementy logiki. Elementy rachunku zbiorów 4. Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory. 4 4. Funkcja złożona i odwrotna 6 5. Granica ciągu liczbowego

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 1

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 1 Matematyka Liczy się matematyka Klasa klasa Rozdział. Liczby zamienia liczby dziesiętne skończone na ułamki zwykłe i liczby mieszane zapisuje ułamek zwykły w postaci ułamka dziesiętnego skończonego porównuje

Bardziej szczegółowo

PROGRAM KLASY Z ROZSZERZONĄ MATEMATYKĄ

PROGRAM KLASY Z ROZSZERZONĄ MATEMATYKĄ PROGRAM KLASY Z ROZSZERZONĄ MATEMATYKĄ ALGEBRA Klasa I 3 godziny tygodniowo Klasa II 4 godziny tygodniowo Klasa III 3 godziny tygodniowo A. Liczby (24) 1. Liczby naturalne i całkowite. a. Własności, kolejność

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie rozszerzonym. Klasa 3 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania z matematyki w klasie pierwszej w roku szkolnym 2015/2016

Kryteria oceniania z matematyki w klasie pierwszej w roku szkolnym 2015/2016 Kryteria oceniania z matematyki w klasie pierwszej w roku szkolnym 2015/2016 1) Liczby - zamienia liczby dziesiętne skończone na ułamki zwykłe i liczby mieszane, - zapisuje ułamek zwykły w postaci ułamka

Bardziej szczegółowo

Kurs Start plus - matematyka poziom podstawowy, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.

Kurs Start plus - matematyka poziom podstawowy, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1. Projekt Fizyka Plus nr POKL.04.0.0-00-034/ współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Kurs Start plus - matematyka

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM

KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM Na stopień dostateczny uczeń powinien umieć: Arytmetyka - zamieniać procent/promil na liczbę i odwrotnie, - zamieniać procent na promil i odwrotnie, - obliczać

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony

MATeMAtyka 3. Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony Agnieszka Kamińska, Dorota Ponczek MATeMAtyka 3 Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Zakres podstawowy i rozszerzony Wyróżnione zostały następujące wymagania

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne klasa trzecia.

Wymagania edukacyjne klasa trzecia. TEMAT Wymagania edukacyjne klasa trzecia. WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Lekcja organizacyjna System dziesiątkowy System rzymski Liczby wymierne i niewymierne

Bardziej szczegółowo

KLASA 3 Wiedza i umiejętności ucznia na poszczególne oceny

KLASA 3 Wiedza i umiejętności ucznia na poszczególne oceny Kryteria oceniania z matematyki KLASA 3 Wiedza i umiejętności ucznia na poszczególne oceny Arytmetyka: Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który potrafi : - określić pojęcie liczby naturalnej, całkowitej,

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie zaznaczać liczbę

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych ocen śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki klasa 1 gimnazjum

Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych ocen śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki klasa 1 gimnazjum edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych ocen śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki klasa 1 gimnazjum Semestr I Stopień Rozdział 1. Liczby Zamienia liczby dziesiętne na ułamki

Bardziej szczegółowo

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe Osiągnięcia ponadprzedmiotowe W rezultacie kształcenia matematycznego w klasie 2 gimnazjum uczeń potrafi: Umiejętności konieczne i podstawowe czytać teksty w stylu matematycznym tworzyć teksty w stylu

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY SIERPIEŃ 2014. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY SIERPIEŃ 2014. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 03 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Instrukcja

Bardziej szczegółowo

SYLABUS PRZEDMIOTU MATEMATYKA W RAMACH ZAJ

SYLABUS PRZEDMIOTU MATEMATYKA W RAMACH ZAJ SYLABUS PRZEDMIOTU MATEMATYKA W RAMACH ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU BUDOWNICTWA WNT UWM W ROKU AKADEMICKIM 2012/2013 Nazwa przedmiotu: Zajęcia wyrównawcze z matematyki Rodzaj studiów:

Bardziej szczegółowo

Podstawa programowa przedmiotu MATEMATYKA. III etap edukacyjny (klasy I - III gimnazjum)

Podstawa programowa przedmiotu MATEMATYKA. III etap edukacyjny (klasy I - III gimnazjum) Podstawa programowa przedmiotu MATEMATYKA III etap edukacyjny (klasy I - III gimnazjum) Cele kształcenia wymagania ogólne: I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje i tworzy teksty o

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania z matematyki dla klasy III LO poziom podstawowy, na podstawie programu nauczania DKOS- 5002-05/08

Kryteria oceniania z matematyki dla klasy III LO poziom podstawowy, na podstawie programu nauczania DKOS- 5002-05/08 Kryteria oceniania z matematyki dla klasy III LO poziom podstawowy, na podstawie programu nauczania DKOS- 5002-05/08 1. Oprocentowanie lokat i kredytów - zna pojęcie procentu prostego i składanego; - oblicza

Bardziej szczegółowo

klasa I Dział Główne wymagania edukacyjne Forma kontroli

klasa I Dział Główne wymagania edukacyjne Forma kontroli semestr I 2007 / 2008r. klasa I Liczby wymierne Dział Główne wymagania edukacyjne Forma Obliczenia procentowe Umiejętność rozpoznawania podzbiorów zbioru liczb wymiernych. Umiejętność przybliżania i zaokrąglania

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM NA OCENĘ DOPUSZCZJĄCĄ UCZEN: zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA KONIECZNE - OCENA DOPUSZCZAJĄCA:

WYMAGANIA KONIECZNE - OCENA DOPUSZCZAJĄCA: WYMAGANIA KONIECZNE - OCENA DOPUSZCZAJĄCA: zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie zaznaczać liczbę wymierną na osi liczbowej umie

Bardziej szczegółowo

Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne

Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne Na pytania odpowiada się tak lub nie poprzez wpisanie odpowiednio T bądź N w pole obok pytania. W danym trzypytaniowym zestawie możliwa jest dowolna kombinacja

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KLASA I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KLASA I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KLASA I GIMNAZJUM na rok szkolny 2014/2015 Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny: (na każdą wyższą ocenę obowiązują również wiadomości na oceny niższe oraz wiadomości

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału nauczania

Rozkład materiału nauczania Dział/l.p. Ilość godz. Typ szkoły: TECHNIKUM Zawód: TECHNIK USŁUG FRYZJERSKICH Rok szkolny 2015/2016 Przedmiot: MATEMATYKA Klasa: III 2 godz/tyg 30 = 60 godzin Rozkład materiału nauczania Temat I. LOGARYTMY

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VI ROK SZKOLNY 2015/2016 PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLAS 4 6 SZKOŁY PODSTAWOWEJ

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VI ROK SZKOLNY 2015/2016 PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLAS 4 6 SZKOŁY PODSTAWOWEJ WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VI ROK SZKOLNY 2015/2016 PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLAS 4 6 SZKOŁY PODSTAWOWEJ REALIZOWANY PRZY POMOCY PODRĘCZNIKA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY VI I.

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki

Wymagania edukacyjne z matematyki Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa III program Matematyka z plusem Dział: LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE POZIOM KONIECZNY - ocena dopuszczająca Uczeń umie: szacować wyniki działań, zaokrąglać liczby

Bardziej szczegółowo

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych zad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 odp A C C C A A B B C B D A 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C C A B A D C B

Bardziej szczegółowo

KARTA KURSU. Mathematics

KARTA KURSU. Mathematics KARTA KURSU Nazwa Nazwa w j. ang. Matematyka Mathematics Kod Punktacja ECTS* 4 Koordynator Dr Maria Robaszewska Zespół dydaktyczny dr Maria Robaszewska Opis kursu (cele kształcenia) Celem kursu jest zapoznanie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY /

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY / WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI / POZIOM PODSTAWOWY / Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem powinny być opanowane przez każdego ucznia. Wymagania

Bardziej szczegółowo

ZAŁOŻENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE II ( zakres podstawowy)

ZAŁOŻENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE II ( zakres podstawowy) 1 ZAŁOŻENIA DO PLANU RALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE II ( zakres podstawowy) Program nauczania: Matematyka z plusem Liczba godzin nauki w tygodniu: 3 Planowana liczba godzin w ciągu roku:

Bardziej szczegółowo

PROGRAM AUTORSKI ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI OPRACOWANY PRZEZ MGR ANNĘ JAKUBOWICZ

PROGRAM AUTORSKI ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI OPRACOWANY PRZEZ MGR ANNĘ JAKUBOWICZ PROGRAM AUTORSKI ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI OPRACOWANY PRZEZ MGR ANNĘ JAKUBOWICZ WPROWADZENIE W projekcie Kierunek zamawiany Informatyka stosowana zaplanowane są zajęcia wyrównawcze z matematyki.

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI SIERPIEŃ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 00 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA LICEUM. 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń:

MATEMATYKA LICEUM. 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń: MATEMATYKA LICEUM Stopień niedostateczny otrzymuje uczeń, który nie opanował wiadomości i umiejętności określonych w podstawie programowej i braki uniemożliwiają dalsze zdobywanie wiedzy z tego przedmiotu,

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY Rozwiązania zadań Arkusz maturalny z matematyki nr POZIOM PODSTAWOWY Zadanie (pkt) Sposób I Skoro liczba jest środkiem przedziału, więc odległość punktu x od zapisujemy przy pomocy wartości bezwzględnej.

Bardziej szczegółowo

SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA I 2015/2016

SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA I 2015/2016 SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA I 2015/2016 Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: (Liczby i działania) zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA I GIMNAZJUM

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA I GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA I GIMNAZJUM OCENA DOPUSZCZAJĄCA pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej, pojęcia: rozwinięcie dziesiętne skończone, nieskończone, okres, algorytm zaokrąglania

Bardziej szczegółowo

Wymagania z matematyki na poszczególne oceny III klasy gimnazjum

Wymagania z matematyki na poszczególne oceny III klasy gimnazjum Wymagania z matematyki na poszczególne oceny III klasy gimnazjum Opracowano na podstawie planu realizacji materiału nauczania matematyki Matematyka Podręcznik do gimnazjum Nowa wersja Praca zbiorowa pod

Bardziej szczegółowo

Matematyka zajęcia fakultatywne (Wyspa inżynierów) Dodatkowe w ramach projektu UE

Matematyka zajęcia fakultatywne (Wyspa inżynierów) Dodatkowe w ramach projektu UE PROGRAM ZAJĘĆ FAKULTATYWNYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU SYLABUS Nazwa uczelni: Wyższa Szkoła Przedsiębiorczości i Administracji w Lublinie ul. Bursaki 12, 20-150 Lublin Kierunek Rok studiów Informatyka

Bardziej szczegółowo

ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI DLA KLASY II GIMNAZJUM W ZAKRESIE WYMAGAŃ KONIECZNYCH I PODSTAWOWYCH

ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI DLA KLASY II GIMNAZJUM W ZAKRESIE WYMAGAŃ KONIECZNYCH I PODSTAWOWYCH ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI DLA KLASY II GIMNAZJUM W ZAKRESIE WYMAGAŃ KONIECZNYCH I PODSTAWOWYCH Opracowała: nauczyciel matematyki mgr Małgorzata Drejka Legionowo 007 SPIS TREŚCI ALGEBRA potęgi i pierwiastki

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II gimnazjum wg programu Matematyka z plusem

Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II gimnazjum wg programu Matematyka z plusem Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II gimnazjum wg programu Matematyka z plusem pojęcie potęgi o wykładniku naturalnym wzór na mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach wzór na potęgowanie

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 014 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 1

Bardziej szczegółowo

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź.

ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska. 2 3x. 2. Sformułuj odpowiedź. ZADANIA MATURALNE - ANALIZA MATEMATYCZNA - POZIOM ROZSZERZONY Opracowała - mgr Danuta Brzezińska Zad.1. (5 pkt) Sprawdź, czy funkcja określona wzorem x( x 1)( x ) x 3x dla x 1 i x dla x 1 f ( x) 1 3 dla

Bardziej szczegółowo

Egzamin gimnazjalny 2015 część matematyczna

Egzamin gimnazjalny 2015 część matematyczna Egzamin gimnazjalny 2015 część matematyczna imię i nazwisko Kalendarz gimnazjalisty Tydz. Dział start 22.09 29 26.09 Przygotowanie do pracy zapoznanie się z informacjami na temat egzaminu gimnazjalnego

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI

WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ Geoinżynierii, Górnictwa i Geologii KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim Wstęp do analizy i algebry Nazwa w języku angielskim Introduction to analysis and algebra Kierunek studiów

Bardziej szczegółowo

Dopuszczający. Opracowanie: mgr Michał Wolak 2

Dopuszczający. Opracowanie: mgr Michał Wolak 2 Dopuszczający zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie porównywać liczby wymierne proste przypadki umie zaznaczać liczbę wymierną na

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI GIMNAZJUM KLASA III Zgodnie z programem Matematyka z plusem

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI GIMNAZJUM KLASA III Zgodnie z programem Matematyka z plusem Liczby i wyrażenia algebraiczne WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI GIMNAZJUM KLASA III Zgodnie z programem Matematyka z plusem zna pojęcie notacji wykładniczej umie oszacować wynik działań umie zaokrąglić

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM OCENA DOPUSZCZAJĄCA I DZIAŁ; LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania z zakresu klasy pierwszej opracowane w oparciu o program Matematyki z plusem dla Gimnazjum

Kryteria oceniania z zakresu klasy pierwszej opracowane w oparciu o program Matematyki z plusem dla Gimnazjum Kryteria oceniania z zakresu klasy pierwszej opracowane w oparciu o program Matematyki z plusem dla Gimnazjum DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA HASŁO PROGRAMOWE WIADOMOŚCI I UMIEJĘTNOŚCI PODSTAWOWE WIADOMOŚCI

Bardziej szczegółowo

PŁOCKA MIĘDZYGIMNAZJALNA LIGA PRZEDMIOTOWA MATEMATYKA marzec 2013

PŁOCKA MIĘDZYGIMNAZJALNA LIGA PRZEDMIOTOWA MATEMATYKA marzec 2013 PŁOCKA MIĘDZYGIMNAZJALNA LIGA PRZEDMIOTOWA MATEMATYKA marzec 03 KARTA PUNKTACJI ZADAŃ (wypełnia komisja konkursowa): Numer zadania Zad. Zad. SUMA PUNKTÓW Poprawna Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 Zad. 6 Zad. 7 odpowiedź

Bardziej szczegółowo

Wymagania z matematyki, poziom podstawowy. nowa podstawa programowa

Wymagania z matematyki, poziom podstawowy. nowa podstawa programowa z matematyki, poziom podstawowy nowa podstawa programowa Nauczyciel matematyki: mgr Joanna Nowaczyk Zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory ponad potrafi odróżnić zdanie logiczne od innej wypowiedzi;

Bardziej szczegółowo

egzaminu gimnazjalnego z matematyki dla uczniów klas IIIA

egzaminu gimnazjalnego z matematyki dla uczniów klas IIIA PROJEKT EDUKACYJNY ROK SZK. 2011/2012 Program zajęć przygotowujących do egzaminu gimnazjalnego z matematyki dla uczniów klas IIIA Opracowanie: Jadwiga Głazman Projekt zajęć przygotowujących do egzaminu

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

Typ szkoły: ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA Rok szkolny 2015/2016 Zawód: FRYZJER, CUKIERNIK, PIEKARZ, SPRZEDAWCA, FOTOGRAF i inne zawody.

Typ szkoły: ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA Rok szkolny 2015/2016 Zawód: FRYZJER, CUKIERNIK, PIEKARZ, SPRZEDAWCA, FOTOGRAF i inne zawody. Typ szkoły: ZASADNICZA SZKOŁA ZAWODOWA Rok szkolny 05/06 Zawód: FRYZJER, CUKIERNIK, PIEKARZ, SPRZEDAWCA, FOTOGRAF i inne zawody Przedmiot: MATEMATYKA Klasa I (60 godz) Rozdział. Liczby rzeczywiste Numer

Bardziej szczegółowo

GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI

GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI Klasa I Liczby i działania wskazać liczby naturalne, całkowite, wymierne zaznaczyć liczbę wymierną na osi liczbowej podać liczbę przeciwną do danej

Bardziej szczegółowo