Miary ryzyka a dualna teoria użyteczności Yaariego

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Miary ryzyka a dualna teoria użyteczności Yaariego"

Transkrypt

1 Uniwersytet Wrszwski Wydził Mtemtyki, Informtyki i Mechniki Jonn Dys Nr lbumu: Miry ryzyk duln teori użyteczności Yriego Prc mgistersk n kierunku MATEMATYKA Prc wykonn pod kierunkiem dr hb. Wojciech Otto, prof. UW Wydził Nuk Ekonomicznych Sierpień 21

2 Oświdczenie kierującego prcą Potwierdzm, że niniejsz prc zostł przygotown pod moim kierunkiem i kwlifikuje się do przedstwieni jej w postępowniu o ndnie tytułu zwodowego. Dt Podpis kierującego prcą Oświdczenie utor (utorów) prcy Świdom odpowiedzilności prwnej oświdczm, że niniejsz prc dyplomow zostł npisn przeze mnie smodzielnie i nie zwier treści uzysknych w sposób niezgodny z obowiązującymi przepismi. Oświdczm również, że przedstwion prc nie był wcześniej przedmiotem procedur związnych z uzyskniem tytułu zwodowego w wyższej uczelni. Oświdczm pondto, że niniejsz wersj prcy jest identyczn z złączoną wersją elektroniczną. Dt Podpis utor (utorów) prcy

3 Streszczenie Celem niniejszej prcy jest przedstwienie miry ryzyk rynkowego, pozostjącej w zgodzie z klsycznymi postultmi teorii ryzyk, jk i dulną teorią użyteczności, sformułowną przez Yri ego. Zostnie zprezentown reguł skłdki ubezpieczeniowej zdefiniown przez Wng. Wykżemy między innymi, że skłdk Wng jest koherentną mirą ryzyk, więc może być efektywnym nrzędziem wyceny w zstosownich finnsowo-ubezpieczeniowych. Wynik ten jest uściśleniem i uporządkowniem rezultów z kilku prc z zkresu teorii ryzyk i ubezpieczeń. Słow kluczowe koherentność, mir ryzyk, duln teori użyteczności, skłdk Wng, komonotoniczność 11.5 Nuki kturilne Dziedzin prcy (kody wg progrmu Socrtes-Ersmus) Klsyfikcj temtyczn 91 Gme theory, economics, socil nd behviorl sciences 91B Mthemticl economics For econometrics 91B3 Risk theory, insurnce Risk mesures in Yri s dul utility theory Tytuł prcy w języku ngielskim

4

5 Spis treści Wprowdzenie Miry ryzyk Formlizcj ryzyk Miry monetrne, koherentne i wypukłe Monotoniczność Domincj stochstyczn Porządek cięci strt Komonotoniczność Definicj Komonotoniczność miry ryzyk Grnice Fréchet Związek z porządkiem cięci strt Teori oczekiwnej użyteczności i teori duln Yriego Rozwój teorii użyteczności Podstwowe ksjomty wyborów decydent Teori oczekiwnej użyteczności Aksjomt niezleżności i jego interpretcj Twierdzenie o reprezentcji Awersj do ryzyk Teori duln Aksjomt niezleżności i jego interpretcj Twierdzenie o reprezentcji Niezleżność komonotoniczność Związek funkcji dulnej z klsyczną funkcją użyteczności Awersj do ryzyk Skłdk Wng Definicj Włsności monetrne Silniejsze włsności monotoniczności Skłdk Wng domincj stochstyczn Skłdk Wng porządek cięci strt Addytywność i podddytywność Addytywność względem wrstw Addytywność dl komonotonicznych ryzyk Dowód podddytywności

6 Podsumownie Bibliogrfi

7 Wprowdzenie Istotą ubezpieczeń jest zrządznie ryzykiem. Ryzyko ubezpieczeniowe, zdefiniowne w 1966 r. przez Komisję do sprw Terminologii Ubezpieczeniowej USA jko niepewność co do dnego zdrzeni w wrunkch co njmniej dwóch możliwości (por. [Śliw2]), towrzyszy nie tylko kżdej dziłlności gospodrczej, le również osobom prywtnym w codziennym życiu. Instytucje ubezpieczeniowe oferują redukcję tej niepewności, przez przejęcie ewentulnych przyszłych strt z określoną stłą opłtę, zwną skłdką sme zś dzięki gregcji dużej liczby polis są w stnie rozproszyć dne ryzyko pomiędzy grupę ubezpieczonych. Aby móc określić wysokość skłdki ubezpieczeniowej, zkłd ubezpieczeń stje przed trudnym zdniem wyceny przyszłych losowych wypłt. Z jkością tej wyceny bezpośrednio związn jest kwesti wielkości kpitłu ubezpieczyciel i jego wypłclności. Formlnie, decyzj zkłdu sprowdz się do wyboru funkcji mierzącej ryzyko, któr wyzncz regułę nliczni skłdki. Wybór ten musi być jednk kceptowlny zrówno w punktu widzeni ubezpieczyciel, jk i ubezpieczonego w przeciwnym wypdku zkup polisy nie dojdzie do skutku. Wybór reguły nliczni skłdki jest ztem problemem stojącym n pogrniczu teorii ryzyk i teorii wyboru konsument. Celem niniejszej prcy jest skonfrontownie finnsowego podejści do mir ryzyk ze stosunkowo nową teorią wyboru konsument w wrunkch ryzyk, zwną dulną teorią użyteczności, sformułowną przez Menhem Yriego w [Y87]. Zsdniczą motywcję stnowi corz większe zinteresownie ekonomistów koncepcjmi lterntywnymi do klsycznej konstrukcji oczekiwnej użyteczności von Neumnn Morgenstern. Jk się okże, przeformułownie złożeń stojących z klsyczną teorią, prowdzi do zsdniczo innej postcji funkcji użyteczności i umożliwi rozdzielenie włsności, które w teorii oczekiwnej użyteczności były nierozerwlne. Prc jest podzielon temtycznie n trzy rozdziły. W rozdzile pierwszym przedstwion zostnie koncepcj miry ryzyk. N podstwie obszernej litertury przytoczymy ksjomty i włsności, które powinen spełnić funkcjonł, wycenijący losowe wypłty w sposób efektywny i zgodny z postultmi prktyki finnsowej i ubezpieczeniowej. W rozdzile drugim przedstwimy rozwżni dotyczące wyboru konsument w wrunkch ryzyk. Sformułown zostnie zrówno klsyczn teori oczekiwnej użyteczności, jk i duln teori Yriego. Pokrótce omówimy tkże podobieństw i różnice między obydwiem teorimi. W rozdzile trzecim przedstwion zostnie reguł skłdki, któr pozostje w zgodzie z dulną teorią użyteczności, zwn skłdką Wng. Pokżemy, że skłdk Wng spełni podstwowe ksjomty mir ryzyk, więc jest ogniwem łączącym wycenę ubezpieczeniową z teorią wyboru konsument. Njwżniejszym wynikiem prcy jest dowód koherentności miry Wng, którego kluczową częścią jest uzsdnienie podddytywności tej reguły skłdki. 5

8 W dotychczsowej literturze nie jest znny bezpośredni dowód podddytywności skłdki Wng dl jej ogólnej postci. 1 Pierwsze prwidłowe uzsdnienie pojwiło się w [Wng98]. Dowód ten odwoływł się do wielu ogólniejszych wyników, sformułownych w innych prcch z pokrewnych dziedzin, korzystł również z pewnych skrótów i uproszczeń. Jednym z celów niniejszej prcy jest ztem uporządkownie i uzupełnienie o niezbędne uzsdnieni wszystkich twierdzeń i lemtów, potrzebnych do dowodu podddytywności skłdki Wng orz weryfikcj jego poprwności. Większość rezulttów zprezentownych w niniejszej prcy jest oprt n wcześniejszych dokonnich w bdnej dziedzinie. W zkresie teorii ryzyk jest to przede wszystkim pozycj Artzner et l., definując koherentną mirę ryzyk. Istotne dl dlszych rozwżń okzły się też bdni dotyczące komonotoniczności, z których njwżniejsze koncentrowły się wokół bdczy z belgijskiego Leuven (Dhene, Gooverts, Ks i inni). W zkresie teorii wyboru konsument, podstwowym źródłem był oczywiście prc Yriego, definiując dulną użyteczność. Ze względu n temtykę ubezpieczeniową, njwżniejszymi pozycjmi bibliogrficznymi były jednk prce Wng, dotyczące zrówno reguły skłdki, jk i komonotoniczności orz zchowni porządków n zbiorze ryzyk. Podziękowni Szczególne wyrzy wdzięczności, zrówno z zinteresownie mnie zgdnienimi teorii ryzyk, jk i opiekę nd prcą kieruję do mojego promotor, profesor Wojeciech Otto. 1 Dl większości typowych reguł skłdek, tkich, jk np. Vlue-t-Risk, czy reguł odchyleni stndrdowego podddytywność bądź jej brk jest wykzywn bezpośrednio. 6

9 Rozdził 1 Miry ryzyk W niniejszym rozdzile zjmiemy się pojęciem miry ryzyk, tj. funkcji służącej wycenie przyszłych losowych wypłt. Wstęp do rozwżń stnowi formln mtemtyczn definicj. Nstępnie, zjmiemy się rozwżnimi n temt włsności miry ryzyk, które umożliwią zstosownie jej w prktyce finnsowo ubezpieczeniowej. Zgdnienie redukuje się do zwężeni klsy mir do funkcjonłów kceptowlnych z prktycznego punktu widzeni, przez określenie ksjomtów, które porządn, czy też pożądn mir ryzyk powinn spełnić. Aksjomty mir ryzyk zostły podzielone zostły n trzy ktegorie, opisne w kolejnych podrozdziłch. Pierwsz grup definiuje koherentną mirę ryzyk szczególnie istotną koncepcję w rozwżnich finnsowo-ubezpieczeniowych. Nstępnie omówimy dw podstwowe ksjomty silnej monotoniczności miry ryzyk, czyli włsności zchowni pewnych porządków, wprowdzonych n zbiorze ryzyk. Osttni część dotyczy pojęci komotoniczności zmiennych Formlizcj ryzyk Zdefiniujmy njpierw obiekt bdń, czyli przestrzeń probbilistyczną, n której będziemy określć mirę. Niech X będzie zbiorem wszystkich zmiennych losowych określonych n dnej przestrzeni probbilistycznej, które przyjmują wrtości w przedzile jednostkowym [, 1]. 1 Będziemy zkłdć, że przestrzeń X jest n tyle bogt, że kżdy rozkłd o nośniku zwrtym w przedzile jednostkowym może zostć wygenerowny z pomocą elementów X. Definicj 1.1 Niech X będzie przestrzenią probbilistyczną. Funkcję ρ : X R, przypisującą zmiennej losowej pewną liczbę rzeczywistą, nzwiemy mirą ryzyk. Zmienn X X z punktu widzeni ubezpieczeniowego może reprezentowć potencjlną strtę związną z pewnym ryzykiem np. wysokość kosztów leczeni w rzie potencjlnego zchorowni, bądź koszt nprwy pojzdu po ewentulnym wypdku. Wrto tu zuwżyć, że w nszej notcji strt jest dodtni. Wrtości z przedziłu [, 1] możn interpretowć jko ułmek sumy ubezpieczeni ( szkodę częściową ), bądź też wielkość bsolutną poniżej pewnego limitu, umownie oznczonego przez 1. Mir ryzyk jest przy tej interpretcji wysokością skłdki netto, wyznczoną przez ubezpieczyciel. 1 Artzner et l. definiują w [ADEH99] przestrzeń wrtości w sposób ogólny, my jednk dopsowujemy notcję do potrzeb nstępnych rozdziłów. Duln teori Yriego zostł oryginlnie sformułown wyłącznie dl rodzin zmiennych wspólnie ogrniczonych ztem przedził [, 1] może zostć przeksztłcony tylko n inny przedził domknięty. 7

10 1.2. Miry monetrne, koherentne i wypukłe Definicj miry ryzyk nie nkłd n funkcję ρ żdnych dodtkowych wrunków, poz określeniem zbioru wrtości jko liczb rzeczywistych. Zbieg ułtwi porządkownie i porównywnie ryzyk, zgodnie z nturlnym porządkiem liniowym n R, tkże interpretcję monetrną. Aby jednk był możliwy pomir ryzyk rynkowego, nleży ogrniczyć dowolność wyboru miry ryzyk do pewnej sensownej z prktycznego punktu widzeni klsy. Metody wyceny przyszłych losowych wypłt w instytucjch finnsowych stosowne były, rzecz jsn, n długo przed pojwieniem się mtemtycznej definicji miry ryzyk. W oprciu o doświdczenie i zdrowy rozsądek, bnkierzy i ubezpieczyciele określli implicite włsności miry, której używli w procesie wyceny ryzyk. N mtemtyczną formlizcję teorii trzeb było czekć ż do XX wieku. W przełomowej z punktu widzeni teorii ryzyk prcy [ADEH99], sformułowno cztery proste, dziś już klsyczne ksjomty, które powinn spełnić mir ryzyk, umożliwijąc konsekwentną i spójną wycenę różnych zmiennych losowych. Poniżej podję ksjomty w nieco zmodyfikownej wersji, dopsownej do notcji tej prcy i stojącej z nią interpretcji ekonomicznej. Aksjomt 1.1 (Monotoniczność) Dl kżdych zmiennych losowych X, Y X tkich, że X Y p.n., zchodzi ρ(x) ρ(y ). Aksjomt ten jest odzwierciedleniem nszej nturlnej intuicji, że jeśli potencjln strt z X jest większ niż potencjln strt z Y, to skłdk płcon n pokrycie ryzyk X powinn być większ niż nlogiczn skłdk dl Y. Aksjomt 1.2 (Trnslcyjn niezmienniczość) Dl kżdej zmiennej losowej X X orz liczby rzeczywistej m, zchodzi ρ(x + m) = ρ(x) + m. Po dodniu do nszej losowej funkcji pewnej strty deterministycznej, mir ryzyk nszego cłego portfel - czyli skłdk n pokrycie ryzyk zwiększy się o tę wrtość. W szczególności, podstwijąc m = ρ(x), otrzymujemy wyrżenie: ρ(x ρ(x)) =, które m piękną interpretcję ubezpieczeniową: jeśli klient, podlegjący ryzyku X, wykupi ubezpieczenie, zbezpieczjące to ryzyko, pokryte skłdką w wysokości ρ(x), to mir ryzyk jego portfel (skłdjącego się z potencjlnej strty X i polisy n nią) wyniesie. Aksjomt 1.3 (Dodtni jednorodność) Dl kżdej zmiennej losowej X X orz liczby rzeczywistej dodtniej α, zchodzi ρ(αx) = αρ(x). Niniejsz włsność gwrntuje, że proporcjonln zmin ryzyk wpływ proporcjonlnie n jego mirę. W szczególności, podwojenie strt powinno podwjć skłdkę. Aksjomt ten zezwl n rozptrywnie miry niezleżnie od wluty, w której jest wyrżon strt jeśli chcemy ująć wielkość ryzyk w dolrch zmist złotówkch, skłdk zmieni się proporcjonlnie do kursu wlutowego. Włsność t pozwl również przesklowć dowolną ogrniczoną zmienną losową n zmienną o nośniku zwrtym w przedzile [, 1]. Aksjomt 1.4 (Podddytywność) Dl kżdych zmiennych losowych X, Y X zchodzi ρ(x + Y ) ρ(x) + ρ(y ). Podddytywność ozncz, że łączenie ryzyk nie generuje nowej niepewności. Innymi słowy, skłdk n pokrycie dwóch ryzyk powinn być co njwyżej tk wysok, jk sum skłdek n pokrycie kżdego ryzyk równocześnie. Aksjomt ten znjduje zstosownie przy budowniu portfel ryzyk, ztem jest szczególnie istotny dl instytucji finnsowych i ubezpieczeniowych. 8

11 Definicj 1.2 (Mir monetrn) Mirę ρ : X [, 1] spełnijącą ksjomty 1.1 i 1.2 nzwiemy mirą monetrną. Miry monetrne zchowują podstwowe włsności, których podmioty ekonomiczne powinny wymgć od mir ryzyk. Tworzą szeroką klsę, któr może służyć do modelowni wielu rodzjów ryzyk, nie tylko finnsowych. Definicj 1.3 (Mir koherentn) Mirę ρ : X [, 1] spełnijącą ksjomty nzwiemy koherentną mirą ryzyk. Miry koherentne znjdują duże zstosownie w nukch kturilnych ze względu n włsność podddytywności. Nietrudno sobie wyobrzić, co by było, gdybyśmy mierzyli ryzyko mirą niespełnijącą ksjomtu podddytywności ubezpieczeni, gregujące wiele pojedynczych ryzyk w obrębie jednego zkłdu, nie miłyby rcji bytu! Z ksjomtów 1.3 i 1.4 wynik ntychmist nstępując włsność: Obserwcj 1.1. Mir koherentn jest wypukł, tzn. dl kżdych zmiennych losowych X, Y X jest spełnione ρ (λx + (1 λ) Y ) λρ (X) + (1 λ) ρ(y ) W definicji wypukłości zwrt jest rynkow reguł dotycząc zrządzni niepewnością, mówiąc, że dywersyfikcj portfel nie zwiększ ryzyk. Kls mir wypukłych jest rozszerzeniem klsy mir koheretnych, dltego byw czsem nzywn klsą słbo koherentnych mir ryzyk. Kls mir koherentnych nie jest tk szerok, jk mogłoby się wydwć, ptrząc n intuicyjne sformułowni ksjomtów. Jk się okzuje, wiele mir stosownych w prktyce (np. Vlue-t-Risk, czy też reguł wrincji lub odchyleni stndrdowego), nie spełni ksjomtu podddytywności, więc nie będzie opisywć dobrze rozwoju portfel ryzyk ubezpieczeniowych. Jednk ze względu n szczególną rolę gregcji ryzyk w zstosownich ubezpieczeniowych, przy wyborze reguły skłdki rozsądnym wydje się ogrniczenie nszych rozwżń do klsy mir koherentnych Monotoniczność Prc Artzner et l. odbił się szerokim echem w świecie nukowym. Pojwił się szereg dyskusji n temt ewentulnych modyfikcji ksjomtów, definiujących mirę koherentną, w celu rozszerzeni bądź zwężeni zbioru rozptrywnych funkcji. Jedną z propozycji było wzmocnienie ksjomtu 1.1, mówiącego o tym, że mir ryzyk powinn zchowywć porządek domincji prwie n pewno. Domincj prwie n pewno jest brdzo silną włsnością i niewiele pr zmiennych możn uporządkowć według tej relcji. Zchownie porządku domincji prwie n pewno przez mirę jest więc swego rodzju wymgniem minimlnym. Jednk n przestrzeni X możn wprowdzć inne porządki częściowe. Wiele z nich jest wypływ wprost z zstosowń w świecie biznesu. Pojwiły się ztem nowe ksjomty dl mir ryzyk, określjące różne rodzje monotoniczności, w zleżności od zdnego porządku częściowego Domincj stochstyczn Jednym z wżnych w teorii wyboru decydent porządków jest koncepcj domincji stochstycznej n-tego rzędu, zproponown po rz pierwszy w prcy [HRu69]. Zdefiniujemy ją w pełnej ogólności: 9

12 Definicj 1.4 Dystrybuntą n-tego rzędu zmiennej losowej X X nzwiemy funkcję X (x) spełnijącą nstępującą rekurencję: F (1) X (t) = F X(t), F (n) X (s) = t X (s)ds. F (n) F (n 1) Definicj 1.5 (Domincj stochstyczn n-tego rzędu) Powiemy, że zmienn X dominuje zmienną Y w sensie domincji stochstycznej n-tego rzędu, co oznczymy przez X St.(n) Y, jeśli zchodzi: t [,1] F (n) (n) (t) F (t). X Szczególne znczenie teoretyczne mją porządki wyznczone przez domincję stochstyczną pierwszego lub drugiego rzędu. Domincj pierwszego rzędu określ nierówność n dystrybuntch zmiennych. Jeśli X St.(1) Y, to znczy, że dl kżdego poziomu t prwdopodobieństwo strty nieprzekrczjącej t jest zwsze mniejsze dl X niż dl Y. Ztem strt Y będzie przyjmowć niskie wrtości częściej niż X niesie ztem ze sobą mniejsze ryzyko finnsowe. Powiemy, że mir ryzyk jest obdrzon włsnością silnej monotoniczności, jeśli zchowuje on porządek stochstyczny pierwszego rzędu. Aksjomt 1.5 (Siln monotoniczność) Dl kżdych zmiennych losowych X, Y X, tkich, że X St.(1) Y zchodzi ρ(x) ρ(y ) Jk wykzli Hdr i Russel w [HRu69], domincj stochstyczn pierwszego i drugiego rzędu implikuje nie tylko nierówność między wrtościmi oczekiwnymi dwóch funkcji, le i ich przeksztłcenimi o odpowiednich włsnościch. Dokłdniej, zchodzą nstępujące równowżności: Twierdzenie 1.2. Niech U, V będą zmiennymi losowymi o wrtościch w przedzile [, b] i ciągłych gęstościch prwdopodobieństw. Wówczs U St.(1) V wtedy i tylko wtedy, gdy dl kżdej niemlejącej funkcji ϕ kwłkmi klsy C 1 zchodzi Y Eϕ(U) Eϕ(V ). Twierdzenie 1.3. Niech U, V są zmiennymi losowymi o wrtościch w przedzile [, b]. Wówczs, U St.(2) V wtedy i tylko wtedy, gdy dl kżdej niemlejącej funkcji ϕ kwłkmi klsy C 2, o niedodtniej drugiej pochodnej zchodzi Eϕ(U) Eϕ(V ). Znim udowodnimy obydw fkty, omówimy krótko ich znczenie w teorii ekonomii. Występującą w powyższych twierdzenich funkcję ϕ możemy zinterpretowć jko funkcję użyteczności w ujęciu von Neumnn i Morgenstern (zob. rozdził 2). Wówczs zmienne U, V reprezentują wielkości wypłt decydent (np. możemy przyjąć U = X,V = Y, gdzie X, Y X wyrżją strty). Nierówność U St.(1) V implikuje, że wypłt z U jest preferown w stosunku do V przez wszystkich decydentów i n odwrót. Domincj U St.(2) V dje podobny wniosek, le tylko dl decydentów o wklęsłej funkcji użyteczności. Dowód twierdzeni 1.2 stnowi połączenie uzsdnień, przedstwionych w [HRu69] orz [QuS62]. Dowód twierdzeni 1.3 opier się n tym smym pomyśle nie zostł on jednk podny w tkiej formie w żdnej z tych prc. Zdefiniujmy njpierw lemt pomocniczy: 1

13 Lemt 1.4. Niech U, V są zdefiniowne jk w fkcie 1.2. Jeśli zchodzi U St.(1) V orz V St.(1) U, to istnieją funkcje ψ,φ, obie niemlejące i kwłkmi klsy C 1, tkie, że prwdziwy jest ukłd nierówności: { Eψ(U) < Eψ(V ) Eφ(U) > Eφ(V ). Dowód lemtu. Niech p(x) i q(x) oznczją gęstości zmiennych U i V, f : [, b] R będzie dowolną funkcją niemlejącą, dl której istnieją cłki b f(x)p(x)dx orz b f(x)q(x)dx. Tkie złożenie spełni np. dowoln funkcj ciągł, określon n domkniętym przedzile [, b], będąc ogrniczon, ztem cłkowln. Oznczmy tk określone cłki, odpowiednio, przez ρ U i ρ V. Złóżmy n początek, że ρ U < ρ V. Chcemy udowodnić istnienie tkich funkcji ψ,φ, że zchodzi Eψ(U) < Eψ(V ) orz Eφ(U) > Eφ(U). Kłdąc ψ(x) = f(x) otrzymujemy ntychmist pierwszą nierówność z tezy twierdzeni. Poszukmy terz funkcji φ, któr spełni drugą nierówność, którą możemy zpisć: b f(x)[p(x) q(x)] > Z fktu, iż U V orz V U, istnieją s, t tkie, że: s t [p(x) q(x)]dx > [p(x) q(x)]dx < Niech ɛ > będzie dowolną liczbą dodtnią. Definiując funkcję φ nstępująco: ρ V ρ U +ɛ s + f(x) [p(x) q(x)] φ(x) = dl x s f(x) dl x > s, otrzymujemy funkcję kwłkmi ciągłą i różniczkowlną. Pondto, φ(x) jest niemlejąc, więc spełni wrunki lemtu i zchodzi Eφ(x)[p(x) q(x)] >. Podobnie uzsdnimy przypdek ρ U > ρ V. Jeśli ρ U = ρ V, wystrczy n początku dowodu dobrć inną funkcję f z szerokiej klsy funkcji cłkowlnych względem gęstości p i q. Przystąpimy terz do dowodu twierdzeni 1.2. Dowód twierdzeni 1.2. Udowodnimy njpierw implikcję w prwą stronę. Niech p(x), q(x) oznczją ciągłe gęstości zmiennych U i V, P (x), Q(x) odpowidjące im dystrybunty. Chcemy pokzć, że Eψ(U) Eψ(V ). Z definicji wrtości oczekiwnej mmy: Eϕ(U) Eϕ(V ) = b 11 ϕ(x)[p(x) q(x)]dx.

14 W dowodzie możemy funkcję ϕ trktowć jk funkcję klsy C 1, pmiętjąc, że dl cłki Lebesgue wszystkie równości zchodzą prwie n pewno, liczb punktów nieróżniczkowlności funkcji ϕ jest skończon. Cłkując przez części, mmy: b b ϕ(x)[p(x) q(x)]dx = ϕ(x)[p (x) Q(x)]dx b ϕ (x)[p (x) Q(x)]dx. (1.1) Pierwszy skłdnik jest równy zeru, gdyż P (b) = Q(b) = 1 i P () = Q() = z definicji dystrybunt. Drugi człon jest dodtni, gdyż z złożeni U St.(1) V mmy P (x) Q(x) orz ϕ (x), bo ϕ jest niemlejąc. Ztem bez trudu otrzymujemy, że: co kończy dowód implikcji w prwo. Eϕ(U) Eϕ(V ), Udowodnimy terz implikcję w lewą stronę. Dowód będzie przebiegł nie wprost. Złóżmy, że dl kżdej funkcji użyteczności ϕ mmy Eϕ(X) Eϕ(Y ), le nie zchodzi X St.(1) Y. Wówczs lbo X St.(1) Y, lbo zchodzi łącznie X St.(1) Y orz Y St.(1) X. 1. Jeśli X d(1) Y, to n mocy udowodnionej przed chwilą implikcji w prwą stronę, zchodzi Eϕ(X) Eϕ(Y ). Jest to sprzeczne z nszym pierwotnym złożeniem. 2. Jeśli X St.(1) Y orz Y St.(1) X, to n mocy lemtu 1.4 istnieją funkcje ψ, φ tkie, że Eψ(X) < Eψ(Y ) i Eφ(X) > Eφ(Y ). Ponownie, otrzymujemy sprzeczność. Wnioskujemy ztem, że musi zchodzić X St.(1) Y. Dowód twierdzeni 1.3 przebieg według podobnego schemtu. Zczniemy, ponownie, od sformułowni lemtu pomocniczego: Lemt 1.5. Niech U, V są zdefiniowne j.w. Jeśli zchodzi U St.(2) V orz V St.(2) U, to istnieją funkcje ψ,φ, obie niemlejące, kwłkmi C 2 i o niedodtniej drugiej pochodnej tkie, że prwdziwy jest ukłd nierówności: { Eψ(U) < Eψ(V ) Eφ(U) > Eφ(V ). Dowód lemtu. Jk możn oczekiwć, dowód lemtu 1.5 opier się n tym smym pomyśle, co dowód lemtu 1.4 i jest tylko jego drobną modyfikcją. Niech P (x) i Q(x) oznczją dystrybunty zmiennych U orz V, f : [, b] R będzie dowolną funkcją kwłkmi klsy C 1, nieujemną i nierosnącą, dl której istnieją cłki b f(x)p (x) orz b f(x)q(x). Ponownie, istnienie tych cłek zpewni np. złożenie o ciągłości funkcji f. Oznczmy tk określone cłki, odpowiednio, przez ρ U orz ρ V. Złóżmy n początek, że ρ U < ρ V. Chcemy udowodnić istnienie tkich funkcji ψ,φ kwłkmi C 2 i o niedodtniej drugiej pochodnej że zchodzi Eψ(U) < Eψ(V ) orz Eφ(U) > Eφ(U). Funkcj f jest określon n przedzile domkniętym i monotoniczn, więc jest cłkowln w sensie Lebesgue. Kłdąc ψ(x) = x f(t)dt otrzymujemy ntychmist pierwszą nierówność, 12

15 zwrtą w tezie twierdzeni. Z podstwowego twierdzeni rchunku różniczkowego wiemy tkże, że ψ (x) = f(x) orz ψ (x) = f (x), więc ψ spełni wrunki nszego lemtu. Poszukmy terz funkcji φ, któr spełni drugą z nierówności, którą możemy zpisć: b φ(x) (p(x) q(x)) dx = Z fktu, iż U V orz V U, istnieją s, t tkie, że: s [P (x) Q(x)]dx >, t b [P (x) Q(x)]dx <. φ (x)[p (x) Q(x)]dx >. Zdefiniujmy pomocniczą funkcję g nstępująco: ρ V ρ U +ɛ s + f(x) [P (x) Q(x)]dx g(x) = dl x s f(x) dl x > s. W efekcie otrzymujemy funkcję kwłkmi C 2. Pondto, g(x) jest dodtni i nierosnąc, gdyż zchodzi: g (x) = f (x) p.n. Zdefiniujmy φ(x) := x g(t)dt. φ(x) jest niemlejąc i m niedodtnią drugą pochodną, więc spełni wrunki lemtu 1.5. Pondto, mmy: b φ (x)[p (x) Q(x)] = Eφ(U) φ(v ) > Podobnie uzsdnimy przypdek ρ U > ρ V. Jeśli ρ U = ρ V, wystrczy n początku dowodu dobrć inną funkcję f (z szerokiej dostępnej klsy). Dowód lemtu zostł więc zkończony. Dowód twierdzeni 1.3. Udowodnimy njpierw implikcję w prwą stronę. Niech P (x), Q(x) oznczją dystrybunty zmiennych, odpowiednio, U i V. Zkłdmy, że dl kżdego x [, b] zchodzi: x x P (y)dy Q(y)dy. Chcemy z tego wydedukowć, że Eϕ(U) Eϕ(V ) dl kżdej funkcji ϕ niemlejącej i ciągłej, kwłkmi C 2 o niedodtniej drugiej pochodnej (tzn. ϕ jest wklęsł). Będziemy postępowć podobnie, jk w dowodzie twierdzeni 1.2. Ponownie, dl cłki Lebesgue możemy ϕ trktowć jk funkcję klsy C 2, pmiętjąc, że wszystkie równości zchodzą prwie n pewno. Cłkownie przez części prowdzi do równości: b x ϕ (x)[p (x) Q(x)]dx = ϕ b (x) [P (y) Q(y)]dy 13 b x ϕ (x) [P (y) Q(y)]dydx. (1.2)

16 Podstwijąc uzyskną wielkość w równniu (1.1), mmy: x Eϕ(U) Eϕ(V ) = ϕ b b (x) [P (y) Q(y)]dy + ϕ (x) x [P (y) Q(y)]dydx. (1.3) Z złożeni o znkch pochodnych ob skłdniki sumy z prwej strony równości są nieujemne, ztem i lew stron jest nieujemn. Kończy to dowód implikcji w prwą stronę. Dowód implikcji w lewą stronę jest bezpośrednim przełożeniem rgumentcji zstosownej w dowodzie twierdzeni 1.2 jedyn modyfikcj poleg n zstosowniu lemtu 1.5 zmist 1.4. Uznmy ztem dowód obu twierdzeń z zkończony Porządek cięci strt Innym wzmocnieniem ksjomtu 1.1 o monotoniczności miry jest włsność zchowni przez mirę ryzyk porządku w odniesieniu do zmiennych uciętych n zdnym poziomie. Tkie postępownie może być użyte przez instytucje ubezpieczeniowe, które są w stnie pokryć ryzyko do pewnej wielkości d, ntomist strty przekrczjące ten poziom muszą być resekurowne. N potrzeby nlizy ryzyk o potencjlnie dużych wielkościch (tzw. grubym ogonie) możn określić n X nstępujący porządek: Definicj 1.6 (Porządek cięci strt) Powiemy, że zmienn Y poprzedz zmienną X w porządku cięci strt 2, co oznczymy przez Y sl X, jeśli dl kżdego poziomu cięci d zchodzi: ] ] E [(Y d) + E [(X d) +. Mir ρ zchowuje tk określony porządek, jeśli chrkteryzuje się nstępującą włsnością: Aksjomt 1.6 (Monotoniczność ze względu n porządek cięci strt) Dl kżdych zmiennych losowych X, Y X tkich, że X sl Y zchodzi ρ(x) ρ(y ). Nietrudno zuwżyć, że nierówność X Y p.n. implikuje zrówno domincję stochstyczną pierwszego rzędu, jk i domincję w sensie porządku cięci strt. Implikcj w drugą stronę oczywiście nie zchodzi. Nie m również zleżności ( tym brdziej równowżności) między porządkiem stochstycznym pierwszego rzędu porządkiem cięci strt Komonotoniczność Wżnym elementem definicji miry koherentnej jest złożenie o podddytywności, pozwljące n efektywną wycenę portfeli o losowej wrtości. Aksjomt podddytywności Artnzer et l. określ górną grnicę skłdki n pokrycie sumy dwóch ryzyk. Istnieją oczywiście pry zmiennych, dl których górn grnic powinn być i jest osiągn, czyli zchodzi ddytywność. Klsą ryzyk o tej włsności są, przykłdowo, zmienne doskonle dodtnio skorelowne. Jeśli corr(x, Y ) = 1, to istnieją stłe >, b R tkie, że Y = X + b. Wówczs dl miry koherentnej ρ, n mocy trnslcyjnej niezmienniczości i dodtniej jednorodności mmy: ρ(x + Y ) = ρ ((1 + ) X + b) = (1 + )ρ(x) + b = ρ(x) + (ρ(x) + b) = ρ(x) + ρ(y ). Uogólnieniem koncepcji zmiennych doskonle skorelownych są zmienne wspólnie ukierunkowne lub, jk określ się je w literturze, komonotoniczne. W tej części prcy przedstwimy krótką chrkterystykę mtemtyczną tkich zmiennych, jk i stojącą z nimi interpretcję. 2 ng. stop-loss order; 14

17 Definicj Pierwszeństwo w sformułowniu pojęci komonotoniczności przypisuje się njczęściej Dvidowi Schmeidlerowi ([Sch86]). Inn wczesn definicj komonotoniczności pojwił się również w [Y87]. Obie sformułowne zostły w kontekście dlekim od interpretcji ubezpieczeniowych (zob. rozdził 2). Dziś njczęściej spotyk się nstępującą definicję. Definicj 1.7 (Komonotoniczność) Zmienne X, Y nzwiemy komonotocznicznymi, jeśli ich łączn dystrybunt F X,Y (x, y) := P(X x, Y y) spełni: F X,Y (x, y) = min (F X (x), F Y (y)). Aby zrozumieć istotę komotoniczności, udowodnimy twierdzenie, pozwljąc schrkteryzowć zmienne komonotoniczne w lterntywny sposób: Twierdzenie 1.6 (Komonotoczność). Zmienne X, Y są komotoniczne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje zmienn losow Z i niemlejące funkcje u i v n R, tkie, że : (X, Y ) D. = (u(z), v(z)). Obserwcj 1.7. W twierdzeniu 1.6 możn przyjąć Z = U, gdzie U jest zmienną losową o rozkłdzie jednostjnym n [, 1]. Wówczs u := FX orz v := FY, gdzie funkcj FV (t) dl zmiennej losowej V jest uogólnioną funkcją odwrotną do dystrybunty i wyrż się wzorem F 1 (x) = inf{t F (t) x}. V Dowód. Poniższe uzsdnienie jest bezpośrednim przeniesieniem dowodu Wng z [Wng98]. Zcznijmy od implikcji w lewą stronę. Złóżmy, że istnieje zmienn Z i niemlejące funkcje u, v n R, tkie, że (X, Y ) D. = (u(z), v(z)). Wówczs możemy zpisć łączną dystrybuntę X i Y z wykorzystniem zmiennej Z: F X,Y (x, y) = P (u(z) x, v(z) y) = P (Z A, Z B), gdzie zbiory A i B są przedziłmi postci [, d] lub [, d). Zchodzi ztem zleżność A B lub B A, co umożliwi nstępujący zpis: F X,Y (x, y) = P (Z A, Z B) = min (P (Z A), P (Z B)) = min (P (X x), P (Y y)) = min(f X (x), F Y (y)). Kończy to dowód komotoniczności zmiennych X i Y. Udowodnimy terz drugą część twierdzeni i przy okzji obserwcję 1.7. Zuwżmy, że dl kżdego t, x (, 1) zchodzi równowżność FX 1 (t) x t F X(x). Podobnie dl zmiennej Y. Weźmy terz dowolną zmienną losową U. Złożenie o komonotoniczności X i Y możn przeformułowć nstępująco: F X,Y (x, y) = min (F X (x), F Y (y)) = P(U min(f X (x), F Y (y)) = P(U F X (x), U F Y (y)) = P(F 1 X 1 (U) x, F (U) y) = F F 1 Ztem zchodzi (X, Y ) D. = (FX 1 1 (U), FY (U)). Y 15 X 1 (U),FY (U)(x, y).

18 Z powyższego twierdzeni widzimy, że zmienne komonotoniczne to zmienne, z którymi stoi pewien wspólny minownik, czy też ryzyk n to smo zdrzenie, tzn. indukowne przez tę smą zmienną Z. Yri wskzuje n fkt, że komonotoniczność jest włsnością niezmienną ze względu n mirę probbilistyczną. Twierdzenie 1.6 możn też uogólnić n więcej zmiennych, pmiętjąc o tym, że komonotoniczność dotyczy zwsze ich pr. Bez dowodu pozostwimy nstępujące twierdzenie: Twierdzenie 1.8 (Komonotoczność). Zmienne X 1, X 2..., X n są prmi komotoniczne wtedy i tylko wtedy, gdy: (X 1, X 2,..., X n ) D. = (F 1 X 1 (U), F 1 X 2 (U),..., F 1 X n (U)), gdzie U jest zmienną o rozkłdzie jednostjnym n [, 1], FX 1 1,..., FX 1 n to uogólnione funkcje odwrotne do dystrybunt zmiennych X 1,..., X n. Dowód. Zob. [DDGKV2] Komonotoniczność miry ryzyk Chrkterystyczną cechą zmiennych komotonicznych jest to, że żdn z nich nie może zostć użyt do zbezpieczeni w sensie finnsowym drugiej. Innymi słowy, prób redukcji ryzyk przez połączenie portfeli zwierjących obie zmienne, jest skzn n porżkę. Zjwisko to motywuje do przyjęci nstępującego ksjomtu dl miry ryzyk ρ: Aksjomt 1.7 (Addytywność dl komonotonicznych ryzyk) Dl kżdych zmiennych komonotonicznych X, Y X zchodzi: ρ(x + Y ) = ρ(x) + ρ(y ). Dobr mir ryzyk powinn ztem włściwie doszcowywć wielkości ryzyk będących funkcjmi tej smej zmiennej Grnice Fréchet Koncepcj komonotoniczności jest blisko związn z pewną klsyczną nierównością, ogrniczjącą z obu stron łączną dystrybuntę wektor ryzyk (X, Y ). Rezultt ten jest njczęściej przypisywny Murice Fréchetowi (zob. [Fré6]) i w literturze występuje pod jego nzwiskiem. Twierdzenie 1.9. Niech X, Y będą dowolnymi zmiennymi losowymi. Łączn gęstość F X,Y (x, y) jest ogrniczon z góry i z dołu przez: mx(f X (x) + F Y (y) 1, ) F X,Y (x, y) min(f X (x), F Y (y)). Dowód. Twierdzenie 1.9, mimo stosunkowo późnego sformułowni, jest zskkująco łtwe do uzsdnieni. Dowód wynik z prostych rchunków n zbiorch i włsności funkcji prwdopodobieństw. Górne ogrniczenie uzyskmy, korzystjąc z zleżności P(A B) P(A) dl dowolnych zbiorów A i B. F X,Y (x, y) = P(X x, Y y) P(X x, Y 1) = F X (x), 16

19 F X,Y (x, y) = P(X x, Y y) P(X 1, Y y) = F Y (y). Osttecznie możemy więc zpisć, że F X,Y (x, y) min(f X (x), F Y (y)). Drug nierówność również nie nstręcz powżnych trudności. Korzystjąc z njprostszej wersji zsdy włączeń i wyłączeń, postci P(A B) = P(A) + P(B) P(A B), mmy: F X,Y (x, y) = P(X x, Y y) = P(X x) + P(Y y) P(X x Y y). Szcując w oczywisty sposób P(X x Y y) 1 orz F X,Y (x, y), otrzymujemy dolne oszcownie: F X,Y (x, y) mx(f X (x) + F Y (y) 1, ). Okzuje się, że tkie nturlne ogrniczeni funkcji F X,Y (x, y) są jednocześnie optymlne nie d się ich poprwić, bez nkłdni dodtkowych wrunków n wektor (X, Y ). Oszcownie górne w powyższym twierdzeniu jest osiągne dl zmiennych (FX 1 1 (U), FY (U)), gdzie U m rozkłd jednostjny n [, 1]. Wykzliśmy to pośrednio, przeprowdzjąc dowód twierdzeni 1.6. Podobnie, nietrudno jest pokzć, że oszcownie dolne jest osiągne dl 1 (U), F (1 U)). Istotnie, przeprowdzjąc bezpośrednie wyprowdzenie, mmy: (F 1 X Y F F 1 1 X (U),FY 1 (1 U)(x, y) = P(FX 1 (U) x, FY (1 U) y) = P(1 F Y (y) U F X (U)) = mx(f X (x) + F Y (y) 1, ). Podczs, gdy oszcownie górne stje się równością dl zmiennych komonotonicznych, grnic doln jest osiągn przez zmienne przeciwnie ukierunkowne, tj. tkie, dl których wzrost jednej pociąg z sobą spdek drugiej i n odwrót 3. Portfel zierjący tkie ryzyk jest w pewnym sensie doskonle zbezpieczony w sensie finnsowym Związek z porządkiem cięci strt Jk zuwżyliśmy w poprzedniej części prcy, górne i dolne oszcownie dystrybunty łącznej jest osiągne, odpowiednio, dl zmiennnych zgodnie i przeciwnie ukierunkownych. Stnowi to ilustrcję fktu, iż dystrybunt łączn dwóch zmiennych jest źródłem informcji nie tylko o rozkłdzie kżdej z nich, le przede wszystkim o zleżności między bdnymi zmiennymi. Nierówności między łącznymi dystrybuntmi wyznczją pewien częściowy porządek n zbiorze dwuelementowych wektorów zmiennych losowych postci (X, Y ). Szczególnie ciekwą jest nliz tego porządku dl zmiennych o tych smych rozkłdch brzegowych. Rozptrzmy klsę R(F 1, F 2 ) dwuwymirowych zmiennych losowych o zdnych dystrybuntch brzegowych F 1, F 2. Wówczs jeśli (X 1, X 2 ), (Y 1, Y 2 ) R(F 1, F 2 ), to zleżność F X1,X 2 (x, y) F Y1,Y 2 (x, y) możn zinterpretowć jko nierówność między stopniem skorelowni pr zmiennych (X 1, X 2 ) i (Y 1, Y 2 ). Nstępujące twierdzenie pokzuje, iż tkie uszeregownie zmiennych łączy się z poznnym w tym rozdzile porządkiem cięci strt. Twierdzenie 1.1. Niech (X 1, X 2 ), (Y 1, Y 2 ) R(F 1, F 2 ) będą prmi zmiennych losowych. Wówczs, jeśli dl kżdego x, y [, 1] prwidziw jest nierówność: to zchodzi nstępujące uporządkownie: F X1,X 2 (x, y) F Y1,Y 2 (x, y), X 1 + X 2 sl Y 1 + Y 2. 3 W literturze ngielskojęzycznej określ się tkie zmienne terminem countercomonotonic. 17

20 Innymi słowy, porządek cięci strt n sumch zmiennych może być wyznczony dzięki dystrybuntom łącznym poszczególnych pr ryzyk. Jest to szczególnie istotne w sytucjch, gdy trudno jest wyliczyć bezpośrednio wrunek porządku cięci strt. Często okzuje się, że sprwdzenie nierówności n dystrybuntch jest łtwiejsze. Jk się okże, powyższe twierdzenie będzie miło kluczowe znczenie w rozdzile 3. Znim przejdziemy do dowodu twierdzeni, udowodnimy lemt pomocniczy. Lemt Dl dowolnego wektor (X, Y ) o zdnych dystrybuntch brzegowych F X F Y, zchodzi: i d E(X + Y d) + = E(X) + E(Y ) d + F X,Y (x, d x)dx. Dowód lemtu. Z definicji części dodtniej mmy: E(X + Y d) + = E(X) + E(Y ) d + E(d X Y ) +. Dl kżdych nieujemnych liczb rzeczywistych x, y mmy nstępujący wzór: E(d x y) + = więc dl zmiennych losowych zchodzi: E(d X Y ) + = To kończy dowód lemtu. E(I {X t, Y d t} )dt = I {x t d y} dt, P(X t, Y d t)dt. Dowód twierdzeni. Chcemy udowodnić, że X 1 + X 2 sl Y 1 + Y 2, czyli dl kżdego d > zchodzi: E(X 1 + X 2 d) + E(Y 1 + Y 2 d) +. Korzystjąc z lemtu 1.11 możemy przepisć nierówność w postci: d d E(X 1 ) + E(X 2 ) d + F X1,X 2 (x, d x)dx E(Y 1 ) + E(Y 2 ) d + F Y1,Y 2 (x, d x)dx. Z złożeni dl kżdego x, y zchodzi nierówność F X1,Y 1 (x, y) F X2,Y 2. Po przecłkowniu zmiennych zostje on zchown. Pondto, z złożeni o tym, że (X 1, X 2 ), (Y 1, Y 2 ) nleżą do rodziny R(F 1, F 2 ) o tych smych rozkłdch brzegowych, zchodzi, oczywiście: co kończy dowód twierdzeni 1.1. E(X 1 ) = E(Y 1 ) orz E(X 2 ) = E(Y 2 ), Łącząc twierdzenie 1.1 z wynikiem uzysknym przez Fréchet, otrzymujemy nstępujący wniosek: 18

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych, Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,

Bardziej szczegółowo

R + v 10 R0, 9 k v k. a k v k + v 10 a 10. k=1. Z pierwszego równania otrzymuję R 32475, 21083. Dalej mam: (R 9P + (k 1)P )v k + v 10 a 10

R + v 10 R0, 9 k v k. a k v k + v 10 a 10. k=1. Z pierwszego równania otrzymuję R 32475, 21083. Dalej mam: (R 9P + (k 1)P )v k + v 10 a 10 Zdnie. Zkłd ubezpieczeń n życie plnuje zbudownie portfel ubezpieczeniowego przy nstępujących złożenich: ozwiąznie. Przez P k będę oznczł wrtość portfel n koniec k-tego roku. Szukm P 0 tkie by spełnił:

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 10.03.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 marca 2014 r. Część I

Matematyka finansowa 10.03.2014 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 marca 2014 r. Część I Mtemtyk finnsow.03.2014 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LXVI Egzmin dl Akturiuszy z mrc 2014 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoby egzminownej:... Czs egzminu: 0 minut 1 Mtemtyk

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r. Część I Matematyka finansowa Mtemtyk finnsow 12.03.2012 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LIX Egzmin dl Akturiuszy z 12 mrc 2012 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoby egzminownej:... Czs egzminu: 100 minut

Bardziej szczegółowo

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki Kls pierwsz zkres podstwowy. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 marca 2010 r. Część I Matematyka finansowa

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 marca 2010 r. Część I Matematyka finansowa Mtemtyk finnsow 15.0.010 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LII Egzmin dl Akturiuszy z 15 mrc 010 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoy egzminownej:... Czs egzminu: 100 minut 1

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie multimetrów cyfrowych do pomiaru podstawowych wielkości elektrycznych

Zastosowanie multimetrów cyfrowych do pomiaru podstawowych wielkości elektrycznych Zstosownie multimetrów cyfrowych do pomiru podstwowych wielkości elektrycznych Cel ćwiczeni Celem ćwiczeni jest zpoznnie się z możliwościmi pomirowymi współczesnych multimetrów cyfrowych orz sposobmi wykorzystni

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 3 inf Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy i rozszerzony Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P) Kls drug poziom podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych redukuje wyrzy

Bardziej szczegółowo

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02 Wymgni n ocenę dopuszczjącą z mtemtyki kls II Mtemtyk - Bbiński, Chńko-Now Er nr prog. DKOS 4015-99/02 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielominu 2. Dodwnie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7) EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 01/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A, A, A, A6, A7) GRUDZIEŃ 01 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych Nr zdni 1 5 Odpowiedź

Bardziej szczegółowo

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

Oznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls 2 b lo Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne; wymgni podstwowe; R wymgni rozszerzjące; D wymgni dopełnijące; W wymgni wykrczjące Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci

Bardziej szczegółowo

O PEWNYCH MODELACH DECYZJI FINANSOWYCH

O PEWNYCH MODELACH DECYZJI FINANSOWYCH DECYZJE nr 1 czerwiec 2004 37 O PEWNYCH MODELACH DECYZJI FINANSOWYCH Krzysztof Jjug Akdemi Ekonomiczn we Wrocłwiu Wprowdzenie modele teorii finnsów Teori finnsów, zwn również ekonomią finnsową, jest jednym

Bardziej szczegółowo

ROLE OF CUSTOMER IN BALANCED DEVELOPMENT OF COMPANY

ROLE OF CUSTOMER IN BALANCED DEVELOPMENT OF COMPANY FOLIA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE STETINENSIS Foli Univ. Agric. Stetin. 2007, Oeconomic 254 (47), 117 122 Jolnt KONDRATOWICZ-POZORSKA ROLA KLIENTA W ZRÓWNOWAŻONYM ROZWOJU FIRMY ROLE OF CUSTOMER IN BALANCED

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2b, 2c, 2e zkres podstwowy rok szkolny 2015/2016 1.Sumy lgebriczne N ocenę dopuszczjącą: 1. rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne 2. oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1 Rchunek mcierzowy Mcierzą A nzywmy funkcję 2-zmiennych, któr prze liczb nturlnych (i,j) gdzie i = 1,2,3,4.,m; j = 1,2,3,4,n przyporządkowuje dokłdnie jeden element ij. 11 21 A = m1 12 22 m2 1n 2n mn Wymirem

Bardziej szczegółowo

Gry czasowe. Tadeusz Radzik (Wrocław) (artykuł wspomnieniowy o prof. Stanisławie Trybule)

Gry czasowe. Tadeusz Radzik (Wrocław) (artykuł wspomnieniowy o prof. Stanisławie Trybule) MATEMATYKA STOSOWANA TOM 11/52 2010 Tdeusz Rdzik (Wrocłw) Gry czsowe (rtykuł wspomnieniowy o prof. Stnisłwie Trybule) Streszczenie. Prc jest rtykułem wspomnieniowym o prof. Stnisłwie Trybule. Wprowdz on

Bardziej szczegółowo

Grażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH

Grażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH Ćwiczenie Grżyn Nowick, Wldemr Nowicki BDNIE RÓWNOWG WSOWO-ZSDOWYC W ROZTWORC ELETROLITÓW MFOTERYCZNYC Zgdnieni: ktywność i współczynnik ktywności skłdnik roztworu. ktywność jonów i ktywność elektrolitu.

Bardziej szczegółowo

2. Tensometria mechaniczna

2. Tensometria mechaniczna . Tensometri mechniczn Wstęp Tensometr jk wskzywłby jego nzw to urządzenie służące do pomiru nprężeń. Jk jednk widomo, nprężeni nie są wielkościmi mierzlnymi i stnowią jedynie brdzo wygodne pojęcie mechniki

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA Mteriły do wykłdu MATEMATYKA DYSKRETNA dl studiów zocznych cz. Progrm wykłdu: KOMBINATORYKA:. Notcj i podstwowe pojęci. Zlicznie funkcji. Permutcje. Podziory zioru. Podziory k-elementowe. Ziory z powtórzenimi

Bardziej szczegółowo

Wartość bezwzględna. Proste równania i nierówności.

Wartość bezwzględna. Proste równania i nierówności. Wrtość bezwzględn Proste równni i nierówności Dl liczb rzeczywistych możemy zdefiniowć opercję zwną wrtością bezwzględną lub modułem liczby Definicj 7,, Sens powyższej definicji jest nstępujący Jeżeli

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ Ćwiczenie 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ 9.. Opis teoretyczny Soczewką seryczną nzywmy przezroczystą bryłę ogrniczoną dwom powierzchnimi serycznymi o promienich R i

Bardziej szczegółowo

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia

Temat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia ln wynikowy kls 2c i 2e - Jolnt jąk Mtemtyk 2. dl liceum ogólnoksztłcącego, liceum profilownego i technikum. sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym rok szkolny 2015/2016 Wymgni edukcyjne określjące oceny:

Bardziej szczegółowo

Dodatkowe informacje i objaśnienia. Zakres zmian wartości grup rodzajowych środków trwałych, wnip oraz inwestycji długoterminowych Zwieksz Stan na.

Dodatkowe informacje i objaśnienia. Zakres zmian wartości grup rodzajowych środków trwałych, wnip oraz inwestycji długoterminowych Zwieksz Stan na. STOWARZYSZENIE RYNKÓW FINANSOWYCH ACI POLSKA Afiliowne przy ACI - The Finncil Mrkets Assocition Dodtkowe informcje i objśnieni Wrszw, 21 mrzec 2014 1.1 szczegółowy zkres zmin wrtości grup rodzjowych środków

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. JĘZYK MATEMATYKI oblicz wrtość bezwzględną liczby rzeczywistej stosuje interpretcję geometryczną wrtości bezwzględnej liczby

Bardziej szczegółowo

O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI

O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI ZESZYTY NAUKOWE 7-45 Zenon GNIAZDOWSKI O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI Streszczenie W prcy omówiono grupę permutcji osi krtezjńskiego ukłdu odniesieni reprezentowną przez mcierze permutcji,

Bardziej szczegółowo

STYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI

STYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI STYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI Ćwiczenie 1 Tworzenie nowego stylu n bzie istniejącego 1. Formtujemy jeden kpit tekstu i zznczmy go (stnowi on wzorzec). 2. Wybiermy Nrzędzi główne, rozwijmy okno Style (lub

Bardziej szczegółowo

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów w roku szkolnym 0/ II etp zwodów (rejonowy) 0 listopd 0 r. Propozycj punktowni rozwiązń zdń Uwg: Z kżde poprwne rozwiąznie inne niż przewidzine w propozycji punktowni

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 2006/7 3

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 2006/7 3 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 006/7 3. Liczby nturlne i rzeczywiste; funkcje elementrne.. Funkcje. Niech X i Y będą zbiormi. Definicj.. Funkcją (inczej: odwzorowniem) z X do Y nzyw się przyporządkownie

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie: Do czego służą wektory?

Wprowadzenie: Do czego służą wektory? Wprowdzenie: Do czego służą wektory? Mp połączeń smolotowych Isiget pokzuje skąd smoloty wyltują i dokąd doltują; pokzne jest to z pomocą strzłek strzłki te pokzują przemieszczenie: skąd dokąd jest dny

Bardziej szczegółowo

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)

Propozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Propozycj przedmiotowego systemu ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Proponujemy, by omwijąc dne zgdnienie progrmowe lub rozwiązując zdnie, nuczyciel określł do jkiego zkresu

Bardziej szczegółowo

Wymagania kl. 2. Uczeń:

Wymagania kl. 2. Uczeń: Wymgni kl. 2 Zkres podstwowy Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni. SUMY ALGEBRAICZNE. Sumy lgebriczne definicj jednominu pojęcie współczynnik jednominu porządkuje jednominy pojęcie sumy lgebricznej

Bardziej szczegółowo

Nauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy Zbiór scenariuszy Mój przedmiot matematyka

Nauki ścisłe priorytetem społeczeństwa opartego na wiedzy Zbiór scenariuszy Mój przedmiot matematyka Stron Wstęp Zbiór Mój przedmiot mtemtyk jest zestwem scenriuszy przeznczonych dl uczniów szczególnie zinteresownych mtemtyką. Scenriusze mogą być wykorzystywne przez nuczycieli zrówno n typowych zjęcich

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera

Wykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera Wykłd 6 Dyfrkcj Fresnel i Frunhofer Zjwisko dyfrkcji (ugięci) świtł odkrył Grimldi (XVII w). Poleg ono n uginniu się promieni świetlnych przechodzących w pobliżu przeszkody (np. brzeg szczeliny). Wyjśnienie

Bardziej szczegółowo

Modelowanie 3 D na podstawie fotografii amatorskich

Modelowanie 3 D na podstawie fotografii amatorskich Edwrd Nowk 1, Jonn Nowk Modelownie D n podstwie fotogrfii mtorskich 1. pecyfik fotogrmetrycznego oprcowni zdjęć mtorskich wynik z fktu, że n ogół dysponujemy smymi zdjęcimi - nierzdko są to zdjęci wykonne

Bardziej szczegółowo

Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego

Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego Komputerowe wspomgnie decyzi 008/009 Liniowe zgdnieni decyzyne Nottki do temtu Metody poszukiwni rozwiązń ednokryterilnych problemów decyzynych metody dl zgdnień liniowego progrmowni mtemtycznego Liniowe

Bardziej szczegółowo

Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie. Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej

Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie. Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Inżynierii Biomedycznej Akdemi órniczo-hutnicz im. Stnisłw Stszic w Krkowie Wydził Elektrotechniki, Automtyki, Informtyki i Inżynierii Biomedycznej Ktedr Elektrotechniki i Elektroenergetyki Rozprw Doktorsk Numeryczne lgorytmy

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II TAK

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II TAK I Postnowieni ogólne Przedmiotowy system ocenini z mtemtyki wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Kls II TAK 1. Wrunkiem uzyskni pozytywnej oceny semestrlnej z mtemtyki jest: ) zliczenie

Bardziej szczegółowo

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu konkursowego PO KL 1

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu konkursowego PO KL 1 Złącznik 3 Krt oceny merytorycznej wniosku o dofinnsownie konkursowego PO KL 1 NR WNIOSKU KSI: WND-POKL. INSTYTUCJA PRZYJMUJĄCA WNIOSEK:. NUMER KONKURSU 2/POKL/8.1.1/2010 TYTUŁ PROJEKTU:... SUMA KONTROLNA

Bardziej szczegółowo

Zaokrąglanie i zapisywanie wyników obliczeń przybliżonych

Zaokrąglanie i zapisywanie wyników obliczeń przybliżonych Edwrd Musił Oddził Gdński SEP Zokrąglnie i zpisywnie wyników obliczeń przybliżonych Inżynier wykonuje nieml wyłącznie obliczeni przybliżone i powinien mieć nieustnnie n względzie dokłdność, jką chce uzyskć

Bardziej szczegółowo

Algorytmy graficzne. Filtry wektorowe. Filtracja obrazów kolorowych

Algorytmy graficzne. Filtry wektorowe. Filtracja obrazów kolorowych Algorytmy grficzne Filtry wektorowe. Filtrcj orzów kolorowych Filtrcj orzów kolorowych Metody filtrcji orzów kolorowych możn podzielić n dwie podstwowe klsy: Metody komponentowe (component-wise). Cechą

Bardziej szczegółowo

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu konkursowego PO KL 1

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu konkursowego PO KL 1 Złącznik nr 3 Krt oceny merytorycznej wniosku o dofinnsownie projektu konkursowego PO KL Krt oceny merytorycznej wniosku o dofinnsownie projektu konkursowego PO KL 1 NR WNIOSKU KSI: POKL.05.02.01 00../..

Bardziej szczegółowo

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu innowacyjnego testującego składanego w trybie konkursowym w ramach PO KL

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu innowacyjnego testującego składanego w trybie konkursowym w ramach PO KL Złącznik nr 5 Krt oceny merytorycznej Krt oceny merytorycznej wniosku o dofinnsownie projektu innowcyjnego testującego skłdnego w trybie konkursowym w rmch PO KL NR WNIOSKU KSI: WND-POKL. INSTYTUCJA PRZYJMUJĄCA

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 42 Wyznaczanie ogniskowych soczewek

Ćwiczenie 42 Wyznaczanie ogniskowych soczewek Ćwiczenie 4 Wyzncznie ogniskowych soczewek Wstęp teoretyczny: Krzyszto Rębils. utorem ćwiczeni w Prcowni izycznej Zkłdu izyki Uniwersytetu Rolniczego w Krkowie jest Józe Zpłotny. ZJWISK ZŁMNI ŚWITŁ Świtło,

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II LO

Przedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II LO I Postnowieni ogólne Przedmiotowy system ocenini z mtemtyki wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Kls II LO 1. Wrunkiem uzyskni pozytywnej oceny semestrlnej z mtemtyki jest: ) zliczenie

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Ktlog wymgń progrmowych n poszczególne stopnie szkolne Mtemtyk. Poznć, zrozumieć Ksztłcenie w zkresie podstwowym. Kls 2 Poniżej podjemy umiejętności, jkie powinien zdobyć uczeń z kżdego dziłu, by uzyskć

Bardziej szczegółowo

WNIOSEK O USTALENIE PRAWA DO ŚWIADCZENIA PIELĘGNACYJNEGO Część I. Dane osoby ubiegającej się o ustalenie prawa do świadczenia pielęgnacyjnego

WNIOSEK O USTALENIE PRAWA DO ŚWIADCZENIA PIELĘGNACYJNEGO Część I. Dane osoby ubiegającej się o ustalenie prawa do świadczenia pielęgnacyjnego Miejski Ośrodek Pomocy Rodzinie ul. Strzelców Bytomskich 16, 41-902 Bytom Dził Świdczeń Rodzinnych ul. Strzelców Bytomskich 21, 41-902 Bytom tel. 32 388-86-07 lub 388-95-40; e-mil: sr@mopr.bytom.pl WNIOSEK

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 015/016 oprcowł: Dnut Wojcieszek n ocenę dopuszczjącą rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności sprwdz lgebricznie, czy dny punkt

Bardziej szczegółowo

Rekuperator to urządzenie

Rekuperator to urządzenie Rekupertor to urządzenie będące sercem cłego systemu wentylcji mechnicznej. Skłd się z zintegrownej obudowy, w której znjdują się dw wentyltory, w nszym przypdku energooszczędne. Jeden z nich służy do

Bardziej szczegółowo

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu konkursowego PO KL

Karta oceny merytorycznej wniosku o dofinansowanie projektu konkursowego PO KL Złącznik 3 Krt oceny merytorycznej wniosku o dofinnsownie Krt oceny merytorycznej wniosku o dofinnsownie projektu konkursowego PO KL INSTYTUCJA PRZYJMUJĄCA WNIOSEK:... NUMER KONKURSU:... NUMER WNIOSKU

Bardziej szczegółowo

WNIOSEK O USTALENIE PRAWA DO SPECJALNEGO ZASIŁKU OPIEKUŃCZEGO. Dane osoby ubiegającej się o ustalenie prawa do specjalnego zasiłku opiekuńczego.

WNIOSEK O USTALENIE PRAWA DO SPECJALNEGO ZASIŁKU OPIEKUŃCZEGO. Dane osoby ubiegającej się o ustalenie prawa do specjalnego zasiłku opiekuńczego. Miejski Ośrodek Pomocy Rodzinie ul. Strzelców Bytomskich 16, 41-902 Bytom Dził Świdczeń Rodzinnych ul. Strzelców Bytomskich 21, 41-902 Bytom tel. 32 388-86-07 lub 388-95-40; e-mil: sr@mopr.bytom.pl WNIOSEK

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU POPRAWKOWEGO MATEMATYKA. Zakresie podstawowym i rozszerzonym. Klasa II rok szkolny 2011/2012

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU POPRAWKOWEGO MATEMATYKA. Zakresie podstawowym i rozszerzonym. Klasa II rok szkolny 2011/2012 mgr Jolnt Chlebd mgr Mri Mślnk mgr Leszek Mślnk mgr inż. Rent itl mgr inż. Henryk Stępniowski Zespół Szkół ondgimnzjlnych Młopolsk Szkoł Gościnności w Myślenicch WYMAGANIA I RYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU

Bardziej szczegółowo

Jest błędem odwołanie się do zmiennej, której nie przypisano wcześniej żadnej wartości.

Jest błędem odwołanie się do zmiennej, której nie przypisano wcześniej żadnej wartości. Zmienne: W progrmie operuje się n zmiennych. Ndwnie im wrtości odbyw się poprzez instrukcję podstwieni. Interpretcj tej instrukcji jest nstępując: zmiennej znjdującej się z lewej strony instrukcji podstwieni

Bardziej szczegółowo

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy Szczegółowe wymgni edukcyjne z mtemtyki, kls 2C, poziom podstwowy Wymgni konieczne () dotyczą zgdnieo elementrnych, stnowiących swego rodzju podstwę, ztem powinny byd opnowne przez kżdego uczni. Wymgni

Bardziej szczegółowo

symbol dodatkowy element graficzny kolorystyka typografia

symbol dodatkowy element graficzny kolorystyka typografia Identyfikcj wizuln Fundcji n rzecz Nuki Polskiej 1/00 Elementy podstwowe symbol dodtkowy element grficzny kolorystyk typogrfi Identyfikcj wizuln Fundcji n rzecz Nuki Polskiej 1/01 Elementy podstwowe /

Bardziej szczegółowo

Lista 4 Deterministyczne i niedeterministyczne automaty

Lista 4 Deterministyczne i niedeterministyczne automaty Uniwersytet Zielonogórski Instytut Sterowni i Systemów Informtycznych Teoretyczne Podstwy Informtyki List 4 Deterministyczne i niedeterministyczne utomty Wprowdzenie Automt skończony jest modelem mtemtycznym

Bardziej szczegółowo

Załącznik nr 3 do PSO z matematyki

Załącznik nr 3 do PSO z matematyki Złącznik nr 3 do PSO z mtemtyki Wymgni n poszczególne oceny szkolne z mtemtyki n poziomie podstwowym Chrkterystyk wymgń n poszczególne oceny: Wymgni n ocenę dopuszczjącą dotyczą zgdnień elementrnych, stnowiących

Bardziej szczegółowo

DZIAŁ 2. Figury geometryczne

DZIAŁ 2. Figury geometryczne 1 kl. 6, Scenriusz lekcji Pole powierzchni bryły DZAŁ 2. Figury geometryczne Temt w podręczniku: Pole powierzchni bryły Temt jest przeznczony do relizcji podczs 2 godzin lekcyjnych. Zostł zplnowny jko

Bardziej szczegółowo

Jest błędem odwołanie się do zmiennej, której nie przypisano wcześniej żadnej wartości.

Jest błędem odwołanie się do zmiennej, której nie przypisano wcześniej żadnej wartości. Zmienne Po nieco intuicyjnych początkch, zjmiemy się obiektmi, n których opier się progrmownie są to zmienne. Zmienne Progrmy operują n zmiennych. Ndwnie im wrtości odbyw się poprzez instrukcję podstwieni.

Bardziej szczegółowo

KOMPENDIUM MATURZYSTY Matematyka poziom podstawowy

KOMPENDIUM MATURZYSTY Matematyka poziom podstawowy KOMPENDIUM MATURZYSTY Mtemtyk poziom podstwowy Publikcj dystrybuown bezpłtnie Dostępn n stronie: Kompendium do pobrni n stronie: SPIS TREŚCI. Potęgi i pierwistki... W tym:. Wykorzystnie wzorów;. Przeksztłcnie

Bardziej szczegółowo

WNIOSEK o przyznanie pomocy na zalesianie

WNIOSEK o przyznanie pomocy na zalesianie Agencj Restrukturyzcji i Modernizcji Rolnictw WNIOSEK o przyznnie pomocy n zlesinie 1) rok Potwierdzenie przyjęci wniosku przez Biuro Powitowe ARiMR /pieczęć/... Dt przyjęci i podpis... Znk sprwy - Schemt

Bardziej szczegółowo

WENTYLACJA PRZESTRZENI POTENCJALNIE ZAGROŻONYCH WYBUCHEM MIESZANIN GAZOWYCH

WENTYLACJA PRZESTRZENI POTENCJALNIE ZAGROŻONYCH WYBUCHEM MIESZANIN GAZOWYCH Ochron przeciwwybuchow Michł Świerżewski WENTYLACJA PRZESTRZENI POTENCJALNIE ZAGROŻONYCH WYBUCHEM MIESZANIN GAZOWYCH 1. Widomości ogólne Zgodnie z postnowienimi rozporządzeni Ministr Sprw Wewnętrznych

Bardziej szczegółowo

KOMPLEKSOWE POMIARY FREZÓW OBWIEDNIOWYCH

KOMPLEKSOWE POMIARY FREZÓW OBWIEDNIOWYCH KOMPLEKSOWE POMIARY FREZÓW OBWIEDNIOWYCH Michł PAWŁOWSKI 1 1. WSTĘP Corz większy rozwój przemysłu energetycznego, w tym siłowni witrowych stwi corz większe wymgni woec producentów przekłdni zętych jeśli

Bardziej szczegółowo

2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE

2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE.. Zsdy dynmiki Newton Siłą nzywmy wektorową wielkość, któr jest mirą mechnicznego oddziływni n ciło ze strony innych cił. dlszej części ędziemy rozptrywć

Bardziej szczegółowo

Znajdowanie analogii w geometrii płaskiej i przestrzennej

Znajdowanie analogii w geometrii płaskiej i przestrzennej Gimnzjum n 17 im. Atu Gottge w Kkowie ul. Litewsk 34, 30-014 Kków, Tel. (12) 633-59-12 Justyn Więcek, Atu Leśnik Znjdownie nlogii w geometii płskiej i pzestzennej opiekun pcy: mg Doot Szczepńsk Kków, mzec

Bardziej szczegółowo

smoleńska jako nierozwiązywalny konflikt?

smoleńska jako nierozwiązywalny konflikt? D y s k u s j smoleńsk jko nierozwiązywlny konflikt? Wiktor Sorl Michł Bilewicz Mikołj Winiewski Wrszw, 2014 1 Kto nprwdę stł z zmchmi n WTC lub z zbójstwem kżnej Diny? Dlczego epidemi AIDS rozpowszechnił

Bardziej szczegółowo

do Regulaminu przyznawania środków finansowych na rozwój przedsiębiorczości w projekcie Dojrzała przedsiębiorczość

do Regulaminu przyznawania środków finansowych na rozwój przedsiębiorczości w projekcie Dojrzała przedsiębiorczość Projekt współfinnsowny przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego Złącznik nr do Regulminu przyznwni środków finnsowych n rozwój przedsięiorczości w projekcie Dojrzł przedsięiorczość

Bardziej szczegółowo

Wspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad

Wspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad Wprowdzenie do Mthcd' Oprcowł:M. Detk P. Stąpór Wspomgnie oliczeń z pomocą progrmu MthCd Definicj zmiennych e f g h 8 Przykłd dowolnego wyrŝeni Ay zdefinowc znienną e wyierz z klwitury kolejno: e: e f

Bardziej szczegółowo

Laura Opalska. Klasa 1. Gimnazjum nr 1 z Oddziałami Integracyjnym i Sportowymi im. Bł. Salomei w Skale

Laura Opalska. Klasa 1. Gimnazjum nr 1 z Oddziałami Integracyjnym i Sportowymi im. Bł. Salomei w Skale Trójkąt Pscl od kuchni Kls 1 Gimnzjum nr 1 z Oddziłmi Integrcyjnym i Sportowymi im. Bł. Slomei w Skle ul. Ks.St.Połetk 32 32-043 Skł Gimnzjum nr 1 z Oddziłmi Integrcyjnymi i Sportowymi im. Bł. Slomei w

Bardziej szczegółowo

załącznik nr 3 do uchwały nr V-38-11 Rady Miejskiej w Andrychowie z dnia 24 lutego 2011 r.

załącznik nr 3 do uchwały nr V-38-11 Rady Miejskiej w Andrychowie z dnia 24 lutego 2011 r. złącznik nr 3 do uchwły nr V-38-11 Rdy Miejskiej w Andrychowie z dni 24 lutego 2011 r. ROZSTRZYGNIĘCIE O SPOSOBIE ROZPATRZENIA UWAG WNIESIONYCH DO WYŁOŻONEGO DO PUBLICZNEGO WGLĄDU PROJEKTU ZMIANY MIEJSCOWEGO

Bardziej szczegółowo

Anna Malarska. statystyczna analiza danych. wspomagana programem SPSS

Anna Malarska. statystyczna analiza danych. wspomagana programem SPSS Ann Mlrsk sttystyczn nliz dnych wspomgn progrmem SPSS SPSS Polsk Krków 2005 Sttystyczn nliz dnych wspomgn progrmem SPSS 1.2 Grficzne formy prezentcji dnych 1.2.1 Wykres słupkowy, histogrm Częstości relizcji

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM im. M. KONOPNICKIEJ W RADOMIU

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM im. M. KONOPNICKIEJ W RADOMIU PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W II LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM im. M. KONOPNICKIEJ W RADOMIU oprcowny n podstwie: Wewnątrzszkolnego Systemu Ocenini w II Liceum Ogólnoksztłcącym im. M. Konopnickiej

Bardziej szczegółowo

Zbiory rozmyte. Teoria i zastosowania we wnioskowaniu aproksymacyjnym

Zbiory rozmyte. Teoria i zastosowania we wnioskowaniu aproksymacyjnym Zior rozmte Teori i zstosowni we wniosowniu prosmcjnm PODSTWOWE POJĘCI Motwcje Potrze opisni zjwis i pojęć wielozncznch i niepreczjnch użwnch swoodnie w jęzu nturlnm np. wso tempertur młod człowie średni

Bardziej szczegółowo

Od lewej: piramida Chefrena, Wielki Sfinks, piramida Cheopsa.

Od lewej: piramida Chefrena, Wielki Sfinks, piramida Cheopsa. 1. Pirmidiotologi. W obfitej literturze przedmiotu podje się, że pirmid Ceops, lub też z ngielsk Wielk Pirmid (te Gret Pyrmid), zwier w swej konstrukcji pełną i szczegółową istorię rodzju ludzkiego od

Bardziej szczegółowo

Szkolnictwo zawodowe a rynek pracy sektora rolno-spożywczego w województwie łódzkim

Szkolnictwo zawodowe a rynek pracy sektora rolno-spożywczego w województwie łódzkim Szkolnictwo zwodowe dl sektor rolno-spożywczego w województwie łódzkim dignoz potrzeb edukcyjnych Szkolnictwo zwodowe rynek prcy sektor rolno-spożywczego w województwie łódzkim Prognozy oprcowne w rmch

Bardziej szczegółowo

ZESZYTY NAUKOWE WYDZIAŁU ETI POLITECHNIKI GDAŃSKIEJ Nr 5 Seria: Technologie Informacyjne 2007 ZASTOSOWANIA TRÓJKĄTNYCH PŁYTEK W GRAFICE KOMPUTEROWEJ

ZESZYTY NAUKOWE WYDZIAŁU ETI POLITECHNIKI GDAŃSKIEJ Nr 5 Seria: Technologie Informacyjne 2007 ZASTOSOWANIA TRÓJKĄTNYCH PŁYTEK W GRAFICE KOMPUTEROWEJ ZESZYTY NAUKOWE WYDZIAŁU ETI POLITECHNIKI GDAŃSKIEJ Nr 5 Seri: Technologie Informcyjne 007 Tomsz Dobrowolski Ktedr Algorytmów i Modelowni Systemów Politechnik Gdńsk ZASTOSOWANIA TRÓJKĄTNYCH PŁYTEK W GRAFICE

Bardziej szczegółowo

Struktura kapitału, a wartość rynkowa przedsiębiorstwa na rynku kapitałowym

Struktura kapitału, a wartość rynkowa przedsiębiorstwa na rynku kapitałowym Kurs e-lerningowy Giełd Ppierów Wrtościowych i rynek kpitłowy V edycj Struktur kpitłu, wrtość rynkow przedsiębiorstw n rynku kpitłowym 2010 SPIS TREŚCI I. Wstęp 3 II. Podstwowy miernik rentowności kpitłu

Bardziej szczegółowo

Równania nieliniowe. x i 1

Równania nieliniowe. x i 1 MN 08 Równni nieliniowe Wprowdzenie Podstwowe pytni 1. Pytnie: Czy komputer umie rozwiązywć równni nieliniowe f(x) = 0? Odpowiedź (uczciw): nie. 2. P: To jk on to robi? O: Dokłdnie tk, jk przy cłkowniu

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc i scemt ocenini zdń otwrtc Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc 4 7 9 0 4 7 9 0 D D D Scemt ocenini zdń otwrtc Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x x 0 Oliczm wróżnik i miejsc

Bardziej szczegółowo

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy

Dorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy Dorot Ponczek, rolin Wej MATeMAtyk Pln wynikowy Zkres podstwowy MATeMAtyk. Pln wynikowy. ZP Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące, W wymgni wykrczjące

Bardziej szczegółowo

Pakiet aplikacyjny. Specjalista ds. rozliczeń i administracji [Pomorze] ADM/2011/01

Pakiet aplikacyjny. Specjalista ds. rozliczeń i administracji [Pomorze] ADM/2011/01 Pkiet plikcyjny Stnowisko: Nr referencyjny: Specjlist ds. rozliczeń i dministrcji [Pomorze] ADM/2011/01 Niniejszy pkiet zwier informcje, które musisz posidć zgłszjąc swoją kndydturę. Zwier on: List do

Bardziej szczegółowo

Racjonalne oczekiwania w polityce podatkowej możliwości aplikacji

Racjonalne oczekiwania w polityce podatkowej możliwości aplikacji Jnusz Kudł Uniwersytet Wrszwski Rcjonlne oczekiwni w polityce podtkowej możliwości plikcji Wprowdzenie Jednym z njwżniejszych problemów polityki podtkowej jest ogrniczenie zjwisk nieleglnego unikni podtków.

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 3. Dobór mikrosilnika prądu stałego do układu pozycjonującego

Ćwiczenie 3. Dobór mikrosilnika prądu stałego do układu pozycjonującego - projektownie Ćwiczenie 3 Dobór ikrosilnik prądu stłego do ukłdu pozycjonującego Instrukcj Człowiek - njlepsz inwestycj Projekt współfinnsowny przez Unię Europejską w rch Europejskiego Funduszu Społecznego

Bardziej szczegółowo

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne

Sumy algebraiczne i funkcje wymierne Sumy lgebriczne i funkcje wymierne Moduł - dził -temt Zkres treści Sumy lgebriczne 1 definicj jednominu, sumy lgebricznej, wyrzów podobnych pojęcie współczynnik jednominu Dodwnie i odejmownie sum lgebricznych

Bardziej szczegółowo

ROZPORZĄDZENIE MINISTRA INFRASTRUKTURY 1) z dnia 16 grudnia 2004 r.

ROZPORZĄDZENIE MINISTRA INFRASTRUKTURY 1) z dnia 16 grudnia 2004 r. Typ/orgn wydjący Rozporządzenie/Minister Infrstruktury Tytuł w sprwie szczegółowych wrunków i trybu wydwni zezwoleń n przejzdy pojzdów nienormtywnych Skrócony opis pojzdy nienormtywne Dt wydni 16 grudni

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE CHARAKTERYSTYK RDZENI FERROMAGNETYCZNYCH

MODELOWANIE CHARAKTERYSTYK RDZENI FERROMAGNETYCZNYCH Krzysztof Górecki Akdemi orsk w Gdyni Klin Detk Pomorsk Wyższ Szkoł Nuk Stosownych w Gdyni ODELOWANIE CHARAKTERYSTYK RDZENI FERROAGNETYCZNYCH Artykuł dotyczy modelowni chrkterystyk rdzeni ferromgnetycznych.

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z JĘZYKÓW OBCYCH w Gimnazjum nr 2 im. ks. Stanisława Konarskiego nr 2 w Łukowie

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z JĘZYKÓW OBCYCH w Gimnazjum nr 2 im. ks. Stanisława Konarskiego nr 2 w Łukowie I. ZASADY OGÓLNE PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z JĘZYKÓW OBCYCH w Gimnzjum nr 2 im. ks. Stnisłw Konrskiego nr 2 w Łukowie 1. W Gimnzjum nr 2 w Łukowie nuczne są: język ngielski - etp educyjny III.1 język

Bardziej szczegółowo

ROZPORZĄDZENIE MINISTRA EDUKACJI NARODOWEJ 1) z dnia 7 lutego 2012 r. w sprawie ramowych planów nauczania w szkołach publicznych

ROZPORZĄDZENIE MINISTRA EDUKACJI NARODOWEJ 1) z dnia 7 lutego 2012 r. w sprawie ramowych planów nauczania w szkołach publicznych Dz.U.2012.204 ROZPORZĄDZENIE MINISTRA EDUKACJI NARODOWEJ 1) z dni 7 lutego 2012 r. w sprwie rmowych plnów nuczni w szkołch publicznych (Dz. U. z dni 22 lutego 2012 r.) N podstwie rt. 22 ust. 2 pkt 1 ustwy

Bardziej szczegółowo

Układ elektrohydrauliczny do badania siłowników teleskopowych i tłokowych

Układ elektrohydrauliczny do badania siłowników teleskopowych i tłokowych TDUSZ KRT TOMSZ PRZKŁD Ukłd elektrohydruliczny do bdni siłowników teleskopowych i tłokowych Wprowdzenie Polsk Norm PN-72/M-73202 Npędy i sterowni hydruliczne. Cylindry hydruliczne. Ogólne wymgni i bdni

Bardziej szczegółowo

Metodologia szacowania wartości docelowych dla wskaźników wybranych do realizacji w zakresie EFS w Regionalnym Programie Operacyjnym Województwa

Metodologia szacowania wartości docelowych dla wskaźników wybranych do realizacji w zakresie EFS w Regionalnym Programie Operacyjnym Województwa Metodologi szcowni wrtości docelowych dl wskźników wybrnych do relizcji w zkresie EFS w Regionlnym Progrmie percyjnym Województw Kujwsko-Pomorskiego 2014-2020 Toruń, listopd 2014 1 Spis treści I. CZĘŚĆ

Bardziej szczegółowo

Programy współbieżne

Programy współbieżne Specyfikownie i weryfikownie Progrmy współieżne Mrek A. Bednrczyk, www.ipipn.gd.pl Litertur wiele prc dostępnych w Sieci np.: http://www.wikipedi.org/ Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne PJP Prosty

Bardziej szczegółowo

Nazwa studiów podyplomowych: Studia Podyplomowe Samorządu Terytorialnego i Gospodarki Lokalnej

Nazwa studiów podyplomowych: Studia Podyplomowe Samorządu Terytorialnego i Gospodarki Lokalnej Wrocłw, dni 8 czerwc 205 r. Wydził Prw, Administrcji i Ekonomii Uniwersytetu Wrocłwskiego ogłsz zpisy n Studi Podyplomowe Smorządu Terytorilnego i Gospodrki Loklnej w roku kdemickim 205/206 Nzw studiów

Bardziej szczegółowo

Warszawa, dnia 22 lutego 2012 r. Pozycja 204 ROZPORZĄDZENIE MINISTRA EDUKACJI NARODOWEJ 1) z dnia 7 lutego 2012 r.

Warszawa, dnia 22 lutego 2012 r. Pozycja 204 ROZPORZĄDZENIE MINISTRA EDUKACJI NARODOWEJ 1) z dnia 7 lutego 2012 r. DZIENNIK USTAW RZECZYPOSPOLITEJ POLSKIEJ Wrszw, dni 22 lutego 2012 r. Pozycj 204 ROZPORZĄDZENIE MINISTRA EDUKACJI NARODOWEJ 1) z dni 7 lutego 2012 r. w sprwie rmowych plnów nuczni w szkołch publicznych

Bardziej szczegółowo

1. Warunki. 2. Zakładanie konta. 3. Logowanie. 4. Korzystanie z portalu klienta 5. Subkonta 5.1Zakładanie subkonta. 5.

1. Warunki. 2. Zakładanie konta. 3. Logowanie. 4. Korzystanie z portalu klienta 5. Subkonta 5.1Zakładanie subkonta. 5. PL Instrukcj DROGA DO PORTALU KLIENTA TOLL COLLECT Spis treści 1. Wrunki 2. Zkłdnie kont 3. Logownie 4. Korzystnie z portlu klient 5. Subkont 5.1Zkłdnie subkont 5.2 Edycj subkont 5.3 Usuwnie subkont 1

Bardziej szczegółowo

a A BAMIX HALE DLA PRZEMYSŁU Zapytanie ofertowe na wykonanie platformy 828

a A BAMIX HALE DLA PRZEMYSŁU Zapytanie ofertowe na wykonanie platformy 828 NARODOWA STRATEGIA SPÓJNOŚCI il A HALE DLA PRZEMYSŁU Wrszw, 01.04.2014 roku Zpytnie ofertowe n wykonnie pltformy 828 I. ZAMAWIAJACY I WYKONAWCA Zmwijącym jest: 8AMIX Zygmunt Leśnik z siedzibą w Wrszwie

Bardziej szczegółowo

Topologia i podzbiory,

Topologia i podzbiory, Jest to tekst związny z odczytem wygłoszonym n XLV Szkole Mtemtyki Poglądowej, Co mi się podo, Jchrnk, sierpień 2010, z który utor otrzymł Medl Filc. Topologi i podziory, czyli histori jednego twierdzeni

Bardziej szczegółowo

Gramatyki regularne i bezkontekstowe. Spis treści. Plan wykładu spotkania tydzień po tygodniu. Plan wykładu spotkania tydzień po tygodniu.

Gramatyki regularne i bezkontekstowe. Spis treści. Plan wykładu spotkania tydzień po tygodniu. Plan wykładu spotkania tydzień po tygodniu. Osob prowdząc wykłd i ćwiczeni: dr inż. Mrek werwin Instytut terowni i ystemów Informtycznych Uniwersytet Zielonogórski e-mil : M.werwin@issi.uz.zgor.pl tel. (prc) : 68 328 2321, pok. 328 A-2, ul. prof.

Bardziej szczegółowo

POROZUMIENIE. zawarte w dniu 16 maja 2014 r. w Warszawie, zwane dalej Porozumieniem, pomiędzy:

POROZUMIENIE. zawarte w dniu 16 maja 2014 r. w Warszawie, zwane dalej Porozumieniem, pomiędzy: POROZUMIENIE w sprwie przeprowdzeni pilotżu systemu komunikcji dl osób niedosłyszących (pętle indukcyjne przenośne) w jednostkch obsługujących użytkowników publicznie dostępnych usług telefonicznych orz

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWE ZASADY OCENIANIA Z MATEMATYKI W I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM IM. WOJCIECHA KĘTRZYŃSKIEGO W GIŻYCKU

PRZEDMIOTOWE ZASADY OCENIANIA Z MATEMATYKI W I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM IM. WOJCIECHA KĘTRZYŃSKIEGO W GIŻYCKU PRZEDMIOTOWE ZASADY OCENIANIA Z MATEMATYKI W I LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM IM. WOJCIECHA KĘTRZYŃSKIEGO W GIŻYCKU Oprcowny n podstwie: 1. Rozporządzeni ministr edukcji nrodowej z dni 10.06.2015 roku w sprwie

Bardziej szczegółowo