Value at Risk: pomiar i wykorzystanie w zarządzaniu ryzykiem
|
|
- Filip Marcinkowski
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 UWAGA!!! Dokument zaindeksowany w bazie WYŻSZA SZKOŁA FINANSÓW I ZARZĄDZANIA W BIAŁYMSTOKU WYDZIAŁ FINANSÓW I INFORMATYKI KIERUNEK: FINANSE I BANKOWOŚĆ PRZEMYSŁAW ROGUZIŃSKI NR ALBUMU 4814 Value at Risk: pomiar i wykorzystanie w zarządzaniu ryzykiem Praca licencjacka napisana w Zakładzie Zastosowań Informatyki pod kierunkiem prof. dr hab. M. Lasek BIAŁYSTOK
2 Spis treści Wstęp Charakterystyka Value at Risk Ryzyko i wartość zagrożona Zmienność aktywów i metody jej pomiaru Rzeczywisty rozkład cen aktywów a rozkład normalny Wykorzystanie korelacji między zmianami cen aktywów finansowych w redukcji ryzyka portfela Metody obliczania Value at Risk Metoda kowariancji Symulacja historyczna Symulacja Monte Carlo Zarządzanie ryzykiem przy wykorzystaniu Value at Risk Zarządzanie ryzykiem wewnątrz instytucji finansowej Skłonność banku do ponoszenia ryzyka Ustalanie limitów opartych na Value at Risk Wykorzystanie Value at Risk w globalnym zarządzaniu ryzykiem Zakończenie Bibliografia
3 Przemysław Roguziński Value at Risk: pomiar i wykorzystanie w zarządzaniu ryzykiem Białystok 2002 Wstęp W ostatnich latach obserwuje się znaczny wzrost ryzyka na rynkach finansowych. Spowodowało to coraz większe zainteresowanie ryzykiem i metodami jego zarządzania. Banki i inne instytucje finansowe zaczęły tworzyć komórki zarządzania ryzykiem, w których zatrudniani są specjaliści od ryzyka. Ich zadaniem jest identyfikacja i badanie zagrożeń, na jakie jest narażony bank. Najbardziej popularną miarą, którą wykorzystują do pomiaru ryzyka jest obecnie Value at Risk (VaR). Celem mojej pracy jest przedstawienie VaR oraz jej wykorzystanie w zarządzaniu ryzykiem. Czytelnik znajdzie w pracy odpowiedź na pytanie: Czym jest VaR i jak go liczyć?. Zapozna się również z praktycznym zastosowaniem VaR w zarządzaniu ryzykiem rynkowym w banku. Praca składa się z trzech rozdziałów. W rozdziale pierwszym omówiona została problematyka ryzyka rynkowego, koncepcja VaR oraz pojęcia statystyczne związane z tą miarą. W rozdziale drugim zaprezentowano i porównano trzy metody obliczania VaR: kowariancję, symulację historyczną oraz symulację Monte Carlo. Przy omówieniu każdej z tych metod zostały przedstawione kalkulacje VaR dla przykładowego portfela aktywów finansowych banku. Rozdział trzeci przedstawia jak VaR jest stosowane w praktyce zarządzania ryzykiem. Zarządzanie ryzykiem jest przedstawione tu w dwóch aspektach. Pierwszy dotyczy kontroli ryzyka wewnątrz instytucji finansowej, czyli jak bank wykorzystuje VaR w celu ochrony przed stratami. Drugi aspekt to globalne zarządzanie ryzykiem w oparciu o VaR. Omówione tu zostały działania instytucji regulacyjnych na rzecz bezpieczeństwa w całym sektorze bankowym. Przy pisaniu pracy najbardziej pomocnymi źródłami materiałów okazały się dwie książki: Wartość narażona na ryzyko autorstwa P. Best a oraz Tajniki Value at Risk C. Butlera. Materiały były uzupełnione publikacjami w fachowej 3
4 prasie, która na bieżąco śledzi najnowsze osiągnięcia w zarządzaniu ryzykiem. Tu szczególnie pomocny okazał się kwartalnik Rynek Terminowy. W sytuacji światowej kariery VaR brak jest przykładów z polskiego sektora bankowego, w którym korzysta się w większości banków z tradycyjnych metod kontroli ryzyka. Oczywiście najlepsze banki już przygotowują się do wdrożenia VaR, ale ta nowoczesna koncepcja pomiaru ryzyka nie jest jeszcze standardem w polskiej bankowości. Jest to jedna z przyczyn dla jakiej podjąłem się pisania o metodzie Value at Risk. Myślę, że najnowsze osiągnięcia w kontroli ryzyka powoli będą przenikać do polskiego systemu bankowego. Mam nadzieję, że niniejsza praca przyczyni się do lepszego poznania problematyki ryzyka oraz przybliży czytelnikowi nowoczesne metody jego pomiaru. 4
5 Przemysław Roguziński Value at Risk: pomiar i wykorzystanie w zarządzaniu ryzykiem Białystok Charakterystyka Value at Risk 1.1. Ryzyko i wartość zagrożona Ostatnie dziesięciolecia charakteryzowały się dużym wzrostem ryzyka na światowych rynkach finansowych. Notowania indeksu Dow Jones Composite, przedstawione na rysunku 1.1, pokazują jak niestabilna stała się sytuacja na nowojorskiej giełdzie, która w wyniku globalizacji współczesnych rynków finansowych ma duży wpływ na pozostałe centra finansowe. Niestabilność ekonomiczna zmieniła w sposób znaczący funkcjonowanie instytucji finansowych, dla których faktem stało się to, że... ryzyko, jakim obarczone są wszelkie rodzaje działalności finansowej, jest dziś większe niż w przeszłości. 1 DOW JONES COMPOSITE (2,807.07, 2,891.53, 2,769.24, 2,877.91) Rysunek 1.1. Indeks Dow Jones Composite w latach Źródło: opracowanie własne 1 Ch. W. Smithson, C. W. Smith, D. S. Wilford: Zarządzanie ryzykiem finansowym. Kraków, Oficyna Wydawnicza 2000 s
6 Każdy inwestor, który dąży do osiągania coraz większych zysków zmuszony jest do podejmowania coraz większego ryzyka. Utrzymywanie oszczędności w bonach lub obligacjach skarbowych nie przyniesie ponadprzeciętnych zysków, gdyż jest to strategia nastawiona nie na duży, ale pewny zysk. Inwestor może wybrać jednak inwestycje charakteryzujące się wysokim ryzykiem, takie jak akcje lub instrumenty pochodne. W tym wypadku przy realizacji korzystnego wariantu będzie wynagrodzony wysokim zyskiem, ale gdy jego oczekiwania nie sprawdzą się, narażony będzie na poważne straty finansowe. W prostym ujęciu ryzyko mierzy, jak zmienny jest dochód z inwestycji. 2 Gdy źródłem strat są zmiany wartości aktywów będących przedmiotem obrotu, mamy do czynienia z ryzykiem rynkowym. Jeżeli bank inwestycyjny utrzymuje otwartą pozycję w akcjach amerykańskich spółek, narażony jest na to, że notowania tych akcji spadną. Ma wtedy do czynienia z ryzykiem zmian cen akcji. Ze względu na rodzaj aktywów, które dotyczą otwartych pozycji, ryzyko rynkowe można podzielić na: ryzyko stopy procentowej (interest rate risk), ryzyko kursu walutowego (exchange rate risk), ryzyko cen akcji (stock price risk), ryzyko cen towarów (commodity price risk). 3 Praca ta nie będzie wybiegać poza problematykę ryzyka rynkowego, gdyż skupia się ona na systemie pomiaru właśnie tego rodzaju ryzyka. Niemal każda instytucja finansowa dąży do kontroli ryzyka 4, na jakie są narażone jej aktywa. Szczególnie banki nie mogą pozwolić sobie 2 C. Butler: Tajniki Value at Risk: Praktyczny podręcznik zastosowań metody VaR.. Warszawa, Liber 2001 s K. Jajuga: Nowe tendencje w zarządzaniu ryzykiem finansowym. Rynek Terminowy nr 3/5/99, s Kontrola ryzyka polega na podejmowaniu działań w celu obniżenia częstotliwości realizacji zdarzeń niekorzystnych lub wielkości strat albo zwiększenia prawdopodobieństwa wystąpienia zdarzeń korzystnych lub wielkości zysków. 6
7 Przemysław Roguziński Value at Risk: pomiar i wykorzystanie w zarządzaniu ryzykiem Białystok 2002 na utrzymywanie niezabezpieczonych pozycji, które mogą być źródłem poważnych strat. Bardziej niż inwestorzy indywidualni, instytucje finansowe zainteresowane są kontrolą ryzyka i podejmowaniem działań, które mają na celu redukcję czynników ryzyka. W tych instytucjach zatrudnia się specjalistów od zarządzania ryzykiem (risk managers), którzy identyfikują i mierzą zagrożenia. Są oni odpowiedzialni za kontrolę ryzyka i informowanie kierownictwa o zagrożeniach, na jakie narażona jest instytucja finansowa. Punktem wyjścia do kontroli ryzyka musi być miara określająca wielkość rozpoznanego ryzyka. Najnowsze teorie zarządzania ryzykiem wskazują na miarę statystyczną, jaką jest wartość narażona na ryzyko lub wartość zagrożona (Value at Risk, VaR). Aktualnie metodologia VaR używana jest przez większość instytucji finansowych na świecie (dotyczy to zwłaszcza tych firm, które posiadają portfele instrumentów pochodnych) do pomiaru i zarządzania ryzykiem rynkowym. 5 Jest to miara statystyczna, która doczekała się obszernej literatury dotyczącej metod jej obliczania. W 1994 roku bank J.P. Morgan opublikował swoją metodologię kalkulacji wskaźnika VaR. Specjaliści z banku J.P. Morgan stworzyli cały system kontroli ryzyka rynkowego, zwany RiskMetrics TM. Pomysł stworzenia systemu narodził się jako próba odpowiedzi pytanie prezesa tego banku, Dennisa Weatherstone a, o raport, który codziennie mógłby wskazać ryzyko oraz potencjalne straty w ciągu najbliższych 24 godzin, związane z całym portfelem banku. VaR mierzy największą oczekiwaną stratę, jaką dana instytucja może ponieść w danym okresie, przy założeniu normalnych warunków rynkowych i przy danym poziomie ufności. VaR ocenia ryzyko przy użyciu modeli statystycznych i symulacyjnych przeznaczonych do ustalania zmienności (volatility) aktywów w portfelu banku. 6 5 A. Stawczyk: Wprowadzenie do metodologii pomiaru ryzyka Value at Risk. Rynek Terminowy nr 4/6/99, s C. Butler, op. cit., s. 5. 7
8 Standardowy okres przetrzymania 7 (holding period), dla jakiego obliczany jest VaR, to jeden dzień. Natomiast poziom ufności 8 wyznacza się najczęściej na 95-procentowym poziomie, oznacza to, że istnieje 95% szansy, iż strata na kapitale będzie niższa niż szacowany VaR. Zakładając takie parametry definicję VaR można przedstawić następująco: Maksymalna kwota, jaką możemy stracić na portfelu w ciągu 24 godzin, przy 95-procentowym współczynniku ufności. 9 Wskaźnik VaR ma zastosowanie do wszystkich aktywów będących w obrocie. Korzyść, jaka z tego wynika, to możliwość bezpośredniego zestawienia ryzyka dla różnych obszarów działalności w liczbach bezwzględnych lub w procencie wartości portfela. Takie zestawienie ryzyka nie było możliwe przy użyciu tradycyjnych wskaźników ryzyka, gdyż inne wskaźniki były używane do każdego rodzaju aktywa. Analiza wartości narażonej na ryzyko zrodziła się z potrzeby określenia potencjalnych strat nie tylko wybranych elementów, ale przede wszystkim instytucji jako całości. 10 VaR jest miarą standardową w tym sensie, że może przedstawić stan ryzyka dla całego obszaru działalności instytucji. Wartość Value at Risk łączy wszystkie rodzaje ryzyka rynkowego, na które jest narażony portfel/portfele w jedną liczbę przydatną do różnych celów. Oprócz podstawowego zastosowania do zarządzania ryzykiem rynkowym służy również do raportowania instytucjom nadzorczym a nawet do umieszczania w sprawozdaniach rocznych. 11 VaR ujmuje ryzyko składników portfela w sposób całościowy, szacując je z zastosowaniem wskaźników korelacji między poszczególnymi aktywami. 7 Okres przetrzymania odpowiada przedziałowi czasu, dla którego oblicza się przewidywane ruchy cen. 8 Poziom ufności określa przyjętą wielokrotność odchyleń standardowych rozkładu zmian cen: wyższe wartości pozwalają pokładać większą ufność w rachunkach, gdyż odpowiadają większemu prawdopodobieństwu. 9 P. Best: Wartość narażona na ryzyko: Obliczanie i wdrażanie modelu VaR. Kraków, Oficyna Ekonomiczna 2000 s Zarządzanie ryzykiem finansowym. Materiały konferencyjne, Wrocław września 2000, s A. Stawczyk, op. cit., s
9 Przemysław Roguziński Value at Risk: pomiar i wykorzystanie w zarządzaniu ryzykiem Białystok 2002 Słabością stosowania dotychczasowych wskaźników ryzyka było to, że nie uwzględniały one poziomu ufności. System oparty na Value at Risk szacuje prawdopodobieństwo wystąpienia straty większej niż podany VaR. 95-procentowy współczynnik ufności oznacza, że przez 5% (np. 1 z 20 dni) czasu można spodziewać się straty przekraczającej wyznaczony wskaźnik VaR. Poziom ufności może być różny, zależy on od instytucji stosujących bądź rekomendujących. Warto pamiętać o następującej zasadzie: Im wyższy poziom ufności (niższy poziom tolerancji), tym większa wartość VaR. 12 Wykorzystanie wskaźnika VaR jest ważne z punktu widzenia nadzoru wewnętrznego i zewnętrznego. Prawidłowo oszacowana wartość ryzyka dla całej działalności banku, pozwala odpowiedzieć precyzyjnie na kluczowe pytania: Ile bank może stracić w najbliższym okresie?, Czy bank jest bezpieczny i wiarygodny?. Odpowiedzi na te pytania pozwalają ocenić, jak bank radzi sobie z redukcją ryzyka w warunkach rosnącej niepewności na rynkach finansowych. Bezpieczeństwo poszczególnych banków gwarantuje bezpieczeństwo całego sektora bankowego. Dlatego miarę VaR zalecają organy nadzoru bankowego Zmienność aktywów i metody jej pomiaru Zmienność (volatility) jest miarą wahań ceny aktywów finansowych dostępnych na rynku. Zmienność definiuje się jako miarę niepewności co do przyszłych zmian ceny instrumentu finansowego. 13 Przy obliczaniu zmienności instrumentu finansowego bada się jego stopy zwrotu w różnych okresach. Im większą zmiennością charakteryzują się aktywa, tym większe jest prawdopodobieństwo wygenerowania wysokich zysków, bądź poniesienia 12 K. Jajuga: Valua at Risk. Rynek Terminowy nr 9/3/00, s K. Piontek: Prognozowanie zmienności instrumentów finansowych (cz. I). Rynek Terminowy nr 13/3/01, s
10 wysokich strat. 14 Do pomiaru zmienności cen aktywów najczęściej wykorzystuje się odchylenie standardowe stóp zwrotu, będące miarą tego jak szeroko wartości zmian cen są rozproszone od wartości średniej. Tabela 1.1 przedstawia coroczne dochody z dwóch portfeli osiągnięte w ciągu pięciu lat. Średnie stopy zysku są jednakowe dla obu portfeli. Dochody z portfela B odbiegają bardziej od wartości średniej niż w przypadku portfela A. Portfel B charakteryzuje się większą zmiennością, a więc jest bardziej ryzykowny. Tabela 1.1. Przykładowe coroczne dochody z portfeli A i B osiągane w ciągu pięciu lat Okres Portfel A Portfel B 1 10% 11% 2 14% 20% 3 12% 3% 4 10% 14% 5 14% 12% Średnia stopa zysku 12% 12% Odchylenie standardowe 1,79% 5,48% Źródło: opracowanie własne Metody szacowania zmienności poszczególnych aktywów są różne i jest ich bardzo wiele. Można wśród nich wyróżnić metody: 1. Szacowania na podstawie prawdopodobieństwa zachowania się cen w przyszłości 2. Szacowania na podstawie danych historycznych 3. Symulację Monte Carlo 4. Metodę zmienności implikowanej wynikającą z obecnego stanu rynku 14 C. Butler, op.cit., s
11 Przemysław Roguziński Value at Risk: pomiar i wykorzystanie w zarządzaniu ryzykiem Białystok Metodę zmodyfikowanej estymacji na podstawie danych historycznych (EWMA) 6. Metody deterministyczne (np. GARCH) Szacowanie na podstawie prawdopodobieństwa zachowania się cen w przyszłości można zastosować, jeżeli znane są prognozy zachowania się stopy zwrotu w przyszłości. Odchylenie standardowe stóp zwrotu z aktywów liczy się na podstawie następującego wzoru: n = p i= 1 i ( R R) i 2 0,5 σ (1.1) gdzie: σ - odchylenie standardowe, p i - prawdopodobieństwo wystąpienia stopy zwrotu na poziomie R i, R - średnia oczekiwana stopa zwrotu z danego aktywu, przy czym: R = n i= 1 p i R i (1.2) Prognozy, co do przyszłych stóp zwrotu są przygotowywane przez analityków rynkowych za pomocą metod ekonometrycznych. Na podstawie tych metod bada się przyszłe możliwe stany gospodarki i określa się prawdopodobieństwo ich wystąpienia. Szacowanie zmienności na podstawie danych historycznych. Ta metoda wymaga wybrania odpowiednio długiego horyzontu czasowego, by mógł posłużyć jako wiarygodny obraz zachowań się stóp zwrotu w przeszłości. Dla modelu VaR powinien wynosić, co najmniej 100 dni. Jak ważny jest wybór odpowiednio długiego szeregu czasowego dla wyznaczenia odchylenia standardowego ilustruje rysunek 1.2 na przykładzie zmian cen akcji spółki Elektrim. Gdyby analiza dotyczyła tylko okresu ostatnich czterech miesięcy, 11
12 w których wyraźne jest wyciszenie wahań, wyniki nie odzwierciedlałyby rzeczywistej zmienności cen akcji we wcześniejszym okresie. Ocena ryzyka na podstawie takich wyników, okaże się nietrafiona w sytuacji prawdopodobnego powrotu wahań do zwyczajnego stanu. ELEKTRIM ( , , , ) 55 Okres 1 roku Niewielkie odchylenie standardowe Standard Deviation (2.5816) Sep Oct Nov Dec 2001 Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec Rysunek 1.2. Wykres notowań cen akcji Elektrimu i wskaźnik odchylenia standardowego Źródło: opracowanie własne Przy estymacji odchylenia standardowego na podstawie szeregu danych historycznych należy pamiętać, że wyniki będą odzwierciedleniem ryzyka przeszłego. Niedoskonałością tej metody jest to, że może nie dać wystarczających informacji na temat ryzyka przyszłego (future volatility). Zmienność oszacowaną na podstawie danych historycznych nazywamy zmiennością historyczną (realized volatility). Mimo tego metoda ta jest powszechnie wykorzystywana w zarządzaniu ryzykiem ze względu na prostotę obliczeń i powszechną dostępność informacji na temat historycznych notowań. 12
13 Przemysław Roguziński Value at Risk: pomiar i wykorzystanie w zarządzaniu ryzykiem Białystok 2002 Wzór na obliczenie wartości odchylenia standardowego na podstawie danych historycznych wygląda następująco: ( R R) gdzie: R t stopa zwrotu zrealizowana w okresie, N liczba okresów. n 2 1 σ = t (1.3) t= 1 N 1 Metoda Monte Carlo oparta jest na systemach komputerowych, które dzięki dużej mocy obliczeniowej pozwalają na szybkie przetwarzanie dużej ilości danych. Symulacja 15 Monte Carlo polega na wygenerowaniu dużej ilości możliwych zachowań rynku, przy założeniu, że traktujemy stan rynku jak zmienną losową. Na podstawie wygenerowanych scenariuszy oblicza się prawdopodobne odchylenie standardowe. Metoda ta jest często stosowana w rozwiniętych instytucjach finansowych i fascynuje bliskimi rzeczywistości wynikami. Metoda zmienności implikowanej (implied volatility), wynikającej z obecnego stanu rynku może stanowić dobre oszacowanie przyszłej zmienności, ponieważ zmienność aktywów jest obliczana na podstawie zachowania całego rynku, który jest przekonany o takim, a nie innym poziomie zmienności w przyszłości. Zmienność implikowaną ustalamy na podstawie cen opcji (exercise price) wystawionych na instrument pierwotny 16 (underlying instrument). Opcja to umowa między nabywcą (posiadaczem) a sprzedawcą (wystawcą) dającą nabywcy prawo do kupna (opcja kupna) lub sprzedaży (opcja sprzedaży) instrumentu bazowego przed lub w ustalonym dniu 15 Symulacja jest to zbiór sposobów postępowania, które pozwalają otrzymać rozwiązanie różnych zagadnień, m.in. gospodarczo-ekonomicznych, za pomocą wielokrotnie powtarzalnych prób losowych. 16 Instrumentem pierwotnym najczęściej są: papiery wartościowe, indeksy giełdowe, stopy procentowe i waluty. 13
14 w przyszłości po określonej cenie w zamian za opłatę. 17 Najważniejsze modele wyceny opcji są oparte na modelu Blacka-Sholesa OPM (The Option Pricing Model), który został opublikowany w 1973 roku. Praca M. Sholesa oraz Blacka nad modelami wyceny opcji została nagrodzona w 1997 roku Nagrodą Nobla w dziedzinie ekonomii. ma postać: Wzór na cenę europejskiej opcji kupna według modelu Blacka-Scholesa 2 S σ ln + r T E + 2 d1 = (1.5) σ T gdzie: C wartość europejskiej opcji kupna, P wartość europejskiej opcji sprzedaży, S cena instrumentu bazowego, E cena wykonania opcji, r stopa procentowa wolna od ryzyka, C rt = SN( d ) Xe N( ) (1.4) 1 d 2 2 S σ ln + r T E 2 d 2 = (1.6) σ T T długość okresu do terminu wygaśnięcia opcji wyrażona w latach. σ - odchylenie standardowe stopy zwrotu akcji, N(d) wartość dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego dla argumentu równego d. Gdy handlujący opcjami wyceniają opcje kupna i sprzedaży, muszą najpierw obliczyć zmienność i uwzględnić ją we własnym modelu wyceny. Możliwe jest działanie w drugą stronę, tzn. na podstawie ustalonej ceny opcji można ustalić wynikający parametr zmienności instrumentu podstawowego. Istnieją wady tej metody. Po pierwsze, ceny opcji, podobnie jak ceny innych 17 W. Tarczyński, M. Zwolankowski: Inżynieria finansowa. Warszawa, Placet 1999 s
15 Przemysław Roguziński Value at Risk: pomiar i wykorzystanie w zarządzaniu ryzykiem Białystok 2002 produktów kształtowane są przez popyt i podaż. Może to spowodować sytuację, w której relacja między ceną opcji a rzeczywistą zmiennością nie zawsze może być zachowana. Następnym mankamentem tej metody jest to, że nie można zastosować jej do opcji typu amerykańskiego (American-style option), które mogą być wykonane w dowolnym momencie do dnia wygaśnięcia opcji (maturity date). Po trzecie, ceny mają wkalkulowaną marżę zysków dealerów i są wyższe niż wynika to z ich zmienności. Pomimo słabych stron tej metody jest ona polecana częściej, niż szacowanie zmienności na podstawie danych historycznych. Eksperci od zarządzania ryzykiem z banku J.P. Morgan rekomendują metodę, którą jest zmodyfikowana estymacja na podstawie danych historycznych EWMA (exponentially weighted moving average). Opiera się ona na danych historycznych, przy czym przywiązuje się największą wagę ostatnim stanom rynku. Uzasadnione to jest tym, że ostatnie zachowania rynku silniej determinują jego przyszły kształt niż te wcześniejsze. Dla przykładu zwykła średnia ważona przyznaje taką samą wagę skrajnemu ruchowi cen akcji w sytuacji zawirowań, które zaistniały kilka miesięcy temu, co teraźniejszym stanom rynku. W metodzie EWMA wahania są tym mniej ważne, im wcześniej miały miejsce. Poniżej przedstawione jest porównanie sposobu obliczania zwykłej średniej ważonej i EWMA na podstawie historycznych stóp zwrotu z aktywów: 1 2 σ = (1.7) T ( R t R) T t= 1 T t 1 EWMA: = ( 1 λ) λ ( R R) t = 1 t 2 σ (1.8) gdzie: λ - parametr starzenia się informacji (decay factor), przyjmuje się na poziomie 0,94 lub 0,97. 15
16 Wśród metod deterministycznych uwagę zarządzających ryzykiem zwrócił model GARCH (Generalized Auto Regressive Conditional Heteroscedasticity), czyli uogólniona autoregresyjna heteroskedastyczność warunkowa. Model GARCH swoją popularność zawdzięcza uwzględnieniu faktu, że wariancja i tym samym odchylenie standardowe nie jest stałą. Heteroskedastyczność oznacza zmianę wariancji. Natomiast proces jest autoregresyjny, jeżeli pomiędzy wydarzeniami bieżącymi, a przeszłością nie istnieje żadna korelacja. 18 Model ten jest bardziej precyzyjny niż zmienność implikowana czy średnia krocząca EWMA, ale ze względu na swoją skomplikowaną budowę nie wyparł skutecznie wymienionych wcześniej metod. Twórcy RiskMetrics TM stwierdzają na podstawie badań empirycznych, że model GARCH oferuje tylko niewiele lepsze wyniki niż prosty model EWMA Rzeczywisty rozkład cen aktywów a rozkład normalny Przy obliczaniu VaR standardowo używana jest do tworzenia modelu ryzyka rynku krzywa rozkładu normalnego, gdyż wskazuje duże prawdopodobieństwo, że wynik będzie bliski wartości średniej. Zauważono, że rozkłady cen akcji są zbliżone do rozkładu normalnego. Na rysunku 1.3 zostały porównane ze sobą rozkład normalny i rzeczywisty rozkład cen akcji spółki Elektrim. 18 C. Butler, op. cit., s
17 Przemysław Roguziński Value at Risk: pomiar i wykorzystanie w zarządzaniu ryzykiem Białystok % 16% 14% 12% Częstość (%) 10% 8% 6% Rozkład normalny 4% 2% 0% -12,65% -8,65% -4,65% -0,65% 3,34% 7,34% 11,34% Zmiana ceny (%) Rysunek 1.3. Rozkład zmian cen akcji Elektrimu a rozkład normalny Źródło: opracowanie własne Porównując optycznie krzywą rozkładu normalnego z rozkładem empirycznym, można zauważyć, że rozkład zmian cen akcji Elektrimu jest dosyć dobrze aproksymowany przez rozkład normalny. Wykonany test zgodności Chi Kwadrat 19 również nie daje podstaw do tego, aby odrzucić założenie o normalności zmian cen akcji spółki Elektrimu. Rozkład empiryczny i normalny różni to, że w rzeczywistym rozkładzie występuje dużo więcej realizacji skoncentrowanych przy wartości przeciętnej (tzw. pik) i większa częstość ekstremalnych ruchów cen (tzw. Grube ogony 20 ), niż wskazuje na to rozkład normalny. Ponadto rozkład normalny jest symetryczny względem wartości przeciętnej, oznacza to, że z równym prawdopodobieństwem możemy spodziewać się zmiany cen w górę, jak i w dół. 19 Test zgodności Chi Kwadrat używamy, jeśli chcemy sprawdzić, czy dany rozkład empiryczny jest zgodny z rozkładem teoretycznym. 20 Grube ogony właściwość rozkładu statystycznego wskazująca na występowanie większej ilości zdarzeń ekstremalnych (dalekich od średniej) niż wynikałoby to z rozkładu normalnego. 17
18 Założenie o niezależności rozkładu normalnego sprawia, że zmiana cen w danym dniu nie jest zdeterminowana przez zmiany cen w dniach poprzednich. Obydwa te założenia oraz występowanie pików i grubych ogonów w rozkładach empirycznych sprawiają, że rozkład normalny nie odzwierciedla całkowicie prawdziwych ruchów cen aktywów finansowych, jednak zapewnia wystarczającą precyzję modelom VaR. Niedociągnięcia spowodowane założeniami rozkładu normalnego wprowadzają konieczność uzupełnienia modelu VaR o testowanie napięć 21 (stress testing) w celu objęcia analizą zdarzeń rzadkich. Na takie rozwiązanie wskazuje uznany specjalista w dziedzinie zarządzania ryzykiem P. Best:... nie zapomnijcie też o badaniach zdarzeń ekstremalnych, które pozwolą na wskazanie prawdziwych zagrożeń. 22 Analiza taka powinna być rozszerzona o badanie ryzyka portfela w sytuacji ekstremalnych zmian cen, jakie mogą wystąpić w przypadku zawirowań i krachów na giełdach finansowych. Ekstremalne zmiany cen będą pochodzić z tzw. ogona rozkładu. Oznacza to, że parametr ryzyka odpowiedni dla poszczególnego instrumentu będzie pochodził nie z kalkulacji odchylenia standardowego, a będzie reprezentował scenariusz katastrofalny zmiany ceny z przeszłości. 23 Scenariusze katastrofalne (disarter scenarios) lub scenariusze najgorszego wypadku (worst case scenario) wprowadzają zmiany w poziomie skorelowania instrumentów, które mają miejsce w czasie ekstremalnych zmian cen na rynkach finansowych. Takie zjawiska są obszarem badań statystycznej teorii wartości ekstremalnych 24 (Extreme Value Theory). Stress Test stanowi bardzo ważną część procesu 21 Test napięć, Stress Test scenariusz niekorzystnych sytuacji rynkowych występujących w przypadku poważnego kryzysu finansowego. Podczas przeprowadzania tesu napięć zakłada się, że w momencie kryzysu wszystkie korelacje osiągną wartości graniczne, czyli 1 lub 1. Stress Test przewiduje identyfikację i skwantyfikowanie efektu maksymalnych zmian cen na portfel finansowy instytucji. 22 M. Kawski: Var to nie wszystko! rozmowa RT z Philipem Bestem. Rynek Terminowy nr 13/3/01 s K. Dresler: Stres pozytywnym miernikiem ryzyka. Rynek Terminowy nr 4/6/99, s Wartość ekstremalna jest to wartość różniąca się bardzo znacznie od średniej wartości. Występowanie wartości ekstremalnych towarzyszy rzadkim zdarzeniom na rynkach finansowych. Praktycy kojarzą często wartości ekstremalne z występowaniem tzw. grubych ogonów rozkładów. 18
19 Przemysław Roguziński Value at Risk: pomiar i wykorzystanie w zarządzaniu ryzykiem Białystok 2002 zarządzania ryzykiem. [...] jest to nierozłączna część zarządzania ryzykiem, obok stosowania VaR. 25 Testowanie napięć uzasadniają nieoczekiwane zawirowania na rynku finansowym. Na przykład te po atakach terrorystycznych z 2001 roku. Wydarzenia 11 września znalazły swoje natychmiastowe odbicie również na rynkach finansowych. [ ] Gdy giełdy w Nowym Jorku były zamknięte, sytuacja na pozostałych giełdach była bardzo napięta. Od razu wszędzie wzrosła zmienność implikowana. 26 Zmiany dotyczyły zarówno rynków akcji, jak i rynków walutowych. Znaczna część tych zmian wybiegała poza krzywą rozkładu normalnego. W tej sytuacji rozkład normalny przestał być skutecznym narzędziem, który uchroniłby inwestorów przed stratami. Krzywa rozkładu normalnego, jak już wcześniej zostało wspomniane, nadaje wartościom skrajnym mniejsze prawdopodobieństwo, ale ich nie wyklucza. Powstaje więc pytanie: ile wynosi to prawdopodobieństwo i jaką możemy mieć pewność, że zmiany cen nie przekroczą podanej zmienności? Wskaźnik zmienności odpowiadający jednemu odchyleniu standardowemu zapewnia, że 68% wszystkich zmian cen w ujęciu absolutnym (tzn. dodatnich lub ujemnych) mieści się w odległości nie większej niż jedno odchylenie standardowe, czyli nie przekracza podanej zmienności. 27 Rysunek 1.4 przedstawia funkcję gęstości i prawdopodobieństwo dla zmiennej x o średniej 10 i odchyleniu standardowym 0,5. Wartości nie przekraczające podanej zmienności zawierają się w przedziale prawdopodobieństwa o dolnej granicy 0,16 i górnej 0,84. Odejmując dolną granicę od górnej otrzymujemy prawdopodobieństwo wyniku wewnątrz przedziału wyznaczonego przez odchylenie standardowe 68%. 25 A. Kulik: Zarządzanie ryzykiem finansowym wprowadzenie. Rynek Terminowy nr 9/3/00 s A. Kulik: Terrorystyczny atak na USA. Implikacje dla zarządzających ryzykiem Stress test. Rynek Terminowy nr 14/4/01, s P. Best, op. cit., s
20 1,2 1 0,84 prawdopodobieństwo 0,8 0,6 0,4 Krzywa gęstości Prawdopodobieństwo 0,2 0, ,5 8 8,5 9 9, , , ,5 13 x Rysunek 1.4. Funkcja gęstości i prawdopodobieństwa dla zmiennej x Źródło: opracowanie własne Model Value at Risk posługuje się jednostronnym przedziałem ufności tzn., że przy szacowaniu wskaźnika VaR interesują nas tylko potencjalne straty, nie zyski. Bierzemy, więc tylko pod uwagę zmiany cen w dół. Jedno odchylenie standardowe mieści 68% wszystkich zmian cen instrumentu finansowego. Jeżeli weźmiemy pod uwagę tylko ruchy cen w dół, jednostronny przedział ufności będzie wynosił 84%. Przy szacowaniu VaR stosuje się jednostronny przedział ufności 95% lub więcej. Aby uzyskać współczynnik ufności na poziomie 95% musimy pomnożyć odchylenie standardowe przez 1,65. Często zaleca się szacowanie ryzyka na poziomie ufności 99%, wtedy odchylenie standardowe mnożymy przez 2,33. Jeżeli więc pomnożymy odchylenie standardowe dziennych stóp zwrotu instrumentu finansowego przez 1,65, możemy być pewni w 95 procentach, że w ciągu 24 godzin strata nie przewyższy oszacowanego ryzyka. 20
Wycena opcji. Dr inż. Bożena Mielczarek
Wycena opcji Dr inż. Bożena Mielczarek Stock Price Wahania ceny akcji Cena jednostki podlega niewielkim wahaniom dziennym (miesięcznym) wykazując jednak stały trend wznoszący. Cena może się doraźnie obniżać,
Bardziej szczegółowoPorównanie metod szacowania Value at Risk
Porównanie metod szacowania Value at Risk Metoda wariancji i kowariancji i metoda symulacji historycznej Dominika Zarychta Nr indeksu: 161385 Spis treści 1. Wstęp....3 2. Co to jest Value at Risk?...3
Bardziej szczegółowo1) jednostka posiada wystarczające środki aby zakupić walutę w dniu podpisania kontraktu
Przykład 1 Przedsiębiorca będący importerem podpisał kontrakt na zakup materiałów (surowców) o wartości 1 000 000 euro z datą płatności za 3 miesiące. Bieżący kurs 3,7750. Pozostałe koszty produkcji (wynagrodzenia,
Bardziej szczegółowoAnaliza inwestycji i zarządzanie portfelem SPIS TREŚCI
Analiza inwestycji i zarządzanie portfelem Frank K. Reilly, Keith C. Brown SPIS TREŚCI TOM I Przedmowa do wydania polskiego Przedmowa do wydania amerykańskiego O autorach Ramy książki CZĘŚĆ I. INWESTYCJE
Bardziej szczegółowoBankowość Zajęcia nr 5 i 6
Motto zajęć: "za złoty dukat co w słońcu błyszczy" Bankowość Zajęcia nr 5 i 6 Ryzyko bankowe Ryzyko płynności Rola bilansu i cash flow; Metoda luki: Aktywa określonego rodzaju (AOR), Pasywa określonego
Bardziej szczegółowoOgłoszenie o zmianach statutu KBC OMEGA Funduszu Inwestycyjnego Zamkniętego z dnia 13 czerwca 2014 r.
Ogłoszenie o zmianach statutu KBC OMEGA Funduszu Inwestycyjnego Zamkniętego z dnia 13 czerwca 2014 r. KBC Towarzystwo Funduszy Inwestycyjnych S.A. działające jako organ KBC OMEGA Funduszu Inwestycyjnego
Bardziej szczegółowoTeoria portfelowa H. Markowitza
Aleksandra Szymura szymura.aleksandra@yahoo.com Teoria portfelowa H. Markowitza Za datę powstania teorii portfelowej uznaje się rok 95. Wtedy to H. Markowitz opublikował artykuł zawierający szczegółowe
Bardziej szczegółowoZałącznik do dokumentu zawierającego kluczowe informacje WARTA Inwestycja
Załącznik do dokumentu zawierającego kluczowe informacje WARTA Inwestycja Masz zamiar kupić produkt, który nie jest prosty i który może być trudny w zrozumieniu Data sporządzenia dokumentu: 19-12-2017
Bardziej szczegółowo1. Klasyfikacja stóp zwrotu 2. Zmienność stóp zwrotu 3. Mierniki ryzyka 4. Mierniki wrażliwości wyceny na ryzyko rynkowe
I Ryzyko i rentowność instrumentów finansowych 1. Klasyfikacja stóp zwrotu 2. Zmienność stóp zwrotu 3. Mierniki ryzyka 4. Mierniki wrażliwości wyceny na ryzyko rynkowe 1 Stopa zwrotu z inwestycji w ujęciu
Bardziej szczegółowoOGŁOSZENIE O ZMIANACH STATUTU SFIO AGRO Kapitał na Rozwój
Warszawa, 31 lipca 2013 r. OGŁOSZENIE O ZMIANACH STATUTU SFIO AGRO Kapitał na Rozwój Niniejszym Towarzystwo Funduszy Inwestycyjnych AGRO Spółka Akcyjna z siedzibą w Warszawie ogłasza poniższe zmiany statutu
Bardziej szczegółowoExcel i VBA w analizach i modelowaniu finansowym Pomiar ryzyka. Pomiar ryzyka
Pomiar ryzyka Miary obiektywne stosowane w kwantyfikacji ryzyka rynkowego towarzyszącego zaangażowaniu środków w inwestycjach finansowych obejmują: Miary zmienności, Miary zagrożenia, Miary wrażliwości.
Bardziej szczegółowoForward Rate Agreement
Forward Rate Agreement Nowoczesne rynki finansowe oferują wiele instrumentów pochodnych. Należą do nich: opcje i warranty, kontrakty futures i forward, kontrakty FRA (Forward Rate Agreement) oraz swapy.
Bardziej szczegółowoZałącznik do dokumentu zawierającego kluczowe informacje WARTA TWOJA PRZYSZŁOŚĆ Wariant B
Data sporządzenia dokumentu: 19-12-2017 Ogólne informacje o dokumencie Załącznik do dokumentu zawierającego kluczowe informacje WARTA TWOJA PRZYSZŁOŚĆ Wariant B Masz zamiar kupić produkt, który nie jest
Bardziej szczegółowoZałącznik do dokumentu zawierającego kluczowe informacje WARTA TWOJA PRZYSZŁOŚĆ Wariant A
Data sporządzenia dokumentu: 19-12-2017 Ogólne informacje o dokumencie Załącznik do dokumentu zawierającego kluczowe informacje WARTA TWOJA PRZYSZŁOŚĆ Wariant A Masz zamiar kupić produkt, który nie jest
Bardziej szczegółowoStruktura terminowa rynku obligacji
Krzywa dochodowości pomaga w inwestowaniu w obligacje Struktura terminowa rynku obligacji Wskazuje, które obligacje są atrakcyjne a których unikać Obrazuje aktualną sytuację na rynku długu i zmiany w czasie
Bardziej szczegółowoInwestycje finansowe. Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. Ryzyko.
Inwestycje finansowe Wycena obligacji. Stopa zwrotu z akcji. yzyko. Inwestycje finansowe Instrumenty rynku pieniężnego (np. bony skarbowe). Instrumenty rynku walutowego. Obligacje. Akcje. Instrumenty pochodne.
Bardziej szczegółowoOGŁOSZENIE O ZMIANIE STATUTU UNIOBLIGACJE HIGH YIELD FUNDUSZU INWESTYCYJNEGO ZAMKNIĘTEGO Z DNIA 23 CZERWCA 2016 R.
OGŁOSZENIE O ZMIANIE STATUTU UNIOBLIGACJE HIGH YIELD FUNDUSZU INWESTYCYJNEGO ZAMKNIĘTEGO Z DNIA 23 CZERWCA 2016 R. Niniejszym, Union Investment Towarzystwo Funduszy Inwestycyjnych S.A. ogłasza o zmianie
Bardziej szczegółowoInne kryteria tworzenia portfela. Inne kryteria tworzenia portfela. Poziom bezpieczeństwa. Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 3. Dr Katarzyna Kuziak
Inne kryteria tworzenia portfela Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 3 Dr Katarzyna Kuziak. Minimalizacja ryzyka przy zadanym dochodzie Portfel efektywny w rozumieniu Markowitza odchylenie standardowe
Bardziej szczegółowoOpcje na GPW (I) Możemy wyróżnić dwa rodzaje opcji: opcje kupna (ang. call options), opcje sprzedaży (ang. put options).
Opcje na GPW (I) Opcje (ang. options) to podobnie jak kontrakty terminowe bardzo popularny instrument notowany na rynkach giełdowych. Ich konstrukcja jest nieco bardziej złożona od kontraktów. Opcje można
Bardziej szczegółowo1/ W oparciu o znajomość MSSF, które zostały zatwierdzone przez UE (dalej: MSR/MSSF): (Punktacja dot. pkt 1, razem: od 0 do 20 pkt)
II Etap Maj 2013 Zadanie 1 II Etap Maj 2013 1/ W oparciu o znajomość MSSF, które zostały zatwierdzone przez UE (dalej: MSR/MSSF): (Punktacja dot. pkt 1, razem: od 0 do 20 pkt) 1.1/podaj definicję składnika
Bardziej szczegółowoZmiana Statutu Rockbridge Funduszu Inwestycyjnego Zamkniętego Bezpieczna Inwestycja 2 z dnia 8 grudnia 2017 r.
Zmiana Statutu Rockbridge Funduszu Inwestycyjnego Zamkniętego Bezpieczna Inwestycja 2 z dnia 8 grudnia 2017 r. Rockbridge Towarzystwo Funduszy Inwestycyjnych S.A. na podstawie art. 24 ust. 5 oraz art.
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1
Bardziej szczegółowoOBLICZANIE WYMOGU KAPITAŁOWEGO Z TYTUŁU RYZYKA CEN KAPITAŁOWYCH PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH
DZIENNIK URZĘDOWY NBP NR 2-83 - poz. 3 Załącznik nr 8 do uchwały nr 1/2007 Komisji Nadzoru Bankowego z dnia 13 marca 2007 r. (poz. 3) OBLICZANIE WYMOGU KAPITAŁOWEGO Z TYTUŁU RYZYKA CEN KAPITAŁOWYCH PAPIERÓW
Bardziej szczegółowoKURS DORADCY FINANSOWEGO
KURS DORADCY FINANSOWEGO Przykładowy program szkolenia I. Wprowadzenie do planowania finansowego 1. Rola doradcy finansowego Definicja i cechy doradcy finansowego Oczekiwania klienta Obszary umiejętności
Bardziej szczegółowoWycena papierów wartościowych - instrumenty pochodne
Matematyka finansowa - 8 Wycena papierów wartościowych - instrumenty pochodne W ujęciu probabilistycznym cena akcji w momencie t jest zmienną losową P t o pewnym (zwykle nieznanym) rozkładzie prawdopodobieństwa,
Bardziej szczegółowoĆwiczenia Zarządzanie Ryzykiem. dr hab. Renata Karkowska, ćwiczenia Zarządzanie ryzykiem 1
Ćwiczenia Zarządzanie Ryzykiem 1 VaR to strata wartości instrumentu (portfela) taka, że prawdopodobieństwo osiągnięcia jej lub przekroczenia w określonym przedziale czasowym jest równe zadanemu poziomowi
Bardziej szczegółowoWykorzystanie opcji w zarządzaniu ryzykiem finansowym
Prof. UJ dr hab. Andrzej Szopa Instytut Spraw Publicznych Uniwersytet Jagielloński Wykorzystanie opcji w zarządzaniu ryzykiem finansowym Ryzyko finansowe rozumiane jest na ogół jako zjawisko rozmijania
Bardziej szczegółowoKrzysztof Piontek MODELOWANIE I PROGNOZOWANIE ZMIENNOŚCI INSTRUMENTÓW FINANSOWYCH
Akademia Ekonomiczna im. Oskara Langego we Wrocławiu Wydział Zarządzania i Informatyki Krzysztof Piontek MODELOWANIE I PROGNOZOWANIE ZMIENNOŚCI INSTRUMENTÓW FINANSOWYCH rozprawa doktorska Promotor: prof.
Bardziej szczegółowoSterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3
Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3 21.06.2005 r. 4. Planowanie eksperymentów symulacyjnych Podczas tego etapu ważne jest określenie typu rozkładu badanej charakterystyki. Dzięki tej informacji
Bardziej szczegółowoSpis treści: Wstęp. ROZDZIAŁ 1. Istota i funkcje systemu finansowego Adam Dmowski
Rynki finansowe., Książka stanowi kontynuację rozważań nad problematyką zawartą we wcześniejszych publikacjach autorów: Podstawy finansów i bankowości oraz Finanse i bankowość wydanych odpowiednio w 2005
Bardziej szczegółowo- w art. 8 ust. 3 Statutu otrzymuje nowe, następujące brzmienie:
KBC Towarzystwo Funduszy Inwestycyjnych S.A. działające, jako organ KBC Alfa Specjalistycznego Funduszu Inwestycyjnego Otwartego, uprzejmie informuje o dokonaniu zmian statutu dotyczących polityki inwestycyjnej
Bardziej szczegółowoZAŁĄCZNIKI ROZPORZĄDZENIA DELEGOWANEGO KOMISJI (UE) /
KOMISJA EUROPEJSKA Bruksela, dnia 4.10.2016 r. C(2016) 6329 final ANNEXES 1 to 4 ZAŁĄCZNIKI do ROZPORZĄDZENIA DELEGOWANEGO KOMISJI (UE) / uzupełniającego rozporządzenie Parlamentu Europejskiego i Rady
Bardziej szczegółowoInformacja z dnia 18 stycznia 2018 r., o sprostowaniu ogłoszenia o zmianie Statutu Rockbridge Funduszu Inwestycyjnego
Informacja z dnia 18 stycznia 2018 r., o sprostowaniu ogłoszenia o zmianie Statutu Rockbridge Funduszu Inwestycyjnego Zamkniętego Multi Inwestycja z dnia 8 grudnia 2017 r. Rockbridge Towarzystwo Funduszy
Bardziej szczegółowoOGŁOSZENIE Z DNIA 05 lipca 2016 r. O ZMIANIE STATUTU UNIFUNDUSZE SPECJALISTYCZNEGO FUNDUSZU INWESTYCYJNEGO OTWARTEGO
OGŁOSZENIE Z DNIA 05 lipca 2016 r. O ZMIANIE STATUTU UNIFUNDUSZE SPECJALISTYCZNEGO FUNDUSZU INWESTYCYJNEGO OTWARTEGO Niniejszym, Union Investment Towarzystwo Funduszy Inwestycyjnych S.A. ogłasza o zmianie
Bardziej szczegółowoZałącznik do dokumentu zawierającego kluczowe informacje DODATKOWE UBEZPIECZENIE Z FUNDUSZEM W RAMACH:
Załącznik do dokumentu zawierającego kluczowe informacje DODATKOWE UBEZPIECZENIE Z FUNDUSZEM W RAMACH: GRUPOWEGO UBEZPIECZENIA NA ŻYCIE WARTA EKSTRABIZNES GRUPOWEGO UBEZPIECZENIA NA ŻYCIE WARTA EKSTRABIZNES
Bardziej szczegółowoFutures na Wibor najlepszy sposób zarabiania na stopach. Departament Skarbu, PKO Bank Polski Konferencja Instrumenty Pochodne Warszawa, 28 maja 2014
Futures na Wibor najlepszy sposób zarabiania na stopach Departament Skarbu, PKO Bank Polski Konferencja Instrumenty Pochodne Warszawa, 28 maja 2014 Agenda Wprowadzenie Definicja kontraktu Czynniki wpływające
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. L Egzamin dla Aktuariuszy z 5 października 2009 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy L Egzamin dla Aktuariuszy z 5 października 2009 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 0 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoZarządzanie ryzykiem. Opracował: Dr inŝ. Tomasz Zieliński
Zarządzanie ryzykiem Opracował: Dr inŝ. Tomasz Zieliński I. OGÓLNE INFORMACJE O PRZEDMIOCIE Cel przedmiotu: Celem przedmiotu jest zaprezentowanie studentom podstawowych pojęć z zakresu ryzyka w działalności
Bardziej szczegółowoOPCJE MIESIĘCZNE NA INDEKS WIG20
OPCJE MIESIĘCZNE NA INDEKS WIG20 1 TROCHĘ HISTORII 1973 Fisher Black i Myron Scholes opracowują precyzyjną metodę obliczania wartości opcji słynny MODEL BLACK/SCHOLES 2 TROCHĘ HISTORII 26 kwietnia 1973
Bardziej szczegółowoZałącznik do Dokumentu zawierającego kluczowe informacje Ubezpieczeniowe fundusze kapitałowe Ubezpieczenie Inwestycyjne Bonus VIP
Załącznik do Dokumentu zawierającego kluczowe informacje Ubezpieczeniowe fundusze kapitałowe Ubezpieczenie Inwestycyjne Bonus VIP Ten dokument dotyczy ubezpieczeniowych funduszy kapitałowych dostępnych
Bardziej szczegółowoRyzyko i efektywność. Ćwiczenia ZPI. Katarzyna Niewińska, ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1
Ryzyko i efektywność Ćwiczenia ZPI 1 Stopa zwrotu 2 Zadanie 1. Rozkład normalny Prawdopodobieństwa wystąpienia oraz spodziewane stopy zwrotu w przypadku danej spółki giełdowej są zaprezentowane w tabeli.
Bardziej szczegółowoForward kontrakt terminowy o charakterze rzeczywistym (z dostawą instrumentu bazowego).
Kontrakt terminowy (z ang. futures contract) to umowa pomiędzy dwiema stronami, z których jedna zobowiązuje się do kupna, a druga do sprzedaży, w określonym terminie w przyszłości (w tzw. dniu wygaśnięcia)
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa i ubezpieczeniowa - 8 Wycena papierów wartościowych
Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa - 8 Wycena papierów wartościowych W ujęciu probabilistycznym cena akcji w momencie t jest zmienną losową P t o pewnym (zwykle nieznanym) rozkładzie prawdopodobieństwa,
Bardziej szczegółowoBezpieczeństwo biznesu - Wykład 8
Wykład 8. Ryzyko bankowe Pojęcie ryzyka bankowego i jego rodzaje. Ryzyko zagrożenie nieosiągniecia zamierzonych celów Przyczyny wzrostu ryzyka w działalności bankowej. Gospodarcze : wzrost, inflacja, budżet,
Bardziej szczegółowoZmiana statutu BPH FIZ Korzystnego Kursu Certyfikat Inwestycyjny, Certyfikat 3. Dyspozycja Deponowania Certyfikatów Inwestycyjnych
2012-02-24 Zmiana statutu BPH FIZ Korzystnego Kursu BPH Towarzystwo Funduszy Inwestycyjnych S.A. na podstawie art. 24 ust. 5 Ustawy z dnia 27 maja 2004 r. o funduszach inwestycyjnych (Dz. U. Nr 146, poz.
Bardziej szczegółowoMateriały do samodzielnego kształcenia Inżynieria finansowa i zarządzanie ryzykiem. Temat wykładu: Wycena kontraktów swap
Materiały do samodzielnego kształcenia Inżynieria finansowa i zarządzanie ryzykiem Temat wykładu: Wycena kontraktów swap Podstawowe zagadnienia: 1. Wycena swapa procentowego metodą wyceny obligacji 2.
Bardziej szczegółowoOpcje - wprowadzenie. Mała powtórka: instrumenty liniowe. Anna Chmielewska, SGH,
Opcje - wprowadzenie Mała powtórka: instrumenty liniowe Punkt odniesienia dla rozliczania transakcji terminowej forward: ustalony wcześniej kurs terminowy. W dniu rozliczenia transakcji terminowej forward:
Bardziej szczegółowoMSSF 7 - potencjalny wpływ ryzyka rynkowego
*connectedthinking Aktualności MSSF Wyjaśnienie działań IASB* MSSF 7 - dodatek l MSSF 7 - potencjalny wpływ ryzyka rynkowego Potencjalny wpływ ryzyk rynkowych jest jednym z ważniejszych problemów, na jakie
Bardziej szczegółowoSpis treści 3 SPIS TREŚCI
Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe
Bardziej szczegółowoNazwa UFK: Data sporządzenia dokumentu: Fundusz Akcji r.
Załącznik do Dokumentu zawierającego kluczowe informacje Ubezpieczeniowe fundusze kapitałowe Umowa dodatkowa na życie z ubezpieczeniowymi funduszami kapitałowymi (UFK) zawierana z umową ubezpieczenia Twoje
Bardziej szczegółowodr hab. Renata Karkowska 1
dr hab. Renata Karkowska 1 Miary zmienności: obrazują zmiany cen, stóp zwrotu instrumentów finansowych, opierają się na rozproszeniu ich rozkładu, tym samym uśredniają ryzyko: wariancja stopy zwrotu, odchylenie
Bardziej szczegółowoOgłoszenie o zmianach w treści statutu PKO GLOBALNEJ MAKROEKONOMII fundusz inwestycyjny zamknięty (nr 9/2013)
Warszawa, dnia 13 czerwca 2013 roku Ogłoszenie o zmianach w treści statutu PKO GLOBALNEJ MAKROEKONOMII fundusz inwestycyjny zamknięty (nr 9/2013) 1. w artykule 3 ust. 7 otrzymuje następujące brzmienie:
Bardziej szczegółowoZałącznik do Dokumentu zawierającego kluczowe informacje Ubezpieczeniowe fundusze kapitałowe Ubezpieczenie Inwestycyjne Bonus VIP
Załącznik do Dokumentu zawierającego kluczowe informacje Ubezpieczeniowe fundusze kapitałowe Ubezpieczenie Inwestycyjne Bonus VIP Ten dokument dotyczy ubezpieczeniowych funduszy kapitałowych dostępnych
Bardziej szczegółowoPortfel obligacyjny plus
POLITYKA INWESTYCYJNA Dokument określający odrębnie dla każdego Portfela modelowego podstawowe parametry inwestycyjne, w szczególności: profil ryzyka Klienta, strukturę portfela, cechy strategii inwestycyjnej,
Bardziej szczegółowoPortfel inwestycyjny. Aktywa. Bilans WPROWADZENIE. Tomasz Chmielewski 1. Kapitał. Zobowiązania. Portfel inwestycyjny 2. Portfel inwestycyjny 3
Portfel inwestycyjny Portfel inwestycyjny 1 WPROWDZENIE Portfel inwestycyjny Bilans Kapitał ktywa Zobowiązania Portfel inwestycyjny 3 Tomasz Chmielewski 1 Portfel inwestycyjny 4 Podstawowe funkcje rynków
Bardziej szczegółowoProjekcja inflacji Narodowego Banku Polskiego materiał edukacyjny
Projekcja inflacji Narodowego Banku Polskiego materiał edukacyjny Plan prezentacji I. Projekcja inflacji NBP - podstawowe zagadnienia II. Główne założenia projekcji inflacji NBP III. Sposób prezentacji
Bardziej szczegółowoPortfel oszczędnościowy
POLITYKA INWESTYCYJNA Dokument określający odrębnie dla każdego Portfela modelowego podstawowe parametry inwestycyjne, w szczególności: profil Klienta, strukturę portfela, cechy strategii inwestycyjnej,
Bardziej szczegółowoInformacje, o których mowa w art. 110w ust. 4 u.o.i.f., tj.:
INFORMACJE UJAWNIANE PRZEZ PEKAO INVESTMENT BANKING S.A. ZGODNIE Z ART. 110w UST.5 USTAWY Z DNIA 29 LIPCA 2005 R. O OBROCIE INSTRUMENTAMI FINANSOWYMI Stan na dzień 13/04/2017 Na podstawie art. 110w ust.
Bardziej szczegółowoTYPY MODELOWYCH STRATEGII INWESTYCYJNYCH
ZAŁĄCZNIK NR 1 DO REGULAMINU TYPY MODELOWYCH STRATEGII INWESTYCYJNYCH W ramach Zarządzania, Towarzystwo oferuje następujące Modelowe Strategie Inwestycyjne: 1. Strategia Obligacji: Cel inwestycyjny: celem
Bardziej szczegółowoSpis treści. Wstęp...
Wstęp... XI Rozdział 1. Podstawy zarządzania ryzykiem... 1 1.1. Ryzyko rynkowe... 1 1.2. Charakterystyka instrumentów pochodnych... 12 1.2.1. Forward... 13 1.2.2. Futures... 14 1.2.3. Swap... 16 1.2.4.
Bardziej szczegółowoWykład 8 Rynek akcji nisza inwestorów indywidualnych Rynek akcji Jeden z filarów rynku kapitałowego (ok 24% wartości i ok 90% PK globalnie) Źródło: http://www.marketwatch.com (dn. 2015-02-12) SGH, Rynki
Bardziej szczegółowoSpis treści. Ze świata biznesu... 13. Przedmowa do wydania polskiego... 15. Wstęp... 19
Spis treści Ze świata biznesu............................................................ 13 Przedmowa do wydania polskiego.............................................. 15 Wstęp.......................................................................
Bardziej szczegółowoVaR Value atrisk(var) co to jest? Inne nazwy: Wartość zagrożona Wartość narażona na ryzyko
VaR 11 Value atrisk(var) co to jest? Inne nazwy: Wartość zagrożona Wartość narażona na ryzyko Popularna miara ryzyka Co może mieć negatywne skutki z punktu widzenia ryzyka systemowego Popularność wspierana
Bardziej szczegółowoInformacja o zmianach danych objętych prospektem informacyjnym dokonanych w dniu 16 września 2010 roku
Informacja o zmianach danych objętych prospektem informacyjnym dokonanych w dniu 16 września 2010 roku Działając na podstawie 28 ust. 2 i 3 Rozporządzenia Ministra Finansów z dnia 20 stycznia 2009 r. w
Bardziej szczegółowoPrace magisterskie 1. Założenia pracy 2. Budowa portfela
1. Założenia pracy 1 Założeniem niniejszej pracy jest stworzenie portfela inwestycyjnego przy pomocy modelu W.Sharpe a spełniającego następujące warunki: - wybór akcji 8 spółek + 2 papiery dłużne, - inwestycja
Bardziej szczegółowoOGŁOSZENIE O ZMIANIE STATUTU SEZAM IX FUNDUSZU INWESTYCYJNEGO ZAMKNIĘTEGO AKTYWÓW NIEPUBLICZNYCH Z DNIA 16 STYCZNIA 2014 R.
OGŁOSZENIE O ZMIANIE STATUTU SEZAM IX FUNDUSZU INWESTYCYJNEGO ZAMKNIĘTEGO AKTYWÓW NIEPUBLICZNYCH Z DNIA 16 STYCZNIA 2014 R. Niniejszym, SKARBIEC Towarzystwo Funduszy Inwestycyjnych S.A., na podstawie art.
Bardziej szczegółowoFinanse behawioralne. Finanse 110630-1165
behawioralne Plan wykładu klasyczne a behawioralne Kiedy są przydatne narzędzia finansów behawioralnych? Przykłady modeli finansów behawioralnych klasyczne a behawioralne klasyczne opierają się dwóch założeniach:
Bardziej szczegółowoZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 689 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR 50 2012 ANALIZA WŁASNOŚCI OPCJI SUPERSHARE
ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 689 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR 5 212 EWA DZIAWGO ANALIZA WŁASNOŚCI OPCJI SUPERSHARE Wprowadzenie Proces globalizacji rynków finansowych stwarza
Bardziej szczegółowoW kolejnym kroku należy ustalić liczbę przedziałów k. W tym celu należy wykorzystać jeden ze wzorów:
Na dzisiejszym wykładzie omówimy najważniejsze charakterystyki liczbowe występujące w statystyce opisowej. Poszczególne wzory będziemy podawać w miarę potrzeby w trzech postaciach: dla szeregu szczegółowego,
Bardziej szczegółowoInformacje, o których mowa w art. 222b Ustawy z dnia 27 maja 2004 r. o funduszach inwestycyjnych i zarządzaniu alternatywnymi funduszami inwestycyjnymi ( Ustawa ) 1. Udział procentowy aktywów, które są
Bardziej szczegółowoBilans i Raport Ryzyka Alior Bank S.A. wg stanu na r.
Bilans i Raport Ryzyka Alior Bank S.A. wg stanu na r. Spis treści BILANS... 3 1. Kasa i operacje z bankiem centralnym... 4 2. Aktywa finansowe dostępne do sprzedaży... 4 3. Należności od klientów... 4
Bardziej szczegółowoOpcja jest to prawo przysługujące nabywcy opcji wobec jej wystawcy do:
Jesteś tu: Bossa.pl Opcje na WIG20 - wprowadzenie Opcja jest to prawo przysługujące nabywcy opcji wobec jej wystawcy do: żądania w ustalonym terminie dostawy instrumentu bazowego po określonej cenie wykonania
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa. Przedział ufności
Estymacja przedziałowa Przedział ufności Estymacja przedziałowa jest to szacowanie wartości danego parametru populacji, ρ za pomocą tak zwanego przedziału ufności. Przedziałem ufności nazywamy taki przedział
Bardziej szczegółowoOKRESOWA INFORMACJA DLA INWESTORA
OKRESOWA INFORMACJA DLA INWESTORA Skarbiec - JPMorgan Asset Management Funds Polska Specjalistyczny Fundusz Inwestycyjny Otwarty Niniejszy dokument Okresowa Informacja dla Inwestora Skarbiec - JPMorgan
Bardziej szczegółowoKontrakty terminowe na stawki WIBOR
Kontrakty terminowe na stawki WIBOR Sebastian Siewiera Główny Specjalista Dział Rynku Terminowego Warszawa, marzec 2014-1- WSTĘP Kontrakty terminowe (futures) na stopy LIBOR/EURIBOR oraz obligacje skarbowe
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 03.10.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 3 października 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut
Bardziej szczegółowoPoniżej omówiona została każda z wprowadzonych zmian.
Zmiany w prezentacji instrumentów finansowych zgodne z MSSF 7 Instrumenty finansowe: Ujawnianie inf Artykuł przedstawia najważniejsze zmiany regulacji prawnych w zakresie prezentacji instrumentów finansowych
Bardziej szczegółowoII ETAP EGZAMINU EGZAMIN PISEMNY
II ETAP EGZAMINU NA DORADCĘ INWESTYCYJNEGO EGZAMIN PISEMNY 20 maja 2012 r. Warszawa Treść i koncepcja pytań zawartych w teście są przedmiotem praw autorskich i nie mogą być publikowane lub w inny sposób
Bardziej szczegółowoPodstawy inwestowania na rynku Forex, rynku towarowym oraz kontraktów CFD
Podstawy inwestowania na rynku Forex, rynku towarowym oraz Poradnik Inwestora Numer 5 Admiral Markets Sp. z o.o. ul. Aleje Jerozolimskie 133 lok.34 02-304 Warszawa e-mail: Info@admiralmarkets.pl Tel. +48
Bardziej szczegółowoZadania ze statystyki, cz.6
Zadania ze statystyki, cz.6 Zad.1 Proszę wskazać, jaką część pola pod krzywą normalną wyznaczają wartości Z rozkładu dystrybuanty rozkładu normalnego: - Z > 1,25 - Z > 2,23 - Z < -1,23 - Z > -1,16 - Z
Bardziej szczegółowoWycena equity derivatives notowanych na GPW w obliczu wysokiego ryzyka dywidendy
Instrumenty pochodne 2014 Wycena equity derivatives notowanych na GPW w obliczu wysokiego ryzyka dywidendy Jerzy Dzieża, WMS, AGH Kraków 28 maja 2014 (Instrumenty pochodne 2014 ) Wycena equity derivatives
Bardziej szczegółowoSzczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć)
Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć) 1. Populacja generalna a losowa próba, parametr rozkładu cechy a jego ocena z losowej próby, miary opisu statystycznego
Bardziej szczegółowoZałącznik do Dokumentu zawierającego kluczowe informacje Ubezpieczeniowe fundusze kapitałowe Ubezpieczenie Inwestycyjne Bonus VIP
Załącznik do Dokumentu zawierającego kluczowe informacje Ubezpieczeniowe fundusze kapitałowe Ubezpieczenie Inwestycyjne Bonus VIP Ten dokument dotyczy ubezpieczeniowych funduszy kapitałowych dostępnych
Bardziej szczegółowoOGŁOSZENIE O ZMIANACH STATUTU SFIO AGRO Kapitał na Rozwój. I. Poniższe zmiany Statutu wchodzą w życie z dniem ogłoszenia.
Warszawa, 25 czerwca 2012 r. OGŁOSZENIE O ZMIANACH STATUTU SFIO AGRO Kapitał na Rozwój Niniejszym Towarzystwo Funduszy Inwestycyjnych AGRO Spółka Akcyjna z siedzibą w Warszawie ogłasza poniższe zmiany
Bardziej szczegółowoOgłoszenie o zmianie statutu. I. Pkt III otrzymuje nowe następujące brzmienie:
Ogłoszenie o zmianie statutu Pekao Strategie Funduszowe Specjalistycznego Funduszu Inwestycyjnego Otwartego Pekao Towarzystwo Funduszy Inwestycyjnych Spółka Akcyjna z siedzibą w Warszawie, działając na
Bardziej szczegółowoInstrumenty pochodne Instrumenty wbudowane
www.pwcacademy.pl Instrumenty pochodne Instrumenty wbudowane Jan Domanik Instrumenty pochodne ogólne zasady ujmowania i wyceny 2 Instrument pochodny definicja. to instrument finansowy: którego wartość
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 20.06.2011 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LVII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r.
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LVII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1.
Bardziej szczegółowoZARZĄDZANIE RYZYKIEM STOPY PROCENTOWEJ. dr Grzegorz Kotliński; Katedra Bankowości AE w Poznaniu
ZARZĄDZANIE RYZYKIEM STOPY PROCENTOWEJ 1 DEFINICJA RYZYKA STOPY PROCENTOWEJ Ryzyko stopy procentowej to niebezpieczeństwo negatywnego wpływu zmian rynkowej stopy procentowej na sytuację finansową banku
Bardziej szczegółowoANALIZA I ZARZADZANIE PORTFELEM. Specjalista ds. Analiz Giełdowych Łukasz Porębski
ANALIZA I ZARZADZANIE PORTFELEM Specjalista ds. Analiz Giełdowych Łukasz Porębski PLAN PREZENTACJI 1) Efektywnośd rynków finansowych 2) Teoria portfela Markowitza (Nobel w 1990 r.) 3) Dywersyfikacja 4)
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 08.01.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 00 minut . Ile
Bardziej szczegółowoMetody niedyskontowe. Metody dyskontowe
Metody oceny projektów inwestycyjnych TEORIA DECYZJE DŁUGOOKRESOWE Budżetowanie kapitałów to proces, który ma za zadanie określenie potrzeb inwestycyjnych przedsiębiorstwa. Jest to proces identyfikacji
Bardziej szczegółowoAkademia Młodego Ekonomisty
Akademia Młodego Ekonomisty Decyzje inwestycyjne na giełdzie dr Dominika Kordela Uniwersytet Szczeciński 29 listopad 2018 r. Plan wykładu Giełda Papierów Wartościowych Papiery wartościowe Inwestycje Dochód
Bardziej szczegółowoInformacje, o których mowa w art. 222b Ustawy z dnia 27 maja 2004 r. o funduszach inwestycyjnych i zarządzaniu alternatywnymi funduszami inwestycyjnymi ( Ustawa ) 1. Udział procentowy aktywów, które są
Bardziej szczegółowo5.1 Stopa Inflacji - Dyskonto odpowiadające sile nabywczej
5.1 Stopa Inflacji - Dyskonto odpowiadające sile nabywczej Stopa inflacji, i, mierzy jak szybko ceny się zmieniają jako zmianę procentową w skali rocznej. Oblicza się ją za pomocą średniej ważonej cząstkowych
Bardziej szczegółowoSystem transakcyjny oparty na średnich ruchomych. ś h = + + + + gdzie, C cena danego okresu, n liczba okresów uwzględnianych przy kalkulacji.
Średnie ruchome Do jednych z najbardziej znanych oraz powszechnie wykorzystywanych wskaźników analizy technicznej, umożliwiających analizę trendu zaliczyć należy średnie ruchome (ang. moving averages).
Bardziej szczegółowoZałącznik do Dokumentu zawierającego kluczowe informacje Ubezpieczeniowe fundusze kapitałowe Ubezpieczenie Uniwersalne juniorgo
Załącznik do Dokumentu zawierającego kluczowe informacje Ubezpieczeniowe fundusze kapitałowe Ubezpieczenie Uniwersalne juniorgo Ten dokument dotyczy ubezpieczeniowych funduszy kapitałowych dostępnych w
Bardziej szczegółowoZałącznik do Dokumentu zawierającego kluczowe informacje Ubezpieczeniowe fundusze kapitałowe Ubezpieczenie Uniwersalne Nowa Perspektywa
Załącznik do Dokumentu zawierającego kluczowe informacje Ubezpieczeniowe fundusze kapitałowe Ubezpieczenie Uniwersalne Nowa Perspektywa Ten dokument dotyczy ubezpieczeniowych funduszy kapitałowych dostępnych
Bardziej szczegółowoO PEWNEJ ANOMALII W WYCENIE INSTRUMENTÓW DŁUŻNYCH
O PEWNEJ ANOMALII W WYCENIE INSTRUMENTÓW DŁUŻNYCH A. KARPIO KATEDRA EKONOMETRII I STATYSTYKI SGGW W WARSZAWIE Krzywa dochodowości Obligacja jest papierem wartościowym, którego wycena opiera się na oczekiwanych
Bardziej szczegółowoAnaliza współzależności zjawisk
Analiza współzależności zjawisk Informacje ogólne Jednostki tworzące zbiorowość statystyczną charakteryzowane są zazwyczaj za pomocą wielu cech zmiennych, które nierzadko pozostają ze sobą w pewnym związku.
Bardziej szczegółowo