GRZEGORZ SZKIBIEL, CZES LAW WOWK ZADANIA Z ARYTMETYKI SZKOLNEJ I TEORII LICZB

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "GRZEGORZ SZKIBIEL, CZES LAW WOWK ZADANIA Z ARYTMETYKI SZKOLNEJ I TEORII LICZB"

Transkrypt

1 U N I W E R S Y T E T S Z C Z E C I Ń S K I GRZEGORZ SZKIBIEL, CZES LAW WOWK ZADANIA Z ARYTMETYKI SZKOLNEJ I TEORII LICZB SZCZECIN 1999

2

3 SPIS TREŚCI Przedmowa Cze ść I Zadania Cze ść II Rozwia zania Podstawowe w lasności liczb ca lkowitych Podzielność liczb ca lkowitych Zasada indukcji matematycznej Dzielenie z reszta Cze ść ca lkowita Dzielenie z reszta dalsze w lasności Najwie kszy wspólny dzielnik Najmniejsza wspólna wielokrotność Zasadnicze twierdzenie arytmetyki Liczby pierwsze Poje cie liczby pierwszej Ile jest liczb pierwszych? Wnioski z zasadniczego twierdzenia arytmetyki

4 Uwagi o funkcji π(x) Twierdzenie Dirichleta Liczba dzielników oraz funkcja Eulera Rozk lad na czynniki dużych liczb naturalnych Liczby w różnych systemach pozycyjnych Poje cie pozycyjnego systemu zapisu liczb Wykonywanie obliczeń w różnych systemach pozycyjnych U lamki w różnych systemach pozycyjnych Algorytm Euklidesa Szukanie NWD Równania liniowe Rozwia zywanie równań liniowych Kongruencje Podstawowe w lasności kongruencji Kongruencje a wielomiany Kongruencje a równania Ma le Twierdzenie Fermata Pewne zastosowania twierdzenia Eulera Rozwinie cie okresowe a kongruencje Zastosowania twierdzenia Wilsona Jeszcze jedno twierdzenie o kongruencjach Bibliografia

5 PRZEDMOWA Jeden z wybitnych matematyków naszego stulecia, G.H. Hardy powiedzia l: Elementarna teoria liczb powinna być uważana za jeden z najw laściwszych przedmiotów w pocza tkach wykszta lcenia matematycznego. Wymaga ona bardzo ma lo uprzedniej wiedzy, a przedmiot jej jest uchwytny i znajomy. Metody, które stosuje, sa proste, ogólne i nieliczne, i nie ma sobie równej wśród nauk matematycznych w odwo laniu sie do naturalnej ludzkiej ciekawości 1. Mamy nadzieje, że umieszczenie w programie zawodowych studiów matematycznych takich przedmiotów jak arytmetyka szkolna i arytmetyka be dzie okazja do zilustrowania s lów G.H. Hardy ego. Zadania z arytmetyki szkolnej i teorii liczb to skrypt adresowany w pierwszym rze dzie do studentów studiów zawodowych, którzy zetkna sie z teoria liczb w ramach przedmiotów arytmetyka szkolna i arytmetyka. Ponieważ w skrypcie umieściliśmy wiele zadań z olimpiad matematycznych, wie c może on być przydatny także uczniom o zainteresowaniach matematycznych. Polecamy nasz skrypt również studentom starszych lat studiów matematycznych, zainteresowanym wyk ladem z kryptografii, ponieważ nie da sie studiować tego przedmiotu bez znajomości elementarnej teorii liczb. Aby na wyk ladzie z kryptografii szybciej przejść do realizacji zasadniczych hase l, pewne zagadnienia z teorii liczb be dzie można po- 1 G.H. Hardy: A Mathematician s Apology, 1940

6 6 Przedmowa zostawić s luchaczom do samodzielnego przeczytania w niniejszym skrypcie. Skrypt sk lada sie z dwóch cze ści. W pierwszej cze ści znajduja sie najważniejsze twierdzenia przypadaja ce na dany rozdzia l oraz zadania do rozwia zania. Natomiast w drugiej cze ści umieściliśmy szczegó lowe rozwia zania. Ponieważ w nauce matematyki istotna rzecza jest umieje tność rozwia zywania różnych problemów, przeto rozwia zania zadań (ze skryptu) należy czytać dopiero po wielu samodzielnych próbach wykonania zadania. Cze ść zadań zamieszczonych w skrypcie jest pomys lu autorów, ale znaczna cze ść zosta la zaczerpnie ta z literatury, której spis znajduje sie na końcu skryptu. Zadania u lożone sa w kolejności od latwiejszych do trudniejszych, ale najtrudniejsze zadania niekoniecznie znajduja sie na końcu paragrafu. Pomine liśmy też stosowane cze sto w literaturze oznaczenie * dla zadań trudniejszych, ponieważ wydaje sie nam, że istnieje spora grupa Czytelników, którzy znieche caja sie do pracy nad problemem z,,gwiazdka. W skrypcie obowia zuje powszechnie stosowana symbolika. Jest ona wyjaśniana w pocza tkowych fragmentach odpowiednich paragrafów oraz w tekstach niektórych zadań.

7 CZE ŚĆ I ZADANIA 1. Podstawowe w lasności liczb ca lkowitych 1.1. Podzielność liczb ca lkowitych. Mówimy, że liczba ca lkowita m 0 dzieli liczbe ca lkowita a, jeżeli istnieje taka liczba ca lkowita n, że m n = a. Fakt ten zapisujemy m a. Na przyk lad 3 276, bo 276 = Jeśli liczba m nie dzieli a, co oznacza, że nie istnieje żadna liczba ca lkowita n, dla której mn = a, to piszemy m a. Jeżeli m a, to mówimy też, że m jest dzielnikiem liczby a, natomiast liczbe a nazywamy wielokrotnościa liczby m Rozstrzygnij, czy , czy Pokaż, że jeśli m a, to m ( a) Uzasadnij, że jeśli m a oraz b jest dowolna liczba ca lkowita, to m ab Wiadomo, że Rozstrzygnij, czy oraz czy Za lóżmy, że m ab dla pewnych liczb ca lkowitych m, a i b. Czy m musi wtedy dzielić a lub b? Pokaż, że jeżeli m a oraz m b, to m a + b i m a b Wiadomo, że Pokaż, że oraz że

8 8 Cze ść I Zadania Wiadomo, że Czy 7 784? A czy 7 817? Zgadnij, czy , a naste pnie sprawdź swoja odpowiedź biora c pod uwage poprzednie zadanie Wiadomo, że Jaka jest naste pna (po 2576) liczba podzielna przez 56? Wiemy, że Wypisz wszystkie liczby wie ksze od 290 i mniejsze od 340, które sa podzielne przez Za lóżmy, że m a + b. Czy oznacza to, że m a i m b? A może oznacza to, że m a lub m b? Za lóżmy, że m a + b oraz m a b. Czy wtedy m a i m b? Jeżeli nie, to czy potrafisz sformu lować dodatkowe za lożenia o m tak, by naste puja ce zdanie by lo prawdziwe. Jeśli m a + b i m a b, to m a i m b Pokaż, że jeśli m a oraz n m, to n a Pokaż, że jeżeli m a i a 0, to m a Pokaż, że jeżeli m a i a m, to m = a lub m = a Zasada indukcji matematycznej. Podczas nauki matematyki w szkole średniej cze sto korzystaliśmy z tak zwanej zasady indukcji matematycznej (ZIM). Przypomnijmy sformu lowanie tej zasady: Niech T (n) be dzie zdaniem dotycza cym liczby naturalnej n. Jeżeli 1 0 T (m 0 ) jest zdaniem prawdziwym, gdzie m 0 jest pewna liczba należa ca do N 0 ; 2 0 z prawdziwości zdania T (k) (gdzie k N 0, k m 0 ) wynika prawdziwość zdania T (k + 1) ; to zdanie T (n) jest prawdziwe dla każdego n m 0. Przez N 0 oznaczyliśmy tu zbiór liczb ca lkowitych nieujemnych, czyli zbiór {0,1,2,...}. Podobnie, przez N m oznaczymy zbiór wszystkich liczb ca lkowitych wie kszych lub równych m, tj. zbiór

9 Podstawowe w lasności liczb ca lkowitych 9 {m,m + 1,m + 2,...}. Stosuja c powyższe oznaczenia możemy nadać zasadzie indukcji matematycznej naste puja ca postać: Niech M N 0 be dzie zbiorem takim, że 1 0 m 0 M ; 2 0 dla dowolnego k N m0, jeśli k M, to k + 1 M. Wówczas N m0 M. Zasada indukcji matematycznej jest równoważna zasadzie minimum (ZM), która orzeka, że w każdym niepustym zbiorze A liczb ca lkowitych nieujemnnych istnieje liczba najmniejsza. Wykażemy teraz, że z ZIM wynika ZM 1. Przypuśćmy, że A jest niepustym zbiorem liczb ca lkowitych nieujemnych, w którym nie ma liczby najmniejszej. Niech B be dzie zbiorem liczb ca lkowitych nieujemnych zdefiniowanym w naste puja cy sposób: n B dla każdej liczby ca lkowitej nieujemnej m, jeżeli m n, to m / A. Zauważmy, że 0 / A, bo w przeciwnym wypadku w zbiorze A istnia laby liczba najmniejsza, która by loby 0. Zatem 0 B. Za lóżmy, że n B. Wtedy n + 1 / A, gdyż w przeciwnym razie n + 1 by loby najmniejsza liczba zbioru A. Wynika to sta d, że skoro n B, wie c z definicji zbioru B mamy n / A, n 1 / A,..., 0 / A. Zatem w konsekwencji n + 1 B. Wykazaliśmy, że zbiór B spe lnia za lożenia ZIM (w drugim sformu lowaniu), wie c B = N 0. Biora c pod uwage definicje zbioru B, wnioskujemy, że A jest zbiorem pustym, co przeczy naszemu za lożeniu Udowodnij, że z zasady minimum wynika zasada indukcji matematycznej Korzystaja c z zasady indukcji uzasadnij, że 3 n 3 + 5n dla dowolnego n N 0. 1 Przy pierwszym czytaniu Czytelnik może pomina ć to uzasadnienie.

10 10 Cze ść I Zadania Wykaż, że 7 jest ostatnia cyfra liczby 2 2n + 1, gdy n N 2 (liczby 2 2n + 1, gdzie n N 0 nazywamy liczbami Fermata) Uzasadnij, że n 6 dla n N Wykaż, że 1 jest ostatnia cyfra liczby 2 4n 5 dla n N ( = N 1 ) Dzielenie z reszta. Jak wiadomo, jeśli mamy ustalona liczbe ca lkowita m, to nie każda liczba ca lkowita dzieli sie przez m. Na przyk lad 34 nie dzieli sie przez 5, ponieważ nie ma takiej liczby ca lkowitej, która pomnożona przez 5 da iloczyn równy 34. Oznacza to, że gdybyśmy chcieli rozdzielić 34 zeszyty mie dzy pie ciu uczniów, tak aby każdy otrzyma l jednakowa ilość, to nie potrafilibyśmy tego dokonać. Możemy jednakże dać każdemu uczniowi po 6 zeszytów i pozostana nam jeszcze 4. Dziela c 34 przez 5 otrzymujemy zatem 6 oraz reszte 4. Fakt ten zapisujemy 34 = Przypuśćmy, że mamy dwie liczby ca lkowite n oraz d, przy czym d 0. Dzielenie (z reszta ) liczby n przez d polega na znalezieniu liczb ca lkowitych q oraz r takich, że n = qd + r oraz 0 r < d. Liczbe r nazywamy reszta z dzielenia n przez d, a liczbe q niepe lnym ilorazem lub ilorazem cze ściowym tego dzielenia. Oczywiste jest, że d n wtedy i tylko wtedy, gdy r = Znajdź niepe lny iloraz i reszte z dzielenia (a) 23 przez 3; (b) 43 przez 4; (c) 36 przez Niech n i d be da liczbami ca lkowitymi, przy czym d 1. Korzystaja c z zasady minimum wykaż, że istnieje dok ladnie jedna para liczb ca lkowitych q i r taka, że n = dq + r, gdzie 0 r < d Pokaż, że kwadrat liczby ca lkowitej nieparzystej przy dzieleniu przez 8 daje reszte Pokaż, że suma kwadratów dwóch kolejnych liczb naturalnych przy dzieleniu przez 4 daje reszte 1.

11 Podstawowe w lasności liczb ca lkowitych Udowodnij, że liczba naturalna postaci 3m + 2 ( m N ) nie jest kwadratem żadnej liczby ca lkowitej Uzasadnij, że suma kwadratów dwóch liczb nieparzystych nie jest kwadratem żadnej liczby ca lkowitej Cze ść ca lkowita. Jeżeli x jest dowolna liczba rzeczywista, to istnieje najwie ksza liczba ca lkowita n spe lniaja ca warunek n x. Liczbe n nazywamy cze ścia ca lkowita liczby x i oznaczamy symbolem [x] lub E(x). Z określenia liczby [x] wynika, że [x] x < [x] + 1. ( ) Istotnie, gdyby x [x]+1, to liczba [x]+1 by laby liczba ca lkowita wie ksza od [x] spe lniaja ca warunek [x] + 1 x. Jest to sprzeczne z definicja cze ści ca lkowitej liczby x. Z nierówności (*) wynika, że 0 x [x] < 1. Liczbe x [x] nazywamy cze ścia u lamkowa liczby x i oznaczamy symbolem {x}. Latwo zobaczyć, że x = [x] + {x}. Przyk lady: [ 1 2 ] = 1, [4,7] = 4, [ 7,3] = 8, { 2} 1 = 1 2, {4,7} = 0,7, { 7,3} = 0, Wykaż, że jeżeli x, y R, oraz x y, to [x] [y] Uzasadnij, że jeżeli α (0,1) oraz n N, to [ n + α] = n Uzasadnij, że jeżeli (a) x jest liczba ca lkowita, to [ x] = [x] ; (b) x nie jest liczba ca lkowita, to [ x] = [x] 1 ; (c) x R, n Z, to [x + n] = [x] + n Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x oraz y zachodzi nierówność [x + y] [x] + [y] Udowodnij, że jeżeli [x] = [y], to x y < 1.

12 12 Cze ść I Zadania Wykaż, że jeśli n jest liczba naturalna, a x liczba rzeczywista, to [ ] [x] [ x =. n n] Rozwia ż równanie 5x [ ] 2x + 3 = Uzasadnij, że dla dowolnej liczby rzeczywistej x i dowolnej liczby naturalnej n zachodzi równość [x] + [ x + 1 ] [ + x + 2 ] [ + + x + n 1 ] = [nx]. n n n Niech n i k be da liczbami naturalnymi. Wykaż, że [ n ] [ ] [ ] [ ] n + 1 n + 2 n + k = n. k k k k 1.5. Dzielenie z reszta dalsze w lasności. Dziela c 34 przez 5 otrzymujemy 6 i reszte. Zauważmy, że 6 = [ ] Wykorzystuja c w lasności cze ści ca lkowitej można podać algorytm dzielenia (z reszta ) liczby ca lkowitej m przez liczbe ca lkowita n > 0. K lada c [ m ] q = n oraz r = m nq mamy q m n < q + 1. Sta d qn m < qn + n. Zatem 0 r = m qn < n Podziel z reszta (pamie taja c, że reszta z dzielenia ma być liczba nieujemna ) (a) 83 przez 3 ; (b) 71 przez 4.

13 Podstawowe w lasności liczb ca lkowitych Rozwia zuja c zadanie 1.5.1, można zauważyć, że algorytmu podanego we wste pie nie można zastosować, jeśli n < 0. Zmodyfikuj ten algorytm tak, aby można by lo go zastosować przy dzieleniu liczby ca lkowitej m przez liczbe ca lkowita n < Uzasadnij, [ że ] jeżeli p, n N, to wśród wyrazów cia gu 1, 2, 3,..., n jest wielokrotności liczby p. n p Znajdź najmniejsza liczbe naturalna n spe lniaja ca wszystkie poniższe warunki: reszta z dzielenia n przez 2 jest równa 1, reszta z dzielenia n przez 3 jest równa 2, reszta z dzielenia n przez 4 jest równa 3, reszta z dzielenia n przez 5 jest równa Najwie kszy wspólny dzielnik. Niech m i n be da dwiema liczbami ca lkowitymi, przy czym m 0 lub n 0. Liczbe ca lkowita d 1 nazywamy najwie kszym wspólnym dzielnikiem liczb m i n (co oznaczamy NWD(m, n) ), jeśli (a) d dzieli m i d dzieli n; (b) jeżeli liczba ca lkowita c dzieli m oraz n, to c dzieli d. Bezpośrednio z powyższej definicji wynika, że jeżeli m 0, to wtedy NWD(m, 0) = m. Weźmy teraz dwie liczby ca lkowite m 0 oraz n 0. Uzasadnimy, że z zasady minimum wynika istnienie NWD(m, n). W tym celu rozważmy zbiór X = {xm + yn 1 : x,y Z}. Ponieważ m m+n n 1, wie c X. Z zasady minimum wynika, że w zbiorze X istnieje liczba najmniejsza. Niech d = am + bn be dzie ta liczba ( a, b Z ). Zauważmy, że d m oraz d n. Istotnie, jeśli zapiszemy m = dq + r, gdzie 0 r < d, wtedy mamy r = m dq = m (am + bn)q = m(1 aq) + n( bq). Gdyby r 1, to r X oraz r < d, co jest sprzeczne z wyborem d. Zatem r = 0, czyli d m. Analogicznie uzasadniamy, że d n. Tak wie c d spe lnia warunek (a) definicji NWD.

14 14 Cze ść I Zadania Aby pokazać, że warunek (b) także jest spe lniony, za lóżmy, że pewna liczba c dzieli zarówno m, jak i n. Sta d wynika, że istnieja takie liczby ca lkowite m 1 oraz n 1, że m = cm 1 i n = cn 1. Sta d d = am + bn = c(am 1 + bn 1 ), czyli c d. Wykazaliśmy, że d = NWD(m, n).

15 Podstawowe w lasności liczb ca lkowitych 15 Z powyższych rozważań otrzymujemy naste puja cy Wniosek. Jeżeli NWD(m, n) = d, to istnieja liczby ca lkowite x i y takie, że mx + ny = d. Uwaga. Zauważmy, że jeśli dla liczb m, n i d znajdziemy takie x i y, że mx + ny = d, to nie znaczy to jeszcze, że d = NWD(m, n). Na przyk lad, dla m = 1, n = 2 oraz d = 7 mamy 3m + 2n = d, ale 7 nie jest oczywiście najwie kszym wspólnym dzielnikiem liczb 1 i 2. Jeżeli NWD(m, n) = 1, to mówimy, że liczby m i n sa wzgle dnie pierwsze Pokaż, że jeżeli m n, to NWD(m, n) = m Pokaż, że jeżeli m = nq+r, to NWD(m, n) = NWD(n, r) Znajdź NWD(98, 56) Pokaż, że NWD(n, n + 1) = Pokaż, że dla dowolnego k N zachodzi NWD(2k + 1, 2k + 3) = Niech d = NWD(m, n) i niech m = dm 1 oraz n = dn 1. Pokaż, że NWD(m 1, n 1 ) = Za lóżmy, że u lamek a b jest nieskracalny. Sprawdź, czy u lamek jest nieskracalny. a a+b Pokaż, że jeżeli liczby m i n sa wzgle dnie pierwsze oraz m nk, to m k Za lóżmy, że dane sa trzy liczby ca lkowite m, n, p, z których przynajmniej jedna jest różna od zera. Określ NWD dla tych liczb przez analogie do NWD dla dwóch liczb, a naste pnie oblicz NWD(24,36,120) Uogólnij definicje najwie kszego wspólnego dzielnika na przypadek k liczb, tj. dla a 1, a 2,..., a k Z. Zdefiniuj NWD(a 1,a 2,...,a k ). Oblicz NWD(36,120,180,600).

16 16 Cze ść I Zadania Za lóżmy, że dane sa trzy liczby ca lkowite m, n i p. Zdefiniujmy PNWD(m,n,p) = df NWD(m, NWD(n, p)). Pokaż, że tak zdefiniowany PNWD jest równy najwie kszemu wspólnemu dzielnikowi liczb m, n i p (zdefiniowanemu w zadaniu 1.6.9) Najmniejsza wspólna wielokrotność. Za lóżmy, że n i m sa liczbami ca lkowitymi różnymi od zera. Liczbe ca lkowita s nazywamy najmniejsza wspólna wielokrotnościa liczb m i n (co zapisujemy NWW(m, n) = s ), jeśli 1) s 1, 2) m s oraz n s, 3) jeżeli liczba ca lkowita t spe lnia warunek n t i m t, to s t. Na przyk lad NWW(6, 9) = 18. Analogicznie określamy najmniejsza wspólna wielokrotność k różnych od zera liczb ca lkowitych a 1, a 2,..., a k i oznaczamy ja przez NWW(a 1, a 2,...,a k ) (a) Znajdź najmniejsza liczbe naturalna, która po podzieleniu przez każda z liczb 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 daje zawsze reszte 1. (b) Znajdź najmniejsza liczbe naturalna, która po podzieleniu przez 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 daje, odpowiednio, reszty 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Za lóżmy, że NWD(a, b) = d i niech a = da 1, b = db 1. Uzasadnij, że NWW(a, b) = a 1 db Pokaż, że dla dowolnych liczb naturalnych a, b zachodzi równość ab = NWD(a, b) NWW(a, b) Wykaż, że jeżeli liczby a i b sa wzgle dnie pierwsze, to NWW(a, b) = ab Pokaż, że dla dowolnych liczb naturalnych a, b zachodzi nierówność a + b NWD(a, b) + NWW(a, b).

17 Podstawowe w lasności liczb ca lkowitych W podre cznikach szkolnych można znaleźć naste puja ce definicje NWW i NWD.,,Najmniejsza wspólna wielokrotnościa liczb m i n nazywamy najmniejsza nieujemna liczbe w zbiorze wspólnych wielokrotności m oraz n.,,najwie kszym wspólnym dzielnikiem liczb m i n nazywamy najwie ksza liczbe w zbiorze wspólnych dzielników m oraz n. Pos luguja c sie tylko tymi,,szkolnymi definicjami pokaż, że (a) wspólna wielokrotność liczb m i n jest podzielna przez najmniejsza wspólna wielokrotność liczb m i n ; (b) wspólny dzielnik liczb m i n jest dzielnikiem najwie kszego wspólnego dzielnika liczb m i n Zasadnicze twierdzenie arytmetyki. W literaturze zasadnicze twierdzenie arytmetyki przyjmuje różne (równoważne) sformu lowania. Jedno z nich jest naste puja ce Twierdzenie. Liczba naturalna be da ca dzielnikiem iloczynu dwóch liczb naturalnych i pierwsza wzgle dem jednego z czynników jest dzielnikiem drugiego, tzn. jeżeli n ab i NWD(n, a) = 1, to n b. Dowód. Ponieważ n ab i a ab, wie c ab jest wspólna wielokrotnościa liczb n oraz a. Z definicji NWW wynika, że NWW(n, a) ab. Istnieje wie c liczba ca lkowita t taka, że NWW(n, a) t = ab. Ponieważ NWD(n, a) = 1, wie c NWW(n, a) = na. Sta d nat = ab, a sta d ostatecznie nt = b, czyli n b Pokaż, że jeżeli NWD(a, b) = 1 i c a, to NWD(c, b) = Pokaż, że jeżeli NWD(a, c) = 1 oraz NWD(b, c) = 1, to NWD(ab, c) = Uzasadnij, że jeżeli NWD(a 1, a) = NWD(a 2, a) =... = NWD(a n, a) = 1, to NWD(a 1 a 2... a n, a) = Wykaż, że każda liczba wymierna dodatnia daje sie przedstawić jednoznacznie w postaci ilorazu dwóch liczb naturalnych wzgle dnie pierwszych (czyli w postaci u lamka nieskracalnego).

18 18 Cze ść I Zadania 2. Liczby pierwsze 2.1. Poje cie liczby pierwszej. Liczbe naturalna p > 1 nazywamy, jeśli ma ona dok ladnie dwa dzielniki naturalne, mianowicie 1 i p. Liczby, które nie sa pierwszymi, ale sa wie ksze od 1, nazywamy z lożonymi Wypisz wszystkie liczby pierwsze p < Wskaż jaka kolwiek liczbe wie ksza od (a) 26, (b) 56, (c) Uzasadnij, że reszta z dzielenia liczby pierwszej przez 30 jest równa 1 lub pewnej liczbie pierwszej Uzasadnij, że kwadrat dowolnej liczby pierwszej wie kszej niż 3 daje przy dzieleniu przez 12 reszte Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n > 2, liczby a n = 2 n + 1 oraz b n = 2 n 1 nie moga być jednocześnie liczbami pierwszymi Uzasadnij, że liczby naturalnej postaci 6k + 1 (k N) nie można przedstawić w postaci różnicy dwóch liczb pierwszych Pokaż, że jeżeli p jest liczba oraz 8p jest liczba, to 8p 2 + 2p + 1 też jest liczba Pokaż, że każda liczba naturalna wie ksza od 1 ma przynajmniej jeden dzielnik pierwszy (tj. taki, który jest liczba pierwsza ) Ile jest liczb pierwszych? Odpowiedź na pytanie o to, ile jest liczb pierwszych, zawiera naste puja ce Twierdzenie. Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. W literaturze można znaleźć wiele dowodów tego twierdzenia. Niżej umieszczamy jeden z nich, maja c nadzieje, że Czytelnik znajdzie co najmniej kilka innych. W dowodach tego twierdzenia cze sto korzysta sie z faktu zawartego w zadaniu

19 18 Cze ść I Zadania Dowód. Przypuśćmy, że istnieja tylko naste puja ce liczby pierwsze: p 1, p 2,..., p r. Niech M = p 1 p 2... p r i niech M = st, gdzie s = p 1 p 2, a t = p 3 p 4... p r. Zauważmy, że liczba naturalna s + t nie jest podzielna przez żadna z liczb p 1, p 2,..., p r. Otrzymujemy sprzeczność, ponieważ s + t jest różne od 1 (zobacz zadanie 2.1.8) Za lóżmy, że liczby p 1, p 2,..., p k sa liczbami pierwszymi. Pokaż, że liczba p 1 p 2... p k + 1 nie dzieli sie z liczb p 1, p 2,..., p k. przez żadna Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej n, liczba n! + 1 nie dzieli sie przez żadna liczbe 1 < q n Pokaż, że dla dowolnej liczby naturalnej n, istnieje liczba pierwsza wie ksza od n Niech F n oznacza liczbe Fermata, tzn. F n = 2 2n + 1. Pokaż, że F m oraz F n sa wzgle dnie pierwsze dla n m Wykaż, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele, wykorzystuja c (a) zadanie 2.2.1; (b) zadanie 2.2.3; (c) zadanie Wnioski z zasadniczego twierdzenia arytmetyki. Z zasadniczego twierdzenia arytmetyki (zobacz 1.8) wynika naste - puja ce Twierdzenie. Każda liczbe naturalna przedstawić w postaci n > 1 można jednoznacznie n = p 1 p 2... p r, gdzie p 1, p 2,..., p r sa liczbami pierwszymi takimi, że p 1 p 2 p r. Dowód 1. Wykażemy najpierw, że każda liczba naturalna n > 1 da sie przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych. Uczynimy

20 Liczby pierwsze 19 to stosuja c indukcje. Dla n = 2 fakt jest prawdziwy. Za lóżmy, że fakt jest prawdziwy dla wszystkich liczb naturalnych mniejszych od k. Jeżeli k jest liczba, to fakt jest prawdziwy. Jeśli k jest liczba z lożona, to k = bc, gdzie b oraz c sa liczbami mniejszymi od k. Z za lożenia indukcyjnego b = p 1 p 2... p s oraz c = p s+1 p s+2... p t. Sta d k = p 1 p 2... p s p s+1... p t. 2. Teraz wykażemy jednoznaczność przedstawienia. Uczynimy to znowu stosuja c indukcje. Dla n = 2 twierdzenie jest prawdziwe. Za lóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla liczb naturalnych mniejszych od k. Przypuśćmy, że k = p 1 p 2... p r = q 1 q 2... q s, (1) gdzie p 1, p 2,..., p r, q 1, q 2,..., q s sa liczbami pierwszymi, takimi że p 1 p 2 p r, q 1 q 2 q s. Ponieważ p 1 q 1 q 2... q s, wie c p 1 q 1 lub p 1 q 2, lub..., lub p 1 q s (wynika to z zasadniczego twierdzenia arytmetyki). Niech na przyk lad p 1 q 1. Ponieważ p 1 oraz q 1 sa liczbami pierwszymi, wie c p 1 = q 1. Dziela c (1) przez p 1 mamy k p 1 = p 2 p 3... p r = q 2 q 3... q s. Ponieważ k p 1 < k, wie c z za lożenia indukcyjnego wynika, że r = s oraz p 2 = q 2, p 3 = q 3,..., p r = q r Pokaż, że każda liczbe naturalna n 2 można przedstawić w postaci n = p α 1 1 pα pα s s, (2) gdzie p 1, p 2,..., p s sa różnymi liczbami pierwszymi, takimi że p 1 < p 2 < < p s, natomiast α 1, α 2,..., α s sa liczbami ca lkowitymi dodatnimi. (Rozk lad (2) liczby naturalnej n nazywamy rozk ladem kanonicznym liczby n na czynniki pierwsze).

21 20 Cze ść I Zadania Znajdź NWD(a, b) oraz NWW(a, b) znaja c rozk lady kanoniczne liczb a oraz b Korzystaja c z rozk ladu kanonicznego liczb naturalnych a oraz b uzasadnij, że ab = NWD(a, b)nww(a, b) Pokaż, że jeżeli liczba n jest wymierna, gdzie n > 1 jest liczba naturalna, to rozk lad kanoniczny liczby n ma postać p 2α 1 1 p 2α p 2α s s Za lóżmy, że liczba pierwsza p jest dzielnikiem pewnej liczby naturalnej n. Mówimy, że p α dzieli dok ladnie n, jeśli p α n oraz p α+1 n. Fakt ten oznaczamy p α n. (a) Udowodnij, że jeżeli p α m oraz p β n, to p α+β mn. (b) Udowodnij, że jeżeli p α m oraz p β n oraz α β, to p min(α, β) m + n. (c) Sprawdź, czy w (b) można pomina ć za lożenie α β Pokaż, że każda liczbe wymierna można zapisać jednoznacznie jako iloczyn εp α 1 1 pα pα s s, gdzie ε jest równy 1 lub 1, natomiast p 1, p 2,..., p s sa różnymi liczbami pierwszymi, a α 1, α 2,..., α s sa liczbami ca lkowitymi różnymi od zera Pokaż, że wyk ladnik najwie kszej pote gi liczby pierwszej p, która dzieli n! wynosi α = [ n i= Podaj najwie ksza pote ge liczby (a) 2, (b) 5 oraz (c) 97, która dzieli 100! Podaj najwie ksza pote ge liczby (a) 6, (b) 28, która dzieli 100! Oblicz, ile kolejnych zer, licza c od końca, ma liczba 100!. p i ]

22 Liczby pierwsze Uwagi o funkcji π(x). Dla każdej liczby rzeczywistej x > 0, symbolem π(x) oznaczamy ilość liczb pierwszych p spe lniaja cych nierówność p x. pierwszym historycznie stwierdzeniem na temat funkcji π(x) by lo spostrzeżenie J. Bertranda (z 1845 roku), że mie dzy n i 2n, gdy n 2, znajduje sie liczba pierwsza. Spostrzeżenie J. Bertranda oznacza, że π(2n) π(n) 1 (dla n 2 ), czyli że p n+1 < 2p n, gdzie p n oznacza n-ta liczbe. Stwierdzenie to by lo znane jako,,postulat Bertranda i zosta lo udowodnione przez P.L. Czebyszewa w 1852 roku. Fakt ten be dziemy w dalszych rozważaniach nazywać twierdzeniem Czebyszewa (elementarny dowód tego twierdzenia Czytelnik może znaleźć w [9]). Czebyszew udowodni l znacznie wie cej, a mianowicie pokaza l, że istnieja sta le a oraz b, takie że a < π(x) : x lnx < b dla x > 2. Powyższa nierówność nazywamy nierównościa Czebyszewa Korzystaja c z nierówności Czebyszewa, pokaż, że π(x) lim x x = Korzystaja c z twierdzenia Czebyszewa, pokaż, że dla każdej liczby naturalnej n istnieja co najmniej trzy liczby pierwsze maja ce w uk ladzie dziesie tnym n cyfr Dowiedź, że dla k > 1 mamy p k+1 p 1 +p 2 + +p k, gdzie p n oznacza n-ta z kolei liczbe Pokaż, że 5 jest jedyna liczba, która jest równa sumie wszystkich liczb pierwszych mniejszych od niej Pokaż, że 5 jest jedyna liczba naturalna, która jest równa sumie wszystkich liczb pierwszych mniejszych od niej Pokaż, że w rozmieszczeniu liczb pierwszych sa,,dziury dowolnej d lugości, tj. pokaż, że dla dowolnego m istnieje n takie, że p n+1 > p n + m, gdzie p n oznacza n-ta z kolei liczbe. Wskazówka. Pokaż, że wszystkie liczby w cia gu m liczb (m+1)!+2, (m + 1)! + 3,..., (m + 1)! + (m + 1) sa z lożone.

23 22 Cze ść I Zadania (a) Pokaż, że jeżeli p jest liczba, to π(p 1) p 1 (b) Pokaż, że jeżeli m jest liczba z lożona, to π(m) m < π(p) p. < π(m 1) m Twierdzenie Dirichleta. Jak już wiadomo, w poste pie arytmetycznym 1, 2, 3, 4,... o różnicy 1 istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych. A jak jest w innych poste pach arytmetycznych? W 1837 roku P.G.L. Dirichlet udowodni l twierdzenie, które orzeka: Jeśli liczby m, n sa wzgle dnie pierwsze, to w cia gu (mk + n) k istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych. Dowód twierdzenia Dirichleta jest dosyć trudny i nie be dziemy go tu przytaczać. Jednakże pewne szczególne przypadki tego twierdzenia dowodzi sie latwo, o czym przekona sie Czytelnik, rozwia zuja c niżej umieszczone zadania Podaj przyk lad takich liczb m oraz n, że w cia gu (mk + n) k (a) jest tylko skończona ilość liczb pierwszych; (b) nie ma żadnej liczby pierwszej Uzasadnij, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci 2k (a) Pokaż, że w każdym rozk ladzie na iloczyn liczby postaci 3k + 2 przynajmniej jeden czynnik jest postaci 3k + 2. (b) Udowodnij, że każda liczba naturalna postaci 3k + 2 ma przynajmniej jeden dzielnik pierwszy tej postaci Uzasadnij, że jeśli p 1, p 2..., p n sa nieparzystymi liczbami pierwszymi postaci 3k + 2, to liczba 3p 1 p 2... p n + 2 nie dzieli sie przez żadna z liczb 2, p 1, p 2,..., p n Wykaż, że w cia gu (3k + 2) istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych. Wskazówka. Skorzystaj z dwóch poprzednich zadań Uzasadnij, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci 4k + 3.

24 Liczby pierwsze Pokaż, że w cia gu (6k + 5) istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych Liczba dzielników oraz funkcja Eulera. Oznaczmy przez θ(n) liczbe naturalnych dzielników liczby n, a przez ϕ(n) ilość liczb naturalnych wzgle dnie pierwszych z n, które sa nie wie ksze od n Wyznacz θ(n) dla n Pokaż, że jeżeli n = p α 1 1 pα pα s s, to każdy dzielnik naturalny liczby n jest postaci p β 1 1 pβ pβ s s, gdzie 0 β i α i dla i {1,2,...,s} Wykaż, że θ(p α 1 1 pα pα s s ) = (α 1 + 1)(α 2 + 1)... (α s + 1) Oblicz θ(100) oraz θ(1024) Znajdź wszystkie liczby naturalne n, takie że θ(n) = Wyznacz ϕ(n) dla n Pokaż, że liczba n jest pierwsza wtedy i tylko wtedy, gdy ϕ(n) = n Uzasadnij, że ϕ(pq) = (p 1)(q 1), gdzie p oraz q sa różnymi liczbami pierwszymi Pokaż, że dla dowolnej liczby pierwszej p i dowolnej liczby naturalnej n, mamy ϕ(p n ) = p n p n Niech m oraz n oznaczaja dwie liczby naturalne wzgle dnie pierwsze, a r liczbe ca lkowita. Pokaż, że wówczas reszty z dzielenia liczb r, n + r, 2n + r, 3n + r,..., (m 1)n + r przez m różnia sie od liczb 0, 1, 2, 3,..., m 1 co najwyżej porza dkiem.

25 24 Cze ść I Zadania Udowodnij, że jeśli NWD(m, n) = 1, to ϕ(m)ϕ(n) = ϕ(mn). Wskazówka. Zauważmy najpierw, że jeśli jedna z liczb m, n jest równa 1, to wzór jest prawdziwy. Możemy zatem za lożyć, że m 1 i n 1. Wypiszmy wszystkie liczby nie wie ksze od mn w naste puja cy sposób: 1, 2,..., r,..., n, n + 1, n + 2,..., n + r,..., 2n, 2n + 1, 2n + 2,..., 2n + r,..., 3n, , ,..., ,...,..., (m 1)n + 1, (m 1)n + 2,..., (m 1)n + r,..., mn. Dalej skorzystaj z zadania Udowodnij wzór ϕ (p α 1 1 pα pα s s gdzie p 1, p 2,..., p s ) = n ) ) ) (1 (1 1p1 1p2 (1 1ps, sa różnymi liczbami pierwszymi Wiadomo, że NWD(m, n) > 1. Ustal, która z liczb ϕ(mn) oraz ϕ(m)ϕ(n) jest wie ksza. Wskazówka. Skorzystaj z zadania Pokaż, że (a) ϕ(4n + 2) = ϕ(2n + 1) ; { 2ϕ(n) gdy NWD(n, 2) = 1 (b) ϕ(4n) = 2ϕ(2n) gdy NWD(n, 2) = Rozk lad na czynniki dużych liczb naturalnych. Mnożenie dwóch liczb naturalnych jest zdecydowanie latwiejsze niż rozk ladanie danej liczby na czynniki. Jeśli jednak pewna liczba z lożona ma dwa dzielniki pierwsze, które sa,,blisko siebie, możemy zastosować tak zwana metode faktoryzacji Fermata. Metode te opiszemy w poniższych zadaniach Niech n be dzie dowolna liczba naturalna. Udowodnij, że istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość mie dzy dzielnikami liczby n nie mniejszymi od n i nie wie kszymi od n.

GRZEGORZ SZKIBIEL, CZES LAW WOWK ZADANIA Z ARYTMETYKI SZKOLNEJ I TEORII LICZB

GRZEGORZ SZKIBIEL, CZES LAW WOWK ZADANIA Z ARYTMETYKI SZKOLNEJ I TEORII LICZB U N I W E R S Y T E T S Z C Z E C I Ń S K I GRZEGORZ SZKIBIEL, CZES LAW WOWK ZADANIA Z ARYTMETYKI SZKOLNEJ I TEORII LICZB SZCZECIN 1999 SPIS TREŚCI Przedmowa...................................................5

Bardziej szczegółowo

Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych

Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych Wzory Viete a i ich zastosowanie do uk ladów równań wielomianów symetrycznych dwóch i trzech zmiennych Pawe l Józiak 007-- Poje cia wste pne Wielomianem zmiennej rzeczywistej t nazywamy funkcje postaci:

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste

Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie

Wyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie 1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna Zestaw 2

Matematyka Dyskretna Zestaw 2 Materiały dydaktyczne Matematyka Dyskretna (Zestaw ) Matematyka Dyskretna Zestaw 1. Wykazać, że nie istnieje liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 18 daje resztę 13, a przy dzieleniu przez 1 daje

Bardziej szczegółowo

1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba)

1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) 1. Liczby wymierne. - wartość bezwzględna liczby. dla 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) - dla < 0 ( wartością bezwzględną liczby ujemnej jest liczba do niej przeciwna) W interpretacji

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod

Bardziej szczegółowo

Bukiety matematyczne dla gimnazjum

Bukiety matematyczne dla gimnazjum Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 1 X 2002 Bukiet I Dany jest prostokąt o bokach wymiernych a, b, którego obwód O i pole P są całkowite. 1. Sprawdź, że zachodzi równość

Bardziej szczegółowo

WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE

WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE Definicja 1 Algebra abstrakcyjna nazywamy teorie, której przedmiotem sa dzia lania na

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych

Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych V Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych Opracowanie Monika Fabijańczyk ROZDZIAŁ 1 Cechy podzielności Poniższe zadania zostały wybrane z różnych zbiorów zadań, opracowań, konkursów matematycznych.

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 14 Cia la i ich w lasności

Wyk lad 14 Cia la i ich w lasności Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,

Bardziej szczegółowo

Jeśli lubisz matematykę

Jeśli lubisz matematykę Witold Bednarek Jeśli lubisz matematykę Część 3 Opole 011 1 Wielokąt wypukły i kąty proste Pewien wielokąt wypukły ma cztery kąty proste. Czy wielokąt ten musi być prostokątem? Niech n oznacza liczbę wierzchołków

Bardziej szczegółowo

Szeregi liczbowe wste

Szeregi liczbowe wste 3 grudnia 2007 orawi lem dowód twierdzenia o rzybliżeniach dziesie tnych Zajmiemy sie teraz cia gami nieskończonym, ale zaisywanymi w ostaci sum. Definicja 2. (szeregu) Niech (a n ) be dzie dowolnym cia

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem

Bardziej szczegółowo

Kongruencje. Beata Łojan. Koło Naukowe Matematyków Uniwersytetu Śląskiego w Katowicach.

Kongruencje. Beata Łojan. Koło Naukowe Matematyków Uniwersytetu Śląskiego w Katowicach. Kongruencje Beata Łojan b.lojan@knm.katowice.pl Koło Naukowe Matematyków Uniwersytetu Śląskiego w Katowicach www.knm.katowice.pl III Liceum Ogólnokształcące im. Lucjana Szenwalda w Dąbrowie Górniczej Spis

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Kongruencje oraz przykłady ich zastosowań

Kongruencje oraz przykłady ich zastosowań Strona 1 z 25 Kongruencje oraz przykłady ich zastosowań Andrzej Sładek, Instytut Matematyki UŚl sladek@ux2.math.us.edu.pl Spotkanie w LO im. Powstańców Śl w Bieruniu Starym 27 października 2005 Strona

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia

1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia 1. Liczby naturalne, podzielność, silnie, reszty z dzielenia kwadratów i sześcianów przez małe liczby, cechy podzielności przez 2, 4, 8, 5, 25, 125, 3, 9. 26 września 2009 r. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie

Bardziej szczegółowo

2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność.

2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. 2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. 11 października 2008 r. 19. Wskazać takie liczby naturalne m,

Bardziej szczegółowo

Teoria liczb. Zajmuje się własnościami liczb, wszystkim całkowitych

Teoria liczb. Zajmuje się własnościami liczb, wszystkim całkowitych Teoria liczb Zajmuje się własnościami liczb, przede wszystkim całkowitych Niepraktyczna? - kryptografia Dzielenie liczb całkowitych z resztą Niech b>0, wtedy dla każdej liczby całkowitej a istnieją jednoznacznie

Bardziej szczegółowo

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Wyrażeniem algebraicznym nazywamy wyrażenie zbudowane z liczb, liter, nawiasów oraz znaków działań, na przykład: Symbole literowe występujące w wyrażeniu algebraicznym nazywamy zmiennymi.

Bardziej szczegółowo

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Z E S Z Y T M E T O D Y C Z N Y Miejski

Bardziej szczegółowo

Liczby całkowite. Zadania do pierwszych dwóch lekcji

Liczby całkowite. Zadania do pierwszych dwóch lekcji Matematyka w klasie IE Zadania do zajęć w Marynce Jesień 2012 Liczby całkowite prof. W. Gajda Zagadka Pomyśl sobie jakąś dużą liczbę całkowitą. Dodaj do niej tę samą liczbę. Do uzyskanej sumy dodaj jeszcze

Bardziej szczegółowo

Powtórzenie podstawowych zagadnień. związanych ze sprawnością rachunkową *

Powtórzenie podstawowych zagadnień. związanych ze sprawnością rachunkową * Powtórzenie podstawowych zagadnień związanych ze sprawnością rachunkową * (Materiały dydaktyczne do laboratorium fizyki) Politechnika Koszalińska październik 2010 Spis treści 1. Zbiory liczb..................................................

Bardziej szczegółowo

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 1 szkice rozwiązań zadań 1 W wierszu zapisano kolejno 2010 liczb Pierwsza zapisana liczba jest równa 7 oraz

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy

Bardziej szczegółowo

MADE IN CHINA czyli SYSTEM RESZTOWY

MADE IN CHINA czyli SYSTEM RESZTOWY MADE IN CHINA czyli SYSTEM RESZTOWY System ten oznaczmy skrótem RNS (residue number system czyli po prostu resztowy system liczbowy). Wartość liczby w tym systemie reprezentuje wektor (zbiór) reszt z dzielenia

Bardziej szczegółowo

Kongruencje pierwsze kroki

Kongruencje pierwsze kroki Kongruencje wykład 1 Definicja Niech n będzie dodatnią liczbą całkowitą, natomiast a i b dowolnymi liczbami całkowitymi. Liczby a i b nazywamy przystającymi (kongruentnymi) modulo n i piszemy a b (mod

Bardziej szczegółowo

Wzory skróconego mnożenia w zadaniach olimpijskich

Wzory skróconego mnożenia w zadaniach olimpijskich Wzory skróconego mnożenia w zadaniach olimpijskich Jacek Dymel 17.10.008 Bardzo często uczniowie wyrażają taką opinię, że do rozwiązywania zadań olimpijskich niezbędna jest znajomość wielu skomplikowanych

Bardziej szczegółowo

Bukiety matematyczne dla gimnazjum

Bukiety matematyczne dla gimnazjum Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 5 IX rok 2003/2004 Bukiet 1 1. W trójkącie ABC prosta równoległa do boku AB przecina boki AC i BC odpowiednio w punktach D i E. Zauważ,

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2014/15

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, lato 2014/15 Ćwiczenia 5/6, 10, 17.03.2015 (obie grupy) 33. Połączyć podane warunki w grupy warunków równoważnych dla dowolnej liczby naturalnej n. a) liczba n jest nieparzysta b) liczba n jest względnie pierwsza z

Bardziej szczegółowo

Analiza kongruencji. Kongruencje Wykład 3. Analiza kongruencji

Analiza kongruencji. Kongruencje Wykład 3. Analiza kongruencji Kongruencje Wykład 3 Kongruencje algebraiczne Kongruencje jak już podkreślaliśmy mają własności analogiczne do równań algebraicznych. Zajmijmy się więc problemem znajdowania pierwiastka równania algebraicznego

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA BINARNA. Dziesiątkowy system pozycyjny nie jest jedynym sposobem kodowania liczb z jakim mamy na co dzień do czynienia.

ARYTMETYKA BINARNA. Dziesiątkowy system pozycyjny nie jest jedynym sposobem kodowania liczb z jakim mamy na co dzień do czynienia. ARYTMETYKA BINARNA ROZWINIĘCIE DWÓJKOWE Jednym z najlepiej znanych sposobów kodowania informacji zawartej w liczbach jest kodowanie w dziesiątkowym systemie pozycyjnym, w którym dla przedstawienia liczb

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n

Bardziej szczegółowo

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa, test próbny www.omg.edu.pl (wrzesień 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o

Bardziej szczegółowo

Grupy i cia la, liczby zespolone

Grupy i cia la, liczby zespolone Rozdzia l 1 Grupy i cia la, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, b edziemy używać nast epuj acych oznaczeń: N = { 1, 2, 3,... } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2,... } - liczby ca lkowite, W = { m n

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/

Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Paweł Gładki Algebra http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Konsultacje: Środa, 14:00-15:00 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go o tym przed lub po zajęciach,

Bardziej szczegółowo

Zadania z elementarnej teorii liczb Andrzej Nowicki

Zadania z elementarnej teorii liczb Andrzej Nowicki Zadania z elementarnej teorii liczb Andrzej Nowicki UMK, Toruń 2012 1. Wykazać, że liczba 2222 5555 + 5555 2222 jest podzielna przez 7. 2. Wykazać, że liczba 222222 555555 + 555555 222222 jest podzielna

Bardziej szczegółowo

Liczby rzeczywiste. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych. Robert Malenkowski 1

Liczby rzeczywiste. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych. Robert Malenkowski 1 Robert Malenkowski 1 Liczby rzeczywiste. 1 Liczby naturalne. N {0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8...} Liczby naturalne to liczby używane powszechnie do liczenia i ustalania kolejności. Liczby naturalne można ustawić

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 3 Grupy cykliczne

Wyk lad 3 Grupy cykliczne Wyk la 3 Grupy cykliczne Definicja 3.1. Niech a bezie elementem grupy (G,, e). Jeżeli istnieje liczba naturalna k taka, że a k = e, to najmniejsza taka liczbe naturalna k nazywamy rzeem elementu a. W przeciwnym

Bardziej szczegółowo

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl System dziesiętny 7 * 10 4 + 3 * 10 3 + 0 * 10 2 + 5 *10 1 + 1 * 10 0 = 73051 Liczba 10 w tym zapisie nazywa się podstawą systemu liczenia. Jeśli liczba 73051 byłaby zapisana w systemie ósemkowym, co powinniśmy

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

Szkoła Podstawowa. Uczymy się dowodzić. Opracowała: Ewa Ślubowska. ewa.slubowska@wp.pl

Szkoła Podstawowa. Uczymy się dowodzić. Opracowała: Ewa Ślubowska. ewa.slubowska@wp.pl Szkoła Podstawowa Uczymy się dowodzić Opracowała: Ewa Ślubowska ewa.slubowska@wp.pl PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA II etap edukacyjny: klasy IV VI I. Sprawność rachunkowa. Uczeń wykonuje proste

Bardziej szczegółowo

LVIII Olimpiada Matematyczna

LVIII Olimpiada Matematyczna LVIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 18 kwietnia 2007 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. W trójkącie ostrokątnym A punkt O jest środkiem okręgu opisanego,

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KLAS IV-VI

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KLAS IV-VI WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KLAS IV-VI Klasa IV Stopień dopuszczający otrzymuje uczeń, który potrafi: odejmować liczby w zakresie 100 z przekroczeniem progu dziesiątkowego,

Bardziej szczegółowo

LXI Olimpiada Matematyczna

LXI Olimpiada Matematyczna 1 Zadanie 1. LXI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 21 kwietnia 2010 r. (pierwszy dzień zawodów) Dana jest liczba całkowita n > 1 i zbiór S {0,1,2,...,n 1}

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

2 Arytmetyka. d r 2 r + d r 1 2 r 1...d d 0 2 0,

2 Arytmetyka. d r 2 r + d r 1 2 r 1...d d 0 2 0, 2 Arytmetyka Niech b = d r d r 1 d 1 d 0 będzie zapisem liczby w systemie dwójkowym Zamiana zapisu liczby b na system dziesiętny odbywa się poprzez wykonanie dodawania d r 2 r + d r 1 2 r 1 d 1 2 1 + d

Bardziej szczegółowo

Grupy, pierścienie i ciała

Grupy, pierścienie i ciała Grupy, pierścienie i ciała Definicja: Niech A będzie niepustym zbiorem. Działaniem wewnętrznym (lub, krótko, działaniem) w zbiorze A nazywamy funkcję : A A A. Niech ponadto B będzie niepustym zbiorem.

Bardziej szczegółowo

LICZBY PIERWSZE. 14 marzec 2007. Jeśli matematyka jest królową nauk, to królową matematyki jest teoria liczb. C.F.

LICZBY PIERWSZE. 14 marzec 2007. Jeśli matematyka jest królową nauk, to królową matematyki jest teoria liczb. C.F. Jeśli matematyka jest królową nauk, to królową matematyki jest teoria liczb. C.F. Gauss (1777-1855) 14 marzec 2007 Zasadnicze twierdzenie teorii liczb Zasadnicze twierdzenie teorii liczb Ile jest liczb

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna 2/2008 rozwiązania. x 2 = 5x 6 (1) s 1 = Aα 1 + Bβ 1. A + B = c 2 A + 3 B = d

Matematyka Dyskretna 2/2008 rozwiązania. x 2 = 5x 6 (1) s 1 = Aα 1 + Bβ 1. A + B = c 2 A + 3 B = d C. Bagiński Materiały dydaktyczne 1 Matematyka Dyskretna /008 rozwiązania 1. W każdym z następujących przypadków podać jawny wzór na s n i udowodnić indukcyjnie jego poprawność: (a) s 0 3, s 1 6, oraz

Bardziej szczegółowo

1. Określenie pierścienia

1. Określenie pierścienia 1. Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące

Bardziej szczegółowo

Rozwiązanie: Zastosowanie twierdzenia o kątach naprzemianległych

Rozwiązanie: Zastosowanie twierdzenia o kątach naprzemianległych GEOMETRYCZNE 1) Dany jest prostokąt ABCD. Bok AB podzielono na trzy równe odcinki: AX, XY i YB. Wyznaczono trójkąty DAX, DXY i DYB. Uzasadnij, że wyznaczone trójkąty mają równe pola. Wizualizacja zadania

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Zadania. 1.1 Liczby pierwsze. 1. Wykorzystując sito Eratostenesa wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze mniejsze niż 200.

Rozdział 1. Zadania. 1.1 Liczby pierwsze. 1. Wykorzystując sito Eratostenesa wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze mniejsze niż 200. Rozdział 1 Zadania 1.1 Liczby pierwsze 1. Wykorzystując sito Eratostenesa wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze mniejsze niż 200. 2. Wyliczyć największy wspólny dzielnik d liczb n i m oraz znaleźć liczby

Bardziej szczegółowo

13 Zastosowania Lematu Szemerédiego

13 Zastosowania Lematu Szemerédiego 13 Zastosowania Lematu Szemerédiego 13.1 Twierdzenie Erdősa-Stone a (Rozdzia ly 7.1 i 7.5 podre cznika) Jednym z g lównych zagadnień ekstremalnej teorii grafów jest wyznaczenie parametru ex(n, H) = max{

Bardziej szczegółowo

Rozdział 7. Elementy teorii liczb. 7.1 Podstawowe własności liczb

Rozdział 7. Elementy teorii liczb. 7.1 Podstawowe własności liczb Rozdział 7 Elementy teorii liczb 7.1 Podstawowe własności liczb Zakres teorii liczb to zbiór liczb całkowitych. Tak więc nie będziemy wychodzić poza ten zbiór, a jeśli się pojawi pojęcie,,liczba, oznaczać

Bardziej szczegółowo

WIELOMIANY SUPER TRUDNE

WIELOMIANY SUPER TRUDNE IMIE I NAZWISKO WIELOMIANY SUPER TRUDNE 27 LUTEGO 2011 CZAS PRACY: 210 MIN. SUMA PUNKTÓW: 200 ZADANIE 1 (5 PKT) Dany jest wielomian W(x) = x 3 + 4x + p, gdzie p > 0 jest liczba pierwsza. Znajdź p wiedzac,

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania na kółko matematyczne dla uczniów gimnazjum

Przykładowe zadania na kółko matematyczne dla uczniów gimnazjum 1 Przykładowe zadania na kółko matematyczne dla uczniów gimnazjum Zagadnienia, które uczeń powinien znać przy rozwiązywaniu opisanych zadań: zastosowanie równań w zadaniach tekstowych, funkcje i ich monotoniczność,

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY IV

MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY IV MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY IV Nauczyciel: Jacek Zoń WYMAGANIA EDUKACYJNE NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA KLASY IV : 1. przeczyta i zapisze liczbę wielocyfrową (do tysięcy) 2. zna nazwy rzędów

Bardziej szczegółowo

Bukiety matematyczne dla szkoły podstawowej

Bukiety matematyczne dla szkoły podstawowej Bukiety matematyczne dla szkoły podstawowej http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 8 X 2002 Bukiet 1 Dany jest sześciokąt ABCDEF, którego wszystkie kąty są równe 120. Proste AB i CD przecinają się w punkcie

Bardziej szczegółowo

Internetowe Kółko Matematyczne 2003/2004

Internetowe Kółko Matematyczne 2003/2004 Internetowe Kółko Matematyczne 003/004 http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ Zadania dla szkoły średniej Zestaw I (5 IX) Zadanie 1. Które liczby całkowite można przedstawić w postaci różnicy kwadratów dwóch

Bardziej szczegółowo

P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Uproszczony 1 j. ezyk PCF

P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Uproszczony 1 j. ezyk PCF 29 kwietnia 2013, godzina 23: 56 strona 1 P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki Uproszczony 1 j ezyk PCF Sk ladnia: Poniżej Γ oznacza otoczenie typowe, czyli zbiór deklaracji postaci (x : τ).

Bardziej szczegółowo

Pierścienie grupowe wyk lad 2. Przypomnijmy, że K-algebra A jest pó lprosta, gdy jej lewe A-modu ly przypominaja

Pierścienie grupowe wyk lad 2. Przypomnijmy, że K-algebra A jest pó lprosta, gdy jej lewe A-modu ly przypominaja Pierścienie grupowe wyk lad 2. Przypomnijmy, że K-algebra A jest pó lprosta, gdy jej lewe A-modu ly przypominaja przestrzenie liniowe nad A: każdy z nich ma rozk lad na sume modu lów prostych. W tych rozk

Bardziej szczegółowo

2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. (c.d.

2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. (c.d. 2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. (c.d.) 10 października 2009 r. 20. Która liczba jest większa,

Bardziej szczegółowo

Pierwiastki pierwotne, logarytmy dyskretne

Pierwiastki pierwotne, logarytmy dyskretne Kongruencje wykład 7 Definicja Jeżeli rząd elementu a modulo n (dla n będącego liczba naturalną i całkowitego a, a n) wynosi φ(n) to a nazywamy pierwiastkiem pierwotnym modulo n. Przykład Czy 7 jest pierwiastkiem

Bardziej szczegółowo

C z y p a m i ę t a s z?

C z y p a m i ę t a s z? C z y p a m i ę t a s z? Liczby naturalne porządkowe, Przykłady: 0,1, 2, 6, 148, Liczby całkowite to liczby naturalne, przeciwne do nich i 0. Przykłady:, -3, -1, 0, 17, Liczby wymierne można przedstawid

Bardziej szczegółowo

LXIII Olimpiada Matematyczna

LXIII Olimpiada Matematyczna 1 Zadanie 1. LXIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 17 lutego 2012 r. (pierwszy dzień zawodów) Rozwiązać w liczbach rzeczywistych a, b, c, d układ równań a

Bardziej szczegółowo

Joanna Kluczenko 1. Spotkania z matematyka

Joanna Kluczenko 1. Spotkania z matematyka Do czego moga się przydać reszty z dzielenia? Joanna Kluczenko 1 Spotkania z matematyka Outline 1 Co to sa 2 3 moje urodziny? 4 5 Jak tworzona jest liczba kontrolna w kodach towarów w sklepie? 6 7 TWIERDZENIE

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można

Bardziej szczegółowo

(g) (p q) [(p q) p]; (h) p [( p q) ( p q)]; (i) [p ( p q)]; (j) p [( q q) r]; (k) [(p q) (q p)] (p q); (l) [(p q) (r s)] [(p s) (q r)];

(g) (p q) [(p q) p]; (h) p [( p q) ( p q)]; (i) [p ( p q)]; (j) p [( q q) r]; (k) [(p q) (q p)] (p q); (l) [(p q) (r s)] [(p s) (q r)]; Logika 1. Czy następujące sformułowania są zdaniami: (a) Wszystkie koty w Polsce są czarne. (b) Jak to udowodnić? (c) x + y = 7. (d) Jeśli x 2 = y 2, to x = y. (e) Jeśli x = y, to x 2 = y 2. (f) 2 n +

Bardziej szczegółowo

2. LICZBY RZECZYWISTE Własności liczb całkowitych Liczby rzeczywiste Procenty... 24

2. LICZBY RZECZYWISTE Własności liczb całkowitych Liczby rzeczywiste Procenty... 24 SPIS TREŚCI WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI ALGEBRAICZNE 7 Wyrażenia algebraiczne 0 Równania i nierówności algebraiczne LICZBY RZECZYWISTE 4 Własności liczb całkowitych 8 Liczby rzeczywiste

Bardziej szczegółowo

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia 1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia Definicja wielomianu. Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję w określoną wzorem w(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, przy

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI DLA KL. 5

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI DLA KL. 5 WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI DLA KL. 5 Na ocenę niedostateczną (1) uczeń nie spełnia wymagań koniecznych. Na ocenę dopuszczającą (2) uczeń spełnia wymagania konieczne tzn.: 1. posiada i

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

LXV Olimpiada Matematyczna

LXV Olimpiada Matematyczna LXV Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 8 kwietnia 2014 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Dane są względnie pierwsze liczby całkowite k,n 1. Na tablicy

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY V

MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY V MATEMATYKA WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY V Na ocenę wyższą uczeń powinien opanować wiedzę i umiejętności na ocenę (oceny) niższą. Dział programowy: LICZBY NATURALNE podać przykład liczby naturalnej czytać

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

1. Napisz program, który wyświetli Twoje dane jako napis Witaj, Imię Nazwisko. 2. Napisz program, który wyświetli wizytówkę postaci:

1. Napisz program, który wyświetli Twoje dane jako napis Witaj, Imię Nazwisko. 2. Napisz program, który wyświetli wizytówkę postaci: 1. Napisz program, który wyświetli Twoje dane jako napis Witaj, Imię Nazwisko. 2. Napisz program, który wyświetli wizytówkę postaci: * Jan Kowalski * * ul. Zana 31 * 3. Zadeklaruj zmienne przechowujące

Bardziej szczegółowo

Podzielność liczb. Podzielność liczb

Podzielność liczb. Podzielność liczb Euclides i kwestie podzielności liczb Definicja Niech a, b Z. Mówimy, że liczba a > 0 dzieli liczbę b, albo a b, jeżeli istnieje taka całkowita liczba c, że b = ac. Definicja a b a > 0 i b = ac, c całkowite.

Bardziej szczegółowo

do instrukcja while (wyrażenie);

do instrukcja while (wyrażenie); Instrukcje pętli -ćwiczenia Instrukcja while Pętla while (póki) powoduje powtarzanie zawartej w niej sekwencji instrukcji tak długo, jak długo zaczynające pętlę wyrażenie pozostaje prawdziwe. while ( wyrażenie

Bardziej szczegółowo

Pojȩcie przestrzeni metrycznej

Pojȩcie przestrzeni metrycznej ROZDZIA l 1 Pojȩcie przestrzeni metrycznej Definicja 1.1. Dowolny niepusty zbiór X z funkcja ρ : X X [0, ), spe lniaja ca naste puja ce trzy warunki M1: ρ(x, y) = 0 x = y, M2: ρ(x, y) = ρ(y, x), M3: ρ(x,

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny w klasie II gimnazjum do programu nauczania MATEMATYKA NA CZASIE

Wymagania na poszczególne oceny w klasie II gimnazjum do programu nauczania MATEMATYKA NA CZASIE Wymagania na poszczególne oceny w klasie II gimnazjum do programu nauczania MATEMATYKA NA CZASIE Wymagania konieczne K dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, powinien je

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2014 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 4/15 Podzielność Niech liczba całkowita p>0. Dla każdej liczby całkowitej a mówimy, że a jest podzielne przez p (p jest dzielnikiem

Bardziej szczegółowo

Internetowe Kółko Matematyczne 2003/2004

Internetowe Kółko Matematyczne 2003/2004 Internetowe Kółko Matematyczne 2003/2004 http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ Zadania dla gimnazjum Zestaw I (12 IX) Zadanie 1. Znajdź cyfry A, B, C, spełniające równość: a) AB A = BCB, b) AB A = CCB. Zadanie

Bardziej szczegółowo

1. Powtórka ze szkoły. Wykład: 4.10.2004 (4 godziny), ćwiczenia: 7.10.2004, kolokwium nr 1: 11.10.2004

1. Powtórka ze szkoły. Wykład: 4.10.2004 (4 godziny), ćwiczenia: 7.10.2004, kolokwium nr 1: 11.10.2004 ANALIZA MATEMATYCZNA A dla I roku, 2004/2005 1. Powtórka ze szkoły. Wykład: 4.10.2004 (4 godziny), ćwiczenia: 7.10.2004, kolokwium nr 1: 11.10.2004 Obliczyć sumy (postępów arytmetycznych i goemetrycznych):

Bardziej szczegółowo

Podzielność, cechy podzielności, liczby pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność.

Podzielność, cechy podzielności, liczby pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. Podzielność, cechy podzielności, liczby pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. W dniu 3 października 2013 r. omawiamy test kwalifikacyjny. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie

Bardziej szczegółowo

a 1, a 2, a 3,..., a n,...

a 1, a 2, a 3,..., a n,... III. Ciągi liczbowe. 1. Definicja ciągu liczbowego. Definicja 1.1. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R i oznaczamy przez {a

Bardziej szczegółowo

Zadania na dowodzenie Opracowała: Ewa Ślubowska

Zadania na dowodzenie Opracowała: Ewa Ślubowska Egzamin Gimnazjalny Zadania na dowodzenie Opracowała: Ewa Ślubowska W nauczaniu matematyki ważne jest rozwijanie różnych aktywności umysłu. Ma temu służyć min. rozwiązywanie jednego zadania czy dowodzenie

Bardziej szczegółowo