GRZEGORZ SZKIBIEL, CZES LAW WOWK ZADANIA Z ARYTMETYKI SZKOLNEJ I TEORII LICZB

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "GRZEGORZ SZKIBIEL, CZES LAW WOWK ZADANIA Z ARYTMETYKI SZKOLNEJ I TEORII LICZB"

Transkrypt

1 U N I W E R S Y T E T S Z C Z E C I Ń S K I GRZEGORZ SZKIBIEL, CZES LAW WOWK ZADANIA Z ARYTMETYKI SZKOLNEJ I TEORII LICZB SZCZECIN 1999

2

3 SPIS TREŚCI Przedmowa Cze ść I Zadania Cze ść II Rozwia zania Podstawowe w lasności liczb ca lkowitych Podzielność liczb ca lkowitych Zasada indukcji matematycznej Dzielenie z reszta Cze ść ca lkowita Dzielenie z reszta dalsze w lasności Najwie kszy wspólny dzielnik Najmniejsza wspólna wielokrotność Zasadnicze twierdzenie arytmetyki Liczby pierwsze Poje cie liczby pierwszej Ile jest liczb pierwszych? Wnioski z zasadniczego twierdzenia arytmetyki

4 Uwagi o funkcji π(x) Twierdzenie Dirichleta Liczba dzielników oraz funkcja Eulera Rozk lad na czynniki dużych liczb naturalnych Liczby w różnych systemach pozycyjnych Poje cie pozycyjnego systemu zapisu liczb Wykonywanie obliczeń w różnych systemach pozycyjnych U lamki w różnych systemach pozycyjnych Algorytm Euklidesa Szukanie NWD Równania liniowe Rozwia zywanie równań liniowych Kongruencje Podstawowe w lasności kongruencji Kongruencje a wielomiany Kongruencje a równania Ma le Twierdzenie Fermata Pewne zastosowania twierdzenia Eulera Rozwinie cie okresowe a kongruencje Zastosowania twierdzenia Wilsona Jeszcze jedno twierdzenie o kongruencjach Bibliografia

5 PRZEDMOWA Jeden z wybitnych matematyków naszego stulecia, G.H. Hardy powiedzia l: Elementarna teoria liczb powinna być uważana za jeden z najw laściwszych przedmiotów w pocza tkach wykszta lcenia matematycznego. Wymaga ona bardzo ma lo uprzedniej wiedzy, a przedmiot jej jest uchwytny i znajomy. Metody, które stosuje, sa proste, ogólne i nieliczne, i nie ma sobie równej wśród nauk matematycznych w odwo laniu sie do naturalnej ludzkiej ciekawości 1. Mamy nadzieje, że umieszczenie w programie zawodowych studiów matematycznych takich przedmiotów jak arytmetyka szkolna i arytmetyka be dzie okazja do zilustrowania s lów G.H. Hardy ego. Zadania z arytmetyki szkolnej i teorii liczb to skrypt adresowany w pierwszym rze dzie do studentów studiów zawodowych, którzy zetkna sie z teoria liczb w ramach przedmiotów arytmetyka szkolna i arytmetyka. Ponieważ w skrypcie umieściliśmy wiele zadań z olimpiad matematycznych, wie c może on być przydatny także uczniom o zainteresowaniach matematycznych. Polecamy nasz skrypt również studentom starszych lat studiów matematycznych, zainteresowanym wyk ladem z kryptografii, ponieważ nie da sie studiować tego przedmiotu bez znajomości elementarnej teorii liczb. Aby na wyk ladzie z kryptografii szybciej przejść do realizacji zasadniczych hase l, pewne zagadnienia z teorii liczb be dzie można po- 1 G.H. Hardy: A Mathematician s Apology, 1940

6 6 Przedmowa zostawić s luchaczom do samodzielnego przeczytania w niniejszym skrypcie. Skrypt sk lada sie z dwóch cze ści. W pierwszej cze ści znajduja sie najważniejsze twierdzenia przypadaja ce na dany rozdzia l oraz zadania do rozwia zania. Natomiast w drugiej cze ści umieściliśmy szczegó lowe rozwia zania. Ponieważ w nauce matematyki istotna rzecza jest umieje tność rozwia zywania różnych problemów, przeto rozwia zania zadań (ze skryptu) należy czytać dopiero po wielu samodzielnych próbach wykonania zadania. Cze ść zadań zamieszczonych w skrypcie jest pomys lu autorów, ale znaczna cze ść zosta la zaczerpnie ta z literatury, której spis znajduje sie na końcu skryptu. Zadania u lożone sa w kolejności od latwiejszych do trudniejszych, ale najtrudniejsze zadania niekoniecznie znajduja sie na końcu paragrafu. Pomine liśmy też stosowane cze sto w literaturze oznaczenie * dla zadań trudniejszych, ponieważ wydaje sie nam, że istnieje spora grupa Czytelników, którzy znieche caja sie do pracy nad problemem z,,gwiazdka. W skrypcie obowia zuje powszechnie stosowana symbolika. Jest ona wyjaśniana w pocza tkowych fragmentach odpowiednich paragrafów oraz w tekstach niektórych zadań.

7 CZE ŚĆ I ZADANIA 1. Podstawowe w lasności liczb ca lkowitych 1.1. Podzielność liczb ca lkowitych. Mówimy, że liczba ca lkowita m 0 dzieli liczbe ca lkowita a, jeżeli istnieje taka liczba ca lkowita n, że m n = a. Fakt ten zapisujemy m a. Na przyk lad 3 276, bo 276 = Jeśli liczba m nie dzieli a, co oznacza, że nie istnieje żadna liczba ca lkowita n, dla której mn = a, to piszemy m a. Jeżeli m a, to mówimy też, że m jest dzielnikiem liczby a, natomiast liczbe a nazywamy wielokrotnościa liczby m Rozstrzygnij, czy , czy Pokaż, że jeśli m a, to m ( a) Uzasadnij, że jeśli m a oraz b jest dowolna liczba ca lkowita, to m ab Wiadomo, że Rozstrzygnij, czy oraz czy Za lóżmy, że m ab dla pewnych liczb ca lkowitych m, a i b. Czy m musi wtedy dzielić a lub b? Pokaż, że jeżeli m a oraz m b, to m a + b i m a b Wiadomo, że Pokaż, że oraz że

8 8 Cze ść I Zadania Wiadomo, że Czy 7 784? A czy 7 817? Zgadnij, czy , a naste pnie sprawdź swoja odpowiedź biora c pod uwage poprzednie zadanie Wiadomo, że Jaka jest naste pna (po 2576) liczba podzielna przez 56? Wiemy, że Wypisz wszystkie liczby wie ksze od 290 i mniejsze od 340, które sa podzielne przez Za lóżmy, że m a + b. Czy oznacza to, że m a i m b? A może oznacza to, że m a lub m b? Za lóżmy, że m a + b oraz m a b. Czy wtedy m a i m b? Jeżeli nie, to czy potrafisz sformu lować dodatkowe za lożenia o m tak, by naste puja ce zdanie by lo prawdziwe. Jeśli m a + b i m a b, to m a i m b Pokaż, że jeśli m a oraz n m, to n a Pokaż, że jeżeli m a i a 0, to m a Pokaż, że jeżeli m a i a m, to m = a lub m = a Zasada indukcji matematycznej. Podczas nauki matematyki w szkole średniej cze sto korzystaliśmy z tak zwanej zasady indukcji matematycznej (ZIM). Przypomnijmy sformu lowanie tej zasady: Niech T (n) be dzie zdaniem dotycza cym liczby naturalnej n. Jeżeli 1 0 T (m 0 ) jest zdaniem prawdziwym, gdzie m 0 jest pewna liczba należa ca do N 0 ; 2 0 z prawdziwości zdania T (k) (gdzie k N 0, k m 0 ) wynika prawdziwość zdania T (k + 1) ; to zdanie T (n) jest prawdziwe dla każdego n m 0. Przez N 0 oznaczyliśmy tu zbiór liczb ca lkowitych nieujemnych, czyli zbiór {0,1,2,...}. Podobnie, przez N m oznaczymy zbiór wszystkich liczb ca lkowitych wie kszych lub równych m, tj. zbiór

9 Podstawowe w lasności liczb ca lkowitych 9 {m,m + 1,m + 2,...}. Stosuja c powyższe oznaczenia możemy nadać zasadzie indukcji matematycznej naste puja ca postać: Niech M N 0 be dzie zbiorem takim, że 1 0 m 0 M ; 2 0 dla dowolnego k N m0, jeśli k M, to k + 1 M. Wówczas N m0 M. Zasada indukcji matematycznej jest równoważna zasadzie minimum (ZM), która orzeka, że w każdym niepustym zbiorze A liczb ca lkowitych nieujemnnych istnieje liczba najmniejsza. Wykażemy teraz, że z ZIM wynika ZM 1. Przypuśćmy, że A jest niepustym zbiorem liczb ca lkowitych nieujemnych, w którym nie ma liczby najmniejszej. Niech B be dzie zbiorem liczb ca lkowitych nieujemnych zdefiniowanym w naste puja cy sposób: n B dla każdej liczby ca lkowitej nieujemnej m, jeżeli m n, to m / A. Zauważmy, że 0 / A, bo w przeciwnym wypadku w zbiorze A istnia laby liczba najmniejsza, która by loby 0. Zatem 0 B. Za lóżmy, że n B. Wtedy n + 1 / A, gdyż w przeciwnym razie n + 1 by loby najmniejsza liczba zbioru A. Wynika to sta d, że skoro n B, wie c z definicji zbioru B mamy n / A, n 1 / A,..., 0 / A. Zatem w konsekwencji n + 1 B. Wykazaliśmy, że zbiór B spe lnia za lożenia ZIM (w drugim sformu lowaniu), wie c B = N 0. Biora c pod uwage definicje zbioru B, wnioskujemy, że A jest zbiorem pustym, co przeczy naszemu za lożeniu Udowodnij, że z zasady minimum wynika zasada indukcji matematycznej Korzystaja c z zasady indukcji uzasadnij, że 3 n 3 + 5n dla dowolnego n N 0. 1 Przy pierwszym czytaniu Czytelnik może pomina ć to uzasadnienie.

10 10 Cze ść I Zadania Wykaż, że 7 jest ostatnia cyfra liczby 2 2n + 1, gdy n N 2 (liczby 2 2n + 1, gdzie n N 0 nazywamy liczbami Fermata) Uzasadnij, że n 6 dla n N Wykaż, że 1 jest ostatnia cyfra liczby 2 4n 5 dla n N ( = N 1 ) Dzielenie z reszta. Jak wiadomo, jeśli mamy ustalona liczbe ca lkowita m, to nie każda liczba ca lkowita dzieli sie przez m. Na przyk lad 34 nie dzieli sie przez 5, ponieważ nie ma takiej liczby ca lkowitej, która pomnożona przez 5 da iloczyn równy 34. Oznacza to, że gdybyśmy chcieli rozdzielić 34 zeszyty mie dzy pie ciu uczniów, tak aby każdy otrzyma l jednakowa ilość, to nie potrafilibyśmy tego dokonać. Możemy jednakże dać każdemu uczniowi po 6 zeszytów i pozostana nam jeszcze 4. Dziela c 34 przez 5 otrzymujemy zatem 6 oraz reszte 4. Fakt ten zapisujemy 34 = Przypuśćmy, że mamy dwie liczby ca lkowite n oraz d, przy czym d 0. Dzielenie (z reszta ) liczby n przez d polega na znalezieniu liczb ca lkowitych q oraz r takich, że n = qd + r oraz 0 r < d. Liczbe r nazywamy reszta z dzielenia n przez d, a liczbe q niepe lnym ilorazem lub ilorazem cze ściowym tego dzielenia. Oczywiste jest, że d n wtedy i tylko wtedy, gdy r = Znajdź niepe lny iloraz i reszte z dzielenia (a) 23 przez 3; (b) 43 przez 4; (c) 36 przez Niech n i d be da liczbami ca lkowitymi, przy czym d 1. Korzystaja c z zasady minimum wykaż, że istnieje dok ladnie jedna para liczb ca lkowitych q i r taka, że n = dq + r, gdzie 0 r < d Pokaż, że kwadrat liczby ca lkowitej nieparzystej przy dzieleniu przez 8 daje reszte Pokaż, że suma kwadratów dwóch kolejnych liczb naturalnych przy dzieleniu przez 4 daje reszte 1.

11 Podstawowe w lasności liczb ca lkowitych Udowodnij, że liczba naturalna postaci 3m + 2 ( m N ) nie jest kwadratem żadnej liczby ca lkowitej Uzasadnij, że suma kwadratów dwóch liczb nieparzystych nie jest kwadratem żadnej liczby ca lkowitej Cze ść ca lkowita. Jeżeli x jest dowolna liczba rzeczywista, to istnieje najwie ksza liczba ca lkowita n spe lniaja ca warunek n x. Liczbe n nazywamy cze ścia ca lkowita liczby x i oznaczamy symbolem [x] lub E(x). Z określenia liczby [x] wynika, że [x] x < [x] + 1. ( ) Istotnie, gdyby x [x]+1, to liczba [x]+1 by laby liczba ca lkowita wie ksza od [x] spe lniaja ca warunek [x] + 1 x. Jest to sprzeczne z definicja cze ści ca lkowitej liczby x. Z nierówności (*) wynika, że 0 x [x] < 1. Liczbe x [x] nazywamy cze ścia u lamkowa liczby x i oznaczamy symbolem {x}. Latwo zobaczyć, że x = [x] + {x}. Przyk lady: [ 1 2 ] = 1, [4,7] = 4, [ 7,3] = 8, { 2} 1 = 1 2, {4,7} = 0,7, { 7,3} = 0, Wykaż, że jeżeli x, y R, oraz x y, to [x] [y] Uzasadnij, że jeżeli α (0,1) oraz n N, to [ n + α] = n Uzasadnij, że jeżeli (a) x jest liczba ca lkowita, to [ x] = [x] ; (b) x nie jest liczba ca lkowita, to [ x] = [x] 1 ; (c) x R, n Z, to [x + n] = [x] + n Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x oraz y zachodzi nierówność [x + y] [x] + [y] Udowodnij, że jeżeli [x] = [y], to x y < 1.

12 12 Cze ść I Zadania Wykaż, że jeśli n jest liczba naturalna, a x liczba rzeczywista, to [ ] [x] [ x =. n n] Rozwia ż równanie 5x [ ] 2x + 3 = Uzasadnij, że dla dowolnej liczby rzeczywistej x i dowolnej liczby naturalnej n zachodzi równość [x] + [ x + 1 ] [ + x + 2 ] [ + + x + n 1 ] = [nx]. n n n Niech n i k be da liczbami naturalnymi. Wykaż, że [ n ] [ ] [ ] [ ] n + 1 n + 2 n + k = n. k k k k 1.5. Dzielenie z reszta dalsze w lasności. Dziela c 34 przez 5 otrzymujemy 6 i reszte. Zauważmy, że 6 = [ ] Wykorzystuja c w lasności cze ści ca lkowitej można podać algorytm dzielenia (z reszta ) liczby ca lkowitej m przez liczbe ca lkowita n > 0. K lada c [ m ] q = n oraz r = m nq mamy q m n < q + 1. Sta d qn m < qn + n. Zatem 0 r = m qn < n Podziel z reszta (pamie taja c, że reszta z dzielenia ma być liczba nieujemna ) (a) 83 przez 3 ; (b) 71 przez 4.

13 Podstawowe w lasności liczb ca lkowitych Rozwia zuja c zadanie 1.5.1, można zauważyć, że algorytmu podanego we wste pie nie można zastosować, jeśli n < 0. Zmodyfikuj ten algorytm tak, aby można by lo go zastosować przy dzieleniu liczby ca lkowitej m przez liczbe ca lkowita n < Uzasadnij, [ że ] jeżeli p, n N, to wśród wyrazów cia gu 1, 2, 3,..., n jest wielokrotności liczby p. n p Znajdź najmniejsza liczbe naturalna n spe lniaja ca wszystkie poniższe warunki: reszta z dzielenia n przez 2 jest równa 1, reszta z dzielenia n przez 3 jest równa 2, reszta z dzielenia n przez 4 jest równa 3, reszta z dzielenia n przez 5 jest równa Najwie kszy wspólny dzielnik. Niech m i n be da dwiema liczbami ca lkowitymi, przy czym m 0 lub n 0. Liczbe ca lkowita d 1 nazywamy najwie kszym wspólnym dzielnikiem liczb m i n (co oznaczamy NWD(m, n) ), jeśli (a) d dzieli m i d dzieli n; (b) jeżeli liczba ca lkowita c dzieli m oraz n, to c dzieli d. Bezpośrednio z powyższej definicji wynika, że jeżeli m 0, to wtedy NWD(m, 0) = m. Weźmy teraz dwie liczby ca lkowite m 0 oraz n 0. Uzasadnimy, że z zasady minimum wynika istnienie NWD(m, n). W tym celu rozważmy zbiór X = {xm + yn 1 : x,y Z}. Ponieważ m m+n n 1, wie c X. Z zasady minimum wynika, że w zbiorze X istnieje liczba najmniejsza. Niech d = am + bn be dzie ta liczba ( a, b Z ). Zauważmy, że d m oraz d n. Istotnie, jeśli zapiszemy m = dq + r, gdzie 0 r < d, wtedy mamy r = m dq = m (am + bn)q = m(1 aq) + n( bq). Gdyby r 1, to r X oraz r < d, co jest sprzeczne z wyborem d. Zatem r = 0, czyli d m. Analogicznie uzasadniamy, że d n. Tak wie c d spe lnia warunek (a) definicji NWD.

14 14 Cze ść I Zadania Aby pokazać, że warunek (b) także jest spe lniony, za lóżmy, że pewna liczba c dzieli zarówno m, jak i n. Sta d wynika, że istnieja takie liczby ca lkowite m 1 oraz n 1, że m = cm 1 i n = cn 1. Sta d d = am + bn = c(am 1 + bn 1 ), czyli c d. Wykazaliśmy, że d = NWD(m, n).

15 Podstawowe w lasności liczb ca lkowitych 15 Z powyższych rozważań otrzymujemy naste puja cy Wniosek. Jeżeli NWD(m, n) = d, to istnieja liczby ca lkowite x i y takie, że mx + ny = d. Uwaga. Zauważmy, że jeśli dla liczb m, n i d znajdziemy takie x i y, że mx + ny = d, to nie znaczy to jeszcze, że d = NWD(m, n). Na przyk lad, dla m = 1, n = 2 oraz d = 7 mamy 3m + 2n = d, ale 7 nie jest oczywiście najwie kszym wspólnym dzielnikiem liczb 1 i 2. Jeżeli NWD(m, n) = 1, to mówimy, że liczby m i n sa wzgle dnie pierwsze Pokaż, że jeżeli m n, to NWD(m, n) = m Pokaż, że jeżeli m = nq+r, to NWD(m, n) = NWD(n, r) Znajdź NWD(98, 56) Pokaż, że NWD(n, n + 1) = Pokaż, że dla dowolnego k N zachodzi NWD(2k + 1, 2k + 3) = Niech d = NWD(m, n) i niech m = dm 1 oraz n = dn 1. Pokaż, że NWD(m 1, n 1 ) = Za lóżmy, że u lamek a b jest nieskracalny. Sprawdź, czy u lamek jest nieskracalny. a a+b Pokaż, że jeżeli liczby m i n sa wzgle dnie pierwsze oraz m nk, to m k Za lóżmy, że dane sa trzy liczby ca lkowite m, n, p, z których przynajmniej jedna jest różna od zera. Określ NWD dla tych liczb przez analogie do NWD dla dwóch liczb, a naste pnie oblicz NWD(24,36,120) Uogólnij definicje najwie kszego wspólnego dzielnika na przypadek k liczb, tj. dla a 1, a 2,..., a k Z. Zdefiniuj NWD(a 1,a 2,...,a k ). Oblicz NWD(36,120,180,600).

16 16 Cze ść I Zadania Za lóżmy, że dane sa trzy liczby ca lkowite m, n i p. Zdefiniujmy PNWD(m,n,p) = df NWD(m, NWD(n, p)). Pokaż, że tak zdefiniowany PNWD jest równy najwie kszemu wspólnemu dzielnikowi liczb m, n i p (zdefiniowanemu w zadaniu 1.6.9) Najmniejsza wspólna wielokrotność. Za lóżmy, że n i m sa liczbami ca lkowitymi różnymi od zera. Liczbe ca lkowita s nazywamy najmniejsza wspólna wielokrotnościa liczb m i n (co zapisujemy NWW(m, n) = s ), jeśli 1) s 1, 2) m s oraz n s, 3) jeżeli liczba ca lkowita t spe lnia warunek n t i m t, to s t. Na przyk lad NWW(6, 9) = 18. Analogicznie określamy najmniejsza wspólna wielokrotność k różnych od zera liczb ca lkowitych a 1, a 2,..., a k i oznaczamy ja przez NWW(a 1, a 2,...,a k ) (a) Znajdź najmniejsza liczbe naturalna, która po podzieleniu przez każda z liczb 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 daje zawsze reszte 1. (b) Znajdź najmniejsza liczbe naturalna, która po podzieleniu przez 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 daje, odpowiednio, reszty 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Za lóżmy, że NWD(a, b) = d i niech a = da 1, b = db 1. Uzasadnij, że NWW(a, b) = a 1 db Pokaż, że dla dowolnych liczb naturalnych a, b zachodzi równość ab = NWD(a, b) NWW(a, b) Wykaż, że jeżeli liczby a i b sa wzgle dnie pierwsze, to NWW(a, b) = ab Pokaż, że dla dowolnych liczb naturalnych a, b zachodzi nierówność a + b NWD(a, b) + NWW(a, b).

17 Podstawowe w lasności liczb ca lkowitych W podre cznikach szkolnych można znaleźć naste puja ce definicje NWW i NWD.,,Najmniejsza wspólna wielokrotnościa liczb m i n nazywamy najmniejsza nieujemna liczbe w zbiorze wspólnych wielokrotności m oraz n.,,najwie kszym wspólnym dzielnikiem liczb m i n nazywamy najwie ksza liczbe w zbiorze wspólnych dzielników m oraz n. Pos luguja c sie tylko tymi,,szkolnymi definicjami pokaż, że (a) wspólna wielokrotność liczb m i n jest podzielna przez najmniejsza wspólna wielokrotność liczb m i n ; (b) wspólny dzielnik liczb m i n jest dzielnikiem najwie kszego wspólnego dzielnika liczb m i n Zasadnicze twierdzenie arytmetyki. W literaturze zasadnicze twierdzenie arytmetyki przyjmuje różne (równoważne) sformu lowania. Jedno z nich jest naste puja ce Twierdzenie. Liczba naturalna be da ca dzielnikiem iloczynu dwóch liczb naturalnych i pierwsza wzgle dem jednego z czynników jest dzielnikiem drugiego, tzn. jeżeli n ab i NWD(n, a) = 1, to n b. Dowód. Ponieważ n ab i a ab, wie c ab jest wspólna wielokrotnościa liczb n oraz a. Z definicji NWW wynika, że NWW(n, a) ab. Istnieje wie c liczba ca lkowita t taka, że NWW(n, a) t = ab. Ponieważ NWD(n, a) = 1, wie c NWW(n, a) = na. Sta d nat = ab, a sta d ostatecznie nt = b, czyli n b Pokaż, że jeżeli NWD(a, b) = 1 i c a, to NWD(c, b) = Pokaż, że jeżeli NWD(a, c) = 1 oraz NWD(b, c) = 1, to NWD(ab, c) = Uzasadnij, że jeżeli NWD(a 1, a) = NWD(a 2, a) =... = NWD(a n, a) = 1, to NWD(a 1 a 2... a n, a) = Wykaż, że każda liczba wymierna dodatnia daje sie przedstawić jednoznacznie w postaci ilorazu dwóch liczb naturalnych wzgle dnie pierwszych (czyli w postaci u lamka nieskracalnego).

18 18 Cze ść I Zadania 2. Liczby pierwsze 2.1. Poje cie liczby pierwszej. Liczbe naturalna p > 1 nazywamy, jeśli ma ona dok ladnie dwa dzielniki naturalne, mianowicie 1 i p. Liczby, które nie sa pierwszymi, ale sa wie ksze od 1, nazywamy z lożonymi Wypisz wszystkie liczby pierwsze p < Wskaż jaka kolwiek liczbe wie ksza od (a) 26, (b) 56, (c) Uzasadnij, że reszta z dzielenia liczby pierwszej przez 30 jest równa 1 lub pewnej liczbie pierwszej Uzasadnij, że kwadrat dowolnej liczby pierwszej wie kszej niż 3 daje przy dzieleniu przez 12 reszte Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n > 2, liczby a n = 2 n + 1 oraz b n = 2 n 1 nie moga być jednocześnie liczbami pierwszymi Uzasadnij, że liczby naturalnej postaci 6k + 1 (k N) nie można przedstawić w postaci różnicy dwóch liczb pierwszych Pokaż, że jeżeli p jest liczba oraz 8p jest liczba, to 8p 2 + 2p + 1 też jest liczba Pokaż, że każda liczba naturalna wie ksza od 1 ma przynajmniej jeden dzielnik pierwszy (tj. taki, który jest liczba pierwsza ) Ile jest liczb pierwszych? Odpowiedź na pytanie o to, ile jest liczb pierwszych, zawiera naste puja ce Twierdzenie. Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. W literaturze można znaleźć wiele dowodów tego twierdzenia. Niżej umieszczamy jeden z nich, maja c nadzieje, że Czytelnik znajdzie co najmniej kilka innych. W dowodach tego twierdzenia cze sto korzysta sie z faktu zawartego w zadaniu

19 18 Cze ść I Zadania Dowód. Przypuśćmy, że istnieja tylko naste puja ce liczby pierwsze: p 1, p 2,..., p r. Niech M = p 1 p 2... p r i niech M = st, gdzie s = p 1 p 2, a t = p 3 p 4... p r. Zauważmy, że liczba naturalna s + t nie jest podzielna przez żadna z liczb p 1, p 2,..., p r. Otrzymujemy sprzeczność, ponieważ s + t jest różne od 1 (zobacz zadanie 2.1.8) Za lóżmy, że liczby p 1, p 2,..., p k sa liczbami pierwszymi. Pokaż, że liczba p 1 p 2... p k + 1 nie dzieli sie z liczb p 1, p 2,..., p k. przez żadna Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej n, liczba n! + 1 nie dzieli sie przez żadna liczbe 1 < q n Pokaż, że dla dowolnej liczby naturalnej n, istnieje liczba pierwsza wie ksza od n Niech F n oznacza liczbe Fermata, tzn. F n = 2 2n + 1. Pokaż, że F m oraz F n sa wzgle dnie pierwsze dla n m Wykaż, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele, wykorzystuja c (a) zadanie 2.2.1; (b) zadanie 2.2.3; (c) zadanie Wnioski z zasadniczego twierdzenia arytmetyki. Z zasadniczego twierdzenia arytmetyki (zobacz 1.8) wynika naste - puja ce Twierdzenie. Każda liczbe naturalna przedstawić w postaci n > 1 można jednoznacznie n = p 1 p 2... p r, gdzie p 1, p 2,..., p r sa liczbami pierwszymi takimi, że p 1 p 2 p r. Dowód 1. Wykażemy najpierw, że każda liczba naturalna n > 1 da sie przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych. Uczynimy

20 Liczby pierwsze 19 to stosuja c indukcje. Dla n = 2 fakt jest prawdziwy. Za lóżmy, że fakt jest prawdziwy dla wszystkich liczb naturalnych mniejszych od k. Jeżeli k jest liczba, to fakt jest prawdziwy. Jeśli k jest liczba z lożona, to k = bc, gdzie b oraz c sa liczbami mniejszymi od k. Z za lożenia indukcyjnego b = p 1 p 2... p s oraz c = p s+1 p s+2... p t. Sta d k = p 1 p 2... p s p s+1... p t. 2. Teraz wykażemy jednoznaczność przedstawienia. Uczynimy to znowu stosuja c indukcje. Dla n = 2 twierdzenie jest prawdziwe. Za lóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla liczb naturalnych mniejszych od k. Przypuśćmy, że k = p 1 p 2... p r = q 1 q 2... q s, (1) gdzie p 1, p 2,..., p r, q 1, q 2,..., q s sa liczbami pierwszymi, takimi że p 1 p 2 p r, q 1 q 2 q s. Ponieważ p 1 q 1 q 2... q s, wie c p 1 q 1 lub p 1 q 2, lub..., lub p 1 q s (wynika to z zasadniczego twierdzenia arytmetyki). Niech na przyk lad p 1 q 1. Ponieważ p 1 oraz q 1 sa liczbami pierwszymi, wie c p 1 = q 1. Dziela c (1) przez p 1 mamy k p 1 = p 2 p 3... p r = q 2 q 3... q s. Ponieważ k p 1 < k, wie c z za lożenia indukcyjnego wynika, że r = s oraz p 2 = q 2, p 3 = q 3,..., p r = q r Pokaż, że każda liczbe naturalna n 2 można przedstawić w postaci n = p α 1 1 pα pα s s, (2) gdzie p 1, p 2,..., p s sa różnymi liczbami pierwszymi, takimi że p 1 < p 2 < < p s, natomiast α 1, α 2,..., α s sa liczbami ca lkowitymi dodatnimi. (Rozk lad (2) liczby naturalnej n nazywamy rozk ladem kanonicznym liczby n na czynniki pierwsze).

21 20 Cze ść I Zadania Znajdź NWD(a, b) oraz NWW(a, b) znaja c rozk lady kanoniczne liczb a oraz b Korzystaja c z rozk ladu kanonicznego liczb naturalnych a oraz b uzasadnij, że ab = NWD(a, b)nww(a, b) Pokaż, że jeżeli liczba n jest wymierna, gdzie n > 1 jest liczba naturalna, to rozk lad kanoniczny liczby n ma postać p 2α 1 1 p 2α p 2α s s Za lóżmy, że liczba pierwsza p jest dzielnikiem pewnej liczby naturalnej n. Mówimy, że p α dzieli dok ladnie n, jeśli p α n oraz p α+1 n. Fakt ten oznaczamy p α n. (a) Udowodnij, że jeżeli p α m oraz p β n, to p α+β mn. (b) Udowodnij, że jeżeli p α m oraz p β n oraz α β, to p min(α, β) m + n. (c) Sprawdź, czy w (b) można pomina ć za lożenie α β Pokaż, że każda liczbe wymierna można zapisać jednoznacznie jako iloczyn εp α 1 1 pα pα s s, gdzie ε jest równy 1 lub 1, natomiast p 1, p 2,..., p s sa różnymi liczbami pierwszymi, a α 1, α 2,..., α s sa liczbami ca lkowitymi różnymi od zera Pokaż, że wyk ladnik najwie kszej pote gi liczby pierwszej p, która dzieli n! wynosi α = [ n i= Podaj najwie ksza pote ge liczby (a) 2, (b) 5 oraz (c) 97, która dzieli 100! Podaj najwie ksza pote ge liczby (a) 6, (b) 28, która dzieli 100! Oblicz, ile kolejnych zer, licza c od końca, ma liczba 100!. p i ]

22 Liczby pierwsze Uwagi o funkcji π(x). Dla każdej liczby rzeczywistej x > 0, symbolem π(x) oznaczamy ilość liczb pierwszych p spe lniaja cych nierówność p x. pierwszym historycznie stwierdzeniem na temat funkcji π(x) by lo spostrzeżenie J. Bertranda (z 1845 roku), że mie dzy n i 2n, gdy n 2, znajduje sie liczba pierwsza. Spostrzeżenie J. Bertranda oznacza, że π(2n) π(n) 1 (dla n 2 ), czyli że p n+1 < 2p n, gdzie p n oznacza n-ta liczbe. Stwierdzenie to by lo znane jako,,postulat Bertranda i zosta lo udowodnione przez P.L. Czebyszewa w 1852 roku. Fakt ten be dziemy w dalszych rozważaniach nazywać twierdzeniem Czebyszewa (elementarny dowód tego twierdzenia Czytelnik może znaleźć w [9]). Czebyszew udowodni l znacznie wie cej, a mianowicie pokaza l, że istnieja sta le a oraz b, takie że a < π(x) : x lnx < b dla x > 2. Powyższa nierówność nazywamy nierównościa Czebyszewa Korzystaja c z nierówności Czebyszewa, pokaż, że π(x) lim x x = Korzystaja c z twierdzenia Czebyszewa, pokaż, że dla każdej liczby naturalnej n istnieja co najmniej trzy liczby pierwsze maja ce w uk ladzie dziesie tnym n cyfr Dowiedź, że dla k > 1 mamy p k+1 p 1 +p 2 + +p k, gdzie p n oznacza n-ta z kolei liczbe Pokaż, że 5 jest jedyna liczba, która jest równa sumie wszystkich liczb pierwszych mniejszych od niej Pokaż, że 5 jest jedyna liczba naturalna, która jest równa sumie wszystkich liczb pierwszych mniejszych od niej Pokaż, że w rozmieszczeniu liczb pierwszych sa,,dziury dowolnej d lugości, tj. pokaż, że dla dowolnego m istnieje n takie, że p n+1 > p n + m, gdzie p n oznacza n-ta z kolei liczbe. Wskazówka. Pokaż, że wszystkie liczby w cia gu m liczb (m+1)!+2, (m + 1)! + 3,..., (m + 1)! + (m + 1) sa z lożone.

23 22 Cze ść I Zadania (a) Pokaż, że jeżeli p jest liczba, to π(p 1) p 1 (b) Pokaż, że jeżeli m jest liczba z lożona, to π(m) m < π(p) p. < π(m 1) m Twierdzenie Dirichleta. Jak już wiadomo, w poste pie arytmetycznym 1, 2, 3, 4,... o różnicy 1 istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych. A jak jest w innych poste pach arytmetycznych? W 1837 roku P.G.L. Dirichlet udowodni l twierdzenie, które orzeka: Jeśli liczby m, n sa wzgle dnie pierwsze, to w cia gu (mk + n) k istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych. Dowód twierdzenia Dirichleta jest dosyć trudny i nie be dziemy go tu przytaczać. Jednakże pewne szczególne przypadki tego twierdzenia dowodzi sie latwo, o czym przekona sie Czytelnik, rozwia zuja c niżej umieszczone zadania Podaj przyk lad takich liczb m oraz n, że w cia gu (mk + n) k (a) jest tylko skończona ilość liczb pierwszych; (b) nie ma żadnej liczby pierwszej Uzasadnij, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci 2k (a) Pokaż, że w każdym rozk ladzie na iloczyn liczby postaci 3k + 2 przynajmniej jeden czynnik jest postaci 3k + 2. (b) Udowodnij, że każda liczba naturalna postaci 3k + 2 ma przynajmniej jeden dzielnik pierwszy tej postaci Uzasadnij, że jeśli p 1, p 2..., p n sa nieparzystymi liczbami pierwszymi postaci 3k + 2, to liczba 3p 1 p 2... p n + 2 nie dzieli sie przez żadna z liczb 2, p 1, p 2,..., p n Wykaż, że w cia gu (3k + 2) istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych. Wskazówka. Skorzystaj z dwóch poprzednich zadań Uzasadnij, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci 4k + 3.

24 Liczby pierwsze Pokaż, że w cia gu (6k + 5) istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych Liczba dzielników oraz funkcja Eulera. Oznaczmy przez θ(n) liczbe naturalnych dzielników liczby n, a przez ϕ(n) ilość liczb naturalnych wzgle dnie pierwszych z n, które sa nie wie ksze od n Wyznacz θ(n) dla n Pokaż, że jeżeli n = p α 1 1 pα pα s s, to każdy dzielnik naturalny liczby n jest postaci p β 1 1 pβ pβ s s, gdzie 0 β i α i dla i {1,2,...,s} Wykaż, że θ(p α 1 1 pα pα s s ) = (α 1 + 1)(α 2 + 1)... (α s + 1) Oblicz θ(100) oraz θ(1024) Znajdź wszystkie liczby naturalne n, takie że θ(n) = Wyznacz ϕ(n) dla n Pokaż, że liczba n jest pierwsza wtedy i tylko wtedy, gdy ϕ(n) = n Uzasadnij, że ϕ(pq) = (p 1)(q 1), gdzie p oraz q sa różnymi liczbami pierwszymi Pokaż, że dla dowolnej liczby pierwszej p i dowolnej liczby naturalnej n, mamy ϕ(p n ) = p n p n Niech m oraz n oznaczaja dwie liczby naturalne wzgle dnie pierwsze, a r liczbe ca lkowita. Pokaż, że wówczas reszty z dzielenia liczb r, n + r, 2n + r, 3n + r,..., (m 1)n + r przez m różnia sie od liczb 0, 1, 2, 3,..., m 1 co najwyżej porza dkiem.

25 24 Cze ść I Zadania Udowodnij, że jeśli NWD(m, n) = 1, to ϕ(m)ϕ(n) = ϕ(mn). Wskazówka. Zauważmy najpierw, że jeśli jedna z liczb m, n jest równa 1, to wzór jest prawdziwy. Możemy zatem za lożyć, że m 1 i n 1. Wypiszmy wszystkie liczby nie wie ksze od mn w naste puja cy sposób: 1, 2,..., r,..., n, n + 1, n + 2,..., n + r,..., 2n, 2n + 1, 2n + 2,..., 2n + r,..., 3n, , ,..., ,...,..., (m 1)n + 1, (m 1)n + 2,..., (m 1)n + r,..., mn. Dalej skorzystaj z zadania Udowodnij wzór ϕ (p α 1 1 pα pα s s gdzie p 1, p 2,..., p s ) = n ) ) ) (1 (1 1p1 1p2 (1 1ps, sa różnymi liczbami pierwszymi Wiadomo, że NWD(m, n) > 1. Ustal, która z liczb ϕ(mn) oraz ϕ(m)ϕ(n) jest wie ksza. Wskazówka. Skorzystaj z zadania Pokaż, że (a) ϕ(4n + 2) = ϕ(2n + 1) ; { 2ϕ(n) gdy NWD(n, 2) = 1 (b) ϕ(4n) = 2ϕ(2n) gdy NWD(n, 2) = Rozk lad na czynniki dużych liczb naturalnych. Mnożenie dwóch liczb naturalnych jest zdecydowanie latwiejsze niż rozk ladanie danej liczby na czynniki. Jeśli jednak pewna liczba z lożona ma dwa dzielniki pierwsze, które sa,,blisko siebie, możemy zastosować tak zwana metode faktoryzacji Fermata. Metode te opiszemy w poniższych zadaniach Niech n be dzie dowolna liczba naturalna. Udowodnij, że istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość mie dzy dzielnikami liczby n nie mniejszymi od n i nie wie kszymi od n.

Matematyka Dyskretna Zestaw 2

Matematyka Dyskretna Zestaw 2 Materiały dydaktyczne Matematyka Dyskretna (Zestaw ) Matematyka Dyskretna Zestaw 1. Wykazać, że nie istnieje liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 18 daje resztę 13, a przy dzieleniu przez 1 daje

Bardziej szczegółowo

Kongruencje oraz przykłady ich zastosowań

Kongruencje oraz przykłady ich zastosowań Strona 1 z 25 Kongruencje oraz przykłady ich zastosowań Andrzej Sładek, Instytut Matematyki UŚl sladek@ux2.math.us.edu.pl Spotkanie w LO im. Powstańców Śl w Bieruniu Starym 27 października 2005 Strona

Bardziej szczegółowo

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Z E S Z Y T M E T O D Y C Z N Y Miejski

Bardziej szczegółowo

Grupy i cia la, liczby zespolone

Grupy i cia la, liczby zespolone Rozdzia l 1 Grupy i cia la, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, b edziemy używać nast epuj acych oznaczeń: N = { 1, 2, 3,... } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2,... } - liczby ca lkowite, W = { m n

Bardziej szczegółowo

Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/

Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Paweł Gładki Algebra http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Konsultacje: Środa, 14:00-15:00 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go o tym przed lub po zajęciach,

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA BINARNA. Dziesiątkowy system pozycyjny nie jest jedynym sposobem kodowania liczb z jakim mamy na co dzień do czynienia.

ARYTMETYKA BINARNA. Dziesiątkowy system pozycyjny nie jest jedynym sposobem kodowania liczb z jakim mamy na co dzień do czynienia. ARYTMETYKA BINARNA ROZWINIĘCIE DWÓJKOWE Jednym z najlepiej znanych sposobów kodowania informacji zawartej w liczbach jest kodowanie w dziesiątkowym systemie pozycyjnym, w którym dla przedstawienia liczb

Bardziej szczegółowo

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa, test próbny www.omg.edu.pl (wrzesień 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o

Bardziej szczegółowo

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl System dziesiętny 7 * 10 4 + 3 * 10 3 + 0 * 10 2 + 5 *10 1 + 1 * 10 0 = 73051 Liczba 10 w tym zapisie nazywa się podstawą systemu liczenia. Jeśli liczba 73051 byłaby zapisana w systemie ósemkowym, co powinniśmy

Bardziej szczegółowo

Szkoła Podstawowa. Uczymy się dowodzić. Opracowała: Ewa Ślubowska. ewa.slubowska@wp.pl

Szkoła Podstawowa. Uczymy się dowodzić. Opracowała: Ewa Ślubowska. ewa.slubowska@wp.pl Szkoła Podstawowa Uczymy się dowodzić Opracowała: Ewa Ślubowska ewa.slubowska@wp.pl PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA II etap edukacyjny: klasy IV VI I. Sprawność rachunkowa. Uczeń wykonuje proste

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Zadania. 1.1 Liczby pierwsze. 1. Wykorzystując sito Eratostenesa wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze mniejsze niż 200.

Rozdział 1. Zadania. 1.1 Liczby pierwsze. 1. Wykorzystując sito Eratostenesa wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze mniejsze niż 200. Rozdział 1 Zadania 1.1 Liczby pierwsze 1. Wykorzystując sito Eratostenesa wyznaczyć wszystkie liczby pierwsze mniejsze niż 200. 2. Wyliczyć największy wspólny dzielnik d liczb n i m oraz znaleźć liczby

Bardziej szczegółowo

LICZBY PIERWSZE. 14 marzec 2007. Jeśli matematyka jest królową nauk, to królową matematyki jest teoria liczb. C.F.

LICZBY PIERWSZE. 14 marzec 2007. Jeśli matematyka jest królową nauk, to królową matematyki jest teoria liczb. C.F. Jeśli matematyka jest królową nauk, to królową matematyki jest teoria liczb. C.F. Gauss (1777-1855) 14 marzec 2007 Zasadnicze twierdzenie teorii liczb Zasadnicze twierdzenie teorii liczb Ile jest liczb

Bardziej szczegółowo

LXIII Olimpiada Matematyczna

LXIII Olimpiada Matematyczna 1 Zadanie 1. LXIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 17 lutego 2012 r. (pierwszy dzień zawodów) Rozwiązać w liczbach rzeczywistych a, b, c, d układ równań a

Bardziej szczegółowo

13 Zastosowania Lematu Szemerédiego

13 Zastosowania Lematu Szemerédiego 13 Zastosowania Lematu Szemerédiego 13.1 Twierdzenie Erdősa-Stone a (Rozdzia ly 7.1 i 7.5 podre cznika) Jednym z g lównych zagadnień ekstremalnej teorii grafów jest wyznaczenie parametru ex(n, H) = max{

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. (c.d.

2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. (c.d. 2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. (c.d.) 10 października 2009 r. 20. Która liczba jest większa,

Bardziej szczegółowo

P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Uproszczony 1 j. ezyk PCF

P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki. Uproszczony 1 j. ezyk PCF 29 kwietnia 2013, godzina 23: 56 strona 1 P. Urzyczyn: Materia ly do wyk ladu z semantyki Uproszczony 1 j ezyk PCF Sk ladnia: Poniżej Γ oznacza otoczenie typowe, czyli zbiór deklaracji postaci (x : τ).

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

Pierścienie grupowe wyk lad 2. Przypomnijmy, że K-algebra A jest pó lprosta, gdy jej lewe A-modu ly przypominaja

Pierścienie grupowe wyk lad 2. Przypomnijmy, że K-algebra A jest pó lprosta, gdy jej lewe A-modu ly przypominaja Pierścienie grupowe wyk lad 2. Przypomnijmy, że K-algebra A jest pó lprosta, gdy jej lewe A-modu ly przypominaja przestrzenie liniowe nad A: każdy z nich ma rozk lad na sume modu lów prostych. W tych rozk

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

do instrukcja while (wyrażenie);

do instrukcja while (wyrażenie); Instrukcje pętli -ćwiczenia Instrukcja while Pętla while (póki) powoduje powtarzanie zawartej w niej sekwencji instrukcji tak długo, jak długo zaczynające pętlę wyrażenie pozostaje prawdziwe. while ( wyrażenie

Bardziej szczegółowo

Podzielność, cechy podzielności, liczby pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność.

Podzielność, cechy podzielności, liczby pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. Podzielność, cechy podzielności, liczby pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. W dniu 3 października 2013 r. omawiamy test kwalifikacyjny. Uwaga: Przyjmujemy, że 0 nie

Bardziej szczegółowo

Podzielność liczb. Podzielność liczb

Podzielność liczb. Podzielność liczb Euclides i kwestie podzielności liczb Definicja Niech a, b Z. Mówimy, że liczba a > 0 dzieli liczbę b, albo a b, jeżeli istnieje taka całkowita liczba c, że b = ac. Definicja a b a > 0 i b = ac, c całkowite.

Bardziej szczegółowo

a 1, a 2, a 3,..., a n,...

a 1, a 2, a 3,..., a n,... III. Ciągi liczbowe. 1. Definicja ciągu liczbowego. Definicja 1.1. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R i oznaczamy przez {a

Bardziej szczegółowo

Do gimnazjum by dobrze zakończyć! Do liceum by dobrze zacząć! MATEMATYKA. Na dobry start do liceum. Zadania. Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro

Do gimnazjum by dobrze zakończyć! Do liceum by dobrze zacząć! MATEMATYKA. Na dobry start do liceum. Zadania. Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro 6 Na dobry start do liceum 8Piotr Drozdowski 6 Do gimnazjum by dobrze zakończyć! Do liceum by dobrze zacząć! MATEMATYKA Zadania Oficyna Edukacyjna * Krzysztof Pazdro Piotr Drozdowski MATEMATYKA. Na dobry

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VI ROK SZKOLNY 2015/2016 PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLAS 4 6 SZKOŁY PODSTAWOWEJ

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VI ROK SZKOLNY 2015/2016 PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLAS 4 6 SZKOŁY PODSTAWOWEJ WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VI ROK SZKOLNY 2015/2016 PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLAS 4 6 SZKOŁY PODSTAWOWEJ REALIZOWANY PRZY POMOCY PODRĘCZNIKA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY VI I.

Bardziej szczegółowo

1. Powtórka ze szkoły. Wykład: 4.10.2004 (4 godziny), ćwiczenia: 7.10.2004, kolokwium nr 1: 11.10.2004

1. Powtórka ze szkoły. Wykład: 4.10.2004 (4 godziny), ćwiczenia: 7.10.2004, kolokwium nr 1: 11.10.2004 ANALIZA MATEMATYCZNA A dla I roku, 2004/2005 1. Powtórka ze szkoły. Wykład: 4.10.2004 (4 godziny), ćwiczenia: 7.10.2004, kolokwium nr 1: 11.10.2004 Obliczyć sumy (postępów arytmetycznych i goemetrycznych):

Bardziej szczegółowo

Zadania na dowodzenie Opracowała: Ewa Ślubowska

Zadania na dowodzenie Opracowała: Ewa Ślubowska Egzamin Gimnazjalny Zadania na dowodzenie Opracowała: Ewa Ślubowska W nauczaniu matematyki ważne jest rozwijanie różnych aktywności umysłu. Ma temu służyć min. rozwiązywanie jednego zadania czy dowodzenie

Bardziej szczegółowo

Dzień pierwszy- grupa młodsza

Dzień pierwszy- grupa młodsza Dzień pierwszy- grupa młodsza 1.TomekmaTlat.Tylesamolatliczysobiewsumietrójkajegodzieci.NlattemuwiekTomkarówny był dwukrotności sumy lat swoich dzieci. Wyznacz T/N. 2.Niechk=2012 2 +2 2012.Ilewynosicyfrajednościliczbyk

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki. dla uczniów klasy Ia i Ib. Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie. w roku szkolnym 2015/2016

Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki. dla uczniów klasy Ia i Ib. Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie. w roku szkolnym 2015/2016 Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki dla uczniów klasy Ia i Ib Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie w roku szkolnym 2015/2016 DZIAŁ I: LICZBY zaznacza na osi liczbowej punkty odpowiadające

Bardziej szczegółowo

Arytmetyka komputera. Na podstawie podręcznika Urządzenia techniki komputerowej Tomasza Marciniuka. Opracował: Kamil Kowalski klasa III TI

Arytmetyka komputera. Na podstawie podręcznika Urządzenia techniki komputerowej Tomasza Marciniuka. Opracował: Kamil Kowalski klasa III TI Arytmetyka komputera Na podstawie podręcznika Urządzenia techniki komputerowej Tomasza Marciniuka Opracował: Kamil Kowalski klasa III TI Spis treści 1. Jednostki informacyjne 2. Systemy liczbowe 2.1. System

Bardziej szczegółowo

Teoria liczb. x 3 + 3y 3 + 9z 3 9xyz = 0. x 2 + 3y 2 = 1998x.

Teoria liczb. x 3 + 3y 3 + 9z 3 9xyz = 0. x 2 + 3y 2 = 1998x. Teoria liczb grupa starsza poniedziałek, 27 września 2004 Równania teorioliczbowe.. Rozwiazać w liczbach całkowitych x, y, z. x 3 + 3y 3 + 9z 3 9xyz = 0. 2. Rozwiazać w liczbach całkowitych dodatnich x,

Bardziej szczegółowo

Podstawą w systemie dwójkowym jest liczba 2 a w systemie dziesiętnym liczba 10.

Podstawą w systemie dwójkowym jest liczba 2 a w systemie dziesiętnym liczba 10. ZAMIANA LICZB MIĘDZY SYSTEMAMI DWÓJKOWYM I DZIESIĘTNYM Aby zamienić liczbę z systemu dwójkowego (binarnego) na dziesiętny (decymalny) należy najpierw przypomnieć sobie jak są tworzone liczby w ww systemach

Bardziej szczegółowo

WIOLETTA NAWROCKA nauczyciel matematyki w Zespole Szkół w Choczewie IDĘ DO GIMNAZJUM ZADANIA TESTOWE Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KL. VI.

WIOLETTA NAWROCKA nauczyciel matematyki w Zespole Szkół w Choczewie IDĘ DO GIMNAZJUM ZADANIA TESTOWE Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KL. VI. WIOLETTA NAWROCKA nauczyciel matematyki w Zespole Szkół w Choczewie IDĘ DO GIMNAZJUM ZADANIA TESTOWE Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW KL. VI. Przeczytaj uważnie pytanie. Chwilę zastanów się. Masz do wyboru cztery

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1 Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powielanie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przypadku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia

Bardziej szczegółowo

Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb

Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb 1. Podzielno± Przedmiotem bada«teorii liczb s wªasno±ci liczb caªkowitych. Zbiór liczb caªkowitych oznacza b dziemy symbolem Z. Zbiór liczb naturalnych

Bardziej szczegółowo

Równania diofantyczne

Równania diofantyczne Równania diofantyczne Beata Łojan b.lojan@knm.katowice.pl Koło Naukowe Matematyków Uniwersytetu Śląskiego w Katowicach www.knm.katowice.pl III Liceum Ogólnokształcące im. Lucjana Szenwalda w Dąbrowie Górniczej

Bardziej szczegółowo

1.1. Pozycyjne systemy liczbowe

1.1. Pozycyjne systemy liczbowe 1.1. Pozycyjne systemy liczbowe Systemami liczenia nazywa się sposób tworzenia liczb ze znaków cyfrowych oraz zbiór reguł umożliwiających wykonywanie operacji arytmetycznych na liczbach. Dla dowolnego

Bardziej szczegółowo

Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga

Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga Anna Romanowska January 29, 2016 4 Kraty i algebry Boole a 41 Kraty zupe lne Definicja 411 Zbiór uporza dkowany (P, ) nazywamy krata zupe lna,

Bardziej szczegółowo

Znaki w tym systemie odpowiadają następującym liczbom: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000

Znaki w tym systemie odpowiadają następującym liczbom: I=1, V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000 SYSTEMY LICZBOWE I. PODZIAŁ SYSTEMÓW LICZBOWYCH: systemy liczbowe: pozycyjne (wartośd cyfry zależy od tego jaką pozycję zajmuje ona w liczbie): niepozycyjne (addytywne) (wartośd liczby jest sumą wartości

Bardziej szczegółowo

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji I LO im. F. Ceynowy w Świeciu Radosław Rudnicki joix@mat.uni.torun.pl 17.03.2009 r. Typeset by FoilTEX Streszczenie Celem wykładu jest wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Podstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych

Podstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych 1 Podstawowe operacje arytmetyczne i logiczne dla liczb binarnych 1. Podstawowe operacje logiczne dla cyfr binarnych Jeśli cyfry 0 i 1 potraktujemy tak, jak wartości logiczne fałsz i prawda, to działanie

Bardziej szczegółowo

1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1

1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1 Dzień Dziecka z Matematyką Tomasz Szymczyk Piotrków Trybunalski, 4 czerwca 013 r. Układy równań szkice rozwiązań 1. Rozwiązać układ równań { x = y 1 y = x 1. Wyznaczając z pierwszego równania zmienną y,

Bardziej szczegółowo

Plan wyk ladu. Kodowanie informacji. Systemy addytywne. Definicja i klasyfikacja. Systemy liczbowe. prof. dr hab. inż.

Plan wyk ladu. Kodowanie informacji. Systemy addytywne. Definicja i klasyfikacja. Systemy liczbowe. prof. dr hab. inż. Plan wyk ladu Systemy liczbowe Poznań, rok akademicki 2008/2009 1 Plan wyk ladu 2 Systemy liczbowe Systemy liczbowe Systemy pozycyjno-wagowe y 3 Przeliczanie liczb Algorytm Hornera Rozwini ecie liczby

Bardziej szczegółowo

LICZBY PIERWSZE. Jan Ciurej Radosław Żak

LICZBY PIERWSZE. Jan Ciurej Radosław Żak LICZBY PIERWSZE Jan Ciurej Radosław Żak klasa IV a Katolicka Szkoła Podstawowa im. Świętej Rodziny z Nazaretu w Krakowie ul. Pędzichów 13, 31-152 Kraków opiekun - mgr Urszula Zacharska konsultacja informatyczna

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą

WYMAGANIE EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM. dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą celującą 1. Statystyka odczytać informacje z tabeli odczytać informacje z diagramu 2. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych podstawach 3. Mnożenie i dzielenie potęg o tych samych wykładnikach 4. Potęga o wykładniku

Bardziej szczegółowo

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Strona1 Napisz program, który czyta zdanie, a następnie wypisuje po kolei długości kolejnych jego wyrazów. Zakładamy, że zdanie zawiera litery alfabetu łacińskiego i spacje (po jednej pomiędzy dwoma dowolnymi

Bardziej szczegółowo

Matematyka A, kolokwium, 15 maja 2013 rozwia. ciem rozwia

Matematyka A, kolokwium, 15 maja 2013 rozwia. ciem rozwia Maemayka A kolokwium maja rozwia zania Należy przeczyać CA LE zadanie PRZED rozpocze ciem rozwia zywania go!. Niech M. p. Dowieść że dla każdej pary liczb ca lkowiych a b isnieje aka para liczb wymiernych

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone Definicja liczb zespolonych Liczbami zespolonymi nazywamy liczby postaci a + bi, gdzie i oznacza jednostke urojona, przyjmujemy,

Liczby zespolone Definicja liczb zespolonych Liczbami zespolonymi nazywamy liczby postaci a + bi, gdzie i oznacza jednostke urojona, przyjmujemy, Liczby zespolone Definicja liczb zespolonych Liczbami zespolonymi nazywamy liczby postaci a + bi, gdzie i oznacza jednostke urojona, przyjmujemy, że i = 1 zaś a i b sa liczbami rzeczywistymi. Suma liczb

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d)

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d) Matemaryka dyskretna - zadania Zadanie 1. Opisać zbiór wszystkich elementów rangi k zbioru uporządkowanego X dla każdej liczby naturalnej k, gdy X jest rodziną podzbiorów zbioru skończonego Y. Elementem

Bardziej szczegółowo

Bukiety matematyczne dla szkoły podstawowej http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/

Bukiety matematyczne dla szkoły podstawowej http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ Bukiety matematyczne dla szkoły podstawowej http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 12 IX rok 2003/2004 Bukiet 1 O pewnych liczbach A, B i C wiadomo, że: A + B = 32, B + C = 40, C + A = 26. 1. Ile wynosi A

Bardziej szczegółowo

Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne

Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne Na pytania odpowiada się tak lub nie poprzez wpisanie odpowiednio T bądź N w pole obok pytania. W danym trzypytaniowym zestawie możliwa jest dowolna kombinacja

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych.

MATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. MATEMATYKA Z SENSEM Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Klasa I Zakres podstawowy i rozszerzony Wymagania konieczne (K)

Bardziej szczegółowo

Matematyka Matematyka z pomysłem Klasa 5 Szkoła podstawowa 4 6

Matematyka Matematyka z pomysłem Klasa 5 Szkoła podstawowa 4 6 Wymagania na poszczególne oceny szkolne Ocena postępów ucznia jest wynikiem oceny stopnia opanowania jego umiejętności podstawowych i ponadpodstawowych. W programie nauczania Matematyka z pomysłem umiejętności

Bardziej szczegółowo

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe

Osiągnięcia ponadprzedmiotowe W rezultacie kształcenia matematycznego uczeń potrafi: Osiągnięcia ponadprzedmiotowe Umiejętności konieczne i podstawowe czytać teksty w stylu matematycznym wykorzystywać słownictwo wprowadzane przy okazji

Bardziej szczegółowo

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi. Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element

Bardziej szczegółowo

Elżbieta Świda Elżbieta Kurczab Marcin Kurczab. Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie na obowiązkowej maturze z matematyki

Elżbieta Świda Elżbieta Kurczab Marcin Kurczab. Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie na obowiązkowej maturze z matematyki Elżbieta Świda Elżbieta Kurczab Marcin Kurczab Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi na dowodzenie na obowiązkowej maturze z matematyki Zadanie Trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym. Z punktu M, należącego

Bardziej szczegółowo

Katarzyna Bereźnicka Zastosowanie arkusza kalkulacyjnego w zadaniach matematycznych. Opiekun stypendystki: mgr Jerzy Mil

Katarzyna Bereźnicka Zastosowanie arkusza kalkulacyjnego w zadaniach matematycznych. Opiekun stypendystki: mgr Jerzy Mil Katarzyna Bereźnicka Zastosowanie arkusza kalkulacyjnego w zadaniach matematycznych Opiekun stypendystki: mgr Jerzy Mil 1 Działania na ułamkach Wyłączanie całości z dodatnich ułamków niewłaściwych Formuła

Bardziej szczegółowo

Matematyka, kl. 5. Konieczne umiejętności

Matematyka, kl. 5. Konieczne umiejętności Matematyka, kl. 5 Liczby i działania Program Matematyka z plusem Ocena Konieczne umiejętności Opanowane algorytmy pisemnego dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia liczb naturalnych. Prawidłowe wykonywanie

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej

Bardziej szczegółowo

III Powiatowy Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjum organizowany przez II LO im. Marii Skłodowskiej-Curie w Końskich

III Powiatowy Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjum organizowany przez II LO im. Marii Skłodowskiej-Curie w Końskich III Powiatowy Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjum organizowany przez II LO im. Marii Skłodowskiej-Curie w Końskich Rozwiązania zadań konkursowych 01 czerwca 2014 r. Zadanie 1. Uzasadnij nierówność

Bardziej szczegółowo

Metodydowodzenia twierdzeń

Metodydowodzenia twierdzeń 1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych

Bardziej szczegółowo

GRZEGORZ SZKIBIEL WSTE P DO TEORII ZBIORÓW I KOMBINATORYKI

GRZEGORZ SZKIBIEL WSTE P DO TEORII ZBIORÓW I KOMBINATORYKI U N I W E R S Y T E T S Z C Z E C I Ń S K I GRZEGORZ SZKIBIEL WSTE P DO TEORII ZBIORÓW I KOMBINATORYKI SZCZECIN 2002 Spis treści Przedmowa.................................................. 5 1. Elementy

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

System liczbowy jest zbiorem reguł określających jednolity sposób zapisu i nazewnictwa liczb.

System liczbowy jest zbiorem reguł określających jednolity sposób zapisu i nazewnictwa liczb. 2. Arytmetyka komputera. Systemy zapisu liczb: dziesietny, dwójkowy (binarny), ósemkowy, szesnatskowy. Podstawowe operacje arytmetyczne na liczbach binarnych. Zapis liczby binarnej ze znakiem. Reprezentacja

Bardziej szczegółowo

Urządzenia Techniki. Klasa I TI. System dwójkowy (binarny) -> BIN. Przykład zamiany liczby dziesiętnej na binarną (DEC -> BIN):

Urządzenia Techniki. Klasa I TI. System dwójkowy (binarny) -> BIN. Przykład zamiany liczby dziesiętnej na binarną (DEC -> BIN): 1. SYSTEMY LICZBOWE UŻYWANE W TECHNICE KOMPUTEROWEJ System liczenia - sposób tworzenia liczb ze znaków cyfrowych oraz zbiór reguł umożliwiających wykonywanie operacji arytmetycznych na liczbach. Do zapisu

Bardziej szczegółowo

Wojewódzki Przedmiotowy Konkurs z informatyki dla uczniów szkół gimnazjalnych ETAP REJONOWY 2010/2011 TEST

Wojewódzki Przedmiotowy Konkurs z informatyki dla uczniów szkół gimnazjalnych ETAP REJONOWY 2010/2011 TEST TEST. Test składa się z 35 zadań. Na jego rozwiązanie masz 90 minut. W każdym zadaniu wybierz jedną, najlepszą według Ciebie odpowiedź i zaznacz na karcie odpowiedzi znakiem x. Do dyspozycji masz wszystkie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA KONIECZNE - OCENA DOPUSZCZAJĄCA:

WYMAGANIA KONIECZNE - OCENA DOPUSZCZAJĄCA: WYMAGANIA KONIECZNE - OCENA DOPUSZCZAJĄCA: zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie zaznaczać liczbę wymierną na osi liczbowej umie

Bardziej szczegółowo

DZIAŁ I: LICZBY I DZIAŁANIA Ocena dostateczna. Ocena dobra. Ocena bardzo dobra (1+2) (1+2+3+4) Uczeń: (1+2+3) Uczeń: określone warunki

DZIAŁ I: LICZBY I DZIAŁANIA Ocena dostateczna. Ocena dobra. Ocena bardzo dobra (1+2) (1+2+3+4) Uczeń: (1+2+3) Uczeń: określone warunki MATEMATYKA KLASA I I PÓŁROCZE -wyróżnia liczby naturalne, całkowite, wymierne -zna kolejność wykonywania działań -rozumie poszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne -porównuje liczby wymierne -zaznacza

Bardziej szczegółowo

Lista zadań nr 15 TERMIN ODDANIA ROZWIĄZANYCH ZADAŃ 9 marca 2015

Lista zadań nr 15 TERMIN ODDANIA ROZWIĄZANYCH ZADAŃ 9 marca 2015 Lista zadań nr 5 TERMIN ODDANIA ROZWIĄZANYCH ZADAŃ 9 marca 05 Liczby rzeczywiste a) planuję i wykonuję obliczenia na liczbach rzeczywistych; w szczególności obliczam pierwiastki, w tym pierwiastki nieparzystego

Bardziej szczegółowo

Podzielność liczb; iloczyn i suma dzielników

Podzielność liczb; iloczyn i suma dzielników Podzielność liczb; iloczyn i suma dzielników Liczba dzielników Postać (rozkład) kanoniczna każdej liczby N = p α1 1 pα2 2... pαr 1 pαr r. Każdy dzielnik d naszej liczby ma swojego partnera d 1 : N = d

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka cz.1. Zakres podstawowy

MATeMAtyka cz.1. Zakres podstawowy MATeMAtyka cz.1 Zakres podstawowy Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające poza program nauczania (W). Wymienione

Bardziej szczegółowo

Wykład VII. Kryptografia Kierunek Informatyka - semestr V. dr inż. Janusz Słupik. Gliwice, 2014. Wydział Matematyki Stosowanej Politechniki Śląskiej

Wykład VII. Kryptografia Kierunek Informatyka - semestr V. dr inż. Janusz Słupik. Gliwice, 2014. Wydział Matematyki Stosowanej Politechniki Śląskiej Wykład VII Kierunek Informatyka - semestr V Wydział Matematyki Stosowanej Politechniki Śląskiej Gliwice, 2014 c Copyright 2014 Janusz Słupik Problem pakowania plecaka System kryptograficzny Merklego-Hellmana

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy

Bardziej szczegółowo

Internetowe Kółko Matematyczne

Internetowe Kółko Matematyczne Internetowe Kółko Matematyczne http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ Zadania dla szkoły średniej Zestaw I ( X 2002) Zadanie. Niech n będzie dowolną liczbą naturalną. Udowodnij, że suma + 4 + 4 2 + 4 3 +...

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2013/14

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2013/14 Wzory skróconego mnożenia, procenty, postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie - rozwiązywanie równań i nierówności. Szacowanie wyrażeń. W dniu 23/24 października

Bardziej szczegółowo

LOGIKA MATEMATYCZNA, ZBIORY I LICZBY RZECZYWISTE

LOGIKA MATEMATYCZNA, ZBIORY I LICZBY RZECZYWISTE LOGIKA MATEMATYCZNA, ZBIORY I LICZBY RZECZYWISTE ZDANIA W LOGICE Zdaniem nazywamy w logice wypowiedź twierdzącą, której można przypisać jedną z dwóch ocen: prawdę lub fałsz. Zdanie zaczynające się np.

Bardziej szczegółowo

LOGIKA ALGORYTMICZNA

LOGIKA ALGORYTMICZNA LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezjański: A B := (a, b) : a A i b B} (zak ladamy, że (x, y) i (u, v) s a równe wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); A n := (x 1,..., x n ) : x i A}; R

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W KLASIE VI

KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W KLASIE VI KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W KLASIE VI Ocenę niedostateczną (1) otrzymuje uczeń, który nie spełnia wymagań na ocenę dopuszczającą, Wymagania na ocenę dopuszczającą (2) rozróżnia liczby pierwsze i

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych z matematyki na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka wokół nas klasa 4

Katalog wymagań programowych z matematyki na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka wokół nas klasa 4 Katalog wymagań programowych z matematyki na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka wokół nas klasa 4 Kategorie zostały określone następująco: dotyczy wiadomości uczeń zna uczeń rozumie dotyczy przetwarzania

Bardziej szczegółowo

ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI DLA KLASY II GIMNAZJUM W ZAKRESIE WYMAGAŃ KONIECZNYCH I PODSTAWOWYCH

ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI DLA KLASY II GIMNAZJUM W ZAKRESIE WYMAGAŃ KONIECZNYCH I PODSTAWOWYCH ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI DLA KLASY II GIMNAZJUM W ZAKRESIE WYMAGAŃ KONIECZNYCH I PODSTAWOWYCH Opracowała: nauczyciel matematyki mgr Małgorzata Drejka Legionowo 007 SPIS TREŚCI ALGEBRA potęgi i pierwiastki

Bardziej szczegółowo

Algorytm. a programowanie -

Algorytm. a programowanie - Algorytm a programowanie - Program komputerowy: Program komputerowy można rozumieć jako: kod źródłowy - program komputerowy zapisany w pewnym języku programowania, zestaw poszczególnych instrukcji, plik

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM NA OCENĘ DOPUSZCZJĄCĄ UCZEN: zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie

Bardziej szczegółowo

DZIAŁ 1. LICZBY NATURALNE I DZIESIĘTNE. DZIAŁANIA NA LICZBACH NATURALNYCH I DZIESIĘTNYCH (40 GODZ.)

DZIAŁ 1. LICZBY NATURALNE I DZIESIĘTNE. DZIAŁANIA NA LICZBACH NATURALNYCH I DZIESIĘTNYCH (40 GODZ.) Matematyka w otaczającym nas świecie Gra tabliczka mnożenia Karta pracy 1 Po IV klasie szkoły podstawowej Ślimak gra edukacyjna z tabliczką mnożenia 1. Zastosowania matematyki w sytuacjach praktycznych

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM Na ocenę dopuszczającą uczeń umie : WYMAGANIA EDUKACYJN KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM stosować cztery podstawowe działania na liczbach wymiernych, zna kolejność wykonywania działań

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś. Wprowadzenie

MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś. Wprowadzenie 1 MATEMATYKA DYSKRETNA - wyk lad 1 dr inż Krzysztof Bryś Wprowadzenie Istniej a dwa różne kryteria mówi ace, które narzȩdzia matematyczne należy zaliczyć do matematyki dyskretnej. Pierwsze definiuje matematykȩ

Bardziej szczegółowo

ZBIÓR ZADAŃ - ROZUMOWANIE I ARGUMENTACJA

ZBIÓR ZADAŃ - ROZUMOWANIE I ARGUMENTACJA ZIÓR ZŃ - ROZUMOWNIE I RGUMENTJ 0--30 Strona ZIÓR ZO O WYMGNI EGZMINYJNEGO - ROZUMOWNIE I RGUMENTJ. Zapisz sumę trzech kolejnych liczb naturalnych, z których najmniejsza jest liczba n. zy suma ta jest

Bardziej szczegółowo

SYSTEM DIAGNOSTYCZNY OPARTY NA LOGICE DOMNIEMAŃ. Ewa Madalińska. na podstawie prac:

SYSTEM DIAGNOSTYCZNY OPARTY NA LOGICE DOMNIEMAŃ. Ewa Madalińska. na podstawie prac: SYSTEM DIAGNOSTYCZNY OPARTY NA LOGICE DOMNIEMAŃ Ewa Madalińska na podstawie prac: [1] Lukaszewicz,W. (1988) Considerations on Default Logic: An Alternative Approach. Computational Intelligence, 44[1],

Bardziej szczegółowo

Zadania o liczbach zespolonych

Zadania o liczbach zespolonych Zadania o liczbach zespolonych Zadanie 1. Znaleźć takie liczby rzeczywiste a i b, aby zachodzi ly równości: a) a( + i) + b(4 i) 6 i, b) a( + i) + b( + i) 8i, c) a(4 i) + b(1 + i) 7 1i, ( ) a d) i + b +i

Bardziej szczegółowo

Konkurs dla szkół ponadgimnazjalnych Etap szkolny 9 stycznia 2013 roku

Konkurs dla szkół ponadgimnazjalnych Etap szkolny 9 stycznia 2013 roku Konkurs dla szkół ponadgimnazjalnych Etap szkolny 9 stycznia roku Instrukcja dla ucznia W zadaniach o numerach od do są podane cztery warianty odpowiedzi: A, B, C, D Dokładnie jeden z nich jest poprawny

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie zaznaczać liczbę

Bardziej szczegółowo

Test, dzień pierwszy, grupa młodsza

Test, dzień pierwszy, grupa młodsza Test, dzień pierwszy, grupa młodsza 1. Na połowinkach 60 procent wszystkich uczniów to dziewczyny. Impreza jest kiepska, bo tylko 40 procent wszystkich uczniów chce się tańczyć. Sytuacja poprawia sie odrobinę,

Bardziej szczegółowo